1.1 conjuntos y subconjuntos. nomenclatura y...
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1.1 Conjuntos y subconjuntos. Nomenclatura y notación.
Operaciones con conjuntos.
1.- Si 6,5,3,1A y 5,4,3B
a) Encuentre BA b) Encuentre BA
c) ¿Es BA ? d) ¿Es AA ? e) ¿Es BBA ?
2.- Si A es el conjunto de todos los números pares positivos y B es el conjunto de todos los
números pares
a)Escriba a A y a B usando notación de conjuntos.
b)Encuentre BA
c)Encuentre BA
d)¿Es A un subconjunto de B?
3.- Si cbaA ,, , fedcbB ,,,, y gfeC ,, , encuentre:
a) BA b) CA
c) CBA d) CBA
e) CBA f) CBA
g) CAB h) AAB
4.- Sean A el conjunto de personas que pueden hacer el problema 2
B el conjunto de personas que pueden leer en inglés
C el conjunto de estudiantes del ITAM
D el conjunto de todas las personas
Describa los conjuntos
a) CA b) BC c) CBA d) CBA
En los siguientes incisos escriba usando conjuntos los siguientes enunciados
e) Cualquiera que puede hacer el problema 2, puede leer en inglés.
f) Todos los estudiantes del ITAM pueden leer en inglés.
2
g) Todos los estudiantes del ITAM pueden hacer el problema 2
h) Todas las personas que pueden hacer el problema 2 son estudiantes del ITAM.
5.- Haga una lista de los elementos de los conjuntos siguientes
a) A = {x | x es un número par}.
b) B = {x | x es un entero entre 2 y 7}
c) 354 xRxC
d) 0822 xxRxD
e)
4
1
4
3xZxE
6.- Escriba todos los subconjuntos de 4,0,3A .
7.- Si 5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5 A
a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto 2 xAxB ?
b)¿Cuáles son los elementos del conjunto 04 xAxC ?
8.- Si 72 xRxA y 101 xZxB
a) Encuentre BA b) Encuentre BA
c) ¿Es ABA ? d) ¿Es BBA ?
9.- Use Diagramas de Venn para verificar si se cumplen las siguientes propiedades para
cualesquiera A, B y C
a) AA b) A
c) ABBA d) CABACBA .
10.-Defina 2 conjuntos cualesquiera A y B de tal manera que BA .
11.-Defina conjuntos tales que RBA .
3
1.2 Propiedades algebraicas de los números reales.
1.- Responda las siguientes preguntas justificando su respuesta.
a) ¿Es la suma de dos irracionales siempre un irracional?
b) ¿Es la suma de dos números racionales siempre un racional?
c) ¿Es el producto de dos números irracionales siempre un irracional?
d) ¿Es el producto de dos números racionales siempre un racional?
2.- En la siguiente demostración justifique los pasos usando las propiedades de los números
reales.
Teorema: Para toda Ra , aaa 00
Demostración
a) 000 aa
b) ))((0 aaa
c) )()0( aaa
d) )()10( aaa
e) )()10( aa
f) )(1 aa
g) )( aa
h) 0 .
Por lo tanto para toda Ra , aaa 00
3.- Utilizando las propiedades de los números reales demuestre que
a) cbacba )()( .
b) Si 0ab entonces 0a o bien 0b .
4
4.- En la siguiente demostración justifique los pasos usando las propiedades de los números
reales.
Teorema: Si Rdcba ,,, , 0b y 0c entonces bd
bcad
d
c
b
a
Demostración
a) 11 cdabd
c
b
a
b) 1111 bbcdddab
c) 1111 bcbddadb
d) 11)( bdcbad
e) 1)(
dbcbad
f) bd
cbad
Por lo tanto si Rdcba ,,, , 0b y 0c entonces bd
bcad
d
c
b
a .
5.- Demuestre utilizando propiedades de los enteros que
Si a y b son enteros y 22 2ba , entonces a y b son pares.
6.- [B,14,44] Sean m y n números reales con m mayor que n. Entonces existe un número
real positivo p tal que .pnm Encuentre el error. en el argumento siguiente:
nm
pnmnpnmm
npnmnmpmnm
npnmpmnmnm
pnnmmnm
pnm
22
22
5
1.3 Orden. Intervalos y valor absoluto.
1.- Determine si la proposición que aparece en cada inciso es falsa o verdadera.
a) 213 b)
2.- En cada inciso escriba la desigualdad correspondiente y grafique sobre la recta numérica
real.
a) ]7,8[ b) 8,4 c) 6,6
d) 3,3 e) ,6 f) 7,
3.- Escriba en notación de intervalos y grafique sobre la recta numérica real los conjuntos
descritos en cada inciso.
a) 62 x b) 55 x c) 87 x
d) 54 x e) 2x f) 3x
4.- Escriba en notación de intervalo y desigualdad.
a)
b)
c)
d)
6
5.- En cada inciso grafique el conjunto, escríbalo como un solo intervalo cuando esto sea
posible.
a) 7,45,5 b) 6,24,1 c) ,21,
d) 7,31, e) 5,13,2 f) 6,14,
6.- ¿Qué se puede comentar respecto de los signos de los números a y b en cada caso?
a) 0ab b) 0ab c) 0b
a d) 0
b
a
7.- ¿Qué se puede comentar acerca de los signos de los números a, b y c en cada caso?
a) 0abc b) 0c
ab c) 0
bc
a d) 0
2
bc
a
8.- [B,35,67] Reemplace en cada pregunta el signo de interrogación con < o >, de la
manera apropiada:
a) Si 1ba , entonces ba? . b) Si 2 vu , entonces vu? .
9.- ¿Para qué valores de a y b es verdadera la desigualdad ?abba
10.- Si a y b son números negativos y ba , entonces ¿ ba / es mayor o menor que 1?
11.- Si tanto a como b son números negativos y b/a es mayor que 1, entonces ¿ ba es
positivo o negativo?
12.- Si a y b son números positivos y b/a es mayor que 1, entonces ¿ ba es positivo o
negativo?
13.- Indique (V) si es verdadero o (F) si es falso:
a) Si ,0 myqp entonces mqmp .
b) Si ,0 myqp entonces mqmp .
c) Si ,0 0 qyp entonces qqp .
7
14.-[B,35,72] Suponga que 0 nm ; entonces
n
mnm
mnmnmnm
mnmmn
nmn
0
222
2
Pero si se supuso que 0n . Encuentre el error.
15.- Haga una demostración para cada propiedad de desigualdad mencionada en los incisos
que aparecen a continuación. Considere que a, b y c son números reales arbitrarios.
a) Si ba , entonces cbca .
b) Si ba , entonces cbca .
c) Si cba y es positivo, entonces cbca .
d) Si cba y es negativo, entonces cbca .
e) Si cba y es positivo, entonces c
b
c
a .
f) Si cba y es negativo, entonces c
b
c
a .
16.- En cada inciso simplifique y escriba sin los signos de valor absoluto. No reemplace a
los radicales con aproximaciones decimales.
a) 5 b) 26 c) 55 d) 55
17.- En cada inciso encuentre la distancia entre los puntos A y B con coordenadas a y b
respectivamente, como se dan.
a) 7a ; 5b b) 3a , 12b
c) 5a , 7b d) 9a , 17b
8
18.- Si las coordenadas de A y B en una recta numérica real son –8 y –2, respectivamente,
encuentre
a) d (A, B) b) d (B, A)
19.- Use la recta numérica de abajo para encontrar las distancias indicadas:
a) d (B,O) b) d (A, B) c) d (O,B)
d) d (B, A ) e) d (B,C) f) d (D, C)
20.- Escriba cada uno de los enunciados que aparecen a continuación como una ecuación de
valor absoluto o una desigualdad.
a) x está a 4 unidades de 3.
b) m está a 5 unidades de 2 .
c) x está a menos de 5 unidades de 3.
21.- En cada inciso resuelva, interprete geométricamente y grafique. Cuando sea aplicable,
escriba las respuestas usando notación de desigualdad y notación de intervalos.
a) 35 y b) 38 u c) 7x
d) 35 y e) 35 y f) 7x
g) 38 u h) 38 u
22.- Resuelva y grafique las desigualdades que aparecen a continuación. Escriba cada
solución usando notación de intervalos.
a) 1.030 x b) 01.050 x c) dcx 0
d) dx 40 e) dx 60
23.- ¿Cuáles son los valores posibles de x
x?
9
24.- ¿Cuáles son los valores posibles de 1
1
x
x?
25.- [B,71,78] Encuentre el error en la siguiente “prueba” de que dos números arbitrarios
son iguales entre sí: Suponga que a y b son números arbitrarios tales que ba .
Entonces
ba
ba
abba
abba
aabbbababa
22
22
22
22222
26.- [B,46,91] Estadística. En estadística aparecen frecuentemente desigualdades de la
forma ns
mx
. Si 4.45m , 2.3s y 1n encuentre x .
27.- [B,47,93] Negocios. La producción diaria P en una planta ensambladora de
automóviles está entre 20 unidades y 500 unidades. Exprese la producción diaria
como una desigualdad de valores absolutos.
28.- [B,47,97] Dígitos significativos. Si 37.2N representa una medida que se puede
suponer con una precisión de 005.037.2 . Exprese la precisión deseada usando
desigualdades de valores absolutos.
10
1.4 Expresiones algebraicas. Factorización. Expresiones
fraccionarias.
1.- En cada inciso simplifique la expresión algebraica.
a) yyy 46 22 b) baba 66
c) abba 4232 2 d) abba 34
e) 22 23 xyyx
f) zyxzyxzyx 423
g) zyxzyxzyx 432323
h) aabbaaa 42425
i) yxyyxxx 32237
2.- En cada inciso efectúe la división indicada.
a) 22 xx entre 2x b) 253 xx entre 122 xx
c) 8169 3 yy entre 433y2 y d) 434 3 xx entre 12 x
e) xxxxx 8141212523 3542 entre xx 23 2
f) 3223 babbaa entre ba
g) 813332 22 dadada entre 13 da
h) 12 246 xxx entre 13 xx
3.- Factorice completamente las expresiones que aparecen a continuación.
a) axaxax 263 2 b) 22 7126 byybby
c) 222 864 apqpqaap d) 2322 24812 prrprp
e) 249 ba f) 22 4925 ba
g) 44 25616 yx h) 85 40025 aba
11
4.- Factorice completamente cada uno de los siguientes trinomios.
a) 121222 aa b) 33142 xx
c) 3196 2 mm d) 234 1410549 ttt
e) 792 24 yy f) 4259 6156 deedd
g) 63 12564 tp
5.- En cada inciso reduzca cada fracción a su mínima expresión.
a) 2
32
128
124
rr
rr
b)
yx
yx
22
c) 22 yx
xy
d) 168
162
2
xx
x e)
127
342
2
xx
xx f)
145
652
2
aa
aa
g) 336
312122
23
yy
yyy h)
3443
6363
22 yxyx
xyyx
i)
22
33
xy
yx
6.- Simplifique las fracciones que aparecen a continuación.
a)
x
x3
1
21
b)
5
11
252
x
x c)
yx
y
yx
x
yx
y
yx
x
d)
6
206
3
163
xx
xx
e)
xx
x2
31
f)
x
x
1
6
1
362
g)
yxyx
yx
y
yx
x
11 h)
3
103
5
255
tt
tt
12
1.5 Exponentes y radicales.
1.- En los ejercicios que aparecen a continuación efectúe las operaciones indicadas. Escriba
todas las respuestas en términos de exponentes positivos.
a) 75
32
ya
ya b)
ypa
ypa56
352
c) 24
243
rp
rqp
d) 12 pr e) 2322 paap
2.- En cada inciso escriba las expresiones dadas en su forma más simple, en la que
aparezcan sólo exponentes positivos.
a) 4/1124
3/136
16
27
yx
yx b)
2/324
6/5126
9
64
yx
yx c)
3/1
5
25/1
3
2
x
y
y
x
d)
3/52
3/4
5
32
b
axy
b
yxa e)
3/1
5
22/1
5
3 89
x
t
t
x
f)
2/1
2
3/2
3
6
5
8
8
125
a
b
b
a g)
3/236
2/364
8
9
yx
yx h)
3/523
4/385
64
81
zxy
zyx
3.- Aplique las reglas de los radicales para escribir cada una de las expresiones algebraicas
en su forma radical más simple.
a) 463
32
16
25
bc
ba b) 22 2 baba c) 22 2 yxyx
d) ba
112 e)
22 x
y
y
x f) 4 6 53125 yx g) 4 389 yx
4.- Realice las operaciones indicadas
a) 10
9
8
5 b) y123 c) 2yx
5.- ¿Cuál es el producto de las dos raíces de la ecuación cuadrática 02 cbxax ?
13
1.6 Ecuaciones. Soluciones. Ecuaciones equivalentes.
1.- Resuelva cada una de las ecuaciones que aparecen a continuación.
a) mm 3
2
9
4
9
11 b)
5
252
5
5
xx
x
c) 63
2
42
2
3
1
s
s
s
s d) 3
2
6
2
3
xx
x
e) 3253 xx f)
4
23
5
34
aa
g) 01
2
1
1
xx h)
5
1
2
3
xx
i) 3
1
12
12
x
x
x
x j)
25
45
52
32
x
x
x
x
2.- Resuelva en cada inciso para la variable que se indica
a) ycy
cby , 2
32
b)
54
25
2
5
3
56
babaab, a
c)
215
42
3
5
5
3
t
r
t
tr
t
tr, r
d) y
px
y
px
y
xp
y
xp
6
32
3
35
2
23
, x
3.- Use una calculadora para resolver la ecuación con hasta 3 dígitos significativos.
32.276.3
2
32.2
xx
x
4.- En los problemas siguientes, despeje la variable indicada en términos de las otras
variables.
a) dnaan 11 para d (progresiones aritméticas),
b) 325
9 CF para C (escala de temperaturas),
14
c) 21 d
111
dfpara f (fórmula de lentes simples),
d) 21 R
111
RR para 1R (circuito eléctrico),
e) bcacabA 222 para a (área superficial de un rectángulo sólido),
f) bcacabA 222 para c,
g) 53
32
x
xy para x,
h) 3
23
y
yx para y.
5.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
a)
454
52
22 yx
yx b)
32
4
22 yx
yx
c)
xy
yx
6
7
2
22
d)
xy
yx
5
06
2
22
e)
1532
3
22 yx
xy f)
0643
4
22
2
yyx
xy
6.- Imagine que un estudiante a quien asesora le dio las “soluciones” de los problemas a) y
b). Responda si la solución es correcta o errónea. Si considera que es errónea, explique
en qué consiste el error y proporcione la solución correcta.
a) b)
3
32124
3
324
3
x
xxx
x
x
x
x
1
341
1
34
1
1
22
22
x
xxx
x
xx
x
x
7.- Use el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones siguiente .
1546
332
yx
yx
15
8.- Use el método de la suma para resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones que
aparece a continuación.
a)
95
823
yx
yx b)
365
1523
yx
yx
9.- Emplee el método de la sustitución para resolver los sistemas de ecuaciones.
a)
125
112
172
zyx
zyx
zyx
b)
72
9
82
zyx
zyx
zyx
c)
6543
1432
432
zyx
zyx
zyx
10.- En los problemas siguientes despeje variable que se indica
a) 31
1
1
x
xx
, x b) 12
1
1
xx
xx
, x c) 21
1
21
x
x
xx
, x
d)
3
11
x
x
y
y, y e)
cx
b
ay
1
, x
11.- Para qué valores reales de x son válidas las ecuaciones que aparecen a continuación.
a) 55 xx b) 88 xx
c) 3434 xx d) )25(25 xx
e) xx 3233 f) 631 xx
16
1.7 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones. (Continuación)
1.- En los siguientes problemas, resuelva cada ecuación.
a) 6523 xx b) 172245 tt
c) 2
5
3
323
xx
d)
3
2
4
125
xx
e) 8.005.071.0 xx f) 04.2104.03.0 xx
g) 2
1
5
2
14
3
10
2
xxx h) 795.644835.0142.3 xx
2.- Resuelva los sistema de ecuaciones usando el método de substitución.
a) 53
32
xy
xy b)
123
4
yx
yx c)
132
73
yx
yx
d) 735
1127
nm
nm e)
xy
xy
04.0100
08.0
f)
79.03.08.0
07.05.02.0
vu
vu
g)
54
5
3
7
22
3
5
2
yx
yx
3.- Suponga que al estar resolviendo un sistema por sustitución encuentra una
contradicción, como 0 = 1. ¿Cómo podría describir este tipo de soluciones para un
sistema? Ilustre sus ideas con el siguiente sistema
742
32
yx
yx
4.- En el proceso de solución de un sistema por sustitución, suponga que encuentra una
identidad, como 0 = 0. ¿Cómo podría describir la solución de tal sistema? Ilustre sus
ideas con el siguiente sistema
642
32
yx
yx
17
5.- En los problemas siguientes, resuelva cada sistema para p y q en términos de yyx .
Explique cómo podría comprobar su solución y efectúe la prueba.
a) qpy
qpx
33
22
b)
qpy
qpx
4
21
6.- Los problemas siguientes se refieren al sistema
kdycx
hbyax
donde x y y son variables y a, b, c, d, h y k son constantes reales.
a) Resuelva el sistema para x y y en términos de las constantes a, b, c, d, h y k.
Establezca claramente cualquier suposición que tome acerca de las constantes
durante el proceso de solución.
b) Analice la naturaleza de las soluciones del sistema si no se satisfacen las
suposiciones que haya hecho.
7.- Resuelva por factorización los problemas siguientes
a) uu 84 2 b) 4129 2 yy c) 12211 2 xx
8.- En los problemas siguientes, resuelva usando la propiedad de raíz cuadrada.
a) 0122 m b) 0169 2 y c) 952n
9.- En los problemas siguientes, resuelva usando la fórmula cuadrática.
a) 03102 xx b) xx 412 2
10.- En los problemas siguientes, resuelva completando el cuadrado.
a) 0362 xx b) 0362 2 yy c) 0223 2 xx
d) 02 nmxx e) 0,02 acbxax
18
11.- En los problemas siguientes, resuelva por cualquier método.
a) 10712 2 xx b) 5322y
c) 132 xx d) nn 47 2
e) mm
10
241
10
24 f)
1
1
3
4
2
2
xxx
g) x
x
x
x
x
x
3
11
93
22
2
h) 223 uu
i) 2712 xx j) 64232x
k) x
x
x
x
3
2
1
l) 13855 33
xx
m) 12
1
4
1
3
1
xx n)
12
7
2
1
1
1
xx
o) 20
1
2
1
1
1
xx p)
12
131
1
xx
x
q) 4.82
9
1
3
x
x
x
x
12.- En los ejercicios siguientes, aplique la fórmula cuadrática para determinar las raíces de
cada ecuación
a) 0733 2 xx b) 05892 2 xx
c) 227
3x
x
d) 25
3
5x
x
e) 1
23
1
2
xx f)
1
122
2
3 2
x
xx
x
x
13.- En los problemas siguientes despeje para la variable indicada en términos de las otras
variables. Use sólo la raíz cuadrada positiva.
a) 2
2
1gts para t . b) 2RIEIP para I
14.- Resuelva los problemas siguientes usando dos cifras decimales; use una calculadora.
a) 034.179.307.2 2 xx b) 018.304.283.4 2 xx
19
15.- Considere la ecuación cuadrática 042 cxx donde c es un número real. Analice la
relación entre los valores de c y los tres tipos de solución posibles.
16.- Considere la ecuación cuadrática 022 cxx donde c es un número real. Analice
la relación entre los valores de c y los tres tipos de solución posibles.
17.- Cuál es el producto de las dos raíces de la ecuación cuadrática 02 cbxax .
18.- Use el discriminante para determinar si las ecuaciones de los siguientes problemas
tienen soluciones reales.
a) 00304.00414.00134.0 2 xx b) 00304.00214.00134.0 2 xx
19.-En una etapa de la deducción de la fórmula cuadrática, reemplace la expresión
22 4/4 aacb
con aacb 2/42 . ¿Cuál es la justificación para usar a2 en lugar de a2 ?
20.- Encuentre dos números tales que su suma sea 21 y su producto 104.
21.- Encuentre dos números consecutivos positivos enteros pares cuyo producto sea 168.
22.- A menos que se señale lo contrario, encuentre todas las posibles soluciones de las
ecuaciones que aparecen a continuación.
a) 353 x b) 234 x
c) 195 nn d) 713 mm
e) xx 243 f) 0103 510 xx
g) 0232 3/13/2 xx h) 3222 uu
i) 343 tt j) 13323 yy
k) 3127 xx l) 020113 12 nn
20
m) 01109 24 yy n) 023 4/12/1 yy
o) 0294 2/11 xx p) 24513365 mm
q) 3625 xxx
r) 24 632 yy (encuentre todas las raíces reales)
23.- Resuelva los problemas siguientes de dos formas: elevando al cuadrado y por
sustitución.
a) 0127 mm b) 06 yy
c) 01811 tt d) xx 215
21
1.8 Aplicaciones de ecuaciones.
1. Encuentre un número tal que 10 menos que dos tercios del número sea un cuarto del
número.
2. Encuentre 4 enteros pares consecutivos de manera que la suma de los 3 primeros sea
2 veces mayor que el doble del cuarto.
3. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 54 metros, si su
longitud es 3 metros menor que el doble de su ancho.
4. Encuentre el perímetro de un triángulo si uno de sus lados mide 16 pies, otro dos
séptimos del perímetro y el tercero un tercio del perímetro.
5. El precio de una cámara después de descontarle el 20% es de $72. ¿Cuánto costaba
antes del descuento?
6. A un empleado de una tienda de computación se le paga un salario base de $2 150
al mes, más un 8% de comisión si vende más de $7 000 durante ese periodo.
¿Cuánto debe vender para ganar $3 170 al mes?
7. [B,15,57] Ciencias de la Tierra. En 1984, los soviéticos fueron los primeros
en el mundo que perforaron el pozo con más profundidad en la corteza terrestre (con
más de 12 kilómetros de profundidad). Al perforar descubrieron que después de los
3 kilómetros la temperatura T aumentaba 2.5ºC por cada 100 metros de profundidad
que aumentaban.
a) Si la temperatura a los 3 kilómetros es de 30ºC y x es la profundidad del pozo en
kilómetros, plantee una ecuación usando x para que indicar la temperatura T en el
pozo a más de 3 kilómetros de profundidad.
b) ¿Cuál sería la temperatura a 15 kilómetros? (La temperatura límite que soportaba
su equipo de perforación era de alrededor de 300ºC.
22
c) ¿A qué profundidad (en kilómetros) encontrarían una temperatura de 280ºC?
8. [B,17,75] Ciencias de la Tierra. Una torre de perforación en el Golfo de
México se coloca de manera que un quinto de su altura está en arena, 20 pies están
en el agua y 2 tercios en el aire. ¿Cuál es la altura total de la torre?
9. [B,24,29] Análisis de equilibrio. A una compañía de grabación pequeña le
cuesta $17 680 producir un álbum. Éste es un costo fijo que incluye la grabación, el
diseño del álbum, etc. Los costos variables, incluyendo la producción,
comercialización y regalías son de $4.60 por álbum. Si el álbum se vende en las
tiendas de discos a $8 cada uno, ¿cuántos debe vender la compañía para llegar al
punto de equilibrio?
10. [B,24,30] Análisis de equilibrio. Un fabricante de videocasetes determinó que
la ecuación de costos semanales es xC 103000 donde x es el número de
videocasetes producido y vendido cada semana. Si los videocasetes se venden a los
distribuidores a $15 cada uno, ¿cuántos debe vender el fabricante cada semana para
alcanzar el punto de equilibrio? (Refiérase al problema anterior).
11. Finanzas. Suponga que tiene $12 000 para invertir. Si una parte se invierte al 10%
y el resto al 15%, ¿cuánto se debe invertir en cada tasa para obtener un 12% sobre el
total de la cantidad invertida?
12. Finanzas. Un inversionista tiene $20 000 para invertir. Si invierte una parte al 8%
y el resto al 12%, ¿cuánto se debe invertir en cada tasa de interés para obtener un
11% sobre el total de la cantidad invertida?
13. [B,24,33] Producción. Un proveedor de la industria electrónica fabrica los
teclados y pantallas para calculadoras gráficas en plantas en México y Taiwán. En
la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta. ¿Cuántas horas
23
debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4 000 teclados
y pantallas?
Planta Teclados Pantallas
México
40
32
Taiwan
20
32
14. [B,24,34] Producción. Una compañía produce salchichas italianas y
salchichones en sus plantas en Green Bay y Sheboygan. En la tabla se indica cuánto
se produce por hora en cada planta. ¿Cuántas horas debe trabajar cada planta para
cumplir exactamente con un pedido de 62,250 salchichas italianas y 76,500
salchichones?
Planta Salchichas
italianas
Salchichones
Green Bay
800
800
Sheboygan
500
1 000
15. [B,24,35] Nutrición. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a
algunos animales. Cada animal va a recibir, entre otros alimentos, 20 gramos de
proteína y 6 gramos de grasa. El laboratorista puede comprar dos mezclas de
alimentos que tienen la siguiente composición: La mezcla A tiene 10% de proteína
y 6% de grasa; la mezcla B tiene 20% de proteína y 2% de grasa. ¿Cuántos gramos
de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada para un solo animal?
16. Nutrición. Un agricultor puede usar dos tipos de fertilizante en un plantío de
naranjas, la marca A y la marca B. Cada saco de la marca A contiene 8 libras de
nitrógeno y 4 de ácido fosfórico. Cada saco de la marca B contiene 7 libras de
24
nitrógeno y 7 de ácido fosfórico. Las pruebas indican que el naranjo necesita 720
libras de nitrógeno y 500 de ácido fosfórico. ¿Cuántos sacos de cada marca tiene
que usar para obtener las cantidades necesarias de nitrógeno y de ácido fosfórico?
17. [B,24,39] Física. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio y cae
verticalmente con aceleración constante. Si s es la distancia sobre el suelo (en pies),
a la que está el objeto t segundos después de que se soltó, entonces s y t están
relacionados por una ecuación de la forma
2btas
donde a y b son constantes. Suponga que el objeto está a 180 pies sobre el suelo un
segundo después de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos después.
a) Encuentre las constantes a y b.
b) ¿Qué altura tiene el edificio?
c) ¿Cuánto tiempo cae el objeto?
18. [B,36,79] Negocios y economía. Una compañía electrónica está planeando
comercializar una nueva calculadora gráfica. Los costos fijos son de $650,000 y los
variables de $47 por calculadora. El precio de la calculadora al mayoreo será de
$63. Es evidente que para que la compañía obtenga utilidades los ingresos deben
ser superiores a los costos.
a) ¿Cuántas calculadoras se deben vender para que la compañía obtenga
utilidades?
b) ¿Cuántas calculadoras tendría que vender para llegar al punto de equilibrio?
c) Analice la relación entre los resultados de los incisos A y B.
19. [B,36,84] Psicología. El IQ de una persona está dado por la fórmula
100EC
EMIQ
donde EM es la edad mental y EC es la edad cronológica.
Si 14080 IQ para un grupo de niños de 12 años de edad, encuentre el rango de
su edad mental.
25
20. [B,36,*85] Finanzas. Si una persona entre los 65 y 69 años de edad continúa
trabajando después de comenzar a recibir los beneficios por seguridad social, los
beneficios se reducirán cuando los ingresos excedan un límite establecido. En 1989,
los beneficios se redujeron en $1 por cada $2 que ganaron después de $8 880.
Encuentre el rango en las reducciones de los beneficios para las personas que ganan
entre $13 000 y $16 000.
21. Las ecuaciones de costo para una fábrica son frecuentemente de naturaleza
cuadrática. Si la ecuación de costos para fabricar calculadoras baratas es
31102 xxC donde C es el costo de fabricación de x unidades por semana (C y
x en miles), encuentre:
a) La producción para un costo semanal de $15 mil.
b) La producción para un costo semanal de $6 mil.
22. La fábrica del problema anterior vende sus calculadoras a mayoristas a $3 cada
una. Es decir, su ecuación de ingresos es xR 3 , donde R es el ingreso y x es el
número de unidades vendidas por semana (ambas en miles). Encuentre el (o los)
punto(s) de equilibrio para la fábrica; es decir, la producción para la cual los
ingresos son iguales a los costos.
26
1.9 Desigualdades lineales y cuadráticas. Otras desigualdades:
fracciones, valor absoluto.
1.- Resuelva las desigualdades que aparecen a continuación.
a) 7487 xx b) xx 353 c) 42
N
d) 105 t e) 343 mm f) 3
1
42
BB
g) 21654 t h) 13
43
7
i) 210
3
3
23
2
1
5
2 x
xx
x j) 6832
5
94 x
k) 2424
312 x l) 313716 x m) 41
5
26 x
2.- Use una calculadora para resolver 703.028.2122.0703.0 x . Escriba su
respuesta mediante notación de desigualdad.
3.- Resuelva algebraica y gráficamente las desigualdades dadas.
a) 8
3
3
2
x b)
6
5
3
2
x c)
2
13
3
52
xx
d) 51 x e) 64 x f) 26537 x
g) 191164 xx
4.- Resuelva las desigualdades de los incisos abajo indicados.
a) 0372 2 xx b) 32 2 xx c) 0321 xxx
d) 0321 xxx e) 04523 xxx
f) 0422
xx g) 012 xx h)
01
52
x
xx
i)
02
42
x
xx j)
031
61
xx
xx k) 0
1
322
x
xx
27
l) 02
12
x
xx m) 4232 xx n) 5232 xx
5.- ¿Para qué número(s) real(es) x cada expresión representa a un número real?
a) x1 b) 5x c) 53 x
d) x27 e) 4 32
1
x f)
4 65
1
x
6.- En cada inciso, resuelva cada ecuación o desigualdad. Cuando sea aplicable escriba la
respuesta en notación de desigualdad y notación de intervalos.
a) 1235 x b) 282 y c) 1175 t
d) 1479 u e) 53
21 x f) 3132
5
9C
g) 22 x h) 32 m i) 2)31( 2 t
j) 5)23( 2 x k) 3)32( 2 t l) 4)53( 2 m
7.- Resuelva cada ecuación o desigualdad. Cuando sea aplicable escriba la respuesta en
notación de desigualdad y notación de intervalos.
a) xx 3102 b) xx 10212 c) xx 82
d) 062 xx e) 052 xx f) 42 x
g) 04
2
x
x h) 0
1
4
x
x i) 0
3
52
x
xx
j)
032
12
2
xx
x k) 4
1
x l) 1
4
13
x
x
m) 2
1
1
2
xx n) xxx 82 23
8.- ¿Para qué número(s) real(es) x cada expresión representa a un número real?
a) 92 x b) 62 2 xx c) x
x
3
7
28
9.- Si a, b y c son números reales, la ecuación cuadrática ,02 cbxax debe tener, ya
sea dos raíces reales distintas, o una raíz real doble, o dos raíces imaginarias
conjugadas. Use la información dada con respecto a las raíces para describir los posibles
conjuntos solución para la desigualdad indicada. Ilustre sus conclusiones con ejemplos
específicos.
a) ,02 cbxax da dos distintas raíces reales 1r y 2r con 21 rr .
b) ,02 cbxax da una raíz real (doble) r.
10.- [B,89,37] Proporcione un ejemplo de desigualdad cuadrática cuyo conjunto solución
sea la recta real completa.
11.- [B,89,38] Dé un ejemplo de desigualdad cuadrática cuyo conjunto solución sea el
conjunto vacío.
12.- Resuelva cada ecuación o desigualdad. Cuando sea aplicable escriba la respuesta en
notación de desigualdad y notación de intervalos.
a) xx 212 b) 332 xx c) xx 412
d) xxx 23 2 e) 24 1744 xx f) 312 x
g) 21
x
x