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Problemas deExtremos emGeometria

ProblemasHistoricos

Problema de Heron

Problema de Fagnano

Problema deRegiomontanus

Problema de Fermat

Problema de Dido

”Probleminhas” eProblemas

Grupos

Tornando o Cuboum Grupo

AlgumasAplicacoes

Referencias

10 Simposio Nacional da Formacao doProfessor de Matematica

Resolvendo Problemas de Extremos em Geometriausando metodos nao analıticos: o muito que se podefazer no ensino medio com um ”pouco” de Geometria

Jose Luiz Rosas Pinho

Departamento de Matematica - [email protected]

Brasılia, 27 a 29 de setembro de 2013

ProblemasHistoricos

Problema de Heron

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Problema de Dido

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Sumario

Problemas de Extremos em Geometria

Problemas HistoricosProblema de HeronProblema de FagnanoProblema de RegiomontanusProblema de FermatProblema de Dido

”Probleminhas” e Problemas

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Tornando o Cubo um Grupo

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Problema de Dido

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Sao problemas nos quais deseja-se encontrar valoresmaximos ou mınimos de medidas de segmentos, perımetros,areas, angulos etc em uma figura dada, ou determinar quaisobjetos geometricos satisfazem uma condicao de extremo talcomo perımetro, area etc maximo ou mınimo.

Exemplos:

1) Calcular a area maxima de um trianguloretangulo de hipotenusa dada.

2) Mostrar que dentre os triangulos inscritosem uma circunferencia dada e com um lado dado,aquele que tem perımetro maximo e o trianguloisosceles.

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Sao problemas nos quais deseja-se encontrar valoresmaximos ou mınimos de medidas de segmentos, perımetros,areas, angulos etc em uma figura dada, ou determinar quaisobjetos geometricos satisfazem uma condicao de extremo talcomo perımetro, area etc maximo ou mınimo.

Exemplos:

1) Calcular a area maxima de um trianguloretangulo de hipotenusa dada.

2) Mostrar que dentre os triangulos inscritosem uma circunferencia dada e com um lado dado,aquele que tem perımetro maximo e o trianguloisosceles.

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I Solucao analıtica: via geometria analıtica e CalculoDiferencial.

I Solucao ”sintetica”: via construcoes geometricas −→criatividade, problemas olımpicos

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Solucao ”sintetica” - Dificuldade

Em uma abordagem puramente geometrica e precisoalgumas vezes partir do fato que o problema possui solucao.

Isso nem sempre e possıvel de se fazer com argumentosgeometricos.

A existencia de solucao e, portanto, uma das maioresdificuldades que podemos encontrar na resolucao dessesproblemas.

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Existencia de solucao

Problemas de extremo em geometria nem sempre possuemsolucao.

Exemplo: determinar os polıgonos de area mınima e de areamaxima inscritos em uma circunferencia dada.

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Existencia de solucao

Problemas de extremo em geometria nem sempre possuemsolucao.

Exemplo: determinar os polıgonos de area mınima e de areamaxima inscritos em uma circunferencia dada.

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Argumento de continuidade

Teorema(Weierstrass) - Seja f uma funcao real contınuadefinida em um compacto K. Entao f assume um maximo eum mınimo em K.

Teorema - Seja f : R −→ R contınua tal quelim

x→−∞f(x) = +∞ e lim

x→+∞f(x) = +∞. Entao f assume

um mınimo absoluto em algum x real.

Teorema - Seja f : R −→ R contınua positiva tal quelim

x→−∞f(x) = 0 e lim

x→+∞f(x) = 0. Entao f assume um

maximo absoluto em algum x real.

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x→−∞f(x) = +∞ e lim

x→−∞f(x) = 0 e lim

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x→−∞f(x) = +∞ e lim

x→−∞f(x) = 0 e lim

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x→−∞f(x) = +∞ e lim

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Problema de Heron

I Heron de Alexandria viveu entre 150 a.C. e 250 d.C.

I Escreveu A Metrica, obra em em tres livros, que foidescoberta em 1896 em Constantinopla, por R. Schone

I Na obra Catoptrica (Reflexao) - do grego KατoπτρoνCatoptron, espelho - Heron mostrou, com umargumento geometrico, a igualdade dos angulos deincidencia e de reflexao de um raio de luz em umespelho

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Problema de Heron

Dados dois pontos A e B e dada uma reta r que nao passapor esses pontos, encontrar um ponto P incidente a r talque a soma AP+BP seja mınima.

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f(x) =√x + a +

√(x− b) + c

f ′(x) =x√

x + a+

x− b√(x− b) + c

x((x− b) + c) = (x− b)(x + a)

x(c) = a(x− b)

∣∣∣∣ x

x− b

∣∣∣∣ =a

a+ cou x =

a− c

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f(x) =√x + a +

√(x− b) + c

f ′(x) =x√

x + a+

x− b√(x− b) + c

x((x− b) + c) = (x− b)(x + a)

x(c) = a(x− b)

∣∣∣∣ x

x− b

∣∣∣∣ =a

a+ cou x =

a− c

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f(x) =√x + a +

√(x− b) + c

f ′(x) =x√

x + a+

x− b√(x− b) + c

x((x− b) + c) = (x− b)(x + a)

x(c) = a(x− b)

∣∣∣∣ x

x− b

∣∣∣∣ =a

a+ cou x =

a− c

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f(x) =√x + a +

√(x− b) + c

f ′(x) =x√

x + a+

x− b√(x− b) + c

x((x− b) + c) = (x− b)(x + a)

x(c) = a(x− b)

∣∣∣∣ x

x− b

∣∣∣∣ =a

a+ cou x =

a− c

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f(x) =√x + a +

√(x− b) + c

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x + a+

x− b√(x− b) + c

x((x− b) + c) = (x− b)(x + a)

x(c) = a(x− b)

∣∣∣∣ x

x− b

∣∣∣∣ =a

a+ cou x =

a− c

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f(x) =√x + a +

√(x− b) + c

f ′(x) =x√

x + a+

x− b√(x− b) + c

x((x− b) + c) = (x− b)(x + a)

x(c) = a(x− b)

∣∣∣∣ x

x− b

∣∣∣∣ =a

a+ cou x =

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a=b− dc

cd = ab− ad

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Problema de Heron - Variacao 1

Determinar o triangulo com um lado dado e de area dadaque tenha perımetro mınimo.

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Problema de Heron - Variacao 2

Determinar o triangulo com um lado dado e de perımetrodado que tenha area maxima.

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Problema de Heron - Variacoes 3 e 4

Determinar o triangulo de area dada e perımetro mınimo.

Determinar o triangulo de perımetro dado e area maxima.

(admitindo a existencia nos dois problemas)

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Problema de Fagnano

I Proposto pelo matematico italiano Giulio Carlo Fagnanodei Toschi (1682-1766)

I Fagnano mostrou a existencia solucao.

I Em 1775 seu filho, Giovanni Francesco Fagnano(1715-1797) completou a demonstracao do pai usandocalculo diferencial.

I Duas solucoes usando metodos geometricos: a domatematico alemao Hermann Amandus Schwarz(1843-1921), e a do matematico hungaro Lipot Fejer(1880-1959).

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Problema de Fagnano

Inscrever em um triangulo acutangulo um triangulo deperımetro mınimo.

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Problema de Fagnano - Solucao de Fejer

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Problema de Fagnano - Solucao de Schwarz

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Problema de Regiomontanus

I Johann Muller (1436-1476) foi um dos maioresmatematicos do seculo XV.

I Nasceu na cidade alema de Konigsberg in Bayern,Bavaria (nao confundir com a cidade homonima naantiga Prussia, hoje chamada Kaliningrado na Russia, econhecida pelo famoso problema das pontes de Euler).

I Ficou conhecido pelo nome de Regiomontanus, umalatinizacao do nome alemao de sua cidade natal.

I Seu problema foi enunciado em 1471, em uma carta aChristian Roder, professor da Universidade de Erfurt.

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Regiomontanus - Konigsberg in Bayern

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O problema de Regiomontanus consiste em determinar adistancia d que um observador de altura h deve ficar da basedo pedestal de altura p de uma estatua, de altura s, demodo que seu angulo de visao θ dessa estatua seja maximo.

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tan(θ) = tan(β − α) =tan(β)− tan(α)

+ tan(β) tan(α)

tan(β) =s+ p− h

xe tan(α) =

p− hx

f(x) = tan θ(x) =sx

x + k(s+ k)em que k = p− h

f ′(x) =−sx + ks(s+ k)

[x + k(s+ k)]=

x =√k(s+ k) =

√(p− h)(s+ p− h)

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+ tan(β) tan(α)

tan(β) =s+ p− h

xe tan(α) =

p− hx

f ′(x) =−sx + ks(s+ k)

[x + k(s+ k)]=

x =√k(s+ k) =

√(p− h)(s+ p− h)

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+ tan(β) tan(α)

tan(β) =s+ p− h

xe tan(α) =

p− hx

f ′(x) =−sx + ks(s+ k)

[x + k(s+ k)]=

x =√k(s+ k) =

√(p− h)(s+ p− h)

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+ tan(β) tan(α)

tan(β) =s+ p− h

xe tan(α) =

p− hx

f ′(x) =−sx + ks(s+ k)

[x + k(s+ k)]=

x =√k(s+ k) =

√(p− h)(s+ p− h)

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+ tan(β) tan(α)

tan(β) =s+ p− h

xe tan(α) =

p− hx

f ′(x) =−sx + ks(s+ k)

[x + k(s+ k)]=

x =√k(s+ k) =

√(p− h)(s+ p− h)

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d = r −MN =(s

+ p− h)−(s

d = (p− h) + s(p− h)

d = (p− h)(s+ p− h)

d =√

(p− h)(s+ p− h)

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d = r −MN =(s

+ p− h)−(s

)d = (p− h) + s(p− h)

d = (p− h)(s+ p− h)

d =√

(p− h)(s+ p− h)

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+ p− h)−(s

)d = (p− h) + s(p− h)

d = (p− h)(s+ p− h)

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(p− h)(s+ p− h)

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+ p− h)−(s

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d = (p− h)(s+ p− h)

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Problema de Fermat

I Proposto por Pierre de Fermat (1601-1665) em seuMetodos de determinacao de maximos e mınimos, e detangentes a curvas.

I Torricelli (1608-1647) resolveu o problema em algumperıodo antes de 1640, localizando o ponto solucao doproblema (chamado de ponto de Fermat, ou Torricelli,ou de Steiner).

I Vincenzo Viviani (1622-1703), aluno de Torricelli,publicou a solucao de seu mestre no livro De maximis etminimis, em 1659.

I Cavalieri, Simpson e Jacob Steiner (1796-1863)trabalharam neste problema.

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Problema de Fermat

Encontrar um ponto do plano cuja soma das distancias atres outros pontos dados e mınima.

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Problema de Dido

I Sugerido na lenda da criacao da cidade de Cartago,cujas ruınas se encontram na atual Tunısia, pelaprincesa fenıcia Dido (ou Elisa, ou Elisha).

I A lenda de Dido ficou bem conhecida atraves da obraepica Eneida do poeta romano Virgılio (PubliusVergilius Maro - 70 a.C. a 19 a.C.). A lenda foianteriormente relatada pelo historiador grego Timaeusde Tauromenium (cerca de 356-260 a.C.), em suaGeografia do Mundo Ocidental, e posteriormente pelohistoriador romano Marcus Junianus Justinus (seculo IIou III d.C.) em sua obra Epıtome da Historia Filıpica dePompeius Trogus.

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Problema de Dido

I Sugerido na lenda da criacao da cidade de Cartago,cujas ruınas se encontram na atual Tunısia, pelaprincesa fenıcia Dido (ou Elisa, ou Elisha).

I A lenda de Dido ficou bem conhecida atraves da obraepica Eneida do poeta romano Virgılio (PubliusVergilius Maro - 70 a.C. a 19 a.C.). A lenda foianteriormente relatada pelo historiador grego Timaeusde Tauromenium (cerca de 356-260 a.C.), em suaGeografia do Mundo Ocidental, e posteriormente pelohistoriador romano Marcus Junianus Justinus (seculo IIou III d.C.) em sua obra Epıtome da Historia Filıpica dePompeius Trogus.

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Problema de Dido - Classico problemaisoperimetrico

Dentre todas as curvas simples fechadas de comprimento Ldeterminar aquela que engloba a maior area.

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Problema de Dido - ”Solucao”de Steiner

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”Probleminhas”...

1. Dada uma circunferencia de centro O, encontrar otriangulo com um vertice em O e os outros dois verticesna circunferencia, tal que sua area seja maxima

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2 Encontrar o quadrilatero inscrito em uma circunferenciadada cuja area seja maxima

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3 Dada uma circunferencia e dada uma corda nessacircunferencia, encontrar o triangulo inscrito nessacircunferencia que tenha area maxima e tal que a cordadada seja um de seus lados.

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4 Dada uma circunferencia e dada uma corda nessacircunferencia, encontrar o triangulo inscrito nessacircunferencia que tenha perımetro maximo e tal que acorda dada seja um de seus lados.

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4 Dada uma circunferencia e dada uma corda nessacircunferencia, encontrar o triangulo inscrito nessacircunferencia que tenha perımetro maximo e tal que acorda dada seja um de seus lados.

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5 Encontrar o quadrilatero inscrito em uma circunferenciadada cujo perımetro seja maximo

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6 Mostrar que, dentre todos os retangulos de perımetrodado aquele que tem area maxima e o quadrado.

7 Encontrar, dentre todos os quadrilateros de perımetrodado aquele que tem area maxima.

8 Encontrar, dentre todos os quadrilateros de area dadaaquele que tem perımetro mınimo.

9 Seja P um ponto do arco MN da figura abaixo. Mostrarque a soma PA + PB e maxima quando P estiver nabissetriz do angulo ∠MON.

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10 Encontrar o triangulo retangulo cuja soma dos catetos edada e que tem hipotenusa mınima

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... e Problemas

11 Na figura a seguir o raio da circunferencia e igual a 6 ea distancia PC e igual a 10. Por P traca-se uma reta rque intercepta a circunferencia em dois pontos A e B.Variando a inclinacao da retar produzimos outrospontos A e B, e consequentemente temos novostriangulos ABC. Dentre todos esses triangulos, umdeles possui a maior area. Calcular essa area.(XIII Olimpıada Regional de Matematicade Santa Catarina 2010 - Nıvel 3)

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OJ =OA√

= √ e AB = 2OJ = 6

CK =OJ

A4CAB =AB.CK

(√)(

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OJ =OA√

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CK =OJ

A4CAB =AB.CK

(√)(

10 simpósio nacional da formação do professor de matemática - resolvendo problemas ... ·...

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