El movimiento de un objeto extendido, como una rueda que gira en torno a su eje, no se

puede explicar al representar el objeto como una partícula: en cualquier momento dife-

rentes partes del objeto tienen distintas velocidades y aceleraciones lineales. Sin embargo,

el movimiento de un objeto extendido se analiza al representarlo como un conjunto de

partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración lineales.

Al tratar con un objeto en rotación, la explicación se simplifica mucho al suponer que

el objeto es rígido. Un objeto rígido no es deformable; es decir, las ubicaciones relativas

de todas las partículas de que está compuesto permanecen constantes. Todos los objetos

reales son deformables en cierta medida; no obstante, el modelo de objeto rígido es útil

en muchas situaciones en que la deformación es despreciable.

10.1 Posición, velocidad y aceleración angular

La figura 10.1 ilustra una vista desde arriba de un disco compacto, o CD, en rotación. El disco da vueltas en torno a un eje fijo perpendicular al plano de la figura que pasa a través del centro del disco en O. Un pequeño elemento del disco modelado como partícula en P está a una distancia fija r desde el origen y gira en torno a él en un círculo de radio r. (De hecho, toda partícula en el disco experimenta movimiento circular en torno a O.) Es conveniente representar la posición de P con sus coordenadas polares (r, �), donde r es la

269

10.1 Posición, velocidad y aceleración angular

10.2 Cinemática rotacional: Objeto rígido bajo aceleración angular constante

10.3 Cantidades angulares y traslacionales

10.4 Energía cinética rotacional

10.5 Cálculo de momentos de inercia

10.6 Momento de torsión10.7 Objeto rígido bajo un

momento de torsión neto

10.8 Consideraciones energéticas en el movimiento rotacional

10.9 Movimiento de rodamiento de un objeto rígido

El pasatiempo malayo gasing es el giro de trompos que llegan a tener masas de hasta 5 kg. Los jugadores profesionales giran sus trompos de modo que puedan dar vueltas durante más de una hora antes de detenerse. En este capítulo se estudiará el movimiento rotacional de objetos como estos trompos. (Cortesía Turismo Malasia)

Figura 10.1 Disco compacto que gira en torno a un eje fijo a través de O perpendicular al plano de la figura. a) Para definir la posición angular del disco, se elige una línea de referencia fija. Una partícula en P se ubica a una distancia r desde el eje de rotación en O. b) Conforme el disco da vueltas, una partícula en P se mueve a través de una longitud de arco s sobre una trayectoria circular de radio r.

Línea dereferencia

a)

O Pr

b)

O

P

Línea dereferencia

r s�

10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo

270 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo

distancia desde el origen a P y � se mide contra las manecillas del reloj desde cierta línea de referencia fija en el espacio, como se muestra en la figura 10.1a. En esta representación, el ángulo � cambia en el tiempo mientras r permanece constante. A medida que la partícula se mueve a lo largo del círculo desde la línea de referencia, que está a un ángulo � � 0, se mueve a través de una longitud de arco s, como en la figura 10.1b. La longitud de arco s se relaciona con el ángulo � mediante

s � r� (10.1a)

usr

(10.1b)

Ya que � es la relación de una longitud de arco y el radio del círculo, es un número puro. Sin embargo, por lo general, a � se le da la unidad artificial radián (rad), donde un radián es el ángulo subtendido por una longitud de arco igual al radio del arco. Ya que la circun-ferencia de un círculo es 2�r, se sigue de la ecuación 10.1b que 360° corresponde a un ángulo de (2�r/r) rad � 2� rad. Por tanto, 1 rad � 360°/2� � 57.3°. Para convertir un ángulo en grados a un ángulo en radianes, se usa � rad � 180°, de modo que

u 1rad 2 p

180° u 1grados2Por ejemplo, 60° es igual a �/3 rad y 45° es igual a �/4 rad.

Ya que el disco en la figura 10.1 es un objeto rígido, a medida que la partícula se mueve a través de un ángulo � desde la línea de referencia, cualquier otra partícula sobre el objeto da vueltas a través del mismo ángulo �. En consecuencia, se puede asociar el ángulo � con todo el objeto rígido así como con una partícula individual, que permite definir la posición angular de un objeto rígido en su movimiento rotacional. Se elige una línea de referencia sobre el objeto, tal como una línea que conecte O y una partícula elegida sobre el objeto. La posición angular del objeto rígido es el ángulo � entre esta línea de referencia sobre el objeto y la línea de referencia fija en el espacio, que con frecuencia se elige como el eje x. Tal identificación es similar a la forma en que se define la posición de un objeto en movimiento traslacional como la distancia x entre el objeto y la posición de referencia, que es el origen, x � 0.

Conforme la partícula en cuestión sobre el objeto rígido viaja de la posición � a la po-sición � en un intervalo de tiempo �t, como en la figura 10.2, la línea de referencia fija al objeto cubre un ángulo �� � �f � �i. Esta cantidad �� se define como el desplazamiento angular del objeto rígido:

¢u uf ui

La rapidez a la que se presenta este desplazamiento angular puede variar. Si el objeto rígi-do gira rápidamente, este desplazamiento puede ocurrir en un intervalo breve de tiempo. Si da vueltas lentamente, este desplazamiento se presenta en un intervalo de tiempo más largo. Estas diferentes relaciones de rotación se cuantifican al definir la rapidez angular promedio �prom (letra griega omega) como la relación del desplazamiento angular de un objeto rígido al intervalo de tiempo �t durante el que se presenta el desplazamiento:

vprom

uf ui

tf ti

¢u

¢t (10.2)

En analogía con la rapidez lineal, la rapidez angular instantánea � se define como el límite de la rapidez angular promedio conforme �t tiende a cero:

v lím¢tS0

¢u

¢tdu

dt (10.3)

La rapidez angular tiene unidades de radianes por segundo (rad/s), que se pueden es-cribir como s�1 porque los radianes son adimensionales. � se considera positiva cuando � aumenta (movimiento contra las manecillas del reloj en la figura 10.2) y negativa cuando � disminuye (en sentido de las manecillas del reloj en la figura 10.2).

Rapidez angular promedio

�

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 10.1Recuerde el radián

En las ecuaciones rotacionales, debe usar ángulos expresados en radianes. No caiga en la trampa de usar ángulos medidos en grados en las ecuaciones rotacionales.

Rapidez angular instantánea

�

Figura 10.2 Una partícula sobre un objeto rígido en rotación se mueve de � a � a lo largo del arco de un círculo. En el intervalo de tiempo �t � tf � ti, la línea radial de longitud r se mueve a través de un desplazamiento angular �� � �f � �i.

x

y

�, t f

�, tir

i

O

f�

�

Pregunta rápida 10.1 Un objeto rígido da vueltas en un sentido contrario a las maneci-llas del reloj en torno a un eje fijo. Cada uno de los siguientes pares de cantidades repre-senta una posición angular inicial y una posición angular final del objeto rígido. i) ¿Cuál de los conjuntos sólo puede ocurrir si el objeto rígido da vueltas a través de más de 180°? a) 3 rad, 6 rad, b) �1 rad, 1 rad, c) 1 rad, 5 rad. ii) Suponga que el cambio en posición angular para cada uno de estos pares de valores se presenta en 1 s. ¿Cuál opción representa la rapidez angular promedio más baja?

Si la rapidez angular instantánea de un objeto cambia de �i a �f en el intervalo de tiempo �t, el objeto tiene una aceleración angular. La aceleración angular promedio �prom (letra griega alfa) de un objeto rígido en rotación se define como la relación de cambio en la rapidez angular respecto al intervalo de tiempo �t durante el que se presenta el cambio en la rapidez angular:

aprom

vf vi

tf ti

¢v

¢t (10.4)

En analogía con la aceleración lineal, la aceleración angular instantánea se define como el límite de la aceleración angular promedio conforme �t tiende a cero:

a lím¢tS0

¢v

¢tdv

dt (10.5)

La aceleración angular tiene unidades de radianes por segundo al cuadrado (rad/s2), o simplemente s�2. Note que � es positivo cuando un objeto rígido que gira contra las manecillas del reloj aumenta su velocidad o cuando un objeto rígido que gira en sentido de las manecillas del reloj disminuye su velocidad durante cierto intervalo de tiempo.

Cuando un objeto rígido en rotación respecto a un eje fijo, cada partícula sobre el ob-jeto da vueltas a través del mismo ángulo en un intervalo de tiempo determinado y tiene la misma rapidez angular y la misma aceleración angular. Es decir, las cantidades �, � y � caracterizan el movimiento rotacional de todo el objeto rígido así como las partículas individuales en el objeto.

La posición angular (�), la rapidez angular (�) y la aceleración angular (�) son aná-logas a la posición traslacional (x), la rapidez traslacional (v) y la aceleración traslacional (a). Las variables �, � y � difieren dimensionalmente de las variables x, v y a sólo por un factor que tiene la unidad de longitud. (Vea la sección 10.3.)

No se especificó dirección alguna para la rapidez angular y la aceleración angular. Estrictamente hablando, � y � son las magnitudes de los vectores velocidad angular y aceleración angular1 vS y aS , respectivamente, y siempre deben ser positivos. No obstante, porque se considera rotación respecto a un eje fijo, se puede usar notación no vectorial e indicar las direcciones de los vectores al asignar un signo positivo o negativo a � y � como se explicó anteriormente respecto de las ecuaciones 10.3 y 10.5. Para rotación respecto a un eje fijo, la única dirección que específica el movimiento rotacional esla dirección a lo largo del eje de rotación. Por lo tanto, las direcciones de vS y aS son a lo largo de este eje. Si una partícula da vueltas en el plano xy como en la figura 10.2, la dirección de vS para la partícula es afuera del plano del diagrama cuando la rotación es contraria a las manecillas del reloj y hacia el plano del diagrama cuando la rotación es en sentido de las maneci- llas del reloj. Para ilustrar esta convención, es apropiado usar la regla de la mano derecha que se demuestra en la figura 10.3. Cuando los cuatro dedos de la mano derecha se enrollan en la dirección de rotación, el pulgar derecho extendido apunta en la dirección de vS . La dirección de aS se sigue de su definición aS � d vS /dt . Está en la misma dirección de vS si la rapidez angular aumenta en el tiempo, y es antiparalela a vS si la rapidez angular disminuye en el tiempo.

� Aceleración angular promedio

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 10.2Especifique su eje

Al resolver problemas de rotación, debe especificar un eje de rotación. Esta nueva característica no existe en el estudio del movimiento traslacional. La elección es arbitraria, pero una vez que la hace, debe mantener dicha elección sin ceder en todo el problema. En algunos problemas, la situación física sugiere un eje natural, como el centro de la rueda de un automóvil. En otros problemas, puede no haber una opción obvia, y debe ejercitar su juicio.

� Aceleración angular instantánea

Sección 10.1 Posición, velocidad y aceleración angular 271

1 Aunque no se verificó en este caso, la velocidad angular instantánea y la aceleración angular instantánea son cantidades vectoriales, pero los correspondientes valores promedio no lo son porque los desplazamien-tos no se suman como cantidades vectoriales para rotaciones finitas.

Figura 10.3 Regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector velocidad angular.

�

�

272 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo

10.2 Cinemática rotacional: Objeto rígido bajo aceleración angular constante

Cuando un objeto rígido da vueltas respecto a un eje fijo, con frecuencia se somete a una aceleración angular constante. Por lo tanto, se genera un nuevo modelo de análisis para movimiento rotacional llamado objeto rígido bajo aceleración angular constante. Este mo- delo es el análogo rotacional del modelo de partícula bajo aceleración constante. En esta sección se desarrollan las correspondencias cinemáticas para este modelo. Al escribir la ecuación 10.5 en la forma d� � � dt e integrar desde ti � 0 hasta tf � t se obtiene

vf vi at 1para a constante 2 (10.6)

donde �i es la rapidez angular del objeto rígido en el tiempo t � 0. La ecuación 10.6 per-mite encontrar la rapidez angular �f del objeto en cualquier tiempo posterior t. Al sustituir la ecuación 10.6 en la ecuación 10.3 e integrar una vez más, se obtiene

uf ui vit12at 2 1para a constante 2 (10.7)

donde �i es la posición angular del objeto rígido en el tiempo t � 0. La ecuación 10.7 permite encontrar la posición angular �f del objeto en cualquier tiempo posterior t. Al eliminar t de las ecuaciones 10.6 y 10.7 se obtiene

vf2 vi

2 2a 1uf ui 2 1para a constante 2 (10.8)

Esta ecuación permite encontrar la rapidez angular �f del objeto rígido para cualquier valor de su posición angular �f. Si se elimina � entre las ecuaciones 10.6 y 10.7, se ob-tiene

uf ui12 1vi vf 2 t 1para a constante2 (10.9)

Note que estas expresiones cinemáticas para el objeto rígido bajo aceleración angular constante son de la misma forma matemática que para una partícula bajo aceleración constante (capítulo 2). Se generan a partir de las ecuaciones para movimiento traslacio-nal al hacer las sustituciones x � �, v � � y a � �. La tabla 10.1 compara las ecuaciones cinemáticas para movimiento rotacional y traslacional.

Pregunta rápida 10.2 Considere de nuevo los pares de posiciones angulares para el ob-jeto rígido de la pregunta rápida 10.1. Si el objeto parte del reposo en la posición angular inicial, se mueve contra las manecillas del reloj con aceleración angular constante y llega a la posición angular final con la misma rapidez angular en los tres casos, ¿para cuál opción la aceleración angular es la más alta?

Ecuaciones cinemáticas rotacionales

�

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 10.3¿Tal como la traslación?

Las ecuaciones 10.6 a la 10.9 y la tabla 10.1 sugieren que la cinemática rotacional es tal como la cinemática traslacional. Esto es casi cierto, con dos diferencias clave. 1) En la cinemática rotacional, debe especificar un eje de rotación (ver Prevención de riesgos ocultos 10.2). 2) En movimiento rotacional, el objeto regresa a su orientación original; por lo tanto, se le puede preguntar el número de revoluciones hecho por un objeto rígido. Este concepto no tiene significado en el movimiento traslacional.

TABLA 10.1Ecuaciones cinemáticas para movimiento rotacional y traslacional bajo aceleración constante

Movimiento rotacional en torno a un eje fijo Movimiento traslacional

vf vi at vf vi at

uf ui vi t at2 xf xi vit at2

vf2 vi

2 2a(uf ui) vf2 vi

2 2a(xf xi)uf ui (vi vf)t xf xi (vi vf)t1

212

12

12

EJEMPLO 10.1 Rueda en rotación

Una rueda da vueltas con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2.

A) Si la rapidez angular de la rueda es 2.00 rad/s en ti � 0, ¿a través de qué desplazamiento angular da vueltas la rueda en 2.00 s?

SOLUCIÓN

Conceptualizar Observe de nuevo la figura 10.1. Imagine que el disco compacto se mueve con su rapidez angular que crece en una relación constante. El cronómetro se inicia cuando el disco en rotación a 2.00 rad/s. Esta imagen mental es un modelo para el movimiento de la rueda en este ejemplo.

Categorizar La frase “con aceleración angular constante” dice que se use el modelo de objeto rígido bajo aceleración constante.

Analizar Ordene la ecuación 10.7 de modo que exprese el desplazamiento angular del objeto:

Sustituya los valores conocidos para encontrar el desplaza-miento angular en t � 2.00 s:

B) ¿Cuántas revoluciones dio la rueda durante este intervalo de tiempo?

SOLUCIÓN

Multiplique el desplazamiento que encontró en el inciso A) por un factor de conversión para encontrar el número de revoluciones:

C) ¿Cuál es la rapidez angular de la rueda en t � 2.00 s?

SOLUCIÓN

Use la ecuación 10.6 para encontrar la rapidez angular en t � 2.00 s:

Finalizar También se podría obtener este resultado con la ecuación 10.8 y los resultados del inciso A). (¡Inténtelo!)

¿Qué pasaría si? Suponga que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración constante de 3.50 m/s2. Si la velocidad de la partícula es 2.00 m/s en ti � 0, ¿a través de qué desplazamiento se mueve la partícula en 2.00 s? ¿Cuál es la velocidad de la partícula en t � 2.00 s?

Respuesta Advierta que estas preguntas son análogos traslacionales a los incisos A) y C) del problema original. La solución matemática sigue exactamente la misma forma. Para el desplazamiento,

12.00 m>s 2 12.00 s 2 12 13.50 m>s2 2 12.00 s 22 11.0 m

¢x xf x i vit12at 2

y para la velocidad

vf vi at 2.00 m>s 13.50 m>s2 2 12.00 s 2 9.00 m>sNo hay análogo traslacional a la parte B) porque el movimiento traslacional bajo aceleración constante no es repetitivo.

Sección 10.3 Cantidades angulares y traslacionales 273

10.3 Cantidades angulares y traslacionalesDe esta sección se deducen algunas relaciones útiles entre la rapidez y la aceleración angulares de un objeto rígido en rotación y la rapidez y la aceleración traslacionales de un punto en el objeto. Para hacerlo, debe tener en mente que, cuando un objeto rígido

¢u uf ui vit12at 2

11.0 rad 111.0 rad 2 157.3°>rad 2 630°

¢u 12.00 rad>s 2 12.00 s 2 12 13.50 rad>s2 2 12.00 s 22

¢u 630° a 1 rev360°

b 1.75 rev

9.00 rad>svf vi at 2.00 rad>s 13.50 rad>s2 2 12.00 s 2

274 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo

da vueltas respecto a un eje fijo, como en la figura 10.4, toda partícula del objeto se mueve en un círculo cuyo centro está en el eje de rotación.

Ya que el punto P en la figura 10.4 se mueve en un círculo, el vector velocidad traslacio-nal vS siempre es tangente a la trayectoria circular y por ende se llama velocidad tangencial. La magnitud de la velocidad tangencial del punto P es por definición la rapidez tangencial v � ds/dt, donde s es la distancia que recorre este punto medida a lo largo de la trayectoria circular. Al recordar que s � r� (ecuación 10.1a) y notar que r es constante, se obtiene

vdsdt

r du

dt

Ya que d�/dt � � (vea la ecuación 10.3), se sigue que

v rv (10.10)

Es decir, la rapidez tangencial de un punto sobre un objeto rígido en rotación es igual a la distancia perpendicular de dicho punto desde el eje de rotación, multiplicada por la rapidez angular. En consecuencia, aunque cada punto sobre el objeto rígido tiene la mis- ma rapidez angular, no todo punto tiene la misma rapidez tangencial porque r no es el mismo para todos los puntos sobre el objeto. La ecuación 10.10 muestra que la rapidez tangencial de un punto sobre el objeto en rotación aumenta a medida que uno se mueve alejándose del centro de rotación, como se esperaría por intuición. Por ejemplo, el ex-tremo exterior de un palo de golf que se balancea se mueve mucho más rápido que el mango.

La aceleración angular del objeto rígido en rotación se puede relacionar con la acele-ración tangencial del punto P al tomar la derivada en el tiempo de v:

at ra

atdvdt

r dv

dt

(10.11)

Es decir, la componente tangencial de la aceleración traslacional de un punto sobre un objeto rígido en rotación es igual a la distancia perpendicular del punto desde el eje de rotación, multiplicada por la aceleración angular.

En la sección 4.4 se encontró que un punto que se mueve en una trayectoria circular se somete a una aceleración radial ar dirigida hacia el centro de rotación y cuya magnitud es la de la aceleración centrípeta v 2/r (figura 10.5). Ya que v � r� para un punto P en un objeto en rotación, la aceleración centrípeta en dicho punto se puede expresar en térmi-nos de rapidez angular como

acv2

rrv2 (10.12)

El vector aceleración total en el punto es aS � aSt � aSr, donde la magnitud de aSr es la ace-leración centrípeta ac. Ya que aS es un vector que tiene una componente radial y una com-ponente tangencial, la magnitud de aS en el punto P sobre el objeto rígido en rotación es

a at2 ar

2 r2a2 r2v4 r a2 v4 (10.13)

Pregunta rápida 10.3 Alex y Brian viajan en un carrusel. Alex viaja en un caballo en el borde exterior de la plataforma circular, al doble de distancia del centro de la platafor-ma circular que Brian, quien viaja en un caballo interior. i) Cuando el carrusel en rota- ción a una rapidez angular constante, ¿cuál es la rapidez angular de Alex? a) el doble de la de Brian, b) la misma que la de Brian, c) la mitad de la de Brian, d) imposible de determinar. ii) Cuando el carrusel en rotación con una rapidez angular cons- tante, describa la rapidez tangencial de Alex con la misma lista de opciones.

Relación entre aceleración tangencial

y angular

�

Figura 10.4 A medida que un objeto rígido da vueltas en torno al eje fijo a través de O, el punto P tiene una velocidad tangencial vS que siempre es tangente a la trayectoria circular de radio r.

y

P

xO

v

r s

�

Figura 10.5 A medida que un objeto rígido gira respecto a un eje fijo a través de O, el punto P experimenta una componente tangencial de aceleración traslacional at y una componente radial de aceleración traslacional ar. La aceleración traslacional de este punto es aS � aSt � aSr.

x

y

O

ar

at

Pa

EJEMPLO 10.2 Reproductor de CD

En un disco compacto (figura 10.6), la información de audio se almacena digital-mente en una serie de depresiones (pits) y áreas planas en la superficie del disco. Las alternaciones entre depresiones y áreas planas sobre la superficie representan unos y ceros binarios a leer por el reproductor de CD y convertir de regreso en ondas sono-ras. Las depresiones y áreas planas se detectan mediante un sistema que consiste de un láser y lentes. La longitud de una cadena de unos y ceros que representa una porción de información es la misma en cualquier parte del disco, ya sea que la informa- ción esté cerca del centro del disco o cerca de su borde exterior. De modo que, para que esta longitud de unos y ceros siempre pase por el sistema láser–lente en el mismo intervalo de tiempo, la rapidez tangencial de la superficie del disco en la posición del lente debe ser constante. De acuerdo con la ecuación 10.10, la rapidez angular debe variar a medida que el sistema láser–lente se mueve radialmente a lo largo del disco. En un reproductor de CD común, la rapidez constante de la superficie en el punto del sistema láser–lente es 1.3 m/s.

A) Encuentre la rapidez angular del disco en revoluciones por minuto cuando la información se lee desde la primera pista más interna (r � 23 mm) y la pista final más externa (r � 58 mm).

SOLUCIÓN

Conceptualizar La figura 10.6 muestra una fotografía de un disco compacto. Recorra con su dedo el círculo marcado “23 mm” en un intervalo de tiempo de aproximadamente 3 s. Ahora recorra con su dedo el círculo marcado “58 mm” en el mismo intervalo de tiempo. Advierta cuán rápido se mueve su dedo en relación con la página alrededor del círculo más grande. Si su dedo representa el láser que lee el disco, se mueve sobre la superficie del disco mucho más rápido en el círculo exterior que en el círculo interior.

Categorizar Esta parte del ejemplo se clasifica como un simple problema de sustitución. En partes posteriores, se necesitará para identificar modelos de análisis.

Aplique la ecuación 10.10 para encontrar la rapidez angular que da la rapidez tangencial requerida en la posición de la pista interna:

Haga lo mismo para la pista exterior: vfvrf

1.3 m>s5.8 10 2 m

22 rad>s 2.1 102 rev>min

El reproductor de CD ajusta la rapidez angular � del disco dentro de este intervalo de modo que la información se mueve por el lente objetivo en una relación constante.

B) El máximo tiempo de reproducción de un disco de música estándar es 74 min y 33 s. ¿Cuántas revoluciones realiza el disco durante dicho tiempo?

SOLUCIÓN

Categorizar Del inciso A), la rapidez angular disminuye a medida que el disco se reproduce. Suponga que disminuye de manera estable, con � constante. Por lo tanto se puede usar el modelo de objeto rígido bajo aceleración angular constante.

Analizar Si t � 0 es el instante cuando el disco comienza su rotación, con rapidez angular de 57 rad/s, el valor final del tiempo t es (74 min)(60 s/min) � 33 s � 4 473 s. Se busca el desplazamiento angular �� durante este intervalo de tiempo.

Aplique la ecuación 10.9 para encontrar el desplaza-miento angular del disco en t � 4 473 s:

Convierta este desplazamiento angular a revoluciones: ¢u 11.8 105 rad 2 a 1 rev2p rad

b 2.8 104 rev

Sección 10.3 Cantidades angulares y traslacionales 275

Figura 10.6 (Ejemplo 10.2) Disco compacto.

Geor

ge S

empl

e

23 mm

58 mm

vivri

1.3 m>s2.3 10 2 m

57 rad>s 157 rad>s 2 a 1 rev

2p radb a 60 s

1 minb 5.4 102 rev>min

¢u uf ui12 1vi vf 2 t

12 157 rad>s 22 rad>s 2 14 473 s 2 1.8 105 rad

276 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo

C) ¿Cuál es la aceleración angular del disco compacto sobre el intervalo de tiempo de 4 473 s?

SOLUCIÓN

Categorizar De nuevo modele el disco como un objeto rígido bajo aceleración angular constante. En este caso, la ecuación 10.6 da el valor de la aceleración angular constante. Otra aproximación es usar la ecuación 10.4 para encontrar la acele-ración angular promedio. En este caso, no se supone que la aceleración angular sea constante. La respuesta es la misma de ambas ecuaciones; sólo la interpretación del resultado es diferente.

Analizar Use la ecuación 10.6 para encontrar la ace-leración angular:

Finalizar El disco experimenta una disminución muy gradual en su rapidez de rotación, como se espera del largo intervalo de tiempo requerido para que la rapidez angular cambie del valor inicial al valor final. En realidad, la aceleración angular del disco no es constante. El problema 20 le permite explorar el comportamiento del tiempo real de la aceleración angular.

10.4 Energía cinética rotacionalEn el capítulo 7 se definió la energía cinética de un objeto como la energía asociada con su movimiento a través del espacio. Un objeto rotatorio en torno a un eje fijo permanece estacionario en el espacio, así que no hay energía cinética asociada con el movimiento traslacional. No obstante, las partículas individuales que conforman el objeto en rotación se mueven a través del espacio; siguen trayectorias circulares. En consecuencia, con el movimiento rotacional hay energía cinética asociada.

Considere un objeto como un conjunto de partículas y suponga que da vueltas en torno a un eje fijo z con una rapidez angular �. La figura 10.7 muestra al objeto en rotación e identifica una partícula sobre el objeto ubicada a una distancia ri del eje de rotación. Si la masa de la i–ésima partícula es mi y su rapidez tangencial es vi, su energía cinética es

Ki12mivi

2

Para continuar, recuerde que aunque cada partícula en el objeto rígido tiene la misma rapidez angular �, las magnitudes de velocidad tangenciales individuales dependen de la distancia ri desde el eje de rotación de acuerdo con la ecuación 10.10. La energía cinética total del objeto rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales:

KRi

Kii

12mivi

2 12

imir i

2v2

Esta expresión se puede escribir en la forma

KR12 a

imir i

2 bv2 (10.14)

donde �2 se factorizó de la suma porque es común a toda partícula. Esta expresión se simplifica al definir la cantidad entre paréntesis como el momento de inercia I:

Ii

miri2 (10.15)

De la definición de momento de inercia,2 se ve que tiene dimensiones de ML2 (kg·m2 en unidades del SI). Con esta notación, la ecuación 10.14 se convierte

KR12Iv

2 (10.16)

Aunque comúnmente la cantidad 12I�

2 se refiere como energía cinética rotacional, no es una forma nueva de energía. Es energía cinética ordinaria porque se deduce de una suma

avf vi

t

22 rad>s 57 rad>s4 473 s

7.8 10 3 rad>s2

Figura 10.7 Un objeto rígido en rotación en torno al eje z con rapidez angular �. La energía cinética de la partícula de masa mi es 1

2mivi2. La energía cinética total

del objeto se llama energía cinética rotacional.

2 Los ingenieros civiles usan el momento de inercia para caracterizar las propiedades elásticas (rigidez) de estructuras tales como las vigas de carga. En consecuencia, con frecuencia es útil incluso en un contexto no rotacional.

vi

mi

ri

eje z

O

�

Momento de inercia �

Energía cinética rotacional

�

9METAS DE APRENDIZAJEAl estudiar este capítulo, usted aprenderá:

• Cómo describir la rotación de un cuerpo rígido en términos de coordenada angular, velocidadangular y aceleración angular.

• Cómo analizar la rotación de uncuerpo rígido cuando la aceleraciónangular es constante.

• Cómo relacionar la rotación de un cuerpo rígido con la velocidad y la aceleración lineales de un punto en el cuerpo.

• El significado del momento de inercia del cuerpo en torno a un eje y cómo se relaciona con la energía cinética rotacional.

• Cómo calcular el momento de inercia de varios cuerpos.

285

ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS

?Todos los segmentosdel aspa de una héliceen rotación de un heli-cóptero tienen el mismovalor de la velocidad yaceleración angulares?En comparación con un segmento dado de la aspa, ¿cuántas vecesmayor será la rapidez lineal de un segundosegmento si se duplicasu distancia con respecto al eje de rotación? ¿Cuántas veces mayor será suaceleración lineal?

¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, una ruedade la fortuna (sillas voladoras), una sierra circular y un ventilador de techo? Ninguno puede representarse adecuadamente como un punto en

movimiento; todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fijo en algúnmarco de referencia inercial.

La rotación se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electrones enlos átomos hasta los movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos desarrollarmétodos generales para analizar el movimiento de un cuerpo en rotación. En este ca-pítulo y en el siguiente consideraremos los cuerpos con tamaño y forma definidosque, en general, pueden tener movimiento rotacional además de traslacional.

Los cuerpos reales llegan a ser muy complejos; las fuerzas que actúan sobre ellospueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Por el momento ignoraremostales deformaciones y supondremos que el cuerpo tiene forma y tamaño perfectamen-te definidos e inmutables. Llamamos a este modelo idealizado cuerpo rígido. Estecapítulo y el siguiente tratan principalmente del movimiento rotacional de un cuerporígido.

Comenzaremos con el lenguaje de la cinemática para describir el movimiento ro-tacional. Luego veremos la energía cinética de la rotación, la clave para usar los mé-todos de energía en el movimiento rotacional. En el capítulo 10 deduciremos losprincipios dinámicos que relacionan las fuerzas sobre un cuerpo con su movimientorotacional.

9.1 Velocidad y aceleración angularesAl analizar el movimiento rotacional, pensemos primero en un cuerpo rígido que girasobre un eje fijo, es decir, un eje que está en reposo en algún marco de referencia iner-cial y no cambia de dirección relativa al marco. El cuerpo podría ser una flecha demotor, un trozo de asado en una brocheta o un carrusel.

La figura 9.1 muestra un cuerpo rígido (en este caso, la aguja indicadora de un ve-locímetro) que gira sobre un eje fijo, el cual pasa por el punto O y es perpendicular al

El ángulo u desdeel eje 1x especificala posición rotacionalde la aguja.

El eje de rotación pasa por el origeny apunta hacia fuera de la página.

u

x

PDirecciónde giro dela aguja

y

O

9.1 Aguja de velocímetro (un ejemplo decuerpo rígido) que gira en sentido antiho-rario sobre un eje fijo.

286 C APÍTU LO 9 Rotación de cuerpos rígidos

Un radián es el ánguloen el cual el arco stiene la misma longitudque el radio r.

Un ángulo u enradianes es la razón dela longitud del arco sy el radio r.

u 5 sr

s 5 ru

r

1 rad

s 5 r

r

a)

b)

9.2 Medición de ángulos en radianes.

plano del diagrama, que llamamos plano xy. Una forma de describir la rotación de es-te cuerpo sería elegir un punto específico P del cuerpo y seguir la pista a sus coorde-nadas x y y. Este método no es el más conveniente, pues requiere dos números (lasdos coordenadas) para especificar la posición rotacional del cuerpo. En vez de ello,observamos que la línea OP está fija en el cuerpo y gira con él. El ángulo u que estalínea forma con el eje 1x describe la posición rotacional del cuerpo; usaremos sóloesta cantidad u como coordenada de rotación.

La coordenada angular u de un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo puede serpositiva o negativa. Si hacemos que los ángulos positivos se midan en sentido antiho-rario desde el eje 1x, entonces el ángulo u en la figura 9.1 es positivo. En cambio, sielegimos la dirección horaria como la rotación positiva, u será negativo en la figura9.1. Cuando consideramos el movimiento rectilíneo de una partícula, fue indispensa-ble especificar la dirección del desplazamiento positivo sobre esa línea; al analizar la rotación sobre un eje fijo, es igualmente indispensable especificar la dirección derotación positiva.

Al describir un movimiento rotacional, la forma más natural de medir el ángulo uno es en grados, sino en radianes. Como se muestra en la figura 9.2a, un radián (1 rad) es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longi-tud es igual al radio del círculo. En la figura 9.2b, un ángulo u es subtendido por un arco de longitud s en un círculo de radio r. El valor de u (en radianes) es igual a s entre r:

(9.1)

Un ángulo en radianes es la razón de dos longitudes, así que es un número puro, sindimensiones. Si s 5 3.0 m y r 5 2.0 m, entonces u 5 1.5, pero a menudo escribi-remos esto como 1.5 rad para distinguirlo de un ángulo medido en grados o revo-luciones.

La circunferencia de un círculo (es decir, la longitud del arco que rodea el círculo)es 2p veces el radio, así que hay 2p (unos 6.283) radianes en una revolución com-pleta (3608). Por lo tanto,

Asimismo, 1808 5 p rad, 908 5 p>2 rad, etcétera. Si insistiéramos en medir u en grados, tendríamos que haber incluido un factor más (2p>360) en el lado derecho de s 5 ru en la ecuación (9.1). Al medir ángulos en radianes, mantenemos la relación entre el ángulo y la distancia a lo largo de un arco lo más sencilla posible.

Velocidad angularLa coordenada u de la figura 9.1 especifica la posición rotacional de un cuerpo rígidoen un instante dado. Podemos describir el movimiento rotacional del cuerpo en térmi-nos de la razón de cambio de u, de forma análoga a como describimos el movimientorectilíneo en el capítulo 2. En la figura 9.3a una línea de referencia OP en un cuerpoque gira forma un ángulo u1 con el eje 1x en el instante t1, En un instante posterior t2,el ángulo cambió a u2. Definimos la velocidad angular media vmed-z (con la letragriega omega) del cuerpo en el intervalo Dt 5 t2 2 t1 como la razón del desplaza-miento angular Du 5 u2 2 u1 en Dt:

(9.2)vmed-z 5u2 2 u1

t2 2 t15

Du

Dt

1 rad 5360°

2p5 57.3°

u 5s

r o bien, s 5 ru

9 .1 Velocidad y aceleración angulares 287

El subíndice z indica que el cuerpo de la figura 9.3a está girando en torno al eje z, que es perpendicular al plano del diagrama. La velocidad angular instantánea vz

es el límite de vmed-z cuando Dt tiende a cero, es decir, la derivada de u con respecto a t:

(definición de velocidad angular) (9.3)

Cuando nos referimos simplemente a “velocidad angular” hablamos de la velocidadangular instantánea, no de la velocidad angular media.

La velocidad angular vz puede ser positiva o negativa, dependiendo de la direc-ción en que gire el cuerpo rígido (figura 9.4). La rapidez angular v, que usaremosmucho en las secciones 9.3 y 9.4, es la magnitud de la velocidad angular. Al igual quela rapidez ordinaria (lineal) v, la rapidez angular nunca es negativa.

CUIDADO Velocidad angular contra velocidad lineal Tenga presente la distinción en-tre velocidad angular vz y velocidad ordinaria, o velocidad lineal, vx (véase la sección 2.2). Siun objeto tiene una velocidad vx, el objeto en su totalidad se mueve a lo largo del eje x. En con-traste, si un objeto tiene una velocidad angular vz, está girando en torno al eje z. No quiere decirque el objeto se mueve a lo largo del eje z. ❚

Diferentes puntos de un cuerpo rígido en rotación recorren diferentes distancias enun tiempo dado, dependiendo de la distancia con respecto al eje de rotación. No obs-tante, dado que el cuerpo es rígido, todos los puntos giran el mismo ángulo en el mis-mo tiempo (figura 9.3b). Por lo tanto, en cualquier instante, todas las partes de uncuerpo rígido en rotación tienen la misma velocidad angular. La velocidad angulares positiva si el cuerpo gira en la dirección de u creciente, y negativa si lo hace en ladirección de u decreciente.

Si el ángulo de u está en radianes, la unidad de velocidad angular es el radiánpor segundo (rad>s). Suelen usarse otras unidades, como revoluciones por minuto(rev>min o rpm). Puesto que 1 rev 5 2p rad, dos conversiones útiles son

Es decir, 1 rad>s es alrededor de 10 rpm.

1 rev/s 5 2p rad/s y 1 rev/min 5 1 rpm 52p

60 rad/s

vz 5 límDtS0

Du

Dt5

du

dt

Desplazamiento angular Du de la aguja giratoriadurante un tiempo Dt:

Du 5 u2 2 u1

a) b)

xO

u1u2

P en t1Direcciónde rotación

Du

P en t2

y

9.3 a) Desplazamiento angular Du de un cuerpo en rotación. b) Cada parte de un cuerpo rígido en rotación tiene la misma velocidad angular Du>Dt.

Rotación positiva ensentido antihorario:Du . 0, así quevmed-z 5 Du/Dt . 0

Rotación negativaen sentido horario:Du , 0, así quevmed-z 5 Du/Dt , 0

El eje de rotación (eje z) pasa por el origeny apunta hacia el exterior de la página.

Du Du

Ox

y

Ox

y

9.4 La velocidad angular media de uncuerpo rígido (que aquí se muestra) y lavelocidad angular instantánea pueden ser positivas o negativas.

288 C APÍTU LO 9 Rotación de cuerpos rígidos

Velocidad angular como un vectorComo hemos visto, nuestra notación para la velocidad angular vz en torno al eje z re-cuerda la notación vx, para la velocidad ordinaria a lo largo del eje x (véase la sección2.2). Así como vx es la componente x del vector de velocidad vz es la componente zde un vector de velocidad angular dirigido a lo largo del eje de rotación. Comov

SvS,

9.5 a) Regla de la mano derecha para de-terminar la dirección del vector de veloci-dad angular Si se invierte el sentido dela rotación, se invierte la dirección de b) El signo de vz de la rotación a lo largodel eje z.

vS .

vS .

Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular

El volante de un automóvil prototipo se somete a prueba. La posiciónangular u del volante está dada por

El diámetro del volante es de 0.36 m. a) Calcule el ángulo u, en ra-dianes y en grados, en t1 5 2.0 s y t2 5 5.0 s. b) Calcule la distanciaque recorre una partícula en el borde durante ese intervalo. c) Calcu-le la velocidad angular media, en rad>s y en rev>min (rpm), entre t1 5 2.0 s y t2 5 5.0 s. d) Calcule la velocidad angular instantánea al t 5 t2 5 5.0 s.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Necesitamos calcular los valores u1 y u2 de la posi-ción angular en los instantes t1 y t2, el desplazamiento angular Du en-tre t1 y t2, la distancia recorrida y la velocidad angular media entre t1

y t2, y la velocidad angular instantánea en t2.

PLANTEAR: Nos dan la posición angular u en función del tiempo. Porlo tanto, es fácil obtener las dos primeras incógnitas, los valores u1 yu2; el desplazamiento angular Du es la diferencia entre u1 y u2. Con Ducalcularemos la distancia y la velocidad angular media empleando lasecuaciones (9.1) y (9.2), respectivamente. Para calcular la velocidadangular instantánea, derivaremos u con respecto al tiempo, como en laecuación (9.3).

EJECUTAR: a) Sustituimos los valores de t en la ecuación dada:

5 1250 rad 2

360°

2p rad5 14,000°

u2 5 12.0 rad/s3 2 1 5.0 s 2 3 5 250 rad

5 116 rad 2

360°

2p rad5 920°

u1 5 12.0 rad/s3 2 1 2.0 s 2 3 5 16 rad

u 5 12.0 rad/s3 2 t3

b) El volante tiene un desplazamiento angular de Du 5 u2 2 u1 5250 rad 2 16 rad 5 234 rad. El radio r es 0.18 m (la mitad del diáme-tro). La ecuación (9.1) da

Para usar la ecuación (9.1), el ángulo debe expresarse en radianes.Omitimos “radianes” de la unidad de s porque u en realidad es un nú-mero adimensional; s es una distancia y se mide en metros, igual que r.

c) En la ecuación (9.2) tenemos

d) Usamos la ecuación (9.3):

En el instante t5 5.0 s,

EVALUAR: Nuestro resultado en el inciso d) muestra que vz es propor-cional a t2 y, por lo tanto, aumenta con el tiempo. Nuestros resultadosnuméricos son congruentes con este resultado: la velocidad angularinstantánea de 150 rad>s en t 5 5.0 s es mayor que la velocidad angu-lar media de 78 rad>s para el intervalo de 3.0 s previo a ese instante (det1 5 2.0 s a t2 5 5.0 s).

vz 5 1 6.0 rad/s3 2 1 5.0 s 2 2 5 150 rad/s

5 16.0 rad/s3 2 t2

vz 5du

dt5

d

dt 3 1 2.0 rad/s3 2 t3 4 5 12.0 rad/s3 2 1 3t2 2 5 178

rad

s 2 1 1 rev

2p rad 2 1 60 s

1 min 2 5 740 rev/min

vmed-z 5u2 2 u1

t2 2 t15

250 rad 2 16 rad

5.0 s 2 2.0 s5 78 rad/s

s 5 ru 5 1 0.18 m 2 1 234 rad 2 5 42 m

9 .1 Velocidad y aceleración angulares 289

muestra la figura 9.5a, la dirección de está dada por la regla de la mano derecha queempleamos al definir el producto vectorial en la sección 1.10. Si la rotación es sobreel eje z, sólo tiene componente z, la cual es positiva si apunta en la dirección 1zy negativa si apunta en la dirección 2z (figura 9.5b).

La formulación vectorial tiene especial utilidad en situaciones donde cambia la dirección del eje de rotación. Examinaremos brevemente tales situaciones al final delcapítulo 10. En este capítulo, sin embargo, sólo consideraremos situaciones en las que el eje de rotación es fijo. Por lo tanto, en el resto del capítulo, el término “veloci-dad angular” se referirá a vz, la componente del vector de velocidad angular a lolargo del eje.

Aceleración angularSi cambia la velocidad angular de un cuerpo rígido, tiene una aceleración angular.Cuando una persona pedalea una bicicleta con más vigor para hacer que las ruedas giren más rápidamente, o aplica los frenos para detener las ruedas, se produce unaaceleración angular sobre éstas. También se produce una aceleración angular cuandoalteramos la rapidez de rotación de una pieza giratoria de una maquinaria, como el cigüeñal del motor de un automóvil.

Si v1z y v2z son las velocidades angulares instantáneas en t1 y t2, definimos la ace-leración angular media amed-z en el intervalo Δt5 t2 2 t1 como el cambio de la velo-cidad angular dividido entre Δt (figura 9.6):

(9.4)

La aceleración angular instantánea az es el límite de amed-z cuando ΔtS 0:

(definición de aceleración angular) (9.5)

La unidad que se suele utilizar para la aceleración angular es el radián por segundopor segundo (rad>s2). De ahora en adelante, emplearemos el término “aceleración an-gular” para referirnos a la aceleración angular instantánea, no a la aceleración angularmedia.

Dado que vz 5 du>dt, también podemos expresar la aceleración angular como lasegunda derivada de la coordenada angular:

(9.6)

Seguramente el lector ya se percató de que estamos usando letras griegas para las cantidades de la cinemática angular: u para la posición, vz para la velocidad y az

para la aceleración angulares. Éstas son análogas a x para la posición, vx para la velo-cidad y ax para la aceleración, respectivamente, en el movimiento rectilíneo. En am-bos casos, la velocidad es la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo;en tanto que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto altiempo. A veces, usaremos los términos velocidad lineal y aceleración lineal para re-ferirnos a las cantidades que ya definimos en los capítulos 2 y 3, haciendo una distin-ción clara entre éstas y las cantidades angulares presentadas en este capítulo.

En el movimiento rotacional, si la aceleración angular az es positiva, aumenta lavelocidad angular vz; si az es negativa, vz disminuye. La rotación se está aceleran-do si az y vz tienen el mismo signo, y frenándose si tienen signos opuestos. (Estasrelaciones son idénticas a las que existen entre la aceleración lineal ax y la veloci-dad lineal vx en el movimiento rectilíneo; véase la sección 2.3.)

az 5d

dt du

dt5

d2u

dt2

az 5 límDtS0

Dvz

Dt5

dvz

dt

amed-z 5v2z 2 v1z

t2 2 t15

Dvz

Dt

vS

vS

vS

vS

vS

En t1 En t2

v1z v2z

La aceleración angular media es el cambio envelocidad angular dividido entre el tiempo:

amed-z 5 5 v2z 2 v1z

t2 2 t1

Dvz

Dt

9.6 Cálculo de la aceleración angular me-dia de un cuerpo rígido que gira.

290 C APÍTU LO 9 Rotación de cuerpos rígidos

Evalúe su comprensión de la sección 9.1La figura muestra una gráfica de vz y az contra el tiempopara un cuerpo giratorio específico. a) ¿En qué instantes la rotación se acelera? i) 0 , t , 2 s; ii) 2 s , t , 4 s; iii) 4 s , t , 6 s. b) ¿En qué instantes la rotación se frena?i) 0 , t , 2 s; ii) 2 s , t , 4 s; iii) 4 s , 5 , 6 s.

❚

1 2 3 4 5 6t (s)

O

az vz

Aceleración angular como un vectorAsí como hicimos con la velocidad angular, resulta útil definir un vector de acelera-ción angular Matemáticamente, es la derivada con respecto al tiempo del vectorde velocidad angular Si el objeto gira en torno al eje z fijo, sólo tiene componen-te z; la cantidad az es precisamente esa componente. En este caso, apunta en la mis-ma dirección que si la rotación se está acelerando, y en la dirección opuesta si seestá frenando (figura 9.7).

El vector de aceleración angular nos será muy útil en el capítulo 10 cuando vea-mos lo que sucede cuando el eje de rotación puede cambiar de dirección. En estecapítulo el eje de rotación siempre estará fijo y sólo necesitaremos usar la compo-nente z: az.

vS

aS

aS

vS .

aS

aS.

vS

aS

a y v en la mismadirección: La rotaciónse acelera.

SSa y v en la direccióncontraria: La rotaciónse frena.

SS

vS

aS

9.7 Cuando el eje de rotación es fijo, losvectores de aceleración angular y veloci-dad angular están sobre ese eje.

9.2 Rotación con aceleraciónangular constante

En el capítulo 2, vimos que el movimiento rectilíneo es muy sencillo cuando la ace-leración es constante. Lo mismo sucede con el movimiento rotacional sobre un ejefijo. Si la aceleración angular es constante, podemos deducir ecuaciones para la ve-locidad y la posición angulares siguiendo el mismo procedimiento que usamos parael movimiento rectilíneo en la sección 2.4. De hecho, las ecuaciones que vamos adeducir son idénticas a las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14), si sustituimos xpor u, vx por vz y ax por az. Sugerimos repasar la sección 2.4 antes de continuar.

Sea v0z la velocidad angular de un cuerpo rígido en t 5 0 y sea vz su velocidadangular en cualquier instante posterior t. La aceleración angular az es constante e

Ejemplo 9.2 Cálculo de la aceleración angular

En el ejemplo 9.1, vimos que la velocidad angular instantánea vz delvolante en cualquier instante t está dada por

a) Calcule la aceleración angular media entre t1 5 2.0 s y t2 5 5.0 s.b) Calcule la aceleración angular instantánea en el instante t2 5 5.0 s.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este ejemplo requiere las definiciones de aceleraciónangular media amed-z y aceleración angular instantánea az.

PLANTEAR: Usaremos las ecuaciones (9.4) y (9.5) para obtener el va-lor de amed-z entre t1 y t2, así como el valor de az en t 5 t2.

EJECUTAR: a) Los valores de vz en los dos instantes son

v2z 5 16.0 rad/s3 2 1 5.0 s 2 2 5 150 rad/s v1z 5 1 6.0 rad/s3 2 1 2.0 s 2 2 5 24 rad/s

vz 5 16.0 rad/s3 2 t2

Por la ecuación (9.4), la aceleración angular media es

b) Por la ecuación (9.5), la aceleración angular instantánea en cual-quier instante t es

En el instante t 5 5.0 s,

EVALUAR: Observe que la aceleración angular no es constante en estasituación. La velocidad angular vz siempre aumenta porque az siemprees positiva; además, la razón con que aumenta la velocidad angulartambién está creciendo, ya que az aumenta con el tiempo.

az 5 112 rad/s3 2 1 5.0 s 2 5 60 rad/s2

5 1 12 rad/s3 2 t az 5dvz

dt5

d

dt 3 1 6.0 rad/s3 2 1 t2 2 4 5 16.0 rad/s3 2 1 2t 2amed-z 5150 rad/s 2 24 rad/s

5.0 s 2 2.0 s5 42 rad/s2

9 .2 Rotación con aceleración angular constante 291

igual al valor medio en cualquier intervalo. Usando la ecuación (9.4) en el intervalode 0 a t, tenemos

(sólo aceleración angular constante) (9.7)

El producto azt es el cambio total de vz entre t 5 0 y el instante posterior t; la veloci-dad angular vz en el instante t es la suma del valor inicial v0z y este cambio total.

Con aceleración angular constante, la velocidad angular cambia a una razón uni-forme, así que su valor medio entre 0 y t es la media de los valores inicial y final:

(9.8)

También sabemos que vmed-z es el desplazamiento angular total (u 2 u0) dividido en-tre el intervalo de tiempo (t2 0):

(9.9)

Si igualamos las ecuaciones (9.8) y (9.9), y multiplicamos el resultado por t, obte-nemos

(sólo aceleración angular constante) (9.10)

Para obtener una relación entre u y t que no incluya a vz, sustituimos la ecuación (9.7)en la ecuación (9.10):

o bien,

(sólo aceleración angular constante) (9.11)

Es decir, si en el tiempo inicial t 5 0 el cuerpo tiene una posición angular u0 y una ve-locidad angular v0z, entonces su posición angular u en cualquier instante posterior tserá la suma de tres términos: su posición angular inicial u0, más la rotación v0zt quetendría si la velocidad angular fuera constante, más una rotación adicional cau-sada por el cambio en la velocidad angular.

Siguiendo el mismo procedimiento que para el movimiento rectilíneo de la sec-ción 2.4, combinamos las ecuaciones (9.7) y (9.11) para obtener una relación entre u y vz que no contenga t. Lo invitamos a efectuarlo, siguiendo el procedimiento queempleamos para obtener la ecuación (2.13). (Véase el ejercicio 9.12.) De hecho, dada la analogía perfecta entre las cantidades rectilíneas y rotacionales, podemos tomar la ecuación (2.13) y sustituir cada cantidad rectilínea por su contraparte rota-cional. Así que,

(sólo aceleración angular constante) (9.12)

CUIDADO Aceleración angular constante Tenga presente que estos resultados son vá-lidos sólo si la aceleración angular az es constante; no trate de aplicarlos a problemas donde az

no sea constante. En la tabla 9.1 se muestra la analogía entre las ecuaciones (9.7), (9.10), (9.11)y (9.12), para rotación sobre un eje fijo y aceleración angular constante, y las ecuaciones corres-pondientes para el movimiento rectilíneo con aceleración lineal constante. ❚

vz

2 5 v0z

2 1 2az 1 u 2 u0 212 az t2

u 5 u0 1 v0z t 11

2 az t2

u 2 u0 51

2 3v0z 1 1v0z 1 az t 2 4t

u 2 u0 51

2 1v0z 1 vz 2 t

vmed-z 5u 2 u0

t 2 0

vmed-z 5v0z 1 vz

2

vz 5 v0z 1 az t

az 5vz 2 v0z

t 2 0, es decir,

7.7 Cinemática rotacional

O N L I N E

292 C APÍTU LO 9 Rotación de cuerpos rígidos

Tabla 9.1 Comparación del movimiento lineal y angular con aceleración constante

Movimiento rectilíneo con Rotación sobre un eje fijo conaceleración lineal constante aceleración angular constante

u 2 u0 51

2 1vz 1 v0z 2 tx 2 x0 5

1

2 1vx 1 v0x 2 t vz

2 5 v0z

2 1 2az 1 u 2 u0 2vx

2 5 v0x

2 1 2ax 1 x 2 x0 2 u 5 u0 1 v0z t 11

2 az t 2x 5 x0 1 v0x t 1

1

2 ax t 2

vz 5 v0z 1 az tvx 5 v0x 1 ax t

az 5 constanteax 5 constante

Direcciónde rotación

y

xQP

9.8 La línea PQ sobre un disco DVD que gira en t 5 0.

Ejemplo 9.3 Rotación con aceleración angular constante

Imagine que usted acaba de ver una película en DVD y el disco se está deteniendo. La velocidad angular del disco en t 5 0 es de 27.5 rad>s y su aceleración angular constante es de 210.0 rad>s2.Una línea PQ en la superficie del disco está a lo largo del eje 1xen t 5 0 (figura 9.8). a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t 5 0.3 s? b) ¿Qué ángulo forma la línea PQ con el eje 1x en ese instante?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: La aceleración angular del disco es constante, así quepodemos usar cualquiera de las ecuaciones que dedujimos en esta sec-ción. Las incógnitas son la velocidad angular y el desplazamiento an-gular en t 5 0.300 s.

PLANTEAR: Nos dan la velocidad angular inicial v0z 5 27.5 rad>s, elángulo inicial u0 5 0 entre la línea PQ y el eje 1x, la aceleración an-gular az5210.0 rad>s2 y el tiempo t5 0.300 s. Con esta información,

lo más fácil es usar las ecuaciones (9.7) y (9.11) para obtener las in-cógnitas vz, y u, respectivamente.

EJECUTAR: a) Por la ecuación (9.7), en t5 0.300 s tenemos

b) Por la ecuación (9.11),

El DVD ha girado una revolución completa más 0.24 de revolución, es decir, un ángulo adicional de (0.24 rev) (3608>rev) 5 878. Por lotanto, la línea PQ forma un ángulo de 878 con el eje 1x.

EVALUAR: Nuestra respuesta al inciso a) nos indica que disminuyó lavelocidad angular, lo cual es natural dado que az es negativa. Tambiénpodemos usar el valor de vz, que obtuvimos en el inciso a) para com-probar nuestro resultado u del inciso b). Para ello, despejamos el ángu-lo u de la ecuación (9.12),

Esto coincide con el resultado que obtuvimos antes.

5 0 1124.5 rad/s 2 2 2 1 27.5 rad/s 2 2

2 1210.0 rad/s2 2 5 7.80 rad

u 5 u0 1 1vz

2 2 v0z

2

2az2 2az 1 u 2 u0 2 ,vz

2 5 v0z

2 1

5 7.80 rad 5 7.80 rad 1 1 rev

2p rad 2 5 1.24 rev

5 0 1 127.5 rad/s 2 1 0.300 s 2 11

2 1210.0 rad/s2 2 1 0.300 s 2 2

u 5 u0 1 v0z t 11

2 az t2

5 24.5 rad/s vz 5 v0z 1 az t 5 27.5 rad/s 1 1210.0 rad/s2 2 1 0.300 s 2

Evalúe su comprensión de la sección 9.2 Suponga que el DVD del ejemplo9.3 originalmente estaba girando al doble de la tasa (55.0 rad>s en vez de 27.5 rad>s) yque frenó al doble de la tasa (220.0 rad>s2 en vez de 210.0 rad>s2). a) En comparacióncon la situación del ejemplo 9.3, ¿cuánto tiempo le tomaría al DVD llegar al reposo? i) la misma cantidad de tiempo; ii) el doble de tiempo; iii) 4 veces más tiempo; iv) del tiempo;v) del tiempo. b) En comparación con la situación del ejemplo 9.3, ¿cuántas revoluciones giraría el DVD antes de detenerse? i) el mismo número de revoluciones; ii) el doble de revoluciones; iii) 4 veces más revoluciones; iv) de las revoluciones; v) de las revoluciones.

❚14

12

14

12

9 .3 Relación entre cinemática lineal y angular 293

9.3 Relación entre cinemática lineal y angular¿Cómo obtenemos la velocidad y aceleración lineales de un punto dado de un cuerporígido en rotación? Necesitamos la respuesta para continuar con nuestro estudio de larotación. Para obtener la energía cinética de un cuerpo en rotación, por ejemplo, de-bemos partir de para una partícula, y esto requiere conocer v para cadapartícula del cuerpo. Por lo tanto, vale la pena deducir relaciones generales entre lavelocidad y aceleración angulares de un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo, y la velocidad y aceleración lineales de un punto o partícula específicos del cuerpo.

Rapidez lineal en la rotación de un cuerpo rígidoCuando un cuerpo rígido gira sobre un eje fijo, todas sus partículas se mueven en unatrayectoria circular. El círculo yace en un plano perpendicular al eje y está centradoen el eje. La rapidez de una partícula es directamente proporcional a la velocidad an-gular del cuerpo; cuanto más rápidamente gire el cuerpo, mayor será la rapidez de ca-da partícula. En la figura 9.9, el punto P está a una distancia constante r del eje derotación, así que se mueve en un círculo de radio r. En cualquier instante, el ángulo u(en rad) y la longitud de arco s están relacionadas por

Derivamos esto con respecto al tiempo, observando que r es constante para una partícu-la específica, y obtenemos el valor absoluto de ambos lados:

Ahora, es el valor absoluto de la razón de cambio de la longitud de arco, quees igual a la rapidez lineal instantánea v de la partícula. De manera análoga, esel valor absoluto de la razón de cambio del ángulo, que es la rapidez angular instan-tánea v, es decir, la magnitud de la velocidad angular instantánea en rad>s. Así,

(relación entre rapideces lineal y angular) (9.13)

Cuanto más lejos del eje esté del eje un punto, mayor será su rapidez lineal. La dirección del vector de velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria circular(figura 9.9).

CUIDADO Rapidez contra velocidad Tenga presente la distinción entre las rapideces li-neal y angular v y v (que aparecen en la ecuación (9.13) y las velocidades lineal y angular vx yvz. Las cantidades sin subíndices, v y v, nunca son negativas; son las magnitudes de los vecto-res y respectivamente, y sus valores sólo nos dicen con qué rapidez se está moviendo lapartícula (v) o qué tan rápido está girando (v). Las cantidades correspondientes con subíndice,vx y vz, pueden ser positivas o negativas; su signo indica la dirección del movimiento. ❚

Aceleración lineal en la rotación de un cuerpo rígidoPodemos representar la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo entérminos de sus componentes centrípeta y tangencial, arad y atan (figura 9.10), comohicimos en la sección 3.4. Le recomendamos repasar esa sección ahora. Vimos quela componente tangencial de aceleración atan, la componente paralela a la veloci-dad instantánea, actúa cambiando la magnitud de la velocidad de la partícula (su ra-pidez) y es igual a la razón de cambio de la rapidez. Derivando la ecuación (9.13),obtenemos

(9.14)(aceleración tangencial de unpunto en un cuerpo en rotación)

atan 5dvdt

5 r

dv

dt5 ra

vS ,vS

v 5 rv

0 du/dt 0 ,0 ds/dt 0 P ds

dt P 5 r P du

dt Ps 5 ru

K 5 12 mv2

La rapidez lineal del punto P(rapidez angular v está en rad/s).

La distancia que recorre el punto P delcuerpo (el ángulo u está en radianes).

Círculo seguidopor el punto P

s 5 ru

v 5 rv

r

P

u

v

v

y

Ox

9.9 Cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo que pasa por el punto O.

Componentes de aceleración radial y tangencial:• arad 5 v2r es la aceleración centrípeta del punto P.• atan 5 ra significa que la rotación de P estáacelerando (el cuerpo tiene aceleración angular).

atan 5 ra

arad 5 v2r

aS

Aceleraciónlineal delpunto P

s

v 5 rv

r

P

u

v

v

y

Ox

9.10 Cuerpo rígido cuya rotación estáacelerando. La aceleración del punto Ptiene una componente arad hacia el eje de rotación (perpendicular a y una componente atan a lo largo del círculo que sigue el punto P (paralela a vS).

vS)

294 C APÍTU LO 9 Rotación de cuerpos rígidos

Esta componente de la aceleración de una partícula siempre es tangente a la trayecto-ria circular de la partícula.

La cantidad de la ecuación (9.14) es la razón de cambio de la rapidezangular. No es idéntica a que es la razón de cambio de la velocidad an-gular. Por ejemplo, consideremos un cuerpo que gira de modo que su vector de velo-cidad angular apunta en la dirección 2z (figura 9.5b). Si la rapidez angular delcuerpo está aumentando a razón de 10 rad>s por segundo, entonces a 5 10 rad>s2.Sin embargo, vz es negativa y se está volviendo más negativa a medida que la rota-ción se acelera, así que az 5 210 rad>s2. La regla para la rotación en torno a un ejefijo es que a es igual a az si vz es positiva e igual a 2az si vz es negativa.

La componente de la aceleración de la partícula que está dirigida hacia el ejede rotación, la componente centrípeta de aceleración arad, está asociada con elcambio de dirección de la velocidad de la partícula. En la sección 3.4 dedujimos la re-lación arad5 v2>r. Podemos expresar esto en términos de v usando la ecuación (9.13):

(9.15)

Esto se cumple en todo instante aun si v y v no son constantes. La componente cen-trípeta siempre apunta hacia el eje de rotación.

La suma vectorial de las componentes centrípeta y tangencial de la aceleración deuna partícula en un cuerpo en rotación es la aceleración lineal (figura 9.10).

CUIDADO Utilice ángulos en radianes en todas las ecuaciones Es importante recor-dar que la ecuación (9.1), s 5 ru, es válida sólo si u se mide en radianes. Lo mismo sucede con todas las ecuaciones derivadas de ella, incluidas las ecuaciones (9.13), (9.14) y (9.15). Al usar estas ecuaciones, debemos expresar los ángulos en radianes, no revoluciones ni grados(figura 9.11). ❚

Las ecuaciones (9.1), (9.13) y (9.14) también son válidas para cualquier partícu-la que tenga la misma velocidad tangencial que un punto de un cuerpo rígido en rotación. Por ejemplo, si una cuerda enrollada en un cilindro se desenrolla sin estirarse ni deslizarse, su rapidez y aceleración en cualquier instante son iguales a la rapidez y aceleración tangencial del punto en el cual es tangente al cilindro. El mismo principio se aplica a las cadenas y ruedas dentadas de una bicicleta, a correas y poleas que giran sin deslizarse, etcétera. Más adelante en este capítulo yen el capítulo 10, tendremos varias oportunidades de usar estas relaciones. Cabe señalar que la ecuación (9.15) para la componente centrípeta arad es aplicable a lacuerda o cadena sólo en los puntos de contacto con el cilindro o la rueda. Los de-más puntos no tienen la misma aceleración hacia el centro del círculo que tienen los puntos del cilindro o la rueda.

aS

(aceleración centrípeta de un punto de un cuerpo en rotación)arad 5

v2

r5 v2r

az 5 dvz/dt,a 5 dv/dt

9.11 Al relacionar cantidades lineales y angulares, utilice siempre radianes.

Ejemplo 9.4 Lanzamiento del disco

Un lanzador de disco gira el disco en un círculo con radio de 80.0 cm.En cierto instante, el lanzador gira con rapidez angular de 10.0 rad>s yla rapidez angular está aumentando a 50 rad>s2. Calcule las componen-tes de aceleración tangencial y centrípeta del disco en ese instante, asícomo la magnitud de esa aceleración.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Modelamos el disco como una partícula que sigue unatrayectoria circular (figura 9.12a), así que podemos usar las ideas quedesarrollamos en esta sección.

PLANTEAR: Nos dan el radio r 5 0.800 m, la rapidez angular v 510.0 rad>s y la razón de cambio de la rapidez angular a 5 50.0 rad>s2

(figura 9.12b). Las primeras dos incógnitas son las componentes de

aceleración atan y arad, que obtendremos con las ecuaciones (9.14) y(9.15), respectivamente. Una vez que tengamos esas componentes del vector de aceleración, obtendremos la magnitud de a (la tercera incógnita) aplicando el teorema de Pitágoras.

EJECUTAR: De las ecuaciones (9.14) y (9.15):

La magnitud del vector de aceleración es

a 5 "atan

2 1 arad

2 5 89.4 m/s2

arad 5 v2r 5 1 10.0 rad/s 2 2 10.800 m 2 5 80.0 m/s2

atan 5 ra 5 1 0.800 m 2 1 50.0 rad/s2 2 5 40.0 m/s2

?

9 .3 Relación entre cinemática lineal y angular 295

a) b)

r

aarad

atan

Trayectoriadel disco

Disco

9.12 a) Lanzamiento de disco con giro circular. b) Nuestro diagrama muestra las componentes de la aceleración para el disco.

EVALUAR: Observe que omitimos la unidad “radián” de nuestros re-sultados para atan, arad y a. Podemos hacerlo porque el “radián” es unacantidad adimensional.

La magnitud a es unas nueve veces g, la aceleración debida a lagravedad. ¿Puede usted demostrar que, si la rapidez angular se duplica

a 20.0 rad>s pero a no cambia, la magnitud de la aceleración, a, au-menta a 322 m>s2 (casi 33g)?

rvavión 5 75.0 m/s

2400 rev/minvtan 5 rv

a) b)

Vista frontal Vista lateral

AviónAvión

punta

9.13 a) Avión impulsado por hélice en el aire. b) Nuestro esquema presenta las componentes de la velocidad para la punta de la hélice.

Ejemplo 9.5 Diseño de una hélice

Imagine que le piden diseñar una hélice de avión que gire a 2400 rpm. La rapidez de avance del avión en el aire debe ser de 75.0 m>s (270 km>h o unas 168 mi>h), y la rapidez de las puntas de las aspas de la hélice en el aire no debe exceder de 270 m>s (figura 9.13a). (Esto es cerca de 0.80 veces la rapidez del sonido en aire. Si tales puntas se movieran con una rapidez cercana a la delsonido, producirían un ruido enorme.) a) ¿Qué radio máximo puedetener la hélice? b) Con este radio, ¿qué aceleración tiene la punta de la hélice?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: El objeto de interés en este ejemplo es una partícu-la en la punta de la hélice; las incógnitas son la distancia entre esapartícula y el eje, y su aceleración. Observe que la rapidez de es-ta partícula con respecto al aire (la cual no puede exceder de 270 m>s)se debe tanto a la rotación de la hélice como al movimiento haciaadelante del avión.

PLANTEAR: Como indica la figura 9.13b, la velocidad de unapartícula en la punta de la hélice es la suma vectorial de su velocidadtangencial debida a la rotación de la hélice (magnitud vtan, dada por la ecuación (9.13)) y la velocidad hacia adelante del avión (magnitudvavión 5 75.0 m>s). El plano de rotación de la hélice es perpendicular ala dirección del vuelo, así que los dos vectores mencionados son per-pendiculares y podemos usar el teorema de Pitágoras para relacionarvtan y vavión con vpunta. Entonces, igualaremos vpunta a 270 m>s y despeja-remos el radio r. Observe que la rapidez angular de la hélice es cons-tante, de manera que la aceleración de la punta de la hélice sólo tieneuna componente radial, la cual obtendremos con la ecuación (9.15).

EJECUTAR: Primero convertimos v a rad>s (véase la figura 9.11):

5 251 rad/s

v 5 2400 rpm 5 12400 rev

min 2 12p rad

1 rev 2 11 min

60 s 2vSpunta

continúa

296 C APÍTU LO 9 Rotación de cuerpos rígidos

9.4 Energía en el movimiento rotacionalUn cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía ciné-tica que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nuevacantidad llamada momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la for-ma en que se distribuye tal masa.

Para deducir esta relación, consideramos que el cuerpo está formado por un grannúmero de partículas, con masas ml, m2, …, a distancias r1, r2, … del eje de rotación.Rotulamos las partículas con el subíndice i: la masa de la i-ésima partícula es mi y sudistancia con respecto al eje de rotación es ri. Las partículas no tienen que estar todas

Ejemplo conceptual 9.6 Engranes de bicicleta

¿Qué relación hay entre las rapideces angulares de las dos ruedas den-tadas de bicicleta de la figura 9.14 y el número de dientes en cada una?

SOLUCIÓN

La cadena no se desliza ni se estira, así que se mueve con la misma ra-pidez tangencial v en ambas ruedas dentadas. Por la ecuación (9.13),

La rapidez angular es inversamente proporcional al radio. Esto se cum-ple también para poleas conectadas mediante una correa, siempre queésta no se deslice. En el caso de las ruedas dentadas, los dientes debenestar equidistantes en sus circunferencias para que la cadena embonecorrectamente. Sean Nfrontal y Ntrasera los números de dientes; la condi-ción de que el espaciado de los dientes sea igual en ambas ruedas es

Combinando esto con la otra ecuación, tenemos

vtrasera

vfrontal5

Nfrontal

Ntrasera

2prfrontal

Nfrontal5

2prtrasera

Ntrasera así que

rfrontal

rtrasera5

Nfrontal

Ntrasera

v 5 rfrontal vfrontal 5 rtrasera vtrasera así que vtrasera

vfrontal5

rfrontal

rtrasera

La rapidez angular de cada rueda dentada es inversamente proporcio-nal al número de dientes. En una bicicleta de varias velocidades, obte-nemos la máxima rapidez angular vtrasera de la rueda trasera para unpedaleo dado vfrontal, cuando el cociente Nfrontal>Ntrasera es máximo; estoimplica usar la rueda dentada delantera de mayor radio (Nfrontal máxi-mo) y la rueda dentada trasera de menor radio (Ntrasera mínimo).

Ruedadentada trasera

Rueda dentada frontal

v

v

vtrasera

vfrontal

rtrasera

rfrontal

9.14 Las ruedas dentadas y la cadena de una bicicleta.

Evalúe su comprensión de la sección 9.3 En los CD y los DVD (véase la figura 9.8), la información se almacena en un patrón codificado de agujeros diminutos,los cuales están dispuestos en una pista que forma una espiral del centro al borde del disco.Cuando el disco gira dentro de un reproductor, la pista se escanea con rapidez lineal constante.¿Cómo debe cambiar la rapidez de rotación del disco mientras la cabeza lectora del reproductorsigue la pista? i) La rapidez de rotación debe aumentar. ii) La rapidez de rotación debe disminuir.iii) La rapidez de rotación debe permanecer igual.

❚

a) Según la figura 9.13b y la ecuación (9.13), la magnitud de la ve-locidad vtotal está dada por

Si vpunta 5 270 m>s, el radio de la hélice es

r 5"1 270 m/s 2 2 2 1 75.0 m/s 2 2

251 rad/s5 1.03 m

r2 5vpunta

2 2 vavión

2

v2 y r 5

"vpunta

2 2 vavión

2

v

vpunta

2 5 vavión

2 1 vtan

2 5 vavión

2 1 r2v2 así que

b) La aceleración centrípeta es

La aceleración tangencial es cero porque la rapidez angular es cons-tante.

EVALUAR: De ¡la hélice debe ejercer una fuerza de 6.5 3104 N sobre cada kilogramo de material en la punta! Por ello, las héli-ces se fabrican con materiales resistentes (por lo general, una aleaciónde aluminio).

gFS5 maS,

5 1251 rad/s 2 2 11.03 m 2 5 6.5 3 104 m/s2

arad 5 v2r

7.7 Inercia rotacional

O N L I N E

avión avión

avión avión