110620464 algebra lineal y sus aplicaciones 3ra edicion david c lay

7/23/2019 110620464 Algebra Lineal y Sus Aplicaciones 3ra Edicion David C Lay

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lgebra linealy sus aplicaciones


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lgebra linealy sus aplicaciones

TERCERA EDICIN ACTUALIZADA

Dvd C. LyUnversty o Mrylnd College Prk

TRADUCCIN

Jess Eler Murret Murret


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Authorzed trnslton ro the Englsh lnguge edton, enttledLinear Algebra and its applications, 3/e by David C. Lay publshed by PersonEducton, Inc., publshng s Addson Wesley, INC., Copyrght 2006. All rghts reserved.

ISBN 03228734

Trduccn utorzd de l edcn en do ngls,Linear Algebra and its applications, 3/e por David C. Lay publcd por Person Educton, Inc.,publcd coo Addson Wesley, Copyrght 2006. Todos los derechos reservdos.

Est edcn en espol es l nc utorzd.

Edicin en espaol:Edtor: Lus Mguel Cruz Cstllo

e-l: [email protected] de desrrollo: Clud Mrtnez AgonSupervsor de produccn: Adrn Rd Montes

Edicin en ingls:Publisher: Greg TobnAcquisitions Editor: Wll HonProject Editor: Jonne HEditorial Assistant: Ely PortwoodManaging Editor: Kren WernholProduction Supervisor: Shel SpnneySenior Designer/Cover Designer: Brbr T. AtknsonPhoto Researcher: Beth AndersonDigital Assets Manager: Json Mrnd

Media Producer: Sr AndersonSotware Development: Dvd Mlone y Mry DurnwldMarketing Manager: Phylls HubbrdMarketing Coordinator: Celen CrrSenior Author Support/Technology Specialist: Joe VetereRights and Permissions Advisor: Dn WeghtnSenior Manuacturing Buyer: Evelyn BetonComposition: Techsetters, Inc.Illustrations: Techsetters, Inc.

Photo Credits: Bettnn/Corbs; Hulton Archve. 58, 63, 98, 56, 85, 252, 426, 469 PhotoDsc. 05 The Boeng Copny. 06 BoengPhnto Works. 40 Jet Propulson Lb/NASA. 6 Bo Strn; Reprnted by persson o Unversty o North Croln t Chpel Hll.

25 Kennedy Spce Center. 289, 469 Eyewre. 30 Stone. 373 Corbs. 374 Fro North Aercn Dtu o 983, Chrles Schwrtz edtor,Ntonl Geodetc Inorton Center. 426 Anglo-Austrln Observtory/Royl Observtory, Ednburgh. 447 NASA. 448 GEOPIC gecourtesy o Erth Stellte Corporton, Rockvlle, MD.

TERCERA EDICIN, 2007

D.R. 2007 por Person Educcn de Mco, S.A. de C.V.Atlcoulco 500-5to. psoIndustrl Atoto5359 Nuclpn de Jurez, Edo. de McoE-l: [email protected]

Cr Nconl de l Industr Edtorl Mecn.

Reg. N. 03.

Addson Wesley es un rc regstrd de Person Educcn de Mco, S.A. de C.V.

Reservdos todos los derechos. N l totldd n prte de est publccn pueden reproducrse, regstrrse o trnstrse, por un sstede recupercn de norcn, en nngun or n por nngn edo, se electrnco, ecnco, otoquco, gntco o electroptco,por otocop, grbcn o culquer otro, sn perso prevo por escrto del edtor.

El prsto, lquler o culquer otr or de cesn de uso de este ejeplr requerr tbn l utorzcn del edtor o de sus representntes.

ISBN 0: 970-26-0906-2ISBN 3: 978-970-26-0906-3

Ipreso en Mco. Printed in Mexico.

2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 09 08 07

LAY, DAVID C.

LGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES

PEARSON EDUCACIN, Mco, 2007ISBN: 978-970-26-0906-3re: Mtetcs

Forto: 20 25.5 c Pgns: 584


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A mi esposa, Lillian, y a nuestras hijasChristina, Deborah y Melissa,

cuyo apoyo, nimos, y fieles oraciones

hicieron posible este libro


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Acerca del autor

Dvd C. Ly tene los ttulos de B. A. de Auror Unversty (Illnos), y de M. A. yPH. D. por l Unversdd de Clorn en Los ngeles. El proesor Ly h sdo cte-

drtco e nvestgdor en tetcs desde 966, prncplente en l Unversdd deMrylnd, College Prk. Tbn h trbjdo coo proesor vstnte en l Unvers-dd de sterd, en l Unversdd Lbre de sterd y en l Unversdd de K-serslutern, Alen. Tene s de trent rtculos de nvestgcn publcdos coonlss unconl y lgebr lnel.

Coo ebro unddor del Grupo de Estudo del Currculu de lgebr Lnelptrocndo por l N.S.F., el proesor Ly h sdo lder en el ovento ctul prodernzr el pln de estudos de lgebr lnel. El proesor Ly tbn es coutor devros tetos tetcos, entre ellos, Introduction to Functional Analysis, con AngusE. Tylor, Calculus and its Applications, con L. J. Goldsten y D. I. Schneder, yLinear

Algebra Gens Assets or Undergraduate Mathematics, con D. Crlson, C. R. Johnsony A. D. Porter.

Ctedrtco de prer lne. El proesor Ly h recbdo cutro preos unver-stros por ecelenc docente, ncludo en 996 el de Dstngushed ScholrTe-cher de l Unversdd de Mrylnd. En 994, se le conced uno de los Preos de lMthetcl Assocton o Aerc, que llev el ttulo de Dstngushed College orUnversty Techng o Mthetcs. H sdo elegdo por los estudntes unverstrosebro de l Alph Lbd Delt Ntonl Scholstc Honor Socety y de l GoldenKey Ntonl Honor Socety. En 989, l Auror Unversty le conced el preoOutstndng Alunus. El doctor Ly es ebro de l Aercn Mthetcl Socety,de l Cndn Mthetcl Socety, de l Interntonl Lner Algebr Socety, del Mthetcl Assocton o Aerc, Sg X, y de l Socety or Industrl ndAppled Mthetcs. Desde 992, h ordo prte de l junt drectv nconl de lAssocton o Chrstns n the Mthetcl Scences.


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ContenidoPreco ix

Not pr los estudntes xv

Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos lineales en economae ingeniera 1. Sstes de ecucones lneles 2

.2 Reduccn por fls y ors esclonds 14

.3 Ecucones vectorles 28

.4 L ecucn trclAx = b 40

.5 Conjuntos solucn de los sstes lneles 50

.6 Aplccones de los sstes lneles 57

.7 Independenc lnel 65

.8 Introduccn ls trnsorcones lneles 73

.9 L trz de un trnsorcn lnel 82

.0 Modelos lneles en negocos, cencs e ngener 92

Ejerccos supleentros 102

lgebra de matrices 105EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseode aviones 1052. Opercones de trces 107

2.2 L nvers de un trz 118

2.3 Crcterzcones de trces nvertbles 128

2.4 Mtrces prtds 1342.5 Fctorzcones de trces 142

2.6 El odelo de Leonte de entrd y sld 152

2.7 Aplccones los grfcos por coputdor 158

2.8 Subespcos de Rn 167

2.9 Densn y rngo 176


C A P T U L O 1

C A P T U L O 2


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Contenido

Determinantes 185EJEMPLO INTRODUCTORIO: Determinantes en geometra analtica 185

3. Introduccn los deternntes 1863.2 Propeddes de los deternntes 192

3.3 Regl de Crer, voluen y trnsorcones lneles 201


Espacios vectoriales 215EJEMPLO INTRODUCTORIO: Vuelo espacial y sistemas de control 215

4. Espcos y subespcos vectorles 216

4.2 Espcos nulos, espcos colun y trnsorcones lneles 226

4.3 Conjuntos lnelente ndependentes; bses 2374.4 Sstes de coordends 246

4.5 L densn de un espco vectorl 256

4.6 Rngo 262

4.7 Cbo de bse 271

4.8 Aplccones ecucones en derencs 277

4.9 Aplccones cdens de Mrkov 288


Valores propios y vectores propios 301EJEMPLO INTRODUCTORIO: Sistemas dinmicos y los bhosmanchados 3015. Vectores propos y vlores propos 302

5.2 L ecucn crcterstc 310

5.3 Dgonlzcn 319

5.4 Vectores propos y trnsorcones lneles 327

5.5 Vlores propos coplejos 335

5.6 Sstes dncos dscretos 3425.7 Aplccones ls ecucones derencles 353

5.8 Estcones tertvs pr vlores propos 363


C A P T U L O 3

C A P T U L O 5

C A P T U L O 4


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Ortogonalidad y mnimos cuadrados 373EJEMPLO INTRODUCTORIO: Reajuste del Nivel de Referencia

Norteamericano 3736. Producto nteror, longtud y ortogonldd 375

6.2 Conjuntos ortogonles 384

6.3 Proyeccones ortogonles 394

6.4 El proceso Gr-Schdt 402

6.5 Probles de nos cudrdos 409

6.6 Aplccones odelos lneles 419

6.7 Espcos con producto nteror 427

6.8 Aplccones de los espcos con producto nteror 436


Matrices simtricas y formas cuadrticas 447EJEMPLO INTRODUCTORIO: Procesamiento de imgenesmulticanal 4477. Dgonlzcn de trces strcs 449

7.2 Fors cudrtcs 455

7.3 Optzcn restrngd 463

7.4 L descoposcn en vlores sngulres 471

7.5 Aplccones l procesento de genes y l estdstc 482


ApndicesA Uncdd de l or esclond reducd A1

B Neros coplejos A3

Glosro A9

Respuests ejerccos pres A19ndce I1

Contenido

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C A P T U L O 7


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Prefacio

L respuest de estudntes y proesores ls prers tres edcones delgebra lineal ysus aplicaciones h sdo uy grtfcnte. Est tercera edicin actualizada proporcon

un poyo sustncl tnto pr l ensenz coo pr el uso de tecnolog en el curso.Coo ntes, el teto present un ntroduccn eleentl odern l lgebr lnel yun pl seleccn de nteresntes plccones. El terl es ccesble estudntesque hyn dqurdo l durez necesr, por lo generl, en clculo, despus de co-pletr stsctorente dos seestres de tetcs nvel unverstro.

L et prncpl del teto es yudr los estudntes donr los conceptos y lshblddes bscs que despus utlzrn en sus crrers. Los tes ncludos sguenls recoendcones del Lner Algebr Currculu Study Group, ls cules se bsn enun nvestgcn cuddos de ls necesddes reles de los estudntes y en un consen-so logrdo entre proesonles de uchs dscplns que utlzn lgebr lnel. Esperoque este curso se un de ls clses de tetcs s tles e nteresntes que puedntorse durnte los estudos unverstros.

CARACTERSTICAS DISTINTIVASIntroduccin temprana de conceptos claveMuchs des undentles del lgebr lnel se ntroducen en sete lecturs, un lec-tur l nco de cd cptulo, en el estblecento concreto de Rn, y despus se e-nn de ner grdul desde derentes puntos de vst. Posterorente precengenerlzcones de estos conceptos coo etensones nturles de des lres, v-sulzds trvs de l ntucn geotrc desrrolld en el cptulo . En l opnndel utor, un de ls crcterstcs postvs del teto es que el nvel de dfcultd esbstnte unore lo lrgo del curso.

Una visin moderna de la multiplicacin de matricesL notcn correct es crucl, y el teto reej l or rel en que los centfcos engeneros plcn el lgebr lnel en l prctc. Ls defncones y coprobcones seenocn en ls coluns de un trz en lugr de en sus entrds. Un te esencl esconsderr un producto vector-trzAx coo un cobncn lnel de ls colunsdeA. Este oderno enoque splfc uchos rguentos, y vncul ls des de esp-co vectorl con el estudo de sstes lneles.


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Transormaciones linealesLs trnsorcones lneles orn un hlo que se entreteje en l tel de este teto.Su utlzcn ejor el sentdo geotrco de lo escrto. Por ejeplo, en el cptulo ,

ls trnsorcones lneles proporconn un vsn dnc y grfc de l ultpl-ccn trz-vector.

Valores propios y sistemas dinmicosLos vlores propos precen equttvente pronto en el teto, en los cptulos 5 y 7.Coo este terl se estud durnte vrs sens, los lunos tenen s tepodel usul pr bsorber y revsr estos conceptos crtcos. Los vlores propos se plcn sstes dncos dscretos y contnuos, los cules precen en ls seccones .0,4.8, 4.9, y en cnco seccones del cptulo 5. Algunos cursos llegn l cptulo 5 en unscnco sens pues cubren ls seccones 2.8 y 2.9 en lugr del cptulo 4. Ests dosseccones opconles presentn todos los conceptos del espco vectorl ncludos en elcptulo 4, sos que son necesros pr bordr el cptulo 5.

Ortogonalidad y problemas de mnimos cuadradosEstos tes recben un trtento s coprensble en coprcn con el que se en-cuentr conente en los tetos bscos. El Lner Algebr Currculu Study Grouph entzdo l necesdd de contr con un undd sustncl en los probles deortogonldd y nos cudrdos, debdo que l ortogonldd cuple un ppelportnte en los clculos coputconles y en el lgebr lnel nurc, y porque lossstes lneles nconsstentes surgen uy recuenteente en el trbjo prctco.

CARACTERSTICAS PEDAGGICASAplicacionesUn pl seleccn de plccones lustr el poder del lgebr lnel pr eplcrprncpos undentles y splfcr los clculos en ngener, cenc coputco-nl, tetcs, sc, bolog, econo y estdstc. Alguns plccones pre-cen en seccones derentes; otrs se eplcn ednte ejeplos y ejerccos. Ades,cd cptulo bre con un ejeplo ntroductoro que especfc l etp propd preectur deternd plccn del lgebr lnel, y proporcon un otvcnpr desrrollr ls tetcs que sguen. Despus, el teto reto l plccn enun seccn cercn l fnl del cptulo.

Un uerte nasis geomtricoEn el curso, todos los conceptos portntes recben un nterpretcn geotrc, de-bdo que uchos estudntes prenden de ejor ner cundo pueden vsulzr unde. Este un cntdd sustnclente yor de lustrcones de lo usul, y lgunsde ls fgurs no hn precdo nunc ntes en un teto de lgebr lnel.

EjemplosEn contrste con lo que se costubr en l yor prte de los lbros de lgebr, este tetodedc un proporcn s grnde de su terl de eposcn ejeplos. Esten sejeplos de los que ordnrente presentr un proesor en clse. Pero coo hn sdoescrtos con cuddo y de ner detlld, los estudntes pueden leerlos por s sos.

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Teoremas y demostracionesLos resultdos portntes se estblecen coo teores. Otros conceptos tles se des-plegn dentro de recudros lundos pr utlzrse coo reerencs rpds. L

yor prte de los teores tenen coprobcones orles, escrts pensndo en loslunos prncpntes. En lgunos csos, los clculos esencles de un coprobcn seuestrn en un ejeplo seleccondo cuddosente. Alguns verfccones de rutnse dejn pr l seccn de ejerccos, cundo esto result benfco pr los estudntes.

Problemas de prcticaAntes de cd sere de ejerccos precen lgunos probles de prctc seleccondosen or cuddos. L sere de ejerccos v segud por solucones coplets. Estosprobles se enocn en dfcultdes potencles que pueden encontrrse en l sere deejerccos o proporconn un clentento pr l ejecucn posteror de los ejerc-cos; con recuenc, ls solucones contenen sugerencs o dvertencs tles cercde l tre.

EjerciciosL bundnc de ejerccos ncluye desde clculos de rutn hst pregunts conceptulesque requeren de yor reen. Un buen nero de pregunts nnovdors destcnls dfcultdes conceptules que el utor h encontrdo en los estudntes trvs de losos. Cd sere de ejerccos se orgnz cuddosente, en el so orden generlque el teto: ls sgncones de tre pueden encontrrse con cldd cundo slo se hestuddo un prte de deternd seccn. Un crcterstc notble de los ejerccos essu splcdd nurc. Los probles se desdobln rpdente, por lo que los estu-dntes psn poco tepo relzndo clculos nurcos. Los ejerccos se concentrn ennducr l coprensn de los tes, en vez de dendr clculos ecncos.

Preguntas de verdadero o alsoPr estulr los estudntes leer todo el teto y pensr de ner crtc, se hndesrrolldo 300 pregunts sples del tpo verddero o lso que precen en 33 secco-nes del teto, justo ensegud de los probles coputconles. Ests pregunts puedenresponderse drectente prtr del teto y preprn l estudnte pr los problesconceptules que venen despus. Los estudntes precn ests pregunts luego dereconocer l portnc de leer el teto con cuddo. Con bse en pruebs de clse ydscusones con estudntes, se decd no poner ls respuests en el teto. Pr copro-br l coprensn del terl, esten 50 pregunts dconles del tpo verddero olso (cs sepre l fnl de los cptulos.) El teto proporcon respuests sples V/F

l yor prte de ests pregunts, pero ote ls justfccones ls respuests (que,por lo generl, requeren de cert reen).

Ejercicios de escrituraPr todos los estudntes de lgebr lnel result esencl poseer l cpcdd de escr-br enuncdos tetcos coherentes, no slo pr quenes obtendrn un ttulo en -tetcs. El teto ncluye uchos ejerccos pr los cules prte de l respuest conssteen proporconr un justfccn escrt. Los ejerccos conceptules que requeren uncoprobcn cort contenen, por lo generl, sugerencs que yudn l estudnte n-cr l bsqued de l solucn. Pr grn prte de los ejerccos de escrtur con neropr, se ncluye un solucn l fnl del teto o se proporcon un sugerenc.


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Temas computacionalesEl teto cus el pcto de l coputdor tnto en el desrrollo coo en l prctcdel lgebr lnel en ls cencs y l ngener. Ls recuentes nots nuerds drgen

l tencn hc spectos de cputo y dstnguen entre conceptos tercos, dgos lnversn de trces, e pleentcones de coputdor, tles coo ls ctorzco-nes LU.

CD ANEXO Y SOPORTE EN LA REDL edcn ctulzd del teto ncluye un cop coplet (en ngls) de l Gua deestudio (Study Guide) en el CD neo. Est gua ue escrt pr ser un prte ntegrldel curso. Un cono SG en el teto drge los estudntes subseccones especles del gua que sugeren co donr los conceptos clve del curso. L gua proporconun solucn detlld cd tercer ejercco con nero pr, lo que perte losestudntes verfcr su trbjo. Se proporcon un eplccn coplet cd vez que

un ejercco de escrtur con nero pr tene slo un sugerenc en ls respuests.Esten dvertencs recuentes que dentfcn los errores counes y uestrn coevtrlos. Los recudros de MATLAB presentn condos cd vez que uno de stos esnecesro. Los pndces en l Gua de estudio proporconn norcn coprblecerc de Mple, Mthetc y clculdors grfcs TI y HP.

Inicio del trabajo con tecnologaS su curso ncluye lgn trbjo con MATLAB, Mple, Mthetc o clculdors TIo HP, puede leer uno de los proyectos que qu se presentn pr obtener un ntroduc-cn l tecnolog. (Ve l pgn 04 del teto.)

Archivos de datosCentos de rchvos contenen dtos pr lrededor de 900 ejerccos nurcos ncludosen el teto, estudos de cso y proyectos de plccn. Los dtos estn dsponbles en undversdd de ortos pr MATLAB, Mple, Mthetc y ls clculdors grf-cs TI-83+/86/89 y HP48G. Al pertr los estudntes l ntroduccn de trces yvectores pr un proble en prtculr con unos cuntos golpes de tecl, los rchvosde dtos elnn errores de entrd y horrn tepo en l relzcn de tres.

Nuevos proyectos de MATLABEstos proyectos eplortoros nvtn los estudntes descubrr spectos tetcosy nurcos que son bscos en lgebr lnel. Escrtos por Rck Sth, ueron des-

rrolldos pr copr un curso coputconl de lgebr lnel en Unversty oFlord, donde se h utlzdolgebra lineal y sus aplicaciones por uchos os. Losproyectos estn seldos ednte el cono CD en puntos decudos del teto. Alre-dedor de l td de los proyectos eplorn conceptos undentles coo el espcode colun, l dgonlzcn, y ls proyeccones ortogonles; otros se enocn enspectos nurcos coo los fops, todos tertvos, y l DVS, y lgunos ennplccones coo ls cdens de Mrkov.

www.pearsoneducacion.net/layEst pgn web contene el terl ncludo en el CD neo, ecepto l Gua de estu-dio y los nuevos proyectos de MATLAB. Ades, el sto contene el prer cptulo

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del teto ctulzdo y el prer cptulo de l Gua de estudio (en ngls). Este terles proporcondo pr yudr los proesores ncr con su curso, tl coo s unlbrer dstrbuyer el teto justo ntes de que ls clses coenzrn. Pr los estudn-tes, el sto en red contene hojas de repaso y exmenes de prctica (con solucones)que cubren los tes prncples del teto. Provenen de ner drect de cursos que elutor h prtdo en los ltos os. Cd hoj de repso dentfc defncones clve,teores y hblddes de un prte especfc del teto.

Aplicaciones por captulosEl sto en l red tbn contene sete csos de estudo, los cules pln los tesntroducdos l nco de cd cptulo l gregr dtos del undo rel y oportunddespr eectur un eplorcn s pround. Por otro ldo, s de vente proyectos deplccn hcen etensvos los tes del teto o ntroducen nuevs plccones, coornurs cbcs, ruts de vuelo en erolnes, trces de donnc en copetencsdeportvs, y cdgos de correccn de errores. Alguns plccones tetcs son

ls tcncs de ntegrcn, l loclzcn de rces polnoles, ls seccones cn-cs, ls superfces cudrtcs, y los etreos pr uncones de dos vrbles. Tbnse ncluyen tes de lgebr lnel nurc, coo neros de condcn, ctorzcnde trces, y el todo QR pr encontrr vlores propos. Entrelzdos en cd n-lss se encuentrn ejerccos que pueden nvolucrr grndes seres de dtos (y por enderequerr el uso de l tecnolog pr resolverlos).

RECURSOS PARA EL PROFESORPgina de recursos para proesoresEn l pgn Web www.personeduccon.net/ly el proesor tbn puede cceder

un pgn de descrg donde encontrr todos los rchvos de los terles que co-pn l lbro de teto. Entre otrs coss, est pgn ncluye:

Mnul de solucones los ejerccos del lbro. Bnco de eenes en orto electrnco. Dos cptulos dconles los del lbro preso. Mnules de ls plccones y clculdors s utlzds.

Curso de CourseCompass en lneaEste lbro cuent tbn con un curso precrgdo en CourseCopss, que es un plt-or coplet pr cursos en lne desrrolld por Blckbord Technologes y co-pleentd con contendos de Person Educcn. En st el proesor puede sgnr

eenes y tres, orgnzr todos los terles del curso, councrse con sus lu-nos y dnstrr ls clfccones. Pr yor norcn, vste www.personedu-ccon.net/coursecopss

RECONOCIMIENTOSEl utor epres su grttud uchos grupos de persons que lo hn yuddo trvs delos os con derentes spectos del lbro.

Se grdece Isrel Gohberg y Robert Ells por s de qunce os de colborcnen l nvestgcn del lgebr lnel, lo cul h conordo en grn edd un vsnprtculr de est ter.


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H sdo un prvlego trbjr con Dvd Crlson, Chrles Johnson, y Dune Porteren elLinear Algebra Curriculum Study Group. Sus des sobre l ensenz del lgebrlnel hn nudo en este teto de uchs ners portntes.

Agrdezco de ner sncer los sguentes revsores por su nlss cuddoso ysus sugerencs constructvs:

Revisores de la tercera edicin y ejecutores de pruebas en claseDvd Austn, Grand Valley State UniversityG. Brbnson, University o Texas at AustinKenneth Brown, Cornell UniversityDvd Crlson, San Diego State UniversityGreg Conner,Brigham Young UniversityCsey T. Crens, University o MarylandSylve DesJrdns, Okanagan University CollegeDnel Flth, University o South Alabama

Yuvl Flcker, Ohio State UniversitvScott Fulton, Clarkson UniversityHern Gollwtzer,Drexel UniversityJerey Hener, University o Colorado at Colorado SpringsWll Hger, University o FloridaJohn Hgood,Northern Arizona UniversityWlly Heren, Colorado School o MinesAlender Hulpke, Colorado State UniversityDoug Hundley, Whitman CollegeJes F. Hurley, University o ConnecticutJurgen Hurrelbrnk,Louisiana State UniversityJerry G. Inn,La Guardia Community College (CUNY)Hnk Kuper, Arizona State UniversityAshok Kur, Valdosta State University

Erl Kyl, Caliornia State University, SacramentoKthryn Lenz, University o Minnesota-DuluthJques Lewn, Syracuse UniversityEn-Bng Ln, University o ToledoAndre Mltsev, University o MarylandAbrh Mntell,Nassau Community CollegeMdhu Nykknkupp, University o

Maryland-Baltimore County

Le N, Stanord UniversityGleb Novtchkov, Penn State UniversityRlph Oberste-Vorth, University o South FloridaDev Snh,Brown UniversityWsn So, San Jose State UniversityRon Soloon, Ohio State UniversityEugene Spegel, University o ConnecticutAln Sten, University o ConnecticutJes Thos, Colorado State UniversityBrn Turnqust,Bethel CollegeMchel Wrd, Western Oregon UniversityBruno Welert,Arizona State UniversityJck Xn, University o Texas at Austin

Pr est ctulzcn de l tercer edcn, grdezco Thos Polsk, de Win-throp University, quen revs terles copleentros de l tercer edcn y se-pre estuvo dspuesto dr un consejo. Tbn estoy grdecdo con Rck Sth, deUniversity o Florida, por dptr sus proyectos de MATLAB pr l ctulzcn, ycon Jerey Cse, de Taylor University, por su yud con los proyectos. Por lto, gr-dezco todo el personl de Addson-Wesley por su trbjo en est ctulzcn.

Dvd C. Ly

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Nota paralos estudiantes

Este curso puede ser el s nteresnte y vloso entre tods ls clses de tetcs

que pueden cursrse durnte los estudos unverstros. De hecho, lgunos estudntese hn escrto o hbldo despus de grdurse y n utlzn de ner ocsonl esteteto coo un reerenc en sus crrers en vrs corporcones portntes y enescuels de posgrdo en ngener. Los sguentes coentros orecen lgunos con-sejos prctcos e norcn que pueden yudrle donr el terl y dsrutrel curso.

En lgebr lnel, los conceptos son tn portntes coo los clculos. Los ejer-ccos nurcos sples que ncn cd sere de ejerccos slo yudn verfcr sucoprensn de los procedentos bscos. Posterorente, en su crrer, ls copu-tdors relzrn los clculos, pero ser necesro elegr los decudos, sber conterpretr los resultdos, y despus eplcr ls solucones otrs persons. Por estrzn, en el teto uchos ejerccos le pden eplcr o justfcr los clculos relzdos.

Con recuenc se solct un eplccn escrt coo prte de l respuest. Pr lgrn yor de los ejerccos con nero pr, encontrr l eplccn desed o lenos un buen sugerenc. Debe evtr l tentcn de buscr ls respuests los ejer-ccos hst no hber ntentdo escrbr un solucn por usted so. De otr ner,es posble consderr que lgo h sdo coprenddo n cundo en reldd no se s.

Pr donr los conceptos del lgebr lnel, es necesro leer y releer el teto consuo cuddo. Los trnos nuevos se presentn en negrts, lguns veces encerrdosen recudros de defncn. Al fnl del teto se ncluye un glosro de trnos. Los con-ceptos portntes se estblecen coo teores o se ncluyen en recudros lundos,pr utlzrse coo reerenc rpd. Es recoendble leer ls cutro prers pgnsdel preco pr prender s sobre l estructur del teto. Esto le proporconr unrco pr coprender l ner en que se desrrollr el curso.

En sentdo prctco, el lgebr lnel es un lenguje. Este lenguje debe prendersede l s or en que se prende un do etrnjero con trbjo dro. Elterl presentdo en un seccn no se coprende con cldd enos que se hyestuddo por copleto el teto y se hyn resuelto los ejerccos de ls seccones pre-vs. Por eso es necesro ntenerse l corrente con el curso, lo cul le horrr uchotepo y ngust.


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Notas numricasSe recoend leer ls nots nurcs ncluds en el teto, ncluso s no se est utl-zndo un coputdor o clculdor grfc junto con el lbro. En l vd rel, l yor

prte de ls plccones de lgebr lnel plcn clculos que estn sujetos lgnerror nurco, n cundo dcho error pued ser uy pequeo. Ls nots nurcs ledvertrn cerc de dfcultdes potencles l utlzr posterorente el lgebr lnelen su crrer, y s estud ests nots hor, este un yor posbldd de que lsrecuerde despus.

S el lector dsrut l lectur de ls nots nurcs, es posble que luego deseetor un curso de lgebr nurc. Debdo l lt dend de yor poder copu-tconl, los centfcos en coputcn y los tetcos trbjn en el lgebr lnelnurc pr desrrollr lgortos s rpdos y confbles con qu relzr clculos,y los ngeneros elctrcos dsen coputdors s rpds y peques pr ejecutrlos lgortos. Este cpo result estulnte, y su prer curso en lgebr lnel loyudr preprrse pr bordrlo.

Nota para los estudiantes


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Crs de nen, WEB 223Interpolcn de polnoos, WEB 27, 84Isoorfso, 77, 25Mtrz jcobn, WEB 209Polnoo de Lguerre, 26Trnsords de Lplce, 40, 202

Polnoo de Legendre, 436Trnsorcones lneles en clculo, 232-233, 329-330Secuenc de Lucs, WEB 325Rnurs, WEB 26Desguldd del trngulo, 433Polnoos trgonotrcos, 440

lgebra lineal numricaMtrz de bnd, 5Mtrz dgonl en bloques, 38, 40Fctorzcn de Cholesky, 462, 492Mtrz coper, 372Neros de condcn, 3-32, WEB 3, 33-34, 200, 445,

478Rngo eectvo, 268, 474Arttc de punto otnte, 0, 23, 2Subespcos undentles, 270, 380, 479Rotcn de Gvens, 04Mtrz de Gr, 492Mtrz de Hlbert, 34Reen de Householder, 84, 444Mtrz l condcond (proble), 3, 44Mtodo de potenc nvers, 366-368Mtodos tertvos, 363-370Mtodo de Jcob pr los vlores propos, 37LAPACK, 5, 38

Probles grn escl, 06, 38, 374Fctorzcn LU, 42-46, 49, WEB 50, 486Conteos de opercn, 23, 25, 43-44, 46, 90, 95Productos eternos, 7, 36Procesento prlelo, 2, 6Pvoteo prcl, 20, 46Descoposcn polr, 492Mtodo de potenc, 363-366Potencs de un trz, WEB 4Seudonvers, 480, 492Algorto QR, 38, 368Fctorzcn QR WEB 50, 405-407, WEB 405, 445Fctorzcn pr revelcn del rngo 50, 300, 486

Teore del rngo, WEB 265, 27Cocente de Rylegh, 369, 445Error reltvo, 445Copleento de Schur, 39Fctorzcn de Schur, 445Descoposcn en vlores sngulres, 50, WEB 447, 47-482Mtrz dspers, 06, 55, 95Descoposcn espectrl, 453Fctorzcn espectrl, 50Mtrz trdgonl, 5Mtrz de Vnderonde, 84, 22, 372Arqutectur de tuber vectorl, 38

Ciencias sicasVg en voldzo, 286Centro de grvedd, 39Reccones qucs, 59-60, 63Mll de crstl, 248, 255Descoposcn de un uerz, 389

Sondo grbdo dgtlente, 278Elncn Gussn, 4Ley de Hooke, 20Interpolcn de polnoos, WEB 26, 84Prer ley de Kepler, 426Igen de stlte, 447Modelos lneles en geolog y geogr, 423-424Estcn de l s pr sustncs rdctvs, 425Sste de s y resorte, 223-224, 244Modelo pr crcos glcles, 423Modelo pr el pH del suelo, 423Mtrces de gro de Pul, 83Movento perdco, 335

Fors cudrtcs en sc, 456Dtos de rdr, 40Dtos sscos, 2Sond espcl, 40Flujo de clor de estdo estble, 2, 0, WEB 50Prncpo de superposcn, 77, 96, 354Ecucn de los tres oentos, 286Flujo de trfco, WEB 6-62, 64Superfce de tendenc, 423Cl, 296Eperento en tnel de vento, 27

EstadsticaAnlss de vrnz, 42Covrnz, 484-485, 489Rngo copleto, 270Bloques de Helert, 374Error de nos cudrdos, 43Lne de nos cudrdos, WEB 373, 49-42Modelo lnel en estdstc, 49-425Cdens de Mrkov, 288-298, 30For de desvcn ed pr los dtos, 42, 484Invers de Moore-Penrose, 480Procesento de genes ultcnl, 447-448, 483-484, 489Regresn ltple, 423-424

Polnoos ortogonles, 43Regresn ortogonl, 49Potencs de un trz, WEB 4Anlss del coponente prncpl, 447-448, 485-487Fors cudrtcs en estdstc, 456Rejuste del Nvel de Reerenc Norteercno, 373-374Coefcentes de regresn, 49Sus de cudrdos (en regresn), 427, 437-438Anlss de tendenc, 438-440Vrnz, 427, 485Mnos cudrdos ponderdos, 428, 436-438


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1Ecuaciones linealesen lgebra lineal

EJEMPLO INTRODUCTORIO

Modelos lineales en economae ingeniera

A fnles del verno de 949 Wssly Leonte, proesor

de Hrvrd, ntrodujo cuddosente l lt de sus

trjets perords en l coputdor de l unversdd,

l Mrk II. Ls trjets contenn norcn cerc de l

econo de Estdos Undos, y representbn un resuen

de s de 250,000 pezs de norcn producds

por l ofcn encrgd de ls estdstcs lborles en

Estdos Undos despus de dos os de trbjo ntenso.

Leonte hb dvddo l econo de Estdos Undos

en 500 sectores, tles coo l ndustr del crbn, lndustr utootrz, ls counccones, etc. Pr cd

sector, escrb un ecucn lnel que descrb l or

en que dcho sector dstrbu sus slds hc otros

sectores de l econo. Debdo que l Mrk II, un

de ls coputdors s grndes de l poc, no pod

nejr el sste resultnte de 500 ecucones y 500

ncgnts, Leonte hb condensdo el proble en un

sste de 42 ecucones y 42 ncgnts.

L progrcn de l coputdor Mrk II pr

ls 42 ecucones de Leonte requr vros eses deesuerzo, y l estb nsoso por ver cunto tepo le

tor l qun resolver el proble. L Mrk II

zub y destell durnte 56 hors hst que fnlente

produjo un solucn. L nturlez de est solucn se

nlzr en ls seccones .6 y 2.6.

Leonte, quen recb el Preo Nobel de Econo

en 973, br l puert un nuev er en el odeldotetco de l econo. Sus esuerzos desplegdos

en Hrvrd en 949 rcron uno de los preros usos

sgnfctvos de ls coputdors pr nlzr lo que

entonces er un odelo tetco grn escl.

Desde entonces, los nvestgdores de uchos otros

cpos hn epledo coputdors pr nlzr

odelos tetcos. Debdo ls svs cntddes

de dtos nvolucrdos, por lo generl, los odelos son

lineales; esto es, se descrben ednte sistemas de

ecuaciones lineales.L portnc del lgebr lnel pr ls

plccones se h elevdo en proporcn drect l

uento del poder de ls coputdors, cd nuev

genercn de equpo y progrs de cputo dspr

un dend de cpcddes n yores.

WEB


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Los sstes de ecucones lneles se encuentrn en el corzn del lgebr lnel,y este cptulo los utlz pr ntroducr lgunos de los conceptos centrles dellgebr lnel de un ner sple y concret. En ls seccones . y .2 se

present un todo sstetco pr resolver sstes de ecucones lneles. Este lgo-rto se utlzr pr relzr clculos lo lrgo del teto. En ls seccones .3 y .4 seuestr co un sste de ecucones lneles es equvlente un ecuacin vectorialy un ecuacin matricial. Est equvlenc reducr probles que nvolucrn cob-ncones lneles de vectores pregunts sobre los sstes de ecucones lneles. Losconceptos undentles de genercn, ndependenc lnel y trnsorcones lne-les, que se estudn en l segund td del cptulo, desepern un ppel esencl lo lrgo del teto entrs se eplor l bellez y el poder del lgebr lnel.

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUn ecuacin lineal en ls vrblesx, . . . ,xn es un ecucn que puede escrbrsede l or

a1x1 + a2x2 + + anxn = b ()donde b y los coefcientes a, . . . , an son neros reles o coplejos, por lo generl co-nocdos. El subndce n puede ser culquer entero postvo. En los ejeplos y ejerccosdel lbro, n est norlente entre 2 y 5. En los probles de l vd rel, n puede sergul 50, 5000, o ncluso vlores s grndes.

Por lo tnto, l cenc de ls coputdors est

sldente lgd l lgebr lnel ednte elcrecento eplosvo de los procesentos prlelos de

dtos y los clculos grn escl.Los centfcos e ngeneros trbjn hor en

probles ucho s coplejos de lo que cren

posble hce uns cunts dcds. En l ctuldd, ellgebr lnel tene pr los estudntes unverstros un

yor vlor potencl en uchos cpos centfcos yde negocos que culquer otr ter de tetcs.El terl ncludo en este teto proporcon l bse

pr un trbjo posteror en uchs res nteresntes.A contnucn se presentn uns cunts posblddes;

posterorente se descrbrn otrs. Exploracin petrolera. Cundo un brco busc

depstos subrnos de petrleo, diariamentesus coputdors resuelven les de sstes de

ecucones lneles por seprdo. L norcnssc pr elborr ls ecucones se obtene prtr de onds de choque subrns creds

ednte eplosones con pstols de re. Ls

onds rebotn en ls rocs que hy bjo l superfcern y se den eplendo geonos conectdos

etensos cbles nstldos debjo del brco. Programacin lineal. En l ctuldd, uchs

decsones dnstrtvs portntes se ton conbse en odelos de progrcn lnel que utlzn

centos de vrbles. Por ejeplo, l ndustr dels erolnes eple progrs lneles pr

crer los tnerros de ls trpulcones de vuelo,ontorer ls ubccones de los vones, o plnerlos dversos progrs de servcos de poyo coo

ntenento y opercones en ternl.

Redes elctricas. Los ngeneros utlzn progrsde cputo de sulcn pr dser crcutos

elctrcos y crochps que ncluyen llones detrnsstores. Estos progrs utlzn tcncsde lgebr lnel y sstes de ecucones lneles.

2 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal


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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3

Ls ecucones

4x1 5x2 + 2 = x1 y x2 = 2

6 x1 + x3son bs lneles porque pueden reordenrse lgebrcente coo en l ecucn

(): 3x1 5x2 = 2 y 2x1 + x2 x3 = 2

6

Ls ecucones

4x1 5x2 = x1x2 y x2 = 2

x1 6 no son lneles debdo l presenc dexx2 en l prer ecucn y

x1 en l se-

gund.Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es un coleccn de un o

s ecucones lneles que nvolucrn ls ss vrbles dgos,x, . . . ,xn. Unejeplo es

2x1

x2 + 1.5x3=

8

x1 4x3 = 7 (2)

Un solucin del sste es un lst (s, s2, . . . , sn) de neros que hcen de cd ecu-cn un enuncdo verddero cundo los vlores s, . . . , sn susttuyen, respectvente,

x, . . . ,xn. Por ejeplo, (5, 6.5, 3) es un solucn del sste (2) porque, cundo estosvlores susttuyen en (2) x,x2 yx3, respectvente, ls ecucones se splfcn 8 = 8 y 7 =7.

El conjunto de tods ls solucones posbles se ll conjunto solucin del sstelnel. Se dce que dos sstes lneles son equivalentes s tenen el so conjuntosolucn. Esto es, cd solucn del prer sste es un solucn del segundo sste,y cd solucn del segundo sste es un solucn del prero.

Deternr el conjunto solucn de un sste de dos ecucones lneles resultsencllo porque consste en loclzr l nterseccn de dos rects. Un proble tpco es

x1 2x2 = 1x1 + 3x2 = 3

Ls grfcs de ests ecucones son rects, ls cules se denotn ednte y 2. Unpr de neros (x,x2) stsce ls dos ecucones de este sste s, y slo s, el pun-to (x,x2) pertenece tnto coo 2. En el sste nteror, l solucn es el puntonco (3, 2), lo cul puede verfcrse con cldd. Ve l fgur .

FIGURA 1 Ectente un solucn.

2

3

x2

x1

l1

l2


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x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

1 2 10 2 8

4 5 9

Por supuesto, l nterseccn de dos rects no debe drse necesrente en un solopunto ls rects pueden ser prlels o concdr y, por lo tnto, ntersecr en todoslos puntos sobre l rect. En l fgur 2 se uestrn ls grfcs que corresponden lossguentes sstes:

Ls fgurs y 2 lustrn los sguentes hechos generles cerc de los ssteslneles, los cules sern verfcdos en l seccn .2.

Un sste de ecucones lneles puede

1. no tener solucn, o

2. tener ectente un solucn, o

3. tener un cntdd nfnt de solucones.

Se dce que un sste de ecucones lneles es consistente s tene un solucno un nfndd de solucones; un sste es inconsistente cundo no tene nngunsolucn.

Notacin matricial

L norcn esencl de un sste lnel puede regstrrse de ner copct enun rreglo rectngulr lldo matriz. Ddo el sste

(3)

con los coefcentes de cd vrble lnedos en coluns, l trz

FIGURA 2 () Sn solucn. (b) Con nfndd de solucones.

2

3

x2

x1

l1

l2

(a)

2

3

x2

x1

l1

(b)

x1 2x2 = 1 x1 2x2 = 1x1 + 2x2 = 3 x1 + 2x2 = 1

(a) (b)


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se denon matriz coefciente (o matriz de coefcientes) del sste (3), y

(4)

se denon matriz aumentada del sste. (Aqu, l segund fl contene un ceroporque l segund ecucn podr escrbrse coo 0x+ 2x2 8x3= 8.) L trzuentd de un sste const de su trz de coefcentes con un colun dconlque contene ls constntes de los ldos derechos de ls ecucones.

El tamao de un trz ndc el nero de fls y coluns que l ntegrn. Ltrz uentd (4) que se present lnes rrb tene 3 fls y 4 coluns y se conocecoo un trz de 3 4 (se lee 3 por 4). S m y n son enteros postvos, un matriz

mnes un rreglo rectngulr de neros con m fls y n coluns. (El nero defls sepre v prero.) L notcn trcl splfcr los clculos de los ejeplosque se presentn ensegud.

Resolucin de un sistema lineal

En est seccn y en l sguente se descrbe un lgorto, o procedento sstetco,pr resolver sstes lneles. L estrteg bsc es reemplazar un sistema con unsistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) que sea ms cil deresolver.

Dcho de ner sencll, utlce el trno x que est presente en l prer ecu-cn de un sste pr elnr los trnosx que hy en ls otrs ecucones. Des-pus use el trnox2 presente en l segund ecucn pr elnr los trnosx2 enls otrs ecucones, y s sucesvente, hst que obteng un sste de ecucones

equvlente uy sple.Pr splfcr un sste lnel se utlzn tres opercones bscs: reeplzr

un ecucn ednte l su de l prop ecucn y un ltplo de otr ecucn,ntercbr dos ecucones, y ultplcr todos los trnos de un ecucn por unconstnte dstnt de cero. Despus del prer ejeplo, se ver por qu ests tres oper-cones no cbn el conjunto solucn del sste.

EJEMPLO 1 Resuelv el sste (3).

Solucin El procedento de elncn se uestr ensegud con y sn notcntrcl, y los resultdos se colocn uno junto l otro pr coprrlos:

Mantenga xen la primera ecuacin y elimnela de las otras ecuaciones. Pr hceresto, sue 4 veces l ecucn l ecucn 3. Por lo generl, luego de lgun prctceste tpo de clculos se relzn entlente:

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

1 2 1 00 2 8 8

4 5 9 9

4[ecuacin 1]:+ [ecuacin 3]:

[nueva ecuacin 3]:

4x1 8x2 + 4x3 = 04x1 + 5x2 + 9x3 = 9

3x2 + 13x3 = 9

1 2 1 00 2

8 8

4 5 9 9


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El resultdo de este clculo se escrbe en lugr de l tercer ecucn orgnl:

Ahor, ultplque l ecucn 2 por /2 pr obtener coo el coefcente pr x2.(Este clculo splfcr l rttc del sguente pso.)

Utlcex2 en l ecucn 2 pr elnr 3x2 en l ecucn 3. El clculo entl es

El nuevo sste tene un or triangular:

Al fnl, se deser elnr el trno 2x2 de l ecucn , pero result s efcenteutlzr prerox3 en l ecucn 3, pr elnr los trnos 4x3 y +x3 en ls ecu-cones 2 y . Los dos clculos entles son

Es convenente cobnr los resultdos de ests dos opercones:

Ahor, despus de hber lpdo l colun que est sobre l x3 en l ecucn 3, re-grese lx2 en l ecucn 2 y sel pr elnr el 2x2 ubcdo sobre ell. Debdol trbjo prevo relzdo con x3, hor no este nngun opercn que nvolucre trnos dex3.

En l pr seccn, el trno ntutvo triangularse reeplzr por uno s precso.

x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4

3x2 + 13x3 = 9

1 2 1 00 1 4 40 3 13 9

3[ecuacin 2]: 3x2 12x3 = 12+ [ecuacin 3]: 3x2 + 13x3 = 9

[nueva ecuacin 3]: x3 = 3

x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4

x3 = 3

1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

4[ec. 3]:+ [ec. 2]:

[nueva ec. 2]:

4x3 = 12x2 4x3 = 4x2 = 16

1[ec. 3]:+ [ec. 1]:

[nueva ec. 1]:

x3 = 3x1 2x2 + x3 = 0x1 2x2 = 3

x1 2x2 = 3x2 = 16

x3 = 3

1 2 0 30 1 0 160 0 1 3

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8 3x2 + 13x3 = 9

1 2 1 00 2 8 80 3 13 9


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Sue dos veces l ecucn 2 l ecucn pr obtener el sste

En esenc, el trbjo y est hecho. Se observ que l solucn nc del sste or-gnl es (29, 6, 3). Sn ebrgo, coo hy uchos clculos nvolucrdos, result unbuen prctc verfcr ls opercones. Pr coprobr que (29, 6, 3) es un solucn,susttuy estos vlores en el ldo zquerdo del sste orgnl, y clcule:

Los resultdos concden con el ldo derecho del sste orgnl, s que (29, 6, 3) es

un solucn del sste.

En el ejeplo se lustr co, en un sste lnel, ls opercones sobre ecu-cones corresponden ls opercones sobre ls fls propds de l trz uentd.Ls tres opercones bscs enconds con nterordd corresponden ls sguen-tes opercones sobre l trz uentd.

OPERACIONESELEMENTALESDEFILA

1. (Reeplzo) Reeplzr un fl por l su de s s y un ltplo deotr fl.2

2. (Intercbo) Intercbr dos fls.

3. (Esclento) Multplcr tods ls entrds de un fl por un constntedstnt de cero.

Ls opercones de fl pueden plcrse culquer trz, no ncente unque surj coo l trz uentd de un sste lnel. Se dce que dos trces sonequivalentes por flas s este un sucesn de opercones eleentles de fl queconvert un trz en l otr.

Es portnte dvertr que ls opercones de fl son reversibles. S dos fls sentercbn, pueden regresrse sus poscones orgnles ednte otro ntercbo.S un fl se escl ednte un constnte c dstnt de cero, l ultplcr despusl nuev fl por /c se obtene l fl orgnl. Por lto, consdere un opercn de

reeplzo que nvolucr dos fls por ejeplo, ls fls y 2 y supong que l fl 2se le su l fl ultplcd por c pr producr un nuev fl 2. S dese revertrest opercn, sue l nuev fl 2 l fl ultplcd por c y obteng l fl 2orgnl. Ve los ejerccos 29 32 l fnl de est seccn.

Por el oento, nuestro nters resde en ls opercones de fl sobre l trzuentd de un sste de ecucones lneles. Supong un sste que se trnsoren otro nuevo ednte opercones de fl.

(29, 16, 3)

Cd un de ls ecuconesorgnles detern un plno enel espco trdensonl. El punto

(29, 6, 3) pertenece los tresplnos.

2Un prrss con del reeplzo de un fl es sur un fl un ltplo de otr fl.

x1 = 29x2

=16

x3 = 3

1 0 0 29

0 1 0 16

0 0 1 3

(29) 2(16) + (3) = 29 32 + 3 = 02(16) 8(3) = 32 24 = 8

4(29) + 5(16) + 9(3) = 116+ 80 + 27 = 9


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Al consderr cd uno de los tpos de opercones de fl, puede dvertrse que cul-quer solucn del sste orgnl contn sendo un solucn del sste nuevo. As-so, coo el sste orgnl puede producrse ednte opercones de fl sobre elsste nuevo, cd un de ls solucones del sste nuevo tbn es un solucndel sste orgnl. Est eplccn justfc el hecho sguente.

S ls trces uentds de dos sstes lneles son equvlentes por fls,entonces los dos sstes tenen el so conjunto solucn.

Aunque el ejeplo es etenso, puede frrse que, despus de lgn tepo deprctc, los clculos se ejecutn con rpdez. Por lo generl, en el teto y en los ejerccosls opercones de fl sern uy cles de relzr, lo cul pertr que el estudntese enoque en los conceptos portntes. No obstnte, se recoend prender relzropercones de fl de ner precs porque se utlzrn lo lrgo de todo el lbro.

En el resto de est seccn se uestr co utlzr ls opercones de fl pr deter-nr el to de un conjunto solucn, sn resolver por copleto el sste lnel.

Preguntas de existencia y unicidad

En l seccn .2 se estudr porqu un conjunto solucn pr un sste lnel puedeno contener nngun solucn, contener solente un solucn, o contener un nf-ndd de solucones. Pr deternr cul posbldd es verdder pr un sste enprtculr, se oruln dos pregunts.

DOSPREGUNTASFUNDAMENTALESACERCADEUNSISTEMALINEAL

1. El sste es consstente? Es decr, existe l enos un solucn?2. S este solucn, slo hy un? Esto es, l solucn es nica?

Ests dos pregunts precern lo lrgo del teto en uchs ors derentes. En estseccn y en l pr, se ostrr co contestrls ednte opercones de flsobre l trz uentd.

EJEMPLO 2 Deterne s el sguente sste es consstente:

Solucin ste es el sste del ejeplo . Supong que se relzn ls operconesnecesrs pr obtener l or trngulr

En este punto y se conoce x3; s su vlor se susttuyer en l ecucn 2, ser posbleclculrx2 y, por ende, se podr deternr x prtr de l ecucn . Por lo tnto,

x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4

x3 = 3

1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

x1 2x2 + x3 = 02x2

8x3

=8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9


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este un solucn; y el sste es consstente. (De hecho,x2 se detern ncentecon l ecucn 2 puesto quex3 tene un solo vlor posble, y por lo tntox se resuelvesolente prtr de l ecucn . De ner que l solucn es nc.)

EJEMPLO 3 Deterne s el sguente sste es consstente:

(5)

Solucin L trz uentd es

Pr obtener unx en l prer ecucn, se ntercbn ls fls y 2:

Pr elnr el trno 5x en l tercer ecucn, se greg l fl 3 l fl ult-plcd por 5/2:

(6)

Ensegud, utlce el trnox2 en l segund ecucn pr elnr el trno (/2)x2de l tercer ecucn. Sue l fl 3 l fl 2 ultplcd por /2:

(7)

Ahor, l trz uentd est en or trngulr. Pr nterpretrl de ner co-rrect, regrese l notcn con ecucones:

(8)

L ecucn 0 = 5/2 es un or cort de 0x+ 0x2+ 0x3= 5/2. Desde luego, estesste en or trngulr tene un contrdccn. No esten vlores dex,x2,x3 questsgn (8) porque l ecucn 0 = 5/2 nunc es verdder. Coo (8) y (5) tenen elso conjunto solucn, el sste orgnl es nconsstente (es decr, no tene solu-cn).

Preste tencn especl l trz uentd en (7). Su lt fl es tpc de unsste nconsstente en or trngulr.

2 3 2 10 1 4 80 1/2 2 3/2

x2 4x3 = 82x1 3x2 + 2x3 = 15x1 8x2 + 7x3 = 1

0 1 4 82 3 2 15 8 7 1

2 3 2 10 1 4 85 8 7 1

2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2

2x1 3x2 + 2x3 = 1x2

4x3

=8

0 = 5/2

Este sste es nconsstenteporque no este un punto quepertenezc de ner sultne los tres plnos.


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P R O B L E M A S D E P R C T I C A

A lo lrgo del teto, debe ntentr resolver los probles de prctc ntes de trbjrcon los ejerccos. Despus de cd sere de ejerccos se presentn ls solucones.

1. Eprese con sus props plbrsl sguente opercn eleentl de fl que deberelzrse pr resolver los sstes presentdos contnucn. [Pr (a), este s

de un respuest posble.]

2. L trz uentd de un sste lnel h sdo trnsord ednte operconesde fl l or que se present contnucn. Deterne s el sste es conss-tente.

3. Es (3, 4, 2) un solucn del sguente sste?

4. Pr cules vlores de h y kes consstente el sguente sste?

NOTANUMRICA

En probles reles, los sstes de ecucones lneles se resuelven eplendo uncoputdor. Pr un trz de coefcentes cudrd, los progrs de cpu-

to cs sepre usn el lgorto de elncn que se present qu en l seccn.2, con peques odfccones pr ejorr su precsn.

L grn yor de los probles de lgebr lnel que se presentn en los ne-gocos y l ndustr se resuelven con progrs que utlzn l aritmtica de punto

fotante. Los neros se representn coo decles .ddp 0r, donde res unentero y el nerop de dgtos l derech del punto decl usulente se encuen-tr entre 8 y 6. Norlente, ls opercones rttcs con estos neros resultnnects, porque el resultdo debe redonderse (o truncrse) l nero de dgtoslcendos. El error de redondeo tbn se present cundo un nero coo/3 es ntroducdo l coputdor, puesto que su representcn debe prorseednte un nero fnto de dgtos. Por ortun, ls necttudes de l rttcde punto otnte uy pocs veces cusn probles. Ls nots nurcs ncludsen este lbro lo prevendrn, ocsonlente, sobre spectos que podr necestr tener enconsdercn s delnte en su crrer.

a. x1 + 4x2 2x3 + 8x4 = 12x2 7x3 + 2x4 =4

5x3 x4 = 7x3 + 3x4 =5

b. x1 3x2 + 5x3 2x4 = 0x2 + 8x3 =4

2x3 = 3x4 = 1

5x1 x2 + 2x3 = 72x1 + 6x2 + 9x3 = 07x1 + 5x2 3x3 = 7

1 5 2 60 4

7 2

0 0 5 0

2x1 x2 = h6x1 + 3x2 = k


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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales

Resuelv los sstes de los ejerccos 4 usndo ls oper-

cones eleentles de fl sobre ls ecucones o sobre l trzuentd. Utlce el procedento de elncn sstetcdescrto en est seccn.

3. Encuentre el punto (x,x2) que pertenece tnto l lnex+5x2= 7 coo l lnex 2x2=2. Ve l fgur.

4. Encuentre el punto de nterseccn de ls rectsx 5x2= y 3x 7x2= 5.

Consdere cd trz de los ejerccos 5 y 6 coo l trz u-entd de un sste lnel. Eprese con sus props plbrsls sguentes dos opercones eleentles de fl que deben re-

lzrse en el proceso pr resolver el sste.

En los ejerccos 7 0, l trz uentd de un sste lnelh sdo reducd ednte opercones de fl l or que seuestr. En cd cso, ejecute ls opercones de fl propdsy descrb el conjunto solucn del sste orgnl.

1.1 EJERCICIOS

Resuelv los sstes de los ejerccos 4.

x1 + 3x3 = 2x2 3x4 = 3

2x2 + 3x3 + 2x4 = 13x1 + 7x4 = 5

x1 2x4 = 32x2 + 2x3 = 0

x3 + 3x4 = 12x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5

15.

16.

1 7 3 40 1 1 30 0 0 1

0 0 1 2

1 4 9 00 1 7 0

0 0 2 0

7. 8.

1

1 0 0

4

0 1 3 0 70 0 1 3 10 0 0 2 4

1 2 0 3 20 1 0 4 70 0 1 0 6

0 0 0 1 3

9.

10.

x1 + 5x2 = 72x1 7x2 = 5

2x1 + 4x2 = 45x1 + 7x2 = 11

1. 2.

1 4 5 0 70 1 3 0 60 0 1 0 2

0 0 0 1 5

1 6 4 0 10 2 7 0 40 0 1 2 30 0 3 1 6

5.

6.

x2

x1

x1 + 5x2 = 7x1 2x2 = 2

x2 + 4x3 = 5x1 + 3x2 + 5x3

= 2

3x1 + 7x2 + 7x3 = 6x1 3x2 + 4x3 = 4

3x1 7x2 + 7x3 = 84x1 + 6x2 x3 = 7x1 3x3 = 8

2x1 + 2x2 + 9x3 = 7x2 + 5x3 = 2

x1 3x2 = 5x1 + x2 + 5x3 = 2

x2 + x3 = 0

11.

12.

13. 14.

Deterne s los sstes de los ejerccos 5 y 6 son conssten-tes. No resuelv los sstes por copleto.

17. Ls tres rectsx 4x2= , 2xx2=3, y x 3x2

=4 tenen un punto de nterseccn con? Eplque su res-

puest.18. Los tres plnosx+ 2x2+x3= 4,x2 x3= , yx+ 3x2=

0 tenen l enos un punto de nterseccn con? Eplquesu respuest.

En los ejerccos 9 22, deterne el vlor o los vlores de htles que l trz dd es l trz uentd de un sstelnel consstente.


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En los ejerccos 23 y 24, vros enuncdos clve de est seccnse ctn drectente, se hn odfcdo un poco (pero sguensendo verdderos), o se hn lterdo de lgun or que losvuelve lsos en lgunos csos. Mrque cd enuncdo coo ver-ddero o lso yjustique su respuest. (S el enuncdo es verd-dero, d l ubccn prod en el teto donde prece unoslr o hg reerenc un defncn o teore. S es lso,d l ubccn del enuncdo que se ct o utlz de ner nco-rrect, o proporcone un ejeplo que uestre que no es verdderoen todos los csos.) En uchs seccones de este teto precernpregunts slres del tpo verddero/lso.

23. . Tods ls opercones eleentles de fl son reversbles.b. Un trz de 5 6 tene ses fls.c. El conjunto solucn de un sste lnel que ncluy ls

vrblesx, . . . ,xn es un lst de neros (s, . . . , sn) quehce de cd ecucn del sste un enuncdo verdderocundo los vlores s, . . . , sn susttuyen, respectvente,x, . . . ,xn.

d. Ls dos pregunts undentles cerc de un sste l-nel nvolucrn l estenc y l uncdd.

24. . En un trz uentd, ls opercones eleentles defl no cbn nunc el conjunto solucn del sste l-nel socdo.

b. Dos trces son equvlentes por fls cundo poseen elso nero de fls.

c. Un sste nconsstente tene s de un solucn.

d. Dos sstes lneles son equvlentes s tenen el soconjunto solucn.

25. Encuentre un ecucn que nvolucre g, h y k, l cul per-t que est trz uentd correspond un ssteconsstente:

1 4 7 g0 3 5 h

2 5 9 k

26. Construy tres trces uentds derentes de tres ssteslneles cuyo conjunto solucn sex=2,x2= ,x3= 0.

27. Supong que el sste presentdo contnucn es con-sstente pr todos los vlores posbles de y g. Qu puedefrrse cerc de los coefcentes c y d? Justfque su res-puest.

x1 + 3x2 = fcx1 + dx2 = g

28. Supong que a, b, c y dson constntes de tl or que aes derente de cero y el sste presentdo contnucn

es consstente pr todos los vlores posbles de y g. Qupuede frrse cerc de los neros a, b, c y d? Justfquesu respuest.

ax1 + bx2 = fcx1 + dx2 = g

En los ejerccos 29 32, encuentre l opercn eleentl defl que trnsor l prer trz en l segund, deterneentonces l opercn de fl nvers que trnsor l segundtrz en l prer.

Un specto portnte en el estudo de l trnserenc de clores deternr l dstrbucn de l tepertur en estdo estblesobre un plc delgd cundo se conoce l tepertur presen-te lrededor de los bordes. Supong que l plc ostrd en lfgur represent l seccn trnsversl de un vg de etl, conun ujo de clor nsgnfcnte en l dreccn perpendculr lplc. Sen T, . . . , T4 ls teperturs en los cutro nodos n-terores de l ll que se uestr en l fgur. En un nodo, ltepertur es prodente gul l proedo de los cutronodos s cercnos l zquerd, rrb, l derech y bjo.3Por ejeplo,

3Ve Frnk M. Whte,Heat and Mass Transer(Redng, MA:Addson-Wesley Publshng, 99), pp. 4549.

T1 = (10 + 20 + T2 + T4)/4, o 4T1 T2 T4 = 30

1 h 4

3 6 8

1 h 32 4 6

1 3 24 h 8

2 3 h6 9 5

19. 20.

21. 22.

0 2 51 4 73 1 6

,

1 4 70 2 53 1 6

1 3 40

2 6

0 5 9

,

1 3 40 1

3

0 5 9

1 2 1 00 5 2 84 1 3 6

,

1 2 1 00 5 2 80 7 1 6

1 2 5 00 1 3 20 3 9 5

,

1 2 5 00 1 3 20 0 0 1

29.

30.

31.

32.

10

10

40

40

20 20

30 30

1 2

4 3


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estn en or esclond. De hecho, l segund trz est en or esclond redu-cd. A contnucn se presentn ejeplos dconles.

EJEMPLO 1

Ls sguentes trces estn en or esclond. Ls entrds prn-cples () pueden tener culquer vlor dstnto de cero; ls entrds con stersco (*)pueden tener culquer vlor (ncluso cero).

Ls sguentes trces estn en or esclond reducd porque ls entrds prnc-ples son neros , y bjo y rrb de cd prncpl slo esten ceros.

Culquer trz dstnt de cero se puede reducir por flas (esto es, trnsorrseednte opercones eleentles de fl) pr producr s de un trz en oresclond, pr ello se usn derentes sucesones de opercones de fl. Sn ebrgo,l or esclond reducd que se obtene prtr de un trz es nc. El teore

sguente se coprueb en el pndce A ncludo l fnl del teto.

S un trzA es equvlente por fls un trz esclond U, se dce que Uesun orma escalonada (o un or esclond por fls) de A; s Uest en su oresclond reducd, se fr que es l orma escalonada reducida de A. [L yorde los progrs de trces y de ls clculdors con cpcdd pr resolver trcesutlzn l brevtur RREF pr encontrr l or esclond reducd (por fls).

Algunos usn REF pr l or esclond (por fls) (del ngls row reduced echelonorm y row echelon orm).]

Posiciones pivote

Cundo ls opercones de fl sobre un trz producen un or esclond, lsopercones de fl posterores pr obtener l or esclond reducd no cbnls poscones de ls entrds prncples. Coo l or esclond reducd es nc,las entradas principales siempre estn en las mismas posiciones en cualquier orma es-calonada obtenida a partir de una matriz dada. Ests entrds prncples corresponden los neros prncples que hy en l or esclond reducd.

T E O R E M A 1 Unicidad de la forma escalonada reducida

Cd trz es equvlente por fls un y slo un trz esclond reducd.

0 0 0 0 0

0 0 0 0

,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0

,

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1.2 Reduccin por filas y formas escalonadas 5


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En el ejeplo , los cudros () dentfcn ls poscones pvote. Muchos conceptosundentles ncludos en los preros cutro cptulos de este lbro estrn conect-dos de un or u otr con ls poscones pvote que precen en un trz.

EJEMPLO 2 Reduzc por fls l trz A que se uestr contnucn hst lor esclond, y loclce ls coluns pvote deA.

Solucin Use l s estrteg bsc plcd en l seccn .. El eleento supe-ror de l colun dstnt de cero que se encuentr s l zquerd de l trz es lprer poscn pvote. En est poscn, debe colocrse un entrd dstnt de cero, o

pivote. Un buen lterntv es ntercbr ls fls y 4 (porque ls coprconesentles en el sguente pso no nvolucrrn rccones).

Cree ceros debjo del pvote , pr ello sue ltplos de l prer fl ls flsde bjo, y obteng l trz () que se present ensegud. L poscn pvote de lsegund fl debe estr lo s l zquerd que se posble sber, en l segundcolun. Se elegr l 2 en est poscn coo el sguente pvote.

Sue l fl 2 ultplcdo por 5/2 l fl 3, y l fl 2 ultplcdo por 3/2 lfl 4.

D E F I N I C I N En un trz A, un posicin pivote es un ubccn en A que corresponde un prncpl en l or esclond reducd deA. Un columna pivote es uncolun deA que contene un poscn pvote.

1 4 5 9 70 2

Pivote

4 6 60 5 10 15 15

Prxima columna pivote

0 3 6 4 9

A =

0 3 6 4 9

1

2

1 3 1

2 3 0 3 11 4 5 9 7

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 0 0

0 0 0 5 0

1

Pivote

4 5 9 71 2 1 3 12 3 0 3 1

Columna pivote

0 3 6 4 9

()

(2)


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L trz en (2) es derente culquer de ls trces encontrds en l seccn.. No hy or de crer un entrd prncpl en l colun 3! (No pueden usrsels fls o 2 porque l hcerlo se destrur el rreglo esclondo de ls entrds prn-cples y producds.) Sn ebrgo, es posble producr un entrd prncpl en lcolun 4 ntercbndo ls fls 3 y 4.

L trz est en or esclond y, por lo tnto, ls coluns , 2 y 4 de A son co-luns pvote.

Un pivote, coo el lustrdo en el ejeplo 2, es un nero dstnto de cero studoen un poscn pvote que se utlz cundo es necesro pr crer ceros por edo deopercones de fl. Los pvotes epledos en el ejeplo 2 ueron , 2 y 5. Debe d-vertrse que estos neros no son los sos que los eleentos reles deA ubcdos enls poscones pvote lunds que se uestrn en (3). De hecho, un sucesn deren-te de opercones de fl podr nvolucrr un conjunto de pvotes dstnto. Ades, unpvote no ser vsble en l or esclond s l fl se escl pr convertr el pvote enun prncpl (lo cul uchs veces es convenente pr relzr clculos no).

Con el ejeplo 2 coo gu, hor es posble descrbr un procedento efcentepr trnsorr un trz en un trz esclond o esclond reducd. El estudocuddoso y el dono de este procedento producrn grndes dvdendos durntetodo el curso.

Algoritmo de reduccin por flas

El lgorto que se descrbe ensegud const de cutro psos, y produce un trz enor esclond. Un qunto pso produce un trz en or esclond reducd. Ellgorto se lustr ednte un ejeplo.

EJEMPLO 3 Aplque opercones eleentles de fl pr trnsorr l sguentetrz l or esclond y despus l or esclond reducd:

A =

0

Posiciones pivote

3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 1

Columnas pivote

1 4 5 9 7

0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93 9 12 9 6 15

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 5

Pivote

0

Columnas pivote

0 0 0 0 0

Forma general:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

(3)



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Solucin

PASO 1

Epece con l colun dstnt de cero que se encuentr s l zquerd. Eneste cso es un colun pvote. L poscn pvote est en l prte superor.

PASO 2

Seleccone coo pvote un entrd dstnt de cero en l colun pvote. S es

necesro, ntercbe fls pr over est entrd l poscn pvote.

Intercbe ls fls y 3. (Tbn podrn hberse ntercbdo ls fls y 2.)

PASO 3

Use opercones de reeplzo de fl pr crer ceros en tods ls posconesubcds debjo del pvote.

Coo pso prelnr, se podr dvdr l fl superor entre el pvote, 3. Pero con dosneros 3 en l colun , esto es tn cl coo sur l fl ultplcd por l fl 2.

PASO 4

Cubr (o no toe en cuent) l fl que contene l poscn pvote y cubr todsls fls, s este lgun, por enc de st. Aplque los psos , 2 y 3 l sub-trz restnte. Rept el proceso hst que no hy s fls dstnts de cero porodfcr.

Con l fl cubert, el pso uestr que l colun 2 es l sguente colun pvote;pr el pso 2, en dch colun se selecconr coo pvote l entrd superor.

0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93

Columna pivote

9 12 9 6 15

3

Pivote

9 12 9 6 153 7 8 5 8 90 3 6 6 4 5

3

Pivote

9 12 9 6 150 2 4 4 2 60 3 6 6 4 5


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Por lto, se escl l fl l dvdrl entre el pvote 3.

st es l or esclond reducd de l trz orgnl.

L cobncn de los psos 4 se ll se progresv del lgorto de reduc-cn por fls. El pso 5, que produce l or esclond reducd nc, se ll aseregresiva.

1 0 2 3 0 240 1

2 2 0

7

0 0 0 0 1 4

Fila escalada por 1

3

1 0 5 10 1 1 4

0 0 0 0

x1 5x3 = 1x2 + x3 = 4

0 = 0

Soluciones de sistemas lineales

El lgorto de reduccn por fls conduce drectente un descrpcn eplctdel conjunto solucn de un sste lnel cundo se plc, el lgorto, l trzuentd del sste.

Por ejeplo, supong que l trz uentd de un sste lnel h sdo trnsor-d en l or esclond reducida equvlente

Esten tres vrbles porque l trz uentd tene cutro coluns. El sstede ecucones socdo es

(4)

Ls vrbles x y x2 correspondentes coluns pvote de l trz se denonnvariables bsicas.2 L otr vrble,x3, se ll variable libre.

Cundo un sste es consstente, coo en (4), el conjunto solucn puede descr-brse de ner eplct l resolver el sste de ecucones reducido pr ls vrblesbscs en trnos de ls vrbles lbres. Est opercn es posble debdo que l

NOTANUMRICA

En el pso 2 que se ostr con nterordd, un progr de coputdor generl-ente seleccon coo pvote en un colun l entrd que teng el yor vlorbsoluto. Est estrteg, lld pivoteo parcial, se us porque reduce los erroresde redondeo en los clculos.

2Algunos tetos utlzn el trno variables principales porque corresponden ls coluns que contenenls entrds prncples.


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obtene l solucn generl:

(7)

Observe que el vlor dex5 y qued fjdo por l tercer ecucn del sste (6).

Descripciones paramtricas de conjuntos solucin

Ls descrpcones en (5) y (7) son descripciones paramtricas de conjuntos solucnen los cules ls vrbles lbres ctn coo pretros. Laresolucin de un sistema

sgnfc encontrr un descrpcn prtrc del conjunto solucn, o deternr queel conjunto solucn est vco.Cundo un sste es consstente y tene vrbles lbres, el conjunto solucn per-

te obtener uchs descrpcones prtrcs. Por ejeplo, en el sste (4) se po-dr sur cnco veces l ecucn 2 l ecucn y obtener el sste equvlente

Podr trtrse x2 coo pretro y despejrx yx3 en trnos dex2, y se tendrun descrpcn precs del conjunto solucn. Sn ebrgo, pr ser consstente, se es-tblece l convencn (rbtrr) de usr sepre ls vrbles lbres coo pretrospr descrbr un conjunto solucn. (L seccn de respuests nclud l fnl del teto

reej tbn est convencn.)Cundo un sste es nconsstente, el conjunto solucn est vco, ncluso s el

sste tene vrbles lbres. En este cso, el conjunto solucn no tene representcnprtrc.

Sustitucin regresiva

Consdere el sste sguente cuy trz uentd est en or esclond pero noen or esclond reducd:

Un progr de coputdor resolver este sste por susttucn regresv, en lugrde clculr l or esclond reducd. Esto es, el progr resolver l ecucn 3prx4 en trnos dex5 y susttur l epresn prx4 en l ecucn 2; resolverl ecucn 2 prx2 y luego susttur ls epresones prx2yx4 en l ecucn ydespejrx.

El orto trcl que se utlz en este teto pr plcr l se regresv dereduccn por fls, l cul produce l or esclond reducd, requere el sonero de opercones rttcs que l susttucn regresv. Pero l dscpln delorto trcl reduce sustnclente l posbldd de coeter errores durnte los

x1 = 6x2 3x4x2 es libre

x3 = 5 + 4x4x4 es libre

x5 = 7

x1 + 5x2 = 21x2 + x3 = 4

x1 7x2 + 2x3 5x4 + 8x5 = 10x

2 3x

3+ 3x

4+ x

5 = 5

x4 x5 = 4


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Cundo un sste est en or esclond y no contene nngun ecucn del tpo0=b, con b derente de 0, tod ecucn dstnt de cero contene un vrble bsccon un coefcente derente de cero. Ls vrbles bscs estn copletente deter-nds (sn vrbles lbres), o por lo enos un de ls vrbles bscs puede epresrseen trnos de un o s vrbles lbres. En el prer cso este un solucn nc; enel lto, hy un nero nfnto de solucones (un pr cd sgncn de vlores ls vrbles lbres).

Ests observcones justfcn el teore sguente.

El procedento sguente defne co encontrr y descrbr tods ls soluconesde un sste lnel.

P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. Encuentre l solucn generl del sste lnel cuy trz uentd es

1 3 5 00 1 1 3

T E O R E M A 2 Teorema de existencia y unicidad

Un sste lnel es consstente s, y slo s, l colun del etreo derecho del trz uentd no es un colun pvote esto es, s, y slo s, un oresclond de l trz uentd no tene nngun fl de l or

[0 0 b] con b derente de cero.

S un sste lnel es consstente, entonces el conjunto solucn contene () unsolucn nc, cundo no esten vrbles lbres, o ben () un nero nfntode solucones, cundo este por lo enos un vrble lbre.

USODELAREDUCCINPORFILASPARARESOLVERUNSISTEMALINEAL

1. Escrb l trz uentd del sste.

2. Utlce el lgorto de reduccn por fls pr obtener un trz uentdequvlente de or esclond. Decd s el sste es o no consstente. Sno hy solucn, detngse; en cso contrro, contne con el sguente pso.

3. Contne l reduccn por fls hst obtener l or esclond reducd.

4. Escrb el sste de ecucones que correspond l trz obtend en elpso 3.

5. Reescrb cd ecucn derente de cero del pso 4 de ner que su ncvrble bsc est epresd en trnos de culesquer vrbles lbres queprezcn en l ecucn.


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2. Encuentre l solucn generl del sste

x1 2x2 x3 + 3x4 = 0

2x1 + 4x2 + 5x3

5x4

=3

3x1 6x2 6x3 + 8x4 = 2

En los ejerccos y 2, deterne cules trces estn en oresclond reducd y cules slo en or esclond.

6. Rept el ejercco 5 pr un trz de 3 2 derente decero.

Encuentre ls solucones generles de los sstes cuys trcesuentds se dn en los ejerccos 7 4.

1.2 EJERCICIOS

1. a.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

b.

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

c.

1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

d.

1 1 0 1 1

0 2 0 2 2

0 0 0 3 3

0 0 0 0 4

2. a.

1 1 0 10 0 1 1

0 0 0 0

b.

1 1 0 00 1 1 0

0 0 1 1

c.

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

d.

0 1 1 1 1

0 0 2 2 2

0 0 0 0 3

0 0 0 0 0

3.

1 2 3 4

4 5 6 7

6 7 8 9

4.

1 3 5 7

3 5 7 9

5 7 9 1

Reduzc por fls ls trces de los ejerccos 3 y 4 l oresclond reducd. Encerre ls poscones pvote ncluds enl trz fnl y en l trz orgnl, y enuere ls colunspvote.

15. a.

0 0 0 0

b.

0 0 0 0 0 0 0

5. Descrb ls ors esclonds posbles de un trz de2 2 dstnt de cero. Utlce los sbolos (), * y 0, coo

en l prer prte del ejeplo .

En los ejerccos 5 y 6 se utlz l notcn del ejeplo pr

trces en or esclond. Supong que cd trz repre-sent l trz uentd pr un sste de ecucones lneles.En cd cso, deterne s el sste es consstente. De ser s,estblezc s l solucn es nc.

7.1 3 4 7

3 9 7 68.

1 4 0 7

2 7 0 10

9.0 1 6 51 2 7 6 10.

1 2 1 33 6 2 2

11.

3 4 2 09 12 6 06 8 4 0

12.

1 7 0 6 50 0 1 2 31 7 4 2 7

13.

1 3 0 1 0 20 1 0 0 4 10 0 0 1 9 4

0 0 0 0 0 0

14.

1 2 5 6 0 50 1 6 3 0 20 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0



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En los ejerccos 7 y 8, deterne el vlor o los vlores de htles que l trz se l trz uentd de un sste lnelconsstente.

En los ejerccos 9 y 20, elj h y kde tl or que el sste

a) no teng solucn, b) teng un solucn nc, y c) teng u-chs solucones. D respuests por seprdo pr cd ncso.

En los ejerccos 2 y 22, sele cd enuncdo coo verdderoo lso. Justfque cd respuest.4

21. . En lgunos csos, un trz se puede reducr por fls s de un trz en or esclond reducd, usndoderentes secuencs de opercones de fl.

b. El lgorto de reduccn por fls se plc solente trces uentds pr un sste lnel.

c. Un vrble bsc de un sste lnel es un vrbleque corresponde un colun pvote en l trz de co-efcentes.

d. Encontrr un descrpcn prtrc del conjunto so-lucn de un sste lnel es lo so que resolver elsste.

e. S un fl en l or esclond de un trz uent-d es [0 0 0 5 0], entonces el sste lnel socdo esnconsstente.

22. . L or esclond de un trz es nc.

b. En un trz, ls poscones pvote dependen de s seusn o no ntercbos de fl en el proceso de reduccnpor fls.

c. L reduccn de un trz or esclond se llase progresiva del proceso de reduccn por fls.

d. S un sste tene vrbles lbres, el conjunto solucncontene uchs solucones.

e. Un solucn generl de un sste es un descrpcn e-plct de tods ls solucones del sste.

23. Supong que un trz de coecientes de 3 5 pr un ss-te tene tres coluns pvote. Es consstente el sste?Por qu s o por qu no?

24. Supong que un sste de ecucones lneles tene un -trz aumentada de 3 5 cuy qunt colun es un colunpvote. Es consstente el sste? Por qu s o por qu no?

25. Supong que l trz de coefcentes de un sste de ecu-cones lneles tene un poscn pvote en cd fl. Epl-que por qu este sste es consstente.

26. Supong que l trz de coefcentes de un sste lnelde tres ecucones en tres vrbles tene un pvote en cdcolun. Eplque por qu tene este sste un solucnnc.

27. Reestructure l lt orcn del teore 2 utlzndo elconcepto de coluns pvote: S un sste lnel es conss-tente, entonces l solucn es nc s, y slo s, _______________________.

28. Qu deber sberse cerc de ls coluns pvote de untrz uentd pr dvertr que el sste lnel es con-sstente y tene un solucn nc?

29. Un sste de ecucones lneles con enos ecucones quencgnts ocsonlente se denon sistema subdeter-minado. Supong que un sste s result ser consstente.Eplque por qu deber estr un nero nfnto de solu-cones.

30. Proporcone el ejeplo de un sste subdeterndo ncon-sstente de dos ecucones en tres ncgnts.

31. Un sste de ecucones lneles con s ecucones quencgnts ocsonlente se denon sistema sobredeter-minado. Puede ser consstente un sste s? Ilustre su res-puest con un sste especfco de tres ecucones en dosncgnts.

32. Supong que un trz de n (n+ ) se reduce por fls lor esclond reducd. Aprodente, qu rccndel nero totl de opercones (ops) est nvolucrd enl se regresv de l reduccn cundo n

=30? Cundo

n = 300?Supong que un conjunto de puntos en el plno represent dtoseperentles. Un polinomio de interpolacin pr los dtos esun polnoo cuy grfc ps por todos los puntos. En el trbjocentfco, se puede usr un polnoo s, por ejeplo, pr est-r vlores entre los puntos de dtos conocdos. Otro uso es crercurvs pr genes grfcs en un pntll de coputdor.Un todo propdo pr encontrr un polnoo de nterpol-cn es resolver un sste de ecucones lneles.

4Pregunts del tpo verddero/lso coo sts precern en uchs sec-cones. Los todos pr justfcr sus respuests se descrberon ntes delos ejerccos 23 y 24 de l seccn ..

16. a.

0 0 0 0

b.

0 0 0 0 0

17.2 3 h

4 6 718.

1 3 25 h 7

19. x1 + hx2 = 24x1 + 8x2 = k

20. x1 + 3x2 = 23x1 + hx2 = k

WEB


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33. Encuentre el polnoo de nterpolcn p(t) = a0+ at+a2t2pr los dtos (, 2), (2, 5), (3, 6). Esto es, encuentrea0, ay a2 tles que

a0+

a1(1)+

a2(1)

2

= 12a0 + a1(2) + a2(2)

2 = 15a0 + a1(3) + a2(3)

2 = 1634. [M] En un eperento de tnel de vento, l uerz sobre un

proyectl debd l resstenc del re se d derentesvelocddes:

Velocdd (00 pes/seg) 0 2 4 6 8 0Fuerz (00 lb) 0 2.90 4.8 39.6 74.3 9

Encuentre un polnoo de nterpolcn pr estos dtos yeste l uerz sobre el proyectl cundo ste vj 750pes/seg. Utlcep(t) = a0+ at+ a2t2+ a3t3+ a4t4+a5t5.Qu psr s se trtr de usr un polnoo con grdo e-

nor que 5? (Por ejeplo, pruebe con un polnoo cbco.)5

5Los ejerccos rcdos con el sbolo [M] estn dsedos pr resol-verse con yud de un Progr Mtrcl (un progr de copu-tdor, coo MATLAB, Mple, Mthetc, MthCd o Derve, o unclculdor progrble con cpcdd pr resolver trces, coo ls clcu-ldors que brcn Tes Instruents y Hewlett-Pckrd).

S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. L or esclond reducd de l trz uentd y el sste correspondenteson

Ls vrbles bscs sonx yx2, y l solucn generl es

Nota: Result esencl que l solucn generl descrb cd vrble, con culquerpretro clrente dentfcdo. El sguente enuncdo no descrbe l solucn:

Est descrpcn plc que tantox2comox3 son lbres, lo cul desde luego no es elcso.

2. Al reducr por fls l trz uentd del sste se obtene:

1 0 2 90 1 1 3

yx1 2x3 = 9

x2 + x3 = 3

L solucn generl l sste deecucones es l lne de ntersec-cn de los dos plnos.

x1 = 9 + 2x3x2 = 3 x3x3 es libre

x1 = 9 + 2x3x2 = 3 x3x3 = 3 x2 Solucin incorrecta

1 2 1 3 02 4 5 5 3

3 6 6 8 2

1 2 1 3 00 0 3 1 3

0 0 3 1 2

1 2 1 3 00 0 3 1 3

0 0 0 0 5



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Est trz esclond uestr que el sste es inconsistente, porque l colun del etre derech es un colun pvote: l tercer fl corresponde l ecucn0 = 5. No hy necesdd de relzr nngun otr opercn de fl. Observe que, eneste proble, l presenc de ls vrbles lbres es rrelevnte porque el sste esnconsstente.

1.3 ECUACIONES VECTORIALESIportntes propeddes de los sstes lneles pueden ser descrts ednte el con-cepto y l notcn de vectores. Est seccn relcon ecucones que nvolucrn vecto-res con sstes de ecucones ordnrs. El trno vectorprece en vros contetostetcos y scos que se estudrn en el cptulo 4, Espcos vectorles. Hstentonces, el trno vectorse usr pr denotr una lista de nmeros. Est de sencll

perte relzr plccones nteresntes e portntes con l yor rpdez posble.

Vectores en R2

Un trz con un sol colun se ll vector columna o spleente vector.Lossguentes son ejeplos de vectores con dos entrds

donde w y w2 son culesquer neros reles. El conjunto de todos los vectores condos entrds se denot ednte R2 (le r-dos). L R represent el conjunto de los

neros reles que precen coo entrds en los vectores, y el eponente 2 ndc quecd vector contene dos entrds.

Dos vectores en R2 son iguales s, y slo s, sus entrds correspondentes son gu-

les. As, 47

y 74

no son gules. Se dce que los vectores en R2 sonpares ordenados

de neros reles.Ddos dos vectores u y v en R2, su suma es el vector u+v que se obtene l sur

ls entrds correspondentes de u y v. Por ejeplo,

Ddos un vector u y un nero rel c, el mltiplo escalar de u por c es el vectorcu quese obtene l ultplcr cd entrd de u por c. Por ejeplo,

L yor prte del teto trt cerc de vectores y trces que slo tenen entrds reles. Sn ebrgo,tods ls defncones y teores de los cptulos 5, y de l yor prte del teto restnte, sguen sendovldos cundo ls entrds son neros coplejos. Los vectores y trces coplejos surgen de nernturl, por ejeplo, en ngener elctrc y en sc.

u= 31 , v=.2

.3, w= w1

w2

1

2 +2

5= 1 + 22 + 5 =

3

3

si u= 31 y c = 5, entonces cu= 53

1 =15

5


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El nero c decu se ll escalar, y se escrbe en letr cursv pr dstngurlo delvector en negrts u.

Ls opercones de ultplccn por un esclr y su de vectores se puedencobnr coo en el sguente ejeplo.

EJEMPLO 1 Ddos u = 12 y v=2

5 , encuentre 4u, (3)v y 4u+ (3)v.

Solucin

y

Alguns veces, por convenenc (y tbn pr horrr espco), se escrbe un

vector colun coo3

1 de l or (3, ). En este cso, se usn prntess y unco pr dstngur el vector (3, ) de l trz por fls 2 [3, ], que se escrbeentre corchetes y sn co. As,

porque ls trces tenen derentes ors, unque tengn ls ss entrds.

Descripciones geomtricas de R2

Consdere un sste de coordends rectngulres en el plno. Coo cd punto en elplno est deterndo por un pr ordendo de neros, puede identicarse un punto

geomtrico (a, b) con el vector columnaa

b. Por lo tnto, puede consderrse R2

coo el conjunto de todos los puntos en el plno. Ve l fgur .

Con recuenc, l vsulzcn geotrc de un vector coo 3

1result be-

nefcd con l nclusn de un ech (segento de rect drgdo) desde el orgen(0, 0) hst el punto (3, ), coo en l fgur 2. En este cso, los puntos ndvdules lo lrgo de l ech no tenen sgnfcdo especl.2

L su de dos vectores tene un representcn geotrc tl. L sguente reglpuede verfcrse por edo de geoetr nltc.

2En sc, ls echs pueden representr uerzs y, por lo generl, son lbres de overse en el espco. Estnterpretcn de los vectores se estudr en l seccn 4..

FIGURA 2Vectores con echs.

x2

x1

(2, 2)

(3, 1)(2, 1)

FIGURA 1Vectores coo puntos.

x2

x1

(2, 2)

(3, 1)(2, 1)

4u = 48 , (3)v=615

4u + (3)v =4

8 + 6

15 = 2

7

3

1 = [ 3 1 ]

1.3 Ecuaciones vectoriales 29


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EJEMPLO 2 Los vectores u = 22

, v = 61

, y u + v = 43

se representn en

l fgur 4.

REGLADELPARALELOGRAMOPARALASUMA

S u y v en R2 se representn coo puntos en el plno, entonces uv corres-ponde l curto vrtce del prlelogro cuyos otros vrtces son u, 0 y v. Ve

l fgur 3.

FIGURA 3 L regl del prlelogro.

v

u

x2

x1

u + v

0

FIGURA 4

x2

x1

u

v

u + v

26

3

El sguente ejeplo lustr el hecho de que el conjunto de todos los ltplos esc-

lres de un vector fjo es un rect que ps por el orgen, (0, 0).

EJEMPLO 3 Se = 31 .u Represente en un grfc los vectores u, 2u y 23u.

Solucin Ve l fgur 5, donde se uestrn u,2u = 62 , y 23u = 2

2/3. L ech

pr2u tene el doble de lrgo que l epled pr u, y bs puntn en l sdreccn. L ech pr 2

3u es dos tercos del lrgo de l ech pr u, y ls dos pun-

tn en dreccones opuests. En generl, l longtud de l ech pr cu es |c| veces l


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longtud de l ech pr u. [Recuerde que l longtud del segento de rect desde (0,0) hst (a, b) es

a2 + b2. Esto se nlzr s ondo en el cptulo 6.]

Vectores en R3

Los vectores en R3 son trces colun de 3 con tres entrds. Se representngeotrcente por edo de puntos en un espco coordendo de tres densones,lguns veces se ncluyen echs desde el orgen pr proporconr yor clrdd v-

sul. Los vectores a = 234

y 2a se uestrn en l fgur 6.

Vectores en Rn

S n es un entero postvo, Rn (le r-n) denot l coleccn de tods ls lsts (o n-adasordenadas) de n neros reles, escrts, por lo generl, coo trces colun de n del tpo

u =

u1u2...

un

El vector cuys entrds son tods gules cero se ll vector cero y se denotednte 0. (El nero de entrds en 0 ser evdente prtr del conteto.)

L guldd de vectores en Rn y ls opercones de ultplccn esclr y su devectores en Rn se defnen entrd por entrd gul que en R2. Ests opercones de vec-tores tenen ls sguentes propeddes, que se pueden verfcr en or drect prtrde ls propeddes correspondentes pr neros reles. Ve el proble de prctc y los ejerccos 33 y 34 ncludos l fnl de est seccn.

2a

a

x2x

1

x3

x2

x1

u

x2

x1

u

0u

2u

u

El conjunto de todos los mltiplos de uMltiplos tpicos de u

2

3

FIGURA 6

Mltplos esclres en R3.

FIGURA 5



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Pr splfcr l notcn, tbn se utlz rest de vectores y se escrbe uven lugr de u+ ()v. En l fgur 7 se uestr uv coo l su de u y v.

Combinaciones linealesDdos los vectores v, v2, . . . , vp enRn y los esclres c, c2, . . . , cp, el vector y defndopor

y = c1v1 + + cpvpse ll combinacin lineal de v, v2, . . . , vp con pesosc, c2, . . . , cp. L propedd ()enuncd nterorente perte otr los prntess cundo se or un cobn-cn lnel de este tpo. En un cobncn lnel, los pesos pueden ser culesquerneros reles, ncluso el cero. Por ejeplo, lguns cobncones lneles de losvectores v y v2 son

3v1 + v2, 12v1 (= 12v1 + 0v2), y 0 (= 0v1 + 0v2)

EJEMPLO 4 En l fgur 8 se dentfcn lguns cobncones lneles seleccon-

ds de v1 = 11 y v2 =2

1.(Observe que los conjuntos de lnes prlels de l

rejll estn trzdos ednte ltplos enteros de v y v2.) Este ls cobnconeslneles de v y v2 que genern los vectores u y w.

PROPIEDADESALGEBRAICASDERn

Pr todos u, v y w en Rn y todos los esclres c y d:

() uvvu (v) c(uv) cucv() (uv) wu (vw) (v) (cd)ucudu() u0 0u u (v) c(du) (cd)(u)(v) u (u) u u0, (v) u u.

donde u denot ()u

FIGURA 7

Rest de vectores.

x1

x2

v

u

v

u v

FIGURA 8 Cobncones lneles de v y v2.

2v2

2v1

2v1

2v2

v1 v

2 2v1+ v

2

3v1

v1

v1

v2

w

uv2

v1+ v

2 3v2

32

0


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Solucin L regl del prlelogro uestr que u es l su de 3v y 2v2, esto es,

u= 3v 2v2

Est epresn pr u puede nterpretrse coo ls nstruccones pr vjr desde elorgen hst u lo lrgo de dos ruts rects. Prero, vje tres unddes en l dreccnv hst 3v, y despus vje 2 unddes en l dreccn v2 (prlel l lne que pspor v2 y 0). Ensegud, unque el vector w no est en un lne de l rejll, prece quew qued prodente ed dstnc entre dos pres de lnes de l rejll, en elvrtce de un prlelogro deterndo por (5/2)v y (l/2)v2. (Ve l fgur 9.) As,

w =52v1 12 v2

El sguente ejeplo relcon un proble de cobncones lneles con l pre-gunt undentl de estenc que se estud en ls seccones . y .2.

EJEMPLO 5 Sen a1 =

1

25

, a2 =

2

5

6

, y b =

7

4

3

. Deterne s b puede ge-

nerrse (o escrbrse) coo un cobncn lnel de a y a2. Esto es, clcule s estenpesosx yx2 tles que

xa+x2a2=b ()

S l ecucn vectorl () tene solucn, encuntrel.

Solucin Utlce ls defncones de ultplccn esclr y su de vectores prreescrbr l ecucn vectorl

x1

1

25

+ x2

2

5

6

=

7

4

3

a1 a2 b

l cul es l s que

x1

2x15x1

+ 2x2

5x26x2

= 7

43

y

x1 + 2x22x1 + 5x25x1 + 6x2

=

7

4

3

Los vectores que precen en los ldos derecho e zquerdo de (2) son gules s, y slos, sus entrds correspondentes son gules. Esto es, x y x2 hcen que l ecucn

v1

w

v2

2v1

3v1

0

FIGURA 9


(2)

110620464 algebra lineal y sus aplicaciones 3ra edicion david c lay

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