1.1_vector fuerza (1)

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VECTORFUERZAMYRMA

ING.JIMMYFERNANDEZDIAZCIP77446 1

VECTOR FUERZA.MECANICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES.

ING.JIMMYFERNANDEZDIAZ

[email protected]

2

Es cualquier cantidad fsica la cual puede especificarse completamente

mediante su magnitud.

Por ejemplo: la longitud, la masa, el volumen

ESCALARES Y VECTORES

ESCALAR:

Es cualquier cantidad fsica la cual puede

especificarse completamente a travs de

su magnitud, direccin y sentido.

Por ejemplo: fuerzas, vector posicin,

momentos

VECTOR:

Sentido

Direccin

Magnitud

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3

Si se multiplica un vector por un escalar positivo su magnitud se

incrementa en esa cantidad y si se multiplica por un escalar negativo

adems, cambiar el sentido de la direccin de dicho vector.

OPERACIONES VECTORIALES

MULTIPLICACION Y DIVISIN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:

Multiplicacin y Divisin Escalar Vector A y su contraparte negativa

4

SUMA DE VECTORES:

Suma de Vectores Colineales:

METODOS GRFICOS:

LEY DEL PARALELOGRAMO: REGLA DEL TRIANGULO:

Si A y B son dos vectores que tienen la misma lnea de accin entonces la

resultanteR = A + Bse reduce a una suma algebraica.

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5

RESTA DE VECTORES:

Ley del Paralelogramo

R = A B = A + (-B)

METODO GRFICO:

Regla del Tringulo

6

SUMA VECTORIAL DE FUERZAS

DETERMINACION DE LA FUERZA RESULTANTE:

Sean F1 y F2 dos fuerzas que actan sobre el pasador mostrado. La

Fuerza ResultanteFR= F1+ F2obedece a la Ley del Paralelogramo y a

la Regla del Tringulo, tal como se muestra:

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7

DETERMINACION DE LAS COMPONENTES DE UNA FUERZA:

Sea la Fuerza F la cual se descompone a lo largo de dos direcciones

especficas, las cuales estn definidas por los ejes u y v.

Para determinar las componentes debemos construir un paralelogramo

con lneas que pasan por la punta de la fuerzaFy que son paralelas a los

ejes u y v.

8

SUMA DE VARIAS FUERZAS:

Si se suman mas de dos fuerzas debe

aplicarse de manera sucesiva la Ley del

paralelogramos para obtener la resultanteR.

LEYES TRIGONIMTRICAS APL ICADAS A VECTORES

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9

EJEMPLO 01:

Determine la magnitud de la fuerza componente F y la magnitud de la

fuerza resultanteFR, siFResta dirigida a lo largo del eje y positivo.

10

Solucin:

LEY DELPARALELOGRAMO

REGLA DELTRIANGULO

Aplicamos la Ley de Senos:

45

200

60 sen

lb

sen

F= F = 245 lb

FR = 273 lb

(Resp.)

(Resp.)45

200

75 sen

lb

sen

FR =

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11

EJEMPLO 02:

Descomponer la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura,

en componentes que actan a los largo de los ejes u y v y determine

las magnitudes de dichas componentes.

12

Solucin:

Se construye el paralelogramo trazando paralelas a cada eje u y v que

pasan por la punta de la fuerza de 600 lb.

En el Tringulo generado aplicamos la Ley de senos.

30

600

120 sen

lb

sen

Fu = Fu = 1039 lb (Resp.)

30

600

30 sen

lb

sen

Fv = Fv = 600 lb (Resp.)

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13

SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES

NOTACIN ESCALAR

Cuando una fuerza F se descompone en dos componentes a lo largo de

los ejes x y y, dichas componentes se llaman componentes

rectangulares y pueden representarse mediante notacin escalar y

notacin vectorial cartesiana.

Fx

Fy

F = Fx + Fy

Donde:

Fx=Fcos

Fy=Fsen

14

NOTACIN VECTORIAL

Cuando una fuerzaF se descompone en dos componentes a lo largo de

los ejes x y y, dichas componentes se llaman componentes

rectangulares y pueden representarse mediante notacin escalar y

notacin vectorial cartesiana.

F =Fx i +Fyj

NOTA:

i y j son vectores unitarios cartesianos en

direcciones de los ejes x y y

respect ivamente, y cuya magnitud

adimensional es uno.

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15

RESULTADO DE FUERZAS COPLANARES

F1 =F1x i +F1yj

F2 = -F2x i +F2yj

F3 =F3x i -F3yj

La resultante vectorial es:

FR= F1 + F2 + F3

=F1x i +F1yj -F2x i +F2yj +F3x i -F3yj

= (F1x - F2x + F3x) i + (F1y + F2y - F3y)j

=FRx i +FRyj

16

Si se utiliza notacin escalar, tenemos:

FRx =F1x - F2x + F3x

FRy =F1y + F2y - F3y

FRx = Fx

FRy = Fy

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17

EJEMPLO 03:

La armella mostrada en la figura est sometida a dos fuerzas F1 yF2.

Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante.

18

Solucin:

Separamos cada fuerza en sus componentes ortogonales x y y y las sumamosde manera algebraica.

(Resp.)

(Resp.)

FRx = Fx: FRx = 600 cos30 - 400 sen45

= 236.8 N

FRy = Fy: FRy = 600 sen30 + 400 cos45= 582.8 N

Clculo de la magnitud de la resultante:

)8.582()8.236( 22

+=FR

Clculo de la Direccin de la resultante:

=

8.236

8.582tan

1

FR= 629N

= 67.9

NOTACION

ESCALAR

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19

Solucin:

Expresamos cada fuerza como un vectorcartesiano:

(Resp.)

F1 = 600 cos30 i+ 600 sen30j

F2 = -400 sen45 i+ 400 cos45j

Clculo de la magnitud de la resultante:

NOTACION

VECTORIAL

FR= F1 + F2

FR = (600 cos30 - 400 sen45 )i+ (600 sen30 + 400 cos45 )jFR = {236.8 i+ 582.8j} N.

La magnitud y direccin de la fuerza resultante FRse determina de manera similar almtodo escalar:

20

VECTORES CARTESIANOS

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR:

Un vectorA puede tener dos o tres componentes rectangulares a lo largo

de los ejes coordenadosx, y, z, dependiendo de su orientacin.

Aplicando la ley del paralelogramo podemos dividir el vector en las

siguientes componentes:

A = A + Az

A = Ax + Ay

Por lo tanto A se representa mediante la suma

vectorial de sus tres componentes rectangulares:

A = Ax + Ay + Az

Tenemos

Donde:

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21

VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS:

Los vectores unitarios cartesianos i , j , k se utilizan

para designar las direcciones de los ejes x, y, z

respectivamente

REPRESENTACION DE UN VECTOR CARTESIANO:

El vector A podemos representarlo en forma de

vector cartesiano, de la siguiente manera:

A =Ax i +Ayj +Azk

22

MAGNITUD DE UN VECTOR CARTESIANO:

AA zA 22

' +=

AAA zyxA 222

++=

AA yXA 22

' +=

Tenemos

Donde:

Porlotanto:

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23

DIRECCION DE UN VECTOR CARTESIANO:

La direccin de A est definido por los ngulos

directores coordenados ,,, medidos entre el

origen deAy los ejesx, y, zpositivos.

Ax=cosA

Ay=cosA

Az=cos

Cosenos Directoresdel vectorA

Los ngulos Directores Coordenados,, pueden determinarse a partir

de loscosenos inversos.

24

Un manera prctica de hallar los cosenos directores es encontrando el

vector unitariouAen la direccin del vectorA

AAA

u =

Como la magnitud deuAes uno, podemos encontrar la siguiente relacin

trigonomtrica:

kjiuAAA

AAA zyxA

++=

Por lo tanto: uA=cosi+cosj +cosk

cos2+cos2+cos2=1

Adems podemos expresar el vector A en forma de vector cartesiano

como:

AAA

u =A=AuA

A=Acosi +Acosj+Acosk

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25

EJEMPLO 04:

Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza

resultante que acta sobre el anillo en la figura.

26

Solucin:

Como cada fuerza est expresada en forma de vector cartesiano, hallamos

la fuerza resultante a travs de la suma algebraica de sus componentes:

FR=F=F1+F2= (60j+ 80k) + (50i 100j+ 100k)

FR= 50i 40j+ 180k

La magnitud de la fuerza resultante es:

)180()40()50( 222

++= FR FR=191lb (Resp.)

Los ngulos directores , , : se determinan a partir del vector unitario en

la direccin de laFR

FRFRF

uR=

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27

(Resp.)

Los ngulos directores , , : se determinan a partir del vector unitario en

la direccin de laFR

kjiu191

180

191

40

191

50+=

FR

kjiu 9422.02094.02617.0 +=FR

Por lo tanto:

cos= 0.2617cos= -0.2094

cos= 0.9422

= 74.8= 102

= 19.6

(Resp.)

(Resp.)

28

VECTORES DE POSICIN

Un vector de posicinrse define como un vector fijo que ubica un punto

en el espacio en relacin con otro punto.

Por ejemplo: sirse extiende desde elorigen de coordenadas (0,0)hasta

el puntoP(x,y,z), entoncesrpuede expresarse como:

r= xi+ yj+ zk

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29

En el caso general, el vector de

posicin puede estar dirigido desde

el punto A hasta el punto B en el

espacio:

rA+ r= rB

Despejando el vectorrtenemos:

r= rBrA= (xBi+ yBj+ zBk) (xAi+ yAj+ zAk)

r= (xB- xA)i + (yB- yA)j + (zB- zA)k

30

EJEMPLO 05:

Una banda elstica de caucho est unida a los puntos A y B tal como se

muestra en la figura. Determine su longitud y su direccin medida de A

hacia B.

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31

Solucin:

Establecemos un vector posicin r desde A hacia B, para lo cual

necesitamos las coordenadas de los puntos A y B:

r= (-2 - 1)i+ (2 - 0)j+ (3 (-3))k

r= -3i+ 2j+ 6k

Tenemos:

)6()2()3( 222

++= r

(Resp.)

La magnitud del vector posicin res:

A (1,0,-3)

B (-2,2,3)

Entonces:

r=7m

32

El vector unitario en la direccin de res:

(Resp.)

r

ru= kjiu

7

6

7

2

7

3++=

Las componentes del vector unitarios nos dan los ngulos directores

coordenados:

1157

3cos

1=

=

4.737

2cos

1=

=

317

6cos

1=

=

(Resp.)

(Resp.)

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33

VECTORES FUERZA DIRIGIDO A LOLARGO DE UNA LINEA

Sea la fuerza Fdirigida a lo largo de la cuerda AB. La fuerza Fpuede

expresarse vectorialmente ya que tiene la misma direccin y sentido que

el vector posicinrdirigido desde el punto A hacia B.

Esta direccin la expresamos mediante el vector unitariou=r/r, de manera

que:

F=Fu

Pero:

=r

Fr

F

rru=

34

EJEMPLO 05:

El hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con una

fuerza de 70 lb. Determine esta fuerza al actuar sobre el soporte A

como un vector cartesiano y determine su direccin.

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35

Solucin:

Determinamos el vector posicin r en la direccin AB, para lo cual

necesitamos las coordenadas de los puntos A y B.

La magnitud del vector posicinrnos da la longitud de la cuerda AB:

)24()8()12( 222

++=r

Tenemos: A (0,0,30)

B (12,-8,6)

Entonces:

kjir

u28

24

28

8

28

12==

r

r = 28 pies

El vector unitariouen direccin der:

r= (12-0)i+ (-8 - 0)j+ (6 30)k

r= 12i- 8j- 24k pies

36

(Resp.)

uF F=

= kjiF

28

24

28

8

28

1270

Expresamos la fuerzaFde manera vectorial, considerando su magnitud

de 70 lb y la direccin deu:

F= 30i- 20j- 60k lb

Los ngulos directores coordenados estn medidos en direccin deroF.

(Resp.)6.6428

12cos

1=

=

10728

8cos

1=

=

14928

24cos

1=

=

(Resp.)

(Resp.)

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37

PRODUCTO PUNTO

Elproducto puntode los vectoresAyBse escribeA.By se lee ApuntoB.

Se expresa por la siguiente ecuacin:

A.B=AB cos Donde: 0 180

El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalary no un

vector

LEYES DE OPERACIN:

1. Ley conmutativa:A.B= B.A

2. Multiplicacin por un escalar: a(A.B) = (aA).B =A.(aB)

3. Ley distributiva:A.(B+ D) = (A.B) + (A.D)

38

FORMULACION VECTORIAL CARTESIANA:

A.B= (Axi+Ayj+Azk).(Bxi+ Byj+ Bzk)

El producto punto de dos vectoresA y B que se encuentran expresados

de manera vectorial, es:

Al operar de manera escalar debemos considerar que:

i.i = 1

j.j = 1

k.k= 1

i.j = 0

i.k= 0

j.k= 0

A.B=AxBx+AyBy+AzBz

El resultado siempre ser un escalar positivo o negativo

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39

APLICACIONES DEL PRODUCTO PUNTO:

El ngulo formado entre dos vectores o lneas que se intersecan

Donde: 0 180

=

AB

A.Bcos

1

Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una lnea

Si un vectorAes paralelo o colineal con la lnea aa, la componente se define por:

Aa= A cos =A.ua

De manera vectorial tenemos:

Aa=Aaua

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