colaboracin

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EVOLUCIN DEL DIBUJOEN PERSPECTIVA

ISOMTRICAJOS M ALTEMIR GRASA, Dr. Ingeniero Industrial, Profesor en el C.P.S. de la Universidad de Zaragoza.

en el campo de la Mecnica. Para cons-truir los aparatos mecnicos docentes,invent un mecano; pero como lasmquinas servan solo mientras seimparta la conferencia, se hizo impres-cindible dibujar su disposicin sobrepapel, para que los ayudantes pudieranreconstruirlas en futuras sesiones. Estafue la manera indirecta en que Farishutiliz el dibujo isomtrico, como unaherramienta para preparar sus confe-rencias en la Universidad y para conser-var en formato tangible el diseo de susmquinas.

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Como puede apreciarse en la figura 3,Farish utiliz correctamente la proyec-cin isomtrica y fue el primero eninvestigar las propiedades de este siste-ma de representacin como lo demues-tran sus lminas sobre el estudio deldibujo isomtrico. En ellas representacorrectamente el cubo isomtrico, loscrculos inscritos en las tres caras visi-bles del cubo y figuras del trazado deelipses.

El profesor Farish mostr tanto entu-siasmo por el dibujo isomtrico quesugiri utilizarlo para dibujar mapas,

ANTECEDENTES

Los ingenieros industriales hemos utili-zado el dibujo en perspectiva isomtricaen ms de una ocasin, por lo menospara superar las asignaturas de DibujoTcnico y de Geometra Descriptiva. Eneste artculo, se presenta la evolucinhistrica del dibujo isomtrico, las apor-taciones realizadas por los principalescientficos en este campo, as como, unavisin de su futuro con el uso mayorita-rio de las aplicaciones CAD/CAE.

La palabra isomtrico significa de igualmedida en los tres ejes perspectivos, yproviene del prefijo isos que significaigual y de la palabra mtrico que expre-sa o significa medida. Hay evidenciasque el dibujo isomtrico fue utilizadopara representar objetos desde el sigloXV, tanto en el mundo rabe como en elmundo occidental. Prueba de ello, es elmanuscrito persa de la figura 1 dondese representa una escena en la calle; enl hay partes que no responden a larepresentacin en dibujo isomtrico,pero el banco central cumple perfecta-mente las reglas de esta representacin,con las direcciones oblicuas formando30 con la horizontal y la tercera dimen-sin vertical.

Figura 1.- Manuscrito persa del siglo XV.

El italiano Leonardo da Vinci, a finalesdel siglo XV y principios del XVI, tam-bin utiliz intuitivamente el dibujoisomtrico. En muchos de sus dibujosaparece el isomtrico junto con la pers-pectiva caballera, pero en el estudio dela cada libre de un cubo que se conser-va en Pars, el cubo en la posicin Cmuestra el correcto trazado en isom-trico visto desde la parte inferior.

Como se deduce de los ejemplos ante-riores, el dibujo isomtrico fue utilizadode forma emprica en la representacinde objetos hasta finales del siglo XVIII,fecha en que William Farish, reconocidocomo la figura ms relevante del dibujoisomtrico, establece las primeras reglaspara su correcto trazado.

PRIMERAS REGLAS DEL SISTEMA

William Farish estudi en la Universidadde Cambridge y profundiz en diferen-tes campos cientficos como lasMatemticas, la Qumica y la Mecnica.Cuando gan su plaza de profesor deQumica en la citada universidad, otroprofesor estaba dando esta materia, porlo que Farish prepar sus conferencias

Figura 2.- Esbozo de cubos de Leonardo da Vinci.

Figura 1.- Manuscrito persa del siglo XV.

A principios del siglo XX, varios autoresprofundizaron en la relacin entre lasvistas ortogonales y el dibujo axonom-trico. En 1905, Rudolf Schuessluespublica en Berlin el libro OrthogonaleAxonometrie donde relaciona la medi-da real y su correspondiente proyeccinisomtrica. En este campo cabe destacarel trabajo desarrollado en la escuela deViena por Theodor Shmidt y por susucesor L. Eckhart que desarrollaron en1938 el mtodo que permite obtener eldibujo isomtrico directamente a partirdel alzado, la planta y el perfil.

LA GEOMETRA PRIMARIA DEL DIBUJO ISOMTRICO.

A finales del siglo XIX se invent unageometra primaria, conocida como losaxiomas de proyeccin, para justificaruna geometra secundaria que se usabadesde haca mucho tiempo. La teora dela axonometra oblicua general se basaen el teorema de Karl Pohlke y H.Schwarz que establecieron en 1853:Tres segmentos cualesquiera que par-ten de un mismo punto en el plano,pueden ser tomados como las proyec-ciones de tres segmentos iguales y per-pendiculares entre s en el espacio.

Observamos que cada eje forma unngulo a, b, g con el plano del dibujo, silos ngulos son iguales entre s habla-mos de un sistema isomtrico, si dos delos ngulos son iguales y el tercero dis-tinto tenemos un sistema dimtrico, yen el caso de que los tres sean diferen-tes obtendremos un sistema trimtricoo anisomtrico.

Los cientficos que establecieron la teo-ra de la axonometra fueron el mate-mtico e ingeniero alemn JulioWeisbach y el matemtico francs OscarXavier Schlmilch. En 1835 formularonsu teorema que dice: En la proyeccinaxonomtrica rectangular, las proyec-ciones ortogonales de los ejes sobre elplano del cuadro, son las bisectrices deltringulo rtico (M,N,P) del de trazas(A,B,C); los cuadrados de las escalasaxonomtricas y natural son proporcio-nales a los lados y semipermetro de estemismo tringulo, respectivamente.

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jarrones y muchas cosas ms. Comosucedi con la Geometra Descriptiva deGaspar Monge en Francia, la perspecti-va isomtrica permaneci oculta duran-te algunos aos en la Universidad deCambridge, hasta que en 1835 se publi-c la Enciclopedia Britnica y esta obradedic un gran nmero de pginas a laproyeccin isomtrica.

MTODOS SECUNDARIOS DEL DIBUJOISOMTRICO

A partir de la publicacin de laEnciclopedia Britnica, el dibujo isomtri-co se incorpora a las publicaciones espe-cializadas en Geometra Descriptiva. As,en 1836, Thomas Bradley, profesor en elKings College de Londres, recoge en suobra Geometra Prctica cuatro pginasde dibujo isomtrico; lo mismo ocurre conJ.F. Heather, profesor en la Academia RealMilitar de Woolwich, que publica en 1851el Tratado Elemental sobre GeometraDescriptiva, y en la que aadi una lti-ma seccin sobre la proyeccin isomtrica.

En la misma poca, Ellis Davidson yWilliam Binns introducen el conceptode planos auxiliares de proyeccin, y afinales del siglo XIX se puso de modaobtener dibujos isomtricos mediantelos axiomas de la proyeccin ortogonal,como se muestra en la figura 4 para elcubo isomtrico y el dimtrico.

Figura 4.- Cubo isomtrico y dimtrico a partir de las proyecciones ortogonales.

Figura 5.- Mtodo de Eckhart.

Figura 6.- Teorema de Pohlke.

Figura 7.- Tringulo de trazas (A,B,C) y rtico (M.N.P).

EVOLUCIN DEL DIBUJO ENPERSPECTIVA ISOMTRICA

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Para la demostracin de este teorema,como vemos en la figura 7, abatimos elpunto (O) perteneciente al plano quecontiene a OX. Los puntos O y A son,respectivamente, incentro y exincentrodel tringulo rtico.

De la figura, podemos deducir lassiguientes relaciones:

Cos a= AO/A(O) ; elevando al cuadradocos2 a= AO2/A(O)2

Aplicando el teorema del catetoA(O)2=AO . AM

Por lo tanto cos2 a= AO2/A(O)2= AO2/ AO.AM= AO/AM

Por la aplicacin del teorema de ThalesA(O)/AM = AO/A(O)

cos2 a= AO/AM= WH/WM ; comoWH=WN+NH y WM= WH+HM

WM=p y WH=a

Luego, resulta:

cos2 a=a/p;

cos2 b=b/p;

cos2 g=c/p

De las expresiones anteriores, se deduce:

cos2 a/a= cos2 b/b= cos2 g/c= 1/p

como a+b+c=2p; cos2 a+ cos2 b+ cos2

g=2. [1]

Teniendo en cuenta que cos a=ex/e

cos b=ey/e

cos g=ez/e

se deduce la frmula de Schlmilch:e2x+ e2y+ e2z= 2 e2

Figura 8.- til de sujecin en 3D en proyeccin isomtrica.

De la expresin [1], se llega al teorematal como se ha enunciado

e2x/a= e2y/b= e2z/c = e2/p

En el sistema isomtrico, el tringulode trazas y el rtico son equilteros, yal ser los ngulos iguales, a=b=g, seobtiene de la expresin [1]

3 cos2 a = 2; y despejando

cos a= ex/e =0.816

que es el coeficiente de reduccin entrela medida real y la proyectada en cual-quiera de los ejes de la perspectiva iso-mtrica. Sin embargo, por comodidadde uso, en el dibujo isomtrico manualse lleva la medida real sobre el eje sinreduccin, aceptndose el dibujo finalcon una ampliacin de 1.22.

APLICACIONES CON EL CAD

Una de las aplicaciones ms importan-tes de la perspectiva isomtrica ha sidopara la ilustracin de mquinas, princi-palmente para mostrar su montaje atravs de la perspectiva estallada. Conlas aplicaciones CAD/CAE, el dibujomanual en isomtrico ha quedado en

EVOLUCIN DEL DIBUJO ENPERSPECTIVA ISOMTRICA

desuso, aunque la claridad de esta pers-pectiva ha permitido que los sistemasCAD posean orientaciones isomtricasdeterminadas para representar los obje-tos diseados tridimensionalmente. Estacircunstancia va a permitir seguir obte-niendo dibujos e imgenes en isomtri-co, aunque desconozcamos su funda-mento y olvidemos la tcnica del traza-do manual.