11.integrales - unlp

11. Integrales

“asdfasdfasdfasdfasdf.”

Wang Zhenyi (1768-1797)11.1 Área debajo de la gráfica de una función positivaComenzaremos poniendo atención al problema de calcular el área debajo de la gráfica de

una función f positiva y sobre el eje x desde x = a hasta x = b.

x

y

y = f (x)

x = a x = b

Área S

Figura 11.1: Área debajo de la gráfica y = f (x) sobre el eje x en el intervalo [a, b].

La región que nos interesa se escribe en forma de conjunto como

S ={(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)

}Según sea la función, podremos resolver el problema utilizando las fórmulas para calcular

áreas de figuras geométricas conocidas.

Actividad 11.1 Determinen el área de la región S correspondiente a las siguientes funcionesen los intervalos indicados.

a) f (x) = 3 en el intervalo [0, 2] b) g(x) = 12 en el intervalo [2, 7

3 ]

c) h(x) = x en el intervalo [0, 2] d) m(x) = x + 1 en intervalo [1, 3]�

En el caso general, donde la forma de la región S tiene tramos curvos o irregulares, serequiere utilizar estrategias de aproximación que garanticen un resultado cada vez más precisodel valor del área buscada.

Por ejemplo, para determinar el área de la hoja de roble de la Figura 11.2 utilizaremos lasgrillas pintadas sobre ella. La cuadrícula de la Grilla 1 se separa cada 1 cm. En la Grilla 2, laseparación es de medio centímetro.

Grilla 1 Grilla 2

Figura 11.2: Grilla sobre la hoja de roble para estimar su área.

2 Capítulo 11. Integrales

Actividad 11.2a) Completen la Tabla 11.1 determinando:

• E : cantidad de cuadrados que se encuentran completamente dentro de la hoja.• M: cantidad de cuadrados que intersecan parcialmente la hoja.

E M M + E

Grilla 1Grilla 2

Tabla 11.1: Estimación del área de la hoja de roble usando las grillas de la Figura 11.2.

b) El área de los cuadrados de la Grilla 1 es de 1 cm2 y el área de los cuadrados dela Grilla 2 es de 0.25 cm2. Calculen el área ocupada por los cuadrados E y el áreaocupada por la suma de los cuadrados E + M y completen.

Grilla 1: ≤ Área de la hoja ≤

Grilla 2: ≤ Área de la hoja ≤�

Para estimar mejor el área de la hoja correspondería reducir el tamaño de la grilla y re-contabilizar los cuadrados completamente contenidos en la hoja y los cuadrados parcialmentecontenidos en la hoja. En una hipotética Grilla 3 con una separación de 0.25 cm en la cuadrículaobtendríamos una nueva estimación

Grilla 3: (0.25)2 × E cm2 ≤ Área de la hoja ≤ (0.25)2 × (E + M) cm2

Figura 11.3: Grilla 3 con una separación de 0.25 cm en la cuadrícula.

11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 3

Usaremos un procedimiento similar al anterior para estimar el área S debajo de la gráficade una función positiva como nos propusimos al comienzo del Módulo.

10x

y y = x2

S

Figura 11.4: Área debajo de y = x2

en el intervalo [0, 1].

0x

y y = x2

12

34

1

(34

)2

(12

)2(14

)2

Figura 11.5: Rectángulos más peque-ños.

En este caso, usaremos rectángulos para estimar el área debajo de la parábola y = x2 desdex = 0 a x = 1. Ver Figura 11.4.

Dividiremos el área S en 4 franjas verticales S1, S2, S3 y S4 de igual ancho como en la Figura11.6 y aproximaremos cada franja con un rectángulo con la misma base y la misma alturaque cada franja.

0x

y y = x2

14

S1

12

S2

34

S3

1

S4

0x

y y = x2

14

12

34

1

1

(34

)2

(12

)2(14

)2

Figura 11.6: Subdivisión en cuatro franjas para estimar el área S.

Cada rectángulo tiene una base que mide 14 y sus alturas son

(14

)2,(

12

)2,(

34

)2y 1. Si

tomamos R4 como la suma de las áreas de estos rectángulos obtenemos

R4 =14·

(14

)2+

14·

(12

)2+

14·

(34

)2+

14· (1)2 =

1532= 0.46875

Por lo tanto, el área de la región S cumple

S < 0.46875

Si utilizáramos rectángulos más pequeños como los de la Figura 11.5 que tienen la mismabase pero cuyas alturas están determinadas por los valores de la función en el borde izquierdode cada sub-intervalo (el primero de los rectángulos queda “chato” de altura cero). La suma delas áreas en este caso queda

L4 =14· (0)2 +

14·

(14

)2+

14·

(12

)2+

14·

(34

)2=

732= 0.21875

con lo que

0.21875 < A < 0.46875

Podemos repetir el proceso con un mayor número de rectángulos verticales como en laFigura 11.7 que tiene 8 franjas.


0x

y y = x2

0x

y y = x2

Figura 11.7: Subdivisión en ocho franjas para estimar el área S.

Calculando la suma de las áreas de los rectángulos de la izquierda (L8) y la suma de lasáreas de los rectángulos de la derecha (R8) obtenemos

0.2734375 < A < 0.3984375

En la Tabla 11.2 se presentan los resultados (hechos con una computadora) de la suma delos rectángulos izquierdos y derechos para sub-divisiones de n rectángulos.

n Ln Rn

10 0.285 0.385

20 0.30875 0.35875

30 0.3168519 0.3501852

50 0.3234 0.3434

100 0.32835 0.33835

1000 0.3328335 0.3338335

Tabla 11.2: Estimación del área de Susando gran cantidad de rectángulos.

0x

y n = 10 L10 = 0.285

0x

y n = 30 L30 ≈ 0.3169

0x

y n = 50 L50 = 0.3234

0x

y n = 10 R10 = 0.385

0x

y n = 30 R30 ≈ 0.3502

0x

y n = 50 R50 = 0.3434

Figura 11.8: El área S estimada con una gran cantidad de rectángulos izquierdos y derechos.

De la Figura 11.8 y la Tabla 11.2 parece que a medida que n crece (haciendo más sub-divisiones) obtenemos mejores aproximaciones del área de S de tal forma que podemosproponer

Área de S = lı́mn→+∞

Ln = lı́mn→+∞

Rn

Mostraremos que Área de S = lı́mn→+∞

Ln = lı́mn→+∞

Rn =13

Comenzamos con los rectángulos que usan el borde de la derecha que nos permite obtener(sumando las áreas de todos ellos) Rn. Cada rectángulo tiene base de longitud 1

n y la altura se

11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 5

obtiene evaluando la función en cada uno de los valores 1n ,

2n , . . .,

nn por lo que

Rn =1n·

(1n

)2+

1n·

(2n

)2+ · · · +

1n·

(n − 1

n

)2+

1n·

(nn

)2

=1n3

(12 + 22 + 32 + · · · + n2

)Para continuar necesitamos una fórmula que permita calcular la suma que está entre

paréntesis y que presentamos a continuación (puede demostrarse usando el Principio deInducción) (

12 + 22 + 32 + · · · + n2)=

n(n + 1)(2n + 1)6

por lo que

Rn =1n3 ·

n(n + 1)(2n + 1)6

=(n + 1)(2n + 1)

6n2 =2n2 + 3n + 1

6n2

Ahora debemos tomar el límite (recordar el Módulo 9)

lı́mn→+∞

Rn = lı́mn→+∞

2n2 + 3n + 16n2 = lı́m

n→+∞

2n2(1 + 3

2n +1

2n2

)6n2 = lı́m

n→+∞

13

(1 + 3

2n +1

2n2

)=

13

Un procedimiento similar permite ver también que lı́mn→+∞

Ln =13.

Aplicaremos el mismo procedimiento a una función cualquiera (positiva) subdividiendo laregión S en n franjas verticales S1, S2, . . ., Sn del mismo ancho

x

y

y = f (x)

a x1 x2 x3 · · · xi xi+1 · · · xn−1 b

La longitud del intervalo [a, b] es b − a y el ancho de cada franja es

∆x =b − a

n

Quedan determinados n sub-intervalos

[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn]

donde x0 = a y xn = b. Los bordes de la derecha de cada intervalo están dados por

x1 = a + ∆x

x2 = a + 2∆x

x3 = a + 3∆x...

xxi−1 xi

Figura 11.9: La altura de los rectán-gulos está determinada por el valorde la función en el borde derecho decada intervalo.

Aproximamos el área de cada franja por rectángulos verticales de ancho ∆x y altura f (xi)(la altura de cada rectángulo es el valor de la función en el borde de la derecha de cadaintervalo) y sumamos las áreas para obtener

Rn = f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · · + f (xn)∆x


En la Figura 11.10 se presenta una secuencia de n = 2, n = 4, n = 8 y n = 12 intervalos detal manera que se considera que Rn se aproxima cada vez más al valor del área de S a medidaque n→ +∞.

x

yy = f (x)

a x1 b x

yy = f (x)

a x1 x2 x3 b x

yy = f (x)

a b x

yy = f (x)

a b

Figura 11.10: Divisiones con n = 2, n = 4, n = 8 y n = 12 subintervalos para determinar el área de la región S.

Definición 11.1.1 El área de la región S formada por los puntos debajo de la gráfica de unafunción continua y positiva para valores de x ∈ [a, b] está determinada por

lı́mn→+∞

Rn = lı́mn→+∞

f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · · + f (xn)∆x

donde se considera a xi como el borde derecho del subintervalo [xi−1, xi]. Y donde∆x = xi − xi−1 es la longitud de cada subintervalo (todos miden lo mismo).

El mismo valor del área se obtiene considerando Ln usando los bordes izquierdo de cadasubintervalo

lı́mn→+∞

Ln = lı́mn→+∞

f (x0)∆x + f (x1)∆x + · · · + f (xn−1)∆x

Y en general, el mismo valor se obtiene usando un valor cualquier x∗i (denominado valorde prueba) dentro de cada subintervalo


f (x∗1)∆x + f (x∗2)∆x + · · · + f (x∗n)∆x

Usando la notación de Σ se escribe


n∑i=1

f (x∗i )∆x

x

y

0 2

Figura 11.11: Gráfica de la funciónf (x) = e−x en el intervalo [0, 2].

Actividad 11.3 Considerar la función f (x) = e−x en el intervalo [0, 2].

a) Usando los bordes de la derecha, escriban la expresión del área debajo de la gráficade la función f y sobre el eje x en el intervalo [0, 2] usando la notación de límite y Σtomando n subintervalos.

b) Estimen un valor para el área usando 4 subintervalos de igual longitud. Luego con10 subintervalos.

�

11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil 7

11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil

Actividad 11.4 Consideren las siguientes situaciones y respondan las consignas

a) Lucas realiza un viaje en bicicleta por una ruta a una velocidad constante de 20km/h durante 5 horas. ¿Qué distancia recorrió Lucas?

b) Alicia realiza un viaje en bicicleta. El gráfico de la Figura 11.13 representa lavelocidad vs. el tiempo de Alicia durante su trayecto que duró 5 horas. En realidad,la función velocidad de Alicia durante el trayecto es continua (sin saltos) perosimplificamos la situación en t = 2 debido a que Alicia aceleró de 15 km/h a 20km/h en un momento muy breve. ¿Qué distancia recorrió Alicia en total?

c) Nicolás realizó un viaje en bicicleta hacia el norte en una ruta a una velocidadconstante de 12 km/h durante 2 horas, luego dió la vuelta y viajó hacia el sur auna velocidad constante de 20 km/h durante 1 hora. Consideramos que la velocidadviajando hacia el norte es positiva y la velocidad viajando hacia el sur es negativa.Asumiendo que el cambio de la velocidad de Nicolás al dar la vuelta se hace en unmomento muy breve, ¿cuál de las gráficas de la Figura 11.12 representa mejor lavelocidad de Nicolás durante sus 3 horas de viaje?

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

−20

Figura 11.12: Para elegir la función velocidad de Nicolás.

d) En la Figura 11.14 se representa la función velocidad durante el viaje que Andrearealizó primero hacia el norte, luego hacia el sur y luego de nuevo hacia el nortepor una ruta. Los valores entre paréntesis de la figura son los valores de las áreassombreadas.

A las 3 horas, Andrea se encuentra a km al norte del punto dondecomenzó su trayecto. Expliquen cómo lo calcularon.

�

t - (h)

v(t) - (km/h)

2 5

15

20

Figura 11.13: Gráfica de la funciónvelocidad de Alicia.

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

−10

(10)

(14)

(19)

Figura 11.14: Gráfica de la velocidadde Andrea.

En general, considerando los cálculos realizados en la Actividad 11.4 para estudiar unobjeto que se mueve en una dirección (como un ciclista que se mueve a lo largo de una ruta)consideramos intervalos de tiempo en los que la velocidad es constante (aproximadamenteconstante), subdividiendo el tiempo que dura el trayecto en intervalos pequeños y estimando ladistancia recorrida como el área de los rectángulos verticales.• Si velocidad es positiva, la distancia recorrida se recorre en dirección al sentido positivodel sistema de referencia elegido.• Si la velocidad es negativa, la distancia se recorre en dirección contraria al sentidopositivo del sistema de referencia.

Por ejemplo, consideremos un objeto enganchado a un resorte que cuelga del techo de talmanera que se produce un movimiento exclusivamente vertical. Podemos considerar que elsentido positivo del movimiento se produce hacia arriba y el sentido negativo del movimientose produce hacia abajo. Ver Figura 11.15.

0

Figura 11.15: Objeto sostenido porun resorte.


En la Figura 11.16 se representa la velocidad v(t) de un objeto sostenido por un resortedesde el techo que se mueve durante un lapso de tiempo de t = 0 hasta t = 2π. Subdividiendoel intervalo [0, 2π] en donde se considera que la velocidad es constante se puede estimar ladistancia recorrida por el objeto mediante el área de los rectángulos pero considerando que lasvelocidades negativas corresponden a un movimiento hacia abajo.

t

v(t)

Figura 11.16: Velocidad de un objeto que se mueve sostenido por un resorte desde el techo.

Actividad 11.5 En la Figura 11.17 se representa la velocidad de un objeto enganchado aun resorte que cuelga del techo y que se mueve durante un lapo de tiempo de t = 0 hastat = 5.5 segundos. Las cantidades entre paréntesis representan el valor del área de la regióncorrespondiente. ¿En qué posición, respecto del inicio del movimiento, se encuentra elobjeto a los t = 5.5 segundos?

t - (seg)

v(t) - (m/seg)

t = 5.5

(10)

(20)

(6)

Figura 11.17: Velocidad (m/seg) vs. tiempo (seg).

�

El caso general, en el que p(t) representa la posición de un objeto que se mueve en sentidouni-dimensional, habiendo fijado un sentido positivo para el movimiento y considerando quese toma un intervalo de tiempo desde t = a (instante inicial) hasta t = b (instante final), sedetermina la posición del objeto al final del recorrido por

p(b) = p(a) + lı́mn→+∞

v(t∗1)∆t + v(t∗2)∆t + · · · + v(t∗n)∆t

∆p = p(b) − p(a) = lı́mn→+∞

v(t∗1)∆t + v(t∗2)∆t + · · · + v(t∗n)∆t

siendo v(t) la función velocidad y t∗i valores intermedios en los subintervalos en los que sedivide el período de tiempo.

11.3 La integral definida 9

11.3 La integral definidaTomamos como base los siguientes problemas:

• Cálculo del área debajo de la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo[a, b].• Determinación de la posición de un objeto que se mueve uni-dimensionalmente cono-ciendo que su velocidad es continua y conociendo la posición inicial.

Definición 11.3.1 Si f es una función definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b]en n subintervalos de igual longitud ∆x = (b − a)/n. Sean a = x0, x1, x2, ..., xn = b losbordes de esos intervalos y sean x∗1, x∗2, ..., x∗n valores cualesquiera en esos subintervalos,con x∗i en el intervalo [xi−1, xi]. Entonces la integral definida de f desde a hasta b es∫ b

a

f (x) dx = lı́mn→+∞

n∑i=1

f (x∗i )∆x

siempre que ese límite exista. Si el límite existe, se dice que f es integrable en [a, b].

La suman∑i=1

f (x∗i )∆x que apa-

rece en la Definición 11.3.1 sellama suma de Riemann por elmatemático Bernhard Riemann(1826–1866).

C El símbolo∫

se llama signo de integral. Es una especie de S alargada. En la notación∫ b

af (x) dx, f (x) se llama integrando, y a y b son los límites de integración: a es

el límite inferior y b es el límite superior. A partir de ahora, el símbolo dx no tiene

significado por si sólo; la∫ b

af (x) dx está todo en un sólo símbolo. El dx simplemente

indica que la variable independiente es x. El procedimiento de calcular una integral sellama integración.

C La integral definida∫ b

af (x) dx es un número; no depende de x. Es más, uno podría

usar cualquier letra como variable y el valor de la integral es el mismo∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (r) dr =

∫ b

af (t) dt .

Si la función f es positiva y continua entonces∫ b

a

f (x) dx = Área debajo de la gráfica de f y sobre el eje x en el intervalo [a, b]

como en la Figura 11.18 tal como se desarrolló en la Sección 11.1.

x

y

y = f (x)

x = a x = b

∫ b

a

f (x)dx

Figura 11.18: La integral definidacomo área debajo de la gráfica de fsobre el eje x en el intervalo [a, b].

x

y

A1

A2

A3

Figura 11.19: La integral definidacomo área neta entre la gráfica de fy el eje x en el intervalo [a, b].

Si los valores de la función f son tanto positivos como negativos, como en la Figura 11.19,entonces se consideran las regiones debajo del eje x con un aporte negativo de sus áreas ylas regiones sobre el eje x con aportes positivos de sus áreas, de modo que la suma de ellasrepresenta el área neta entre la gráfica de la función f y el eje x.∫ b

a

f (x) dx = Área neta entre la gráfica de la función f y el eje x.

Por ejemplo, en la Figura 11.19 corresponde calcular∫ b

a

f (x)dx = A1 − A2 + A3

Cuando se estudia el movimiento de un objeto mediante las funciones posición, p(t), yvelocidad, v(t), se tiene que

∆p = p(b) − p(a) =∫ b

a

v(t)dt


Aunque hemos definido la∫ b

a

f (x)dx dividiendo el intervalo [a, b] en subintervalos de

igual longitud, hay situaciones en las que conviene trabajar con intervalos de distinta longitud.Por ejemplo, hay experimientos biológicos en donde los datos son recolectados en tiemposque no son igualmente espaciados. También se define en este caso la integral definida si lalongitud de los intervalos tiende a 0 en el proceso del límite.

Teorema 11.3.1 — Existencia de la integral definida.Si f es continua en [a, b], o si f tiene solo un número finito de discontinuidades tipo salto,entonces f es integrable en [a, b].

Es decir, la integral definida∫ b

a

f (x)dx existe.

En las condiciones del Teorema 11.3.1, se puede asegurar que la función f alcanza unvalor máximo y un valor mínimo en cada sub-intervalo correspondiente a la Suma de Riemann.En algunos libros se utilizan los valores xmin

i y xmaxi para indicar donde la función alcanza sus

valores mínimos y máximos (respectivamente) en los sub-intervalos. Las sumas de Riemannasociadas a dichos valores se denominan usualmente Sumas inferiores y Sumas superiores.

Si f es integrable en [a, b], entonces el límite de la Definición 11.3.1 existe y da el mismovalor sin importar la elección de los puntos xi . Para simplificar el cálculo de la integralgeneralmente se toman los valores xi como el borde derecho de los intervalos. Entonces,x∗i = xi y la definición de la integral se simplifica como sigue.

Teorema 11.3.2 Si f es integrable en [a, b], entonces∫ b

a

f (x) dx = lı́mn→+∞

n∑i=1

f (xi)∆x

donde ∆x =b − a

n, y xi = a + i ∆x.

Los problemas del área debajo de la gráfica de una función o del desplazamiento de unobjetivo móvil son dos ejemplos de una clase más amplia de problemas similares que estudianel cálculo de una cantidad total mediante la suma sobre pequeños subintervalos en los queintervienen funciones que se suponen constantes allí.• El área total debajo de la gráfica de una función positiva se considera como la suma delas áreas de pequeños rectángulos dado que se estima que la función es constante encada pequeño intervalo.• La distancia total recorrida por un objeto se calcula como la suma de pequeñas distanciascalculadas en pequeños intervalos de tiempo bajo el supuesto de que la velocidad esconstante en cada uno de ellos.

Más adelante retomaremos otros problemas similares en los que intervienen funciones quese puede suponer localmente constantes: la densidad, la concentración, la magnitud de unafuerza, etc.


� Ejemplo 11.1 Evaluemos las siguientes integrales interpretando cada una de ellas entérminos de áreas.

a)∫ 1

0

√1 − x2 dx b)

∫ 3

0(x − 1) dx

a) Como f (x) =√

1 − x2 ≥ 0, podemos interpretar a esta integral como el áreabajo la curva y =

√1 − x2 de 0 a 1. Pero como y2 = 1 − x2, obtenemos que

x2 + y2 = 1, que muestra que la gráfica de f es el cuarto de circunferencia conradio 1 de la Figura 11.20. Por lo tanto,∫ 1

0

√1 − x2 dx =

14π 12 =

π

4.

b) La gráfica de y = x − 1 es la recta con pendiente 1 que se muestra en laFigura 11.21. Calculamos la integral como la diferencia de las áreas de lostriángulos:∫ 3

0(x − 1) dx = A1 − A2 =

12(2.2) −

12(1.1) = 1.5

�

x

y x2 + y2 = 1

1

1

Figura 11.20: Gráfica de la fun-ción f (x) =

√1 − x2 en el intervalo

[0, 1].

x

y y = x − 1

1 3A2

A1

Figura 11.21: Gráfica de la funcióng(x) = x − 1 en el intervalo [0, 3].

Figura 11.22: Gráfica de la fun-ción g.

Actividad 11.6 Estimen la integral definida de la función g cuya gráfica se presenta en laFigura 11.22 usando 6 subintervalos: tomando los bordes derechos de cada intervalo, luegotomando los bordes izquierdos de cada intervalo y luego tomando los valores medios decada intervalo.

�

Actividad 11.7 Durante el test de una nueva droga, los investigadores miden la concentraciónde la droga en el plasma sanguíneo cada 10 minutos. Los valores promedio se presentanen la Tabla 11.3 donde t se mide en minutos y C se mide en µg/mL. Estimen, usando los

bordes izquierdos y derechos, la integral∫ 100

0C(t)dt.

t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

C(t) 0 1.3 1.8 2.2 2.4 2.5 2.4 2.3 2.0 1.6 1.1

Tabla 11.3: Concentración C de la nueva droga medida en intervalos de 10 minutos.

�

Actividad 11.8 En un estudio sobre el metabolismo del ácido salicílico (SA) se modela laconcentración de SA mediante la función C(t) = 11.4te−t donde t se mide en horas y C semide en µg/mL. Usando valores de la derecha del intervalo con 8 subintervalos estimar∫ 4

0C(t)dt.

�


11.3.1 Propiedades de la integral definidaCuando se define la integral definida se toma a < b para que tenga sentido el intervalo

[a, b]; sin embargo aceptaremos a partir de ahora las siguientes propiedades que se consideranválidas para cualesquiera valores de a y b

Propiedad 11.3.3 — Propiedades de la integral definida.Considerando f y g funciones continuas se tiene que

a)∫ b

a

f (x)dx = −∫ a

b

f (x)dx

b)∫ a

a

f (x)dx = 0

c)∫ b

a

c dx = c(b − a), para cualquier constante c

d)∫ b

a

[ f (x) + g(x)] dx =∫ b

a

f (x) dx +∫ b

a

g(x) dx

e)∫ b

a

c f (x) dx = c∫ b

a

f (x) dx, para cualquier constante c

f )∫ b

a

[ f (x) − g(x)] dx =∫ b

a

f (x) dx −∫ b

a

g(x) dx

g)∫ c

a

f (x) dx +∫ b

c

f (x) dx =∫ b

a

f (x) dx, para cualquier constante c

La Propiedad b) se refiere a que el área de un segmento se toma como 0 dado que labase es un intervalo de la forma [a, a]. La Propiedad c) dice que la integral de una funciónconstante f (x) = c es la constante por la longitud del intervalo. Si c > 0 y a < b, se interpretagráficamente dado que c(b − a) es el área del rectángulo sombreado de la Figura 11.23.

x

y

f (x) = cc

a b

Figura 11.23: Área del rectángulodebajo de la funcion f (x) = c.

x

y

y = f (x)

a bc

∫ c

af (x)dx

∫ b

cf (x)dx

Figura 11.24: El intervalo se sub-divide en [a, c] y [c, b].

Las Propiedad d), e) y f ) se refieren a cómo se comporta la integral definida con lasoperaciones algebraicas entre funciones de suma, resta y multiplicación por una constante.Coloquialmente, en el caso de la suma: “la integral definida de una suma de funciones es lasuma de las integrales definidas”. En forma similar para la resta y para la multiplicación poruna constante. Se deducen de operar correctamente con los límites para n→ +∞ sabiendoque existen. Por ejemplo,

∫ b

a

[ f (x) + g(x)] dx = lı́mn→∞

n∑i=1[ f (xi) + g(xi)]∆x

= lı́mn→∞[

n∑i=1

f (xi)∆x +n∑i=1

g(xi)∆x]

= lı́mn→∞

n∑i=1

f (xi)∆x + lı́mn→∞

n∑i=1

g(xi)∆x

=

∫ b

a

f (x) dx +∫ b

a

g(x) dx.

La Propiedad e) se puede demostrar en forma análoga y dice que la integral de una constantepor una función es la constante por la integral de la función. En otras palabras, una constante(pero sólo una constante) se puede pasar al frente de un signo de integral. La Propiedad f ) sedemuestra al escribir f − g = f + (−g) y usar las Propiedades d) y e) con c = −1. En cuanto ala Propiedad g), tomando el caso particular en que a ≤ c ≤ b, se propone interpretarla segúnla Figura 11.24.


Propiedad 11.3.4 — Propiedades de monotonía de la integral definida.

a) Si f (x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces∫ b

a

f (x) dx ≥ 0.

b) Si f (x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, entonces∫ b

a

f (x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.

c) Si m ≤ f (x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, entonces

m(b − a) ≤∫ b

a

f (x) dx ≤ M(b − a).

La Propiedad a) nos dice simplemente que las áreas son positivas. La Propiedad b) dicela integral definida respeta el orden entre funciones (ver Figura 11.25). Por último, en laFigura 11.26 se ilustra la Propiedad c) para el caso donde f (x) ≥ 0. Si f es continua podríamostomar m y M como los valores mínimo y máximo absolutos de f en el intervalo [a, b]. En estecaso la Propiedad c) dice que el área bajo la gráfica de f es mayor que el área del rectángulocon altura m y menor que el área del rectángulo con altura M .

x

yy = f (x)

y = g(x)

a b

Figura 11.25: Comparación entre lasintegrales de f y g en el intervalo[a, b] siendo f ≥ g ≥ 0.

x

y

∫ b

a

f (x)dx

a b

m

M

Figura 11.26: Función acotada en elintervalo [a, b] con m ≤ f (x) ≤ M .

� Ejemplo 11.2 Usaremos las propiedades d) y e) para calcular∫ 1

0(2 + 3x2) dx.

∫ 1

0(2 + 3x2) dx =

∫ 1

02 dx +

∫ 1

03x2 dx =

∫ 1

02 dx + 3

∫ 1

0x2 dx

Sabemos también por la propiedad c) que∫ 1

02 dx = 2(1−0) = 2 y que

∫ 1

0x2 dx =

13

(recordar página 5). Por lo tanto∫ 1

0(2 + 3x2) dx = 2 + 3

13= 2 + 1 = 3.

�

� Ejemplo 11.3 Sabiendo que∫ 10

0f (x) dx = 17 y

∫ 8

0f (x) dx = 12 podemos operar usando

la Propiedad g) para obtener∫ 10

8f (x) dx.

∫ 8

0f (x) dx +

∫ 10

8f (x) dx =

∫ 10

0f (x) dx

y entonces∫ 10

8f (x) dx =

∫ 10

0f (x) dx −

∫ 8

0f (x) dx = 17 − 12 = 5.

�


� Ejemplo 11.4 Usemos la Propiedad c) para estimar∫ 1

0e−x

2dx.

Como f (x) = e−x2es una función decreciente en [0, 1] (chequear usando la

derivada), su valor máximo absoluto es M = f (0) = 1 y su valor mínimo absoluto esm = f (1) = e−1. Entonces, por la Propiedad c),

e−1(1 − 0) ≤∫ 1

0e−x

2dx ≤ 1(1 − 0)

e−1 ≤

∫ 1

0e−x

2dx ≤ 1.

Como e−1 ≈ 0.3679, podemos afirmar que 0.3679 ≤∫ 1

0e−x

2dx ≤ 1.

�x

y

0 1

1

e−1

Figura 11.27: Gráfica de la funciónf (x) = e−x

2en el intervalo [0, 1]. Actividad 11.9 Escriban la siguiente expresión para que quede de la forma

∫ b

a

f (x)dx (con

un único símbolo de integral).∫ 2

−2f (x)dx +

∫ 5

2f (x)dx −

∫ −1

−2f (x)dx

�

Actividad 11.10 Si∫ 5

1f (x)dx = 12 y

∫ 5

4f (x)dx = 3, encuentren

∫ 4

1f (x)dx.

�

Actividad 11.11 Encuentren∫ 5

0f (x)dx siendo f (x) =

{3 si x < 3x si x ≥ 3

�

Figura 11.28: Gráfica de la fun-ción f .

Actividad 11.12 Consideren f la función cuya gráfica se presenta en al Figura 11.28.Ordenen las siguientes cantidades de menor a mayor.

a)∫ 8

0f (x)dx b)

∫ 3

0f (x)dx c)

∫ 8

3f (x)dx d)

∫ 8

4f (x)dx e) f ′(1)

�

Actividad 11.13 Usando las propiedades de monotonía verifiquen que

2 ≤∫ 1

−1

√1 + x2dx ≤ 2

√2

�

Actividad 11.14 Estimen el valor de la siguiente integral usando la Propiedad c)∫ 2

0

11 + x2 dx

�

11.integrales - unlp

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