114688089-fisica-solucionario-2º-bachillerato-santillana
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8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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Presentación
Además
de esode a las
uesoes básas
del ogama de Físa
aa segudo de bahlleao,
el exo de Sallaa eede
da ua esuesa a los oomeos
eesaos aa suea o éxo
las uebas de selevdad. Es o eso
que as la oaldad de las uesoes
y ejeos seleoados se luye
deo de las uebas de selevdad
de odo el eoo aoal.
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3
Índice
prESEntAción
Tema 1 La ea gavaoa 5
Tema 2 El amo gavaoo 33
Tema 3 El amo eleosáo 73
Tema 4 El amo magéo 129
Tema 5 La dueleomagéa 171
Tema 6 El movmeoamo smle (MAS) 205
Tema 7 El movmeo odulaoo.El sodo 245
Tema 8 La luz y la a 291
Tema 9 La físa uáa 335
Tema 10
relavdad. Físa ulea 369
Anexos Ssema edode los elemeos 404
tabla de osaes físasy químas 406
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programación de aula
1 La interacción gravitatoria
• Estudiodelmovimientode loscuerposcelestes.Mode losqueloexplican.
• ComprensióncinemáticadelmovimientodeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.LeyesdeKepler.
• LadinámicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.LeydeNewtondelagravitaciónuniversal.
• Lainteraccióngravitatoriacomointeracciónadistancia.
• Lainteraccióngravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.Relaciónconlafuerzapeso.
• Distinciónentrepesoymasa.
• Interaccióngravitatoriadeunconjuntodemasas.Principiodesuperposición.
• Consecuenciasdelainteraccióngravitatoria.Explicacióndelasmareas.
Conceptos
CONTENIDOS
• Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitud
muydiferente.
• Utilizarconsolturaherramientasdecálculocomolascalculadorasolashojasdecálculo.
• Relacionardatosymodelosmatemáticosconfenómenosobservados(interpretacióndelcalendario,lasmareas,duracióndelañoendistintosplanetas,etc.).
• Adquirirsolturaenlarepresentacióngráficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimbólico.
• Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.
Procedimientos,destrezasy habilidades
1. Educación cívica
Comosucedióenelmomentohistóricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientíficoqueseopongaalaideologíaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Seráinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientíficofrentealpoderestablecido.
Puestoqueeldebatesoloseráfructíferosihayposibilidaddeofrecerdiversasposiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolparasusmiembros.
Sesugierenalgunosposiblestítulosparaeldebate:
•¿Puedenloscientíficosestablecerteoríasqueseoponganala«leynatural»?
•¿Puedenloscientíficosinvestigarsobrecualquiercosa?
•Eltrabajocientífico¿puededestruirlasociedad?
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocéntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeométricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocéntrico.
2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposiciónylavelocidaddeloscuerposcelestes.
3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcaráctercentraldelafuerza
responsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusórbitasseanestablesyplanas.
4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitaciónuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacercálculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.
5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.
6. Utilizarelcálculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.
7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccióngravitatoria.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.
• Respetareltrabajocientíficoysuindependenciafrenteaideologías.
• Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidosporprocedimientoscientíficosylavulnerabilidaddelasteoríasquelosinterpretan.
Actitudes• Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.
• Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.
• Estudiarelmodelogeocéntrico.Analizarsujustificaciónideológicaylaevolucióngeométricaquerequirióparaexplicarlosdatos.
• Estudiarelmodeloheliocéntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideológicosquesuscita.
• ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.
• EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.
• Comprenderelalcancedelaleydelagravitaciónuniversal.Manejarlaenelámbitocelesteyenelterrestre.
• Utilizarlaformulaciónvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteracciónentreunconjuntodemasaspuntuales.
• Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenómenosobservables,comoeldistintopesodeunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracióndelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.
OBJETIVOS
5
La interaccióngravitatoria1
•SeiniciaestecursodeFísicaabordandoelestudiodelmovimiento
deloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvan
atratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaes
muydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicando
lasleyesfísicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiráacercase
alacomprensióndeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.
•Losdiseñoscurricularesestablecidosenlosúltimostiemposbuscanquelosalumnosalcancencompetenciatecnológica,especialmente
enelmanejoderecursosinformáticos.Eltratamientodelosdatos
queseempleanenestetemaproporcionaráocasiónparautilizar
hojasdecálculoyrepresentacionesgráficasquefacilitarán
lacomprensióndelosproblemasanalizados.
PRESENTACIÓN
4
Introducción
8
1 La interacción gravitatoria
9
Solucionario
1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo
en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra
la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte
el periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.
De acuerdo con la segunda ley de Kepler, la Tierra
gira alrededor del Sol con velocidad areolar constante.
Esto determina que su velocidad lineal es mayor en el perihelioque en el afelio. El hemisferio norte de la Tierra está en posición
opuesta al Sol cuando se mueve en la zona del perihelio, época
de las estaciones otoño-invierno. Este es el motivo por el que el periodo
otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.
2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol.
Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.
(C. Valenciana. Septiembre, 2003)
De acuerdo con la tercera ley de Kepler:
T
r
2
3= cte.
Por tanto,T
r
T
T
.2
3=
T
r
M
M
cte.2
3=
Además, sabemos que r r M T= 1468, ⋅ . Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1468
14
= =→ →
→
( , )
,
⋅
6681 468 1 468 1 78
3
2 2 3 2 3= = = =T T T T T T T M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT
Por lo tanto hay 1,78 años terrestres en cada año marciano.
3. El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor
que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces supera
la distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol
a la distancia entre la Tierra y el Sol.
De acuerdo con la tercera ley de Kepler:T
r
2
3= cte.
Por tanto,T
r
T
T
.2
3=
T
r
J
J
cte.2
3=
Además, sabemos queT T J T= 12 ⋅ . Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
r r
J
J
T
T
T
J
T
T
J
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
12
12 1
= =
=
→ →
→
( )⋅
TT
J T J T T3
3 2 3 2312 12 5 24→ →r r r r r = = =⋅ ⋅ ⋅,
Por lo tanto, la distancia de Júpiter al Sol es 5,24 veces mayor
que la distancia de la Tierra al Sol.
4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.
En el perihelio se encuentra a 8,75⋅
107
km del Sol, y en el afelio,a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad
del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.
(C. Madrid. Junio, 1999)
El momento angular se conserva:
L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio
afelio perkm
⋅
⋅ ⋅
r
v v
→
→ 5 2 6 1 09, = iihelio
perihelio afelio
km⋅ ⋅8 7 5 1 0
5 26
7,
,
→
→ v v = ⋅⋅⋅
⋅
10
8 7 5 1 06011
9
7,,= ⋅ v afelio
Por lo tanto, la velocidad en el perihelio es 60,11 veces mayor
que la velocidad en el afelio.
5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad
en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s.
Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA,
determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada
una de esas posiciones.
Dato: 1 UA = 1,496 ⋅ 1011 m.
De nuevo se conserva el momento angular:
L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio
afelio pem/s
⋅
⋅ ⋅
r
r r
→
→ 3 4 8 1 04, = rrihelio m/s⋅ ⋅3 53 1 04,
Además, sabemos que:
r r
r
a fel io p er ihe l io
af
UA m+ = =1 446 216 32 109, , ⋅ →
→ eelio periheliom= −2 16 3 2 1 09, ⋅ r
23,5°23,5°
SolAfelio
(verano en
el hemisferio
norte)Perihelio
(invierno en
el hemisferio
norte)
(El dibujo no está a escala.)
E ualque exo de Físa los ejeos y las uesoes os-uye ua ae fudameal del oedo del lbo. E uesomaeal, las avdades aaee aguadas e dos seoes:
• Junto a la teoría, a pie de página.
• Al final de cada tema.
E ese lbo se esea, aa ada uo de los emas del lbo de
exo:• La Programación de aula (objevos, oedos y eos de
evalua).
• La Resolución de todos los ejercicios ludos e el lbo delalumo.
Además de ese lbo,al ofeso se le ofeeomo maeal de aoyo
u CD o uebasde aeso
a la Uvesdadesuelas.
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La interaccióngravitatoria1
• SeiniciaestecursodeFísicaabordandoelestudiodelmovimiento
deloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvan
atratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaesmuydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicando
lasleyesfísicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiráacercase
alacomprensióndeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.
• Losdiseñoscurricularesestablecidosenlosúltimostiemposbuscan
quelosalumnosalcancencompetenciatecnológica,especialmente
enelmanejoderecursosinformáticos.Eltratamientodelosdatos
queseempleanenestetemaproporcionaráocasiónparautilizar
hojasdecálculoyrepresentacionesgráficasquefacilitarán
lacomprensióndelosproblemasanalizados.
PRESENTACIÓN
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1 La interacción gravitatoria
• Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican.
• ComprensióncinemáticadelmovimientodeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.LeyesdeKepler.
• LadinámicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.
LeydeNewtondelagravitaciónuniversal.• Lainteraccióngravitatoriacomointeracciónadistancia.
• Lainteraccióngravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.Relaciónconlafuerzapeso.
• Distinciónentrepesoymasa.
• Interaccióngravitatoriadeunconjuntodemasas.Principiodesuperposición.
• Consecuenciasdelainteraccióngravitatoria.Explicacióndelasmareas.
Conceptos
CONTENIDOS
• Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.
• Utilizarconsolturaherramientasdecálculocomolascalculadorasolashojasdecálculo.
• Relacionardatosymodelosmatemáticosconfenómenosobservados(interpretacióndelcalendario,lasmareas,duracióndelañoendistintosplanetas,etc.).
• Adquirirsolturaenlarepresentacióngráficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimbólico.
• Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.
• Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.
• Estudiarelmodelogeocéntrico.Analizarsujustificaciónideológicaylaevolucióngeométricaquerequirióparaexplicarlosdatos.
• Estudiarelmodeloheliocéntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideológicosquesuscita.
• ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.
• EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.
• Comprenderelalcancedelaleydelagravitaciónuniversal.
Manejarlaenelámbitocelesteyenelterrestre.
• Utilizarlaformulaciónvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteracciónentreunconjuntodemasaspuntuales.
• Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenómenosobservables,comoeldistintopeso
deunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracióndelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.
OBJETIVOS
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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programación de aula
1. Educación cívica
Comosucedióenelmomentohistóricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientíficoqueseopongaalaideologíaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Seráinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientíficofrentealpoderestablecido.
Puestoqueeldebatesoloseráfructíferosihayposibilidaddeofrecerdiversas
posiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolpara
susmiembros.
Sesugierenalgunosposiblestítulosparaeldebate:
• ¿Puedenloscientíficosestablecerteoríasqueseoponganala«leynatural»?
• ¿Puedenloscientíficosinvestigarsobrecualquiercosa?
• Eltrabajocientífico¿puededestruirlasociedad?
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocéntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeométricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocéntrico.
2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposiciónylavelocidaddeloscuerposcelestes.
3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcaráctercentraldelafuerzaresponsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusórbitasseanestablesyplanas.
4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitaciónuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacercálculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.
5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.
6. Utilizarelcálculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.
7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccióngravitatoria.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.
• Respetareltrabajocientíficoysuindependenciafrenteaideologías.
• Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidosporprocedimientoscientíficosylavulnerabilidaddelasteoríasquelosinterpretan.
Actitudes
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8
1 La interacción gravitatoria
1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujoen qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentrala Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norteel periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.
DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierra
giraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.
Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelio
queenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestáenposición
opuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,épocadelasestacionesotoño-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodo
otoño-inviernoduraseisdíasmenosqueeldeprimavera-verano.
2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol.Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.
(C. Valenciana. Septiembre, 2003)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
T
r
2
3= cte.
Portanto,T
r
T
T
2
3=
T
r
M
M
cte.2
3=
Además,sabemosquer r M T= 1 468, ⋅ .Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 468
1 4
= =→ →
→
( , )
,
⋅
6681 468 1 468 1 78
3
2 2 3 2 3= = = =T T T T T T T M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT
Porlotantohay1,78añosterrestresencadaañomarciano.
3. El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayorque el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces superala distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sola la distancia entre la Tierra y el Sol.
23,5°23,5°
SolAfelio(veranoen
elhemisferio
norte)Perihelio
(inviernoen
elhemisferio
norte)
(El dibujo no está a escala.)
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Solucionario
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:T r
2
3= cte.
Portanto,T
r
T
T
2
3=
T
r
J
J
cte.2
3=
Además,sabemosqueT T J T= 12 ⋅ .Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
r r
J
J
T
T
T
J
T
T
J
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
12
12 1
= =
=
→ →
→
( )⋅
TT
J T J T T3
3 2 3 2312 12 5 24→ →r r r r r = = =⋅ ⋅ ⋅,
Porlotanto,ladistanciadeJúpiteralSoles5,24vecesmayor
queladistanciadelaTierraalSol.
4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio,a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad
del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)
Elmomentoangularseconserva:
L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio
afelio perkm
⋅
⋅ ⋅
r
v v
→
→ 5 26 109, = iihelio
perihelio afelio
km⋅ ⋅8 75 10
5 26
7,
,
→
→ v v = ⋅⋅⋅
⋅
10
8 75 1060 11
9
7,,= ⋅ v afelio
Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayor
quelavelocidadenelafelio.
5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidaden el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s.Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA,determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cadauna de esas posiciones.
Dato: 1 UA=
1,496⋅
10
11
m.Denuevoseconservaelmomentoangular:
L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio
afelio pem/ s
⋅
⋅ ⋅
r
r r
→
→ 3 48 104, = rrihelio m/ s⋅ ⋅3 53 104,
Además,sabemosque:
r r
r
afelio perihelio
af
UA m+ = =1 446 216 32 109, , ⋅ →
→ eelio periheliom= −216 32 109, ⋅ r
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1 La interacción gravitatoria
Sustituyendo:
( , ) ,216 32 10 3 48 109 4⋅ ⋅ ⋅m m/sperihelio perih− =r r eelio
perihelio
m/ s
m
⋅ ⋅
⋅ ⋅
3 53 10
216 32 10 3
4
9
,
,
→
→ r =,,
, ,,
48 10
3 48 10 3 53 10107 38 1
4
4 4
⋅
⋅ ⋅
⋅m/s
m/s m/ s+
= 009 m
Entonces:
r perihelio m m= − =216 32 10 107 38 10 108 94 19 9, , ,⋅ ⋅ ⋅ 009 m
6. Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria
tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?
UnaconclusióndelasegundaleydeKepleresqueelmomento
angulardelosplanetasesconstante:
L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio⋅ r
Silaórbitaeselíptica,suvelocidadlinealserámáximaenelperihelio,
yaqueahíladistanciaalcentrodegiro(r perihelio)esmenor.
Silaórbitafueracircular,suvelocidadlinealserálamismaentodalaórbita.
7. Un cuerpo de masa m 1 está separado una distancia d de otrocuerpo de masa m 2 y entre ellos existe una fuerza de atracción WF .Calcula el valor de la fuerza si:
a) m 1 duplica su masa.
b) m 1 reduce su masa a la mitad.
c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reducea la mitad.
d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.
a) Sim m ' 1 12= ⋅ :
F G m m
d F G
m m
d
F G m m
d
' '
'
'
= =
=
⋅⋅
⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
1 2
2
1 2
2
1 2
2
2
→ →
→22
2→ F F ' = ⋅
Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.
b) Sim m ' 1 1
1
2= ⋅ :
F G m m
d F G
m m
d
F G m m
' '
'
'
= =
=
⋅⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
1 2
2
1 2
2
1
1
2
1
2
→ →
→22
2
1
2d F F → ' = ⋅
Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellos
tambiénsereducealamitad.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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11
Solucionario
c) Sid d ' =1
2 ⋅ :
F G m m
d
F G m m
d
' ' =
=⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
1 2
2
1 2
21
2
1
4
→ →
→→ →F G m m
d F F ' ' = =4 4
1 2
2⋅ ⋅
⋅⋅
Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerza
secuadruplica.d) Sid d ' = 2 ⋅ :
F G m m
d F G
m m
d
F G m
' '
'
= =
=
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
1 2
2
1 2
2
1
2 4
1
4
( )→ →
→⋅⋅
⋅m
d F F 2
2
1
4→ ' =
Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereduce
alacuartaparte.
8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compróen el supermercado de su calle y que pesaba 250 g.¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte?¿Y si la mide con una balanza de platos?
Conunabalanzadeplatospesaráexactamentelomismo,
yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetiene
sumismamasa.
Conunabalanzaderesortelamedidaseveríaafectadaporlagravedad.
P m g
P m g P
Tierra Tierra
Luna LunaLuna
=
=
⋅
⋅→ == P
g
g Tierra
Luna
Tierra
⋅
9. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna?¿Dónde pesará más?
TendrálamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesará
másenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.
10. La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierray su diámetro es 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficiede este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N?(En realidad, Júpiter es gaseoso y no tiene una superficie sólidacomo la Tierra o Marte.)
P F G M m
R = G = ⋅
⋅2
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12
1 La interacción gravitatoria
EnlaTierraP T=750N.EnJúpiter:
P G M m
R G
M m
R G
M J
J
J
T
T
T= = ⋅
⋅ ⋅
⋅= ⋅ ⋅⋅
⋅2 2 2
318
11
318
11( )
⋅⋅=
= ⋅ = ⋅ =
m
R
P P
( )T
T J750 N 1971 N
2
2 2
318
11
318
11→
11. En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de ladotenemos un cuerpo de 5 kg.
a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kgque se encuentra en el baricentro del triángulo.
b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?
(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianasde un triángulo.)
Elbaricentrodeltriánguloeselpuntoenquesecortansusmedianas;
seencuentraaunadistanciadecadavérticeiguala2h
3.
Paraeltriángulodelproblema:
h h
= − = = =6 33
5 20
3
2 2 5,20 mm
1,73 m→,
2
3
2 5 20
3
⋅=
⋅=
h , m3,47 m
Dibujamoslafuerzaque
cadamasaejercesobre
elcuerpoqueestáenelbaricentro.
Porelprincipio
desuperposición,
lafuerzaresultante
delsistemapuede
obtenersecomo
WF T=WF A+WF B+WF C.
Elmódulodecadaunadelastresfuerzasesidéntico:
F G m m
d i
i2
2
N m
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅−
2
11
26 67 10
5 10
3 47,
, mmN
2= ⋅ −2 77 10 10,
(i =A,B,C.)
6m 6m
C
B
6m
2h
3
h
3
5kg
5kg 5kg
10kg
WF C
WF B
WF A
A α β
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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13
Solucionario
Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzas
enfuncióndesuscomponentescartesianas.DescomponemosWF AyWF Bensuscomponenteshorizontalyvertical:
sen senα β= = =1 73
3 470 5
,
,,
cos,
, cosα β= = =3
3 470 86
• WF A
=−F ⋅cosα⋅Wi −F ⋅senα⋅W j
• WF B=+F ⋅cosβ⋅Wi −F ⋅senβ⋅W j
• WF C=F ⋅W j
WF T=WF A+WF B+WF C→
→ WF T=(−F ⋅cosα⋅Wi −F ⋅senα⋅W j )+ (F ⋅cosβ⋅Wi −F ⋅senβ⋅W j )+ F ⋅W j
Teniendoencuentaquelosángulosαyβsoniguales:
WF T=−2⋅F ⋅senα⋅W j +F ⋅W j =−2⋅F ⋅0,5⋅W j +F ⋅W j =0
Conclusión:WF T=0Nparacualquiermasaquesecoloque
enelbaricentrodeuntriángulo.
12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:
a) Explica por qué un mismo astro aparece unas veces más brillanteque otras.
b) Explica el movimiento retrógrado de Marte.
a) Unastroapareceavecesmásbrillanteporquesudistancia
alaTierravaríaenfuncióndelpuntodelepiciclo
enelqueseencuentrenensudeferente.
A B
C
α α
WF C
WF BxWF Ax
WF ByWF Ay
WF BWF A
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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14
1 La interacción gravitatoria
b) Losplanetasgiranalrededor
delaTierrasiguiendo
unatrayectoriadepequeñas
circunferencias(epiciclos)
cuyocentrodescribeuna
circunferencia(deferente)
concentroenlaTierra.
Durantelamitaddel
epiciclo,elmovimientodel
planetaparecequeavanza
conrespectoalaTierra;
yenlaotramitad,retrocede
conrespectoalaTierra.
13. Utilizando un modelo heliocéntrico, justifica el movimiento retrógradode Marte.
ElmovimientoretrógradodeMarteeslatrayectoria«irregular»
quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobserva
desdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunque
laTierralohaceconmayorrapidez.
LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyección
enlabóvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemos
observareneldibujo,laproyeccióndelasdistintaslíneasvisuales
provocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanza
yretrocede(movimientoretrógrado).
14. Si el Sol está en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor,da una explicación de por qué no se observa paralaje estelar; es decir,por qué no se ve que cambie la posición de una estrella en el firmamentoal cambiar la posición de la Tierra.
Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadas
delaTierra.
Tierra
Deferente
Epiciclo
Tierra
Tierra
Marte
Marte
Sol
Sol
Estrellas
fijasMovimiento
observadodeMarte
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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15
Solucionario
15. En el lenguaje común decimos que el Sol sale por el este y se ponepor el oeste. ¿Qué tipo de modelo de universo estamos empleandocuando hacemos esta afirmación?
Geocéntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencia
laTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelación
aella.
16. Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado alejándose continuamente de un punto que tomamoscomo origen del movimiento y en dirección radial.Su momento angular:
a) Es constante.
b) Es cero.
c) Aumenta indefinidamente.
Porladefinicióndemomentoangular:
W
L
=Wr
×
Wp
=Wr
⋅
m ⋅Wv
⋅senαSilosvectoresdeWr yWv tienenlamismadirecciónysentido,
resultaqueformanunángulode0°,porloquesen0°=0
yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).
17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partícula se acercacontinuamente al origen.
Laúnicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,
enestecaso,losvectoresformanunángulode180°,pero,nuevamente,sen180°=0yelresultadoesnulo,L=0.
18. Una partícula se mueve en un plano con movimiento rectilíneo y uniforme.Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquierade ese plano, va a ser constante.
Elmomentoangularesconstantesinovaríaconeltiempo.
dL
dt
d r p
dt
d r
dt m v r
d m v
dt =
×= × ⋅ + ×
⋅=
( ) ( )( )
( )0
W W W WWW
Elvectorm ⋅Wv esparaleloaWv .Elproductovectoriald r
dt m v × ⋅ =( )
WW
=Wv ×(m ⋅Wv )es0,yaqueelsenodelánguloqueformanes0.
Silapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme:
d m v
dt
dL
dt L
( )⋅= = =0 0→ → cte.
W
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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16
1 La interacción gravitatoria
19. Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales,su momento angular respecto al centro de fuerzas:
a) Aumenta indefinidamente.
b) Es cero.
c) Permanece constante.
Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, d L
dt r F = ×
WW W .
Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccióndelradio.
Silapartículadescribeunmovimientocircularbajolaaccióndeesta
fuerzasecumpliráWr ×
WF =0,porloqueWLnopresentarávariación
respectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).
20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:
a) Se conserva el momento angular y el momento lineal.
b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria.
c) Varía el momento lineal y se conserva el momento angular.
Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccióndefuerzas
centrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.
Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,
porloquesumomentolinealnoseconservará.
RecuérdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueve
convelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelio
serámayorqueenelafelio.
21. Las órbitas de los planetas son planas porque:a) Se mueven con velocidad constante.
b) Se mueven bajo la acción de una fuerza central.
c) Los planetas son restos materiales de una única estrella.
Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,
yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaforma
desuórbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajo
laaccióndeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,
ydeellosederivaquelasórbitassonplanas.
RecuérdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWr yWp ;
paraqueladireccióndeWLnocambie,Wr yWp debendefinirsiempre
elmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescriban
órbitasplanas.
22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidadinstantánea en un punto de la trayectoria por el radio vectorcorrespondiente es constante.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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17
Solucionario
UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetasse
muevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:
WL1=WL2→Wr 1×(m ⋅Wv 1)=Wr 2×(m ⋅Wv 2)
Simplificamosm :
Wr 1×Wv 1=Wr 2×Wv 2= Wcte.
23. Explicar por qué los cometas que orbitan elípticamente alrededordel Sol tienen más velocidad cuando se encuentran cerca que cuandose encuentran lejos del Sol, considerando el carácter de fuerza
central de la fuerza gravitatoria.(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)
Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaley
deKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarreáreasiguales
entiemposiguales.
Poresto,cuandoelcometaestámáscercadelSol,tendráque
recorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismaárea
quelarecorridaenelmismotiempocuandoestáalejadodelSol.
Paraello,debemoversemásrápido.
24. Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que m A = 50m B se muevenalrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular;sus velocidades son v B = 2v A. El radio de la órbita de B será:
a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.
b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.
Sitienenelmismomomentoangular:
LA=LB→m A⋅v A⋅r A=m B⋅v B⋅r B→
→50⋅m B⋅v A⋅r A=m B⋅2⋅v A⋅r B→50⋅r A=2⋅r BPorlotanto,larespuestacorrectaeslad).
25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorioque redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa,¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?:
a) Igual. b) De 2 años. c) De 4 años.
Más
lento
Más
rápido
Afelio
Sol
Perihelio
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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18
1 La interacción gravitatoria
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra
noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiodo
delaTierrapermanececonstanteaunquevaríesutamaño.
Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuenta
laleydegravitaciónuniversal.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:F G=F C.
m v
r G
M m
r T
S T⋅ ⋅
⋅2
2
=
Sabiendoquev r T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
2
2
2
2
2
22 3
π
πT r
r G
M
r T
r
G M
= =
⋅
⋅⋅
⋅
S
S
→( )
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,
sinodelradiodesuórbita.Larespuestacorrectaeslaa).
26. ¿Qué cambio experimentaría el periodo de revolución de la Tierra alrededordel Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra
noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiodo
delaTierrapermanececonstanteaunquevaríesumasa.
Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:F G=F C.
m v
r G
M m
r T
S T⋅ ⋅
⋅2
2=
Sabiendoquev r T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
2
2
2
2
22
2 3
π
πT
r
r G M
r T r
G M
= =
⋅
⋅ ⋅⋅
S
S
→ ( )
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumen
delaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningúncambio.
27. Un objeto que describe órbitas circulares alrededor del Sol irá más rápido:
a) Cuanto mayor sea el radio de la órbita.b) Cuanto menor sea el radio de la órbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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19
Solucionario
T 2
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.
ωπ π
π
π= = =
⋅
⋅
= =2 2
2
2
2 2
2
3
2
T
v
r T
r
v
r
v
r v
r → ; →
( )
( )cte.
⋅⋅ cte.
Porlotanto,lavelocidadyelradiodeórbitavaríandeformainversa:
v serámayorcuantomenorsear .Además,lavelocidadnodepende
delamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).
28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Soles de 1,49 ⋅ 108 km y que la Tierra tarda 365,256 días en dar una vueltacompleta alrededor del Sol.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
(P. Asturias. Junio, 2006)
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol,F G=F C:
m v
r G
M m
r T
S T
⋅ ⋅
⋅2
2=
Sabiendoquev r T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
m T r
r G
M m
r M
T T
S TS⋅
⋅
⋅⋅
2
2
22
2
π
π
= =
→
=
2 3
6
2
31 55810
⋅
⋅
r
G
M
→
→ S
s
π
,
22 11
11 2
1 49 10
6 67 10
1 965 1⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅− −
( ,
,
,m)
N m kg
3
2= 0030 kg
29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particularde órbitas circulares.
b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente,4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta.Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ⋅ 108 m,calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.
G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
(Aragón. Septiembre, 2006)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo
órbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;
esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespecto
alSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.
dA
dt = cte.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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20
1 La interacción gravitatoria
3. Paratodoslosplanetas:T a
k
2
3 = (constante).Dondea es
elsemiejemayordelaelipseyT eselperiododelplaneta.
Demostramosestaleyconlaleydegravitaciónuniversal.
Paraunplanetaquedescribeunaórbitacircular:
F F m v
r G
M m
r G C T
S T= =→ ⋅ ⋅
⋅2
2
Sabiendoquev r T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendo:
22
2
2
π
T r
r G
M
r
⋅
= ⋅ S →r
T G
M 3
2 22= ⋅ =S
( )πcte.
b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambos
satélites:
T r
T r
1
2
13
2
2
23
2
8 35 27 10=
⋅=→
( )
( , )
(4,52 días
m
15,9 ddías
T
)2
3r →
→r T15,9 días m
4,52 días=
⋅ ⋅=
( ) ( , )
( ),
2 8 3
23
5 27 101 222 109⋅ m
ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformado
poresteplanetayunodesussatélites,porejemplo,Rhea.
CuandounsatéliteestáenórbitaalrededordeSaturnoF G=F C:
m v
r G
M m
r R
S R⋅ ⋅
⋅2
2=
Sabiendoquev r T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
2
2
2
2
2
π
πT r
r G
M
r M
T
= =
⋅
⋅ SS→
2 3
⋅r
G
TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresados
enunidadesSI:
M T
r
G S
R
R
s
=
=
=
2
2
390 528 10
2 3
3
π
π
⋅
⋅,
2 8
11 2
5 27 10
6 67 10⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅− −
( ,
,
m)
N m kg
3
22
S kg
→
→ M = 568 015 1024, ⋅
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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21
Solucionario
30. Júpiter es un planeta que está rodeado de una serie de lunas que giranen torno a él de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol.Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Júpiter.
Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo (días)
Í 421,6 1,769
e 3,551
gs 1070
cst 1882 16,689
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatélitesquegiran
alrededordeunmismoplanetaverifican:T
r
2
3= cte.
Portanto,T
r
I
I
2
3=
T
r
E
E
2
3=
T
r
G
G
cte.2
3=
Igualando:
T
r
T
r r
T
T r E
E
I
I
EE
I
I
2
3
2
3
2
2
33
2
2
3 551
1 7694= = =→ ⋅ ⋅
,
,221 6 670 8933 , ,= →
→ r Europa m= ⋅670 89 106,
YparaGanimedes:
T
r
T
r T
r
r T G
G
I
I
G
G
I
I
2
3
2
3
3
3
23
3
1070
421 61 7= = =→ ⋅ ⋅
,, 669 7 1522
= , →
→ T Gaminedes
7,152 días=
31. El periodo de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días.Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millonesde kilómetros, calcular la distancia de Marte al Sol.(Suponer que las órbitas descritas son circunferencias.)
(C. F. Navarra. Junio, 2007)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran
alrededordelSolverifican:
T
r
2
3=
cte.
T
r
M
M
2
3=
T
r
T
T
cte.2
3=
Igualando:
T
r
T
r r
T
T r M
M
T
T
MM
TT
2
3
2
3
2
2
33
2
2
33687
365150= = =→ ⋅ ⋅ ==
=
228 67
228 67 106
,
,
→
→ r M km⋅
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 22/407
22
1 La interacción gravitatoria
32. Europa, satélite de Júpiter descubierto por Galileo en 1610, describeuna órbita completa de 6,71 ⋅ 105 km de radio cada 3 días, 13 horasy 14,6 minutos. Calcula:
a) La velocidad lineal de Europa con relación a Júpiter.
b) La masa de Júpiter.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2.
Obtenemoselperiodoensegundos:
T = +3 24 60 601
13 60días h1 día
min1 h
smin
h min1 h
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅
601
14 660
1306 876 103
smin
mins
mins
+
+ =, ,
a) v r T
r = =
=
ωπ π
⋅ ⋅⋅
2 2
306 876 103, s
⋅ ⋅ =
= ⋅
6 71 10
13 74 10
9
3
,
,
m
m/ s
b) CuandoEuropaestáenórbitaalrededordeJúpiter,F G=F C:
m v
r G
M m
r
M v r
G
EJ E
J
2m/s)
⋅ ⋅⋅
⋅=
⋅ ⋅
2
2
2 313 74 10
=
=
→
→( , 66 71 10
6 67 101 899 10
8
11 2
27,
,,
⋅
⋅ ⋅⋅
−
m
N m /kgkg
2=
33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodoigual a 2,3 ⋅ 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierrade 384 400 km.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2.
CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierraF G=F C:
m v
r G
M m
r L
T L⋅ ⋅
⋅2
2=
Sabiendoquev r T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
2
2
2
2
2
π
πT r
r G
M
r M
T
= =
⋅
⋅ TT→
2 3r
G →
→ M T
3
s
m)=
2
2 3 10
388 400 10
66
2 3π
,
(
⋅⋅
⋅
,,,
67 106 35 10
11 2
24
⋅ ⋅ ⋅⋅
− −N m kgkg
2=
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 23/407
23
Solucionario
34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 R T. Calcula:a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.
b) El periodo de rotación en días.
Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; R T = 6,37 ⋅ 106 m.
a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,F G=F C:
m v
r G
M m
r v G
M
r L
T L T⋅ = ⋅⋅
= ⋅2
2
2→ [1]
EnlasuperficiedelaTierra:
g G M
R g R G M = ⋅ ⋅ = ⋅T
T
T T2
2→ [2]
Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelaciónr =60 ⋅ R T:
v G M
r
g R
R
g R
v
22
60 60
9 86 6 37
= ⋅ =⋅
⋅=
⋅
=⋅
T T
T
T
2m/s
→
→, , ⋅⋅
= ⋅10
60
1 023 106
3mm/s,
b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:
v r T
R = ⋅ = ⋅ωπ2
60 T →
→ T v
R = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
⋅=
260
2 60 6 37 10
1 023 102 3
6
3
π πT
m
m/s
,
,, 55 106⋅ s →
→ T = ⋅ ⋅ ⋅ =2 35 106, s1 h
3600 s
1 días
24 h
27,17 días
35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcionala su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:
a) De mayor masa.
b) De menor masa.
c) Todos igual de rápido.
F G M m r
g m GT= ⋅ ⋅ = ⋅
2
Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminada
porlaaceleraciónquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolo
dependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistancia
quelosseparadelcentrodeesecuerpo.
Comoseapreciaenlafórmula,enausenciaderozamientotodos
loscuerposcaenconlamismaaceleración;portanto,conlamisma
rapidez.Larespuestacorrectaeslac).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 24/407
24
1 La interacción gravitatoria
36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos.La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpoy en el otro pesas por valor de 15,38 g.
a) Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamosque colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?
b) ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte?
Datos: g T = 9,8 m ⋅ s−2; g L =1,7 m ⋅ s−2.
Conunabalanzadeplatoshabráquecolocarlamismacantidaddepesas.
Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveríaafectadaporlagravedad.
P m g
P m g
P
Tierra Tierra
Luna Luna
Lun
=
=
⋅
⋅→
→aa Tierra
Luna
Tierra
Tierra= =P g
g P ⋅ ⋅
1 7
9 8
,
,
m/s
m/ss= P Tierra ⋅ 0 173,
37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra.
¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…a) … si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?
b) … si el radio de la Tierra se reduce a la mitad?
c) … si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad?
Dato: g 0 = 9,8 m ⋅ s−2.
P =F G=m ⋅ g .
a) EnlaTierra:
g G M
R g P = = = =⋅ = ⋅ ⋅ −T
T
2 2m/ s kg 9,8 m s N20 9 8 70 686, →
b) SiM M
' TT=
2:
g G
M
R
g
P m g m
g P
'
' '
=
= =
⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
T
T
N
N
2
2
2 2
686
2 343
2→
→
c) SiR R
' TT=
2:
g G M
R
G M
R g
P m
'
'
=
⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅
T
T
T
T
2 4
42 2
→
→ g g m g P ' = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 4 4 686 2744= = =N N
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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25
Solucionario
d) SiM M
R R
' ' T T T Ty= =2 2
:
g G
M
R
G
M
R g
P
'
'
=
⋅ = ⋅ = ⋅
=
T
T
T
T
2
2
2
4
22 2
→
→ m m g m g P ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅' 2 2 2 686 1372= = =N N
38. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípetaa que está sometido en la superficie de la Tierra?
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; R T = 6370 km;M T = 5,98 ⋅ 1024 kg.
ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.Utilizamos
unidadesdelSI:
P F G
M m
r = = ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
−
G
T
2
1124
66 67 1
0
5 98 10
6 37 10,
,
( , )) ,29 83
⋅ = ⋅m m [1]
Paracalcularlafuerzacentrípetatenemosencuentaqueelcuerpo
queestáenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotación
idénticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1día.Utilizamos
unidadesdelSI:
F m v
r m
r
r m
T r C = ⋅ = ⋅
⋅= ⋅ ⋅
2 2 2 2
2
2ω π( )→
→ F m m C = ⋅⋅
⋅ ⋅ = ⋅( )( )
,224 3600
6 37 10 0 0342
2
6π , [2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
P
F
m
m C
=⋅
⋅=
9 83
0 034289
,
,
39. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situadoa una distancia de la Tierra equivalente a la distanciaa la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).
Llamamosg 0alvalordelaaceleracióndelagravedadenlasuperficie
delaTierraysuponemosquevale9,8m/s 2.
g G M
R h G
M
R R G
M
R
g
=+
=+
=⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅( ) ( )2 2 260
1
61
T
T T
T
T2→
→ == = = −g 02
22
61
m/ s
3721m/ s
9 82 63 10 3,
, ⋅
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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26
1 La interacción gravitatoria
40. La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días.Calcula:a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna
atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 vecesla de la Tierra.
c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m,¿con qué velocidad llegará al suelo?
d) ¿Con qué velocidad llegará al suelo si se deja caer desde una altura
de 10 m de la Tierra?Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M T = 5,98 ⋅ 1024 kg;R T = 4R L; R T = 6370 km.
a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,F G=F C:
m v
r G
M m
r L
T L⋅ ⋅
⋅2
2=
Sabiendoquev r
T
r = =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendo(unidadesSI)
ydespejando:
2
2
2
2
2
π
π
T r
r G
M
r r G M
T
= =⋅
⋅ ⋅ ⋅L
L
T
L
L TL
→
2
3→
→ r L
2=
−6 67 10 5 98 10
27 3 24 60 6011 24, ,,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
π
=
=
2
3
6383 06 10, ⋅ m
b) Enestecaso:
F G M m
r G
M M
r T
T L
L
TT
L
N
= =
−
⋅⋅
⋅
⋅
=
= ⋅ ⋅
2 2
11
81
1
816 67 10, ⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅m kg
( kg)
( m)
2 22
2
− =5 98 10
383 06 10200
24
6
,
,,668 1018⋅ N
LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentido
contrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.c) Elcuerpoquecaetendráunmovimientouniformementeacelerado.
Vendrádeterminadoporlasecuaciones:
v v at y y v t a t = + = + ⋅ + ⋅0 0 021
2;
Suponemosquev 0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestá
enelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.
Laaceleraciónseráencadacasoladelagravedad;utilizando
unsistemadereferenciacartesiano,tendrásignonegativo.
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27
Solucionario
TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mserá:
g G m
R h L
L
L
=+
= −⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅( ),
,
211
24
6 67 10
5 98 10
81
6370 100 10
4
1 943 2+
= , m/ s2
y g t t
t
= − − = − ⋅
=⋅
1
210
1
21 94
10 2
1 9
2 2L
2m m/ s
m
⋅ ⋅→ →
→
,
, 44 m / s2 = 3,21 s
Portanto:
v g t t v L L L= − = − ⋅ = − ⋅ = −⋅ 1 94 1 94 3 21, , ,m/s m/s s 6,22→ 33 m/s
Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.
d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.
Calculamoselvalordeg enesepunto;comoantes,esmuysimilar
alvalorenlasuperficie:
g G M
R h T =
+= −⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
T
T( ),
,
(2
1124
6 67 105 98 10
6370 1033 2109 83
+=
), m/s2
y g t t
t
= − − = − ⋅
=⋅
1
210
1
29 83
10 2
9 8
2 2T
2m m/ s
m
⋅ ⋅→ →
→
,
, 33 m/s2= 1,43 s
Portanto:
v g t T T2m/s s= − = − ⋅ = −⋅ 9 83 1 43, , 14,06 m/s
Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.
41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planetacon una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igualtamaño, ¿cuál será su peso? Dato: g T = 9,8 m ⋅ s−2.
P =F G=m ⋅ g .EnlaTierra:
g G M
R T
T
T
2m/ s= =⋅2
9 8,
Enelplaneta(M P=M T /10; R P=R T):
g G M
R G
M
R G
M
R g P
P
P
T
T
T
T
T10
= = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2 2
1
10
1
10
1
10⋅⋅
⋅ ⋅
9 8
0 98 10 0 98 9 8
,
, , ,
m/s
m/s kg m/s
2
2 2
=
= = = =→ P m g NN
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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28
1 La interacción gravitatoria
42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslaciónde un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier puntode la órbita.
b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedaden la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficiede la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venusla constante de gravitación universal, G , el valor obtenido sería el 90%del medido en la Tierra».
(Andalucía, 2007)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo
órbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;
esdecir,elvectordeposicióndecadaplaneta
conrespectoalSol(elradiovector)barreáreasiguales
entiemposiguales.
dA
dt
= cte.
3. Paratodoslosplanetas:T
a k
2
3= (constante).
Dondea eselsemiejemayordelaelipseyT eselperiodo
delplaneta.
ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetas
debenmoversemásrápidoalestarmáscercadelSol
(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplica
unalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestémásalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.
b) LaconstanteG esuniversal,porloquenovaríaentrelaTierra
yVenus;loquevaríaeselvalordelaaceleracióndelagravedad,g ,
encadacaso:
g G M
R g G
M
R Venus
Venus
Venus
TierraTierra
Ti
= ⋅ = ⋅2
;
eerra2
Más
lento
Más
rápidoSol
Afelio Perihelio
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29
Solucionario
43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio dobledel de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra.¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayoro menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor,¿en qué proporción?
Conunrazonamientoidénticoaldelejercicioanteriordemostraremos
queg enEgabbacseráeldoblequeenlaTierra.SiR P=2R T:
d m
V
d M
R
d M
R
M M = =
⋅
= =
⋅
=→ →PP
T
TT
T
P T
43
2 43
8
3 3π π( )
g G M
R g G
M
R G
M
R g T
T
T
PP
P
T
T
T= = ⋅ = ⋅ =⋅2 2 2
8
22→
( )
ComoP =F G=m ⋅ g ,resultaqueelpeso(2m ⋅g T)seráeldoble
queenlaTierra.
44. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces
la de la Tierra su diámetro, 10 veces mayor que el terrestre,y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.
a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.
b) Calcule el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta completaalrededor del Sol, expresado en años terrestres.
Datos: g = 10 m ⋅ s−2; radio orbital terrestre = 1,5 ⋅ 1011 m.
(Andalucía, 2007)
a) P F m g g G M
R = = =G
J
J
y⋅ ⋅J2
.
Si M M R R g G M
R g J T J T
T
T
Ty= = = =300 10300
103
2⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅→ J( )
→→
→ P m g = ⋅ = =J 75 kg 3 10 m / s 2250 N⋅ ⋅
b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira
alrededordelSolverifica:T
r
2
3
= cte.
Portanto,T
r
T
T
2
3=
T
r
J
J
cte.2
3= Además,r J=5 ⋅ r T.Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T T T J
J
T
T
J
T
T
T
JT
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
5 5=
⋅
= =→ → →
( )JJ T
J T T
2 3 2
3
5
5 11 18
= ⋅
= ⋅ =
T
T T T
→
→ , ⋅
Portanto,elperiododeJúpiteresde11,18añosterrestres.
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30
1 La interacción gravitatoria
45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeñamasa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vérticesde un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:
a) A y B se acercarán uno al otro más rápidamente.
b) C y X se acercarán uno al otro más rápidamente.
c) Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.
Larapidezconlaqueuncuerpo
seacercaaotrodependedesuaceleración.
Talycomoestánanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamos
elacercamientodecadaparejademasas
conindependenciadelapresencia
delaotrapareja.
LafuerzaconqueseatraenlasmasasA
yBes:
F G M M
d
G = ⋅
⋅
2
M :masadeA,B,C.
m :masadeX.
Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:
F M a G M
d a a G A B= ⋅ = =⋅ →
2
LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:
F G M m
d G = ⋅
⋅
2
LaaceleracióndeloscuerposCyXesdistinta:
F m a G M m
d m a G
M
d a
F M a G M
GX X X X
GC C
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
→ →
→
2 2
m m
d M a G
m
d a
2 2= ⋅ =⋅ C C→
ElcuerpoCsemueveconmenoraceleraciónquecualquiera
delosotrostres;portanto,laparejaA,Bseacercaunoalotro
conmásrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoverá
haciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;
C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.
46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 ⋅ 108 m,¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que seaigualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas?
Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.
(P. Asturias. Septiembre, 1999)
B
A
C
X
d d
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31
Solucionario
Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquiera
severáatraídoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrario
alaqueejercelaLunasobreél.
Porladefinicióndefuerzagravitatoria:
F G M m
d F G M m
d GT
TGL
L= ⋅
⋅
= ⋅
⋅
12
22;
YqueremosqueF GT=F GL:
G M m
d G
M m
d
M
d
M
d ⋅
⋅⋅
⋅=
T L T L
12
22
12
22
= → [1]
Ademássabemosqued d d d 1 28
18
23 84 10 3 84 10+ = = −, ,⋅ ⋅m m→
yM M 0 012= , ⋅L T.Retomando[1]:
M
d
M
d d
T T
( , )
,, ( ,
3 84 10
0 0120 012 3 8
82
222 2
2
⋅
=⋅
⋅
−
=→ 44 1082
2⋅ − d )
Desarrollandolaecuaciónde2.°gradoydescartandoelresultado
negativo,resulta:
d
d
26
18 6
37 906 10
3 84 10 37 906 10 346
=
= − =
,
, ,
⋅
⋅ ⋅
m
y m m ,,094 106⋅ m
Ylasoluciónesindependientedelamasadelcuerpo.
47. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocadodos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza queejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la alturadel rectángulo es de 3 m.
LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,
respectivamente.WF ACserálafuerzaejercidasobreelcuerpoC
de2kgporelcuerpoA;yWF BC,laejercidaporelcuerpoB.
Tierra Luna
d 2d 1
PWF GT WF GL
2kg
B A
Cα
1kg0,5kg
WF AC
WF BC3m
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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32
1 La interacción gravitatoria
WF ACtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:
F G m m
d AC
A C
AC2
N kg
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅
2
116 67 100 5 2
,,−
337 41 10
2
12
mN
2=
−, ⋅
Enformavectorial:
WF AC= −WF AC⋅W j = −7,41⋅10−12⋅W j N
LadistanciaqueseparalasmasasCyBes:
3 5 5 832 2+ = , m
WF BCtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:
F G m m
d BC
B C
BC2
N kg
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅
2
116 67 101 2
5,
,
−
8833 9 2 10
2
12
mN
2=
−, ⋅
Parapoderhacerlasumadeambasfuerzas,expresamosWF BCdeforma
vectorial.Obtendremossuscomponentesproyectandolafuerzasobre
losejescartesianos:
WF BC= −F BC⋅cosα⋅Wi − F BC⋅senα⋅W j →
→F i j BC = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− −3 92 10
5
5 833 92 10
3
5 83
12 12,,
,,
N ==
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −3 36 10 2 02 1012 12, ,i j N
W W W
WW
Porsuperposición:WF T=WF AC+WF BC.
F j i T = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅− − −( , ) ( , ,7 41 10 3 36 10 2 02 1012 12 122
12 123 36 10 9 43 10
⋅
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −
j
F i j
N) →
→ T N, ,
W
W W W
W W W
Elmóduloserá:
F T N= − ⋅ + − ⋅ = ⋅− − −( , ) ( , )3 36 10 9 43 10 1 1012 2 12 2 11
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33
El campogravitatorio2
• TrasestudiarlaleydelagravitaciónuniversalpropuestaporNewton,
enestetemanosproponemosestudiarlainteraccióngravitatoria
comounaperturbaciónquemodificalaspropiedadesdelmedioenelqueseencuentranloscuerposporelhechodetenermasa.
Utilizaremoselconceptodecampoparadescribirlaperturbación
cuyovalorencadapuntonospermitirápredecirlainteracciónquesufrirá
uncuerpodeterminadoquesecoloqueenesepunto.Tantoelestudio
delcampocomoeldelainteracciónseharádeformadinámica
yenergética.
• Lasegundapartedeltemasededicaaprofundizarenelconceptode
campogravitatorioterrestreyensusimplicacionesenelmovimiento
delossatélitesartificiales;dispositivostecnológicoscadavezmás
utilizadospararealizarcomunicaciones,hacerpredicciones
meteorológicas,etc.
PRESENTACIÓN
• Reconocerelconceptocampocomounrecursoadecuadoparaestudiar
lainteracciónadistancia.
• Separarconceptualmentelaperturbaciónprovocadaporuncuerpoenelespacioquelerodeadelaacciónquesufreotrocuerpo
quepenetraenelcampo.
• Aprenderamanejarconsolturalafunciónintensidaddecampo
ylafunciónpotencialcomodosfuncionesmatemáticas(laprimera,
vectorial,ylasegunda,escalar)quedefinenlaperturbacióngravitatoria.
• Obtenerunarepresentacióngráficadelcampogravitatorio.
• Comprenderlainteraccióngravitatoriacomounainteracción
conservativa.
• Utilizarelprincipiodesuperposiciónparadeterminarelvalordelcampocreadoporunconjuntodemasaspuntuales.
• IdentificarlaTierracomounadistribucióncontinuademasayabordar
elestudiodelcampogravitatorioquecreaendistintospuntosporencima
ypordebajodesusuperficie.
• Reconocerelcampogravitatorioterrestrecomoelresponsable
delmovimientodelossatélitesartificiales.
• Aplicarlaleydelagravitaciónuniversalyelprincipiofundamental
deladinámicaparaestudiarelmovimientodelossatélitesqueorbitan
laTierra.
OBJETIVOS
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34
2 El campo gravitatorio
• Elcampocomounconceptoparaestudiarlainteracciónqueuncuerpocreaenelespacioquelerodea.
• Definicióndelvectorintensidaddecampogravitatoriocreadoporuncuerpopuntual.Relaciónconlaaceleracióndecaídalibre.
• Relacióndelaintensidadenunpuntodelcampocreadoporuncuerpoconlafuerzagravitatoriaqueejercesobreotrocuerpocolocadoenesepunto.
• Demostracióndequeelcampogravitatorioesuncampoconservativo.
• Definicióndelpotencialenunpuntodelcampoysurelaciónconlaenergíapotencialqueadquiereotrocuerpoquesecolocaendichopunto.
• Relaciónentreeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampocuandouncuerposedesplazadeunpuntoaotroylavariacióndeenergíapotencialeneldesplazamiento.
• Conservacióndelaenergíamecánica.
• Estudiodecamposcreadosporvariasmasaspuntuales.Principiodesuperposición.
• Representacióngráficadelcampo:líneasdecampoysuperficiesequipotenciales.
• EstudiodelcampogravitatorioquecrealaTierra;variaciónenfuncióndelaprofundidad,laaltitudylalatitud.
• ElmovimientodesatélitesentornoalaTierra.Estudiodesuscaracterísticasorbitales,delavelocidadparaquealcanceunaórbitadeterminadaydelavelocidaddeescape.
Conceptos
CONTENIDOS
• Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.
• Llevaracabounesfuerzodeabstracciónparadiferenciarlaperturbaciónqueprovocauncuerpodelainteracciónquesufreunsegundocuerpoporlaperturbacióncreadaporelprimero.
• Valorarlarepresentacióngráficadeunapropiedadpormediodelaslíneasdecampoolassuperficiesequipotenciales.
• Adquirirsolturaenlarepresentacióngráficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimbólico.
• Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.
• Reconocerlasmagnitudesylasrelacionesentreellasqueserequierenparaestudiarelmovimientodesatélites.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Interésporaplicarlosconocimientosteóricosqueaportaestetemaparacomprenderelmovimientodelossatélitesartificiales.
• Comprenderelesfuerzocientíficoytecnológicoquesuponeenviarunanavealespacio.Valorarelesfuerzoquerequieresurecuperación.
Actitudes
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35
programación de aula
Estetemanospermiteabordarlaeducaciónenvaloresbajodiversosaspectos.
1. Educación cívica
LasprimerasaplicacionesdelossatélitesartificialesqueorbitabanlaTierraerandecaráctermilitar.Perohoyendíalamayoríaseempleanentareasdecomunicaciónypredicciónmeteorológica.Sucosteobliga,enocasiones,aquevariospaísesoinstitucionesseunanparaelmantenimientodeunservicio;sirvacomoejemploelsistemaGalileodecomunicacionesqueestántratandodeponerenmarchalospaísesdelaUniónEuropea.
Alhilodeestasideassepuedereflexionarconelalumnadoacercadelcambiosocialquehanprovocadolosavancestecnológicosrelacionadosconlossatélitesartificiales.Tambiénsepuedeanalizarlarelacióncoste-beneficiodeestosserviciosycompararloconelcostequesupondríanotrosbeneficiosquerequierenconurgenciaciertossectoresdelahumanidad.
2. Educación medioambiental
Laactividaddelossatélitesartificialesprovocalaaparicióndebasuraespacial.Sepuedereflexionarconelalumnadosobreestehechoafindeque,desdeunaposiciónmásampliaquelaquerepresentaservecinosdeunbarrio,tomen
posturaytenganunaopiniónformadaacercadeloqueconvienehacerconesabasura.¿Quépuedesignificarlaideadereutilizar,reciclaryrecuperarlabasuraespacial?
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Calcularelcampoyelpotencialgravitatoriosqueunamasapuntualcreaenunpuntodelespaciodeterminado.
2. Hallarelcampoyelpotencialgravitatoriosqueunconjuntodemasaspuntualescreaenunpuntodelespaciodeterminado.
3. Calcularlafuerzaqueactúasobreuncuerpoqueestáenundeterminadopuntodeuncampocreadoporunaomásmasaspuntuales.
4. Averiguareinterpretarelsignodeltrabajoolaenergíaqueserequiereparaqueuncuerposedesplacedeunpuntoaotrodeuncampogravitatorio.
5. Representargráficamenteelcampogravitatoriocreadoporunaomásmasaspuntuales.Reconocerlaspropiedadesdelaslíneasdecampoylassuperficiesequipotenciales.
6. CalculareinterpretarelvalordelaintensidaddelcampogravitatoriocreadoporlaTierraendistintospuntosporencimaypordebajodesusuperficie.
7. RealizarcálculosrelativosalmovimientodelossatélitesartificialesqueorbitanlaTierra.Determinarelpesodelsatélite,elradiodelaórbita,elperiodo,etc.
8. Determinarlaenergíaqueserequiereparaponerunsatéliteenunaórbitaconcreta,paraquepasedeunaórbitaaotraoparaqueescapedelcampogravitatorioterrestre.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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36
2 El campo gravitatorio
1. Dos masas puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones(5, 0) y (−5, 0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertady con velocidad nula en el (0, 10). Calcula:
a) La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones:
• A(0,10).
• B(0,0).
b) La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0, 0).
a) Deacuerdoconelprincipio
fundamentaldeladinámica:
Wa =WF
m
Cuandolafuerzaque
actúasobreuncuerpo
eslagravitatoria,
laaceleracióncoincide
conelvectorintensidad
delcampogravitatorioenelpunto:
Wg = WF G
m
Calculamoselvalordelaintensidaddelcampogravitatorio
enlospuntosAyB.
Porelprincipiodesuperposición:
Wg A=Wg 1A+Wg 2A; Wg B=Wg 1B+Wg 2B
SabemosqueWr 1Aesunvectorconorigenen(5,0)yextremoen(0,10).Portanto:
r i j 1A = − ⋅ + ⋅5 10 →W W W
u r
r
i j 1A
1A
1A
= =− ⋅ + ⋅
+
=5 10
5 102 2→
−− ⋅ + ⋅5 10
1118
i j
,W
WW
W W W W
Queda:
g G M r
u 1A
1A
r 1A= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅−
1
2
11
26 67 10 10
11 185,
,i i j
i
+ ⋅ =
= ⋅ ⋅ − ⋅− −
101118
2 386 10 4 773 1012 12
,
, ,
N/kg
⋅⋅ j N/kg
W WW W
WW
SabemosqueWr 2Aesunvectorconorigenen(−5,0)yextremo
en(0,10).Portanto:
r i j u r
r
i j 2 A 2A
2A
2A
= ⋅ + ⋅ = =⋅ + ⋅
+
=⋅
5 105 10
5 10
5
2 2→
i i j + ⋅10
11 18,W W W W
W
W
W W W W
A(0,10)
B(0,0)
10kg 10kg
M 1(5,0)
Wr 1BWr 2B
Wr 2A Wr 1A
M 2(−5,0)
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37
Solucionario
Queda:
g G M
r u
i 2A
2A
r 2A= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅ ⋅
−2
2
11
2
6 67 10 10
1118
5,
,·
++ ⋅=
= − ⋅ ⋅ − ⋅− −
10
11 18
2 386 10 4 773 1012 12
j
i
,
, ,
N/kg
⋅⋅ j N/kg
W WW W
WW
Finalmente:
g g g i j A 1A 2A N/ k= + = ⋅ − ⋅− −( , · , · )2 386 10 4 773 1012 12 gg
N/kg
+
+ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
= −
− −( , , )
,
2 386 10 4 773 10
9
12 12i j
5546 1012
·−
⋅ j N/kg
WWWWW
W W
W
LoscálculossonanálogosparaB.
SabemosqueWr 1Besunvectorconorigenen(5,0)yextremo
en(0,0).Portanto:
r i u r
r
i i 1B 1B
1B
1B
= − ⋅ = =− ⋅
= −55
5→
W WW W
WW
W
Queda:
g G M r
u i 1B
1B
r1B N/ k= −⋅
= −⋅ ⋅
⋅ −
−
12
11
2
6 67 10 10
5· , ( ) gg
N/kg
=
= ⋅ ⋅−
26 68 10 12, i
W W W
W
SabemosqueWr 2Besunvectorconorigenen(−5,0)yextremo
en(0,0).Portanto:
r i u r
r
i i 2 B 2B
2 B
2B
= ⋅ = =⋅=5
5
5→
W W
W
WW
WW
Queda:
g G M
r u i 2B
2B
r 2B N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅ =
=
−2
2
11
2
6 67 10 10
5
,
−− ⋅ ⋅−
26 68 10 12, i N/kg
W W W
W
Porúltimo:
Wg B=Wg 1B+Wg 2B= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− −
26 68 10 26 68 10 012 12, ,i i W W
b) Siadmitimosquelaúnicainteracciónqueexisteeslagravitatoria,
seconservarálaenergíamecánica.Aplicandoelprincipio
deconservacióndelaenergíamecánicaalospuntosAyB:
E CA+E PA=E CB+E PB
• E E E GM m
r
GM m
r P A P 1A P 2A
1A 2A
= + = −⋅−
⋅=
= −⋅
−
1 2
6 67 10, 111 1110 0 1
11 18
6 67 10 10 0 1
11 18
11
⋅ ⋅−
⋅ ⋅ ⋅=
= −
−,
,
, ,
,
,,93 10 12⋅
−J
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38
2 El campo gravitatorio
• E E E GM m
r
GM m
r P B P 1B P 2B
1B 2B
= + = −⋅
−⋅
=
= −⋅
−
1 2
6 67 10, 111 11
1
10 0 1
5
6 67 10 10 0 1
5
26 68 10
⋅ ⋅−
⋅ ⋅ ⋅=
= − ⋅
−
−
, , ,
, 22J
Portanto,usandounidadesdelSI:
E CA+E PA=E CB+E PB→ 01
2
2+ = ⋅ +E m v E P A B B P B →
→ 0 11 93 101
20 1 26 68 10
1
12 2 12− ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅
=
− −, , ,
,
v
v
B
B
→
→ 772 10 5⋅
− m/s
2. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadasen los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcula:
a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centrode cada lado del cuadrado.
b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centrodel cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
(C. Madrid, 2008)
a) Dadoqueelsistema
esperfectamente
simétrico,
calculamoselcampo
gravitatorioenunodeloslados:
Wg X=Wg A+Wg B+Wg C+Wg D
SabemosqueWr A
esunvectorcon
origenen(0,0)
yextremoen(1,0).
Portanto:
r i u r r
i i A rA A
A
= = = =→ 1
W W WW W
W
W
Tenemos:
g G M
r u i A
A
A
rA N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅ =
= −
−
2
11
2
6 67 10 6
1
4 0
,
, ⋅⋅ ⋅−10 10 i N/kg
W W W
W
SabemosqueWr Besunvectorconorigenen(0,2)yextremo
en(1,0).
2m
2m2m
B(0,2),6kg C(2,2),6kg
X(1,0)A(0,0),6kg D(2,0),6kgWr A
Wr B Wr C
W
g CWg
B
Wg A Wg D
Wr D
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39
Solucionario
Portanto:
r i j u r
r
i j i j B rB
B
B
= − = =−
+
=−
22
1 2
2
52 2→
W W
W W WW W
W
W W
Queda:
W WW W
WW
g G M
r u
i j B
B
B
rB N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅−
=
= −
−
2
116 67 10 6
5
2
5
,
33 58 10 7 16 1011 11, ,⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −i j N/kg
SabemosqueWr Cesunvectorconorigenen(2,2)yextremo
en(1,0).Portanto:
r i j u r
r
i j i j C rC
C
C
= − − = =− −
+
=− −
22
1 2
2
52 2→
W W
W W WW W
W
W W
Queda:
g G M
r u
i j C
C
C
rC N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅− −
=
=
−
2
116 67 10 6
5
2
5
,
33 58 10 7 16 1011 11, , ·⋅ ⋅ + ⋅− −i j N/kg
W WW W
WW
SabemosqueWr Desunvectorconorigenen(2,0)yextremo
en(1,0).Portanto:
r i u r
r
i i D rC
D
D
= − = =−
= −→ 1
WW
W
WWW W
Queda:
g G M
r u i D
D
D
rD N/kg= −⋅
= −⋅ ⋅
⋅ − =
=
−
2
11
2
6 67 10 6
1
4
·,
( )
⋅⋅ ⋅−10 10 i N/kg
W W W
W
Finalmente:
g i i j X = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− − −( ) ( , ,4 10 3 58 10 7 16 1010 11 11 ))
( , , ) ( )
+
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− − −
3 58 10 7 16 10 4 1011 11 10i j i →→
→ g j X N/kg= + ⋅ −1 43 10 10, ·
W W W W
WWW
WW
Deformasimilarsecalcularíaelcampo
enelcentrodelosotroslados.Elresultado
sería:
• g j Y N/kg= − ⋅ ⋅−
1 43 10 10,W W
• g i W N/kg= + ⋅ ⋅−
1 43 10 10,W W
• g i Z N/kg= − ⋅ ⋅−
1 43 10 10,W W
Wg W Wg Z
Wg X
Wg Y
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40
2 El campo gravitatorio
b) Dadoqueelpotencial
esunescalar,calculamos
elvalordelpotencial
enelcentro(puntoX)
comolasuma
delpotencialquecrea
cadaunadelasmasas
queestánenlosvértices:
V V V V V X A B C D= + + +
Tomandoelinfinitocomoorigendepotenciales,
elpotencialenunpuntor
creadoporlamasaM
vienedadoporlaexpresión:
V G M
r = −
⋅
Todoslospuntosestánalamismadistanciadelcentro,quees
lamitaddeladiagonaldelcuadrado:
r =+
=2 2
22
2 2
m →
→ V G M
r A
A
A
J/kg= −⋅
= −⋅ ⋅
= − ⋅
−
−6 67 10 6
22 83 10
1110,
,
ComoV A=V B=V C=V D:
V V X A J/kg J/kg= ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅
− −4 4 2 83 1
0 113
10
10 9
( , ) ,
3. Suponiendo que la Tierra es una esfera maciza deR = 6370 km y M = 6 ⋅ 1024 kg, señala en qué punto del interiorde la Tierra un cuerpo de masa m pesa lo mismo que en lo altodel pico del Teide (3718 m de altura).
Primeramente,obtenemosg paralaalturadelTeide.
ComononosdanG :
g G M
R G M g R 0
20
2=
⋅⋅ = ⋅
T
T
T T→
Así:
g G M
r
G M
R h
g R
R h g
R
R =
⋅=
⋅
+
=⋅
+
= ⋅T T
T
T
T
T
2 2
02
20
2
( ) ( ) ( TT +
=
= ⋅⋅
⋅ +
=
h
g g
)
( )
( ),
2
0
3 2
3 2
6370 10
6370 10 37180→ 99988 0⋅ g
2m
2m2m
B C
A D
Wr A
Wr B Wr C
Wr D
X(0,0)
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41
Solucionario
DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntosinterioresalaTierra
(r <R T):
g g r
R = ⋅0
T
→
→ r R g
g R
g
g = ⋅ = ⋅
⋅= ⋅ ⋅ =
=
T T m0
0
0
30 9988
0 9988 6370 10,
,
66 3623 56 10 6362 366, ,⋅ =m km
Elpuntoseencuentraaunaprofundidadde:6370km−6362,36km=7,64kmdesdelasuperficiedelaTierra
4. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntosde un mismo paralelo terrestre tienen el mismo valor de la gravedadaunque se encuentren a la misma altura»:
a) Verdadero.
b) Falso.
c) Depende de qué paralelo sea.
Larespuestacorrectaeslab)Falso,yaquetodoslospuntos
delmismoparalelotienenlamismalatitud,porloque,siestán
alamismaaltura,tendránelmismovalordegravedad,
yaquenohayvariaciónporlatitud.
5. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntosde un mismo meridiano terrestre tienen el mismo valor de la gravedad,aunque se encuentren a la misma altura»:
a) Verdadero.b) Falso.
c) Depende de qué meridiano sea.
Larespuestacorrectaeslaa)Verdadero,yaqueenunmismo
meridianohayvariacióndelatitudy,porlotanto,existeunavariación
delagravedadasociadaalalatitud.
6. Tras estudiar este apartado, Luisa y Juan deciden emprender
un negocio para hacerse ricos sin grandes esfuerzos; consisteen comprar lingotes de oro en Ecuador y venderlos en Groenlandia.Razona si este negocio puede tener éxito o conviene que piensenen otra alternativa.
Siseutilizanbalanzasquedeterminanelpesodeuncuerpo
porcomparaciónconunaspesasdeterminadas,loslingotes
pesaránlomismoencualquierpunto,yaquelainfluencia
delaatraccióngravitatoriasobreellingotesedadeformaidéntica
enlaspesas.
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42
2 El campo gravitatorio
Siseutilizanbalanzasquemidenlafuerzadeatraccióngravitatoria,
porejemplo,midiendoelestiramientoquesufreunmuelledelque
cuelgaellingote,estepesarámásenelpoloqueenelecuador.
Larazónesque,debidoalmovimientoderotacióndelaTierra,
loscuerposqueestánenelecuadorestánsometidos
aunafuerzacentrífugaqueseoponealagravitatoria
y,enconsecuencia,laatraccióngravitatoriaefectiva
quesufrenloscuerposenelecuadoresmenordelaquetendrían
silaTierranorotase.Lafuerzacentrífugaesdirectamente
proporcionalalradiodelaórbitaquedescribeelcuerpo
ensumovimientoderotaciónconlaTierra,porloqueesnulaenelpolo;enelpololafuerzagravitatoriaefectiva
quesufrenloscuerpos(supeso)coincideconlafuerzadeatracción
gravitatoriaqueejercerealmentelaTierra.
7. Un satélite artificial de 500 kg de masa, que se encuentra en una órbitacircular, da una vuelta a la Tierra en 48 horas.
a) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encuentra?
b) Calcula la aceleración del satélite en su órbita.
c) ¿Cuál será su periodo cuando se encuentre a una altura de la superficieterrestre igual a dos veces el radio de la Tierra?
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M T = 5,97 ⋅ 1024 kg;R T = 6370 km.
(Canarias. Junio, 2005)
a) Paraelsatélitequegiraaunaalturah :
F C=F G→ →G M m
r
m v
r
G M
r
v ⋅⋅
=⋅
⋅ =T s s T
2
22
Comoconocemoseltiempoquetardaendarunavuelta,
ponemosv enfuncióndeT :
v =ω ⋅r ; ωπ
ωπ
= = ⋅ =
⋅ =2 22 2 2
2
2
T v r
T r
GM
r →
T
Elperiodoes:
T = ⋅ ⋅ =48 h60 min
1 h
60 s
1 min
s172 800
Reordenandoydespejandolaexpresiónanterior:
r GM T
=⋅
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
T2
23
11 24 2
4
6 67 10 5 97 10 172 800
4π π
, ,22
3
667 03 10
=
= ⋅, m
Queda:
h r R = − = ⋅ − ⋅ = ⋅T m m m67 03 10 6370 10 60 66 106 3 6, ,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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43
Solucionario
b) Coincideconelvalordelaintensidaddelcampogravitatorio
enelpunto.Tambiénsepodríacalcularcomoa = v 2
r .
g G M
r =
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅=
−T
2
11 24
6 2
6 67 10 5 97 10
67 03 108
, ,
( , ),,86 10 2 2⋅ − m/s
c) Enesaórbitatambiénsecumplirá:
F C=F G→ →G M m
r
m v
r
G M
r
v T s s T⋅
=⋅
=2
22
v =ω ⋅r ; ωπ
ωπ
= = ⋅ =
⋅ =2 22 2 2
2
2
T v r
T r
GM
r →
T
DeaquísededuceelvalordeT (unidadesdelSI):
T r
GM
R h
GM
R
GM =
⋅=
⋅ +=
⋅ ⋅=
=
4 4 4 32 3 2 3 2 3π π π
T
T
T
T
T
( ) ( )
44 3 6370 10
6 67 10 5 97 1026 3
2 3 3
11 24
π ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
−
( )
, ,, 004 10
7 18
3⋅ =
= =
s
7,3 h h min
8. Se desea situar un par de satélites artificiales en una órbitaecuatorial. Se pretende que el primero de ellos sea geoestacionario,mientras que el segundo se situará al doble de distancia del centro
de la Tierra. Calcula:a) La altura a la cual debe orbitar el primero.
b) El periodo de orbitación del segundo.
c) ¿En qué influiría la masa de los satélites?
Datos: R T = 6370 km; M T = 5,96 ⋅ 1024 kg;G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
a) Elsatélitegeoestacionariotendráelmismoperiododerotación
quelaTierra,esdecir,1día.Obtenemoslaalturaalaquedebe
orbitar. Cuandoelsatéliteestáenórbita:
F C=F G→ →G M m
r
m v
r G
M
r v
T s s T⋅=
⋅=
2
22
ConocemoselperiodoT :
v =ω⋅r ; ωπ
ωπ
= = ⋅ =
⋅ =2 22 2 2
2
2
T v r
T r
GM
r →
T
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44
2 El campo gravitatorio
Despejandor podremoscalcularelradiodelaórbita.
r T GM
=⋅2
23
4
T
π [1]
Sustituyendolosdatos:
r =
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 112
2
24sN m
kgkg
444 23 10
2
37
π= ⋅, m
Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:
h =4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m
b) Obtenemoselradiodeórbitadelsegundosatéliteapartirdelradio
obtenidoenelapartadoanterior:
r r 27 7
2 2 4 23 10 8 46 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅, ,m m
Reordenamoslaexpresión[1]paraobtenerelperiodo.
Sustituyendolosdatoscorrespondientesaestecaso:
T r GM
= ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅−
4 4 8 46 106 67 10 5 97
22
3 2 7 3
11π π
T
( , ), , ⋅⋅
= ⋅ =10
2 45 1024
5, s 68 h
c) Lamasadelsatélitenoinfluyenienelperiodonienelradio
delaórbita.Influiríaenlaenergíamecánicadelossistemas
oenladeterminacióndesupesoenunlugardeterminado.
9. Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanosque orbitan la Tierra pasando sobre los polos, con un periodo aproximado
de 5 horas. Calcula:a) La altura a la que orbitan sobre la superficie de la Tierra.
b) La velocidad con que lo hacen.
Datos: R T = 6370 km; M T = 5,96 ⋅ 1024 kg;G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
a) Paraelsatélitequegiraaunaalturah :
F C=F G→G M m
r
m v
r
G M
r
v T s s T⋅
=⋅
=2
22
→
Elperiodoes:
T = ⋅ ⋅ = =5 h60 min
1 h
60 s
1 min18 000 s 5 h
Comoconocemoseltiempoquetardaendarunavuelta,ponemos
v enfuncióndeT :
v =ω ⋅r ; ωπ
ωπ
= = ⋅ =
⋅ =
2 22 2 2
2
2
T v r
T r
GM
r ; T
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45
Solucionario
Reordenandoydespejando:
r GM T
=
⋅
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
T2
23
11 24 2
4
6 67 10 5 97 10 18 000
4
π
π
, ,22
3 614 84 10= ⋅, m →
→ h r R = − = ⋅ − ⋅ = ⋅T m m m14 84 10 6370 10 8 47 106 3 6, ,
b) Paraelsatélitequegiraaunaalturah :
F C=F G→ G M m r
m v r
T s s⋅=
⋅
2
2
→
→ v G M
r =
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
−
T 6 67 10 5 97 10
14 84 105 18
11 24
6
, ,
,, ⋅⋅ 103 m/s
10. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2R T en torno a la Tierra. Calcula:
a) La velocidad orbital.
b) El peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa5000 N (dibuja las fuerzas que actúan sobre el satélite).
Datos: R T = 6370 km; G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2; g 0 = 9,8 m/s2.
a) Paraelsatélitequegiraaunaalturah :
F C=F G→ →G M m
r
m v
r v
G M
r
T s s T⋅
=
⋅
=
⋅
2
2
Además:
g
G M
R G M g R 0 2 0
2
=
⋅
⋅ = ⋅
T
TT T→
Portanto:
v g R
R =
⋅
=
⋅ ⋅
= ⋅0
2 33
2
9 8 6370 10
25 587 10T
T
,, m/s
b) F =m ⋅g .Paralafuerzapeso,enlaTierra: P =mg .
g G M
r
G M
R
g R
R
g
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
T T
T
T
T
2 2
02
2
0
2
4 4
( )
→
→ P m g m g
P
= ⋅ = ⋅ =
= = =
0
4
4
T 5000 N
41250 N
Laúnicafuerzaqueactúaeslafuerza
gravitatoria,esdecir,elpesodelsatélite.
Tierra
WF G
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46
2 El campo gravitatorio
11. Calcula la velocidad con que debe lanzarse un satélite de 500 kg desdela superficie de la Tierra para llevarlo a 2000 km de altura.¿Con qué velocidad debería lanzarse para llevarlo al infinito?
Datos: R T = 6370km y g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.
Admitiendoquelaúnicainteracciónqueactúasobreelsistema
eslagravitatoria,seconservalaenergíamecánica,deforma
quelaenergíamecánicadelsistemaenelpuntodellanzamiento(E M i)
coincideconlaenergíamecánicaenlaórbita(E Mf ).
E E E E E
m v G M m
R
M i M f C i P i M f
s i
s
T
= + =
⋅ −⋅ ⋅
= − ⋅
→ →
→1
2
1
2
2G G M m
r
⋅ ⋅ s→
→1
2
1
2
1 1
2
2v G M
R
G M
r GM
R r i
T T
=⋅
− ⋅⋅
= ⋅ −
Paraqueuncuerpoalcanceunaórbitaaunadeterminadaalturah ,
talque:
r h R = + = ⋅ + ⋅ =T km km 8370 km2000 10 6370 103 3
debelanzarseconunavelocidad:
v GM R r
i
T
= ⋅ −
=
= ⋅ ⋅ −
21 1
2
2 6 67 10 511, · ,997 10
1
6370 10
1
2 8370 10
24
3 3⋅ ⋅
⋅−
⋅ ⋅
==
= ⋅8 8 103, m/s
Paraquealcanceelinfinito(velocidaddeescape),debeserr =`:
v GM R
' i
T
= ⋅ −
=
= ⋅ ⋅ ⋅−
21
0
2 6 67 10 5 911, , 77 10
1
6370 1011 18 1024
3
3⋅ ⋅⋅
= ⋅, m/s
12. Calcula la energía cinética que tendría que tener una persona de 70 kg
para estar dando vueltas alrededor de la Tierra en su superficie sin caer.Calcula cuánta energía sería necesaria para elevarla a una órbita establede 6370 km de altura.
Datos: R T = 6370 km y g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.
Paraelsatélitequegiraaunaalturah porencimadelasuperficie
delaTierra:
F F G M m
r
m v
r v
G M
r
G M
R h C G
T s s T T
T
= ⋅⋅
=⋅
=⋅
=⋅
+→ →
2
2
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47
Solucionario
Además:
g G M
R G M g R 0
20
2= ⋅ ⋅ = ⋅T
T
T T→
ParalasuperficiedelaTierra: r =R T.
v G M
r
g R
R =
⋅=
⋅= ⋅ ⋅ = ⋅T T
T
m/s0
23 3
9 8 6370 10 7 9 10, ,
E m v C J= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1
2
0 5 70 7 9 10 2 18 102 3 2 9, ( , ) ,
Setratadellevaralapersonaaunaórbitaestableder =R T+h =2R T.
Habráquecomunicarleunaenergíaquesealadiferenciaentre
laenergíadelapersonaenlasdosórbitas:
∆E E E G M m
R
G M m
R
G M m R
= − = −⋅ ⋅
+⋅ ⋅
=
= ⋅ ⋅ ⋅ −
M 2 M1T
T
T
T
T
T
2
1 11
2 2 22R
GM m R
R
G M m
R T
TT
T
T
T
= ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
HaciendousodelarelaciónG M g R ⋅ = ⋅T T02:
∆E G M m
R
g R m
R
g R m =
⋅ ⋅=
⋅ ⋅=
⋅ ⋅=T
T
T
T
T
2 2 2
02
0
=⋅ ⋅ ⋅
= ⋅9 8 6370 10
22 34 10
39,
,m/s m 75 kg
J
2
13. Indica si es cierta o no la siguiente expresión:
«Si el valor del campo gravitatorio debido a una masa M 1 en un punto Aes −8 N/kg y el campo en ese mismo punto creado por unamasa M 2 es −4 N/kg, el campo debido a la acción conjuntade las masas M 1 y M 2 en el punto A es −12 N/kg».
Esfalsa,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposición
elcampogravitatoriototalseobtienecomolasumavectorial
deloscamposgravitatoriosdebidosacadamasa.Seríanecesario
conocerdirecciónysentidodeambosparapoderrealizarelcálculo.
14. Indica si es cierta o no la siguiente expresión:
«Si el valor del potencial gravitatorio debido a una masa M 1 en un punto A es −8 J/kg y el potencial en ese mismo punto creadopor una masa M 2 es −4 J/kg, el potencial debido a la acción conjuntade las masas M 1 y M 2 en el punto A es −12 J/kg».
Esverdadera,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposición,como
elpotencialgravitatorioesunafunciónescalar,eltotalseobtienecomo
lasumaescalardelospotencialesgravitatorioscreadosporcadamasa.
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48
2 El campo gravitatorio
15. Dadas dos masas M 1 y M 2:a) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el campo gravitatorio
provocado por esas dos masas sea cero?
b) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el potencial gravitatorioprovocado por esas dos masas sea cero?
a) Existeunpuntodelespacioenelqueelcampogravitatorio
provocadoporambasmasasseanula,yseencuentrasobre
lalíneaqueuneambasmasas,yaquealsersudirecciónlamisma
ysentidosopuestos,seanularáenelpuntoenquesumódulo
seiguale.
b) Noexisteningúnpuntodelcampoenelqueelpotencial
gravitatorioseanule,yaqueesunafunciónescalarcuyosigno
essiemprenegativo.Soloenlaszonasdelespaciodonde
noseaprecieelefectodeesecampo(enr =`)sepuededecir
queelpotencialescero.
16. Razona cuál de las siguientes respuestas es correcta: dadas dos masas
puntuales iguales, el campo y el potencial en el punto medio de la líneaque une ambas masas es:
a) g = 0; V < 0. d) g Þ 0; V < 0.
b) g = 0; V = 0. e) g Þ 0; V > 0.
c) g = 0; V > 0.
Enelpuntomediodelalíneaquelasune,comolosvectores
deposiciónylasmasassoniguales,elmódulodeWg serátambién
igual.Ladireccióntambiéneslamismay,alsersussentidos
diferentes,elresultadoserácero.
Además,elpotencialgravitatorionoseanulanipodráserpositivo,
yaqueesunafunciónescalarcuyosignoessiemprenegativo.
Contodoesto,laopcióna)eslacorrecta.
17. Justifica si es cierta la siguiente afirmación:
«Cuando dos masas M 1 y M 2 crean un campo gravitatorio en la mismaregión del espacio, hay puntos en los que se cruzan las líneas del campoque crea cada una de ellas y puntos en los que se cortan las superficies
equipotenciales correspondientes a cada una de ellas».Porlaspropiedadesdelaslíneasdecampo,estasnosepuedencruzar
(sidoslíneasdecamposecruzan,enelpuntodecorteexistirándos
valoresparalaintensidaddelcampogravitatorio,locualesimposible,
yaquelaintensidaddelcampotieneunvalorúnicoencadapunto).
Además,tampocopuedencortarselassuperficiesequipotenciales
(silohiciesen,elpuntodecortetendríadosvaloresdepotencial,
locualesimposibleporqueelpotencialtieneunvalorúnico
encadapunto),porloquelaafirmaciónesfalsa.
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49
Solucionario
18. Razona si el vector intensidad de campo gravitatorio tiene el sentidode los potenciales crecientes o decrecientes.
Tieneelsentidodelospotencialesdecrecientes.
Laslíneasdecampogravitatoriovandirigidashacialamasa
quelocrea.Elpotencialgravitatoriocreadoporlamasa(negativo)
aumenta(sehacemenosnegativo)amedidaquesealejadelamasa:
V GM
r = −
19. Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugaren que su energía potencial vale−200 J hasta otro donde vale−400 J.¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza del campo?
a) −200 J b) 200 J c) −600 J
Eltrabajoserá:
W E E E = − = − =
= − − − = − + =
∆ P P i P f
200 J J J J 20( )400 200 400 00 J
20. Determina cuánto valdrá el trabajo que realiza la fuerza de un campogravitatorio para desplazar un cuerpo de masa m de un punto A a otro Bsi ambos pertenecen a la misma superficie equipotencial.
Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacio
enlasqueelpotencialgravitatoriotieneelmismovalor.
Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunamasadeunpunto
aotrodeunasuperficieequipotencialesnulo:
W E E m V m V i f P f P i f i→
= − − = − ⋅ − ⋅ =( ) ( ) 0
21. En los vértices de un cuadrado de 3 m de lado hay tres masas de 10 kgcada una. Calcula:
a) La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice.
b) El potencial en ese punto.
Hacemosusodelprincipio
desuperposiciónpara
calculartantoelcampo
comoelpotencial
enelcuartovértice.
Deacuerdoconnuestro
dibujo,setratadelvérticeP.
a) Wg P=Wg A+Wg B+Wg C.
SabemosqueWr Aesun
vectorconorigenen(0,3)
yextremoen(0,0).
3m
3m3m
A(0,3),10kg
Wu BWu A
Wu C
B(3,3),10kg
C(3,0),10kgP(0,0) 3m
Wg A
Wg BWg C
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50
2 El campo gravitatorio
Portanto:
r j u r
r
j j A rA
A
A
= − ⋅ = =− ⋅
= −33
3→
WW W
WW W
W
Queda:
g G M
r u j A
A
A
rA N/kg= −⋅
= −⋅ ⋅
⋅ − =
=
−
2
11
2
6 67 10 10
3·
,( )
774 11 10 12, ⋅ ⋅− j N/kg
W W W
W
SabemosqueWr Besunvectorconorigenen(3,3)yextremo
en(0,0).Portanto:
r i j u r
r
i j i j B rB
B
B
= − − ⋅ = =− − ⋅
+
=− − ⋅
3 33 3
3 3
3 3
12 2
→ 88
W WWW W WW W
W
W
Queda:
g G M
r u
i j B
B
B
rB N= −⋅
= −⋅ ⋅
⋅− − ⋅
−
2
116 67 10 10
18
3 3
18·
, / /kg
N/kg
=
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −
26 2 10 26 2 1012 12, ,i j
W W
W W
W W
SabemosqueWr Cesunvectorconorigenen(3,0)yextremoen(0,0).Portanto:
r i u r
r
i i C rC
C
C
= − ⋅ = =− ⋅
= −33
3→
W W
W
W
W WW
Queda:
g G M
r u i C
C
C
rC N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅ − =
=
−
2
11
2
6 67 10 10
3
,( )
774 11 10 12, ⋅ ⋅− i N/kg
W W W
W
Porúltimo,tenemos:
g i i j P = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +− − −
74 11 10 26 2 10 26 2 1012 12 12, , , ·
++ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅− − −
74 11 10 100 31 10 100 31 1012 12 12, , , j i ⋅⋅ j N/kg
W W W W
WWW
b)V V V V P A B C= + + .
• V G M
r A
A
A
J/ k= −⋅
= −⋅ ⋅
= − ⋅
−
−6 67 10 10
3222 33 10
1112,
, gg
• V G M
r B
B
B
J/ = −⋅
= −⋅ ⋅
= − ⋅
−
−6 67 10 10
18
157 21 1011
12,, kkg
• V G M
r C
C
C
J/ k= −⋅
= −⋅ ⋅
= − ⋅
−
−6 67 10 10
3222 33 10
1112,
, gg
Portanto:
V = − ⋅ − ⋅ +
−
− −222 33 10 157 21 10
222 3
12 12, ,
,
J/kg J/kg
33 10 601 87 1012 12⋅ = − ⋅
− −J/kg J/kg,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 51/407
51
Solucionario
22. En tres de los cuatro vértices de un rectángulo tenemos cuerpos puntualescuya masa es, respectivamente, 0,5, 2 y 3 kg. Los lados del rectángulomiden 30 y 40 m. Calcula:
a) El valor del campo gravitatorio en el cuarto vértice.
b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de 5 kg de masa que se sitúeen el cuarto vértice.
c) El trabajo que realiza el campo para llevar ese cuerpo desde el cuartovértice hasta el centro del rectángulo. Interpreta el signo del resultado.
d) La energía del sistema formado por las tres masas iniciales.
NOTA:Losresultadosnuméricosvanadependerdelpuntodonde
secoloquecadamasa.
Hacemosusodelprincipiodesuperposiciónparacalculartanto
elcampocomoelpotencialenelcuartovértice.Deacuerdo
connuestrodibujo,setratadelvérticeA.
a) Wg A=Wg B+Wg C+Wg D.
SabemosqueWr Besunvectorconorigenen(40,0)yextremo
en(0,0).Portanto:
r i u r
r
i i B r B
B
B
= − ⋅ = =− ⋅
= −4040
40→
WW W
WW
WW
Queda:
g G M
r
u i BB
B
rB N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅ −
−
2
11
2
6 67 10 0 5
40
, ,( ) ==
= ⋅−
2 0844 10 14, · i N/kg
W W W
W
SabemosqueWr Cesunvectorconorigenen(40,30)yextremo
en(0,0).Portanto:
r i j C = − ⋅ − ⋅40 30 →W WW
→ u r
r
i j rC
C
C
= =− ⋅ − ⋅
+
=40 30
40 302 2
−− ⋅ − ⋅40 30
50
i j WW
W WW W
W
40m
30m30m
D(0,30),3kg
Wg B
Wu C
Wu B
Wg D
C(40,30),2kg
B(40,0),0,5kgA(0,0),5kg 40m
Wg C
Wu D
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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52
2 El campo gravitatorio
Queda:
g G M
r u
i j C
C
C
r C= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅− ⋅ − ⋅−
2
11
2
6 67 10 2
50
40 30,
550
4 2688 10 3 2016 1014 14
N/kg
N/kg= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −, ,i j
W W
W W
W W
SabemosqueWr Desunvectorconorigenen(0,30)yextremo
en(0,0).Portanto:
r j u r
r
j j D rD
D
D
= − ⋅ = =− ⋅
= −3030
30
→
W WW
W
WW WW
Queda:
g G M
r u j D
D
D
rD N/kg= −⋅
⋅ = −⋅ ⋅
⋅ − =
=
−
2
11
2
6 67 10 3
30
,( )
22 2333 10 14, ⋅ ⋅− j N/kg
W W W
W
Finalmenteobtenemos:
g g g g i i A B C D= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +− −2 0844 10 4 2688 1014 14, ( ,
++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 2016 10 2 22333 1014 13, ) , j j →
W W W W W W
WW
→ g i j A N/kg= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −6 5532 10 2 54349 1014 13, ,W W W
b) Lafuerzaserá:
F m g i j A A= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =− −
5 6 5532 10 2 54349 1014 13( , , )
== ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 28 10 1 27 1013 12, ,i j N
WW
W W
WW
c) Calculamoseltrabajocomolavariacióndelaenergíapotencial
entreambospuntos:
W E E E A X P P X P A→ = − = − +∆
40m
30m30m
D(0,30),3kg
Wr XD
C(40,30),2kg
B(40,0),0,5kgA(0,0),5kg 40m
Wr XC
Wr XBX(25,15)
LaE Pesunescalar.Portanto,laenergíapotencialdebido
alastresmasaseslasumadelaqueproducecadaunadeellas
deformaindependiente.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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53
Solucionario
E E E E
G m M
r
G m M
r
G
P A P AD P AB P AC
A D
D
A B
B
= + + =
= −⋅ ⋅
−⋅ ⋅
−⋅ m m M
r
A C
C
⋅
E E E E
G m M
r
G m M
r
P X P XD P XB P XC
A D
XD
A B
XB
= + + =
= − − −· · · · G G m M
r
· ·A C
XC
LadistanciadecadaunadelasmasasaXcoincideconlamitad
deladiagonaldelrectángulo:
r r r XD XB XC 25 m= = = ⋅ + =1
240 302 2
• E E E E P A P AD P AB P AC= + + = −⋅ ⋅ ⋅
+
−⋅
−6 67 10 5 3
30
6 67
11,
, 110 5 0 5
40
6 67 10 5 2
505 086 10
11 111
− −−⋅ ⋅
−⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅, ,
, 11J
• E E E E P X P XD P XB P XC= + + = −⋅ ⋅ ⋅
+
−⋅
−6 67 10 5 3
25
6 67
11,
, 110 5 0 5
25
6 67 10 5 2
257 337 10
11 111
− −−⋅ ⋅
−⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅, ,
, 11J
Asípues:
W E E E A X P P A P X
J
→ = − = − =
= − ⋅ − − ⋅
−
∆
5 086 10 7 337 1011
, ( ,−− −
= ⋅
11 11
2 251 10J) J,
Comoelsignoespositivo,eltrabajolorealizanlasfuerzas
delcampo.LamasasedesplazaespontáneamentedeA
alcentro.
d) Laenergíadelsistemaformadoporlastresmasasiniciales
eslaenergíapotencialdetodaslasparejasdemasas
quesepuedanformar:
E E E E
G M M
r
G M M
r
P T P CD P CB P BD
C D
CD
C B
CB
= + + =
= −⋅ ⋅
−⋅ ⋅
−G G M M
r
⋅ ⋅B D
BD
r CD=40;r CB=30;r BD=50.Portanto:
E E E E P T P CD P CB P BD= + + = −⋅ ⋅ ⋅
+
−⋅
−6 67 10 2 3
40
6 67
11,
, 110 2 0 5
30
6 67 10 0 5 3
501 423 10
11 11− −⋅ ⋅−
⋅ ⋅= − ⋅
, , , ·, −−11
J
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 54/407
54
2 El campo gravitatorio
23. Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta, homogénea, de radio R .¿Cuál es la gráfica que mejor representa la variación de la gravedad ( g )con la distancia al centro de la Tierra?
(Galicia. Septiembre, 2007)
DeacuerdoconelteoremadeGauss,laopcióncorrectaeslac).
(Verlademostraciónenestemismotemadellibrodelalumno.)
24. ¿Cómo varía g al profundizar hacia el interior de la Tierra?
a) Aumenta.
b) Disminuye.
c) No varía.DeacuerdoconelteoremadeGauss,enelinteriordelaTierra:
g g r
R = ⋅0
T
AlprofundizarenelinteriordelaTierra, r disminuye,
porloqueg disminuyetambién.
Laopcióncorrectaeslab).
25. Llamando g 0 y V 0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencialgravitatorio en la superficie terrestre, respectivamente, determina,en función del radio de la Tierra:
a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidaddel campo gravitatorio es g 0 /2.
b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencialgravitatorio es V 0 /2.
(C. Madrid. Junio, 2006)
a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntossobre
lasuperficieterrestre,r >R T.Portanto:
g G M
r =
⋅ T
2→
→ → →g G M
R
G M
r r R r R 0
2 2
2
2 22 2=
⋅
⋅
=⋅
= ⋅ = ⋅T
T
T
T2
T
r R h R h R R = + = ⋅ = ⋅ − = ⋅T T T T2 2 1 0 414→ ( ) ,
a)9,8
g
R T r
b)9,8
g
r
c)9,8
g
R T r
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 55/407
55
Solucionario
b)V G M
r = −
⋅ T
Enlasuperficieterrestre:
V G M
R 0 = −
⋅ T
T
Portanto:
V G M
R
G M
r
0
2 2
= −⋅
⋅
= −⋅T
T
T→
→ → →r R r R h R h R = ⋅ = + = ⋅ =2 2T T T T( )
26. a) Escribe y comenta la ley de gravitación universal.
b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M 1 = M 2,pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primeroes cuatro veces mayor que en la del segundo, g 1 = 4 g 2.Calcula la relación entre los radios de los dos planetas, R 1 / R 2,
y entre sus densidades medias, d 1 / d 2.(Aragón. Septiembre, 2006)
a) Verlibrodelalumno(página18).
b) Enlassuperficiesdelosplanetas:
g G M
R 1
1
12
=⋅
; g G M
R 2
2
22
=⋅
g g G M
R
G M
R R R 1 2
1
12
1
22
12
224 4
1 4= ⋅
⋅= ⋅
⋅=→ → →
→ → →R R R R R
R 22
12
2 11
2
4 21
2= ⋅ = ⋅ =
Ladensidadseobtieneasí:
d M
V
M
R
= =
⋅4
3
3π
Portanto,paralosplanetastenemos:
d M
R
d M
R
11
13
21
13
4
3
4
32
=
⋅
=
⋅ ⋅
π
π ( )
=
⋅
⋅ ⋅
=⋅d
d
M
R
M
R
R
R
1
2
1
13
1
13
13 3
13
4
3
4
32
2π
π ( )
→d d
d
1
2
8=
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 56/407
56
2 El campo gravitatorio
27. Calcula la masa y el peso que tendrá un cuerpo en la Luna si en la Tierra pesa980 N. ¿Coincidirá el resultado con lo que mide la balanza en ambos lugares?
Datos: g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; M L = 0,0112 ⋅ M T y R L = R T /4.
WF =m ⋅g .Paralafuerzapeso,enlaTierra: P T=m ⋅g 0.
980N=m T⋅9,8m/s2→m T=100kg=m L
Lamasaesunapropiedadintrínsecadeloscuerpos;esconstante
enlaTierraylaLuna.ObtenemoselvalordelagravedadenlaLuna:
g G M
R
G M
R
G M
R L
L
L
T
T
T
=⋅
=⋅ ⋅
=⋅
2 2
0 0112
4
,
TT2
200 0112 4 0 179⋅ ⋅ = ⋅, , g
Portanto:
P m g m g P L L L T T N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =0 179 0 179 17 90, , ,
Silabalanzaesdeplatos,elpesoseráelmismoqueenlaTierra.
Silabalanzaesderesorte,pesará17,9N.
28. Determina desde qué altura habrá que dejar caer el cuerpodel ejercicio anterior en la Luna si queremos que lleguea su superficie con la misma velocidad con la que llega cuando caedesde una altura de 10 m sobre la superficie de la Tierra.¿Y si fuese un cuerpo de masa 10 veces mayor?
Datos: g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; M L = 0,0112 ⋅ M T; R L = R T /4.
Primerodebemoscalculareltiempoquetardaenllegar
alasuperficieuncuerpoquecaedesdeunaalturade10m
enlaTierra.Comoladistanciaesmuypequeña,podemossuponerquesumovimientoesuniformementeacelerado(g constante):
y y v t a t t t = + + ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ =0 02 21
210
1
29 8 3 2→ →, , s→
→v =v 0+a ⋅t →v =−9,8⋅3,2=−31,36m/s
(Elsigno«−»indicavelocidaddecaída.)
SuponiendoqueelmovimientodecaídalibreenlaLunatambién
esuniformementeacelerado,g L=0,179⋅g 0,calculamos
eltiempoquedebecaerparaquesuvelocidadseade31,36m/s:v =v 0+a ⋅t →−31,36=−0,179⋅9,8⋅t →t =17,88s
Elespacioquerecorreenesetiempoes:
y y v t a t
y
= + + ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ ⋅ = −
0 02
2
1
2
1
20 179 9 8 17 88
→
→ , , , 2880,4 m
(Elsigno«−»indicaqueelcuerpohacaído.)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 57/407
57
Solucionario
29. a) Un astronauta de m = 80 kg está en la estación espacial orbital girandoentorno a la Tierra. Al intentar pesarse, la balanza marca cero. Explicapor qué marca cero y si actúa o no la gravedad terrestre en ese punto.
b) Si este mismo astronauta aterriza en un planeta que tiene la mismadensidad que la Tierra, pero su radio es 10 veces mayor, ¿cuál seríael peso en ese planeta en comparación con el peso en la Tierra?
(Cantabria. Junio, 2006)
a) Porquesumovimientoderotaciónlehaceestarencaídalibre
permanente.
b) EnlaTierraP T=m T⋅g T;yenelplaneta,P P=m T⋅g P,
siendog G M
R P
P
P
=⋅
2.
d M
V
M
R
M
R
PP
P3
P
T
= =
⋅
=
⋅ ⋅4
3
4
310 3π π ( )
; d M
R
TT
T3
=
⋅4
3π
Portanto:
d d M
R
M
R
M M T PT
T3
P
T
P T=
⋅
=
⋅ ⋅
=→ →
4
3
4
310
10003π π ( )
⋅
Calculamosg P:
g G M
R g
P m g
PT
T
T
P T T
=⋅ ⋅
⋅= ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
1000
1010
10 10
2( )→
→ P P T 7840 N= ⋅ ⋅ =10 80 9 8,
30. Dos satélites de comunicación, A y B, con diferentes masas (m A > m B) giranalrededor de la Tierra con órbitas estables de diferente radio, siendo r A < r B.
a) A gira con mayor velocidad lineal.b) B tiene menor periodo de revolución.c) Los dos tienen la misma energía mecánica.
(Galicia. Junio, 2007)
ParaelsatélitequegiraalrededordelaTierra:
F C=F G→ G M m
r
m v
r ⋅
⋅=
⋅T s s
2
2
a) Laexpresiónv G M
r =
⋅ T indicaquelavelocidadnodepende
delamasadelsatélite,solodelradiodesuórbita.
Sir aumenta,v disminuye→v B<v A.
Laafirmaciónescierta.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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58
2 El campo gravitatorio
b) Transformandolaexpresiónanteriorpararelacionarla
conlavelocidadangularyestaconelperiodovemosqueelperiodo
derevolucióntampocodependedelamasadelsatélite,
sinosolodelradio:
T r
G M =
⋅
⋅
42 3
π
T
r A<r B→T A<T B.
Sir aumenta,T aumentatambién→T A<T B.
Laafirmaciónesfalsa.
c) E GM m
r M
T= −
⋅.Engeneral,esfalso.Laenergíamecánica
delplanetaensuórbitadependedelamasayelradiodegiro,
queesdiferenteencadacaso.
31. Cuando un objeto gira alrededor de la Tierra, se cumple:
a) La energía mecánica del objeto en su órbita es positiva.
b) Su velocidad en la órbita será 2 g R T T .c) La fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta son iguales.
a) Falso:paraquelaenergíamecánicafuerapositiva,laórbitatendría
queserabiertay,portanto,noestaríagirandoalrededor
delaTierra.Enunaórbitacerrada,E GM m
r M
T= −
⋅.
b) Falso:laexpresióncorrectaesv G M
r =
⋅.
c) Verdadero:escondiciónparaqueuncuerpoorbitealrededor
deotro.
32. Un satélite de masa m describe una trayectoria circular de radio R en torno a un planeta de masa M . La energía mecánicadel satélite es numéricamente:
a) Igual a la mitad de su energía potencial.
b) Igual a su energía potencial.
c) Igual al doble de su energía potencial.
Laopcióncorrectaeslaa):
E E E m v G M m
r M C P= + = ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅1
2
2
Paraelsatélitequeorbita,F C=F G,dedondesededuce:
G M m
r m
v
r G
M m
r m v ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅= ⋅
2
22
→
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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59
Solucionario
Estonospermiteobtenerunaformamássimplificadaparasuenergía
mecánica:
E G M m
r
G M m
r E
G M m
r M M= ⋅
⋅ ⋅−
⋅ ⋅= − ⋅
⋅ ⋅1
2
1
2→
ComoE G M m
r E E P M P= −
⋅ ⋅= ⋅→
1
2.
33. El radio de la órbita de un satélite geoestacionario viene dadopor la expresión:
a) R T GM
=
2
2
1 3
4π
/
b) R T g R
=⋅
20
2
1 2
4T
π
/
c) R TGM
=
2
2
1 3
4π
/
Unsatélitegeoestacionariotieneelmismoperiododerotación
quelaTierra:T =24h.Laexpresióncorrectasecorresponde
conlaopcióna)(verellibrodelalumno).
34. Calcula el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio 2R T a una de radio 3R T.Exprésalo de forma general.
Eltrabajoequivalealadiferenciadeenergíaentrelasórbitas.
E G M m
r
E G M m
R
E G M
M
M1T
M 2
= − ⋅⋅ ⋅
= − ⋅⋅ ⋅
⋅
= − ⋅⋅ ⋅
1
2
1
2 2
1
2
→
m m
R 3 ⋅
T
Portanto:
W E E E G M m
R
G M m
R = = − = = − ⋅
⋅ ⋅
⋅+ ⋅
⋅ ⋅
⋅=∆ M M2 M1
T T
01
2 3
1
2 2
==⋅ ⋅
⋅ −
= ⋅⋅ ⋅G M m
R
G M m
R T T
1
4
1
6
1
12
35. El radio de un planeta es la tercera parte del radio terrestre; y su masa,
la mitad. Calcule la gravedad en su superficie y la velocidad de escapedel planeta, en función de sus correspondientes valores terrestres.
(Castilla y León. Septiembre, 2007)
Laaceleracióndelagravedadserá:
g G M
R
G M
R g P
P
P
T
T
T=⋅
=⋅
= ⋅2 2
2
3
9
2
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60
2 El campo gravitatorio
Ylavelocidaddeescapeserá:
v G M
R
G M
R
G M
R escape
P
P
T
T
T
T
= ⋅⋅
= ⋅⋅
= ⋅ ⋅⋅
=
=
2 22
3
3
22
3
2⋅⋅ v escape (Tierra)
36. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:a) Un objeto de masa m 1 necesita una velocidad de escape de la Tierra
el doble de la que necesita otro objeto de masa m 2 = m 1 /2.
b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbitaun satélite de masa m 1 que otro satélite de masa m 2 = m 1 /2,lanzados desde la superficie de la Tierra.
(C. Madrid, 2005)
a) Falso:Lavelocidaddeescapenodependedelamasadelsatélite,
sinodelamasaquecreaelcampo.b) Eltrabajoesladiferenciaentrelasenergíasmecánicadelsatélite
encadaunadelasórbitas.
• E G M m
R M suelo
T
T
= − ⋅⋅ ⋅1
2
• E G M m
R h M órbita
T
T
= − ⋅⋅ ⋅
+
1
2
Portanto:W =∆E M=E Mórbita−E Msuelo=
= −⋅ ⋅
⋅ ++
⋅ ⋅=
⋅ ⋅⋅ −
+
G M m
R h
G M m
R
G M m
R R
T
T
T
T
T
T T2 2 2
1 1
( ) h h
Esdirectamenteproporcionalalamasadelcuerpo,
porloquelaafirmaciónescorrecta.
37. Dos satélites artificiales, A y B, de masas m A y m B (m A = 2m B) giran
alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio R .Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a) Tienen la misma velocidad de escape.
b) Tienen diferente periodo de rotación.
c) Tienen la misma energía mecánica.
a) Laexpresiónparacalcularlavelocidaddeescapees:
v G M
r escape = ⋅
⋅2
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61
Solucionario
Porlotanto,lavelocidaddeescapeesfuncióndelradiodeórbita
(queesigualparaambossatélites)ynodelamasadelossatélites,
asíquelaafirmaciónescierta.
b)T r
G M =
⋅
⋅
42 3π
T
.Nuevamente,elradiodeórbitaeselmismo
enambossatélitesyelperiododerotaciónnoesfunción
delamasadelossatélites.Portanto,laafirmaciónesfalsa.
c) Esfalso.Laenergíamecánicasemantieneenlaórbitadecada
planeta,peroesdiferenteparacadaplanetaensuórbitadegiro,
ydependedelamasa.Silamasadelossatélitesesdiferente,tambiénloserásuenergíamecánica.
38. La velocidad que se debe comunicar a un cuerpo inicialmente en reposoen la superficie de la Tierra, de masa M T y radio R T, para que «escape»fuera de su atracción gravitacional es:
a) Mayor que (2GM T / R T)1/2.b) Menor que (2GM T / R T)
1/2.c) Igual a ( g 0 / R T)1/2.
Laenergíatotaldeunsatélitequeestáorbitandoes:
E G M m
r M = − ⋅
⋅ ⋅1
2
Elsatélitesaldrádelcampogravitatoriocuandor →`,
loquedeterminaqueE M=0.
Enelpuntodelanzamientohabráquecomunicarleunavelocidadtalque:
E E E mv G M m
r M C P= + = ⋅ −
⋅ ⋅≥
1
2
02
Reordenandolaexpresión,lavelocidaddelanzamientodebeserigual
omayorque:
v G M
r escape = ⋅
⋅2
SiseencuentraenrepososobrelasuperficiedelaTierra,serár =R T,
porloquelaafirmacióncorrectaeslaa).
39. Si para un cuerpo situado en un campo gravitatorio, su energía cinética esigual a su energía potencial (en valor absoluto), significa:
a) Que el cuerpo puede escapar al infinito.b) Que el cuerpo acabará cayendo sobre la masa que crea el campo.c) Que seguirá en una órbita circular.
Larespuestacorrectaeslaa).
Silaenergíacinéticaesigualasuenergíapotencialenvalorabsoluto,
significaqueE M=0yE C=−E P,quesecorrespondeconunaórbita
abiertaparabólica.
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62
2 El campo gravitatorio
40. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierraa una altura de 3815 km. Calcular:
a) La velocidad de traslación del satélite.
b) Su periodo de revolución.
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; R T = 6370 km;M T = 5,98 ⋅ 1024 kg.
ParaelsatélitequegiraalrededordelaTierra:
F F G
M m
r
m v
r C G
T s s= ⋅
⋅=
⋅→
2
2
TrabajaremosconunidadesdelSI.
a) Lavelocidaddetraslaciónes:
v G M
r
G M
R h =
⋅=
⋅
+
=⋅ ⋅ ⋅
⋅
−T T
T
6 67 10 5 98 10
6370 1
11 24, ,
00 3815 10
6 26 10
3 3
3
+ ⋅
=
= ⋅, m/s
b) Yelperiodoes:
T R h
G M =
⋅ +
⋅
=⋅ ⋅ + ⋅4 4 6370 10 3815 10
6
2 3 2 3 3 3π π( ) ( )T
T ,, ,
,
67 10 5 98 10
10 23 10
11 24
3
⋅ ⋅ ⋅
=
= ⋅
−
s
41. El primer satélite español Minisat , que fue lanzado en 1997 desdelas Islas Canarias, se encuentra actualmente en una órbita circularalrededor de la Tierra con un periodo de revolución de 10,5 horas.
a) Calcula el radio de la órbita.b) Calcula la energía mecánica del satélite.
c) Calcula el radio de la órbita que debería tener el satélite para quesu periodo de revolución fuera el doble que el actual.
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M T = 5,97 ⋅ 1024 kg;m satélite = 100 kg.
(Canarias. Junio, 2006)
a) Elperiodoes:
T = ⋅ ⋅ = ⋅ =10,5 h 60 min1 h
60 s1 min
s h37 8 10 10 303, min
Portanto:
T r
G M r
T G M =
⋅
⋅
= =
=
4
4
37 8 10 6 6
2 3 2
23
3 2
π
πT
T→
· ·
( , · ) · , 77 10 5 97 10
424 336 10
11 24
23
6· · , ·, ·
−
=
π
→ r m
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63
Solucionario
b) Lavelocidades:
v G M
r =
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
−T 6 67 10 5 97 10
24 336 104 04
11 24
6
, ,
,, ⋅⋅ 103 m/s
Laenergíamecánicaserá:
E E E mv G M m
r M C P
T= + = ⋅ −
⋅ ⋅1
2
2→
→ E M = ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ ⋅−
1
2 100 4 04 10
6 67 10 5 97 103 211 24
( , )
, , ⋅⋅
⋅
= − ⋅
100
24 336 10
8 2 10
6
8
,
, J
Tambiénsepodríacalcularmediantelaexpresión:
E G M m
r M
T= − ⋅
⋅ ⋅= − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
1
2
1
2
6 67 10 5 97 10 10011 24, ,
224 336 10
8 18 10
6
8
,
,
⋅
=
= − ⋅ J
c) Elperiodoes:
T 232 75 6 10 21= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =10,5 h
60 min
1 h
60 s
1 mins h,
Yqueda:
r T G M
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
22
23
3 2 11
4
75 6 10 6 67 10 5 97T
π
( , ) , , 110
4
38 63 10
24
23
6
π
=
= ⋅, m
42. Un satélite de masa 350 kg describe órbitas circulares alrededorde la Tierra a una altura de 630 km.
a) ¿Cuánto vale la intensidad del campo gravitatorio creadopor la Tierra a esta altura?
b) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta del satélite?
c) ¿Cuánto vale la energía mecánica del satélite?
Datos: R T = 6,38 ⋅ 106 m; M T = 5,98 ⋅ 1024 kg;G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
(Cataluña. Septiembre, 2007)
a) Tenemos:
g G M
r
G M
R h =
⋅=
⋅
+
=⋅ ⋅ ⋅
−T T
T2 2
11 246 67 10 5 97 10
6( )
, ,
( 3370 10 630 108 126
3 3 2⋅ + ⋅
=
), m/s2
b) Enunsatéliteenórbita,F C=F G.ComoF =m ⋅ a →g = a C.
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64
2 El campo gravitatorio
c) Enunsatéliteenórbita:
E E G M m
R h M P
T
T
= ⋅ = − ⋅⋅ ⋅
+
=
= − ⋅⋅
−
1
2
1
2
1
2
6 67 10 5 911, · , 77 10 350
6370 10 630 109 95 10
24
3 3
9⋅ ⋅
⋅ + ⋅
= − ⋅, J
43. Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distanciar p = 4,4 ⋅ 1012 m en el punto más próximo (perihelio) y r a = 7,4 ⋅ 1012 m
en el punto más alejado (afelio).a) Obtener el valor de la energía potencial gravitatoria de Plutón
en el perihelio y en el afelio.
b) ¿En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón?Razona tu respuesta.
Datos: considerar que la energía potencial tiende a cero cuando la distanciatiende a infinito, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;M (Sol) = 1,98 ⋅ 1030 kg; M (Plutón) = 1,27 ⋅ 1022 kg.
(P. Asturias. Junio, 2007)
a) DadoqueE G M m
r P = −
⋅ ⋅:
• Enelafelio:
E G M M
r P a
S P
A
= −⋅ ⋅
= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00
7 4 10
2 27 10
22
12
29
,
,
⋅
=
= − ⋅ J
• Yenelperihelio:
E G M M
r P p
S P
P
= −⋅ ⋅
= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00
4 4 10
3 81 10
22
12
29
,
,
⋅
=
= − ⋅ J
b) DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,losplanetassemueven
convelocidadareolarconstante,loqueimplicaquesumomento
angularpermanececonstanteentodoelrecorrido:
L L m v r m v afelio periheio afelio afelio peri= ⋅ ⋅ = ⋅→ hhelio perihelio⋅ r →
→ v v r
r v afelio perihelio
perihelio
afelio
peri= ⋅ = hhelio perihelio⋅⋅
⋅
= ⋅4 4 10
7 4 100 594
12
12
,
,, v
Portanto,lavelocidadserámayorenelperihelio.
44. Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededorde la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esaórbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre.
a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite.
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65
Solucionario
b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite.
c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.
d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario? Justifique la respuesta.
Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;masa de la Tierra, M T = 5,98 ⋅ 1024 kg;radio de la Tierra, R T = 6,37 ⋅ 106 m.
(C. Madrid, 2008)
Dadalacondicióndelenunciado:
v G M
R e sup
T
T
= ⋅⋅
2 ; v G M
R h v T
e órbita
T
e sup= ⋅⋅
+
= ⋅21
2
Portanto:
1 1
2
12
R h R R R h
T T
T T
+
= ⋅ ⋅ = +→ →
→ →4 3⋅ = + = = ⋅R R h r h R T T T
a) TrabajandoenunidadesdelSI:
F m g G M m
r G
T= ⋅ = −
⋅ ⋅= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
2
11 246 67 10 5 98 10 200, ,
(44
6 67 10 5 98 10 200
4 6 37 1
2
11 24
⋅
=
= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
R T)
, ,
( , 006 2)= −122,873 N
b) Ahora:
V G M
r = −
⋅= −
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= −
−T 6 67 10 5 98 10
4 6 37 101
11 24
6
, ,
,,,565 107
⋅ J/kg
c) Laenergíamecánicaes:
E E G M m
r M P
T= ⋅ = − ⋅
⋅ ⋅=
= − ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
1
2
1
2
1
2
6 67 10 5 98 111, , 00 200
4 6 37 10
1 565 1024
6
9⋅
⋅ ⋅
= − ⋅
,
, J
d) Sabiendoquelaórbitadeunsatélitegeoestacionariodebesertal
quesuperiododerotaciónseaelmismoqueeldelaTierra(1día),
resultaquetendríaqueser:
r T G M
R =⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
2
23
7 7
44 23 10 4 2 5 10T
Tm mπ
, ,?
Portanto,nosetratadeunsatélitegeoestacionario.
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66
2 El campo gravitatorio
45. Un satélite artificial de 200 kg de masa describe una órbita circulara 400 km de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcula:
a) La energía mecánica.
b) La velocidad que se le comunica en la superficie de la Tierrapara colocarlo en esa órbita.
Datos: R T = 6370 km; g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.
g G M
R G M g R 0
20
2=⋅
⋅ = ⋅T
T
T T→
Comoenotrosproblemas,empleamosunidadesdelSI.
a) Laenergíamecánicaes:
E E G M m
r
g R m
R h M P
T T
T
= ⋅ = − ⋅⋅
= − ⋅⋅ ⋅
+=
= − ⋅
1
2
1
2
1
2
1
2
02
·
99 8 6370 10 200
6370 10 400 105 87
3 2
3 3
, ( ),
⋅ ⋅ ⋅
⋅ + ⋅= − ⋅ 1109
J
b) Paracalcularlavelocidaddelanzamientoparaponerloenesaórbitadebemostenerencuentaelprincipiodeconservación
delaenergíamecánica.Laenergíamecánicaenelpunto
delanzamientodebecoincidirconlaenergíamecánica
enlaórbita.Considerandoelpunto1eldelanzamientoyelpunto2
laórbitaderadior .
En2:
F F GM m
r
m v
r
v GM
r
G C= =⋅
=→ →2
22
22
Podemosescribir:
E M1=E M2→E C1+E P1=E C2+E P2→
→1
2
1
2
1
212
22
⋅ −⋅
=⋅
− = ⋅⋅
m v G M
R m m
G M
r
v
GM
r m
G M
r T
m m →
→ v G M R r
lanzamiento T
T
= ⋅ ⋅ ⋅ −⋅
=21 1
2
== ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ +
=
= ⋅
21 1
2
2 9
02g R
R R h T
T T( )
,88 6370 101
6370 10
1
2 6370 10 400 1
3 2
3 3⋅ ⋅ ⋅
⋅−
⋅ ⋅ + ⋅( )
( 00
8 13 10
3
3
)
,
= ⋅
→
→ v lanzamiento m/s
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67
Solucionario
46. Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg de masa a una alturade 1200 km sobre la superficie de la Tierra.
Si el lanzamiento del satélite se ha realizado desde el nivel del mar, calcula:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite.
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escapea la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 kg ⋅ m2 /kg2; M T = 6 ⋅ 1024 kg; R T = 6370 km.
a) SobrelasuperficiedelaTierra:
E G M m
R P 1
T
T
= −⋅ ⋅
= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
−6 67 10 6 10 600
6370 10
11 24,33
103 769 10= − ⋅, J
Repetimosloscálculosparaelsatéliteenórbita:
E G M m
R h P
T
T
2
11 246 67 10 6 10 600
6370= −
⋅ ⋅
+= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
−,
110 1200 103 172 10
3 3
10
+ ⋅= − ⋅, J
Conloqueyapodemosobtenerelaumentodeenergíapotencial:
∆E E E P P 2 P 1 J J= − = − ⋅ + ⋅ = ⋅3 172 10 3 769 10 5 97 1
10 10
, , , 0010
J
b) ParaqueseescapedelaórbitadebetenerE M=0paraquer → `:
E M=E P+E C=0→E C=−E P
LaE Mdelsatéliteenlaórbitaderadior es:
E G M m
R h M 2
T
T
J= − ⋅⋅ ⋅
+= −
⋅= − ⋅
1
2
3 172 10
21 590 10
101,
, 00J
Laenergíaquehayquecomunicarlees,pues,E adicional=1,590⋅1010J.
Otromododeresolverlo.Conocemoslaenergíapotencialquetieneelsatéliteenlaórbita.Calculamoslaenergíacinética
quetieneelsatéliteenlaórbita:
E m v C = ⋅ ⋅1
2
2
Necesitamosconocerlavelocidadorbital:
v G M
r
G M
R h
=⋅
=⋅
+
=⋅ ⋅ ⋅
⋅ +
−T T
T
6 67 10 6 10
6370 10
11 24
3
,
11200 10
7 27 101
2600 7 27 10
3
3 3
⋅
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅, ( , )m/s C→ E 22 101 585 10= ⋅, J
Calculamosahoralaenergíacinéticaadicionalqueesnecesario
comunicarparaquelaenergíacinéticatotalseaigual(designo
contrario)quelaenergíapotencial:
E E E
E E E
C C adicional P
C adicional P C
+ = −
= − − =
→
→ 3 17, 22 10 1 585 10 1 587 1010 10 10⋅ − ⋅ = ⋅J J J, ,
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68
2 El campo gravitatorio
47. Se lanza un satélite con el propósito de situarlo en una órbitacircular situada en el plano ecuatorial y que sea geoestacionaria.El satélite describe su trayectoria con una velocidad de móduloconstante v . Calcula:
a) El valor de la altura h a la que orbita el satélite.
b) El módulo de la velocidad.
c) La fuerza que mantiene su movimiento.
Datos: g 0 = 9,8 m/s2; R T = 6370 km.
g G M
R G M g R 0
20
2=
⋅
⋅ = ⋅T
T
T T→ .
a) Sielsatéliteesgeoestacionario,debeorbitarlaTierra
conunperiodoigualaldelaTierra(1día).Conociendoestedato,
podemoscalcularelradiodelaórbitamediantelaexpresión
quehemosdeducidoenotrasocasiones:
r T G M
=
⋅ ⋅2
23
4
T
π
Sustituyendolosdatos:
r =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 11
2
2
24sN m
kg
⋅
kg
444 23 10
2
3 7
π
= ⋅, m
Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:
h =4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m
b) Lavelocidades:
v G M
r
g R
r =
⋅
=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
=T T0
2 3 2
7
9 8 6370 10
4 23 103 0
, ( )
,, 77 103
⋅ m/s
c) Lafuerzaes:
F m g G M m
r
g R m
r = ⋅ =
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
=
⋅ ⋅
sT s T s
2
02
2
39 8 6370 10, ( ))
( , )
,2
7 24 23 10
0 22⋅
⋅
= ⋅
m m s
s N
48. La astronauta Sunita Williams participó desde el espacio en la maratónde Boston de 2007 recorriendo la distancia de la prueba en una cintade correr dentro de la Estación Espacial Internacional. Sunita completóla maratón en 4 horas, 23 minutos y 46 segundos. La Estación Espacialorbitaba, el día de la carrera, a 338 km sobre la superficie de la Tierra.Calcule:
a) El valor de la gravedad terrestre en la Estación Espacial.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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69
Solucionario
b) La energía potencial y la energía total de Sunita sabiendo que su masaes de 45 kg.
c) Cuántas vueltas a la Tierra dio la astronauta mientras estuvo corriendo.
Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;masa de la Tierra: M T = 5,96 ⋅ 1024 kg;radio de la Tierra R T = 6371 km.
(R. Murcia. Junio, 2007)
a) Laaceleracióndelagravedadvale:
g G M
r
G M
R h =
⋅
=
⋅
+=
⋅ ⋅ ⋅−
T T
T2 2
11 246 67 10 5 96 10
6( )
, ,
( 3371 10 338 108 833 3 2
⋅ + ⋅=
), N/kg
b) Laenergíapotenciales:
E G M m
r
G M m
R h P
T T
T
= −⋅ ⋅
= −⋅ ⋅
+
=
= −⋅ ⋅ ⋅
−6 67 10 5 96 1
11, , 00 45
6371 10 338 102 66 10
24
3 3
9⋅
⋅ + ⋅
= − ⋅, J
Laenergíamecánicaes:
E E M P J= ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅1
2
1
22 66 10 1 33 109 9, ,
c) VeamoscuáleselperiododerotaciónquehatenidoSunita:
T r
G M
R h
G M =
⋅
⋅
=⋅ +
⋅
=
=⋅ ⋅
4 4
4 6371 10
2 3 2 3
2 3
π π
π
T
T
T
( )
( ++ ⋅
⋅ ⋅ ⋅= ⋅
−
338 10
6 67 10 5 96 105 48 10
3 3
11 243
)
, ,, s
YeltiempoqueSunitahaestadocorriendohasido:
t = ⋅ ⋅ + ⋅ + =4 h60 min
1 h
60 s
1 minmin
60 s
min46 s 15 8223
166 s
Asíquehadado:
N.º vueltass
s2,89 vueltas= =
⋅
=t
T
15826
5 48 103,
49. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna.
b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Luna,con velocidad inicial igual a la de escape. ¿A qué distancia del centrode la Luna se reduce su velocidad a la mitad de la inicial?
G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;masa y radio de la Luna: M L =7,34 ⋅ 1022 kg; R L = 1,74 ⋅ 106 m.
(Aragón. Junio, 2005)
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70
2 El campo gravitatorio
a) LavelocidaddeescapeenlaLunaes:
v G M
r
G M
R escape
L
L
= ⋅⋅
= ⋅⋅
=
= ⋅⋅ ⋅ ⋅−
2 2
26 67 10 7 34
11, , 110
1 74 102 37 10
22
6
3
,,
⋅= ⋅ m/s
b) Suponiendoquelaúnicainteracciónalaqueestásometido
elobjetoeslaatraccióngravitatoriaqueejercelaLuna,
seconservarásuenergíamecánica.Llamandopunto1alpuntodelanzamientoypunto2alpuntoenelquesuvelocidad
eslamitaddelainicial:
E M1=E M2→E C1+E P1=E C2+E P2→
→1
2
1
2 2
2⋅ ⋅ −⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
m v
G M m
R m
v escape
L
L
escape
−
⋅ ⋅2
G M m
r
L→
→
1
2
1
2 2
2
⋅ −⋅
= ⋅
v
G M
R
v escape
L
L
escape
−⋅
2
G M
r
L→
→G M
r
v G M
R
⋅= ⋅
+
⋅− ⋅L escape L
L
1
2 2
1
2
2
v v escape2
→
Sustituyendolosdatosylosvaloresquehemosobtenidocon
anterioridad:
6 67 10 7 34 10 1
2
2 37 10
2
11 22 3, , ,⋅ ⋅ ⋅= ⋅
⋅
−
r +
+⋅ ⋅ ⋅
⋅− ⋅
−
2
11 22
6
6 67 10 7 34 10
1 74 10
1
22 3
, ,
,, 77 103
2
⋅( ) →
→ →
→
4 90 107 02 10 2 81 10 2 81 10
4
125 6 6,
, , ,⋅
= ⋅ + ⋅ − ⋅
=
r
r ,,
,
,90 10
7 02 10
6 9 1012
5
6⋅
⋅
= ⋅ m
NOTA:Puedeserunaocasióninteresanteparaquelosalumnos
compruebenelerrorqueresultaríasiconsiderásemos
unmovimientodecaídalibreconelvalordeg constanteeigual
asuvalorenlasuperficiedelaLuna.
ObtenemoslaaceleracióndelagravedadenlaLuna:
g G M
R =
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅=
−L
L2
6 67 10 7 34 10
1 74 101
11 22
6 2
, ,
( , ),,617 N/kg
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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71
Solucionario
Porlasecuacionesdelmovimiento:
• x x v t g t = + ⋅ − ⋅ ⋅0 021
2• v v g t = − ⋅0
Además,v 0=v escape,x 0=0yv v = ⋅1
2escape:
1
2
1
2⋅ = − ⋅ = ⋅v v g t t
v
g e e
e→ →
→ x v
v
g g
v
g = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅
e
e e1
2
1
2
1
4
2 37 10 0 52
2
2
3, ,,337 10
1 6170 5 1 617 0 25
2 37 10
1 61
3 3 2⋅− ⋅ ⋅ ⋅
⋅
,, , ,
( , )
, 772
→
→ x = ⋅1 3 106, m
Estevalor(erróneo)esdistintoalqueobtuvimosantes
(6,9⋅106m,correcto).
50. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un periodode 27 días, a una distancia de 3,8 ⋅ 108 m, calcula:
a) La masa de la Tierra.
b) La energía que se necesita para separar la Luna de la Tierraa una distancia infinita.
Dato: masa de la Luna, M L = 7,34 ⋅ 1022 kg.
a) Elperiodoes:
T = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅27 días
24 h
1 día
60 min
1 h
60 s
1 min s2 333 106
,
Conociendoque:
T r
G M =
⋅
⋅
42 3π
T
→
→M r
G T T =
⋅
⋅=
⋅ ⋅
⋅ ⋅−
4 4 3 8 10
6 67 10 2 3
2 3
2
2 8 3
11
π π ( , )
, ( , 333 105 967 10
6 2
24
⋅= ⋅
), kg
b) LaLunaescaparádelcampogravitatorioterrestrecuando
suenergíamecánicasea0.Calculamoselvalordelaenergía
mecánicadelaLunaensuórbita(unidadesdelSI):
E G M m
r M
T L= − ⋅⋅ ⋅
=
= − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
1
2
1
2
6 67 10 5 97 10 711 24, , ,,
,,
34 10
3 8 103 84 10
22
8
28⋅
⋅= − ⋅ J
ParaquelaLunaabandoneelcampogravitatorioterrestredebemos
comunicarleunaenergíade3,84⋅1028J.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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72
2 El campo gravitatorio
51. Calcula el radio que debería tener la Tierra, conservando su masa, paraque su velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz en el vacío,c = 300000 km/s. Ante un colapso de este tipo, ¿variará el periodode traslación de la Luna alrededor de la Tierra?
Dato: masa de la Tierra, M T = 6 ⋅ 1024 kg.
Ahoratenemos:
v G M
R
R G M v
escapeT
T
TT
escape
= ⋅
⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
2
2 2 6 672
→
→ , 110 6 10300 000 10
8 89 1011 24
3 2
3−
−⋅ ⋅
⋅
= ⋅
( ), m
ElperiododetraslacióndelaLunavienedadoporlaexpresión:
T r
G M =
⋅
⋅
42 3
π
T
donder eselradiodelaórbitadelaLuna.T nodependedelradio
delaTierra;portanto,aunquesucedieseelcolapsoterrestre,
elperiododetraslacióndelaLunaalrededordelaTierranocambiaría.
52. Un cometa de 1012 kg de masa se acerca al Sol desde un puntomuy alejado del Sistema Solar, pudiéndose considerar que su velocidadinicial es nula. Calcula:
a) La velocidad en el perihelio, sabiendo que se produce a una distanciade 108 km del Sol. (Masa del Sol = 2 ⋅ 1030 kg.)
b) La energía potencial cuando cruce la órbita de la Tierra.
Dato: distancia Tierra-Sol = 1,496 ⋅ 1011 m.
a) UnpuntomuyalejadodelSistemaSolarseráunpuntoenelqueelcometaestáfueradelcampogravitatoriodelSol;portanto,
suE P=0.Si,además,suvelocidadesnula,laE Cenesepunto
tambiénesnula.Enconsecuencia,laE Mdelcometaes0.
Suponiendoqueelcometaestásometidoúnicamentealaatracción
gravitatoriadelSol,suE Mencualquierotropuntodesumovimiento
será0(principiodeconservacióndelaenergíamecánica):
E m v G M m
r M perihelio
Sol
perihelio
= = ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅
01
2
2→
→ v G M
r =
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
Sol
perihelio
2 6 67 10 2 10 2
10
11 30,111
45 165 10= ⋅, m/s
(HemosexpresadolasmagnitudesenunidadesdelSI.)
b) CuandocruzalaórbitadelaTierra,elcometaseencuentra
alamismadistanciadelSolquelaTierra.
E G M m
r P
Sol= −
⋅ ⋅
= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
−
6 67 10 2 10 10
1 496
11 30 12,
, 1108 92 10
11
20= − ⋅, J
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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73
El campoelectrostático3
• Utilizarelconceptodecampocomounrecursoadecuadoparaestudiar
lainteracciónelectrostáticaadistancia.
• Separarconceptualmentelaperturbaciónprovocadaporuncuerpocargadoenelespacioquelerodeadelainteracciónquesufreotro
cuerpocargadoquepenetraenelcampo.
• Manejarconsolturalafunciónintensidaddecampoylafunción
potencialparaelestudiocuantitativodelainteracciónelectrostática.
• Interpretarcorrectamentelasrepresentacionesgráficasrelativas
alasfuncionescampoypotencialelectrostáticoenfuncióndeladistancia.
• Predecirlainteracciónquesufriráotrocuerpocargadocuandosedesplaza
enuncampoelectrostático,teniendoencuentaelsignodesucarga.
• Comprenderlainteracciónelectrostáticacomounainteracciónconservativa.
• Utilizarelprincipiodesuperposiciónparadeterminarelvalordelcampo
creadoporunconjuntodecargaspuntuales.
• ConocerelalcancedelteoremadeGaussyutilizarloconsolturapara
determinarelcampoyelpotencialcreadosporconductorescargados
(distribucionescontinuasdecarga)endistintospuntosdelespacio.
• Sercapazdepredecirelmovimientodeuncuerpocargadoenelseno
deuncampoelectrostático.
• Analizarlasituacióndinámicadecuerpossometidos,alavez,ainteracción
electrostáticaygravitatoria.Evaluarlaimportanciarelativadecadauna.
• Conunametodologíasimilaralaempleadaeneltemaanterior
paraelestudiodelcampogravitatorio,abordamosaquíelestudio
delcampoelectrostático,haciendoespecialhincapiéenlasanalogías
ydiferenciasentreambos.Esespecialmenteimportantehacerver
alalumnadolasdosdiferenciascapitalesentreambas:laprimerarelacionadaconlosaspectoscuantitativosdecadaunadeestas
interaccionescuandoseestablecenentrepartículasdemasaodecarga
unidad,separadasunadistanciaunidad;ylasegunda,referidaalos
aspectoscualitativosquederivandelaexistenciacargasdeldistinto
signo,circunstanciaquenosepresentaenlainteraccióngravitatoria.
• Aunqueeneltemaanterioryaseprodujounaaproximaciónalteorema
deGausscomoherramientaparacalcularelcampocreado
pordistribucionescontinuas,esahoradondeeserecursoseemplea
enmayorextensión,afindededucirlaexpresióndelcampo
yelpotencialeléctricocreadoporconductorescargadosendistintos
puntossignificativosdelespacio.
PRESENTACIÓN
OBJETIVOS
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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3 El campo electrostático
74
• Elconceptodecampocomorecursoparaestudiarlaperturbación
quecreauncuerpocargadoenreposo.
• Definicióndelvectorintensidaddecampoelectrostáticocreado
porunacargapuntual.Interpretacióndesumódulo,direcciónysentido
enfuncióndelsignodesucarga.
• Estudiodelafuerzadeinteracciónentredoscuerposcargados.Relación
conlaintensidaddelcampoqueunodeelloscreaenelpuntodonde
seencuentraelotro.
• Demostracióndelcarácterconservativodelcampoelectrostáticoyanálisisdelasconsecuenciasquesederivandeello.
• Definicióndepotencialeléctricoenunpuntoysurelaciónconlaenergía
potencialqueadquiereuncuerpocargadoendichopunto.
• Estudiodelavariacióndeenergíapotencialqueexperimentauncuerpo
quesedesplazadeunpuntoaotrodeuncampoysurelación
coneltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampo.Interpretación
delsignoyvaloraciónenfuncióndelsignorelativodeambascargas.
• Conservacióndelaenergíamecánicaysusconsecuenciasparaestudiar
elmovimientodecuerposcargadosenuncampoelectrostático.
• Estudiodelcampoyelpotencialeléctricoscreadoporvariascargas
puntuales.Principiodesuperposición.
• Representacióngráficadelainteracciónelectrostática:líneasdecampo
ysuperficiesequipotenciales.
• Estudiodelafuncióncampoydelafunciónpotencialdebidas
adistribucionescontinuasdecarga(conductoresenequilibrio).
AplicacióndelteoremadeGauss.
• Dinámicadecuerposcargadosenuncampoelectrostáticouniforme.
Conceptos
• Adquirirsolturaenelmanejodecantidadesdemuydistinto
ordendemagnitud.Utilizacióndesubmúltiplosdelasunidades
delSistemaInternacional.
• Mostrardestrezaenelmanejodemagnitudesescalaresyvectoriales.
• Interpretarrepresentacionesgráficasdefuncionesmatemáticas
escalaresyvectoriales.
• Representargráficamentelosproblemasaestudiar.Manejar
ellenguajesimbólico.
• Adquirircapacidadparavalorareinterpretarlosresultados
deunestudiocuantitativo.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Mostrarinterésporconocerlosprincipiosquerigenunainteracción
queestápresenteenmuchosdispositivosquemanejamos
deformahabitual.
• Comprenderqueelfuncionamientodemuchosobjetoscotidianos
sebasaenestudiosteóricoslaboriososyencontrarenello
unamotivaciónparaseguirestudiando.
Actitudes
CONTENIDOS
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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75
programación de aula
Apesardeseresteuntemadeampliocontenidoteórico,advertimoselementos
susceptiblesdeseraprovechadosparaunaeducaciónenvalores.
1. Educación para la salud
Comprenderlaimportanciadelasinteraccioneselectrostáticasnoshará
serrespetuososconelmanejodeunaseriededispositivos.Lejosdepresentar
laelectricidadcomounpeligro,debemosinsistirenlanecesidad
demantenerloscablesdenuestrosaparatoseléctricosenperfectoestado
ylosenchufesfueradelalcancedelosniños.
2. Educación del consumidor
Enestetemaseutilizanmagnitudesyconceptosquepodemosencontrarcuando
compramosunordenadoruotrosdispositivoseléctricos.Esimportante
quelosalumnosyalumnassepanvalorarelalcancedecadaunoafindereconocer,
porejemplo,surepercusiónenelpreciodelproductoosiesposiblesustituir
unoporotrosimilarydemenorprecio.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Calcularelcampoyelpotencialeléctricosqueunacargapuntualcreaenunpunto
delespacio.Relacionarlosconelsignodelacarga.
2. Calcularelcampoyelpotencialqueunconjuntodecargaspuntualescreaenunpunto
delespacio.Analizardeformaespecialsihaypuntosdondeelcampoy/oelpotencial
seannulos.
3. Hallarlafuerzaqueactúasobreuncuerpocargadosituadoenunpuntodelcampocreado
porunaomáscargaspuntuales.
4. Calculareinterpretarelsignodeltrabajoy/olaenergíaqueserequiereparaqueuncuerpo
cargadosedesplacedeunpuntoaotrodeuncampoelectrostático.
5. Determinarlavelocidaddeuncuerpocargadoenunpuntodeuncampoelectrostático
apartirdesuscaracterísticasdemovimientoenotropuntodelmismo.
6. Representargráficamenteelcampoy/oelpotencialcreadosporcargaspuntuales
odistribucionescontinuasdecarga.
7. Calculareinterpretarelcampoyelpotencialcreadosporconductorescargados
enequilibrioendistintospuntosdelespacio.
8. Relacionarelcampoconladiferenciadepotencialentredospuntosdeunaregión
dondeexisteuncampoeléctricouniforme.
9. Calculardistintasmagnitudesrelacionadasconelmovimientodecuerposcargados
enregionesdondeexistauncampoeléctricouniforme.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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76
3 El campo electrostático
1. En el átomo de hidrógeno el electrón se encuentra a una distanciaaproximada de 5,2 ⋅ 10−11 m del núcleo, donde está localizado el protón.Calcula la fuerza electrostática con que se atraen ambas partículasy compárala con la fuerza gravitatoria entre ellas.
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;m p = 1,67 ⋅ 10−27 kg; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2;q p = 1,6 ⋅ 10−19 C; q e = −1,6 ⋅ 10−19 C.
(Canarias. Junio, 2007)
Trabajaremos,salvoqueseindiquelocontrario,enunidadesdelSI.Elmódulodelafuerzaelectrostáticaes:
F K q q
d E
p e= ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
-
-2
919 2
11 29 10
1 6 10
5 2 10
( , )
( , )== ⋅
-8 5207 10 8, N
Obtendremoslafuerzagravitatoriaentreellasconlaexpresión:
F G m m
d G
p e= ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅-
- -
2
1127 3
6 67 101 67 10 9 1 10
,, , 11
11 2
47
5 2 10
3 7489 10
( , )
,
⋅
=
= ⋅
-
-
NAunqueambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido(protón
yelectrónseatraen),elmódulodelafuerzaelectrostáticaesmucho
mayorqueenelcasodelafuerzagravitatoria.
2. Dos partículas, a y b, tienen masas igualesde 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signoscontrarios. La partícula b está fija en el espacioy la partícula a está colgada del techo por
un hilo de masa despreciable (ver la figura).Cuando ambas partículas están separadasuna distancia de 0,25 m, la partícula a se hallaen equilibrio y el hilo forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcula:
a) La tensión del hilo.b) La fuerza de atracción entre las partículas.c) El valor absoluto de la carga de las partículas.Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; g = 9,8 m ⋅ s−2.
(Castilla-La Mancha, 2007)Planteamoselbalancedefuerzas
delamasasuspendida.
Despreciamoslafuerzadeatracción
gravitatoriaentrelasdospartículas
porque,comosededuce
delaactividadanterior,serámucho
menorquelafuerza
electrostática.
a
30°
b
0,25m
a30°
b
0,25m
WF E
WT
WP
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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77
Solucionario
Observaquelatensióndebedescomponerseensuscomponentes
verticalyhorizontal,quesecalculanrelacionandoT conelángulo
queformaconlavertical(30°):
• Ejevertical:
T P m g ⋅ = = ⋅ = ⋅ =cos , , ,30 0 0016 9 8 0 015 68° kg m/s N2
• Ejehorizontal:
T F K q
d
q ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅sen E30 9 10
0 25
2
2
92
2°
,
a) Obtenemoslatensióndelhilo,T ,apartirdelbalancecorrespondientealejevertical:
T =
⋅
=
-15 68 10
300 018 106
3,
cos,
NN
°
b) ConociendoelvalordelatensiónT podemosobtenerelvalor
delafuerzaelectrostáticadeatraccióndelaspartículas
apartirdelbalancecorrespondientealejehorizontal:
F T E sen N sen N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅- -30 18 106 10 30 9 053 103 3° , º ,
c) Conociendoelvalordelafuerzaelectrostáticadeatracción
delaspartículasysabiendoquesucargaesidéntica,podemos
obtenersuvalor:
F K q
d
q E = ⋅ = ⋅ ⋅
2
2
92
29 10
0 25,→
→q F
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
= ⋅
-
E 0 25
9 10
9 053 10 0 25
9 102 5
2
9
3 2
9
, , ,, 110 7- C
3. Dos cargas puntuales de 10 C cada una están en las posiciones (5, 0)y (−5, 0). Una tercera carga de 0,1 C y 2 kg de masa se dejaen libertad y con velocidad nula en el punto (0, 10). Calcula:
a) La aceleración que actúa sobre la tercera cargaen las posiciones A (0, 10) y B (0, 0).
b) La velocidad de la tercera carga en (0, 0).
a) Calcularemos
laaceleraciónencada
puntopormediode
laexpresiónWF =m ⋅Wa .
Comoconocemossu
masa,bastaconcalcular
lafuerzaqueresultade
lainteracciónelectrostática
delasotrasdoscargas
sobreellaencadapunto.
A(0,10)
B(0,0) q 2=10Cq 1=10C
(5,0)(-5,0)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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78
3 El campo electrostático
Lafuerzasecalcularáencadacasohaciendousodelprincipio
desuperposición:WF T=WF 1+WF 2.
Lafuerzaeléctricaexistenteentrecadapardecargases:
F K q q
d u E r= ⋅
⋅⋅
0
2
W W
CálculodelafuerzaenelpuntoA(0,10).
ElvectorWr 1Atieneorigenen(-5,0)yextremoen(0,10).
Portanto:
r i j u r r
i j i j 1A 1A
1A
1A
= + = =+
+
=+5 10 5 10
5 10
5 102 2
→ 1125
W WW WW W
W W W
W
Entonces:
W WW W
WW
F K q q
r u
i 1A
1A
1A= ⋅⋅
⋅ = ⋅ ⋅⋅ -
⋅+1 0
2
99 1010 0 1
125
5 1( , ) 00
125
3 22 10 6 44 107 7
j
i j
=
= - ⋅ - ⋅, , N
ElvectorWr 2Atieneorigenen(5,0)yextremoen(0,10).
Portanto:
r i j u r
r
i j i 2 A 2A
2A
2 A
= + = =- +
+
=- +
5 105 10
5 10
5 1
2 2
→
00
125
j W W W
W
W
W WW WW
Entonces:
F K q q
r u
i 2A
2A
2A= ⋅⋅
⋅ = ⋅ ⋅⋅ -
⋅-2 0
2
99 1010 0 1
125
5( , ) ( ++=
= ⋅ - ⋅
10
125
3 22 10 6 44 107 7
j
i j
)
, , N
W W
W W
W W
Portanto:
F F F i j EA 1A 2A= + = - ⋅ - ⋅ +
+ ⋅
( , , )
( ,
3 22 10 6 44 10
3 22 1
7 7
00 6 44 10 1 288 107 7 8i j j - ⋅ = - ⋅, ) , N
W WW
W W W
W W
Ylaaceleraciónserá:
WW
WWa
F
m
j j A
EA 2m/s= =- ⋅
= - ⋅128 8 10
264 4 10
66,
,
RepetimosloscálculosparaelpuntoB(0,0).
ElvectorWr 1Btieneorigenen(-5,0)yextremoen(0,0).
Portanto:
r i u r
r
i i 1B 1B
1B
1B
= = = =55
52
→
W WW
W
WWW
Entonces:
F K q q
r u i 1B
1B
1B= ⋅⋅
⋅ = ⋅ ⋅⋅ -
⋅ = -1 0
2
99 1010 0 1
253
( , ),660 108
⋅ i NWWW W
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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79
Solucionario
ElvectorWr 2Btieneorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto:
r i u r
r
i i 2B 2B
2B
2B
= - = =-
= -55
52
→
W WW
W
WW
W
Entonces:
F K q q
r u i 2B
2B
2B= ⋅⋅
⋅ = ⋅ ⋅⋅ -
⋅ - =2 0
2
99 1010 0 1
25
( , )( ) 33 60 108, ⋅ i NW WWW
Finalmente:
F F F a
F
m EB 1B 2B B
EB 2
N m/s= + = = =0 0→W W W
WW
Lógico,puestoqueelpuntoBestájustoentreq 1yq 2.
b) Admitiendoquelaúnicainteraccióneslaelectrostática,sepuede
obtenerlavelocidadenelpuntoB(0,0)apartirdelteorema
deconservacióndelaenergíamecánica:
E E E E E CB PB C A P A M+ = + = →
→1
2
2 1 0
1
2 0m v K
q q
r
K q q
r
⋅ + ⋅⋅
+ ⋅⋅
=A
A 2A
== ⋅ + ⋅⋅
+ ⋅⋅
1
2
2 1 0 2 0m v K q q
r K
q q
r B1B 2B
→→
→ 9 1010 0 1
125
9 1010 0 1
125
9 9⋅ ⋅⋅ -
+ ⋅⋅ -
( , ) ( , )
=
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ -
+ ⋅ ⋅⋅1
22 9 10
10 0 1
59 10
102 9 9v B
( , ) (( , )-
0 1
5→
→ →- ⋅ = + - ⋅1 61 10 3 6 10
9 2 9
, ( , )v B
→ v B m/s= ⋅ - ⋅ = ⋅3 6 10 1 61 10 4 46 109 9 4, , ,
4. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se disponencargas de +10 μC. Calcula:
a) El vector intensidad de campo eléctrico en el cuarto vértice.b) El potencial eléctrico en dicho vértice.c) El trabajo necesario para llevar una carga de +5 μC desde
el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice.Dato: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2.
(Cantabria. Septiembre, 2007)
a) Envirtuddelprincipiodesuperposición,podemosobtener
elvectorintensidaddecampoenelcuartovérticeapartir
delosvectoresintensidaddecampoquegeneracadacarga
porseparado:
WE TA=WE AB+WE AC+WE AD
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80
3 El campo electrostático
C(0,0)+10mC
D(1,0)+10mC
B(1,1)
+10mC
A(0,1)
(0,5,0,5) 0
ElvectorWr ABtieneorigenen(1,1)yextremoen(0,1).Portanto:
r i u r
r
i i AB AB
AB
AB
= - = =-
= -→ 12
W W WW
W
WW
ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenB
conlaexpresión:
E K Q
r u i AB
B
AB
AB= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅ - = - ⋅-
2
96
49 1010 10
19 10( ) i i N/CW W W W
ElvectorWr ACtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,1).Portanto:
r j u r
r
j j AC AC
AC
AC
= = = =→ 12
W W WW
W
WW
ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenC
conlaexpresión:
E K Q
r u j j AC
C
AC
AC N/C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅ = ⋅
-
2
96
49 1010 10
19 10 WWWW
ElvectorWr ADtieneorigenen(1,0)yextremoen(0,1).Portanto:
r i j u r
r
i j i j AD AD
AD
AD
= - + = =- +
+
=- +
→ 1 1 2
W W W WW
W
W WW W
ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenD
conlaexpresión:
E K Q
r u
i j AD
D
AD
AD= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅- +
=
= -
-
2
96
9 1010 10
2 2
3 1, 882 10 3 182 104 4⋅ + ⋅i j , N/C
WW
W W
W W
Finalmente:
E E E E
i j
TA AB AC AD= + + =
= - ⋅ + ⋅ + - ⋅9 10 9 10 3 182 104 4 4( , i i j
i j
+ ⋅ =
= - ⋅ + ⋅
3 182 10
1 2182 10 1 2182 10
4
5 5
, )
, , N/C
W W W W
WW W W
WW
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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81
Solucionario
b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos
elpotencialcreadoenAporlascargasenlosrestantesvértices,
sabiendoque:
V V V V A BA CA DA= + +
Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadavértice,
yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos
enelapartadoanterior.
• V K Q
r
ABB
AB
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-
9 1010 10
1
9 1096
4
• V K Q
r AC
C
AC
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-
9 1010 10
19 109
64
• V K Q
r AD
D
AD
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-
9 1010 10
26 364 109
64,
Sumando:
V V V V A AB AC AD
V V V
= + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =9 10 9 10 6 364 10 24 4 4, ,44364 105⋅ V
c) Sabemosque:
W E q V V O A P A O→ = - = - ⋅ -D ( )
HemosobtenidoelvalordelpotencialcreadoenelvérticeA
enelapartadoanterior,porloquebastaconrepetir
loscálculosparaelcentrodelcuadradodefinido
enelenunciado.
Comosetratadeuncuadrado,ladistanciaalaqueseencuentra
cadaunadelascargasqueestánenB,CoDdelcentroes
lamisma,ycoincideconlamitaddeladiagonal:
r = ⋅ + =1
21 12 2 0,71 m
Comolastrescargassonigualesylastresdistanciassoniguales,
elpotencialquecreacadaunadelascargasenelcentro
delcuadradotambiénesigual:
V V V V
V V K Q
r
O OB OC OD
O OBB
OB
= + +
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅⋅
→
→ 3 3
39 109 ⋅⋅ ⋅
= ⋅
-10 10
0 713 8184 10
65
,,→ V O V
Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado:
W E q V V O A P A O
C V
→ = - = - ⋅ - =
= - ⋅ ⋅-
D ( )
· ( ,5 10 2 4364 106 5-- ⋅ =3 8184 10 0 75, ) ,V J
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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82
3 El campo electrostático
5. Dos cargas puntuales q 1 = +2,0 nCy q 2 = −1,0 nC están fijasy separadas una distancia de 8 cm.Calcular:
a) El campo eléctrico en elpunto T situado en el puntomedio entre las cargas.
b) El potencial eléctricoen los puntos S y T.
c) El trabajo necesario para trasladar otra carga, q ', de +3,0 nCdesde el punto S hasta el punto T.
Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
a) ObtenemoselcampototalquelasdoscargascreanenelpuntoT
haciendousodelprincipiodesuperposición:
WE T=WE TA+WE TB
S(0,4)
T(0,0) q 2= -1nCq 1=2nC
B(4,0)A(-4,0)
• CampogeneradoenTporlacargasituadaenA(q 1).ElvectorWr TAtieneorigenen(-4,0)yextremoen(0,0).
Portanto:
r i u r
r
i i TA TA
TA
TA
= = = =44
4→
W W
WW
W
W
W
Entonces:
E K q
r u i i TA
TA
TA N/C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅ =
-1
2
99
29 10
2 10
41 125,W WWW
• CampogeneradoenTporlacargasituadaenB(q 2).
ElvectorWr TBtieneorigenen(4,0)yextremoen(0,0).Portanto:
r i u r
r
i i TB TB
TB
TB
= - = =-
= -44
4→
W W W
W
W
WW
Entonces:
E K q
r u i TB
TB
TB= ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅⋅
⋅ - =
-2
2
99
29 10
1 10
40 562( ) , 55 i N/CW W W W
8cm
4cm
q 2q 1
S
T+ −
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83
Solucionario
Sumando:
E E E i i i T TA TB N/C= + = + =1 125 0 5625 1 69, , ,W W W W W W
b) Tambiénutilizaremoselprincipiodesuperposiciónparacalcular
elpotencialcreadoenTyenSporlascargassituadasenAyB.
• V K q
r TA
TA
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
=
-1 9
9
9 102 10
44 5,
• V K q
r
TB
TB
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-2 9
9
9 101 10
42 25
( ),
Portanto:
V V V T TA TB V V V= + = - =4 5 2 25 2 25, , ,
Ladistanciaalaqueseencuentracadaunadelascargas
delpuntoSes:
r r SA SB m= = + =4 4 322 2
• V K q
r SA
SA
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
=
-1 9
9
9 102 10
32
3 18,
• V K q
r SB
SB
V= ⋅ =⋅ ⋅ - ⋅
= -
-2
9 99 10 1 10
32
1 59( )
,
Portanto:
V V V S SA SB V V V= + = - =3 18 1 59 1 59, , ,
c) Sabemosque:
W E q V V S T P T S
C V V
→ = - = - ⋅ - =
= - ⋅ ⋅ --
D ( )
( , ,3 10 2 25 1 599 )) ,= - ⋅ -1 98 10 9 J
Eltrabajoesnegativo,esdecir,hayquerealizarloencontra
delasfuerzasdelcampo.
6. Dos cargas negativas iguales, de 1 mC, se encuentran sobre el ejede abscisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cmsobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las unese abandona una carga positiva de 1 mC y masa 1 g, inicialmenteen reposo. Calcula la velocidad que tendrá al pasar por el puntomedio de la línea que las une.
C(0,50),q = +1mC,
m = 1g,v 0= 0
T(0,0) q 2= -1mCq 1= -1mC
B(10,0)A(-10,0)
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84
3 El campo electrostático
Lasdistanciasserán:
d d AC BC cm= = + = =10 50 2600 512 2
Comolainteracciónelectrostáticaesconservativa,laenergíamecánica
delsistemapermaneceráconstante:
E E E E C O P O C C P C+ = + →
→1
2
12
2 1 2m v K q q
d K
q q
d ⋅ + ⋅
⋅+ ⋅
⋅
=
=
OAO BO
m m v K q q d
K q q d
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
C
AC BC
2 1 2
ExpresandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI:
1
21 10 2 9 10
1 10 1 10
0 1
3 2 93 3
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ - ⋅
-- -
v O
⋅· ( )
,
=
= ⋅ ⋅⋅ ⋅ - ⋅ - -
2 9 101 10 1 10
0 51
93 3
⋅( )
,
→
→ v O
m/s= ⋅ ⋅ - ⋅ + ⋅ = ⋅2 10 3 53 10 18 10 1 7 103 4 4 4( , ) ,
7. Una partícula de masa 5 g y carga −2 μC se deja en libertad y en reposoa 0,5 m de dos cargas fijas de 5 μC separadas 0,6 m.Suponiendo que solo intervienen fuerzas eléctricas, determina:
a) El campo eléctrico en el punto donde se ha dejado la partícula.
b) El potencial en ese punto.
b) La velocidad que tendrá la partícula cuando llegue al punto mediode las dos cargas.
(Islas Baleares. Septiembre, 2006)
C(0,0,5),q = -1mC,m = 5g
O(0,0) q 2= +5mCq 1= +5mC
B(0,3,0)A(-0,3,0)
a) Envirtuddelteoremadesuperposición,podemosobtenerelvector
intensidaddecampoenelpuntoinicialapartirdelosvectores
intensidaddecampoquegeneracadacargaporseparado
enelmismo:
WE C=WE AC+WE BC
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85
Solucionario
• CampogeneradoenCporlacargasituadaenA.
ElvectorWr ACtieneorigenen(-0,3,0)yextremoen(0,0,5).
Portanto:
r i j
u r
r
i j
AC
ACAC
AC
= +
= =+
+
0 3 0 5
0 3 0 5
0 3 02
, ,
, ,
,
→
→ ,,
, ,
,5
0 3 0 5
0 342
=+i j
W W W
W WWWW
WW
Entonces:
E K q
r u i j
AC
AC
AC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅+-1
2
9 69 10 5 10
0 34
0 3 0 5⋅
,
, ,
00 34
6 81 10 1 135 104 5
,
, ,
=
= ⋅ + ⋅i j N/C
W WWW
WW
• CampogeneradoenCporlacargasituadaenB.
ElvectorWr BCtieneorigenen(0,3,0)yextremoen(0,0,5).
Portanto:
r i j
u r
r
i j
BC
BCBC
BC
= - +
= =- +
0 3 0 5
0 3 0 5
0 32
, ,
, ,
,
→
→ ++
=- +
0 5
0 3 0 5
0 342,
, ,
,
i j
WW
WW
W
W W
W
W W
Entonces:
E K q
r u
i BC
BC
BC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ - +
-2
2
96
9 105 10
0 34
0 3 0 5
,·
, , j j
i j
0 34
6 81 10 1 135 104 5
,
, ,
=
= - ⋅ + ⋅ N/C
WWW
WW
W
Sumando:E E E i j C AC BC= + = ⋅ + ⋅ +
+ - ⋅
( , , )
( ,
6 81 10 1 135 10
6 81 1
4 5
00 1 135 10 2 27 104 5 5i j j + ⋅ = ⋅, ) , N/C
W
W
WWWW
WW
b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos
elpotencialcreadoenCporlasdoscargas.
• V K q
r AC
AC
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-1 9
649 10
5 10
0 347 7174 10
,,
• V K q
r BC
BC
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-2 9
649 10
5 10
0 347 7174 10
,,
Sumando:
V V V C AC BC V V= + = ⋅ ⋅ = ⋅2 7 7174 10 1 5435 104 5, ,
c) Calculamoslasdistancias:
d d d d AC BC A BOm; m= = = =0 34 0 30, ,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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86
3 El campo electrostático
Deacuerdoconelteoremadeconservacióndelaenergía:
E E E E C O P O C C P C+ = + →
→1
2
1
2 1 2m v K q q
d K
q q
d ⋅ + ⋅
⋅+ ⋅
⋅
=
=
OAO BO
22
2 1 2m v K
q q
d K
q q
d ⋅ + ⋅
⋅+ ⋅
⋅
C
AC BC
UtilizamostodaslasmagnitudesenunidadesdelSIysustituimos:
→1
25 10 9 10
5 10 2 10
0 323 2 9
6 6⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅- - -
v O
( )
,
=
= ⋅ ⋅⋅ ⋅ - ⋅
⋅- -
9 105 10 2 10
0 3429
6 6( )
,
→
→ v O
m/s=⋅ - +
⋅=
-
2 0 31 0 6
5 1010 77
3
( , , ),
8. a) Un campo electrostático que obedece a la expresión WE = 104 W j N/Cestá dirigido en el sentido positivo del eje Y.
a1) Calcular la fuerza que ejerce este campo sobre un electróny comparar el resultado con el peso del electrón.¿Qué conclusión se puede derivar de esta comparación?
a2) Hallar la energía cinética adquirida por el electrón cuando hayarecorrido 1 cm, partiendo del reposo, y el tiempo que necesitapara recorrer dicha distancia.
Datos: masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;
carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.
(P. Asturias. Junio, 2005)
a1) Obtenemoselvalordelafuerzaelectrostáticaqueejerceelcampo
descritoenelenunciado:
F q E j j E N= ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅- -1 6 10 10 1 6 1019 4 15, ,W W W W
Supesoes:
P m a j j j = ⋅ ⋅ - = ⋅ ⋅ ⋅ - = - ⋅- -
( ) , , ( ) ,9 1 10 9 8 8 92 1031 30
NWWWW
Ambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido,sibienelmódulo
delpesoesdespreciablefrentealdelafuerzaelectrostática.
a2) Enunaregióndondeelcampoelectrostáticoesconstante
secumple:E d V ⋅ = D .
Además,enfuncióndelteoremadeconservacióndelaenergía
mecánica:
E E E E E E E E Ci Pi C f P f Pi P f C f P+ = + - = =→ D
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87
Solucionario
Yademás:
V E
q E q V = = ⋅
PP→ D D
UtilizandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI:
1
2
2
2 1 6 10 10 1
2
19 4
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
=
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
m v q E d v q E d
m →
, 00
9 1 1 0
5 93 102
31
6-
-⋅
= ⋅
,
, m/s
9. Dibuja aproximadamente las líneas del campo eléctrico contenidasen un plano en el que hay dos cargas eléctricas, una Q y otra, −2Q .
(Islas Baleares. Junio, 2005)
Elnúmerodelíneasdecampo
debeserproporcional
alcampoencadapunto;
enconsecuencia,elnúmerodelíneasdecampoeléctrico
entrantesenlacarganegativa
deberíadesereldoblede
lassalientesdelacargapositiva.
10. Tenemos dos cargas iguales separadas una cierta distancia, en un casode signos contrarios y en el otro del mismo signo, tal como se muestraen las figuras 1) y 2).
a) Representa las líneas del campo eléctricoen los dos casos.
b) Representa las superficies equipotencialespara los dos casos.
1)
2)
Nota: haz las representaciones en el plano que contiene ambas cargas.
(Cantabria. Septiembre, 2005)
Caso1:cargasdesignoopuesto.
a) Líneasdecampo: b) Superficiesequipotenciales:
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88
3 El campo electrostático
Caso2:doscargaspositivas.
a) Líneasdecampo: b) Superficies
equipotenciales:
+ +
11. Defina la magnitud flujo del vectorcampo eléctrico. Enuncie el teoremade Gauss. Considere las dossituaciones de la figura. ¿El flujoque atraviesa la esfera es el mismoen ambas situaciones? ¿El campoeléctrico en el mismo punto Pes igual en ambas situaciones?
PP
4mC
1mC 1mC
1mC1mC
Razone en todo caso su respuesta.
(Castilla y León. Junio, 2007)
Sellamaflujo,φ,elnúmerodelíneasdecampoqueatraviesan
unasuperficie.Serepresentadetalmaneraqueelnúmerodelíneas
decampoporunidaddesuperficieperpendicularalasmismasindica
laintensidaddelcampo.
ElteoremadeGaussparaelcampoelectrostáticodicequeelflujoneto
queatraviesaunasuperficiequesesitúaenelinteriordeuncampo
dependedelacargaencerradapordichasuperficie.
Elflujoeléctricoesindependientedelradiodelasuperficiegaussiana;
solodependedelacargaencerradaporesasuperficie
ydelaconstantedieléctricadelmedio,peronodeotrosfactores,
comolaformadelasuperficieolaposicióndelacargaensuinterior.
φε
=Q encerrada
.EstaesladefinicióndelteoremadeGauss
paraelcampoelectrostático.
Enrelaciónconlassituacionesmostradasenlafigura,elflujo
eléctricoseráelmismoparaamboscasos,yaque,deacuerdo
conelteoremadeGauss,esteúnicamentedependedelacarga
encerrada,yestaeslamismaenamboscasos.Sinembargo,
estonoesasíparaelvalordelcampoeléctricoenP,yaqueeste
sídependedelosvectoresdeposicióndeladistribucióndecarga,
queenestecasoesdiferente,puesladistribucióndecarga
esdiferente.
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89
Solucionario
12. Si el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerradaes cero, ¿pueden existir cargas eléctricas en el interior de dicha superficie?Razone la respuesta.
(Castilla y León, 2008)
Puedenexistircargaseléctricasdentrosiempreycuandoelbalance
decargaspositivasynegativasseaigual,deformaquelacarga
positivaseigualeconlanegativaylasumadetodasseanula.
13. Dos pequeñas esferas conductoras de radios r 1 = 1,00 cmy r 2 = 2,00 cm se encuentran cargadas con cargasq 1= 2,0 nC y q 2 = −5,0 nC, respectivamente. Si la distanciaque separa sus centros es 2,6 m, determina:
a) El módulo de la fuerza electrostática que ejerce una esfera sobre la otra.
b) Si las esferas se unen con un hilo conductor de capacidaddespreciable, calcula la carga y el potencial que adquiere cada esfera.
Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.
(Castilla-La Mancha, 2006)
a) Aunadistanciamuchomayorquesusradios,deacuerdocon
elteoremadeGauss,lasesferassecomportaráncomounacarga
puntualdevalorigualalacargadetodalaesferaysituada
ensucentro.Obtenemos,portanto,lafuerzaelectrostática
queejercenentresíconsiderándolascomocargaspuntuales
separadasunadistanciaigualalaseparacióndesuscentros.
F K Q q
R = ⋅
⋅= ⋅
⋅ - ⋅= -
- -
2
99 9
2
9 102 10 5 10
2 613 31·
· ( )
,, ⋅⋅ -10 9 N
Ypuestoquelascargassondesignosopuestos,esunafuerza
atractiva.
b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzaránelequilibrio
electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán.
V V K q
r K
q
r
q q
q
1 21
1
2
2
1
2
2
2
1
1 10 2 10
= ⋅ = ⋅⋅
=⋅- -
→ → →
→
m m
11 2 2
21
2= =
q q
q →
Comolacargadelsistemaseconserva:
q q 1 293 10+ = - ⋅ - C
Relacionandolasexpresionesanteriores:
q q q 1 19
1
992 3 10
3 10
31 10+ ⋅ = - ⋅ =
- ⋅= - ⋅-
--C
CC→
q 2
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90
3 El campo electrostático
Yentonces:
q q 2 19 92 2 1 10 2 10= ⋅ = ⋅ - ⋅ = - ⋅
- -( )C C
DeacuerdoconlodeducidopormediodelteoremadeGauss,
elpotencialdentrodecadaesferacoincideconelque
hayensusuperficie:
• V K q
r 1
1
1
99
29 10
1 10
1 10900= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅⋅
- ⋅
⋅= -
-
-
N m
C
C
m
2
2VV
• V K q
r 2
2
2
92
2
9
29 10
2 10
2 10900= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅
- ⋅
⋅= -
-
-
N m
C
C
m VV
Secompruebaqueelpotencialdelasdosesferaseselmismo.
14. Dos placas metálicas cargadas eléctricamenteestán dispuestas horizontalmente separadasuna distancia d = 20 ⋅ 10−2 m, creandoen su interior un campo eléctrico
d
de E = 2,50 ⋅ 104 N/C. Una microgota deaceite de 5,1 ⋅ 10−14 kg de masa, cargada negativamente, está en equilibriosuspendida en un punto equidistante de ambas placas.Determinar:
a) ¿Cuál de las placas está cargada negativamente?
b) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre las placas?
c) La carga de la gota.
d) La magnitud de la fuerza eléctrica que se ejercería sobrela gota si estuviera solo 1 cm por encima de la placa inferior.
Dato: g = 9,8 m ⋅ s−2.
(Cantabria. Junio, 2005)
a) Paraquelagotaestéenequilibrio,
lafuerzaelectrostáticadebeser
igualydesentidocontrarioalpeso,
esdecir,verticalyhaciaarriba.
Lacargadelagotaesnegativa,
loquedeterminaquelafuerza
WP
WE
WF E
electrostáticatendrálamismadirección,perosentidoopuesto
alcampo.Enconsecuencia,elvectorcampoelectrostáticodebe
tenerdirecciónverticalysentidohaciaabajo.Dadoqueelsentido
delaslíneasdecampovadelascargaspositivasalasnegativas,
laplacapositivadebeserlasuperior.
b) Paradosplacascargadas,planasyparalelassecumple,
conuncampoconstante:
DV E d = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅-2 5 10 20 10 5 104 2 3, V/m m V
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91
Solucionario
c) Siestáenequilibrio,seráqueelmódulodesupesoeselmismo
queeldelafuerzaelectrostática,deformaque,altenersentidos
contrarios,lagotasemantieneenequilibrio.
P m g F E q = ⋅ = = ⋅E →
→ q m g
E =
⋅=
⋅ ⋅
⋅= ⋅
-5 1 10 9 8
2 5 102 1
14
4
, ,
,
kg N/kg
N/C00 17- C
d) Comoelcampoesconstante,seráelmismoencualquierpunto
entrelasdosplacas.Conociendolacargadelagotadeaceite
podemosobtenerlafuerzaelectrostáticaqueseejercesobreelladeacuerdoconestaexpresión:
F q E E C N/C N= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- - 2 10 2 5 10 5 1017 4 13,
15. Un electrón se mueve con una velocidad de 5 ⋅ 10 5 m ⋅ s−1 y penetraen un campo eléctrico de 50 N ⋅ C−1 de igual dirección y sentidoque la velocidad.
a) Haga un análisis energético del problema y calcule la distancia
que recorre el electrón antes de detenerse.b) Razone qué ocurriría si la partícula incidente fuera un protón.
e = 1,6 ⋅ 10−19 C ; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; m p = 1,7 ⋅ 10−27 kg.
(Andalucía, 2006)
a) Lainteracciónelectrostáticaesconservativa.
Enconsecuencia,laenergíamecánica
delelectrónpermanececonstante.
Supongamosqueiniciasumovimiento
enAysedetienecuandollegaaB:
E E E E C A P A CB PB+ = + →
→ E E E q V V q V C A PB PA B A= - = ⋅ - = ⋅( ) D [1]
Wv 0
Ad
B
WE
Comoelcampoentrelasplacasesconstante,secumpleque:
DV E d = - ⋅ [2]
Relacionandolasecuaciones[1]y[2]:
1
2 0
2
m v q E d E ⋅ = ⋅ - ⋅( )
Sustituimoslosdatosteniendoencuentaquelacargadelelectrón
esnegativa:
1
29 1 10 5 10 1 6 10 5031 5 2 19⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ - ⋅- -, ( ) , ( )d
d
→
→ == ⋅ -14 2 10 3, m
Llegamosalmismoresultadohaciendounestudiodinámico
delproblema.
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92
3 El campo electrostático
Puestoqueelelectróntienecarganegativa,estarásometido
aunafuerzaelectrostáticadelamismadirecciónqueWE ysentido
contrario.Portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoasu
velocidadinicial.Tendrá,portanto,unmovimientodecelerado:
WF E=q ⋅WE =m ⋅Wa x
SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI:
1 6 10 50 9 1 10 8 79 1019 31 12, ( ) , ,⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = - ⋅- -i a a i → m/ss2WWW W
Conociendosuvelocidadinicialysuaceleraciónpodemosconocer
eltiempoquetardaráendetenerseapartirde:
v v a t
t v
a
= + ⋅
=-
=- ⋅
- ⋅
= ⋅-
0
05
12
85 10
8 79 105 6 10
→
→,
, s == 56 883, ns
Yconociendoestetiempopodemosyaobtenerladistancia
recorridaenesteintervalo:
x v t a t = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +
- ⋅ ⋅
-0
2 5 91
25 10 56 883 10
12
8 79 10
,
, 112 9 256 883 10 0 014 22⋅ ⋅ = =-( , ) , m 14,22 mm
b) Silapartículaincidentefueraunprotón,suaceleraciónsería
positivay,portanto,nosedetendríaporlaaccióndelcampo
eléctrico,sinoquesumovimientoseaceleraría.
16. Una partícula de masa m y carga −10−6 C se encuentra en reposo al estarsometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniformeE = 100 N ⋅ C−1 de la misma dirección.
a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partículay calcule su masa.
b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentaraa 120 N ⋅ C−1 y determine su aceleración.
g = 10 m ⋅ s−2.
(Andalucía, 2007)
a) Silapartículaseencuentraenreposo,significa
queelmódulodelafuerzagravitatoriayeldelafuerza
electrostáticaqueactúansobreellasonidénticos.
Lasfuerzastendránasimismolamismadirección
ysentidosopuestos,demaneraquemantienen
alacargaenequilibrioyenreposo.Observaque,
W
F E
WE WP
comolacargaesnegativa,lafuerzatienesentidoopuestoalcampo:
P m g F E q
m E q
g
= ⋅ = = ⋅
=⋅
=⋅ ⋅
-
E
N/C C
m/
→
→100 1 10
10
6
ss2= ⋅1 1
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93
Solucionario
b) Puestoquetienecarganegativa,estarásometidoaunafuerza
electrostáticadelamismadirecciónqueWE ysentidocontrario;
portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoalafuerza
gravitatoria.Elcuerpodejarádeestarenequilibrioysemoverá
haciaarribaconunmovimientoacelerado:
F F F q E P
j j
= + = ⋅ + =
= - ⋅ - - ⋅ = ⋅- -
E G
( ) ( )10 120 10 10 2 16 5 00 5- j N
W W W W W
W W W
Yqueda:
F m a a
F
m = ⋅ = =
⋅
=
-
-→
2 10
10 2
5
5
N
kg m/s2W W
17. Sea una partícula de masa 1 g, cargada positivamente y que se mueveen el seno de un campo eléctrico uniforme E = 1 ⋅ 104 N/C cuyas líneasde campo son perpendiculares al suelo. Inicialmente la partículaestá en reposo y a una altura de 5 m del suelo. Si se la deja libre, la partículatoca el suelo con una velocidad de 20 m/s. Determinar el sentido de las líneasde campo y la carga de la partícula.
Dato: tomar g =
10 m/s2
.(P. Asturias. Junio, 2006)
Dadoquelapartículatienecargapositiva,
severásometidaaunafuerzaenladirección
ysentidodelcampo.Ladirecciónserá
vertical,yelsentido,hacialosvalores
deYnegativos,yaquelapartículadesciende
WE d
i
f
5mdesdelaposicióninicial.
Aplicamoselprincipiodeconservacióndelaenergíamecánica
alasposicionesinicialyfinaldelmovimientodelapartícula:
E E E E E E E
E E E
Ci Pi C f P f Pi C f P f
C f Pi P f
+ = + = +
= - = -
→ →
→ DE E q V P = ⋅ -( )D
Enelsenodeuncampoeléctricouniforme:DV E d = - ⋅ .
Relacionandolasdosexpresionesanteriores:
E q E d q d E m v
q m v d E
C f f
f
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅
⋅ ⋅= ⋅
→ →
→
1
2
2
1 10
2
2 ---⋅
⋅ ⋅= ⋅
3 2
4
620
2 5 104 10 C
18. a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creadopor una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masapuntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido.
b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un puntodel segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.
(Andalucía, 2007)
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94
3 El campo electrostático
a) Lasanalogíasylasdiferenciassededucendelassiguientes
expresiones:
Campo gravitatorio Campo electrostático
g F
m G
M
r u = = - ⋅
Gr
2W
WW E
F
q K
Q
r u = = ⋅
Er2
WW
W
Laslíneasdecampotienen
direcciónradialysiempre
muerenenelcuerpoquecreaelcampo.
Laslíneasdecampotienendirección
radialysalendelcuerpoquecrea
elcampositienecargapositivaymuerenenélsitienecarganegativa.
LaconstanteG esuniversal
ysuvalorenelSIesdel
ordende10-11.
LaconstanteK dependedelmedio
enqueseestudiaelcampo.
Suvalorenelvacío,medidoen
unidadesdelSI,esdelordende109.
b) Dadasdospartículas,siemprehabráunpuntoenelsegmento
quelasunedondeelcampogravitatorioseanula.
m 1 m 2
Wg 1 Wg 2
Silaspartículastienencargadelmismosigno,habráunpunto
delsegmentoquelasunedondeelcampoelectrostáticoseanule;
sitienencargadesignocontrario,elcamponuncaseránulo
enelsegmentoquelasune:
q 1 q 2
WE 1WE 2
q 1 q 2
WE 2
WE 1
Elpuntodondeseanulaelcampo,ensucaso,estaráenelpunto
mediodelsegmentosiamboscuerpostienenlamismamasa
olamismacarga;enotrocaso,elpuntodondeseanulaestará
máspróximoalcuerpodemenormasaomenorcarga.
19. En una región del espacio el campo es nulo. ¿Debe ser nulo tambiénel potencial eléctrico en dicha región? Razona la respuesta.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
No.Dadosdoscuerposconcargadelmismosigno,habráunpunto
enelsegmentoquelosunedondeelcampoesnulo,peronoesnulo
elpotencial,queesunamagnitudescalarytendráelsigno
delascargas.
q 1 q 2
WE 1WE 2
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95
Solucionario
DeacuerdoconelteoremadeGauss:
#E d r V ⋅ = -DW W
Enelinteriordeunconductoresféricoenequilibrio,elcampoesnulo.
Deellosederivaqueelpotencialesconstante,loquenoindica
queseanecesariamentenulo.
20. Dos cargas eléctricas puntuales, positivas y en reposo, están situadasen dos puntos A y B de una recta. Conteste razonadamente:
a) ¿Puede ser nulo el campo eléctrico en algún punto del espacio que rodeaa ambas cargas? ¿Y el potencial eléctrico?
(Andalucía, 2006)
Paradoscargaseléctricaspuntualespositivasyenreposohabráalgún
puntoenlalíneaquelasunedondeelcamposeránulo.Elpunto
estaráenelcentrodelsegmentosilasdoscargassoniguales;
encasocontrario,estarámáspróximoalacargamenor.
q 1 q 2
WE 1WE 2
Elpotencialesunamagnitudescalarcuyovalordepende
delsignodelascargas;silasdossonpositivas,elpotencialsiempre
serápositivo.
21. Si el campo electroestático es constante en una determinada regióndel espacio, ¿también lo es el potencial en esa misma región?
Enunaregióndelespaciodondeelcampoelectrostático
seaconstante:
E d r V E r V ⋅ = - ⋅ = -# D D D→WW W W
Deacuerdoconesto,cuandoelcampoelectrostáticoesconstante,
elpotencialdependedelvalordelcampoydelaposición
queseconsidere,porloquenoseráconstanteenesaregión,
sinoquesuvalordependerádecadapuntodelaregión.
22. ¿Qué relación hay entre el potencial y el campo eléctricos?¿Cómo se expresa matemáticamente esa relación en el casode un campo eléctrico uniforme?
(C. Valenciana. Junio, 2006)
Elpotencialyelcampoeléctricoserelacionansegún:
#E d r V ⋅ = -DW W
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96
3 El campo electrostático
Además,sielcampoeléctricoesuniforme(nodependedelaposición)
podremosdecirque:
E d r V E r V ⋅ = - ⋅ = -# D D D→WW W W
23. Si una carga puntual produce, a una cierta distancia r un potencialeléctrico de 10 V y un campo de módulo E , ¿cuánto vale el potencialen otro punto en el cual el campo es E /4?
(R. Murcia. Junio, 2007)
ComparamoselmódulodeWE conelvalordelpotencialenunmismopunto:
• E K Q
r = ⋅
2
•V K Q
r = ⋅
Tenemos:
E K
Q
r E K
Q
r K
Q
r
r r r
' ' '
' '
= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
= =
2 2 2
2 2
1
4
1
4
4 2
→ →
→ → r r
Yentonces:
V K Q
r K
Q
r
V '
'= ⋅ = ⋅ = =
2 25 V
24. Una partícula cargada que se deja en libertad en un punto de un campo
eléctrico se va a mover:a) En el sentido de los potenciales crecientes.
b) En el sentido de los potenciales decrecientes.
c) La partícula no se mueve a menos que sobre ella se aplique una fuerza.
Nota: haz el estudio tanto para una partícula con carga positivacomo con carga negativa.
Silapartículatienecargapositivasemoveráenladirecciónysentido
delcampo.Portanto,enelsentidodelospotencialesdecrecientes.
Porelcontrario,silapartículatienecarganegativa,elmovimientoserácontrarioalcampoysemoveráenelsentidodelospotencialescrecientes.
25. Una carga q > 0 se encuentra bajo la acción de un campo eléctricouniforme WE . Si la carga se desplaza en la misma dirección y sentidoque el campo eléctrico, ¿qué ocurre con su energía potencial eléctrica?¿Y si movemos la carga en dirección perpendicular al campo?
Justifica ambas respuestas.
(C. Valenciana. Junio, 2007)
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97
Solucionario
Cuandounacargasemueveenuncampoeléctrico,eltrabajo
querealizanlasfuerzasdelcampoesigualydesignocontrario
alavariacióndelaenergíapotencial:
W F d r E A B P→ = ⋅ = -# DW W
Siunacargapositivasemueveenlamismadirecciónysentido
queelcampoeléctrico,sealejadelacargaquegeneraelcampo
(tambiénpositiva).Eltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampo
espositivo(elmovimientoserealizadeformaespontánea)ylacarga
quesemuevepierdeenergíapotencial.Silacargasemuevedeformaperpendicularalcampo,lafuerza
esperpendicularaldesplazamiento,porloqueeltrabajo
querealizanlasfuerzasdelcampoesnuloylaenergíapotencial
permanececonstante.
26. Se dispone un sistema de cargas eléctricas positivas, puntuales,del mismo valor y alineadas tal como indica la figura:
+q +q +q
r r
1. La energía potencial electrostática del sistema es:
a) 22
K q
r b) 3
2
2
K q
r c) 5
2
2
K q
r
2. Si la carga del centro se acercase a uno de los extremos, la energía
potencial electrostática del sistema:a) Aumentaría.
b) Disminuiría.
c) No cambiaría, porque el sistema sería el mismo.
(Cataluña. Septiembre, 2007)
1. Laenergíapotencialdelsistemaeslasumadelaenergíapotencial
detodaslasparejasdecargasquesepuedanestablecer:
E K q q
r K q q
r K q q
r K q q
r P = ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
= ⋅
⋅
25
2
Larespuestacorrectaeslac).
2. Aumentaría.Enlaexpresiónquepermiteelcálculohayuntérmino
quenocambia(elqueserefierealaenergíapotencial
delascargasqueestánenlosextremos).Delosotrosdos,
laenergíapotencialdelascargasqueseaproximanaumenta
másdeloquedisminuyelaenergíadelascargasquesealejan,
porquelaenergíapotencialvaríaconelinversodeladistancia.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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98
3 El campo electrostático
27. Dos cargas positivas e iguales están situadas en el eje Y; una está situadaen y = a, y la otra, en y = −a . Calcular el campo y el potencial eléctricoen un punto situado sobre el eje X y a una distancia d del origen.¿Cómo varía el resultado si a >> d ? ¿Y si es d >> a ?
(La Rioja. Septiembre, 2005)
Obtenemoselcampoeléctricocreado
enelpuntoD(d ,0)porlascargas
devalorQ situadasenA(0,a )
yB(0,-a ).Paraello,envirtuddelprincipiodesuperposición:
WE D=WE A+WE B
• CampogeneradoenDporlacarga
situadaenA.
ElvectorWr Atieneorigenen(0,a )
a
d a
Q
Q
A
B
D
yextremoen(d ,0).
Portanto:
r d i a j u r
r
d i a j
d a A A
A
A
= - = =-
+
→ 2 2
W WW
W
W WW W
Entonces:
E K Q
r u K
Q
d a
d i a j
d a A
A
A N/C= ⋅ = ⋅
+
⋅-
+2 2 2 2 2
W WW W
• ObtenemoselcampogeneradoenDporlacargasituadaenB.
ElvectorWr Btieneorigenen(0,-a )yextremoen(d ,0).
Portanto:
r d i a j u r
r
d i a j
d a B B
B
B
= - = =-
+
→ 2 2
W WW
W
W WW W
Entonces:
E K Q
r u K
Q
d a
d i a j
d a
B
B
B N/C= ⋅ = ⋅
+
⋅-
+2 2 2
2 2
W WW W
Sumando:
E E E K Q
d a
d i a j
d a
K Q
d a
d i a
D A B= + = ⋅
+
⋅-
+
+
+ ⋅
+
⋅+
2 2 2 2
2 2
j j
d a
K Q d
d a i
2 2 2 2 3 2
2
+
=⋅ ⋅ ⋅
+( ) /
W
W
W
WW
W W W
(Lascomponentesverticalesseanulan.)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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99
Solucionario
Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos
elpotencialcreadoenDporlasdoscargas.
V V K Q
r K
Q
d a V V V K
Q
d a A B
AD A B= = ⋅ = ⋅
+
= + = ⋅
+2 2 2 2
2→
• Sia >>d ,(d 2+a 2)3/2.a 3y d a a 2 2+ . :
E K Q d
a i D = ⋅ ⋅
⋅2
3
WW ; V V K Q
a D A= ⋅ = ⋅ ⋅2 2
• Sid >>a ,(d 2+a 2)3/2.d 3y d a d 2 2+ . :
E K Q
d i D = ⋅ ⋅2
2
WW ; V V K Q
d D A= ⋅ = ⋅ ⋅2 2
28. Explica qué son las líneas de campo eléctrico y las superficiesequipotenciales. Razona si es posible que se puedan cortar dos líneasde campo. Dibuja esquemáticamente las líneas de campo y las superficiesequipotenciales correspondientes a una carga puntual positiva.
(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)
Laslíneasdecamposonlíneastangentes,
encadapunto,alvectorintensidad
decampoenesepunto.Sedibujandetal
maneraqueelnúmerodelíneasdecampo
queatraviesanunaunidaddesuperficie
perpendicularalaslíneasesproporcional
alaintensidaddelcampoenelpunto.
P
WE 2WE 1
Laslíneasdecamponosepuedencortarporque,silohiciesen,
enelpuntodecortehabríadosvaloresdistintosparaelcampo
(dostangentesdistintas)yelcampotieneunvalorúnicoencada
puntodelespacio.
Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacio
paralascualeselpotencialeléctricotieneelmismovalor.
Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunacargadeunpunto
aotrodeunasuperficieequipotencialesnulo:
W E E q V q V i f P f Pi f i→ = - - = - ⋅ - ⋅ =( ) ( ) 0
Paraunacargapuntualpositiva:
Líneasdecampo: Superficiesequipotenciales:
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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100
3 El campo electrostático
29. Dos pequeñas esferas, de masa m = 5 g y con carga q , cada una,se suspenden del mismo punto mediante hilos iguales, de masadespreciable y longitud L = 0,5 m, en presencia del campo gravitatorioterrestre. ¿Cuál debe ser el valor de la carga q para que, en equilibrio,los hilos formen un ángulo a = 60°?
Considera g = 10 N/kg; K = = ⋅⋅1
49 10
0
92
2pε
N m
C.
(Aragón. Junio, 2007)
Planteamoselbalancedefuerzaspara
cadaunadelascargassuspendidas
yenequilibrio.
• Ejevertical:
T P m g ⋅ = = ⋅cos θ
• Ejehorizontal:
T F K q q
d ⋅ = = ⋅
⋅sen Eθ
2
a
L L
WT
WP
WT
WP
m, q m, q
WF EWF E
Laseparaciónentrelascargasesd L= ⋅ ⋅2 sen θ .Elánguloes:
θa
= =2
30°
Paracalcularlacarga,dividimosmiembroamiembroysustituimos
losdatosquetenemos,expresandolasmagnitudesenunidadesdelSI:
T
T
m g
K
q
L
q
⋅
⋅=
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
cos
( )
( ,
θ
θ
θ
sen
sen
s
2
2
2
2
2 0 5
→
→
een
sen
30
5 10 10 30
9 10 30
89
2
3
9°
°
°) cos=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
-
→
→ q ,,5 10 6⋅
- C
30. Sean dos cargas Q 1 y Q 2 colocadas en los puntos del plano XY dadospor (−d , 0) y (d , 0), respectivamente. Si Q 1 > 0 y Q 2 < 0
y se cumple ⎮Q 1⎮ = 4 ⋅ ⎮Q 2⎮, averiguar en qué puntos del plano XYel campo eléctrico es nulo.
(P. Asturias. Junio, 2005)
Encualquierpuntoentrelasdoscargaselcampocreadoporcada
unadeellastendrálamismadirecciónysentido;portanto,
noseránulo.Elcamposeanularáenunpuntoenelqueelcampo
creadoporunadelascargastengalamismadirecciónysentido
contrarioqueelquecrealaotra(unpuntofueradelsegmento
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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101
Solucionario
quelasune)yamboscampostenganelmismomódulo.
Enconsecuencia,elpuntoestaráfueradelsegmentoquelasune
ymáspróximoalacargademenorvalor(Q 1):
WE T=WE 1+WE 2
P (-x ,0)
Q 1
-d d
Q 2WE 2WE 1
WE 1
WE 2
Buscamosunpuntoalaizquierdade Q 1donde⎮WE 1⎮=⎮WE 2⎮.
9 10 9 109 1
2
9 2
2⋅ ⋅
-
= ⋅ ⋅
+
Q
x d
Q
x d ( ) ( )
Teniendoencuentaque⎮Q 1⎮=4⋅⎮Q 2⎮:
44
2
2
2
2
2 2⋅
-
=
+
- = + ⋅
- =
Q
x d
Q
x d x d x d
x d
( ) ( )( ) ( )
( )
→ →
→ (( )x d x d x d x d + ⋅ + = - = -2 2 2 3→ →
31. Una carga puntual de 5 nC está situada en el origen de coordenadasde un sistema cartesiano. Otra carga puntual de −15 nC estásituada en el eje OY a 30 cm del origen del mismo sistema.
Calcula:
a) La intensidad de campo electrostático en un punto A, situadoen el eje OX, a 40 cm del origen.
b) El valor del potencial electrostático en el punto A.c) El trabajo realizado por el campo de fuerzas eléctricas cuando
una carga de 10 nC se desplaza desde el punto A a otro punto Bde coordenadas (40 cm, 30 cm).
Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.
(Castilla-La Mancha, 2007)
TrabajamosenunidadesdelSI.
q 2=-15nC
D(0,0,0,3)
B(0,4,0,3)
A(0,4,0)C(0,0)
q 1=5nC
O
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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102
3 El campo electrostático
a) ParaobtenerelcampocreadoenelpuntoA(0,4,0)
porlascargassituadasenD(0,0,3)yC(0,0)utilizamos
elprincipiodesuperposición:
WE A=WE D+WE C
Paracadacarga:
E K Q
r u = ⋅
2
W W
• CalculamoselcampoquelacargaqueestáenDcreaenA.
Wr Dtieneorigenen(0,0,3)yextremoen(0,4,0).Portanto:
r i j u r
r
i j D D
D
D
= - = =-
+
=0 4 0 30 4 0 3
0 4 0 3
0
2 2
, ,, ,
, ,
→
,, ,
,
4 0 3
0 5
i j -WWWW
W
W WW W
Entonces:
E K Q
r u
i j D
D
D= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
⋅-
-2
2
99
29 10
15 10
0 5
0 4 0 3( )
,
, ,
00 5
432 324
,=
= - +
i j
N
C
W W
W W
W W
• CalculamoselcampoquelacargaqueestáenCcreaenA:
Wr Ctieneorigenen(0,0)yextremoen(0,4,0).Portanto:
r i u r
r i C C
C
C
= = =0 4, →
W W W WW
W
Entonces:
E K
Q
r u i i CC
C
N
C= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅=
-1
2
99
29 10
5 10
0 4281 25
, ,W W W W
Obtenemoselcampototaloriginadoporlasdoscargas
enelpuntoA:
E E E
i j i i
A D C= + =
= - + + = - +( ) , ,432 324 281 25 150 75 324 j j N
C
W W W
W W W W W
b) TambiéncalculamoselpotencialcreadoenAporlascargas
situadasenByChaciendousodelprincipiodesuperposición:
V V V A D C= + .
Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadacarga,
yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos
enelapartadoanterior.
• V K Q
r D
D
= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-2 9
9
9 1015 10
0 5270
( )
,V
• V K Q
r C
C
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
=
-1 9
9
9 105 10
0 4112 5
,,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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103
Solucionario
Sumando:
V V V A D C V V V= + = - + = -270 112 5 157 5, ,
c) Calculamoseltrabajoenesedesplazamientoporlarelación:
W E q V V A B P B A→ = - = - ⋅ -D ( )
HemosobtenidoelvalordelpotencialenA.Deformasimilar
obtenemoselpotencialquelasdoscargasinicialescrean
enB:V V V B D C= +' '.
• V K Q
r D
D
V'
'
( )
,
,= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-2 9
9
9 1015 10
0 4
337 5
• V K q
r C
C
V'
' ,= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅=
-1 9
9
9 105 10
0 590
Sumando:
V V V B D C V V V= + = - + = -' ' , ,337 5 90 247 5
Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado:
W E q V V A B P B A
C V
→ = - = - ⋅ - =
= - ⋅ ⋅ - +-
D ( )
( ,10 10 247 5 159 77 5 9 10 7, )V J= ⋅ -
32. Dos cargas puntuales de 3 ⋅ 106 C están localizadasen los puntos (0, 2) y (0, −2), respectivamente.Otras dos cargas Q están localizadas en (4, 2) y (4, −2).Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadases 3 ⋅ 106 N/C Wi , determinar el valor de Q .
(La Rioja. Junio, 2006)
Secalculaelcampoeléctrico
quetodasestascargascrean
enelorigendecoordenadas
haciendousodelprincipio
desuperposición:
WE O=WE OA+WE OB+WE OC+WE OD
Consideramosquelospuntos
citadossecorresponden
conA(0,2),B(0,-2),C(4,2)yD(4,-2)yque
lascoordenadas
seexpresanenmetros.
A(0,2) C(4,2)
D(4,-2)B(0,2)
Q
O
Q 3⋅106C
3⋅106C
• CampocreadoporlacargasituadaenA.
ElvectorWr OAtieneorigenen(0,2)yextremoen(0,0).Portanto:
r j u r
r
j j OA OA
OA
O A
= - = =-
= -22
2→
W W W
W
W
WW
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104
3 El campo electrostático
Entonces:
E K q
r u j OA
A
OA
OA= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
- = - ⋅2
96
19 103 10
46 75 10· ( ) , 55 j W W W W
• CampocreadoporlacargasituadaenB.
ElvectorWr OBtieneorigenen(0,-2)yextremoen(0,0).
Portanto:
r j u r
r
j j OB OB
OB
OB
= = = = -22
2→
W W W
W
W
WW
Entonces:
E K q
r u j j OB
B
OB
OB= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅2
96
159 103 10
46 75 10· ,W W W W
• CampocreadoporlacargasituadaenC.
ElvectorWr OCtieneorigenen(4,2)yextremoen(0,0).
Portanto:
r j u
r
r
i j i j
OC OC
OC
OC
= - = =- -
+
=- -
24 2
4 2
4 2
202 2
→
WW W
W
W W WWW
Entonces:
E K q
r u
Q i j OC
C
OC
OC= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅- -
=
= - ⋅
2
99 1020
4 2
20
4 025, 110 2 0125 108 8⋅ - ⋅ ⋅Q i Q j ,
W W
W W
W W
• CampocreadoporlacargasituadaenD.
ElvectorWr OD
tieneorigenen(4,-2)yextremoen(0,0).
Portanto:
r i j u r
r
i j i i OC OD
OD
OD
= - + = =- +
+
=- +
4 24 2
4 2
4 2
22 2
→ 00
W WWW
W
W W W WW
Entonces:
E K q
r u
Q i j OD
D
OD
OD= ⋅ = ⋅ ⋅- +
=
= - ⋅
2
99 1020
4 2
20
4 025
·
, 110 2 0125 108 8⋅ + ⋅ ⋅Q i Q j ,
W W
W W
W W
Sumandoloscuatrovectoresdecampocomprobamosque
seanulanlascomponentesendireccióndelejeYysolo
quedanlascomponentesenladireccióndeXcorrespondientes
alcampoquecreanlascargasCyD:
E E E E E Q i i O OA OB OC OD= + + + = - ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅2 4 025 10 3 108 6, →WWWWWWW
→ Q = -⋅
⋅ ⋅
= - ⋅-3 10
2 4 025 103 73 10
6
8
3
,, C
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105
Solucionario
33. a) Explica el concepto de potencial eléctrico.¿Tiene sentido este concepto si la fuerzaelectrostática no fuese conservativa?
b) Dos cargas eléctricas puntualesde valor Q 1 = −9 μC y Q 2 = +16 μCestán fijas en el espacio ocupandodos vértices de un triángulo rectángulo(ver figura). Calcula el potencial eléctrico
d
Q 1
Q 2
d B
A
3 0 c m
40cm
en los puntos A y B. ¿Qué trabajo realizará el campo eléctrico para llevar
una carga puntual de 2 μC desde el punto B al punto A?
K = = ⋅⋅1
49 10
0
92
2pε
N m
C; 1 μC = 10−6 C.
(Aragón. Septiembre, 2007)
a) Sedenominapotencialenunpunto(V )alaenergíapotencial
delaunidadpositivadecargaenesepunto:
V E
q
K Q
r
= = ⋅P
Elpotencialesunamagnitudescalary,enelSistemaInternacional,
semideenvoltios,V.1V =1J/C.
Desdeelpuntodevistafísico,sedefineelpotencialenunpunto
comoeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampoparallevar
launidaddecargadesdeesepuntohastafueradelcampo,
convelocidadconstante.
W
q
F
q dr K Q r dr K Q r
i
i
E
i
→`
` `
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ -
# #1 1
2 =
= -⋅
+⋅
=⋅
=
i
i
i
i
i
`
`
`K Q
r
K Q
r
W
q
K Q
r V →
→
WW
Notendríasentidoladefinicióndepotencialsielcampo
electrostáticonofueraconservativo,yaqueparasucálculo
únicamenteseconsiderasuvalorenelpuntoinicialyelfinal,
ynolatrayectoriaseguida,loqueúnicamentetienesentidopara
camposconservativos(eltrabajorealizadoporlasfuerzas
delcampoelectrostáticodependesolodelpuntoinicial
yfinaldeldesplazamiento,ynodelatrayectoriaseguida).
b) Sabemosque:
W E q V V A B P B A→ = - = - ⋅ -D ( )
Haciendousodelprincipiodesuperposición,calcularemos
elpotencialquelasdoscargascreanenAcomolasuma
delpotencialquecadaunadeellascreaenesepunto.Deforma
similar,calcularemoselpotencialqueambascargascreanenB.
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106
3 El campo electrostático
EnlasexpresionesqueutilicemosempleamosunidadesdelSI
paratodaslasmagnitudes.
CálculodelpotencialenA.V V V A A1 A2= + .
• V K Q
r A1
A1
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-1 9
659 10
9 10
0 32 7 10
( )
,,
• V K Q
r A2
A2
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-2 9
659 10
16 10
0 43 6 10
,,
Sumando:
V V V A A1 A2 V V V= + = - ⋅ + ⋅ = ⋅2 7 10 3 6 10 9 105 5 4, ,
CálculodelpotencialenB.V V V B B1 B2= + .
Paraobtenerladistanciadecadacargaalpunto,calculamos
elvalordelahipotenusa:
h d d = = + = =2 0 3 0 42 2· , , 0,5 m 0,25 m→
• V K Q
r B1
B1
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-1 9
659 10
9 10
0 25
3 24 10( )
,
,
• V K Q
r B2
B2
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-2 9
659 10
16 10
0 255 76 10
,,
Sumando:
V V V B B1 B2 V V V= + = - ⋅ + ⋅ = ⋅3 24 10 5 76 10 2 52 105 5 5, , ,
Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado:
W E q V V A B P B A
C V
→ = - = - ⋅ - =
= - ⋅ ⋅ ⋅ --
D ( )
( ,2 10 2 52 10 96 5 ⋅⋅ = -10 0 3244 V J) ,
Eltrabajoesnegativo,loqueimplicaquelasfuerzasdelcampo
nodesplazaránalapartículadesdeAhastaB.Paraqueserealice
esedesplazamientohayqueaplicarunafuerzaexterna.
34. Tres partículas cargadas Q 1 = +2 μC, Q 2 = +2 μC y Q 3 de valordesconocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntosen los que se encuentran las cargas son Q 1: (1, 0), Q 2: (−1, 0)
y Q 3: (0, 2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros:a) ¿Qué valor debe tener la carga Q 3 para que una carga situada
en el punto (0, 1) no experimente ninguna fuerza neta?
b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultanteen el punto (0, 1) debido a las cargas Q 1, Q 2 y Q 3?
K = = ⋅⋅1
49 10
0
92
2pε
N m
C; 1 μC = 10−6 C.
(C. Madrid. Junio, 2005)
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107
Solucionario
a) Haciendousodelprincipio
desuperposición,calculamos
lafuerzaquelastrescargasejercen
sobrelaqueseencuentraenel
puntoD(0,1);estaráenreposo
cuandolafuerzatotalqueactúe
sobreellaseacero:
WF T=WF 1+WF 2+WF 3=0
Paracadacarga:
A(1,0)B(-1,0)
Q 1
Q 3
Q 2
C(0,2)
D
F K Q q
r u E r= ⋅
⋅
2
W W
• FuerzaejercidaporlacargaQ 1queseencuentraenA(1,0).
ElvectorWr Atieneelorigenen(1,0)yelextremoen(0,1).
Portanto:
r i j u r
r
i j i j A A
A
A
= - + = =- +
+
=- +
→ 1 1 22 2
W WW
W
WW W
WW W
Entonces:
F K Q q
r u
q i j 1
1
2
96
9 102 10
2 2
6 36
= ⋅⋅
= ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅- +
=
= -
-
A
A
, 44 10 6 364 103 3⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅q i q j ,
W W
W W
W W
• FuerzaejercidaporlacargaQ 2queseencuentraenB(-1,0).
ElvectorWr Btieneorigenen(-1,0)yextremoen(0,1).
Portanto:
r i j u r
r
i j i j B B
B
B
= - + = =+
+
=+
→ 1 1 22 2
W WW
W
W W WW W W
Entonces:
F K Q q
r u
q i j 2
2
2
96
9 102 10
2 2
6 364
= ⋅⋅
= ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅+
=
= ⋅
-
B
B
, 110 6 364 103 3⋅ ⋅ + ⋅ ⋅q i q j ,
W W
W W
W W
• FuerzaejercidaporlacargaQ 3queseencuentraenC(0,2).
ElvectorWr Ctieneorigenen(0,2)yextremoen(0,1).
Portanto:
r j u r
r
j j C C
C
C
= - = =-
= -→ 12
WW
W
WW
WW
Entonces:
F K Q q
r u
Q q j Q q 3
3
2
9 3 939 10
19 10= ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅⋅ - = - ⋅ ⋅ ⋅
C
C ( ) j j W W W W
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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108
3 El campo electrostático
Sumando:
F F F F q i q j T = + + = = - ⋅ +1 2 33 30 6 364 10 6 364 10( , · · , · · · ))
( , · · , )
+
+ + ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅6 364 10 6 364 10 9 103 3 93q i q j Q q j →→
W W W W W
W W W
W
→ →
→
1 2728 10 9 10
1 2728 10
9
4 93
3
4
,
,
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
=⋅
⋅
q j Q q j
Q 110
1 414 10 1 4149
6= ⋅ =-, ,C Cm
W W
b) Denuevo,haciendousodelprincipiodesuperposición
podemosobtenerelpotencialtotalenunpuntoapartirdelospotencialesquecadaunadelascargasindividualescrea
enesepunto:V V V V T 1 2 3= + + .
• V K Q
r 1
A
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-1 9
649 10
2 10
21 2728 10,
• V K Q
r 2
B
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
= ⋅
-2 9
649 10
2 10
21 2728 10,
• V K Q
r 3
C
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅
-3 9
649 10
1 414 10
11 2728 10
,,.
Sumando:
V V V V T 1 2 3 V V= + + = ⋅ ⋅ = ⋅3 1 2728 10 3 8184 104 4, ,
35. Dos cargas puntuales de −5 ⋅ 10−4 C están fijas en los puntos x = 0y x = 5 cm del eje OX. Calcular el módulo, la dirección y el sentido
de la intensidad del campo eléctricoW
E , además del potencialelectrostático V , en los puntos x = 8 cm y x = 10 cm.Si se abandona en reposo una partícula de masa m = 5 mg y cargapositiva q = + 10−9 C en el punto x = 10 cm, ¿cuál será su velocidadal pasar por x = 8 cm?
(País Vasco. Junio, 2007)
q 1=-5⋅104C q 2=-5⋅10-4C
A(0,0) B(5,0) C(8,0) D(10,0)
a) Podemosdeterminarlaexpresióndelcampoeléctrico
encualquieradelosdospuntosC(8,0)yD(10,0)envirtud
delprincipiodesuperposición:
• WE C=WE AC+WE BC
• WE D=WE AD+WE BD
ConsideramosquelascargasseencuentranenA(0,0)yB(5,0)
yhacemostodosloscálculosenelSIdeunidades.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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109
Solucionario
• Campocreadoporq 1yq 2enC.
ElvectorWr ACtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,08,0).Portanto:
Wr AC=0,08Wi → Wu AC=Wi
Entonces:
E K q
r u i AC
A
AC
AC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-
2
94
29 10
5 10
0 087 0
( )
,, 33 108
⋅ i N/CW W W W
ElvectorWr BCtieneorigenen(0,05,0)yextremoen(0,08,0).
Portanto:Wr BC=0,03
Wi →
Wu BC=
Wi
Entonces:
E K q
r u i BC
B
BC
BC= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-
2
94
29 10
5 10
0 035 10
( )
,
99 i N/CW W W W
Sumando:
E E E i i i C AC BC N/C= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅7 03 10 5 10 5 703 108 9 9, ,W W W W W W
• Campocreadoporq 1yq 2enD.
ElvectorWr ADtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,1,0).Portanto:
Wr AD=0,1Wi → Wu AD=Wi
Entonces:
E K q
r u i AD
A
AD
AD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-
2
94
29 10
5 10
0 14 5
( )
,· , 1108 i N/CW WWW
ElvectorWr BDtieneorigenen(0,05,0)yextremoen(0,1,0).
Portanto:Wr BD=0,05Wi → Wu BD=Wi
Entonces:
E K q
r u i BD
B
BD
BD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-
2
94
29 10
5 10
0 051 8
( )
,, ⋅⋅ 109 i N/C
W W W W
Sumando:
W WE E E i i i D AD BD N/C= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅4 5 10 1 8 10 2 25 108 9 9, , , WWWW
Tambiénutilizamoselprincipiodesuperposiciónparacalcular
elpotencialqueambascargascreanenlospuntosCyD.
• Potencialcreadoporq 1yq 2enC.
V K q
r AC
A
AC
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-
9 105 10
0 085 625 109
47( )
,,
V K q
r BC
B
BC
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-
9 105 10
0 031 5 109
48( )
,,
Sumando:
V V V C AC BC V V= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅5 625 10 1 5 10 2 0625 107 8 8, , , VV
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110
3 El campo electrostático
• Potencialcreadoporq 1yq 2enD:
V K q
r AD
A
AD
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-
9 105 10
0 14 5 109
47( )
,,
V K q
r BD
B
BD
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= - ⋅
-
9 105 10
0 059 109
47( )
,
Sumando:
V V V D AD BD V V V= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅4 5 10 9 10 1 35 107 7 8, ,
b) Dadoquelainteracciónelectrostáticaesconservativa,haremosusodelprincipiodeconservacióndelaenergíamecánicaparacalcular
lavelocidadquealcanzalapartículaalpasarporelpuntoCcuando
esliberadaenDenreposo(v D=0):
E E E E CD PD C C P C+ = + →
→ →1
2
1
2
2 2m v q V m v q V ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅D D C C
→ 1 10 1 35 10
1
25 10 1 10
9 8
3 2 9
⋅ ⋅ - ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
-
- -
( , )
(v C -- ⋅2 0625 108, ) →
→ v C m/s=⋅ - +
⋅=
-
2 0 135 0 206 25
5 105 34
3
( , , ),
36. En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme vertical,de manera que la diferencia de potencial entre dos puntos situados unoencima del otro y distantes 2 cm es de 100 V.
a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón situado en esa región del espacio?
b) Si el electrón se abandona en reposo en el punto de menor potencial,¿con qué velocidad llegará al otro punto?
c) Representar gráficamente el vector campo eléctrico, la fuerza ejercidasobre el electrón, el punto de menor potencial y el punto de mayorpotencial.
Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.
(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)
a) Sielcampoeléctricoesuniforme,secumpleque:
E d r V E r V E V
d ⋅ = - ⋅ = - = = =# D D D→ →
100
250
V
m
N
C
W W W W
Conociendolacargadelelectrónyelcampoeléctricouniforme
existentepodemosobtenerlafuerzaqueejercesobreelelectrón:
F q E F q E E E C N/C N= ⋅ = ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅- -→ 1 6 10 50 8 1019 18,W W
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111
Solucionario
b) Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobreelsistema
sonlasfuerzaselectrostáticas:
E E E E E E E E Ci Pi C f P f P f Pi C f Ci+ = + - + = +→ →
- = - ⋅ =D DE E q V E P C f C f → →
→ →1
29 1 10 1 6 10 10031 2 19⋅ ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ -- -, ( , ) ( )v f
→ v f m/s= ⋅5 93 106,
c) Comoelelectrónesunapartículaconcarganegativa,lafuerza
queactúasobreéltieneelsentido
opuestoaldelcampoeléctrico.
Sumovimientoesdesdeelpunto
demenorpotencialalpuntode
mayorpotencial.Deahíque
V = 0V
2cm
V = 100V
WF WE
sumovimientoenestecamposeaelqueseindicaporlaflecha
azulqueestáentrelasdoslíneasquemarcanlazona
entrelaqueexisteladiferenciadepotencialde100V.
37. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas eléctricas de valor 1 nCde signo contrario y separadas una distancia de 6 cm.
a) Dibujar las líneas de fuerza del campo eléctrico de la distribución.
b) Calcular el valor del campo eléctrico en un punto situado a 2 cmde la carga positiva y en otro situado a 2 cm de la negativa.
c) Calcular el valor del potencial eléctrico en esos puntos.
d) Si se abandona un electrón en reposo en el punto de menor potencial,calcular la velocidad que alcanzará cuando pase por el punto de mayorpotencial.
Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2⋅ C−2; masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;
carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.
(C. F. Navarra. Septiembre, 2007)
a) Sonlíneasquesalen
delacargapositiva
yentranenlacarganegativa.
q A=-1nC q B=1nC
C(-5,0) A(-3,0) B(3,0) D(5,0)O
v f
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112
3 El campo electrostático
b) Suponemosquelascargasseencuentranenlospuntos
decoordenadasA(-3,0)yB(3,0).
Enamboscasosutilizaremoselprincipiodesuperposiciónpara
obtenerelvalordelcampoeléctricoqueambascargascrean
enlospuntosC(-5,0)yD(5,0).
WE C=WE AC+WE BC; WE D=WE AD+WE BD
• CampototalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean
enelpuntoC(-5,0).
Enloscálculostendremosencuentaquelascoordenadasestándadasencentímetros;debemosexpresarlasenmetros.
ElvectorWr ACtieneorigenen(-3,0)yextremoen(-5,0).
Portanto:
Wr AC=-0,02Wi → Wu AC=Wi
Entonces:
E K q
r u i A
AC
AC
AC= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
⋅ - =
-
2
99
29 10
1 10
0 022
( )
,( ) ,,25 104
⋅ i N/CW W W W
ElvectorWr BCtieneorigenen(3,0)yextremoen(-5,0).Portanto:
Wr BC=-0,08Wi → Wu BC=Wi
Entonces:
E K q
r u i BC
B
BC
BC= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
⋅ - =
-
2
99
29 10
1 10
0 081
( )
,( ) ,,406 103
⋅ i N/CW W W W
Sumando:
E E E i i i C AC BC N= + = ⋅ + ⋅ = ⋅2 25 10 1 406 10 2 391 104 3 4, , , / /CW W W W W W
• CampototalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean
enelpuntoD(5,0).
ElvectorWr ADtieneorigenen(-3,0)yextremoen(5,0).
Portanto:
Wr AD=0,08Wi → Wu AD=Wi
Entonces:
E K q
r u i AD A
AD
AD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-
29
9
29 101 10
0 081 40
( )
,, 66 103⋅ i N/C
W W W W
ElvectorWr BDtieneorigenen(3,0)yextremoen(5,0).
Portanto:
Wr BD=0,02Wi → Wu BD=Wi
Entonces:
E K q
r u i BD
B
BD
BD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-
2
99
29 10
1 10
0 022 25
( )
,, ⋅⋅ 104 i N/CW W W W
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113
Solucionario
Sumando:
E E E i i D AD BD= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅1 406 10 2 25 10 2 391 103 4 4, , , i i N/CW W W W W W
Observaqueenambospuntos(CyD)elcampotieneelmismo
móduloydirección,perosentidoscontrarios.
c) ParacalcularlospotencialescreadosenCyD
podemosutilizartambiénelprincipiodesuperposición,
demaneraque:
V V V C AC BC= + ;V V V D AD BD= +
• PotencialtotalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean
enelpuntoC(-5,0).
V K q
r AC
A
AC
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-
9 101 10
0 024509
9( )
,
V K q
r BC
B
BC
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
=
-
9 101 10
0 08112 59
9
,,
Sumando:
V V V C AC BC V V V= + = - + = -450 112 5 337 5, ,
• PotencialtotalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean
enelpuntoD(5,0).
V K q
r AD
A
AD
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
= -
-
9 101 10
0 08112 59
9( )
,,
V K q
r
BDB
BD
450 V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
=
-
9 101 10
0 02
99
,Sumando:
V V V D AD BD V V V= + = - - =112 5 450 337 5, ,
d) ElpuntodemenorpotencialdondeabandonaremoslacargaesC,
yobtendremossuvelocidadcuandopasaporD.
Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobreelsistema
sonlasfuerzaselectrostáticas:
E E E E C C P C CD PD+ = +→
→E E E E C C P C CD PD+ = + →
→ 0 1 6 10 337 5
1
29 1 1 0
19
31 2
+ - ⋅ ⋅ - =
= ⋅ ⋅ ⋅ +
-
-
( , ) ( , )
, v D (( , ) ,- ⋅ ⋅-
1 6 10 337 519→
→ v D7 m/s=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
-
-
2 5 4 10 2
9 1 1 01 54 10
17
31
( , )
,,
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114
3 El campo electrostático
38. Un modelo eléctrico simple para la molécula de cloruro de sodioconsiste en considerar a los átomos de sodio y cloro como sendas cargaseléctricas puntuales de valor 1,6 ⋅ 10−19 C y −1,6 ⋅ 10−19 C,respectivamente. Ambas cargas se encuentran separadas una distanciad = 1,2 ⋅ 10−10 m. Calcula:
1. El potencial eléctrico originado por la molécula en un punto Olocalizado a lo largo de la recta que une ambas cargas a una distancia50d de su punto medio. Considera el caso en que el punto Ose encuentra más próximo a la carga positiva.
2. El potencial eléctrico originado por la molécula en un punto Plocalizado a lo largo de la recta mediatriz del segmento que unelas cargas y a una distancia 50d de su punto medio.
3. El trabajo necesario para desplazar a un electrón desde el punto Ohasta el punto P.
Datos: e K = ⋅ = ⋅⋅−1 6 10 9 1019 9
2
2, ;C
N m
Ce .
[Nota: donde se indica molécula supón que se refiere al dipolo formado
por un ion Cl− y un ion Na+.](C. Valenciana. Septiembre, 2006)
Esquematizamoselproblemaestableciendolalocalización
delascargasylasdelospuntosOyP.Enelgráficoseexpresan
suscoordenadasenunidadesd .
A B
(-d /2,0) (d /2,0) (50d ,0)
(0,50d )
O
P
1. CalculamoselpotencialenOhaciendousodelprincipio
desuperposición:
V V V O AO BO= +
• V K q
r AO
A
AO
= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
⋅ ⋅
-
-9 10
1 6 10
50 5 1 2 10
919
1
( , )
, , 000 238= - , V
• V K q
r BO
B
BO
= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅=
-
-9 10
1 6 10
49 5 1 2 1009
19
10
,
, ,,,242 V
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115
Solucionario
Sumando:
V V V O AO BO V V V= + = - + = ⋅ -0 238 0 242 4 10 3, ,
2. CalculamoselpotencialenPhaciendousodelprincipio
desuperposición:
V V V P AP BP= +
LadistanciadePalospuntosAyBes:
r r AP BP= = ⋅ + ⋅ ⋅ ≈ ⋅- - -( , ) ( , )0 6 10 50 1 2 10 6 1010 2 10 2 9 mm
Portanto:
• V K q
r AP
A
AP
V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅
⋅= -
-
-9 10
1 6 10
6 100 249
19
9
( , ),
• V K q
r BP
B
BP
V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅=
-
-9 10
1 6 10
6 100 249
19
9
,,
Sumando:
V V V P AP BP= + = 0
3. Sabemosque:
W E q V V O P P P O
C
→ = - = - ⋅ - =
= - - ⋅ ⋅ - ⋅-
D ( )
( , ) (1 6 10 0 4 119 00 6 4 103 22- -= - ⋅V J) ,
Eltrabajoesnegativo,loqueindicaquelasfuerzasdelcampo
nodesplazaránelelectróndesdeOhastaP;habráqueaplicaruna
fuerzaexternaparalograrlo.
39. Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radioR = 10 m están colocadas equidistantes entre sí seis
cargas positivas iguales y de valor q = 2 μC. Calcule:a) El campo y el potencial debidos al sistema
de cargas en uno cualquiera de los polos(puntos N y S).
b) El campo y el potencial debidos al sistemade cargas en el centro O de la esfera.
q
q
q
q
q
q O
S
N
(Castilla y León. Septiembre, 2007)
a) Podemoscalcularelcampo
eléctricoenalgunodelospolos,envirtuddelprincipio
desuperposicióndeuna
distribucióndecargascomo:
WE T=∑i
WE i
siendoWE ielcampocreado
porcualquieradelascargas
enelpuntoconsiderado.
r R R r R R 2 2 2 22 2= + = =→ ⋅
cos a = =⋅
=R
r
R
R 2
1
2
N
S
q
q
q
q
q
q
r
O
a
a
WE 2
WE 2
WE 1
WE 1
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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116
3 El campo electrostático
Sumóduloesigualparatodaslascargasdelsistema
ysecorrespondecon:
E K q
r r R R i = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅
+( )
- -
2
96
2
96
2 2
9 102 10
9 102 10
22
9 6
2 2
9 10 2 10
10 1090
=
=⋅ ⋅ ⋅
+=
-
N/C
Sidescomponemoselcampoquecreacadapartícula
ensucomponenteverticalyhorizontal,vemosquecada
partículatieneotracolocadadeformasimétrica,demodoquelascomponenteshorizontalesdeambasseanulan.
Enconsecuencia,alhacerlasumavectorialdelcampocreado
porlasseispartículasseanulanlascomponenteshorizontales,
quedandosolounacomponenteverticalqueesigualaseisveces
lacomponenteverticaldelcampoquecreaunadeellas:
cosa
E E i i i i ii
N
C= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∑ 6 90 6 90
1
2381 84cos ,aW W W W W
Tambiénporelprincipiodesuperposiciónobtenemoselpotencial
creadoporladistribuciónenelcentro:
V V T = ⋅6
siendoV elpotencialquecreaunacargaenelpolo,queesigual
paratodaslascargas.
V K
q
R = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅= ⋅
-
2
9 102 10
2 10
1 27 1096
3
·
, V →
→ V T V V= ⋅ ⋅ = ⋅6 1 27 10 7 62 103 3, ,
b) Elcentrodelacircunferenciacorrespondealpuntomedio
decadaparejadedoscargasdelmismosigno.Sabemos
queenelpuntomediodelalíneaqueuneadoscargas
igualeselcampoesnulo;portanto,porelprincipio
desuperposición,elcampototalcreadoporlastres
parejasdecargasenesepuntoserátambiénnulo.E T=0.
Tambiénporelprincipiodesuperposiciónobtenemoselpotencialcreadoporladistribuciónenelcentro:
V V T = ⋅6
siendoV elpotencialquecreaunacargaenelcentro,queesigual
paratodaslascargas.
V K q
R = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅= ⋅
-
9 102 10
101 8 109
63, V →
→ V T V V= ⋅ ⋅ = ⋅6 1 8 10 1 08 103 4, ,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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117
Solucionario
40. ¿Qué conclusiones se pueden sacar del hecho de que el flujo neto a travésde una superficie gaussiana sea cero?
a) El campo eléctrico es cero en toda la superficie.
b) No hay cargas eléctricas en el interior.
c) La suma algebraica de las cargas en el interior es cero.
Larespuestacorrectaeslac).Deacuerdoconelteorema
deGauss,elflujodependedelacargatotalcontenida
dentrodelasuperficiequeseconsidere.Paraquelacarga
totalseanula,puedeserquenoexistancargasenelinterior,peroúnicamenteesuncasoparticulardeunomásgeneral
enelquesepuedentenercargaspositivasynegativas,siempre
ycuandoelvalortotalpositivoynegativoseiguale,deforma
queeltotalseanulo.
41. a) Cargamos una esfera de plomo de 2 mm de radio a un potencialde 500 V. Determina la carga de la esfera.
b) Introducimos la esfera cargada en una caja de cerillas.
Determina el flujo eléctrico a través de la caja.ε0 = 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ C2 ⋅ N−1 ⋅ m−2.
(Castilla-La Mancha, 2007)
a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,sedetermina
elpotencialdeunaesferacargadadeacuerdo
conlaexpresión:
V E d r K Q
R
u d r K Q
R
dr K Q
R
R
R R
r
R
= - ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅ = ⋅
# # #` ` `
2 2
W W WW
Segúnesto,conociendoelradioR delaesferaysupotencial
podemosdeterminarsucarga:
Q V R
K =
⋅=
⋅ ⋅
⋅= ⋅
--R C
500 2 10
9 101 11 10
3
9
10,
b) EnvirtuddelteoremadeGauss,elflujoqueatraviesa
unasuperficieesfunciónúnicamentedelacargaqueseencierra
conesasuperficieydelaconstantedieléctrica;nodepende
delvalordelasuperficie:
φε
=Q encerrada
Enestecaso,lacargaencerradaeslacargadelaesferacalculada
enelapartadoanterior,Q :
φ =⋅
⋅
=-
-
1 1 1 10
8 85 10
10
12
,
,
C
C
N m
12,55 Wb2
2⋅
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118
3 El campo electrostático
42. En el interior de un conductor esférico cargado y en equilibrioelectrostático se cumple:
a) El potencial y el campo aumentan desde el centro hasta la superficiede la esfera.
b) El potencial es nulo, y el campo, constante.
c) El potencial es constante, y el campo, nulo.
(Galicia. Junio, 2005)
Enunconductoresféricocargadoyenequilibriolascargastotalessedistribuyenporlasuperficiedelmismo,demanera
queensuinteriornoexistencargas.EnvirtuddelteoremadeGauss,
larespuestacorrectaeslac),yaqueelcampototalseránulo
y,portanto,supotencialseráconstante.
43. Si el flujo del campo eléctrico a través de una superficiegaussiana que rodea a una esfera conductora cargaday en equilibrio electrostático es Q / ε0, el campo eléctrico en el exterior
de la esfera es:a) Cero
b) Q /4pε0r 2
c) Q / ε0
(Galicia. Septiembre, 2005)
Dadoque,pordefinicióndeflujodecampoeléctrico,severifica
queE S
=φ,lasrespuestasa)yc)conincorrectas,
siendolab)laexpresiónquesecorrespondealcampoeléctrico
enelexteriordelasuperficiedeunaesfera.
44. Dos conductores esféricos concéntricos y huecos tienen de radios2 y 4 cm. La esfera interior lleva una carga de 12 ⋅ 10−9 C, y la exterior,20 ⋅ 10−9 C. Determinar el campo eléctrico y el potencial a estasdistancias del centro: 1, 3 y 5 cm.
• Distanciade1cm:
Lacargaencerradaporunasuperficie
gaussianaderadio1cmnocontiene
ningunacarga,porloquesuflujoserá
nulo.DadoqueE S
=φ,seránulo
tambiénelcampoeléctrico.Porotra
parte,parapuntosinterioresalaesfera
cargada,E =0→V =constante.
2cm4cm
12⋅10-9C
20⋅10-9C
5cm
3cm
1cm
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119
Solucionario
SuvalorcoincideconeldeV RcuandoR =2cm+elvalor
deV RcuandoR =4cm:
V V V K Q
R K
Q
R T R Rcm cm
cm cm= + = ⋅ + ⋅ =
= ⋅
( ) ( )( ) ( )
2 42 4
9 10012 10
2 109 10
20 10
4 109 9 19
9
2
99
2⋅
⋅
⋅+ ⋅ ⋅
⋅
⋅= ⋅
-
-
-
-, 003 V
• Distanciade3cm:
Aestadistancialacargaencerradaporlasuperficiegaussiana
esladelaprimeraesferacargadaderadio2cm.ParacualquiersuperficiedeGaussfueradelaesfera:
φε
= ⋅ =$E dS Q encerradaW W
Elconductoresféricosecomportacomounpuntomaterialsituado
enelcentrodelaesferayquecontengatodalacargadelamisma.
E K Q
r = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅= ⋅
-
-
1
2
99
2 2
59 1012 10
3 101 20 10
( ), N/C
Elpotencialenesepuntoseráeldebidoalconductorinterior
máseldebidoalconductorexterior.
–Potencialdebidoalconductoresféricointeriorenunpuntoexterior:
V K Q
r r V= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅= ⋅
-
-
1 99
2
39 1012 10
3 103 6 10,
–Potencialdebidoalconductoresféricoexteriorenunpuntointerior
almismo,V RcuandoR =4cm:
V R V= ⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⋅
-
-9 10 20 10
4 104 5 109 9
2
3,
Sumando:
V V V T r R V V V= + = ⋅ + ⋅ = ⋅3 6 10 4 5 10 8 1 103 3 3, , ,
• Distanciade5cm:
Enestecaso,lacargatotalencerradaporlasuperficiedeGauss
eslasumadelascargasdelosdosconductoresesféricos.
Elrazonamientoescualitativamenteigualaldelapartadoanterior.
ParacualquiersuperficiedeGaussfueradelaesfera:
φε
= ⋅ =$E dS Q encerradaW W
Losconductoresesféricossecomportancomounpuntomaterial
situadoenelcentrodelaesferayquecontengatodalacarga.
E K Q
r = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅
⋅=
- -
-2
99 9
2 29 10
12 10 20 10
5 101 15
( ), 22 105⋅ N/C
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120
3 El campo electrostático
Deformaparecidapodemosobtenerelpotencialenunpunto
exterioralconductoresférico:
V K Q
r r = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅
⋅= ⋅
- -
-9 10
12 10 20 10
5 105 76 109
9 9
2, 33 V
45. Tres pequeñas esferas conductoras, A, B y C, todas ellas de igualradio y con cargas Q A = 1 μC, Q B = 4 μC y Q C = 7 μC se disponenhorizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una distancia de 60 cm
entre sí, mientras que la C puede desplazarse libremente a lo largode la línea que une A y B.
a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C.
b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se le pone en contactocon la A dejándola posteriormente libre, ¿cuál será ahora la posiciónde equilibrio de esta esfera C?
Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas de fuerzasoportunos.
(Castilla y León. Junio, 2006)a) LaposicióndeequilibriodelaesferaCseráaquellapara
laquelasfuerzaselectrostáticasqueactúansobreellafruto
delascargasAyBseigualenenmódulo.Sussentidosson
opuestosparaamboscasos,yaquetodaslascargassonpositivas,
porloquetodaslasfuerzassonrepulsivas.
• F K Q Q
x x x A
A C= ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
⋅- - -
2
96 6
2
3
9 101 10 7 10 63 10
22
• F K Q Q
x B = ⋅
⋅
-= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
-
- -B C
( , ) ( ,0 69 10
4 10 7 10
0 62
96 6
x x x ) ( , )2
3
2
252 10
0 6=
⋅
-
-
Q B=4mC
Q C=7mC
Q A=1mC
60cm
WF BWF A
Ycomodebenseriguales:
63 10 252 10
0 60 6 4
0
3
2
3
2
2 2⋅=
⋅
-- = ⋅
- -
x x x x
( , )( , )→ →
→ ,,6 2- = ⋅ = =x x x → 0,2 m 20 cm
Laposicióndeequilibrioestá20cmaladerechadelacargaA.
b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzarán
elequilibrioelectrostático,demaneraquesuspotenciales
seigualarán.
x
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121
Solucionario
Comolasesferassondeigualradio,lacargatotaldeambasse
repartiráapartesigualesentrelasdos,demaneraquelanueva
distribucióndecargaserátalque:
Q Q A CC C
C= =⋅ + ⋅
= ⋅
- --1 10 7 10
24 10
6 66
Repetimosloscálculosparalaposicióndeequilibrioconesta
nuevadistribucióndecarga:
• F K
Q Q
x x A
A C
= ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅- - -
2
96 6
2
3
9 10
4 10 4 10 144 10
x x 2
• F K Q Q
x B = ⋅
⋅
-= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
-
- -B C
( , ) ( ,0 69 10
4 10 4 10
0 62
96 6
x x x ) ( , )2
3
2
144 10
0 6=
⋅
-
-
Enestecaso,comotodaslascargasdelsistemasoniguales,
(Q A=Q B=Q C=4mC)lafuerzageneradaporcada
unadelascargasAyBsobreCseráigualenelpuntomedio
entrelasdoscargasAyB:x =30cmserálaposicióndeequilibrio
paralacargaC.
46. Dos esferas metálicas de 5 cm y 10 cm de radio se cargan a 1000 Vy −1000 V, respectivamente. Una vez cargadas se alejan hasta una distanciade 10 m, que se puede considerar muy grande comparada con los radios.Estas esferas ¿se atraen o se repelen? ¿Con qué fuerza? Las dos esferasse ponen en contacto mediante un hilo metálico. Al cabo de un rato se cortael hilo. En esta nueva situación, ¿con qué fuerza se atraen o se repelen? ¿Cuálha sido la variación de energía del sistema entre la situación inicial y la final?
Dato: K = 1/(4πεo) = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2.
(Cataluña, 1994)
a) Calculamoslacargadelasesferasmetálicasconociendo
elpotencialensusuperficie:
• Q V R
K A
A A 5,556 C 5,55=⋅
=⋅ ⋅
⋅= ⋅ =
--1000 5 10
9 1010
2
9
9 66 nC
• Q V R K
BB B
11,112 C
=⋅
=
=- ⋅ ⋅
⋅= - ⋅
--1000 10 10
9 1010
2
9
9 == -11,112 nC
Lasesferasseatraerán,puestoquesucargaesdediferente
signo.
Aunadistanciamuchomayorquesuradiosecomportan
comocargaspuntualessituadasenelcentrodelaesfera.
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122
3 El campo electrostático
Podemoscalcularelmódulodelafuerzaconlaqueseatraen
apartirde:
F K Q Q
R = ⋅
⋅=
= - ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
- -
A B
2
99 9
9 105 556 10 11 112 10
1
, ,
005 556 10
2
9= - ⋅
-, N
b) Aluniralasesferasconunhiloconductor,alcanzaránelequilibrio
electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán.
V V K Q
R K Q
R
Q Q A B
A
A
B
B
A B= → → →⋅ = ⋅
⋅
=
⋅- -
5 10 10 102 2
→ →Q Q
Q Q A B
AB
5 10 2= =
Comolacargadelsistemaseconserva:
Q Q A B C+ = - ⋅-
5 556 10 9,
Relacionandolasexpresionesanteriores:
Q B
Q Q A A C+ ⋅ = - ⋅ -2 5 556 10 9, →
→ Q AC
C=- ⋅
= - ⋅
-
-5 556 10
31 852 10
99,
,
Ytenemosentonces:
Q Q B A C C= ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅- -2 2 1 852 10 3 704 109 9, ,
Calculamoslafuerzaconlaqueserepelen(porsercargas
delmismosigno)enestaocasión:
F K Q Q
R = ⋅
⋅=
= ⋅ ⋅- ⋅ ⋅ - ⋅
- -
A B
2
99 9
9 101 852 10 3 704 10, ( , ))
,10
6 1738 102
9= ⋅
- N
47. Un electrón, con una velocidad de 6 ⋅ 106 m ⋅ s−1, penetra en un campoeléctrico uniforme y su velocidad se anula a una distancia de 20 cm desde
su entrada en la región del campo.a) Razone cuáles son la dirección y el sentido del campo eléctrico.
b) Calcule su módulo.
e = 1,6 ⋅ 10−19 C; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg.
(Andalucía, 2008)
a) Comoseapreciaenelesquemadelapáginasiguiente,paraque
sumovimientoseadecelerado(suvelocidadseanulatrasentrar
enelcampo),elcampoeléctricodebetenerlamismadirección
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123
Solucionario
ysentidoquelavelocidaddelelectrón.
Elelectrónesunapartículadecarganegativa,
ylafuerzaqueelcampoejercesobreella
esdesentidoopuestoaldelpropiocampo.
Estoes,sielelectrónsemueveenladirección
W
F E
WE
Wv
ysentidodeWi ,elcampoeléctricotendrá
direcciónysentidodeWi ,puestoquesucarga
esnegativa.
b) WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa x.Sustituimoslosdatosexpresándolos
enunidadesdelSI: -1,6⋅10-19⋅WE =9,1⋅10-31⋅Wa [1]
Comoelcampoesconstante,lafuerzaqueactúasobreelelectrón
tambiénloes.Portanto,tendráunmovimientouniformemente
acelerado.Utilizamossusecuacionesparaestudiarelmovimiento
delelectrón.
Sedetienea20cmdelinicio;esdecir,aesadistanciasuvelocidad
sehace0:
v v a t t
a = = ⋅ + ⋅ -⋅
=0 6
6
0 6 106 10
→ →
Porotraparte:
y v t at t t
t
= + ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅
=
-0
2 2 6 61
220 10 6 10
1
26 10
6
→ →
→ ,,67 10 8⋅
- s
Portanto:
a
t = -
⋅= -
⋅
⋅
= - ⋅-
6 10 6 10
6 67 108 995 10
6 6
8
13m/s
sm/
,, ss2
Yretomandolaecuaciónanterior[1]:
- ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = -⋅ ⋅
⋅
- -
-
1 6 10 9 1 109 1 1 0
1 6
19 3131
, ,,
,E a E
a →
110
9 1 10 8 995 10
1 6 10
19
31 13
19
-
-
-
=
= -⋅ ⋅ - ⋅
⋅
, ( , )
,i → E E i = 551 59, N/C
W WWW
W W W
48. Un protón se acelera desde el reposo bajo la acción de un campoeléctrico uniforme E = 640 N/C. Calcular el tiempo que tarda en alcanzaruna velocidad de 1,2 ⋅ 106 m/s.
Datos: Q protón = 1,6 ⋅ 10−19 C; m protón = 1,67 ⋅ 10−27 kg.
(P. Asturias. Septiembre, 2007)
WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa x→
→ a q E
m =
⋅=
⋅ ⋅
⋅
= ⋅
-
-
1 6 10 640
1 67 106 131 10
19
27
10,
,, m/ /s2
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124
3 El campo electrostático
Comoelcampoesconstante,elprotóntendráunmovimiento
uniformementeacelerado.Calculamoseltiempoquetardaenalcanzar
esavelocidadconlaecuacióncorrespondiente:
v v at t
t
= + ⋅ = + ⋅ ⋅
=
06 2 101 2 10 0 6 131 10
1
→ →
→
, ,
,
m/s m/s
22 10
6 131 101 957 10 19 57
6
10 2
5⋅
⋅= ⋅ =-m/s
m/ss s
,, , m
49. Una pequeña esfera cargada de masa m se encuentra en equilibrio
en el seno del campo gravitatorio terrestre y de un campo electrostáticode módulos g y E , respectivamente, teniendo ambos la misma direccióny sentido. Determina la carga de la esfera en función de m , g y E ,e indica su signo.
(Canarias. Septiembre, 2006)
Paraquelacargaestéenequilibrio,lafuerza
gravitatoriaylafuerzaelectrostáticaqueactúan
sobreelladebenserigualesenmóduloyopuestas.
ComoloscamposWg y
W
E tienenlamismadirecciónysentido,lacargadebesernegativa,afin
dequelafuerzaeléctricatengasentidopuesto
WF E
WE
WP
alcampo.Suvalorserá:
P m g F E q q m g
E = ⋅ = = ⋅ =
⋅E →
50. Una partícula, de 0,1 g de masa y 1 μC de carga se mueve a la velocidadde 1 m/s en dirección horizontal cuando entra en una zona donde existe
un campo eléctrico uniforme de 200 N/C en la dirección vertical. Calcula:
a) El punto en que incidirá con una pantalla perpendicular situadaa 1 m del lugar donde aparece el campo eléctrico.
b) La energía cinética que tiene la partícula en ese instante.
a) Lapartículasigueun
movimientoparabólico;
sumovimientoes
uniformeenelejeX
yuniformemente
aceleradoenelejeY.
Suposiciónencada
instantevienedadaporlas
coordenadas(x , y ),donde:
• x v t = ⋅0
• y a t = ⋅1
2
2y
WE
Wv o
y
x
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125
Solucionario
Calculamoslaaceleración:
WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa y
sustituyendolosdatosexpresadosenunidadesdelSI:
a q E
m y
2m/s=⋅=
⋅ ⋅
⋅=
-
-
1 10 200
0 1 102
6
3,
Cuandoalcanzalapantallaperpendicularalcampo,lapartícula
harecorrido1menladirecciónvertical:
y a t t t = ⋅ = ⋅ =
1
21
1
22 12 2 2
y m m/s s→ →⋅
Eldesplazamientohorizontalquesehaproducidoenesetiempoes:
x v t = ⋅ = ⋅ =0 1 1m/s s 1 m
b) Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobrelapartícula
sonlaselectrostáticas,seconservalaenergíamecánicaporqueson
fuerzasconservativas.
E E E E E E E E E E E Ci Pi C f P f Ci Pi P f C f Ci P C f + = + + - = - =→ → D [[ ]1
Comoelcampoesuniforme,podemosconsiderarladiferenciadepotencialaunaciertadistanciadelmismopormediode
laexpresión:DV = -d ⋅E .
D DE q V q d E P = ⋅ = - ⋅ ⋅
Retomandolaecuación[1]:
E E E m v q d E E Ci P C f i C f - = ⋅ + ⋅ ⋅ =D →1
2
2
SustituyendolosdatosexpresadosenunidadesdelSI:
1
20 1 10 1 1 10 1 200 2 5 103 2 6⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅
- - -, ,E E C f C f →44 J
51. Cada uno de los electrones que componen un haz tiene una energíacinética de 1,6 ⋅ 10−17 J.
a) Calcula su velocidad.
b) ¿Cuál será la dirección, sentido y módulo de un campo eléctricoque haga que los electrones se detengan a una distancia de 10 cm,desde su entrada en la región ocupada por el campo?(Carga del electrón: e = −1,6 ⋅ 10−19 C;masa del electrón: m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg.)
(C. Madrid, 1993)
a) Laenergíacinéticaes:
E m v v E
m C
C= ⋅ =
⋅=
⋅ ⋅
⋅=
-
-
1
2
2 2 1 6 10
9 1 1 05 932
17
31→
,
,, ⋅⋅106 m/s
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126
3 El campo electrostático
b) Comoseapreciaenelesquema,paraquesu
movimientoseadecelerado(suvelocidad
seanulatrasentrarenelcampo),elcampo
eléctricodebetenerlamismadirección
ysentidoquelavelocidaddelelectrón.
W
F E
WE
Wv
Elelectrónesunapartículaconcarganegativa,
ylafuerzaqueelcampoejercesobreellaesdesentido
opuestoaldelpropiocampo.
Estoes,sielelectrónsemueveenladirecciónysentido
deWi ,elcampoeléctricotendrádirecciónysentidodeWi ,puesto
quesucargaesnegativa.
WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa x
SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI:
-1,6⋅10-19⋅WE =9,1⋅10-31⋅Wa [1]
Comoelcampoesconstante,lafuerzaqueactúasobreelelectrón
tambiénloes;portanto,tendráunmovimientouniformemente
acelerado.Utilizamossusecuacionesparaestudiarelmovimiento
delelectrón.
Sabiendoquesedetienea10cmdelinicio:
y v t at t a t = + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅-
02 2 6 21
210 10 5 93 10
1
2→ , [2]
Porotraparte:
v v at a t
t
a = + = ⋅ + ⋅ -⋅
=06
6
0 5 93 105 93 10
→ →,,
Sustituyendoenlaecuación[2]:
10 10 5 93 101
2
5 93 103 3732 6
62
⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅⋅
⋅ = ⋅- ,
,,t
t t t → 110 8- s
Yentoncesnosqueda:
-⋅
= = -⋅
⋅= - ⋅
-
5 93 10 5 93 10
3 373 101 76 10
6 6
8
, ,
,,
t a a →
114 m/s2
Elsignomenosindicaquelaaceleraciónseoponealavelocidad
(sentidoopuestoaWi ).
Yretomandolaecuación[1]:
- ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
- ⋅
- --
1 6 10 9 1 109 1 1 0
1 6
19 3131
, ,,
,E a E
a →
110
9 1 10 1 76 10
1 6 10
19
31 14
19
-
-
-
=
=⋅ ⋅ - ⋅
- ⋅
, ( , )
,
i E → == 1000 i N/C
W WWW
WW W
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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127
Solucionario
52. A 15 cm de una placa cargada tenemos una esfera metálica de 12 gde masa colgada de un hilo. Se carga la esfera con 3 mC y sufreuna atracción por parte de la placa que hace que el hilo formeun ángulo de 30° con la vertical.
a) Representa gráficamente esta situación y haz un diagrama que muestretodas las fuerzas que actúan sobre la esfera.
b) Calcula el valor del campo eléctrico en el punto donde está la esferametálica. Evalúa el signo de la carga de la placa.
a) Representacióngráfica:
WE
WT
WF E
15cm
30°
WP
b) Elsignodelacargadelaplacaqueatraeaunacargapositiva
tienequesernegativo.Unaplacacargadacreauncampoeléctrico
constante;portanto,lafuerzaeléctricaesconstante.
Despuésderepresentargráficamenteelproblemahacemos
elbalancedelasfuerzas.
Paraelsistemaenequilibrio:ΣWF = 0.
• Enelejehorizontal:
T F E q ⋅ = = ⋅sen Eθ
• Enelejevertical:
T P m g ⋅ = = ⋅cos θ
SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI.
T E ⋅ = ⋅ ⋅-sen 30 3 10 3° [1]
T ⋅ = ⋅ ⋅-cos ,30 12 10 9 83° [2]
Dividiendomiembroamiembrolasexpresiones[1]y[2]:
T
T
E ⋅
⋅=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
-
-
sen 30
30
3 10
12 10 9 8
3
3
°
°cos ,→
→ E =⋅ ⋅ ⋅
⋅=
-
-
tgN/C
30 12 10 9 8
3 1022 63
3
3
° ,,
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NOTAS
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El campomagnético4
• Conocerlaevoluciónhistóricadelosconocimientosenelcampo
delmagnetismoyelelectromagnetismo.
• Comprenderlaelectricidadyelmagnetismocomodosaspectos
deunamismainteracción:laelectromagnética.
• Explorarlaestructuramicroscópicaquejustificaelcomportamiento
magnéticoonodelosmateriales.
• Identificarlasfuentesdeinteracciónmagnética.
• Representarelcampomagnéticomediantelíneasdecampoyponer
demanifiestosusdiferenciasconelcampoeléctrico.• Relacionarlabrújulaconelcampomagnéticoterrestre.
• Analizarlosdistintosaspectosdelafuerzamagnéticaqueactúa
sobrecargaseléctricasenmovimientoohilosdecorrienteenelseno
deuncampomagnético.
• Estudiarelmovimientodepartículascargadasenpresenciadecampos
magnéticosy/oeléctricos.Explorarlasdiferenciasqueproducecada
unadeesasinteracciones.
• Utilizarlainteracciónelectromagnéticasobrecargasenmovimiento
paraexplicarelfuncionamientodealgunosdispositivos,comoelespectrógrafodemasasolosaceleradoresdepartículas.
• Analizarlaexpresiónmatemáticaquepermiteconocerelcampo
magnéticocreadopordistintoselementosdiscretos:cargas
enmovimiento,hilosdecorriente,espirasobobinas.
• Analizarlasdiferenciasentreelvectorintensidaddecampoeléctrico
yelvectorinducciónmagnética,especialmentelasrelacionadas
consucarácterconservativoono.
• Estudiarelcampomagnéticoqueresultadelapresenciadevarioshilos
decorrienteparalelos.
• Paramuchosalumnos,porprimeravezenlaenseñanzasecundaria
seabordaelestudiodelmagnetismo.Esimportantehacerlesver
quesetratadeunaspectodelainteracciónelectromagnética,
ideaquecontrastaráconsuexperienciaprevia.
• Eneldesarrollodeltemaseofrecenlasdeduccionesmatemáticas
queserequierenparacomprenderlosfenómenosqueseestudian.
Hemostratadodeajustarnosalosconocimientosmatemáticosdeesteniveldeestudio.Noobstante,cadaprofesoroprofesora
decidiráhastaquépuntoleinteresaincidirenlajustificación
matemática,dadoelalumnadoconelquetrabajeylosobjetivos
queesperaalcanzar.Consideramosquetambiénesfactibletrabajar
conlasexpresionesmatemáticasfinalesyanalizartodoslosdetalles
desusignificado.
PRESENTACIÓN
OBJETIVOS
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130
4 El campo magnético
• Experienciasquedemuestranlaexistenciadelainteracciónmagnética.
Elcampomagnéticoterrestre.
• Fuentesdelcampomagnéticoylíneasdelcampoquecrea
cadatipo.
• Efectodeuncampomagnéticosobreunacargaenmovimiento.
LeydeLorentz.
• Movimientodepartículascargadasenpresenciadeuncampo
magnético.
• Efectodeuncampomagnéticosobreunhilodecorriente.
• Campomagnéticocreadoporelementosdiscretos:unacarga
enmovimiento,unhilodecorriente,unaespira.
• Campomagnéticocreadoporagrupacionesdecorriente:varioshilos
decorrienteounabobina.LeydeAmpère.
• Comportamientomagnéticodeunaespiraydeunabobina:
líneasdecampo,localizacióndesucaranorteycarasur.
Conceptos
• Manejarconsolturalasoperacionesproductoescalar
yproductovectorialdevectoresycomprenderelsignificado
decadauno.
• Habituarsealmanejodereglasnemotécnicas(regladelamano
derechaodeltornillo)parafacilitarlasoperacionesconmagnitudes
vectoriales.
• Logrardestrezaenelestudiodelmovimientodepartículascargadas
enuncampomagnéticoyaplicarloalestudiodedispositivosreales,
comoelselectordevelocidades,elespectrógrafodemasasoelciclotrón.
• Adquirirsolturaenlacomprensióndelasexpresionesmatemáticas
quepermitencalcularelcampomagnéticocreadopordistintos
elementos,másalládeconoceraldetallelasdeduccionesdetales
expresiones.
• Sercapazderelacionarelcomportamientomagnético
deundispositivoconsucomportamientoeléctrico.Predecir
elsentidodelcampomagnéticoqueresultadequeunacorriente
eléctricacirculeenunsentidooenotro.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Comprenderellargocaminoquedebenseguirenocasiones
losconocimientoscientíficos(comolosrelacionados
conelmagnetismo)hastaquesepuedeformularunateoría
completasobrelosmismos(teoríaelectromagnética).
• Mostrarinterésporexplorarconceptualmenteelalcance
delasexpresionesmatemáticasquecuantificanlosfenómenos
magnéticos.
Actitudes
CONTENIDOS
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131
programación de aula
Enocasiones,losfenómenosmagnéticoshanestadorodeadosdeunciertomisterio,
loquefueaprovechadoporalgunosdesaprensivosparaaprovecharsedegentes
necesitadasoincautas.Puedeseradecuadoemplearestetemaparaplantear
enelauladebatesinteresantes.
1. Educación para la salud
Sepuedepediralosalumnosyalumnasquebusqueninformaciónsobreremedios
milagrososrelacionadosconefectosmagnéticosdeelementoscomoelagua,
unapulsera,uncolchón,etc.Conlainformaciónobtenidasepuedeabrirundebate
destinadoaevaluarcuantitativamenteelefectomagnéticodeesoselementosysuinutilidadconrespectoalfinqueanuncian.
2. Educación cívica
Noesextrañoquelosmediosdeinformacióndencuentadelaprotesta
dealgunosvecinosporelestablecimientodelíneasdealtatensión.
Alhilodeunainformacióndeestetipooplanteandounasituaciónposible,
sepuedenrealizaralgunoscálculosquepermitancomprenderelalcancedelcampo
magnéticocreadoporloshilosdelaconduccióndecorrienteeléctrica.
Comparandoconelvalordeotroscamposmagnéticos,elalumnadopuede
establecersuspropiasconclusionesacercadelospeligrosdedichasconducciones
yhastadóndepuedesernecesariotomarprecauciones.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Obtenerlaexpresiónvectorialdelafuerzaqueaparecesobreunapartículacargada
quesemueveenpresenciadeuncampomagnético.
2. Estudiarelmovimientodeunapartículacargadaenelsenodeuncampo
magnéticouniforme.Determinarlatrayectoria,sentidoenqueserecorre,radio,
periodo,etc.
3. Realizarcálculosquerelacionenlaenergíaconquesalenlaspartículasdeunacelerador
consuscaracterísticasfísicas:radiodelaórbita,periododelciclotróneintensidad
delcampomagnético.
4. Determinarelcampoeléctrico(intensidad,direcciónysentido)queanuleelefecto
deuncampomagnéticosobreunapartículaenmovimiento.5. Calcularelcampomagnéticocreadoporunoomáshilosdecorrienteparalelos
endeterminadospuntosdelespacio.
6. Distinguirycalcularlafuerzamagnéticaqueseestableceentrehilosdecorriente
paralela.
7. Calcularelvectorcampomagnéticocreadoporunaespiraensucentro.
Relacionarloconelsentidoenquecirculalacorriente.
8. Hallarelvectorcampomagnéticocreadoporunabobinaensueje.Relacionarlo
conelsentidoenquecirculalacorriente.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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132
El campo magnético4
1. Una partícula con carga q y velocidad v penetra en un campo magnéticoperpendicular a la dirección de movimiento.
a) Analice el trabajo realizado por la fuerza magnética y la variaciónde energía cinética de la partícula.
b) Repita el apartado anterior en el caso de que la partícula se muevaen dirección paralela al campo y explique las diferencias entre amboscasos.
(Andalucía, 2006)
Lapartículasevesometidaaunafuerzamagnéticaque,deacuerdoconlaleydeLorentz,esWF B= q ⋅Wv ×WB .
a) WF BesperpendicularaWv ,loquedeterminaquelapartícula
sedesplazaenunplanoperpendicularaWF B.Enconsecuencia,
eltrabajodelafuerzamagnéticaesnulo:
W F d r A B→ = ⋅ =#B
A
0W W
YaqueWF esperpendicularad Wr (WF ⊥d Wr ).
Laenergíacinéticaes:
E m v C = ⋅1
2
2
DadoqueWF B⊥ Wv ,lafuerzanocambiaelmódulodelavelocidad.
Portanto,laenergíacinéticadelapartículanovaría:DE C=0.
b) Enestecaso,comolosvectoresdevelocidadycampomagnético
sonparalelos,tenemos:
F q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0W
Noexisteningunafuerzamagnética,loquedetermina
quelapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme.
Noexistetrabajodebidoalafuerzamagnética,ytampocoexiste
variacióndelaenergíacinéticadelapartículacargada.
2. Un protón entra en un campo magnético uniforme, B W, con unadeterminada velocidad, v W. Describa el tipo de movimiento que efectuará
dentro del campo si:a) Los vectores v W y B Wson paralelos.
b) Los vectores v W y B Wson perpendiculares.
(Cataluña. Junio, 2007)
DeacuerdoconlaexpresióndelaleydeLorentz,unapartícula
quesemuevedentrodeuncampomagnéticoseveafectada
porunafuerza:
WF B= q ⋅Wv ×WB
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133
Solucionario
Pordefinicióndeproductovectorial, F q v B B= ⋅ ⋅ ⋅
senθW
,siendoθ
elánguloqueformanWv yWB .
Segúnestaexpresión:
a) SilosvectoresWv yWB sonparalelos:
F q v B q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0 0W
Portanto,dadoquelafuerzaesnula,elprotónsedesplaza
conmovimientorectilíneouniforme.
b) SilosvectoresWv yWB sonperpendiculares,sobreelprotónactuará
unafuerzaconestascaracterísticas:
• Módulo:
F q v B q v B q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen 90 1W
• Dirección:perpendicularaWv yWB .
• Sentido:eldeterminadoporlaregladeltornillo.ElvectorWv
girahaciaWB porelcaminomáscorto.
Elprotónsevesometidodeformapermanente
aunafuerzaendirecciónperpendicularasuvelocidad,
porloquetendráunmovimientocircularuniforme.
Describeunatrayectoriacircularenelplanoperpendicular
alcampoWB .
3. Una partícula con velocidad constante v W, masa m y carga q entraen una región donde existe un campo magnético uniforme B W,perpendicular a su velocidad. Realiza un dibujo de la trayectoriaque seguirá la partícula. ¿Cómo se ve afectada la trayectoriasi en las mismas condiciones cambiamos únicamente el signode la carga?
(C. Valenciana. Junio, 2007)
DeacuerdoconlaleydeLorentz,lapartículasevesometida
aunafuerza:WF B= q ⋅Wv ×WB .
• Módulo:
F q v B q v B q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen 90 1W
• Dirección:perpendicularaWv yWB .
• Sentido:eldeterminadoporlaregladeltornillo.ElvectorWv
girahaciaWB porelcaminomáscorto.
LafuerzaWF esperpendicularaWv .Portanto,solomodifica
sutrayectoriaobligandoacurvarla.Sielcampomagnético
esconstante,permanentementehabráunaWF perpendicularaWv
queobligaalapartículaaseguirunatrayectoriacircularenelplano
perpendicularalcampoWB .
Elsentidoenquegiralapartículadependedelsignodelacarga
ydelsentidodelosvectoresWv yWB .
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134
4 El campo magnético
Eneldibujosemuestraelgiro
deunapartículaconcargapositiva
queentraconvelocidadhorizontal
hacialaderechaenunazonadonde
existeuncampomagnético
queentraenelplanodeldibujo
(puntoO);elresultadoesungiro
antihorario.
Sibajolasmismascondiciones
secambiaseelsignodelacarga
porunanegativa,únicamente
cambiaríaelsentidodegiro
delamismaypasaríaaserhorario.
4. Un electrón penetra dentro de un campo magnético uniforme,de intensidad 0,001 T, perpendicular a su velocidad.Si el radio de la trayectoria que describe el electrón es de 5 cm, halle:
a) La velocidad.
b) El periodo del movimiento de la órbita que describe.Datos: masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;carga del electrón: 1,6 ⋅ 10−19 C.
(Extremadura. Junio, 2006)
a) Lafuerzamagnéticaesigualalafuerzacentrípetaresponsable
desumovimiento(verlajustificaciónenlosejerciciosanteriores).
UsaremosunidadesdelSI.
⋅ ⋅ ⋅q v B m v
r r
m v
q B = ⋅ =⋅2
→ →
→ v r q B
m = =
⋅ ⋅ ⋅
⋅=
−
−
⋅ ⋅ 0 05 1 6 10 0 001
9 1 108
19
31
, , ,
,,,79 10
6⋅ m/s
b) Dadoque:
v r T
r
T r v
m q B
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅⋅
= ⋅ ⋅
−
ωπ
π π π
2
2 22 9
1 1031
→
→
,
11 6 10 0 0013 57 1019
8
, ,,
⋅ ⋅= ⋅−
− s
5. Un protón penetra perpendicularmente en una región donde existeun campo magnético uniforme de valor 10−3 T y describeuna trayectoria circular de 10 cm de radio. Realiza un esquemade la situación y calcula:
a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el protón e indicasu dirección y sentido ayudándote de un diagrama.
v W
v W
v W
R WF
WF WF
O
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135
Solucionario
b) La energía cinética del protón.
c) El número de vueltas que da el protón en 10 segundos.
Datos: q p = 1,60 ⋅ 10−19 C; m p = 1,67 ⋅ 10−27 kg.
(Canarias. Septiembre, 2006)
a) Cuandouncuerpocargadopenetraenunaregióndelespacio
dondeexisteuncampomagnéticoWB conunavelocidadWv ,seve
sometidoaunafuerzamagnéticaWF Bcuyovalorvienedado
porlaleydeLorentz:
WF B= q ⋅Wv ×
WB
• WF BesperpendicularaWv yWB .
• Siq >0,elsentidodeWF Bcoincideconeldeuntornilloquegira
desdeWv hastaWB porelcaminomáscorto.Siq <0,susentido
eselopuesto.
• Sumóduloes: F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen θW ,dondeθeselánguloque
formanWv yWB .
LafuerzaWF BesperpendicularaWv .
Portanto,solomodifica
sutrayectoriaobligandoacurvarla.
Sielcampomagnético
esconstante,permanentemente
habráunaWF BperpendicularaWv
queobligaalapartículaaseguir
unatrayectoriacircularenelplano
perpendicularalcampoWB .
Elsentidoenquegiralapartículadependedelsignodelacarga
ydelsentidodelosvectoresWv yWB .
Enestecasosetratadeunapartículapositivaqueentra
convelocidadhorizontalhacialaderechaenunazonadondeexiste
uncampomagnéticoqueentraenelplanodeldibujo;elresultado
esungiroantihorario.
b) Laenergíacinéticaes:E m v C = ⋅1
2
2.
Calculamoslavelocidadteniendoencuentaquelafuerza
magnéticaeslafuerzacentrípetaresponsabledelmovimiento
circulardelapartícula:
F F q v B m v
r B C= ⋅ ⋅ = ⋅→ →
2
→ v r q B
m =
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅=
− −
−
0 1 1 6 10 10
1 67 109 58
19 3
27
, ,
,, ⋅⋅ 10
3 m/s
v W
v W
v W
R WF
WF WF
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4 El campo magnético
Deacuerdoconesto:
E m v C = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅−1
2
1
21 6 7 10 9 58 10 7 66 10
2 27 3 2, ( , ) , −−20J
c) Elperiodorepresentaelnúmerodevueltasquedaenunsegundo.
Enlaactividad4hemosdeducidoque:
T m
q B =
⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅
−
− −
2 2 1 67 10
1 6 10 106 56
27
19 3
π π ,
,, 110
5− s
En10segundossedarán:
N. de vueltass
svo
= =
⋅
= ⋅−
1 10
6 56 101 52 10
5
5
T t ⋅
,, uueltas
6. Un haz de electrones penetra en una zona del espacio en la que existeun campo eléctrico y otro magnético.
a) Indique, ayudándose de un esquema si lo necesita, qué fuerzasse ejercen sobre los electrones del haz.
b) Si el haz de electrones no se desvía, ¿se puede afirmar que tantoel campo eléctrico como el magnético son nulos?Razone la respuesta.
(Andalucía, 2007)
a) SupongamoselhazdeelectronesquesemueveconvelocidadWv
enunazonaenlaqueexisteuncampomagnéticocomo
seindicaenelesquema.DeacuerdoconlaleydeLorentz,
sobreloselectronesexistiráunafuerzamagnética
enladirecciónysentidoqueseindica,yaquesonpartículasconcarganegativa:WF B= q ⋅Wv ×WB .
Siademásexisteuncampoeléctrico,sobre
loselectronesactuaráunafuerzaeléctrica
enlamismadirecciónqueelcampo
yensentidoopuesto:WF E= q ⋅WE .
b) Paraqueelhazdeelectronesnosedesvíe,
esnecesarioquelafuerzanetaqueactúe
sobreélseanula.Estoseverificacuando
ambasfuerzassonnulasytambién
cuandoambastienenelmismomóduloydirecciónysentidos
opuestos.
SiWE tieneladirecciónysentidoopuestoaWF B,esposibleque
lasfuerzaseléctricaymagnéticaseanulen.Serácuando:
F F B E=W W
SuponiendoqueWv ⊥WB :
q v B q E v B E ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =→
v W
Z Y
X
WF E
WF B
WB
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137
Solucionario
7. La figura representa una regiónen la que existe un campomagnético uniforme B W, cuyaslíneas de campo sonperpendiculares al planodel papel y saliendo haciafuera del mismo. Si entransucesivamente tres partículas con la misma velocidad v , y describecada una de ellas la trayectoria que se muestra en la figura (cada
partícula está numerada):a) ¿Cuál es el signo de la carga de cada una de las partículas?
b) ¿En cuál de ellas es mayor el valor absoluto de la relacióncarga-masa (q / m )?
(C. Madrid, 2006)
a) Laspartículas1y3
debenestarcargadas,
yaquedescriben
unatrayectoriacircular,
loqueindicaquesufren
elefectodeunafuerza
magnéticaperpendicular
asuvectorvelocidad.
DeacuerdoconlaleydeLorentz,WF B= q ⋅Wv ×WB ,lapartícula3
debetenerunacargapositiva,yaquesutrayectoriatiene
sentidohorario.Porunarazónsimilar,lapartícula1debetener
unacarganegativa(trayectoriacircularensentido
antihorario).
Lapartícula2notienecarga,yaquenosufreelefecto
deunafuerzamagnética.
b) Paralaspartículasquedescribenunatrayectoriacircular(1y3),
lafuerzamagnéticaeslafuerzacentrípeta:
F F q v B m v
r B C= ⋅ ⋅ = ⋅→
2
Reordenando:
r m v
q B =
⋅
⋅
Esdecir,elradioylarelación( q / m )soninversamente
proporcionales.
Deacuerdoconesto,serámayorlarelaciónq / m enelcaso
delapartícula3,yaquesuradiodegiroeselmás
cerrado(menor).
v W
2
1
3
WB
v W
2
1
3
WB
WF 1
WF 3
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138
4 El campo magnético
8. Un protón inicialmente en reposo se acelera bajo una diferenciade potencial de 105 voltios. A continuación entra en un campomagnético uniforme, perpendicular a la velocidad, y describeuna trayectoria circular de 0,3 m de radio. Calcular el valorde la intensidad del campo magnético. Si se duplica el valor de estaintensidad, ¿cuál será el radio de la trayectoria?
Datos: carga del protón= 1,6 ⋅ 10−19 C; masa del protón, m p = 1,67 ⋅ 10−27 kg.
(País Vasco. Julio, 2006)
Enlosejerciciosanterioreshemosdeducidoquecuandounapartículapenetraenuncampomagnéticoconvelocidadperpendicular
alcampoactúasobreellaunafuerzamagnética
quelaobligaadescribirunatrayectoriacircular:
q v B m v
r r
m v
q B ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅
⋅
2
→
SepuedeobtenerelvalordelaintensidaddecampomagnéticoB
conociendoelradiodelatrayectoria:
B m v q r
= ⋅⋅
Dadoquelainteracciónelectrostáticaesconservativa,laenergía
potencialqueadquiereelprotónseconvierteenenergíacinética.
Estonospermitecalcularsuvelocidad:
→ →D D DE E q V m v P C= ⋅ = ⋅1
2
2
→ v
q V
m =
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ = ⋅
−
−
2 2 1 6 10 10
1 67 10 4 38 1
19 5
27
D ,
, , 006
m/s
YahorayapodemosobtenerB :
B m v
q r =
⋅
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
−
−
1 67 10 4 38 10
1 6 10 0 3
27 6
19
, ,
, ,0,,15 T
SivaríalaintensidaddecampoB ,podemosobtenerelradio
delanuevatrayectoriadeacuerdocon:
r m v
q B =
⋅
⋅
=⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
−2
1 67 10 4 38 10
1 6 10 2 0
27 6
19⋅
, ,
, ,,15
= 0,15 m
9. Contesta:
a) ¿Qué frecuencia debe tener un ciclotrón para acelerar electronessi su campo magnético es de 3 T?
b) ¿Cuál debe ser el radio de ese ciclotrón para que los electronessalgan con una energía de 1 MeV?
Valor absoluto de la carga eléctrica del electrón = 1,6 ⋅ 10−19 C;masa del electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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139
Solucionario
Deacuerdoconloquesehadeducidoeneltema,lapolaridad
delciclotróndebecambiarcuandolapartículacambiade«D».
Lafrecuenciadelciclotróndebesereldoblequeladelapartícula.
Enconsecuencia,superiododebeserlamitad:
T T m
q B C = =
⋅
⋅2
π
Sabemosquelafrecuenciaesf T
=1
C
:
f q B
m = ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅ ⋅= ⋅
−
−π π
1 6 10 3
9 1 101 68 10
19
3111
,
,, Hz
Podemosobtenerlaenergíacinéticaconlaquelaspartículassalen
delciclotróndeacuerdocon:
E m v m q r B
m
E
C
C
= ⋅ = ⋅⋅ ⋅
= ⋅
1
2
1
2
1
2
2
2
→
→q q B
m r
2 22⋅
⋅
Dedondesededucelosiguiente:
r E m
q B =
⋅ ⋅=
⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅−
22 10
1 60 109 1
2 2
619
C
eVJ
1 eV
·
,, 110
1 6 10 3
1 12 10
31
19 2 2 2 2
3
−
−
−
⋅ ⋅
= ⋅
kg
C T
m
( , )
,
→
→ r
10. Sabiendo que la Tierra ejerce un campo magnético de intensidad 0,5 ⋅ 10−4 T,
calcula la fuerza a la que se ve sometido un tramo de cable de alta tensiónque, en dirección suroeste-noreste y formando un ángulo de 60º conel ecuador, se extiende entre dos torres separadas 150 m si transporta unacorriente de 1 kA. ¿Influye en algo el sentido en que circula la corriente?
(Nota: supón que el campo magnético va de norte a sur.)
LaorientacióndeunabrújulasobrelaTierramuestraqueelpolo
nortedelcampomagnéticoterrestrecoincideprácticamente
conelPoloSurgeográfico,yviceversa.
Prescindiendodeladeclinaciónmagnética,podemosrepresentarelcampomagnéticoterrestreporunvectorquevadelPolo
Surgeográficoalnorteyesperpendicularalecuador.Sielcable
formaunángulode60°conelecuador,formaráunángulode30°
conelvectorWB .
Cuandouncablequetransportacorrientesesitúaenlazonadonde
hayuncampomagnético,sevesometidoaunafuerzamagnética
que,deacuerdoconlaleydeLorentz,es:
WF B= I ⋅Wl×WB
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140
4 El campo magnético
• WF BesperpendicularalplanodefinidoporWl yWB .Susentidoviene
determinadoporlaregladelamanoderecha.
• Wlesunvectorquetieneelsentidodelacorriente.Portanto,
dependiendodequecirculeenunouotro,lafuerzamagnética
tendráunsentidouotro.
Calculamoselmódulodelafuerzamagnética:
F I B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−
l sen A m T senα 10 150 0 5 10 303 4, ° 33,75 NW
11. Discute si hay alguna posibilidad de que el cable de alta tensión no sufrael efecto del campo magnético terrestre.
Paraqueelcablenosufraefectodelcampomagnéticodebetener
direcciónparalelaaladelvectorWB .Deesemodo:
F I B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−
l sen A m T senα 10 150 0 5 10 0 03 4, ° NNW
12. El galvanómetro y el amperímetro son aparatos empleadospara medir el paso de una corriente eléctrica. En ellos, una espira
gira en un campo magnético cuando por ella circula una corriente.A partir de la figura 4.48, busca información que te permita justificarsu funcionamiento.
Elgalvanómetroconstadeunaespiraquepuedegirarenelseno
deuncampomagnéticouniforme.Cuandosehacellegaralaespira
lacorrientecuyaintensidadqueremosmedir,apareceunpar
defuerzasquelahacengirar;elmomentodelparesproporcional
alaintensidadquecirculaporlaespira:
WM B= I ⋅
WS
×
WB
Laespirarodeaunnúcleodehierrodulceconunejequelepermite
girar.Ligadoalejehayunresortequeterminaenunaagujaquemarca
Escala
Imán
Pivote
Pivote
Aguja
Resorte
Bobinamóvil Hierrodulce
Resorte
N
S
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141
Solucionario
enunaescalaelvalordelaintensidadquehaprovocadoelgiro
delaespira.
Unamperímetronoesmásqueungalvanómetrocuyaescalaestá
expresadaenamperios.
13. Dos conductores rectilíneos, indefinidosy paralelos, perpendiculares al plano XY,pasan por los puntos A (80, 0)y B (0, 60) según indica la figura,
estando las coordenadas expresadasen centímetros. Las corrientes circulanpor ambos conductores en el mismosentido, hacia fuera del plano del papel,siendo el valor de la corriente I 1 de 6 A.Sabiendo que I 2 > I 1 y que el valordel campo magnético en el punto P, punto medio de la recta que une ambosconductores, es de B = 12 ⋅ 10−7 T, determine:
a) El valor de la corriente I 2.
b) El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético en el origende coordenadas O, utilizando el valor de I 2 obtenido anteriormente.
Datos: permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π ⋅ 10−7 N/A2.
(C. Madrid, 2006)
a) Podemosobtenerelmódulodelcampomagnéticocreadoporcada
unodelosdoshilosdecorrientesobreelpuntoPdeacuerdocon:
B I
x = ⋅µ
π2
Dondex secorrespondeconladistanciad decadahiloalpuntoP
yqueseráenamboscasoslamisma:
d = ⋅ + = =1
280 60
2 2 2 2cm cm 50 cm 0,5 m
EnelpuntoPconsiderado,
teniendoencuentalaregla
delamanoderechaysegún
elsentidodelascorrientes,
setienencampos
magnéticosenlamisma
dirección(tangente
alascircunferenciasenP)
ydesentidosopuestos,porloque
elmódulodelcampomagnético
resultanteseráladiferenciadelosmódulos
decadaunodeloscamposcreadosporcadahilo.
P
O
BI 2
A
I 1
P
O A
B
Y
X
WB 2
WB 1
I 1
I 2
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142
4 El campo magnético
Obtenemosestoscampos:
• B I
d 1
17
6
2
4 10
2
6
0 52 4 10= ⋅ =
⋅⋅ = ⋅
−−µ
π
π
π ,, T
• B I
d
I I 2
27
2 72
2
4 10
2 0 54 10= ⋅ =
⋅⋅ = ⋅ ⋅
−−µ
π
π
π ,T
SabiendoqueI 2>I 1:
B B B I
I
= − = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅
= ⋅
− − −2 1
72
6 7
2
4 10 2 4 10 12 10
12 1
, →
→ 00 2 4 10
4 10
7 6
7
− −
−+ ⋅⋅
=, 9 A
b) Nuevamentesepuede
calcularelcampomagnético
creadoenelorigen
decoordenadasapartir
deloscamposmagnéticos
creadosporcadahilo
decorrienteenesepunto.Comoconocemoselvalor
delasintensidades
correspondientesacada
conductor,podemoscalcular:
• B I
d 1
17
6
2
4 10
2
6
0 81 5 10= ⋅ =
⋅⋅ = ⋅
−−µ
π
π
πA
T,
,
• B I
d 2
27
6
2
4 10
2
9
0 6
3 10= ⋅ =⋅
⋅ = ⋅−
−µ
π
π
πB
T
,
Enelorigendecoordenadasladirecciónyelsentidodecadacampo
creadoporunconductorestangentealacircunferenciaquepasa
poresepuntoytienecentroenelconductor.Elsentidoserá
eldeterminadoporlaregladelamanoderecha.
Loscamposresultantesenestecasosonperpendicularesentresí,
comosemuestraenelesquema.
Calculamoselmódulodelcamporesultante:
B B B T T= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −12
22 6 2 6 2 61 5 10 3 10 3 35 10( , ) ( ) ,
14. Sean dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrienteseléctricas de igual intensidad y sentido.
a) Explique qué fuerzas se ejercen entre sí ambos conductores.
b) Represente gráficamente la situación en la que las fuerzas son repulsivas,dibujando el campo magnético y la fuerza sobre cada conductor.
(Andalucía, 2006)
P
O A
B
Y
X
I 1
I 2
WB 2
WB 1WB T
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143
Solucionario
a) Cadaunodelosconductoresrectilíneos
crearásobreelotroconductor
uncampomagnéticoquesepuede
calcularapartirde:
B I
d = ⋅µ
π2
DondeI eslaintensidadquecircula
porelconductoryd esladistancia
quelossepara.
Siendolosdoshilosparalelosyconlascorrientesdelmismo
sentido,lasituaciónserácomolaquesemuestraenelesquema.
• B 1eselcampoqueelconductorI 1creaenunpunto
aunadistanciad .
B I
d 1
1
2= ⋅µ
π
• Deformasimilar,B 2eselcampoqueelconductorI 2crea
enunpuntoaunadistanciad .
B I
d 2
2
2= ⋅µ
π
Encadacaso,elvectorcampomagnéticoesperpendicularalhilo,
ylaregladelamanoderechapermiteconocerelsentido.
Cadahilodecorrienteestásometidoalaaccióndeuncampo
magnético.Enconsecuencia,sobrecadahiloactúaunafuerza
magnéticadeterminadaporlaleydeLorentz:WF B= I ⋅Wl×WB .
Encadacaso,Wl⊥WB ,loqueindicaqueWF Besperpendicular
aambos.Entreloshilosdecorrienteparalelosseestablecen
fuerzasdeatraccióncuyomóduloes:
•F I B L12 2 1= ⋅ ⋅ •F I B L21 1 2= ⋅ ⋅
DondeLeslalongitudtotaldeloshilosdecorriente.Sustituyendo
laexpresióndelcampomagnéticoencadacaso:
•F I I
d L
I I
d L
F L
I
12 21 1 2
12 1
2 2
2
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅
= ⋅ ⋅
µ
π
µ
π
µπ
→
→ I I d
2
•F I I
d L
I I
d L
F
L
I
21 12 2 1
21 2
2 2
2
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅
= ⋅⋅
µ
π
µ
π
µ
π
→
→I I
d
1
b) Paraquelasfuerzasseanrepulsivas,lasintensidadesquerecorren
losconductoresdebenserdesentidosopuestos.
d
I 2I 1
WB 2
WF 12
WB 1
WF 21
d
I I WB 2
WF 12
WB 1
WF 21
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144
4 El campo magnético
15. Dos conductores rectilíneos, paralelos y de granlongitud, están separados por una distancia de 10 cm.Por cada uno de ellos circula una corriente eléctricaen sentidos opuestos, como se indica en la figura,de valores I 1 = 8 A e I 2 = 6 A.
a) Determina la expresión vectorial del campo magnéticoen el punto P situado entre los dos conductoresa 4 cm del primero.
b) Determina la fuerza que por unidad de longitud ejerce el primerconductor sobre el segundo. Para ello haz un dibujo en el que figurenla fuerza y los vectores cuyo producto vectorial te permiten determinar ladirección y sentido de dicha fuerza. ¿La fuerza es atractiva o repulsiva?
Dato: μ0 = 4π ⋅ 10−7 T ⋅ m/A.
(Castilla-La Mancha, 2007)
a) Laregladelamanoderechadetermina
queelcampocreadoporcadahilo
enelpuntoPesperpendicularalplano
delpapelyentrante(sentidonegativodeZ).
Calculamoselmódulodelcampocreado
porcadahiloenP;elcampototal
tendrálamismadirecciónysentido,
ysumóduloserálasumadeambos.
• B I
d 1
1
1
75
2
4 10
2
8
0 044 10= ⋅ =
⋅⋅ = ⋅
−−µ
π
π
π ,T
• B I d
22
2
7
5
24 10
26
0 062 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
−−µ
π
π
π ,T
Portanto:
B B B T 1 2= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −4 10 2 10 6 10
5 5 5T
b) Veamoslosvectoressobreelsiguienteesquema.
WB 1esperpendicularalplanodelpapel
yentrante(sentidonegativodeZ)yWF 12
tienedirecciónhorizontalhacialaderecha(sentidopositivodeX).
Paraobtenerlafuerzadelprimerconductor
sobreelsegundoesnecesariocalcular
primeroelcampomagnéticoqueelprimer
conductorcreaenunpuntoquecoincide
conlaposicióndelsegundoconductor:
B I
d 1
17
5
2
4 10
2
8
0 11 6 10= ⋅ =
⋅⋅ = ⋅
−−µ
π
π
π ,, T
I 1 I 2
4cm
10cm
P
X
Y
Z
I 1 I 2
4cm
10cm
P
XY
ZWB 2
WB 1
I 1 I 2
4cm
10cm
P
X
Y
Z
WF 12
WB 1
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145
Solucionario
CalculamosahoralafuerzahaciendousodelaleydeLorentz:
F I B LF
LI B 12 2 1
122 1
5 56 1 6 10 9 6 10= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅
− −→ · , , N/ /m
16. Dibuje las líneas de campo magnético que generan las dos distribucionesde corriente de la figura en el plano perpendicular que está dibujado.
Justifique brevemente la respuesta.
(Cataluña. Septiembre, 2007)
Paralaespiraseránlíneasconcentroencadaunodelospuntos
dondelaespiraatraviesaelplano.Enelladoenquelacorrientesube,
laslíneastienensentidoantihorario;yenelquebaja,horario.Paraelhiloconductordeladerechaseránlíneasconcéntricas
conelhilo.Silacorrienteesascendente,laregladelamanoderecha
determinaquesusentidoesantihorario.
I I
I
17. Un solenoide de 5 cm de longitud está formado por 200 espiras. Calculael campo magnético en el eje del solenoide cuando le llega una corrientede 0,5 A en los casos siguientes:
a) En el eje del solenoide hay aire.b) En el eje del solenoide se introduce un núcleo de hierro dulce cuya
permeabilidad relativa es 5000.
Dato: μ0 = 4π ⋅ 10−7 N ⋅ A−2.
a) DeacuerdoconlaleydeAmpère,sepuedeobtenerelcampo
magnéticoenelejedeunsolenoidepormediodelaexpresión:
B N I
L= ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅= ⋅
− −µ π4 10
200 0 5
0 052 51 10
7 3,
,, T
I
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146
4 El campo magnético
b) Conelmismorazonamientoqueenelapartadoanterior,pero
teniendoencuentaqueestavezsetieneunnúcleoconunacierta
permeabilidadrelativa:
B N I
L
N I
L= ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅=
= ⋅ ⋅ ⋅⋅−
µ µ µ
π
0
74 10 5000
200 0 5
0
r
,
,00512 56= , T
18. Un toroide de 5 cm de radio está formado por 500 espiras. Calcula
la corriente que le debe llegar para que el campo en el círculo centraldel toroide sea de 1,5 mT. ¿Y si el núcleo del toroide fuese de hierro dulce?
Datos: μ0 = 4π ⋅ 10−7 N ⋅ A−2; μr hierro dulce = 5000.
DeacuerdoconlaleydeAmpère,elcampomagnéticoenelcírculo
centraldeuntoroidevienedadoporlaexpresión:
B N I
R = ⋅
⋅
⋅
µ
π2
Sieltoroideestávacío:
1 5 10 4 10500
2 0 05
3 7
0
,,
⋅ = ⋅ ⋅⋅
⋅
− −π
πµ
I →I =0,75A
Encasodequeeltoroidetuvieseunnúcleodehierrodulce:
1 5 10 4 10 50005003 7, ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
− −π
µ
⋅⋅
⋅
I
2 0 05π ,→I =1,5·10−4A
19. Explica qué quiere decir que el campo magnético es no conservativo.
a) Que la energía no se conserva.b) Que no existe un potencial escalar del que se derive el campo.
c) Que no existe un potencial vectorial del que se derive el campo.
Respuestacorrecta:b).Noexisteunpotencialescalar
delquesederiveelcampo.
20. ¿En qué se diferencian las líneas del campo eléctrico y las líneasdel campo magnético?
a) En que unas nacen en las cargas eléctricas y otras, no.
b) En que las líneas del campo eléctrico son abiertas y las del campomagnético son cerradas.
c) En que las líneas del campo eléctrico son tangentes al campoy las del campo magnético son perpendiculares al campo.
Respuestascorrectas:a)yb).Laslíneasdelcampoeléctriconacen
enlascargaseléctricas.Laslíneasdelcampoeléctricosonabiertas
ylasdelcampomagnéticosoncerradas.
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147
Solucionario
21. Habitualmente los imanes tienenpintado el polo norte con un colory el polo sur con otro. Si se rompeun imán justo por la zonaque separa los colores, ¿habremosseparado el polo norte del polosur del imán?
Justifica tu respuesta.
No,elimáneselresultadodemuchosimanesmicroscópicos
conlamismaorientación.Sirompemosunimán,cualquierfragmento
tendrásusimanesmicroscópicosorientadosdelamismamanera.
Portanto,seráunimánconlosdospolos,norteysur.Esimposible
separarlospolosdeunimán.
22. Si frotamos una aguja de hierro con un imán siempre en el mismo sentido,la aguja adquiere propiedades magnéticas. Esas propiedades desaparecencon el tiempo y muy rápidamente si ponemos la aguja en una llama.Explica estos fenómenos.
Elhierroesunmaterialferromagnético.Susmicroimanes,enprincipio
orientadosalazar,puedenadoptarunaorientaciónúnicasisefrotan
conunimánsiempreenelmismosentido.Entonces,todalaaguja
dehierrosecomportacomounimán.
Sicalentamoslaagujaimantada,suspartículassemoverán,
loqueprovocalapérdidadelordenamientodesusmicroimanes
ydejadeestarimantado.
23. ¿Por qué se utilizan las limadurasde hierro para visualizar el campomagnético? ¿Se podrían usar
las de cualquier otro metal?Elhierroesunmaterial
ferromagnéticoqueseimanta
poraccióndeuncampo
magnéticoexterno.Unavez
n
S
quelaslimadurasestánimantadas,
seorientanconrespectoalcampomagnético.Sepodríanutilizar
limadurasdeotromaterialconpropiedadesmagnéticassimilares
alasdelhierro.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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148
4 El campo magnético
24. Las líneas del campo electrostático creado por una única carga son líneasabiertas. ¿Sucede lo mismo con las líneas del campo magnético creadopor un único imán?
Adiferenciadeloquesucedeconloscamposgravitatorio
yelectrostático,laslíneasdecampomagnéticosiempre
soncerradas,aunquesetratedelcampocreadoporunsolo
imánohilodecorriente.
25. Además de los imanes, las cargas eléctricas también producen camposmagnéticos. ¿En qué condiciones?
Lascargaseléctricasproducencamposmagnéticossiseencuentran
enmovimiento.Esespecialmentesignificativoelcampomagnético
producidoporunacorrienteeléctrica.
26. Supongamos un campo eléctrico producido por una carga puntual.¿Es posible que su valor en un punto que diste una distancia x de la carga sea nulo y en otro punto que diste la misma distancia
no sea nulo? Haz el mismo estudio para el campo magnético creadopor una carga puntual.
Elmódulodelcampoeléctricocreadoporunacargapuntual
enunpuntodependedeladistanciaalpunto;todoslospuntos
queseencuentrenalamismadistanciaestaránsometidos
auncampoeléctricoconelmismomódulo:E K Q
r = ⋅
2.
Elcampomagnéticocreadoporunacargaenmovimientoenunpunto
nosolodependedeladistanciaalpunto,sinodeladirecciónqueformeelvectorvelocidaddelacargaconelvectordeposición
delpuntoconrespectoalacarga.
B q v u
r = ⋅
⋅ ×µ
π42
rWW W
SiWv tieneladireccióndeWr ,WB = 0.
Enconsecuencia,puntosqueseencuentrenalamismadistancia
delacargatendrándistintovalordelcampo,dependiendodelángulo
queformenWv
yWr .
27. ¿Es posible que una partícula cargada sometida a la acción de un campoelectrostático tenga movimiento uniforme? ¿Y si la partícula está sometidaa la acción de un campo magnético?
Unapartículacargada,sometidaalaaccióndeuncampoelectrostático,
soportaráunafuerzaconstanteWF E= q ⋅WE .Lapartículatendrá
unmovimientouniformementeaceleradoqueserárectilíneosiWE tiene
lamismadirecciónqueWv ,yparabólicoencasocontrario.
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149
Solucionario
Unacargaenmovimiento,sometidaalaaccióndeuncampo
magnético,soportaráunafuerzaque,deacuerdoconlaley
deLorentz,será:WF B= q ⋅Wv ×WB .SiWv esparaleloaWB :
F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0°W
28. Una partícula, con carga q , penetra en una región en la que existe un campomagnético perpendicular a la dirección del movimiento. Analice el trabajorealizado por la fuerza magnética y la variación de energía cinéticade la partícula.
(Andalucía, 2007)
Eltrabajorealizadoporlafuerzamagnéticaesnulo,yaqueesta
essiempreperpendicularalvectorvelocidadynormalalatrayectoria
delapartículacargada:
W WW F d A B→ = ⋅ =#B
A
l 0;F d ⊥ lW W
Deacuerdoconelteoremadelasfuerzasvivas:DE C=W A→B.
Enconsecuencia,laenergíacinéticadelsistemapermanece
constante.
Lafuerzamagnéticaprovocaunavariaciónpermanenteenladirección
delavelocidaddelapartícula(quedescribeunmovimientocircular),
peronomodificasumódulo.Enconsecuencia,seconservasuenergía
cinética:E m v C = ⋅1
2
2.
29. Justifica la expresión: el campo magnético es un campo no conservativo .
Elcampomagnéticoesnoconservativo,yaque,adiferencia
deloscamposelectrostáticoygravitatorio,sucirculación
enunatrayectoriacerradanoesnula.
DeacuerdoconlaleydeAmpère:
$ $ $ $B d B d I
r d
I
r d
I r
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅
l l l lµ
π
µ
π
µπ
π
2 2
22 ⋅⋅ = ⋅ ≠r I µ 0
W W
30. Un haz de electrones atraviesa una región del espacio sin desviarse.Razona la veracidad o falsedad de estas afirmaciones:
a) En la zona no hay un campo electrostático.
b) En la zona no hay campo magnético.
c) En la zona hay un campo electrostático y un campo magnético.
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150
4 El campo magnético
a) Nonecesariamente.Puedehaberuncampoelectrostáticosiempre
quehayatambiénuncampomagnéticocuyafuerzamagnética
contrarrestelafuerzaelectrostática(mismadirecciónymagnitud,
sentidoopuesto).Observaeneldibujoqueelcampoeléctricotiene
queserperpendicularalmagnético.
v W
E W
B W
v Wq
q ⋅ E W
q ⋅ v W × WB
b) Sisolohayuncampoeléctrico,lapartículanosedesvía(mantiene
sutrayectoriarectilínea)siladireccióndelcampocoincide
conladesuvelocidad.WF E=q ⋅WE =m ⋅Wa
c) Sisolohaycampomagnético,lapartículanosedesvíaycontinúa
moviéndoseconmovimientorectilíneouniformesisuvelocidad
tieneladireccióndelcampomagnético.
WF B= q ⋅Wv ×WB .SiWv esparaleloaWB :
F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0°W
31. Busca información y explica por qué no es aconsejable jugar con imanescerca de un ordenador.
Aljugarconimanesyponerlosenmovimientosegenerancamposelectromagnéticosquepuedenalterarelfuncionamiento
deloselementoselectrónicosdelordenador,quesonmuysensibles
alavariacióndeloscamposeléctricosymagnéticosensuentorno.
32. a) Explique el efecto de un campo magnético sobre una partícula cargadaen movimiento.
b) Explique con ayuda de un esquema la dirección y sentido de lafuerza que actúa sobre una partícula con carga positiva que se mueve
paralelamente a una corriente eléctrica rectilínea. ¿Y si se mueveperpendicularmente al conductor, alejándose de él?
(Andalucía, 2007)
a) Unapartículaqueentreenuncampomagnético
conunadeterminadaWv severásometidaaunafuerzaque,
deacuerdoconlaleydeLorentz,es:WF B= q ⋅Wv ×WB .
SiWv esparaleloaWB :
F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0°W
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151
Solucionario
Lapartículatendráunmovimientorectilíneouniforme.
Encasocontrario,WF BseráperpendicularaWv ×WB ,loquedetermina
quelapartículatengaunmovimientocircularuniformeenelplano
perpendicularalcampo(siWv esperpendicularaWB )odescriba
unatrayectoriahelicoidal.
b) Supongamosqueelconductor(corrienteeléctrica)estádispuesto
segúnelejeZysusentidoeshaciaarriba;deacuerdo
conlaregladelamanoderecha,sobrelapartículaactuará
uncampomagnéticoenladirecciónysentidoqueseindica
eneldibujo.LaleydeLorentzpermitecalcularlafuerzamagnéticaqueactuarásobrelapartículacargadaencadacaso:WF B= q ⋅Wv ×WB .
Silapartículasemueve
convelocidadparalela
alacorrienteyensusentido
deavance,seráatraídahacia
elconductor.
Silapartículasemueve
endirecciónperpendicularalhilo
conductor,alejándose,severá
sometidaaunafuerzaparalela
alconductoryenelsentido
enqueavanzalacorriente.
Z
Y
X
WF
Wv
WB
Z
Y
X
WF
Wv
WB
33. Un protón que se mueve con una velocidad Wv entra en una regiónen la que existe un campo magnético WB uniforme. Expliquecómo es la trayectoria que seguirá el protón:
a) Si la velocidad del protón Wv es paralela a WB .
b) Si la velocidad del protón Wv es perpendicular a WB .
(C. Madrid. Septiembre, 2006)
DeacuerdoconlaexpresióndelaleydeLorentz,unapartículaquesemuevebajolaaccióndeuncampomagnéticoseveafectada
porunafuerza:WF B= q ⋅Wv ×WB .
Pordefinicióndeproductovectorial:
F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen θW
SiendoθelánguloqueformanWv yWB .
a) SiWv yWB sonparalelos:
F q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ =0 0°
I I
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152
4 El campo magnético
Elprotónnosevesometidoalaaccióndeningunafuerza,
porloquesemoveráconmovimientorectilíneouniforme.
b) SiWv yWB sonperpendiculares,elprotónseverásometidoalaacción
deunafuerzamagnéticacuyomóduloes:
F q v B q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅90°
LafuerzaWF BesperpendicularaWv yaWB .Portanto,modifica
latrayectoriadelprotón,curvándola.Comoelcampomagnético
esconstante,permanentementehabráunaWF BperpendicularaWv ,
loquedeterminaqueelprotóndescribaunatrayectoriacircular
enelplanoperpendicularalcampoWB .
34. Indica en qué dirección se desviarán las partículas que penetranen los siguientes campos magnéticos. El recuadro grande representael campo magnético, y la flecha azul, la dirección y sentido de la velocidadde la partícula cargada.
a)
b)
c)
d)
Encadacasoseevalúalafuerzamagnéticaresultante:WF B= q ⋅
Wv ×
WB .
a) Comolapartículatiene
carganegativa,lafuerza
seráverticalyhacia
arriba.
Describeunatrayectoria
circularenelplano
delpapelensentido
antihorario.
Wv
WF
WB
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153
Solucionario
b) Lapartículaestásometida
aunafuerzaverticalyhaciaabajo.
Describeunatrayectoria
circularenelplano
delpapelensentido
antihorario.
c) F q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ =0 0° .
Lapartículanosedesvía,yaquelafuerza
resultanteesnula.
d) Lapartículatendráunmovimiento
helicoidal.Lafuerzamagnéticaresponsable
desutrayectoriacirculartendrádemódulo:
F q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ 30°
35. Una carga q = −3,64 ⋅ 10−9 C se mueve con una velocidadde 2,75 ⋅ 10−6 m/s i W. ¿Qué fuerza actúa sobre ella si el campo magnéticoes de 0,38 T j W?
(La Rioja. Septiembre, 2005)
DeacuerdoconlaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .Sustituyendo:
F i j B C m/sT= − ⋅ ⋅ ⋅ × = − ⋅
− −3 64 10 2 75 10 0 38 3 8 10
9 6
, , , ,
−−15
k N
WW W W
Observaque,portratarsedeunacarganegativa,
elsentidodelafuerzaeselopuestoalque
sededuceaplicandolaregladelamano
derechasobrelosvectoresdelaley
deLorentz.
36. Una cámara de niebla es un dispositivo para observar trayectorias
de partículas cargadas. Al aplicar un campo magnéticouniforme, se observa que las trayectorias seguidas por un protóny un electrón son circunferencias.
a) Explique por qué las trayectorias son circulares y representeen un esquema el campo y las trayectorias de ambas partículas.
b) Si la velocidad angular del protón es ωp = 106 rad ⋅ s−1, determinela velocidad angular del electrón y la intensidad del campo magnético.
e = 1,6 ⋅ 10−19 C; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; m p = 1,7 ⋅ 10−27 kg.
(Andalucía, 2007)
WF B
WB
Wv
Y
X
Z
WB
WB
Wv
WB
Wv
WF
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154
4 El campo magnético
a) Sialapartícula(protónoelectrón)seleaplicauncampo
magnéticouniformeperpendicularasuvelocidad,sufrirá
laaccióndeunafuerzacuyovalor,deacuerdoconlaleydeLorentz,
es:WF B= q ⋅Wv ×WB .Lafuerzamagnéticaseráperpendicular
alosvectoresWv yWB ysumóduloserá:
F q v B q e = ⋅ ⋅ = ( )
ComoWF esperpendicularaWv entodomomento,curva
permanentementelatrayectoriadelapartícula,queacabará
describiendounacircunferenciaenelplanoperpendicular
alcampoWB .Sitantoelprotóncomoelelectróntienenlamisma
velocidad,Wv ,yelmismoWB ,elsentidodeWF y,enconsecuencia,
elsentidoenquegiracadauna,dependedelsignodelacarga.
Movimientodelprotón
enuncampomagnético
uniformesaliente.Describe
unatrayectoriacircular
girandoensentidohorario.
Movimientodelelectrón
enuncampomagnético
uniformesaliente.Describe
unatrayectoriacirculargirando
ensentidoantihorario.
b) Paraambaspartículas,lafuerzamagnéticaeslafuerzacentrípeta
responsabledesugiro:
F B= F C→ →q v B m v
r B
m v
q r ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅
⋅
2
Comodisponemosdeldatodelavelocidadangular,transformamos
laexpresión:
v = ω ⋅r → B m r
q r =
⋅ ⋅
⋅
ω
Haciendousodelosdatosdelprotón:
B m
q =
⋅=
⋅ ⋅
⋅= ⋅
−
−−p p
Tω 1 7 10 10
1 6 101 06 10
27 6
19
2,
,,
Yapartirdeestamismaexpresiónsepuedeobtenerlavelocidad
angularconlaquesemueveelelectrón:
ωe
e
=⋅=− ⋅ ⋅ ⋅
⋅= −
− −
−
q B
m
1 6 10 1 06 10
9 1 101 8
19 2
31
, ,
,, 66 10
9⋅ rad/s
(Elsignomenosindicaquelapartículagiraenelsentidoopuesto.)
WB
WF B
Wv
WF B
WB Wv
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155
Solucionario
37. En una región del espacio, donde existe un campo magnético uniforme,se observa la existencia de un electrón y un protón que tienen trayectoriascirculares con el mismo radio. ¿Serán también iguales los módulosde sus velocidades lineales? ¿Recorrerán sus trayectorias con el mismosentido de giro? Razona tus respuestas.
Datos: Q protón = 1,6 ⋅ 10−19 C; Q electrón= −1,6 ⋅ 10−19 C;m protón = 1,67 ⋅ 10−27 kg; m electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg.
(P. Asturias. Septiembre, 2007)
Latrayectoriacirculardeambaspartículasindicaqueestánsometidosaunafuerzamagnéticaquehacedefuerzacentrípeta:
F B= F C→ → q v B m v
r q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
2
[1]
Enlasituaciónquesedescribeenelenunciado,elprimertérmino
deestaexpresiónesidénticoparaelprotónyelelectrón,perolamasa
deambaspartículasesdistinta.Portanto,tambiénserádiferente
elmódulodesuvelocidadlineal.
LaleydeLorentz:WF B= q ⋅
Wv ×
WB determinaelvalordelafuerza
magnéticaqueactúasobrecadapartícula.SuponiendoqueWv yWB
tienenlamismadirecciónysentidoparaambaspartículas,
comolacargadelprotónydelelectróntienensignosopuestos,
lasfuerzasmagnéticasqueactúansobreambostendránsentidos
opuestos.Estodeterminaquerecorreránsustrayectoriasgirando
ensentidoopuesto.
38. Un núcleo de 16O,
de carga +8 e y masam = 2,657 ⋅ 10−26 kg,penetra horizontalmentedesde la izquierdacon una velocidadde 5,00 ⋅ 105 m/sen un campo magnéticouniforme de 0,04 T perpendicular a su dirección y hacia dentro del papel,como se indica en la figura.
Determina:a) La expresión vectorial de la fuerza que ejerce el campo magnético
sobre el núcleo en el instante en que este penetra en el campomagnético.
b) El radio de la trayectoria que describe.
c) El periodo de revolución.
e = 1,602 ⋅ 10−19 C.
(Castilla-La Mancha, 2006)
v W
X
Y
Z
WB
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156
4 El campo magnético
a) Sepuedeobtenerlafuerzaejercidasobre
lapartículadeacuerdoconlaleydeLorentz:
WF B= q ⋅Wv ×WB
Sumódulo,teniendoencuenta
quelosvectoresWv yWB son
perpendiculares,secorrespondecon:
F q v B q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
sen θ
8 1 602 10 5 1019, 55 14
0 04 2 56 10⋅ = ⋅−, , N
W
SudirecciónseráperpendicularalplanoqueformanlosvectoresWv yWB ,ysusentido,determinadoconlaregladelamanoderecha
(partículaconcargapositiva),seráhaciaarriba.Paraelsistema
dereferenciaindicado:
F j B N= ⋅−
2 56 1014,W W
b) Paraobtenerelradiodelatrayectoriacirculartendremosencuenta
quelafuerzamagnéticaactúadefuerzacentrípeta:
F B= F C→ → →q v B m v
r
q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
2
→ r m v
q B =
⋅
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
−
2 657 10 5 10
8 1 602 10 0
26 5
19
,
, ,004= =0,259 m 25,9 cm
c) Paracalcularelperiododerevoluciónrelacionamoslavelocidad
linealconlaangular:
q r B m r q B m T
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ωπ
→ →2
→ T
m
q B =
⋅
⋅=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
−
2 2 2 657 10
8 1 602 10 0 04
26
19
π π ,
, ,== ⋅
−3 26 10
6
, s
39. Una partícula de carga q y masa m tiene una cantidad de movimiento
p = mv y una energía cinética E mv p
m C = =
1
2 22
2
.
Si se mueve en una órbita circular de radio r perpendicular a un campomagnético uniforme B , demostrar que:
a) p = B q r b) E B q r
m C =
⋅ ⋅2 2 2
2(La Rioja. Junio, 2006)
a) Porladescripcióndelenunciado,lapartículaestásometida
aunafuerzamagnéticaquehacedefuerzacentrípeta:
F B= F C→ →q v B m v
r q r B m v p ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
2
b)E m v p
m
B q r
m C = ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅1
2
1
2 2
22 2 2 2
⋅
v WX
Y
Z
WB
F W
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157
Solucionario
40. a) Un haz de electrones atraviesa una región del espacio sin desviarse.¿Se puede afirmar que en esa región no hay campo magnético?De existir, ¿cómo tiene que ser?
b) En una región existe un campo magnético uniforme dirigidoverticalmente hacia abajo. Se disparan dos protones horizontalmenteen sentidos opuestos. Razone qué trayectorias describen, en qué planoestán y qué sentidos tienen sus movimientos.
(Andalucía, 2008)
a) Nosepuedeafirmarquenoexistacampomagnéticoenlazona.Sepuedendescribirdossituacionesqueexplicanesacircunstancia:
• Siloselectronessedesplazanconunavelocidadparalelaalcampo.
DeacuerdoconlaleydeLorentz:
WF B= q ⋅Wv ×WB → F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen θW
SiWv yWB sonparalelos,WF B= 0.
• Elhazdeelectronescontinuarásindesviarsesienlamismaregión
delespacioexisteuncampoeléctricoquegenereunafuerza
eléctricadelmismomódulo,enlamismadirecciónysentidocontrarioalafuerzamagnéticacreadaporelcampomagnético.
v W
E W
B W F WE
F WB
v Wq
b) Sobrecadaprotónactuaráunafuerzamagnéticadeterminada
porlaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .
Suponiendoqueelcampotiene
ladirecciónentranteenelpapel
ylosprotonessemueven
convelocidadhorizontal,unohacia
laderechayotrohacialaizquierda,
elprimeroseverásometidoalaacción
deunafuerzaverticalhaciaarriba,yelsegundo,aunafuerzaidéntica
haciaabajo.Ambosprotones
semuevendescribiendo
circunferenciastangentesensentidohorario.
Lacircunferenciaquedescribenlosprotonesestáenunplano
perpendicularalcampomagnético.Segúnelenunciado,estetiene
direcciónvertical;portanto,losprotonessemuevenenelplano
horizontal.
F W1
F W2
v W2 v W1
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158
4 El campo magnético
41. Una partícula negativa (−q ) se mueve haciaarriba en el plano del papel con velocidadconstante. Al entrar en una región del espacioen la que hay un campo magnético WB perpendicular que entra al papel, ver figura:
a) ¿Qué fuerza actúa sobre la partícula:dirección, sentido, ecuación?
b) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula?
c) ¿Qué dirección y sentido tendría que llevar un campo eléctrico aplicadoen la misma región para que la carga mantuviera su trayectoria sindesviarse? Explícalo.
Nota: despreciar los efectos de la gravedad.
(Cantabria. Septiembre, 2007)
a) Lafuerzamagnéticaqueactúaes:
WF B= q ⋅Wv ×WB →
→ F q v B q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen θW
YaquelosvectoresWv yWB son
perpendiculares.
Deacuerdoconlaregladelamano
derechayelsignodelacarga,lafuerza
seráhorizontalydirigidahacialaderecha
(sentidopositivodeX).Laecuaciónresultanteserá:
WF B= q ⋅v ⋅B Wi
b) Elefectodelafuerzamagnéticaresultanteconsisteencurvar
latrayectoriadelacarga,porloquesumovimientopasaráasercircularyensentidoantihorario.
c) Paraquelacargamantenga
sutrayectoriasindesviarse,
esnecesarioaplicaruncampo
eléctricotalquegenereunafuerza
queseopongaensentidoytenga
lamismadirecciónymagnitud
quelafuerzamagnéticaobtenida.
ParaestoesnecesarioquelafuerzaeléctricatengasentidodelosvaloresdeX
negativos.Comolapartículaesnegativa,
elcampoeléctricotendráelsentidocontrario
alafuerzaeléctricay,portanto,elmismoquelafuerzamagnética.
42. Indique el tipo de trayectoria descrita por una partícula cargadapositivamente que posee inicialmente una velocidad Wv = v i W al penetraren cada una de las siguientes regiones:
−q
v W
−q
v W
WF
v W
WF E
WF B
WE
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159
Solucionario
a) Región con un campo magnético uniforme WB = B i W.
b) Región con un campo eléctrico uniforme WE = E i W.
c) Región con un campo magnético uniforme WB = B j W.
d) Región con un campo eléctrico uniforme WE = E j W.
Nota: los vectores i W y j Wson los vectores unitarios según los ejes X e Y,respectivamente.
(C. Madrid, 2007)
a) Cuandolapartículapenetraenunaregióndondeexisteuncampo
magnético,sevesometidaaunafuerzaquepodemoscalcularpormediodelaleydeLorentz:
WF B= q ⋅Wv ×WB
SilosvectoresWv yWB sonparalelos:
F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen θ 0W
Sobreestapartículacargadanoactúaningunafuerza,
porloquemantienesutrayectoriainicial.
Semueveconmovimientorectilíneouniforme.
b) Enestecasoapareceunafuerzaelectrostáticaenelmismosentidoqueelcampoeléctricopropuesto.
F q E i m a E E= ⋅ = ⋅W W W
Lapartículaseverásometidaaunaaceleraciónenlamisma
direcciónysentidoquesuvelocidadinicial.
Tendráunmovimientorectilíneouniformementeacelerado.
c) Enestecaso,losvectoresWv yWB son
perpendiculares,porloqueaparecerá
unafuerzamagnéticaperpendicular
alplanoqueloscontieneycuyosentido
sedeterminaenfuncióndelaregla
delamanoderecha.
Comosemuestraeneldibujo,
latrayectoriadelapartícula
securvayseconvierte
enunmovimientocircular
ensentidohorarioenelplanoXZ.d) Enestecaso,sobrelapartícula
apareceráunafuerzaeléctrica,
perpendicularaWv .
Sumovimientopasaaser
parabólico,dirigidoenelsentido
delcampoeléctrico
existente.
F q E j m a E E= ⋅ = ⋅W W W
v W
WB
WF B
X
Y
Z
v W
WF E
X
Y
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160
4 El campo magnético
43. Una partícula con carga 0,5 ⋅ 10−9
C se mueve con v W
= 4 ⋅ 106
j W
m/sy entra en una zona donde existe un campo magnético B W = 0,5 i WT:
a) ¿Qué campo eléctrico WE hay que aplicar para que la carga no sufraninguna desviación?
b) En ausencia de campo eléctrico, calcula la masa si el radio de la órbitaes 10−7 m.
c) Razona si la fuerza magnética realiza algún trabajo sobre la cargacuando esta describe una órbita circular.
(Galicia. Septiembre, 2007)
a) Unapartículacargadaquesemueveenelseno
deuncampomagnéticoseverásometida
alafuerzadeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .
Paraquelacarganosedesvíede
sutrayectoriaesnecesarioaplicaruncampo
eléctricoquegenereunafuerzaeléctrica
delmismomóduloydirección,ydesentido
contrarioquelafuerzamagnética.
F q v B j i k B C N= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ × = −− −
0 5 10 4 10 0 5 109 6 3, ,W W W W WW
F q E F E F
q
k k E B
B N
C
N
C= ⋅ = − = − =
⋅
= ⋅
−
−→
10
0 5 102 10
3
9
6
,
W W WW W
WW
b) Enausenciadecampoeléctricolapartículadescribe
unatrayectoriacircular,yaquelafuerzamagnéticaactúadefuerza
centrípeta.Apartirdeestaideacalculamoslamasadelapartícula:
F B= F C→ → →q v B m v
r q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
2
→ m r q B
v =
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
− −
−10 0 5 10 0 5
4 106 25 10
7 9
6
24, ,, kkg
c) Lafuerzamagnéticaqueactúasobrelapartículaessiempre
perpendicularasuvectorvelocidadyalatrayectoriaquedescribe.
Enconsecuencia,esafuerzanorealizaningúntrabajo.
WF B⊥Wv ,loquedeterminaquelapartículasedesplazaenunplano
perpendicularaWF B
.Así,eltrabajodelafuerzamagnéticaesnulo:
W F d r A B→ = ⋅ =#B
A
0W W ,yaqueWF ⊥d Wr
44. Necesitamos diseñar un ciclotrón capaz de acelerar protones hastaque su energía cinética alcance 30 MeV. ¿Cuál ha de ser su radiosi el campo magnético que podemos emplear es de 5 T?Calcula su frecuencia.
Datos: Q protón= 1,6 ⋅ 10−19 C; m protón = 1,67 ⋅ 10−27 kg.
v W
WB
WF B
WF E
WE
X
Y
Z
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http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 161/407
161
Solucionario
Enelciclotrónlaspartículassemuevenbajolaacción
deuncampomagnéticoperpendicularasuvelocidad
ydescribiendounaórbitacircular.Lafuerzamagnéticaactúa
defuerzacentrípeta.
F B= F C→ → →q v B m v
r q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
2
[1]
→ r m v
q B =
⋅
⋅
Obtenemoslavelocidadconeldatodelaenergíadelosprotones:
E m v
v E
m
C
C
eVJ
1 eV
= ⋅
=⋅
=
⋅ ⋅ ⋅⋅
−
1
2
22 30 10
1 6 10
2
619
→
→
,
11 67 107 58 10
27
7
,,
⋅
= ⋅− kg
m/s
Despreciamoslosefectosrelativistas,aunqueaestasvelocidades
(lavelocidadcalculadaesunacuartapartedelavelocidaddelaluz)
deberíantenerseencuenta,algoqueharemoseneltema10.
r m v
q B =
⋅
⋅
=⋅ ⋅ ⋅
⋅
−
−
1 67 10 7 58 10
1 6 10
27 7
19
, ,
,
kg m/s
C ⋅⋅= =
5 T0,158 m 15,8 cm
Lafrecuenciadelciclotróndebesereldobledelafrecuencia
conquegiranlaspartículas.Calculamoselperiododelaspartículas
y,apartirdeél,sufrecuencia(f ) .Delaexpresión[1]:
q r B m r q B m T
m f ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ωπ
π→2
2
Frecuenciadelaspartículas:
f q B
m =
⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
−
−2
1 6 10 5
1 67 10 27 62
19
27π π
,
,,
C T
kg⋅⋅ 10
7 Hz
Lafrecuenciadelciclotróndebeser:
2⋅f →2⋅7,62⋅107Hz=1,524⋅108Hz
45. Se utiliza un espectrómetro de masas para analizar el contenido isotópicode una muestra de uranio. Se excita la muestra hasta que todos
los átomos se convierten en iones con carga +1. A continuación,se aceleran con una diferencia de potencial de 2 kV y se les hace entraren una región donde hay un campo magnético de 1,5 T perpendiculara la dirección en la que se desplazan los iones.
Para detectarlos se utiliza una placa fotográfica que recoge el impactodespués de que las cargas hayan recorrido una semicircunferencia (recuerdala figura de la página 128). Calcula a qué distancia del punto de entradaen la cámara se detectarán los isótopos U-235 y U-238.
Datos: Q protón = 1,6 ⋅ 10−19 C; 1 u = 1,67 ⋅ 10−27 kg.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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162
4 El campo magnético
Setratadedeterminareldiámetro
delacircunferenciaquedescribe
lamuestra.
Laspartículascargadas
quepenetranenelespectrómetro
demasasvanaestarsometidas
alaaccióndeunafuerza
magnéticaqueactúadefuerza
centrípetaobligándolesadescribirunatrayectoriacircular.
F B= F C→ →q v B m v r
⋅ ⋅ = ⋅
2
→ →q r B m v r m v
q B ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅
⋅
Laenergíapotencialquesecomunicaalascargas
setransformaenenergíacinética.Estonospermitecalcular
lavelocidaddelaspartículas:
→ →D D D DE E q V m v v q V m
P C= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅12
22
ParaelcasodelisótopoU-235,sumasaserá235uysucargaserá
igualaladelprotón:
v q V
m 1
192 2 1 6 10 2000
235 1 67=
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
−D
U-235)(
,
, ⋅⋅= ⋅
−10
4 04 1027
4, m/s
Portanto:
r m v
q B 1
127 4235 1 67 10 4 04 10
1=
⋅
⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅−U-235)( , ,
,, ,6 10 1 519
⋅ ⋅= =
−0,0660 m 66,0 mm
YparaelcasodelisótopoU-238,sumasaserá238uysucargaserá
igualaladelprotón:
v q V
m =
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
−2 2 1 6 10 2000
238 1 67
19D
u-238)(
,
, 1104 01 10
27
4
−= ⋅, m/s
Portanto:
r m v
q B 2
227 4
238 1 67 10 4 01 10
1=
⋅
⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅−U-238)( , ,
,, ,6 10 1 519
⋅ ⋅= =
−0,0664 m 66,4 mm
Silaimagenserecogetrasrecorrerunasemicircunferencia,será
aunadistanciaigualaldiámetrodelpuntodeentrada;esdecir,
queparacadaisótoposerá:
• U-235→d 1=2⋅r 1=2⋅66,0mm=132mm
• U-238→d 2=2⋅r 2=2⋅66,4mm=132,8mm
r 2 r 1
m 2 m 1
WB
WE
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163
Solucionario
46. Un cable recto de longitud l y corriente i está colocado en un campomagnético uniforme B formando con el un ángulo θ. El módulode la fuerza ejercida sobre dicho cable es:
a) i ⋅ l ⋅ B ⋅ tg θ b) i ⋅ l ⋅ B ⋅ sen θ c) i ⋅ l ⋅ B ⋅ cos θ
(Galicia. Septiembre, 2005)
Lafuerzaejercidasobreelcableserá:
F i B B = ⋅ ×lW W W
Porloqueelmódulosecorresponderácon W F i B B = ⋅ ⋅ ⋅l sen θ.
Larespuestacorrectaeslab).
47. ¿Qué campo magnético es mayor en módulo: el que existe en un puntosituado a una distancia R de una corriente rectilínea de intensidad I ,o el que hay en un punto a una distancia 2R de otra corriente rectilíneade intensidad 2I ? Justifique la respuesta.
(R. Murcia. Junio, 2005)
Elcampomagnéticocreadoporunhilodecorrienteenunpunto
queseencuentraaunadistanciax delmismosepuedeobtener
pormediodelaexpresión:B I
x = ⋅µ
π2.
• EnunpuntoAsituadoaunadistanciaR yconunaintensidadI ,setendrá:
B I
R A = ⋅
µ
π2
• EnunpuntoBsituadoaunadistancia2R yconintensidad2I ,setendrá:
B I R
I R
B B A= ⋅ = ⋅ =µ
π
µ
π22
2 2
Asíqueelcampocreadoenamboscasosesigual.
48. Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corrientede 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluyeen el sentido positivo. Un electrón se encuentra situado en el eje Ya una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el vector aceleración instantáneaque experimenta dicho electrón si:
a) Se encuentra en reposo.b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y.
c) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z.
d) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje X.
Datos: permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π ⋅ 10−7 N/A2;masa del electrón, m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg;valor absoluto de la carga del electrón = 1,6 ⋅ 10−19 C.
(C. Madrid. Junio, 2005)
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164
4 El campo magnético
Calculamoselcampomagnético
quecreaelhilodecorriente
enlaposicióndondeseencuentra
elelectrónapartirde:
B I
x = ⋅ =µ
π2
=⋅
⋅ = ⋅−
−π
π
4 10
2
12
0 012 4 10
74
,, T
Deacuerdoconlaregladelamano derecha,elcampoenelpuntodondeseencuentraelelectrónestá
dirigidosegúnelsentidopositivodeX.
Unacargaenmovimientoquepenetreenelcamposeverásometida
aunafuerza,deacuerdoconlaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .
Conocidalafuerzadeterminaremoslaaceleracióninstantánea
queexperimenta:WF = m ⋅ Wa .
a) Electrónenreposo.
Suvelocidadesnula,porloquetambiénloserálafuerzaresultante.Noactúasobreellaningunaaceleración.
b) VelocidadenladirecciónpositivadelejeY.
LosvectoresWv yWB sonperpendiculares,
porloquepodemoscalcular:
F q v B B = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −
1 6 10 1 2 4 10 3 84 1019 4 23, , , NN
Conlamasadelelectrónpodemoscalcularlaaceleracióncorrespondiente:
a F
m = =
⋅
⋅= ⋅
−
−
3 84 10
9 1 104 22 10
23
31
7,
,,
N
kgm/s2
Laaceleracióntendrálamismadirecciónysentido
queladelafuerzaejercida.Comolacargaesnegativa,susentido
eselopuestoalquesededuceconlaregladelamanoderecha;
tendráelsentidopositivodeZ:
a k = ⋅4 22 107, m/s2W W
c) VelocidadenladirecciónpositivadelejeZ.
LosvectoresWv yWB sonperpendiculares,
porloquepodemoscalcular:
F q v B B= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −
1 6 10 1 2 4 10 3 84 1019 4 23, , , NN
I
WB
X
Y
Z
v W
WB
WF
X
Y
Z
I
v W
WB
WF B
X
Y
Z
I
–
–
–
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165
Solucionario
Conlamasadelelectrónpodemoscalcularlaaceleración
correspondiente:
a F
m = =
⋅
⋅= ⋅
−
−
3 84 10
9 1 104 22 10
23
31
7,
,,
N
kgm/s2
Laaceleracióntendrálamismadirecciónysentido
queladelafuerzaejercida.Comolacargaesnegativa,susentido
eselopuestoalquesededuceconlaregladelamanoderecha;
tendráelsentidonegativodelasY:
a j = − ⋅4 22 107
, m/s2W W
d) VelocidadenladirecciónpositivadelejeX.
LosvectoresWv yWB sonparalelos.Portanto,lafuerzaresultante
esnula: F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen 0°
Nuevamentenoactúasobreellaningunafuerza.Nosufreninguna
aceleración.
49. Por un conductor rectilíneo situado sobre el eje OZ circula una corrientede 25 A en el sentido positivo de dicho eje. Un electrón pasa a 5 cmdel conductor con una velocidad de 106 ⋅ m s−1. Calcule la fuerzaque actúa sobre el electrón e indique con ayuda de un esquemasu dirección y sentido, en los siguientes casos:
a) Si el electrón se mueve en el sentido negativo del eje OY.
b) Si se mueve paralelamente al eje OX. ¿Y si se mueve paralelamenteal eje OZ?
e = 1,6 ⋅ 10−19
C; μ0 = 4π ⋅ 10−7
N ⋅ A−2
.(Andalucía, 2006)
Podemosobtenerelcampo
magnéticoquecreaelconductor
rectilíneoenlaposicióndonde
seencuentraelelectrón
apartirde:
B I
x = ⋅ =µ
π2
=⋅
⋅ = ⋅−
−π
π
4 10
2
25
0 051 10
74
,T
Ladirecciónes,encadapuntodelespacio,tangentealacircunferencia
centradaenelconductoryquepasaporelpuntoconsiderado.
Elsentidosedeterminadeacuerdoconlaregladelamanoderecha.
Sisuponemosqueelelectrónensumovimientopasaa5cmsobre
elejeY,elsentidodeWB seráenelsentidoparaleloalejeXpositivo.
WB
X
Y
Z
I
–
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166
4 El campo magnético
UtilizamoslaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB paracalcularlafuerza
magnéticaqueelcampoejercesobrelacarga.Comoelelectróntiene
carganegativa,elsentidodelafuerzaeselopuestoalquesededuce
aplicandolaregladelamanoderecha.
a) Sielelectrónsemueveenelsentido
negativodelejeY,losvectoresWv yWB
sonperpendiculares,porloque:
F q v B B
N
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −
1 6 10 10 1 10 1 6 1019 6 4 17, ,
TendráladireccióndelejeZyelsentido
delosvaloresnegativos:
F k B N= − ⋅ −16 10
18W W
b) SielelectrónsemueveparalelamentealejeX,losvectoresWv yWB
sonparalelos.Enestascircunstancias,elproductovectorialesnulo
y,portanto,noseejerceningunafuerzasobreelelectrón.
c) Sielelectrónsemueveparalelamente
alejeZ,losvectoresWv yWB son
perpendiculares,porloquepodemos
obtenerelmódulodelafuerzacomo
sehahechoenelapartadoa).Sudirección
seráladelejeY,perosusentidodependerá
desielelectrónsemueveenelsentido
positivoonegativodelejeZ.
Comoseapreciaenlailustración,sielelectrónsedesplaza
enelsentidodelosvalorespositivosdeZ,lafuerzatieneelsentido
delosvaloresnegativosdeY:
F j B N= − ⋅ −16 10
18W W
50. Por dos conductores rectilíneos y de gran longitud, dispuestos paralelamente,circulan corrientes eléctricas de la misma intensidad y sentido.
a) Dibuje un esquema, indicando la dirección y el sentido del campomagnético debido a cada corriente y del campo magnético total en elpunto medio de un segmento que una a los dos conductores y coméntelo.
b) Razone cómo cambiaría la situación al duplicar una de las intensidades
y cambiar su sentido.(Andalucía, 2007)
a) Respuestagráfica:
I 1
WB 1
I 2 WB 2
v W
I
WB
WF B
X
Y
Z
v W
I
WB
WF B
X
Y
Z
–
–
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167
Solucionario
Enamboshilosdecorrienteelcampomagnéticocreado
porunhiloenelpuntoconsideradoestangentealacircunferencia
centradaenelhiloquepasaporesepunto.Paraambos,
ladireccióndelcampomagnéticoesperpendicularaladirección
delosconductores(suponiendoqueesténdispuestossegún
elejeX,seráparaleloalejeY).Lossentidosdecadacampo,
sinembargo,deacuerdoconlaregladelamanoderecha,
sonopuestos.Paranuestroesquema,elcampocreado
porlaintensidadI 1tieneelsentidodeentradaalpapel,mientras
queelcampocreadoporI 2tieneelsentidodesalidadelpapel.
Comolasintensidadessondelamismamagnitud,
lasumavectorialdeestoscamposresultanulayelcampo
magnéticototalenelpuntomedioesnulo.
b) Sisemodificaelsentidodeunadelascorrientes,elcampo
enelpuntomediogeneradoporlosdoshilostendríalamisma
direcciónysentido.
WB 1
WB 2
I 1
I 2
Siademásseduplicaunadelasintensidades,resulta
queelcampototalcreadoseríaeltriplequeelcreadoporelhilo
demenorintensidad,yaqueelcampomagnéticocreadoporcada
hilopuedeobtenersecomo:
B I
r B
I
r
I
r
B B
=
⋅
⋅ =
⋅
⋅ +
⋅
⋅
µ
π
µ
π
µ
π
0 0 0
2
2
2 2
1 2
→ T
= ⋅
⋅
⋅3
2
0µ
π
I
r
51. Por los hilos de la figura circulan corrientes en sentidos opuestos:I 1 = 2 A e I 2 = 4 A.
I 1 I 2
P
10cm5cm
a) Determina el módulo del campo magnético en el punto P y dibujasu dirección y sentido.
b) Suponiendo que I 1 = 2 A y circula en el sentido que se indica,¿cuál debe ser el valor y el sentido de I 2 para que el campo magnéticoen P sea nulo?
Dato: μ0 = 4π ⋅ 10−7 N ⋅ A−2.
90°
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168
4 El campo magnético
a) Sepuededeterminarelcampomagnético
quecadahilodecorrientecrea
enelpuntoP.Sudirección
serátangentealacircunferencia
concentroenelhiloyque
paseporP;susentido,
elindicadoporlareglade
lamanoderecha,ysumódulo:
B I
r
=⋅
⋅
µ
π
0
2
• I 1 →B I
r 1
0 1
1
76
2
4 10 2
2 0 058 10=
⋅
⋅=
⋅
⋅= ⋅
−−µ
π
π
π
·
,T
• I 2 →B I
r 2
0 2
2
76
2
4 10 4
2 0 18 10=
⋅
⋅=
⋅ ⋅
⋅= ⋅
−−µ
π
π
π ,T
Paraestadisposición,losvectoresWB 1 yWB 2formanunángulode90°,
loquenospermitecalcularelmódulodelcamporesultante:
B B B TT
= + = ⋅ ⋅ = ⋅
− −
1
2
2
2 6 2 52 8 10 1 13 10
( ) ,b) Comoseobservaenelesquema,elcampototalenP
noseanularáamenosqueseanulenlasdoscorrientes,I 1eI 2.
Paraunadisposicióncomolaqueserecogeenesteproblema,WB 1 yWB 2seránmutuamenteperpendiculares,aunquesusentido
puedacambiaralhacerlolacorrientequecirculaporcadahilo.
Soloesposiblequeseanuleelcampoenunpuntoenlalínea
queunelosdosconductores;elpuntoestaráentreambos
silacorrientequecirculaporlosdostieneelmismosentido;
yenelexteriorsisoncorrientesantiparalelas.Encualquiercaso,
sepodríacalcularelpuntoexactoenqueseanulaelcampo
conociendoladistanciaqueseparaambosconductores.
(Verunasituaciónsimilarenelproblemaresuelto7dellibro.)
52. Se tienen dos hilos conductores rectos, paralelose indefinidos, separados una distancia d .Por el conductor 1 circula una intensidad
I 1 = 2 A hacia arriba (ver figura).a) ¿Qué intensidad I 2, y en qué sentido, debecircular por el conductor 2 para que se anuleel campo magnético en el punto P2?
b) La distancia que separa los conductoreses d = 20 cm. Calcula el campo magnéticoen los puntos P1 y P2 cuando I 2 = I 1 = 2 A (hacia arriba).
μ0 = 4π ⋅ 10−7 N/A2.
(Aragón. Septiembre, 2007)
I 1
P1 P2
I 2
d
d d /2 d /2
WB 1
WB 2
WB T
P
I 1 I 2
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169
Solucionario
a) Losdoshilosdecorrientecrearán
uncampomagnéticoenelplano
perpendicularcuyadirecciónysentido
vienendadasporlaregla
delamanoderecha;
ysumóduloseobtiene
pormediodelaexpresión:
B I
r =
⋅
⋅
µ
π
0
2
LadirecciónenquecirculalacorrienteI 1determinaqueelcampomagnéticoquecreaenelpuntoP2tieneladirecciónyelsentido
quesemuestranenelesquema.Paraqueelcampototalseanule
enesepunto,I 2debecircularensentidoopuestoysuvalordebe
sertalqueelcampoqueoriginaenP2coincidaenmóduloconB 1:
• B I
r
I
d d 1
0 1
1
0 17
2 2 2
4 10 2
4
2 1=
⋅
⋅=
⋅
⋅ ⋅=
⋅ ⋅
⋅=
⋅−µ
π
µ
π
π
π
007−
d
• B I
r
I
d
I
d 2
0 2
2
72
72
2
4 10
2
2 10=
⋅
⋅=
⋅ ⋅
⋅=
⋅ ⋅− −µ
π
π
π
B B I
d d I 1 2
72
7
2
2 10 2 10=
⋅ ⋅=
⋅=
− −
→ → 1 A
Elresultadoesindependientedelvalorded .
b) Siambascorrientestienenelmismo
sentido,resultaqueloscampos
magnéticosquecrean:
• Sesumanenelexterior(tienenlamisma
direcciónysentidoenP2).
• Serestanenelinterior(tienen
lamismadirecciónysentidosopuestosenP1).
PuntoP1.Eselpuntomedioentreamboshilosdecorriente.
Comoladistanciaylaintensidadquecirculaporcadauno
eslamisma,elcamporesultanteseránulo.
PuntoP2:
• B I
r d 1
0 1
1
7 7
2
4 10 2
2 2
2 10
0 21 1=
⋅
⋅=
⋅
⋅ ⋅=
⋅= ⋅
− −µ
π
π
π
·
,00
6−T
• B I
r d 2
0 2
2
7 7
2
4 10 2
2
2 10 2
0 22 1=
⋅
⋅=
⋅ ⋅
⋅=
⋅ ⋅= ⋅
− −µ
π
π
π ,00
6−T
Elcampototaltendrálamismadirecciónysentido
quelosanteriores,ysumóduloserá:
B B B T T T T= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −1 2
6 6 61 10 2 10 3 10
WB 2
P1 P2
I 2I 1
WB 1
d
WB 2
P1 P2
I 2I 1
WB 2
WB 1
WB 1
d
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170
4 El campo magnético
53. Dos barras rectilíneas de 50 cm de longitud y separadas 1,5 mm situadasen un plano vertical transportan corrientes de 15 A de intensidadde sentidos opuestos. ¿Qué masa debe situarse en la barra superiorpara equilibrar la fuerza magnética de repulsión?
(La Rioja. Junio, 2006)
Comoseharazonadoenelapartado
Acciones entre corrientes ,entredos
barrasquetransportancorrientes
antiparalelasaparecenfuerzasmagnéticasderepulsión.
Paraequilibrarlabarrasuperior
habráquecolocarunamasa
cuyopesocoincidaconelmódulo
deesafuerzamagnética.Hayque
tenerencuentaqueelpesotendrá
direcciónverticalysentidohaciaabajo.
Paracalcularlafuerzamagnéticaqueaparecesobrelabarrasuperior
debemosconocerelvalordelcampomagnéticoquecreaenellalabarrainferior.
B I
d 2
27
3
3
2
4 10
2
15
1 5 102 10= ⋅ =
⋅⋅
⋅
= ⋅
−
−
−µ
π
π
π ,T
LaleydeLorentzpermiteconocerlafuerzamagnéticaqueactúa
sobreI 1.Teniendoencuentaqueelcampoesperpendicularalabarra:
F I B L1 1 23 2
15 2 10 0 5 1 5 10= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− −, , N
Lamasaquedebemosaplicartienequetenerunpesodelamisma
magnitudquelaF 1calculada.
P m g m P
g
F
g = ⋅ = = =
⋅= ⋅
−
−→
12
31 5 10
9 81 53 10
,
,,
N
N/kgkg
54. La corriente que penetra por la izquierda en el conductor de la figurase bifurca. Determina el valor del campo magnético en el punto Pen función del valor de la intensidad I y de cualquier otro parámetroque necesites conocer.
I I P
Lasituacióndelenunciadoimplicaquesetienendoslíneasparalelas
porcadaunadelascualesdiscurreunacorrienteI /2yambas
enelmismosentido.Enestecaso,elcampomagnéticoenelpunto
mediodelasdoslíneases0.[Verelapartadob)delproblema52.]
WB 2
WB 1
I 1
I 2WF 2
WF 1
WP
1,5mm
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171
La inducciónelectromagnética5
• Enestetemalasalumnasyalumnosvanacomprenderelfundamentodelageneracióndecorrientealterna.Serádegran
interéshacerunareflexiónsobrelaimportanciasocialdeestehecho;
puedeayudartratardeimaginarnuestromundosinelectricidad.
• Tambiéntendremosocasióndeutilizarlosconocimientosadquiridos
paracomprenderelfuncionamientodedispositivos
quehanaparecidoocobradoespecialrelevanciaenlosúltimosaños,
comolascocinasyloshornosdeinducción,laguitarraeléctrica
oeldetectordemetales.
PRESENTACIÓN
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172
5 La inducción electromagnética
• Elfenómenodeinduccióneléctrica.ExperienciasdeFaradayyHenry.
LeyesdeLenzyFaraday.
• Conceptodeflujomagnético.
• Procedimientosquepuedenhacerquevaríeconeltiempoelflujo
magnéticoatravésdeunconductorcerrado.
• Otrosfenómenosdeinducción:autoinduccióneinducciónmutua.
• Mecanismosdeproduccióndecorrientesinducidas(continuas
yalternas)deformapermanente.
• Conocimientodedispositivosbasadosenlainduccióndecorriente:alternador,motor,transformador,cocinas,altavoz,timbre,etc.
Conceptos
• Evaluarsituacionesenlasquesepuedaproducironounacorriente
inducida.
• Modificarunalternadoryconvertirloenunadinamo,oviceversa.
• Comprenderloscambiosdevoltajequeseproducenenlasdistintas
fasesdeltransportedeunacorrienteeléctrica.
• Manejardispositivosquetransformenelvoltajedelacorriente
conelfindepoderutilizarsencillosaparatoseléctricosenpaísescondiferentevoltajedoméstico.
• Realizarmontajesdesencillosdispositivoseléctricosquepermitan
comprobarlaexistenciadecorrientesinducidas.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Reconocerlaimportanciadealgunosavancescientíficos
ytecnológicosenlaevoluciónsocial.
• Aprenderatenerpresenteelprincipiodeprecaucióncuando
seanalicenlosprosyloscontrasdeunainstalacióndegeneración
otransportedeenergíaeléctrica.
Actitudes
CONTENIDOS
• Comprenderelfenómenodelainducciónelectromagnéticadesde
elpuntodevistacualitativoycuantitativo.
• Reconocerlosdistintosmodosdeobtenercorrientesinducidas.
• Comprenderelmecanismodeproduccióndecorrienteeléctrica
alternaycontinuahaciendousodelosfenómenosdeinducción.
• Estudiarotrosdispositivosbasadosenelfenómenodeinducción:
elmotoreléctrico,eltransformador,etc.
• Conocerelmecanismodetransportedelaenergíaeléctricadesde
lacentraldondesegenerahastaelpuntodeutilización.• Sercapazdehacerunanálisiscrítico(ventajaseinconvenientes,
incluidoelimpactoambiental)deunacentraldeproducciónde
energíaeléctricaconcretaodeunadeterminadareddedistribución.
• Obtenerunavisiónglobaldelainteracciónelectromagnéticaapartir
delasíntesisdeMaxwell.
OBJETIVOS
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173
programación de aula
Enestetemaelalumnadosefamiliarizaconfenómenostecnológicosdeimportantes
consecuenciassociales.Sepuedeaprovecharparafomentarunaeducaciónenvalores
endiferentesaspectos.
1. Educación cívica
Comomiembrosdeunasociedad,losalumnosyalumnassepuedenverimplicados
endiscusionesrelacionadasconlainstalacióndeelementosdestinadosaproducir
otransportarenergíaeléctrica.Esimportantequeseensayendebatesdonde,
bajoelprincipiodeprecaución,puedanllegaraconformarunaposturacoherente
alrespecto.
2. Educación medioambiental
Enlosdebatesalosquesehacereferenciaenelapartadoanteriordebeestar
presenteelimpactoambientaldelasinstalaciones.Hayquetenerencuenta
impactosnegativosypositivos;porejemplo,losrelacionadosconlaaparición
denuevoshábitatsentornoaembalses,etc.
3. Educación para el consumidor
Enestetemaseexplicaelfuncionamientodealgunosdispositivosquepueden
emplearlosalumnosyalumnas.Suconocimientolesayudaráenlacorrectautilizaciónyenlaadquisicióndelmodelomásadecuadoasusnecesidades.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Evaluarsienunasituaciónsevaaproducironounacorrienteinducida,ycómo
vaaseresta.
2. Calcularelvalordelafuerzaelectromotrizinducidaquesegeneraenunasituación.
3. Relacionaralgunoshechosobservablesconfenómenosdeautoinducción.
4. Determinarlascaracterísticasdeuntransformadorenfuncióndelcambioquesedesea
enelvoltajeolaintensidaddelascorrientesdeentradaysalida.
5. Explicarelfuncionamientodealgúndispositivorelacionadoconlainducción
decorriente.
6. Evaluar,desdeelpuntodevistatecnológicoyambiental,unainstalación
paralageneraciónotransportedecorrienteeléctrica.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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174
5 La inducción electromagnética
1. Imagina una espira en un campo magnético. Estudia cuál debeser su orientación para que:
a) Tenga un flujo positivo.
b) Tenga un flujo negativo.
c) Tenga un flujo nulo.
Elflujodelcampomagnéticoatravésdelaespirasedetermina
pormediodelaexpresión:
φ=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ
HayquerecordarqueWS esunvectorcuyomódulocoincide
conelvalordeS ysudirecciónesperpendicularalaespira.
Parasuperficiesplanas,comoladelaespira,elsentidoesarbitrario.
a) Paraqueelflujoseapositivotendráquecumplirselacondición
cosθ>0.Secumpleparaángulostalesque−90°<θ<90°.
b) Paraqueelflujoseanegativotendráquecumplirselacondición
cosθ<0.Secumpleparaángulostalesque90°<θ<270°.
c) Paraqueelflujoseanulotendráquecumplirselacondición
cosθ=0.Secumpleparaθ=90°yθ=−90°=270°.SedaestacircunstanciacuandoWB esparaleloalplanodelaespira,
yaqueentoncesWB esperpendicularaWS .
ElflujoesmáximocuandoWB esperpendicularalaespira,
yaqueentoncesWB esparaleloaWS .
2. En un campo magnético uniforme de 1,5 T se introduce una bobinade 50 espiras de 4 cm de diámetro. Determina el flujoque la atraviesa si:
a) El campo tiene la dirección del eje de la bobina.
b) El campo forma un ángulo de 30° con el eje de la bobina.
c) El campo forma un ángulo de 30° con la superficie de la primera espirade la bobina.
Calculamoselflujoqueatraviesaunabobinapormedio
delaexpresión:
φB=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S ⋅cosθ
a) Sielcampotienelamismadirecciónqueelejedelabobina,seráθ=0°,yaqueelejecoincideconelvectorWS (perpendicular
alasuperficiedelaespira).Enestecaso:
φB=N ⋅WB ⋅WS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =N B S N B r π 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −50 1 5 0 02 0 9 42 102 2, , cos ,T m Wb2π °
b) Enestecaso,seráθ=30°:
φB=N ⋅WB ⋅WS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =N B S N B r π 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −50 1 5 0 02 30 8 16 102 2, , cos ,T m Wb2π °
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175
Solucionario
c) Deacuerdoconloexpuestoenelapartadoa),elvectorWS
esperpendicularalasuperficiedelaespira.Sielcampoforma
unángulode30°conlasuperficiedelaespira,elángulo
queformaconelejedelabobina(oconelvectorWS )
seráθ=90°−30°=60°.
φB=N ⋅WB ⋅WS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =N B S N B r π 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −50 1 5 0 02 60 4 71 102 2, , cos ,T m Wb2π °
3. Una espira cuadrada se desplaza hacia
una zona donde hay un campo magnético uniformeperpendicular al plano de la espira, como se indicaen la figura. Deduzca de forma razonada el sentidode la corriente inducida en la espira cuando la espiraestá entrando en la zona del campo magnético.
(Cataluña. Junio, 2007)
v W B
W
DeacuerdoconlaleydeLenz,
elsentidodelacorrienteinducida
enlaespiraserátalqueseopongaalacausaquelaorigina.
Enestecaso,lacausaeslaentrada
enuncampomagnéticodirigidohacia
abajo.Amedidaquelaespirapenetra
B W
v W
Y
X
enesazona,aumentaelflujo
delcampomagnéticohaciaabajo;enlaespiraapareceráentonces
unacorrienteinducidaqueprovoqueuncampomagnéticodirigido
haciaarriba.
Lacorrienteinducidaenlaespiramientrasentraenelcampo
magnéticoserádesentidoantihorario.
4. Supongamos que la espira anterior sigue con su movimiento. Indica cuáles el sentido de la corriente inducida cuando está completamenteintroducida en el campo magnético y cuando sale por la derecha hastaque está completamente fuera del campo.
Mientraslaespirasemuevaestandocompletamenteinmersa
enelcampomagnéticonoexistevariaciónenelflujoquelaatraviesay,portanto,noapareceningunacorrienteinducida.Lacorriente
inducidaenestecasoesnula.
Cuandolaespirasemuevehacialaderechasaliendodelcampo
magnético,elcampomagnéticoentranteenelplanodelamisma
vadesapareciendo.DeacuerdoconlaleydeLenz,lacorriente
inducidaqueapareceporelcambiodelflujoqueatraviesalaespira
enestecasoserátalqueseopongaaladesaparicióndelcampo.
Elsentidodelacorrienteinducidaseráhorario.
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176
5 La inducción electromagnética
5. Dos espiras, A y B, definen planosparalelos entre sí. Indica cómoes la corriente inducida en A en los siguientes casos:
a) Se cierra el interruptor en B.
A
Ba
b) Se mantiene cerrado el interruptor en B, y B se acerca a A.
c) Se mantiene cerrado el interruptor en B, y A se acerca a B.
d) Se mantiene cerrado el interruptor en B, y A y B se alejan una de la otra.
e) A y B mantienen su posición y se abre el interruptor en B.f) Con el interruptor en B abierto, A se acerca a B.
a) AlcerrarelinterruptorenBapareceunacorrienteensentido
horario.EstacorrienteproduceuncampomagnéticoenlaespiraB
ensentidoentranteenB(alejándosedelaespiraA).Estohace
quevaríeelflujomagnéticoqueatraviesaalaespiraA,yaparecerá
enellaunacorrienteinducidaqueseopongaaestecambio.
LacorrienteinducidaenAtendrásentidohorario.
A
Ba
b) SisemantieneelinterruptorenB,existeuncampomagnético
constanteenlamismadirecciónqueenelapartadoanterior.
Lavariaciónenestecasoconsisteenelacercamientodelaespira
BalaA.LacorrienteseinduciráenAdemaneraqueseoponga
aestemovimiento.
AcercarlaespiraBequivaleaacercarlacarasurdeunimán.
ElefectoenlaespiraAseráqueapareceráunacorriente
equivalenteaunacarasurenlacarasituadafrentealaespiraB
queseacercaaella.Elsentidodelacorrientecorrespondiente
eshorario.
c) Cuandoseproduceelacercamientomutuo,esindependiente
quesemuevaunaespiraolaotra.Igualqueenelapartadoanterior,lacorrienteinducidaenAserátambiéndesentidohorario.
d) Conunrazonamientosimilaraldelosapartadosanteriores,
sealejalaespiraB(equivalenteaunacarasurensusuperficie
máspróximaalaespiraA).Enestecaso,lacorrienteinducida
serátalqueseopongaaestealejamiento,porloquesuresultado
tendráqueserunacaranorteenlacaramáspróximaalaespira
B.Paraello,esnecesarioquelacorrienteinducidatengasentido
antihorario.
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177
Solucionario
e) Enestecasolavariaciónconsisteenuncambio
delflujoqueatraviesalaespiradebidoauncampomagnético
quedesaparece.Paraoponersealadesaparicióndelcampo
magnético,seinduciráenlaespiraAunacorriente
ensentidoantihorarioquegeneraríauncampoigualalqueestá
desapareciendoalabrirelinterruptor.
f) ConelinterruptordeBabierto,noexisteningunacorriente
quegenerecampomagnético.Portanto,noexistetampoco
ningúnefectoquecontrarrestarynoaparecerácorrienteinducida
deningúntipo.
6. Imagina que las dos bobinas de la experiencia de Faradayse acercan o se alejan en la dirección indicada por las flechas.Explica si aparece corriente inducida en la bobina B y, si es así,di en qué sentido circula.
Ba
Elcampomagnéticoqueseoriginaenlabobinatieneladirección
deleje.(Paraunsolenoide,B = m⋅N ⋅I .)Lavariacióndelflujoy,
portanto,lacorrienteinducida,seproducecuandoambasespirasse
muevenunaconrespectoalaotraenesadirección.Enelesquema
semuestraundesplazamientoenladirecciónperpendicular
aleje,quenoprovocarácorrienteinducidaenlabobinaB.(Elcampo
quecreaunsolenoideenelexterioresprácticamentenulo.)
7. Por un hilo vertical indefinido circula una corriente eléctricade intensidad I . Si dos espiras se mueven, una con velocidad paralelaal hilo y otra con velocidad perpendicular, respectivamente, ¿se inducirácorriente eléctrica en alguna de ellas? Razona la respuesta.
(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2006)Seinducirácorrientesobrelaespira
quesemueveenhorizontal,yaqueconeste
movimientosevaríaelflujoquelaatraviesa.
Porelcontrario,aldesplazarlaespira
paralelamentealhilonoseproduce
modificaciónenelflujoquelaatraviesa
y,portanto,tampocoseinduceninguna
corrientequeseopongaalavariación.
Batería
Galvanómetro
v W
v WI
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178
5 La inducción electromagnética
8. Una barra metálica de 50 cm se mueve perpendicularmente a un campomagnético uniforme con una velocidad de 4 m/s. Se observa que entrelos extremos de la barra hay una diferencia de potencial de 0,8 V.Calcula la intensidad del campo magnético en la zona.
DeacuerdoconlaleydeHenry,cuandounconductorsemueve
perpendicularmenteauncampomagnéticouniforme,
seinduceunafuerzaelectromotrizquesecorrespondecon:
∆∆
V v B L B V
v L
= = ⋅ ⋅ =
⋅
=
⋅
=ε →0 8
4 0 5
0 4,
,
,V
m/s m
T
9. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la barra metálica se mueveen la misma dirección del campo magnético.
Silabarrametálicasemueveenlamismadirecciónqueelcampo
magnético,noseinducecorriente,yaquenoapareceráninguna
fuerzamagnéticasobresuscargas.DeacuerdoconlaleydeLorentz:
WF B= q ⋅Wv ×WB = 0
10. Un anillo conductor se coloca perpendicularmente a un campomagnético uniforme B W. ¿En qué caso será mayor la fuerza electromotrizinducida en el anillo?
a) Si B disminuye linealmente con el tiempo, pasando de 0,5 T a 0 T en 1 ms.
b) Si B aumenta linealmente con el tiempo, pasando de 1 T a 1,2 T en 1 ms.
(P. Asturias. Septiembre, 2006)
DeacuerdoconlaleydeFaraday-Lenz:
εφ
= − = −⋅
= −⋅d
dt
d B S
dt
d B S
dt
B ( ) ( )WW
Yaqueelanilloestácolocadoperpendicularmentealcampo
magnéticoy,portanto,losvectores WS yWB sonparalelos.
a) Enestecaso:
εφ
1
2 1
= − = −⋅
= −⋅
=
= −− ⋅
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
B
t
B S
t
B S
t
B B S
t
( ) ( )
( )== −
− ⋅= ⋅
( , )
,
0 0 5
0 001
500T
s
VS
S
WW
b) Ahoratenemos:
εφ
2
2 1
= − = −⋅
= −⋅
=
= −− ⋅
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
B
t
B S
t
B S
t
B B S
t
( ) ( )
( )== −
− ⋅= − ⋅
( , )
,
1 2 1
0 001200
T
sV
S S
WW
Asípues,envalorabsoluto,serámayorla feminducidaenelprimer
caso:|ε1|>|ε2|.
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179
Solucionario
11. La espira cuadrada de la figura, de 20 cmde lado, es atravesada por un campomagnético uniforme B = 2 T, que entradesde arriba en dirección perpendicularal plano del papel.
Si disminuimos el campo de forma uniformehasta B = 0 en un tiempo de 1 minuto,
20cm B W
¿cuál es la fuerza electromotriz induciday el sentido de la misma?
(Cantabria. Septiembre, 2007)
DeacuerdoconlaleydeFaraday-Lenz:
εφ
= − = −⋅
= −⋅d
dt
d B S
dt
d B S
dt
B ( ) ( )WW
Puestoquelaespiraesatravesadaperpendicularmenteporelcampo
magnéticoy,portanto,losvectores WS yWB sonparalelos.
ε
φ
= − = −
⋅
= −
⋅
=
= −− ⋅
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
B
t
B S
t
B S
t
B B S
t
( ) ( )
( )2 1 −−− ⋅
= ⋅ −( ) ,,
0 2 0 2
601 33 10
23T m
sV
2
WW
Ladesaparicióndelcampomagnéticodeterminaunadisminución
delflujoentranteconeltiempo.Lacorrienteinducidatratadereponer
elflujoentrante;portanto,circularáensentidohorario.
12. Enuncie la ley de la inducción de Faraday.Una espira circular se coloca en una zona de campomagnético uniforme B W
0 perpendicular al planode la espira y dirigido hacia adentrotal como se muestra en la figura.
Determine en qué sentido circulará la corrienteinducida en la espira en los siguientes casos:
B W0
r
a) Aumentamos progresivamente el radio de la espira manteniendoel valor del campo.
b) Mantenemos el valor del radio de la espira pero vamos aumentandoprogresivamente el valor del campo.
Razone su respuesta en ambos casos.
(Castilla y León. Junio, 2006)
Cuandoseintroduceunconductorcerradoenunazonadonde
hayuncampomagnético,podráaparecerenéluna fem
siseproduceunavariaciónconeltiempodelflujomagnético
queatraviesaelconductor.
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180
5 La inducción electromagnética
Lacorrienteinducidaporesavariacióndelflujocircularáenunsentido
talqueseopongaalacausaquelaprodujo:
εφ θ
= − = −⋅
= −⋅ ⋅
= −⋅d
dt
d B S
dt
d B S
dt
d B S
dt
B ( ) ( cos ) ( )WW
(PorqueWS yWB sonparalelos.)
a) Elvalordelcampomagnéticonovaría,B =cte.
Alaumentarprogresivamenteelradiodelaespira,aumentará
asuvezlasuperficiequeatraviesanlaslíneasdecampo
y,conello,elflujo.
ε = − ⋅B dS
dt
Elvalordela feminducidaseránegativo,porloquesuefecto
seoponealavariacióndelflujoexistente.Estosignifica
queelsentidodelacorrienteinducidahabrádeser
antihorario.
b) Enestecasopuedeobtenersela feminducidapormedio
delaexpresión:
ε = − ⋅S dB
dt
Siaumentaprogresivamenteelvalordelcampo,elvalor
dela feminducidaseránegativo,porloquesuefecto
seoponealavariacióndelflujoexistente.
Estosignificaqueelsentidodelacorrienteinducidahabrá
deserantihorariodenuevo.
13. Una espira conductora de 10 cm de radio se encuentraen una región del espacio donde existe un campo magnéticode dirección paralela a la del eje de la espira y de módulovariable según la expresión B = 5 ⋅ sen 314 t (mT).Calcular la expresión de la fem inducida en la espira.
(C. F. Navarra. Septiembre, 2007)
Enlascondicionesdelenunciado,deacuerdoconlaleydeFaraday-Lenz:
εφ
π
= − = −⋅
=
= ±⋅
= ± ⋅ ⋅
d
dt
d B S
dt
d B S
dt r
dB
dt
( )
( ) 2
WW
B W
S W
Z
X
Y
ElsentidodelvectorWS puedeserelquesemuestraeneldibujo
oelcontrario,deahíelsignodelafem.
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181
Solucionario
Conociendolaexpresiónquerigelavariacióndelcampomagnético
coneltiempo:
ε π π= ± ⋅ ⋅ = ± ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅−
r dB
dt
d t
dt
2 23
0 15 10 314
,[ ( )]sen
→→
→ ε π= ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ± ⋅
−
−
0 1 5 10 314 314
4 93 10
2 3, cos( )
,
t
22314⋅ ⋅cos( )t V
14. Una espira metálica circular, de 1 cm de radio y resistencia 10-2 Ω,
gira en torno a un eje diametral con una velocidad angular de 2 rad/sen una región donde hay un campo magnético uniforme de 0,5 T dirigidosegún el sentido positivo del eje Z. Si el eje de giro de la espira tienela dirección del eje X y en el instante t = 0 la espira se encuentrasituada en el plano XY, determine:
a) La expresión de la fem inducida en la espira en función del tiempo.
b) El valor máximo de la intensidad de la corriente que recorrela espira.
(C. Madrid. Junio, 2005)a) DeacuerdoconlaleydeFaraday,la feminducidaquesecrea
enlaespiravienedadaporlaexpresión:
εφ
w θ
= − = −⋅
=
= −⋅ ⋅ ⋅ +
=
=
d
dt
d B S
dt
d B S t
dt
B ( )
[ cos( )]0
++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +B S t w w θsen ( )0
W W
B W
S W
Z
X
Y
Prescindimosdelsignodela femporqueelvectorsuperficiepuede
tenerelsentidoqueseindicaeneldibujooelcontrario.
ε π π π
ε
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅−
0 5 0 01 2 2 0
9 87 10
2
4
, , ( )
,
sen V
s
t →
→ een V( )2π ⋅ t
Sudesfaseinicialesnulo,yaquecuandolaespiraseencuentra
situadaenelplanoXY(posicióninicial),suvectordesuperficie
esparaleloalvectordecampomagnético.
b) DeacuerdoconlaleydeOhm:V =I ⋅R .
εε w w θ
= ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
I R I R
B S t
R →
sen( )0
I esunafunciónsenoidal.Suvalorserámáximocuandoelseno
delángulosea1:
I B S
R máx.
T m rad/s
m=
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅=
w π π0 5 0 01 2
0 019 8
2, ,
,, 77 10 2⋅ − A
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182
5 La inducción electromagnética
15. Señala las variacionesque se pueden observaren el brillo de la bombillacuando se cierra y se abreel interruptor en cada unode los circuitos de la figura.
Ladiferenciaenelbrillo
delabombillaenuno
yotrocircuitoradicaenque
enelsegundocasoexisteunabobinaenelcircuito.Acausadeesta
bobinaapareceráuna feminducidaprovocaráunacorriente
queseoponealaaparición/desaparicióndelacorrientedelcircuito
(cierre/aperturainterruptor).Hayquerecordarquealabrirycerrar
elcircuitoseprovocauncambioenelflujomagnéticoqueatraviesa
lasespirasdelabobina.
Corriente
inducida
Corriente
inducida
Lacorrienteinducidaprovocaráque,alcerrarelinterruptor,
labombillatardemásenalcanzarsubrillomáximoquesinoexistiese,yaquelacorrienteinducidaseopone
alacirculacióndelacorrienteporelcircuito.Análogamente,alabrir
elinterruptorseapagaráanteslabombillacuyocircuitonotiene
bobinaporqueenelcircuitoconbobinaapareceráunacorriente
inducidaqueseoponealefectoquehacambiadoelflujomagnético;
enestecaso,afavordelacorrientequecirculabaporelcircuito
yqueahoradesaparece.
16. Tenemos dos trozos de 5 m de hilo de cobre de 2 mm de espesor.Enrollamos uno formando espiras de 5 cm de diámetro y otro formandoespiras de 10 cm de diámetro. Determina cuál de las dos bobinasobtenidas tendrá mayor autoinducción.
Elcoeficientedeautoinduccióndeunabobinavienedado
porlaexpresión:
LN
l S = ⋅ ⋅m
2
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183
Solucionario
• Característicasdelaprimerabobina:
Lasespirastienen5cmdediámetro,loquedeterminaunperímetro
delongitud:
l r espiram
0,157 m1 12 20 05
2= ⋅ = ⋅
=π π,
Elarrollamientodelos5mdecabledarálugar
aunabobinacon:
N l
l
1
5
0 157
31 83 31= = =
espira 1
m
m
espiras
,
, →
Podemosobtenerlalongitudtotaldelabobina,yaqueconocemos
elespesordelhilodecobre,como:
l N bobina m 0,062 m 6,2 cm13
13
2 10 2 10 31= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =− −
Lasuperficiedelasespirases:
S r 1 12
2
30 05
21 96 10= ⋅ = ⋅
= ⋅ −π π,
,m
m2
•
Característicasdelasegundabobina:Lasespirastienen10cmdediámetro,loquedetermina
unperímetrodelongitud:
l r espiram
0,314 m2 22 20 1
2= ⋅ = ⋅
=π π,
Elarrollamientodelos5mdecabledarálugar
aunabobinacon:
N l
l 2
5
0 314
15 92 15= = =espira 2
m
mespiras
,, →
Podemosobtenerlalongitudtotaldelabobina,yaqueconocemos
elespesordelhilodecobrecomo:
l N bobina 0,03 m 3 cm23
232 10 2 10 15= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =− −
Lasuperficiedelasespirases:
S r 2 22
2
30 1
27 85 10= ⋅ = ⋅
= ⋅ −π π,
,m
m2
Obtenemoscontodosestosdatoselcoeficientedeautoinducción
decadaunadelasbobinas:
•LN
l S 1
12
1
1
2
2
331
6 2 101 96 10 30 38= ⋅ ⋅ = ⋅
⋅⋅ ⋅ =
−−m m
,, , mm H
•LN
l S 2
22
2
2
2
2
315
3 107 85 10 58 87= ⋅ ⋅ = ⋅
⋅⋅ ⋅ =
−−m m m, , H
L2>L1.Esdecir,esmayorlaautoinduccióndelasegundabobina.
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184
5 La inducción electromagnética
17. Al abrir un circuito por el que circula una corriente de 12 A se induceuna fem de 40 V. Determina el coeficiente de autoinduccióndel circuito si la corriente tarda 1 ms en anularse.
La femautoinducidavienedadaporlaexpresión:
εφ
ε
= − = − ⋅ = − ⋅
= − ⋅
d
dt L
dI
dt L
I
t
LI
t
B ∆
∆
∆
∆
→
→ = − ⋅
−
⋅
= ⋅
−
−
−1
3
1
400 12
1 10
3 33 1VA
s
( ), 00 3− H
18. Una bobina circular de 4 cm de radioy 30 vueltas se sitúa en un campo magnéticodirigido perpendicularmente al planode la bobina cuyo módulo en función del tiempoes B (t ) = 0,01 ⋅ t + 0,04 ⋅ t 2, donde t estáen segundos y B , en teslas. Determina:
B W
a) El flujo magnético en la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en el instante t = 5,00 s.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
a) Paraunabobinasepuedeobtenerelflujoapartirdelaexpresión:
φB=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S =
= ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ −
30 0 01 0 04 0 04
1 51 10
2 2
3
( , , ) ,
,
⋅ ⋅
⋅
t t
t
π Wb
++ ⋅ −6 04 10 3 2, ⋅ t Wb
b) Ahora:
εφ
( )( , , )
t d
dt
d t t
dt = − = −
⋅ + ⋅=
− −B 1 5 1 10 6 04 103 3 2⋅ ⋅
== − ⋅ − ⋅ ⋅− −1 5 1 10 2 6 04 103 3, , ⋅ t V
Entonces:
ε( ) , ,
,
5 1 51 10 2 6 04 10 5
0 062 10
3 3s V= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
= − ⋅
− −
−22V 62 m V= −
19. En los transformadores se produce un fenómeno de inducción mutuaentre dos bobinas con ejes paralelos. ¿Contradice esto las experienciasde inducción de Faraday?
No,yaqueesnecesarioquelasbobinasesténlosuficientemente
próximascomoparaquelavariacióndecampomagnéticocausada
porlavariacióndecorrienteenunadeellasinduzcaunacorriente
enlaotra,yviceversa.Además,ambasbobinasestán
arrolladasentornoaunnúcleodehierrodulcecomún.
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185
Solucionario
20. Usamos transformadores conectados a aparatos que deben tomarla corriente de la red doméstica, una corriente alterna. ¿Podrían funcionarsi recibiesen corriente continua?
Nofuncionaría.Laentradadeltransformadordebeserunacorriente
alterna,yaquedeesemodolaintensidadvaríacontinuamente
yelcircuitoprimariodeltransformadorestáinduciendocorriente
enelsecundariodemaneracontinua,yviceversa.Silacorrientefuera
continua,noapareceríaelfenómenodeinducciónmutua,
yaquenohabríavariaciónenlacorrientequeprovocaselanecesariavariaciónenelflujomagnético.
21. ¿Puede girar una espira en un campo magnético sin que se produzcauna corriente inducida?
DeacuerdoconFaraday,seproduciráunacorrienteinducidasiempre
quevaríeelflujodecampomagnéticoqueatraviesalaespira.
Eseflujosecorrespondeconlasiguienteexpresión:
φB=W
B ⋅W
S =B ⋅S ⋅cosθSuponiendoqueelcampomagnéticoylasuperficiedelaespira
novarían,paraqueseproduzcavariaciónenelflujoesnecesario
quelaespiraroteenelcampodeformaquevaríeconeltiempo
elnúmerodelíneasdecampoquelaatraviesan.
Sitenemosunaespiracuyoplanocoincide
conelquedeterminanlaslíneasdecampo
yrotademaneraquenosalgadeeseplano,
noseproducirácorrienteinducida,
yaquenovaríaelflujoquelaatraviesa.
Estoocurriría,porejemplo,conunaespira
situadaenelplanoXY,uncampomagnéticoX
Z
Y
paraleloalejeXylaespiragirandoalrededordelejeZ.
22. En las bicicletas antiguas podía funcionar un faro cuando se pedaleaba.¿Por qué la intensidad de luz dependía del ritmo de pedaleo?
Eldispositivoqueaportalacorrientequealimentalabombilla
delfaroenlasbicicletasantiguasesunadinamo.Constadeunaespira,
conectadaalospedalesdelabicicleta,quesehacegirarenelseno
delcampomagnéticoprovocadoporunimánpermanente.Algirar
laespiraseproduceunavariaciónenelflujomagnéticoquelaatraviesa
yapareceenellaunafuerzaelectromotrizinducida.Losextremos
delaespiracontactancondossemianillosquerecogenlacorriente
producidadeacuerdoconelesquemadelapáginasiguiente.
Lacorrientequeseproduceescontinua,aunquesuintensidad
noesconstante.
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186
5 La inducción electromagnética
a cB d e
ε t
Comosepuedeobservar,laintensidaddelacorrienteesfunción
delpuntodegiroenelqueseencuentreladinamo.
Alpedalearmuyrápido,sepasaráporelpuntodemáximaintensidad
muyamenudo(lafrecuenciaesalta)yseapreciamucho
brilloenlabombillaporqueseleaportacorrientealamáxima
intensidadconmuchafrecuencia.Alpedalearmásdespacio
setardarámásenpasarporlospuntosdemáximaintensidad
y,portérminomedio,elvalorefectivodelacorrienteaportada
alabombillaesmenor,porloqueelbrilloapreciadoesmenor.
εφ w
w
= − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
d
dt
d N B S t
dt
N B S
B
sen
[ cos( )]
(( ) ( )w ε w⋅ = ⋅ ⋅t t máx. sen
Conε wmáx. = ⋅ ⋅ ⋅N B S .
Elvalormáximodela feminducidaserámayorcuantomayor
sealafrecuenciadepedaleo,porloquealpedalearmásrápido(aumentalafrecuencia)elvalormáximodelacorriente
queapareceenelcircuitoyquealimentaalabombillatambién
esmásalto.
23. Observa la figura que muestra la corrienteque produce una dinamo y explicaen qué sentido podemos decirque es una corriente continua
y en qué sentido no lo es.
Lacorrienteescontinua
enelsentidodequesusigno
ε
t
essiemprepositivo;notieneciclosalternosdecorrientedesigno
negativo.
Lacorrientenoescontinuaenelsentidodequeelvalor
desuintensidadnoessiempreelmismo,sinoquevaríaenfunción
delgirodelaespira.
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187
Solucionario
24. La bobina de un alternador tiene 30 espiras cuadradas de 6 cm de lado.Determina el valor de la fem máxima que genera si gira en un campomagnético uniforme de 0,5 T con una frecuencia de 50 Hz.Obtén la expresión de la fem en cada instante.
Podemosobtenerla femgeneradaapartirde:
εφ w
w
= − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
d
dt
d N B S t
dt
N B S
B
sen
[ cos( )]
(( ) ( )w ε w⋅ = ⋅ ⋅t t máx. sen
Con:
ε w πν
π
máx. = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
N B S N B S 2
30 0 5 0 06 2 502, , == 16,96 V
La feminstantáneapuedeobtenerseapartirde:
ε ε w ε π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅máx. máx.sen sen sen( ) ( ) ,t t 2 16 96ν (( )100π ⋅ t
25. Supón un alternador industrial con un único dipolo magnético en el rotorque gira a 50 Hz. Explica la diferencia que se observaría en la corrientede salida si el rotor tuviese tres dipolos magnéticos manteniendo la mismavelocidad de giro.
Lostresdipolosharánque,encadavuelta,seexperimente
tresveceselcambiodepolaridad.Elefectoseráanálogo
alqueproduceunsolodipologirandoaltriple
defrecuencia:150Hz.
26. La energía eléctrica que se produce en las centrales se transportaa través de líneas de alta y media tensión; la transformaciónde unos valores de tensión en otros se realiza en estacionestransformadoras que funcionan de manera similara los transformadores.
Imagina una central que produce corriente con una tensión de 36 kVy la envía a una red de alta tensión de 380 kV. Una vez aquí,pasa a una línea de media tensión de 30 kV, para reducirse finalmentea los 230 V que tenemos en nuestros domicilios. Calcula la relación entrelas intensidades de entrada y salida que tiene lugar en las oportunasestaciones de transformación.
Suponemosquelapotenciasemantieneconstante.Deacuerdo
conlaleydeOhm:
P = I ⋅ V
Obtenemoslarelaciónentrelasintensidadesdeentradaysalida
enlostransformadoresparacadacaso.
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188
5 La inducción electromagnética
• Entrada:36kV,salida:380kV:
P V I P V I V
V
I
I
I
I
s
s
e e e s s se
s e
e
V
= ⋅ = = ⋅ =
=
⋅
→ →
→36 10
38
3
00 109 47 10 9 47 10
3
2 2
⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅− −
Vs e, ,→ I I
• Entrada:380kV,salida:30kV:
P V I P V I
I I
V V
e e e s s s
s
e
e
s
V
= ⋅ = = ⋅
= =
⋅
⋅
→
→ 380 1030 10
3
3 VVs e= = ⋅12 67 12 67, ,→ I I
• Entrada:30kV,salida:230V:
P V I P V I
I
I
V
V
e e e s s s
s
e
e
s
V
V
= ⋅ = = ⋅
= =
⋅
=
→
→30 10
23013
3
00 43 130 43, ,→ I I s e= ⋅
27. Si el campo eléctrico de una onda electromagnética viene expresadopor el vector:
E W =E 0 ⋅ cos 2p t
T
z -
λ
(i W + j W)
indique, justificando la respuesta, en qué dirección oscila el campomagnético.
(R. Murcia. Junio, 2006)
Losvectoresdecampoeléctricoycampomagnéticodeben
serperpendicularesentresí.Portanto,laoscilaciónpedidadebeser
enunplanoperpendicularalcorrespondientealvectordelenunciado,
queoscilaenelplanoXY.Elplanocorrespondientealcampo
magnéticodebetenerundesfasede90°coneldelenunciado,
esdecir,quepuedeoscilarenelplanoXZoenelYZ.
28. Define qué es una corriente inducida y explica en qué se diferencia
de una corriente convencional.
Unacorrienteinducidaaparececomoconsecuencia
deuncambioenelflujomagnéticoqueatraviesaunconductor
cerrado.Lacorrienteinducidaquesegeneraestalqueseopone
alacausaqueproducelamodificacióndelflujodecorriente,
yúnicamenteestápresentemientraselflujoestávariando.
Sunaturalezaeslamismaqueladecualquiercorrienteconvencional;
solosediferenciaenlacausaporlaqueaparece.
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189
Solucionario
29. Una corriente eléctrica consiste en un movimiento de cargas a travésde un conductor; para que se produzca es necesarioque un generador suministre energía a las cargas.Acercando un imán a un hilo de corriente cerrado se puede induciruna corriente sin que exista ningún generador.¿Es un ejemplo de generación espontánea de energía?
No,yaqueelsentidodelacorrienteinducidaestalqueseopone
almovimientodelimán(querequiereunaportedeenergía
cinéticaalsistema).Deestamanerasecumple
elprincipiodeconservacióndelaenergía:laenergíadelacorriente
inducidaesconsecuenciadelaenergíarequeridaenelmovimiento
delimán.
30. Un imán como el de la figurase aproxima a una espira conductoracon velocidad v W0. ¿Aumentao disminuye el flujo magnético
en la espira? ¿Se inducirá unacorriente en la espira?¿En qué dirección, horario
v W0
o antihorario mirando desde el imán? Justifica tus respuestas.
(Castilla-La Mancha, 2007)
Alacercarlacaranortedelimánaunaespiraseproduce
unaumentodelaslíneasdelcampoquelellegan,
esdecir,unaumentodelflujo.
Enlaespiraapareceunacorrientequeoriginauncampomagnético
cuyaslíneasdecampocirculanensentidoopuesto,
afindecontrarrestarelaumentodeflujoexperimentado.
Enlacaradelaespiraqueseenfrentaalacaranorte
delimánqueseacerca,lascargascircularánensentido
antihorario;esdecir,seráunacaranorte;laopuesta
serálacarasur.
31. Si se acerca el polo norte de un imán rectilíneo al plano de una espira
plana y circular:a) Se produce en la espira una corriente inducida que circula en sentido
antihorario.
b) Se genera un par de fuerzas que hace rotar a la espira.
c) La espira es atraída por el imán.
(Galicia. Septiembre, 2006)
Deacuerdoconloexpuestoenelproblemaanterior,larespuesta
correctaeslaa).
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190
5 La inducción electromagnética
32. La figura muestra un hilo conductor rectilíneoy una espira conductora. Por el hilo circula una corrientecontinua. Justifica si se inducirá corriente en la espiraen los siguientes casos:
a) La espira se mueve hacia la derecha.
b) La espira se mueve hacia arriba paralelamente al hilo.
c) La espira se encuentra en reposo.
(C. Valenciana, 2002)
I
a) Silaespirasemuevehacialaderecha,semodificaelcampomagnéticoquelaatraviesay,portanto,elflujo.Enestas
condicionesseproduceunacorrienteinducidaenlamisma.
b) Moviendolaespiraparalelamentealhilonoseproduce
modificaciónenelcampomagnético.Portanto,noexistevariación
enelflujoquelaatraviesaynoapareceningunacorrienteinducida.
c) Nuevamente,lacorrienteinducidaesnulaporquenoexiste
variaciónenelflujoqueatraviesalaespira.
33. El plano de una espira circular de 15 cm de diámetro está situadoperpendicularmente a un campo magnético de 0,05 tesla.¿Cuánto vale el flujo que lo atraviesa?
(La Rioja. Junio, 2007)
Podemosobtenerelflujoapartirde:
φB=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ
Comoelvectordesuperficieesperpendicular
alasuperficiedelaespira,seráparaleloalvectordeintensidaddecampo
magnético.Portanto:
B W
S W
Z
X
Y
φ
π
B
2T m
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =−
B S B S cos
, ( , )
0
0 05 7 5 10 2 2
°
8,84⋅10−4Wb
34. Una espira circular de 15 cm de diámetro se inserta en un campomagnético uniforme de 0,05 tesla. ¿Cuánto vale el flujo que lo atraviesa
si el campo forma un ángulo de 60°
con el diámetro de la espira?Elflujovienedadoporlaexpresión:
φB=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ
Si,deacuerdoconelenunciado,elcampoformaunángulo
de60°conlasuperficiedelaespira,ydadoqueelvectordesuperficie
esperpendicularalamisma,θ=90°−60°=30°.
φ πB2T m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−B S cos , ( , ) cos30 0 05 7 5 10 302 2° °→
→→ φB Wb= ⋅ −7 66 10 4,
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191
Solucionario
35. a) Explique el fenómeno de inducción electromagnética y enuncie la leyde Faraday-Henry.
b) Una espira circular se encuentra situada perpendicularmentea un campo magnético uniforme. Razone qué fuerza electromotrizse induce en la espira, al girar con velocidad angular constanteen torno a un eje, en los siguientes casos:
ii. El eje es un diámetro de la espira.
ii. El eje pasa por el centro de la espira y es perpendiculara su plano.
(Andalucía, 2007)
a) Denominamosinducciónelectromagnéticaalaproducción
decorrienteseléctricascomoconsecuenciadelavariación
delflujomagnéticoqueatraviesaunaespira.Lacorrienteeléctrica
producidaserátalqueseopongaalacausaquemotivaelcambio
enelflujo.
Enunacorriente,sellamafuerzaelectromotriz(fem,ε)alaenergía
quesecomunicaalaunidaddecarga.LaleydeFaradayestablecequecuandoseintroduce
unconductorcerradoenunazonadondeexisteuncampo
magnético,la feminducidaenélesigualydesignocontrario
alarapidezconquevaríaelflujomagnético
queloatraviesa:
εφ
= −d
dt
B
b) ii) DeacuerdoconlaleydeFaraday,la feminducidaquesecreaenlaespiravienedadaporlaexpresión:
εφ w θ
= − = −⋅
= −⋅ ⋅ ⋅ +
=
= +
d
dt
d B S
dt
d B S t
dt
B ( ) [ cos ( )]0
B B S t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +w w θsen ( )0
Loquevaríaenestecasoeselánguloformadoentrelosvectores
desuperficieycampomagnético,debidoalavelocidad
angulardegiro,w.Alvariarelánguloqueforman,varíatambién
elflujoqueatraviesaalaespirayapareceuna fem.
ii) Enestecasonovaríannilasuperficie
nielcampomagnético,nitampoco
elánguloqueformansusvectores,
yaqueelgironoproduceninguna
variaciónrelativaentreellos;
sonsiempreparalelos.
Enestacircunstancia,elflujo
esconstanteynoaparece fem.
B W
S W
Z
X
Y
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192
5 La inducción electromagnética
36. Enrollamos un trozo de alambre a lo largo del ecuador de un globo esféricode 0,13 m de radio, dándole cuarenta vueltas. Además, el globo estáen una zona del espacio en la que hay un campo magnético perpendicularal plano de su ecuador y de módulo B = 0,55 T. Si inflamos el globo hastaque su radio se triplique, tardando 4,5 s, calcula la fuerza electromotrizmedia que se induce en la espira de alambre.
Supondremos, para mayor sencillez, que conforme el globo se vahinchando, la longitud del trozo de alambre va variando de tal manera queen todo momento abarca la totalidad del globo por su ecuador y siempre
da las cuarenta vueltas completas.(Castilla-La Mancha, 2000)
Elenunciadodelproblemaequivaleadecir
quesevaríalasuperficiedelasespiras
delabobina,mientrastodoslosdemás
parámetrosdelproblemapermanecen
constantes.Además,losvectorescampo
magnéticoysuperficiedelabobinaresultante
sonsiempreparalelos.
B W
S W
Z
X
Y
εφ
= − = −⋅
= −⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅d
dt
d B S
dt
d N B S
dt N B B ( ) ( cos )0° ∆S S
t ∆=
= − ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅
= −40 0 553 0 13 0 13
4 52 08
2 2
,( , ) ,
,,
π πVV
W W
37. a) ¿Qué campo magnético de los tres que se representan en las figurasdeberemos aplicar a una espira cuadrada que descansa en el plano
XY, para que se induzca en esta una fuerza electromotriz constante? Justifica la respuesta.
b) ¿Qué sentido tendrá la corriente inducida en la espira?
Nota: El campo magnético está dirigido a lo largo del eje Z.
t
B Z
t
B Z
t
B Z
(Cantabria. Junio, 2001)
a) Paraunaespirasepuedeobtenerlafuerzaelectromotrizinducida
apartirdelasiguienteexpresión:
εφ
= −d
dt
B
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193
Solucionario
φB=N ⋅B ⋅S .Paraqueelresultadodela
derivadatemporaldelflujoseaunaconstante
(femconstante),esnecesarioqueelflujo
tengaunavariaciónlinealconrespecto
altiempo.Dadoqueelúnicoparámetro
variableeselcampomagnético,larespuesta
correctaserálacorrespondiente
B W
S W
Z
X
Y
aunavariaciónlinealconrespectoaltiempo:terceragráfica.
b) ElcampocrecehaciavalorespositivosdeZ.Enconsecuencia,
lacorrienteinducidadebeprovocaruncampomagnético
quecrezcaensentidoopuesto.Enlacarasuperiordelaespira
debeaparecerunacorrienteensentidohorario(carasur);
yenlacarainferior,antihorario(caranorte).
38. Una barra de 25 cm de longitud se mueve a 8 m/s en un planoperpendicular a un campo magnético de 6 ⋅ 10-2 T. Su velocidades perpendicular a la barra.a) ¿Cuál será el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza magnética
que se ejerce sobre un electrón de la barra? Haz la representación gráfica.b) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los extremos de la barra?Dato: carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
(País Vasco. Junio, 2001)
a) Sepuedeobtenerlafuerzamagnética
ejercidasobreunelectrónapartirde:
WF B= q ⋅Wv ×WB →
→ F q v B B
C m/s T
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
− −1 6 10 8 6 10
7 68
19 2,
, 110 20−N
Representamosladirecciónysentido
delamismaeneldibujo.
b) Sepuedeobtenerladiferencia
depotencialentresusextremos
apartirde:
∆V E L v B L= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =
=
−8 6 10 0 252m/s T m
0,12 V
,
39. Un coche se dirige hacia el este desplazándose en dirección este-oestea la velocidad de 90 km/h. Calcula la diferencia de potencial entrelos extremos de su eje delantero, suponiendo que es una barra metálicade 1,5 m de longitud.Dato: supón que los polos geográficos de la Tierra coinciden con suspolos magnéticos y que el campo magnético terrestre es de 0,5 ⋅ 10-4 T.
L
F WB
F WE
EF W
v W
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194
5 La inducción electromagnética
Enestascondicionespodemosconsiderarqueelejedelantero
delcochedesempeñaelpapeldeunabarraconductora
moviéndosedeformaperpendicularauncampomagnético.
Bajoestesupuestopodemosobtenerladiferenciadepotencial
pedidaapartirde:
∆V E l v B l = ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−90
10
1
1
36000 5 10
3km
h
m
km
h
s, 44
3
1 5
10
T m
1,875 V 1,875 mV
⋅ =
= ⋅ =−
,
40. Explica por qué no se pueden utilizar recipientes de barro en las cocinasde inducción. Explica por qué estas cocinas no queman aunque toquemossu superficie encendida con la mano.
Enlascocinasdeinducciónuncampomagnéticovariablellega
alrecipiente,quedebesermetálico.LascorrientesdeFoucault
queseoriginanensusparedescalientanloquehayensuinterior
sinquesecalientelasuperficiedelacocina.
Sielrecipienteesdebarro,materialnoconductor,
noseoriginancorrientesdeFoucault.Lamano,quetampoco
esunbuenconductor,nosecalientaaltocarlasuperficie,
quetambiénserádeunmaterialaislante.Elcampomagnético
pasaráalasiguientecapaconductoraquesepongaencimadelamisma,
peronoafectaráalosmaterialesaislantesqueseposensobreella.
41. Explica la diferencia entre los fenómenos de autoinducción y de inducción
mutua.Elfenómenodeautoinducciónconsisteenlacorrienteinducida
enunelementosobresímismo,mientrasquelainducción
mutuaconsisteeninducirunacorrientesobreotroconductor
que,asuvez,induceunacorrientesobreelprimero.
Paraobtenerunacorrienteporautoinducciónbasta
conunconductor,mientrasqueenelsegundocasosonnecesarios
dosconductores.
42. Suponiendo que la corriente que circula por una bobina está aumentando,¿podrá la fem inducida en la bobina producir un aumento mayorde la corriente? Razona la respuesta.
(C. Valenciana, 2000)
Silacorrientequecirculaporlabobinaestáaumentando,
elefectodela feminducidaseráoponerseaesteaumento
decorriente,yapareceráunacorrienteinducidadesentidocontrario
cuyoefectoserádisminuirlacorrientetotaldelcircuito.
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195
Solucionario
43. Una bobina cuadrada, plana, con 100 espiras de lado L = 5 cm,está situada en el plano XY. Si aplicamos un campo magnéticodirigido a lo largo del eje Z que varía entre 0,5 T y 0,2 T en el intervalode 0,1 s:
a) ¿Qué fuerza electromotriz (fem) se inducirá en la bobina?
b) Si ahora el campo permanece constante de valor 0,5 T y la bobinagira en 1 s hasta colocarse sobre el plano XZ, ¿cuál será la feminducida en este caso?
c) Si en el caso b) la bobina se desplaza a lo largo del eje Z sin girar,¿cuál será la fem inducida?
(Cantabria, 2000)
a) Sepuedeobtenerla feminducidaapartirde:
εφ
= − = −⋅ ⋅d
dt
d N B S
dt
B ( )W W
Ahora:
B W
S W
Z
X
Y
εφ
= − = − ⋅⋅
=
= − ⋅⋅
= − ⋅ ⋅
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
B
t N
B S
t
N B S
t N S
B
t
( )
( )==
= − ⋅ ⋅−
= − ⋅ ⋅−
N S B B
t
2 1 2100 0 050 2 0 5
0 1∆,
( , , )
,m
T
s
2 == 0,75 V
W W
b) Conelmovimientodegirodescritoenelenunciadoresulta
queelvectordesuperficiedelabobinayeldecampomagnéticopasandeserparalelosaserperpendiculares.
Elcambioqueseproduceenelánguloqueforman
esde0°a90°.
Veamosloscálculosconunrazonamientoanálogoalapartado
anterior,peromodificandolafuentedevariaciónenelflujo,
quepasaaserelánguloentrelosvectores:
εφ
= − = − ⋅⋅
= − ⋅⋅ ⋅
=
= − ⋅
∆
∆
∆
∆
∆
∆
B
t
N B S
t
N B S
t
N S
( ) ( cos )θ
⋅⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅−
=
= − ⋅
B t
N S B t
∆
∆ ∆
(cos ) cos
,
θ θ θ2 1
100 0
cos
005 0 590 0
1
2 m Ts
0,125 V2 ⋅ ⋅
−=,
cos cos° °
W W
c) Conelmovimientopropuestoenesteapartadonoseproduce
variaciónenelflujoqueatraviesalabobina,porloquenoexiste
feminducida.
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196
5 La inducción electromagnética
44. En una región del espacio existe un campo magnéticouniforme B W = B ⋅ i W. En dicha región se introduce una espira metálicacircular que rota alrededor de uno de sus diámetros con velocidadangular constante ωW = ω ⋅ j W, de modo que en el instante t = 0su vector de superficie es paralelo al campo B W. ¿Qué fem se induceen la espira si B = 0,1 T, ω = 1 rad/s y el radio de la espira es de 5 cm?
(C. Madrid, 2000)
DeacuerdoconlaleydeFaraday,la feminducidaquesecrea
enlaespiravienedadaporlaexpresión:
εφ w θ
= − = −⋅
= −⋅ ⋅ ⋅ +
=
= +
d
dt
d B S
dt
d B S t
dt
B ( ) [ cos ( )]0
B B S t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +w w θsen ( )0
W W
Comoenelinstanteinicialelvectordesuperficieyeldecampo
magnéticosonparalelos,eldesfaseinicialseránulo(θ0=0).
ε π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅−0 1 0 05 1 1 0 7 85 102 4, , ( ) ,sen sen Vt t
45. Un campo de inducción magnética que sigue el sentido positivo del eje Xvaría con el tiempo según la ecuación B W = (0,4t - 0,3) i W T. Hallar la fuerzaelectromotriz inducida en una espira, cuya superficie es de 50 cm2,si el plano de la espira es perpendicular a las líneas de fuerza del campo B W.
(P. Asturias. Junio, 2005)
Sabemosquela feminducidapuedeobtenerseapartirde:
εφ θ
= − = −⋅
= −⋅ ⋅d
dt
d B S
dt
d B S
dt
B ( ) ( cos )W W
Sielplanodelaespiraesperpendicularalvectorcampomagnético,
elvectordesuperficiedelamismaesparaleloalaslíneasdefuerza.
εφ
= − = −⋅
= − ⋅ =
= − ⋅ ⋅−
d
dt
d B S
dt S
dB
dt
d
B ( )
( ,50 10
0 44 ⋅ t t
dt
−= − ⋅ =
0 30 005 0 4 2
, ), , V mV
W W
46. Sea un solenoide de sección transversal 4 ⋅ 10-4
m2
y 100 espiras.En el instante inicial se aplica un campo magnético, perpendicular a susección transversal, cuya intensidad varía con el tiempo según B = 2 t + 1 T,que se suprime a partir del instante t = 5 s.
a) Explique qué ocurre en el solenoide y represente el flujo magnéticoa través del solenoide en función del tiempo.
b) Calcule la fuerza electromotriz inducida en el solenoide en los instantest = 3 s y t = 10 s.
(Andalucía, 2006)
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197
Solucionario
a) Enelsolenoideseinduciráunafuerzaelectromotrizqueseopondrá
alcambioqueproducelavariacióndeflujoasutravés.
Comoelvectorcampomagnéticoyelvectordesuperficie
delaseccióntransversaldelabobinasonparalelos,puede
obtenerseelflujoqueatraviesalabobinadelasiguiente
manera:
φ θB( ) cos
( )
t N B S N B S N B S
t
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅100 2 1 4⋅ ⋅⋅ = ⋅ + ⋅− − −10 8 10 4 104 2 2⋅ t Wb
W W
b) Ahoratenemos:
εφ
= − = −⋅ + ⋅
= ⋅− −
−d
dt
d t
dt
BV
( )8 10 4 108 10
2 22⋅
Enelinstantet =3s:
ε = ⋅ −8 10 2V
Instantet =10s→no
existefuerzaelectromotriz
inducida,pues
yahadesaparecido
lafuentedevariación
deflujoenelinstante
t =5.
47. Una bobina circular de 4 cm de radio
y 30 vueltas se sitúa en un campomagnético dirigido perpendicularmenteal plano de la bobina cuyo móduloen función del tiempo esB (t ) = 0,01 ⋅ t + 0,04 ⋅ t 2,donde t está en segundos y B , en teslas.
Determina:
B W
a) El flujo magnético en la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en el instante t = 5,00 s.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
a) Comoelvectorcampomagnéticoyelvectordesuperficiedelplano
delabobinasonparalelos,puedeobtenerseelflujoqueatraviesa
labobinadelasiguientemanera:
φ θB( ) cos
( , ,
t N B S N B S N B S
t
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ +30 0 01 0⋅ 004 0 04
1 5 1 10 6 03 10
2 2
3 3 2
⋅
⋅ ⋅
t
t t
) ,
, ,
⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅− −
π
Wb
W W
0,44
0,4
0,3
0,1
0,2
0,05
t (s)
φB(Wb)
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198
5 La inducción electromagnética
b) Calculamosε:
εφ
( )( , , )
t d
dt
d t t
dt = − = −
⋅ + ⋅=
− −B 1 5 1 10 6 03 103 3 2⋅ ⋅
== − ⋅ − ⋅− −1 5 1 10 12 06 103 3, , ⋅ t V
Entonces:
ε( ) , , ,t = = − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅− − −5 1 51 10 12 06 10 5 6 18 103 3 2s VV
48. Una bobina cuadrada de 5 cm de lado y 10 vueltas se sitúa en un campo
magnético cuya dirección forma un ángulo de 25° con el plano de las espirasque la forman. Su módulo varía en función del tiempo según la expresiónB (t ) = 0,5 ⋅ t 2 - 8 T, donde t es el tiempo en segundos. Determina:
a) El flujo magnético en la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina en el instante t = 8 s.
c) ¿En qué cambiaría el resultado si el campo magnético formaseun ángulo de 25° con el eje de la bobina?
a) Elvectordesuperficieesperpendicularalplanodelasección
delasespiras,porloqueelánguloqueformaelvectordecampomagnéticoconélseráθ=90°−25°=65°.Sepuedeobtener
elflujopedidoenelenunciadoapartirde:
φB(t )=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S ⋅cosθ =
= ⋅ − ⋅ ⋅ =
= ⋅ −−
10 0 5 8 0 05 65
5 28 10 8
2 2
3 2
( , ) , cos
,
⋅
⋅
t
t
°
,,45 10 2⋅ − Wb
b) Laexpresiónquenospermiteobtenerla feminstantáneaes:
εφ
( )( , , )
t d
dt
d t
dt = − = −⋅ − ⋅
=
= −
− −B 5 28 10 8 45 103 2 2⋅
22 5 28 10 1 056 103 2⋅ ⋅ = − ⋅− −, ( ) ,⋅ ⋅t t t → ε V
Portanto:
ε( ) , ,t = = − ⋅ ⋅ = − ⋅− −8 1 056 10 8 8 45 102 2s V
c) Variaríaelresultadonumérico,yaqueenestecasoelángulo
queformanelvectorcampomagnéticoyelvectordesuperficie
nosería65°,sino25°:
φ ' ( ) ( , ) , cos
,
B t t = ⋅ − ⋅ ⋅ =
= ⋅ −
10 0 5 8 0 05 25
1 13 10
2 2⋅ °22 2 18 12⋅ t − , Wb
Así:
εφ
'( )( , , )'
t d
dt
d t
dt = − = −
⋅ −=
= − ⋅
−B 1 13 10 18 12
2
2 2⋅
11 13 10 2 26 102 2, '( ) ,⋅ = − ⋅− −⋅ ⋅t t t → ε V
Portanto:ε'( ) , ,t = = − ⋅ ⋅ = −−8 2 26 10 8 18 082s V
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199
Solucionario
49. La gráfica que se muestra en la figurarepresenta, en función del tiempo,el flujo magnético que atraviesacada espira de una bobina rectangularcon 50 espiras. Se pide:
a) ¿Cuánto valdrá la fem inducida?b) Sabiendo que el campo magnético
que origina el flujo tiene en todomomento la dirección y sentido
del eje Z positivo, ¿podrías indicar t (s)5
100
φB(mWb)
el sentido de la corriente inducida?
(Cantabria, 2000)
a) Apartirdelagráficaquedescribelaevolucióntemporaldelflujo
podemosobtenerlafunciónmatemática:
φB
Wb
s
Pendientede la gráfica
( )t =⋅ −100 10
5
3
⋅ + = ⋅ −t t φB 0 Wb20 10 3 ⋅
Yapartirdeestaexpresión,sedeterminala feminducida:
εφ
( )( )
t d
dt
d t
dt = − ⋅ = − ⋅
⋅=
= − ⋅ ⋅
−
50 5020 10
50 20 1
3B ⋅
00 13− = −V V
b) Lacorrienteinducidaserátalqueseopongaalcambio
queproduceunavariaciónenelflujo.Enestecaso,
comoelcambioesunaumentoenelmismo,lacorrienteinducida
seopondráalacreadaporelcampomagnético(tendrásentido
contrario).
ParaunaespiraqueestéenelplanoXY,comoelflujocrece
hacialosvalorespositivosdeZ,lacorrienteinducidacirculará
ensentidohorarioenlacaraquemirahaciaarriba.
(Verelproblema37.)
50. En el plano XY se tiene una espira circular de radio a = 2 cm.
Simultáneamente se tiene un campo magnético uniforme cuyadirección forma un ángulo de 30° con el semieje Z positivoy cuya intensidad es B = 3 ⋅ e-t /2 T, donde t es el tiempo, expresadoen segundos.
a) Calcula el flujo del campo magnético en la espira y su valor en t = 0 s.b) Calcula la fuerza electromotriz inducida en la espira en t = 0 s.c) Indica, mediante un dibujo, el sentido de la corriente inducida
en la espira. Razona la respuesta.
(C. Valenciana. Junio, 2003)
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200
5 La inducción electromagnética
a) Elflujodelcampomagnéticoes:
φB(t )=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅− − −3 0 02 30 3 265 102 2 3 2e e Wbt t / / , cos ,π °
Entonces:
φB e Wb( ) , ,t = = ⋅ ⋅ = ⋅− −0 3 265 10 3 265 103 0 3
b) La femes:
εφ
( )
( , )
,
/
t d
dt d
dt
= − =
= −⋅ ⋅
=
= + ⋅
− −
B
te3 265 10
0 5 3
3 2
,,
,
/
/
265 10
1 63 10
3 2
3 2
⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅
− −
− −
e
e V
t
t
Portanto:
ε( ) , ,t = = ⋅ ⋅ = ⋅− −0 1 63 10 1 63 103 0 3e V
c) Amedidaqueavanzaeltiempo,elcampomagnéticodesaparece.
Lacorrienteinducidaseopondráaesteefecto,porlocual
circularáensentidoantihorario.
51. Un solenoide de resistencia 3,4 ⋅ 10-3 Ω está formado por 100 espirasde hilo de cobre y se encuentra situado en un campomagnético de expresión B = 0,01 ⋅ cos (100 t ) en unidades del SI.El eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético
y la sección transversal del solenoide es de 25 cm2
.Determine:
a) La expresión de la fem inducida y su valor máximo.
b) La expresión de la intensidad de la corriente que recorre el solenoidey su valor máximo.
(C. Madrid, 2005)
a) Primerocalculamoselflujodelcampomagnético:
φB(t )=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S ⋅cosθ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅100 0 01 100 0 100, cos( ) cos cos( )π πt t ° Wb
Ahoracalculamosla fem:
εφ π
π( )[cos( )]
(t d
dt
d t
dt = − = −
⋅= + ⋅
B sen100
100 100ππ ⋅ t ) V
Suvalormáximoocurrirácuandoelvalordelsenoseamáximo;
esdecir,1:
ε πmáx. V= 100
B W
S W
Y
Z
X
30°
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201
Solucionario
b) LaleydeOhmnospermiteobtenerlaintensidaddelacorriente:
I R
t = =
⋅ ⋅
⋅=
= ⋅ ⋅
−
ε π π100 100
3 4 10
9 24 10
3
4
sen
sen
( )
,
, (( ) ,100 9 24 104π ⋅ = ⋅t I A Amáx.→
52. Un campo magnético uniforme está confinado en una región cilíndricadel espacio, de sección circular y radio R = 5 cm, siendolas líneas del campo paralelas al eje del cilindro (esto puede conseguirse
mediante un solenoide cilíndrico por el que pasa una corrientey cuya longitud sea mucho mayor que su diámetro 2 ⋅ R ). Si la magnituddel campo varía con el tiempo según la ley B = 5 + 10 ⋅ t (dadoen unidades del SI), calcula la fuerza electromotriz inducida en un anilloconductor de radio r , cuyo plano es perpendicular a las líneas de campo,en los siguientes casos:
a) El radio del anillo es r = 3 cm y está situado de forma que el ejede simetría de la región cilíndrica, donde el campo es uniforme,pasa por el centro del anillo.
b) r = 3 cm y el centro del anillo dista 1 cm de dicho eje.c) r = 8 cm y el eje pasa por el centro del anillo.
d) r = 8 cm y el centro del anillo dista 1 cm de dicho eje.
(P. Asturias. Junio, 2001)
Eneldibujoserepresentalasección
delaregióncilíndricaenlaqueestá
confinadoelcampomagnético
yladelanilloconductoren
elquesepretendeinducircorriente.
Entodosloscasoselcampo
esperpendicularalasuperficie
delanillo;portanto,WB esparaleloaWS .
a) Todalasuperficiedelaespira
estáatravesadaporelcampo
magnético:
φB(t )=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ =
= + ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅− −
( ) , cos
, ,
5 10 0 03 0
1 41 10 2 82 10
2
2 2
t π °
⋅⋅ t Wb
b)
a)
c)
d)
5cm
1cm
r =8cm
r =8cm
r =3cmr =3cm
Entonces:
εφ
( )( , , )
,t d
dt
d t
dt = − = −
⋅ + ⋅= −
− −B 1 41 10 2 82 10
2
2 2 ⋅882 10 2⋅ −
V
b) Lasituacióneslamismaqueenelapartadoa):
ε( ) ,t = − ⋅ −2 82 10 2V
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202
5 La inducción electromagnética
c) Laslíneasdecamposoloatraviesanunapartedelanilloconductorigual
alaseccióndelaregióncilíndricaenlaqueestáconfinadoelcampo:
φB(t )=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ =
= + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅− −( ) , · cos , ,5 10 0 05 0 3 93 10 7 85 102 2 2t π ° ⋅ t t Wb
Portanto:
εφ
( )( , , )
,t d
dt
d t
dt = − = −
⋅ + ⋅= −
− −B 3 93 10 7 85 10
72 2 ⋅
885 10 2⋅ −V
d) Lasituacióneslamismaqueenelapartadoc).
ε( ) ,t = − ⋅ −7 85 10 2 V
53. Tenemos una bobina de 500 espiras por las que circula una corrientede 2,5 A, que desaparece 12 ms después de abrir el interruptor.Determina el flujo magnético que atraviesa cada espira de la bobinacuando el interruptor está cerrado y la fem cuando se abre.Dato: coeficiente de autoinducción de la bobina: 0,1 H.
Tenemos:φB H A 0,25 Wb= ⋅ = ⋅ =L I 0 1 2 5, ,
Yentonces:
εφ
= − = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅−
=
= − ⋅
d
dt L
dI
dt L
I
t L
I I
t
∆
∆ ∆
2 1
0 1,(
H00 2 5
12 10 3
−
⋅=
−
, ) A
s20,83 V
54. a) ¿Qué es un transformador? ¿Por qué son útiles para el transporte
de energía eléctrica?b) Si el primario de un transformador tiene 1200 espiras, y el secundario,
100, ¿qué tensión habrá que aplicar al primario para tener en la salidadel secundario 6 V?
(C. Madrid. Junio, 1999)
a) Untransformadoresundispositivoqueseempleaparamodificar
elvoltajeylaintensidaddeunacorrientealternasinque
seproduzcanpérdidasdeenergíasignificativas.Alnoproducir
pérdidasenelproceso,lostransformadoressonútilesparaeltransportedeenergía,realizandomodificacionesdevoltajeen
algúnpuntodeltrayectoymanteniendoconstantelapotencia.
b) Enuntransformadorsecumpleque:
V
N
V
N
V
V
1
1
2
2
1
1
= =
=
→ →
→
1200 espiras
6 V
100 espiras
6 V ⋅⋅=
1200 espiras
100 espiras72 V
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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203
Solucionario
55. Una espira cuadrada de 5 cmde lado situada en el plano XYse desplaza con velocidadv W = 2 ⋅ i W, penetrando en elinstante t = 0 en una regióndel espacio donde hay un campomagnético uniformeB W= -200 ⋅ k W mT, según se indica
en la figura:
v WB W
Y
X
a) Determina la fuerza electromotriz inducida y represéntala gráficamenteen función del tiempo.
b) Calcula la intensidad de la corriente en la espira si su resistenciaes de 10 Ω. Haz un esquema indicando el sentido de la corriente.
(C. Madrid. Junio, 1998)
a) Existirá feminducidamientrasestévariandoelflujoqueatraviesala
espira.Esdecir,desdet =0hastaquelaespiraestécompletamente
inmersaenelcampomagnético.Podemosconocerladuración
deesteintervalo,yaquesabemoslavelocidadalaquesemuevelaespiraysulongitud.Debemoscalculareltiempoquetarda
enrecorrerunespacioequivalentealtotaldesulongitud.
t L
v = = =
5 cm
2 cm/s2,5 s
Calculamosla feminducidaconlaleydeFaraday:
εφ
= − = −⋅
= −⋅
= − ⋅ =
= − ⋅
d
dt
d B S
dt
d B S
dt B
dS
dt
B d
B ( ) ( )
(LL x
dt B L dx
dt B L v ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅)
Comoelcampoesperpendicular
alcircuito,WB ⋅WS =B ⋅S .
Sustituyendolosdatosporsus
valoresenunidadesdelSI:
ε = − ⋅ ⋅ =
= − ⋅ ⋅ =
= − ⋅ −
B L v
0 2 0 05 0 02
2 10 4
, , ,T m m/s
V
b) DeacuerdoconlaleydeOhm:
V I R I V
R = ⋅ = =
− ⋅= − ⋅
−−
→2 10
102 10
45V
AΩ
Amedidaquelaespirapenetraenelcampo,aumentaelflujo
entranteenelpapel.Enlaespiradebeinducirseunacorriente
queprovoqueunflujomagnéticosaliente.Enconsecuencia,
lacorrienteinducidaenlaespiragiraensentidoantihorario.
2,5
t (s)
ε(V)
−2⋅10−4
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204
5 La inducción electromagnética
56. La bobina de un alternador tiene 50 espiras de 4 cm de radio.Determina el valor de la fem máxima que genera si gira en un campomagnético uniforme de 0,8 T con una frecuencia de 120 Hz. Obténla expresión que permite conocer la fem que genera en cada instante.¿Qué sucedería si se duplicase la velocidad de giro de la bobina.
Podemosobtenerla femgeneradaapartirde:
εφ w
w
= − = −⋅ ⋅ ⋅
=
= + ⋅ ⋅ ⋅
d
dt
d N B S t
dt
N B S
B
sen
[ cos( )]⋅
⋅ (( ) ( )w ε w⋅ = ⋅ ⋅t t máx. senCon:
ε πν πmáx. 48,25 V= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =N B S 2 50 0 8 0 04 2 1202, ,
La feminstantáneapuedeobtenerseapartirde:
ε ε w ε πν= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅máx. máx.sen( sen sent t ) ( ) ,2 48 25 (( )240 Vπ ⋅ t
Alduplicarlavelocidaddegirodelabobinaseduplicalafrecuencia,
porloqueseduplicaelvalormáximodela femobtenida.
57. Explica por qué un campo magnético variable induce un campo eléctricovariable de dirección perpendicular.
LascorrientesinducidasmuestranqueuncampomagnéticoWB variable
originauncampoeléctricoquehacequelascargassedesplacen
alolargodelaespiraenundeterminadosentido,dependiendo
delavariaciónqueexperimenteWB .EnlaexperienciadeHenry
secompruebaqueeldesplazamientodelascargasenelconductor
provocauncampoeléctricoperpendicularalmagnético.
Deformacomplementaria,cuandounconductortransportacorriente,apareceuncampomagnéticocuyadirecciónesperpendicular
aaquellaenlaqueavanzalacorriente.Elvalordelcampomagnético
producidodependedelaintensidaddelacorriente.
LaterceraecuacióndeMaxwellestablecelarelaciónmatemáticaentre
loscamposeléctricoymagnéticomutuamenteinducidos:
$ #E d l d
dt B dS ⋅ = − ⋅W W W W
Lavariaciónconrespectoaltiempodelflujomagnéticoqueatraviesa
unasuperficiecoincide
conlacirculacióndelcampo
eléctricoresultanteentorno
alalíneaquelimitaesasuperficie.
Elcampoeléctricoinducido
queresultadeuncampomagnético
variableesnoconservativo.
B W
E W
E W
E W
E W
E W
E W
E W
E W
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El movimientoarmónico simple
(MAS)
6
• Conocerlascaracterísticasfísicasqueidentificanelmovimientovibratorio
armónicosimple.• Comprenderlasecuacionesmatemáticasquedescribenelmovimiento
armónicosimple,tantodesdeelpuntodevistacinemáticocomo
dinámico.
• Sercapazdeelaborargráficasqueidentifiquenlascaracterísticas
delmovimientovibratorioarmónicosimple,identificandolospuntos
dondelaelongación,velocidadyaceleracióntomanvaloresmáximos,
mínimosynulos.
• Comprenderlasexpresionesmatemáticasquerelacionanlaenergía
deunosciladorarmónicoconsuposición.Reconocerquelaenergíamecánicatotalesconstante.
• Deducirmatemáticamentelaexpresiónquerelacionaelperiodo
deunosciladorconsuscaracterísticasfísicas.
• Comprobardeformaexperimentallarelaciónentreelperiodo
delosciladorysuscaracterísticasfísicas,particularizandoparaelcaso
delresorteydelpéndulo.
• Analizarlassituacionesenlasqueelmovimientodeunpéndulo
secorrespondeconeldeunosciladorarmónicoyaquellas
enlasqueseseparadeesemodelo.
• Elestudiodelmovimientovibratorioarmónicosimpleesunpaso
imprescindibleparaabordarelmovimientoondulatorio,quesetratará
eneltemasiguiente.Esmuyimportantequeelalumnadoreconozca
suspeculiaridades,tantodesdeelpuntodevistamatemático
comodesdeelpuntodevistafísico.Seejemplificaráelestudiodelresorteyeldelpéndulo;elprimerocomomodeloparacomprender
lasconsecuenciasdeunaperturbaciónondulatoriaenlosdistintos
puntosdelmedioenquesepropaga,yelsegundocomoejemplo
sencilloypróximoalaexperienciadelalumnado.
• Dadoqueencursosanterioressehaestudiadoelmovimiento
circularuniforme,puedeserútilemplearcomomodelomatemático
paraexplicarelmovimientovibratorioarmónicosimpleelqueresulta
delasproyeccionessobreundiámetrodelasposicionesqueocupa
unmóvilquedescribeunacircunferenciaconmovimientocircular
uniforme.Enestecaso,debeinsistirseenquesetratadedos
movimientosdiferentesysoloseempleaunocomomodelomatemático
paralacomprensióndelotro.
PRESENTACIÓN
OBJETIVOS
205
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6 El movimiento armónico simple
206
• Característicasfísicasdelmovimientovibratorioarmónicosimple.
Conceptodeelongación,amplitud,longituddeonda,frecuencia,
periodo,frecuenciaangularyfuerzarecuperadora.
• Ecuacionesmatemáticasquerepresentanelmovimientovibratorio
armónicosimple.Relaciónentrelaposición,lavelocidadylaaceleración
enunpunto.
• Representacióngráficadelasecuacionesmatemáticasquerepresentan
elmovimientoarmónicosimple.Identificacióndelospuntos
dondeestasmagnitudesalcanzanvaloresmáximo,mínimoynulo,yrelaciónconlaposiciónrealdeloscilador.
• Estudiodelperiododeunresortequesemueveconmovimiento
armónicosimple.Relacióndelperiodoconsusmagnitudesfísicas.
Comprobaciónexperimental.
• Análisisdelmovimientodeunpéndulo.Discusióndelascondiciones
enlasquesepuedeconsiderarunmovimientoarmónicosimple.
• Estudiodelperiododeunpénduloquesemueveconmovimiento
armónicosimple.Relacióndelperiodoconsusmagnitudesfísicas.
Comprobaciónexperimental.
• Estudioenergéticodelosciladorarmónicosimple.Análisisde
suenergíacinética,potencialymecánicaenlosdistintospuntos
desumovimiento.
Conceptos
• Adquirirsolturaenelestudiomatemáticodeunmovimiento
apartirdelasobservacionesquedeélsepuedenrealizar.
• Habituarsearelacionarlosvaloresdelasfuncionesmatemáticas
queindicanlaposición,velocidadyaceleracióndeunmóvil
enfuncióndeltiempoconlaposiciónrealqueocupaen
sutrayectoria.
• Manejarcondestrezalasderivadaseintegralesdelasfunciones
trigonométricassimples.
• Sercapazdeidearexperienciasquepermitancomprobar
efectosfísicossencillos,comoladependenciaonodelperiodo
deunosciladordesuscaracterísticasfísicas.
• Interpretaryelaborargráficasyesquemasquedescribenunmovimientoarmónicosimple.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Comprenderlanecesidaddemodelosmatemáticosparaestudiar
ciertosproblemasfísicosylaslimitacionesconlasquedichos
modelossepuedenaplicar.
• Desarrollarcuriosidadcientíficaquelleveaidearexperienciaspara
comprobarlasrelacionesmatemáticasquesededucen
deformateórica.
Actitudes
CONTENIDOS
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(MAS)
programación de aula
Apesardeseresteuntemadeprofundocontenidoteórico,elmodoenquesellevan
acaboalgunosaprendizajessepuedeaprovecharparaunaeducaciónenvalores.
1. Educación cívica
Paraelestudioexperimentaldelosfactoresqueinfluyenonoenelperiodo
deunosciladorarmónicosepuedenestablecergruposdediscusiónquelleven
adiseñarlasexperienciasadecuadas.
Elgrupodebecolaborarenlarealizacióndelamismayenladiscusión
delosresultados.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Partiendodeunadelasecuacionesdeunmovimientoarmónicosimple(posición,
velocidadoaceleraciónenfuncióndeltiempo),obtenerlasdemásecuaciones
ysusparámetroscaracterísticos.
2. Conociendolosparámetroscaracterísticosdeunmovimientovibratorioarmónico
simple,obtenersusecuacionesdelmovimiento.
3. Realizarlarepresentacióngráficadealgunadelasecuacionesdeunmovimiento
armónicosimpleeidentificarlospuntosdelatrayectoriaqueserelacionan
convaloressignificativos.
4. Obtenerelperiododeunpénduloodeunosciladorapartirdesuscaracterísticas
físicas,yviceversa.
5. Discutirexperienciasquepermitanestudiarlosfactoresquedeterminanonoelperiodo
deunpénduloodeunosciladorarmónico.
6. Comprenderlarelacióndelaenergía(cinética,potencialomecánica)deunoscilador
consuposición.Utilizarestarelaciónparadeducirlasecuacionescaracterísticas
delmovimiento.
7. Realizarunestudiomecánicoyenergéticodelmovimientodeunpéndulo.
Llevaracabounanálisisdelascondicionesenlasquesecomportacomooscilador
armónicoyaquellasenquesedesvíadedichocomportamiento.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
207
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208
6 El movimiento armónico simple
1. Escribe la ecuación senoidal del movimiento del muelle de la figuracuya gráfica posición-tiempo es la que se indica:
x (cm)
0,3
1,3
2,3
3,3
4,3 t (s )
5
-10
Laecuacióndelmovimientodelmuellesecorresponde
conlaexpresión:
x = A ⋅ sen(w ⋅ t + f0)
Elongación Amplitud
Frecuenciaangular Faseinicial
Fase
Identificamostérminosapartirdelagráfica:
• Amplitud:A= 10cm.
• Frecuenciaangular:wπ
πn= =2
2T
.Elperiodoeseltiempoentre
dosmáximossucesivos:
T = - =2 3 0 3, ,s s 2 s →
→ wπ
π= =2
2rad/s
• Faseinicial: x A t 0 0 0= ⋅ ⋅ +sen( )w f ;parat 0= 0,x 0= 5cm:
5 10 0= ⋅ sen( )f →
→fπ
0 0 56
= =arc sen rad( , )
Portanto:
x t = ⋅ ⋅ +
0 16
, sen mππ
2. Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuaciónse suelta y se le deja oscilar libremente, de forma que da 30 oscilacionescompletas en 5 segundos.
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209
Solucionario
(MAS)
Determina:
a) La ecuación de su movimiento suponiendo que empezamos a estudiarlocuando se encuentra en la posición más estirada.
b) La posición en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciadoel movimiento.
c) El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posición de equilibriodesde que está en la posición de máximo estiramiento.
a) Dadoqueenelenunciadosemencionaquelaposicióninicial
deestudio(t = 0)coincideconunmáximo,utilizaremos
laecuacióncosenoidalparadescribirelmovimiento.
Deestamanerasudesfaseinicialseránulo: x A t = ⋅ ⋅cos( )w ;para
t = 0,x = A.
Laamplituddelmuellecoincideconsuelongaciónmáxima:
A= 5cm= 0,05m.
w
π
πn π π= = = ⋅ =
22 2 12
T
30 ciclos
5 srad/s
Sustituyendo:x t = ⋅ ⋅0 05 12, cos( )π m
b) x t ( ) , cos( )= = ⋅ ⋅ = =10 s 0,05 m 5 cm0 05 12 10π .
Elmuelleseencuentraensuposicióndeelongaciónmáxima
positiva(estiradoalmáximo).
c) Enlaposicióndeequilibrox = 0:
0 0 05 12= ⋅ ⋅, cos( )π t →
→ arc cos( )0 12 2
1
2 12= ⋅ = = =π
π
t t →⋅ 0,042 s
3. Representa la gráfica posición-tiempo de un muelle cuyo movimientose describe en la actividad anterior.
x (m)0,05
-0,05
0
0,0 1,0 5,04,03,02,0 t (s )
4. ¿Cuál será la velocidad del móvil del ejemplo 2 cuando se encuentraa 2 cm del punto más bajo?
Enestecasoseencuentraenlaposiciónx = −4cm.
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210
6 El movimiento armónico simple
Sustituyendoigualqueenelejemplo:
v A x = ⋅ - = ⋅ ⋅ - -2 2 0 25 6 4 72 2 2 2πn π , ( (Hz cm) cm) cm/s
Esdecir,elmódulodelavelocidadeselmismoqueenlaposición
calculadaenelejemplo.(Noconfundirlavelocidad,v ,conla
frecuencia,n.)
5. En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramosuna longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la función
que permite conocer su elongación, velocidad y aceleración en funcióndel tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa gráficamentedichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocerlo que sucede en dos oscilaciones completas.
Comolaposicióninicialconsideradasecorrespondeconsuelongación
máxima,utilizaremoslaecuacióncosenoidaldelMAS.
Elongación:
Laelongaciónmáxima
esprecisamenteA = 0,04m.
Calculamosw:
w πn π π= = ⋅ =2 2 2 4Hz rad/s
Laecuacióndelaelongaciónserá:
x t = ⋅ ⋅0 04 4, cos( )π m
Velocidad:
Lavelocidadseobtienederivando
laexpresióndelaelongaciónconrespectoaltiempo:
v dx
dt A t
t
= = - ⋅ ⋅ ⋅ + =
= - ⋅ ⋅ ⋅
w w f
π π
sen
sen
( )
, ( )
0
4 0 04 4 →→
→ v t = - ⋅ ⋅0 16 4, ( )π πsen m/s
Aceleración:
Laaceleraciónseobtienederivando
laexpresióndelavelocidad
conrespectoaltiempo:
a dv
dt A t = = - ⋅ ⋅ ⋅ + =
= - ⋅ ⋅
w w f
π
20
24 0 04 4
cos( )
( ) , cos( ππ
π π
⋅
= - ⋅ ⋅ ⋅
t
a t
)
, cos( )
→
→ 0 64 42 m/s2
x (m)0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
0 0,5 1,0t
v (m/s2)
0,6
0
-0,6
0
0,5 1,0
a (m/s2)
-8
-4
0
4
8
0 0,5 1,0
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211
Solucionario
(MAS)
6. Haz la representación gráfica de las funciones x (t ), v (t ) y a (t ) paraun muelle que oscila apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento.De forma similar a la figura 6.23, indica en qué posición las magnitudes x ,v y a alcanzan sus valores máximos y mínimos.
Respuestagráfica:
x = A ⋅ sen(w ⋅ t )
v = A ⋅ w ⋅ cos(w ⋅ t )
a = -w2 ⋅ A ⋅ sen(w ⋅ t ) = -w2 ⋅ x
-w2 ⋅ A
-w ⋅ A
-A
w2 ⋅ A
w ⋅ A
A
a
v
x Máximo:T /4
Mínimo:3T /4
Máximo:0
Mínimo:T /2
Máximo:3T /4
Mínimo:T /4
T /4 T /2 3T /4 T
7. Calcula la aceleración y la velocidad en el instante inicial, t = 0 s,para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuación:
x t t ( ) , cos= ⋅ +
0 3 26π (x en cm)
Laecuacióndelaposiciónes:
x t t ( ) , cos= ⋅ +
0 3 26
π
Enelinstantet = 0:
x ( , cost = = ⋅ +
=0) 0,26 m0 3 2 0
6
⋅π
Lavelocidadseobtienederivandolaposiciónconrespectoaltiempo:
v dx
dt A t t = = - ⋅ ⋅ ⋅ + = - ⋅ ⋅ ⋅ +
w w f
πsen sen( ) ,0 2 0 3 2
6
Enelinstantet = 0:
v ( , ,t = = - ⋅ ⋅ ⋅ +
= - ⋅ ⋅0) sen s2 0 3 2 0
62 0 3
πeen 0,3 m/sπ
6
= -
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212
6 El movimiento armónico simple
Laaceleraciónseobtienederivandolavelocidadconrespectoaltiempo:
a dv
dt A t x = = - ⋅ ⋅ ⋅ + = -w w f w2
02cos( ) ⋅
Enelinstantet = 0:
a
x t
( ,
( )
t = = - ⋅ = -
=
0) 1,04 m/s22 0 26
2
0
8. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza
un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontalsin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz.Determine:
a) El periodo del movimiento.
b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
(C. Madrid. Junio, 2007)
a) Eldatodelafrecuencianospermiteconocerelperiodo,T :
T = = =1 1
3 3n , Hz0,303 s
b) Calculamoswapartirdeldatodelperiodo,según:
wπ π
= = =2 2
0 30320 73
T ,,
srad/s
LavelocidadmáximaenunMASes:
v Amáx. rad/s m 1,037 m/s= ⋅ = ⋅ =w 20 73 0 05, ,
LaaceleraciónmáximaenunMASes:a Amáx.
2rad/s m 21,49 m/s= ⋅ = ⋅ =w2 2 220 73 0 05, ( ) ,
9. Una partícula puntual realiza un movimiento armónico simple de amplitud8 m que responde a la ecuación a = −16x , donde x indica la posiciónde la partícula en metros y a es la aceleración del movimiento expresadaen m/s2.
a) Calcula la frecuencia y el valor máximo de la velocidad.
b) Calcula el tiempo invertido por la partícula para desplazarsedesde la posición x 1 = 2 m hasta la posición x 2 = 4 m.
(C. Valenciana. Septiembre, 2006)
a) Apartirdelaexpresiónquedeterminalaaceleracióndeuncuerpo
enunMAS:
a dv
dt
d A t
dt
A t
= =⋅ ⋅ ⋅ +
=
= - ⋅ ⋅ ⋅ +
[ cos( )]
(
w w f
w w
0
2 sen ff w02) = - ⋅ x
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213
Solucionario
(MAS)
Identificando:
- ⋅ = - ⋅ = =w w w2 216 16 4x x → → rad/s
Calculamoslafrecuenciaapartirdelafrecuenciaangular:
wπ
πn nw
π π= = = = =
22
2
4
2T →
rad/s0,64 Hz
Ahorayasepuedecalcularlavelocidad:
v A t v A= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅ =w w f wcos( )0 4 8→ máx. rad/s m 32 m/s
b) Paracalculareltiempoquetardaentrasladarsedeunpuntoalotroobtendremoselvalordeltiempocuandoseencuentraencada
unadeesasposiciones.Paraestonecesitamosconocerlaecuación
querigesumovimientoyque,suponiendoquenoexistedesfase
inicial,puedeobtenersecomo:
x A t t = ⋅ ⋅ + = ⋅ +sen sen( ) ( )w f f0 08 4
Enx = 4m:
4 8 41
242 0 2 0= + = +⋅ sen sen( ) ( )t t f f→ →
→ 41
2 62 0t + =
=fπ
arc sen [1]
Enx = 2m:
2 8 41
441 0 1 0= ⋅ + = +sen sen( ) ( )t t f f→ →
→ 41
40 2531 0t + =
=f arc sen , [2]
Restandolasexpresiones[1]y[2]:
( ) ( ) ,4 46
0 2532 0 1 0t t + - + = -f fπ
→
→ 4 0 270 27
42 1 2 1⋅ - = - = =( ) ,
,t t t t → 0,0675 s
10. Un punto material pende del extremo de un muelle. Se tira de ély se le hace oscilar de manera que entre el punto más alto y el más bajo
este recorre una distancia de 20 cm y tarda 20 s en completarcinco oscilaciones. Determina la velocidad y la aceleración del móvilcuando se encuentra a 6 cm del punto más bajo.
Siladiferenciaentreelpuntomásaltoymásbajodelrecorrido
es20cm,laelongaciónmáximadelMASesA = 10cm= 0,1m.
Obtenemoslafrecuenciadelmovimiento:
n w πn ππ
= = = = ⋅ =5 ciclos
20 s0,25 Hz Hz rad/s→ 2 2 0 25
2,
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214
6 El movimiento armónico simple
A6cmdelpuntomásbajoelpuntoseencuentra4cmpordebajo
desuposicióndeequilibrio,esdecir,enx = −4cm.
Sepuedenobtenerlavelocidadylaaceleracióninstantánea
deunMASconlasrelaciones:
• v A x = ⋅ - = ⋅ - =wπ2 2 2 2
20 1 0 04 0 144, , , m/s
• a x = - ⋅ = -
⋅ - =w
π2
2
20 04 0 098( , ) , m/s2
11. Diseña una experiencia para comprobar que el periodo de un osciladorarmónico no depende de la amplitud de la oscilación.
Material:
• Soportedelaboratorio.
• Muelle.
• Portapesas.
• Unapesa.
• Cronómetro.
Procedimiento:
1. Colocarelmuelleenelsoportecomo
semuestraenlafigura.Poner
unportapesasensuextremoinferior.
2. Colocarenelportapesaslapesa
elegida.Estirarlademaneraque
sedesplaceunpocodesuposición
deequilibrioydejarlaoscilar.
3. Cuandoosciledemanerauniforme
(despuésdelas3o5primeras
oscilaciones),ponerelcronómetro
enmarchaymedireltiempo
quetardaendar20oscilaciones.
Anotarelresultado.
4. Repetirlospasos2y3utilizando
siemprelamismamasayvariandolaamplitudinicialdelaoscilación.
5. Deacuerdoconlaexpresión:
T
m
k = ⋅2π
alusarsiemprelamismamasam
yelmismomuelle(mismak ),
elperiodoobservado
deberíadeserconstante.
Muelle
Portapesas
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215
Solucionario
(MAS)
12. Se dispone de un muelle elástico sujeto por un extremoal techo de una habitación. Si colgamos por el otro extremoun cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule:
a) La constante elástica del muelle.
b) El periodo de las oscilaciones que realizará si se le apartade su posición de equilibrio y se le deja libremente para que ejecuteun movimiento armónico simple.
(Extremadura. Junio, 2005)
a) DeterminaremoslaconstantedeelasticidadestáticapormediodelaleydeHooke:
P m g F k x k m g
x = - ⋅ = = - ⋅ → =
⋅
=
⋅
=
6 9 8
0 2294
,
,
N
m
b) Aunquelaconstantedeelasticidadestáticaydinámicanoson
exactamenteiguales,utilizaremoseldatocalculadoenelapartado
anteriorparaobtenerelperiododelaoscilación:
T
m
k = ⋅ = ⋅ =2 2
6
294π π 0,9 s
13. Se tienen dos muelles de constantes elásticask 1 y k 2 en cuyos extremos se disponen dosmasas m 1 y m 2, respectivamente, tal quem 1 < m 2. Al oscilar, las fuerzas que actúansobre cada una de estas masas en funciónde la elongación aparecen representadas
en la figura.a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica?
b) ¿Cuál de estas masas tendrá mayor periodo de oscilación?
(C. Madrid. Septiembre, 2005)
a) LaleydeHookeindicaqueF k x = - ⋅ ,dondek eslapendiente
delagráficaenlacualserepresentaF frenteax .Puesto
quelapendientedelagráfica1esmayorqueladelagráfica2,
podemosconcluirquek 1>k 2.
b) Elperiododeoscilacióndeunmuellevienedado
porlaexpresión:
T
m
k = ⋅2π
Elperiododeoscilacióndeunmuelleesmayorcuantomayor
seasumasaycuantomenorseasuconstanteelástica.
Ambascircunstanciasindicanqueelperiododelsegundo
oscilador(m 2)esmayorqueeldelprimero.
1
1
2x
F
2
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216
6 El movimiento armónico simple
14. Diseña una experiencia de laboratorio que te permita comprobarque el periodo de un péndulo armónico no depende de la amplitudde la oscilación.
Material:
• Soportedelaboratorio.
• Hilodenailon.
• Bolaconganchodepesoconocido.
• Metro(paramedirlongitudes).
• Cronómetro.
Procedimiento:
1. Atarunhilodeaproximadamente
1,5mdelongitudalextremo
deunabolapequeñademasa
conocida.
2. Colocarloluegoenelsoporte
demaneraquepuedaoscilar,
comoseindicaenlafigura.
3. Medirexactamente
lalongituddelhilodesdeelextremo
delsoportehastalabola.Debe
sersiempreexactamentelamisma
longitud.Separarlabolaenelplanoverticaldemanera
quesedesplaceunpocodesuposicióndeequilibrioydejarla
oscilar.
4. Cuandoosciledemanerauniforme(despuésdelas3o5
primerasoscilaciones),ponerelcronómetroenmarcha
ymedireltiempoquetardaendar20oscilaciones.Anotar
elresultado.
5. Repetirlospasos2y3,separandolaboladiferentesángulosq
(conelloseconsiguendistintasamplitudes).Deacuerdocon:
T L
g = ⋅2π
silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenidodebesersiempreelmismo.
6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:
T =Tiempo
N.º de ciclos
Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar
20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre
equivalente.
Hilo
Bola
q
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217
Solucionario
(MAS)
15. Diseña una experiencia de laboratorio que te permitacomprobar que el periodo de un péndulo armónicono depende de su masa.
Material:
• Soportedelaboratorio.
• Hilodenailon.
• Variasbolascongancho
depesosconocidos.
• Metro(paramedirlongitudes).
• Cronómetro.
Procedimiento:
1. Atarunhilodeaproximadamente
1,5mdelongitudalextremo
deunabolapequeñademasa
conocida.
2. Colocarloluegoenelsoporte
demaneraquepuedaoscilar,comoseindicaenlafigura.
3. Medirexactamentelalongitud
delhilodesdeelextremodelsoporte
hastalabola.Debesersiempre
exactamentelamismalongitud.Separarlaenelplanovertical
demaneraquesedesplaceunpocodesuposicióndeequilibrio
ydejarlaoscilar.
4. Cuandoosciledemanerauniforme(despuésdelas3o5primerasoscilaciones),ponerelcronómetroenmarchaymedir
eltiempoquetardaendar20oscilaciones.
Anotarelresultado.
5. Cambiarlabolaporotrademasadiferenteyrepetirlospasos2y3.
Deacuerdocon:
T L
g = ⋅2π
silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenidodebesersiempreelmismo.
6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:
T =Tiempo
N.º de ciclos
Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar
20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre
equivalente.
Hilo
Bola
q
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218
6 El movimiento armónico simple
E W g W
b
-
16. En una catedral hay una lámpara que cuelga desdeel techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo.Se observa que oscila levemente con una frecuenciade 0,1 Hz. ¿Cuál es la altura h de la nave?
Dato: g =9,8 m/s2.
(P. Asturias. Junio, 2007)
Calculamoselperiodo:
T = = =1 1
0 1n , Hz
10 s
Necesitamosobtenerlalongituddelhilodelquependelalámpara.
Paraellopodemosutilizarlaexpresión:
T L
g L g
T L= ⋅ = ⋅ = ⋅ =2
49 8
10
4
2
2
2
2π
π π→ → , m/s
s24,82 m2
2
Silalámparaseencuentraa2mdelsuelo,laalturatotalserá:
h = L+ 2m= 26,82m
17. Sea un péndulo electrostático situado en un laboratorioen la superficie de la Tierra, formado por una pequeñaesfera atada al extremo de un hilo aislantemuy delgado de 20 cm de longitud,estando el otro extremo atadoa un punto fijo.La esfera tiene 1 g de masay es portadora de −2 nC
de carga eléctrica de signonegativo y se encuentrasometida a la acción del campogravitatorio terrestre y tambiéna un campo eléctrico uniformede módulo 3,3 ⋅ 106 N/C,dirección vertical y sentidohacia abajo. Calcular el periodode oscilación del péndulo
en esas condiciones.
Dadoquelacargadelaesferaesnegativa,tendremosunafuerza
electrostáticadesentidocontrarioalcampoeléctrico
descritoenelenunciado.
Estafuerzaelectrostáticaqueactúasobrelaesfera
tendrádirecciónverticalysentidohaciaarribay,
portanto,opuestoaldelafuerzagravitatoria
quetambiénactúasobrelamisma.
h
2m
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219
Solucionario
(MAS)
mg
F ⋅ cos q
F ⋅ sen q
q
q
T W
E W
Fz
st
q
WF E
Elsistemadefuerzasresultanteserá:
F W=F WE+P W=-q ⋅E W+P W
Comoelsentidodelasfuerzas
esopuesto,elmódulode
laresultanteseráigual
aladiferenciadelosmódulos
decadaunadeellas(P >|F E |):
F P F
F
= - =
= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
- -
→
→
E
10 9 8 2 10 3 3 10
3 2 10
3 9 6, ,
, --3 N
ElpéndulotieneunMAS.
Enconsecuencia:
F m a m x
F m T
L
⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
sen
sen sen
q w
qπ
q
2
2
2
2
⋅ →
→( )
Nota:suponemosqueqesmuy
pequeñoyhacemosquelacuerda
coincidaconelarco(x .q,qenradianes).
DespejamosT :
T m L
F = ⋅
⋅= ⋅
⋅
⋅=
-
-2 2
10 0 2
3 2 10
3
3π π
kg m
N1,57 s
,
,
18. Se quiere medir g a partir del periodo de oscilación de un pénduloformado por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esferatiene una carga q positiva y el péndulo se encuentra en una regióncon un campo eléctrico dirigido hacia abajo; sin embargo,el experimentador no conoce estos hechos y no los tiene en cuenta.Responda, justificando su respuesta, si el valor de la gravedadque obtiene es mayor o menor que el real.
(R. Murcia. Junio, 2005)
Elvalordelagravedadqueobtieneesmayorqueelreal.Alser
unacargapositivabajouncampoeléctricodirigidoverticalmente
haciaabajo,seveafectadaporunafuerzaelectrostáticaenlamisma
direcciónysentidoquelafuerzagravitatoria.
Estosignificaquelafuerzaelectrostáticasesumaalafuerza
gravitatoriaqueproduceelMASy,portanto,lafuerzaresultante
ejerceráunaaceleraciónresultantemayorquelaejercidaúnicamente
porlafuerzagravitatoria,yaqueF =m ·a .
W
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220
6 El movimiento armónico simple
19. Un oscilador armónico se encuentra en un instante determinadoen una posición que es igual a un tercio de su amplitud A. Determinapara dicho instante la relación existente entre la energía cinéticay la energía potencial (E C / E P).
(Canarias. Junio, 2005)
Utilizamoslasexpresiones:
• E k x P =
1
2
2
• E E E k A k x k A x C M P= - = - = ⋅ -
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
Obtenemoslarelaciónentreambas:
E
E
k A x
k x
A x
x
A A
A
C
P
/3
/3=
⋅ -
=
-
=
-
1
2
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
( )( )
( ))
( )2
2
2
18=
-
=
A
A
1/ 9
1/ 9⋅
20. Una partícula describe un movimiento vibratorio armónico de amplitud A y pulsación ω. Si duplicamos a la vez la amplitud y el periododel movimiento, ¿cambiará la energía cinética de la partícula cuandopase por el punto central de la oscilación? ¿Cambiará su energíapotencial en ese punto? Justifique la respuesta.
(Cataluña. Septiembre, 2007)
Enesteproblema:
• E E E k A k x k A x C M P= - = - = ⋅ -
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
• E k x P =
1
2
2
Enelpuntocentraldelaoscilación,x = 0,porloquelaenergía
potencialserásiemprenula.
Enesepunto:
E k AC =1
2
2
Paraelosciladorarmónico:
k m m T
E m T
A
k
= ⋅ = ⋅ → = ⋅w
π π2
2
2
2
2
24 1
2
4C
⋅
Siseduplicanalavezlaamplitudyelperiodo:
E m T
A E C C' = ⋅ ⋅ =
1
2
4
22
2
2
2π
( )( )
Esdecir,laenergíacinéticanovaría.
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221
Solucionario
(MAS)
21. Una partícula de masa m = 0,1 kg oscila armónicamente en la formax = A ⋅ sen ωt , con amplitud A = 0,2 m y frecuencia angularω = 2π rad/s.
a) Calcula la energía mecánica de la partícula.
b) Determina y representa gráficamente las energías potencial y cinéticade m en función de la elongación x .
(Aragón. Junio, 2005)
a) Sepuedeobtenerlaenergíamecánicadelapartículaapartir
delaexpresión:
E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
Paraunosciladorarmónico:
k m
E k A
= ⋅ = ⋅ =
= = ⋅ ⋅
w π2 2
2
0 1 2 3 95
1
2
1
2
3 95 0
, ( ) ,
,
N
m
M
→
→ ,, ,2 7 9 102 2= ⋅ -
J
b) Enestecaso:
•
• E k x k A t
E
P
P
[sen
[se
= = ⋅ ⋅ +
= ⋅
1
2
1
2
0 079
2 20
2( )]
,
w f →
→ nn( )]22π ⋅ t
Energíapotencial: Energíacinética:
P [sen= ⋅ ⋅, ( )]π C = ⋅ ⋅, [cos( )]π
0,08
0,04
050 1 2 3 4
E P(J)
t (s)
0,04
00 1 2 3 4 5
0,08
E C(J)
t (s)
E m A t
k A t
C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
= ⋅ ⋅
1
2
1
2
2 20
2
2
w w f
w
[cos( )]
[cos( ++
= ⋅ ⋅
f
π
02
20 079 2
)]
, [cos( )]
→
→ E t C
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222
6 El movimiento armónico simple
22. Las líneas siguientes representan la posición frente al tiempopara dos móviles con MAS. Obsérvalas y responde:
x
x
t
-x
x'
-x'
0
A
B
a) ¿Cuál de los dos móviles tarda más en completar una oscilación?
b) ¿Cuál de los dos móviles tiene mayor energía mecánica?
c) Suponiendo que los dos móviles tienen la misma masa, ¿cuál de ellosse ve sometido a una mayor fuerza de recuperación?
a) Losdosmóvilestardanelmismotiempoencompletar
unaoscilación.ElperiododelMASsecalculaapartir
delaseparaciónentredosmáximossucesivosdelagráfica.
Estaseparaciónesidénticaenamboscasos.
b) Como:
E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
resultaquelaenergíamecánicaesdirectamenteproporcionalal
cuadradodelaamplituddelMAS.Dadoquelaamplitudesmayor
enelcasodelagráficaA,tambiénserámayorsuenergíamecánica.
Laenergíamecánicatambiéndependedek .Suponemosque
secumpleloqueseindicaenelapartadoc),dedondesededuce
quek tieneelmismovalorparaambosmóviles.
c) ParaunmóvilconMAS,lafuerzaderecuperaciónesF k x = - ⋅ .
Enestecaso:
k m T
= ⋅
22
π
Silasmasassoniguales,ambosmóvilestienenlamisma
constantedeelasticidad,yaque,comohemosrazonado,
tienenelmismoperiododeoscilación.
Enlagráficasemuestraque,enunmismoinstante,elvalor
dex delmóvilBesmenorqueeldelmóvilA,porloquelafuerza
recuperadoradelmóvilAesmayorqueladelBencadainstante.
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223
Solucionario
(MAS)
23. Las líneas siguientes representan la posición frente al tiempopara dos móviles con MAS. Obsérvalas y responde:
A
B
x
x
t
-x
0
a) ¿Cuál de los dos móviles tarda más en completar una oscilación?
b) ¿Cuál de los dos móviles tiene mayor energía mecánica?
c) Suponiendo que los dos móviles tienen la misma masa, ¿cuál de ellos
se ve sometido a una mayor fuerza de recuperación?
a) ElmóvilAtardamásencompletarunaoscilación,yaque
laseparaciónentremáximosconsecutivosesmayorenestecaso
queenlagráficaB.Estosignificaquesuperiododeoscilación
esmayory,portanto,tardamásencompletarunaoscilación.
b) ParaunmóvilconMAS,laenergíamecánicaes:
E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( ) [1]
Laconstantek vale:
k m T
= ⋅
22
π [2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
E m T
AM = ⋅ ⋅1
2
22
2
2( )π
Suponiendoqueambosmóvilestienenlamismamasa(como
seindicaenelapartadoc),ydadoqueambostienenlamisma
amplitud(A),laenergíamecánicaresultaserinversamente
proporcionalalcuadradodelperiodo.LamasaAtieneunperiodo
deoscilaciónmayor,loqueindicaquetieneunaenergíamecánica
menorquelamasaB.
c) ParaunmóvilconMAS,lafuerzaderecuperaciónesF k x = - ⋅ :
k m T
= ⋅
22
π
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224
6 El movimiento armónico simple
Sisuponemosquelasmasassoniguales,laconstantedeelasticidad
seráinversamenteproporcionalalcuadradodelperiodode
oscilación.EstosignificaquelaconstanterecuperadoradelamasaA
esmenorqueladelamasaB,yaquetieneunperiodomayor.
Paraunmismox ,lafuerzarecuperadoradelamasaAesmenor
queladelamasaB.Observandolagráficavemosque,dependiendo
delinstanteconsiderado,lax delamasaBpuedesermayor,menor
oigualqueladelamasaA.Portanto,nosepuedepredecir,con
caráctergeneral,quémasatendrámayorfuerzaderecuperación.
24. Dos partículas tienen un MAS con la misma frecuencia y amplitudy se mueven en la misma trayectoria. Si se cruzan en el centrode la trayectoria, la diferencia de fase entre ellas será:
a) π /2 radianes. d) π /4 radianes.
b) π radianes. e) π /3 radianes.
c) 3π /2 radianes.
Larespuestacorrectaeslab),yaqueenunmovimientogobernado
porunafunciónsenoidalestoequivaleaundesfasede180°(invertirelsigno)y,portanto,secruzaránenlosmismospuntos
consentidodeavanceopuesto.
25. Una partícula de masa m , que solo puede moverse a lo largo del eje OX,se sitúa inicialmente (t = 0) en la posición x = x 0 y se libera con velocidadnula. Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según el eje OX, F = −kx ,donde k es una constante positiva.
a) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Describe analítica
y gráficamente cómo dependen del tiempo su posición, x (t ), y suvelocidad, v (t ).
b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y x 0= 0,5 cm, calcula las energíascinética y potencial de la partícula cuando pasa por x = 0.
(Aragón. Junio, 2006)
a) DescribiráunMAS,unmovimientooscilatorioaamboslados
delaposicióndeequilibrio(x = 0).Lafuerzarecuperadoraserá
laqueproduzcalaoscilación,oponiéndosealavance
delapartícula.Elmovimientoessiempreenladirección
delejeX,yaquetantoelmovimientodelapartículacomo
lafuerzarecuperadoraactúanenesteeje.
Lasecuacionesquedeterminanlaposiciónylavelocidad
deunmóvilconMASson:
• x A t = ⋅ ⋅ +cos( )w f0
• v dx
dt A t = = - ⋅ ⋅ ⋅ +w w fsen( )0
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225
Solucionario
(MAS)
Elenunciadoespecificaqueparat = 0,v = 0.
Portanto:
0 0 0 00 0 0= - ⋅ ⋅ + = =w f f fA sen sen( ) → →
Elongación:
-A
A
Tiempo
Velocidad:
Tiempo
0
4
v máx.
-v máx.
-0,4
Ambasgráficassonfuncionessinusoidalesconelmismoperiodo.
Lasdosgráficasestándesfasadasπ /2.
b) Laenergíapotenciales:
E k x P = = ⋅ ⋅ =1
2
1
2
30 0 02
Parat = 0,x = 0,5cm:
0,5 cm cm= ⋅ ⋅ =A Acos( ) ,w 0 0 5
1
→
Portanto:
E k A x C J= ⋅ - = ⋅ ⋅ - = ⋅ -1
2
1
230 0 005 0 3 75 10
2 2 2 4( ) ( , ) ,
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226
6 El movimiento armónico simple
26. Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente, resultandoque completa una oscilación cada 0,2 s.
Determina:
a) La ecuación que nos permite conocer su posición en función del tiempo.
b) La velocidad y la aceleración a la que estará sometido su extremo librea los 15 s de iniciado el movimiento. Interpreta el resultado.
a) Elmovimientoempiezaenelpuntodemáximaelongación:A = 0,05m.
Apartirdelperiodocalculamoslafrecuenciaangular:
wπ π
π= = =2 2
0 210
T , srad/s
Contodosestosdatospodemosexpresarlaposiciónenfunción
deltiempocomo:
x A t = ⋅ ⋅ +sen( )w f0
Parat = 0,x = A:
A A= ⋅ ⋅ + =sen( )w f fπ
0
2
0 0→
Portanto:
x t = ⋅ ⋅ +
0 05 102
, sen mππ
b) Lavelocidadseobtienederivandolaexpresióndelaelongación
conrespectoaltiempo:
v dx
dt
d A t
dt
A t = =⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ +[ ( )]
cos( )sen w f
w w f0
0 →
→v t = ⋅ ⋅ ⋅ +
10 0 05 102
π ππ
, cos m/s
Parat = 15s:
v t ( ) , cos= = ⋅ ⋅ +
=15 1 571 10 15
2s 0 m/sπ
π
Laaceleraciónsecalculaderivandolaexpresióndelavelocidad
conrespectoaltiempo:
a dv
dt
d A t
dt A t = =
⋅ ⋅ ⋅ += - ⋅ ⋅ ⋅ +
[ cos( )](
w w fw w f0 2 sen 00 ) →
→ a t = - ⋅ ⋅ ⋅ +
( ) ,10 0 05 102
2π ππ
sen m/s2
Parat = 15s:
a t ( ) ( ) ,= = - ⋅ ⋅ ⋅ +
15 10 0 05 10 15
2
2s senπ ππ= -49,35 m/s2
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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227
Solucionario
(MAS)
Elvalordelavelocidadescero,porloqueelcuerpoestará
enalgunodelosextremos(elongaciónmáxima).Elvalor
delaaceleracióncorrespondienteeselmáximo.Como
laaceleraciónesdevalornegativo,resultaqueelresorte
estarápróximoasucompresiónmáxima.
27. Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armónico simpleen el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo,siendo la amplitud del movimiento 5 cm.
Calcula:a) La velocidad máxima que llega a alcanzar la masa que oscila.
b) La aceleración de la masa en el extremo del movimiento vibratorioarmónico.
c) La constante del muelle.
(Cantabria. Septiembre, 2007)
a) Calculamoslafrecuenciaangularapartirdelafrecuencia
deoscilacióndeterminadaenelenunciado.
n w π n π
w π
= = = ⋅ = ⋅
=
2 ciclos
1 s2 Hz Hz
rad/s
→ →
→
2 2 2
4
Lavelocidadmáximaalaquesemuevelamasapuedeobtenerse
apartirde:
v Amáx. = ⋅ = ⋅ =w π4 0 05 0 63rad/s m m/s, ,
b) LaaceleraciónalaquesemueveelMASsecalculaasí:
a x A= - ⋅ = - = - ⋅ = -w w π2 2 2
4 0 05⋅ ( ) ( ,rad/s) m 7,9 m/s2 2
c) Obtenemoslaconstantedelmuelle:
k m = ⋅ = ⋅ =w π2 2
0 02 4 3 16, ( ) ,N
m
28. Un objeto realiza un MAS. ¿Cuáles de las siguientes magnitudesson proporcionales entre sí?:
a) La elongación y la velocidad.b) La fuerza recuperadora y la velocidad.
c) La aceleración y la elongación.
(Galicia. Septiembre, 2006)
a) LaexpresióndelavelocidadenunMASes:
v A x = ⋅ -w 2 2
Portanto,v yx nosondirectamenteproporcionales.
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228
6 El movimiento armónico simple
b) LaexpresióndelafuerzarecuperadoradelMASes:
F m a m x = ⋅ = ⋅ - ⋅( )w2
Portanto,lafuerzarecuperadoraylavelocidad
nosonproporcionalesentresí.
c) LaexpresióndelaaceleracióndeunMASes:
a dv
dt
d A t
dt
A t
= =⋅ ⋅ ⋅ +
=
= - ⋅ ⋅ ⋅ +
[ cos( )]
(
w w f
w w
0
2 sen ff w02) = - ⋅ x
Portanto,laaceleraciónylaelongaciónsonmagnitudes
directamenteproporcionales.
29. Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorreuna distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento, y su aceleraciónmáxima es de 48 m/s2. Calcule:
a) La frecuencia y el periodo del movimiento.
b) La velocidad máxima de la partícula.
(C. Madrid. Septiembre, 2006)
a) LaaceleraciónmáximadeunMASsepuedeobtenerapartirde:
a A= ⋅w2 .
Siencadaciclorecorre16cm,suelongaciónmáximaesA = 8cm.
ConestopodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMAS:
a Aa
A= ⋅ = = =w w2 48
0 0824 5→
m/s
mrad/s
,,
Como:
w πn nw
π π= = = =2
2
24 5
2→
, rad/s3,9 Hz
Elperiodoes:
T = = =1 1
3 9n , Hz0,26 s
b) Lavelocidadmáximadeunapartículaes:
v A= ⋅ = ⋅ =w 24 5 0 08, ,rad/s m 1,96 m/s
30. Una partícula oscila según un movimiento armónico simple de 8 cmde amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y aceleraciónen los siguientes casos:
a) Cuando la partícula pase por el centro de oscilación.
b) Medio segundo después de que la partícula haya pasadopor uno de los extremos de la trayectoria.
(P. Asturias. Junio, 2003)
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229
Solucionario
(MAS)
PodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMASconeldato
delperiodo:
wπ π π
= = =2 2
4 2T srad/s
a) Cuandolapartículapasaporelcentrodeoscilación,laelongación
esnula(x = 0):
•v A x = ⋅ - = ⋅ - = ⋅ =wπ π2 2 2 2
20 08 0
20 08, , 0,126 m/s
• a x = - ⋅ = - ⋅ =w w2 2 0 0
b) Necesitamosconocerlasexpresionesdex ,v ya enfunción
deltiempo:
x A t = ⋅ +( )cos w f0
Obtengamoslafaseinicial.Suponiendoquecomienza
sumovimientoenlaposicióndeequilibrio:t = 0,x = 0:
0 0 0
2
0 0 0= ⋅ ⋅ +( ) = =A cos cosw f f fπ
→ → rad
Entonces:
x t = ⋅ ⋅ +
0 082 2
, cosπ π
m
Derivandolaposición:
v dx
dt
d A t
dt A t = =
⋅ += - ⋅ ⋅ + =
= -
[ cos( )]( )
w fw w f0
0sen
00 082 2 2
, ⋅ ⋅ ⋅ +
π π πsen m/st
Ylaaceleraciónes:
a x t = - ⋅ = -
⋅ ⋅ ⋅ +
w
π π π2
2
20 08
2 2, cos
m/s2
Teniendoencuentaelvalordelperiodo,lapartículatarda1s
enllegardesdelaposicióndeequilibrioaunextremo.Tenemos
quecalcularx ,v ya enelinstantet = 1,5s:
• x t ( , ) , cos ,= = ⋅ ⋅ +
= -1 5 0 08
21 5
2s 0,0
π π557 m
• v t ( , ) , ,= = - ⋅ ⋅ ⋅ +
=1 5 0 08
2 21 5
2s sen
π π π00 089, m/s
• a t x t ( , ) ( , ) ( ,= = - ⋅ = -
⋅ -1 5 1 5
20
2
2
s swπ
0057) = 0,141m/s2
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230
6 El movimiento armónico simple
31. Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armónicamente en tornoal origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleraciónde M en función del tiempo.
10
5
0
-5
-100 0,1 0,2 0,3 0,4
t (s)
a (m/s2)
a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilación de M .
b) Determina y representa gráficamente la energía cinética de M en función del tiempo.
(Aragón. Junio, 2007)a) Lafrecuenciadeoscilacióndelamasaserálamisma
quelafrecuenciadeoscilacióndesuaceleración.
Susperiodosyfrecuenciasangularestambiénsoncoincidentes:
T = 0,2s.Portanto:
w
π π
π w πn
n
w
π
π
= = = =
= =
2 2
0 210 2
2
10
T , srad/s
rad/s
→ →
→
22π=
5 Hz
Calculamoslaamplitudconeldatodelaaceleraciónmáxima
delMAS:
a A Amáx.2m/s= ⋅ = = ⋅w π
2 210 10 10→ ( ) →
→ A = = ⋅ =-
10
101 013 10 1
2
2
( ),
π
m ,013 cm
b) LaenergíacinéticainstantáneaenunMASsecorresponde
conlasiguienteexpresión:
E mv m A t C = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
2
1
2
2 2 2 2w w[cos( )]
Identificandolostérminosconlosdatosquetenemosseobtiene
laexpresión:
E t C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-
1
20 1 10 1 013 10 10
2 2 2, ( ) ( , ) [cos( )]π π22
3 25 06 10 10
→
→ E t C J= ⋅ ⋅ ⋅-, [cos( )]π
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231
Solucionario
(MAS)
Representacióngráfica:
t (s)
E C(J)
0,006
0,004
0,002
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
32. a) En un movimiento armónico simple, ¿cuál es la relaciónentre la energía total y la amplitud?
b) Un oscilador armónico se encuentra en un momento dadoen una posición igual a la mitad de su amplitud (x = A /2).¿Cuál es la relación entre la energía cinética y potencialen ese momento?
(Cantabria. Junio, 2003)
a) EnunMASlaenergíamecánicatotalencadapuntosepuede
obtenerapartirde:
E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
Portanto,laenergíamecánicatotalesfuncióndelcuadrado
delaamplitud.
b) LasenergíascinéticaypotencialenunMASsepuedencalcular
apartirde:
• E k x P =1
2
2
• E mv m A x k A x C = = ⋅ ⋅ - = ⋅ -1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 2w ( ) ( )
Calculamoslarelaciónentreambas:
E
E
k A x
k x
A x
x
E
E
AA
C
P
C
P
=
⋅ -
= -
=
-
1
2
1
2
2
2 2
2
2 2
2
2
( )
→
→
=
⋅ -
2
2
2
2
11
4
A
A
⋅
=
A2 1
4
3
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232
6 El movimiento armónico simple
33. Supón un móvil que describe un MAS con una amplitud igual a 10 cmy con una frecuencia de 0,2 Hz. ¿En qué punto de su trayectorialas energías cinética y potencial coinciden?
Veamoslasexpresionesdelaenergíacinéticaypotencialenfunción
delaposicióndelMAS:
• E k x P =
1
2
2
• E mv m A x k A x C = = ⋅ ⋅ - = ⋅ -
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 2w ( ) ( )
Queremosdeterminarenquépuntoseigualan:
E E k x k A x x A x x AP C= = ⋅ - = - =→ → → →1
2
1
22
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )
→ x A
= = = ⋅ =-
2
0 1
2
7 07 102,
,m
m 7,07 cm
34. De dos resortes con la misma constante elástica k se cuelgan sendoscuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitudque el otro. ¿El cuerpo vibrará con la misma frecuencia? Razonesu respuesta.
(Castilla y León. Junio, 2006)
Tenemos:
k m m k
m = ⋅ = ⋅ =
⋅
w πn n
π
2 2
22
4( ) →
Sededucequelafrecuenciadependedelaconstanteelástica
ylamasa,peronodelalongituddelmuelle.Comolaconstantek
ylamasadeloscuerposeslamisma,lavibracióntendrálamisma
frecuenciaaunquevaríelalongituddelresorte.
35. A un muelle de constante elástica k le colocamos una masa m 0. Al estirarloun valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsación ω0,teniendo una energía cinética máxima E 0 y una velocidad máxima v 0.
Si al mismo muelle en lugar de m 0 le colocamos una masa 4m 0 y lo estiramos el mismo valor A, en función de ω0, E 0 y v 0, determinar:
a) La nueva frecuencia angular.
b) La nueva energía cinética máxima.
c) La nueva velocidad máxima.
(Cantabria. Junio, 2005)
Laexpresiónquepermitedeterminarelvalordelaconstanteelásticak
enfuncióndelosparámetrosdadosenelenunciadoes:k =m ·w2.
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233
Solucionario
(MAS)
Lavelocidadmáximaesv = w·A,ylaenergíacinéticadeunMASse
obtienecomoE mv C =1
2
2 ,porloquelaenergíacinéticamáximaserá:
E mv m AC = = ⋅ ⋅1
2
1
2
2 2( )w
a) Definimoslafrecuenciaangularenfuncióndelaconstantek :
w w= =k
m
k
m → 0
0
Llamamosw'alanuevafrecuenciaangular:
w w''
= = = ⋅ = ⋅k
m
k
m
k
m 4
1
2
1
20 0
0
b) LlamamosE 'Calanuevaenergíacinética:
E m A m AC' ' '= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
2
1
24
1
2
20 0
2
( )w w == ⋅ ⋅ =1
20 0
20m A E ( )w C
Así,laenergíacinéticamáximanohavariado.
c) Llamamosv 'alanuevavelocidadmáxima,queserá:
v A A v ' '= ⋅ = ⋅ =w w1
2
1
20 0
36. Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resortede constante elástica k = 72 N ⋅ m−1. Al desplazar el bloqueverticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza a oscilar,pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m ⋅ s−1.
a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso.b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.
(Andalucía, 2006)
a) Observamosloscambiosenergéticosproducidosenlaoscilacióndeun
MASproducidaporunresorte,talycomoseplanteaenelenunciado:
0Máxima
compresión Equilibrio
Máximo
estiramiento
T
4 T 2
-A
A
T
4
E C=0
E P=1
2k ⋅A2
E C=1
2k ⋅A2
E P=0
E C=0
E P=1
2k ⋅A2
3
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234
6 El movimiento armónico simple
Asípues,laenergíamecánicatotalesconstante,deacuerdo
conelteoremadeconservacióndelaenergíamecánica.
E C(x )+E P(x )
E P(x )
E C(x )
+A-A 0x
E
Enelpuntodeequilibriodelosciladorlaenergíapotencial
seránula,ylaenergíacinéticaserámáximaeigualalaenergía
mecánicatotal.Enlosextremosdelaoscilaciónlaenergía
cinéticaseránulaylaenergíapotencialseráigualalaenergíamecánicatotal.
b) Comosepuedeobservarenelgráficodelapartadoanterior,
alpasarporelpuntodeequilibriosetienelavelocidad
máximadelMAS,v = w·A.Porotraparte,conocemos
elvalordelaconstantedeelasticidaddelresorte,queenfunción
delafrecuenciaangularpuedeexpresarsecomok =m ·w2.
Apartirdeesteúltimodatoobtendremoselvalordelafrecuencia
angular:
w = = =k
m
72
0 5
N/m
kg12 rad/s
,
Portanto:
Av
= = =
w
6
12
m/s
rad/s0,5m
37. Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de él una partícula
de 2 kg de masa.a) Determina la constante elástica k del muelle.
b) A continuación se separa otros 10 cm de la posición de equilibrioy se deja oscilar en libertad. ¿Cuáles son la frecuenciaangular y el periodo de oscilación en estas condiciones?
c) Escribe la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo.
( g = 9,81 m/s2.)
(Castilla-La Mancha, 2006)
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235
Solucionario
(MAS)
a) Apartirdelpeso:
P m g F k x
k m g
x
= - ⋅ = = - ⋅
=
⋅
=
⋅
=
→
→2 9 8
0 12163
kg m/s
m
2,
,,333
N
m
b) Calculamoslafrecuencia:
k m k
m = ⋅ = = =w w
2 163 33
2→
, N/m
kg9,04 rad/s
Yelperiodo:
T m
k = ⋅ = ⋅ =2 2
2
163 33π π
kg
N/m0,695 s
,
Tantolafrecuenciaangularcomoelperiododelaoscilación
sonindependientesdelaamplituddelMAS.
c) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposición
deelongaciónmáxima.UtilizamoslaecuacióncosenoidaldelMAS,
yaquelafuncióncosenoesmáximaent = 0.
x A t t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅cos( ) , cos( , )w 0 1 9 04 m
38. Un cuerpo de 200 g de masa está en reposo y colgado de un muellecuya constante elástica es de 5 N/m. Se tira de dicho cuerpo conuna fuerza de 0,3 N y se le abandona libremente. Suponiendo ausenciade rozamiento:
a) Calcular la amplitud y la pulsación del movimiento vibratorio.
Proporcionar la expresión matemática de la ecuación del movimiento
vibratorio armónico simple (suponer que en t = 0 la constante de fasees 3π /2).
b) Determinar los valores máximos de la velocidad y de la aceleraciónde dicho movimiento vibratorio.
(P. Asturias. Junio, 2005)
a)Laexpresióndelafuerzaenfuncióndelaelongaciónes:
F = −kx .Cuandosetiradelcuerpoparaluegoliberarlo,selelleva
asuelongaciónmáxima.Conociendolaconstantedelresorte
ylafuerzaquesehaaplicado(lafuerzaderecuperaciónseráequivalente,perodesentidocontrario),sepuedeobtenerla
amplitudresultante:
F k A AF
k = ⋅ = = = =→
0 3
50
, N
N/m,06 m 6 cm
Teniendoencuentaque:
k m k
m = ⋅ = = =w w
2 5
0 2→
N/m
kg5 rad/s
,
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236
6 El movimiento armónico simple
Conlosresultadosobtenidos:
x t = ⋅ +
0 06 53
2, sen m
π
b) Secalculanlosvaloressolicitados:
• v Amáx. rad/s m 0,3 m/s= ⋅ = ⋅ =w 5 0 06,
• a Amáx.2rad/s m 1,5 m/s= ⋅ = ⋅ =w2
25 0 06,
39. De un resorte de 40 cm de longitud se cuelga un peso de 50 g de masa
y, alcanzado el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se estiracon la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta.
Obtener:
a) La constante del resorte.
b) La ecuación del MAS que describe el movimiento.
c) Deduce la ecuación de la energía potencial elástica.
( g = 9,8 m/s2.)
(Galicia. Septiembre, 2007)a) Comoalcolgarlamasaelconjuntosehaestirado
de40a45cm,resultaquelamasahaproducido
unaelongaciónde5cm.Conocidaesta,obtendremos
laconstantek apartirdelpeso:
P m g F k x
k m g
x
= - ⋅ = = - ⋅
=⋅
=⋅
=
→
→0 05 9 8
0 059
, ,
,
kg N/kg
m,,8 N/m
b) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposición
demáximaelongación.Describiremoselmovimientomediante
unafuncióncosenoidal,yaquelafuncióncosenoesmáxima
ent = 0:
x A t = ⋅ ⋅cos( )w
Deacuerdoconelenunciado,laelongaciónmáximaserá
A= 6cm.Calculamoslafrecuenciaangular:
k m
k
m = ⋅ = = =w w2
9 8
0 05→
,
,
N/m
kg 14 rad/s
Portanto:
x t = ⋅ ⋅0 06 14, ( )cos m
c) Laenergíapotenciales:
E k x k A t P = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅1
2
1
2
1
29 8 0 06
2 2 2 2[cos( )] , , [cw oos( )]
, [cos( )]
14
1 76 10 14
2
2 2
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅-
t
E t
→
→ P J
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237
Solucionario
(MAS)
40. Para el resorte del ejercicio anterior, determina el valor de la velocidady la aceleración cuando se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio.Haz un estudio del signo que tendrán estas magnitudes.
Suponemosx >0pordebajodelaposicióndeequilibrio(inicio:muelle
estirado).A2cmdelaposicióndeequilibrio(pordebajo),x >0.
Velocidad:
v A x = ⋅ - = ⋅ - =w 2 2 2 214 0 06 0 02 0 79rad/s m m m/s2 2, , ,
Aceleración:
a x = - ⋅ = - ⋅ = -w2 214 0 02 3 92( , ,rad/s) m m/s2
Máxima
compresión
E C=1
2k ⋅A2
E P=0
Elsignodelavelocidadserápositivomientraselmuelle
seestéestirando,ynegativomientrasseestécomprimiendo.
Elsignodelaaceleraciónseráelcontrario:negativocuando
seestáestirandoypositivocuandoseestácomprimiendo.
41. Para medir el tiempo construimos un reloj de péndulo formadopor una bola metálica unida a una cuerda. Lo hacemos oscilar de maneraque en los extremos toque unas láminas metálicas.
a) ¿Cuál debe ser la longitud de la cuerda si queremos que de un toqueal siguiente haya un intervalo de tiempo de 1 s?
b) Con el tiempo, es muy probable que la cuerda se estire. ¿Significaesto que nuestro reloj va más rápido o más lento?
Dato: suponemos que el péndulo es ideal y que estamos en un lugaren que g = 9,8 m ⋅ s−2.
Siqueremosquedéuntoquecadasegundoylasláminassecolocan
aamboslados,elperiodototaldeoscilacióndelpénduloseráT = 2s.
Enellibrodelalumnosehadeducidoqueparaunpéndulo:
g
LL
g g
T
= = =
=
ww π π
2
2 2
2
9 8
2
2
→, m/s
s
2
= =2 2
9 80
,
πm ,993 m
Máximo
estiramiento(inicio)
E C=0
E P=1
2k ⋅A2
E C=0
E P=1
2k ⋅A2
A2cmdela
posición
deequilibrio
(x >0)
-A
0
A
Equilibrio
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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238
6 El movimiento armónico simple
Larelaciónentrelalongituddelhiloyelperiododeoscilación
delpéndulovienedadaporlaexpresión:
T L
g = ⋅2π
SiLaumenta,aumentarátambiénT y,conesto,serámayor
laseparaciónentretoquessucesivos.Estosignificaquelavelocidad
disminuyeyelrelojvamáslento.
42. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie sin rozamientoa una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resortey queda unido a él vibrando como un oscilador armónico. Si el muelletiene una constante k = 750 N/m, determina:
a) La máxima compresión que puede alcanzar el muelle.
b) La velocidad del oscilador cuando se encuentre a la mitadde la compresión máxima.
a) Laenergíacinéticadelcuerpoquesedeslizasetransformaenenergía
potencialelásticadelresorte.Laenergíacinéticainicialcoincideconlaenergíapotencialdelresorteenestadodecompresiónmáxima.
O
1
2
k
Deacuerdoconelprincipiodeconservacióndelaenergía:
E E E E E E E E M M C P C P C P1 2 1 1 2 2 1 2= + = + =→ →
Calculamoslaenergíacinéticaqueteníaelcuerpo
ensumovimiento:
E mv C = = =1
2
1
25 3 22 5
2 2⋅ ⋅kg (m/s) J
2 ,
Estaenergíacoincideconlaenergíapotencialmáximadelresorte:
E k A AE
k P máx.
P máx. J
N/m0,2= ⋅ =
⋅=
⋅=
1
2
2 2 22 5
750
2→
,445 m
Lamáximacompresiónquepuedealcanzarelmuelle
esA= 0,245m.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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239
Solucionario
(MAS)
b) Lavelocidadsepuedeexpresarasí:v A x = ⋅ -w 2 2 .Apartirdek:
k m k
m = ⋅ = = =w w2 750
512 25→
N/m
kgrad/s,
Entonces:
v A x = ⋅ - =
= ⋅ ( ) -
w 2 2
2
12 25 0 2450 245
2, ,
,rad/s m
m
=
2
2,6 m/s
43. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie cuyo coeficientede rozamiento es 0,2 a una velocidad de 3 m/s. En un momento dadoimpacta con un resorte y queda unido a él vibrando como un osciladorarmónico. Si el muelle tiene una constante k = 750 N/m, determina:
a) La máxima compresión que puede alcanzar el muelle.
b) La distancia que recorre el oscilador hasta pararse.
a) Enestecaso,laenergíacinéticadelcuerpoquesedesliza
seinvierteenenergíapotencialelásticayenvencereltrabajo
derozamientomientrassealcanzalacompresiónmáxima.
O
1
2
k
Elbalanceeselsiguiente:
E E F AC P elástica R= + ⋅ →1
2
1
2
2 2m v k A mg A⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅µ →
→1
25 3
1
2750 0 2 5 9 8
2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅A A, , →
→ 22 5 375 9 82, ,= ⋅ + ⋅ =A A A→ 0,232 m
Comovemos,debidoalrozamientolaamplitudesmenor
queenlaactividadanterior.
b) Elresorteestaráoscilandohastaquetodalaenergíacinética
inicialsehayatransformadoentrabajoderozamiento.
Calculamoselespacioqueharecorridoelcuerpo:
1
2
1
25 3 0 2 5 9 8
2 2m v mg s s s ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =µ → →, , 2,3 m
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240
6 El movimiento armónico simple
44. La gráfica representa la fuerzaque debe hacerse para estirarun muelle en función de sualargamiento. ¿Cuánto valela constante recuperadoradel muelle? ¿Cuánto trabajohay que hacer para estirar el muelle30 cm a partir de su longitudnatural?
(Cataluña. Septiembre, 2007)
200
00 40
F (N)
L(cm)
DadoqueF = kx ,siidentificamosx = Lenlagráfica,resulta
quelaconstanterecuperadoraserálapendientedelamisma:
k = =
200
0 4500
N
mN/m
,
Podemoscalculareltrabajocomoladiferenciadeenergíapotencial
entreambospuntos.Ensulongitudnatural,laenergíapotencial
esnula.A30cmdelaposicióndeequilibrio:
E k x W P N/m m 22,5 J= = ⋅ ⋅ ( ) = =
1
2
1
2500 0 3
22
,
45. Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M ), las cualessuspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeñasoscilaciones, midiendo en cada caso el periodo de oscilación (T ).El estudiante representa los resultados experimentales según se muestraen la figura.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,00 25 50 75 100 125 150 175 200
T 2
(s2
)
M (g)
Se pide:
a) Determinar la constante elástica del muelle.
b) Justificar físicamente el comportamiento observado.
(P. Asturias. Junio, 2006)
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241
Solucionario
(MAS)
a) Necesitamosdeterminarlapendientedelarectaresultante
delasobservaciones.
Paraello,tomamosdospuntosdelamisma,expresando
lascantidadesenunidadesdelSI:
• A(0,05,0,13).
• B(0,2,0,42).
Lapendienteserá:
a
y
x = =
-
-=
∆
∆
0 42 0 13
0 2 0 051 933
, ,
, , ,
0,4
0,3
0,2
0,1
0,00 25 50 75 100 125 150 175 200
T 2(s2)
M (g)
Tenemosencuentaque:
T M
k = ⋅2π
y = ax + b
T 2=4π2
k ⋅M + 0
Queda:
1 9334 4
1 93320 42
2 2
,,
,= = =π π
k k → N/m
b) Cuandoseestiraelmuelleapareceunafuerzarecuperadora
queleobligaarealizarunmovimientoarmónicosimple.
Comosehadeducidoenellibrodelalumno,elcuadrado
delperiododeoscilaciónesdirectamenteproporcional
alamasadelresorte.
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242
6 El movimiento armónico simple
46. Un astronauta realiza un viaje espacial a un planeta del Sistema Solar.Durante su aproximación determina, con sus aparatos de telemetría,el radio de dicho planeta, que resulta ser R = 3,37 ⋅ 106 m. Una vezen la superficie del planeta utiliza un péndulo simple, formadopor una pequeña esfera de plomo y un hilo de 25 cm de longitud,y realiza el análisis de sus oscilaciones, variando la amplitud angularde la oscilación (θ) y midiendo, en cada caso, el tiempo (t ) correspondientea 5 oscilaciones completas del péndulo. El astronauta representalos valores experimentales según la gráfica:
q(°)
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,00 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t (s)
a) Comentar físicamente los resultados mostrados en la figura.
b) Determinar la masa del planeta.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2.
(P. Asturias. Septiembre, 2006)a) Elperiododelpénduloserelacionaconsulongitudyelvalordeg
enelpuntodondeoscila:
T L
g = ⋅2π
Deacuerdoconladeducciónqueserecogeenellibrodelalumno,
elperiodoesindependientedelaamplitudangularsiempre
queestanoexcedade15º,yaque,paravaloresmásaltos,
nosecumplelasimplificaciónq.senq.
Enlagráficaseobservaqueeltiempoquetardaelpéndulo
endarcincooscilaciones(y,portanto,superiodo)aumenta
amedidaqueaumentalaamplitudangular.Paraamplitudes
mayoresde15ºelmovimientodelpéndulodejadeserarmónico.
b) Enlagráficaleemosqueelperiododelpénduloes:
T = =Tiempo
N.º de oscilaciones
8,4 s
5 oscilaciones== 1,68 s
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243
Solucionario
(MAS)
Conestedatocalculamosg enlasuperficiedelplaneta:
g T
L= = ⋅ =4 4
1 680 25 3 5
2
2
2
2
π π⋅
( ,, ,
s)m m/s2
Comoseestudióeneltema2,elvalordeg enlasuperficie
delplanetaes:
g G M
R M
g R
G = ⋅ =
⋅=
⋅ ⋅
⋅=
-2
2 6 2
11
3 5 3 37 10
6 67 106→
, ( , )
,,,55 10
20⋅ kg
47. Se construye un péndulo colgando un cuerpo de 1 kg de una cuerdade 1 m. Se le hace oscilar de manera que el cuerpo llega a subir hastauna altura de medio metro en la posición más elevada. Calculala velocidad en el punto más bajo de las dos formas siguientes:
a) Utilizando el principio de conservación de la energía.
b) Considerando que describe un MAS.
c) Explica las diferencias que se obtienen entre ambos resultados.
a) Segúnelprincipiodeconservacióndelaenergía:
E E E E E E E E M A MB C A P A C B P B C A P B= + = + =→ →
TomandocomocerodeenergíapotenciallaquetienelabolaenA:
1
2
2 2 9 8 0 5
2mv mgh
v g h
A
A 3,13 m/s
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
→
→ , ,
b) SidescribeunMAS,enelpuntomásbajo
delatrayectoriatendráunavelocidad:
v AT
Amáx. = ⋅ = ⋅w π2
Elperiododelpénduloes:
T L
g = ⋅ = ⋅ =2 2
1
9 8π π
m
m/s2 s
2,
CalculamosApormedio
delarelacióntrigonométrica:
A = - =( ( ,1 0 5
2 2
m) m) 0,87
mEntonces:
v T
Amáx.
sm 2,73 m/s= ⋅ = ⋅ =
2 2
20 87
π π,
c) Elmovimientodeestepéndulonocorresponderealmente
aunMAS,yaquelaamplitudangularexcedeconmucholos15º
enlosqueseadmitelaequivalenciaq.senq.
cosq = 0,5/1→q = arccos0,5= 60°
L=1m
1m
A
0,5cm
0,5cm
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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244
NOTAS
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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El movimientoondulatorio.El sonido
7
• Estudiamosenestetemaelmovimientoondulatoriocomo
lapropagaciónenunmediodeunmovimientovibratorioarmónico
simple.Eslaprimeravezquesehaceunestudiosimilarenlaetapa
preuniversitaria,yhabráquehaceresfuerzosparaqueelalumnado
comprendaciertosfenómenosdesdeelpuntodevistacientífico,
almargendealgunaspreconcepcionesquederivandesuexperiencia
odeinformacionespresentadasporlosmediosdeinformación.
• Ademásdeestudiarlosfenómenosondulatoriosconcaráctergeneral,
ejemplificaremosalgunasdesusparticularidades
enelestudiodelsonido.Elalumnadoconconocimientosmusicales
encontraráenestetemaexplicaciónaalgunosfenómenos
yconceptosquemanejaenotroscampos.
PRESENTACIÓN
• Identificarelmovimientoondulatoriocomolapropagaciónenelespacio
deunmovimientovibratorioarmónico.Reconocerdistintostiposdeondas.
• Comprenderelfenómenodeltransportedeenergíasinqueseproduzca
transportedemateria.
• Comprenderelmovimientoondulatoriocomounmovimientodoblemente
periódico,conrespectoaltiempoyalespacio.• Distinguirentreaspectosrelacionadosconlapropagacióndelmovimiento
ondulatorio(porejemplo,suvelocidad)yelmovimientodelaspartículas
delmedioquesevenafectadasporlaperturbación.
• Conocerlasmagnitudesfísicasquecaracterizanunaonda.
• Interpretarlaecuaciónmatemáticacorrespondienteaunmovimiento
ondulatorioyreconocerenellalasmagnitudesfísicasquecaracterizan
laonda.
• Conocerlosefectosrelacionadosconlapropagacióndelaenergía
queacompañaaunaonda.Comprenderlavariacióndelaamplitudolaintensidaddelaondaconrelaciónasudistanciaalfoco
delaperturbación.
• ComprenderelprincipiodeHuygensyutilizarloparaexplicarlas
propiedadesdelmovimientoondulatorio,especialmenteaquellasqueno
sepuedenexplicardeotromodo,comolasinterferenciasoladifracción.
• Reconocerelsonidocomounaperturbaciónondulatoriayrelacionar
algunosfenómenosconocidosconlaspropiedadesdelmovimiento
ondulatorio.
• Reflexionaracercadelacontaminaciónacústica,causasymodosdeevitarla.
OBJETIVOS
245
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246
7El movimiento ondulatorio.
• Aspectosfísicosdelmovimientoondulatorio.
Distintostiposdeondas.
• Estudiomatemáticodelmovimientoondulatorio.Ecuación
delaondaysurelaciónconlascaracterísticasdelamisma:
periodo,frecuencia,longituddeonda,velocidaddepropagación
ydesfase.
• Característicasdelmovimientodelospuntosdelmedio
quesonalcanzadosporunaondaarmónica:velocidadyaceleración
enfuncióndeltiempoydelaposición.
• Lapropagacióndeenergíaporlasondasarmónicas.Concepto
depotenciaeintensidadyrelacióndeestasmagnitudes
(juntoconlaamplituddelaonda)conladistanciaalfoco,
paradistintostiposdeondas.
• Teoríaacercadelapropagacióndelasondas.
PrincipiodeHuygens.
• Propiedadesdelasondas:reflexión,refracción,interferencias,
difracciónypolarización.Estudioespecialdelasinterferencias
queproducenondasestacionarias.
• Elsonido,unejemplodemovimientoondulatorio.
• Particularizaciónparaelsonidodelaspropiedadesdelasondas.
Aplicaciónacasosdeinstalacionessonoraseinstrumentos
musicales.
• Cualidadesdelsonido.
• Aplicacionesdelsonido.
• Contaminaciónsonora.
Conceptos
• Adquirirsolturaenelestudiomatemáticodeunmovimientoapartir
delasobservacionesquedeélsepuedenrealizar.
• Habituarseaobservarunmismofenómenodesdedosperspectivas
diferentes:temporalyespacial.
• Adquirirdestrezaenlainterpretacióndegráficasyobtenerdatos
representativosapartirdelasmismas.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Asumirquelasumadedosfenómenosnosiempreproduce
unfenómenodemayormagnitud(comprenderlasinterferencias
constructivasydestructivas).
• Comprenderlaimportanciadelosmodelosmatemáticos
paraelconocimientodeciertosfenómenos.
• Reconocerelpapeldelafísicaenlacomprensióndefenómenos
aparentementedistantes,comolamúsica.
Actitudes
CONTENIDOS
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El sonido
247
programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Partiendodelaecuacióndeunaonda,obtenersuscaracterísticas,comoperiodo,frecuencia,longituddeondaovelocidaddepropagación.
2. Conociendolosparámetroscaracterísticosdeunmovimientoondulatorio,deducir
laecuacióndelaonda.
3. Relacionarlaecuacióndeunaondaconlagráficaquelarepresenta,yviceversa.
4. Estudiarlaamplitudolaintensidaddeunaondaaunadeterminadadistancia
delfoco,paradistintostiposdeonda.
5. Identificarlaondaqueresultadelainterferenciadedosondascoherentes
aunaciertadistanciadelosfocos.Reconocercuándoseproduceunainterferencia
constructivaycuándounadestructiva.
6. Reconocerunaondaestacionariayrelacionarlaconlasondasquelaoriginan.
7. Conocerelfenómenodedifraccióneidentificarunasituaciónenlaquesepuedeproducir.
8. Estudiarunaondasonoradesdeelpuntodevistadecualquieradelosaspectos
relacionadosanteriormente.
9. Identificarlascaracterísticasdelsonido.Conocerlasunidadesdelniveldeintensidad
sonora(decibelio,dB).
10. Analizarunasituacióndondeseproduzcacontaminaciónsonorayproponer
algúnmétodoparareducirla.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Losconceptosquesemanejanenestetematienenampliarepercusiónenaspectos
noacadémicos,loquepuedeseraprovechableparaunaeducaciónenvalores.
1. Educación para la salud
Elsonidoesuntipodeondaqueseaprovechaparaconstruiraparatos
dereconocimientoydiagnóstico.Ademásdelosconsabidosradares,interesa
queelalumnadoconozcalaecografíacomotécnicadediagnósticoclínicoconuna
incidenciaparaelorganismomuchomenorquelasradiacioneselectromagnéticas
queseempleanenlasradiografíasconvencionales.Esteconocimientolepuede
ayudaraenfrentarsesintemoraestudiosquerequieranestaprueba.Lacostumbrerecientedeescucharmúsicauotrossonidospormediodecascos
puedeprovocarconsecuenciasnocivasparalasaludauditivadelaspersonas.
Esimportantehacerveralosalumnoslanecesidaddecontrolarellosmismoseluso
deestosaparatos,adaptandoelvolumenanivelesquenolesresultendañinos.
2. Educación cívica
Losruidossuelensercausadeconflictosocial.Esimportantequeelalumnado
conozcalosmodosenquesemideelnivelderuidoysuincidenciaenlasalud.
Todoellolespuedellevarasermásrespetuososconsusconciudadanos.
3. Educación para el consumidorLasespecificacionesdemuchosaparatosquecompranlosjóvenesincluyen
magnitudescuyosignificadoseestudiaenestetema.Puedeserinteresantehacer
unarecopilacióndelasqueaparecenenunaseriedeartículosdeusofrecuente
yestudiarsusignificado.
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248
7El movimiento ondulatorio.
1. La ecuación de una onda es: y (x , t ) = 20 ⋅ sen [2 ⋅ π ⋅ (8 ⋅ t − 0,01 ⋅ x )]
medidas x e y en centímetros y t , en segundos. Determinar la amplitud,la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación.
(Extremadura. Septiembre, 2006)
Comparamoslaecuacióndeestaondaconlaecuacióngeneral
quemuestralaelongacióndeunpuntoenfuncióndeltiempo
ysuposiciónmedidadesdesufoco:
y At
T
x = ⋅ ⋅ ±
sen 2πλ
•Amplitud:A=20cm.
Cuidado:noconfundir
ν(frecuencia)
conv (velocidad).
•Frecuencia:ν =1
T .Comparandoconlaecuacióndelaonda:
8 8t t = =ν ν⋅ → Hz
• Longituddeonda.Comparandoconlaecuacióndelaonda:
0 01, ⋅ = = =x x
λλ→ 100 cm 1 m
• Velocidaddepropagación:
v T
= = ⋅ = ⋅ =λ
λ ν 1 8m Hz 8 m/s
2. Discuta razonadamente cómo variarán, en un movimientoondulatorio, las siguientes magnitudes cuando aumentamosla frecuencia de la onda:
a) Periodo. c) Velocidad de propagación.
b) Amplitud. d) Longitud de onda.
(Castilla y León. Septiembre, 2006)
Paraanalizarsudependenciaconlafrecuenciadebemosexpresar
cadaunadelasmagnitudesenfuncióndelamisma.
a) f T
T f
= =1 1→ .Soninversamenteproporcionales.Portanto,
alaumentarlafrecuenciadelaondadisminuiráelperiodo.
b) Laamplitudylafrecuenciasonindependientes.
c) v T
f p = = ⋅λ
λ .Sondirectamenteproporcionales.Portanto,
alaumentarlafrecuenciadelaondaaumentatambiénlavelocidad
depropagación.
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249
Solucionario
El sonido
d)v T f
v
f p
p
= = ⋅ =λ
λ λ→ .Soninversamenteproporcionales.
Paraunaondaquesepropagueaunadeterminadavelocidad,
cuantomayorsealafrecuencia,menorserálalongituddeonda.
(Nota:enalgunostextosserepresentalafrecuenciaconlaletraf ,
aunquetambiéneshabitualrepresentarlaconlaletraν.Convieneque
losalumnossehabitúenaambasnotaciones.)
3. Sea una onda armónica transversal propagándose a lo largo de una cuerda,
descrita (en el SI) mediante la expresión: y (x , t ) = sen (62,8x + 314t )
a) ¿En qué dirección (sentido) viaja la onda y cuál es su velocidad?
b) Calcular su longitud de onda, su frecuencia y el desplazamientomáximo de cualquier elemento de la cuerda.
(P. Asturias. Junio, 2006)
a) Dadoqueelsignoqueseutilizaeselpositivo,resultaquelaonda
viajaenelsentidonegativodelasx .Lavelocidades:
v T
p = = ⋅λ
λ ν
Engeneral:
y At
T
x = ⋅ ⋅ ±
sen 2πλ
Identificamostérminosenlaexpresióndelaonda:
• 2 3142
314π
πν⋅ = ⋅ = = = =
t
T t T
T → →0,02 s
150 Hz
• 2 62 82
62 8π
λλ
π⋅ = ⋅ = =
x x ,
,→ 0,1 m
Portanto:v p m Hz 5 m/s= ⋅ = ⋅ =λ ν 50 0 1,
b) Enfuncióndeloobtenidoenelapartadoanterior:ν=50Hz,
λ=0,1m.Y,además,A=1m(elongaciónmáximadelaonda).
4. En una cuerda se propaga una onda cuya ecuación viene dadapor y (x , t ) = 3 ⋅ sen (6t − 2x ), donde x viene en metros, y t , en segundos.Calcula:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La aceleración a los 5 s de un punto de la cuerda situado a 1 m del origen.
c) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separadosuna distancia de 2 m.
(Canarias. Septiembre, 2007)
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250
7El movimiento ondulatorio.
a) Lavelocidaddepropagacióndelaondaes:v p= λ / T .
Deduciremoslosparámetroscomparandolaexpresión
delenunciadoconlaecuacióndeunaonda:
y At
T
x = ⋅ ⋅ ±
sen 2πλ
Comparando:
• 2 62
6 3π
π π⋅ = = =
t
T t T → s
• 2 2 2
2πλ
λ π π⋅ = = =x x → m
Portanto:
v T
p 3 m/s= = =λ π
π / 3
b) Sepuedeobtenerlaaceleraciónconlaquevibranlospuntosdel
medioderivandolaexpresióndelavelocidadconrespectoaltiempo:
v
dy
dt
d A t k x
dt
A t k x
x
sen
cos
= =
⋅ + +
=
= ⋅ ⋅ +
[ ( )]
(
ω φ
ω ω
0
++ φ0) →
→ a dv
dt
d A t k x
dt
A
xx
sen
= =⋅ ⋅ ± +
=
= - ⋅ ⋅
[ cos ( )]ω ω φ
ω
0
2 (( )ω φ ωt k x y ± + = - ⋅02
Teniendoencuentaqueω=6rad/s:
a y x sen 26 m/s= - ⋅ = - ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ = -ω2 2 26 3 6 5 2 1 29( ) ,
c) Ahora:
• y x t t x 1 , 3 sen 6 2( ) ( )= ⋅ -
• y x t t x 2 2 3 sen 6 2 2( ) [ ( )]+ = ⋅ - ⋅ +,
Eldesfasees:
φ φ2 1 6 2
6 2 4 6 2
- = - ⋅ + - - =
= - - - - = -
[ ( )] ( )6 2 2t x t x
t x t x 44 rad
Lospuntosestándesfasadosunánguloφ=4rad.
5. La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es:
y (x , t ) = 0,002 ⋅ sen (4x + 300t )Calcula:a) La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda.b) La velocidad de propagación. ¿Qué sentido tiene, negativo o positivo?c) La velocidad transversal máxima de un punto cualquiera de la cuerda.d) Representa la onda en función de x para t = 0 s.(Cantabria. Septiembre, 2005)
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251
Solucionario
El sonido
a) Identificaremoslostérminosapartirdelaexpresióngeneral
delaondaarmónica:
y At
T
x = ⋅ ⋅ ±
sen 2πλ
SuponemosquelasmagnitudesseexpresanenunidadesdelSI.
• Amplitud:A =0,002m.
• Periodo:
2 3002
300
ππ
⋅ = ⋅ = =t
T
t T → 0,021 s
• Frecuencia:
νπ π
= = = =-1
s
s 47,75 Hz1
T
1
2
300
300
2
• Longituddeonda:
2 42
4πλ
λπ
⋅ = = =x
x → 1,57 m
b) Dadoqueenlaecuacióndeondaseusaelsignopositivoentre
losdostérminosdelafase,elsentidodeavancedelmovimiento
serácontrarioaldeavancedelasx ;enconsecuencia,lavelocidad
seránegativa(retroceso).Calculamosv p:
v T
pm
s74,76 m/s= = =
λ 1 57
0 021
,
,
c) Lavelocidadsecalculaderivandolaposiciónconrespectoaltiempo:
v dy dt
d A t k x dt
A t k
xx sen= = ⋅ ± + =
= ⋅ ⋅ ±
[ ( )]
cos(
ω φ
ω ω
0
x x + φ0)
Portanto:
v Ax máx. rad/s m 0,6 m/s= ⋅ = ⋅ =ω 300 0 002,
d) Laexpresióndelaondaent =0es:
y x t x ( , ) , ( )= = ⋅0 0 002 4sen
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,002
0,001
0,000
-0,001
-0,002
y (m)
10x (rad)
0
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252
7El movimiento ondulatorio.
6. En un medio indeterminado se propaga una onda transversal y plana,representada por la ecuación:
y = 0,20 ⋅ cos π(4t − x )
En unidades del SI, calcule:
a) La velocidad de propagación de la onda en el medio.
b) El módulo de la aceleración máxima de vibración de las partículasdel medio.
c) La aceleración de una partícula del medio situada a 5 cm
del foco emisor cuando el estado de vibración de la partículaes y = −0,10 m.
(Cataluña. Junio, 2007)
a) Obtenemoslavelocidaddepropagacióndelaondaapartirde:
v T
p = = ⋅λ
λ ν
Obtendremoslosparámetroscomparandolaexpresión
delenunciadoconlaecuacióndeunaonda:
y At
T
x = ⋅ ⋅ ±
cos 2πλ
Comparando:
• 2 42
4π π⋅ = = =
t
T t T → 0,5 s
• 2 2πλ
π λ⋅ = =x
x → m
Portanto:
v T
pm
s4 m/s= = =
λ 2
0 5,
b) Laaceleraciónmáximaes:
a Ax máx.2 2rad/s) m ,2 m/s= ⋅ = ⋅ =ω2 24 0 2 3( ,
c) Laaceleraciónsecalculaderivandolavelocidadconrespecto
altiempo.Primeroobtenemoslavelocidad:
v dy
dt
d A t k x
dt A t k x = =
⋅ ±= - ⋅ ⋅ ±
[ cos( )]( )
ωω ωsen
Derivandoestaexpresión:
a dv
dt
d A t k x
dt A t x
x sencos= =
- ⋅ ⋅ ±= - ⋅ ⋅ ±
[ ( )](
ω ωω ω2 k k x
y
)
( ) ( , )
=
= - ⋅ = - ⋅ - =ω2 24 0 1rad/s m 1,6 m/s2
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253
Solucionario
El sonido
7. En un concierto se utiliza un altavoz que emite con una potenciade 50 W. ¿Cuál es la intensidad del sonido que se percibea 50 m del mismo? La organización quiere impedir que el públicose aproxime a una distancia menor que el doble de la correspondienteal umbral del dolor. ¿Dónde deben poner el límite de seguridad?Umbral del dolor: I = 100 W/m2.
Paraunaondatridimensional,laintensidadaunadeterminada
distanciadelfocovienedadapor:
I = =⋅
=⋅
= ⋅ -P S
P r 4
504 50
1 59 102 2
3
π πW
mW/m2
( ),
Veamosprimeroaquédistanciadelfocosealcanzaelumbral
dedolor:
r P
=⋅
=⋅
=4
50
4 1000 2
π πI
W
W/mm
2,
Portanto,ellímitedebeponersealmenosaldobledeestadistancia:
Límite m 0,4 m> ⋅ =
2 0 2,
8. Una antena de telefonía emite una radiación de 900 MHz. A 50 mde la misma, la intensidad es 5 ⋅ 10−2 W/m2. Determina:
a) La longitud de onda de la radiación.
b) La distancia que nos tenemos que acercar a la antena para recibirel doble de intensidad que tenemos a 50 m.
c) Cuánto nos podemos alejar de la antena sin que la intensidadse reduzca a la mitad de la que tenemos a 50 m.
Datos: velocidad de propagación de la radiación electromagnéticaen el aire = 3 ⋅ 108 m/s.
a) Apartirdeldatodelavelocidaddepropagacióndelaonda
electromagnéticaenelmediopodemoscalcularlalongituddeonda
delamisma:
v T
v p
p m/s
Hz0,33 m= = ⋅ = =
⋅
⋅=
λλ ν λ
ν→
3 10
900 10
8
6
b) Calculamosprimerolapotenciaderadiacióndelaondaconociendoelvalordesuintensidada50mdelfoco:
I I I = = ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =-
P
S P S r → 4
4 50 5 10 1
2
2 2
π
π ( ) ,m W/m2 557 103⋅ =W 1,57 kW
Conociendolapotenciaderadiaciónpodemoscalcularladistancia
alaquesepercibeeldobledeintensidadqueantes,esdecir:
I I ' = ⋅ = ⋅ ⋅ =-2 2 5 10 2 W/m 0,1 W/m2 2
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254
7El movimiento ondulatorio.
Entonces:
P r r P
= ⋅ =
⋅
=
⋅
⋅
=44
1 57 10
4 0 1
23
π
π π
' ' ''
I
I
→,
,
W
W/m35
2,,35 m
Enconsecuencia,nostendremosqueacercar:
50m-35,35m=14,65m
c) Conunprocedimientoanálogoalanteriorcalculamosladistancia
alaquelaintensidadsereducealamitad,esdecir:
I I '' = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅- -
1
2
1
2 5 10 2 5 10
2 2
W/m W/m
2 2
,
Ahora:
P r
r P
= ⋅
=
⋅
=
⋅
⋅ ⋅
4
4
1 57 10
4 2 5 1
2
3
π
π π
'' ''
''''
I
I
→
→,
,
W
00 2-
=
W/m70,69 m
2
Conlocualnospodremosalejarunmáximode:
70,69m-50m=20,69m
9. Al dejar caer una piedra en la superficie de agua en calma de un estanqueobtenemos una onda con A = 25 cm. Suponiendo que no hubiese rozamientoentre las partículas del medio, ¿cuál será la amplitud cuando la ondahaya avanzado 2 m desde el origen?
Nota: suponer que a 1 cm del foco la amplitud sigue siendo de 1 cm.
Laondaquesepropagaenlasuperficieencalmadeunestanque
esbidimensional.Talycomosededuceenellibrodelalumno,
suamplituddisminuyeconladistanciasegúnlarelación:A
A
r
r A A
r
r
1
2
2
1
2 11
2
= = ⋅→
Laamplitudesde25cma1cmdelfoco:
A Ar
r 2 1
1
2
250 01
2= ⋅ = ⋅ =cm
m
m1,8 cm
,
10. Dibuja el rayo reflejado si el rayo incidente tiene la dirección de la normal.Deacuerdoconlasleyes
delareflexión,elrayoincidente
formaconlanormalala
superficiedereflexiónunángulo
igualalqueformaelreflejado.
Sielrayoincidentecoincide
conlanormal,formarán
unángulode0°.
Rayoincidente
Rayoreflejado
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255
Solucionario
El sonido
Elrayoreflejadotambiénformaráunángulode0°,
porloquesudireccióncoincidiráconlanormal
yconladelrayoincidente.
11. Dibuja los rayos reflejados en este caso.
Espejo
Lanormalaunasuperficie
semiesféricatienedirección
radial.Elrayoincidente
yelreflejadoformanunángulo
igualconlanormal
alasuperficiedereflexión.Losrayosgrisessonlosreflejados.
F
Lasrayaspunteadasindican
ladirecciónradialencadapunto(normal).Elrayoincidente
quecoincideconeldiámetrodelasemiesferacoincideconelrayo
reflejadocorrespondiente.Todoslosrayosreflejadoscoinciden
enunpunto:elfoco(F).
12. Dibuja la figura 7.28a si la onda pasa a un medio en el que se propaga
a mayor velocidad que en el medio de origen.
Deacuerdoconlasleyes
delarefracción,cuandoelrayo
incidentesepropagaamayor
velocidadqueelrefractado,
elángulodeincidenciaesmayor
queelánguloderefracción.
Enlafiguralavelocidad
depropagacióndelaondaenelnuevomedioesmayor
N
s
s s
i i i
s
i
queenelmedioinicial.
Enconsecuencia,elángulodeincidencia(i )esmenorqueelángulo
derefracción(s ).
sen sen
incidente refractado
i s
v v =
Siv v incidente refractado sen sen< < <→ →i s i s .
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256
7El movimiento ondulatorio.
13. Dibuja el rayo refractado correspondiente a un rayo que incide en direcciónperpendicular a la de la superficie de refracción:
a) Si la onda se propaga a mayor velocidad en el medio incidente.
b) Si se propaga a menor velocidad en el medio incidente.
Sielrayoincideenladirecciónperpendicularalasuperficie
derefracción,elrayorefractadollevaesamismadirección,cualquiera
quesealavelocidadalaquesepropague
encadaunodelosmedios.
sen sen
incidente refractado
inciden
i s
v v
v
= →
→0
tte refractado
sen= = =
s i s
v → 0 Refractado
Incidente
14. El sonido se propaga a unos 340 m/s en el aire y a unos1500 m/s en el agua de mar.
Determina cuáles son las características (longitud de onda y frecuencia)que percibiremos bajo el agua de un sonido de 50 Hz que emiteun altavoz en la playa.
Dadoquequeremosanalizarlascaracterísticasdelsonidodentro
delaguademar,analizaremoslaondarefractadatrasentrar
encontactoconlasuperficiedelagua.
Suponemosqueelsonidosepropagadeformaidealenambos
medios,porloquenohaypérdidadeenergíacuando
cambiademedio.Estosignificaquelafrecuenciadelaondaincidenteylafrecuenciadelaondarefractada
soniguales.
Lavariacióndelavelocidaddepropagaciónsetraduce
enunavariaciónenlalongituddeonda.
v T
v p agua
p agua
agua
m/s
Hzm= = ⋅ = = =
λλ ν λ
ν→
1500
5030
15. En una habitación tenemosdos altavoces separadosuna distancia de 5 m que emitendos señales idénticas de 80 Hzy con una amplitud de 5 cm.Determina cuál será el valorde la amplitud en los siguientespuntos de la habitación:
0,75m
1m1m 3m2m
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257
Solucionario
El sonido
Necesitamosconocerladistanciaqueseparaalosmicrófonos
decadaunodelospuntos.SinosfijamosenelaltavozAyelpunto1:
d d d
d d d
A1 1O OA
A1 1O OA m m
2 2 2
2 2 22 0 75
= +
= + = +
→
→ ( ) ( , )22 = 2,136 m
Operandodemaneraanáloga
paralosotrospuntos:
•d A2 1,25 m= + =1 0 752 2,
•d A3 m= + =1 0 75 1 252 2, ,
•d A4 m= + =3 0 75 3 0922 2, ,
ParaelaltavozBlasdistancias
sonestas:
•d B1 m= + =2 4 25 4 6972 2, ,
1m1m 3m
OA→0,75m
OB→4,25m
2m
2 3 4
B
A
1
O
•d B2 m= + =1 4 25 4 3662 2, ,
•d B3 m= + =1 4 25 4 3662 2, ,
•d B4 m= + =3 4 25 5 2022 2, ,
Calculamoslafuncióndelainterferenciaqueseproducecuando
lasdosondasalcanzanunodeestospuntos:
y A k x x
t k x x
= ⋅ ⋅ ⋅-
⋅ - ⋅+
22 2
2 1 1 2cos sen ω
Laamplituddelainterferenciaes:
A A k x x
I = ⋅ ⋅ ⋅-
22
2 1cos
Necesitamosconocerelnúmerodeonda,k ,quesepuedeobtener
conociendolafrecuenciadelamismaylavelocidaddepropagación
delsonidoenelaire(340m/s).Portanto:
v T
f v
f p
p m/s
Hzm= = ⋅ = = =
λλ λ→ →
340
804 25,
→ k = = = -2 2
4 251 48 1π
λ
π
,,
mm
Laamplituddelainterferenciaencadaunolospuntosdeldibujoes:
• A A k d d
1 22
2 0 05
= ⋅ ⋅ ⋅-
=
= ⋅ ⋅
cos
, cos
A1 B1
11 482 136 4 697
20 032 3 2,
, ,, ,⋅
-
= - = -m m ccm
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258
7El movimiento ondulatorio.
• A A k d d 2 22
2 0 05
= ⋅ ⋅ ⋅ -
=
= ⋅ ⋅
cos
, cos
A2 B2
11 481 25 4 366
20 067 6 7,
, ,, ,⋅
-
= - = -m cm
• A A k d d
3 22
2 0 05
= ⋅ ⋅ ⋅-
=
= ⋅ ⋅
cos
, cos
A3 B3
11 481 25 4 366
2
0 067 6 7,, ,
, ,⋅-
= - = -m cm
• A A k d d
4 22
2 0 05
= ⋅ ⋅ ⋅-
=
= ⋅ ⋅
cos
, cos
A4 B4
11 483 092 5 202
29 4 10 0 94,
, ,, ,⋅
-
= ⋅ =- m 44 cm
Asípues,elsonidoserámásintensoenlospuntos2y3
queenlospuntos1y4.
16. Indique, justificando cada caso, cuáles de las siguientes funciones puedenrepresentar una onda estacionaria y cuáles no:
a) sen (A x ) ⋅ cos (B x ) d) sen (Ax ) + cos (Bx )
b) sen (A x ) ⋅ cos (Bt ) e) sen (A x / λ) ⋅ cos (Bt / T )
c) cos (100t ) ⋅ sen (x ) f) sen 2π(x / λ + t / T )
(R. Murcia. Septiembre, 2007)
Comparamoscadacasoconlaexpresióngeneraldeunaondaestacionaria:
y A k x t = ⋅ ⋅ ⋅2 onda sencos( ) ( )ω
a) Norepresentaunaondaestacionaria,yaquelaexpresión
nocontienevariablesx yt .
b) Podemosrepresentarlacomo:
y Ax Bt = +2
⋅ -2
cosπ π
sen
Ysecorrespondeconunaondaestacionaria
enlaqueAonda =1/2,k =Ayω=B .
c) Nuevamentepodemostransformarlaexpresióndelenunciadoen:
y t x = -2
⋅ +2
sen cos100π π
Secorrespondeconunaondaestacionaria
enlaqueAonda =1/2,k =1yω=100.
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259
Solucionario
El sonido
d) Nopuedeserunaondaestacionaria,yaquelaexpresiónnocontienevariablesx yt .
e) Reescribimoslaexpresióncomo:
y Ax Bt
T = +
2
⋅ -2
cosλ
π πsen
Seidentificaconlaexpresióndeunaondaestacionaria
enlaqueAonda =1/2,k =A / λyω=B / T .
f) Eslaexpresióndeunaondaarmónica.Noesunaonda
estacionaria.
17. Una onda estacionaria en una cuerda se puede describirpor la ecuación:
y (x , t ) = 0,02 ⋅ sen (10π x / 3) ⋅ cos (40πt )
donde y , x , t se expresan en unidades del SI.
Calcula:
a) La velocidad y la amplitud de las ondas que, por superposición, puedendan lugar a esta onda estacionaria.
b) La distancia entre dos nodos consecutivos de la cuerda.
c) La velocidad máxima que presenta el punto medio entre dos nodosconsecutivos.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
a) Comparamoslostérminosconlosdelaecuacióngeneraldeondas
estacionarias:
y A k x t = ⋅ ⋅ ⋅2 cos( ) ( )sen ω
Laondadadareescritaes:
y x
t = ⋅⋅
+
⋅ ⋅ -
0 0210
3 240
2, cos
π ππ
πsen
Comparando:
• 2 0,020,02
20,01 m 1 cmA A= = = =→
• k = = = =2 10
3
6
100 6
π
λ
πλ
π
π→ , m
• ωπ
ππ
π= = = =
240
2
400 05
T T → , s
Portanto:
v T
p0,6 m
0,05 sm/s= = =
λ12
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260
7El movimiento ondulatorio.
b) Enunaondaestacionarialadistanciaentredosnodosconsecutivos
es:
d = = =λ
2
0 6
20
, m,3 m
Elprimernodoestaráenelorigen,yaque y (x =0)=0.
Portanto,elsiguientenodoestaráenlaposición:
x =0+0,3m=0,3m
c) Lavelocidaddevibracióndecualquierpuntodelmedioes:
v dy
dt
d x
t
= =
⋅⋅
⋅ ⋅0,02 sen10
3cos 40
ππ( ))
, [
=
= ⋅⋅
⋅ -
dt
x 0 02
10
34sen
π00 40
0 810
3
π π
ππ
⋅ ⋅ =
= - ⋅⋅
sen
sen
( )]
,
t
x ⋅⋅ ⋅sen 40( )π t m/ s
Calculamoslavelocidaddelorigen,primernodo(x =0):
v x t ( ) , (= = - ⋅⋅
⋅ ⋅0 0 810 0
340π
ππsen sen )) = 0
Calculamoslavelocidaddeunpuntoqueestéa30cmdelextremo
(siguientenodo):
v x ( , ) ,,
= = - ⋅⋅
⋅0 30 0 810 0 3
3m sen senπ
π(( )
, ( )
40
0 8 40 0
π
π π π
⋅ =
= - ⋅ ⋅ ⋅ =
t
t sen sen
Calculamoslavelocidaddeunpuntoqueestéa15cm
delextremo,equidistantedeambosnodos:
v x ( , ) ,,
= = - ⋅⋅
⋅0 15 0 810 0 15
3m sen seπ
πnn
sen sen
( )
, (
40
0 82
40
π
ππ
⋅ =
= - ⋅
⋅
t m/s
ππ π π⋅ = - ⋅ ⋅ ⋅t t ) , ( )0 8 1 40sen m/s
Lavelocidadmáximaenunpuntosituadoentredosnodoses:
v máx. m/s= =0 8 2 51, ,π
18. a) ¿Qué es una onda estacionaria? Explica qué condiciones debencumplirse para que se forme una onda estacionaria en una cuerdatensa y fija por sus dos extremos.
b) Una cuerda de guitarra de longitud L = 65 cm vibra estacionariamenteen su modo fundamental a una frecuencia f = 440 Hz.
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261
Solucionario
El sonido
Representa gráficamente el perfil de esta onda, indicando la posiciónde nodos y vientres, y calcula la velocidad de propagación de ondastransversales en esta cuerda.
(Aragón. Junio, 2005)
a) Lasondasestacionariasresultandelasuperposicióndedosondas
idénticasquesepropaganenelmismomedioensentidosopuestos
yconoposicióndefase.
Paraqueseproduzcaunaondaestacionariaenunacuerdatensa
yfijaporsusdosextremos,lacuerdadebetenerunalongitud
talqueenellapuedaentrarunnúmeroenterodesemilongitudes
delaonda.
b) Enelmodofundamental:
λ νλ
ν1p p
2= ⋅ = =⋅
=Lv v
L→ 1
1
02
Queda:
λ λ= ⋅ = = ⋅v T v
f
v f pp
p→ 1
Entonces:
λ1
1
2 2 0 65
1 3 440 572
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ =-
L
v
,
,
m 1,3 m
m s m/sp
→
→
L
Losnodosestánenx =0yenx =L=λ /2.
Elvientreseencontraráen:
x L
= = = =λ
4 2
0 65
2
, m0,325 m
19. En la primera cuerda de una guitarra las ondas se propagan a 422 m/s.La cuerda mide 64 cm entre sus extremos fijos.¿Cuánto vale la frecuencia de vibración (en el modo fundamental)?
(R. Murcia. Junio, 2006)
Enestasituacióntenemosunacuerdafijaporsusdosextremos.
Cuandovibraensumodofundamentalresultaque:
f v v
Lf 1 0
2= =
⋅=p p
λ→
f 0422
2 0 64=
⋅=
m/s
m329,7 Hz→
,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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262
7El movimiento ondulatorio.
20. Si pasas temporadas en la costa, te habrás dado cuentade que de noche puedes oír sonidos más lejanos que de día.
Explica este hecho teniendo en cuenta que, de día, el Sol calienta el sueloy la brisa del mar refresca nuestras caras, mientras que de noche llegauna brisa cálida al tiempo que se refresca el suelo.
Día Noche
Airemásfrío
AiremásfríoAiremáscaliente
(elsonidoviajamásrápido)
Airemáscaliente
(elsonidoviaja
másrápido)
(Pista: ten en cuenta la refracción de las ondas de sonido al moversepor un medio no homogéneo.)
Lavelocidaddelsonidoesmayorenlascapasdondelatemperatura
esmayor.Cuandoelsonidopenetraenzonasdediferentetemperatura
sufreunarefracciónquelellevaacurvarsehacialaszonas
conmenortemperatura.Estoocurreprecisamenteporquelavelocidad
depropagacióndelrayorefractadoesmenorysuánguloderefracción
seaproximaalanormal(esmenorqueelrayoincidente),
porloquesecurvahaciaestazona.
Durantelanoche,elairemásfríoseráelqueestéencontacto
conelsuelo,porloquelasondassonorassecurvaránhaciaelsueloenlugardeescaparsehacialaatmósfera,permitiendo
queseescuchenamayorlongitud(yaquenosehandesviadohacia
elaireyestántodavíaaunaalturaquepermitepercibirlas).
21. Una marca de frigoríficos establece en su publicidad que estoselectrodomésticos trabajan con un nivel de intensidad sonora máximode 40 dB. ¿Cuál es la máxima intensidad de sonido que emitenlos frigoríficos?
Dato: intensidad umbral, I0 = 10−12 W ⋅ m
−2.(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)
Apartirdelniveldeintensidadsonora:
β = = ⋅ =- -
10 40 1010
4100
12 12⋅ log log log
I
I
I I → → →
→ →I
I
1010 10 10 10
12
4 4 12 8
-
- -= = ⋅ =W/m
W/m W/m2
2 2
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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263
Solucionario
El sonido
22. a) Explique qué es una onda armónica y escriba su ecuación.b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué significado tiene
esa afirmación? Haga esquemas para representar ambas periodicidadesy coméntelos.
(Andalucía. 2007)
a) Unaondaarmónicaresultadelaperturbaciónprovocada
porunmovimientoondulatoriosinoexisterozamiento.
Enestecaso,laondapermaneceigualportiempoindefinido
ysellamaondaarmónica.
Suecuaciónseexpresaasí:
y At
T
x x sen= +
⋅ ⋅ ±2 0πλ
φ
b) Laondaarmónicaesperiódicaconrespectoaltiempo
yconrespectoalaposición.
Estosignificaque,siseobservalaondaenundeterminado
instantedetiempo,seobtieneunafunciónperiódicaconrespectoax .
Siseobservalaondaparaundeterminadopunto,seobtiene
unafunciónperiódicaent .Enamboscasoslasondas
periódicasobtenidastienenlamismaamplitud,longituddeonda
yperiodo.
y
A
T
v p
t
y
A
v p
x
λ
Periodicidadrespectoaltiempo.
Periodicidadrespectoalaposición.
23. Dibuje dos ondas que cumplan con las condiciones que se especifican
en los siguientes supuestos:1.º Que tengan la misma amplitud y una doble longitud
de onda que la otra.
2.º Que tengan la misma longitud de onda y una doble amplitudque la otra.
3.º Que tengan la misma amplitud y longitud de ondapero desfasadas 180°.
(Extremadura. Junio, 2005)
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264
7El movimiento ondulatorio.
Respuestasgráficas:
• Laondagristienelongituddeondadoblequelaazul:
• Laondagristieneunaamplituddoblequelaondaazul:
• Laondagrisylaazultienenlamismaamplitudylongituddeonda,
peroestándesfasadas180°:
24. Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto,
el tiempo transcurrido entre dos crestas consecutivas es de 0,2 s.De las afirmaciones siguientes, escoja la que sea correctay justifique la respuesta.
a) La longitud de onda es de 5 m.
b) La frecuencia es de 5 Hz.
c) El periodo es de 0,4 s.
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
(Cataluña. Septiembre, 2004)
y
x
x
x
y
y
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265
Solucionario
El sonido
Lasituacióndescritaenelenunciadoequivaleadecirqueelperiodo
delaondaarmónicaesT =0,2s.
y
A
T
v p
t
ν = = =1 10 2T , s
5 Hz
Portanto,larespuestacorrectaeslab).
Lalongituddeondanoserelacionaconelperiodo,yaqueserefiere
aunaperiodicidadespacial.
25. A. Una onda armónica se propaga por una cuerda tensa. Si su frecuenciase reduce a la mitad:
a) El periodo se reduce a la mitad.b) La velocidad de propagación se duplica.c) La longitud de onda se duplica.
B. Si se trata de una onda transversal:a) En un instante dado todos los puntos de la cuerda vibran
con la misma velocidad.b) La onda se propaga a la velocidad constante de 340 m/s.c) La onda vibra en una dirección que es perpendicular
a la de propagación.
(Cataluña. Junio, 2007)
A) Veamoslarelaciónentrelafrecuenciaycadauna
delasmagnitudes:
a)T =1
ν.Alreducirlafrecuenciaalamitad,elperiodoaumentará
aldoble.Falso.
b)v
T
p = = ⋅λ
λ ν.Alreducirlafrecuenciaalamitad,lavelocidad
depropagaciónsereducetambiénalamitad.Falso.
c) v T
v p
p= = ⋅ =
λλ ν λ
ν→ .Sisemantieneconstante
lavelocidaddepropagación,alreducirlafrecuencia
alamitad,lalongituddeondaseduplica.Cierto.
B)Pordefinición,ondastransversalessonaquellasenlasque
laspartículasdelmediovibranendirecciónperpendicular
aladeavancedelaperturbación.Larespuestacorrectaeslac).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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266
7El movimiento ondulatorio.
26. Si un teléfono móvil emite ondas electromagnéticas en la banda1700-1900 MHz, ¿cuál es la longitud de onda más corta emitida?
(R. Murcia. Septiembre, 2006)
Sabiendoquelavelocidadalaquesepropaganlasondas
electromagnéticasesc =3⋅108m/s,podemoscalcularlalongitud
deondaapartirdelafrecuencia:
v c
p = =λ ν λν
⋅ →
Enlabandadefrecuenciaspropuestaenelenunciado:
λν
mín.
máx.
m/s
Hz0,1579 m= =
⋅
⋅=
c 3 10
1900 10
8
6
27. Una visión simplificada de los efectos de un terremoto en la superficieterrestre consiste en suponer que son ondas transversales análogasa las que se producen cuando forzamos oscilaciones verticalesen una cuerda.
En este supuesto y en el caso en que su frecuencia fuese de 0,5 Hz,calcular la amplitud que deberían tener las ondas del terremotopara que los objetos sobre la superficie terrestre empiecen a perderel contacto con el suelo.
(P. Asturias. Septiembre, 2005)
Paraquelosobjetospierdanelcontactoconelsuelosedeben
versometidosaunafuerzahaciaarribaqueseaigualosuperior
asupropiopeso:
F m a m g = ⋅ = ⋅ [1]
Podemosobtenerlaaceleraciónconlaquevibraránloscuerpos
alcanzadosporelterremotoapartirdelaecuacióndelaonda:
y A t k x x sen= ⋅ ± +( )ω φ0
Obtenemoslavelocidadderivandolaposiciónconrespecto
altiempo:
v dy
dt
d A t k x
dt
A t k x xx sen
= =⋅ ± +
= ⋅ ⋅ ±[ ( )]
cos(ω φ
ω ω0
++ φ0)
Obtenemoslaaceleraciónderivandolavelocidadconrespecto
altiempo:
a dv
dt
d A t k x
dt
A t
xx sen
sen
= =⋅ ± +
=
= - ⋅ ⋅
[ ( )]
(
ω φ
ω ω
0
2 ±± + = - ⋅k x y φ ω02)
Esdecir:
a Ax máx. = - ⋅ω2 [2]
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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267
Solucionario
El sonido
Igualando[1]y[2]:
g A A
Ag
= ⋅ = ⋅ ⋅
=⋅
=⋅
ω π ν
π ν π
2 2
2
2
2
9 8
2 0 5
( )
( )
,
( ,
→
→m/s2
mm/s1 m
)2=
28. Una onda transversal se propaga por una cuerda en la dirección positivadel eje OX. La amplitud es A = 0,06 m, la frecuencia vale f = 10 Hzy su velocidad es de 15 m/s.
a) Determinar su longitud de onda.b) Escribir la ecuación de la onda.
c) Calcular la velocidad y aceleración máximas de un puntode la cuerda.
(País Vasco. Junio, 2006)
a) Calculamoslalongituddeonda:
v f v
f
pp m/s
Hz
1,5 m= ⋅ = = =λ λ→15
10
b) Laecuacióngeneraldeunaondaarmónicaes:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
2πλ
DadoqueT =1/ f ,tendremos:
y t x
x sen= ⋅ ⋅ ⋅ -
=0 06 2 101 5
,,
π 00 06 20 4 19, ( , )⋅ ⋅ - ⋅sen π t x
Elsignoesnegativoporquesepropagaenelsentidopositivo
delejeX.
c) Obtenemoslavelocidadderivandolaposiciónconrespecto
altiempo:
v dy
dt
d A t k x
dt A t k x x
x sen= =
⋅ ± += ⋅ ⋅ ±
[ ( )]cos(
ω φω ω0 ++ φ0)
Obtenemoslaaceleraciónderivandolavelocidadconrespecto
altiempo:
a dv
dt
d A t k x
dt
A
xx
sen
= =⋅ ⋅ ± +
=
= - ⋅ ⋅
[ cos( )]
(
ω ω φ
ω
0
2 ωω φ ωt k x y ± + = - ⋅02) x
Susvaloresmáximosparaalgúnpuntodelacuerdaserán:
•v Amáx. rad/s m 3,77 m/s= ⋅ = ⋅ ⋅ =ω π2 10 0 06,
• a Amáx.2rad/s m 236,87 m/s= = ⋅ ⋅ =ω π2 22 10 0 06⋅ ( ) ,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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268
7El movimiento ondulatorio.
29. Un surfista observa que las olas del mar tienen 3 m de altura y rompencada 10 s en la costa. Sabiendo que la velocidad de las olas es de 35 km/h,determina la ecuación de onda de las olas.
(Canarias. Junio, 2005)
Losdatosproporcionadosenelenunciadosecorresponden
conlossiguientesparámetros:
• A =3m(suponemosalturadesdelasuperficiedelaguaencalma).
• T =10s.
• v p=35km/h.
Conociendoelperiodoylavelocidaddepropagacióndelasolas
podemosdeterminarelvalordelalongituddeondadelasmismas,
yaque:
v T
v T p pkm
h
m
1 km
1 h
3600 ss 97,2= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
λλ→ 35
1010
3
mm
Laecuacióndeondaserá:
y At
T
x = ⋅ ⋅ ±
= ⋅ ⋅sen sen2 3 2πλ
π t t x
t
10 97 2
3 0 2
±
=
= ⋅ ⋅
,
( ,sen π ±± ⋅0,0646 x )
30. La ecuación de una onda transversal es y (t , x ) = 0,05 ⋅ cos (5t − 2x )(magnitudes SI). Calcula:
a) Los valores de t para los que un punto situado en x = 10 m tienevelocidad máxima.
b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la onda recorra una distanciaigual a 3λ?
(Galicia. Junio, 2007)
a) Lavelocidaddelospuntosalcanzadosporunaonda
transversalsepuedeobtenerderivandolaposiciónconrespecto
altiempo:
v dy
dt
d A t k x
dt A t k
x
x sen= =
⋅ ± +
= - ⋅ ⋅ ±
[ cos( )](
ω φ
ω ω
0 x x + φ0
)
Lavelocidadserámáximacuando:
sen ( )ω φt k x ± + =0 1
Sustituimoslosvaloresqueconocemosdelenunciado
ydespejamoselvalordet quecumplelacondición(x =10cm).
Paraqueelsenodeunángulosea1,elángulodebeserigual
aπ /2oπ /2másunnúmeroenterodevueltas
(π /2+2⋅n ⋅π,conn =0,1,2…).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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269
Solucionario
El sonido
sen sen( ) ( )ω φπ
t k x t
t
± + = ⋅ - ⋅ =
⋅ - = +
0 1 5 2 10 1
5 202
→ →
→ 22 410
2
5
410
4
104
10
n t n
t n
t
⋅ - = +⋅
= + +⋅
= +
ππ π
π π π
→ →
→ → ⋅⋅ +( )4 1n
Cuandon =0:
t = + =410
π4,31 s
b) Dadoquelasondasarmónicassepropaganavelocidad
constante:v T
p =λ
.
ωπ π
= = =2
52
5T T rad/s s→
Además,porserunavelocidaduniforme,paraqueelespacio
recorridoseaiguala3λ:
v s t
t s v T
T p
p
3,77 s= = = = = ⋅ =→ 3 3 3 25
⋅ ⋅λλ
π /
31. Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje Xen sentido positivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de ondade 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación
es y = −2 cm.c) La expresión matemática que representa la onda.
d) La distancia mínima de separación entre dos partículas del eje Xque oscilan desfasadas π /3 rad.
(C. Madrid. Septiembre, 2006)
a) Pordefinición:
v p m Hz m/s= = ⋅ ⋅ =-λ ν⋅ 4 10 8 0 322 ,
b) Laecuacióndeunaondaarmónicasecorrespondeconlaexpresión:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
+
2 0πλ
φ
Parax =0,t =0→ y =-2cm:
- = ⋅ ⋅ ± +
- = =
0 02 0 02 2 0 0
1
0
0 0
, , [ ( ) ]sen
sen ar
π φ
φ φ
→
→ → cc sen( )- = -12
π
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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270
7El movimiento ondulatorio.
c) Completamoslosparámetrosenlaexpresióndelapartado
anterior:
y At
T
x Ax sen se= ⋅ ⋅ ±
+
= ⋅2 0πλ
φ nn 2 0π νλ
φ⋅ ⋅ ±
+
t x
→
→ y t x
x sen= ⋅ ⋅ ⋅ -
-
0 02 2 8
0 04 2,
,π
π
=
= ⋅ ⋅ - ⋅ -
0 02 16 50
2
, sen π ππ
t x
d) Sieldesfaseesπ /3rad:
φ φ
π ππ
π
2 1
216 502
16 5
- =
= ⋅ - ⋅ -
- ⋅ -t x t 00
2 31π
π π⋅ -
=x rad →
→ →503
1
50 31 2 1 2π
π⋅ - = - =
⋅= ⋅ -( )x x x x rad m 6,7 10 m3
32. La expresión matemática que representa una onda armónicaque se propaga a lo largo de una cuerda tensa es:
y (x , t ) = 0,01 ⋅ sen (10πt + 2πx + π)
Donde x e y están dados en metros y t , en segundos. Determine:
a) El sentido y la velocidad de propagación de la onda.
b) La frecuencia y la longitud de onda.
c) La diferencia de fase de oscilación entre dos puntos de la cuerdaseparados 20 cm.
d) La velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un puntode la cuerda.
(C. Madrid, 2007)
a) Laexpresióngeneraldeunaondaarmónicaes:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
+
2 0π
λ
φ
Dondeelsignopositivoentrelosdostérminosvariables
delargumentoindicaquelaondasepropagaenelsentido
negativodelejeX.
Lavelocidaddepropagacióndelaondapuededeterminarse
como:
v T
p =λ
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271
Solucionario
El sonido
Obtenemoselperiodoylalongituddeondacomparando
laexpresióndeestaondaconlaexpresióngeneral:
• 102 2
10
1
50 2π
π π
π= = = =
T T → , s
• 22
1ππ
λλ= =→ m
Portanto:
v T p
1 m
0,2 s 5 m/s= = =
λ
b) Lafrecuenciaes:
ν = = =1 1
0 2T , s5 Hz
c) Parapuntosseparados20cm(0,2m):
φ φ π π π π π π
π
2 1 2 110 2 10 2
2
- = ⋅ + ⋅ + - ⋅ + ⋅ + =
= ⋅
( ) ( )
(
t x t x
x x x 2 1 2 1 2 0 2 0 4- - = ⋅ =) , ,→ φ φ π π
d) Lavelocidadseobtienederivandolaposiciónconrespecto
altiempo:
v dy
dt
d A t k x
dt A t k x x
x sen= =
⋅ ± += ⋅ ⋅ ±
[ ( )]cos(
ω φω ω0 ++ φ0)
Laaceleraciónseobtienederivandolavelocidadconrespecto
altiempo:
a dv
dt
d A t k x
dt
A
xx
sen
= =⋅ ⋅ ± +
=
= - ⋅ ⋅
[ cos( )]
(
ω ω φ
ω
0
2 ωω φ ωt k x y ± + = - ⋅02) x
Susvaloresmáximosparaalgúnpuntodelacuerdaserán:
•v Amáx. rad/s m 0 m/s= ⋅ = ⋅ ⋅ =ω π π2 5 0 01 1, ,
• a Amáx.2rad/s m m/s= ⋅ = ⋅ ⋅ =ω π π2 2 22 5 0 01( ) ,
33. Una onda de frecuencia 40 Hz se propaga a lo largo del eje X en el sentidode las x crecientes. En un cierto instante, la diferencia de fase entredos puntos separados entre sí 5 cm es π /6 rad.
¿Qué valor tiene la longitud de onda? ¿Cuál es la velocidad de propagaciónde la onda?
Escribe la función de onda sabiendo que la amplitud es 2 mm.
(C. Valenciana. Septiembre, 2007)
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272
7El movimiento ondulatorio.
a) Calculamosλapartirdeldesfase:
πφ φ ω φ ω φ
62 1 2 1 1 2= - = - + - - + = ⋅ -( ) ( ) ( )t k x t k x k x x →
→ →π π
60 05
0 05 61 2
1= ⋅ - = ⋅ =⋅
= -k x x k k ( ) ,,
mm
10,47 m
Entonces:
k k
= = = =-
2 2 2π
λλ
π π→
10,47 m0,6 m
1
Calculamoslavelocidaddepropagaciónasí:
v p m Hz 24 m/s= ⋅ = ⋅ =λ ν 0 6 40,
b) Laexpresióngeneraldelaecuacióndeondaarmónicaes:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
+
2 0πλ
φ
T =1/ ν =1/40Hz=0,025s.Portanto:
y t x x sen= ⋅ ⋅ -
+
0 002 20 025 0 6
0,, ,
π φ
Elsignoqueprecedealax esnegativoporquelaondasedesplaza
enelsentidodelasx crecientes.
34. Una cuerda está unida por un extremo a una pared y está libre por el otroextremo. Hacemos vibrar el extremo libre armónicamente y se generauna onda transversal, descrita por la ecuación:
y = 4 ⋅ sen 2π (t /2 − x /4)en que la amplitud se mide en centímetros, mientras que el tiempo, t ,y la distancia, x , se miden en unidades del Sistema Internacional (SI).Calcule:
a) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda que dista 5 mdel extremo libre, en el instante t = 3 s.
b) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda que distan 1 my 3 m de la pared, respectivamente, en un mismo instante.
c) Cuánto tardaría la vibración en llegar a la pared desde el extremo libreen que se genera, si la cuerda tuviera una longitud de 10 m.
(Cataluña. Junio, 2007)
a) Lavelocidaddevibracióndelospuntosdeunaondaarmónica
puedeobtenersesegún:
v dy
dt
d t x
xx
sen
= =
⋅ ⋅ -
4 2
2 4π
= ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅
dt t x 4 2
1
2 2⋅ π π
πcos
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273
Solucionario
El sonido
Parax =5yt =3:
v x 0 m/s= ⋅ ⋅ - ⋅
=4 32
5π ππ
cos
b) Eldesfasees:
φ φ ππ
ππ
2 1 2 12 2
- = ⋅ - ⋅
- ⋅ - ⋅
t x t x
=
= ⋅ - = ⋅ - =π π
π2 2
3 11 2( ) ( )x x
c) Necesitamosconocerlavelocidaddepropagacióndelaonda,
quepodemoscalcularsegún:
v T
pm
s2 m/s= = =
λ 4
2
Silavibracióntienequerecorrer10m,comoesunavelocidad
constante:
v s
t t s
v p
p
10 m
2 m/s 5 s= = = =→
35. A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5 minutosen llegar desde un barco anclado en el mar a 600 m de la playa.
a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escribala ecuación de onda, en el Sistema Internacional de unidades,si la amplitud de las olas es de 50 cm. Considere la fase inicial nula.
b) Si sobre el agua a una distancia de 300 m de la playa existe una boyaque sube y baja según pasan las olas, calcule su velocidad en cualquierinstante de tiempo. ¿Cuál es su velocidad máxima?
(Castilla y León. Septiembre, 2006)
Sillegan15olasporminuto,significaquelafrecuenciaserá:
ν = ⋅ =15 olas
1 min
1 min
60 s0,25 Hz
Además,silasolastardan5minutosenrecorrer600m,podemosdeterminarsuvelocidaddepropagaciónasí:
v p600 m
5 min
1 min
60 s2 m/s= ⋅ =
Conlavelocidaddepropagaciónpodemosdeterminarlalongitud
deonda:
v v
pm/s
Hz8 m= ⋅ = = =λ ν λ
ν→
2
0 25,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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274
7El movimiento ondulatorio.
a) Laexpresióngeneraldeunaondaarmónicaes:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
+
2 0πλ
φ
Sielorigendecoordenadasesunpuntodelaplaya,lasondas
quepartendemaradentroyseaproximanalaplayaavanzan
enelsentidonegativodelasX,porloqueelsignoentre
lostérminosdelafaseserápositivo.Lafaseinicialesnula,
T =1/ ν =4syA =0,5m.Portanto:
y t x x sen= ⋅ ⋅ ⋅ +
=0 5 2 0 258
0, ,π ,, ( , , )5 0 5 0 25⋅ ⋅ + ⋅sen mπ πt x
b) Derivandolaexpresiónanteriorobtenemoslavelocidad:
v dy
dt
d t x
dt x
x sen= =
⋅ ⋅ + ⋅=
= ⋅
[ , ( , , )]
,
0 5 0 5 0 25
0 5
π π
00 5 0 5 0 25, cos( , , )π π π⋅ ⋅ + ⋅t x
A300mdelaplaya:
v t 300 0 5 0 5 0 5 0 25 300
0 25
m = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
=
, , cos( , , )
,
π π π
π ⋅⋅ ⋅ +cos( , )0 5 75π πt m/s
Portanto:
v 300 0 25 0 79máxima m/s m/s= =, ,π
36. Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal,en el sentido negativo del eje X, siendo 10 cm la distancia mínima entrepuntos que oscilan en fase. Sabiendo que la onda está generadapor un foco emisor que vibra con un movimiento armónico simple cuyafrecuencia es de 50 Hz y su amplitud, de 4 cm, determina:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentraen el origen de coordenadas y en t = 0 la elongación es nula.
c) La aceleración de máxima oscilación en un punto cualquierade la cuerda.
(Cantabria. Junio, 2007)
a) Calculamoslavelocidaddepropagacióndelaondaapartir
dev p=λ⋅ ν.
Delenunciado:λ=0,1myν=50Hz.Así:
v p m Hz 5 m/s= ⋅ = ⋅ =λ ν 0 1 50,
b) Laexpresióngeneraldeunaondaarmónicaes:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
+
2 0πλ
φ
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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275
Solucionario
El sonido
Sient =0laelongaciónesnula,eldesfaseinicialesnulotambién.
ComolaondasepropagaenelsentidonegativodelejeX,elsigno
entrelostérminosdelafaseserápositivo.A =0,04myT =1/ ν.
Portanto:
y t x
x = ⋅ ⋅ ⋅ +
=0 04 2 500 1
,,
sen π
== ⋅ ⋅ + ⋅0 04 100 20, ( )sen mπ πt x
37. La energía de una onda es proporcional:a) Al cuadrado de la amplitud.
b) A la inversa de la frecuencia.
c) A la longitud de onda.
(Galicia. Junio, 2003)
Laenergíadelaondaes:
E k A=1
2
2
Dondek =m ⋅ω2.Portanto,laúnicarespuestacorrectaeslaa).
38. Supongamos que se produce una onda armónica al lanzar una piedraa la superficie en calma de un estanque. Su amplitud:
a) Disminuye con la distancia al foco.
b) Disminuye con la raíz cuadrada de la distancia al foco.
c) Disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.d) Permanece constante.
Laondaarmónicaproducidaesbidimensional.Portanto:
A
A
r
r
1
2
2
1
=
Enestascircunstanciaslaamplituddelaondaenunpunto
esinversamenteproporcionalalaraízcuadradadeladistanciaalfoco.
Larespuestacorrectaeslab).
39. Supongamos que un altavoz produce una onda armónica en un espacioabierto. Su intensidad:
a) Disminuye con la distancia al foco.
b) Disminuye con la raíz cuadrada de la distancia al foco.
c) Disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.
d) Permanece constante.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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276
7El movimiento ondulatorio.
Setratadeunaondatridimensional,porloque:
I
I
1
2
22
12
=r
r
Laintensidaddeunaondatridimensionalenunpuntoesinversamente
proporcionalalcuadradodeladistanciaalfoco.
Larespuestacorrectaeslac).
40. Una onda de 40 Hz, que se propaga a 20 m/s, llega al límite con otro
medio formando un ángulo de 45°. La onda avanza en el nuevo medioformando un ángulo de 60° con la perpendicular a la frontera entreambos. Calcula la velocidad a la que se propaga la onda en el nuevo medioy la frecuencia y la longitud de la onda en cada medio.
Elrayoincidenteyelrefractadoenelnuevomediotendránlamisma
frecuencia.Lavelocidaddepropagaciónenelmediorefractadopuede
obtenerseapartirde:
sen sen
incidente refractado
refracta
i s
v v
v
= →
→ ddo incidentesen
sen
m/ssen
sen= ⋅ = ⋅v
s
i
20
60
45
°
°°= 24 5, m/s
Obtendremoslalongituddeondaparacadaunodelosmediossegún:
v v
pp
= ⋅ =λ ν λν
→
Entonces:
• λν
incidentep i m/s
Hz0,5 m= = =
v 20
40
• λν
refractadop r m/s
Hzm= = =
v 24 5
400 6125
,,
41. Explica cómo es posible que sonando dos altavoces en una sala vacía hayapuntos de la misma donde no se oiga ningún sonido. ¿Ocurre algo similarsi solo hay un altavoz?
Esposiblequeenundeterminadopuntolainterferenciaentre
lasondasdelosdosaltavocesresulteenunainterferenciadestructiva,
deformaquetenganlamismaamplitudperosignoopuesto
y,portanto,susumaseanula.Estonopuedeocurrirsisolo
hayunaltavoz,yaqueconsolounaondanoseproducen
interferenciasenningúnpunto.
Elúnicoefectoquesepodríaproducirconunsoloaltavoz
esunaatenuaciónenlospuntosdondelaondadirecta
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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277
Solucionario
El sonido
ylareflejadaenlasparedesdelasalalleguenconsignos
opuestos.Nuncasepodránanular,yaquelaondareflejadaestará
atenuaday,portanto,noserestaránamplitudesiguales,
perosísepodrádetectarunadisminuciónenelsonido
percibido.
42. Dos ondas que tienen la misma frecuencia, longitud de onday amplitud se están moviendo en la misma dirección y sentido.Si su diferencia de fase es π /2 y cada una de ellas tiene una amplitud
de 0,05 m, halle la amplitud de la onda resultante.(La Rioja. Septiembre, 2000)
Podemosobtenerlaondaresultantedelainterferenciadedosondas
armónicasapartirde:
y y y = +A B →
→ y A t k x A t k x = ⋅ - +
+ ⋅ - =sen senωπ
ω1 22
( )
== ⋅ - +
+ -
A t k x t k x sen senω π ω1 2
2( )
Utilizamoslarelacióntrigonométricarelativaalasumadelseno
dedosángulos:
sen sen sen cosα βα β α β
+ = ⋅+
⋅-
22 2
;
α ωπ
; t k x - +1
2
; β ω; t k x - 2
Entonces:
y A
t k x
= ⋅ ⋅
- +
22
1
sen
ωπ
α
+ -
⋅
- +
( )
cos
ω
ωπ
β
t k x
t k x
2
1
2
2⋅
- -
αβ
ω
( )t k x 2
2→
→ y A
t k x x
= ⋅ ⋅⋅ - ⋅ + +
⋅2
22
2
1 2
sen
ωπ
( )
ccos
( )k x x ⋅ - +
2 12
2
π
→
→ y A k x x
t k x
= ⋅ ⋅ ⋅-
+
⋅ ⋅ - ⋅22 4
2 1cos
πωsen
11 2
2 4
++
x π
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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278
7El movimiento ondulatorio.
Laamplituddeestaondaresultanteserá:
A A k x x
res. = ⋅ ⋅ ⋅-
+
22 4
2 1cosπ
Silasondassemuevenenlamismadirecciónysentido,habrápuntos
Pdelmedioqueseencuentrenalamismadistanciadelosfocos
dondeseoriginanlasondas.Paraesospuntos:
A k res. m m= ⋅ ⋅ ⋅ +
=2 0 050
2 40 071, cos ,
π
43. Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentidotienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cmy una amplitud de 0,02m. Determine la ecuación de la ondaresultante y su amplitud si las dos ondas difieren en fase:
a) En π /6. b) En π /3.
(La Rioja. Junio, 2007)
Podemosobtenerlaondaresultantedelainterferenciadedosondasarmónicassumandoambasondas:
y y y = +A B →
→ y A t k x A t k x
A t
= ⋅ - + + ⋅ - =
= ⋅
sen sen
sen
( ) ( )
[ (
ω φ ω
ω
1 2
-- + + -k x t k x 1 2φ ω) ( )]sen
Utilizamoslarelacióntrigonométricarelativaalasuma
delsenodedosángulos:
sen sen sen cosα βα β α β
+ = ⋅+
⋅-
22 2
;
α ωπ
; t k x - +12
; β ω; t k x - 2
y At kx t kx
= ⋅ ⋅- + + -
21 2sen
( ) (ω φ ω
α
))
cos( )
β
α
ω φ
2
1
⋅
- +⋅
t kx
- -( )ωβ
t kx 2
2→
→ y At k x x k x
= ⋅ ⋅⋅ - ⋅ + +
⋅
⋅2
2
2
1 2senω φ( )
cos( 11 2
2
+ +
x ) φ→
→ y Ak x x
t k x
= ⋅ ⋅⋅ - +
⋅ ⋅ -⋅
22
2 1 1cos
( ) (φωsen
++ +
x 2
2
) φ
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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279
Solucionario
El sonido
Laamplituddeestaondaresultanteserá:
A Ak x x
res. = ⋅ ⋅⋅ - +
22
2 1cos( ) φ
Paraestasondas:
k = = = -2 2
0 02100 1π
λ
ππ
, mm
a) Paraφπ
=
6
:
Ax x
res. = ⋅ ⋅⋅ -
+
2 0 02100
2 12
2 1, cos( )π π
ParapuntosPqueseencuentrenalamismadistanciadeambosfocos:
Ares. m= ⋅ ⋅
= ⋅ -2 0 0212
3 86 10 2, cos ,π
b) Paraφπ
=3
:
Ax x
res. = ⋅ ⋅⋅ -
+
2 0 02100
2 6
2 1, cos( )π π
ParapuntosPqueseencuentrenalamismadistanciadeambosfocos:
Ares. m= ⋅ ⋅
= ⋅ -2 0 026
3 46 10 2, cos ,π
44. Explica por qué lo que llamamos onda estacionaria no es una onda
de propagación.Lasondasestacionariasnosonpropiamenteondas,
yaquenopropaganlaenergíaenelmediocomolohacenlasondas
armónicas.Cadapuntodelmedioquesevesometidoaunaonda
estacionariavibraconunaamplitudquedependedesuposición
[2⋅A⋅cos(kx )].Enconsecuencia,laenergíadevibración
encadapuntoesdiferente,yexistenpuntos,losnodos,
enlosqueesnula.Diremos,enconsecuencia,quelasondas
estacionariasnosonondasdepropagación.
45. Explica las diferencias entre una onda pulsante y una onda estacionaria.
Unapulsaciónesuntipodeinterferenciaqueseproducecuando
coincidenenunmedioondasconfrecuenciassimilares.
Enelresultadodelasuperposicióndedosondasquetienenlamisma
amplitudyfrecuencialigeramentediferente,hayinstantes
enlosqueundeterminadopuntodelmediovibraconunaamplitud
sumadelasdosondasyotrosenlosquevibraconamplitud0.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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280
7El movimiento ondulatorio.
Laondaqueresultasellamapulsación,yesunaondacuyaamplitud
varíaperiódicamenteenuntiempoT mod..Lapulsaciónesunaonda
deamplitudmodulada.
Seproduceunaondaestacionariacuandointerfierendosondas
armónicasdelamismaamplitud,frecuenciaylongituddeonda
quesepropaganensentidosopuestosyconoposicióndefase.
Comoresultadodelasuperposición,cadapuntodelaondavibra
entornoalaposicióndeequilibrioconunaamplitudquedepende
desudistanciaalorigen.Laondaestacionariapresentavientres
(puntosqueoscilanconunaamplitudqueeseldobledeladelasondasquesesuperponen)ynodos(puntosqueestánsiempre
enlaposicióndeequilibrio).Dosvientressucesivosodosnodos
sucesivosestánseparadosentresíunadistanciadeλ /2,
ylaseparaciónentreunnodoyunvientresucesivoesλ /4.
46. Explica por qué se dice que una pulsación es una onda de amplitudmodulada.
Enelresultadodelasuperposicióndedosondasquetienenlamisma
amplitudyfrecuencialigeramentediferente,hayinstantes
enlosqueundeterminadopuntodelmediovibracon
unaamplitudsumadelasdosondasyotrosenlosquevibra
conamplitudnula.Laondaqueresultasellamapulsación,
yesunaondacuyaamplitudvaríaperiódicamenteenuntiempoT mod.
Lapulsaciónesunaondadeamplitudmodulada.
Sedenominadeamplitudmoduladaporquelaamplituddelaonda
varíaasuvezperiódicamente:
Onda1
Onda2
Pulsación
T mod
47. En una onda estacionaria generada por interferencia de dos ondas, se cumple:
a) La amplitud es constante.
b) La onda transporta energía.
c) La frecuencia es la misma que la de las ondas que interfieren.
(Galicia. Junio, 2005)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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281
Solucionario
El sonido
a) Falso:laondaresultantetienevientresynodos,ysuamplitud
dependedeladistanciaalorigen.
b) Falso:enunaondaestacionarianohaytransportedeenergía,
porloquenoesestrictamenteunaonda.
c) Verdadero.
48. Una onda estacionaria sobre una cuerda tiene por ecuación:
y = 0,02 ⋅ cos (π /2) x ⋅ cos 40πt
donde x e y se miden en metros, y t , en segundos.
1. Escribir funciones de onda para dos trenes de ondasque al superponerse producirán la onda estacionaria anterior.
2. Calcular la distancia que existe entre dos nodos consecutivos.3. Determinar la velocidad de un segmento de cuerda situado
en el punto x = 1 en cualquier instante.
(La Rioja. Septiembre, 2005)
Enunaondaestacionaria:
y y y = +A B →
→ y A t k x A t k x
A t k x
= ⋅ + + ⋅ - =
= ⋅ +
sen sen
sen
( ) ( )
[ ( )
ω ω
ω ++ -sen( )]ωt k x
Utilizamoslarelacióntrigonométricarelativaalasuma
delsenodedosángulos:
sen sen sen cosα βα β α β
+ = ⋅+
⋅-
22 2
;
α ω
π;
t k x - +1 2 ; β ω;
t k x - 2
y At k x t k x
= ⋅ ⋅+ + -
2 sen( ) ( )ω ω
α β
2
⋅+ -
cos( )ω
α
t k x (( )ω
β
t k x -
2→
→ → y A t k x y A k x t = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 2sen sen( ) cos( ) cos( ) (ω ω ))
Reescribimosnuestraondaestacionaria:
y x t = ⋅ ⋅
⋅ ⋅( ) =
= ⋅
0 022
40
0 02
, cos
,
cos π π
ccos senπ
ππ
240
2⋅
⋅ ⋅ -
x t
Comparando:
• 2 0,020,02
20,01 mA A= = =→
• k =π /2m-1 • ω =40πrad/s
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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282
7El movimiento ondulatorio.
1) Lafuncióndeondadelasondasquesesuperponenserá:
• y t x 1 0 01 402 2
= ⋅ ⋅ + ⋅ -
, sen ππ π
• y t x 2 0 01 402 2
= ⋅ ⋅ - ⋅ -
, sen ππ π
2) Ladistanciaqueseparadosnodosconsecutivosesλ /2:
k
k
= = = = = = =2 2 2
22 2
π
λ
λπ π
π
λ→ →4 m Distancia
4 m2 m
3) Obtenemoslavelocidadderivandolaposiciónconrespecto
altiempo:
v dy
dt
d x t
xx= =
⋅ ⋅
⋅ ⋅0 022
40, cos cos(π
π ))
, cos
=
= - ⋅ ⋅ ⋅
⋅
dt
x 0 02 40 2ππ
ssen( )40π ⋅ t
Parax =1m,v =0,yaque:
cosπ
20=
49. Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, tiene una longitudL = 1,2 m. Cuando esta cuerda se excita transversalmentea una frecuencia ν = 80 Hz, se forma una onda estacionariacon dos vientres.
a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondasen esta cuerda.
b) ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará otra ondaestacionaria en la cuerda? Representa esta onda.
(Aragón. Junio, 2003)
a) Dibujamoslaonda:
Enestecaso:
λ2
2
2=
⋅= =
LL 1,2 m
Lavelocidaddepropagaciónserá:
v p Hz m 96 m/s= ⋅ = ⋅ =ν λ 80 1 2,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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283
Solucionario
El sonido
b) Lafrecuenciadadasecorrespondeconelsegundo
armónico:
ν ν2 0
2
22=
⋅=
v
L
p
Lafrecuenciainmediatamenteinferiorparalaqueseproduce
unaondaarmónicaseráladelprimerarmónico(frecuencia
fundamental):
ν ν1 0
2
80
2 1 2
33 3=
⋅
= = =v
L
p m/s
m
Hz
⋅ ,
,
50. Una cuerda de 40 cm con sus dos extremos fijos vibra en un modocon 2 nodos internos.
¿Cuál es la longitud de onda de la vibración?
(R. Murcia. Junio, 2003)
Dibujamoslaonda:
Lacuerdavibraensutercerarmónico.Portanto:
λ3
2
3
2 0 4
3=
⋅=
⋅=
L , m0,267 m
51. Explique por qué, cuando en una guitarra se acorta la longitudde una cuerda, el sonido resulta más agudo.
(Andalucía. 2007)
Lacuerdadeunaguitarraformaunaondaestacionariaconnodos
enlosextremos:
Enestasituación:
ν ν1 02
=⋅
=v
L
p
Alacortarlalongituddelacuerda,disminuyeLy,portanto,aumenta
lafrecuenciadevibración.Lasfrecuenciasmásaltasseperciben
comosonidosmásagudos.
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284
7El movimiento ondulatorio.
52. La ecuación de una onda sonora que se propaga en la direccióndel eje X es: y = 4 ⋅ sen 2π(330t − x ) (SI)
Calcula:
a) La velocidad de propagación.
b) La velocidad máxima de vibración de un punto del medioen el que se transmite la onda.
c) Suponiendo que su atenuación es imperceptible hasta una distanciade 50 cm del foco, ¿cuál será la amplitud de la ondaa una distancia de 5 m del foco?
(Galicia. Septiembre, 2007)
a) Lavelocidaddepropagacióndeunaondaarmónicapuede
obtenersecomov p=λ⋅f .Obtendremoslosparámetros
porcomparaciónconlaexpresióngeneraldeunaondaarmónica:
y At
T
x x sen= ⋅ ⋅ ±
+
2 0πλ
φ
Comparando:
• ν = =1
T 330 Hz
• λ=1m
Portanto:
v p m Hz 330 m/s= = ⋅ =λ ν⋅ 330 1
b) Lavelocidadalaquevibranlospuntosdelmedioseobtiene
derivandolaexpresióndelaamplitudconrespectoaltiempo:
v dy
dt
d t x
dt x
x sen= =
⋅ ⋅ ⋅ -=
= ⋅ ⋅
[ ( )]4 2 330
2 330 4
π
π ⋅⋅ ⋅ ⋅ -cos[ ( )]2 330π t x
Portanto,suvalormáximoserá:
v máx. Hz m m/s= ⋅ ⋅ = ⋅2 330 4 8 3 103π ,
c) Laondasonoraesunaondatridimensional.Portanto,laamplitud
enunpuntoesinversamenteproporcionalaladistanciaalfoco:A
A
r
r
1
2
2
1
=
Sienelpunto1,situadoaunadistanciar 1=0,5mlaamplitudes
lamismaqueenelorigen(atenuaciónimperceptible),seráA1=4
m.QueremosobtenerlaamplitudA2enelpunto2,donder 2=5m:
A
A
r
r AA1
2
2
1 2
2
4 5
0 54
0 5
5= = = ⋅ =→ →
m m
mm
m
m0,4 m
,
,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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285
Solucionario
El sonido
53. Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W.Calcule:
a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente.
b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonoraes de 130 dB?
Dato: Intensidad umbral de audición, I0 = 10−12 W ⋅ m−2.
(C. Madrid, 2007)
a) Elsonidoesunaondatridimensional,porloquesusfrentes
deondasonesféricos.Determinamoslaintensidad
a10mdelafuentesegún:
I I 10 m
10 m
10 mW
m0,064= =
⋅=
⋅=
P
S
P
r 4
80
4 102 2π π( ) ( )→ WW/m2
b) Veamosprimeroaquéintensidadcorrespondeelnivelindicado
enelenunciado,130dB:
β = ⋅ = ⋅ =-10 130 10 10 13012log log l
I I 130 dB 130 dB
I → →
oog
I 130 dB
10 12-→
→ →
I I
130 dB130 dB
2W/m W10
10 10 10 1012
13 13 12
-
-= = ⋅ = / /m2
Relacionándolaconlaintensidada10mdelafuentepodemos
calcularladistanciaalaquesepercibeconesaintensidad:
I
I
I
I
1
2
22
1
210
102
2= =
r
r
r
r
r
→ →
→
130 dB
m
m
130 dB
1
( )
( )
330 dB m
m
130 dB
2
2m
W/m
W/m0= ⋅ = ⋅ =r 10
1010
0 064
10
I
I
,,,8 m
54. Una pequeña fuente sonora emite en el espacio con una potenciade 10 W, uniformemente distribuida en todas las direcciones(onda esférica).
a) Calcula la intensidad del sonido a 10 m de dicha fuente, en unidades
del SI.b) La intensidad de un sonido también puede medirse en decibelios (dB).
Explica en qué consiste la escala decibélica de medida de intensidadacústica.
c) ¿Cuál es la intensidad acústica, en dB, producida por nuestra fuentea 10 m de distancia?
La intensidad umbral del oído humano es I0 = 10−12 W/m2.
(Aragón. Septiembre, 2002)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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286
7El movimiento ondulatorio.
a) Paraunaondaesférica(tridimensional):
I = =⋅
=⋅
=P
S
P
r 4
10
4 100 008
2 2π π
W
mW/m2
( ),
b) Dadoquelarespuestasubjetivadeloídohumanoalaintensidad
delsonidonoeslineal,elniveldeintensidadsonoraresultamás
significativosiserepresentaenunaescaladiferentealasunidades
naturales.Estanolinealidadimplicaqueparapoderapreciar
queelvolumendeunsonidoeseldobledelotro,suintensidad
debeserdiezvecesmayor,ynoeldoble.Larelaciónentreambosnoeslogarítmica.
Sellamaniveldeintensidaddelsonidoβalarelación:
β = ⋅100
logI
I
I eslaintensidaddelaondasonoraquellegahastanosotros
eI 0eslaintensidadumbral(I 0 = 10-12W/m2).
Elniveldeintensidaddelsonidoesunamagnitudadimensional
y,asícalculada,seexpresaendecibelios(dB).c) Hemosobtenidoeldatodelaintensidadenunidadesnaturales
enelapartadoa).Deacuerdoconloexpuestoenelapartado
anterior:
β = ⋅ = ⋅ =-
10 100 008
012
log log,I
I 1099,031 dB
55. a) ¿Qué es la intensidad de una onda y en qué unidades se mide?
b) ¿La intensidad depende de la amplitud, de la frecuencia, o de ambas?c) ¿Qué es la intensidad sonora y en qué unidades se mide?
d) ¿Cuál es la intensidad sonora de una onda cuya intensidades de 10−6 W ⋅ m−2?
Dato: intensidad umbral = 10−12 W ⋅ m−2.
(Cantabria. Junio, 2007)
a) Intensidaddeunaonda(I )eslapotenciaporunidad
delamagnitudquedefineelfrentedeonda.• Paraunaondaunidimensional,eslapotenciaquealcanza
elpunto.
• Silaondaesbidimensional,eslapotenciaporunidad
delongitud.EnelSI,laintensidaddeunaonda
bidimensionalsemideenW/m.
• Paraunaondatridimensional,eslapotenciaporunidad
desuperficie.EnelSI,laintensidaddeunaonda
tridimensionalsemideenW/m2.
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287
Solucionario
El sonido
b) Comolaintensidaddependedelapotencia,analizaremos
ladependenciadeestaconlafrecuenciaylaamplitud:
P dE
dt
d m A
dt
dm T
= =
⋅ ⋅
=
⋅
1
2
1
2
22 2ωπ
⋅
=
= ⋅ ⋅ ⋅
2
2
2 2 22
A
dt
Adm
dt π ν
Así,resultaquelapotencia(y,portanto,laintensidad)depende
delafrecuenciaydelaamplituddelaonda.
c) Laintensidadeslacualidaddelsonidoquepermiteidentificarlo
comofuerteodébil.Estárelacionadaconlaamplituddelaonda
sonora:lossonidosfuertessecorrespondenconamplitudesaltas,
ylosdébiles,conlasbajas.SepuedemedirenW/m2,
comolaintensidaddecualquierondatridimensional,peroresulta
mássignificativomedirloenunaescalalogarítmicaendB.
Sellamaniveldeintensidaddelsonidoβalarelación:
β = ⋅100
log I
I
I eslaintensidaddelaondasonoraquellegahastanosotroseI 0
eslaintensidadumbral(I 0 = 10-12W/m2).
Elniveldeintensidaddelsonidoesunamagnitudadimensional
y,asícalculada,seexpresaendecibelios.
d) Calculamoselniveldeintensidadsonora:
β = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
-
-10 10
10
100
6
12log log
I
I 10 6 60 dB
56. En un partido de fútbol un espectador canta un gol con una sonoridadde 40 dB. ¿Cuál será la sonoridad si gritaran a la vez y con la mismaintensidad sonora los 1000 espectadores que se encuentran viendoel partido?
I0 = 10−12 W/m2.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2002)
Pasamoselniveldeintensidadsonorade40dBaintensidad
enunidadesnaturales:
β = ⋅ = ⋅-
10 40 10100
12log log
I
I
I → →
→ → →logI I
10
40
104
1010
12 12
4
- -= = =
→ I = ⋅ =- -10 10 104 12 8W/m W/m2 2
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288
7El movimiento ondulatorio.
Laintensidadproducidaporlos1000espectadoresserá:
I I
I
T2
T2
W/m
W/m
= ⋅ = ⋅
=
-
-
1000 1000 10
10
8
5
→
→
Obtenemoselniveldeintensidadsonoracorrespondiente:
β
β
= ⋅ = ⋅
= ⋅
-
-10 10
10
10
0
5
12log log
I
I
T2
2
W/m
10 W/m→
→ 77 70 dB=
Comoseve,alunir1000vocesseconsigueaumentarelnivel
deintensidadsonoraen:
70dB-40dB=30dB
57. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuentepuntual es directamente proporcional a la distanciaa la fuente.
b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumentode la intensidad del sonido en un factor de 1000.
(C. Madrid, 2006)
a) Laondasonoraestridimensional.Enunaondatridimensional,
laintensidaddelaondaenunpuntoesinversamente
proporcionalalcuadradodeladistanciaalfoco.
Larespuestaesfalsa.
I
I 1
2
2
2
12=
r
r
b) Ahoratenemos:
ββ
β
= ⋅ = =1010
100 0 0
10log logI
I
I
I
I
I
→ →
Siβ'=β+30dB:
I
I
I
I
'
'
'
0
10
0
30
10 10
30
10 10
10
10 10 10
=
= = =
++
β
β β β
→
→
I I I
I
I / 0
10 10
30
10
0
3
⋅ = ⋅
Esdecir:
I
I
I
I
I I '
'
0 0
1000 1000= ⋅ = ⋅→
Larespuestaesverdadera.
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289
Solucionario
El sonido
58. Un muro de 60 cm tiene un espesor de semiabsorción de 80 cm.a) Si al muro llega una onda de 5 W/m2, ¿qué intensidad llega
a la segunda cara del muro?
b) ¿Qué espesor debería tener para que la intensidad del sonidose reduzca en un 80%?
Podemoscalcularelcoeficientedeabsorcióndelmedioapartir
deldatodelespesordesemiabsorción:
I
I
0
0 1 22
1
2
1 2
= ⋅
= - ⋅
=
- ⋅
eDβ
β
β
/
ln / → →
→
D
-- = - =ln ( , ) ln ( , )
, /
0 5 0 5
0 81 2D 0,87
Conestedatopodemosobtenerlaintensidadquellegaalasegunda
caradelmurode60cm:
I I = ⋅ = ⋅ =- ⋅ -0
0 65e e 2,97 W/m0,87 2β x · ,
Ahorabuscamoselespesorparaelquelaintensidadsereduce
al20 %delvalorinicial:
0 2 0 20 0 0 2
0 2
0 2, ln ( , )
ln
,,
,
⋅ = ⋅ = - ⋅
=
- ⋅I I e β βD D
D
→ →
→(( , )
,
0 2
0 87-= 1,85 m
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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290
NOTAS
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La luz y la óptica8
291
• Laluzcomoproblemafísicohacaptadoelinterésdeloscientíficos
alolargodemuchosaños.Elestudiodeltema,aúnaestenivel,debe
reflejarlacontroversiaafindequeelalumnadocomprendacómo
surgieronlasdistintassolucionesycómolasevidenciasexperimentales,
olafaltadeellas,resultarondeterminantesparalaaceptación
delasteoríasvigentes.
• Eltemacomprendeloqueseconocecomoópticafísica
yópticageométrica.Enlaprimeraparteseaplicanalaluzlosprincipios
establecidoseneltemaanteriorparaelmovimientoondulatorio.
Enlasegundautilizamoslasconocimientosclásicosdelaópticageométricaparaconstruirlaimagenquelosespejos
ylaslentesformandeunobjetocuandoesteseencuentraadistintas
distanciasdeellos.
PRESENTACIÓN
• Conocerlacontroversiahistóricaacercadelanaturalezadelaluz.
Analizarlasevidenciasdesunaturalezacorpuscularydesunaturalezaondulatoriaycómolosestudiosteóricosdecantaronlacontroversia
haciaunateoríadual.
• Identificarlaluzcomounfenómenoondulatorio.Relacionar
lascaracterísticasdeunaradiaciónluminosa(longituddeonda,
frecuencia,periodoyvelocidaddepropagación)conlaecuación
delaondacorrespondiente.
• Conocerlosfenómenosrelacionadosconlapropagaciónrectilínea
delaluz(sombrasypenumbras,reflexiónyrefracción)ylasleyes
quelosgobiernan.
• Comprenderalgunosefectosexperimentalesrelacionadosconlosfenómenosanteriores,comolasilusionesópticas
relacionadasconlareflexiónylarefracción,lareflexióntotal
ylafibraóptica,laaparicióndelarcoiris,etc.
• Analizarelespectroelectromagnéticodesdeelpuntodevista
delosefectosdelasradiacionesenrelaciónconlaenergíaquetransportan.
• Conocerlosfenómenosrelacionadosconelcarácterondulatorio
delaluzycomprenderhechosquesonconsecuenciadelosmismos.
Analizardeformaespeciallasinterferenciasproducidas
porlacoincidenciaenelespacioyeneltiempodeondascoherentesyladifraccióncuandolaluzatraviesaobstáculosdepequeñotamaño
(experienciasdeYoungyFresnell).
• Entenderelconcepto«luzpolarizada»yconoceralguna
desusaplicaciones.
• Sercapazdeelaborarlaimagenqueunespejo(planoocurvo)ounalente
delgadaformandeunobjeto,dondequieraqueesteseencuentre.
Obtenerresultadosdeformagráficaymatemática.
• Comprenderelfuncionamientodealgunosinstrumentosópticos,
muyespecialmenteelojohumano.
OBJETIVOS
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292
8 La luz y la óptica
• Análisishistóricodelanaturalezacorpuscularyondulatoria
delaluz.
• Laluzcomounejemplodemovimientoondulatorio.
Característicasdelaondaluminosaysurelaciónconlaecuación
delaonda.
• Fenómenosrelacionadosconlapropagaciónrectilínea
delaluz(sombrasypenumbras,reflexiónyrefracción).
Leyesquelosgobiernan.
• Estudiodelespectroelectromagnético.
• Fenómenosrelacionadosconelcarácterondulatoriodelaluz.
Interferencias(experienciadeYoung),difracción(experiencia
deFresnell)ypolarización.
• Laópticageométrica.PrincipiosbásicosynormasDIN.
• Reflexiónenespejosplanosycurvos.Obtencióndeimágenes
deformagráficayanalítica.
• Refracciónenundioptrioesférico.
• Refracciónenlentesdelgadas.Obtencióndeimágenesdeformagráficayanalítica.
• Estudiodelojoyalgunosinstrumentosópticossencillos.
Conceptos
• Habituarseadistinguirentreunefectoópticoyelfenómenoreal
queloproduce.
• Adquirirdestrezaenelestudiográficoquepermiteanalizar
laimagendeunobjetoquesepuedeobtenerpormediodeespejos
ylentesdelgadas.
• Comprenderlanecesidaddelestablecimientodenormasalestilo
delasnormasDIN.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Reconocerlaimportanciadelaexperimentaciónparalaaceptación
deteoríascientíficas.
• Comprenderelcarácterdemocráticodelacienciaalcomprobar
quelasteoríasdeuncientíficomenosreconocidosepueden
imponeralasdeotrosdemásprestigiosihayexperiencias
quelasavalen.
• Asumirlaimportanciadelacorrectarepresentacióngráfica
delosproblemascomomedioparafacilitarsuresolución.
Actitudes
CONTENIDOS
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293
programación de aula
Deformaanálogaaloquesucedíaeneltemaanterior,aquísemanejanconceptos
quetienenampliarepercusiónenaspectosnoacadémicos,loquesepuedeaprovechar
paraunaeducaciónenvalores.
1. Educación para la salud
Enlosúltimosañosseviertemuchainformaciónacercadelospeligros
deunaexposiciónincontroladaalosrayosultravioletasylanecesidaddeprotegerse
frenteasusefectos.Estosrayosformanpartedelespectroelectromagnético,
yelestudiodelmismopuedeayudaracomprenderelporquédeesanecesidad.
Asimismo,sepuedeaprovecharparacomentarelefectodeotrostipos
deradiaciones,desdelasenergéticasradiacionesionizantes,quejustificaneltemor
aunescaperadiactivo,hastalasmuchomenosinofensivasradiacionesderadio,
televisiónotelefoníamóvil.Sielprofesorloconsideraconveniente,puedeabrir
undebateparaqueelalumnadomuestresustemoresysepuedaanalizarlabase
científicadelosmismos.
2. Educación para el consumidor
Lasespecificacionesdemuchosaparatosquecompranlosjóvenesincluyen
magnitudescuyosignificadoseestudiaenestetema.Puedeserinteresantehacerunarecopilacióndelasqueaparecenenunaseriedeartículosdeusofrecuente
yestudiarsusignificado.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Conociendolosparámetroscaracterísticosdeunaradiaciónluminosa(periodo,
frecuencia,amplitud,longituddeondayvelocidaddepropagación),obtener
laecuacióndelaonda,yviceversa.2. Apartirdelasleyesdelareflexiónylarefracción,localizarlaimagendeunobjeto
cuandolosrayosdeluzlleganalasuperficiedeseparaciónentredosmedios
ysepropaganonoporelsegundo.
3. Determinarsienunasituaciónconcretasepuedeproducironoreflexióntotal
y,ensucaso,calcularelángulolímite.
4. Conocerelespectroelectromagnético.Sinnecesidadderecordardememoria
losdatosconcretosdelasradiaciones,relacionarsuenergíaconlosefectos
queprovocan.
5. Explicarlasseñalesqueresultandelainterferenciadedosondasdeluzcoherentes.Relacionarlosmáximosylosmínimosconsuposiciónsobreunapantallaylalongitud
deondadelaradiación,paraunainstalacióndeterminada.
6. Explicarlasfigurasqueresultandeladifraccióndeunhazdeluzmonocromática
atravésderendijasuobstáculospequeños.
7. Explicarelfenómenodepolarizacióndelaluzyconoceralgunadesusaplicaciones.
8. Sercapazdedeterminarlaimagenqueunespejo(rectoocurvo)ounalentedelgada
dandeunobjeto,dependiendodedóndeseencuentreeste.Sedebedescribir
laimagenqueresultaporprocedimientosgráficosyanalíticos.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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294
8 La luz y la óptica
1. Un rayo de luz que viaja por un medio con velocidad de 2,5 ⋅ 108
m/sincide con un ángulo de 30°, con respecto a la normal, sobreotro medio donde su velocidad es de 2 ⋅ 108 m/s.Calcula el ángulo de refracción.
(C. Valenciana. Junio, 2007)
Deacuerdoconlasleyesdelarefracción:
sen sen
incidente refractado
i r
v v =
Sustituyendolosdatosdelenunciado:
sen sen sen senrefractado
incidente
r i r = ⋅ =
v
v → 330
2 10
2 5 100 4
8
8° ⋅
⋅
⋅
=
m/s
m/s,, →
→ r = =arc sen 23,6( , )0 4 °
2. La figura muestra un rayo de luz que avanzapor el aire y se encuentra con un bloque de vidrio.La luz en parte se refleja y en parte se refracta.Calcular la velocidad de la luz en este vidrioy su índice de refracción.
(n aire =1; c = 3,00 ⋅ 108 m/s.)
Aire
Vidrio
60°
70°
(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)
Elánguloqueformaelrayoreflejadoconlahorizontalnospermite
conocerelángulodeincidencia.Comoseapreciaenlaimagen:
Aire
Vidrio
60°
70°
i i
i = - =90 60 30° ° °
Tambiénapartirdelaimagenpodemoscalcularelángulo
derefracción:
r
= - =90 70 20° ° °
Calculamoslavelocidaddepropagacióndelaluzenelvidrio
apartirdelasleyesdelarefracción:
sen sen
incidente refractado
i r
v v = →
→ v v refractado incidentesen
sen
sen
se= ⋅ =
r
i
20°
nnm/s m/s
303 10 2 05 10
8 8
°⋅ ⋅ = ⋅,
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295
Solucionario
Pordefinición,sepuedecalcularelíndicederefracciónasí:
n c
v = =
⋅
⋅=
3 10
2 05 1046
8
8
m/s
m/s1
,,
3. Un rayo de luz monocromática que se propaga por el aire incidesobre una superficie de agua. Determina el ángulo de incidenciapara el cual el rayo reflejado es perpendicular al refractado.(El índice de refracción del agua vale 1,33.)
(Islas Baleares. Junio, 2006)
DeacuerdoconlaleydeSnell:
n n incidente refractadosen sen⋅ = ⋅i r
Laimagennospermiteestablecer
unarelaciónentrelosángulosincidente
yrefractado.Delenunciadosabemos
que:
a b+ = 90°
Enelesquema:
r i r i r i + + + = + + = = -a b 180 90 180 90° °→ →º º
Portanto:
n n incidente refractadosen sen sen⋅ = ⋅ ⋅ =i r i → 1 11 33 90, ( )⋅ -sen ° i
r
Comosen ( ) cos90° - =i i
:
1 1 33 1 33 1 3⋅ = ⋅ = → =sen cossen
cos
tgi i i
i
i
, , ,→ 33 53→ i = °
4. Un haz de luz monocromática incide desdeel aire sobre dos placas planas transparentesde índices de refracción n 1 = 2,30 y n 2 = 1,73
como indica la figura. Determina el ángulode refracción φ de la figura.
(Castilla-La Mancha, 2006)
DeacuerdoconlaleydeSnell:
f
60°
n 1=2,30
n 2=1,73
n n ⋅ = ⋅sen sen1 2i r 1
Enelprimercambiodemediocalculamoselángulo
derefraccióndelprimermedioalsegundo.
Aire
Agua
ba
i i
r
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296
8 La luz y la óptica
Esteánguloserá,asuvez,elángulodeincidenciadelcambio
delsegundomedioaltercero( )r i 1 = 2 .
n n ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen sen1 1 1i r r 1 1 60 2 30→ →° ,
→ →sensen
0,3765 arc sen1 1r r = = =60
2 300 3765
°
,( , )) → r 1 22,12 = °
DenuevoaplicandolaleydeSnellpodemosobtenerelángulopedido:
n n
i r
1 2sen sen⋅ = ⋅ ⋅
=
i
2 2 30 0 3765
2 1
f → , , == ⋅1 73, sen f →
→ → →sen 0,5 arc sen 3f f f=⋅
= = =2 30 0 3765
1 730 5
, ,
,( , ) 00°
5. ¿Cuál es el ángulo límite para la reflexión total interna en el aguade un lago? El índice de refracción del agua es 1,33.
(La Rioja. Junio, 2006)
Localcularemosteniendoencuentaqueelánguloderefraccióncorrespondientedebeser90°.EnfuncióndelaleydeSnell,obtenemoselángulodeincidencialímiteparareflexióntotal:
n n 1 2sen sen sen sen⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅i r i → →1 33 1 90, °
sensen
0,75 sen 0,75 48i i i = = = =90
1 33
°
,arc ( )→ → ,,6°
6. El ángulo límite vidrio-agua es de 60°. Un rayo de luz, que se propaga
por el vidrio, incide sobre la superficie de separación con un ángulode 45° y se refracta dentro del agua.
a) Explique qué es el ángulo límite y determine el índice de refraccióndel vidrio.
b) Calcule el ángulo de refracción en el agua.
Dato: índice de refracción en el agua, n a = 1,33.
(Andalucía, 2006)
a) Sedenominaángulolímiteocríticoalmayoránguloquepuedeformarunrayoincidenteconlanormalparaqueseproduzcarefracción;unángulodeincidenciamayorqueelángulolímiteproducereflexióntotal.
Vidrio
Agua
Ángulolímite
i
r
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297
Solucionario
b) Esteángulodeincidenciaserátalqueelánguloderefracción
seade90°.Paraunángulodeincidenciamayornohabrá
fenómenoderefracciónyseproduciráreflexióntotal.
Obtenemoselíndicederefraccióndelvidrio(medioincidente)
apartirdelaleydeSnell,teniendoencuentaqueelángulo
refractadodebeserde90°:
n n n
n
1 2 1
1
60 1 33 90⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen seni r → →
→
° , º
==⋅
=1 33 90
60
, sen
sen
1,54°
°
b) NuevamenteutilizandolaleydeSnell(medioincidente:vidrio,
mediorefractado:agua):
n n 1 2 1 54 45 1 33⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen sen
s
i r r → →
→
, ,°
eensen
0,81
arc sen
r
r
=⋅
=
=
1 54 45
1 33
0 81
,
,
( , )
°→
→ →→ r = 54°
7. Si el índice de refracción del diamante es 2,52, y el del vidrio, 1,27:
a) La luz se propaga con mayor velocidad en el diamante.
b) El ángulo límite entre el diamante y el aire es menor que entreel vidrio y el aire.
c) Cuando la luz pasa del diamante al vidrio, el ángulo de incidenciaes mayor que el ángulo de refracción.
(Galicia. Junio, 2005)
a) Enestecaso:
n c
v v
c
n = =→
Laluzsepropagaráamayorvelocidadenelmedioconmenor
índicederefracción.Enestecasosepropagaráconmayor
velocidadenelvidrio,luegolaafirmaciónesfalsa.
b) Elángulolímiteesaquelqueproduceunánguloderefracción
de90°conlanormal.UtilizamoslaleydeSnellparadeterminar
elángulolímite:
n n
n
n
n
n
1 2
2
1
2
1
90
⋅ = ⋅
= ⋅ =
sen sen
sen sen
i r
i i
→
→ →º
límite arc sen=
n
n
2
1
Paraeldiamante:
i límite arc sen 23,38=
=1
2 52,°
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298
8 La luz y la óptica
Paraelvidrio:
i límite arc sen 51,94=
=1
1 27,°
Portanto,laafirmaciónesverdadera.
c) Cuandolaluzpasaaunmediomenosrefringente(menorn ),
sealejadelanormal.Enestecasoocurreasí,puesto
queeldiamantetienemayoríndicederefracciónqueelvidrio.
Portanto,elánguloderefracciónserámayorqueeldeincidencia.
Laafirmaciónesfalsa.
8. Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de unalámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un ángulo de incidenciade 30°. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cmy su índice de refracción es 1,5.
a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que formael rayo que emerge de la lámina con la normal.
b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.(Andalucía, 2006)
a) Podemosverenelsiguientediagramacuáleselcaminoseguido
porelrayoalincidirsobrelaláminadevidrio:
Aire
Aire
d
e
Rayo
emergente
Rayo
incidente
Vidrio
i 1
Elrayoqueemergedelaláminaformaunánguloconlanormal
igualalqueformaelrayoincidente.Sielángulo
deincidenciaesde30°,elrayoqueemergeformaráunángulo
tambiénde30°conlanormal.Locomprobamosutilizando
laleydeSnell.
• Entreelaireyelvidrio:
n n 1 1 2
1 30 1 5
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
sen sen
sen sen se
1
1
i r
r
→
→ →° , nn 1r = 0 33,
r 1
i 2
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299
Solucionario
• Entreelvidrioyelaire.
Elánguloderefracciónanterior
eselángulodeincidenciaeneste
caso( )i r 2 = 1 :
n n
n
2 2 3
1 1
⋅ = ⋅
=
sen sen 2i r
→
1 5 0 33 1⋅ = ⋅ sen 2r → →, ,
→ →sen 2 2r r = =0 5 30, °
b) Ampliandolazonaquemuestra
elcaminodelaluzdentrodelvidrio
sededuce,portanto,que:
sen 1 1r r = =0 33 19 45, ,→ →°
r 1
e s r
1
r 1
1r = 0 94cos ,→
Portanto:
e s s e
= ⋅ = = =coscos ,r
r 1
5 cm5,32 cm
→
10 94
9. Sobre un prisma cúbico de índice de refracción n situado en el aire incide un rayo luminosocon un ángulo de 60°. El ángulo que forma el rayoemergente con la normal es de 45°. Determine:
a) El índice de refracción n del prisma.
b) El ángulo que forman entre sí la dirección
del rayo incidente en A con la dirección del rayo
60°
B
A
45°
emergente en B.
(Castilla y León. Junio, 2007)
a) Apartirdelaley
deSnellobtenemos
elíndicederefracción
pedido:
n n n
n
1 1 2
2
2
1 60 45⋅ = ⋅
⋅ = ⋅sen sen
sen sen1i r
→
→ →
→
º °
== =sen 60
sen 451,225
°
°
b) Téngaseencuentaque
lasegundarefracciónsehace
i 2
r 2
B
A
45°
60°
sobreunacaralateraldelprisma.
i r 2 90 90 45 45= - = - =° ° °1 º
r 2
b
n 1
n 1
n 2
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300
8 La luz y la óptica
AplicamoslaleydeSnellaestasituación:
n n 2 2 1 1 225 45 1⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen sen2 2i r r → →, °
→ → →sen arc sen2 2 2r r r = = =0 866 0 866 60, ( , ) °
Elángulopedidoenelenunciadoes:
r 2 - = - =b 60 30 30° ° °
10. ¿Es posible aprovechar el fenómeno de la refracción de la luz para generarun arco iris iluminando las gotas de lluvia con un haz láser de luz roja?
Noesposible.Laradiacióndeunláserdeluzrojaesunaradiación
puraformadaporunasolafrecuenciaysepropagatoda
aunadeterminadavelocidad.Notienecomponentesdiversas
propagándoseadistintasvelocidadescomolaluzblanca.
Solosepuedesepararunaluzenunarcoiriscuandolaluzestá
formadaporradiacionesdedistintasfrecuenciasquesepropagan
juntas,perocadaunatieneunavelocidaddepropagacióndiferente
cuandopasaaotromediodistintodelaire.
11. Explica en qué consiste el fenómenode dispersión de la luz.El índice de refracción del agua varía,dentro del espectro visible, entren R = 1,330 para luz de color rojoy n V = 1,344 para luz de color violeta.Un rayo de luz blanca incidedesde el aire (n = 1) sobre la superficie
j
dV
R
en calma de una piscina, con ángulo de incidencia j = 60°. Calculala dispersión angular (ángulo δ de la figura) que se observa en la luzvisible refractada.
(Aragón. Septiembre, 2005)
Sellamadispersiónoesparcimientoalprocesoquesepara
unconjuntodeentesfísicosquesepropaganjuntos.Elprisma
produceladispersióndelaluz.
Cuandolaluzdelsolatraviesaunprisma,observamos
sudescomposiciónenloscoloresdelarcoiris.Larazónestriba
enquelaluzdelsoleselresultadodeotrasradiacionesmássimples.
Enelaire,todasellassepropaganalamismavelocidad(c ),
poresoapreciamoselefectoconjuntoqueeslaluzblanca.
Peroenunmediodiferente(elvidriooelagua),cadaradiación
sedesplazaaunavelocidadpropia,loquehacequesusángulos
derefracciónseandiferentes(recordarlaleydeSnell).
Elfenómenoserepitealsalirdelasegundacara,loqueincrementa
laseparaciónentrelasradiacionesypermitequeseaprecien
loscoloresdeformadiferenciada.
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301
Solucionario
Calculamoselánguloderefracciónparalaluzrojayparalavioleta.
Ladiferenciaentreestosdosángulosseráladispersiónangular
quesepide.UtilizamoslaleydeSnellencadacaso.
Luzroja:
n n 1 1 60 1 33⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen senR R Ri r r → →° ,
→ → →sensen
0,65 arc senR R Rr r r = = =60
1 330 65
°
,( , ) = 40,6
Luzvioleta:
n n 1 1 60 1 344⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen senV V Vi r r → →° ,
→ →sensen 60
0,644 arc sen 0,644V Vr r = = =°
1 344,( ) →→ r V 40,1 = °
Portanto:
d = - = - =r r R V 0,5 40 6 40 1, ,° ° °
12. a) Razone si tres haces de luz visible de colores azul, amarillo y rojo,
respectivamente:iii) Tienen la misma frecuencia.
iii) Tienen la misma longitud de onda.
iii) Se propagan en el vacío con la misma velocidad.
b) ¿Cambiaría alguna de estas magnitudes al propagarse en el agua?
(Andalucía, 2006)
a) Acadacolorlecorrespondenunalongituddeonda
yunafrecuenciadeterminadas.Larelaciónentrelalongitud
deondaylafrecuenciavienedadaporlavelocidaddepropagacióndelaradiaciónelectromagnéticaenesemedio.
Cuandolaluzpasadeunmedioaotro,varíasuvelocidad
depropagaciónylalongituddeonda,peronosufrecuencia,
queescaracterísticadecadacolor.
v = ⋅λ ν
Enelaire,lavelocidaddepropagacióndetodaslasradiaciones
queformanlaluzes3⋅108m/s,perosuvalorcambiaenelagua
paracadaradiación.Portanto:
iii) Falso:lafrecuenciaescaracterísticadecadacolor.
iii) Falso:cadacolortieneunalongituddeondayfrecuencia
determinadas.
iii) Verdadero:enelvacíonoseaprecianloscolorescomponentes
delaluzblancaporquesepropagantodosalamismavelocidad.
b) Alpropagarseenelagua,lavelocidaddecadacolor
ysulongituddeondavarían,mientrasquesufrecuencia
permanececonstante.
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302
8 La luz y la óptica
13. Un haz de luz roja que se propaga en el vacío tiene una longitudde onda de 650 ⋅ 10-9 m. Al incidir perpendicularmente sobrela superficie de un medio transparente la longitud de onda del hazque se propaga en el medio pasa a ser de 500 ⋅ 10-9 m.
a) Calcular el índice de refracción del medio para esa radiación.
b) Notar que un rayo de luz que se propagase en el vacío y cuya longitudde onda fuese de 500 ⋅ 10-9 m sería de color verde.¿Quiere esto decir que la luz que se propaga en el medio transparentepasa a ser de ese color?
Dato: c = 3 ⋅ 108 m/s.(P. Asturias. Junio, 2006)
a) DeacuerdoconlafórmuladePlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅νλ
Paraelcasodelvacíoydelmediodondelavelocidad
delaluzesv medio:
• E h h c vacío vacío
vacío
= ⋅ = ⋅νλ
• E h h v
medio mediomedio
medio
= ⋅ = ⋅νλ
Alcambiardemedio,laenergíadelosfotonesserálamisma;
portanto,será:
E E h c
h v c
vacío medio
vacío
medio
medio va
= ⋅ = ⋅→ →
λ λ λccío
medio
medio
=v
λ [1]
Porotraparte,sabemosque,pordefinición:
n c
v n
v
c = =
medio
medio→
1 [2]
Entonces,retomando[1]yusando[2]:
c
c
v
c n ⋅=
⋅= ⋅
λ λ λ λvacío
medio
medio vacío medio
→1 1 1
→→
→n = =⋅
⋅=
-
-
λ
λ
vacío
medio
m
m
650 10
500 101 3
9
9,
b) No,lacoloraciónsemantienealcambiardemedio.Cuando
laluzpasadeunmedioaotro,losfotonesquelaintegran
pasanalnuevomedioconlaenergíaquetransportan
(esconstante).Poresosemantieneelcolor.Noobstante,como
enelnuevomediosedesplazaránaunavelocidaddistinta,
cambiarálalongituddeondadelaradiación.
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303
Solucionario
14. Se ilumina con un láser de helio-neón que emite una luz roja de 633 nmuna lámina en la que se han hecho dos rendijas y se recogela interferencia que resulta en una pantalla situada a 1 m de la lámina.Se observa que el centro de la tercera banda brillante está 47 mmpor encima del punto en que incidiría la luz del láser si no estuviesela lámina. Calcula:
a) La separación entre las rendijas.
b) La distancia a la que se encontrará el centro de la segunda y la cuartabanda brillante.
a) Podemosobtenerlaseparaciónentrerendijas,d ,apartir
delaexpresión:
d n L
y = ⋅ ⋅λ
Deacuerdoconlosdatosdelenunciado:
• n =3porserlatercerabanda.
• L=1m.
• y =47mm.
• λ=633nm.
Portanto:
d n L
y = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⋅
-
-
-λ 3 633 10
1
47 104 04 10
9
3
5mm
mm,
b) Podemoscalcularlasdistanciaspedidasapartirde:
y n L
d = ⋅ ⋅λ
Segundabanda:
y L
d 2
9
5
2
2 633 101
4 04 10
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
=-
-
λ
mm
m0,0313 m
,== 31,3 mm
Cuartabanda:
y L
d
4
9
5
4
4 633 101
4 04 10
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
=-
-
λ
mm
m0,0627 m
,== 62,7 mm
15. Para determinar la longitud de onda de una radiación se la hace pasarpor un orificio de 3 mm de diámetro y se recoge el resultadoen una pantalla que se ha colocado a 1 m de distancia del orificio.En el centro se observa un disco luminoso que tiene una anchurade 4 mm. ¿Cuál es el valor de la longitud de onda?
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304
8 La luz y la óptica
Eldiscoluminosoobservadoenelcentroestádelimitadoporelprimer
mínimodedifracción:
y n L
a = + ⋅
⋅( )2 1
λ
Como n =0:
y L
a
y a
L=
⋅=
⋅=
⋅= ⋅
-λλ→
0 002 0 003
110
6, ,m m
m6 m
16. Razona acerca de la veracidad o falsedad de la frase siguiente:«El uso de gafas polarizadoras modifica la intensidad de la luz que llegaa nuestros ojos, pero no el color de los objetos que observamos».
Esverdadera.Aleliminarlascomponentesdelaondaenalguna
delasdirecciones,laintensidadtotaldelaondadisminuye,
yaqueseabsorbelaintensidadcorrespondienteaestascomponentes.
Sinembargo,entodaslasdireccioneslaluzvibraconlamisma
frecuencia,porloquesucolornovariará.
17. Dos espejos planos están colocados perpendicularmente entre sí. Un rayoque se desplaza en un plano perpendicular a ambos espejos es reflejadoprimero en uno y luego en el otro espejo. ¿Cuál es la dirección finaldel rayo con respecto a su dirección original?
(Castilla y León, 2008)
Ladirecciónfinalserá
paralelaaladirección
originaldelrayo,yaque
elánguloqueformaelrayoreflejadoconelplano
decadaespejoesigual
alángulodeincidencia.
Lovemosporgeometría
enelesquema.
Lanormalaunladoesparalelaalotrolado.Sielánguloqueforma
elrayoincidenteconlanormalalprimerladoesi ,elángulo
queformaelsegundorayoreflejadoconelsegundoladoes90°-i .
18. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,5 m. Determinaanalítica y gráficamente la posición y el aumento de la imagende un objeto de 5 cm de altura situado en dos posiciones diferentes:
a) A 1 m del espejo. b) A 0,3 m del espejo.
(Galicia. Septiembre, 2006)
a) ElobjetoseencuentraalaizquierdadeC:
LaimagenseformaentreCyF,esdemenortamañoeinvertida.
90°-i 90°-i
i
i
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305
Solucionario
DeterminamoseltamañoylaposiciónexactosutilizandolaecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN.
Hayquerecordarqueladistanciafocalesigualalamitaddelradio
decurvaturadelespejo,f =r /2:
1 1 1 1 1 1
s s f s ' '
+ = +
-
=
-
→ →
100 cm 25 cm
→ →
→
1 1
100
1
250 03
1
0 03
s
s
'
'
= - = -
=
-
=
-
-
cm cmcm
cm
1
1
,
,--33,33 cm
s ' <0,loqueindicaquelaimagenestáalaizquierdadeO.
CObjeto
Imagen
s =1m50cm
s '=33,3cm
F
O
Aumento:
y
y
s
s
y
y
' ' '
'
= - → = --
-
= -
5
33 33
100
33 33
cm
cm
cmcm
,
,
→
→⋅⋅
= -5
1001 67
cm
cmcm,
y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertidaconrespecto
alobjeto.
b) ElobjetoseencuentraentreCyF.Laimagenseforma
alaizquierdadeC,esdemayortamañoeinvertida.
Determinamoseltamañoylaposiciónexactosutilizando
laecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN:
1 1 1 1 1 1
25s s f s ' '
+ = +
-
=
-
→ →
30 cm cm
→ →1 1
30
1
250 006
s '= - = -
-
cm cmcm 1,
→ s ' =
-
= - = --
1
0 006,
cm150 cm 1,5 m
1
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306
8 La luz y la óptica
s ' <0,loqueindicaquelaimagenestáalaizquierdadelvérticeO.
ObjetoImagen
C
s '
s 50cm
F
O
Aumento:
y
y
s
s
y
y
' ' '
'
= - = --
-
= -⋅
→ →
→
5
150
30
150 5
3
cm
cm
cm
cm cm
00 cm25 cm= -
y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertidaconrespectoalobjeto.
19. Enumere las propiedades (real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor)de la imagen que nos devuelve una cuchara por su parte convexay por su parte cóncava. Para demostrarlas, dibuje la marchade los rayos y la imagen que se obtiene de la flecha en el espejo esféricoconvexo de la figura. El punto C es el centro de curvatura del espejo.
C C
(Cataluña. Junio, 2007)
a) ElobjetoestáentreCyF,espejocóncavo:
C F OImagenObjeto
Imagen:
• AlaizquierdadeC. • Invertida.
• Real. • Mayor.
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307
Solucionario
b) Espejoconvexo:
C
Objeto ImagenFO
Imagen:
• EntreOyF. • Derecha.
• Virtual. • Menor.
20. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de 10 cm.
a) Determine la posición y el tamaño de la imagende un objeto de 5 cm de altura que se encuentra frenteal mismo, a la distancia de 15 cm.¿Cómo es la imagen obtenida? Efectúe la construccióngeométrica de dicha imagen.
b) Un segundo objeto de 1 cm de altura se sitúa delantedel espejo de manera que su imagen es del mismo tipoy tiene el mismo tamaño que la imagen del objeto anterior.Determine la posición que tiene el segundo objetorespecto al espejo.
(C. Madrid. Septiembre, 2007)a) ElobjetoseencuentraalaizquierdadeC:
LaimagenapareceentreCyF,esinvertidaydemenortamaño.
Esunaimagenreal.
C
s 10cm
s '
F
OImagen
Determinamoseltamañoylaposiciónexactosutilizando
laecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN.
Objeto
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308
8 La luz y la óptica
Hayquerecordarqueladistanciafocalesigualalamitaddelradio
decurvaturadelespejo:
1 1 1 1 1
15
1
5
1 1
15
1
50 1
s s f s
s
' '
'
+ = +
-
=
-
= - = -
→ →
→
cm cm
, 331
0 13
1
1
cm
cm7,5 cm-
-=
-
= -→ s ',
s ' <0,loqueindicaqueestáalaizquierdadelvérticedelespejo.
Aumento: y
y
s
s
y
y
' ' '
'
= - = --
-
= -⋅
→ →
→
5
7 5
15
7 5 5
1
cm
cm
cm
cm cm
,
,
552 5
cmcm= - ,
y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertidaconrespecto
alobjeto.
b) Buscamosunobjetoquedéunaimageninvertidadelmismotamañoquelaanterior:
y
y
s
s
s
s s s
' ' ''= -
-= - = ⋅→ →
2 5
12 5
,,
cm
cm
Entonces:
1 1 1 1
2 5
1 1
12 5
2 52 5
1
s s f s s
s s
'
+ = + =
-
⋅
+
⋅
=
-
→ →
→
,
,,
,
⋅ 5
55 5
5 cm cm
cm7 cm
→ →
→
1 2 52 5
1
3 5
2 5
+
⋅
=
-
=- ⋅
= -
,,
,
,
s
s
Elobjetotienequeestara7cmdelvérticedelespejo.
21. Calcule las distancias focales de un dioptrio esférico cóncavo de 0,1 mde radio en el que los índices de refracción de los dos mediostransparentes son n = 1 y n ' = 1,33.
(Extremadura. Septiembre, 2005)
Empleamoslasexpresionesobtenidasenellibrodelalumno.
Enestecaso,comoeldioptrioescóncavo,r <0.
• Focoimagen:
f r n
n n '
'
'
= ⋅
-
= - ⋅
-
= -101 33
1 33 1cm 40 cm
,
,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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309
Solucionario
• Focoobjeto:
f r n
n n = - ⋅
-= - - ⋅
-= +
'
( ),
101
1 33 130cm cm
22. ¿Cuánto vale el radio de curvatura de las superficies de una lentebiconvexa simétrica de 5 D de potencia y 1,45 de índice de refracción?
(R. Murcia. Septiembre, 2007)
Calculamosladistanciafocalapartirdelapotenciasegún:
P f
f P
= = = =1 1 1
5'
'→
D0,2 m
Lalenteesunsistemaformadopordosdioptrios.Deacuerdo
conlaecuaciónfundamental:
( )n r r f
'
'
- ⋅ -
=11 1 1
1 2
Silalenteessimétrica,r 1=-r 2=r :
( , ) ,1 45 11 1 1
200 45
2 1
2- ⋅ -
-
= ⋅ =r r r cm
→
00
0 45 2 20 1
cm
cm 8 cm
→
→ r = ⋅ ⋅ =,
23. a) Explicar qué es una imagen virtual.
b) ¿Puede fotografiarse una imagen virtual? ¿Por qué? Pon un ejemplosencillo.
c) Si tenemos un objeto situado a la izquierda de una lente divergentetal como se muestra en la figura, determinar gráficamente la posiciónde la imagen y el tamaño.
F'
d) ¿Cuáles son las características de la imagen?(Cantabria. Junio, 2007)
a) Imagenvirtual.Esunailusiónópticaqueseobtienealprolongar
lasdireccionesdelosrayosreflejadosdivergenteshasta
quecoinciden.
b) Unaimagenvirtualproducidaporunespejopuedetomarse
enunafotografía.Lacámarafotográficacaptalamismailusión
ópticaqueelojocuandopercibelaimagenvirtual.
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310
8 La luz y la óptica
c) Característicasdelaimagen:
• EntreOyF.
• Virtual.
• Derecha.
• Menor.
Objeto
F'F O
Imagen
24. Un objeto de 1 cm de altura está situado a 50 cm de una lenteconvergente de +15 cm de distancia focal.
a) Dibuja el diagrama de rayos correspondiente y especificalas características de la imagen.
b) Calcula la posición de la imagen.c) Halla el tamaño de la imagen.
(Canarias. Junio, 2007)
a) Elobjetoestásituadoalaizquierdade2F.
Característicasdelaimagen:
• EntreF'y2F'.
• Real.
• Invertida.• Menor.
O
15cm 15cm
s 's
Objeto
ImagenF F'
b) Tenemos:
1 1 1 1 1
50
1
15
1 1
15
1
50
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
= -
→ →
→
cm cm
cm cmm0,04 cm
0,04 cm21,4 cm
=
= =
-
-
6
1
6
1
1
→
→ s '
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311
Solucionario
c) Enestecaso:
y
y
s
s y
s y
s
' ''
'= =
⋅=
⋅
-
= -→21 4 1
50
, cm cm
cm0,43 cm
y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertida.
25. Dos lentes convergentes, cada una de ellas de 10 cm de distancia focal,están separadas 35 cm. Un objeto está a 20 cm a la izquierdade la primera lente.a) Hallar la posición de la imagen final utilizando un diagrama de rayos
y la ecuación de las lentes delgadas.b) ¿La imagen es real o virtual? ¿Derecha o invertida?c) ¿Cuál es la amplificación lateral total de la imagen?
(La Rioja. Septiembre, 2006)
a) Respuestagráfica:
35cm
Objeto
Imagen2
Imagen1
F'2
F'1
F2
s '1
s '2
F1
s 1
s 2
1 0 c m 1 0 c m
Utilizamoslaecuacióndelaslentesparaobtenerlaposiciónfinal.
Paralaprimeralenteconvergente:
1 1 1 1 1
20
1
10
1 1
10
1 1 1 1
1
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
=
→ →
→
cm cm
cm-- =
= =
-
-
1
200 05
1
0 0520
1
11
cmcm
cmcm
,
,
→
→ s '
Laimagendelaprimeralenteseformará20cmasuderecha,estoes,
15cmalaizquierdadelasegundalente(entreFy2F).Repetimosloscálculosparalasegundalente;s 2=-15cmenestecaso:
1 1 1 1 1
15
1
10
1 1
10
2 2 2 2
2
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
=
→ →
→
cm cm
cm-- =
= =
-
-
1
153
1
330
1
21
cm0,0 cm
0,0 cmcm
→
→ s '
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312
8 La luz y la óptica
Laposiciónfinaldelaimagenserá30cmaladerecha
delasegundalente.
b) Enamboscasoselobjetodecadalenteseencuentra
entreFy2F.Enestascircunstanciaslaimagen
formadaesrealeinvertida.Resultaqueelobjeto
delasegundalenteeslaimagendelaprimera
(esdecir,invertido).Alinvertirlodenuevo,laimagenfinalesreal
yderecha.
c) Paralaprimeralente:
y
y
s
s
1
1
1
1
1' '
= = -
Nohayaumentolateral.
Paralasegundalente:
y
y
s
s
2
2
2
2
30
152
' '= =
-
= -
cm
cm
Eselaumentolateraltotal.
26. El ojo humano se asemeja a un sistema óptico formado por una lenteconvergente (el cristalino) de +15 mm de distancia focal.La imagen de un objeto lejano (en el infinito) se formasobre la retina, que se considera como una pantalla perpendicularal sistema óptico.
Calcula:
a) La distancia entre la retina y el cristalino.b) La posición de la imagen de un árbol que está a 50 m del cristalino
del ojo.
c) El tamaño de la imagen de un árbol de 10 m de altura que estáa 100 m del ojo.
(Canarias. Junio, 2005)
a) Laecuacióndelaslenteses:
1 1 1
s s f ' '- =
Sielobjetoestá
enelinfinito,s =-∞.
1 1
s f s f
' '
' '= = =→ 15 mm
Imagen
Objeto
Retina
Laimagenseformaenunapantalla(retina)as '=15mm
delalente(cristalino).
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313
Solucionario
b) Aplicamosdenuevolaecuacióndelaslentes.Sielobjetoestá
ens =-50m:
1 1 1 1 1
50
1
0 015
1 1
0 015
1
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
= -
→ →
→
m m
m
,
, 550
1
1
m66,646 m
1
66,646 m0,015 004 5 m
=
= =
-
-
→
→ s ' 115 mm
c) Laecuacióndelaslenteses:
1 1 1 1 1
100
1
0 015
1 1
0 015
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
= -
→ →
→
m m
m
,
,
11
100
0 015 002
1
1
m66,656 m
1
66,656 mm
=
= =
-
-
→
→ s ' , 15 mm
Aumento:
y
y
s
s
y ' ' '= =
-
= - ⋅ = --
→
10
0 015
100m
m
m1,5 10 m 1,5 mm3,
Seobtieneunaimageninvertidade1,5mmdealto.
27. Enuncie las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz, explicando
las diferencias entre ambos fenómenos.(Andalucía, 2007)
Leyesdelareflexión:
• Elrayoincidente,lanormalyelrayoreflejadoestánenelmismo
plano.
• Elángulodeincidenciacoincideconelángulodereflexión.
Leyesdelarefracción:
• Elrayoincidente,lanormalyelrayorefractadoestánenelmismoplano.
• Elángulodeincidenciayelderefracciónserelacionan
conlavelocidaddepropagacióndelaluzenambosmedios:
sen sen
incidente refractado
i r
v v =
Ambosfenómenosocurrencuandounrayollegaalasuperficie
deseparacióndedosmedios.
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314
8 La luz y la óptica
Enelcasodelareflexión,elánguloqueformaelrayoreflejado
conlanormaleselmismoqueeldelrayoincidente.Además,elrayo
incidenteyelreflejadosepropaganenelmismomedio.
Porelcontrario,elrayorefractadoformaunángulodistinto
aldelrayoincidente,ysepropagaporelotromedio.
28. Un rayo de luz pasa de un medio a otro más denso. Indique cómo varíanlas siguientes magnitudes: amplitud, frecuencia, longitud de onday velocidad de propagación.
(Andalucía, 2007)Suponiendoqueambosmediossonidealesynoseconsidera
elrozamientointernodesuspartículas,elvalordelaamplitud
noseveafectadaporuncambiodedensidaddelmedio.
Lafrecuenciaestádeterminadaporlaenergíadelaradiación.
Suponiendounmedioideal,nohaypérdidasdeenergía.
Portanto,lafrecuenciatampocovaríaalcambiardemedio.
Elrayorefractadoporelmediomásdensotienelamisma
frecuenciaqueelrayoincidenteenlasuperficiedeseparacióndelmedio.
Cuantomayoresladensidaddelmedio,menoreslavelocidad
depropagación.Porestemotivolalongituddeondadelrayo
refractadoenelmediomásdensovaríatambién,según:
v f v
f = =λ λ⋅ →
Silavelocidaddepropagacióndisminuyeylafrecuenciasemantiene
constante,disminuirátambiénlalongituddeondadelrayorefractado.
29. Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el aguade un estanque formando un ángulo de 20° con la normal.
a) ¿Qué ángulo formarán entre sí los rayos reflejado y refractado?
b) Variando el ángulo de incidencia, ¿podría producirse el fenómenode reflexión total? Razone la respuesta.
n aire = 1; n agua = 1,33.
(Andalucía, 2006)a) DeacuerdoconlaleydeSnell,obtenemoselángulodelrayo
refractadoconlanormal:
n n
n
n
1 2
1
⋅ = ⋅
= ⋅ =
sen sen
sen senaire
agua
i r
r i
→
→
11 3320
0 257
,
( , )
⋅ =
= =
sen 0,257
arc sen 14,9
°
°
→
→ r
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315
Solucionario
Deacuerdoconlageometría
mostradaenlafigura,elángulo
buscadoesa + b.
Deldibujosabemos:
b
a
i
r
Aire
Agua
r i
r i
+ + + =
+ = - - = -
( )
,
a b
a b
180
180 180 14 9
°
° ° °
→
→ -- + =20 145 1° °→ a b ,
b) Pordefinición,sedenominaángulolímiteocríticoalmayor
ánguloquepuedeformarunrayoincidenteconlanormal
paraqueseproduzcarefracción;unángulodeincidenciamayor
queellímiteproducereflexióntotal.
Paraquesucedaestefenómenoelrayodeluzdebepasar
deunmediomásrefringenteaotromenosrefringente,
esdecir,demayoríndicederefracciónamenor
índicederefracción.
Enestecaso,elrayopasadeunmediodemenorn
amayorn .Portanto,nopuedeproducirseelfenómenodereflexióntotal.
30. Un haz luminoso de longitud de onda 550 ⋅ 10-9 m, que viajaa través del vacío, incide sobre un material transparente.El haz incidente forma un ángulo de 40° con la normal a la superficie,mientras que el refractado forma un ángulo de 26°. Calcular el índicede refracción del material y la longitud de onda del haz que se propagaen su interior.
(P. Asturias. Septiembre, 2005)
UtilizamoslaleydeSnellparaobtenerelíndicederefracción
delmaterial:
n n n n 1 2 2 1 140
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅sen sensen
sen
seni r
i
r
→
°
ssen1,466
262
°→ n =
Apartirdeldatodelíndicederefracciónpodemosobtener
lavelocidaddepropagaciónenelmedio:
n c
v v
c
n = =→
Porotraparte,obtendremos
lalongituddeondadeacuerdo
conlaexpresión:
Aire
Agua
b
a
i i
r
v f v
= =λ λν
⋅ →
i
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316
8 La luz y la óptica
Lafrecuenciadelrayoincidenteyelrefractadoeslamisma,
porloquepodemosobtenerlaapartirdelalongituddeonda
enelvacío:
νλ
= =⋅
-
v c
550 109 m
→
→ →
→
λν
λ
22 2
9
9
2
550 10
550 10
1 466
3
= =
⋅
=⋅
=
-
-v
c
n
c
m
m
,
,775 107
⋅- m
Lafrecuenciadelaradiaciónnovaría,perolalongituddeonda,sí.
31. Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción n 1 y n 2.Si un rayo incide desde el medio de índice n 1, razone si las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Si n 1 > n 2, el ángulo de refracción es menor que el ángulo
de incidencia.b) Si n 1 < n 2, a partir de un cierto ángulo de incidencia se produce
el fenómeno de reflexión total.
(Castilla y León. Septiembre, 2007)
a) UtilizamoslaleydeSnell:
n n 1 2⋅ = ⋅sen seni r
Cuandolaluzpasaaunmediomenosrefringente(menorn ),
sealejadelanormal.
Portanto,elánguloderefracciónesmayorqueeldeincidencia.
Laafirmacióna)esfalsa.
b) Paraquesucedaestefenómenoelrayodeluzdebepasar
deunmediomásrefringenteaotromenosrefringente.
Esdecir,demayoríndicederefracciónamenor
índicederefracción.
Enestecasosepasadeunmediodemenorn aunodemayorn .
Portanto,noseproducereflexióntotal.
32. Un rayo luminoso se propaga por un medio de índice de refracciónn = 1,5 e incide sobre la frontera de separación con otro medio de índicede refracción n ' = 1. Calcular los ángulos de reflexión y refraccióndel rayo en los casos:
a) El ángulo de incidencia del rayo es 20°.
b) El ángulo de incidencia es 60°. Comentar este resultado.
(P. Asturias. Septiembre, 2006)
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317
Solucionario
a) UtilizamoslaleydeSnellparacalcularelánguloderefracción:
n i n r
r n i
n
⋅ = ⋅
=
⋅
=
=
⋅
sen sen
sensen
sen
'
'
→
→
1 5 2, 00
1
°= 0,5130 →
Elángulodereflexióneselmismoqueelángulodeincidencia.
b) UtilizamoslaleydeSnellparacalcularelánguloderefracción:
n n n
n ⋅ = ⋅ =
⋅=
=⋅
sen sen sensen
sen
i r r i
''
→
1 5 60, °°
1= 1,2990
Elsenodeunángulonopuedevalermásdeuno.Esteresultado
indicaqueseproduceelfenómenodereflexióntotal,porque
elángulodeincidenciaesmayorqueelángulolímite.Nohayrayorefractado.
Elángulodereflexióneselmismoqueelángulodeincidencia.
33. Los índices de refracción del aire y del diamante son, respectivamente,1,0 y 2,4. Explica razonadamente en qué sentido debe viajar la luz paraque se produzca el fenómeno de la reflexión total. (Es decir, ¿desdeel aire hacia el diamante o viceversa?)
(Canarias. Septiembre, 2006)Pordefinición,sedenominaángulolímiteocríticoalmayoránguloque
puedeformarunrayoincidenteconlanormalparaque
seproduzcarefracción;unángulodeincidenciamayorqueellímite
producereflexióntotal.Paraquesucedaestefenómeno,elrayo
deluzdebepasardeunmediomásrefringenteaotromenos
refringente;esdecir,demayoríndicederefracciónamenor
índicederefracción.
Portanto,elrayodebepropagarsedesdeeldiamantehaciaelaire.
34. Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1,5 y de 1 cmde espesor, situada en el vacío, incide un rayo luminoso formandoun ángulo de 30° con la normal a la cara. Calcule:
a) El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina.Efectúe la construcción geométrica correspondiente.
b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.
(C. Madrid. Junio, 2005)
b
a
i i
r
n
n '
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318
8 La luz y la óptica
a) Podemosobservarelesquema
delasituaciónplanteada
enelenunciadoeneldibujo
deladerecha:
• n =1,5.
• d =0,01m.
• θ1=30°ybuscamoselvalordeθ2.
n
θ1=30°
d θ2
AplicamoslaleydeSnellparaobtenerelvalordelángulopedido.
• Entreelaireylalámina:
n n 1 1
1 30 1 5
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ =
sen sen
sen sen sen
θ r
r r
→
→ →° , 00 33,
n
d
θ2
θ1
i
r
• Entrelaláminayelaire:
Elánguloderefracciónanterioreselángulodeincidencia,
enestecaso:
n n ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
=
sen sen sen
sen
r 2 2 2
2
1 5 0 33 1
0
θ θ
θ
→ →
→
, ,
,55 302→ θ = °
b) Calculamoselángulor ysucoseno.
sen r r r = = =0 33 19 45 0 94, , cos ,→ →°
Calculamoselespacio(s )querecorrelaluzenelvidrioteniendo
encuentaelánguloqueformaelrayoconlanormaleneste
materialyelespesordelbloque.
coscos ,
r r
= = = =
d
s s
d →
1 cm1,06 cm
0 94
35. Se tiene un prisma óptico de índice de refracción
1,5 inmerso en el aire. La sección del prismaes un triángulo rectángulo isósceles comomuestra la figura. Un rayo luminoso incideperpendicularmente sobre la cara AB del prisma.a) Explique si se produce o no reflexión total
B
A C en la cara BC del prisma.
b) Haga un esquema gráfico de la trayectoria seguida por el rayo a travésdel prisma. ¿Cuál es la dirección del rayo emergente?
(C. Madrid. Septiembre, 2005)
r
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319
Solucionario
a) Sielrayoincideconlamismadirecciónquelanormal
alacaraABdelprisma,serefractasinmodificarsudirección
yllegaalacaraBCformandounángulode45°
conlanormalaesacara.
UtilizamoslaleydeSnellparacalcularelángulo
derefracciónenlacaraBC:
n n
n
n
1 2
1
2
1 5
⋅ = ⋅
=⋅
=⋅
sen sen
sensen sen
i r
r i
→
→, 445
1
°= 1,0607
Noesposiblequeelsenodeunánguloseamayorqueuno.
Portanto,sehaproducidoreflexióntotal.
Noexisteángulorefractadohaciafueradelprisma
enestacara.
b) ElrayoincidenteenlacaraAC
delprismaeselrayoreflejado
enlacaraBCporreflexióntotal.
Esterayoformaráunángulode45°conlanormal
alladoBCeincidiráconun
ángulode0°sobreelladoAC.
Alserparaleloalanormal,
serefractasinmodificar
sudirecciónyemergedelprisma
A
B
C
perpendicularmentealrayo
queincidesobrelacaraABdesdefueradelprisma.
36. Un rayo de luz de 600 nm de longitud de onda incide desde el aire sobrela superficie perfectamente lisa de un estanque de agua, con un ángulode 45° respecto a la normal.
a) Determine el ángulo de refracción del rayo al penetrar en el agua.
b) Calcule la longitud de onda del rayo en el agua.
c) Calcule la energía que tiene un fotón de esa luz.
Datos: índice de refracción del agua = 1,33;
constante de Planck, h =
6,63⋅
10-34
J⋅
s.(R. Murcia. Septiembre, 2006)
a) UtilizamoslaleydeSnelldelarefracción:
n n
n
n
1 2
1
2
1 45
⋅ = ⋅
=⋅
=⋅
sen sen
sensen sen
i r
r i
→
→°°
°
1 33
0 5317
,
( , )
=
= =
0,5317
arc sen 32,12
→
→ r
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320
8 La luz y la óptica
b) Lavelocidadesigualalafrecuenciamultiplicadaporlalongitud
deonda:v =λ⋅ν.Lafrecuenciadelrayoincidenteyelrefractado
eslamisma:
ν νλ λ
aire agua
aire
agua
agua
= =→c v
Podemosdeterminarlavelocidaddepropagacióndelrayo
enelaguaapartirdelíndicederefracción:
n c
v
v c
n
= =
agua
agua→
ν νλ λ λ λ
aire agua
aire
agua
agua aire agu
= = =→ →c v c
c
n
aa
aguaaire m
m
→
→ λλ
= =⋅
= ⋅
--
n
600 10
1 334 51 10
97
,,
c) ConlafórmuladePlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅
-
-
νλ
6 63 103 10
600 10
348
9, J s
m/s
m== ⋅
-3 32 10
19, J
37. Si un haz de luz láser incide sobre un objeto de pequeño tamaño(del orden de su longitud de onda):
a) Detrás del objeto siempre hay oscuridad.
b) Hay zonas de luz detrás del objeto.
c) Se refleja hacia el medio de incidencia.
(Galicia. Septiembre, 2007)
Larespuestacorrectaeslab),yaqueseproduceelfenómeno
dedifracción.
38. En la polarización lineal de la luz:
a) Se modifica la frecuencia de la onda.
b) El campo eléctrico oscila siempre en un mismo plano.
c) No se transporta energía.
(Galicia. Septiembre, 2006)
a) Falso:lapolarizaciónnoproducevariaciónenlafrecuencia.
b) Verdadero:traslapolarizaciónlineal,elcampooscilaenuna
únicadirección.Polarizarunaondatransversaleshacerqueel
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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321
Solucionario
vectorquerepresentalaperturbaciónvibreenunaúnicadirección
perpendicularaladeavancedelaonda:
c) Falso:laluztransportaenergíasegún:
E h h c
= ⋅ = ⋅νλ
39. Diga si es CIERTO o FALSO y razone la respuesta: «Una imagen virtuales aquella que podemos proyectar sobre una pantalla».
(Extremadura. Septiembre, 2005)
Falso:sobreunapantallasolosepuedeconstruirlaimagenqueresultadelaconvergenciadelosrayosqueprocedendelobjeto,
despuésdehabersufridoreflexiónorefracción.
Laimagenvirtualnoresultadelaintersecciónderayos;
esunailusiónópticaqueseobtienealprolongarlasdirecciones
delosrayosreflejadosorefractadosqueprocedendelobjetohasta
quecoincidenenunpunto.Porello,unaimagenvirtualnosepuede
proyectarenunapantalla.
Pensemos,comoejemplo,enlaimagenobtenidaenunespejo
plano;elojorecogelosrayosreflejadosqueprocedendecada
puntodelobjetoeinterpretalaimagencomoprocedentededetrás
delespejo,dondecoincidenlasdireccionesdeesosrayosreflejados.
a 1 a '1
a'
a 2 a '2
a
Imagenvirtual
Objeto
a '1=a 1; a '2=a 2;leydereflexión:a'=a yb'=b
Polarizador
Ondapolarizada
b'
b
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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322
8 La luz y la óptica
40. ¿Qué se entiende por reflexión especular y reflexióndifusa? Enuncie las leyes de la reflexión.
Se tienen dos espejos, A y B, planos y perpendicularesentre sí. Un rayo luminoso contenido en un planoperpendicular a ambos espejos incide sobre unode ellos, por ejemplo el A, con el ángulo a mostrado en la figura. Calcule la relación entre
B
A
a
las direcciones de los rayos incidente en A y reflejado en B.
(Castilla y León. Junio, 2007)
Lareflexiónespeculareslaqueseproducecuandoelrayoincidente
llegaaunasuperficiecuyasirregularidadessonmuypequeñas
enrelaciónconlalongituddeondadelaradiación;encasocontrario
tendremosunareflexióndifusa.Lareflexiónespecularpermiteobtener
unaimagen,realovirtual,delosobjetos.Lareflexióndifusa
nospermiteapreciarlosbordesdelosobjetosyconocersuforma
porobservacióndirecta.
Leyesdelareflexión:
• Elrayoincidente,lanormalyelrayoreflejado
estánenelmismoplano.
• Elángulodeincidencia
coincideconelángulo
dereflexión.
ElrayoincidenteenA
yelreflejadoenB
aa
90-a90-a
B
A
sonparalelos.Lovemosporgeometríaeneldibujo.
Lanormalaunladoesparalelaalotrolado,porloqueelánguloqueformaelrayoincidenteconlanormalalprimerlado(90°-a)
eselmismoqueelqueformaelsegundorayoreflejado
conelsegundolado(90°-a).
41. Un objeto O está situado a 60 cm del vérticede un espejo esférico, cóncavo, tal y como indicala figura. Se observa que la imagen producidapor el espejo es real e invertida, siendo su tamaño
la mitad del tamaño del objeto.a) Calcula la posición de la imagen y el radio
60cm
O
de curvatura del espejo.
b) Comprueba gráficamente los resultados mediante un trazado de rayos.
(Aragón. Septiembre, 2007)
a) Sabemosque y =-2 y '.Yques =-60cm.
1 1 1 1 1
60
1
s s f s f ' '
+ = +
-
=→
cm
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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323
Solucionario
Apartirdelaecuacióndelaumento:
y
y
s
s
y
y
s
s
' ' '
'
= --
= -
-
=
=
-
-
→ →
→
/2
cmcm
cm
600 5
1
0 5
1,
, 1130= - cm
Entoncespodemoscalcularyaf :
1
30
1
60
1 10 05
1
0 05
1
1
-
+
-
= = -
=
-
-
-
cm cm
cm
cm
f f
f
→ →
→
,
,== -20 cm
Elradioeseldobledeladistanciafocal:
r f = ⋅ = ⋅ =2 2 20 40cm cm
b) Porlascaracterísticas
delenunciado,
debedetratarsedeunobjeto
situadoala
izquierdadeC: OFC
Imagen
Objeto
20cm
40cms
s '
42. Un estudiante afirma que puede hacer fuego orientando un espejoesférico cóncavo en dirección al Sol. Indica a qué distancia del espejohabría que situar un papelito para quemarlo. ¿Se podría hacer lo mismocon un espejo convexo? Justifica tus respuestas.
(Castilla-La Mancha, 2006)
ComoelSolestámuyalejado,
podemossuponerque
losrayosquelleganalespejo
procedentesdeélson
paralelosalejedelobjeto.
Enconsecuencia,tras
reflejarseenelespejo
convergeránenelfoco.
Rayoincidente
F
Normal
EspejoC
Portanto,elpapelhayquecolocarloenelfoco.
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324
8 La luz y la óptica
Nopodríahacerselomismoconun
espejoconvexo,yaquelosrayos
quesereflejanenéldivergen.
Enconsecuencia,laenergía
quetransportannocoincideenningún
punto;elfocodelespejoconvexo
esvirtual.
CFO
43. Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en cochesy camiones o en vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionarmayor ángulo de visión con un espejo de tamaño razonable.a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen
formada en este tipo de espejos.
b) En estos espejos se suele indicar: «Atención, los objetos estánmás cerca de lo que parece». ¿Por qué parecen estar más alejados?
(Andalucía, 2007)
a) Espejosconvexos.
Características
delaimagen:
• EntreOyF.
• Virtual.
• Derecha.
• Menor.
CFImagenObjeto O
b) Losobjetosparecenestarmásalejadosporquelaimagenvirtual
queelcerebrointerpretaesdemenortamañoqueelobjeto,
porloqueelefectoesequivalenteaunaimagenmásalejada.
44. Dado un espejo esférico de 50 cm de radio y un objeto de 5 cm de alturasituado sobre el eje óptico a una distancia de 30 cm del espejo, calculaanalítica y gráficamente la posición y tamaño de la imagen:
a) Si el espejo es cóncavo. b) Si el espejo es convexo.
(Galicia. Junio, 2006)
a) Espejocóncavo,objetosituadoentreCyF:
F
ImagenObjeto
C
25cm
50cms '
s
O
Normal
RayoreflejadoRayo
incidente
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325
Solucionario
LaimagenseformaráalaizquierdadeC,seráinvertidaydemayor
tamañoqueelobjeto.
Determinamoseltamañoylaposiciónexactosutilizando
laecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN:
1 1 1 1 1
30
1
25
2
s s f s
f r
' '
+ = +
-
=
-
=
→ →
cm cm
/
→ →
→
1 1
30
1
256
1
6
1
s
s
'
'
= - = -
=
-
-
cm cm
0,00 cm
0,00 cm
--
= -1
150 cm
s ' <0,loqueindicaqueestáalaizquierdadelvérticedelespejo.
Aumento: y
y
s
s
y
y
' '
'
= - = --
-
= -
⋅
'→ →
→
5
150
30
5 150
3
cm
cm
cm
cm cm
00 cm 25 cm= -
y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertidaconrespecto
alobjeto.
b) Paraunespejo
convexo:
FImagenObjeto C
25cm50cm
s '
s
Determinamoseltamañoylaposiciónexactosutilizando
laecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN:
1 1 1 1 1
30
1
s s f s
f r
' '
+ = +
-
=
=
→ →
cm 25 cm
/2
1 1
30
1
253
1
s s
'
'= + = =-
cm cm0,07 cm 13,64 cm
→
s ' >0,loqueindicaqueestáaladerechadelvérticedelespejo.
O
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326
8 La luz y la óptica
Aumento:
y y
s s
y
y
' '
'
= - = -
-
=⋅
' ,
,
→ →
→
513 64
30
5 13 64
cmcm
cm
cm cmm
cm2,27 cm
30=
y '>0,loqueindicaquelaimagenesderechaconrespectoalobjeto.
45. Se tiene un espejo cóncavo de 20 cm de distancia focal.
a) ¿Dónde se debe situar un objeto para que su imagen sea real y doble
que el objeto?b) ¿Dónde se debe situar el objeto para que la imagen sea doble
que el objeto pero tenga carácter virtual?
Efectúa la construcción geométrica en ambos casos.
(C. Madrid. Junio, 2006)
a) Queremosque y '=2 y ,f =20cm.Paraquelaimagenseamayor
queelobjeto,debesituarseelobjetoentreCyF.Laimagen
apareceráinvertida.Delaecuacióndelaumento:
y
y
s
s
y
y
s
s s s
' ' ''= -
-= - = - =→ →
22 2
Realizamosloscálculosaplicandolaecuacióndelosespejos:
1 1 1 1 1 1
20
1
2
1 1
20s s f s s s s s
' '
'
+ = + =
-
+ =
-
→ → →
cm cm
→ → →
→
1
2
2
2
1
20
3
2
1
20
20 3
2
s s s
s
+ =
-
=
-
=- ⋅
= -
cm cm
cm30 cmm 60 cm→ s s ' = ⋅ = -2
F OImagen
Objeto
C
s '
s 20cm
40cm
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327
Solucionario
b) Paraobtenerunaimagenvirtualconunespejocóncavo,
elobjetodebecolocarseentreFyO.
Delaecuacióndelaumento:
y
y
s
s
y
y
s
s s s
' ' ''= - = - = = -→ →
22 2
Realizamosloscálculosaplicandolaecuacióndelosespejos:
1 1 1 1 1 1
20
1
2
1 1
20s s f s s s s s
' '+ = + =
- -
+ =
-
→ → →
cm cm
'
→ → →
→ →
1
2
2
2
1
20
1
2
1
20
2
-
+ =
-
=
-
= - = - ⋅
s s s
s s
cm cm
10 cm ' s s s = - ⋅ - =2 ( )10 cm 20 cm→ '
F ImagenObjetoC
s '20cm
40cm
s
46. a) La lente delgadaconvergentede la figura tieneuna focal imagenf ' = 40 cm.Calcula la posicióny el tamaño
O1 O2F F'
60cm
30cm
de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la figura,O1 y O2, ambos de altura y = 2 cm.
b) Comprueba gráficamente tus resultados, mediante trazados de rayos.(Aragón. Septiembre, 2006)
• ObjetoO1:
1 1 1 1 1
60
1
40
1 1
40
1
1 1 1 1s s f s s ' ' ' '
- = -
-
= = -→ →
cm cm cm 660
31
3
11
1
cm
0,008 cm0,008 cm
120 cm
=
= = =-
-
→ s '
O
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328
8 La luz y la óptica
Aumento:
y
y
s
s
y 1
1
1
1
1
2
120
60
' ' '= =
-
→ →
cm
cm
cm
y 12 120
' = -
⋅
→cm cmm
cm4 cm
60= -
F F' Imagen1
Objeto1
s '
40cm 40cm
s
• ObjetoO2:
1 1 1 1 1
30
1
40
1 1
30
2 2 2
2
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
-
-
→ →
→
cm cm
cm==
= - = --
1
40
1 1
40
1
303
2
1
2
cm
cm cm0,008 cm
→
→ →
→
s
s
'
'
==
-
= --
1
0,008 cm 120 cm31
Aumento:
y
y
s
s
y y 2
2
2
2
22
2
120
30
2 120' ' ''= =
-
-
=
⋅
→ →
cm
cm
cm
cm cmm
cmcm
308=
F
Imagen2 Objeto2
s '40cm 40cm
s
F'
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329
Solucionario
47. Mediante una lente delgada de focal f ' = 10 cm se quiere obteneruna imagen de tamaño doble que el objeto. Calcula la posición donde debe
colocarse el objeto si la imagen debe ser:
a) Real e invertida.
b) Virtual y derecha.
c) Comprueba gráficamente tus resultados, en ambos casos, mediantetrazados de rayos.
(Aragón. Junio, 2005)
a) Queremosunaimagentalque y '=-2 y ,f =10cm.Paraquelaimagenseamayorqueelobjeto,debesituarseelobjeto
entre2FyF.Laimagenapareceráinvertida.Comoladistancia
focalimagenespositiva,lalenteesconvergente.
Delaecuacióndelaumento:
y
y
s
s
y
y
s
s s s
y
' ' ''
'
=
-
= = -→ →
22
Realizamosloscálculosaplicandolaecuacióndelaslentes:
1 1 1 1 1 1
10
1
2
1 1
10
1
2
s s f s s s s
s
' ' '
- = - =
-
- =
-
→ → →
→
cm cm
--
-
-
=
-
=
=
⋅
-
= -
( )2
2
1
10
3
2
1
10
3 10
215
s s
s
cm cm
cmcm
→ →
→→ s s ' = - = - ⋅ - =2 2 15 3( cm) 0 cm
F Imagen
Objeto
s '
10cm10cm
s
F'
b) Paraobtenerunaimagenvirtualde y '=2 y ,elobjetodebe
colocarseentreFyO.
Delaecuacióndelaumento:
y
y
s
s
y
y
s
s s s
y
' ' ''
'
= = =→ →
22
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330
8 La luz y la óptica
Realizamosloscálculos:
1 1 1 1 1 1
10
1
2
1 1
10
1
2
2
s s f s s s s
s
' ' '
- = - = - =
-
→ → →
→
cm cm
22
1
10
1
2
1
10
1 10
25 2
s s
s s s
=-
=
=- ⋅
= - =
cm cm
cmcm
→ →
→ → ' == ⋅ - = -2 5 10( )cm cm
Laimagenestásobreelfocoobjeto.
F
Imagen
Objeto
s ' 10cm
s
F'
c) Veresquemasanteriores.
48. Un objeto se coloca a 50 cm de una pantalla en la que se desea obtenersu imagen por medio de una lente convergente de +10 D.Calcula la posición donde hay que colocar la lente, entre el objeto
y la pantalla, para obtener una imagen nítida del mismo.
Apartirdelapotenciadelalenteobtenemossudistanciafocalimagen:
P f
f P
= = = = =1 1 1
10'
'→
D0,1 m 10 cm
s +s '=50cm→s '=50cm-s .Portanto:
1 1 1 1
50
1 1
10
50
50
1
1
s s f s s
s s
s s
' '
- =
-
-
-
=
+ -
⋅ -
=
→ →
→
( ) 00
50
50
1
10
500 50 50 500 02 2
→ →
→ →
s s
s s s s
⋅ -
=
= ⋅ - - + =
( )
Resolviendolaraízcuadradaseobtienendossoluciones:
• s 1=36,18cm. • s 2=13,82cm.
Losvaloresdes 'sonloscomplementarios.Asípues,
haydosposicionesposiblesparalalente.
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331
Solucionario
1.aposibilidad:
• s 1=-36,18cm
• s '1=50-|s 1|=
=50cm-36,18cm=
=13,82cm
2.aposibilidad:
• s 2=-13,82cm
• s '2=50-|s 2|=
=50cm-13,82cm=
=36,18cm1.aposibilidad2.aposibilidad
Objeto
s '2
s '1
s 2
s 1
Pantalla
49. Con un banco óptico de longitud l se observa que la imagen producidapor una lente convergente siempre es virtual.¿Cómo se puede interpretar esto?
(Galicia. Junio, 2007)
Lalongituddelbancoestalqueelobjetosiempresesitúa
entreFyO.Elbancoesdemasiadocorto.Paraobtenerunaimagen
realseríanecesariounbancomáslargoquepermitiesealejarelobjeto
másalládelpuntoF.
50. Un objeto de 3 cm de altura se coloca a 20 cm de una lente delgadade 15 cm de distancia focal; calcula analítica y gráficamente la posicióny el tamaño de la imagen:
a) Si la lente es convergente. b) Si la lente es divergente.
(Galicia. Septiembre, 2006)
a) Lenteconvergente,objetosituadoentreFy2F:
s '
s
F Imagen
Objeto
15cm
15cm
F'
1 1 1 1 1
20
1
15
1 1
15
1
20
s s f s
s
' '
'
- = -
-
=
= -
→ →
→
' cm cm
cm cmm0,01 cm
0,01 cm60 cm
=
= =
-
-
6
1
6
1
1
→
→ s '
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332
8 La luz y la óptica
Aumento:
y
y
s
s
y y
' ' ''= =
-
=
⋅
-
= -→ →
3
60
20
60 3
20cm
cm
cm
cm cm
cm9 ccm
b) Lentedivergente:
s
F
ImagenObjeto
s ' 15cm15cm
F'
1 1 1 1 1
20
1
15
1 1
15
1
2
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
-
= - -
→ →
→
cm cm
cm 00
1
1
cm0,1167 cm
1
0,1167 cm8,57 cm
= -
=
-
= -
-
-
→
→ s '
Aumento:
y
y
s
s
y
y
' ' '
'
= =
-
-
=
- ⋅
-
→ →
→
3
8 57
20
8 57 3
cm
cm
cm
cm cm
,
,
220 cm1,29 cm=
51. Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas
convergentes, de distancias focales 10 cm la primera y 20 cmla segunda, separadas por una distancia de 60 cm.Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado 15 cm delantede la primera lente:
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen finaldel sistema.
b) Efectúe la construcción geométrica de la imagen medianteel trazado de rayos correspondiente.
(C. Madrid. Septiembre, 2005)
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333
Solucionario
a) Paralaprimeralente:
1 1 1 1 1
15
1
10
1 1
10
1 1 1 1
1
s s f s
s
' ' '
'
- = -
-
=
=
→ →
→
cm cm
cm-- =
= =
-
-
1
153
3
1
11
cm0,0 cm
1
0,0 cm30 cm
→
→ s '
Laimagenseforma30cmaladerechadelaprimeralente.Comolaslentesestánseparadasentresí60cm,resultaqueesto
equivaleadecirqueseforma30cmalaizquierdadelasegunda.
Veamoseltamañodelaimagenproducidaporlaprimeralente:
y
y
s
s
y
y
1
1
1
1
1
1
0 2
30
15
30 0
' ' '
'
= =
-
=
⋅
→ →
→
,
,
cm
cm
cm
cm 22
15
cm
cm0,4 cm 4 mm= - = -
Paralasegundalente(s 2=-30cm):
1 1 1 1 1
30
1
20
1 1
20
2 2 2 2
2
s s f s
s
' ' '
- = -
-
=
= -
→ →
→
cm cm
cm
11
306
6
1
21
cm0,01 cm
1
0,01 cm60 cm
=
= =
-
-
→
→ s '
Laimagenfinalseforma60cmaladerechadelasegundalente.Veamoscuáleseltamañodelamisma( y '1= y 2):
y
y
s
s
y
y
2
2
2
2
2
2
0 4
60
30
60
' ' '
'
=
-
=
-
=
⋅
→ →
→
,
(
cm
cm
cm
cm --
-
= =
0 4
30
, cm)
cm0,8 cm 8 mm
b) Respuestagráfica:
F2F1
Objeto F'1
y '2
y '1
F'2
20cm20cm
30cm
10cm 10cm
15cm
Imagen1 Imagen2
60cm30cm
Lente1 Lente2
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 334/407
334
8 La luz y la óptica
52. El ojo de la figura de abajoes miope. Dibujar el trazadode rayos en el ojo de la izquierday el punto aproximado de enfoque.
Este defecto se corrige con unade las dos lentes de la derecha.Dibujar el trazado de rayosy enfoque en la figura que corresponda.
(La Rioja. Septiembre, 2007)
Laspersonasmiopestienenelcristalinomásconvergente
delonormal.Porestemotivoenfocanbienlosobjetoscercanos,pero
losrayosprocedentesdelosalejadosconvergenenunpuntoanterior
alaretina,porloquelaimagenqueseformaenellaesborrosa.
Lamiopíasecorrigeconunalentedivergente(ladeabajo),quehace
queelfocodelconjuntolente+ cristalinosesitúesobrelaretina.
Objeto
Objeto
Retina
Imagen
Lentedivergente
Retina
Imagen
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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La física cuántica9
• ParaelalumnadoqueestudialaasignaturadeQuímicade2.º
deBachillerato,unabuenapartedelcontenidodeestetemasehabrá
abordadoenmomentosanterioresdelcurso.Esimportantequeelprofesoradotengaencuentaestehechoafindeproporcionar
lanecesariacoherenciaalosestudiosdesusalumnosyalumnas.
• Másqueprofundizarendesarrollosmatemáticos,sepondráelacento
encomprenderelalcanceylasconsecuenciasdelasexpresiones
analizadas.Esnecesarioincidirmuyespecialmenteenlaparte
deluniversoenlaquesonsignificativoslosefectoscuánticos.
Así,enmuchasocasioneslosprincipiosgeneralesnotendrán
consecuenciaenlosfenómenosqueexperimentancuerpos
macroscópicos,perosíseránsignificativoslosquesufrenpartículas
denivelsubatómicoodeunospocosdeátomos,
comolasnanopartículas.
PRESENTACIÓN
• Conocerlaexistenciadefenómenosquenosepuedenexplicar
conlosprincipiosdelafísicaclásica(laúnicaqueseconocíaafinales
delsigloXIX).
• ConocerlaleydePlanckcomoprimeraformulaciónmatemática
delacuantizacióndelaenergía.Comprenderlonovedosodelaidea.
• Estudiarelefectofotoeléctricoatravésdelasexperienciasquesellevaron
acaboysusconsecuencias.EntenderelbalanceenergéticodeEinstein
comounaaplicacióndelaideadelacuantización.
• Analizarlosespectrosatómicosycomprenderlaideadecuantización
quesubyaceenlosmismos.
• ReconocerelmodeloatómicodeBohrcomolaprimerateoríaacerca
delaconstitucióndelamateriaqueasumelaideadelacuantización.
• Comprenderelprincipiodeladualidadonda-corpúsculo
ysusconsecuenciasenfuncióndeltamañodelapartículaconsiderada.
• Conocerelprincipiodeindeterminaciónysusconsecuenciasenfunción
deltamañodelapartículaconsiderada.
• Identificarelmodelomecanocuánticodelátomoquesurge
delosdosprincipiosanteriores.
• Reconoceralgunasaplicacionesdelafísicacuánticaendispositivos
tecnológicosconocidos,comoelláser,lacélulafotoeléctrica,
lananotecnologíaoelmicroscopioelectrónico.
OBJETIVOS
335
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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336
9La física cuántica
• Fenómenosquenoexplicalafísicaclásica:laemisiónderadiación
porpartedeuncuerponegro.
• LaleydePlanckylaideadelacuantizacióndelaenergía.
• Elefectofotoeléctrico.InterpretacióndeEinstein.
• Elestudiodelosespectrosatómicosysurelaciónconlacuantización
delaenergía.
• ElmodeloatómicodeBohrparaelátomodehidrógeno.
• Losprincipiosbásicosdelafísicacuántica:principiodedualidadonda-corpúsculoyprincipiodeindeterminación.
• Consecuenciasdelosprincipiosdelafísicacuánticaencuerpos
macroscópicosyencuerposmicroscópicos.
• Algunasaplicacionesdelafísicacuántica:elláser,lacélula
fotoeléctrica,lananotecnologíayelmicroscopioelectrónico.
Conceptos
• Adquirirdestrezaenlainterpretacióndeunprincipioenrelaciónconeltamañodelapartículasobrelaqueseestudia.
• Mostrarcapacidadparaanalizarresultadosevaluandoórdenes
demagnitud,mejorqueresultadosnuméricosprecisos.
• Mostrarcapacidadpararelacionarundispositivotecnológico
conelprincipiofísicoquelosustenta.
Procedimientos,destrezasy habilidades
• Reconocerelcaráctertentativodelacienciaanalizandohechosquenosepuedenexplicarconlosconocimientosactualesyquepueden
requerireldesarrollodeunanuevapartedelafísica.
• Comprenderlaimportanciadelosestudiosteóricos
delosquesepuedenderivarenelfuturoaplicacionestecnológicas
impensablesenelmomentodesuaparición.
Tomarcomoejemploloqueaquíseestudiadelafísica
cuánticaysusaplicaciones.
• Valorarelpapeldelacienciaennumerosasaplicaciones
queusamosadiario.
Actitudes
CONTENIDOS
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337
programación de aula
Lafísicacuánticasepresentahabitualmentecomouncuerpodeconocimientos
muyteóricos.Noobstante,podemostomarejemplodelasdiscusionesqueacompañaron
asuestablecimientoparahacerunejerciciodeeducaciónenvalores.
1. Educación para la salud
Algunasdelastécnicasmásinnovadoraseninvestigaciónbiomédicaemplean
dispositivosquesebasanenlosprincipiosdelafísicacuántica,como
elmicroscopioelectrónicoyelmicroscopiodeefectotúnel.Además,
lananotecnologíasepresentacomounatécnicaesperanzadoraenlaaplicación
deterapiasfrenteacánceresyotrasenfermedadesmuyagresivas.
Sepuedenaprovecharestasideasparaquelosalumnosyalumnasaumenten
suconocimientoacercadelmundoquelesrodea,tomandocomopunto
departidauntemadegraninterés,comosonlasactuacionesrelacionadas
conlamejoraenelestadodesaluddelaspersonas.
2. Educación cívica
Recordandoalgunodelosdebatescientíficosquesurgieronalrededor
delosprincipiosdelafísicacuánticaylodifícilqueresultósuaceptación
porcientíficosderenombre,sepuedeestablecerunadiscusiónenlaquelos
alumnosyalumnasanalicendistintasconsecuenciasdelosfenómenoscuánticos.Comoejemplosepuedeestudiarelmovimientodeunbalónolasconsecuencias
filosóficasdenotenercertezadellugarqueocupaunapartículaenelespacio.
3. Educación para el consumidor
Algunosdispositivosdelecturadedatosincluyenunhazláser.Lospunterosláser
sepuedenadquiririnclusoaunpreciomuybajo.Esfrecuentequecrucemos
puertasqueseabrenocierranpormediodecélulasfotoeléctricas.
Losconocimientosbásicosquesustentanestassituacionesdebenserconocidos
porlosconsumidoresconelfindequevalorenlasconsecuenciasdeadquirir
losdispositivosmásadecuadosalafunciónquedesean,sinquesumanejosupongaunriesgoparasímismosoparaotraspersonas.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. InterpretarlaleydePlanck.Calcularlaenergíadeunaradiaciónylaenergía
quellevaundeterminadohazdefotones.
2. Analizarlosdistintosaspectosdelefectofotoeléctrico.Calcularlafrecuenciaumbral
yelpotencialdefrenadoparaunadeterminadaradiaciónincidente.
3. Reconocerfenómenoscuánticosenexperienciassignificativas,comoelefecto
fotoeléctricoolosespectrosatómicos.
4. Aplicarcuantitativamenteelprincipiodedualidadonda-corpúsculoyvalorar
susconsecuenciasparapartículasdetamañomuydiverso.
5. Aplicarcuantitativamenteelprincipiodeincertidumbreyvalorarsusconsecuencias
parapartículasdetamañomuydiverso.
6. Reconocerfenómenoscuánticosenalgunosdispositivos,comoelmicroscopio
electrónico,lacélulafotoeléctricaolasnanopartículas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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338
9La física cuántica
1. Al realizar una experiencia para estudiar el espectro de emisión térmicade un cuerpo negro encontramos que el máximo de emisión coincidecon la longitud de onda de 600 nm (color naranja). Calcula:a) La temperatura del cuerpo negro en esa experiencia.b) La intensidad de la radiación emitida.
a) DeacuerdoconlaleydedesplazamientodeWien:
λmáx. m K⋅ = ⋅ ⋅-T 2 898 10 3,
Conociendolalongituddeondadelaradiaciónpodemosobtener
latemperatura:
T =⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅=
- -
-
2 898 10 2 898 10
600 10483
3 3
9
, ,m K m K
mλ00 K
b) AplicamoslafórmuladeStefan-Boltzmann:
I dE dt
S
S T
S T = =
⋅ ⋅= ⋅
/ σσ
44
Suponiendoquesetratadeuncuerponegroideal,
σ = ⋅ ⋅ ⋅- - -5 67 10 8 2 4, W m K .Portanto:
I T = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
- - -σ
4 8 2 4 45 67 10 4830
3 09 10
, ( )
,
W m K K
77 2W m⋅-
2. Un fotón de luz roja de 700 nm de longitud de onda tiene una energíaigual a 2,84 ⋅ 10-19 J. ¿Cuál es la energía de un fotón de luz verdede 550 nm?
(R. Murcia. Junio, 2006)CalculamoslaenergíadecadafotónutilizandolaexpresióndePlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅νλ
• E h c
roja
roja
= ⋅λ
• E h c
verde
verde
= ⋅λ
Sidividimosambasexpresiones:
E
E
hc
hc E E
roja
verde
roja
verde
verde rojar
= = ⋅λ
λ
λ→
ooja
verde
Jm
m
λ=
= ⋅ ⋅⋅
⋅=
--
-2 84 10
700 10
550 10
199
9, 33 61 10 19, ⋅
- J
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339
Solucionario
3. Cuando incide sobre el potasio luz de 300 nm de longitud de onda,los fotoelectrones emitidos tienen una energía cinética máximade 2,03 eV.a) ¿Cuál es la energía del fotón incidente?b) ¿Cuál es el trabajo de extracción (función trabajo) del potasio?Datos: 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J; h = 6,625 ⋅ 10-34 J ⋅ s;c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1.
(P. Asturias. Septiembre, 2007)
a) Calculamoslaenergíadelaradiaciónincidentedeacuerdo
conlaexpresióndePlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅⋅
⋅
-
-
νλ
6 625 103 10
300 10
348
9, J s
m/s⋅
mmJ= ⋅
-6 625 10 19,
b) DeacuerdoconlaecuacióndeEinsteinparaelefectofotoeléctrico:
E W E W E fotón extracción C electrón extracción= + =→ f fotón C
J eVJ
1 e
- =
= ⋅ - ⋅⋅-
-
E
6 625 10 2 031 6 1019
19
, ,,
VVJ= ⋅
-3 38 10 19,
4. Al iluminar un cierto metal, cuya función de trabajo es 4,5 eV,con una fuente de 10 W de potencia que emite luz de 1015 Hz,no se produce el efecto fotoeléctrico. Conteste y razone si se producirá
el efecto si se duplica la potencia de la fuente.(R. Murcia. Junio, 2005)
Lapotenciadelafuentedeterminaelnúmerodefotonesemitidos
porunidaddetiempo.Siseduplicalapotencia,seduplicaelnúmero
defotones,peronolaenergíaquetransportan.
DeacuerdoconlaexpresióndeEinstein:
E W E h h m fotón extracción C electrón e= + ⋅ = ⋅ +→ ν ν0
1
2⋅⋅ v e
2
Portanto,seríanecesarioincrementarE fotón=h ⋅νparasobrepasar
eltrabajodeextracción(ofuncióndetrabajo)yqueseproduzca
efectofotoeléctrico.
Esinmediatoverquelaenergíadelfotónquedeberíamos
incrementardependedelafrecuenciadelaradiaciónemitida,
peroesindependientedelapotenciadelafuente.Asípues,
noseproduciráefectofotoeléctricoalduplicarlapotencia
delafuente.
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340
9La física cuántica
5. El umbral fotoeléctrico del cobre viene dado por una longitud de ondaλ0 = 320 nm. Sobre una lámina de este metal incide una radiaciónultravioleta de longitud de onda λ = 240 nm. Hallar:a) El trabajo de extracción.b) La energía cinética máxima de los electrones liberados.Datos: constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; velocidad de la luz,c = 3 ⋅ 108 m/s.
(La Rioja. Septiembre, 2007)
a) DeacuerdoconlaexpresióndeEinstein:
E W E h h m fotón extracción C electrón e= + ⋅ = ⋅ +→ ν ν0
1
2⋅⋅ v e
2
Calculamoseltrabajodeextracción:
W h h c
extracción
J s
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅-
νλ
0
0
348
6 63 103 10
,mm/s
m
J
320 10
6 216 109
19
⋅
= ⋅-
-,
b) Obtenemoslaenergíadelfotóndeacuerdoconlafórmula
dePlanck:
E h h c
fotón = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅
-
νλ
6 63 103 10
240
348
, J sm/s
1108 288 10
9
19
-
-= ⋅
mJ,
Entonces:
E W E E E W fotón extracción C electrón C fotón ex= + = -→ ttracción
J J
=
= ⋅ - ⋅ = ⋅- -8 288 10 6 216 10 2 07219 19, , , 110 19- J
6. En una célula fotoeléctrica se ilumina el cátodo metálico con unaradiación de λ = 200 nm; en estas condiciones, el potencial de frenadopara los electrones es de 1 voltio. Cuando se usa luz de 175 nm,el potencial de frenado es de 1,86 V. Calcula:
a) El trabajo de extracción del metal y la constante de Planck, h .b) ¿Se produciría efecto fotoeléctrico si se iluminasecon luz de 250 nm?
Datos: e = 1,6 ⋅ 10-19 C; c = 3 ⋅ 108 m/s; 1 m = 109 nm.
(Galicia. Junio, 2002)
a) DeacuerdoconlaexpresióndeEinstein:
E W E h h m fotón extracción C electrón e= + ⋅ = ⋅ +→ ν ν0
1
2⋅⋅ v e
2
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341
Solucionario
Expresadoenfuncióndelpotencialdefrenado:
h h q V ⋅ = ⋅ + ⋅ν ν0 e frenado
Planteamoslasdosecuacionesenfuncióndelosparámetros
quesecitanenelenunciado.(Comoenellibro,|q e |=e .)
• λ=200nm:
h c
h c
q V ⋅ = ⋅ + ⋅λ λ0
→e frenado
h
c
W ⋅ = +λ → extracción q q V e frenado →⋅
→ W h c
q V
h
extracción = ⋅ - ⋅ =
= ⋅⋅
λe frenado
m/s3 108
2200 101 6 10 1
9
19
⋅- ⋅ ⋅
-
-
mC V,
• λ=175nm:
W h
c
q V
h
extracción = ⋅ - ⋅ =
= ⋅⋅
λ e frenado
m/s3 10
1
8
775 101 6 10 1 86
9
19
⋅- ⋅ ⋅
-
-
mC V, ,
Entonces:
h
h
⋅⋅
⋅- ⋅ ⋅ =
= ⋅
⋅
-
-3 10
200 101 6 10 1
3 10
8
9
19
8
m/s
mC V
m
,
/ /s
m C V175 10 1 6 10 1 869
19
⋅ - ⋅ ⋅-
-
, , →
→ h h ⋅⋅
⋅= ⋅
⋅
⋅- ⋅ +
- -
-3 10
175 10
3 10
200 101 6 1 0
8
9
8
9
19, 11 6 10 1 8619, ,⋅ ⋅- →
→ →h h ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ -1 71 10 1 5 10 1 38 1015 15 19, , ,
→ →
→
h
h
⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅
=
⋅
-( , , ) ,
,
1 71 10 1 5 10 1 38 10
1 38
15 15 19
110
0 21 10 6 57 10
19
15
34-
-
⋅ = ⋅ ⋅, , J s
Calculamoseltrabajodeexpresiónconlaecuacióndeducida
anteriormente.Usamosparah elvalorquehemosobtenido:
W h extracciónm/s
mC= ⋅
⋅
⋅- ⋅ ⋅
-
-3 10
200 101 6 10
8
9
19, 11
6 57 103 10
200 101 6 1 034
8
9
V
J sm/s
m
=
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅- ⋅
-
-, , -- -
= ⋅19 198 25 10J J,
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342
9La física cuántica
b) Calculamoslaenergíaaportadaporelfotónyvemossisobrepasa
eltrabajodeextracciónquehemosobtenidoenelapartadoanterior:
E h h c
fotón
J sm/s
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅
-
νλ
6 42 103 10
250
348
,110
7 704 109
19
--= ⋅
mJ,
Dadoquelaenergíaesmenorqueeltrabajodeextracción,resulta
quenoseproduciríaefectofotoeléctrico.
7. Calcula la energía de la primera raya de la serie de Lyman, de la seriede Balmer y de la serie de Paschen para el átomo de hidrógeno y determinaen qué zona del espectro electromagnético se encuentra cada una.
Calcularemos,encadacaso,lalongituddeondacorrespondiente
alaradiación,yapartirdeestaobtendremoslaenergíasegún
laexpresióndePlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅ν
λLaseriedeLymansecorrespondecon:
1 1
1
1
2λL
= ⋅ -
R n
Ylaprimeralíneaseproduceparan =2.
18 226 106 1
λL
= ⋅ -
= ⋅ -10 967 757 11
2m
2,
Entonces:
E h c
L
L
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-
λ
6 63 10 3 10 8 226 1034 8 6, ,J s m/s m-- -= ⋅1 181 64 10, J
LaseriedeBalmersecorrespondecon:
1 1
4
1
2λB
= ⋅ -
R n
YlaprimeralíneadelaseriedeBalmerseproduceparan =3.
110 967 757
1
4
1
31 523 10
2
6 1
λB
= ⋅ -
= ⋅ -, m
Entonces:
E h c
B
B
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-
λ
6 63 10 3 10 1 523 1034 8 6, ,J s m/s m-- -= ⋅1 193 03 10, J
1/ λL
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343
Solucionario
LaseriedePaschensecorrespondecon:
1 1
9
1
2λP
= ⋅ -
R n
YlaprimeralíneadelaseriedePaschenseproduceparan =4.
11 0967 757
1
9
1
45 332 10
2
5 1
λP
= ⋅ -
= ⋅ -, m
Entonces:
E h c P
P
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-
λ
6 63 10 3 10 5 332 1034 8 5, ,J s m/s m-- -= ⋅1 191 06 10, J
8. La energía del electrón del átomo de hidrógeno vale 2,174 ⋅ 10-18 Jcuando se encuentra en la primera órbita. Calcula la energía del fotónque emite el electrón cuando salta del nivel 4 al nivel 2.¿En qué serie espectral encontraremos esta raya? Compara
el valor de la energía de este fotón con la que se obtendría utilizandola fórmula de los espectroscopistas.
Cuandounelectrónseencuentraenundeterminadoniveldeenergía,
elvalordeestaesnegativo,yaqueelelectrónyelnúcleotienencarga
dedistintosigno.
Podemosobtenerlaenergíadeunelectrónenunaórbita
apartirde:
E n = -
cte.2
Paralaprimeraórbita,n =1:
E 1 2
18 18
12 18 10 2 18 10= - = - ⋅ = ⋅- -cte.
cte., ,→ J
Conociendoelvalordelaconstantepodemosdeterminarelvalor
delaenergíaenlosrestantesniveles:
• E 2 2
1819
2
2 18 10
4 5 45 10= - = -
⋅
= - ⋅
--cte. ,
,
J
J
• E 4 2
1819
4
2 18 10
161 36 10= - = -
⋅= - ⋅
--cte. ,
,J
J
Ylaenergíadelfotónqueseliberaalproducirseelcambio
entrenivelessepuedeobtenercomo:
E E E E fotón
J J
= = - =
= - ⋅ - - ⋅- -
D 4 2
19 191 36 10 5 45 10, ( , )) 4,09 10 J19= ⋅ -
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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344
9La física cuántica
Deacuerdoconelsiguienteesquema,estarayaseencontrará
enlaserieespectraldeBalmer.
n =1 -13,6eV
-3,40eVn =2
n =3n =4
n =5
Lyman
Balmer
Paschen
Brackett Pfundn =6
n =7
-1,51eV-0,85eV
-0,54eV-0,38eV
-0,28eV
Comparamosconelvalorqueseobtendríautilizandolafórmula
delosespectroscopistas.
Paraeltránsitoentrelosnivelesn =2yn =4:
1 1
4
1 1
4
1
42 2λ= ⋅ -
= ⋅ -
=R n
R
== ⋅ -
= ⋅-1 0967 757 m 2,0565 10 m61 1
4
1
16
--1
CalculamoslaenergíadelfotónconlafórmuladePlanck:
E h c
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- -
λ
6 63 10 3 10 2 0565 1034 8 6, ,J s m/s m 11 194 09 10= ⋅ -, J
Elvalorcoincideconelobtenidoporelprocedimientoanterior.
9. Una de las rayas de la serie de Lyman del espectro del átomode hidrógeno aparece a una longitud de onda de 94,97 nm.Determina entre qué niveles de energía se produce el tránsito electrónico.Dato: la energía del electrón en el primer nivel energético del átomode hidrógeno es -13,6 eV (el signo menos indica que el electrónestá ligado al núcleo).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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345
Solucionario
Cuandounelectrónsaltadeunaórbita(n 1)aotra(n 2)absorbeoemiteunfotóncuyaenergíacoincideconladiferenciadeenergía
entrelasórbitas:
E E E E
E E n n
fotón = = -
- = - - -
D 2 1
2 1
22
12
→
→cte. cte.
= ⋅ -
cte.
1 1
12
22n n
Porotraparte:
E h h c fotón = ⋅ = ⋅νλ
Relacionandolasexpresionesanteriores:
h c
n n h c ⋅ = ⋅ -
=
⋅λ λcte.
cte.1 1 1
12
22
→ ⋅⋅ -
1 1
12
22n n
Podemosobtenerelvalordelaconstanteapartirdeldato
delaenergíadelelectrónenelprimernivelenergético:
E n
= - - ⋅⋅
= --cte. cte.
ct
2
19
213 6
1 6 10
1→ →
→
,,
eVJ
1 eV
ee. = ⋅ -2 18 10 18, J
Entonces:
cte.
h c ⋅=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
-
-
2 18 10
6 62 10 3 101
18
34 8
,
,
J
J s m/s,,097 107 1⋅ -m
Conlosdatosdelenunciadoresultaque:
1 1 1
12
22λ
=⋅
⋅ -
cte.
h c n n →
→1
94 97 101 097 10
1 1
9
7 1
12
22,
,⋅
= ⋅ ⋅ -
--
mm
n n
→
→1
94 97 10 1 097 10
1 1 1
9 7
1
2
2
2
, ,⋅ ⋅ ⋅
= = -
-
1,0418 n n
PorserunarayadelaseriedeLyman,serán 1=1.
1 1
1
11
1 10410
1
22
22
2
1,0418 1,04180= - - = =
=
n n
n
→ →
→
,
00 04104 99 5
,,= ≈
Así,eltránsitoseproduceentreelnivel5yel1.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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346
9La física cuántica
10. Calcule la longitud de la onda de materia asociada a un balón de fútbolde 500 g de masa que se mueve a una velocidad de 72 km/h.Dato: constante de Planck (h ) = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s.
(Extremadura. Junio, 2006)
ExpresamoslavelocidadenunidadesdelSI:
72 20km
h
10 m
1 km
1 h
3600 sm/s
3
⋅ ⋅ =
CalculamoslalongituddeondaaplicandodirectamentelarelacióndeDeBroglie:
λ = =⋅
=⋅ ⋅
⋅= ⋅
--h
p
h
m v
6 63 10
0 5 206 63 10
34,
,,
J s
kg m/s
335 m
11. Razone si la longitud de onda de De Broglie de los protones es mayoro menor que la de los electrones en los siguientes casos:a) Ambos tienen la misma velocidad.
b) Ambos tienen la misma energía cinética.(Andalucía, 2007)
a) LalongituddeondadeDeBroglieseobtieneasí:
λ = =⋅
h
p
h
m v
Sielprotónyelelectróntienenlamismavelocidad:
• λprotónprotón
= ⋅
h
m v
• λ electrón
electrón
=⋅
h
m v
Dividiendoambas:
λ
λ
protón
electrón
protón
electrón
el=
⋅
⋅
=
h
m v
h
m v
m eectrón
protón
protón electrónelectrón
m
m
m → λ λ= ⋅
pprotón
Comolamasadelprotónesmayorquelamasadelelectrón,
lalongituddeondadelprotónserámenorqueladelelectrón.
b) Expresamoslalongituddeondaenfuncióndelaenergíacinética:
λ = =
⋅⋅
=
⋅ ⋅
h
p
h
m E
m
h
m E 2 2C C
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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347
Solucionario
Siambostienenlamismaenergíacinética,serámayor
lalongituddeondadelelectrón,yaquesumasaesmenor
queladelprotón.
12. a) En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencialde 20 kV para acelerar los electrones. Determine la longitud de ondade los fotones de rayos X de igual energía que dichos electrones.
b) Un electrón y un neutrón tienen igual longitud de onda de De Broglie.Razone cuál de ellos tiene mayor energía.
c = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ s-1; h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; e = 1,6 ⋅ 10-19 C;m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg; m n = 1,7 ⋅ 10- 7 kg.
(Andalucía, 2006)
a) Ladiferenciadepotencialconqueseaceleraelhazdeelectrones
nospermitecalcularlaenergíacinéticaqueadquieren:
E q V electrón e C V= = ⋅ ⋅- →⋅ ⋅1 602 10 20 1019 3,
→ E electrón J= ⋅ -3 2 10 15,
Estaeslaenergíacinéticaquellevacadaelectrón.
Losfotonesquetienenigualenergíaqueloselectronestendrán
unaenergíaque,deacuerdoconlaleydePlanck,vienedada
porlaexpresión:
E h h c
h c
E
= ⋅ = ⋅
= =⋅ -
νλ
λ
fotón
fotónelectrón
→
⋅ 6 6 10, 334 8
15
3 10
3 2 10
6 1875 10
J s m/s
J
fotón
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
-,
,
→
→ λ --11 m
b) Tenemosqueexpresarlaenergíacinéticaentérminosdelongitud
deonda:
E m v m v
m
p
m C = ⋅ =
⋅=
1
2
1
2
1
2
22 2( )
[1]
DelarelacióndeDeBroglie:
λλ
= =h
p p
h →
Sustituyendoenlaecuación[1]:
E p
m
h
m E
h
m C C= = ⋅
= ⋅⋅
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
λ
λ→
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348
9La física cuántica
Aplicándoloalelectrónyalneutrón:
• E h
m C e
e
= ⋅⋅
1
2
2
2λ
• E h
m C n
n
= ⋅⋅
1
2
2
2λ
Dividiendoambas:
E E
h
m h
m
E E
m m
E C e
C n
e
n
C e
C n
n
e
C e=
⋅
⋅
⋅⋅
=
1
21
2
2
2
2
2
λ
λ
→ → == E m m
C n n
e
⋅
Sitienenlamismalongituddeonda,dadoquelamasa
delelectrónesmenorqueladelneutrón,resultaquesuenergía
cinéticaesmayorqueladelneutrón.
13. a) Enuncie el principio de incertidumbre y explique cuál es su origen.
b) Razone por qué no tenemos en cuenta el principio de incertidumbreen el estudio de los fenómenos ordinarios.
(Andalucía, 2006)
a) Losdosenunciadosdelprincipiodeincertidumbreson:
• Noesposibledeterminaralavezelvalorexacto
delaposiciónyelmomentolinealdeunobjetocuántico.
Ambasindeterminacionesguardanlasiguienterelación:
D Dx p
h
⋅ ≥ 4π
– Dx :indeterminaciónenlaposición.
– Dp :indeterminaciónenelmomentolineal.
• Noesposibledeterminaralavezelvalorexactodelaenergía
deunobjetocuánticoyeltiempoqueserequiereparamedirla.
Ambasindeterminacionesguardanlasiguienterelación:
D DE t h
⋅ ≥
4π– DE :indeterminaciónenlaenergía.
– Dt :indeterminacióneneltiempo.
Seoriginaalintentarrealizarmedidasanivelcuántico,donde
eldoblecaráctercorpuscularyondulatoriodelaspartículasimpide
queconozcamosconprecisiónyalavezsuposiciónymomento
lineal.Estaincertidumbreenlamedidanodependedelaprecisión
delosaparatosdemedida;esunacaracterísticaintrínsecade
lanaturaleza.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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349
Solucionario
b) Enlosfenómenosordinariossetrabajaenelmundomacroscópico.Comoyasucedíaconlalongituddeondaasociada
alosobjetosenmovimiento,laindeterminaciónenobjetos
macroscópicosnotieneefectosapreciables.
ElvalordelaconstantedePlanck(delordende10-34enunidades
delSI)hacequeelerrorintrínsecoseadeltodoinapreciable.
14. Explica qué problemas causaría elegir un cuerpo que no fuese cuerponegro para estudiar la emisión térmica.
Seentiendecomocuerponegroaquelcuyasparedesabsorben
cualquierradiaciónquelesllegue,sindarlugaraningúntipo
dereflexioneshaciaelexterior.Enconsecuencia,laradiación
queemiteuncuerponegroesdebida,exclusivamente,
asuestadotérmico.
Sielcuerpoelegidonofuesenegro,podríanobtenerseradiaciones
debidasareflexionesdeotrasradiacionesqueloalcancen,
enmascarandoelresultadodelaradiaciónpuramentetérmicaemitida
porelmismo.
15. Cuando se calienta una barra de hierro al rojo vivo emite radiacióncon una longitud de onda de 724 nm. Si seguimos calentando hastaque su color es amarillo claro, la radiación emitida tiene unalongitud de onda de 580 nm. Calcula la temperatura de la barrade hierro en cada caso.
Calculamosencadacasolatemperaturaapartirdelaley
dedesplazamientodeWien:
λmáx. m K⋅ = ⋅ ⋅-T 2 898 10 3,
•T rojo
rojo
m K m K=
⋅ ⋅=
⋅ ⋅
⋅
- -2 898 10 2 898 10
724 1
3 3, ,
λ 004003
9-=
mK
•T amarillo
amarillo
m K=
⋅ ⋅=
⋅- -2 898 10 2 898 103 3, ,
λ
mm K
mK
⋅
⋅=
-580 104997
9
16. Tomando los datos que precises del ejercicio anterior, determinala cantidad de energía que emite en cada segundo una barra de hierrocuya superficie es de 0,5 m2 cuando se encuentra al rojo vivo.
AplicamoslaleydeStefan-Boltzmann:
dE
dt S T = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- - -
σ4
85 67 10 0 5 4003, , (W m K m2 4 2 KK W) ,4 67 28 10= ⋅
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350
9La física cuántica
17. La parte visible de la radiación electromagnética está limitadapor la radiación roja, de longitud de onda 400 nm, y la violeta,de 700 nm. Determina cuál de ellas es más energética y cuántas veceses más energética que la otra.
Relacionamoslalongituddeondaylafrecuencia:
c c
= ⋅ =λ ν νλ
→
DeacuerdoconPlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅νλ
Aplicandoestaexpresiónalcasodelaradiaciónvioletaylaroja
nosqueda:
• E h c
violeta
violeta
= ⋅λ
•E h
c roja
roja
= ⋅
λ
Dividiendoambas:
E
E
h c
h c
violeta
roja
violeta
roja
roja
vio
=
⋅
⋅
=λ
λ
λ
λ lleta
violeta
roja
700 nm
nm= = =
4001 75 1 75, ,→
E
E
Comolalongituddeondadelaradiaciónrojaesmenorquelalongitud
deondavioleta,serámayorlaenergíadelaradiaciónvioleta.Laenergíadeunfotónesproporcionalalafrecuencia.Ylafrecuencia
delaradiaciónvioletaesmayorqueladelaradiaciónroja.
18. La intensidad de la luz solar en la superficie terrestre es aproximadamentede 1400 W ⋅ m-2. Suponiendo que la energía media de los fotonessea de 2 eV:a) Calcula el número de fotones que inciden por minuto en una superficie
de 1 m2.b) ¿A qué longitud de onda corresponde esa energía media
de los fotones?Datos: h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
(País Vasco. Junio, 2001)
a) Paraunasuperficiede1m2:
I P
S P I S = = ⋅ = ⋅ ⋅ =
-→ 1400 1 14002 2W m m W
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351
Solucionario
Lapotenciadelaradiacióneslaenergíaemitidaporunidad
detiempo.Esaenergíalaaportantodoslosfotonesqueintegran
laradiación,esdecir,eslasumadelaenergíadetodossusfotones:
P E
t
n E
t = =
⋅radiación fotón
Encadasegundo:
E
n
E
E
radiación
radiación
fotón
J/ s
1400
=
= =
1400 →
→
JJ/ s
eVJ
1 eV
fotones/s2
1 6 10 4 38 1019
21
⋅⋅ = ⋅-, ,
Expresadoenfotones/min:
4 38 102 63 10
2123,
,⋅
⋅ = ⋅fotones
1 s
60 s
1 minfotones/ /min
b) DeacuerdoconlaexpresióndePlanck:
E h h c
h c
E
= ⋅ = ⋅
=⋅
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
νλ
λ
→
→6 6 10 3 10
2
34 8, J s m/s
eV ⋅⋅⋅
= ⋅-
-
1 6 106 19 10
19
7
,,
J
1 eV
m
19. Un láser de longitud de onda λ = 630 nm tiene una potencia de 10 mWy un diámetro de haz de 1 mm. Calcula:
a) La intensidad del haz.b) El número de fotones por segundo que viajan con el haz.Datos: velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s; constantede Planck, h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s.
(C. Madrid. Junio, 1999)
a) Conociendolapotenciadeemisiónylasuperficiedelhaz
calculamoslaintensidad:
I P S
= = ⋅
⋅ ⋅= ⋅
-
-10 10
0 5 101 27 10
3
3 2
4Wm
W/m2
π ( , ),
b) Lapotenciadelaradiacióneslaenergíaemitidaporunidad
detiempo.Esaenergíalaaportantodoslosfotonesqueintegran
laradiación,esdecir,eslasumadelaenergíadetodos
susfotones:
P E
t
n E
t = =
⋅radiación fotón
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352
9La física cuántica
Calculamoslaenergíadeunfotón,conociendolalongituddeonda
delaradiación,apartirdelaexpresióndePlanck:
E h h c
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅=
-
-
νλ
6 6 103 10
630 10
348
9, J s
m/s
m33 14 10 19, ⋅
- J
Encadasegundo:
E
n E
E
radiación
radiación
fotón
J/ s= ⋅
= =
1 27 104, →
→11 27 10
3 14 104 04 10
4
19
22,
,,
⋅
⋅= ⋅
-
J/ s
Jfotones/s
20. a) Enunciar y explicar brevemente la hipótesis de Planck.b) Sobre un lado de una placa incide un haz de rayos X formado
por 100 fotones; por el otro incide un haz de luz roja. ¿Cuántos fotonestendría que tener el haz de luz roja para que la energía que recibela placa fuese la misma por ambos lados?
Datos: rayos X → ν = 3 ⋅ 1018 Hz; luz roja → ν = 4,5 ⋅ 1014 Hz.
(Cantabria. Septiembre, 2007)
a) Plancksupusoqueenlamateriaexistenpequeñososciladores
(átomosomoléculas)quevibrancondeterminadasfrecuencias,
absorbiendoyemitiendoenergíaenformadeondas
electromagnéticas.
Cadaosciladorsolopuedeabsorberoemitirenergía
queseaunmúltiploenterodesuenergíabásica,unaenergíaqueesdirectamenteproporcionalasufrecuencia
naturaldeoscilación.
Laenergíabásicadeunosciladores:
E h 0 = ⋅ ν
Laenergíaquepuedeabsorberoemitirunosciladores:
E n h = ⋅ ⋅ ν
Cadaosciladorsepuedeencontrarendistintosestadoscuánticos,
correspondientesalosdiversosvaloresden .Sienelprimerestadocuánticolaenergíadelosciladores:
E h 1 1= ⋅ ⋅ ν
Eneltercerestadocuánticotendráunaenergía:
E h 3 3= ⋅ ⋅ ν
Cuandoelosciladorpasadeunestadocuánticoaotroabsorbe
oemitelaenergíaqueresultadeladiferenciadeenergíaexistente
entreellos.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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353
Solucionario
Poresoesaenergíasiempreesunnúmerodeveceslaenergía
básica.Estaunidaddeenergíabásicasellamacuantodeenergía
ofotón.Losátomosomoléculaspasandeunestadocuánticoaotro
absorbiendooemitiendoundeterminadonúmerodefotones.
b) Comoantes:
E n E radiación fotón= ⋅
ObtenemoslaenergíadeunfotónmediantelaexpresióndePlanck:
• E h rojo rojo= ⋅ ν
• E h rayos X rayos X= ⋅ νSiqueremosquelaenergíadeambasradiacionessealamisma:
E E n h n h rojo rayos X rojo rojo rayos X ra= ⋅ / ⋅ = ⋅ / ⋅→ ν ν yyos X →
→ →
→
n n
n
rojorayos X rayos X
rojo
rojofoton
=⋅
=
ν
ν
100 ees Hz
Hzfotones
⋅ ⋅
⋅= ⋅
3 10
4 5 106 67 10
18
14
5
,,
21. Cuando se ilumina un metal con un haz de luz monocromática se observaemisión fotoeléctrica.a) Explique, en términos energéticos, dicho proceso.b) Si se varía la intensidad del haz de luz que incide en el metal,
manteniéndose constante su longitud de onda, ¿variará la velocidadmáxima de los electrones emitidos? ¿Y el número de electronesemitidos en un segundo? Razone las respuestas.
(Andalucía, 2007)a) Laradiaciónluminosaesunacorrientedefotones,
cadaunodeloscualestieneunaenergíaquecoincide
conlaenergíadelaradiaciónque,deacuerdoconlaexpresión
dePlanck,esE = h ⋅ν.
Cuandolaradiaciónluminosaalcanzaelmetal,cadafotón
interaccionaconunodesuselectronesy,sitieneenergíasuficiente
(superioraltrabajodeextracción),loarranca.
Cadafotóninteraccionaconunelectrón.Silaenergíadelfotónsuperaeltrabajodeextracción,laintensidaddelacorriente
producidadependedelaintensidaddelaradiaciónluminosa,
yaqueelnúmerodeelectronesarrancadoscoincidirá
conelnúmerodefotonesquelleganalmetal.
Cuandolaenergíadelfotónsuperaeltrabajodeextracción,
elexcesodeenergíasetransformaenenergíacinéticadelelectrón.
E W E h h m fotón extracción C electrón e= + ⋅ = ⋅ +→ ν ν0
1
2⋅⋅ v e
2
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354
9La física cuántica
b) Alvariarlaintensidaddelhazdeluz,variaráelnúmerodefotones
queincidenenelmetalporunidaddetiempo.Dadoquecadafotón
interaccionaconunelectrón,seproduciránmásinteracciones
porunidaddetiempo,seemitiránmáselectronesporsegundo,
perocadaunosemoverádeformaequivalentealcasoanterior
(suvelocidadnovariará).
22. Define el trabajo de extracción de los electrones de un metal cuandorecibe radiación electromagnética. Explica de qué magnitudes depende
la energía máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico.(C. Valenciana. Septiembre, 2006)
Sellamatrabajodeextracción(ofuncióndetrabajo),W extracción,
alaenergíamínimaquedebentenerlosfotonesdelaradiación
queprovocaefectofotoeléctrico.Coincideconlaenergíaquemantiene
ligadoalelectrónalátomo.Lafrecuenciadeesaradiacióncoincide
conlafrecuenciaumbral(ν0),ysuvalordependedelmaterial.
E W E h h m fotón extracción C electrón e= + ⋅ = ⋅ +→ ν ν0
1
2
⋅⋅ v e2
Portanto,laenergíacinéticamáximadeloselectronesarrancados
dependedelafrecuenciadelosfotonesdelaradiaciónincidente
ydelafrecuenciaumbraldelmaterial.
23. Un metal emite electrones por efecto fotoeléctrico cuando se iluminacon luz azul, pero no lo hace cuando la luz es amarilla. Sabiendo quela longitud de onda de la luz roja es mayor que la de la amarilla,¿qué ocurrirá al iluminar el metal con luz roja? Razona la respuesta.
(C. Valenciana. Septiembre, 2007)
Paraqueseemitanelectroneslaradiaciónincidentedebetener
energíamayorqueeltrabajodeextracción.Laenergíaincidente
esinversamenteproporcionalalalongituddeondadelaradiación.
Porestemotivo,silaradiacióndeunadeterminadalongituddeonda
esinsuficiente,tambiénloseráladeunalongituddeondamayor.
Sinoseproduceefectofotoeléctricoaliluminarconluzamarilla,
tampocoseproduciráconluzroja(cuyalongituddeondaesmayor).
E h h c
= ⋅ = ⋅νλ
24. a) Explique la conservación de la energía en el proceso de emisiónde electrones por una superficie metálica al ser iluminadacon luz adecuada.
b) Razone qué cambios cabría esperar en la emisión fotoeléctricade una superficie metálica:
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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355
Solucionario
iii) Al aumentar la intensidad de la luz incidente.iii) Al aumentar el tiempo de iluminación.iii) Al disminuir la frecuencia de la luz.
(Andalucía, 2006)
a) Enelprocesodelefectofotoeléctricosetieneelsiguientebalance
energético:E W E fotón extracción C electrón= +
Asípues,todalaenergíadelaradiaciónincidentequeexceda
deltrabajodeextracciónseconvertiráenenergíacinéticadeloselectronesarrancados.
b) Loscambiosserán:
i) Alaumentarlaintensidaddelaluzincidenteaumentan
losfotonesemitidosporunidaddetiempo,porloqueaumentará
tambiénlacorrientedeelectronesemitidaporsegundo.
Aumentarálaintensidaddecorrientequeseproduce.
ii) Siaumentaeltiempodeiluminación,elefectofotoeléctrico
durarámástiempoylacantidadtotaldeelectronesemitidos
serámayor.
iii) Aldisminuirlafrecuenciadelaluzdisminuyetambién
laenergíadelosfotonesqueincidenenlasuperficie.
Silaenergíaessuficienteparasobrepasareltrabajo
deextracción,elefectoseráunadisminución
enlaenergíacinéticadeloselectronesemitidos.
Siladisminucióndefrecuenciahacequelosfotonestengan
unaenergíainferioraltrabajodeextracción,noseproducirá
efectofotoeléctrico.
25. Un metal cuyo trabajo de extracción es de 4,25 eV se ilumina con fotonesde 5,5 eV. ¿Cuál es la energía máxima de los fotoelectrones emitidos?a) 5,5 eV b) 1,25 eV c) 9,75 eV
(Galicia. Septiembre, 2007)
Deacuerdoconelbalanceenergético:
E W E
E E
fotón extracción C electrón
C máx. fotó
= +
=
→
→ nn extracción eV eV eV- = - =W 5 5 4 25 1 25, , ,
Larespuestacorrectaeslab).
26. ¿Se produce corriente fotoeléctrica cuando la luz de 400 nm incidesobre un metal con una función de trabajo de 2,3 eV?Datos: 1 eV = 1,60 ⋅ 10-19 J; h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s;c = 3,00 ⋅ 108 m ⋅ s-1; 1 nm = 10-9 m.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 356/407
356
9La física cuántica
Calculamosprimerolaenergíadelhazincidentedeacuerdoconlaley
dePlanck:
E h c
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅=
-
-λ6 63 10
3 10
400 104 9734
8
9, ,J s
m/s
m⋅⋅
-10 19 J
ExpresadoeneV:
E = ⋅ ⋅⋅
=-
-4 97 10
1 6 10
19
19,
,J
1 eV
J3,11 eV
Dadoquelaenergíadelhazesmayorquelafuncióndetrabajodelmetal,seproducirácorrientefotoeléctrica:
E W E fotón extracción C electrón= +
27. Un haz de luz monocromática de 6,5 ⋅ 1014 Hz ilumina una superficiemetálica que emite electrones con una energía cinéticade 1,5 ⋅ 10-19 J. Calcular:
a) La frecuencia de cada fotón.
b) El trabajo de extracción del metal.c) El valor de la frecuencia umbral.
Constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; velocidadde la luz en el vacío y en el aire, c = 3 ⋅ 108 m/s.
(País Vasco. Julio, 2006)
a) Lafrecuenciadecadafotóncoincideconlafrecuenciaderadiación
delhazdeluz:6,5⋅1014Hz.
b) Obtenemoseltrabajodeextracciónapartirdelsiguientebalanceenergético:
E W E
W
fotón extracción C electrón
extracción
= +
=
→
→ E E E h E fotón C electrón C electrón- = ⋅ - =
= ⋅-
ν
6 63 10, 334 19 196 5 10 1 5 10 2 81 10J s Hz J J⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅- -, , ,
c) Calculamoslafrecuenciaumbral:
W h
W
h
extracción
extracción
= ⋅
= =⋅ -
ν
ν
0
0
12 81 10
→
→, 99
34
14
6 63 104 24 10
J
J sHz
,,
⋅ ⋅= ⋅
-
28. Al iluminar la superficie de un metal con luz de longitud de onda280 nm, la emisión de fotoelectrones cesa para un potencialde frenado de 1,3 V.a) Determine la función trabajo del metal y la frecuencia umbral
de emisión fotoeléctrica.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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357
Solucionario
b) Cuando la superficie del metal se ha oxidado, el potencial de frenadopara la misma luz incidente es de 0,7 V. Razone cómo cambian,debido a la oxidación del metal:
iii) La energía cinética máxima de los fotoelectrones.iii) La frecuencia umbral de emisión.iii) La función de trabajo.
c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1 ; h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s ; e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
(Andalucía, 2006)
a) Determinamoslafuncióndetrabajoapartirdelbalanceenergético
delefectofotoeléctrico:
E W q V
W
fotón extracción e frenado
extracci
= + ⋅ →
→ óón fotón e frenado e frenado= - ⋅ = ⋅ - ⋅E q V h c
q V λ
==
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅- ⋅
-
-
-6 6 10 3 10
280 101 6 10
34 8
9
19,,
J s m/s
mCC V J⋅ = ⋅ -1 3 5 10 19,
Sabemosque:
W h
W
h
extracción
extracción J
= ⋅
= =⋅
-
ν
ν
0
0
195 10
6
→
→,,
,6 10
7 58 1034
14
⋅ ⋅= ⋅
- J sHz
b) i. Laenergíacinéticamáximaesdirectamenteproporcional
alpotencialdefrenado( )E q V C e frenado= ⋅ .Sielpotencial
defrenadodisminuye,tambiénloharálaenergía
cinéticadelosfotoelectrones.
ii. Silaenergíacinéticadisminuye,elbalanceenergético
indicaquelafuncióndetrabajoaumenta:
( )W E q V extracción fotón e frenado= - ⋅ .
iii. Siaumentalafuncióndetrabajo,aumentalafrecuenciaumbral
deemisión( )W h extracción = ⋅ ν0 .
29. Se ilumina una superficie metálica con luz cuya longitud de onda
es de 300 nm, siendo el trabajo de extracción del metal de 2,46 eV.Calcule:
a) La energía cinética máxima de los electrones emitidos por el metal.
b) La longitud de onda umbral para el metal.Datos: constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s;velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s; valor absolutode la carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
(C. Madrid, 2006)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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358
9La física cuántica
a) Deacuerdoconelbalanceenergético:
E W E E E fotón extracción C electrón C máx. fotón= + =→ -- =
= ⋅ - =⋅
-
W
h c
W
extracción
extracciónJ
λ
6 63 10 34, ⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅+
- ⋅⋅
-
-
s m/s
m
eVJ
eV
3 10
300 10
2 461 6 10
1
8
9
19
,,
== ⋅-2 69 10 19, J
b) Calculamoslalongituddeondaumbral,λ0:
W h h c hc
W extracción
extracción
= ⋅ = ⋅ = =
=
νλ
λ0
0
0
6
→
,663 10 3 10
2 46 1 6 105 05 1
34 8
19
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅= ⋅
-
-
J s m/s
J, ,, 00 7- m
30. Si iluminamos la superficie de un metal con luz de λ = 512 nm, la energíacinética máxima de los electrones emitidos es 8,65 ⋅ 10-20 J.¿Cuál será la máxima energía cinética de los electrones emitidossi incidimos sobre el mismo metal con luz de λ = 365 nm?Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1.
(Cantabria. Junio, 2007)
Obtenemosprimeroeltrabajodeextraccióncaracterísticodelmetal:
E W E
W
fotón extracción C electrón
extracción
= +
=
→
→ E E E h c
E fotón C C
J s m/s
- = ⋅ - =
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
λ
6 63 10 3 10
5
34 8,
112 108 65 10 3 02 10
9
20 19
⋅- ⋅ = ⋅
-
- -
mJ J, ,
Y,conociendoeltrabajodeextracción,podemosdeterminarlaenergía
cinéticaenelsegundocaso:
E E W h c
W C máx. fotón extracción extracción= - = ⋅ - =λ
==
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ - ⋅
-
-
-6 63 10 3 10
365 10 3 02 10
34 8
9
1,
,
J s m/s
m
99 19
2 43 10J J= ⋅-
,
31. Sobre una superficie de sodio metálico inciden simultáneamentedos radiaciones monocromáticas de longitudes de ondaλ1 = 500 nm y λ2 = 560 nm. El trabajo de extracción del sodioes 2,3 eV.
a) Determine la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico y razonesi habría emisión fotoeléctrica para las dos radiaciones indicadas.
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359
Solucionario
b) Explique las transformaciones energéticas en el procesode fotoemisión y calcule la velocidad máxima de los electronesemitidos.
c = 3 ⋅10 8 m ⋅ s-1; h = 6,6 ⋅10-34 J ⋅ s; e = 1,6 ⋅ 10-19 C;m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg.
(Andalucía, 2007)
a) Conociendoeltrabajodeextraccióndeterminamoslafrecuencia
umbral:
W h
W
h
extracción
extracción
eV
= ⋅
= =
⋅
ν
ν
0
0
2 31 6
→
→
,, ⋅⋅
⋅ ⋅= ⋅
-
-
10
6 6 105 58 10
19
34
14
J
1 eV
J sHz
,,
Paracadacasoobtenemoslaenergíadeunfotóndelaradiación.
Siestaesmayorqueeltrabajodeextracción,seproduciráemisión
fotoeléctrica.
• E h c
1
1
34
8
96 6 103 10
500 103 9= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅=-
-λ
, ,J sm/s
m66 10 19⋅ - J
• E h c
2
2
348
96 6 10
3 10
560 103 5= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅=
-
-λ
, ,J sm/s
m44 10 19
⋅- J
Yexpresamoseltrabajodeextracciónenjuliosparapoder
compararlasmagnitudes:
W extracción eVJ
1 eV
J= ⋅⋅
= ⋅
--2 3
1 6 103 68 10
1919,
,,
ComoE 1>W extracción,seproduciráefectofotoeléctrico
paralaprimeradelasradiaciones.
PeroE 2<W extracción,porloquenoseproduciráefectofotoeléctrico
paralasegundadelasradiaciones.
b) Laradiaciónluminosaesunacorrientedefotones,cada
unodeloscualestieneunaenergíaquecoincideconlaenergía
delaradiaciónque,deacuerdoconlaexpresióndePlanck,
esE =h ⋅ν.Cuandolaradiaciónluminosaalcanzaelmetal,cadafotón
interaccionaconunodesuselectronesy,sitieneenergía
suficiente(superioraltrabajodeextracción),loarranca.
Cadafotóninteraccionaconunelectrón.Silaenergía
delfotónsuperaeltrabajodeextracción,laintensidadde
lacorrienteproducidadependedelaintensidaddelaradiación
luminosa,yaqueelnúmerodeelectronesarrancadoscoincidirá
conelnúmerodefotonesquelleganalmetal.
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360
9La física cuántica
Cuandolaenergíadelfotónsuperaeltrabajodeextracción,
elexcesodeenergíasetransformaenenergíacinéticadelelectrón.
E W E E W fotón extracción C electrón fotón extra= + =→ ccción e e
efotón extracción
+ ⋅
=⋅ -
1
2
2
2m v
v E W
m
→
→( )
ee
J J
kg
=
=⋅ ⋅ - ⋅
⋅=
- -
-
2 3 96 10 3 68 10
9 1 1 0
19 19
31
( , , )
,22 48 105, ⋅ m/s
32. Se hace incidir luz monocromática de un láser He-Ne de 3 mWde intensidad y de longitud de onda λ = 632 nm sobre una superficiede potasio, cuyo trabajo de extracción es 2,22 eV.a) ¿Se producirá emisión fotoeléctrica?b) ¿Qué ocurrirá si aumentamos la intensidad del láser He-Ne?
Justifica tus respuestas.Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; c = 3,00 ⋅ 108 m/s;
1 eV = 1,602 ⋅ 10-19 J; 1 nm = 10-9 m.(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)
a) Veamoscuáleslaenergíadelosfotonesdelaradiación:
E h h c
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅=
-
-
νλ
6 6 103 10
632 10
348
9, J s
m/s
m33 13 10 19, ⋅
- J
YloexpresamoseneVparapodercompararloconeltrabajodeextraccióntalycomoseproporcionaenelenunciado:
E = ⋅ ⋅⋅
=-
-3 13 10
1 6 101 9619
19,
,,J
1 eV
JeV
Dadoquelaenergíadelfotón,E ,esmenorqueeltrabajo
deextracción,elfotónnotieneenergíasuficienteparaproducir
efectofotoeléctrico.
b) Tampocoseproduciráefectofotoeléctricoalaumentarlaintensidad
delláser.Alhaceresto,seaumentalacantidaddefotonesporunidaddetiempoquealcanzanelmetal,perocadaunodeellos
interaccionaconunelectrónconenergíainsuficienteparaarrancarlo.
33. a) Explique, en términos de energía, el proceso de emisión de fotonespor los átomos en un estado excitado.
b) Razone por qué un átomo solo absorbe y emite fotones de ciertasfrecuencias.
(Andalucía, 2007)
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361
Solucionario
a) Losátomosenestadoexcitadotienenalgúnelectrónenunnivel
energéticomásaltodelquetendríaensuestadofundamental.
Elátomovolveráalestadofundamentalcuandoelelectrónpase
delnivelmásaltodeenergíaalnivelmásbajoqueleseaposible.
Enestetránsito,losátomosemitenfotonescuyaenergíacoincide
conladiferenciadeenergíascorrespondientealosnivelesexcitado
yfundamentalentrelosquesehaproducidoeltránsitoelectrónico.
E E E E fotón = = -D 2 1
b) LosestudiosdeBohr
yposterioresjustifican
queelelectrón
nosepuedeencontrar
encualquierlugar
delátomo.Solopuede
estarendeterminadas
regionesdelespacio
(orbitales)encada
unadelascualestiene
unadeterminadaenergía.
Elelectrónsolopuede
pasardeunnivel
Electrón
Fotónemitido
Núcleo
Estadofundamental
Estadoexcitado
E 1
E 2
-
-
+
deenergíapermitidoaotroabsorbiendooemitiendounfotón
cuyaenergíacoincideconladiferenciadeenergíaentre
losnivelesdepartidaydellegada.
LoscálculosdeBohryaestablecíanquelaenergíadeunelectrón
enunniveldependedesunúmerocuánticon :
E n
= - cte.2
Así:
E E n n
2 1
22
12
1- = - - -
= ⋅
cte. cte.cte.
n n n 12
22
1-
[1]
Porotrolado:
E h h
c fotón = ⋅ = ⋅ν λ [2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
E E E h c
n n 2 1
12
22
1 1- = ⋅ = ⋅ -
fotón →
λcte.
=⋅
⋅ -
→
→1 1 1
12
22λ
cte.
h c n n
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362
9La física cuántica
Enconclusión,elátomosoloabsorbeoemitefotones
dedeterminadalongituddeonda,ylosfotones
queabsorbealproducirseuntránsitotendránlamismaenergía
quelosqueemitealproducirseeltránsitoinverso.
34. La energía del electrón en el primer nivel energético del átomode hidrógeno es -13,6 eV. Teniendo en cuenta este dato,calcula la longitud de onda de la tercera raya de la seriede Balmer del espectro de emisión del átomo de hidrógeno.Compárala con lo que se muestra en la figura 9.13de la página 314.
Cuandounelectrónpasadeunnivelenergéticoaotro
máspróximoalnúcleoemiteunaradiacióncuyaenergía
coincideconladiferenciadeenergíaentrelosnivelesdepartida
ydellegada.
LoscálculosdeBohrestablecenquelaenergíadeunelectrón
enunniveldependedesunúmerocuánticon :
E n
= - cte.2
Eldatodelaenergíaparaelprimernivelnospermiteconocer
elvalordelaconstante.Laenergíadeunelectrónenunátomo
tienesignonegativo,pueselelectrónyelnúcleotienencarga
dedistintosigno:
- ⋅⋅
= - = ⋅-
-13 61 6 10
12 18 10
19
2,
,,eV
J
1 eV
cte.cte.→ 118 J
Deacuerdoconlainformaciónquesemuestraenlaspáginasdeteoría
dellibrodelalumno,latercerarayadelaseriedeBalmercorresponde
auntránsitoentrelosnivelesn 1= 5an 2=2.
DE E E n n
= - = - - -
=2 1
22
12
cte. cte.cte.. ⋅ -
1 1
12
22n n
→
→ DE = ⋅ ⋅ -
=-2 18 10
1
2
1
5418
2 2, ,J 558 10 19⋅ - J
UtilizamoslaleydePlanckparacalcularlalongituddeonda:
E E h c
h c
E
fotón
J sm
= = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅-
D
D
λ
λ
→
→ 6 6 103 1034
8
,/ /s
Jm
4 58 104 33 10
19
7
,,
⋅= ⋅
--
(Estevaloresmuysimilaralqueapareceenlafiguraquesecita
enlaspáginasdeteoría,de434nm.)
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363
Solucionario
35. Enuncia y comenta la hipótesis propuesta por Louis de Broglie en 1924respecto a la dualidad onda-corpúsculo. ¿Qué hecho experimentalconfirmó por primera vez esa hipótesis?
(P. Asturias. Junio, 2007)
Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaonda
cuyalongituddeondavienedadaporlaexpresión:
λ =h
p
Conestaexpresiónmatemáticasepodíaadmitirladoble
naturalezacorpuscularyondulatoriadelaluz
y,engeneral,detodaslaspartículascuyalongituddeonda
seadeuntamañotalquepuedadarunpatróndedifracción
alatravesarunarejilla.Esteefectonoseobservaenelmundo
macroscópico.
Elhechoexperimentalqueconfirmóporprimeravezesahipótesis
fueladifraccióndeunhazdeelectrones.Elmicroscopioelectrónico
esunaaplicacióndeestehecho.
36. Enuncia la hipótesis de De Broglie. Calcula la longitud de ondade De Broglie de un electrón que se mueve con una velocidad de 107 m/s.Datos: m e = 9,11 ⋅ 10-31 kg; h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s.
(Castilla-La Mancha, 2006)
Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaondacuya
longituddeondavienedadaporlaexpresión:
λ =h
p
Enelcasopropuestoenelenunciado:
λ = =⋅=
⋅ ⋅
⋅ ⋅=
-
-
h
p
h
m v
6 63 10
9 11 10 10
34
31 7
,
,
J s
kg m/s77 28 10 11, ⋅
- m
37. Calcula la longitud de onda asociada a un fotón cuya energía es 3 keV.
Datos: h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J; c = 3 ⋅ 108 m/s.
SegúnlaexpresióndePlanck:
E h h c
h c
E
= ⋅ = ⋅
=⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
-
νλ
λ
→
→6 6 10 3 10
3 1
34 8, J s m/s
001 6 10
4 125 10
319
10
eVJ
1 eV
m
⋅⋅
= ⋅-
-
,,
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364
9La física cuántica
38. a) Explica brevemente la hipótesis de De Broglie.b) ¿Qué dice el principio de indeterminación?c) Calcula la longitud de onda asociada a una pelota de golf de 50 g
de masa que se mueve a una velocidad de 500 km/h.Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s.
(Cantabria. Junio, 2006)
a) Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaonda
cuyalongituddeondavienedadaporlaexpresión:
λ =h
p
Conestaexpresiónmatemáticasepodíaadmitirladoblenaturaleza
corpuscularyondulatoriadelaluzy,engeneral,detodas
laspartículascuyalongituddeondaseadeuntamañoquepueda
darunpatróndedifracciónalatravesarunarejilla.Esteefecto
noseobservaenelmundomacroscópico.
b) Elprincipiodeindeterminacióndicequenoesposibledeterminar
alavezelvalorexactodelaposiciónyelmomentolinealdeunobjetocuántico.Deformaequivalente,susegunda
formulaciónindicaquenoesposibledeterminaralavezelvalor
exactodelaenergíadeunobjetocuánticoyeltiempo
queserequiereparamedirla.
c) EnfuncióndelprincipiodeDeBroglie:
λ = =⋅
=
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
-
-
h
p
h
m v
6 63 10
50 10 50010
34
3
, J s
kgkm
h
33 m
1 km
1 h
3600 s
9,54 10 m35
⋅
= ⋅-
39. a) Escribe la ecuación de De Broglie. Comenta su significadoy su importancia física.
b) Un electrón que parte del reposo es acelerado mediante un campoeléctrico entre dos puntos con una diferencia de potencial
∆V = 2000 V. Calcula el momento lineal final del electróny su longitud de onda asociada.h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; e = 1,6 ⋅ 10-19 C; m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg.(Aragón. Septiembre, 2006)
a) Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaonda
cuyalongituddeondavienedadaporlaexpresión:
λ =h
p
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365
Solucionario
Conestaexpresiónmatemáticasepodíaadmitirladoblenaturaleza
corpuscularyondulatoriadelaluzy,engeneral,detodas
laspartículascuyalongituddeondaseadeuntamañoquepueda
darunpatróndedifracciónalatravesarunarejilla.Esteefecto
noseobservaenelmundomacroscópico.
b) Laenergíaconqueseaceleraelhazdeelectronesnospermite
calcularlavelocidadqueadquiereny,conello,pormedio
delaexpresióndeDeBroglie,podremoscalcular
lalongituddelaondaasociada:
E E q V C P= = ⋅ D
Entonces:
E m v v E
m
E
m
q V
m C
C P= ⋅ =
⋅=
⋅=
⋅ ⋅
=⋅ ⋅
1
2
2 2 2
2 1 6 10
2 → D
, --
-
⋅ ⋅
⋅= ⋅
19 3
31
72 10
9 1 1 02 652 10
C V
kgm/s
,,
DelarelacióndeDeBrogliededucimos:
λ = =⋅
=
=⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
-
-
h
p
h
m v
6 6 10
9 1 1 0 2 652 10
34
31
,
, ,
J s
kg 77
112 734 10m/s
m= ⋅-,
40. Una superficie de wolframio tiene una frecuencia umbralde 1,3 ⋅ 1015 Hertz [Hz].
a) Se ilumina dicha superficie con luz de 1400 Å de longitud de onda(1 Å = 10-10 m). ¿Se emiten electrones? Justifica brevementela respuesta.
b) ¿Cuál debe ser la longitud de onda de la luz para que los electronesemitidos tengan una velocidad de 4 ⋅ 105 m/s?
c) Calcula la longitud de onda de De Broglie asociada a los electronesemitidos con la velocidad de 4 ⋅ 105 m/s.
Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1;m e = 9,11 ⋅ 10-31 kg; 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J; q e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
(Canarias. Junio, 2006)
a) Seemitiránelectronessilaenergíadelhazesmayorqueeltrabajo
deextraccióndelmaterial.
Calculamoseltrabajodeextracciónapartirdelafrecuenciaumbral
queseindicaenelenunciado:
W h extracción J s Hz 8= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =-
ν034 156 63 10 1 3 10, , ,,62 10 J19
⋅-
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366
9La física cuántica
Obtenemoslaenergíadecadafotóndelhazdeluz:
E h c
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅=
-
-λ6 63 10
3 10
1400 10
348
10, J s
m/s
m1,442 10 J18
⋅-
Dadoquelaenergíadelfotónesmayorqueeltrabajo
deextracción,efectivamenteseemitenelectronesporefecto
fotoeléctrico.
b) Planteamoselbalanceenergéticodelefectofotoeléctrico:
E W E h
c
W fotón extracción C electrón extracc= + ⋅ =→ λ iión e e+ ⋅
1
2
2
m v →
→ λ =⋅
+ ⋅
=
=⋅ ⋅ ⋅
-
h c
W m v extracción e e
J s
1
2
6 63 10 3
2
34, ⋅⋅
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- -
10
8 62 101
29 11 10 4 10
8
19 31 5
m/s
J kg m, , ( / /s
2 10 m7
)
,
2
13
=
= ⋅-
c) AplicamoslaexpresióndeDeBroglie:
λ = =⋅
=⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
-
-
h
p
h
m v
6 63 10
9 11 10 4 10
34
31 5
,
,
J s
kg m/ssm= ⋅
-1 82 10 9,
41. En un experimento de efecto fotoeléctrico un haz de luz de 500 nmde longitud de onda incide sobre un metal cuya función de trabajo
(o trabajo de extracción) es de 2,1 eV. Analice la veracidad o falsedadde las siguientes afirmaciones:a) Los electrones arrancados pueden tener longitudes de onda
de De Broglie menores que 10-9 m.b) La frecuencia umbral del metal es mayor que 1014 Hz.Datos: constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s;velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s;masa del electrón, m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg; valor absoluto de la cargadel electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
(C. Madrid, 2008)
a) Pararesponderaestacuestiónnecesitamosconocerlavelocidad
conlaquesalenloselectronesarrancados.
Planteamoselbalanceenergéticodelefectofotoeléctrico:
E W E fotón extracción C electrón= + →
h c
W extracc⋅ =→
λiión e e+ ⋅
1
2
2m v
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367
Solucionario
Portanto:
v
h c
W
m e
extracción
e
=
⋅ ⋅ -
=
=
⋅ ⋅
2
2 6 63
λ
, 1103 10
500 102 1
1 6 1 0348
9
19-
-
-
⋅ ⋅⋅
⋅- ⋅
⋅J s
m/s
meV,
, CC
1 eV
kg
m/s
⋅=
= ⋅
-9 1 1 0
3 7 10
31
5
,
,
LaexpresióndeDeBroglienospermitecalcularlalongituddeonda
asociadaaestoselectrones:
λ = =⋅
=⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
-
-
h
p
h
m v
6 63 10
9 1 10 3 7 10
34
31 5
,
, ,
J s
kg m / /sm= ⋅ -
1 97 10 9,
Conclusión:laafirmacióna)esfalsa,puesloselectrones
arrancadosnotienenlongitudesdeondamenoresque10-9nm.
Loselectronesarrancadostienenunavelocidadmáximade3,7⋅105m/s,loqueindicaquesulongituddeonda
mínimaes1,97⋅10-9m.
b) Enestecaso:
W h
W
h
extracción
extracción
eV
= ⋅
= =
⋅
ν
ν
0
0
2 11 6
→
→
,, ⋅⋅
⋅ ⋅= ⋅
-
-
10
6 63 10
19
34
J
1 eV
J s5,07 10 Hz23
,
Portanto,laafirmaciónb)esverdadera.
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368
NOTAS
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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Relatividad.Física nuclear10
• Nuevamenteestamosenuntemacuyoscontenidossepresentanporprimeravezalalumnado.Recogedosaspectosfundamentales
delafísicadelúltimosiglo:porunaparte,lateoríadelarelatividad,
consunovedosoplanteamientoconceptual;yporotro,lafísica
delnúcleoatómico,degranactualidadporloquerespecta
alasexperienciasenelCERN.
• Consideramosmuyimportanteponerelacentoenlosaspectos
conceptualesyenlasconsecuenciasquesupusieronlosavances
teóricosyexperimentalesenestasramasdelafísica.Laideadeciencia
enconstrucciónquedetodoellosedesprendepuederesultar
muymotivadoraparaelalumnado.
PRESENTACIÓN
• Conocerlosenunciadosdelosprincipiosquesustentanlateoría
delarelatividadespecial.
• Comprenderlaideadelarelatividaddelespacioydeltiempo.
• Utilizarlosconceptosanterioresparacomprenderexperienciasteóricas,comolaparadojadelosgemelos,ohechoscomolapresencia
demuonesenlasproximidadesdelaTierra.
• Comprenderelconceptodeenergíarelativistaylainterconversión
masa-energía.
• Conocerelorigendelaenergíanuclearysercapazdeevaluarla
paraunnúclidoconcreto.
• Comprenderlosprocesosradiactivos(naturalesyartificiales)analizando
laspartículasqueintervienen.
• Analizaryevaluarlaenergíaasociadaaundeterminadoprocesonuclear.• Manejarconsolturalasleyesquerigenlacinética
delasdesintegracionesradiactivas.Aplicarlasaestudiosdedatación
yparacomprenderelproblemadelasemisionesylosresiduos
radiactivos.
• Evaluardeformacríticaalgunasaplicacionespacíficasdelaenergía
nuclear.
• Conocerlaspartículaselementalesqueformanlamateriaysurelación
conotraspartículasconocidasporelalumnado,comolosprotones,
losneutronesyloselectrones.
OBJETIVOS
369
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370
10Relatividad. Física nuclear
• Laconstanciadelavelocidaddelaluzylanecesidaddeunanueva
teoríafísicaquelaexplique.
• Lateoríadelarelatividadespecialysusconsecuencias:ladilatación
deltiempoylacontraccióndelalongitud.
• Lamasaylaenergíarelativistas.Lainterconversiónmasa-energía.
• Laspartículasqueformanlamateriaysuubicaciónenlosátomos
ofueradeellos.
• Laenergíadelosnúcleos.Estudiodesuestabilidad.
• Laradiactividadnaturalylasleyesdeldesplazamientoradiactivo.• Lacinéticadelasdesintegracionesnucleares.Periodode
semidesintegracióndeunamuestrayvidamediadeunnúclido.
• Laradiactividadartificial.Procesosdefisiónyfusiónnuclear.
Conceptos
• Aprenderadeterminarelvalordemagnitudescaracterísticas
deuncuerpo(sumasa,energía,tamaño,otiempodeduraciónde
unsuceso)enrelaciónconsuvelocidad.
• Evaluarlaestabilidaddelosnúcleosyrelacionarlaconlaspartículas
quelointegran.• Completarreaccionesnuclearesanalizandolaspartículas
queintervienen.
• Calcularlaenergíaasociadaaunprocesonuclear.
• Evaluarlaactividadnucleardeunamuestraradiactiva
endistintosmomentos.
Procedimientos,destrezasy habilidades
Loscontenidosquetrataestetemasonespecialmentesensiblesparaunaeducación
envalores.
Soloporejemplificarcomentamosalgunasdelasposibilidades.
1. Educación para la salud
Lacapacidaddestructivadelosprocesosnuclearespuedeseranalizada
ensudoblevertiente.
• Elefectopositivo:suutilizaciónparaeliminarcélulascancerosas.
• Elefectonegativo:lacapacidaddedestrucciónindiscriminada
quesepuedeproducircomoresultadodeunescaperadiactivo.
Poreldesarrolloquehaalcanzadoenlosúltimostiempos,interesacomentar
lautilizacióndeisótoposradiactivosenprocesosdiagnósticos.
EDUCACIÓN EN VALORES
• Comprenderlaimportanciadelacienciaparaconocerycontrolar
fenómenosnaturales,comolosradiactivos.
• Asumirquesepuedendaraplicacionessaludablesyperniciosasdeunmismoconocimientocientífico.
Actitudes
CONTENIDOS
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371
programación de aula
2. Educación para la paz
Comentarlosdevastadoresefectosdelasarmasnuclearessepuedeconvertir
enunrecursoinestimableparaqueelalumnadosemanifiesteafavor
delapaz.Eldebatepuedeorientarseenelsentidoenquesebusque
lapazporsusefectospositivos,másalládeevitarlosdesastresqueconllevan
lasguerrasyotrassituacionesconflictivas.
3. Educación cívica
Eltemadelaenergíanucleardapieamúltiplesdebatesenlosqueconviene
analizarprosycontrasdecadaunadesusaplicaciones.Esmuyprobable
quealolargodesuvidaunabuenapartedelalumnadosetengaquemanifestar
alrespectodeunainstalaciónnuclearodeuncentrodegestiónderesiduos.
Conviene,portanto,ensayarestetipodedebatesafindequesepongan
demanifiestolosdistintosaspectosquedebemosvalorar,másalládedar
unaopiniónvisceralypocodocumentada.
4. Educación medioambiental
Cuandosevivecercadeunainstalaciónnuclear,elmedioambientesufre
unimpactoconsiderable.Serequierenmedidasdeprotecciónquecambian
elusodelsuelocircundante,yelaguaycualquieremisiónrequierencontrolesquegaranticensuinocuidad.Asimismo,debenestablecerseplanes
deevacuaciónqueminimicenlosefectosderivadosdeunaccidenteenlainstalación.
Debemossermuyrespetuososconestasactuaciones;unaactuaciónnuestra
irresponsablepuedeprovocardañosmedioambientalesirreparables.
5. Educación para el consumidor
Lascrecientesnecesidadesenergéticasllevanalospaísesaplantearselaenergía
nuclearcomounmodorelativamentebaratodesatisfacersusnecesidades.
Comprenderlosriesgosquecomportanlasinstalacionesnuclearespuedemotivar
unconsumoresponsabledelaenergía.
1. Utilizarlateoríaespecialdelarelatividadparaexplicarexperimentosteóricos
(comolaparadojadelosgemelos)ohechosreales(comolapresenciademuones
enlasproximidadesdelaTierra).
2. Calcularlasmagnitudesquecaracterizanuncuerpo(masa,energía,velocidad,longitud
otiempodeduracióndeunsuceso)cuandosemueveconvelocidadespróximasalasdelaluz.
3. Calcularlaenergíaqueestabilizaunnúcleo.
4. Analizarlaestabilidaddevariosnúcleosevaluandolaenergíapornucleón.
5. Completarreaccionesnuclearesenlasquefaltaalgunadelaspartículas.
6. Calcularlaenergíaasociadaaunareacciónnuclear.
7. Relacionar(medianteelcálculooportuno)laactividaddeunamuestraradiactiva
olacantidaddemuestrapresenteconeltiempoquesehaestadodesintegrando.
8. Analizarprosycontrasdeunaaplicaciónenlaqueintervenganlosprocesosnucleares.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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372
10Relatividad. Física nuclear
1. Un coche A se mueve por una carretera recta a la velocidad de 75 km/hy otro coche B circula, por la misma carretera, a 60 km/h. En un momentodado, ambos coches están separados una distancia de 30 km. Calcula:
a) Cuánto tarda A en alcanzar a B si ambos coches circulan en sentidosopuestos y cuánto si A persigue a B.
b) Suponiendo que A no tuviese ninguna otra referencia externa,¿a qué velocidad percibe que se mueve B en cada uno de los dos casoscontemplados en el apartado anterior?
a) Caso1:AyBseacercanelunoalotro.
A B30-x x
30km
75km/h 60km/h
Enelmomentodelencuentrolosdossehabránmovidoelmismo
tiempo.
t t d v
d v
x x A BA
A
B
B
= = = -→ → →
75
30
60km/hkm
km/h
→ → →
→
x x x x
x x
75
30
60 60 75 60
1
2
60 751
260 7
= - + =
⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ 55 16 67→ x = , km
VeamoseltiempoquetardaAenllegaralpuntodeencuentro,
situadoenx =
16,67km:
t = = =16,67 km
75 km/hh s0 2 13 20, min
)
Caso2:ApersigueaB.
30+x x
30km
75km/h 60km/h
A B
t t d
v
d
v
x x ' '
' 'A B
A
A
B
B
= =+
=→ → →30
75 60
km
km/h km/h
→ → →
→
30
75 75 60 60 75
30
75
75 60 30 60
+ = - =
⋅ - ⋅ = ⋅
x x x x
x x →→ x = 120 km
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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373
Solucionario
VeamoseltiempoquetardaAenllegarelpuntodeencuentro,
situadoa120km+30km=150kmdesuposicióninicial:
t ' = =150 km
75 km/h2 h
b) Sinotieneningunareferenciaexterna,elsistemadereferencia
deAsemueveasumismavelocidad.
• Caso1.LavelocidadpercibidadeBserá:
v v v 'B B A km/h km/h km/h= - = - - = -60 75 135
ApercibequeBseleacercaaunavelocidadde135km/h.
• Caso2.LavelocidadpercibidadeBserá:
v v v 'B B A km/h km/h km/h= - = - = -60 75 15
ApercibequeBseleacercaaunavelocidadde15km/h.
2. Dos vehículos, A y B, se mueven con velocidad constante por una carreterarecta. Cuando B persigue a A, este siente que se le acerca a una velocidad
de 30 km/h, pero cuando van uno al encuentro del otro, A percibeque B se le acerca a una velocidad que es siete veces la anterior.¿A qué velocidad se mueven A y B?
ElsistemadereferenciasemoveráconA.Planteamos
lasecuacionescorrespondientesacadacasoparalavelocidad
percibidaporAdeB:
• Caso1.BpersigueaA:
v v v 'B B A km/h= - = 30
• Caso2.ByAseacercanelunoalotro:
v v v v v 'B B A B A km/h km/h= - - = + = ⋅ =( ) 7 30 210
Resolvemoselsistemadeecuaciones:
v v
v v
B A
B A
km/h
km/h
- =
+ =
30
210
Despejamosv Bdelaprimeraecuaciónylosustituimos
enlasegunda:v v v v B A B Akm/h km/h- = = +30 30→ →
→ → →v v v v B A A Akm/h km/h km/h+ = + + =210 30 210( )
→ v Akm/h km/h
90 km/h=-
=210 30
2
Portanto:
v v v B A Bkm/h km/h km/h 120 km/h= + = + =30 90 30→
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374
10Relatividad. Física nuclear
3. Mortimer es un gran aficionado a los viajes espaciales.Su mayor ilusión sería llegar a algún lugar de Alfa Centauro,el sistema estelar más próximo al Sol y que se encuentra a 4,36 años luzde distancia.
a) ¿A qué velocidad debe viajar la nave espacial para que su hijade diez años pueda ver regresar a su padre el día que ella cumplesetenta años?
b) Si el padre tenía 30 años el día que inició el viaje, ¿cuántos tendráa su regreso?
c) A la vista del resultado, discute la posibilidad real de realizar viajesinterestelares.
a) Desdeelpuntodevistadelaniña,eltiempoquetardarásupadre
encompletarelrecorridoseráDt .Lavelocidaddelanavees:
v t
=⋅2 distancia
D
Queremosgarantizarquelahijaloveráregresarcuandocumpla
70años;parasusistemadereferenciahabránpasado60años.
v c
c =⋅ ⋅
= ⋅2 4 36
600 145
,,
años
años
b) Calculamoslaedaddelpadrecuandoregrese.Teniendoencuenta
larelaciónrelativistaentrelosintervalosdetiempo:
DD
D
D D
t t
v c
t
t t v
c
=
-
= ⋅
= ⋅ - = ⋅ -
''
'
1
1 60 10 14
2
2
2
2
g →
→, 55
2 2
2
⋅=
c
c 59,36 años
Alfinalizarelviaje:
• LahijaquesequedaenlaTierratendrá:
10años+60años=70años
• Elpadrequeviajaenlanave,tendrá:
30años+59,36años=89,36años
c) Deacuerdoconlosresultadosobtenidos,realizarviajes
intergalácticosseríaunaposibilidadfactible.Enefecto,aunque
lasdistanciasexistentesentregalaxiassonenormes
yemplearíamosmuchotiempo,aunviajandoavelocidades
cercanasaladelaluz,existeelefectoañadidodequeunviajero
moviéndoseenunanaveespacialconunavelocidadcercana
aladealluzsufreelefectodeladilatacióndeltiempo.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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375
Solucionario
Esdecir,paraéleltiempopasamuchomásdespacioquepara
unobservadorexterior,porloqueaunquefueradelanavepasen
cientosomillonesdeaños,silavelocidaddelanave
escercanaaladelaluz,eltiempoqueexperimenta
elviajeroesmuchomenor.
4. La Tierra gira alrededor del Sol, una estrella perteneciente a la galaxia VíaLáctea. Nuestro Sistema Solar se encuentra lejos del centro de la galaxia,a unos 30000 años luz de distancia. Imagina que una nave espacialque viaja a una velocidad que es el 80% de la velocidad de la luz decideir desde la Tierra hasta el centro de la galaxia. ¿Cuánto tiempo tardaríadesde el punto de vista de la nave?
DesdeunsistemadereferenciaasociadoalaTierra:
v t
t c
c = =
⋅
⋅=
distanciaaños
DD→
30 000
0 837 500
años
,
Veámosloahoraparaunsistemadereferenciaasociadoalanave
espacial.
Teniendoencuentalarelaciónrelativistaentrelosintervalosdetiempoparaambossistemas:
DD
D
D D
t t
v
c
t
t t v
c
=
-
= ⋅
= ⋅ - = ⋅ -
''
'
1
1 37 500 10
2
2
2
2
g →
→,,8
22 500
2 2
2
⋅=
c
c años
5. Sobre el mapa, la distancia Madrid-Sevilla es de 470 km,que son recorridos por el AVE a una velocidad media de unos 300 km/h.Utilizando la corrección relativista, determina la distanciaMadrid-Sevilla que percibe un pasajero de dicho tren.
Aplicamoslarelaciónrelativistaentredistancias:
Lv
c
L' = - ⋅ =
= -
⋅ ⋅
1
1
300 1000
2
2
km
h
m
km
1 h
3600 s
⋅
⋅ -
2
8 23 10
9 10 16
( )m/s
∼
⋅ 470 470km km
Lacorrecciónenladistanciaquehabríaquehaceresmuy,
muypequeña.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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376
10Relatividad. Física nuclear
6. Supón una bombilla encendida en un tren que viaja a una velocidadde 80 km/h. Un viajero espacial pasa cerca de él a una velocidad iguala c . Calcula la velocidad de la luz que percibirá el viajero si avanzaacercándose al tren o si lo hace alejándose del mismo.
Laluzsemueveenelvacíoconvelocidadc cualquieraquesea
elmovimientorelativoentredossistemasinerciales;esdecir,tanto
sielmovimientoesdelafuenteluminosacomosiesdelobservador.
Deacuerdoconesto,lavelocidaddelaluzpercibidaporelviajero
serásiemprec .
7. Supón una nave espacial que viaja a la velocidad de la luz en cuyo interiorhay un foco de luz encendido. Los pasajeros de un tren que viajaa la velocidad de 80 km/h ven la luz de ese foco. Calcula la velocidadde la luz que percibirán los viajeros del tren si este viajaacercándose a la nave o si el tren viaja alejándose de la misma.
Laluzsemueveenelvacíoconvelocidadc cualquieraquesea
elmovimientorelativoentredossistemasinerciales;esdecir,tanto
sielmovimientoesdelafuenteluminosacomosiesdelobservador.
Deacuerdoconesto,lavelocidaddelaluzpercibidaporlosviajeros
serásiemprec .
8. Calcula la energía relativista de un cuerpo cuya masa en reposo es m 0 cuando se mueve con una velocidad v << c .
Enestecaso:
E m c m c m c m c C = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ - ⋅g 02
02 2
02
• LlamamosE =m ⋅ c 2alaenergíarelativistatotaldeuncuerpo.
Suvalordependedelavelocidadalaquesedesplace.
• LlamamosE 0=m 0 ⋅ c 2alaenergíaenreposodelapartícula.
Laenergíatotaleslaenergíacinéticamáslaenergíaenreposo:
E E E = +C 0
Podemosescribirasílaenergíatotal:
E m c = ⋅ ⋅g 02
Calculamosgcuandoelcuerposemueveconv <<c :
g =
-
= -
+
-1
1
1 11
22
2
2
2
1 2 2
2
v
c
v
c
v
c
/
Enestecaso:
E v
c m c m c m v = +
⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅1
1
2
1
2
2
20
20
20
2
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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377
Solucionario
Siv << c ,podemosdespreciarelsegundotérminodelaexpresión
anterior,puesm 0 ⋅ c 2>>
1
2m 0 ⋅ v
2,yqueda:
E m c = ⋅02
9. Un electrón tiene una energía en reposo de 0,51 MeV. Si el electrónse mueve con una velocidad de 0,8c , se pide determinar su masarelativista, su cantidad de movimiento y su energía total.
Datos: carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.
Velocidad de la luz, c = 3 ⋅ 108 m/s.(C. Valenciana, 2000)
Obtenemoslamasaenreposoapartirdeldatodesuenergía
enreposo:
E m c
m E
c
0 02
00
2
619
0 51 101 6 10
= ⋅
= =
⋅ ⋅⋅
-
→
→
,,
(
eVJ
1 eV
33 10
9 07 10
8 2
031
⋅
= ⋅-
m/s
kg
)
,
→
→ m
Masarelativista:
m m m
v
c
c
c
= ⋅ =
-
=
=⋅
-⋅
=
-
g 00
2
2
31
2
2
1
9 07 10
10 8
9,
( , )
kg ,,
,
,
07 10
1 0 8
1 51 10
31
2
30
⋅
-
= ⋅
-
-
kg
kg
→
→ m
Cantidaddemovimiento:
p m v p m v
p
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
-
→
→
→
1 51 10 0 8 3 10
3
30 8, ,kg m/s
,,624 1022
⋅ ⋅- kg m/s
W W
Energíatotal:
E m c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
-
-
2 30 8 2
1
1 51 10 3 10
1 359 10
, ( )
,
kg m/s
33
191 6 10
0 85
J1 eV
J
eV
⋅⋅
=
-,
,
→
→ E
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378
10Relatividad. Física nuclear
10. Un fotón cuya energía es 1,32 ⋅ 10-12
J se materializa en un parelectrón-positrón. Calcula la energía cinética en julios del par resultante.
(Datos: masa del electrón, m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg; c = 3 ⋅ 108 m/s.)
Nota: un fotón es una partícula de energía cuya masa en reposo es cero.
(P. Asturias, 2006)
Podemosrepresentarelprocesomediantelaecuación:
g→e-+e+
Deacuerdoconelprincipiodeconservacióndelaenergíarelativista:
E E inicial final=
Comoelfotónproduceunparelectrón-positrón,laenergíainicial
delfotónseráigualalaenergíaenreposodelelectrónmáslaenergía
enreposodelpositrónmáslaenergíacinéticadelelectrón
máslaenergíacinéticadelpositrón:
E m c m c E
E E m c
fotón e e C
C fotón e
= ⋅ + ⋅ +
= - ⋅ +
- +
-
2 2
2
→
→ ( m m c E m c e fotón e+ -⋅ = - ⋅2 22) ⋅
Esdecir,laenergíacinéticadelparserá:
E C J
J kg
= ⋅ =
= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅
-
- -
1 32 10
1 64 10 2 9 11 10
12
13 31
,
, , (( ) ,3 10 1 156 108 2 12⋅ = ⋅ -m/s J
Sielelectrónyelpositrónsellevanlamismacantidaddeenergía
cinética,cadaunosellevarálamitaddeestacantidad,esdecir:
5 78 1013, ⋅ -
J
11. Considera los núcleos de carbono12
C y13
C de masas 12,0000 umay 13,0034 uma, respectivamente, siendo 6 el número atómico de estosdos isótopos. Calcula para ambos núcleos:
a) El defecto de masa en kilogramos y en unidades de masa atómica.
b) La energía de enlace.
c) La energía de enlace por nucleón.
Datos: 1 uma = 1,66 ⋅ 10-27 kg; 1 uma = 931 MeV; 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J;m (p)= 1,0073 uma; m (n)= 1,0087 uma; c = 3 ⋅ 108 m/s.
[Ten en cuenta que 1 uma = 1 u.]
(Canarias, 2005)
a) Setratadecalcularladiferenciaentrelamasadelosnucleones
(protonesyneutrones)ydelnúclidodecadaisótopodecarbono.
Elnúclidodelcarbono-12tiene:
• Protones:Z =6. • Neutrones:A-Z =12-6=6.
Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =
= ⋅ + ⋅
( ) ( )
( , ,
6 6
6 1 0073 6 1 0087
p n12C
u u)) ,- =12 0 096u u
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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379
Solucionario
Esdecir:
Dm = ⋅⋅
= ⋅-
-0 096
1 66 101 5936 10
2728,
,,u
kg
1 ukg
Elnúclidodelcarbono-13tiene:
• Protones:Z =6.
• Neutrones:A-Z =13-6=7.
Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =
= ⋅ + ⋅
( ) ( )
( , ,
6 7
6 1 0073 7 1 0087
13p n C
u u)) , ,- =13 0034 0 1013u u
Esdecir:
Dm = ⋅⋅
= ⋅-
-0 1013
1 66 101 6816 10
2728,
,,u
kg
1 ukg
b) Paraelisótopo12C:
E m c enlace
kg m/s
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =-
D 2
28 8 21 5936 10 3 10 1, ( ) ,,4342 10
11⋅ -J
Paraelisótopo13
C:E m c enlace
kg m/s
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =-
D 2
28 8 21 6816 10 3 10 1, ( ) ,,5134 10
11⋅ -J
c) Paraelisótopo12C:
E enlace
nucleón
J
12 nucleones=
⋅=
-1 4342 10
1 1
11,, 9952 10
12⋅ - J
nucleón
Paraelisótopo13C:
E enlace
nucleón
J
13 nucleones=
⋅=
-1 5134 10
1 1
11,, 6642 10
12⋅ - J
nucleón
Laenergíadeenlacepornucleónesmayorenel12C,
queserámásestablequeel13C.
12. La fuerza nuclear fuerte es la responsable de mantener estable un núcleode helio. Estima el módulo de dicha fuerza teniendo en cuenta que debe
contrarrestar la repulsión electrostática que existe entre sus dos protonesque están separados por una distancia de aproximadamente 10-15 m.
Datos: K = 9,00 ⋅ 109 N ⋅ m2 /C2; q protón = 1,602 ⋅ 10-19 C.
(Castilla-La Mancha, 2007)
Debeserigualalmódulodelafuerzaelectrostáticaderepulsiónentre
losprotones:
F K q
d = ⋅ = ⋅
⋅⋅
⋅ -protón
2
2
N m
C
C2
2
919 2
9 101 602 10( , )
(110230 097
15 2-=
mN
),
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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380
10Relatividad. Física nuclear
13. Si un núcleo atómico emite una partícula a y dos partículas b, su númeroatómico:a) Disminuye en dos unidades. b) Aumenta en dos unidades. c) No varía.
(Galicia. Septiembre, 2007)
Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaα,sunúmeroatómico
desciende2unidades.
Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaβ,sunúmeroatómico
aumentaen1unidad→alemitirdos,aumentaráen2unidades.
Sumandolosefectosdecadafenómeno,resultaquelarespuestacorrectaeslac):novaría.
14. Hallar el número atómico y el número másico del elemento producidoa partir del 218
84Po, después de emitir 4 partículas a y 2 b-.
(C. Valenciana. Junio, 2006)
Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaα,sunúmeroatómico
desciende2unidades,ysunúmeromásico,en4.Alemitir
4partículasα,resultaráqueelnúmeroatómicodesciende
en8unidadesyelnúmeromásicodesciendeen16unidades.
Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaβ,sunúmeroatómico
aumentaen1unidadyelnúmeromásiconovaría.Alemitir
dospartículas,aumentaráelnúmeroatómicoen2unidades.
Elefectototalseráquesedesciendeelnúmeroatómicoen6unidades
yelnúmeromásico,en16unidades:
• Númeromásicofinal:A'=218-16=202.
• Númeroatómicofinal:Z '=84-8+2=78.
Elprocesoresultantees:
84
218
78
2024 2P X→ α β+ +
15. El periodo de semidesintegración del 226Ra es de 1620 años.
a) Explique qué es la actividad y determine su valor para 1 g de 226Ra.
b) Calcule el tiempo necesario para que la actividad de una muestrade 226Ra quede reducida a un dieciseisavo de su valor original.
N A = 6,02 ⋅ 1023 mol-1.
(Andalucía, 2006)a) Llamamosactividadradiactiva (A)alnúmerodenúclidos
quesedesintegranporunidaddetiempo.Suvalordepende
deltipodenúclidoydelnúmerodenúclidospresentes(N ):
AdN
dt N = - = ⋅λ
Elsignomenos(-)sedebeaqueelnúmerodenúclidospresentes
disminuyeconeltiempo.λeslaconstantededesintegración.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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381
Solucionario
Obtenemoselvalordelaconstantededesintegraciónapartir
deldatodelperiododesemidesintegración:
T T
1 2
1 2
42 2 2
16204 27 10 /
/
ln ln ln,= = = = ⋅ -
λλ→
añosañoos-1
Obtenemoslacantidaddeátomosenlamuestraapartir
delnúmerodeAvogadro:
N =⋅
⋅ = ⋅6 02 10
1 2 66 10
2321,
,núclidos
226 gg núclidoss
Portanto:
AdN
dt N = - = ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅-
λ
4 27 10 2 66 104 21, , ·
átomos
año
1 aaño
s
átomos
sB
365 24 3600
3 6 10 3 6 1010 10
⋅ ⋅=
b) Deacuerdoconlaleydedesintegraciónradiactiva:
N N = ⋅ - ⋅0 e tλ
ParaN =1/16⋅N 0:
N N
0
04 27 10
16
1
16
1
164 2
4
= ⋅ =
= -
- ⋅ - ⋅ ⋅-
e λ t te
Ln
→ →
→
,
, 77 10
1
16
4 27 10
4
4⋅ ⋅ =
- ⋅=-
-t t →
Ln
6493,18 años,
16. La actividad de una sustancia disminuye en un factor 5 en el transcursode 7 días.
a) Calcula la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración.
b) Si cuando han transcurrido 2 días, la actividad de la sustanciaes de 1018 desintegraciones/minuto, ¿cuántos átomos teníamosinicialmente?
c) ¿Cuál será la actividad de esa sustancia si en lugar de 2 díastranscurren 200?
(Cantabria, 2006)
a) Estadoinicial:
A N 0 0= λ ·
Estadotras7días:
A N A N
N N
= = = / =/
λλ
λλ
··
··0 0 0
5 5 5→
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382
10Relatividad. Física nuclear
Portanto,queda:
N N
N N
= ⋅ = =
=
- ⋅ - ⋅
+ ⋅
00
0 7
7
5 5
1
5
5
→ → →
→
e e
e
t días
días
λ λ
λλ λ λ→ →lnln
,5 75
70 23
1= + ⋅ = = -días
díasdías
Conociendolaconstantededesintegraciónpodemosobtener
elperiododesemidesintegración:
T 1 21
2 2
0 23
3 01 / ln ln
,
,= = =-λ días
días
b) Tenemos:
A N N = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅λ λ λ0 e t
→
→ 10
0
18 desintegraciones
min
60 min
1 h
24 h
1 día⋅ ⋅ =
= ,, ,, ·23 9 92 10
10
0 23 20
1
días e días días- -⋅ ⋅ =
-
N N → ⋅221 átomos
c) Sitranscurren200días:A N N = ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅
- ⋅
- -
λ λλ
0
1 21 00 23 9 92 10
e
días e
t
, , ,223 2001días días
24 desintegraciones/día-
⋅=
17. El periodo de semidesintegración del radón-222 es de 3,9 días;si inicialmente se dispone de 20 microgramos de radón-222,¿cuánto queda después de 7,6 días?
(Castilla-La Mancha, 2006)
Apartirdelperiododesemidesintegración:
T T
1 2
1 2
12 2 2
3 90 178 /
/
ln ln ln
,,= = = =
-
λλ→
díasdías
Elnúmerodeátomosylamasasondirectamenteproporcionales:
m m = ⋅ = ⋅ ⋅ =- ⋅ - - ⋅
-
06 0 178 7 6
20 10 51
e g et días díasλ , , ,,17 106
⋅- g
18. Se han encontrado unos restos arqueológicos de edad desconocida.Entre ellos apareció una muestra de carbono que contenía una octavaparte del isótopo del carbono 14C que se encuentra en la materia viva(solo queda 1/8 del 14C original). Teniendo en cuenta que el periodode semidesintegración del 14C es de 5730 años:
a) Hallar la edad de dichos restos.
b) Si en la actualidad en la muestra tenemos 1012 átomos de 14C,¿cuál será la actividad de la muestra?
(Cantabria, 2005)
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383
Solucionario
a) Obtenemosλapartirdelperiododesemidesintegración:
T 1 2
2 /
ln=
λ→
T 1 2
42 2
57301 21 10
/
ln ln,= = = ⋅ -λ→
añosañoos-1
Entonces:
N N N
N = ⋅ = ⋅
=
- ⋅ - ⋅ ⋅- -
0
0
01 21 10
81
8
4 1
e e
e
t años tλ→ →
→
,
-- ⋅ - -- -
= - ⋅1 21 10 4 14 1 1
81 21 10
, · ln , ·años t años→ t →→
→ t =-
-=
- -
ln
, ·
8
1 21 104 1años
17 185 años
b) Laactividaddelamuestraes:
A N = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅
- -
λ
1 21 10 10 1 21 104 1 12 8
, ,año desintegrraciones/año
19. Entre los materiales gaseosos que pueden escapar de un reactor nuclearse encuentra el 131
53 I, que es muy peligroso por la facilidad con que se fijael yodo en la glándula tiroides.
a) Escribe la reacción de desintegración sabiendo que se tratade un emisor b-.
b) Calcula, en unidades del SI, la energía total liberada por el nucleido
al desintegrarse.Datos: masa (131I) = 130,906 12 uma; masa (131Xe) = 130,905 08 uma;masa (b-) = 5,4891 ⋅ 10-4 uma; 1 uma [1 u] = 1,6605 ⋅ 10-27 kg;c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1.
(P. Asturias, 2007)
a) Lareacciónquetienelugares:
53
131
1
0
54
131I Xe→ - +β
b) Lavariacióndemasaes:Dm m m m = - +
=
=
-( ) ( ) ( )
,
53
131
54
131 0I Xe1
130
β
9906 12 130 905 08 5 489 1 10
4 911 10
4u u- + ⋅ =
= ⋅
-
-
( , , )
, 44 u
Entonces:
D DE m c = ⋅ =
= ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅--
2
427
4 911 101 6605 10
3 1,,
(ukg
1 u00 7 34 10
8 2 14m/s J) ,= ⋅ -
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384
10Relatividad. Física nuclear
20. Complete las siguientes reacciones nucleares:• 11
2312
1124Na H Na …+ +→ • 15
301430P Si …→ +
• 1327
24
1530Al He P …+ +→ • 4
96
1201Be … C n …+ +→
(Extremadura. Junio, 2005)
Lasreaccionescompletasson:
•11
23
1
2
11
24
1
1Na H Na p+ +→ •15
30
14
30
1
0P Si→ + ++β
• 13
27
2
4
15
30
0
1
Al He P n+ +→ • 4
9
2
4
6
12
0
1
Be C n+ +α →
21. En una reacción nuclear hay una pérdida de masa de 8,31 ⋅ 10-10 kg.¿Cuánta energía se libera en el proceso? Expresa el resultado en J y en kWh.
(c = 3,00 ⋅ 108 m/s.)
(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2006)
Laenergíaliberadaes:
D DE m c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
-2 10 8 2
7
8 31 10 3 10
7 48 10
, ( )
,
kg m/s
JJ W s= ⋅ ⋅7 48 107,
ExpresándoloenkWh:
7 48 10 7 48 107 7, ,⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =J W s
1 kW
1000 W
1 h
3600 s20,788 kWh
22. a) Explica brevemente la fusión y la fisión nuclear y en qué se utilizan
dichos procesos.b) ¿Cuál de los procesos anteriores utiliza el Sol?
c) El Sol radia unos 1034 J/año. ¿Cuánto varía la masa del Sol cada año[por este motivo]?
(Cantabria, 2006)
a) Lafisiónnuclearesunprocesoenelqueunnúclido,generalmente
demasaelevada,serompeendosfraccionesmáspequeñas.
Adíadehoy,ademásdesuutilizaciónenlafabricacióndearmas
dedestrucción,tienemúltiplesaplicacionesciviles,comolaobtencióndeenergíapormediodelascentralesnucleares
odepotentesyduraderosgeneradoresdeenergíaenlugares
dedifícilabastecimiento,comoenlossubmarinosorompehielos.
Lafusiónnuclearesunprocesoenelquedosnúclidosdemasa
bajaseunendandounnúclidodemasamásalta.
Lamasadelosproductosdelafusiónesligeramente
inferioralamasadelosreactivos,loquedeterminalaliberación
delacantidadequivalentedeenergía.
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385
Solucionario
Siselograserealizarlafusiónatemperaturasaccesibles,
tendríamoselmétodoidealparaobtenergrandescantidades
deenergíadeunamaneramuypococontaminante.
b) EnelSol(yengeneral,enlasestrellas)seproducefusiónnuclear.
LasaltastemperaturasquesedanenelSolyenotrasestrellas
favorecenlosprocesosdenucleosíntesisenlosquenúcleos
demasabajaseunenparaformarotrosdemasamayor.
ElhelioesunodeloselementosmásabundantesdelSol,
dondeseformaporcombinacióndenúcleosdehidrógeno.
c) Calculamoslavariacióndemasaapartirdelaenergíaradiada:
D D
DD
E m c
m E
c
= ⋅
= =⋅
=
2
2
34
8 2
10
3 101 11
→
→J/año
m/s( ), ⋅⋅ 10
17 kg/año
Aunqueesunamasamuygrande,espequeñacomparada
conlamasadelSol(2⋅1033kg).
23. ¿Por qué los isótopos empleados en medicina tienen una vida media corta,en general?
Parapoderobtenerresultadosenunespaciodetiemporeducido.
24. Da una respuesta razonada que justifique el hecho de que el métododel carbono-14 no pueda usarse en restosarqueológicos de centenas de miles de años de antigüedad.
Debidoalperiododesemidesintegracióndelcarbono-14,
queesdeunospocosmilesdeaños,alcabodecentenas
demilesdeañosdeantigüedadprácticamentetodo
elcarbono-14delamuestravivasehabrádesintegrado,
porloqueelerrorestimadoenlamedidaserámuyalto.
25. Un vehículo espacial se aparta de la Tierra con una velocidad de 0,5c .Desde la Tierra se envía una señal cuya velocidad es medidapor la tripulación, obteniendo un valor de:
a) 1,5c . b) c .
c) 0,5c .
(Galicia, 2007)
Larespuestacorrectaeslab),yaquelaluzsemueveenelvacío
convelocidadc cualquieraqueseaelmovimientorelativoentre
dossistemasinerciales,esdecir,tantosielmovimientoesdelafuente
luminosacomosiesdelobservador.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 386/407
386
10Relatividad. Física nuclear
26. Se hacen girar partículas subatómicas en un acelerador de partículasy se observa que el tiempo de vida medio es t 1 = 4,2 ⋅ 10-8 s.Por otra parte, se sabe que el tiempo de vida medio de dichas partículas,en reposo, es t 0 = 2,6 ⋅ 10-8 s. ¿A qué velocidad giran las partículasen el acelerador? Razona la respuesta.
Dato: velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s.
(C. Valenciana, 2002)
Teniendoencuentalarelaciónrelativistaentreelintervalodetiempo
enreposoyparalaspartículasenelacelerador:
DD
D D D
D D
t t
v
c
t t t v
c
t t
=
-
= ⋅ = ⋅ -
= ⋅
'' '
'
1
12
2
2
2
2 2
g → →
→ 11
2
2-
v
c →
→ v c t t
c = ⋅ - = - ⋅⋅
=-
-1 1 2 6 104 2 10
0
2
2
8 2
8 2DD
'⋅ ( , )
( , ),,79 ⋅ c
27. ¿Cuál debe ser la velocidad de una varilla para que su longitudsea la tercera parte que en reposo?
(La Rioja, 2006)
Deacuerdoconlateoríadelarelatividadespecial:
L L L
v
c
L L v c
L= ⋅ =
-
= = - ⋅g ''
'
13
12
2
2
2→ →
→ →1
91 1
1
90 94
2
2= - = ⋅ - = ⋅
v
c v c c ,
28. Nuestra experiencia nos dice que cuando un cuerpo se ve sometidoa la acción de una fuerza durante un tiempo, su energía cinéticaaumenta, ya que aumenta su velocidad. Supongamos que la fuerza actúadurante un tiempo indefinido, ¿podemos decir que su energía cinéticaaumenta de forma indefinida porque su velocidad aumentade la misma manera?
Desdeelpuntodevistaclásiconoexisteningúnlímiteaestehecho,
loqueindicaquesilafuerzatieneelvaloradecuadoyactúa
duranteeltiemposuficiente,laenergíadelcuerpopodríacrecer
indefinidamente.
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 387/407
387
Solucionario
Larelatividadespecialjustificaquelavelocidaddelcuerpo
nopuederebasarlavelocidaddelaluz,porloquedebemos
pensarque,enesascircunstancias,lamasadelcuerpo
nopermanececonstante,sinoqueaumentaenlamedida
enquelohacesuenergía.
Encontradeloquesuponíalafísicaclásica,lamasa
deloscuerposvaríaenfuncióndesuvelocidad,yasí
hablamosdeunamasarelativistam. (Aunquehabitualmente
seempleaeltérminomasa parareferirnosalamasa
enreposodeunapartícula.)
29. La energía total relativista de un cuerpo ¿puede ser mayorque su energía en reposo? ¿Puede ser igual? ¿Puede ser menor?Razona en qué condiciones se debe encontrar el cuerpo para que se denla respuesta o respuestas adecuadas.
Recordamoslaecuaciónvistaenestaunidad:
E m c m c m c m c C = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ - ⋅g 02
02 2
02
• LlamamosE =m ⋅ c 2alaenergíarelativistatotaldeuncuerpo.
Suvalordependedelavelocidadalaquesedesplace.
• LlamamosE 0=m 0 ⋅ c 2alaenergíaenreposodelapartícula.
Laenergíarelativistatotaldeuncuerpoeslasumadesuenergía
cinéticaysuenergíaenreposo:
E E E = +C 0
Laenergíatotalrelativistasiempreesmayorquesuenergía
enreposocuandoelcuerposeencuentraenmovimiento,
yaque,almoverseaunadeterminadavelocidad,suenergíacinética
esmayorquecero.
30. La ecuación de Einstein E = m ⋅ c 2 implica que:
a) Una determinada masa m necesita una energía E para ponerseen movimiento.
b) La energía E es la que tiene una masa m que se mueve a la velocidadde la luz.
c) E es la energía equivalente a una determinada masa.(Galicia, 2005)
Enlosprocesosnucleareselconjuntodelassustancias
quesetransformasuelenexperimentarunadeterminada
pérdidademasaqueseconvierteenenergía.Deacuerdo
conlaecuacióndemasa,laenergíaequivalenteaunapérdida
demasam vienedadaporlaexpresiónE =m ⋅ c 2.Larespuesta
correctaeslac).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
http://slidepdf.com/reader/full/114688089-fisica-solucionario-2o-bachillerato-santillana 388/407
388
10Relatividad. Física nuclear
31. La energía del Sol llega a la Tierra con una potencia de 1,4 kW/m2
.Considerando que la Tierra está a 1,5 ⋅ 1011 m del Sol, calcula la cantidadde masa que pierde diariamente el Sol para poder aportar la energíaque emite.
LapotenciadelaenergíasolarquellegaalaTierraporunidad
desuperficiepermitecalcularlapotenciaemitidaporelSol:
P P S P
R S
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
S2
W
mm→ 1 4 10 4 1 5 10
3 11 2
42
, ( , )π
π
= ⋅3 958 10
26, W
Eldatodelapotenciapermitecalcularlaenergíaemitida
porelSolenundía:
P E
t E P t = = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅= ⋅→ 3 958 10
24 36003 42 1
26, ,J
s
s
1 día00
31 J
día
Admitiendoqueestaenergíaprocededelapérdidademasa
delSolyteniendoencuentalarelacióndeEinstein:
E m c m E
c = ⋅ = = ⋅
⋅=D D2
2
31
8 2
3 42 10
3 103→
,
( ),
J/día
m/s88 1014⋅ kg
Aunqueesunamasagrandeentérminosterrestres,espequeña
silacomparamosconlamasadelSol(2⋅1030kg).
32. Calcula cuánta energía hay que comunicar a un electrón que se encuentraen reposo para que se mueva a una velocidad que sea el 80%de la velocidad de la luz.
Datos: masa del electrón, 9,11⋅
10-31
kg; velocidad de la luz,c = 3 ⋅ 108 m/s.
Alelectrónhayquecomunicarleunaenergíaigualalaenergíacinética
quedebeadquirir:
E E E
m c m c m c m c m
C = - =
= ⋅ - ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = - ⋅ ⋅
0
20
20
20
201g g( ) c c 2 →
→ E v
c
m c C =
-
-
⋅ ⋅1
1
12
2
0 22 →
→ E
c
c
C kg m/s=
-⋅
- ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-1
10 8
1 9 11 10 3 10
2 2
2
31 8 2
,
, ( ) ==
= ⋅ -5 47 10
14, J
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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389
Solucionario
33. La masa en reposo de un protón es 1,67 ⋅ 10-27
kg y se muevea una velocidad que es 0,8 ⋅ c . Calcula:
a) Su energía total. c) Su cantidad de movimiento.
b) Su energía cinética.
a) E =m ⋅ c 2,donde:
m m m
v
c
c
c
= ⋅ =
-
=⋅
-⋅
=
-
g 00
2
2
27
2 2
2
1
1 67 10
10 8
2 7,
,
,kg
88 1027
⋅- kg
Portanto:
E m c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- -2 27 8 2 10
2 78 10 3 10 2 502 10, ( ) ,kg m/s JJ
b) Energíacinética:
E E E m c m c m m c C
kg
= - = ⋅ - ⋅ = - ⋅ =
= ⋅-
02
02
02
272 78 10
( )
( , -- ⋅ ⋅ ⋅- -
1 67 10 3 10 1027 8 2 10, ) ( )kg m/s J
c) Cantidaddemovimiento:
p m v m c = ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =-
0 8
2 78 10 0 8 3 10 627 8
,
, , ,kg m/s 6672 1019
⋅ ⋅- kg m/s
34. ¿Con qué velocidad se mueve una partícula si su energía total es el tripleque su energía en reposo?
LlamamosE =m ⋅ c 2alaenergíarelativistatotaldeuncuerpo.
Suvalordependedelavelocidadalaquesedesplaza.
LlamamosE 0=m 0 ⋅ c 2
alaenergíaenreposodelapartícula.Larelaciónentreambasequivalealarelaciónentrelamasarelativista
ylamasaenreposodelapartícula.
m m m
v
c
= ⋅ =
-
g 00
2
21
Portanto:
3
11
10 0
0
2
2
0 2
2
= = =
-
=
-
E
E
m
m
m
v
c
m v
c
→
→ → →91
1
11
91
1
90 94
2
2
2
2=
-
- = = ⋅ - = ⋅
v
c
v
c v c c ,
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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390
10Relatividad. Física nuclear
35. En un experimento realizado en un acelerador de partículas se hacenchocar dos haces de protones que avanzan a la misma velocidad.Como resultado de la colisión se genera un par protón-antiprotón(el antiprotón es una partícula con la misma masa que el protón, p+,pero con carga opuesta, p-). Calcula:
a) La mínima energía relativista que debe tener cada protón paraque se produzca ese hecho.
b) La masa relativista de cada protón.
c) La energía cinética de cada protón.
d) La velocidad del protón.
Datos: masa (p+) = masa (p-) = 1,67 ⋅ 10-27 kg; velocidad de la luz,c = 3 ⋅ 108 m/s.
Podemosrepresentarelprocesomediantelaecuación:
(p++p+)*→(p++p+)+(p++p-)
a) Lamínimaenergíarelativistaesaquellaquepermitequeelpar
deprotonesdespuésdelchoqueyelparprotón-antiprotón
quesegeneraesténenreposo:E E E E E = + =C mínima0 0→
Deacuerdoconelprincipiodeconservacióndelaenergía
relativista:
E E m m c m c inicial final p p p= = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅
+ - +( )3 4
4
2 2
11 67 10 3 10 6 012 1027 8 2 10, ( ) ,⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- -kg m/s J
Laenergíainicialeslaenergíarelativistadecadauno
delosprotonesquechocan:
E E E E
inicial p pinicial J
= ⋅ = =⋅
=+ +
-
22
6 012 10
2
10
→,
33 1010
⋅ -J
b) Paracalcularlamasarelativistadecadaprotóntendremos
encuentalaecuación:
E m c m E
c = ⋅ = =
⋅
⋅= ⋅
--2
2
10
8 2
273 10
3 103 33 10→
J
m/s( ), kkg
c) Calculamoslaenergíacinéticaapartirdeladiferenciademasaqueexperimentaelprotón:
E m c m m c C O
kg
= ⋅ = - ⋅ =
= ⋅ - ⋅- -
D 2 2
27 23 33 10 1 67 10
( )
( , , 77 8 2 103 10 1 49 10kg m/s J) ( ) ,⋅ ⋅ = ⋅ -
d) Paracalcularlavelocidadtendremosencuentalarelación
entrelamasaenreposoylamasarelativistaparacadaprotón
(aestasvelocidadeslarelaciónE mv C =1
2
2noesválida).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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391
Solucionario
Portanto:
m m m
v
c
v
c
m
m
v
c
m
m
= ⋅ =
-
- =
- =
g 00
2
2
2
2
0
2
2
0
1
1
1
→ →
→
= -
= ⋅ -
2
2
2
0
2
0
1 1
→
→ →
v
c
m
m v c
m
m
2
Sustituyendo:
v c = ⋅ -⋅
⋅
-
-1
1 67 10
3 33 10
27
27
,
,
kg
kg
22
0 865= ⋅, c
36. ¿Con qué rapidez debe convertirse masa en energía para producir 20 MW?
Dato: velocidad de la luz, c = 3 ⋅ 108 m/s.(C. Valenciana, 2000)
20MWcorrespondena20⋅106Jenunsegundo.Deacuerdo
conlaecuacióndeEinstein:
E m c m = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅D D2 6 8 220 10 3 10→ →J/s m/s( )
→ Dm =⋅
⋅= ⋅ -20 10
3 102 22 10
6
8 2
10J/s
m/skg
( ),
Estaeslamasaquedebeconvertirseenenergía
encadasegundo.
37. Estudia los siguientes núclidos y establece entre ellos todaslas relaciones que puedas. Señala los que pertenecen al mismoelemento químico:
1631
1530
1731
1633
1734X; Y; Z; W; P
• 16
31
17
31
X y Zsonisóbaros(tienenelmismonúmeromásico).
• 16
31
16
33X y Wsonisótopos(tienenelmismonúmeroatómico).
Pertenecenalmismoelementoquímico.
• 17
31
17
34Z y Psonisótopos(tienenelmismonúmeroatómico).
Pertenecenalmismoelementoquímico.
• 16
31
15
30X y Ysonisótonos(tienenlamismacantidaddeneutrones).
• 16
33
17
34W y Psonisótonos(tienenlamismacantidaddeneutrones).
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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392
10Relatividad. Física nuclear
38. ¿Por qué la masa de un núclido estable es más pequeña que la sumade las masas de sus nucleones? ¿Cómo se llama esta diferencia?
(Islas Baleares. Septiembre, 2005)
Ladiferenciaentrelasmismasseexplicaconsiderandoqueeste
defectodemasaseconvierteenenergíaenelprocesodeconstitución
delnúcleoapartirdesusnucleones.Estaenergíasedenomina
energíadeenlacedelnúclido.
39. El 88226
Ra emite partículas alfa dando lugar a Rn.a) Escriba la ecuación de la reacción nuclear y determine la energía
liberada en el proceso.
b) Calcule la energía de enlace por nucleón del Ra y del Rn y discutacuál de ellos es más estable.
Datos: c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1; m Ra = 226,0254 06 u;m Rn = 222,017 574 u; m p = 1,007 95 u; m n = 1,008 98 u;m a = 4,002 603 u; 1 u = 1,66 ⋅ 10-27 kg.
(Andalucía, 2006)a) Lareacciónes: 88
226
2
4
86
222Ra Rn→ α +
Defectodemasa:
Dm m m m = - + =
=
( ) [ ( ) ( )]
,
88
226
2
4
86
222Ra Rnα
226 025 4006 4 002 603 222 017 574 5 229 103u u u u- + = ⋅ -( , , ) ,
Entonces:
D DE m c
= ⋅ =
= ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅--
2
327
85 229 10
1 66 103 10,
,(u
kg
1 umm/s J) ,2 13
7 812 10= ⋅ -
b) ElnúclidodeRntiene:
• Protones:Z =86. • Neutrones:A-Z =222-86=136.
Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =
= ⋅
( ) ( )
( ,
86 136
86 1 007 95
286
222p n
u
Rn
++ ⋅ - =
=
136 1 008 98 222 017 574
1 887 406
, ) ,
,
u u
u
Esdecir:
Dm = ⋅⋅
= ⋅
--
1 887 4061 6606 10
3 1342 10
2727,
,,u
kg
1 ukgg
Entonces:
E m c enlace Rn
kg m/s
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅-
D 2
27 8 23 1342 10 3 10, ( ) == ⋅ -
2 82 1010, J
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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393
Solucionario
Yqueda:
E E enlace Rn enlace Rn
nucleón nucleones= =
222
2 82, ⋅⋅=
= ⋅
-
-
10
222
1 27 10
10
12
J
nucleones
J
nucleón,
ElnúclidodeRatiene:
• Protones:Z =88. • Neutrones:A-Z =226-88=138.
Dm m m m = ⋅ + ⋅ - == ⋅
( ) ( )( ,
88 138
88 1 007 95
288
226
p n
uRa
++ ⋅ - =
=
138 1 008 98 226 025 406
1 913 43
, ) ,
,
u u
u →
→ Dm = ⋅⋅
= ⋅
--
1 913 431 6606 10
3 1774 10
2727,
,,u
kg
1 ukgg
Entonces:
E m c enlace Ra
kg m/s
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅-
D 2
27 8 23 1774 10 3 10, ( ) == ⋅ -
2 86 1010, J→
→
E E enlace Ra enlace Ra
nucleón nucleones= =
226
2 8, 66 10
226
1 26 10
10
12
⋅=
= ⋅
-
-
nucleones
J
nucleón,
Resumiendo:
• E enlace Rn
nucleónJ
nucleón= ⋅ -
1 27 1012,
•E enlace Ra
nucleón
J
nucleón= ⋅ -
1 26 1012,
SerámásestableelnúclidodeRn,yaquesuenergíadeenlace
pornucleónesmayor.
40. Calcula:
a) La energía media de enlace por nucleón de un átomo de 2040Ca
expresada en MeV.
b) La cantidad de energía necesaria para disociar completamente 1 gde 20
40Ca, expresando dicha energía en J.
Datos: masa atómica del 2040Ca = 39,975 45 u; masa atómica
del neutrón = 1,0087 u; masa atómica del protón = 1,0073 u;N A = 6,022 ⋅ 1023 átomos/mol; 1 u = 1,66 ⋅ 10-27 kg.
(Castilla y León. Junio, 2001)
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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394
10Relatividad. Física nuclear
a) ElnúclidodeCatiene:
• Protones:Z =20.
• Neutrones:A-Z =40-20=20.
Eldefectodemasaes:
Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =
= ⋅ +
( ) ( )
( , ,
20 20
20 1 0073 1 0
20
39p n Ca
u 0087 39 975 45 0 344 55u u u) , ,- =
Esdecir:
Dm = ⋅ ⋅ = ⋅- -
0 344 55 1 66 10 5 71953 1027 28, , ,u kg
1 ukg
Portanto:
E m c enlace Ca
kg m/s
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅-
D 2
28 85 719 53 10 3 10, ( )22 11
5 14758 10= ⋅ -, J
Yqueda:
E enlace Ca
nucleónJ
40 nucleones= ⋅ =
-
5 14758 10
11
, 11 28689 10 12, ⋅ - J/nucleón
EnMeV:
E enlace Ca
nucleónJ
1 eV= ⋅ ⋅
⋅
-
-1 286 89 10
1 6 1 0
12
1,
, 99 610J
1 MeV
eV8,043MeV⋅ =
b) Calculamoslacantidaddenúclidosquehayen1gdemuestra.
UtilizamoselnúmerodeAvogadroparacalcularlosátomos
quehayenlamuestra:
N N
m = =
⋅⋅ = ⋅
A núclidos
40 gg núc
6 022 101 1 51 10
2322,
, llidos
Laenergíadedisociaciónserá:
E N E disociacion enlace Ca= ⋅ =
= ⋅ ⋅1 51 10 5 1475822, , ⋅⋅ = ⋅-
10 7 75 1011 11
J J,
41. Calcula la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotéticacentral de fusión de 500 MW de potencia eléctrica en la que la energíase obtuviese del proceso 2 1
224H He→ suponiendo un rendimiento
del 30 %.
Datos: masa atómica del deuterio = 2,014 74 u;masa atómica del helio = 4,003 87 u;1 u = 1,66 ⋅ 10-27 kg; N A = 6,02 ⋅ 1023 átomos /mol.
(País Vasco. Junio, 2001)
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395
Solucionario
Calculamoslapérdidademasaylaenergíacorrespondiente
alprocesoindicado:
Dm m m = - = ⋅ - =
= ⋅
2 2 2 014 74 4 003 87
0 025 611
D He u u
u
, ,
,,666 10
4 25 10
2729⋅
= ⋅
--kg
1 ukg,
Laenergíaqueresultadeestapérdidademasa,teniendoencuenta
elrendimiento,es:
E m c = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-30
100
30
1004 25 10 3 10
2 29 8
D , ( )kg m/s22
12 1230
1003 825 10 1 15 10
=
= ⋅ ⋅ = ⋅- -, ,J J
Calculamoslaenergíaquedebedardiariamentelacentral:
P E
t
E P t
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
→
→ 500 10 243600
4 32 106 1J
s
hs
1h
, 33 J
día
Calculamoselnúmerodevecesquesetienequeproducir
diariamentelareacciónseñaladaparaobteneresacantidad
deenergía:
4 32 10
1 15 103 76 10
13
12
25,
,,
⋅
⋅= ⋅
-
J/día
J/procesopprocesos/día
Encadaprocesointervienen2átomosdedeuterio.Sumasa
nospermitecalcularlamasadeesteelementoquedebeutilizardiariamentelacentral:
m m = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅
N.º procesos D
átomos de D
d
2
3 76 10 225
( )
,í ía
u
átomo de D
kg
1 u⋅ ⋅
⋅
=
-2 014 74 1 66 10
0 25
27, ,
,
→
→ m kkg de D
día
42. Sabiendo que en la siguiente reacción nuclear: ZAX H He+ 1
1242→
se liberan 11,47 MeV de energía:
a) Escribe el isótopo ZAX que falta en la reacción.
b) Calcula la masa atómica de dicho isótopo.
Datos: masa atómica del hidrógeno = 1,0078 u;masa atómica del 4He = 4,0026 u; 1 u = 931 MeV.
(P. Asturias, 2001)
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396
10Relatividad. Física nuclear
a) Enlasreaccionesnuclearesseconservanlacargaeléctrica
yelnúmerodenucleones.Enconsecuencia:
• Z =2⋅2-1=3
• A=2⋅4-1=7
Elisótopoquefaltaes:
Z
A X X=3
7 →litio:3
7Li
b) ElnúcleodeHestáformadoporunsoloprotón,mientras
queelhelioestáformadopordosprotonesydosneutrones.
Estehechonospermitirádeterminarlamasadeunneutrón:MasanúcleoHe=2⋅masaprotón+2⋅masaneutrón→
→ →
→
4 0026 2 1 0078 2, ,u u masa neutrón
masa neutr
= ⋅ + ⋅
óónu
u u= - =4 0026
21 0078 0 9935
,, ,
Portanto:
m m
c c
m ( ) ( ) , (3
7
2
42 11 47Li He
MeV 1 u
931 MeV/
2 2= ⋅ + ⋅ -
11
1
3
7
2 4 0026 0 012 32 1 0078
H
u u u
Li
)
, , ,
( )
=
= ⋅ + -
=
→
→ m 77 009 72 6526, u MeV/ 2= c
43. En la desintegración b:
a) El número atómico aumenta en una unidad.
b) El número másico aumenta en una unidad.
c) Ambos permanecen constantes.(Galicia. Junio, 2005)
Laspartículasβsonelectrones.Cuandounnúclidoemite
unapartículaβsetransformaenotronúclidocuyonúmero
atómicoaumentaenunaunidadysunúmerodemasanovaría.
Larespuestacorrectaeslaa).
44. Un isótopo inestable del astato 85217At emite una partícula a
y se transforma en un elemento X, el cual emiteuna partícula b y da lugar al elemento Y. Establece los númerosmásico y atómico de X e Y.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)
Cuandounnúclidoemiteunapartículaαsetransformaenotronúclido
cuyonúmeroatómicodesciendeendosunidades,ysunúmero
demasa,encuatro.
85
217
2
4
85 2
217 4
83
213At X X→ ⇒α + --
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397
Solucionario
Cuandounnúclidoemiteunapartículaβsetransformaenotronúclido
cuyonúmeroatómicoaumentaenunaunidadysunúmerodemasa
novaría.
83
213
1
0
83 1
213
84
213X Y Y→ ⇒- ++β
45. a) ¿Cómo se puede explicar que un núcleo emita partículas b si en él soloexisten neutrones y protones?
b) El 90232Th se desintegra, emitiendo 6 partículas a y 4 partículas b,
dando lugar a un isótopo estable del plomo. Determine el númeromásico y el número atómico de dicho isótopo.
(Andalucía, 2006)
a) Lapartículaqueseliberaenestadesintegraciónbeta
esunelectrón,sibienprocededelnúcleodelátomocomo
resultadodeladesintegracióndeunneutrón;notiene
queverconloselectronesqueexistenenlacorteza
delosátomos.
Hayquerecordarqueelmecanismodeladesintegraciónbetaes:
0
1
1
1
1
0n p e e→ + +- ν ; --
-=1
0
1
0β e
b) Alemitirlas6partículasαseobtendráunnúclidocuyonúmero
atómicodesciendeen12unidadesysunúmeromásicodesciende
en24unidades.Elefectodelaemisióndelas4partículasβ
seráunnúclidocuyonúmeroatómicoaumentaen4unidades.
Entotaltendremosunnúclidocuyonúmeroatómico
desciendeen8unidades(12-4)ysunúmeromásicodesciende
en24unidades:
90
232
2
4
1
0
90 8
232 24
90
232
2
46 4 6Th X ; Th→ →α β α+ +- -
- ++ +-41
0
82
208β Pb
46. a) Defina las siguientes magnitudes asociadas a los procesosde desintegración radiactiva: actividad radiactiva (A),periodo de semidesintegración (T ) y vida media (τ).
b) Se tiene un mol de 214Pb, isótopo radiactivo cuyo periodode semidesintegración es de 27 minutos. ¿Al cabo de cuánto tiempo
quedará solo el 10% del material inicial? ¿Qué actividad A tienela muestra en ese momento?
(Aragón, 2007)
a) Llamamosactividadradiactiva (A)alnúmerodenúclidos
quesedesintegranporunidaddetiempo.Suvalordepende
deltipodenúclidoydelnúmerodenúclidospresentes(N ):
AdN
dt N = - = ⋅λ
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398
10Relatividad. Física nuclear
Sedenominaperiododesemidesintegración(T 1/2)altiempo
quetardaendesintegrarselamitaddelosnúcleosquehabía
enlamuestra.Eneseinstante:N =N 0 /2.
ln/
lnln
/ / / N
N T T T
0
0
1 2 1 2 1 2
22
2= - ⋅ - = - ⋅ =λ λ
λ→ →
Sedenominavidamedia(τ)deunnúclidoaltiempoquedura
unnúclidoportérminomedio.
Esunconceptoestadísticocomparablealoqueconocemos
como«esperanzadevida»enlaspoblacioneshumanas.Serelacionaconelperiododesemidesintegraciónpormedio
delaexpresión:
τλ
= =1
2
1 2T /
ln
b) SiqueremosdeterminareltiempoenelqueN =0,1⋅N 0:
N N N N = ⋅ ⋅ = ⋅- ⋅ - ⋅
0 0 00 1e et tλ λ→ ,
Calculamoslaconstantededesintegraciónapartirdeldatodelperiododesemidesintegración:
T T
1 2
1 2
22 2 2
272 567 10 /
/
ln ln ln
min, min= = = = ⋅
- -
λλ→
11
Portanto:
0 1 0 10 02 567 10
2 1
, ,
ln
,⋅ = ⋅ =
- ⋅ - ⋅ ⋅- -
N N e et min tλ→ →
→ 00 1 2 567 10
0 1
2 567 10
2 1
2
, ,
ln ,
,
= - ⋅ ⋅
=- ⋅
- -
-
min t
t
→
→
mmin89,7 minutos
-=
1
Laactividaddelamuestraenesemomentoes:
AdN
dt N = - = ⋅λ
N correspondealadécimapartedeunmol.
N =⋅
= ⋅6 022 10
106 022 10
2322,
,núclidos
núclidos
Así:
A N = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
- -λ 2 567 10 6 022 10
1
2 1 22, min , núclidos
,, ,55 10 1 55 1022 22
⋅ = ⋅núclidos/minnúclidos
min⋅
11min
60 s
Bq
=
= ⋅2 58 1020,
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399
Solucionario
47. Se tienen 200 g de una muestra radiactiva cuya velocidadde desintegración es tal que al cabo de un día le quedasolo el 75% de la misma. Calcula:
a) La constante de desintegración.
b) La masa que quedará después de 22 días.
(Castilla-La Mancha. Junio, 2007)
a) Calculamosλ:
N N N
N = ⋅ = =
= - ⋅
- ⋅ - ⋅
0
0
1
0 75
0 75 1
e e
día
λ λ
λ λ
t→ →
→ →
,
ln , == - = =-ln ,
,0 75
16 9
día0,287 68 día 1 h
b) CalculamosN .Comolamasaesproporcionalalnúmero
departículas:
m m m m = = =- ⋅ - ⋅
-
0 00 287 68 22
1
1 78⋅ ⋅e et días díasλ→
, , ⋅⋅
= ⋅ ⋅ =
-
-
103
→ m 1,78 10 200 g 0,356 g3
48. El periodo T 1/2 del elemento radiactivo 2760Co es 5,3 años y se desintegra
emitiendo partículas b.
Calcula:
a) El tiempo que tarda la muestra en convertirse en el 70% del original.
b) ¿Cuántas partículas b emite por segundo una muestra de 10-6 gramosde 27
60Co?
Dato: N A = 6,02 ⋅ 1023 mol-1.
(Galicia. Septiembre, 2005)
a) Tenemos:
N N = ⋅- ⋅
0 e tλ
SiqueremosdeterminareltiempoenelqueN =0,7⋅N 0:
0 7 0 0, ⋅ = ⋅- ⋅N N e tλ
Calculamoslaconstantededesintegraciónapartirdeldato
delperiododesemidesintegración:
T T
1 2
1 2
12 2 2
5 30 1308 /
/
ln ln ln
,,= = = =
-
λλ→
añosaños
Entonces:
0 7 0 7 0 7 0 13080 1308, , ln , ,,
= = = -- ⋅ - ⋅e e at años tλ
→ → ñños
años2,7269 años
⋅
= - =
t
t
→
→ln ,
,
0 7
0 1308
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400
10Relatividad. Física nuclear
b) CadaátomodeCoemiteunapartículabeta.Calculamoselnúmero
deátomosquehayenlamuestrayesaserálaN quenospermite
calcularlaactividady,portanto,elnúmerodepartículasbeta
queseemitencadasegundo:
N = ⋅⋅
= ⋅-10
6 02 10
601 10
623
16gátomos
gátomos
,
Portanto:
A N = ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅
-λ 0 1308 1 10
1 308 10
1 16,
,
años núclidos
115 7
365 24 36004 15 10núclidos
año1 año
sBq⋅
⋅ ⋅= ⋅,
49. Cuando se bombardea nitrógeno 147N con partículas alfa se generan
el isótopo 178O y otras partículas. La reacción es:
a)7
1424
817N O p+ +a →
b)7
1424
817N O n+ + +a b→
c) 714 24 817N O p n+ + + +a γ→
(Galicia. Junio, 2006)
Larespuestacorrectaeslaa),yaqueeslaúnicaconlaquesecumplen
elequilibriodenucleonesydecargasaamboslados.
50. ¿Cuál de las siguientes reacciones nucleares representa el resultadode la fisión del 235
92U cuando absorbe un neutrón?
a)82
209 5 3 4Pb p n+ + +a
b)3890
54140 6Sr Xe n+ + + b
c)56
1413692 3Ba Kr n+ +
(Galicia. Septiembre, 2006)
Enlasreaccionesnuclearesseconservalacargayelnúmero
totaldenucleones.Cuandoeluranioabsorbeunneutrón,elnúmero
denucleoneses:
92
235
0
1U n+
• Z =92
• A=235+1→A=236
Hacemosunbalancesimilarencadaunadelasposibilidades
quesenosofrecen:
a) Z ' =82+5⋅2+3=95;A' =209+5⋅4+3+4=236→
→Incorrecto.
b) Z ' =38+54-1=91;A' =90+140+6=236→Incorrecto.
c) Z ' =56+36=92;A' =141+92+3=236→Correcto.
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401
Solucionario
51. En noviembre de 2006, el ex espía A. Litvinenko murió por intoxicaciónradiactiva al haber inhalado o ingerido 84210Po. El 84
210Po es inestabley emite una partícula a transformándose en Pb.
a) Escribe la ecuación de desintegración correspondientey determina los números másico y atómico del isótopodel Pb resultante.
b) Explica por qué el 21084Po es letal por irradiación interna (inhalación
o ingestión) y no por irradiación externa.
(Castilla-La Mancha, 2007)a) Lareacciónes:
84
210
2
4
82
206Po Pb→ α +
b) Larazónestáenelpoderdepenetracióndelaspartículasα.
Sonpartículasmuyenergéticas,peroconpocopoder
depenetración,loquehacequenoatraviesenlapiel.
52. a) Define los isótopos radiactivos.b) Enumera las partículas o radiaciones emitidas.
c) Indica los efectos de las radiaciones en los seres vivos.
d) Comenta las principales aplicaciones de dos isótopos radiactivosimportantes.
(P. Asturias, 2006)
a) Isótopos:sonátomosquecoincidenenelnúmeroatómico(Z )
ysediferencianenelnúmeromásico(A).Losátomos
delosnúclidosisótopospertenecenalmismoelementoquímico.
Enalgunoscasossoninestables,loquedetermina
queevolucionentratandodealcanzarunestadoenergéticamente
másfavorable.Paralograrlo,producenemisionesradiactivas.
b) • Rayosα:sonpartículaspositivasformadaspordosportones
ydosneutrones:2
4α.SelesconsideranúcleosdeHe.
Formanunaradiaciónionizante(escapazdearrancarpartículas
cargadasalamateria)quetienemuypocopoderdepenetración;
unpapelolapielhumanalapuedendetener.• Rayosβ:sonpartículasnegativasidénticasaloselectrones.
Supoderdepenetraciónesmayorqueeldelaspartículasα,
perosonretenidasporunaláminadelgadademetal;
porejemplo,aluminio.
• Rayosg:esradiaciónelectromagnética,poresonosedesvía
alatravesaruncampoeléctrico.Tieneungranpoder
depenetración,másquelosrayosX;paradetenerlaespreciso
utilizargruesascapasdehormigón.
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402
10Relatividad. Física nuclear
Poderdepenetraciónydesviación:
Radiaciónα Rayog
Radiaciónβ
RayosX
Radiacióng
Aluminio
Plomo Hormigón
Mineraldeuranio
Bloquedeplomo
Placaseléctricas
Partículaβ
Partículaα
Papel
-
+
c) Lasradiacionesquealcanzanlostejidosdelosseresvivostienen
unefectodestructorsobresuscélulas,deahíqueseempleenen
tratamientosanticancerígenos.Silostejidossanossonalcanzados
porunaradiaciónradiactiva,puedensufrirgravesdestrozos
osufriralteracionessignificativaseneldesarrollodesuscélulas
queprovoquenlaaparicióndecánceres,comoleucemias.
Algunosisótoposradiactivossefijandeformaselectivaadeterminados
tiposdecélulas,loquepermitequeseutilicenendiagnósticoclínico.
d) Algunosisótoposradiactivosseempleanparaobtenergrandes
cantidadesdeenergíaquesepuedenutilizarparafinespacíficos,comolascentralesnuclearesolosreactoresnucleares
quepermitenlanavegacióndesubmarinos;oconfines
destructivos,comolasbombasolosmisilesnucleares.
Otrosisótoposradiactivosseusanentratamientosmédicos
quebuscanladestrucciónselectivadecélulasmalignas,
comolasdelcáncer,oeneldiagnósticodeenfermedades.
Tambiénseutilizanlosisótoposradiactivosparadatarrestos
arqueológicos(datacióncon14C),yentareasdeanálisis
oinvestigación,enlasqueseempleancomotrazadores.
53. El siguiente esquema indica los núclidos de la desaparecida seriedel neptunio. Complétala señalando el número atómico de cada núclidoy las partículas que se emiten cada vez que uno se transforma en elsiguiente. Comprueba que estos núclidos cumplen la regla de A = 4n + 1.
α
α
β-
β-
237Np
233U
229 Th
225Ra
221Fr
217At
209 Ti
217Rn
209Pb
209Bi
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403
Solucionario
Solución:
0-1β
0-1β
0-1β
0-1β
0-1β
0-1β
42α
42α
42α
4
2α4
2α4
2α4
2α
42α
42α
n = 59 n = 58
n = 58 n = 57
n = 56
n = 56
n = 55 n = 54 n = 53 n = 52
n = 53n = 54 n = 52
n = 52
23793Np
23391Pa
23392U
22990 Th
22588Ra
22589Ac
22187Fr
21785At
21383Bi
20981 Tl
21786Rn
21384Po 209
82Pb
20983Bi
Comoseapreciaenelesquema,todoslosnúclidostienenunnúmero
másicoAtalqueA=4n +1,donden esunnúmeroentero.
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404
140,158
CeCerio
140,959
PrPraseodimio
144,260
NdNeodimio
(145)61
PmPrometio
150,462
SmSamario
I A
LANTÁNIDOS
ACTÍNIDOS
183,874
WWolframio
(266)106
SgSeaborgio
1,01
HHidrógeno
6,93
LiLitio
9,04
BeBerilio
23,011
NaSodio
24,312
MgMagnesio
39,119
KPotasio
40,120
CaCalcio
45,021
ScEscandio
47,922
TiTitanio
50,923
VVanadio
52,024
CrCromo
54,925
MnManganeso
55,826
FeHierro
85,537
RbRubidio
87,638
SrEstroncio
88,939
YItrio
91,240
ZrCirconio
92,941
NbNiobio
95,9
42
MoMolibdeno
(97,9)43
TcTecnecio
101,144
RuRutenio
132,955
CsCesio
137,356
BaBario
138,957
LaLantano
178,572
HfHafnio
180,973
TaTántalo
186,275
ReRenio
190,276
OsOsmio
(223)87
FrFrancio
(226)88
RaRadio
(227)89
AcActinio
(261)104
RfRutherfordio
(262)105
DbDubnio
(264)107
BhBohrio
(277)108
HsHassio
232,090
ThTorio
231,091
PaProtactinio
238,092
UUranio
(237)93
NpNeptunio
(244)94
PuPlutonio
II A
7
6
F
F
Configuraciónelectrónica s1 s2 d1 d2 d3 d4 d5 d6
GRUPO 2 3 4 5 6 7 81
f1 f2 f3 f4 f5
III B IV B V B VI B VII B
P E R I O
D O
3
4
5
6
7
1
2
ORBITALES
5s 4d
5p
6s 4f
5d 6p
7s 5f
6d 7p
1s
2s 2p
4s 3d
4p
3s 3p
40,120
CaCalcio
Masa atómica (u)
Símbolo
Nombre
Número atómico
Anexo I. Sistema periódico de los elementos
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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405
157,264
GdGadolinio
158,965
TbTerbio
162,566
DyDisprosio
168,969
TmTulio
173,070
YbIterbio
175,071
LuLutecio
27,013
AlAluminio
28,114
SiSilicio
31,015
PFósforo
32,116
SAzufre
35,517
ClCloro
39,918
ArArgón
10,85
BBoro
12,06
CCarbono
14,07
NNitrógeno
16,08
OOxígeno
19,09
FFlúor
20,210
NeNeón
4,02
HeHelio
58,927
CoCobalto
58,728
NiNíquel
63,529
CuCobre
65,430
ZnCinc
69,731
GaGalio
72,632
GeGermanio
74,933
AsArsénico
79,034
SeSelenio
79,935
BrBromo
83,836
KrCriptón
102,945
RhRodio
106,446
PdPaladio
107,947
AgPlata
112,448
CdCadmio
114,849
InIndio
118,750
SnEstaño
121,851
SbAntimonio
127,652
TeTeluro
126,953
IYodo
131,354
XeXenón
192,277
IrIridio
195,178
PtPlatino
197,079
AuOro
200,680
HgMercurio
204,481
TlTalio
207,282
PbPlomo
(289)114
UubUnunquadio
209,083
BiBismuto
(209,0)84
PoPolonio
(292)116
UubUnunhexio
(210,0)85
AtAstato
(222,0)86
RnRadón
(268)109
MtMeitnerio
(271)110
DsDarmstadtio
(272)111
RgRoentgenio
(285)112
UubUnunbio
(247)96
CmCurio
(247)97
BkBerkelio
(251)98
CfCalifornio
(258)101
MdMendelevio
(259)102
NoNobelio
(262)103
LrLaurencio
III A IV A V A VI A VII A
VIII A
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
d7 d8 d9 d10 p1 p2 p3 p4 p5 p6
f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14
152,063
EuEuropio
(243)95
AmAmericio
164,967
HoHolmio
(252)99
EsEinstenio
167,368
ErErbio
(257)100
FmFermio
VIII I B II B
NO METALES
METALES
GASES NOBLES
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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406
Cantidad Valor
Velocidad de la luz en el vacío (c) 299 792 458
Carga elemental (e) 1,602 176 53 ⋅ 10-19
Constante de Newton de la gravitación (G) 6,6742 ⋅ 10-11
Constante de Planck (h) 6,626 0693 ⋅ 10-34
Constante de Stefan-Boltzmann (s) 5,670 400 ⋅ 10-8
Constante de la ley de desplazamiento de Wien (l) 2,897 7685 ⋅ 10-3
Permitividad del vacío (e0) 8,854 187 817 ⋅ 10-12
Constante de Coulomb en el vacío (K ) 8,988 ⋅ 109
Permeabilidad magnética del vacío (m0) 4p ⋅ 10-7
Constante de estructura fina (a) 7,297 352 568 ⋅ 10-3
Constante de Rydberg (R) 1,097 373 156 852 7 ⋅ 10-7
Radio de Bohr (a0) 0,529 177 2108 ⋅ 10-10
Masa del electrón 9,109 3826 ⋅ 10-31
Masa del electrón (en u) 5,485 799 0945 ⋅ 10-4
Energía equivalente a la masa del electrón 8,187 1047 ⋅ 10-14
Energía equivalente a la masa del electrón (en MeV) 0,510 998 918
Relación masa electrón-protón 5,446 170 2173 ⋅ 10-4
Relación masa electrón-neutrón 5,438 673 4481 ⋅ 10-4
Radio clásico del electrón 2,817 940 325 ⋅ 10-15
Masa del muón 1,883 531 40 ⋅ 10-28
Masa del tauón 3,167 77 ⋅ 10-27
Masa del protón (en u) 1,007 276 466 88
Energía equivalente a la masa del protón 1,503 277 43 ⋅ 10-10
Energía equivalente a la masa del protón (en MeV) 938,272 029
Relación masa protón-electrón 1836,152 672 61
Relación masa protón-neutrón 0,998 623 478 72
Masa del neutrón 1,674 927 28 ⋅ 10-27
Masa del neutrón (en u) 1,008 664 915 60
Energía equivalente a la masa del neutrón 1,505 349 57 ⋅ 10-10
Energía equivalente a la masa del neutrón (en MeV) 939,565 360
Masa de partícula a 6,644 6565 ⋅ 10-27
Masa de partícula a (en u) 4,001 506 179 149
Energía equivalente a la masa de partícula a 5,971 9194 ⋅ 10-10
Energía equivalente a la masa de partícula a (en MeV) 3727,379 17
Constante de Avogadro (N A) 6,022 1415 ⋅ 1023
Constante de masa atómica (1 u) 1,660 538 86 ⋅ 10-27
Energía equivalente a constante de masa atómica 1,492 417 90 ⋅ 10-10
Energía equivalente a constante de masa atómica (en MeV) 931,494 043
Constante de Faraday (F ) 96 485,3383
Constante molar de los gases (R) 8,314 472
Constante de Boltzmann (K ) 1,380 6505 ⋅ 10-23
Constante de Boltzmann (K ) (en eV/K) 8,617 343 ⋅ 10-5
Volumen molar del gas ideal (273,15 K, 100 kPa) 22,710 981 ⋅ 10-3
Masa molar del carbono-12 12 ⋅ 10-3
Atmósfera estándar (atm) 101 325
Aceleración estándar de la gravedad ( g) 9,806 65
Anexo II. Tabla de constantes físicas y químicas
8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana
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Incertidumbre Unidad
(exacto) m ⋅ s-1
0,000 000 14 ⋅ 10-19 C
0,0010 ⋅ 10-11 N ⋅ m2 ⋅ kg-2
0,000 0011 ⋅ 10-34
J ⋅ s0,000 040 ⋅ 10-8 W ⋅ m-2 ⋅ K-4
0,000 0051 ⋅ 10-3 m ⋅ K
Exacto C2 ⋅ N-1 ⋅ m-2
N ⋅ m2 ⋅ C-2
Exacto N ⋅ A-2
0,000 000 024 ⋅ 10-3
0,000 073 m-1
0,000 000 0018 ⋅ 10-10 m
0,000 0016 ⋅ 10-31 kg
0,000 000 0024 ⋅ 10-4 u
0,000 0014 ⋅ 10-14 J
0,000 000 044 MeV
0,000 000 0025 ⋅ 10-4
0,000 000 0038 ⋅ 10-4
0,000 000 028 ⋅ 10-15 m
0,000 000 33 ⋅ 10-28 kg
0,000 52 ⋅ 10-27 kg
0,000 000 000 13 u
0,000 000 26 ⋅ 10-10 J
0,000 080 MeV
0,000 000 85
0,000 000 000 58
0,000 000 29 ⋅ 10-27 kg
0,000 000 000 55 u
0,000 000 26 ⋅ 10-10
J
0,000 081 MeV
0,000 0011 ⋅ 10-27 kg
0,000 000 000 056 u
0,000 0010 ⋅ 10-10 J
0,000 32 MeV
0 000 0010 1023 mol-1