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10-Estudio de la dinรกmica de una red neuronal inhibitoria
INTRODUCCIรN
El resultado abstracto sobre la dinรกmica de mapas continuos y contractivos a
trozos, puede ser aplicado a la comprensiรณn de redes dinรกmicas idealizadas
compuestas por un gran nรบmero de osciladores mutuamente acoplados, con
aplicaciรณn a la ingenierรญa o confiabilidad en las comunicaciones.
En particular, el resultado puede ser usado como un modelo matemรกtico
determinรญstico de una red idealizada compuesta por una gran cantidad de
neuronas artificiales o biolรณgicas simplificadas, cada una comportรกndose de
manera lineal u oscilando de manera no lineal, que son mutuamente acopladas
instantรกneamente por sinapsis inhibitoria.
Dicha red neuronal puede ser estudiada como la discretizaciรณn de un sistema
dinรกmico continuo a trozos, a travรฉs de la proyecciรณn del Mapa de Poincarรฉ (o
Mapa de Retorno) ๐, sobre una secciรณn transversal al flujo.
El objetivo de este trabajo es entonces estudiar el comportamiento de una red
neuronal inhibitoria y demostrar que la dinรกmica de la misma se reduce al
estudio de la dinรกmica de un mapa que es contractivo a trozos y con la
propiedad de separaciรณn.
METODOLOGรA
Se buscรณ comprender y analizar el comportamiento dinรกmico de una red
neuronal inhibitoria. Para ello, se idealizรณ el comportamiento de una neurona a
travรฉs de un modelo matemรกtico.
Una vez definido el modelo, se pasรณ al estudio de un sistema formado
รบnicamente por dos neuronas. En primer lugar, se analizรณ la evoluciรณn de dicho
sistema cuando no hay sinapsis, es decir, cuando no hay interacciรณn entre
ambas neuronas y luego se estudiรณ el caso en el cual las neuronas hacen
sinapsis inhibitoria.
Generalizamos el problema y pasamos al estudio de una red conformada por ๐
neuronas, todas interconectadas entre sรญ con sinapsis inhibitoria. En particular
se definiรณ un modelo matemรกtico para dicho sistema y las interacciones entre
los elementos que la conforman.
Probamos que el sistema que define el modelo, evoluciona en un subconjunto
compacto de ๐ ๐ y define un mapa ๐, que es continuo a trozos y uniformemente
contractivo para una mรฉtrica particular en cada una de las piezas de
continuidad; Mapa de Poincarรฉ.
Se observรณ ademรกs, que ๐ posee la โpropiedad de separaciรณnโ, es decir, piezas
de continuidad distintas poseen imรกgenes disjuntas.
Este resultado, nos lleva al estudio de un sistema dinรกmico discreto, definido
por iteraciones de mapas continuos a trozos y localmente contractivos, en un
espacio compacto de dimensiรณn finita. En particular, los sistemas que verifican
la propiedad de separaciรณn, โgenรฉricamenteโ su atractor estรก formado por una
cantidad finita de รณrbitas periรณdicas.
RESULTADOS
Definimos una neurona como un elemento, celda, o unidad ๐ cuyo estado en el
instante ๐ก โ ๐ + estรก dado por una variable ๐ฅ. Esta es la soluciรณn a la ecuaciรณn
diferencial: ๐๐ฅ/๐๐ก = ๐พ๐(๐ฅ), donde ๐พ๐: [โ๐๐๐๐, ๐๐] โ ๐ es de clase ๐ถ2, es positivo y
con derivada negativa, y representa el โpotencial de membranaโ de la neurona.
Como se puede apreciar, ๐ฅ estรก definida entre un valor mรญnimo โ๐๐๐๐ y un
umbral ๐๐ (cuyo valor, para simplificar, serรก 1) que depende de la neurona,
llamado โumbral de disparoโ. Notar que la soluciรณn de la ecuaciรณn diferencial
alcanza el valor ๐, pues ๐พ๐ es positiva. El tiempo en el cual esto ocurre, se
denomina โinstante de disparoโ y provoca que el potencial de la neurona se
โresetee a ceroโ.
Podemos pensar ๐ฅ como una variable en ๐1 (la circunferencia de radio 1) y en
el caso de tener dos neuronas que no interactรบan entre sรญ, podemos pensar su
dinรกmica como conjunto, como una sola dinรกmica en el toro ๐2. De modo que
para saber que sus dinรกmicas se sincronizan en algรบn momento, o sea, que en
algรบn momento descargan a la misma vez, alcanza con saber que ambos
perรญodos son racionales entre sรญ. Si sus perรญodos son irracionales entre sรญ, las
rotaciones tienen รณrbitas densas.
La interacciรณn entre dos neuronas biolรณgicas se llama sinapsis. Ocurre cuando
una de las neuronas, que es llamada presinaptica, alcanza su umbral y
descarga, produciendo con esta un cambio (salto en el potencial) en la otra
neurona, llamada postsinaptica.
La sinapsis puede ser de tipo excitatoria, cuando el salto que produce en la
otra neurona es positivo, o inhibitoria, cuando el salto producido es negativo.
El sistema compuesto por ambas neuronas puede a su vez ser de 3 tipos:
excitatorio, si ambas neuronas son excitatorias, inhibitorio, si ambas neuronas
son inhibitrias, o combinado, si estรก compuesto por una neurona inhibitoria y
otra excitatoria. Diremos que el sistema es no inhibitorio, si es o bien
excitatorio, o combinado.
Supongamos que la neurona โAโ es excitatoria, y cuando esta descarga, hace
que la neurona โBโ, que supondremos inhibitoria, sobrepase su umbral. En este
caso, ambas neuronas regresan al potencial 0 tras descargar. Por otro lado,
saltos negativos en la neurona A, debidos a la descarga de la neurona B,
pueden hacer que A alcance un potencial negativo. Esto puede pasar, sin
embargo el potencial de A queda acotado inferiormente por el valor โ๐๐ด.
La sinapsis entre dos neuronas en un sistema combinado, se regirรก segรบn la
funciรณn: ๐: {(๐ฅ, ๐ฆ) โ [โ๐๐ด, 1] ร [โ๐๐ต, 1]: ๐ฅ = 1 ๐ ๐ฆ = 1} โ {(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ฅ = 0 ๐ ๐ฆ = 0} , la cual
queda determinada mediante:
๐(๐ฅ, 1) = {
(โ๐๐ด, 0), ๐ ๐ ๐ฅ + ๐(๐ฅ) < โ๐๐ด(๐ฅ + ๐(๐ฅ), 0), ๐ ๐ โ ๐๐ด โค ๐ฅ + ๐(๐ฅ) < 1(0,0), ๐ ๐ ๐ฅ + ๐(๐ฅ) โฅ 1
๐(1, ๐ฆ) = {
(0,โ๐๐ต), ๐ ๐ ๐ฆ + ๐(๐ฆ) < โ๐๐ต(0, ๐ฆ + ๐(๐ฆ)), ๐ ๐ โ ๐๐ต โค ๐ฆ + ๐(๐ฆ) < 1(0,0), ๐ ๐ ๐ฆ + ๐(๐ฆ) โฅ 1
Observemos ademรกs que si ๐(1) < 0 entonces ๐(1,1) = (1 + ๐(1),0), y si ๐(1) > 0
entonces ๐(1,1) = (0,0).
Los saltos representados por las funciones ๐ y ๐, definidas en [โ๐๐ด, 1] y [โ๐๐ต, 1]
respectivamente, son de clase ๐ถ2, de signo constante distinto de cero, |๐| y |๐|
no decrecientes, y ๐ฅ + ๐(๐ฅ) e ๐ฆ + ๐(๐ฆ) son estrictamente crecientes. Pedimos
que |๐| y |๐| sean no decrecientes, ya que en las neuronas biolรณgicas, los
potenciales postsinรกpticos son menores despuรฉs de una descarga que en fases
posteriores.
La dinรกmica bineuronal estรก dada por la funciรณn: ๐(๐, ๐ก) que para cada
condiciรณn inicial ๐ en [โ๐๐ด, 1] ร [โ๐๐ต, 1] y para todo ๐ก menor o igual que 0, nos da
el estado del sistema en tiempo ๐ก. Observar tambiรฉn que esta funciรณn ๐ no
serรก continua en el conjunto {๐ฅ = 1 ๐ ๐ฆ = 1}.
Por lo anterior, el sistema bineuronal queda perfectamente determinado por 4
funciones reales (๐ข1, ๐ข2, ๐, ๐), con las propiedades mencionadas anteriormente.
El espacio de sistemas bineuronales serรก el espacio topolรณgico formado por
todas las cuรกdruplas (๐ข1, ๐ข2, ๐, ๐) con estas propiedades, con la topologรญa
producto de la topologรญa usual en ๐ถ2.
Consideramos una red neuronal de ๐ elementos, con ๐ โฅ 2 como el de la
figura 1, donde todas estรกn conectadas dos a dos bidireccionalmente por
sinapsis inhibitoria.
Figura 1:Modelo de una red neuronal inhibitoria para el caso en que ๐ = 3.
Definimos โโ๐๐ como el aporte al potencial ๐๐ que hace la neurona ๐ a la
neurona ๐, cuando la neurona ๐ dispara.
Consideraremos una neurona ๐ โ {1,2,โฆ ,๐} . El estado de la neurona ๐ en el
instante ๐ก โ ๐ + lo definimos como ๐๐(๐ก), con ๐๐(๐ก) โ ๐๐ = [โ๐๐๐๐, ๐๐].
El comportamiento de la neurona ๐ cuando no interactรบa con otras, es llamado
dinรกmica libre o Inter Spike Regime. El potencial de membrana ๐๐(๐ก) es la
soluciรณn de una ecuaciรณn diferencial autรณnoma no lineal: ๐๐ฬ (๐ก) = ๐พ๐(๐๐) donde
๐พ๐: ๐๐ โ ๐ es de clase ๐ถ2, es positivo y con derivada negativa.
Definimos a continuaciรณn ๐๐(๐ก0โ) = lim๐กโ๐ก0 ๐๐(๐ก0
โ).
Si ๐๐(๐ก0โ) โฅ ๐๐ โ ๐๐(๐ก0) = 0 , estamos ante la situaciรณn en que la neurona
โdisparรณโ.
Figura 2:Potencial de una neurona
Otra condiciรณn que se tiene que cumplir es: โ ๐๐(0) โ ๐๐ , โ ๐ก0 โถ ๐๐(๐ก0โ) = ๐๐. Esto
implica que, para cualquier condiciรณn inicial del potencial ๐๐ , la neurona ๐
siempre dispara.
Se expondrรกn a continuaciรณn las reglas de la interconexiรณn de la neurona ๐ con
las demรกs neuronas de la red; Spiking Synaptical Regime.
Definiciรณn: Definimos ๐ผ0(๐ก0) โ {1,2,โฆ ,๐} como el conjunto de las neuronas que
disparan en el instante ๐ก0.
Se tiene entonces que
๐๐(๐ก0) =
{
๐๐๐
{
โ๐๐๐ผ๐, ๐๐(๐ก0โ) โ โ โ๐๐
๐โ ๐
๐โ๐ผ(๐ก0) }
, ๐ ๐ ๐๐(๐ก0โ) < ๐๐
0, ๐ ๐ ๐๐(๐ก0โ) โฅ ๐๐
Que ๐๐(๐ก0) se anule cuando ๐๐(๐ก0โ) โฅ ๐๐ significa que el potencial se โreseteaโ.
El estado de la red neuronal se puede describir mediante una m-รบpla:
(๐1(๐ก), ๐2(๐ก), โฆ , ๐๐(๐ก)) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ (๐ก)
donde
๏ฟฝโ๏ฟฝ โ โ[โ๐๐๐๐, ๐๐)
๐
๐=1
La expresiรณn anterior es un homeomorfismo a una bola ๐ต, por lo que ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ต.
Entonces el estado de la red neuronal completa estรก descripto por ๏ฟฝโ๏ฟฝ .
Definimos el mapa contractivo ๐: ๐ต โ ๐ต con ๐ต โ ๐ ๐, ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ compacta. Notar que ๐ no
es necesariamente continuo, de hecho es continuo si y sรณlo si no hay
interacciones sinรกpticas (โ๐๐ = 0 ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐, ๐).
Definimos ๐๐0 como ๐๐0 = ๐|๐ต๐, continua y contractiva, donde ๐ฝ es un subconjunto
de neuronas y ๐ต๐ฝ es el conjunto de estados tales que en el siguiente disparo las
neuronas que disparan son exactamente las de J. Esto define un mapa
contractivo a trozos.
A partir de lo anterior, definimos la รณrbita de ๐ฅ, con ๐ฅ โ ๐ต.
๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ) = ๐ โ ๐ โ โฆ โ ๐(๐ฅ), โ ๐ฅ โ ๐ต
{๐๐(๐ฅ)}๐โฅ0 es la รณrbita discreta de ๐ฅ.
Se presenta a continuaciรณn una representaciรณn del mapa de retorno.
Ilustraciรณn 3: Mapa de Poincarรฉ
En lugar de estudiar la รณrbita {๐๐(๐ฅ)}๐โฅ0 , estudiamos los cortes de esta con una
secciรณn, es decir, estudio la dinรกmica del mapa de retorno. Se tiene como
resultado una sucesiรณn de puntos en la secciรณn que si es periรณdica, la รณrbita
tambiรฉn es periรณdica. En esta secciรณn se encuentran los iterados de ๐, es decir,
๐(๐ฅ), ๐2(๐ฅ), ๐3(๐ฅ),โฆ, de modo que tiene una dimensiรณn menos que el espacio,
ya que el รบltimo iterado coincide con ๐ฅ (es un mapa de retorno).
En el mapa contractivo, los puntos de discontinuidad actรบan como si tuvieran
una dilataciรณn infinita, es decir, dos puntos que se acercan, pero estรกn en
secciones distintas cumplen que:
lim๐ฅโ๐ฆ
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ, ๐ฆ)= โ
Una de las herramientas que se utilizaron para lograr demostrar que los mapas
son contractivos, fue la Fรณrmula de Liouville.
๐๐๐๐ก(๐๐)
๐๐๐= ๐๐ฅ๐โซ ๐พโฒ(๐๐
๐ก(๐๐))๐๐ ๐ก
0
El instante en el cual la neurona ๐ dispara, estรก dado por: ๐ก = ๐ก๐(๐) โ ๐๐๐ก(๐) = 1.
Es decir, ๐ก๐(๐๐) es la funciรณn implรญcita ๐๐๐ก(๐๐) = 1.
De todas aquellas neuronas que disparan, nos interesรณ el instante en el cual
dispara la primera. Definimos ๐กฬ como el mรญnimo de los ๐ก๐(๐๐):
๐กฬ (๐) = min1โค๐โค๐ ๐ก๐(๐๐).
Posteriormente, definimos ๐ฝ(๐) como el conjunto de las neuronas que disparan
en dicho instante ๐กฬ (๐), como: ๐ฝ(๐) = {๐ โ {1,โฆ ,๐}: ๐ก๐(๐๐) = ๐กฬ (๐)} โ 0.
๐ฝ(๐) tiene medida de Lebegg nula, es decir, por probabilidad 1 dispara una sola
neurona.
Mientras no dispara ninguna neurona, es decir, ๐ฝ(๐) = {โ } el potencial de cada
una de las neuronas responde a la ecuaciรณn diferencial correspondiente a la
dinรกmica libre. En caso de que alguna neurona dispare, la funciรณn a aplicar
sobre el potencial de las neuronas estรก dada por:
๐:๐๐กฬ (๐)(๐) โ {๐ โ [โ1,1]๐: โ ๐ ๐๐โ = 1} โ ๐(๐๐กฬ (๐)) โ {๐ โ [โ1,1]๐: โ ๐ โ ๐๐ = 1}
definida por
๐(๐1,๐2, โฆ ,๐๐) = (๐1, ๐2, โฆ , ๐๐)
Donde ๐๐ = 0 si ๐๐ = 1, o sea si ๐ โ ๐ฝ(๐). Se tiene entonces que ๐๐๐
๐ก
๐๐ก= ๐พ๐(๐๐
๐ก) si
โ1 โค ๐๐๐ก โค 1 . Mientras ๐๐
๐ก estรฉ entre [โ1,1] vale la ecuaciรณn diferencial, y si
alguna llega a 1, aplicamos ๐.
๐๐ = max{โ1,๐๐ โ โ โ๐๐๐โ๐ฝ(๐)
}
Si ๐๐ < 1, o sea, ๐ โ ๐ฝ(๐), ๐๐ = ๐๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)
(๐๐) < 1.
Se distinguen dos casos. El primero de ellos es aquel en el que ๐ฝ(๐) = {๐}. Si
ocurre esto, entonces se tiene que
๐ (๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)(๐)) = (๐1, ๐2, โฆ , ๐๐)
Donde ๐๐ = 0 si {๐} = ๐ฝ(๐), y ๐๐ = max {โ1,๐๐ โ โ๐๐}, con ๐ โ ๐.
El segundo caso es aquel en el que ๐ฝ(๐) = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐}. Se tiene entonces que
๐(๐๐กฬ (๐)(๐)) esta multivariada. Cada una la defino como si fuera la โganadoraโ,
como es lo que en realidad pasa, sรณlo una dispara.
Esto nos da continuidad a trozos en los conjuntos de todos los posibles estados
en que gana la neurona ๐.
Una vez que aplico ๐, considero el vector ๐๐กฬ (๐)(๐) como condiciรณn inicial del
sistema ๐๐๐
๐ก
๐๐ก= ๐พ๐(๐๐
๐ก). Busco ๐๐กโ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)(๐), con ๐ = ๐ (๐๐กฬ (๐)(๐)). Para ello resuelvo
๐๐ก(๐).
Definimos la secciรณn de Poincarรฉ como ๐ต = {๐ โ [โ1,1]๐ โถ โ ๐ ๐๐โ = 0}.
Si definimos ๐ต๐ , como ๐ต๐ = {๐ โ [โ1,1]๐ โถ ๐๐ = 0} , tenemos entonces que
๐ต = โ ๐ต๐๐๐=1 .
Figura 4: Secciรณn de Poincarรฉ
De esta forma ๐ต1, por ejemplo, es el โpedazoโ de la secciรณn de Poincarรฉ de
manera que si la condiciรณn inicial ๐ estรก en ๐ต1, entonces dispara la neurona 1.
La ventaja de la particiรณn, es que se obtienen funciones continuas en
compactos, por lo que podemos usar toda la artillerรญa relacionada.
El objetivo ahora, es probar que el mapa de Poincarรฉ es contractivo a trozos.
Por lo tanto debemos probar que cada ๐๐ es contractiva.
Otra herramienta que se utilizรณ para lograr el objetivo de este trabajo, fue el
โTeorema del Flujo Tubularโ.
Consideremos la ecuaciรณn diferencial: ๐๐๐
๐ก
๐๐ก= ๐พ๐(๐๐
๐ก) con ๐พ๐: ๐ ๐ โ ๐ ๐ de clase ๐ถ1.
Sea ๐ un abierto de ๐ ๐ tal que ๐พ no tiene ceros en ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ. Entonces:
โ un difeomorfismo ๐: ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ โ ฮพ(๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) de modo que ๐๐(๐๐ก)
๐๐ก= ๐ ๐๐ก๐.
Figura 5: Teorema โFlujo Tubularโ
En definitiva, se trata de un cambio de variable.
Aplicamos ese cambio de variable a nuestra ecuaciรณn diferencial, es decir a
todo el โcuboโ. Esto provoca que el cubo se deforme, pero las รณrbitas pasan a
ser rectas paralelas. Miro ahora el plano ortogonal al flujo: โPlano proyecciรณnโ.
Es sobre ese hiperplano que obtendremos la contractividad.
Figura 6: โPlano proyecciรณnโ ortogonal al flujo โplanchadoโ
Teorema: Existe una mรฉtrica en ๐ต tal que ๐๐: ๐ต+ โ ๐ต+ es contractivo โ ๐ =
1,โฆ ,๐.
Donde:
๐ต = ๐ต โฉ ๐(๐ต)
๐ต๐ = ๐ต๐ โฉ ๐(๐ต)
๐:๐ต โ ๐ต+๐โ๐ต+
๐โ๐ต+โฆ
El teorema es vรกlido luego de aplicar al menos 1 vez el mapa.
Todas las propiedades dinรกmicas de mapas contractivos a trozos en espacios
mรฉtricos completos, valen para el mapa de Poincarรฉ de la red inhibitoria.
Teorema: Sea ๐ต un espacio mรฉtrico completo, ๐ un mapa contractivo a trozos
en ๐ต , entonces โgenรฉricamenteโ el atractor estรก formado por una cantidad
finita de รณrbitas periรณdicas.
La velocidad del flujo luego de aplicar el cambio de variable โque planchaโ,
queda: ๐๐๐๐ก(๐)
๐๐ก= ๐ ๐๐ก๐ . Para probar que el mapa es contractivo, definiremos
previamente una mรฉtrica.
Sea ๐ la proyecciรณn sobre el hiperplano ortogonal al flujo โplanchadoโ,
entonces:
๐๐๐ ๐ก(๐, ๐ + ๐๐) = โ๐. ๐๐. ๐๐โ
A partir de lo anterior es que definimos:
๐๐๐ ๐ก(๐, ๐) = โซ โ๐. ๐๐. (๐ โ ๐)โ๐๐ 1
0
๐ + ๐ (๐ โ ๐)
Veamos que con esta mรฉtrica los mapas son contractivos.
Demostraciรณn: Sean ๐,๐ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ ๐ โ ๐ฝ(๐), ๐ โ ๐ฝ(๐). Entonces:
๐๐๐ ๐ก(๐๐(๐), ๐๐(๐)) = โซ โ๐. ๐๐. (๐๐(๐) โ ๐๐(๐))โ๐๐ 1
0
๐๐(๐) + ๐ (๐๐(๐) โ ๐๐(๐))
Posteriormente, vimos quรฉ valor toma cada componente (๐๐(๐) โ ๐๐(๐)):
(๐๐(๐) โ ๐๐(๐))๐ = ๐๐๐ก๐(๐)(๐๐) โ ๐๐
๐ก๐(๐)(๐) = ๐ท๐๐๐๐ก๐(๐)(๐). (๐ โ ๐) + ๐ ๐๐ ๐ก๐
Tomamos como vรกlido que ๐ ๐๐ ๐ก๐ โ 0
Hallamos a continuaciรณn la matriz ๐ท๐. Para ello es necesario calcular:
๐๐๐๐ก๐(๐)
๐๐๐= (
๐๐๐๐ก๐(๐)
๐๐๐|
๐ก=๐ก๐(๐)
)+ (๐๐๐
๐ก๐(๐)
๐๐ก|
๐ก=๐ก๐(๐)
) . (๐๐ก๐(๐)
๐๐๐)
Ahora, si ๐ โ ๐ โ๐๐
๐
๐ก๐(๐)
๐๐๐= 0
Posteriormente usando la fรณrmula de Liouville para el caso en que ๐ = ๐, se
llegรณ a que:
๐๐๐๐ก๐(๐)
๐๐๐โค ๐ < 1
Observamos, luego:
๐. ๐๐ (๐๐๐
๐ก๐(๐)(๐)
๐๐๐) = ๐ (
โค ๐ 0โฑ
0 โค ๐) + ๐๐๐ (
๐๐๐๐ก(๐)
๐๐ก|๐ก=๐ก๐
๐๐๐๐ก๐(๐)
๐๐๐)
Como:
๐๐๐๐ก(๐)
๐๐ก= ๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ก(๐)
๐๐ก= 0
De esta forma:
๐๐๐(๐๐(๐) โ ๐๐(๐)) = ๐๐๐ (โค ๐ 0
โฑ0 โค ๐
) . (๐ โ ๐) + ๐๐๐. (๐ ๐๐ ๐ก๐)
Tomando norma:
โ๐๐๐(๐๐(๐) โ ๐๐(๐))โ = ๐โ๐๐๐. (๐ โ ๐)โ + โ๐๐๐. (๐ ๐๐ ๐ก๐)โ
Recordando la mรฉtrica que estamos utilizando y despreciando el ๐ ๐๐ ๐ก๐,
llegamos a que:
๐๐๐ ๐ก(๐๐(๐), ๐๐(๐)) โค ๐.โซ โฮ ๐๐. (๐ โ ๐)โ1
0
= ๐. ๐๐๐ ๐ก(๐,๐)
โ
CONCLUSIONES
Se estudiรณ de forma rigurosa una red conformada por unidades dinรกmicas
acopladas entre sรญ, llamadas neuronas. Se observรณ que el comportamiento de
esta red se reduce al estudio de mapas continuos a trozos.
Podemos concluir que con la mรฉtrica definida, dichos mapas definidos en cada
una de las piezas de continuidad son localmente contractivos. Por lo cual
โgenรฉricamenteโ el atractor estรก formado por una cantidad finita de รณrbitas
periรณdicas.
AGRADECIMIENTOS
A LโOreal-Unesco-Dinacyt por la financiaciรณn del proyeto: โNeurodinรกmicaโ a
travรฉs del Premio LโOrealโUnesco-Dinacyt 2014 de Uruguay.
BIBLIOGRAFรA
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E. Catsรญgeras, (2011). โTopological Dynamics of Generic Picewise Contractive
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