MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

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VER PROCEDIMIENTO DE VAR. SEPARAB.

VER 1er EJEMPLO APLICADO AL

PROCEDIMIENTO

VER 2do EJEMPLO APLICADO AL

PROCEDIMIENTO

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INTRODUCCIÓN

Si sabemos que la forma general es 𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 es separable si el segundo miembro de la ecuación

diferencial𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede expresar como el producto de dos funciones, uno que depende sólo

de x y otro que contenga solo a la variable dependiente.

𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦

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EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES

EJEMPLO:𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑦 + 3

𝑥 − 4

SOLUCIÓN:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑦 + 3

𝑥 − 4

Separando las variables:𝑑𝑦

𝑦 + 3=𝑑𝑥

𝑥 − 4

Integrando:

𝑑𝑦

𝑦 + 3=

𝑑𝑥

𝑥 − 4

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Recordando que:

𝑑𝑣

𝑣= ln 𝑣 + 𝐶

Integrando ambas partes:

𝑑𝑦

𝑦 + 3=

𝑑𝑥

𝑥 − 4

ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + 𝐶

Ahora, un equivalente en general:

𝐶 = 𝐶 ln 𝑒 = ln 𝑒𝐶 = ln𝐶

Entonces:ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + 𝐶

ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + ln𝐶

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Aplicando propiedades de los logaritmos:

ln 𝐴 + ln𝐵 = ln𝐴𝐵

Y también:

1) ln 𝐴 = ln𝐵

2) 𝐴 = 𝐵

Por lo tanto:

ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + ln 𝐶

ln 𝑦 + 3 = ln 𝐶 𝑥 − 4

𝑦 + 3 = 𝐶 𝑥 − 4

∴ 𝑦 = 𝐶 𝑥 − 4 − 3REGRESAR AL CONTENIDO

ALGUNAS DEFINICIONES

Definimos que una ecuación diferencial ordinaria de la forma 𝑦′ = 𝐹 𝑥, 𝑦 se dice variableseparable si es posible factorizar 𝐹 𝑥, 𝑦 en la forma 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 . Una ecuación diferencialordinaria de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia.

Una ecuación diferencial ordinaria 𝑦′ = 𝐹 𝑥, 𝑦

Salida: la solución de la ecuación diferencial

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PROCEDIMIENTO: VARIABLES SEPARABLES

PASO 1: Factorizar el segundo miembro, es decir, 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 ; si tal factorización no se puederealizar, se concluye que la ecuación diferencial no es ordinaria y por lo tanto no se procede a resolverla.

PASO 2: Separar las variables, hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦

𝑑𝑦

𝑔 𝑦= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

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PASO 3: Integrar en ambos miembros:

𝑑𝑦

𝑔 𝑦= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

PASO 4: Despejar y opcional debido a que representa la función incógnita ideal, es determinar porcompleto, es decir, tener como solución una expresión de la forma y=f(x); en caso de que estedespeje sea posible se habla de forma explícita, en caso contrario (cuando no es posible despejar y)se dice que está en forma implícita.

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EJEMPLO APLICADO AL PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES

EJEMPLO:−4 𝑥𝑦 + 𝑦′ = 0

SOLUCIÓN:−4 𝑥𝑦 + 𝑦′ = 0

𝑦′ = 4 𝑥𝑦

Recordando que 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥:

𝑦′ = 4 𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 𝑥 𝑦 −−→

𝑑𝑦

𝑦= 4 𝑥 𝑑𝑥

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Al identificar que esta ecuación diferencial ya tiene las variables separadas, se continua con colocarlas variables en el numerador y cambiar los radicales en una potencia tipo fracción. Así que:

𝑑𝑦

𝑦= 4 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑦12

= 4𝑥−12 𝑑𝑥

𝑦−12 𝑑𝑦 = 4𝑥

12 𝑑𝑥

Realizando la integración:

𝑦−12 𝑑𝑦 = 4 𝑥

12 𝑑𝑥

Recordando que:

𝑣 𝑑𝑣 =𝑣𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 , 𝑛 ≠ −1

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𝑦−12 𝑑𝑦 = 4 𝑥

12 𝑑𝑥

𝑦−12+1

−12 + 1

= 4𝑥12+1

12 + 1

+ 𝐶

𝑦12

12

= 4𝑥32

32

+ 𝐶

2𝑦12 = 4

2

3𝑥32 + 𝐶

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2𝑦12 = 4

2

3𝑥32 + 𝐶

2𝑦12 =

8

3𝑥32 + 𝐶

𝑦12 =

83𝑥32 + 𝐶

2

𝑦12 =

8

6𝑥32 +

𝐶

2

𝑦12 =

4

3𝑥32 + 𝐶

Despejando 𝑦:

∴ 𝑦 =4

3𝑥32 + 𝐶

2

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EJEMPLO APLICADO AL PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLESEJEMPLO:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑦

SOLUCIÓN:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑦

Separando las variables de la ecuación diferencial:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑦

𝑦 𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥

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Realizando la integración en ambos miembros:

𝑦 𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 𝑑𝑦 = − 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 𝑑𝑦 = −2 𝑥 𝑑𝑥

Recordando que:

𝑣 𝑑𝑣 =𝑣𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 , 𝑛 ≠ −1

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Entonces:

𝑦 𝑑𝑦 = −2 𝑥 𝑑𝑥

𝑦2

2= −2

𝑥2

2+ 𝐶

𝑦2

2= −𝑥2 + 𝐶

𝑦2 = 2 −𝑥2 + 𝐶

𝑦2 = −2𝑥2 + 2𝐶

𝑦2 = −2𝑥2 + 𝐶

𝑦 = −2𝑥2 + 𝐶

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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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