1.1 ecuaciones de maxwell: caso general

1 ECUACIONES DE MAXWELL: PROPAGACIÓN DE ONDAS EM

1

1.1 Ecuaciones de Maxwell: Caso general

∇ · 𝐷 = 𝜌

∇ · 𝐵 = 0

∇×𝐸 = −𝜕𝐵𝜕𝑡

− 𝑗!

∇×𝐻 = 𝑗 +𝜕𝐷𝜕𝑡

𝐵 = 𝜇" 𝐻 +𝑀

𝐷 = 𝜀"𝐸 + 𝑃

𝜀" = 8.85×10#$% 𝐹/𝑚𝜇" = 4𝜋×10#& 𝐻/𝑚

2

1.1 Ecuaciones de Maxwell.

Teorema de Gauss

D

ds

∇ · 𝐷 = 𝜌

='

𝐷 𝑑𝑠 =𝑄4𝜋

Ley de Coulomb𝐸 =

𝑄4𝜋 𝜀"𝑟%

3

B

ds


∇ · 𝐵 = 0

='

𝐵 𝑑𝑠 = 0

4

B

Ley de la Inducción Magnética

Ecs


∇×𝐸 = −𝜕𝐵𝜕𝑡

='

𝜕𝐵𝜕𝑡

𝑑𝑠 = −B(𝐸 𝑑𝑙

dl

5

H

Ley de Amper

I

c

Hs

1.1 Ecuaciones de Maxwell: CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

∇×𝐻 = 𝚥 +𝜕𝐷𝜕𝑡

𝐼 = B(𝐻 𝑑𝑙

='

𝜕𝐷𝜕𝑡

𝑑𝑠 = B(𝐻 𝑑𝑙

G𝝏𝑫𝝏𝒕

6

(condiciones de Contorno)

2

1®

n


𝑛 · 𝐷% − 𝐷$ = 𝜎)

𝑛 · 𝐵% − 𝐵$ = 0

𝑛 × 𝐸% − 𝐸$ = 0

𝑛 × 𝐻% −𝐻$ = 𝑘)

7

1.2 Propiedades EM de los medios materiales

Consideraremos un caso particular: MEDIOS LINEALES.®

D

®

E

Los medios materiales se caracterizan por: La Polarización (P),la Magnetización (M) y las densidades de corriente (J y JM), dependientes de los campos E y H, en general de forma no lineal, anisotrópica, inhomogenea y variable en el tiempo.

𝑃 = 𝜀" 𝜒 𝐸 𝐷 = 𝜀 𝐸

𝑀 = 𝜇" 𝜒! 𝐻 𝐵 = 𝜇 𝐻

𝜇 =𝜇$$ 𝜇$% 𝜇$*𝜇%$ 𝜇%% 𝜇%*𝜇*$ 𝜇*% 𝜇**

𝜀 =𝜀$$ 𝜀$% 𝜀$*𝜀%$ 𝜀%% 𝜀%*𝜀*$ 𝜀*% 𝜀**

8

MEDIOS ÓHMICOS.

MEDIOS ISÓTROPOS.

𝚥 = 𝜎 𝐸 𝜎 =𝜎$$ 𝜎$% 𝜎$*𝜎%$ 𝜎%% 𝜎%*𝜎*$ 𝜎*% 𝜎**

O𝜀+, = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗𝜀++ = 𝜀 ∀ 𝑖

O𝜇+, = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗𝜇++ = 𝜇 ∀ 𝑖

𝐷 = 𝜀 𝐸

𝐵 = 𝜇 𝐻

O𝜎+, = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗𝜎++ = 𝜎 ∀ 𝑖 𝚥 = 𝜎 𝐸

9

MEDIOS HOMOGENEOS.

MEDIOS INVARIANTES EN EL TIEMPO.

𝜀 ≠ 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜇 ≠ 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜎 ≠ 𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜀 ≠ 𝜀(𝑡)

𝜇 ≠ 𝜇(𝑡)

𝜎 ≠ 𝜎(𝑡)

10

1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales

La polarización de medios materiales obedece a dos posibles fenómenos:

- La generación de dipolos eléctricos por desplazamiento de cargas

- La orientación de dipolos eléctricos ya existentes.

La conductividad en medios materiales se asocia a la presencia de cargas libres.

La magnetización o polarización magnética de medios materiales obedece fundamentalmente a la orientación de los dipolos magnéticos existentes.

𝚥 = 𝑞𝑛 𝑣- = 𝑞𝑛 𝜇-𝐸

𝜎 = 𝑞𝑛 𝜇-

11

Generación de dipolos eléctricos

E

p

E

++++

++

--

--

--

p


12

Orientación de dipolos eléctricos

E

p


13

E

p

τ

La disipación de energía sólo se produce en el intervalo, 𝝉


¿Qué ocurre si E varia con el tiempo?

14


τ

1

2

3

15

Tiempo de relajación

frecuencia

Ener

gía

disi

pada

/ tie

mpo

1

2

3


𝑃 = 𝑃" + ∆𝑃 1 − 𝑒#./0

16

Sin conductividad residual Con conductividad residual

Con múltiples procesos de relajación


Constante dieléctrica compleja

𝜀 = 𝜀1 +∆𝜀

1 + 𝑗𝑤𝜏𝜀 = 𝜀1 +

∆𝜀1 + 𝑗𝑤𝜏

−𝜎'𝑗𝑤

𝜀 = 𝜀1 +∆𝜀$

1 + 𝑗𝑤𝜏$+

∆𝜀%1 + 𝑗𝑤𝜏%

+⋯−𝜎'𝑗𝑤

17



𝜀 = 𝜀2 − 𝑗𝜀22𝜀2 = 𝜀1 +

∆𝜀1 + 𝑤𝜏 %

𝜀22 =𝜎'𝑤+

𝑤𝜏 ∆𝜀1 + 𝑤𝜏 %

𝜎 = 𝜎' +𝑤𝜏 % ∆𝜎1 + 𝑤𝜏 %

∆𝜀∆𝜎

= 𝜏

18



19

1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales

MEDIOS DIELÉCTRICOS PERFECTOS (σ = 0 ).

E’(t)

H(t)

E(t)

H’(t)En ausencia de fuentes de campo que no sean inducidas por los propios campos.

∇×𝐸 = −𝜇𝜕𝐻𝜕𝑡

∇×𝐻 = 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡

20


Solución

MEDIOS DIELÉCTRICOS PERFECTOS (σ = 0 ).

W = 2π/T

K = 2π/λ = W/vp

Eo/Ho = η

∇×𝐸 = −𝜇𝜕𝐻𝜕𝑡

∇×𝐻 = 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡

∆𝐸 − 𝜇𝜀𝜕%𝐸𝜕𝑡%

= 0

𝐸 𝑟 = 𝐸" 𝑒, 3.#46

𝐻 𝑟 = 𝐻" 𝑒, 3.#46

21


E

H

𝜆,T

r, t

E (H) = Eo (Ho) cos(2𝝅[t/T-r/𝜆])

22


Magnitud Símbolo Descripción Unidades

Amplitud Eo(Ho)Amplitud del campo Eléctrico(Magnético) V/m (A/m)

Longitud de onda 𝜆

Para un instante de tiempo dado, distancia mínima entre dos puntos con el mismo estado de oscilación.

m

Periodo TPara una posición determinada, tiempo mínimo transcurrido para repetir un estado de oscilación dado.

s

Frecuencia f,𝜈 1 / T Hz

Velocidad de

propagación

vp

c (vacío)𝜆/T , 𝜆·f , 1/(με)½ m/s

Impedancia de

Ondaη (μ/ε)½ Ω

23


E

HDirección de propagación

Flujo de Energía: vector de Pointing

P

< 𝑃 >= 𝐸×𝐻 = 7!8!%

= 7!"

%9

= 𝜂 8!"

%

(Watts/m2)

24


Solución

MEDIOS CONDUCTORES.

∇×𝐸 = −𝜇𝜕𝐻𝜕𝑡

∇×𝐻 = 𝜎𝐸 + 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡

∆𝐸 − 𝜇𝜎𝜕𝐸𝜕𝑡

− 𝜇𝜀𝜕%𝐸𝜕𝑡%

= 0

𝐸 𝑟 = 𝐸" 𝑒 ,3.#:6

𝐻 𝑟 = 𝐻" 𝑒 ,3.#:6

�� = �� + 𝑗𝛽

25


E

r

𝜆

𝐸 𝑟 = 𝐸" 𝑒#;6𝑒, 3.#<6

26


�� = �� + 𝑗𝛽

�� = 𝑤 =>% 1 + ?

@>

%− 1

#"

𝛽 = 𝑤 =>% 1 + ?

@>

%+ 1

#"

𝜂 = ,@=?A,@>

#" Eo y Ho están desfasados

27

1.4 Longitud de penetración de las ondas EM en medios materiales

𝛿 =1��=

1

𝑤 𝜇𝜀2 1 + 𝜎

𝑤𝜀%− 1

$%

δ

E

28

1.5 Reflexión de Ondas Electromagnéticas

Ei

Hi

Et

Ht

Er

Hr

INCIDENCIA NORMAL

x

𝜀$, 𝜇$ 𝜀%, 𝜇%, 𝜎%

S

29

ki = W/v1

Eio/Hio = Ero/Hro = η1

x kr = - ki 𝛾t = (α + jβ) x

Eto/Hto = η2


𝐸+ 𝑟 = 𝐸+" 𝑒, 3.#4$6

𝐸6 𝑟 = 𝐸6" 𝑒, 3.#4%6 𝐸. 𝑟 = 𝐸." 𝑒 ,3.#:&6

𝐻+ 𝑟 = 𝐻+" 𝑒, 3.#4$6

𝐻6 𝑟 = 𝐻6" 𝑒, 3.#4%6

𝐻. 𝑟 = 𝐻." 𝑒 ,3.#:&6

Medio 1 Medio 2

30

Coeficientes de reflexión 𝚪 y transmisión 𝚻

Condiciones de contorno

Continuidad campo eléctrico en S

Continuidad campo magnético en S

𝐸+" + 𝐸6" = 𝐸."

𝐻+" − 𝐻6" = 𝐻."

Eléctrico

Γ = 7%!7$!

= 9"#9#9"A9#

Τ = 7&!7$!

= 1 + Γ

Magnético

Γ! = 8%!8$!

= 9"#9#9"A9#

= Γ

Τ! = 8&!8$!

= 1 − Γ! = 1 − Γ


31

Transmisión de potencia entre medios

𝑃.𝑃+= 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝐸.×𝐻.∗

𝐸+×𝐻+∗ '

= 𝑟𝑒𝑎𝑙𝐸."𝐻."∗

𝐸+"𝐻+"∗= 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑇 𝑇!∗


𝑃.𝑃+= 𝑟𝑒𝑎𝑙 1 + Γ 1 − Γ∗ = 1 − Γ %

Fracción de la potencia reflejada en S

32

Buen conductor (σ2 >> wε2 ):

1.6 Reflexión de Ondas en la superficie de medios conductores

Los buenos conductores son superficies impenetrables para la radiación EM. Las ondas son reflejadas en su totalidad

𝜂% ≈@="%?"

1 + 𝑗 ≈ 0 Γ ≈ −1

Los buenos conductores se pueden utilizar para guiar de manera controlada las ondas EM

33

Condiciones de contorno en la superficie de un conductor perfecto:

1.6 Reflexión de Ondas en la superficie de medios conductores

1

®

n

𝑛 · 𝐷% − 𝐷$ = 𝜎)

𝑛 · 𝐵% − 𝐵$ = 0

𝑛 × 𝐸% − 𝐸$ = 0

𝑛 × 𝐻% −𝐻$ = 𝑘)

𝜀, 𝜇2

𝜎 → ∞

𝐸$ = 0 ; 𝐵$ = 0

|𝐸% C =?'>

|𝐻% C = 0

|𝐸% ∥ = 0

|𝐻% ∥ = 𝑘)

1.1 ecuaciones de maxwell: caso general

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