10 · debemos demostrar que existe un entero n, tal que para toda n n>n = ik-kl

10.1 Sucesiones

ENSAYO HISTÓRICO

Sucesiones y series

'1il

532

10SUCESIONES y SERIESINFINITAS

INTRODUCCIÓN Todos sabemos cómo sumar dos números, o incluso varios. Pero, ¿cómo su-mar una cantidad infinita de números? En este capítulo responderemos tal pregunta, que esparte de la teoría de sucesiones y series infinitas.

Una aplicación de esta teoría es un método para representar una función derivable conocida¡(x) como una suma infinita de potencias de x, de manera que se vea como un "polinomio conun número infinito de términos". Además, el método amplía nuestro conocimiento de cómoevaluar, derivar e integrar polinomios, de forma que es posible trabajar con funciones más ge-nerales que las que nos hemos encontrado hasta ahora. Con frecuencia, las nuevas funcionesson soluciones de problemas importantes en la ciencia y la ingeniería.

Las sucesiones son fundamentales en el estudio de series infinitas y en muchas aplicaciones dematemáticas. Vimos un ejemplo de una sucesión cuando estudiamos el método de Newton enla sección 4.6. Allí produjimos una sucesión de aproximaciones x" que es cada vez más cercanaa la raíz de una función derivable. Ahora analizaremos sucesiones generales de números y lascondiciones en las cuales convergen.

Representación de sucesiones

Una sucesión es una lista de números

en un orden dado. Cada al, az. a3, etcétera, representa un número. Éstos son los términos de lasucesión. Por ejemplo, la sucesión

2,4,6,8, 10, 12, ... , 2n, ...

tiene primer término al = 2, segundo término a2 = 4 Yn-ésimo término an = 2n. El entero nse denomina índice de a" e indica en dónde aparece a" en la lista. El orden es importante.La sucesión 2, 4, 6, 8, ... no es la misma que la sucesión 4, 2, 6, 8, ...

Podemos considerar a la sucesión

como una función que envía ella al, 2 a ai, 3 a a3 Y en general envía el entero positivo n aln-ésimo término a". Con mayor precisión, una sucesión infinita de números es una funcióncuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.

La función asociada a la sucesión

2,4,6,8, 10, 12, ... , 2n, ...

envía 1 a al = 2,2 a a2 = 4 y así sucesivamente. El comportamiento general de dicha sucesiónse describe por medio de la fórmula a" = 2n.

10.1 Sucesiones

E NSAYO HI STÓRlCO

Sucesiones y series

532

10 SUCESIONES y SERIES

INFINITAS

INTRODUCCIÓN Todos sabemos cómo sumar dos números, o incluso varios. Pero, ¿cómo sumar una cantidad infinita de números? En este capítulo responderemos tal pregunta, que es parte de la teoría de sucesiones y series infinitas.

Una aplicación de esta teoría es un método para representar una función derivable conocida ¡(x) como una suma infinita de potencias de x, de manera que se vea como un "polinomio con un número infinito de términos". Además, el método amplía nuestro conocimiento de cómo evaluar, derivar e integrar polinomios, de forma que es posible trabajar con funciones más generales que las que nos hemos encontrado hasta ahora. Con frecuencia, las nuevas funciones son soluciones de problemas importantes en la ciencia y la ingeniería.

Las sucesiones son fundamentales en el estudio de series infinitas y en muchas aplicaciones de matemáticas. Vimos un ejemplo de una sucesión cuando estudiamos el método de Newton en la sección 4.6. Allí produjimos una sucesión de aproximaciones x" que es cada vez más cercana a la raíz de una función derivable. Ahora analizaremos sucesiones generales de números y las condiciones en las cuales convergen.

Representación de sucesiones

Una sucesión es una lista de números

en un orden dado. Cada al , a2, a3, etcétera, representa un número. Éstos son los términos de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión

2, 4,6,8, 10, 12, . .. , 2n, .. .

tiene primer término al = 2, segundo término a2 = 4 Y n-ésimo término a" = 2n. El entero n se denomina índice de a ll e indica en dónde aparece an en la lista. El orden es importante. La sucesión 2, 4, 6, 8, . . . no es la misma que la sucesión 4, 2, 6, 8, ...

Podemos considerar a la sucesión

como una función que envía ella al , 2 a a2, 3 a a3 Y en general envía el entero positivo n al n-ésimo término ano Con mayor precisión, una sucesión infinita de números es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.

La función asociada a la sucesión

2, 4,6,8, 10, 12, ... ,2n, ...

envía 1 a al = 2,2 a a2 = 4 y así sucesivamente. El comportamiento general de dicha sucesión se describe por medio de la fórmula an = 2n.

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10.1 Sucesiones 533

Igualmente podemos hacer que el dominio sean los enteros mayores que un número dadono y también permitimos las sucesiones de este tipo. Por ejemplo, la sucesión

12,14,16,18,20,22 ...

se describe por medio de la fórmula an = 10 + 2n. También puede hacerse por medio de lasimple fórmula b; = 2n, donde el Índice inicia en 6 y aumenta. Para tener fórmulas más sen-cillas, permitimos que el Índice de la sucesión inicie en cualquier entero. En la sucesión ante-rior, {an} inicia con al mientras que {bn} inicia con b6.

Las sucesiones pueden describirse anotando las reglas que especifican sus elementos, talcomo

a; = Vn, b = (_l)n+lln n' n - 1 d; = (_1)"+1,en = -n-'

o bien, al listar sus términos,

{al1} {VI, V2, V3, , Vn, ... }

{bn} { 1, -~, t, - ±, , (_l)n+1 *, ... }{en} {O,~,~,~,~, , n ~ l, ... }

{dn} {I, -1,1, -1, 1, -1, ... , (_l)n+l, ... }.

En ocasiones, también escribimos

La figura 10.1muestra dos formas de representar de manera gráfica las sucesiones. Laprimera coloca los primeros puntos, al, az, a3, ... , a., ... en el eje real. El segundo métodopresenta la gráfica de la función que define a la sucesión. La función sólo está definida paraentradas enteras, mientras la gráfica consiste en puntos en el plano xy, ubicados en (1, al),(2, a2), ... , (n, a,,), ....

an

3a, a2 a3 a4 as

2• 3> • • ~O 1 2 1

a,1=VnO

a"a3 a2 a, j~~ •O 1

1a =-n n

a"a2 a4 as a3 a, J-----ll • ~. •O 1

a = C-l)"+I.!" n

2 3 4 S

T ) n

FIGURA 10.1 Las sucesiones pueden representarse como puntos en una rectareal o como puntos en el plano, donde el eje horizontal n es el número Índicedel término y el eje vertical a" es su valor.

Convergencia y divergenciaEn ocasiones, los números en una sucesión se aproximan a un solo valor conforme el Índice ncrece. Lo anterior sucede en la sucesión cuyos términos se aproximan a O cuando n se hacegrande, y en la sucesión


cuyos términos se aproximan a 1. Por otra parte, sucesiones como

534 Capítulo 10: Sucesiones y series infinitas

oL-E L L+E.• • ·----+...•·1· )

a2 a3 al aN al/

Gil

f----------------;;L + E

L -----------~~)-~-r---.f-----------''-------'L - E

-+~_L_L_ __ -L-i~ ~n2 3 No n

FIGURA10.2 En la representación de unasucesión como puntos en el plano, all -> Lsi y = L es una asíntota horizontal de lasucesión de puntos {en, Gil)}. En esta figura,todas las a,,, después de aN, están a menosde E de L.

BIOGRAFÍA HISTÓRICA

Nicole Oresme(ca.1320-1382)

cuyos términos se aproximan a l. Por otra parte, sucesiones como

{VI, V2, V3, ... , Vn,... }tienen términos que se hacen más grandes que cualquier número cuando n aumenta, en tantosucesiones como

{1, -1, 1, -1,1, -1, ... , (_1),,+I, ... }

saltan de 1a -1, nunca convergen en un solo valor. La siguiente definición capta el significadode tener una sucesión que converge a un valor límite. Indica que si avanzamos en la sucesión,tomando el índice n mayor que algún valor N, la diferencia entre a" y el límite de la sucesión sehace menor que cualquier número preestablecido E > O.

DEFINICIONES La sucesión {a,,} converge al número L, si para todo númeropositivo E existe un entero N tal que para toda n

n>N = la" - LI < E.

Si no existe tal número L, decimos que {a,,} diverge.Si {an} converge a L, escribimos límn-->ooan = L, o simplemente a.; ~ L, Y lla-

mamos aL el límite de la sucesión (figura 10.2).

La definición es muy similar a la definición del límite de una función f(x) cuando x tien-de a 00 (límx-->oof(x), en la sección 2.6). Explotaremos tal relación para calcular límites desucesiones.

EJEMPLO 1 Demuestre que

(a) lím * = O (b) lím k = kn~OO n~OO

(k cualquier constante)

Solución

(a) Sea E> Odado. Debemos demostrar que existe un entero N, tal que para toda n

n>N =Dicha implicación se cumple si Cl/n) < E o n > l/E. Si N es cualquier entero mayor que1/E, la implicación se cumplirá para toda n > N. Esto demuestra que límn-->oo(1/n) = O.

(b) Sea E > Odado. Debemos demostrar que existe un entero N, tal que para toda n

n>N Ik-kl<E.=Como k - k = O,es posible utilizar cualquier entero positivo para N y la implicación secumplirá. Esto demuestra que límn-->ook = k para cualquier constante k. •

EJEMPLO 2 Demuestre que la sucesión {l, -1, 1, -1, 1, -1, ... , (_1)n+l, ... } diverge.

Solución Suponga que la sucesión converge a algún número L. Si elegimos E = 1/2 en ladefinición de límite, todos los términos a; de la sucesión con índice n mayor que algún Ndeben estar a no más de E = 1/2 de L. Como el número 1 aparece en forma repetida comoun elemento de la sucesión, debemos considerar que el número 1 está a menos de E = 1/2de distancia de L. Se sigue que IL - l1 < 1/2 o, de manera equivalente, 1/2 < L < 3/2.


L - E L L+E

---'----.-~---------+ .... -1- ) O a2 a3 a l aN a"

a"

t-------------.L + E

L -----------~~)- ~ - r ---. f----------'"-------'L - E

O 2 3 N n

FIGURA 10.2 En la representación de una

sucesión como puntos en el plano, a" - L si y = L es una asíntota horizontal de la sucesión de puntos {(n, a,,)} . En esta figura, todas las a,,, después de aN, están a menos de E de L.

BIOGRAFíA HISTÓRICA

Nicole Oresme

(ca. 1320- 1382)

cuyos términos se aproximan a 1. Por otra parte, sucesiones como

cuyos términos se aproximan a l . Por otra parte, sucesiones como

{VI, \12, \13, ... , Vn, ... } tienen términos que se hacen más grandes que cualquier número cuando n aumenta, en tanto sucesiones como

{I, - 1, 1, -1 , 1, -1 , ... , ( _ I)"+I, ... }

saltan de 1 a - 1, nunca convergen en un solo valor. La siguiente definición capta el significado de tener una sucesión que converge a un valor límite. Indica que si avanzamos en la sucesión, tomando el Índice n mayor que algún valor N, la diferencia entre an y el límite de la sucesión se hace menor que cualquier número preestablecido E > O .

DEFINICIONES La sucesión {a,,} converge al número L, si para todo número positivo E existe un entero N tal que para toda n

n > N = la" - LI < E.

Si no existe tal número L, decimos que {an } diverge. Si {an } converge a L , escribimos límn->oo a" = L, o simplemente an ~ L, Y lla

mamos aL el límite de la sucesión (figura 10.2).

La definición es muy similar a la definición del límite de una función f(x) cuando x tiende a (Xl (límx->oo f(x) , en la sección 2.6). Explotaremos tal relación para calcular límites de sucesiones.


(a) lím * = O (b) lím k = k n~OO n--+ OO

(k cualquier constante)

Solución

(a) Sea E> O dado. Debemos demostrar que existe un entero N, tal que para toda n

n >N = Dicha implicación se cumple si O/n) < E o n > l / E. Si N es cualquier entero mayor que l / E, la implicación se cumplirá para toda n > N. Esto demuestra que límn->oo ( l / n) = O.

(b) Sea E > O dado. Debemos demostrar que existe un entero N, tal que para toda n

n >N = Ik -kl< E.

Como k - k = O, es posible utilizar cualquier entero positivo para N y la implicación se cumplirá. Esto demuestra que límn->oo k = k para cualquier constante k. •

EJEMPLO 2 Demuestre que la sucesión {l , -1 , 1, -1 , 1, - 1, .. . , (_1)n+l , ... } diverge.

Solución Suponga que la sucesión converge a algún número L. Si elegimos E = 1/ 2 en la definición de límite, todos los términos an de la sucesión con Índice n mayor que algún N deben estar a no más de E = 1/2 de L. Como el número 1 aparece en forma repetida como un elemento de la sucesión, debemos considerar que el número 1 está a menos de E = 1/2 de distancia de L. Se sigue que IL - 11 < 1/2 o, de manera equivalente, 1/2 < L < 3/2.


..

10.1 Sucesiones 535

De la misma forma, el número -1 aparece de manera repetida en la sucesión con índice ar-bitrariamente grande. Así que también debemos tener que IL - (-1)1 < 1/2 o, de maneraequivalente, -3/2 < L < -1/2. Pero el número L no puede estar en ambos interva-los (1/2, 3/2) Y (- 3/2, - 1/2), ya que no se intersecan. Por lo tanto, no existe el límite L yla sucesión diverge.

Observe que el mismo argumento funciona para cualquier número positivo E menor que 1,no sólo 1/2. •

La sucesión {Vn} también diverge, pero por una razón diferente. Cuando n aumenta, sustérminos se hacen mayores que cualquier número fijo. Describimos el comportamiento de estasucesión escribiendo

lím Vn = oo.n~OO

Al escribir infinito como el límite de una sucesión, no decimos que la diferencia entre los tér-minos all e CI) se haga más pequeña cuando n aumenta. Ni aseguramos que existe algún númeroinfinito al que la sucesión se aproxime. Sólo utilizamos una notación que refleja la idea de quetarde o temprano a; se hace y permanece mayor que cualquier número fijo cuando n aumenta(véase la figura 10.3a). Los términos de una sucesión también pueden decrecer hacia menos in-finito, como en la figura 10.3b.

DEFINICIÓN La sucesión {an} diverge a infinito si para todo número M existe unentero N, tal que para todo n, a.; > M. Si se cumple la condición, escribimos

Mf--------''------'...

lím a; = 00n--->OO

o all-OO.

.. ..,.-+--'--'---'---------'--_11O 123 N

(a)

all

.-+..u..::"'-- __ ---'- 11O 123. N

De manera análoga, si para todo número m existe un entero N, tal que para todon > N, tenemos an < m, entonces decimos que {all} diverge a menos infinito yescribimos

lím an = -00n--->OO

o an- -oo.

m f------"-----

(b)

FIGURA 10.3 a) La sucesión diverge a 00

porque, sin importar qué número M se elija,los términos de la sucesión, a partir de algúnÍndice N, están en la banda sombreada porarriba de M. (b) La sucesión diverge a -00,

pues todos los términos después de algúnÍndice N están por debajo de cualquiernúmero elegido m.

Una sucesión puede divergir sin que dicha divergencia sea a infinito o a menos infinito,como vimos en el ejemplo 2. Las sucesiones {l, -2,3, -4,5, -6,7, -8, ...}y {l, 0, 2, 0,3, 0, ... } son ejemplos de tales divergencias.

CáLcuLo de Limites de sucesionesComo las sucesiones son funciones con dominio restringido a los enteros positivos, no es de-masiado sorprendente que los teoremas acerca de límites de funciones estudiados en el capí-tulo 2 tengan su versión para sucesiones.

TEOREMA 1 Sean {an} y {bn} sucesiones de números reales, y sean A y B númerosreales. Las siguientes reglas se cumplen si lím, ....•oo an = A Y lím,....•oo b; = B.

1. Regla de la suma:

2. Regla de la diferencia:

lím,....•oo(an + bn) = A + B

lím,....•oo(an - bn) = A - B

3. Regla del múltiplo constante: lím, ....•oo(k· bll) = k· B (cualquier número k)

4. Regla del producto:

, a.; Alím,....•oo -b = B

11

5. Regla del cociente: siB =1= °

La demostración es semejante a la del teorema 1 de la sección 2.2, por lo que se omite.

M

. .. . . , -+--'-'--'-----------"--_11 O 123 N

(a)

all

. • -+..Ll-"----'----~11

O 12 3 . N

111 1-----.... -----,

(b)

FIGURA 10.3 a) La sucesión diverge a 00

porque, sin importar qué número M se elija, los términos de la sucesión, a partir de algún Índice N, están en la banda sombreada por arriba de M. (b) La sucesión diverge a -00,

pues todos los términos después de algún Índice N están por debajo de cualquier número elegido 111.

10.1 Sucesiones 535

De la misma forma, el número - 1 aparece de manera repetida en la sucesión con índice arbitrariamente grande. Así que también debemos tener que IL - (-1)1 < 1/ 2 o, de manera equivalente, - 3/ 2 < L < - 1/ 2. Pero el número L no puede estar en ambos intervalos (1 / 2, 3/ 2) Y (-3 / 2, - 1/ 2), ya que no se intersecan. Por lo tanto, no existe el límite L y la sucesión diverge.

Observe que el mismo argumento funciona para cualquier número positivo E menor que 1, no sólo 1/ 2. •

La sucesión {Vn} también diverge, pero por una razón diferente. Cuando n aumenta, sus términos se hacen mayores que cualquier número fijo. Describimos el comportamiento de esta sucesión escribiendo

lím Vn = oo. n~OO

Al escribir infinito como el límite de una sucesión, no decimos que la diferencia entre los términos a ll e ro se haga más pequeña cuando n aumenta. Ni aseguramos que existe algún número infinito al que la sucesión se aproxime. Sólo utilizamos una notación que refleja la idea de que tarde o temprano a" se hace y permanece mayor que cualquier número fijo cuando n aumenta (véase la figura 1 0.3a). Los términos de una sucesión también pueden decrecer hacia menos infinito, como en la figura 10.3b.

DEFINICIÓN La sucesión {a,,} diverge a infinito si para todo número M existe un entero N, tal que para todo n, an > M. Si se cumple la condición, escribimos

lím a" = 00 n----ioOO

o

De manera análoga, si para todo número m existe un entero N, tal que para todo n > N, tenemos an < m, entonces decimos que {a,,} diverge a menos infinito y escribimos

lím an = - 00 n--> OO

o an~ - oo .

Una sucesión puede divergir sin que dicha divergencia sea a infinito o a menos infinito, como vimos en el ejemplo 2. Las sucesiones {1 , -2,3, -4,5, -6,7, -8, ... } y {l , 0, 2, 0, 3, 0, ... } son ejemplos de tales divergencias.

CáLcuLo de Limites de sucesiones

Como las sucesiones son funciones con dominio restringido a los enteros positivos, no es demasiado sorprendente que los teoremas acerca de límites de funciones estudiados en el capítulo 2 tengan su versión para sucesiones.

TEOREMA 1 Sean {an} y {bn} sucesiones de números reales, y sean A y S números reales. Las siguientes reglas se cumplen si lírnn-->oo an = A Y límn-->oo bn = S .



limn-->oo (an + bn) = A + S

límn-->oo(an - bn) = A - S

3. Regla del múltiplo constante: límn-->oo (k . bn ) = k· S (cualquier número k)

4. Regla del producto:

, an A hmn-->oo -b = B

" 5. Regla del cociente: siS =1= °

La demostración es semejante a la del teorema 1 de la sección 2.2, por lo que se omite.


536 CapítuLo 10: Sucesiones y series infinitas

fl1·.L - _..!.:..: :'~ •...:.!. ~ ~ ~:...:--· ..... ..:: ..b,~ •••••••·..0,7

-+----------------~nO

FIGURA 10.4 Los términos de la sucesión

{bll} están encerrados entre los de {all}y {CII}, lo que los lleva al mismo límitecomún L.

EJEMPLO 3 Si combinamos el teorema 1 con los límites del ejemplo 1, tendremos

(a) lím (_1) = -1· lím 1 = -1 . O = O1'1-')000 n n~OO n

lím (n ~ 1) = lím (1 - *) = lím 1n----+OO n~OO n----+OO

lím ~ = 5· lím 1. lím 1= 5· O. O = On~OO n2 n---+OO n n----+OO n Regla del producto

Regla del múltiplo constante y el ejemplo la

(b) líml=1-0=1n-"'OO n

Regla de la diferen-cia y el ejemplo la

(e)

0-71 + O

-7. Reglas de la suma y el cociente •

Sea cuidadoso al aplicar el teorema 1. Por ejemplo, no dice que cada una de las sucesiones{an} y {bn} tiene límite si su suma {an + bn} tiene un límite. Por ejemplo, {an} = {1, 2, 3, ... }y {bn} = {-1, - 2, - 3, ... } ambas divergen, pero su suma {an + bn} = {O,O, O, ... } clara-mente converge a O.

Una consecuencia del teorema 1 es que todo múltiplo diferente de cero de una sucesión di-vergente, {an}, diverge. Suponga lo contrario, es decir, que {ca,,} converge para algún númeroC =1=-O. Entonces, si tomamos k = l/c, en la regla de la multiplicación por una constante en elteorema 1, veremos que la sucesión

converge. Por lo tanto, {can} no puede converger, a menos que {an} también converja. Si {all}no converge, entonces {can} no converge.

El siguiente teorema es la versión para sucesiones del teorema de la compresión de la sec-ción 2.2. En el ejercicio 109se le pide que demuestre el teorema. (Véase la figura lOA).

TEOREMA 2: ELteorema de La compresión para sucesiones Sean {all}, {bn} Y{cn} sucesiones de números reales. Si a; :s; bll :s; e; se cumple para toda nmayor que algún índice N y si límn--->ooa; = límll--->ooe; = L, entonces tambiénlímn--->oob; = L.

Una consecuencia inmediata del teorema 2 es que si Ibnl :s; c.; y Cn ---+ O,entonces b; ---+ O,ya que -Cn :s; bn :s; c.; Utilizamos este hecho en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4 Como 11n ---+ O, sabemos que

(a) cos n ---+ On

_1 <: cosn <: l.n-n - n>ya que

1(b) 2"---+0

(e) (_1)nl---+on

ya que 0<:-.1<:1-- 2" - n>

•ya que

La aplicación de los teoremas 1 y 2 se amplió por medio de un teorema que establece queal usar funciones continuas para una sucesión convergente se produce una sucesión conver-gente. Establecemos el teorema, dejando su demostración como un ejercicio (ejercicio 110).

TEOREMA 3: ELteorema de La función continua para sucesiones Sea {an} unasucesión de números reales. Si an ---+ L Ysi f es una función continua en L, así comodefinida para toda an, entonces f(an) ---+ f(L).


f u · . L - _..! .:..::. ~ . ...:.!. ~ ~ ~:...:- -· ..... .. :: .. b,~ ••••••• · .. 0,7

-t------------------+ n O

FIGURA 10.4 Los términos de la sucesión

{b,,} están encerrados entre los de {a,,} y {e/J, lo que los lleva al mismo límite

común L.

EJEMPLO 3 Si combinamos el teorema 1 con los límites del ejemplo 1, tendremos

(a) lím (_1) = - l· lím 1 = -1 . O = O n----+(X) n n---+OO n

Regla del múltiplo constante y el ejemplo la

lím (n ~ 1) = lím (1 -*) = lím 1 n---+OO n---+OO n ---+ OO

(h) Iím * = 1 - O = 1 n->OO

Regla de la diferencia y el ejemplo la

(e) lím ~ = 5· lím 1. lím 1 = 5· O . O = O n---+OO n2 n --+OO n n---+OO n

Regla del producto

, 4 - 7n6 ,(4/ n6) - 7

(d) hm = hm - ---n->OO n6 + 3 n ->OO 1 + (3 / n6)

0 - 7 1 + O

-7. Reglas de la suma y el cociente •

Sea cuidadoso al aplicar el teorema l . Por ejemplo, no dice que cada una de las sucesiones {a ll } Y {bn } tiene límite si su suma {a ll + bn } tiene un límite. Por ejemplo, {an } = {1, 2, 3, ... } y {bll } = {-1, -2, -3, ... } ambas divergen, pero su suma {a ll + bn } = {O, O, O, ... } claramente converge a O.

Una consecuencia del teorema 1 es que todo múltiplo diferente de cero de una sucesión divergente, {a ll }, diverge. Suponga lo contrario, es decir, que {ea,,} converge para algún número e*- O. Entonces, si tomamos k = l / e, en la regla de la multiplicación por una constante en el teorema 1, veremos que la sucesión

converge. Por lo tanto, {ean } no puede converger, a menos que {an } también converja. Si {an}

no converge, entonces {can} no converge. El siguiente teorema es la versión para sucesiones del teorema de la compresión de la sec

ción 2.2. En el ejercicio 109 se le pide que demuestre el teorema. (Véase la figura lOA).

TEOREMA 2: EL teorema de La compresión para sucesiones Sean {an }, {bn } Y {en} sucesiones de números reales. Si an :s; bn :s; en se cumple para toda n mayor que algún índice N y si Iímn->oo an = Iímn->oo en = L, entonces también Iímn->oo bn = L.

Una consecuencia inmediata del teorema 2 es que si Ibnl :s; en y en ---+ O, entonces bn ---+ O, ya que -en :s; bn :s; en. Utilizamos este hecho en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4

(a) cos n ---+ O n

1 (h) 2" ---+ O

Como l / n ---+ O, sabemos que

ya que _1 < cosn < 1-n-n - n '

ya que 0 < 1.-<1-- 2n - n '

ya que • La aplicación de los teoremas 1 y 2 se amplió por medio de un teorema que establece que

al usar funciones continuas para una sucesión convergente se produce una sucesión convergente. Establecemos el teorema, dejando su demostración como un ejercicio (ejercicio 110).

TEOREMA 3: EL teorema de La función continua para sucesiones Sea {an} una sucesión de números reales. Si an ---+ L Y si f es una función continua en L , así como definida para toda an, entonces f(a n) ---+ f(L).


10.1 Sucesiones 537

y EJEMPLO 5 Demuestre que ven + l)/n ~ l.

Solución Sabemos que (n + l)/n ~ l. Si tomamos f(x) = Vx y L = 1en el teorema 3, ob-tendremos Ven + l)/n ~ VI = l. •

EJEMPLO 6 La sucesión {l/n} converge a O. Tomando a.; = l/n, f(x) = 2X y L = O en elteorema 3, veremos que 21/n = f(1/n) ~ f(L) = 20 = l. La sucesión {21/n} converge a 1(figura 10.5). •

Uso de la regla de L'HópitalEl siguiente teorema formaliza la relación entre límn--+ooan y límx->oof(x) . Nos permite utilizarla regla de L'Hópital para determinar los límites de algunas sucesiones.

~~--~ __------*-----+x011 3 2:

FIGURA 10.5 Cuando n --> 00, l/n --> OY21/n --> 2° (ejemplo 6). Los términos de{ I/n} se muestran en el eje x; los términosde {21/n} se muestran como los valores de yen la gráfica de f(x) = 2x.

TEOREMA 4 Suponga que f(x) es una función definida para toda x ;:::no y que {an}

es una sucesión de números reales tal que an = f(n) para n ;:::no. Entonces

lím f(x) = Lx--+OO

lím a; = L.n--+OO

Demostración Suponga que límx->oof(x) = L. Entonces, para cada número positivo E, exis-te un número M, tal que para toda x,

x>M I f(x) - L I < E.

Sea N un entero mayor que M y mayor o igual a no. Entonces

n > N a; = f(n) y If(n) - LI < E. •EJEMPLO 7 Demuestre que

u lnn_On':'~n - .

Solución La función (In x)/x está definida para toda x ;:::1 y coincide con la sucesión dadaen los enteros positivos. Por lo tanto, por el teorema 4, límn--+oo(Inn)/n será igual alímx--+oo(Inx)/xsi este último existe. Una sola aplicación de la regla de Lllópital indica que

,lnx , l/x O11m ---:x- = 11m -1- = -1 = O.

X~OO x-?oo

Concluimos que límn--+oo(In n)/n = o. •Cuando utilizamos la regla de L'Hópital para determinar el límite de una sucesión, con fre-

cuencia tratamos a n como si fuera una variable continua real y derivamos directamente conrespecto a n. Esto nos ahorra el trabajo de rescribir la fórmula para an, como lo hicimos en elejemplo 7.

EJEMPLO 8 ¿La sucesión cuyo n-ésimo término es

(n + l)na,,= ~

converge? Si es así, determine ellímn--+ooa.:

y

--~--~-*------__ ----+ x o 1 1

:3 2:

FIGURA 10.5 Cuando n ~ 00 , ll n ~ O Y 21/n ~ 2° (ejemplo 6). Los términos de

{ lI n} se muestran en el ej e x; los términos de {2 1/ n } se muestran como los valores de y

en la gráfica de f(x) = 2x.

10.1 Sucesiones 537

EJEMPLO 5 Demuestre que Ven + l)/n ~ l.

Solución Sabemos que (n + l)/ n ----'> l . Si tomamos f(x) = Vx y L = 1 en el teorema 3, ob

tendremos Ven + l) / n ~ VI = l. •

EJEMPLO 6 La sucesión {lln} converge a O. Tomando all = 11n, f(x) = 2X y L = O en el teorema 3, veremos que 21/n = f(1ln) ~ f(L) = 20 = 1. La sucesión {21/n} converge a 1 (figura 10.5). •

Uso de la regla de L'Hópital

El siguiente teorema formaliza la relación entre límn--->oo all Y límx-->oo f(x) . N os permite utilizar la regla de CHopital para determinar los límites de algunas sucesiones.

TEOREMA 4 Suponga que f(x) es una función definida para toda x 2: no y que {an }

es una sucesión de números reales tal que all = f(n) para n 2: no. Entonces

lím f(x) = L X-->DO

lím all = L. n-->DO

Demostración Suponga que límx-->oo f(x) = L. Entonces, para cada número positivo E , exis-te un número M, tal que para toda x,

x > M I f(x) - L I < E.

Sea N un entero mayor que M y mayor o igual a no. Entonces

n>N


an = f(n) y

l' lnn _ O n2.~ n - .

If(n) - LI < E . •

Solución La función (In x)/ x está definida para toda x 2: 1 y coincide con la sucesión dada en los enteros positivos. Por lo tanto, por el teorema 4, límn-->oo (In n)/ n será igual a límx-->oo (Inx)/ x si este último existe. Una sola aplicación de la regla de CHopital indica que

,lnx , l /x O 11m ----:x- = 11m - 1- = -1 = O. X~OO X---700

Concluimos que límn-->oo (In n)/ n = O. • Cuando utilizamos la regla de CHopital para determinar el límite de una sucesión, con fre

cuencia tratamos a n como si fuera una variable continua real y derivamos directamente con respecto a n. Esto nos ahorra el trabajo de rescribir la fórmula para an, como lo hicimos en el ejemplo 7.

EJEMPLO 8 ¿La sucesión cuyo n-ésimo término es

(n + l)n

an = ~

converge? Si es así, determine ellímn-->oo all •



SoLución El límite conduce a la forma indeterminada 1"'. Podemos aplicar la regla deUHópital si cambiamos primero a la forma 00 . O Y tomamos ellogaritmo natural de a.:

(n + 1)/1

In a" = In ~

(n + 1)=nln ~.

Entonces,

lím In a; = lím n In (n + 11)

n~OO n~OO n - Forma ca . O

In(~ ~ U= lím -----

n->OO l/n

-2/(n2 - 1)= lím --'----

n->OO -1/n2

OFormaü

Regla de L'Hópital. Derivar elnumerador y el denominador.

2n2= lím --- = 2.

/1->00 n2 - I

Como In an ~ 2 Yf(x) = e' es continua, el teorema 4 nos dice que

La sucesión {a,,} converge a e2. •Limites que aparecen con frecuencia

El siguiente teorema indica algunos límites que surgen con frecuencia.

TEOREMA 5 Las seis sucesiones siguientes convergen a los límites que se listan:

1. lím Inn = O 2. lím -yr,; = 1n-H)() n n~OO

3. lím xl/n = 1 (x> O) 4. lím x" = O (Ixl < 1)n->OO n->OO

5. lím (1 + ~)" = e' (cualquier x) 6.xll

(cualquier x)lím 1=0n->OO n---'J>OO n.

En las fórmulas (3) a la (6), x permanece fija cuando n ~ oo ,

Demostración El primer límite se calculó en el ejemplo 7. Los siguientes dos pueden de-mostrarse tomando logaritrnos y aplicando el teorema 4 (ejercicios 107 y 108). Las demostra-ciones restantes se incluyen en el apéndice 5. •

EJEMPLO 9 Éstos son ejemplos de los límites en el teorema 5.

(a)In (n2

) 21n n-n- = -n-~2·0 = O

\,/;;i = n2/" = (n IIn)2 ~ (1)2 = Fórmula 2

Fórmula 1

(b)

(e) 6n = 31/n(nlh,) ~ 1 . 1 = 1

(d) (-±Y ~O

Fórmula 3 con x = 3 Yfórmula 2

Fórmula 4 con x = - ±


I Notación factorialLa notación n! ("n factorial") significael producto 1 . 2 . 3 ... n de los enterosdesde I hasta n. Observe que(n + 1)! = (n + 1)·I1!Porlotanto,4! = 1·2·3·4 = 24y5! = 1·2·3·4·5 = 5·4! = 120.Definimos O!como 1. Los factorialescrecen aún más rápido que las exponen-ciales, como lo sugiere la tabla. Los valoresen la tabla fueron redondeados.

n e" n!

1 3 15 148 120

10 22,026 3,628,80020 4.9 X 108 2.4 X 10¡8

10.1 Sucesiones 539

( -2)"1 + n -s «? Fórmula 5 con x = -2

(f) loon ~ On!

Fórmula 6 con x = 100 •Definiciones recursivasHasta ahora hemos calculado cada a., de manera directa a partir del valor de n, Pero en oca-siones las sucesiones se definen de manera recursiva, lo cual da

1. El valor (o valores) del (de los) término(s) inicial(es) y2. Una regla, denominada fórmula recursiva, para calcular cualquier término posterior a

partir de los términos que le preceden.

EJEMPLO 10

(a) Los enunciados a¡ = 1 yan = an-l + 1 para n > 1 definen la sucesión 1,2,3, ... , n, ... ,de enteros positivos. Con al = 1, tenemos a: = a¡ + 1 = 2, a3 = az + 1 = 3 Yasí suce-sivamente.

(b) Los enunciados a¡ = 1 yan = n . an-l para n > 1 definen la sucesión 1,2,6,24, ... , n!, ... ,de factoriales. Con a¡ = 1, tenemos a2 = 2 . a¡ = 2, a3 = 3 . a2 = 6, a4 = 4 . a3 = 24,etcétera.

(e) Los enunciados al = 1, a2 = 1 Yan+l = a; + an-l para n > 2 definen la sucesión 1, 1,2, 3, 5, ... , de números de Fibonacci. Con al = 1 ya2 = 1, tenemos a3 = 1 + 1 = 2,a4 = 2 + 1 = 3, as = 3 + 2 = 5 Yasí sucesivamente.

(d) Como vemos al aplicar el método de Newton (ejercicio 133), las proposiciones Xo = 1Y XIl+l = Xn - [(senxn - xn2)j(COSxn - 2xn)] para n > O definen una sucesión que,cuando converge, da una solución de la ecuación sen x - x2 = O. •

Sucesiones monótonas acotadasDos conceptos que desempeñan un papel importante en la determinación de la convergencia deuna sucesión son los de sucesión acotada y de sucesión monótona.

DEFINICIONES Una sucesión {an} está acotada por arriba si existe un número Mtal que a; :5 M para toda n. El número M es una cota superior para {an}. Si M esuna cota superior para {an}, pero ningún número menor que M es una cota superiorpara {an}, entonces M es la mínima cota superior para {an}.

Una sucesión {an} está acotada por abajo si existe un número m tal que a., 2:: mpara toda n. El número m es una cota inferior para {a,¡}. Si m es una cota infe-rior para {an}, pero ningún número mayor que m es una cota inferior para {an}, en-tonces m es la máxima cota inferior para {a,,}.

Si {an} está acotada por arriba y por abajo, entonces {an} está acotada. Si {all} noestá acotada, decimos que {an} es una sucesión no acotada.

EJEMPLO 11

(a) La sucesión 1,2,3, ... , n, ... no tiene cota superior, ya que en algún momento sobrepasaa todo número M. Sin embargo, está acotada por abajo por todo número real menor oigual a 1. El número In = 1 es la máxima cota inferior de la sucesión.

(b) L . , 1 2 3 n i acotad ·b do nr Ia sucesion 2' 3' 4' ... , ;;-::¡:.-¡, ... esta acota a por arn a por to o numero rea mayor

o igual a l. La cota superior M = 1 es la mínima cota superior (ejercicio 125). La suce-

sión también está acotada por abajo por todo número menor o igual a ~, que es su máxima

cota inferior. •


540 Capítulo 10: Sucesiones y series infinitasI

, I, IIII

'I! III, I

I Las sucesiones convergentes estánacotadas

M~o----------------~.... ..o 123 •.o.m 1-=----=-----'-------'----'

FIGURA 10.6 Algunas sucesiones acotadassaltan dentro de sus cotas y no convergena límite alguno.

y

y=MM 1-------":"'------

y=LL~----------------.-.-.~.~.~.~~......

~----------------------------~xO

FIGURA 10.7 Si los términos de una suce-sión no decreciente tienen una cota superiorM, entonces tienen un Iímite Zcs M.

Si una sucesión {an} converge al número L, entonces por definición existe un número Ntal que lan - LI < 1, si n > N. Esto es,

L ~ 1 < an < L + 1 para n > N.

Si M es un número mayor que L + 1 Y también mayor que la cantidad finita de númerosal, aa. ... , aN, entonces para todo índice n tenemos an ~ M, por lo que {an} está acotada porarriba. De manera análoga, si m es un número menor que L - 1 Y menor que los númerosal, a2, ... , aN, entonces m es una cota inferior de la sucesión. Por lo tanto, todas las sucesio-nes convergentes están acotadas.

Aunque es cierto que toda sucesión convergente está acotada, existen sucesiones acota-das que no son convergentes. Un ejemplo es la sucesión acotada {(_l)n+l} analizada en elejemplo 2. Aquí, el problema es que algunas sucesiones acotadas saltan dentro de una bandadeterminada por cualquier cota inferior m y cualquier cota superior M (figura 10.6). Un tipoimportante de sucesión que no se comporta de esa manera es aquella en la que cada términoes al menos tan grande, o al menos tan pequeño, como su predecesor.

DEFINICIÓN Una sucesión {an} es no decreciente si an ~ an+ I para toda n. Esto es,al ~ a2 ~ a3 ~ ... La sucesión es no creciente si a.; 2: an+l para toda n. La sucesión{an} es monótona si es no decreciente o no creciente.

EJEMPLO 12

(a) La sucesión 1, 2, 3, ... , n, ... es no decreciente.

(b) L . , 1 2 3 n d·a sucesion 2'3' 4'···'~'··· es no ecreciente,

()L ·'1111 1 .c a sucesion , 2' 4' 8' ... , 2n, es no creciente.

(d) La sucesión constante 3, 3, 3, , 3, ... es tanto no decreciente como no creciente.(e) La sucesión 1,-1, 1,-1, 1,-1, ... es no monótona. _

Una sucesión no decreciente que está acotada por arriba siempre tiene una mínima cota su-perior. Asimismo, una sucesión no creciente acotada por abajo siempre cuenta con una máximacota inferior. Tales resultados tienen como base la propiedad de completez de los númerosreales analizada en el apéndice 6. Ahora demostramos que si L es la mínima cota superior deuna sucesión no decreciente, entonces la sucesión converge a L, y que si L es la máxima cotainferior de una sucesión no creciente, entonces la sucesión converge aL.

TEOREMA 6: ELteorema de La sucesión monótona Si una sucesión {an} está aco-tada y es monótona, entonces la sucesión converge.

Demostración Suponga que {an} es no decreciente, L es su mínima cota superior y traza-mos los puntos (1, al), (2, a2), ... (n, an), ... en el plano xy. Si M es una cota superior de la suce-sión, todos estos puntos estarán en o debajo de la recta y = M (figura 10.7). La recta y = L serála más baja. Ninguno de los puntos (n, an) estará por arriba de y = L, pero algunos estarán porarriba de cualquier recta inferior y = L - E, si E es un número positivo. La sucesión convergeaL, ya que

(a) an ~ L para todos los valores de n y(b) dado cualquier E > O,existe al menos un entero N para el que a» > L - E.

El hecho de que {an} sea no decreciente, nos indica además que

para toda n 2: N.

Por lo tanto, todos los números a; posteriores al n-ésimo número estarán a menos de E unida-des de L. Ésta es precisamente la condición para que L sea el límite de la sucesión {an}.

La demostración para sucesiones no crecientes acotadas por abajo es similar. _


I Las sucesiones convergentes están acotadas

M 1-.-------------"

. . . .

FIGURA 10.6 Algunas sucesiones acotadas saltan dentro de sus cotas y no convergen a límite alguno.

y

y=M Mr-----------~-----------

y=L Lr------------------.-.~.~.~.~.~.~.r-... . . .

-o~---------------~x

FIGURA 10.7 Si los términos de una sucesión no decreciente tienen una cota superior M, entonces tienen un límite L s M.

Si una sucesión {an } converge al número L, entonces por definición existe un número N tal que lan - LI < 1, si n > N. Esto es,

L ~ 1 < an < L + 1 para n > N.

Si M es un número mayor que L + 1 Y también mayor que la cantidad finita de números al, a2, ... , aN, entonces para todo índice n tenemos an ~ M, por lo que {an } está acotada por arriba. De manera análoga, si m es un número menor que L - 1 Y menor que los números al, a2, .. . , aN, entonces m es una cota inferior de la sucesión. Por lo tanto, todas las sucesiones convergentes están acotadas.

Aunque es cierto que toda sucesión convergente está acotada, existen sucesiones acotadas que no son convergentes. Un ejemplo es la sucesión acotada {(_l)n+l} analizada en el ejemplo 2. Aquí, el problema es que algunas sucesiones acotadas saltan dentro de una banda determinada por cualquier cota inferior m y cualquier cota superior M (figura 10.6). Un tipo importante de sucesión que no se comporta de esa manera es aquella en la que cada término es al menos tan grande, o al menos tan pequeño, como su predecesor.

DEFINICIÓN Una sucesión {an } es no decreciente si an ~ an+ I para toda n. Esto es, al ~ a2 ~ a3 ~ ... La sucesión es no creciente si an 2: an+l para toda n. La sucesión {an } es monótona si es no decreciente o no creciente.

EJEMPLO 12

(a) La sucesión 1, 2, 3, ... , n, ... es no decreciente.

(b) L . , 1 2 3 n d· a suceSlOn 2' 3' 4'···'~'··· es no ecreclente.

()L ·'1111 1 . c a suceSlOn , 2' 4' 8' ... , 2n, . .. es no crecIente.

(d) La sucesión constante 3, 3, 3, . . . , 3, ... es tanto no decreciente como no creciente. (e) La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, -1 , ... es no monótona. _

Una sucesión no decreciente que está acotada por arriba siempre tiene una mínima cota superior. Asimismo, una sucesión no creciente acotada por abajo siempre cuenta con una máxima cota inferior. Tales resultados tienen como base la propiedad de completez de los números reales analizada en el apéndice 6. Ahora demostramos que si L es la mínima cota superior de una sucesión no decreciente, entonces la sucesión converge a L, y que si L es la máxima cota inferior de una sucesión no creciente, entonces la sucesión converge aL.

TEOREMA 6: EL teorema de La sucesión monótona Si una sucesión {an } está acotada y es monótona, entonces la sucesión converge.

Demostración Suponga que {an } es no decreciente, L es su mínima cota superior y trazamos los puntos (1, al), (2, a2), .. . (n, an), ... en el plano xy. Si M es una cota superior de la sucesión, todos estos puntos estarán en o debajo de la recta y = M (figura 10.7). La recta y = L será la más baja. Ninguno de los puntos (n, an) estará por arriba de y = L, pero algunos estarán por arriba de cualquier recta inferior y = L - E, si E es un número positivo. La sucesión converge aL, ya que

(a) an ~ L para todos los valores de n y

(b) dado cualquier E > O, existe al menos un entero N para el que aN > L - E.

El hecho de que {an } sea no decreciente, nos indica además que

para toda n 2: N.

Por lo tanto, todos los números an posteriores al n-ésimo número estarán a menos de E unidades de L. Ésta es precisamente la condición para que L sea el límite de la sucesión {an }.

La demostración para sucesiones no crecientes acotadas por abajo es similar. _


10.1 Sucesiones 541

Es importante hacer notar que el teorema 6 no dice que las sucesiones convergentes seanmonótonas. La sucesión {(-1 )"+ I/n} converge y está acotada, pero no es monótona, ya quealterna entre valores positivos y negativos, cuando se aproxima a cero. Lo que indica el teoremaes que una sucesión no decreciente converge cuando está acotada por arriba, aunque de otraforma diverge a infinito.

Ejercicios 10.1

Encontrar los términos de una sucesiónEn cada uno de los ejercicios 1 a 6 proponga una fórmula para el n-ésimotérmino a; de la sucesión {a,,}. Determine los valores de al, a2, a3 ya4.

1. 1 - n2. =~a" = -----;:¡-- an n!

3.(_1)"+1

4. a" = 2 + (-1)"all = ---2n - 1

5.2" 6.

2" - 1an =-- an = ---2"+1 2n

Cada uno de los ejercicios 7 a 12 proporciona el primer término o los dosprimeros términos de la sucesión con una fórmula recursiva para los tér-minos restantes. Escriba los diez primeros términos de la sucesión.

7. al 1, an+1 = a; + 0/2")8. al 1, all+1 = an/(n + 1)

9. al = 2, an+l = (-1)"+1an/2

10. al = -2, all+l = nan/(n + 1)11. al = a2 = 1, all+2 = an+1 + all12. al = 2, aa = -1, a,,+2 = an+l/an

Encontrar la fórmula de una sucesiónEn los ejercicios 13 a 26, halle una fórmula para el n-ésimo término de lasucesión.

13. La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, .

14. La sucesión -1,1, -1, 1, -1, .

Números 1 con signos alternados

Números 1 con signos alternados

15. La sucesión 1, -4,9, -16,25, ... Cuadrados de los enteros positivos,con signos alternados

16 L . '1 1 1 1 1. a sucesion , - 4' 9' -16' 25""

Recíprocos de los cuadrados de losenteros positivos, con signosalternados

Potencias de 2 divididas entremúltiplos de 3

18. 3 1 I 3 5-----2' 6' 12' 20' 30'" .

Enteros cuya diferencia es2 divididos entre productosde enteros consecutivos

Cuadrados de los enteros positivosdisminuidos en 1

19. La sucesión O, 3, S, 15,24, ...

20. La sucesión -3, -2, -1, 0,1, ... Enteros a partir de - 3

Uno de cada dos enteros positivosimpares

Uno de cada dos enteros positivospares

21. La sucesión 1,5,9,13,17, ...

22. La sucesión 2, 6,10,14, IS, ...

5 S 11 14 1723. l' 2'6' 24' 120" ..

Enteros cuya diferencia es 3divididos entre factoriales

1 S 27 64 12524. 25' 125' 625' 3125' 15,625""

Cubos de enteros positivosdivididos por potencias de 5

25. La sucesión 1,0, 1,0,1, ... Números I Y Oalternados

26. La sucesión 0,1,1,2,2,3,3,4, ... Todos los enteros positivos serepiten

Convergencia y divergencia¿Cuáles de las sucesiones {a,,} en los ejercicios 27 a 90 convergen y cuá-les divergen? Determine el límite de cada sucesión convergente.

n + (-1)"27. an = 2 + (0.1)" 28. a =n n

1 - 2n29. an = 1 + 2n

1 - 5n4a =

n n4 + Sn331.

2n + 1

1 - 3Vn

n + 332. an

= _...:.:..--'---=---

n2 + 5n + 6

33. n2 - 2n +a =n n - 1

1 - n334. a; = 70 _ 4n2

36. a; = (_1)" (1 - k)38. an = (2 - ;n) (3 + ;n)

(--21 )n40. a; =

35. an = + (- 1)n

37. an= (n~I)(I-k)

(_1),,+139. a,,=~

41.

44. a; = nat cos (mr)

42. 1a =--" (0.9)"

43.

45.sennan = -n-

n47. an = 2n 48.

49.In (n + 1)

an = -r:Inn

50. a; = In2n

51. an = sl/n 52. a; = (0.03)I/n

53.

56.

54.

55.

57. = (l)l/nan n 58. a" = (n + 4)1/(11+4)

59.Inna =--

n nl/n 60. a; = lnn -In(n + 1)



61. a" = ~ 62. a" = \.132"+1

63. a" = n;, (Sugerencia: Compare con I/n.)n

64.(-4)"

65. nia; = -n-l- a" = 106"

66. ni 67.(~) I/(ln,,)

a; = 211.311 a" =

68. ( 1)" 69. a" = (~)"a" = In 1 + n 3n - 1

70. a" = C:I)" 71. a" = (~r" x>O2n + 1 '

72. a" = ( 1 )" 73.3"·6"1-- a" = 2-".nln2

74.(10/11)"

75. a" = tanhnan =(9/10)" + (11/12)"

76. a" = senh (In n) 77. n2 1a" = 2n _ 1 sen n

78. a" = n (1 - cos ~ ) 79. a" = Vnsen ~

80. a" = (3" + 5,,)'/n 81. a" = tan"! n

82. 1 _1 e)" 1a" = Vntan n 83. an = 3" + Vi!'n

84. all

= '\!n2 + n 85.(In n)200

a;= --n--

(In n)586. a" = . r

Vn87. a,,=n- ~

88.a,,=.~ .~V n2 - 1 - V n2 + n

1/"189. a" = n , x dx/

n 190. a" = 1 -;¡; dx, p > 1

Sucesiones definidas recursivamenteEn los ejercicios 91 a 98, suponga que cada sucesión converge y determinesu límite.

91. = 2, 72a, all+1 1 + all

92. = -1,a" + 6

al all+la" + 2

93. a, = -4, all+1 = v'8+2a;;94. a, = O, a,,+, = v'8+2a;;95. a, = 5, all+1 = Vs;.96. a, = 3, Q1/+1 = 12 - v;;:,97. I 1 1

2, 2 + 2' 2 + --1 ' 2 + l' ...2+2 2+

2+1.

2

98. VI, VI + VI, VI + VI + VI,

VI + VI + VI + VI, ...

Teoría y ejempLos99. El primer término de una sucesión es XI = 1. Cada término subsi-

guiente es la suma de todos los que le preceden:

x,,+ 1 = XI + X2 + ... + xn·

Escriba una cantidad suficiente de términos de la sucesión para de-ducir una fórmula general para X" que se cumpla para n 2: 2.

100. Una sucesión de números racionales se describe como sigue:

13717 aa+2b---- ----l ' 2' 5' 12"'" b' a + b , ....

Aquí, los numeradores forman una sucesión, los denominadores unasegunda sucesión y sus cocientes una tercera. Sean X" y y", respec-tivamente, el numerador y el denominador de la n-ésima fracciónr; = xn/Y,,-

a. Verifique que x? - 2y,2 = -1, xl - 2yl = + 1 y, con mayorgeneralidad, que si a2 - 2b2 = - 1 o + 1, entonces

(a + 2b)2 - 2(a + b)2 = +1 o -1,

respectivamente.

b. Las fracciones rn = x"/Y,, tienden a un límite cuando n aumenta.¿Cuál es ese límite? (Sugerencia: Utilice el inciso (a) parademostrar que rn2 - 2 = ±(1/Yn)2 Y que y" no es menorque n).

101. Método de Newton Las siguientes sucesiones provienen de lafórmula recursiva para el método de ewton,

f(x,,)X,,+I = X" - /,(x,,)'

¿Converge la sucesión? Si es así, ¿a qué valor? En cada caso, inicieidentificando la función f que genera la sucesión.

1,x,? - 2 x" 1

a. Xo = Xn+l = Xn ----=-+-2x" 2 x"

tan x" -b. Xo = 1, Xn+l = Xn -

sec2 X"

c. Xo = 1, XII + 1 = XII -

102. a. Suponga que f(x) es derivable para toda X en [O, 1] Y quef( O) = O. Defina la sucesión {an} por medio de la reglaa" = nf(1/n). Demuestre que límn~OOa; = /,(0). Utiliceel resultado del inciso (a) para determinar los límites de lassucesiones {a,,} siguientes.

b. a; = ntan-I~ c. a; = nie'!" - 1)

d. a; = n In (1 + *)103. Ternas pitagóricas Una terna de enteros positivos a, b y e se de-

nomina terna pitagórica si a2 + b2 = c2• Sea a un entero positivoimpar y sean

b=l~J y c=r~2lrespectivamente el piso entero (máximo entero menor o igual) y eltecho entero (mínimo entero mayor o igual) de a2/2.


I~l l~J

10.1 Sucesiones 543

2" - I117. an = -2-"-

2" - 1118. a" = -3-"-

ea

a. Demuestre que a2 + b2 = c2 (Sugerencia: Deje que a = 2n + 1Y exprese b y c en términos de n).

b. Por medio de un cálculo directo, o con base en la figura anterior,determine

119. a" = ((-1)" + l)(n ~ 1)

120. El primer término de una sucesión es XI = cos (1). Los siguientestérminos son X2 = XI o cos (2), el que sea mayor, Y X3 = X2 o cos (3),el que sea mayor (aquel que esté más a la derecha). En general,

X,,+I = máx {x,,, cos (n + I)}.

Proporcione suficientes términos de la sucesión y, con base en ellos,determine si las sucesiones 121 a 124 convergen o divergen.

I+~ n+J121. a" = Vn 122. a" = -n-

4,,+1 + 3"a; = 411

123.

124. al = 1, a,,+1 = Za; - 3125. La sucesión {n/en + 1)} tiene una mínima cota superior de 1

Demuestre que si M es un número menor que 1, los términos de{n/en + I)} superan finalmente a M. Es decir, que si M < 1, existeun entero N tal que n/en + 1) > M, siempre que n > N. Puesto quen/en + 1) < 1para toda n, esto demuestra que 1 es una cota superiormínima de {11/n + I)}.

126. Unicidad de la cota superior mínima Demuestre que si MI yM2 son cotas superiores mínimas de la sucesión {a,,}, entoncesMI = M2. Es decir, una sucesión no puede tener dos cotas supe-riores mínimas diferentes.

127. ¿Es verdad que una sucesión {a,,} de números positivos tiene queconverger si está acotada superiormente? Justifique su respuesta.

128. Demuestre que si {a,,} es una sucesión convergente, entonces acada número positivo E le corresponde un entero n tal que paratoda m y n,

m > N y n > N = Ia.; - a,,1 < E.

129. Unicidad de límites Demuestre que los límites de las sucesionesson únicos. Es decir, si LI y L2 son números tales a" -'> LI Y a" -'> L2,

entonces LI = L2.

130. Límites y subsucesiones Si los términos de una sucesión apare-cen en otra sucesión en el orden dado, decimos que la primera suce-sión es una subsucesión de la segunda. Demuestre que si dos sub-sucesiones de una sucesión {a,,} tienen límites diferentes, LI "# L2,

entonces {a,,} diverge.131. Para una sucesión {a,,}, los términos con índice par se simbolizan

así: azs. Y los términos de índice impar, así: a2k+I. Demuestre quesi a2k -'> L Y a2k+ 1 -'> L, entonces a" -'> L.

132. Demuestre que una sucesión {a,,} converge a O si y sólo si la suce-sión de valores absolutos {la"l} converge a O.

133. Sucesiones generadas por el método de Newton El método deNewton, aplicado a una función derivable f(x), empieza con un valorinicial Xo y a partir de él construye una sucesión de números {x,,}que, en circunstancias favorables, converge a un cero de f. La fór-mula recursiva para la sucesión es

¡(X,,)X,,+I = X" - !,(x,,)'

a. Demuestre que la fórmula recursiva para ¡(x) = y - a, a > O,puede escribirse como X,,+ I = (x, + a/x,,)/2.

O b. Si comenzamos con Xo = 1 Y a = 3, habrá que calcular los tér-minos sucesivos de la sucesión hasta que el resultado empiecea repetirse. ¿A qué número se aproxima? Explique.

104. La raíz Il-ésima de n!

a. Demuestre que lím,,-->oo(2mr)I/(2")= 1 Y de aquí, por mediode la aproximación de Stirling (véase el ejercicio adicional 32adel capítulo 8), que

~ "" % para valores grandes de n .

O b. Pruebe la aproximación del inciso (a) para 11 = 40, 50, 60, ... ,tanto como se lo permita su calculadora.

105. a. Suponiendo que límn-->oo(l/nC) = O si c es cualquier constante

positiva, demuestre que

1, Inn - Orm c-11----+00 n

si e es cualquier constante positiva.

b. Demuestre que lím,,_oo(l/nC) = O si c es cualquier constante

positiva. (Sugerencia: Considere que si E = 0.001 Y c = 0.04,¿qué tan grande debe ser n para asegurar que 11/nc - 01< E, si11 > N?).

106. El teorema del zipper Demuestre el "teorema del zipper" parasucesiones: Si {a,,} y {b,,} convergen a L, entonces la sucesión

107.

108.

109.

converge a L.

Demuestre que lím,,_oo~ = l.

Demuestre que lím,,_ooxl/" = 1, (x > O).

Demuestre el teorema 2. 110. Demuestre el teorema 3.

En los ejercicios I11 a 114, determine si la sucesión es monótona y si estáacotada.

111 = 311 + 1• a" /1 + 1

2"3"113. a" = --;:;¡

(2n + 3)!112. a" = -,----

(/1 + 1)!

2 1114. a" = 2 - n - 2"

¿Cuáles de las sucesiones en los ejercicios 115 a 124 convergen y cuálesdivergen? Justifique sus respuestas.

1115. a" = 1 116. 1an = n-n

/1

I~l l~J

e a

a. Demuestre que a2 + b2 = c2 (Sugerencia: Deje que a = 2n + 1 Y exprese b y e en términos de n).

b. Por medio de un cálculo directo, o con base en la figura anterior, determine

104. La raíz II-ésima de n!

a. Demuestre que límll-->oo (2mr)I/(211) = 1 Y de aquí, por medio

de la aproximación de Stirling (véase el ejercicio adicional 32a del capítulo 8), que

~ "" % para valores grandes de n .

O b. Pruebe la aproximación del inciso (a) para n = 40, 50, 60, .. . , tanto como se lo permita su calculadora.

105. a. Suponiendo que límll -->oo (1 / nC) = O si e es cualquier constante

positiva, demuestre que

lím Inn = O ,,----+00 nC

si e es cualquier constante positiva.

b. Demuestre que límll-->oo (1/ nC) = O si e es cualquier constante

positiva. (Sugerencia: Considere que si E = 0.001 yc = 0.04,

¿qué tan grande debe ser n para asegurar que 11/nc - 01 < E, si n > N?).

106. El teorema del zipper Demuestre el "teorema del zipper" para sucesiones : Si {a,,} y {b ll } convergen a L, entonces la sucesión

converge a L.

107. Demuestre que límll-->oo ~ = l.

108. Demuestre que Iím"-->oox l/,, = 1, (x > O).

109. Demuestre el teorema 2. 110. Demuestre el teorema 3.

En los ejercicios 111 a 114, determine si la sucesión es monótona y si está acotada.

111 = 3n + 1 • all n + I

2"3" 113. a" = --;:;-¡-

(2n + 3)! 112. all = - --

(n + 1)!

2 1 114. a" = 2 - Ji - 2"

¿Cuáles de las sucesiones en los ejercicios 11 5 a 124 convergen y cuáles divergen? Justif ique sus respuestas.

1 115. a" = 1 116.

I a,/ = n-n n

10.1 Sucesiones 543

2" - I 117. all = -2-"-

2" - I 118. all = -3-'-' -

119. all = ((-1)" + 1)(n ~ 1)

120. El primer término de una sucesión es XI = cos (1). Los siguientes

términos son X2 = XI o cos (2), el que sea mayor, Y X3 = X2 o cos (3), el que sea mayor (aquel que esté más a la derecha). En general,

XII + I = máx {XII ' cos (n + I)}.

Proporcione suficientes términos de la sucesión y, con base en ellos, determine si las sucesiones 121 a 124 convergen o divergen.

1 +\12,; n + 1 121. all = Vn 122. a" = -n-

4,, +1 + 3" an = 411

123.

124. al = 1, a,,+1 = 2a" - 3

125. La sucesión {n / en + 1)} tiene una mínima cota superior de 1 Demuestre que si M es un número menor que 1, los términos de {n/ en + 1)} superan finalmente a M. Es decir, que si M < 1, existe un entero Nta l que n/ en + 1) > M, siempre que n > N. Puesto que n/ en + 1) < l para toda n, esto demuestra que I es una cota superior mínima de {n/n + I)}.

126. Unicidad de la cota superior mínima Demuestre que si MI y

M 2 son cotas superiores mínimas de la sucesión {all}, entonces MI = M 2. Es decir, una sucesión no puede tener dos cotas superiores mínimas diferentes.

127. ¿Es verdad que una sucesión {a,,} de números positivos tiene que converger si está acotada superiormente? Justif ique su respuesta.

128. Demuestre que si {a,,} es una sucesión convergente, entonces a cada número positivo E le corresponde un entero n tal que para toda m y n,

m > N y n > N = la", - all I < E.

129. Unicidad de límites Demuestre que los límites de las sucesiones son únicos. Es decir, si LI y L2 son números tales all -'> LI Y a" -'> L2,

entonces LI = L2.

130. Límites y subsucesiones Si los términos de una sucesión aparecen en otra sucesión en el orden dado, decimos que la primera sucesión es una subsucesión de la segunda. Demuestre que si dos sub

sucesiones de una sucesión {all} tienen límites diferentes, LI 7= L2,

entonces {all} diverge.

131. Para una sucesión {all}, los términos con índice par se simbolizan así: a2b Y los términos de índice impar, así: a2k+1. Demuestre que si a2k -'> L Y a2k+ I -'> L, entonces all -'> L .

132. Demuestre que una sucesión {all} converge a O si y sólo si la suce

sión de valores absolutos {Iall l} converge a O.

133. Sucesiones generadas por el método de Newton El método de Newton, aplicado a una función derivable f(X) , empieza con un valor inicial Xo y a partir de él construye una sucesión de números {x,,} que, en circunstancias favorables, converge a un cero de f. La fórmula recursiva para la sucesión es

¡ (XII) X,, +I = XII - !,(x,,)·

a. Demuestre que la fórmula recursiva para ¡ (x) = ¿ - a, a > O,

puede escribirse como X" + I = (XII + a/x,, )/ 2.

O b. Si comenzamos con Xo = 1 Y a = 3, habrá que calcular los términos sucesivos de la sucesión hasta que el resu ltado empiece a repetirse. ¿A qué número se aproxima? Explique.



D 134. Una definición re cursiva de tt /2 Si empieza con XI = 1 Ydefinelos términos subsiguientes de {XII} de acuerdo con la regla XII = XII_I

+ COS XIl-I, generará una sucesión que converge rápidamente a 7T/2.(a) Inténtelo. (b) Utilizando la figura adjunta, explique por qué estan rápida la convergencia.

y

a. Calcule y luego grafique los primeros 25 términos de la sucesión.¿La sucesión parece estar acotada por arriba o por abajo? ¿Pareceque converge o diverge? Si converge, ¿cuál es el límite L?

b. Si la sucesión converge, determine un entero N tal que lan - LI:5 0.01 para n ?: N. ¿Cuánto debe avanzar en la sucesión paraobtener términos que estén a menos de 0.0001 de L?

135. a; = \Yn

137. al = 1, = a + ~n 5"

138. al = 1, all+1 = a; + (-2)"

~~~------~------~X139. a; = sen n 140. 1a; = n sen n141 = senn 142. 1nn

. all n a; = ---¡:¡-

143. a; = (0.9999)n 144. a; = (123456)1/11

8" 146. n41145. a; = n! a =-

11 19"

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAUtilice un SAC para realizar los siguientes pasos para las sucesiones delos ejercicios 135 a 146.

10.2 I_se__r__ie__s__i__nf__in__i__ta__s _

Una serie infinita es la suma de una sucesión infinita de números

a1 + aa + a3 + ... + an + ...El objetivo de esta sección es entender el significado de una suma infinita y desarrollar mé-todos para su cálculo. Como en una serie infinita existen una cantidad infinita de sumandos,no podemos sólo sumar para ver qué resulta. En vez de ello, vemos qué se obtiene si se sumanlos n primeros términos de la sucesión y nos detenemos. La suma de los n primeros términos

Sn = a1 + az + a3 + ... + an

es una suma finita común y puede calcularse por medio de una suma usual, la cual se denominan-ésima suma parcial. Conforme n se hace grande, esperamos que las sumas parciales se haganmás cercanas a un valor límite, en el mismo sentido en el que los términos de una sucesiónse aproximan a un límite, como se analizó en la sección 10.1.

Por ejemplo, para asignar un significado a una expresión como

1 1 1 11 +-+-+-+-+ ...2 4 8 16

Sumamos los términos de uno en uno desde el inicio y buscamos un patrón de crecimiento delas sumas.

Suma parcial ValorExpresión parala suma parcial

Primera:

Segunda:

S1 = 1

1S2 = 1 + "2

S3 1 + .1 + .12 4

13274

2 - 1

12--212--4

Tercera:

n-ésima: 1 1 11 +-+-+ ... +--2 4 2n-1

2n

2n-12 2n-1


BIOGRAFÍA HISTÓRJCA

Blaise Paseal(1623-1662)

10.2 Series infinitas 545

En realidad existe un patrón. Las sumas parciales forman una sucesión cuyo n-ésimo términoes

lSil = 2 - --l'2n-

Dicha sucesión de sumas parciales converge a 2, ya que límn--->oo(I/2n-l) = O. Decimos

"1 di' . ifi l l l l 2"a suma e a sene mi mta + - + - + ... + -- + ... + es .2 4 2"-1

¿La suma de cualquier número finito de términos en esta serie es igual a 2? o. ¿Realmentepodemos sumar, de uno en uno, un número infinito de términos? o. Pero es posible definir susuma si la definimos como el límite de la sucesión de sumas parciales cuando n ~ oo , en estecaso, 2 (figura 10.8). Nuestro conocimiento de sucesiones y límites nos permite rebasar lasfronteras de las sumas finitas.

oI I I I .'-------'-----v-------- '--..--'1 1/2 1/8 2

FIGURA10.8 Conforme las longitudes 1, 1/2, 14, 1/8, ... se suman una a una, la suma seaproxima a 2.

DEFINICIONES Dada una sucesión de números {an}, una expresión de la forma

es una serie infinita. El número a.; es el n-ésimo término de la serie. La sucesión{Sil}, definida como

es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde el número Sn es la n-ésimasuma parcial. Si la sucesión de sumas parciales converge a un límite L, decimos quela serie converge y que su suma es 1. En este caso, escribimos

00

al + a2 + ... + an + ... = L an = L.n=1

Si la sucesión de sumas parciales de la serie no converge, decimos que la seriediverge.

Cuando empezamos a estudiar una serie dada al + a2 + ... + an + .. " tal vez no sepa-mos si converge o diverge. En cualquier caso, es conveniente usar la notación sigma (de suma)para escribir la serie como

oUna útil abreviacióncuando se entiendeque la suma es de l a ea


Blaise Pascal (1623-1662)


En realidad existe un patrón. Las sumas parciales forman una sucesión cuyo n-ésimo término es

1 Sil = 2 - --l '

2"-

Dicha sucesión de sumas parciales converge a 2, ya que lím¡¡--->oo 0/2"- 1) = O. Decimos

"1 dI ' . 'f- 1 1 1 1 2" a suma e a sene 1m mta + - + - + ... + - - + ... + es . 2 4 21/ - 1

¿La suma de cualquier número finito de términos en esta serie es igual a 2? o. ¿Realmente podemos sumar, de uno en uno, un número infinito de términos? 0_ Pero es posible definir su suma si la definimos como el límite de la sucesión de sumas parciales cuando n ~ 00 , en este caso, 2 (figura 10.8). Nuestro conocimiento de sucesiones y límites nos permite rebasar las fronteras de las sumas finitas.

1/4 .-----'--.

1 1 1 1 '-------v------ ----------

o 1 1/2 1/8 2

FIGURA 10.8 Conforme las longitudes 1, 1/2, "/4, l/S, ... se suman una a una, la suma se

aproxima a 2_

DEFINICIONES Dada una sucesión de números {an }, una expresión de la forma

al + a2 + a3 + ... + a" + ...

es una serie infinita. El número an es el n-ésimo término de la serie. La sucesión {sn}, definida como

SI = al

S2 = al + a2

" S" = al + a2 + ... + a" = 2: ak

k= 1

es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde el número Sn es la n-ésima suma parcial. Si la sucesión de sumas parciales converge a un límite L, decimos que la serie converge y que su suma es L. En este caso, escribimos

00

al + a2 + ... + a" + ... = 2: an = L. n=1

Si la sucesión de sumas parciales de la serie no converge, decimos que la serie diverge.

Cuando empezamos a estudiar una serie dada al + a2 + ... + an + .. " tal vez no sepamos si converge o diverge. En cualquier caso, es conveniente usar la notación sigma (de suma) para escribir la serie como

o Una úti l abreviación cuando se entiende que la suma es de 1 a w _



Series geométricas

Las series geométricas son series de la forma00

a + ar + a? + ... + m),-I + ... = 2: ay,-I11=1

donde a y r son números reales fijos y a * O. También se puede escribir la serie como2::0 ar": La razón r puede ser positiva, como en

( )

Il-I

~ + "',1 11 +-+-+ ... +2 4 r = 1/2, a = 1

o negativa, como en

( )n-I-t + ....1 11--+-- ..·+

3 9r = -1/3, a =

Si r = 1, la n-ésima suma parcial de la serie geométrica es

Sn = a + a(1) + a(l)2 + ... + a(1)n-1 = na,

y la serie diverge, porque límll->ooSn = ± 00, según sea el signo de a. Si r'= -1, la seriediverge porque las z-ésimas sumas parciales alternan entre a y O. Si Ir I * 1, se determina laconvergencia o divergencia de la serie en esta forma:

Sn = a + ar + a? + ... + aY'-1

rSIl = ar + a? + ... + aY'-1 + ay'Sn - rSIl = a - ay'

Multiplicar s; por r.Restar rs; de S". La mayoría delos términos de lado derecho secancelan.Factor.

sn(l - r) = a(1 - y')

a(l - y')(r * 1). Podemos despejar S" si r * l.Sil = 1 - r '

Si Irl < 1, entonces Y'--'>O cuando n=+ 00 (como en la sección 10.1) y sn--'>a/(l - r). SiIr I > 1, entonces 1Y' 1--'>00 y la serie diverge.

Si Irl < 1, la serie geométrica a + ar + ar: + ... + arr:' + ... converge aa/O - r):

002: aY'-1n=l

a1 - r'

Irl < l.

Si Ir I > 1, la serie diverge.

Hemos determinado cuándo una serie geométrica converge o diverge y a qué valor. Confrecuencia podemos determinar que una serie converge sin saber a qué valor lo hace, como loveremos en varias de las siguientes secciones. La fórmula a/(l - r) para la suma de una seriegeométrica sólo se aplica cuando el Índice de la suma inicia con n = 1 en la expresión2:::"=1 ay'-l (o cuando el índice es n = O,si escribimos la serie como 2:::"=0 ar").

EJEMPLO 1 La serie geométrica con a = 1/9 Yr = 1/3 es

1/9 16'- (1/3)

EJEMPLO 2 La serie

00 (-1)1l5 5 5 52:--=5--+---+'"n=O 4n 4 16 64

•


Series geométricas

Las series geométricas son series de la forma 00

a + ar + a? + ... + m), - I + ... = 2: m),-I

11=1

donde a y r son números reales fijos ya-:/=- O. También se puede escribir la serie como 2:: 0 aY'. La razón r puede ser positiva, como en

1 1 1 + - + - + ... + 2 4

o negativa, como en

( )

,, - 1

~ + "' ,

1 1 1- - + - - ···+ 3 9 ( )

"- 1 -t + ....

r = 1/ 2, a = 1

r = - 1/ 3, a =

Si r = 1, la n-ésima suma parcial de la serie geométrica es

Sn = a + a(l) + a(l)2 + ... + a(1)n - 1 = na,

y la serie diverge, porque límll->oo Sn = ± 00, según sea el signo de a. Si r '= - 1, la serie diverge porque las n-ésímas sumas parciales alternan entre a y O. Si Irl-:/=- 1, se determina la convergencia o divergencia de la serie en esta forma:

Sil = a + ar + a? + ... + aY' - 1

rs" = ar + a? + ... + aY'-1 + ar'

Sn - rs" = a - ar' SIl(1 - r) = a(1 - r')

a(1 - r') S" = 1 - r '

(r =t- 1).

Multiplicar Su por r .

Restar rsu de Su . La mayoría de los términos de lado derecho se cancelan . Factor.

Podemos despejar Su si ,. =t- l.

Si Irl < 1, entonces Y'--'>O cuando n--'> 00 (como en la sección 10.1) y sn--'>a/ (1 - r). Si 1 r 1 > 1, entonces 1 Y' 1--'> 00 y la serie diverge.

Si Irl < 1, la serie geométrica a + ar + ar2 + ... + ar" - l + . .. converge a a/O - r):

a 1 - r' Irl < 1.

Si 1 r 1 > 1, la serie diverge.

Hemos determinado cuándo una serie geométrica converge o diverge y a qué valor. Con frecuencia podemos determinar que una serie converge sin saber a qué valor lo hace, como lo veremos en varias de las siguientes secciones. La fórmula a/O - r) para la suma de una serie geométrica sólo se aplica cuando el Índice de la suma inicia con n = 1 en la expresión 2:~=1 ar,-l (o cuando el índice es n = O, si escribimos la serie como 2:~=0 aY').

EJEMPLO 1 La serie geométrica con a = 1/ 9 Y r = 1/ 3 es

1/ 9

- (1 / 3)

EJEMPLO 2 La serie

00 (-In 5 5 5 2:--=5- - +---+ '" 11 =0 4/1 4 16 64

1 6' •



es una serie geométrica con a = 5 Yr = -1/4. Converge a

aI - r

5 = 4.+ 0/4) •

a

a¡2 _

(a)

boOOOO

oID

~o

'"s s'" '"s'" ~.,A

s-s~

EJEMPLO 3 Se deja caer una pelota desde a metros de altura sobre una superficie plana.Cada vez que la pelota toca la superficie, después de caer una distancia h, rebota hasta una dis-tancia rh, donde r es positiva, pero menor que 1. Determine la distancia total que viaja la pelotahacia arriba y hacia abajo (figura 10.9).

Solución La distancia total es

(b)

FIGURA 10.9 (a) El ejemplo 3 muestracómo utilizar una serie geométrica paracalcular la distancia vertical total recorridapor una pelota que rebota, si la altura decada rebote se reduce en el factor r.(b) Una fotografía estroboscópica de unapelota que rebota.

2ar I + rs = a + 2ar + 2a? + 2a? + ... = a + -- = a--. I - r I - r'

Esta suma es 2ar/( l - r).

Por ejemplo, si a = 6 metros y r = 2/3, la distancia es

I + (2/3) (5/3)s = 6 I _ (2/3) = 6 173 = 30 m. •

EJEMPLO 4 Exprese el decimal periódico 5.232323 ... como la razón de dos enteros.

Solución Con base en la definición de un número decimal, obtenemos una serie geométrica

5.232323 ... = 5 +.1-ª- + ~ + ~ + ...100 (100)2 ooW

= 5 + 12g0(1 + -dJo + (-dJoY + ... )

1/(1 - 0.01)

a = 1,r = 1/100

23 ( I ) 23 5185 + 100 0.99 = 5 + 99 = 99 •

Por desgracia, las fórmulas como la suma de una serie geométrica convergente son escasas, porlo que con frecuencia tenemos que conformamos con un valor estimado de las sumas de las se-ries (después estudiaremos algo más sobre ello). Sin embargo, el siguiente ejemplo es otro casoen el que podemos hallar el valor exacto de la suma.

EJEMPLO 5 Determine la suma de la serie "telescópica" ~ ( I 1)'n=1 n n +

Solución Buscamos un patrón en la sucesión de sumas parciales que pueda conducimos auna fórmula para si. La observación clave es la descomposición en fracciones parciales

I I----nin + 1) n n + i '

de manera quek

k el)L I1)

L ---n=1 nin + n=1 n n + I

y

Al suprimir los paréntesis y cancelar los términos adyacentes de signos opuestos, la suma sereduce a

I---k + I .

Ahora vemos que Sk - I cuando k - 00 . La serie converge y la suma es 1:00 IL ( 1) = 1.n=1 n n + •


EJEMPLO 6 La serie


El criterio del término n-ésimo para una serie divergente

Una razón de que una serie puede no converger es que sus términos no sean pequeños.

~n+ 1 =~+l+±+ ... +.!.!.....±.-l+...n=l n 1 2 3 n

diverge porque las sumas parciales crecen finalmente por encima de cualquier número asig-nado. Cada término es mayor que 1, por lo cual la suma de n términos tiene que ser mayor~en. •

Observe que límn->ooan tiene que ser igual a cero si la serie :¿~=l a" converge. Para enten-der por qué, hagamos que S represente la suma de la serie y que Sn = al + a2 +...+ an seala n-ésima suma parcial. Cuando n es grande, tanto Sn como Sn-l están cerca de S, por lo cualsu diferencia, an, es próxima a cero. En términos más formales,

a; = Sn - Sn-l ~ S - S = O.Regla de la diferenciapara sucesiones.

TEOREMA 700

Si 2: an converge, entonces a; ~ O.n=l

Esto prueba el siguiente teorema.

I ¡Precaución!El teorema 7 no dice que L:;"=lan convergesi a" ~ O. Es posible que una serie diverjacuando a" ~ O.

El teorema 7 conduce a un criterio para detectar el tipo de divergencia que ocurrió en elejemplo 6.

Criterio del término n-ésimo para la divergencia002: a., diverge si lím an no existe o si es diferente de cero.

n=l n~OO

EJEMPLO 7 Los siguientes son ejemplos de series divergentes.00

(a) 2: n2 diverge porque n2 ~ oo.n=l

~n+l. n+l(b) kJ =«: diverge porque -n- ~ 1.n=l00

(e) 2: (_1)n+l diverge porque lírnn->oo(_1)n+l no existe.n=l

00 -n. . -n 1(d) 2: -2 S diverge porque hmll->oo-2 S = - -2 =fe. O.

n=l n + n + •EJEMPLO 8 La serie

111111 11 11 +-+-+-+-+-+-+ ...+-+-+ ...+-+ ...2 2 4 4 4 4 2n 2n 2n

2 términos 4 términos 2" términos

diverge, ya que los términos se pueden agrupar en grupos que suman 1, por lo que las sumasparciales aumentan sin cota. Sin embargo, los términos de la serie forman una sucesión queconverge a cero. El ejemplo 1 de la sección 10.3 muestra que la serie armónica también secomporta de esta manera. •


I ¡Precaución! El teorema 7 no dice que L~ I Qn converge si Q" ~ O. Es posible que una serie diverja cuando Q " ~ O.

El criterio del término n-ésimo para una serie divergente

Una razón de que una serie puede no converger es que sus términos no sean pequeños.

EJEMPLO 6 La serie

~~ = ~ + l +.1 + ... + ~ + .. . n=l n 1 2 3 n

diverge porque las sumas parciales crecen finalmente por encima de cualquier número asignado. Cada término es mayor que 1, por lo cual la suma de n términos tiene que ser mayor quen. •

Observe que límn->oo an tiene que ser igual a cero si la serie :¿~= l a" converge. Para entender por qué, hagamos que S represente la suma de la serie y que Sn = al + a2 + ... + an sea la n-ésima suma parcial. Cuando n es grande, tanto Sn como Sn-I están cerca de S, por lo cual su diferencia, an, es próxima a cero. En términos más formales,

an = Sn - Sn - I ~ S - S = O.

Esto prueba el siguiente teorema.

TEOREMA 7 00

Si 2: an converge, entonces an ~ O. n= l

Regla de la diferenc ia para sucesiones.

El teorema 7 conduce a un criterio para detectar el tipo de divergencia que ocurrió en el ejemplo 6.

Criterio del término n-ésimo para la divergencia 00

2: all diverge si lím an no existe o si es diferente de cero. n= l n~OO

EJEMPLO 7 Los siguientes son ejemplos de series divergentes.

00

(a) 2: n2 diverge porque n2 ~ oo . n=!

~n+ l . n+l (b) ~ - n- dlverge porque - n-~ 1.

n= ! 00

(e) 2: (_1)n + ! diverge porque límn->oo( _1)n+ l no existe. n=!

00 -n. . -n 1 (d) 2: -2 S d!verge porque hmll->oo -2 S = - -2 =fe. O.

n=! n + n +

EJEMPLO 8 La serie

111111 11 1 1 +- +- + - +- +- +- + .. . + - +- + .. . + - + ... 2 2 4 4 4 4 2n 2n 2n

2 términos 4 términos 2" términos

•

diverge, ya que los términos se pueden agrupar en grupos que suman 1, por lo que las sumas parciales aumentan sin cota. Sin embargo, los términos de la serie forman una sucesión que converge a cero. El ejemplo 1 de la sección 10.3 muestra que la serie armónica también se comporta de esta manera. •


---------------------------------------_ .......••••


Combinación de seriesSiempre que tenemos dos series convergentes, podemos sumarlas término a término, restarlastérmino a término o multiplicarlas por constantes para crear nuevas series convergentes.

1. Regla de la suma:2. Regla de la diferencia:3. Regla del múltiplo constante:

"L(an + bn) = "Lan + "Lbn = A + B

"L(an - bn) = "Lan - "Lbn = A - B"Lkan = k"Lan = kA (cualquier número k).

TEOREMA 8 Si "Lan = A Y "Lbn = B son series convergentes, entonces

Demostración Las tres reglas para series provienen de las reglas análogas para sucesiones delteorema 1, sección 10.1. Para demostrar la regla de la suma para series, sean

An = al + a2 + ... + an, B; = b, + b2 + ... + b.,

Entonces, las sumas parciales de "L(an + bn) son

Sn = (al + bl) + (a2 + b2) + + (an + bn)= (al + ... + an) + (b¡ + + bn)= An + s;

Como An ~ A YB; ~ B, tenemos Sn ~ A + B según la regla de la suma para sucesiones. Lademostración de la regla de la diferencia es similar.

Para demostrar la regla del múltiplo constante para sucesiones, observe que las sumas par-ciales de

Sn = ka, + ka.¿ + ... + kan = k(al + a2 + ... + an) = kAn,

que converge a kA por la regla del múltiplo constante para sucesiones. •Como corolarios del teorema 8, tenemos los siguientes resultados. Omitimos sus demos-

traciones.

1. Todo múltiplo constante no cero de una serie divergente, diverge.

2. Si "Lan converge y "Lbn diverge, entonces tanto "L(an + bn) como "L(an - bn)

divergen.

¡Cuidado! Recuerde que "L(an + bn) puede converger a pesar de que "Lan y "Lbn diverjan.Por ejemplo, "Lan = 1 + 1 + 1 + ... y "Lbn = (- 1) + (- 1) + (- 1) + ... divergen, mien-tras que "L(an + bn) = O + O + O + ... converge a O.

EJEMPLO 9 Halle las sumas de las siguientes series.

00 3n-1 _ 1 00 ( 1 1)(a) ~ 6n-1 = ~ 2n-1 - 6n-1

00 1 00 1= ~ 2n-1 - ~ 6n-1

n=1 n=1Regla de la diferencia

1 - 0/2)6 4=2--=-5 5

- 0/6)Serie geométrica cona = 1 Y r = 1/2, 1/6


Combinación de series

Siempre que tenemos dos series convergentes, podemos sumarlas término a término, restarlas término a término o multiplicarlas por constantes para crear nuevas series convergentes.

TEOREMA 8 Si Lan = A Y Lbn = B son series convergentes, entonces



L(an + bn) = Lan + Lbn = A + B

L(an - bn) = Lan - Lbn = A - B

3. Regla del múltiplo constante: Lkan = kLan = kA (cualquier número k) .

Demostración Las tres reglas para series provienen de las reglas análogas para sucesiones del teorema 1, sección 10.1. Para demostrar la regla de la suma para series, sean

Entonces, las sumas parciales de L(an + bn ) son

Sn = (al + b 1) + (a2 + b2) + ... + (an + bn)

= (al + ... + an) + (b¡ + ... + bn)

= An + Bn.

Como An ~ A Y Bn ~ B , tenemos Sn ~ A + B según la regla de la suma para sucesiones. La demostración de la regla de la diferencia es similar.

Para demostrar la regla del múltiplo constante para sucesiones, observe que las sumas parciales de

Sn = ka1 + ka2 + ... + kan = k(al + a2 + .. . + an) = kAn,

que converge a kA por la regla del múltiplo constante para sucesiones. • Como corolarios del teorema 8, tenemos los siguientes resultados. Omitimos sus demos

traciones.

1. Todo múltiplo constante no cero de una serie divergente, diverge.

2. Si Lan converge y Lbn diverge, entonces tanto L(an + bn) como L(an - bn )

divergen.

¡Cuidado! Recuerde que L(an + bn) puede converger a pesar de que Lan y Lbn diverjan. Por ejemplo, Lan = 1 + 1 + 1 + ... y Lbn = (- 1) + (- 1) + (- 1) + ... divergen, mien

tras que L(an + bn ) = O + O + O + ... converge a O.

EJEMPLO 9 Halle las sumas de las siguientes series.

00 3n - 1 _ 1 00 ( 1 1) (a) 2: 6n- 1 = 2: 2n-1 - 6n- 1 n=1 n=1

00 1 00 1 = 2: 2n- 1 - 2: 6n- 1 n=1 n=1

1 - 0/2)

=2 - -º-=± 5 5

- 0/6)

Regla de la diferencia

Seri e geométrica con

a = l Y r = 1/ 2, 1/ 6


= 8 •


Regla del múltiplo constante

Serie geométrica con a = 1, r = 1/2

Adición o eliminación de términosEn una serie siempre podemos agregar o eliminar un número finito de términos sin alterar laconvergencia o divergencia de la serie, aunque en el caso de la convergencia esto suele mo-dificar la suma. Si 2:::"= 1 a; converge, entonces 2: ::"=ka; converge para cualquier k > 1 Y

00 002: a" = al + a: + ... + ai : 1 + 2: a".n=1 n=k

Inversamente, si 2:::"=kan converge para toda k> 1, entonces 2:::"=1 a; converge. Así,

y

001 (001)2:,,= 2:""=45 ,,=15

1 1 1-------5 25 125 .

Renumeración de los términosBIOGRAFíA HISTÓRICA Mientras se preserve el orden de sus términos, es posible reenumerar cualquier serie sin alterar

su convergencia. Para aumentar en h unidades el valor inicial del índice, se sustituye la n en lafórmula de a; por n - h:

Richard Dedekind(1831-1916)

00 002: al1-h = al + az + a3 + ....l1=l+h

Para reducir en h unidades el valor inicial del índice, se sustituye la n de a" en la fórmulapor n + h:

00 002: a" = 2: an+h = al + az + a3 + ....11=1 ,,=I-h

Vimos esto al iniciar una serie geométrica con el índice n = 0, en vez del índice n = 1, peropodemos usar también cualquier valor del índice inicial. Por lo regular damos preferencia a in-dizaciones que llevan a expresiones más simples.

EJEMPLO 10 Escribimos la serie geométrica

como

00 1

2: 2'",,=000 l2: 2"-5'11=5

o incluso

Las sumas parciales siguen siendo las mismas, sin importar qué indización elijamos. •


BIOGRAFíA HISTÓRICA

Richard Dedekind ( 183 1 - 1 916)

Regla del múltiplo constante

- 4( 1 ) 1 - 0 /2)

Serie geométrica con a = 1, r = 1/ 2

= 8 • Adición o eliminación de términos

En una serie siempre podemos agregar o eliminar un número finito de términos sin alterar la convergencia o divergencia de la serie, aunque en el caso de la convergencia esto suele mo-

dificar la suma. Si L~= 1 an converge, entonces L ::"=k an converge para cualquier k > 1 Y

00 00

L a" = al + a2 + ... + ak- I + L al1 •

n= 1 n=k

Inversamente, si L :;kan converge para toda k > 1, entonces L~= l an converge. Así,

y

00 1 ( 1) L n= Ln 1/=4 5 1/= 1 5

1 - - -----5 25 125 .

Renumeración de los términos

Mientras se preserve el orden de sus términos, es posible reenumerar cualquier serie sin alterar su convergencia. Para aumentar en h unidades el valor inicial del índice, se sustituye la n en la fórmula de a/l por n - h:

00 00

~ a" = L a,, -h = al + a2 + a3 + .... /1 = 1 /1 = 1+"

Para reducir en h unidades el valor inicial del índice, se sustituye la n de al1 en la fórmula por n + h:

00 00

~ a" = ~ al/+h = al + a2 + a3 + .... 11 = 1 11=1 - 11

Vimos esto al iniciar una serie geométrica con el índice n = O, en vez del índice n = 1, pero podemos usar también cualquier valor del índice inicial. Por lo regular damos preferencia a indizaciones que llevan a expresiones más simples.

EJEMPLO 10 Escribimos la serie geométrica

como

00 1

~ 2'" /1=0

~ _ 1 _ _ 1 + .1 + .1 + .. . /1 = 12/1 - 1 - 2 4

00 1 ~ 2 /1 - 5'

11 ::::: 5

o incluso

Las sumas parciales siguen siendo las mismas, sin importar qué indización elijamos. •


Ejercicios 10.2


Encontrar las n-ésimas sumas parcialesEn los ejercicios I a 6, determine una fórmula para la n-ésirna suma parcialde cada serie y úsela para hallar la suma de la serie, si ésta converge.

1. 2+l+l+~+ ... +_2_+ ...3 9 27 3/1-1

2. ~ + _9_ + _9_ + ... + _9_ + ...100 1002 1003 100/1

3. 1 - 1+ 1- 1+ ... + (_1)/1-1_1_ + ...2 4 8 2/1-1

Aplicación del criterio del n-ésimo términoEn los ejercicios 27 a 34, utilice el criterio del n-ésimo término para ladivergencia con la finalidad de demostrar que la serie es divergente o in-dique si la prueba no es concluyente.

0027. ~_n_

/I~I n + 10

00 I29. ~--

/I~On + 4

~ nin + 1)28. .L..J

/I~I (n + 2)(n + 3)00

30. ~ -2-n-

/I~I n + 3

4. 1 - 2 + 4 - 8 + ... + (- 1)/1-12/1-1 + ...

5. _1_ + _1_ + _1_ + ... + I + ...2·3 3·4 4'5 (n+I)(n+2)

6. _5_ + _5_. + _5_ + ... + 5 + ...1 ·2 2· 3 3 . 4 nin + 1)

Series con términos geométricosEn los ejercicios 7 a 14, escriba algunos de los primeros términos de cadaserie para mostrar cómo comienza. Después encuentre la suma de la serie.

00 (-1)/1 00 I7.

I~~

8. ~-,,~2 4"

00 7~(-1)" S"9.

1~41l10.

/I~O 4

00 el) 00 el)11. ,~ 2/1+ 3/1 12. ,~ 2/1 - 3"

13. 00 (1- + (-1)/1)14. 00 e"+I)

,~ 2" 511 ~ 5/1

00 131. ~ cosri

n=132. ~_e_/l_

n~O e" + n

En los ejercicios 15 a 18, determine si la serie geométrica converge o di-verge. Si una serie converge, determine su suma.

00 133. ~ Inri

n=l

0034. ~ cos mr

11=0

16. + (- 3) + (- 3)2 + (- 3)3 + (- 3)4 + ...

17. (k) + (~y + (kY + (kY + (~y + ...

18. (~2y + (~2y + (~2y + (~2y + (~2y + ...

Decimales periódicosEn los ejercicios 19 a 26, exprese cada uno de los números como la razónde dos enteros.

19. 0.23 = 0.23 23 23 ...

20. 0.234 = 0.234234 234 ...

21. 0.7 = 0.7777 .

22. 02 = O.dddd , donde d es un dígito

23. 0.06 = 0.06666 ...

24. 1.414 = 1.414414414 ...

25. 1.24123 = 1.24123123123 .

26. 3.142857 = 3.142857142857 .

Series telescópicasEn los ejercicios 35 a 40, determine una fórmula para la n-ésima sumaparcial de la serie y utilícela para determinar si la serie converge o diverge.Si una serie converge, determine su suma.

00 (1 1)35. ~ ----n~1 n n + 1

00 (3 3)36. ~ 2' - 2

II~I n (n + 1)

37. ~ (In Vn+l - In Vn)n=l

0038. ~ (tan (n) - tan (n - 1))

n=1

39. ~ (cos-1C! 1) - cos-1C! 2))

40. ~ (Vn+4 - Vn+3)n=!

Determine la suma de cada serie en los ejercicios 41 a 48.00 4 00 6

41. ~ 42. ~ ----"----II~I (4n - 3)(4n + 1) II~I (2n - 1)(2n + 1)

43. ~ 4~n 2 44.II~I (2n - 1) (2n + 1)

00(1 1)45. ~ ,r - 46.II~I Vn Vn+l

47 ~ ( 1 _ I )',,~I In(n+2) In(n+l)

0048. ~(tan-I (n) - tan-I (n + 1))

n=l

Convergencia o divergenciaEn los ejercicios 49 a 68, ¿cuáles series convergen y cuáles divergen? Jus-tifique sus respuestas. Si una serie converge, calcule su suma.

00(1)"00

49. ~V2 50. ~(V2r.;Jn=O

~(-l)n+l~00

51. 52. ~(-I)"+lnn~1 2 1/=1

00 0053. ~ cos n7T 54. ~ cos n7T

n=O n=O 5"



00 00 155. L e-2n 56. ,~ ln3n

11=0

002 00 1

57. I~W 58. L7' Ixl> 1n=O

00 2n - 100 ( 1)n59. 1~-3-1I- 60. ,~ l-n

00~ nn61. L~ 62.

"=01000" 11=1n!

00 2" + 3" 00 2n + 4n63. 1~--4-n- 64. L 3n + 4nn=1

00 ( ) 00 ( )65. Lln _n_ 66. Lln _n_11=1 n + 1 n=1 2n + 1

00 ( )"00 1l7T

67. ,~ ~ 68. L :ne11=0

Series geométricas con una variable xEn cada una de las series geométricas de los ejercicios 69 a 72, escribaalgunos de los primeros términos para determinar a y r, luego calcule lasuma de la serie. Exprese después la desigualdad Ir! < 1 en términos de xy determine los valores de x para los cuales se satisface la desigualdad yla serie converge.

00 00

69. L(-l)nxn 70. L(-1)n~n11=0 n=O

00 ( 1)" 00 (-I)n ( 1 )n71. L x- 72. L-11=03-2- n=O 2 3+ senx

En los ejercicios 73 a 78, halle los valores de x para los cuales converge laserie geométrica dada. También determine la suma de la serie (como fun-ción de x) para los valores de x.

00 00

73. L2nxn 74. L(-I)"x-2n11=0 11=000

00 ( 1)"75. L( -l)n(x + l)n 76. L -- (x - 3)"1/=0 n=O 200 00

77. L senilx 78. L(lnx)n1/=0 n=O

Teoría y ejemplos79. La serie del ejercicio 5 también se puede escribir como

00 1L----11=1(n + 1)(n + 2)

y00 1L .n=-I (n + 3)(n + 4)

Escríbala como una suma que empieza con (a) n = -2, (b) n = O,(c)n=5.

80. La serie del ejercicio 6 también se puede escribir como

00 5L---='-----n=\ n(n + 1)

00 5Y ~ (n + 1)(n + 2) .

Escríbala como una suma que empieza con (a) n = -1, (b) n = 3,(c)n=20.

81. Construya una serie infinita de términos diferentes de cero cuya sumasea

a. 1 b. -3 c. O.

82. (Continuación del ejercicio 81). ¿Puede construir una serie infinitade términos diferentes de cero que converja a cualquier número quedesee? Explique.

83. Con un ejemplo, muestre que L(an/bn) puede ser divergente, a pesarde que Lan y Lb" converjan y ninguna b; sea igual a O.

84. Encuentre series geométricas convergentes A = Lan y B = Lb"para ilustrar el hecho de que Lanbn puede converger sin ser igualaAB.

85. Demuestre con un ejemplo que L(an/b,,) puede converger a un valordiferente de A/ B a pesar de que A = Lan, B = Lbn * O, Y ningunabn sea igual a O.

86. Si La" converge y an > O para toda n, ¿qué se puede decir acercade L(l/an)? Justifique su respuesta.

87. ¿Qué sucede cuando a una serie divergente le agrega o le elimina unnúmero finito de términos? Justifique sus dos respuestas.

88. Si Lan converge y Lbn diverge, ¿qué se puede decir acerca de susuma término a término L(an + bn)? Justifique su respuesta.

89. Construya una serie geométrica Lar"-I que converja al número 5, si

a. a = 2 b. a = 13/2.

90. Determine el valor de b para el cual

1 + é + e2b + e3b + ... = 9.

91. ¿Para qué valores de r la serie infinita

1 + 2r + ? + 2r3 + r4 + 2,-5 + r6 + ...

converge? Calcule la suma cuando la serie converge.

92. Demuestre que el error (L - Sn) resultante al remplazar una seriegeométrica convergente por una de sus sumas parciales s; esar"/(l - r).

93. La siguiente figura muestra los cinco primeros cuadrados de una su-cesión de cuadrados. El cuadrado exterior tiene 4 m? de área. Cadauno de los cuadrados interiores se obtiene al unir los puntos mediosde todos los lados de los cuadrados anteriores. Calcule la suma de lasáreas de todos los cuadrados.

94. Curva copo de nieve de Helga von Koch Esta curva tiene una lon-gitud infinita y delimita una región con área finita. Para saber por quéocurre esto, supongamos que la curva fue generada a partir de untriángulo equilátero cuyos lados tienen longitud l.

a. Calcule la longitud L; de la n-ésima curva C; y demuestre quelímn~ooL; = ex).

b. Determine el área A; de la región delimitada por C; y calculelímn~ooAn = (8/5) A \.

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10.3 Criterio de la integral 553

10.3 Criterio de LaintegraL

Dada una serie, necesitamos saber si converge o no. En esta sección, y en las dos siguientes,estudiamos las series con términos no negativos. Tal tipo de series convergen si su sucesión desumas parciales está acotada. Si establecemos que una serie dada converge, por lo general notenemos una fórmula disponible para su suma, por lo que estudiamos métodos para aproximarla suma.

Sumas parciaLes no decrecientesSuponga que L~=l a; es una serie infinita con a.; ;;:::Opara toda n. Entonces cada suma parciales mayor o igual que su precedente, ya que Sn+ 1 = s; + an:

Como las sumas parciales forman una sucesión no decreciente, el teorema de la sucesión nodecreciente (teorema 6, sección 10.1) nos indica los siguientes resultados.

Corolario del teorema 6 Una serie L:1 a; de términos no negativos, convergesi y sólo si sus sumas parciales están acotadas por arriba.

EJEMPLO 1 La serie

se denomina serie armónica. Esta serie es divergente, pero ello no se deduce del teorema deln-ésimo término. El n-ésimo término, l/n, tiende a cero, pero aun así la serie diverge. La ra-zón de que diverja es porque no hay cota superior para sus sumas parciales. Para ver por qué,agrupe los términos de la serie de la manera siguiente:

La suma de los primeros dos términos es 1.5. La suma de los siguientes dos términos es 1/3 +1/4, que es mayor que 1/4 + 1/4 = 1/2. La suma de los siguientes cuatro términos es l/S+ 1/6 + 1/7 + 1/8, que es mayor que 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2. La suma de los si-guientes ocho términos es 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16, quees mayor que 8/16 = 1/2. La suma de los siguientes 16 términos es mayor que 16/32 = 1/2Y así sucesivamente. En general, la suma de 2n términos que finalizan con 1/2"+1 es mayorque 2n/2n+l = 1/2. La sucesión de sumas parciales no está acotada por arriba: si n = 2\ lasuma parcial Sn es mayor que k/2. La serie armónica diverge. •

Criterio de LaintegraLAhora introducimos el criterio de la integral con una serie que está relacionada con la seriearmónica, pero cuyo n-ésimo término es 1/n2, en vez de l/n.

EJEMPLO 2 ¿La siguiente serie converge?

~~= 1 +.l+.l+-.L+ ... +~+ ...n=1 n 4 9 16 n2

10.3


Criterio de La integraL

Dada una serie, necesitamos saber si converge o no. En esta sección, y en las dos siguientes, estudiamos las series con términos no negativos. Tal tipo de series convergen si su sucesión de sumas parciales está acotada. Si establecemos que una serie dada converge, por lo general no tenemos una fórmula disponible para su suma, por lo que estudiamos métodos para aproximar la suma.

Sumas parciaLes no decrecientes

Suponga que L::"=l an es una serie infinita con an ;;::: O para toda n. Entonces cada suma parcial es mayor o igual que su precedente, ya que Sn+ 1 = Sn + an:

Como las sumas parciales forman una sucesión no decreciente, el teorema de la sucesión no decreciente (teorema 6, sección 10.1) nos indica los siguientes resultados.

Corolario del teorema 6 Una serie L: 1 an de términos no negativos, converge si y sólo si sus sumas parciales están acotadas por arriba.

EJEMPLO 1 La serie

se denomina serie armónica. Esta serie es divergente, pero ello no se deduce del teorema del n-ésimo término. El n-ésimo término, l / n, tiende a cero, pero aun así la serie diverge. La razón de que diverja es porque no hay cota superior para sus sumas parciales. Para ver por qué, agrupe los términos de la serie de la manera siguiente:

La suma de los primeros dos términos es 1.5. La suma de los siguientes dos términos es 1/ 3 + 1/ 4, que es mayor que 1/ 4 + 1/ 4 = 1/ 2. La suma de los siguientes cuatro términos es l / S + 1/ 6 + 1/ 7 + 1/ 8, que es mayor que 1/ 8 + 1/ 8 + 1/ 8 + 1/ 8 = 1/ 2. La suma de los siguientes ocho términos es 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16, que es mayor que 8/ 16 = 1/ 2. La suma de los siguientes 16 términos es mayor que 16/ 32 = 1/ 2 Y así sucesivamente. En general, la suma de 2n términos que finalizan con 1/ 2"+ 1 es mayor que 2n/ 2n+ 1 = 1/ 2. La sucesión de sumas parciales no está acotada por arriba: si n = 2\ la suma parcial Sn es mayor que k/2. La serie armónica diverge. •

Criterio de La integraL

Ahora introducimos el criterio de la integral con una serie que está relacionada con la serie armónica, pero cuyo n-ésimo término es l / n 2, en vez de l / n.

EJEMPLO 2 ¿La siguiente serie converge?


Solución Determinamos la convergencia de L:IO/n2) comparándola con ~000/x2) dx.Para realizar la comparación, consideramos los términos de la serie como los valores de lafunción f(x) = l/x2 e interpretamos dichos valores como las áreas de los rectángulos bajola curva y = l/x2.

Como muestra la figura 10.10,


y

(l ,f( 1))

Gráfica dej(x) = J,x-

o 2 3 4 ... n-In ...

FIGURA 10.10 La suma de las áreas de los

rectángulos bajo la gráfica de ¡(x) = l/x2 es

menor que el área bajo la gráfica (ejemplo 2).

I ¡Precaución!La serie y la integral no necesitan tener elmismo valor en el caso de que converjan.Como se hace notar en el ejemplo 2,2:~=1 0/n2) = 7f2/6 mientras que

Ji,oo/x2) dx = l.

y

.,

-+-----'---'--'------'--'---"-'---+ X

o 2 3 n n + 1

(a)y

-t-----'---'--L----'-~L----+xo 23 n-In

(b)

FIGURA 10.11 La serie 2::;"=Ia; Y laintegral ¡;OO(x) dx sujetas a las condiciones

del criterio de la integral, convergen

o divergen ambas.

1 1 1 1s =-+-+-+ ... +-n 12 22 32 n2

= fO) + f(2) + f(3) + ... + f(n)

< fO) + ln

~dxI x

La suma de las áreas de los rectánguloses menor que el área bajo la gráfica.

};"Cl/x2) dx < };oo(l/x2) dx< 1 + 100

~dxI x

< 1 + 1 = 2.Como en el ejemplo 3, de la sección 8.7,};oo( l/x2) dx = l.

Así, las sumas parciales de L:;O= I (l/n2) están acotadas por arriba (por 2) y la serie converge.Se sabe que la suma de la serie es 7r2/6 >::::: 1.64493. •

TEOREMA 9: Criterio de la integral Sea {an} una sucesión de términos posi-tivos. Suponga que a; = f(n), donde f es una función decreciente, positiva y conti-nua de x para toda x 2: N (N es un entero positivo). Entonces, la serie L:;O=Nan y laintegral 1:: f(x) dx convergen o divergen ambas.

Demostración Establecemos el criterio para el caso N = l. La prueba para una N generales similar.

Iniciamos con la suposición de que f es una función decreciente con f(n) = a; paratoda n. Lo anterior nos lleva a observar que los rectángulos de la figura l Ol l a, que tienenáreas al, au ... , a,,, colectivamente, encierran más área que la que está debajo de la curvay = f(x), desde x = 1 ax = n + 1. Esto es,

1"+1 f(x) dx :S al + az + .. , + ano

En la figura 10.11b los rectángulos se han colocado a la izquierda en vez de a la derecha.Si por el momento no consideramos el primer rectángulo, de área al, veremos que

1"a2 + a3 + ... + a,,:S I f(x) dx.

Si incluimos al, tenemos

al + a2 + ... + a" :S al + 1" f(x) dx.

Al combinar estos resultados, se obtiene

1,,+1 1"I f(x) dx :S al + a2 + ... + a.; :S al + I f(x) dx.

Tales desigualdades se cumplen para cada n y se continúan cumpliendo cuando n ~ 00 .

Si 1100

f(x) dx es finita, la desigualdad del lado derecho indica que Lan es finita. Si1¡00f(x) dx es infinita, la desigualdad del lado izquierdo indica que Lan es infinita. De aquíque la serie y la integral son finitas o infinitas ambas. •


y

1 12

(1 ,f(l))

Gráfica de fix) = --'o x-

1 ~ / (fl,fifl ))

~~~~~~~~~==~x o n - 1 n . ..

FIGURA 10.10 La suma de las áreas de los

rectángulos bajo la gráfica de ¡(x) = l/x2 es

menor que el área bajo la gráfica (ejemplo 2).

I ¡Precaución! La serie y la integral no necesitan tener el mismo valor en el caso de que converjan. Como se hace notar en el ejemplo 2,

2: :;0= 1 (I/n2) = 7T2/6 mientras que

j¡"°(l /x2) dx = l.

y

_+----'-_-'-_L-__ -'-_L-!!....L_-+ X

o 2 3 n n + 1

(a)

y

_~~-~-L---~~L----+x

o 23 n-In

(b)

FIGURA 10.11 La serie 2: :;0= l al! Y la

integral Ji)Q (x) dx sujetas a las condiciones

del criterio de la integral, convergen

o divergen ambas.

Solución Determinamos la convergencia de 2:: 10 /n2) comparándola con fI000 / x2) dx.

Para realizar la comparación, consideramos los términos de la serie como los valores de la

función f(x) = l/x2 e interpretamos dichos valores como las áreas de los rectángulos bajo la curva y = l /x2.

Como muestra la figura 10.10,

s = -.1+-.1+-.1+ ... + -.1 n 12 22 32 n2

= j(1) + j(2) + j(3) + ... + j(n)

< JO) + l n

~dx l X

l C0 1 < 1 + 2dx

1 x

< 1 + 1 = 2.

La suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área bajo la gráfica.

J'II 2 J'DO? ¡( I / x)dx < ¡ ( I /x- ) dr

Como en el ejemplo 3, de la sección 8.7, J¡DO( l / x2) e/r' = l.

Así, las sumas parciales de 2::;0= I (l / n2) están acotadas por arriba (por 2) y la serie converge. Se sabe que la suma de la serie es 7f2/ 6 >::::: l.64493 . •

TEOREMA 9: Criterio de la integral Sea {an } una sucesión de términos posi

tivos. Suponga que a ll = f(n), donde f es una función decreciente, positiva y conti

nua de x para toda x 2: N (N es un entero positivo). Entonces, la serie 2: :;O=N an y la

integral f : f(x) dx convergen o divergen ambas.

Demostración Establecemos el criterio para el caso N = 1. La prueba para una N general es similar.

Iniciamos con la suposición de que f es una función decreciente con f(n) = an para toda n. Lo anterior nos lleva a observar que los rectángulos de la figura 10.11 a, que tienen áreas al, a2, ... , an , colectivamente, encierran más área que la que está debajo de la curva y = f(x), desde x = 1 ax = n + l. Esto es,

111+1 f(x) dx :S al + a2 + .. . + ano

En la figura 10.11 b los rectángulos se han colocado a la izquierda en vez de a la derecha. Si por el momento no consideramos el primer rectángulo, de área al, veremos que

1" a2 + a3 + ... + a,, :S l f(x ) dx.

Si incluimos al, tenemos

al + a2 + ... + a" :S al + 1" f(x) dx.

Al combinar estos resultados, se obtiene

1"+ 1 1" l j(x) dx :S al + a2 + .. . + all :S al + 1 j(x) dx.

Tales desigualdades se cumplen para cada n y se continúan cumpliendo cuando n - (Xl .

Si floo

j(x) dx es finita , la desigualdad del lado derecho indica que 2:an es finita. Si

f¡oo f(x) dx es infinita, la desigualdad del lado izquierdo indica que 2:an es infinita. De aquí que la serie y la integral son finitas o infinitas ambas. •



EJEMPLO 3 Demuestre que la serie p

~~=~+~+~+ ... +~+ ...I~ nP lP 2P 3P nP

(p, un real constante), converge si p > 1 Y diverge si p :S: 1.

Solución Si p > 1, entonces f(x) = 1/ xP es una función positiva decreciente de x. Ya que

l

eo 1 leo [ -p+l ]b.JJ dx = x -P dx = lím ~ 1

1 X' 1 b->OO P + 1

= _1_ lím (_1 - 1)1 - p b->oo bP-1

1 1= --(O - 1)=--l-p p-l'

b,,-I -> 00 cuando b -> 00

ya que p - 1 > O.

I 00 1I La seriep 2: pn= 1 11

converge si p > 1, diverge si p oS 1.

por el criterio de la integral, la serie converge. Enfatizamos que la suma de la serie p no es1/(P - 1). La serie converge, pero no sabemos a qué valor converge.

Si p < 1, entonces 1 - p > O Y

reo ~dx = _1_ lím (b1-p - 1) = 00Jl xP 1 - p b->oo

Por el criterio de la integral, la serie diverge.Si p = 1, tenemos la serie armónica (divergente)

1 1 11 +-+-+ ... +-+ ...2 3 n .

Tenemos la convergencia para p > 1, pero divergencia para cualquier otro valor de p. •

La serie p, con p = 1, es la serie armónica (ejemplo 1). El criterio de la serie p indica quela serie armónica es divergente sólo por poco; si por ejemplo aumentamos p a l.000000001,¡la serie es convergente!

La lentitud con la que las sumas parciales de la serie armónica se aproximan a infinito esimpresionante. Por ejemplo, para que las sumas parciales sean mayores que 20, se deben tomaralrededor de 178 millones de términos. (También véase el ejercicio 43b).

EJEMPLO 4 La serie ~:'l O/(n2 + 1) no es una serie p, pero converge por el criterio de laintegral. La función f(x) = 1/(x2 + 1) es positiva, continua y decreciente para x :2: 1 Y

reo -2-1- dx = lím [arctan x 17JI x + 1 b->oo

= lím [arctan b - arctan 1]b->oo

2 4

Nuevamente enfatizamos que 7f / 4 no es la suma de la serie. La serie converge, pero no cono-cemos el valor de su suma. •

Estimación del errorSi, por el criterio de la integral, se demuestra que una serie ¡an es convergente, podríamosnecesitar estimar el tamaño del residuo RIl entre la suma total S de la serie y su n-ésima sumaparcial s.; Esto es, deseamos estimar

R; = S - Sn = all+l + al1+2 + all+3 +

r:: 00 1 Laseriep L p

,,= 1 11

converge si p > 1, diverge si p oS !.


EJEMPLO 3 Demuestre que la serie p

(p, un real constante), converge si p > 1 Y diverge si p oS 1.

Solución Si p > 1, entonces f(x) = 1/ x P es una función positiva decreciente de x . Ya que

l oo 1 100 [ - p + 1 ]b .JJ dx = x-P dx = lím ~ 1

I X' I b ..... oo P + I

= _1_ lím (_1 - 1) 1 - P b ..... oo bP - 1

1 1 = - -(O - 1) = --

l - p p-l' bP- 1 -> 00 cuando h -> 00

ya que p - I > O.

por el criterio de la integral, la serie converge. Enfatizamos que la suma de la serie p no es 1/ (P - 1). La serie converge, pero no sabemos a qué valor converge.

Si p < 1, entonces 1 - p > O Y

(00 1.. dx = _1_ lím (b1 - p - 1) = 00

JI xP 1 - P b ..... oo

Por el criterio de la integral, la serie diverge. Si p = 1, tenemos la serie armónica ( divergente)

1 1 1 1 +-+ - + ... + - + .. . 2 3 n .

Tenemos la convergencia para p > 1, pero divergencia para cualquier otro valor de p . _

La serie p , con p = 1, es la serie armónica (ejemplo 1). El criterio de la serie p indica que la serie armónica es divergente sólo por poco; si por ejemplo aumentamos p a 1.000000001 , ¡la serie es convergente!

La lentitud con la que las sumas parciales de la serie armónica se aproximan a infinito es impresionante. Por ejemplo, para que las sumas parciales sean mayores que 20, se deben tomar alrededor de 178 millones de términos. (También véase el ejercicio 43b).

EJEMPLO 4 La serie ~:' 1 0 / (n2 + 1) no es una serie p, pero converge por el criterio de la

integral. La función f(x) = 1/ (x2 + 1) es positiva, continua y decreciente para x 2: 1 Y

( 00 - 2-1- dx = lím [arctan x 17 JI x + 1 b ..... oo

= lím [arctan b - arctan 1] b ..... oo

2 4

Nuevamente enfatizamos que 7T / 4 no es la suma de la serie. La serie converge, pero no conocemos el valor de su suma. _

Estimación del error Si, por el criterio de la integral, se demuestra que una serie ¡an es convergente, podríamos necesitar estimar el tamaño del residuo RIl entre la suma total S de la serie y su n-ésima suma parcial Sil' Esto es, deseamos estimar



Para obtener una cota inferior para el residuo, comparamos la suma de las áreas de los rec-tángulos con el área bajo la curva y = f(x) para x 2: n (véase la figura 10.11a). Vemos que

RII = an+l + an+2 + an+3 + ... 2: 100

f(x) dx.n+1

De forma análoga, con base en la figura 10.11b, encontramos una cota superior con

Tales comparaciones demuestran el siguiente resultado, que proporciona cotas del tamaño delresiduo.

Cotas para el residuo en el criterio de la integralSuponga que {ak} es una sucesión de términos positivos con ak = f(k), donde f esuna función positiva, decreciente y continua de x para toda x 2: n y que ¡an convergea S. Entonces el residuo R; = S - Sn satisface las desigualdades

100 f(x) dx :S s; :S 100

f(x) dx.n+l n

(1)

Si sumamos las sumas parciales, Sn, a cada lado de las desigualdades en (1), obtendremos

Sn + 100

f(x) dx :S S :S Sil + 100

f(x) dxn+l n

ya que Sn + R; = S. Las desigualdades en (2) son útiles para la estimación del error al aproxi-mar la suma de una serie convergente. El error no puede ser mayor que la longitud del intervaloque contiene a S, como se da en (2).

EJEMPLO 5 Estime la suma de la serie ¿(1/n2) para ello, use las desigualdades en (2) yn = 10.

Solución Tenemos que

1001 ,[ l]b , (1 1) 1- dx = lím -- = lrm -- + - =-.n x2 b-'>oo x n b-'>oo b n n

Utilizando este resultado con las desigualdades en (2), obtendremos

+l<S< +1SIO 11- - SIO 10·

Si tomamos SIO = 1 + (1/4) + (1/9) + (1/16) + ... + (1/100) ~ 1.54977, esta última des-igualdad da

1.64068 :S S :S 1.64997.

Si aproximamos la suma S mediante el punto medio de este intervalo, encontraremos que

00 1~ 2" ~ 1.6453.n=l n

El error en dicha aproximación es menor que la mitad del intervalo, por lo que el error esmenor que 0.005. •

(2)


Para obtener una cota inferior para el residuo, comparamos la suma de las áreas de los rectángulos con el área bajo la curva y = f(x) para x 2: n (véase la figura 10.11a). Vemos que

RII = an+l + an+2 + an+3 + ... 2: l oo f(x) dx. n+ 1

De forma análoga, con base en la figura 10.11 b, encontramos una cota superior con

Rn = an+l + an+2 + an+3 + ... ::=;; ¡ oo f(X)dX.

Tales comparaciones demuestran el siguiente resultado, que proporciona cotas del tamaño del residuo.

Cotas para el residuo en el criterio de la integral

Suponga que {ad es una sucesión de términos positivos con ak = f(k), donde f es una función positiva, decreciente y continua de x para toda x 2: n y que 2,an converge a S. Entonces el residuo Rn = S - Sn satisface las desigualdades

l OO f(x) dx ::=;; Rn ::=;; l oo f(x) dx. n+l n

(1)

Si sumamos las sumas parciales, Sn, a cada lado de las desigualdades en (1), obtendremos

Sn + l oo f(x) dx ::=;; S ::=;; Sil + l oo f(x) dx n+l n

(2)

ya que Sn + RIl = S. Las desigualdades en (2) son útiles para la estimación del error al aproximar la suma de una serie convergente. El error no puede ser mayor que la longitud del intervalo que contiene a S, como se da en (2).

EJEMPLO 5 Estime la suma de la serie ¿(1/n2) para ello, use las desigualdades en (2) y n = 10.

Solución Tenemos que

- dx = hm - - = hm - - + - = -. l OO 1 ,[ l]b , (1 1) 1 n x2 b~oo x n b~oo b n n

Utilizando este resultado con las desigualdades en (2), obtendremos

+ l<S < + 1 SIO 11 - - SIO 10·

Si tomamos S10 = 1 + (1 / 4) + (1 / 9) + (1 / 16) + ... + (1 / 100) ~ 1.54977, esta última desigualdad da

1.64068 ::=;; S ::=;; 1.64997.

Si aproximamos la suma S mediante el punto medio de este intervalo, encontraremos que

00 1 ~ 2" ~ 1.6453.

1/ = 1 n

El error en dicha aproximación es menor que la mitad del intervalo, por lo que el error es menor que 0.005. •


Ejercicios 10.3


Aplicación del criterio de la integralUtilice el criterio de la integral para determinar si las series en los ejerci-cios 1 a 10 convergen o divergen. Asegúrese de verificar que se cumplenlas condiciones del criterio de la integral.

00 1

2. ~ nO.2

00 I4. :¿-

n~1 n + 4

00 16. :¿--2

n~2 n(ln n)

00 In (n2)

8. :¿-n-n=2

00 11. :¿2"

11=1 n00 1

3. :¿-2-n~1 n + 4

00

5. :¿ e-211

n=!

00,,_n_7. L.J

II~I n2 + 4

00 2

9. ,~ ;/3 10. ~ 2 n - 4n~2 n - 2n +

Determinación de convergencia o divergenciaEn los ejercicios 11 a 40, ¿cuáles series convergen y cuáles divergen?Justifique sus respuestas. (Cuando verifique una respuesta, recuerde queexiste más de una forma de determinar la convergencia y la divergenciade las series).

00 111. :¿-

n~1 10"

00

12. :¿ e-II

n=1

00 514. :¿--

II~I n + 1

00 315. ~ Vn

~ -818. L.J n

11=1

00

17. :¿11=1 8"

20. ,~~

00 2n21. :¿-,,~I3n

~---=L23. L.J

II~O n + 1

00 124. :¿--

n~1 2n - 1

27. ~ Vnn~2 In n

26.00 1:¿---=---

n~1 Vn(Vn + 1)00 I

,~ (In 2)"

00 I30. :¿--

n~1 (In 3)"29.

~ O/n)31. L.J

1I~3 (In n)\lln2 n - I

00 133. :¿ n senn

11=1

00

13. :¿_n_n~1 n + 1

~~16. L.J _ /:II~I n V n

~ Innn19. L.J11=2

00 5"22. ,,--

~4" + 3

00 2"25. :¿--

n~1 n + 1

00

" 132. L.J 2II~I n(1 + In n)

00 134. :¿ n tan n

n=1

35. ~ I +e" 2n11=1 e

00 236. :¿--

n~1 1 + en

37. ~ 8 tan-1

2n

1I~1 1+ n

00:¿_n_38. n~1 n2 + 1

00

39. :¿ sechn1/=1

40. :¿ sech? n11=1

Teoría y ejemplos¿Para qué valores de a, si los hay, las series de los ejercicios 41 y 42convergen?

00 ( 1 )41. :¿ _a _n~1 n + 2 n + 4

42. ~ (_1 __ ~)1I~3 n - I n + 1

43. a. Haga un dibujo como el de las figuras 10.7 y 10.8 para mostrarque las sumas parciales de la serie armónica satisfacen las desi-gualdades

In (n + 1) = ¡n+1 ~dx oS I + ~ + ... + *¡n I

oS 1 + 1 X dx = 1 + In n .

o b. No hay evidencia absolutamente empírica de la divergencia de laserie armónica, aunque sabemos que diverge. Las sumas parcialescrecen muy lentamente. Para ver lo que queremos decir, supongaque el proceso de suma inició en SI = 1 hace 13 mil millones deaños, el día en que se creó el Universo, y que se suma un nuevotérmino cada segundo. ¿Qué tan grande sería el valor de la sumaparcial Sil el día de hoy, suponiendo años de 365 días?

44. ¿Existen valores de x para los cuales 2::10/(nx)) converja? Justifi-que su respuesta.

45. ¿Es cierto que si 2:: 1 an es una serie divergente de números positi-vos, entonces también existe una serie divergente 2::1 b; de núme-ros positivos con b; < a; para toda n? ¿Existe una serie divergentede números positivos que sea "la más pequeña"? Justifique sus res-puestas.

46. (Continuación del ejercicio 45). Existe una serie convergente de nú-meros positivos que sea "la más grande"? Explique.

47. La serie 2::;"= 1 (1/( Vn+l)) diverge

a. Utilice la siguiente gráfica para demostrar que la suma parcial

S50 = 2:~~1(1/( Vn+1)) satisface

¡SI 1 dx < Sso < ¡so 1 dx.1 ~ )0 ~

Concluya que 11.5 < Sso < 12.3.

y

o 2 3 4 S ... 48 49 SO S 1

b. ¿Cuál debería ser el valor de n para que la suma parcial

Sil = 2:;'~1(1/(Vi+l)) satisfaga s, > 1000?

Ejercicios 10.3

Aplicación del criterio de la integral Utilice el criterio de la integral para determinar si las series en los ejercicios I a 10 convergen o divergen. Asegúrese de verificar que se cumplen las condiciones del criterio de la integral.

00 I 1. L "2

11=1 n

00 I 3. L -2-

11=1 n + 4 00

5. L e- 211

11 = 1

00 ,, _ n_ 7. L.J

11= 1 n2 + 4

00 2

9. L e'~/3 11= 1

00 1 2. ~ nO.2

00 I 4'L -

Fl n + 4

00 I 6. L - -2

11=2 n(lnn)

00 In (n2) 8. L - n-

n= 2

10. ~ 2 n - 4 11=211 - 211 + 1

Determinación de convergencia o divergencia En los ejercicios 11 a 40, ¿cuáles series convergen y cuáles divergen? Justifique sus respuestas. (Cuando verifique una respuesta, recuerde que existe más de una forma de determinar la convergencia y la divergencia de las series).

00 I 11. L -

1/=1 101/

00 5 14. L --

11=1 n + 1

00

17. L 11=1 8"

20. ~~ ~---=-L 23. L.J 11=0 n + 1

00 I 26. L ---=~::---

11 =1 Vn(Vn + 1)

00 I 29. L - -

11=1 (In 2)"

~ O/n) 31. L.J

11=3 (In n)\lln2 n - I

00 I 33. L nsen n

n=l

35. ~ I +ell

211 11=1 e

37. ~ 8 tan-1

211

11= 1 1 + 11

00

39. L sechn 1/ = 1

00 co

12. L e- II 13. L - n-

11= 1 n + I 11 = 1

00 3 15. ~ Vn ~~ 16. L.J _ r

11 = 1 n V n

~ - 8 18. L.J 11

~ Innn 19. L.J 11 =1 11 =2

00 2" 21. L-

11 = 1 3"

00 5" 22. ,, -~4" + 3

00 1 24. L--

11 = 1 2n - 1

00 2" 25. L --

11 = 111 + 1

27. ~ Vn 11 =2 In n

00 l 30. L - -

11=1 (In 3)"

00

32. L 2 11 =1 nO + In n)

00 1 34. L ntan n

n=1

00 2 36. L--

11 = 1 1 + e"

00

,,_11_ 38. L.J 2

11=1 n + 1

40. L sech2 n 11 =1

10.3 Criterio de la integral

Teoría y ejemplos ¿Para qué valores de a, si los hay, las series de los ejercicios 41 y 42 convergen?

41. L _ a _ __ _ 00 ( I ) 11 = 1 n + 2 n + 4

42. ~ (_1 _ _ ~) 11=3 n - l n + I

557

43. a. Haga un dibujo como el de las figuras 10.7 y 10.8 para mostrar que las sumas parciales de la serie armónica satisfacen las desigualdades

In (11 + 1) = ¡"+1 ~dx ,;::: 1 + t + ... + ~

¡n l :5 1 + 1 X dx = I + In n .

o b. No hay evidencia absolutamente empírica de la divergencia de la serie armónica, aunque sabemos que diverge. Las sumas parciales crecen muy lentamente. Para ver lo que queremos decir, suponga que el proceso de suma inició en SI = 1 hace 13 mil millones de años, el día en que se creó el Universo, y que se suma un nuevo término cada segundo. ¿Qué tan grande sería el valor de la suma parcial Sil el día de hoy, suponiendo años de 365 días?

44. ¿Existen valores de x para los cuales 2:~10/(nx)) converja? Justifique su respuesta.

45. ¿Es cierto que si 2:~ 1 a ll es una serie divergente de números positivos, entonces también existe una serie divergente 2:~1 bll de números positivos con bll < a ll para toda n? ¿Existe una serie divergente de números positivos que sea "la más pequeña"? Justifique sus respuestas.

46. (Continuación del ejercicio 45). Existe una serie convergente de números positivos que sea " la más grande"? Explique.

47. La serie 2:;;"=1 (1/( Vn+l)) diverge

a. Utilice la siguiente gráfica para demostrar que la suma parcial

Sso = 2:~~1 (1/( Vn+l')) satisface

¡51 1 ¡ 50 1 _ ~ dx < Sso < _ ~ dx.

1 vx+ l ° vx + 1

Concluya que 11.5 < Sso < 12.3.

y

1 f(x) = -~

I I 1-

o 2 3 4 S .. . 48 49 SO S 1

b. ¿Cuál debería ser el valor de n para que la suma parcial

Sil = 2:7=1 ( 1/ ( '\Ii+l)) satisfaga Sil > 1000?



48. La serie :¿:;"= 1 (1/n4) converge

a. Utilice la siguiente gráfica para determinar el error si S30 =

:¿~~I (l/n4) se usa para estimar el valor de :¿:I 0/n4).

y

2X 10-6 j(x) = ..1x4

1-I

x29 30 31 32 33

b. Determine n de manera que la suma parcial s; = :¿7=1 0/¡4) estimeel valor de :¿: 1 0/n4) con un error a lo sumo de 0.000001.

49. Estime el valor de :¿:;"=I 0/n3) a no más de 0.01 de su valor exacto.

50. Estime el valor de :¿:;"=2 0/(n2 + 4» a no más de 0.1 de su valorexacto.

51. ¿Cuántos términos de la serie convergente :¿:;"=l O/n 1.1) deben utili-zarse para estimar su valor con un error a lo sumo de 0.0000 I?

52. ¿Cuántos términos de la serie convergente :¿:;"=4 O/n(ln n)3) debenutilizarse para estimar su valor con un error a lo sumo de 0.01?

53. El criterio de condensación de Cauchy El criterio de condensa-ción de Cauchy dice: Sea {an} una sucesión no creciente (an ~ an+1para toda n) de términos positivos que converge a O. Entonces :¿an

converge si y sólo si :¿2na2". Por ejemplo, :¿O/n) diverge, yaque :¿2n• (1/2") = :¿ 1 diverge. Demuestre por qué este criteriofunciona.

54. Utilice el criterio de condensación de Cauchy, del ejercicio 53, parademostrar que

00 1a. 2: -1- diverge;

11=211 n n00

b. 2: ~ converge si p > 1 Y diverge si p ::; l.1/=1 n

55. Serie p logarítmica

a. Demuestre que la integral impropia

['00 dx (p una constante positiva)J2 x(lnx)P

converge si y sólo si p > l.

b. ¿Qué implicaciones tiene el hecho en el inciso (a) con respectoa la convergencia de la serie

~_l_?11=2 n(ln n)P .

Justifique su respuesta.

56. (Continuación del ejercicio 55.) Utilice el resultado del ejercicio 55para determinar cuáles de las siguientes series convergen y cuáles di-vergen. En cada caso, justifique su respuesta.

00 1 00 1a. 2:-- b. 2: 101

11=2 n(ln n) 11=2 n(ln n) .

10.4 Criterios de comparación

Hemos visto cómo determinar la convergencia de series geométricas, series p y algunas otras.Podemos demostrar la convergencia de muchas series más si comparamos sus términos con losde una serie cuya convergencia sea conocida.

00 1 00 1c. 2: --3 d. 2: --3

11=2 n In(n ) 11=2 n(ln n)

57. Constante de Euler Gráficas como las de la figura 10.11 sugierenque cuando n aumenta hay poco cambio en la diferencia entre la suma

y la integral

['" 1lnn = JI -Xdx.

Para explorar tal idea, realice los siguientes pasos.

a. Tomando f(x) = l/x en la demostración del teorema 9, demuestreque

In (n + 1) ::; + 1. + ... + 1. ::; I + In 112 n

o

0< ln(n + 1) - lnn ::;

Por lo tanto, la sucesión

está acotada por abajo y por arriba.

b. Demuestre que

I 1"+11--1 < -Xdx = In(n + 1) - Inn,n + n

y utilice el resultado para demostrar que la sucesión {an} delinciso (a) es decreciente.

Como una sucesión decreciente que está acotada por abajo con-verge, los números a; definidos en el inciso a) convergen:

1 +~+ ... +-k-lnn-->')'.

El número ')', cuyo valor es 0.5772 ... , se conoce como la constantede Euler.

58. Utilice el criterio de la integral para demostrar que

converge.

59. a. Para la serie :¿(1/n3), utilice las desigualdades en la ecuación (2)con n = 10 para determinar un intervalo que contenga a la suma S.

b. Como en el ejemplo 5, utilice el punto medio del intervalo deter-minado en el inciso (a) para aproximar la suma de la serie. ¿Cuáles el máximo error de su aproximación?

60. Repita el ejercicio 59 usando la serie :¿(1/n4).


10.4 Criterios de comparación 559

para toda n > N.

TEOREMA 10: Criterio de comparación Sea 2:an, 2:en y 2:dn series con térmi-nos no negativos. Suponga que para algún entero N

(a) Si ¡en converge, entonces ¡an también converge.(b) Si ¡d/1 diverge, entonces ¡a/1 también diverge.

Demostración En el inciso (a), las sumas parciales de ¡al/ están acotadas por abajo pory

00

M = al + ai + ... + aN + 2: c.:n=N+I

FIGURA 10.12 Si el área total ~c" de losrectángulos más altos, c.; es finita, entoncestambién lo será el área total ~all de losrectángulos más cortos a".

Por lo tanto, forman una sucesión no decreciente con un límite Les M. Esto es, si ¡e/1 converge,entonces también ¡ano La figura 10.12describe dicho resultado, donde cada término de cadaserie se interpreta como el área de un rectángulo (al igual que lo hicimos para el criterio de laintegral en la figura 10.11).

En el inciso (b), las sumas parciales de ¡al/ no están acotadas por arriba. Si lo fueran, lassumas parciales para ¡dn estarían acotadas por

00

M = d, + d2 + ... + dN + 2: a;n=N+I

y "¡dn tendría que converger en vez de divergir. _

EJEMPLO 1 Aplicamos el teorema lOa varias series.

(a) La serie00 S2:-n=1 Sn - 1

diverge, ya que su n-ésimo término


S =_1_>1Sn - 1 nn-S

es mayor que el n-ésimo término de la serie armónica que es divergente.(b) La serie

Albert of Saxony(ca.13l6-l390)

~1..= 1 +1..+1..+1..+ ...I/=on! l! 2! 3!

converge, ya que todos sus términos son positivos y menores o iguales a los correspon-dientes términos de

00 1 1 11+2:-=1+1+-+-+'"

n=O 2/1 2 22

La serie geométrica del lado izquierdo converge, por lo que tenemos00 1 1

1 + 2: 2/1= 1 + _ ( / ) = 3.1/=0 1 2

El hecho de que 3 sea una cota superior para las sumas parciales de 2:::"=0(l/n!) nosignifica que la serie converja a 3. Como veremos en la sección 10.9,la serie converge a e.

(e) La serie

S+1+1+1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...3 7 2 + VI 4 + V2 8 + v'3 2/1+ Vn

converge. Para ver esto, ignoramos los primeros tres términos y comparamos el restode los términos con los de la serie geométrica convergente 2:::"=00/2n). El término

y

FIGURA 10.12 Si el área total ¡G" de los rectángulos más altos, G", es finita, entonces también lo será el área total ¡a" de los

rectángulos más cortos a".

BIOGRAFÍA HI STÓRJCA

Albert of Saxony

(ca. 1316- 1390)


TEOREMA 10: Criterio de comparación Sea 2:ano 2:en y 2:dn series con términos no negativos. Suponga que para algún entero N

para toda n > N.

(a) Si ken converge, entonces kan también converge.

(h) Si k dl1 diverge, entonces ka l1 también diverge.

Demostración En el inciso (a), las sumas parciales de ka" están acotadas por abajo por

00

M = a l + a 2 + ... + aN + 2: el/' n=N+ l

Por lo tanto, forman una sucesión no decreciente con un límiteL :s; M. Esto es, si ke" converge, entonces también kan' La figura 1 0.12 describe dicho resultado, donde cada término de cada serie se interpreta como el área de un rectángulo (al igual que lo hicimos para el criterio de la integral en la figura 10.11).

En el inciso (b), las sumas parciales de ka" no están acotadas por arriba. Si lo fueran, las sumas parciales para kdn estarían acotadas por

00

M" = dI + d2 + ... + dN + 2: an n=N+ l

y kd" tendría que converger en vez de divergir. _

EJEMPLO 1 Aplicamos el teorema 10 a varias series.

(a) La serie

00 S 2:-n= l Sn - 1

diverge, ya que su n-ésimo término

-=--..::.S~ = _ 1_ > 1 Sn - 1 n n- S

es mayor que el n-ésimo término de la serie armónica que es divergente.

(b) La serie

~1..= 1 + 1.. + 1.. + 1..+ . .. ,,=o n! 1! 2! 3!

converge, ya que todos sus términos son positivos y menores o iguales a los correspondientes términos de

00 1 1 1 1+ 2: -= 1+1 +- + - +'"

n=O 211 2. 22

La serie geométrica del lado izquierdo converge, por lo que tenemos

00 1 1 + 2: 211 = 1 +

11=0

1 = 3. - 0 / 2)

El hecho de que 3 sea una cota superior para las sumas parciales de 2::;"=0 O/ n!) no signif ica que la serie converja a 3. Como veremos en la sección 10.9, la serie converge a e.

(e) La serie

S+1+1+1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 3 7 2 + VI 4 + v2 8 + V3 2" + Vn

converge. Para ver esto, ignoramos los prímeros tres términos y comparamos el resto

de los términos con los de la serie geométrica convergente 2::;"=00/211) . El término



1/ (2n + Vn) de la sucesión truncada es menor que el término correspondiente, 1/2n, de

la serie geométrica. Vemos que término a término tenemos la comparación,

a1. Si lím bn

= c > O, entonces ¡an y ¡bn convergen o divergen ambas.n---"'OO n

Así, por una aplicación del criterio de comparación, la serie truncada y la serie originalconvergen. •

Criterio de comparación del limiteAhora introducimos un criterio de comparación que es particularmente útil en series en las quean es una función racional.

TEOREMA 11: Criterio de comparación deL Limite Suponga que a; > O Y b« > Opara toda n ;:::N (N, un entero).

La definición de límitecon E = c/2, L = e ya" remplazado por a,,/ b;

a2. Si lím b" = O Y ¡bn converge, entonces ¡an converge.

n-)oOO n

a3. Si lím bn

= 00 y s», diverge, entonces ¡an diverge.n-)oOO n

Demostración Demostraremos la parte l. Las partes 2 y 3 se dejan como ejercicios 55a y b.Como c/2 > 0, existe un entero N tal que para toda n

Así, para n > N,

e a; C--<--C<-2 b.; 2'

EJEMPLO 2 ¿Cuáles de las siguientes series convergen y cuáles divergen?

Si ¡bn converge, entonces "Z(3c/2)bn converge y ¡an converge por el criterio de compara-ción directa. Si ¡bn diverge, entonces, por el criterio de comparación directa, "Z(c/2)bn y ¡an

divergen. •

(a) 1+ l + .l + ~ + ... = ~ 2n + 1 = ~ 2n + 14 9 16 25 n=l (n + 1)2 n=l n2 + 2n +

(e) 1 + 2 In 2 + 1 + 3 In 3 + 1 + 4 In 4 + ... = ~ 1 + n In n9 14 21 n=2 n2 + 5


1/ (2n + Vn) de la sucesión truncada es menor que el término correspondiente, 1 /2n , de

la serie geométrica. Vemos que término a término tenemos la comparación,

Así, por una aplicación del criterio de comparación, la serie truncada y la serie original convergen. •

Criterio de comparación del limite

Ahora introducimos un criterio de comparación que es particularmente útil en series en las que an es una función racional.

TEOREMA 11: Criterio de comparación deL Limite Suponga que an > O Y bn > O para toda n ;::: N (N, un entero).

a 1. Si lím b

n = c > O, entonces ¡an y ¡bn convergen o divergen ambas.

n~OO n

a 2. Si lím b

n = O Y ¡bn converge, entonces ¡an converge.

n-)oOO n

a 3. Si lím b

n = 00 y ¡bn diverge, entonces ¡a" diverge.

11 -)000 n

Demostración Demostraremos la parte l. Las partes 2 y 3 se dejan como ejercicios 55a y b. Como c/ 2 > O, existe un entero N tal que para toda n

Así, para n > N,

e an e - -< --c <-2 bn 2'

La definición de límite con E = c/2, L = e y a" remplazado por a,,/ b"

Si ¡bn converge, entonces 'Z(3c/ 2)b" converge y ¡a" converge por el criterio de comparación directa. Si ¡bn diverge, entonces, por el criterio de comparación directa, 'Z(c/ 2)bn y ¡an

divergen. •

EJEMPLO 2 ¿Cuáles de las siguientes series convergen y cuáles divergen?

(a) 1. + 2 + .l + ~ + ... = ~ 2n + 1 = ~ 2n + 1 4 9 16 25 n=! (n + 1)2 n= l n2 + 2n +

1 1 1 1 00 1 (b) 1 + "3 + "7 + 15 + ... = ~ 2n - 1

(e) 1 + 2In 2 + 1 + 3 In 3 + 1 + 4In 4 + ... = ~ 1 ~ n In n 9 14 21 n= 2 n + 5



Soludón Aplicamos el criterio de comparación del límite a cada serie.

(a) Sea an = (2n + 0/(n2 + 2n + O. Para n grande, como los términos principales domi-nan, esperamos que an se comporte como 2n/n2 = 2/n, así que bn = l/n. Ya que

00 00 1 .2: b" = 2: n divergen=1 n=1

y

lím an = lím 2n2 + n = 2,

n ....•OO bn n....•OO n2 + 2n +

Por la parte 1 del criterio de comparación del límite, lan diverge. También podríamoshaber utilizado b; = 2/n, pero l/n es más sencillo.

(b) Sea a; = 1/(2n - O. Para n grande, esperamos que a; se comporte como 1/2n, así quetomamos b; = 1/2n. Como

00 00 1~ i; = ,~ 2n converge

y

,an , 2nlím -= lím ---

n....•OO b" n....•OO 2n - 1

1= límn ....•OO 1

= 1,

Por la parte 1 del criterio de comparación del límite, lan converge.

(e) Sea an = O + n In n) / (n2 + 5). Para n grande, esperamos que a., se comporte como(n In n)/n2 = (in n)/n, que es mayor a I/n para n 2:: 3, así que tomamos b, = I/n. Ya que

00 0012: b; = 2: n diverge,,=2 n=2

y

lím an = lím n + n2

In nn ....•OO bn n ....•OO n2 + 5

= 00,

por la parte 3 del criterio de comparación del límite, lan diverge. •EJEMPLO 3 L . ~ Inn ?¿ a sene ~ 3/2 converge.

n=1 n

Solución Puesto que In n crece más lentamente que n'' para cualquier constante positiva e(ejercicio 105, sección 10.1), es posible comparar la serie con una serie p convergente. Paraobtener la serie p, vemos que

Inn n1/4 1-<-=-n3/2 n3/2 n5/4

para n suficientemente grande. Entonces, tomando a" = (In n)/n3/2 y b.; = l/n5/4, tenemos

1, a; lí In n1m- = 1m--n....•oo bn n ....•OO n 1/4

l/n= lím -------=--:-:-

n ....•OO 0/4)n-3/4Regla de UHópital

= lím ;/4 = O.n----7>OO n

Como 2:.bn= 2:.( l/n5/4) es una serie p con p > 1, converge, por lo que lan converge por laparte 2 del criterio de comparación del límite. •

10.4 Criterios de compa raci ón 561

Soludón Aplicamos el criterio de comparación del límite a cada serie.

(a) Sea an = (2n + 1)/ (n 2 + 2n + 1). Para n grande, como los términos principales domi-nan, esperamos que an se comporte como 2n/n2 = 2/n, así que bn = l /n. Ya que

00 00 1 . 2: bn = 2: Ji d1verge n= 1 n= 1

y

lím al! = lím 2n2

+ n = 2, n ->OO bn 11->00 n2 + 2n +

Por la parte 1 del criterio de comparación del límite, ¡an diverge. También podríamos haber utilizado b" = 2/ n, pero l / n es más sencillo.

(b) Sea an = 1/ (2n - 1). Para n grande, esperamos que an se comporte como 1/ 2n, así que tomamos bn = 1/ 2n. Como

00 00 1 ~ bn = ~ 2n converge

y

,an , 2n

hm -b = hm -2n--n-----i;(X) n n~OO -

= lím 1 n ->OO 1 - (1 / 2n)

= 1,

Por la parte 1 del criterio de comparación del límite, ¡an converge.

(e) Sea an = (1 + n In n) / (n2 + 5). Para n grande, esperamos que an se comporte como

(n In n)/ n2 = (In n)/ n, que es mayor a l / n para n 2: 3, así que tomamos bn = l / no Ya que 00 00

1 2: bn = 2: Ji diverge n=2 n=2

y

lím an = lím n + n2

In n n ->OO bn n ->OO n2 + 5

= 00,

por la parte 3 del criterio de comparación del límite, ¡an diverge.

EJEMPLO 3 L . ~ In n ? ¿ a sene ~ 3/ 2 converge.

n=1 n

•

Solución Puesto que In n crece más lentamente que n e para cualquier constante positiva e (ejercicio 105, sección 10.1), es posible comparar la serie con una serie p convergente. Para obtener la serie p , vemos que

lnn n1/4 1 -< -=

n3/ 2 n3/ 2 n5/4

para n suficientemente grande. Entonces, tomando an = (In n)/n 3/ 2 y bn = l/n5/4, tenemos

1, an l ' In n 1m - = 1m--n ->oo bn n->OO n 1/ 4

l / n = lím - --

n->OO (1 / 4)n- 3/4

= lím ;/4 = O. n~oo n

Regla de CH6pital

Como 2:,bn = 2:,(1 / n5/4) es una serie p con p > 1, converge, por lo que ¡an converge por la

parte 2 del criterio de comparación del límite. •



Ejercicios 10.4

Criterio de comparaciónEn los ejercicios 1 a 8, utilice el criterio de comparación para determinarsi cada serie converge o diverge.

00 11. L~2-

,,~In + 3000

~ ~ + 23. L 1 4.1I=2~ - n~2 ¡¡ - tí:

~ cos2 ¡¡00

5. 6.,~ ¡¡~",,~I ¡¡3/2

7. ~)¡¡ +4 8. ~ ~+1,,~I ¡¡4 + 4 n~l~

Criterio de comparación del límiteEn los ejercicios 9 a 16, utilice el criterio de comparación del límite paradeterminar si cada serie converge o diverge.

~ ¡¡ - 29. ,,~I¡¡3 _ ¡¡2 + 3

(Sugerencia: Comparación del límite con L~I 0/n2»

~)n+ 1,,~I n2 + 2

(Sugerencia: Comparación del límite con L~ 1 (I/~)); nin + 1) ;_2"_.L, 12. .L,,,~2 (n2 + I)(n - 1) ,,~I 3 + 4"

10.

11.

00 51113. L--

IFI~4"

00 115. L-

IF21nn

(Sugerencia: Comparación del límite con L~2 (I/n»

16. ,~ In(1 + ~2)

(Sugerencia: Comparación del límite con L~ 1 O/ n2»

14. ~ (2n + 3)nII~I 5n + 4

Determinación de convergencia o divergenciaEn los ejercicios 17 a 54, ¿cuáles de las series convergen y cuáles diver-gen? Emplee cualquier método y justifique sus respuestas.

00 1 00 3

17. ,~ 2~ + ~ 18. ,~ n + ~19. ~ sen

2 n11=1 211

00

21. ~~,,~I3n - 1;~22. .L, _ r:1I~ln2vn

+ cosnn2

20. L11=1

00 00 5n3 - 3n23. L IOn + 1 24. L,,~Inin + 1)(n + 2) 1I~3n2(n - 2)(n2 + 5)

00 ( )"

00 00

25.,~ 3n: 1 26. L 1 27. L-I~

,,~IW+2 n~3 In (In n)00 (In n)2 00 00 (lnn)2

28. L-3- 29. L_l~ 30. ~------;¡i211=1 n n~2 ~ Inn

00 ~ In(n + 1) 00

131. L_l- 32. 33. L,,~I1 + lnn ,,~2 n + 1 ,,~2n~

~~ 35. ~ 1 -"n00 n + 2"

34. 36.~~,,~In2 + 1 ,,~I n2

0000 3"-1 + 1

37.1~3"-/+1

38.,~ 3"

0000 2" + 3n

39. L~·~ 40. L 3" + 4",,~In2 + 3n 5n 11=1

00 2"00 ( )41. L~ 42. L In _n_

n~1 n2n n~1 n + 100

43. L.L11=2 n!

(Sugerencia: Primero demuestre que O/ni) oS O/n(n - 1» paran ?: 2).

~ (n - 1)! 00 00

44. 45. L sen k 46. L tank,,~I(n + 2)! n=1 11=1

47. ~ tan-I n 48. ~ sec-I n 49. ~ cot~n11=1 nl.l ,,~I n1.3 11=1 n

~ ta~n00

~~50. 51. L~I~ 52.11=1 n 11=1 n-yr,; n=1 n

00

100

I53. L 1+2+3+"'+n 54. L + 22 + 32 + ... + n211=1 11=1

Teoría y ejemplos55. Demuestre (a) la parte 2 y (b) la parte 3 del criterio de comparación

del límite.

56. Si L:;"~Ia; es una serie convergente de números no negativos, ¿quépuede decir acerca de L:;"~I(an/n)? Explique.

57. Suponga que a; > O Y b; > O para n ?: N (N, un entero). Silím,,->oo (a,,/b,,) = ex) y Lan converge, ¿qué puede decir con res-pecto a 2,b,,? Justifique su respuesta.

58. Demuestre que si 2,an es una serie convergente de términos no nega-tivos, entonces Lan

2 converge.

59. Suponga que a; > O Y lím a; = oc. Demuestre que 2,a" diverge.n->OO

60. Suponga que a; > O Y lím n2an = O. Demuestre que 2,a" converge.n->OO

61. Demuestre que L~2 (Iln n)q/Ifl) converge para -00 < q < ex) yp>1.

(Sugerencia: Comparación del límite con L:2 l/nr para1 < r < p.)

62. (Continuación del ejercicio 61). Demuestre que L:;"~2((1n n)q/nP)

diverge para - 00 < q < 00 y O < p oS 1.

(Sugerencia: Comparación del límite con una serie p adecuada).

En los ejercicios 63 a 68, utilice los resultados de los ejercicios 61 y 62para determinar si cada serie converge o diverge.

00 (lnn?63. L-4-

11=2 n ~!Ef00 (In n)I/5

I~~

00 1

68.,~~

64.

65. 66.

67.


10.5 Criterios de la raíz y de la razón 563

EXPLORACIONES CON COMPUTADORA69. Aún no se sabe si la serie

70. a. Utilice el teorema 8 para demostrar que

00 1L-3-2-11=1 n sen n

S=~ 1 +~(-.L_ 1 )11=1 nin + 1) 11=1 n2 n(n + 1)

converge o diverge. Utilice un SAC para explorar el comportamientode la serie y realice los siguientes pasos.

a. Defina la sucesión de sumas parciales

donde S = L:I 0/n2), la suma de una serie p convergente.

b. Con base en el ejemplo 5 de la sección 10.2, demuestre que

k

Sk = L -3-1-2-'

11=1 n sen n

S=l+~ 21

11=1 n (n + 1)

¿Qué sucede al tratar de determinar el límite de Sk cuandok -7 oo? ¿Su SAC puede determinar una respuesta en formacerrada para este límite?

b. Trace los primeros 100 puntos (k, Sk) para la sucesión de sumasparciales. ¿Parece que converge? ¿Cuál cree que es el límite?

c. Ahora trace los primeros 200 puntos (k, Sk). Analice el compor-tamiento y explíquelo con sus palabras.

d. Trace los primeros 400 puntos (k, Sk). ¿Qué sucede cuandok = 355? Calcule el número 355/113. Con base en sus cálculos,explique qué sucedió en k = 355. ¿Para qué valores de k pronos-ticaría que este comportamiento ocurra nuevamente?

c. Explique por qué al tomar M términos en la serie del inciso (b),se obtiene una mejor aproximación para S que al tomar losprimeros M en la serie original L:=;'=I(1/n2).

d. Se sabe que el valor exacto de S es 'Tf2 / 6. ¿Cuál de las sumas

1000000 1L 2" o

11=1 n

1000 11 + L -2---''---

11=1 n (n + 1)

da una mejor aproximación para S?

10.S Criterios de La raíz y de La razón

El criterio de la razón mide la tasa de crecimiento (o disminución) de una serie examinan-do la razón a,,+ 1 j a.; Para una serie geométrica Lar", esta razón es una constanteCCar'+1)jCar') = r), y la serie converge si y sólo si su razón, en valor absoluto, es menorque l. El criterio de la razón es una regla poderosa para ampliar ese resultado.

TEOREMA 12: Criterio de La razón Sea La" una serie con términos positivos ysuponga que

, an+llím -a- = p.

n~OO ti

Entonces (a) la serie converge si p < 1, (b) la serie diverge si p > 1 o p es infinito,(e) el criterio no es concluyente si p = 1.

Demostración

(a) p < 1. Sea r un número entre p y l. Entonces, el número E

Comor - p es positivo.

entonces an+ 1j a" debe estar entre E y P cuando n es suficientemente grande, digamos,para toda n 2:: N. En particular,

an+l----¡¡;;- < p + E = r, cuando n 2:: N.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORA 69. Aún no se sabe si la serie

00 1 L -3-2-

11= 1 n sen n

converge o diverge. Utilice un SAC para explorar el comportamiento de la serie y realice los siguientes pasos.

a. Defina la sucesión de sumas parciales

k 1 Sk = L - 3--2- .

11=1 n sen n

¿Qué sucede al tratar de determinar el límite de Sk cuando k -'> <Xl? ¿Su SAC puede determinar una respuesta en forma cerrada para este límite?

b. Trace los primeros 100 puntos (k, Sk) para la sucesión de sumas parciales. ¿Parece que converge? ¿Cuál cree que es el límite?

c. Ahora trace los primeros 200 puntos (k, Sk) . Analice el comportamiento y explíquelo con sus palabras.

d. Trace los primeros 400 puntos (k, sÜ. ¿Qué sucede cuando k = 355? Calcule el número 355/ 113. Con base en sus cálculos, explique qué sucedió en k = 355. ¿Para qué valores de k pronosticaría que este comportamiento ocurra nuevamente?

10.S Criterios de La raíz y de La razón


70. a. Utilice el teorema 8 para demostrar que

S = ~ I +~(-.L _ 1 ) 11=1 n(n + 1) 11= 1 n2 n(n + 1)

donde S = L : I (1 / n2), la suma de una serie p convergente.

b. Con base en el ejemplo 5 de la sección 10.2, demuestre que

S=I+~ 21

11= 1 n (n + 1)

c. Explique por qué al tomar M términos en la serie del inciso (b), se obtiene una mejor aproximación para S que al tomar los

primeros M en la serie original L;=:'=I (l / n2) .

d. Se sabe que el valor exacto de S es 7T2 / 6. ¿Cuál de las sumas

1000000 1 L 2" o

11 = 1 n

1000 1 1 + L -2--''----

11=1 n (n + 1)

da una mejor aproximación para S?

El criterio de la razón mide la tasa de crecimiento (o disminución) de una serie examinando la razón all + I j all' Para una serie geométrica Lar" , esta razón es una constante CCar"+I)j Car') = r), y la serie converge si y sólo si su razón, en valor absoluto, es menor que l. El criterio de la razón es una regla poderosa para ampliar ese resultado.

TEOREMA 12: Criterio de La razón Sea La" una serie con términos positivos y suponga que

, an+1 hm -a- = p. n~OO fl

Entonces (a) la serie converge si p < 1, (b) la serie diverge si p > 1 o p es infinito, (e) el criterio no es concluyente si p = 1.

Demostración

(a) p < 1. Sea r un número entre p y 1. Entonces, el número E

Como r - p es positivo.

entonces an+ I j all debe estar entre E y P cuando n es suficientemente grande, digamos, para toda n 2:: N. En particular,

an+l ----¡¡;;- < p + E = r, cuando n 2:: N.



Esto es,

aN+1 < raii,

aN+2 < ran«, < r2aN,

aN+3 < rau-: < r3aN,

Tales desigualdades indican que los términos de nuestras series, a partir del n-ésimo tér-mino, se aproximan a cero más rápidamente que los términos en una serie geométrica conrazón r < l. Con mayor precisión, considere la serie 2-en, donde en = a; para n = 1, 2, ... ,n YeN+1 = rav, eN+2 = r2aN, ... , eN+m = rmaN, ... Ahora, an:5 en para toda n y

00

Len = al + a2 + ... + aN-1 + aN + raN + ?aN + ...n=1

= al + a2 + + aN-1 + au'; 1 + r + ? + "').La serie geométrica 1 + r + r2 + converge, ya que Ir I < 1, así que 2-en converge.Como an :5 en, 2-an también converge.

(b) 1 < P :5 oc , A partir de cierto Índice M,

y aM < aM+ 1 < aM+2 < ....

Los términos de la serie no tienden a cero cuando n tiende a infinito, de manera que porel criterio del n-ésimo término, la serie diverge.

(e) p = 1. Las dos series00 1L /1" yn=1

demuestran que debe utilizarse algún otro criterio para convergencia cuando p = l.

00 1Para L /1":

n=1an+1

an

l/(n + 1) n~---=---41

l/n n + 1 .

l/(n + 1)2= (_n_)2 -412= l.1/n2 n + 1

00 1Para L 2":

n=1 n

En ambos casos, pconverge.

1, pero la primera serie diverge, mientras que la segunda

•Con frecuencia, el criterio de la razón es efectivo cuando los términos de una serie con-

tienen factoriales de expresiones que incluyen a n o expresiones elevadas a un exponente queincluye a n.

EJEMPLO 1 Investigue la convergencia de las siguientes series.

00 2n + 5(a) ~-3n~

00 (2n)!(b) ~ n!n!

00 4n I I(e) L~

n=1 (2n)!

SoLución A cada serie le aplicamos el criterio de la razón.

(a) Para la serie 2::'0 (2n + 5)/3n,

(2n+1 + 5)/3

17+

1= 1. +1 ( )2n + 5 = 1. 2 + 5'rn -41. l = l

(2" + 5)/3" 3 2n + 5 3 1 + 5' 2 n 3 1 3 .

La serie converge, ya que p = 2/3 es menor que l. Eso no significa que 2/3 es la sumade la serie. De hecho,

00 2n + 5 00 (2)" co 5L-=L - +L~=17=0 3" ,,=0 3 ,,=0 3"

1 + _--=-5 __- (2/3) - 0/3)

212'


Esto es,

aN+ I < raN,

aN+2 < raN+ I < r 2aN,

aN+3 < raN+2 < r 3aN,

Tales desigualdades indican que los términos de nuestras series, a partir del n-ésirno término, se aproximan a cero más rápidamente que los términos en una serie geométrica con razón r < l . Con mayor precisión, considere la serie Len, donde en = an para n = 1, 2, ... , n Y eN+ I = raN, eN+2 = r 2aN, . . . , eN+m = r maN, ... Ahora, an ::s en para toda n y

00

2: en = al + a2 + ... + aN- I + aN + raN + ,)aN + ... n= 1

= al + a2+···+aN- I + aNO +r+,2+·· ·).

La serie geométrica 1 + r + r 2 + ... converge, ya que Ir I < 1, así que Len converge. Como an ::s ell , Lan también converge.

(b) 1 < p ::s oo. A partir de cierto Índice M,

y

Los términos de la serie no tienden a cero cuando n tiende a infinito, de manera que por el criterio del n-ésimo término, la serie diverge.

(e) p = 1. Las dos series

00 1 2: n y n=l

00 1 2: 2

11 = 1 n

demuestran que debe utilizarse algún otro criterio para convergencia cuando p = l.

00 1 an+1 l / (n + 1) = __ n_~ 1 Para 2: - . all n · l / n n + 1 . n= 1

00 1 an+ 1 l / (n + 1)2 =C: 1y~12 =1. Para 2: 2: an 1/ n2 n= 1 n

En ambos casos, p 1, pero la primera serie diverge, mientras que la segunda converge. •

Con frecuencia, el criterio de la razón es efectivo cuando los términos de una serie contienen factoriales de expresiones que incluyen a n o expresiones elevadas a un exponente que incluye a n.

EJEMPLO 1 Investigue la convergencia de las siguientes series.

(a) ~ 2" ~ 5 11 = 0 3

00 (2n)! (b) 2: - ,- ,

11=1 n .n.

00 4// , , (e) 2:~

//=1 (2n)!

Solución A cada serie le aplicamos el criterio de la razón.

(a) Para la serie 2:: 0 (2/1 + 5)/ 3/1 ,

2" + 5 = l. 2 + 5 . T" ~ 1 . l = l (2n+

1 + 5)/ 3n+

1 = l. + 1 ( )

(2n + 5)/ 311 3 2// + 5 3 1 + 5·2 // 3 1 3·

La serie converge, ya que p = 2/ 3 es menor que 1. Eso no significa que 2/ 3 es la suma de la serie. De hecho,

00 2/1 + 5 00 (2)11 00 5 2: - =2: - + 2:- = n=O 3/1 1/=0 3 11 = 0 3"

1 + _ --,--5 __ - (2/3) - 0/3)

21 2·



. (2n)! (2n + 2)!(b) SI all = n!n! ' entonces an+1 = (n + l)!(n + 1)! Y

an+l n!n!(2n + 2)(2n + 1)(2n)!a; (n + 1)!(n + 1)!(2n)!

(2n + 2)(2n + 1) 4n + 2-'------'--'-------'--= --- ~ 4.(n + 1)(n + 1) n + 1

La serie diverge, ya que p = 4 es mayor que 1.(e) Si an = 4nn!n!/(2n)!, entonces

an+l 4n+l(n + 1)!(n + 1)! (2n)!a; (2n + 2)(2n + 1)(2n)! 4"n!n!

4(n + l)(n + 1) 2(n + 1)= = ~1(2n + 2)(2n + 1) 2n + 1 .

Puesto que el límite es p = 1, con base en el criterio de la razón no es posible decidir sila serie converge. Cuando observamos que an+¡fall = (2n + 2)/(2n + 1), concluimos quean+l siempre es mayor que a., ya que (2n + 2)/(2n + 1) siempre es mayor que 1. Porlo tanto, todos los términos son mayores o iguales a al = 2, mientras el n-ésimo términono se aproxima a cero n ~ oo , La serie diverge. _

Criterio de la raízLos criterios de convergencia que tenemos hasta ahora para "2.an funcionan mejor cuando lafórmula para a; es relativamente sencilla. Considere la serie con los términos.

n imparn par.

Para investigar la convergencia, escribimos varios términos de la serie:

(X) 1 1 3 1 5 1 7~all = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + ...

1131517= "2 + ¡+ "8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ....

Claramente, no es una serie geométrica. El n-ésimo término se aproxima a cero cuandon ~ 00 , así que el criterio del n-ésimo término no nos indica si la serie diverge. El criterio dela integral no parece prometedor. El criterio de la razón produce

an+1 = {21n,

a; n + 12 '

n impar

n par.

Cuando n ~ 00, la razón es grande y pequeña en forma alternada, por lo que no tiene límite.Sin embargo, veremos que el siguiente criterio establece que la serie converge,

Entonces (a) la serie converge si p < 1, (b) la serie diverge si p > 1 o p es infinita,(e) el criterio no es concluyente si p = 1. r

TEOREMA 13: Criterio de La raíz Sea "2.an una serie con a; 2: O para n 2: N,y suponga que

lím ~ = p.n---+(X)


. (2n)! (2n + 2)! (b) SI all = n!n! ' entonces an+ 1 = (n + l)!(n + 1)! Y

an + l n!n!(2n + 2)(2n + 1)(2n)!

an (n + 1)!(n + 1)!(2n)!

(2n + 2)(2n + 1) 4n + 2 ------- = - -- -" 4.

(n + 1)(n + 1) n + 1

La serie diverge, ya que p = 4 es mayor que 1.

(e) Si an = 4nn!n! / (2n)! , entonces

a n+ l 4n+ l(n + l)!(n + 1)! (2n)!

all (2n + 2)(2n + 1)(2n)! 4"n!n!

4(n + 1)(n + 1) 2(n + 1) = = -"1

(2n + 2)(2n + 1) 2n + 1 .

Puesto que el límite es p = 1, con base en el criterio de la razón no es posible decidir si la serie converge. Cuando observamos que a n+ l / a ll = (2n + 2)/ (2n + 1), concluimos que a n+ l siempre es mayor que a n, ya que (2n + 2)/ (2n + 1) siempre es mayor que 1. Por 10 tanto, todos los términos son mayores o iguales a al = 2, mientras el n-ésimo término no se aproxima a cero n -" oo. La serie diverge. •

Criterio de la raiz

Los criterios de convergencia que tenemos hasta ahora para "2-an funcionan mejor cuando la fórmula para an es relativamente sencilla. Considere la serie con los términos.

n impar

n par.

Para investigar la convergencia, escribimos varios términos de la serie:

1131517 = "2 + ¡ + "8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ....

Claramente, no es una serie geométrica. El n-ésimo término se aproxima a cero cuando n -" 00 , así que el criterio del n-ésimo término no nos indica si la serie diverge. El criterio de la integral no parece prometedor. El criterio de la razón produce

a n+ 1 = {21n,

an n + 1

2 '

n impar

n par.

Cuando n -" 00, la razón es grande y pequeña en forma alternada, por lo que no tiene límite. Sin embargo, veremos que el siguiente criterio establece que la serie converge,

TEOREMA 13: Criterio de La raiz Sea "2-an una serie con a n 2: O para n 2: N, y suponga que

lím ~ = p. n ---+ OO

Entonces (a) la serie converge si p < 1, (b) la serie diverge si p > 1 o p es infinita, (e) el criterio no es concluyente si p = 1. r


EJEMPLO 2 n imparn par.


Demostración

(a) p < 1. Elijamos una E > O tan pequeña que p + E < 1. Como \1;;:, ~ p, los términos

\1;;:, finalmente se aproximan más a E que a p. En otras palabras, existe un índice M 2: N,tal que

cuando n 2: M.

Entonces, también es cierto que

a; < (p + e )" para n 2: M.

Ahora, 22';M (p + e)", una serie geométrica con razón (p + E) < 1, converge. Por com-

paración, 22';Man converge, de lo cual se sigue que

00 00

2:a" = al + ... + aM-1 + 2:a",,=1 n=M

converge.

(b) 1 < p :S oo. Para todos los índices posteriores a algún entero M, tenemos \1;;:, > 1, demanera que a; > 1 para n > M. Los términos de la serie no convergen a cero. Por el cri-terio del n-ésimo término, la serie diverge.

(e) p = 1. Las series 22';1 O/n) y 22';1 O/n2) indican que el criterio no es concluyentecuando p = l. La primera serie diverge y la segunda converge, pero en ambos casos.sr:van~ l. •

{n/2n

Nuevamente considere la serie con términos a" = 1/2":

¿La serie ¡an converge?

Solución Al aplicar el criterio de la raíz, encontramos que

\Ya:: = {-Y/;¡/2,a" 1/2,

n Imparn par.

Por lo tanto,

.1 <: .sr: <: ~2 - van - 2'

(e) 0< 1. •

Como -y/;¡~ 1(sección 10.1,teorema 5), tenemos límn-->oo \1;;:, = 1/2por el teorema de com-presión. El límite es menor que 1, así que, por el criterio de la raíz, la serie converge. •

EJEMPLO 3 ¿Cuál de las siguientes series convergen y cuáles divergen?

00 2(a) ~ ~n (b) ~ 2:

11=1 n00 ( 1 )"(e) 2: --

11=1 1 + n

Solución A cada serie le aplicamos el criterio de la raíz.

00 n2 "w W (-y/;¡)2 12(a) ~ 2"converge, ya que \j2ñ = \fi!' = --2- ~ 2 < 1.

00 2" . 11ry. 2 22: 3 diverge, porque 11/3= (,,,/)3 ~ 3 > 1.n=ln 'Vn v n 1

00 ( 1 )n ~n 12: -1-- converge, puesto que 11 -1-- = -1-- ~,,=1 + n + n + n

(b)


Demostración

(a) p < 1. Elijamos una E > O tan pequeña que p + E < 1. Como "\1;;;, ~ p, los términos

"\1;;;, finalmente se aproximan más a E que a p. En otras palabras, existe un índice M 2: N, tal que

,/11 van < p + E cuando n 2: M.

Entonces, también es cierto que

all < (p + E)II para n 2: M.

Ahora, 2:::"=M (p + E)n, una serie geométrica con razón (p + E) < 1, converge. Por com

paración, 2:::"=Man converge, de lo cual se sigue que

00 00 ~all = al + ... + aM-I + ~all

1/ = 1 11 = M

converge.

(b) 1 < P :S oo. Para todos los índices posteriores a algún entero M, tenemos "\1;;;, > 1, de manera que an > 1 para n > M. Los télminos de la serie no convergen a cero. Por el criterio del n-ésimo término, la serie diverge.

(e) p = 1. Las series 2:::"=1 O/n) y 2:::"=1 0 /n2) indican que el criterio no es concluyente cuando p = 1. La primera serie diverge y la segunda converge, pero en ambos casos ,ni van ~ 1. •

EJEMPLO 2 Nuevamente considere la serie con términos an =

¿La serie ¡all converge?

Solución Al aplicar el criterio de la raíz, encontramos que

Por lo tanto,

\Ya: = {~/2, 11 1/ 2,

n impar

n par.

1. -< ,ni -< ví,; 2 - van - 2·

{n/ 211

,

1/2",

n impar

n par.

Como ~ ~ 1 (sección 10.1 , teorema 5), tenemos limll ..... oo "\1;;;, = 1/ 2 por el teorema de compresión. El límite es menor que 1, así que, por el criterio de la raíz, la serie converge. •

EJEMPLO 3 ¿Cuál de las siguientes series convergen y cuáles divergen?

00 2

(a) ,~~n (b) ~ 2: n= l n

00 ( 1 ) 11 (e) ~ --11 = 1 l + n

Solución A cada serie le aplicamos el criterio de la raíz.

00 n2 ,,{;? W (~)2 12 (a) li 211 converge, ya que \jzn = ~ = --2- ~ 2" < l.

00 211 . 11 r:y. 2 2 ~ 3 dlverge, porque 11 /3 = (," í )3 ~ 3 > 1.

11 =1 n IJn Vn I (b)

(e) 00 (1)11 ~" 1 ~ -1- - converge, puesto que 11 -1- - = -1- - ~ 11 = 1 + n + n + n

0< 1. •



Ejercicios 10.5

Aplicación del criterio de la razón 00 (n + 3)! 00 n2"(n + I)!En los ejercicios 1 a 8, utilice el criterio de la razón para determinar si cada 35.

,~ 3!n!3"36.

,~ 31ln!serie converge o diverge.

00

~n!00 211

~ n + 2 37. L n! 38.1. L- 2. 11=1(2n + I )! 11=1 n"1/=1 n! 11=1 311

00 00

~ (n - 1)! 00 2,,+1 39. L~ 40.,~ (In :)(11/2)3. 4. L? 11=2 n n

,,=1 (n + 1)2 11=1 n00 00

L n!lnn 31100 n4 00 3"+2 41. 42. L-

5.1~411

6. L- 11=1nin + 2)! 11=1 n32/111=2 Inn

~ (n!? 00 (2n + 3)(211 + 3)00 n2(n + 2)! 00

L n511 43. 44.

~ 3" + 27. L 13211 8.1) "=1 (2n)!

1/=1 n. 11=1(2n + 3) In(n +

Aplicación del criterio de la raízEn los ejercicios 9 a 16, utilice el criterio de la raíz para determinar si cadaserie converge o diverge.

Términos definidos de manera recursiva ¿Cuáles de las seriesL~=I a; definidas mediante las fórmulas en los ejercicios 45 a 54 con-vergen y cuáles divergen? Justifique sus respuestas.

I + sen n45. al = 2, all+1 = n a"00 00 411

9.,~ (2n : 5)11

10. L (3 )1111=1 n

11. ~ (4n + 3)" 12. ~ (In(e2 + *) )"+111=1 311.- 5

00

14. ~ senil (~)13.,~ (3 + (~jn))211 1/=1 n

00 ( Ir15. L 1--11=1 n(Sugerencia: lím (1 + xjn)1I = e")

/1---')-00

00

16. L-I-1/=2 nl+II

46. al = 1, all+1

47. al

48. al = 3,

«;50. al = 5, all+1 = -2-all

Determinación de convergencia o divergenciaEn los ejercicios 17 a 44, utilice cualquier método para determinar si la se-rie converge o diverge. Justifique su respuesta.

oonV2 00

17. ,~ Y 18. l~n2e-1I

51. al I + lnn1, an+l = --n--all

I52. al = 2'

53. I %.,al 3' an+l = an

54. I an+l = (al1)"+1al 2'

00

~~19. Ln!e-n 20.11=1 11=11011

00 nlo,~ (n ~ 2)"21.

I~W22.

00 2 + (_1)11 00 (-2)1123.

,~ 1.2511 24. I~---Y;-

00 ( 3)11 00 ( 1 )1125. L 1-/1 26. L 1 --

1/=1 11=1 3n.!

~ In;100 (In n)1I

27. 28. ~----;;n11=1 n

00 el) 00 e 1)1129. L /1 - 2 30. L /1 - 21/=1 n n=! n

31. ~ Inn 32. ~ nlnn11=1 11 11=1 2"

~ (n + I)(n + 2) 00

33. 34. Le-lI(n3)1/=\ n! 1/=1

Convergencia o divergencia¿Cuáles de las series en los ejercicios 55 a 62 convergen y cuáles diver-gen? Justifique sus respuestas.

~ 2"n!n!55. .L..11=1 (2n)!

00 (3n)!56. L-----

11=1n!(n + I)!(n + 2)!00 (n!)1I

57. ~ (nll)2

00 (n!)1I58. L-(1I2)

1/=1 n00 11

60. ,~ (;')2

00 1·3· .... (2n - 1)61. ,~ 4112I1n!

00 1.3· ... '(2n - 1)62. L -------

11=1[2·4' .... (2n)](311 + 1)



Teoría y ejemplos63. Ni el criterio de la razón ni el criterio de la raíz ayudan con las se-

ries p. Inténtelo con{n/2/1,

65. Sea a; = 1/2n,si n es un número primoen caso contrario.

¿La serie kan converge? Justifique su respuesta.

66. Demuestre que :2::;"=12(/l2)/n! diverge. Recuerde que de la ley de losexponentes se tiene 2(/1') = (2/1)/1.

y demuestre que ambos criterios fallan al dar información acerca dela convergencia.

64. Demuestre que ni el criterio de la razón ni el de la raíz dan informa-ción acerca de la convergencia de

00 l2:-11=2 (In n)P

(p constante) .

Series aLternantes, convergencia absoLuta y convergencia condicionaL10.6Una serie en la que los términos son positivos y negativos en forma alternante es una serie al-ternante. A continuación se presentan tres ejemplos:

1 1 1 1 (_1)n+l1--+---+--"'+ + ...

2 3 4 5 n

1 1 1 (-1)"4-2 + 1 - - + - - - + ... + --- + ...2 4 8 2"

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (-1)"+ln + ...Con base en tales ejemplos, vemos que el n-ésimo término de una serie alternante es de laforma

o

!I

donde Un = la,,1 es un número positivo.La serie (1), llamada serie armónica alternante, converge, como lo veremos en un mo-

mento. La serie (2),una serie geométrica con razón r = -1/2, converge a -2/[1 + (1/2)]=-4/3. La serie (3) diverge, ya que el n-ésimo término no se aproxima a cero.

Probamos la convergencia de la serie armónica alternante por medio de una aplicación delcriterio de la serie alternante. El criterio es para la convergencia de una serie alternante, por loque no puede utilizarse para concluir que tal serie diverge.

TEOREMA 14: Criterio de la serie aLternante (criterio de Leibniz) La serie

co

2:(_1)II+lun = Ul - U2 + U3 - U4 + ...n=1

converge si se satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. Todas las Un son positivas.2. Las Un positivas (en algún momento) son no crecientes: Un 2: Un+l para toda

n 2: N, para algún entero N.3. un~O.

Demostración Suponga que N = l. Si n es un entero par, digamos n = 2m, entonces la sumade los primeros n términos es

S2m = (Ul - U2) + (U3 - U4) + ... + (U2m-¡ - U2m)

= U¡ - (U2 - U3) - (U4 - us) - ... - (U2m-2 - U2m-l) - U2m·

(1)

(2)

(3)


Teoría y ejemplos 63. Ni el criterio de la razón ni el criterio de la raíz ayudan con las se

ries p. Inténtelo con {

n/ 2'" 65. Sea a" = 1/ 2",

si n es un número primo

en caso contrario.

¿La serie kan converge? Justifique su respuesta.

66. Demuestre que :¿:;"=1 2(,,2)/n! diverge. Recuerde que de la ley de los

exponentes se tiene 2(n2) = (2n)n.

y demuestre que ambos criterios fallan al dar información acerca de la convergencia.

64. Demuestre que ni el criterio de la razón ni el de la raíz dan informa-ción acerca de la convergencia de

10.6

00 I 2:-,, =2 (In n)P

(p constante) .

Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional

Una serie en la que los términos son positivos y negativos en forma alternante es una serie alternante. A continuación se presentan tres ejemplos:

1 1 1 1 (_1)n+ l 1- - +- - -+ - - " '+ + ...

2 3 4 5 n (1)

1 1 1 (-1)"4 -2 + 1 - - + - - - + ... + - -- + ...

2 4 8 2/l (2)

- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (_l)n + ln + ... (3)

Con base en tales ejemplos, vemos que el n-ésimo término de una serie alternante es de la forma

o

donde Un = lan l es un número positivo. La serie (1), llamada serie armónica alternante, converge, como lo veremos en un mo

mento. La serie (2), una serie geométrica con razón r = -1 / 2, converge a -2/[1 + (1 / 2)] = -4/3. La serie (3) diverge, ya que el n-ésimo término no se aproxima a cero.

Probamos la convergencia de la serie armónica alternante por medio de una aplicación del criterio de la serie alternante. El criterio es para la convergencia de una serie alternante, por lo que no puede utilizarse para concluir que tal serie diverge.

TEOREMA 14: Criterio de la serie alternante (criterio de Leibniz) La serie

00

2:(_1)n+ lun = Ul - U2 + U3 - U4 + ... n =1

converge si se satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. Todas las Un son positivas.

2. Las Un positivas (en algún momento) son no crecientes: Un 2: Un+l para toda n 2: N, para algún entero N.

3. un~O.

Demostración Suponga que N = l . Si n es un entero par, digamos n = 2m, entonces la suma de los primeros n términos es

S2m = (Ul - U2) + (U3 - U4) + .. . + (U2rn-l - U2m)

= U¡ - (U2 - U3) - (U4 - us) - ... - (U2m - 2 - U2m -¡) - U2111'


=

10.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 569

La primera igualdad muestra que S2m es la suma de m términos no negativos, ya que cada tér-mino entre paréntesis es positivo o cero. De aquí que S2m+2 2: S2m Y la sucesión {S2m} es no de-creciente. La segunda igualdad muestra que S2m ::s UI. Como {S2m} es no decreciente y estáacotada por arriba, tiene un límite, digamos,

lím S2m = L.m-.:,.OO (4)

Si n es un entero impar, digamos, n = 2m + 1, entonces la suma de los primeros n tér-minos es S2m+ l = S2m + U2m+ l·Ya que Un --'> O,

lím U2m+1 = Omr+ 00

y, cuando m --'> 00 ,

S2m+1 = S2m + U2m+1 --'> L + O = L. (5)

Al combinar los resultados de las ecuaciones (4) y (5), se obtiene lím,....•oo Sn = L (sección10.1, ejercicio 131). •

EJEMPLO 1 La serie armónica alternante

~(_l)n+l1. = 1 _1. + 1._1. + ...n=1 n 2 3 4

satisface los tres requisitos del teorema 14 con N = 1; por lo tanto, converge. •En vez de verificar directamente la definición Un 2: Un+ 1,una segunda forma de demostrar

que la sucesión {un} es no creciente consiste en definir una función derivable f(x) que satisfagaf(n) = Un· Esto es, los valores de f coinciden con los valores de la sucesión en todo entero po-sitivo n. Si f' (x) ::s O para toda x mayor o igual que algún entero positivo N, entonces f(x) es nocreciente para x 2: N. Se deduce que f(n) 2: f(n + 1) o Un 2: Un+ I para n 2: N.

EJEMPLO 2 Considere la sucesión donde Un = 10n/(n2 + 16). Definaf(x) = IOx/(x2 + 16).Entonces, con base en la regla de la derivada del cociente

siempre que x 2: 4.

Se sigue que U" 2: Un+ 1para n 2: 4. Esto es, la sucesión {un} es no creciente para n 2: 4. •

+UI )

( -U2

+u3 )

+-----U4-

o S2 L

Una interpretación gráfica de las sumas parciales (figura 10.13) muestra cómo una seriealternante converge a su límite L cuando se satisfacen las tres condiciones del teorema 14 conN = 1. A partir del origen del eje x, establecemos la distancia positiva SI = UI. Para determinarel punto correspondiente a S2 = UI - U2, regresamos una distancia igual a U2. Ya que U2 ::s UI,

no nos regresamos más allá del origen. Continuamos de esta manera el vaivén, regresando yavanzando conforme los signos de la serie lo demanden. Pero para n 2: N, cada paso de avanceo de regreso es más pequeño (o a lo sumo del mismo tamaño) que el que le precede, ya que

x Un+ 1 ::s Un. Como el n-ésimo término tiende a cero cuando n aumenta, el tamaño de paso haciaSI adelante o de regreso se hace cada vez más pequeño. Oscilamos al cruzar el límite L y la am-

plitud de la oscilación tiende a cero. El límite L está entre cualesquiera dos sumas sucesivasSn y Sn+ 1;por lo tanto, difieren de Sn una cantidad menor que Un+ l.

Puesto que

FIGURA 10.13 Las sumas parciales deuna serie alternante, que satisface lashipótesis del teorema 14 para N = 1, oscilanalrededor del límite desde el principio.

IL - snl < un+1 para n 2: N,

hacemos estimaciones útiles de las sumas de series alternantes convergentes.



TEOREMA 15: Teorema de estimaóón para series alternantes Si la serie alter-

nante 2::1 (_1)n+ IUn satisface las tres condiciones del teorema 14, entonces paran ?:. N,

se aproxima a la suma L de la serie con un error cuyo valor absoluto es menor queUn+ 1, el valor numérico del primer término que no se utiliza. Además, la suma L estáentre cualesquiera dos sumas parciales s., y Sn+ ¡, mientras que el residuo, L - s.,tiene el mismo signo que el primer término que no se utiliza.

Dejamos para el ejercicio 61 la verificación del signo del residuo.

EJEMPLO 3 Aplicamos el teorema 15 con una serie cuya suma conocemos:

El teorema indica que si truncamos la serie después del octavo término, prescindiremos deun total que es positivo y menor que 1/256. La suma de los primeros ocho términos es Ss =0.6640625 y la suma de los primeros nueve términos es S9 = 0.66796875. La suma de la seriegeométrica es

1 23/2 3'1 - (-1/2)

y observamos que 0.6640625 < (2/3) < 0.66796875. La diferencia (2/3) - 0.66406250.0026041666 ... es positiva y menor que (1/256) = 0.00390625. •

Convergencia absoluta y convergencia condicional

Es posible aplicar los criterios de convergencia estudiados a la serie de valores absolutos de unaserie con términos tanto positivos como negativos.

DEFINICIÓN Una serie 2,an converge absolutamente (es absolutamente conver-gente) si la serie correspondiente de valores absolutos, 2:1 a; 1, converge.

La serie geométrica del ejemplo 3 converge absolutamente, ya que la serie correspondientede valores absolutos

~ .i , 1 +1.+1.+1.+ .../1=0 2/1 2 4 8

converge. La serie armónica altemante no converge absolutamente, ya que la serie correspon-diente de valores absolutos es la serie armónica (divergente).

DEFINICIÓN Una serie que converge, pero no converge absolutamente, convergecondicionalmente.

La serie armónica altemante converge condicionalmente.La convergencia absoluta es importante por dos razones. Primera, tenemos buenos crite-

rios para la convergencia de series de términos positivos. Segunda, si una serie converge abso-lutamente, entonces converge, como demostraremos a continuación.


TEOREMA 15: Teorema de estimación para series alternantes Si la serie alter

nante 2:: 1 (_l)n + IUn satisface las tres condiciones del teorema 14, entonces para

n ?:. N,

se aproxima a la suma L de la serie con un error cuyo valor absoluto es menor que U n+ 1, el valor numérico del primer término que no se utiliza. Además, la suma L está entre cualesquiera dos sumas parciales Sn y Sn + ¡, mientras que el residuo, L - Sn,

tiene el mismo signo que el primer término que no se utiliza.

Dejamos para el ejercicio 61 la verificación del signo del residuo.

EJEMPLO 3 Aplicamos el teorema 15 con una serie cuya suma conocemos:

El teorema indica que si truncamos la serie después del octavo término, prescindiremos de un total que es positivo y menor que 1/ 256. La suma de los primeros ocho términos es Ss =

0.6640625 y la suma de los primeros nueve ténninos es S9 = 0.66796875. La suma de la serie geométrica es

1 2 1 - (-1 / 2) 3/ 2 3'

y observamos que 0.6640625 < (2/ 3) < 0.66796875. La diferencia (2/ 3) - 0.6640625 0.0026041666 ... es positiva y menor que (1 / 256) = 0.00390625 . •

Convergencia absoluta y convergencia condicional

Es posible aplicar los criterios de convergencia estudiados a la serie de valores absolutos de una serie con términos tanto positivos como negativos.

DEFINICIÓN Una serie z,an converge absolutamente (es absolutamente convergente) si la serie correspondiente de valores absolutos, 2:lan l, converge.

La serie geométrica del ejemplo 3 converge absolutamente, ya que la serie correspondiente de valores absolutos

~ ~= 1 + 1. +1.+1.+ ... n=O 2n 2 4 8

converge. La serie armónica alternante no converge absolutamente, ya que la serie correspondiente de valores absolutos es la serie armónica (divergente).

DEFINICIÓN Una serie que converge, pero no converge absolutamente, converge condicionalmente.

La serie armónica alternante converge condicionalmente. La convergencia absoluta es importante por dos razones. Primera, tenemos buenos crite

rios para la convergencia de series de términos positivos. Segunda, si una serie converge absolutamente, entonces converge, como demostraremos a continuación.


10.6 Series aLternantes, convergencia absoLuta y convergencia condicionaL 571

TEOREMA16: Criterio de la convergencia absoluta00

tonces La; converge.n=1 .

00

Si L 1 alll converge, en-n=1

Demostración Para cada n,

-1 an 1 :s; an :s; 1 a" 1, de manera que

Si L: 1 1a; 1converge, entonces L: 1 21an 1converge y, por el criterio de comparación directa,la serie no negativa L::"= 1 (an + 1a; 1) converge. La igualdad a" = (an + 1an 1) - 1alll nos per-mite expresar L:l a; como la diferencia de dos series convergentes:

00 00 00 00

L a; = L(a" + lanl- lanl) = L(an + lanl) - L lanl·11=1 11=1 n=1 11=1

Por lo tanto, L:l an converge. •¡Cuidado! Podemos replantear el teorema 16 diciendo que toda serie absolutamente conver-gente converge. Sin embargo, el recíproco es falso: muchas series convergentes no son absolu-tamente convergentes (como la serie armónica alternante del ejemplo 1).

EJEMPLO 4 Este ejemplo proporciona dos series que convergen absolutamente

(a) Para ~ (- 1)n+ 1 ~ = 1 - -41+ -91 - 116 + "', la serie de valores absolutos correspon-n=1 n

diente es la serie convergente

00 1 1 1 1L2= 1 +-+-+-+ ...n=1 n 4 9 16 .

(b)

La serie original converge, ya que es absolutamente convergente.

00 sen 11 sen 1 sen 2 sen 3 .,.. . .Para L --2- = -1- + -4- + -9- + .." que tiene termmos pOSItIVOSy negativos,

n=1 nla serie correspondiente de valores absolutos es

~ I se~ n I = 1sen 11 + 1sen 21 +"',n=1 n 1 4

que converge por el criterio de comparación con L::"= 1 (I / n2) ya que 1 sen n 1 :s;

toda n. La serie original converge absolutamente; por lo tanto, converge.1 para

•EJEMPLO 5 Si p es una constante positiva, la sucesión {l/ nP} es una sucesión decrecientecon límite cero. Por lo tanto, la serie p alternante

00 (_1)n-1L Pn=1 n

1 1 11--+---+2P 3P 4P p>O

converge.Si P > 1, la serie converge absolutamente. Si O < P :s; 1, la serie converge condicio-

nalmente.

Convergencia absoluta: •

Convergencia condicional:


00

TEOREMA 16: Criterio de la convergencia absoluta Si L 1 all l converge, en-00 n= 1

ton ces L a l! converge. n= 1 .

Demostración Para cada n,

-1 an 1 ::; all ::; 1 a" 1, de manera que

Si 2:::1 lan 1 converge, entonces 2:::1 21 an l converge y, por el criterio de comparación directa,

la serie no negativa 2::: 1 (an + 1 an 1) converge. La igualdad a" = (an + 1 an 1) - 1 a,,1 nos per

mite expresar 2::: 1 an como la diferencia de dos series convergentes:

00 00 00 00

L an = L(an + lanl-Ianl) = L(a" + lanl) - L lanl· 11 = 1 11= 1 n=l 11= 1

Por lo tanto, 2:::1 an converge. • ¡Cuidado! Podemos replantear el teorema 16 diciendo que toda serie absolutamente convergente converge. Sin embargo, el recíproco es falso: muchas series convergentes no son absolutamente convergentes (como la serie armónica alternante del ejemplo 1).

EJEMPLO 4 Este ejemplo proporciona dos series que convergen absolutamente

(a) Para ~ (- 1)n+ 1 ~ = 1 - -41 + -9

1 - 116 + .. " la serie de valores absolutos correspon-

,,= 1 n diente es la serie convergente

00 1 1 1 1 L 2 = 1 + -+ -+-+ .. . n= 1 n 4 9 16 .

La serie original converge, ya que es absolutamente convergente.

00 sen 17 sen 1 sen 2 sen 3 . , .. . . (b) Para L --2- = - 1- + - 4- + - 9- + "', que tiene termmos POSItiVOS y negativos,

n = 1 n la serie correspondiente de valores absolutos es

~ I se~ n I = 1 sen 11 + 1 sen 2 1 + "' , n= 1 n 1 4

que converge por el criterio de comparación con 2:::0= 1 (1/ n2) ya que 1 sen 17 1 ::; 1 para

toda n. La serie original converge absolutamente; por lo tanto, converge. •

EJEMPLO 5 Si p es una constante positiva, la sucesión {1/ 17 P } es una sucesión decreciente con límite cero. Por lo tanto, la serie p alternante

converge.

00 (_ 1)n-l

L P n=1 n

1 1 1 1-- + -- - + 2P 3P 4P p > O

Si P > 1, la serie converge absolutamente. Si O < P ::; 1, la serie converge condicionalmente.

Convergencia condicional:

Convergencia absoluta: •



Rearreglo de la serieSiempre es posible reordenar los términos de una suma finita y la suma no cambia. Lo mismoes cierto para una serie infinita que es absolutamente convergente (véase el ejercicio 68 para unbosquejo de la demostración).

TEOREMA 17: ELteorema de rearregLo para una serie absoLutamente convergenteSi 2::1 an converge absolutamente, mientras b" bi. ... , bn, ... , es cualquier rearreglode la sucesión {an}, entonces ¡bn converge absolutamente y

00 00

Lbn = Lan.n=1 n=1

Si rearreglamos los términos de una serie condicionalmente convergente, obtendremosresultados diferentes. En efecto, puede demostrarse que para cualquier número real r, una seriecondicionalmente convergente se reacomoda para que su suma sea igual a r. (Omitimos la de-mostración de este hecho). A continuación se presenta un ejemplo de cómo sumar los términosde una serie condicionalmente convergente con diferentes órdenes, en tanto cada orden dé unvalor diferente para la suma.

EJEMPLO 6 Sabemos que la serie armónica alternante 2::;'=1(_l)n+l/n converge a algúnnúmero L. Además, por el teorema 15,L está entre las sumas parciales sucesivas S2 = 1/2YS3 = 5/6, por lo que L"* O. Si multiplicamos la serie por 2, obtendremos

2L = 2 ~ (_l)n+ 1 = 2(1 _ 1+ 1_1+ 1_1+ 1_1+ 1_.L+ .L_...)n= 1 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

212121212 .=2-1+---+---+---+---+--'"3 2 5 3 7 4 9 5 11 .

Ahora cambiamos el orden de esta última suma agrupando cada par de términos con el mis-mo denominador impar, pero hay que dejar los términos negativos con denominadores parescomo están colocados (de manera que sean los enteros positivos en su orden natural). Estereacomodo da

(2-1)-~+ (~-t)-¡+ (%-i)-i+ (~-~)-i+'"(1 - ~ + t - ¡ + i -i + ~ - i+ i - ¡lO + 1\ _ .. -)

00 (_l)n+lL n = L.n=1

Así que mediante un rearreglo de los términos de la serie condicionalmente convergente2::1 2( _l)n+l/n, la serie se transforma en 2::1 (_l)n+l/n, que es la serie armónica alter-nante. Si las dos series son iguales, implicaría que 2L = L, lo cual es falso, ya que L 2: O. •

El ejemplo 6 indica que no es posible rearreglar los términos de una serie condicional-mente convergente y esperar que la nueva serie tenga el mismo valor que la original. Cuandoutilizamos una serie condicionalmente convergente, los términos habrán.de sumarse en el or-den en que se dan para obtener un resultado correcto. Por otra parte, el teorema 17 garantizaque los términos de una serie absolutamente convergente pueden sumarse en cualquier ordensin afectar el resultado.

Resumen de criteriosHemos desarrollado varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de seriesinfinitas de constantes. Existen otros criterios que no hemos presentado y que en ocasiones seestudian en cursos más avanzados. A continuación se presenta un resumen de los criterios quehemos considerado.


RearregLo de La serie

Siempre es posible reordenar los términos de una suma finita y la suma no cambia. Lo mismo es cierto para una serie infinita que es absolutamente convergente (véase el ejercicio 68 para un bosquejo de la demostración).

TEOREMA 17: El teorema de rearreglo para una serie absolutamente convergente

Si 2:::1 an converge absolutamente, mientras b l , b2, .• . , bn , .. . , es cualquier rearreglo de la sucesión {an }, entonces ¡bn converge absolutamente y

00 CXJ

Lb" = La". ,,=1 ,,=1

Si rearreglamos los términos de una serie condicionalmente convergente, obtendremos resultados diferentes. En efecto, puede demostrarse que para cualquier número real r, una serie condicionalmente convergente se reacomoda para que su suma sea igual a r. (Omitimos la demostración de este hecho). A continuación se presenta un ejemplo de cómo sumar los términos de una serie condicionalmente convergente con diferentes órdenes, en tanto cada orden dé un valor diferente para la suma.

EJEMPLO 6 Sabemos que la serie armónica alternante 2::;0=1 (-1)n+l / n converge a algún número L. Además, por el teorema 15, L está entre las sumas parciales sucesivas S2 = 1/2 Y S3 = 5/ 6, por lo que L #- O. Si multiplicamos la serie por 2, obtendremos

2L = 2 ~ (_1)n+ 1 = 2 (1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ -L + -L _ ... ) n= 1 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

212121212 . =2-1 +"3-"2+ 5-"3 +7 -4+ 9- 5+lT-· ··.

Ahora cambiamos el orden de esta última suma agrupando cada par de términos con el mismo denominador impar, pero hay que dejar los términos negativos con denominadores pares como están colocados (de manera que sean los enteros positivos en su orden natural). Este reacomodo da

(2-1)-~ + (~-t)-¡+ (%-t)-i + (~-~)-i + ' " (1 - ~ + t - ¡ + t - i + ~ - i + i - /0 + TI - .. -) CXJ (_ 1)n+1 L n = L. ,,=1

Así que mediante un rearreglo de los términos de la serie condicionalmente convergente

2::: 1 2( _1)n+ I/ n, la serie se transforma en 2:::1 (-1)"+ 1 I n, que es la serie armónica alter

nante. Si las dos series son iguales, implicaría que 2L = L, lo cual es falso, ya que L 2: O. • El ejemplo 6 indica que no es posible rearreglar los términos de una serie condicional

mente convergente y esperar que la nueva serie tenga el mismo valor que la original. Cuando utilizamos una serie condicionalmente convergente, los términos habrán .de sumarse en el orden en que se dan para obtener un resultado correcto. Por otra parte, el teorema 17 garantiza que los términos de una serie absolutamente convergente pueden sumarse en cualquier orden sin afectar el resultado.

Resumen de criterios

Hemos desarrollado varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de series infinitas de constantes. Existen otros criterios que no hemos presentado y que en ocasiones se estudian en cursos más avanzados. A continuación se presenta un resumen de los criterios que hemos considerado.


Ejercicios 10.6


1. Criterio del n-ésimo término A menos que an ~ O, la serie diverge.2. Serie geométrica: La serie ~ar" converge si Irl < 1; de otra forma, diverge.3. Seriep: La serie ~1/n!' converge sip > 1; de otra forma, diverge.4. Series con términos no negativos: Intente con el criterio de la integral, el criterio

de la razón o el criterio de la raíz. Compare con una serie conocida con el crite-rio de la comparación.

5. Series con algunos términos negativos: ¿La serie ~Ian Iconverge? Si la respues-ta es sí, ~an también lo hace, ya que convergencia absoluta implica convergencia.

6. Series alternantes: ~an converge si la serie satisface las condiciones del criteriode la serie altemante.

Determinación de convergencia o divergenciaEn los ejercicios 1 a 14, ¿cuáles de las series alternantes convergen ycuáles divergen? Algunas de las series no satisfacen las condiciones de laprueba de series alternantes.

00 00

1. :L(-1)1I+1_1- 2. :L(-1)n+I_1-n=l Vn 11=1 n3/200 00

3. :L(_1)II+I~ 4. :L(-1)n_4-11=1 n3 n=2 (In n?00 00 2

5. :L(_1)n+- 6. :L(_1)n+1 n2 + S11=1 n + 1 11=1 n + 4

~(_1)1I+1 2: 00

7. S. :L( -1)" Ion11=1 n n=1 (n + 1)!

~(_1)n+1 (~)n00

9. 10. :L(_1)n+I_1-n=1 10 n=2 In n

11. ~(_1)1I+1 l~n 12. ~ (- 1)n In (1 + k)1/=1

13. ~(_1)n+1 Vn + 1 14. ~(_1)n+1 3Vn+l11=1 n + 1 n=1 Vn + 1

Convergencia absoluta y convergencia condicional¿Cuáles de las series en los ejercicios l S a 48 convergen absolutamente,cuáles convergen y cuáles divergen? Justifique sus respuestas.

00 00 (O l )"15. :L(_1)n+I(O.1)n 16. :L(-l)n+I_~-

n=l n=l

00 00 (-1)"17. :L(_1)1I_1- lS. :L

n=l Vn 11=11+ Vn00 00 ,

19. :L (_1)n+ 1-3-n- 20. :L(_1)1I+1 n~11=1 n + 1 n=1 200 00

21. :L(-1)"_1- 22. :L(_1)" se~n11=1 n + 3 n=l n

~(_1)1I+1 3 + n00 (_2)n+1

23. 24. :L-11=1 S + n 11=1n + Sil

~(-l)n+1 1 ~ n00

25. 26. :L( _1)n+l( \1iO)11=1 n n=l

00

27. :L(-1)"n2(2/3)"n=1

~(_1)n+I_1_n=2 n In n

~(-l)n lnn11=1 n-Inn

2S.

29. ~(_l)nt~-ln11=1 n + 1

30.

31.00

:L(_1)n_n-n=1 n + 100 (-100)/1:L-n=1 n!

00 (_1)/1-134. :L -2=-=--=-=---

n=1 n + 2n + 1

00

32. :L(-Srn

11=1

33.

00

'" cos n7T35. k.I ,rn=1 n V n

00

'" cosnn7T36. k.In=1

00 (_1)n+l(n!?3S. :L ""'---~=-=--..:....

n=1 (2n)!00 (n!?3n

40. :L (-l)n --'-~-n=1 (2n + 1)!

37.00 (-l)"(n + 1)/1

~ (2n)/I00 (2n)1:L(-1)"-/l-, .11=1 2 n.n

39.

41. ~(_1)1I (Vn+l - Vn) 42. ~(_1)n (~- n)n=l n=l

43. ~ (-1)/1 (v'n + Vn - Vn)n=l

00 ( -1)":L-----=c------==11=1Vn + Vn+l

44.00

45. :L (- 1)" sech n11=1

00

46. :L(_1)" csch n11=1

47 .1 - .1 + .1 - ...!.. + ...!.. - ...!.. + .... 4 6 8 10 12 14

4S 1 + .1 - .1 - ...!.. + ...!.. + ...!.. - ...!.. - ...!.. + .... 4 9 16 2S 36 49 64

Estimación del errorEn los ejercicios 49 a S2, estime la magnitud del error en el que se incurreal utilizar la suma de los primeros cuatro términos para aproximar la sumade toda la serie.

49. ~ ( -1)"+ 1 kn=l

50. ~(_1)"+1 ~n=1 10



00 (O DI)"51. ~(-I),,+I-'n-

1/=1

Como verá en la sección 10.7,la suma es In(1.01)

52. II + t

00

~(-I)"f', 0< t < 11/=0

En los ejercicios 53 a 56, determine cuántos términos deben utilizarse paraestimar la suma de toda la serie con un error menor a 0.001.

00 00

53. ~(_I)" _1_ 54. ~(-I),,+I n

1/==1 n2 + 3 11=1 n2 + 100 1

00

55. ~( -1),,+1(n + 3V;;Y

56. ~(_I)" 111=1 ,,~I In (In (n + 2»

o Aproxime las sumas de los ejercicios 57 y 58 con un error de magnitudmenor que 5 X 10-6

57. ~(-I)"_I-,,~O (2n)!

Como verá en la sección 10.9, la sumaes cos 1, el coseno de I radián.

58. ~ (- l)".L11=0 11!

Como verá en la sección 10.9, la sumaes e 1

Teoría y ejemplos59. a. La serie

l_l+l_l+--L_l+ ... +l.._l..+ ...3 2 9 4 27 8 3" 2"

no cumple una de las condiciones del teorema 14.¿Cuál?

b. Determine la suma de la serie del inciso (a) mediante elteorema 17.

O 60. El límite L de una serie alternante que satisface las condiciones delteorema 14 se encuentra entre los valores de cualesquiera dos sumasparciales consecutivas. Lo anterior sugiere utilizar el promedio

S,,+S"+I_ +I( 1)"+22 - s; 2 - all+1

para estimar L. Calcule

1 lS20 +"2 . 21

como una aproximación a la suma de la serie armónica alternante.La suma exacta es In 2 = 0.69314718...

61. El signo del residuo de una serie alternante que satisface las con-diciones del teorema 14 Demuestre la afirmación del teorema 15,en el sentido de que siempre que una serie alternante satisface lascondiciones del teorema 14y se aproxima mediante una de sus sumasparciales, el residuo (la suma de los términos sin utilizar) tiene elmismo signo que el primer término no utilizado. (Sugerencia: Agrupelos términos del residuo en pares consecutivos).

62. Demuestre que la suma de los primeros 2n términos de la serie

es igual a la suma de los primeros n términos de la serie

_1_ + _1_ + _1_ + _1_ + _1_ + ...1·2 2·3 3·4 4·5 5'6 .

¿Convergen estas series? ¿Cuál es la suma de los primeros 2n + 1 tér-minos de la primera serie? Si la serie converge, ¿cuál es su suma?

63. Demuestre que si :¿:'I a; diverge, entonces :¿:'I la,,1diverge.

64. Demuestre que si :¿::"=I a; converge absolutamente, entonces

65. Demuestre que si las dos series :¿::"=Ia" y :¿::"=Ib; convergen abso-lutamente, entonces lo mismo sucede con:

00 00

b. ~(a" - b,,)11=1

66.

00

c. ~ kan (cualquier número k)11=1

Demuestre por medio de un ejemplo que :¿:'I a.b; puede divergirincluso si :¿::"=I an y :¿::"=I i; convergen.

En la serie armónica alternante, suponga que el objetivo es rearreglarlos términos para obtener una serie que converja a -1/2. Inicie elnuevo arreglo con el primer término negativo, que es - 1/2. Siempreque obtenga una suma que sea menor o igual que - 1/2, inicie la in-troducción de términos positivos, tomados en orden, hasta que lanueva suma sea mayor que -1/2. Después sume términos negativoshasta que, de nuevo, el total sea menor o igual que -1/2. Continúecon este proceso hasta que sus sumas parciales hayan estado porarriba del valor objetivo al menos tres veces y termine en o debajo deél. Si s; es la suma de los n primeros términos de su nueva serie, tracelos puntos (n, s,,) para ilustrar el comportamiento de las sumas.

Bosquejo de la demostración del teorema del rearreglo(teorema 17)

a. Sea E un número real positivo, sea L = :¿:'I a,!> Ysea

s, = :¿~= I a". Demuestre que para algún índice NI y paraalgún índice N2 2'0 NI,

067.

68.

Como todos los términos al, aa, ... , am aparecen en algúnlugar de la sucesión {bn}, existe un índice N3 2'0 N2, tal quesi n 2'0 N3, entonces (:¿k=1 bk) - SN, es, cuando mucho,una suma de términos a.; con m 2'0 NI. Por lo tanto, si n 2'0 N3,

00

:5 ~Iakl + ISN, - LI < E.k=N,

b. El argumento en el inciso (a) demuestra que si :¿::"=1 a;converge absolutamente, entonces :¿:'I s, converge y

:¿:'I b" = :¿::"=Ia". Ahora demuestre que como :¿::"=lla,,1converge, entonces :¿:,I Ib; I converge a :¿:,I Ia"l·


10.7 Series de potencias 575

10.7 Series de potencias

Ahora que sabemos analizar la convergencia de series infinitas de números, es posible estudiarsumas que parecen "polinomios infinitos". Á estos polinomios les llamamos series de poten-cias, porque están definidos como series infinitas de potencias de alguna variable, en nuestrocaso, x. Al igual que los polinomios, las series de potencias pueden ser sumadas, restadas, mul-tiplicadas, derivadas e integradas, para producir nuevas series de potencias.

Series de potencias y convergencia

Comenzaremos con la definición formal, que especifica la notación y los términos que se utili-zarán para las series de potencias.

00

LC"x" = Co + C¡X + C2X1 + ... + cnx" + ....,,=0

(1)

DEFINICIONES Una serie de potencias alrededor de x = Oes una serie de la forma

Una serie de potencias alrededor de x = a es una serie de la forma00

LC,,(X - a)n = Co + c¡(x - a) + C2(X - a)2 + ... + cn(x - a)" + ... (2),,=0

en la cual el centro a y los coeficientes Co, C¡, C2, ... , c.; ... son constantes.

La ecuación (1) es el caso especial que se obtiene al hacer a = ° en la ecuación (2).Veremos que una serie de potencias define una función f(x) en cierto intervalo donde éstaconverge. Además, esta función demostrará que es continua y derivable en el interior de eseintervalo.

EJEMPLO 1 Al hacer que todos los coeficientes sean 1 en la ecuación (1), resulta la serie geo-métrica de potencias

00

LXII = 1 + x + x2 + ... + x" + ....n=O

Ésta es la serie geométrica, con su primer término 1 y razón x. Converge a 1/(1 - x) paraIxl < 1. Expresamos este hecho escribiendo

11 - x

l+x+x2+···+xn+ ... , -1<x<l. (3)

•I Serie de potencias para el reciproco

1 00

----=--: = LX', Ixl < 11 x 11=0

Hasta aquí hemos usado la ecuación (3) como una fórmula para la suma de la serie de laderecha. Ahora cambiaremos de enfoque: pensaremos en las sumas parciales de la serie dellado derecho como polinomios Pn(X) que se aproximan a la función de la izquierda. Para va-lores de x cercanos a cero, sólo necesitamos tomar unos cuantos términos de la serie paraobtener una buena aproximación. Al avanzar hacia x = 1 o -1, se requieren más términos.La figura 10.14 muestra las gráficas de f(x) = 1/(1 - x) y los polinomios de aproximaciónYn = Pn(x) para n = 0, 1,2 Y8. La funciónf(x) = 1/(1 - x) no es continua en los intervalosque contengan a x = 1, donde tiene una asintota vertical. Las aproximaciones no se aplicancuando x:::=: 1.


10.7 Series de potencias

I Serie de potencias para el reciproco

1 ()() --o = L X', Ixl < 1 1 - X 11=0

Ahora que sabemos analizar la convergencia de series infinitas de números, es posible estudiar sumas que parecen "polinomios infinitos". Á estos polinomios les llamamos series de potencias, porque están definidos como series infinitas de potencias de alguna variable, en nuestro caso, x. Al igual que los polinomios, las series de potencias pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas, derivadas e integradas, para producir nuevas series de potencias.

Series de potencias y convergencia

Comenzaremos con la definición formal , que especifica la notación y los términos que se utilizarán para las series de potencias.

DEFINICIONES Una serie de potencias alrededor de x = O es una serie de la forma

()()

L C"x' = Co + c'x + c2:X2 + ... + cnx' + .. '. (1) n=O

Una serie de potencias alrededor de x = a es una serie de la forma

00

L Cn(x - a)n = Co + c ,(x - a) + C2(X - a)2 + ... + cn(x - a)" + .. . (2) ,,=0

en la cual el centro a y los coeficientes Co, c" C2, ... , Cn, ... son constantes.

La ecuación (1) es el caso especial que se obtiene al hacer a = O en la ecuación (2). Veremos que una serie de potencias define una función f(x) en cierto intervalo donde ésta converge. Además, esta función demostrará que es continua y derivable en el interior de ese intervalo.

EJEMPLO 1 Al hacer que todos los coeficientes sean 1 en la ecuación (1), resulta la serie geométrica de potencias

00

LX' = 1 + x + x2 + ... + x" + .... ,,=0

Ésta es la serie geométrica, con su primer término 1 y razón x. Converge a 1/ (1 - x) para Ixl < 1. Expresamos este hecho escribiendo

1 - x l +x+ x2+· ·· + x"+ ··· , -l <x<l. (3)

• Hasta aquÍ hemos usado la ecuación (3) como una fórmula para la suma de la serie de la

derecha. Ahora cambiaremos de enfoque: pensaremos en las sumas parciales de la serie del lado derecho como polinomios Pn(x) que se aproximan a la función de la izquierda. Para valores de x cercanos a cero, sólo necesitamos tomar unos cuantos términos de la serie para obtener una buena aproximación. Al avanzar hacia x = 1 o - 1, se requieren más términos. La figura 10.14 muestra las gráficas de f(x) = 1/ (1 - x) y los polinomios de aproximación Yn = PI/(x) para n = O, 1, 2 Y 8. La funciónf(x) = 1/ (1 - x) no es continua en los intervalos que contengan a x = 1, donde tiene una asíntota vertical. Las aproximaciones no se aplican cuando x 2: l.



~~----------~~------------~x-1 o

FIGURA 10.14 Las gráficas de f(x) = 1/(1 - x) en el ejemplo 1y cuatro de sus polinomios de aproximación.

EJEMPLO 2 La serie de potencias

1 1 ( 1)/11--(x-2)+-(x-2)2+ ... + -- (x-2)n+ ...2 4 2

concuerda con la ecuación (2), con a = 2, eo = 1, el = -1/2, e2 = 1/4, ... , en = (-1/2)11.

Ésta es una serie geométrica cuyo primer término es 1 y la razón es r = - x ; 2. La serie

converge para 1x ; 21 < 1 o O < x < 4. La suma es

11 - r

2x'1 + x - 2

2i; aSÍ,

y

2 (x - 2) (x - 2? ( l)nX = 1 - 2 + 4 - ... + - 2." (x - 2)11+ ... , O < x < 4.

La serie (4) genera aproximaciones polinomiales útiles de f(x) = 2/x para valores de x pró-ximos a 2:

Po(x) = 1

1 xP 1(x) = 1 - - (x - 2) = 2 - -2 2

( 1 ( 1 ( )2 3x x2P2 x) = 1 - - x - 2) + - x - 2 = 3 - -- + -

2 4 2 4'

2

--r---~---L--~L-~------~xo 2 3 y así sucesivamente (figura 10.15).

FIGURA 10.15 Las gráficas de f(x) = 2/xy sus primeros tres polinomios de aproxima-ción (ejemplo 2).

El siguiente ejemplo ilustra cómo determinar la convergencia o divergencia de una seriede potencias mediante el criterio de la razón.

EJEMPLO 3 ¿Para qué valores de x convergen las siguientes series de potencias?

00 x" r 3(a) 2:(_l)n-I_=x __ +:!....-···11=1 n 2 3

(4)

•


y

2

--+---~--~----L-~------~x

O 2 3

FIGURA 10.15 Las gráficas de f(x) = 2/ x

y sus primeros tres polinomios de aproxima

ción (ejemplo 2).

~~----------~--------------~x - 1 o

FIGURA 10.14 Las gráficas de f(x) = 1/(1 - x) en el ejemplo 1

y cuatro de sus polinomios de aproximación.

EJEMPLO 2 La serie de potencias

1 1 ( 1)" 1 - - (x-2)+ - (x - 2)2 + ... + -- (x - 2)" + · · · 2 4 2

(4)

concuerda con la ecuación (2), con a = 2, eo = 1, e, = -1 /2, e2 = 1/4, ... , e" = (- 1/2)".

Ésta es una serie geométrica cuyo primer término es 1 y la razón es r = - x ; 2. La serie

converge para 1 x ; 21 < 1 o O < x < 4. La suma es

aSÍ,

1 - r 1 + x - 2 2

2 x '

2 (x - 2) (x - 2)2 ( 1)" x = 1 - 2 + 4 - ... + - "2 (x - 2)" + ... , O < x < 4.

La serie (4) genera aproximaciones polinomiales útiles de f(x) = 2/ x para valores de x próximos a 2:

Po(x) = 1

P,(x) = 1 - 1. (x - 2) = 2 - ~ 2 2

P2(x) = 1 - 1. (x - 2) + 1. (x - 2? = 3 _ 3x + x2 2 4 2 4'

y así sucesivamente (figura 10.15). • El siguiente ejemplo ilustra cómo determinar la convergencia o divergencia de una serie

de potencias mediante el criterio de la razón.

EJEMPLO 3 ¿Para qué valores de x convergen las siguientes series de potencias?

00 2 3

(a) ~(- 1)" - ' x" =x - ~+~ -' " 11 =' n 2 3



00 i1n-1 3 5(b) 2:(-1)"-1-- = x - ~ + ~ - ...

n=1 2n - 1 3 5

00" x2 x3(e) 2: ~ = 1 + x + - + - + ...

n=on! 2! 3!00

(d) 2:n!xn = + x + 2!x2 + 3!x3 + ...n=O

Solución Aplique el criterio de la razón a la serie LI Un 1, donde Un es el n-ésimo término dela serie de potencias en cuestión. (Recuerde que el criterio de la razón se aplica a series contérminos no negativos).

(a)IUn+11 = I~·!:!.I

Un n + 1 x = ~n-lxl~lxI-n + 1

La serie converge absolutamente para Ixl < 1. Diverge si Ixl > 1 porque el n-ésimo tér-mino no converge a cero. En x = 1, obtenemos la serie armónica alternante 1 - 1/2 +1/3 - 1/4 + ... , que es convergente. Enx = -1, tenemos -1 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - ... ,la negativa de la serie armónica, que es divergente. La serie (a) converge para -1 < x::; 1Y diverge para cualquier otro valor.

------ó-1 o '" )x1

(b) IU~:II Ix2n+1 2n - 1 I 2n - 1---.--- = __ -x2~x2

2n + 1 x2n-1 2n + 1 . 2(n + 1) - 1 = 2n + 1

La serie converge absolutamente para x2 < 1. Diverge para x2 > 1 porque el n-ésimo tér-mino no converge a cero. En x = 1, la serie se vuelve 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... , queconverge como lo indica el teorema de la serie alternante. También converge en x = -1porque vuelve a ser una serie alternante que satisface las condiciones de la convergencia.El valor en x = - 1 es el negativo del valor en x = l. La serie (b) converge para - 1 ::; x ::; 1Y diverge con cualquier otro valor.

4;'"

) x-1 O 1

(e) IU~:III xn+1 n! I Ixl n! 1·2·3 ... n

(n + 1)! x"= --1 ~ Opara toda x.

(n + 1)! 1 ·2·3· .. n • (n + 1)n +

La serie tiene convergencia absoluta para toda x.

)xO

(d)IUn+II __ 1(n + 1)!x'1+11

= (n + 1)lxl ~ 00 excepto cuando x = O.UIl n!xn

La serie diverge para todos los valores de x, excepto para x = O.

------------~4;~----------~)XO •

El ejemplo anterior ilustra cómo podría converger una serie de potencias. El siguienteresultado muestra que si una serie de potencias converge para más de un valor, entonces con-verge sobre un intervalo de valores. El intervalo podría ser finito o infinito y contener uno,ambos o ninguno de los extremos del intervalo. Veremos que cada extremo de un intervalofinito se debe probar de forma independiente acerca de la convergencia o la divergencia.



___ - ...•..- • • --e--~x

-Idl -R -lel O lel R IdlFIGURA 10.16 La convergenciade La"x:"en x = e, implicaconvergenciaabsolutaenel intervalo -lel < x < [e]; la divergenciaenx = d implicadivergenciapara Ixl > d.El corolariodel teorema 18aseguralaexistenciade un radio de convergenciaR 2: O.

TEOREMA 18: Teorema de convergencia para series de potencias Si la serie00

de potencias 2:a"x" = ao + a¡x + a2:t? + ... converge para x = e *- O,entonces,,=0

tiene convergencia absoluta para toda x, con Ixl < Iel. Si la serie diverge para x = d,entonces diverge para toda x con Ixl > 14

Demostración La demostración utiliza el criterio de comparación, con la serie dada com-parada con una serie geométrica convergente.

Supongamos que la serie 2:~=oa"en converge. Entonces lím,,--->ooa"e" = O por el crite-rio del n-ésimo término. Por lo tanto, existe un entero N tal que I a.e" I < 1 para toda n > N.Es decir,

paran> N. (5)

Tomemos ahora cualquier x, tal que Ixl < [e], por lo que Ixl/lel < l. Si se multiplican am-bos lados de la ecuación (5) por Ixl", se obtiene

Ixl"la"llxl" < ¡;;r para n > N.

Como Ix/e I < 1, se sigue que la serie geométrica 2:~=olx/el" converge. Por el criterio de com-paración (teorema 10), la serie 2:~=olanllx"1converge, por lo que la serie original 2::oa"x"tiene convergencia absoluta para -1eI < x < le I como asegura el teorema. (Véase la figura10.16).

Ahora suponga que la serie L:::O a"x" diverge en x = d. Si x es un número con Ixol> Idly la serie converge en x, entonces la primera mitad del teorema demuestra que la serie tam-bién converge en d, en contradicción con nuestra suposición. Así que la serie diverge para todax con Ixl > 14 •

Para simplificar la notación, el teorema 18 se ocupa de la convergencia de series de la for-ma ¡a"x". Para series de la forma 2:a,,(x - a)" sustituyendo x - a por x' y aplicamos luegolos resultados a la serie 2:an(x')" .

Radio de convergencia de una serie de potencias

El teorema que acabamos de demostrar y los ejemplos que hemos examinado nos llevan a laconclusión de que una serie de potencias Le,,(x - a)n se comporta en alguna de las siguien-tes tres formas. Puede converger sólo en x = a, converger en todas partes o converger en al-gún intervalo de radio R centrado en a. Lo anterior lo demostramos como un corolario delteorema 18.

COROLARIO DEL TEOREMA 18 La convergencia de la serie 2:en(x - at se des-cribe por medio de una de las siguientes tres posibilidades:

1. Existe un número positivo R tal que la serie diverge para x, con [x - al > R, peroconverge absolutamente para x con Ix - al < R. La serie puede converger o noen cualquiera de los extremos x = a - R y x = a + R.x = a + R.

2. La serie tiene convergencia absoluta para toda x (R = 00).

3. La serie converge en x = a y diverge en cualquier otro lugar (R = O).


___ - -+- - • • ____ -~x

- Idl - R -lel O lel R Idl FIGURA 10.16 La convergencia de La,,x' en x = e, implica convergencia absoluta en

el intervalo -lel < x < le l; la divergencia en

x = d implica divergencia para Ixl > d.

El corolario del teorema 18 asegura la

existencia de un radio de convergencia

R 2: O.

TEOREMA 18: Teorema de convergencia para series de potencias Si la serie 00

de potencias Lanx" = ao + a¡x + a2x2 + ... converge para x = e *- O, entonces n=O

tiene convergencia absoluta para toda x, con Ix l < I el. Si la serie diverge para x = d, entonces diverge para toda x con Ix I > 14

Demostración La demostración utiliza el criterio de comparación, con la serie dada comparada con una serie geométrica convergente.

Supongamos que la serie 2:~= 0 anen converge. Entonces límn---->oo anen = O por el criterio del n-ésimo término. Por lo tanto, existe un entero N tal que I a"e n I < 1 para toda n > N. Es decir,

paran > N. (5)

Tomemos ahora cualquier x, tal que Ixl < le l, por lo que Ixl/lel < 1. Si se multiplican ambos lados de la ecuación (5) por Ixln, se obtiene

Ixln lanll xln < ¡;;r para n > N.

Como Ix/ e I < 1, se sigue que la serie geométrica 2:~=0 Ix/e In converge. Por el criterio de comparación (teorema 10), la serie 2: ~=0 1 an 11 x" 1 converge, por lo que la serie original 2:: 0 a"xn

tiene convergencia absoluta para - 1 e I < x < le 1 como asegura el teorema. (Véase la figura 10.16).

Ahora suponga que la serie L :;':o anx" diverge en x = d. Si x es un número con Ixol > Idl y la serie converge en x, entonces la primera mitad del teorema demuestra que la serie también converge en d, en contradicción con nuestra suposición. Así que la serie diverge para toda x con Ix l > 14 •

Para simplificar la notación, el teorema 18 se ocupa de la convergencia de series de la for

ma lanx n . Para series de la forma 2:an(x - at sustituyendo x - a por x' y aplicamos luego los resultados a la serie 2:an(x,)n.

Radio de convergencia de una serie de potencias

El teorema que acabamos de demostrar y los ejemplos que hemos examinado nos llevan a la conclusión de que una serie de potencias Len(x - a)n se comporta en alguna de las siguientes tres formas . Puede converger sólo en x = a, converger en todas partes o converger en algún intervalo de radio R centrado en a. Lo anterior lo demostramos como un corolario del teorema 18.

COROLARIO DEL TEOREMA 18 La convergencia de la serie 2:en(x - a)n se describe por medio de una de las siguientes tres posibilidades:

1. Existe un número positivo R tal que la serie diverge para x, con Ix - al > R, pero converge absolutamente para x con Ix - al < R. La serie puede converger o no en cualquiera de los extremos x = a - R y x = a + R .x = a + R.

2. La serie tiene convergencia absoluta para toda x (R = 00) .

3. La serie converge en x = a y diverge en cualquier otro lugar (R = O).


Pruebe cada punto extremo del intervalo(finito) de convergencia.


Demostración Primero consideramos el caso donde a = 0, por lo que tenemos una serie depotencias 2::'0 c.x" centrada en O. Si la serie converge en todas partes, estamos en el caso 2.Si converge sólo en x = 0, estamos en el caso 3. De otra forma, existe un número distinto decero, d, tal que 2:::0=0cnd" diverge. Sea S el conjunto de valores de x para los cuales la serie2::'0 c.x" converge. El conjunto S no incluye a x con Ixl > Idl, ya que el teorema 18 implicaque la serie diverge en todos esos valores. Así que el conjunto S está acotado. Por la propie-dad de completez de los números reales (apéndice 7), el conjunto S tiene una mínima cota su-perior R. (Éste es el menor número con la propiedad de que todos los elementos de S sonmenores o iguales a R). Como no estamos en el caso 3, la serie converge en algún númerob =1=°Y por el teorema 18 también en el intervalo abierto (-1 b 1, lb 1).Por lo tanto, R > O.

Si Ixl < R, entonces existe un número e en S con Ixl < c < R, ya que de otra forma Rno sería la mínima cota superior para S. La serie converge en c, ya que e E S, así que por elteorema 18 la serie converge absolutamente en x.

Ahora suponga que Ixl > R. Si la serie converge en x, por el teorema 18, se implica queconverge absolutamente en el intervalo abierto (-Ixl, Ixl), por lo que S contiene dicho inter-valo. Ya que R es una cota superior para S, se sigue que [x I :s R, lo cual es una contradicción.Por lo que si Ixl > R, entonces la serie diverge. Lo anterior demuestra el corolario para seriesde potencias con centro en a = O.

Para una serie de potencias centrada en x = a, hacemos x' = x - a y repetimos el argu-mento cambiando x con x'. Como x' = 0, cuando x = a, la convergencia de la serie

2:::0=0I cn(x') In en un intervalo abierto de radio R con centro en x' = ° corresponde a la conver-gencia de la serie 2::'0 Icn(x - a) In en un intervalo abierto de radio R con centro en x = a.•

Se dice que R es el radio de convergencia de la serie de potencias, mientras el intervalode radio R con centro en x = a se denomina intervalo de convergencia. El intervalo de con-vergencia puede ser abierto, cerrado o semiabierto, lo que depende de la serie que se trate.En puntos x con [x - al < R, la serie converge absolutamente. Si la serie converge para todoslos valores de x, decimos que su radio de convergencia es infinito. Si converge sólo en x = a,aseguramos que su radio de convergencia es cero.

Cómo demostrar si una serie de potencias converge

1. Utilice el criterio de la razón (o el criterio de la raíz) para determinar el intervalodonde la serie converge absolutamente. Por lo común es un intervalo abierto.

[x - al < R o a - R < x < a + R.

2. Si el intervalo de convergencia absoluta esfinito, pruebe la convergencia o la di-vergencia en cada punto extremo, como en los ejemplos 3a y b. Utilice un criteriode comparación, el criterio de la integral o el criterio de la serie alternan te.

3. Si el intervalo de convergencia absoluta es a - R < x < a + R, la serie divergepara [x - al> R (incluso no tiene convergencia condicional), ya que el n-ésimotérmino no se aproxima a cero para esos valores de x.

Operaciones sobre series de potenciasEn la intersección de sus intervalos de convergencia, dos series de potencias pueden sumarsey restarse término a término al igual que las series numéricas (teorema 8). Se multiplican igualque los polinomios, aunque con frecuencia nos limitamos al cálculo del producto de los pri-meros términos, que son los más importantes. El siguiente resultado proporciona una fórmulapara los coeficientes en el producto, pero omitimos la demostración.

Pruebe cada punto extremo del intervalo (finito) de convergencia.


Demostración Primero consideramos el caso donde a = 0, por lo que tenemos una serie de

potencias 2::'0 c,.xn centrada en O. Si la serie converge en todas partes, estamos en el caso 2.

Si converge sólo en x = 0, estamos en el caso 3. De otra forma, existe un número distinto de

cero, d, tal que 2:::0=0 cnd" diverge. Sea S el conjunto de valores de x para los cuales la serie

2::'0 c"x' converge. El conjunto S no incluye a x con Ix l > Idl, ya que el teorema 18 implica

que la serie diverge en todos esos valores. Así que el conjunto S está acotado. Por la propie

dad de completez de los números reales (apéndice 7), el conjunto S tiene una mínima cota su

perior R. (Éste es el menor número con la propiedad de que todos los elementos de S son

menores o iguales a R). Como no estamos en el caso 3, la serie converge en algún número

b *- ° y por el teorema 18 también en el intervalo abierto (-1 b 1, lb 1). Por lo tanto, R > O. Si Ixl < R, entonces existe un número c en S con Ixl < c < R, ya que de otra forma R

no sería la mínima cota superior para S. La serie converge en c, ya que c E S, así que por el teorema 18 la serie converge absolutamente en x.

Ahora suponga que Ixl > R. Si la serie converge en x, por el teorema 18, se implica que converge absolutamente en el intervalo abierto (- Ixl, Ixl), por lo que S contiene dicho intervalo. Ya que R es una cota superior para S, se sigue que Ix I :S R, lo cual es una contradicción. Por lo que si Ixl > R, entonces la serie diverge. Lo anterior demuestra el corolario para series de potencias con centro en a = O.

Para una serie de potencias centrada en x = a, hacemos x' = x - a y repetimos el argumento cambiando x con x'. Como x' = 0, cuando x = a, la convergencia de la serie

2: ::0=0 I cn(x' ) In en un intervalo abierto de radio R con centro en x' = ° corresponde a la conver

gencia de la serie 2: ::0=0 !cn(X - a) In en un intervalo abierto de radio R con centro en x = a . •

Se dice que R es el radio de convergencia de la serie de potencias, mientras el intervalo de radio R con centro en x = a se denomina intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia puede ser abierto, cerrado o semiabierto, lo que depende de la serie que se trate. En puntos x con Ix - al < R, la serie converge absolutamente. Si la serie converge para todos los valores de x, decimos que su radio de convergencia es infinito. Si converge sólo en x = a, aseguramos que su radio de convergencia es cero.

Cómo demostrar si una serie de potencias converge

1. Utilice el criterio de la razón (o el criterio de la raíz) para determinar el intervalo donde la serie converge absolutamente. Por lo común es un intervalo abierto .

Ix - a l < R o a - R < x < a + R .

2. Si el intervalo de convergencia absoluta es finito, pruebe la convergencia o la divergencia en cada punto extremo, como en los ejemplos 3a y b. Utilice un criterio de comparación, el criterio de la integral o el criterio de la serie alternante.

3. Si el intervalo de convergencia absoluta es a - R < x < a + R, la serie diverge para Ix - al > R (incluso no tiene convergencia condicional), ya que el n-ésimo término no se aproxima a cero para esos valores de x .

Operaciones sobre series de potencias

En la intersección de sus intervalos de convergencia, dos series de potencias pueden sumarse y restarse término a término al igual que las series numéricas (teorema 8) . Se multiplican igual que los polinomios, aunque con frecuencia nos limitamos al cálculo del producto de los primeros términos, que son los más importantes. El siguiente resultado proporciona una fórmula para los coeficientes en el producto, pero omitimos la demostración.



TEOREMA 19: Teorema de la multiplicación de series para series de potencias

Si A(x) = L:;O=o an:x!'y B(x) = L:O bnx" tienen convergencia absoluta paraIxl <Ry

"C" = asb; + a,bn-, + a2bn-2 + ... + an-,b, + anbo = "".:Eakb,,-k,

k=O

entonces L:o cnx" converge absolutamente a A (x)B(x) para [x I < R:

La determinación del coeficiente general e; en el producto de dos series de potenciaspuede ser muy tediosa y el término ser muy poco manejable. El siguiente cálculo ofrece unailustración de un producto en el cual determinamos los primeros términos al multiplicar los tér-minos de la segunda serie por cada término de la primera serie:

(~x,,). (~(-I)"~)n=O n=O n + 1

= O + x + x2 + ) (x - ~ + ~ - ...)

(x - ~ + ~ _ ) + (r _~ + ;4 _ ... ) +

Multiplicar la segunda serie ..

+ ...

por l

x2 5x3 x4

=x+2+T-6····

por x2porx

y agrupar los términos de las primeras cuatro potencias.

También es posible sustituir una función f(x) por x en una serie de potencias convergente.

TEOREMA 20 Si L:O a.x" converge absolutamente para Ixl < R, entoncesL:;O=oa,,(f(x))n converge absolutamente para cualquier función continuaf en If(x)1 < R.

Como l/O - x) = L:OXn converge absolutamente para Ixl < 1, del teorema 20 sesigue que l/O - 4r) = L:;O=o(4r)" converge absolutamente para 14x21< 1 o Ixl < 1/2.

Un teorema de cálculo avanzado dice que una serie de potencias pueden derivarse términoa término en cada punto interior de su intervalo de convergencia.

TEOREMA 21: Teorema de la derivación término a término Si LCn(X - aY' tieneradio de convergencia R > O, defina una función

00

f(x) = "".:Ecn(x - aY'n=O

en el intervalo a - R < x < a + R.

Esta función f tiene derivadas de todos los órdenes dentro del intervalo, por lo que esposible obtener las derivadas si derivamos la serie original término a término:

00

f'(x) = "".:Encn(x - a)"-',,,=,00

f"(x) = "".:En(n - l)cn(x - a)n-2,n=2

y así sucesivamente. Cada una de estas series derivadas converge en todos los puntosinteriores del intervalo a - R < x < a + R.


TEOREMA 19: Teorema de la multiplicación de series para series de potencias

Si A(x) = L::"=O an:x!' y B(x) = L:O bnxll tienen convergencia absoluta para

Ixl <Ry 11

Cn = aobn + a,bn- , + a2bn- 2 + ... + an-,b, + allbo = ~akbn-k, k=O

entonces L:o cnxn converge absolutamente a A (x)B(x) para Ix I < R:

La determinación del coeficiente general Cn en el producto de dos series de potencias puede ser muy tediosa y el término ser muy poco manejable. El siguiente cálculo ofrece una ilustración de un producto en el cual determinamos los primeros términos al multiplicar los términos de la segunda serie por cada término de la primera serie:

(~Xll). (~(_1)11~) 11=0 n= O n + 1

= O + x + x2 + ... ) (x - ~ + ~ - ... ) Multiplicar la segunda serie .

(x - ~ + ~ _ ... ) + (r _ ~ + ;4 _ ... ) + + ...

por l por x por x2

x2 5x3 x4

=x+ 2 +T-6· ··· y agrupar los términos de las primeras cuatro potencias.

También es posible sustituir una función f(x) por x en una serie de potencias convergente.

TEOREMA 20 Si L:O anxn converge absolutamente para Ixl < R, entonces

L ::"=O an(f(x))n converge absolutamente para cualquier función continuaf en If(x)1 < R.

Como l/O - x) = L:OXn converge absolutamente para Ix l < 1, del teorema 20 se

sigue que l / O - 4r) = L ::"=O (4r)" converge absolutamente para 14x21 < 1 o Ixl < 1/ 2. Un teorema de cálculo avanzado dice que una serie de potencias pueden derivarse término

a término en cada punto interior de su intervalo de convergencia.

TEOREMA 21: Teorema de la derivación término a término Si LCI1 (X - a)1l tiene radio de convergencia R > O, defina una función

00

¡(x) = ~cn(x - aY' en el intervalo a - R < x < a + R. n=O

Esta función f tiene derivadas de todos los órdenes dentro del intervalo, por lo que es posible obtener las derivadas si derivamos la serie original término a término:

00

f'(x) = ~ncnCx - a)n - ', n= 1

00

f"(x) = ~n(n - l)c,/x - a)n-2 , n=2

y así sucesivamente. Cada una de estas series derivadas converge en todos los puntos interiores del intervalo a - R < x < a + R.



EJEMPLO 4 Determine la serie paraf'(x) y f"(x) si

f(x) = _1_ = 1+ x + x2 + x3 + x4 + ... + x" + ...1 - x

DO

= LX',n=O

-1 < x < 1

Solución Derivamos, término a término, la serie de potencias en el lado derecho:

f'(x) = 1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nx,,-l + ...(1 - X)2

-1 <x< 1;

j"(x) 2 = 2 + 6x + l2x2 + ... + nin - l)x"-2 + ...(1 - x)3

00

= 2:n(n - l)x"-2,n=2

-1 < x < 1 •

¡Precaución! La derivación término a término puede no funcionar con series de otro tipo. Porejemplo, la serie trigonométrica

~ sen (;!x)n=l n

converge para toda x. Pero si derivamos término a término, obtenemos la serie

~ n!cos (n!x)L.J 2 'n=l n

que diverge para toda x. Ésta no es una serie de potencias, ya que no es una suma de potenciasenteras positivas de x.

También se cumple que una serie de potencias pueden integrarse término a término entodo su intervalo de convergencia. Este resultado se demuestra en un curso más avanzado.

TEOREMA22: Teorema de integración término a término Suponga que

00

f(x) = 2:cn(x - a)"n=O

converge para a - R < x < a + R (R > O). De esta forma,

00 (x _ a)n+l2:cn-'-------'------

11=0 n + 1

converge para a - R < x < a + R y

J 00 (x - a)n+lf(x) dx = 2: e; 1 + e

n=O n +para a - R < x < a + R.

EJEMPLO 5 Identifique la función

00 (-1)" x2n+l x3 x5f(x) = 2: = x - - + - - ...

,,=0 2n + 1 3 5-1 :sx:s 1.


EJEMPLO 4 Determine la serie paraf'(x) y f"(x) si

Solución

f(x) = _ 1_ = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... + X' + .. . 1 - x

DO

= LX", -1 < x < 1 n=O

Derivamos, término a término, la serie de potencias en el lado derecho:

f'(x) = 1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . .. + nx',- l + ... (l - x)2

-1 <x< 1;

j"(x) 2 = 2 + 6x + l2x2 + ... + n(n - l)xn- 2 + .. . (1 - x)3

00

= 2: n(n - l)xn- 2, - 1 < x < 1 n=2 •

¡Precaución! La derivación término a término puede no funcionar con series de otro tipo. Por ejemplo, la serie trigonométrica

~ sen (;!x)

n= l n

converge para toda x. Pero si derivamos término a término, obtenemos la serie

~ n!cos (n!x) ~ 2 ' n=l n

que diverge para toda x . Ésta no es una serie de potencias, ya que no es una suma de potencias enteras positivas de x.

También se cumple que una serie de potencias pueden integrarse término a término en todo su intervalo de convergencia. Este resultado se demuestra en un curso más avanzado.

TEOREMA 22: Teorema de integración término a término Suponga que

00

f(x) = 2: cn(x - a)n n=O

converge para a - R < x < a + R (R > O) . De esta forma,

00 (x - at+1 2: cn -'--------=----,,=0 n + 1

converge para a - R < x < a + R y

¡ DO (x - a)n+ l f(x) dx = 2: Cn 1 + e

n=O n +

para a - R < x < a + R.

EJEMPLO 5 Identifique la función

00 (- l)n x2n + I x3 x5 f(x) = 2: = x - - + - - .. .

n=O 2n + 1 3 5 -1 :sx:s l.


f' (x) = 1 - X2 + X4 - X6 + ... , -l<x<l. Teorema 21


Solución Derivamos la serie original término a término y obtenemos

Ésta es una serie geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es -x2, así,

Ahora integramos f' (x) = 1/(1 + x2) para obtener

jf'(x) dx = j ~ = tan-[ x + C.1 + x

La serie paraf(x) es cero cuando x = O, así que C = O. Por lo tanto,

r-=- ()()(-1)//1 ~ = tan-I 1 = 2: ---

4 //=02n + 1

x3 x5 x7 _¡(x) = x - "3 + "5 - """"7+ ... = tan [x, -l<x<l. (6)

Puede demostrarse que la serie también converge a tan -[ x en los extremos x = ± 1, pero omi-timos la prueba. _

Observe que la serie original del ejemplo 5 converge en ambos extremos del intervalo ori-ginal de convergencia, pero el teorema 22 sólo puede garantizar la convergencia de la seriederivada dentro del intervalo.

EJEMPLO 6 La serie

_1_ = 1- t + ? - f + ...1 + t

converge en el intervalo abierto - 1 < t < l. Por lo tanto,

lx 1 ? f t4 ]XIn (1 + x) = -- dt = t - - + - - - + ...o l+t 2 3 4 o

Teorema 22

x2 x3 x4=x--+---+···

234

I ()()(-I)//-IIIn2 = 2: --n-

1/=1

o00 (_1)n-1 x"

In (1 + x) = :¿ n 'n=l

-l<x<l.

Se puede demostrar también que en x = 1, la serie converge al número In 2, aunque eso no logarantizaba el teorema. _

Ejercicios 10.7

IntervaLos de convergencia ()()

nxll ()() (-I)//(x + 2)//En los ejercicios 1 a 36, (a) halle el radio y el intervalo de convergencia 7. 2:- 8. 2: n//=0 n + 2 1/=1de la serie. ¿Para qué valores de x converge la serie (b) absolutamente,

()()

x" ()() (x - 1)"(e) condicionalmente? 9. 2:- 10. 2:()() 00 11=1 nVn31l ,,=1 Vn

1. 2:x" 2. 2:(x + 5)" 00 (-I)"x" 00 3/1x",,=0 n=O 11. 2:- 12. 2:-11=0 n! 1/=0 n!

2:(-I)"(4x+ 1)"00 (3x - 2)" ()()4"~" ()() (x - 1)"3. 4. 2: n 13. 2:-n- 14.

,~ n331111=0 n=l11=1

()() (x - 2)// ()() ()() ()()(-I)"x//+I

5. ,~ 10// 6. 2:(2x)// 15. 2: x" 16. 2:1/=0 //=0W+3 //=0 Vn + 3


00 n(x + 3)" 00

17.,~ 5"

18.,~ 4"(n~X: 1)

00 Vnxll00

19. 2:-3-" 20. 2:\Yn(2x + 5)",,=0 11=1

00

21. 2: (2 + (-lt)·(x + lt-I1/=1

22.~ (-I)"32"(x - 2)"

,,=1 3n

oo( )" 00

23. ,~ 1 + k x" 24. 2:(In n)xn11=1

00 00

25. 2:nflxn 26. 2:n!(x - 4)"1/=1 11=0

00 (_ I)"+ 1(x + 2)" 00

27.,~ n211

28. 2:(-2)"(n + 1)(x - l)"n=O


29.~~·,,=2 n(1n n)

Obtenga la información que necesite acerca

de L1/(n(ln ni) del ejercicio 55 de la sección 10.3

00 ( 2 )n47. 2: ~

n=O 348. ~ (x2

- 1)"11=0 2

00 )1

30. 2: _~_x_,,=2 n In n

Obtenga la información que necesite acerca de

L I/(n In 11) del ejercicio 54 de la sección 10.3

Teoría y ejemplos49. ¿Para qué valores de x la serie

1 1 ( 1)"1 - - (x - 3) + - (x - 3)2 + ... + - - (x - 3)" + ...2 4 2

converge? ¿Cuál es su suma? ¿Qué serie se obtiene al derivar térmi-no a término la serie dada? ¿Para qué valores de x converge la nuevaserie? ¿Cuál es su suma?

50. Si integra la serie del ejercicio 49, ¿qué nueva serie obtiene? ¿Paraqué valores de x converge la nueva serie y qué otro nombre recibesu suma?

51. La serie

converge a sen x para toda x.

a. Halle los seis primeros términos de una serie para cos x. ¿Paraqué valores de x debería ser convergente la serie?

b. Al sustituir x por 2x en la serie para sen x, determine una serieque converja asen 2x para toda x.

c. Con el resultado de (a) y la multiplicación de series, calculelos seis primeros términos de una serie para 2 sen x cos x.Compare su respuesta con la respuesta del inciso (b).

52. La serie

converge a e" para toda x.

a. Halle una serie para (d/dx)e-'. ¿Obtiene la serie para eí'!Justifique su respuesta.

b. Halle una serie para J e' dx. ¿Obtiene la serie para eX?Justifique su respuesta.

c. Sustituya x por -x en la serie para e" y determine una serie queconverja a e-X para toda x, Multiplique después la serie por e'y e-x, luego halle los seis primeros términos de una seriepara e-X' e".

53. La seriex3 2x5 17x7 62x9

tanx=x+3"+15+ 315 + 2835 + ...

converge a tan x para -7T /2 < x < 7T/2.

a. Determine los cinco primeros términos de la serie para In [sec xl.¿Para qué valores de x debería converger la serie?

b. Halle los cinco primeros términos de la serie para sec? x. ¿Paraqué valores x debería converger esta serie?

c. Compruebe su resultado del inciso (b) elevando al cuadrado laserie propuesta para sec x en el ejercicio 54.

54. La serie00 00

41. 2: 3"x" 42. 2: (¿ - 4)" ~ 5 4 61 6 277 8secx = 1 + - + -x + --x + --x + ...1/=0 11=0 2 24 720 806400 (x - 1)211 00 (x + 1)2n

43.I~ 4"

44.,~ 9f1

converge a sec x para -7T /2 < x < 7T/2.

~ (~ - 1)"

a. Determine los cinco primeros términos de una serie de potencias00

45. 46. 2:(In x)" para la función In [sec x + tan xl. ¿Para qué valores de x debería11=0 2 11=0 converger la serie?

00 (4x - 5?"+131. 2:----

n= 1 n3/2

00 (3x + 1)n+ 1

32.2:---n=1 2n + 2

33.~ I x"n=12·4·8···(2n)

00 3· 5 ·7· .. (2n + 1)34. 2: XI+1

11=1 n2• 211

35. ~ --,-:1=---+--=2_+--=-3,...+_·_·_._+--=n~ x"11=112 + 22 + 32 + ... + n2

36. ~ (Vn+l - Vn)(x - 3)"11=1

En los ejercicios 37 a 40, determine el radio de convergencia.

00 I37 ~ n. "

• I~ 3 . 6 . 9 ... 3n x

00 ( 2'4'6 ... (2n) )238. 2: x"

11=1 2·5·8···(3n - 1)

00 (n!?39. 2:--xl

1I=12"(2n)!

40. ~ ( n ),,2 x"11=1 n + I

(Sugerencia: Aplique el criterio de la raíz).

En los ejercicios 41 a 48, utilice el teorema 20 para determinar el intervalode convergencia de cada una de las series y, dentro de este intervalo, lasuma de las series como una función de x.


b. Halle los cuatro primeros términos de una serie para sec x tan x.¿Para qué valores de x debería converger la serie?

c. Compruebe su resultado del inciso (b) multiplicando la serie parasec x por la serie propuesta para tan x en el ejercicio 43.

55. Unicidad de las series de potencias convergentes

a. Demuestre que si dos series de potencias 2::0 anx" y 2:~=0b"xl

son convergentes e iguales para todos los valores de x en un inter-valo abierto (-c, c), entonces a" = b; para toda n. (Sugerencia:Sea ¡(x) = 2::0 a"x" = 2::0 b.x": Derive término a términopara demostrar que a" y b; son ambas iguales a ¡("J(O)/(n!).)

b. Demuestre que si 2::0 a.x" = Opara toda x en un intervaloabierto (-c, c), entonces a" = Opara toda n.

56. La suma de la serie 2:~=o(112/2") Para determinar la suma de estaserie, exprese 1/(1 - x) como una serie geométrica, derive amboslados de la ecuación resultante con respecto a x, multiplique am-bos lados del resultado por x, nuevamente derive, otra vez multi-plique por x e iguale x a 1/2. ¿Qué obtiene?


10.8 Series de TayLor y de MacLaurin

En esta sección veremos cómo ciertas funciones infinitamente derivables generan las seriesde potencias conocidas como series de Taylor. En muchos casos, tales series pueden brindarútiles aproximaciones polinomiales de las funciones que las generaron. Las series de Taylor, alser utilizadas rutinariamente por científicos y matemáticos, constituyen uno de los temas másimportantes de este capítulo.

Representaciones en series

A partir del teorema 21, sabemos que la suma de una serie de potencias es una función conti-nua con derivadas de todos los órdenes, dentro de su intervalo de convergencia. Pero, ¿qué sediria de lo contrario? Si una función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en un interva-lo 1, ¿se puede expresar como una serie de potencias en I? Si esto es posible, ¿cuáles serán suscoeficientes?

Es posible responder fácilmente a la última pregunta si suponemos que f(x) es la suma deuna serie de potencias.

00

f(x) = 2:an(x - a)n1/=0

con un radio de convergencia positivo. Mediante derivación repetida término a término, dentrodel intervalo de convergencia 1, obtenemos

f'(x) = al + 2a2(X - a) + 3a3(X - a)2 + ... + nan(x - a)n-l + "',

F'(x)

i" (x)

1 . 2a2 + 2' 3a3(X - a) + 3 . 4a4(X - a? + .. "

l : 2' 3a3 + 2·3· 4a4(X - a) + 3·4· 5a5(X - a)2 + ... ,que es la n-ésima derivada, para toda n,

¡<nl(x) = n!an + una suma de términos con (x - a) como factor.

f'(a) = al, ¡mea) = l : 2· 3a3,

Puesto que todas estas ecuaciones son válidas cuando x = a, tenemos

y, en general,

¡<nl(a) = n!an.

Dichas fórmulas revelan un patrón en los coeficientes de cualquier serie de potencias2"::0 an(x - aY que converge a los valores de f en 1 ("que representa a f en 1"). Si esa serieexiste (aún está en duda), entonces sólo hay una de tales series y su n-ésimo coeficiente es

¡<nl(a)a; = -n-!-'


b. Halle los cuatro primeros términos de una serie para sec x tan x . ¿Para qué valores de x debería converger la serie?

b. Demuestre que si 2:: 0 anx" = O para toda x en un intervalo abierto (-c, c), entonces a" = O para toda n.

c. Compruebe su resultado del inciso (b) multiplicando la serie para sec x por la serie propuesta para tan x en el ejercicio 43.

56. La suma de la serie 2::;"=0 (n2/ 2") Para determinar la suma de esta serie, exprese l/O - x) como una serie geométrica, derive ambos lados de la ecuación resultante con respecto a x, multiplique am-55. Unicidad de las series de potencias convergentes

a. Demuestre que si dos series de potencias 2:: 0 anx" y 2::;"=0 b"x' son convergentes e iguales para todos los valores de x en un inter

valo abierto (-c, c), entonces a" = bn para toda n. (Sugerencia:

bos lados del resultado por x, nuevamente derive, otra vez multiplique por x e iguale x a 1/ 2. ¿Qué obtiene?

Sea ¡(x) = 2:: 0 a"x" = 2:: 0 b"x' . Derive término a término

para demostrar que a" y b" son ambas iguales a ¡(")(O)/ (n!).)

10.8 Series de TayLor y de MacLaurin

En esta sección veremos cómo ciertas funciones infinitamente derivables generan las series de potencias conocidas como series de Taylor. En muchos casos, tales series pueden brindar útiles aproximaciones polinomiales de las funciones que las generaron. Las series de Taylor, al ser utilizadas rutinariamente por científicos y matemáticos, constituyen uno de los temas más importantes de este capítulo.

Representaciones en series

A partir del teorema 21, sabemos que la suma de una serie de potencias es una función continua con derivadas de todos los órdenes, dentro de su intervalo de convergencia. Pero, ¿qué se diria de lo contrario? Si una función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo 1, ¿se puede expresar como una serie de potencias en I? Si esto es posible, ¿cuáles serán sus coeficientes?

Es posible responder fácilmente a la última pregunta si suponemos que f(x) es la suma de una serie de potencias.

00

f(x) = :Lal/(x - aY 1/ =0

con un radio de convergencia positivo. Mediante derivación repetida término a término, dentro del intervalo de convergencia 1, obtenemos

f'(x) = al + 2a2(X - a) + 3a3(X - a)2 + ... + nal/(x - a)n - l + ... ,

f"(x)

j"'(x)

1 . 2a2 + 2· 3a3(X - a) + 3· 4a4(X - a? + ... ,

1·2·3a3 + 2·3· 4a4(X - a) + 3·4· 5as(x - a)2 + ... ,

que es la n-ésima derivada, para toda n,

¡<"l(x) = nlan + una suma de ténninos con (x - a) como factor.

Puesto que todas estas ecuaciones son válidas cuando x = a, tenemos

f'(a) = al, j"'(a) = 1·2· 3a3,

y, en general,

¡<nl(a) = nlan.

Dichas fónnulas revelan un patrón en los coeficientes de cualquier serie de potencias 2:: 0 al/(x - aY que converge a los valores de f en 1 ("que representa a f en 1"). Si esa serie existe (aún está en duda), entonces sólo hay una de tales series y su n-ésimo coeficiente es

¡<nl(a) all = -n-!-·


BIOGRAFÍAS H'STÓRICAS

Brook Taylor(1685-1731)

Colin Maclaurin(1698-1746)

10.8 Series de Taylor y de Maclaurin 585

Si f tiene una representación como serie, ésta debe ser

f"(a)f(x) = fea) + f'(a)(x - a) + ----v- (x - a)2

¡(n)(a)+ ... + --, - (x - a)" + ....

n. (1)

Pero si empezamos con una función arbitraria f, infinitamente derivable en un intervalo J cen-trado en x = a y la usamos para generar la serie de la ecuación (J), entonces, ¿la serie conver-gerá a f(x) en cada x en el interior de J? La respuesta es quizá: para algunas funciones sí, peropara otras no será así, como veremos.

Series de Taylor y MaclaurinLa serie en el lado derecho de la ecuación (1) es la más importante y útil que estudiaremos eneste capítulo.

DEFINICIONES Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en algún in-tervalo que contenga a a como un punto interior. Entonces la serie de Taylor gene-rada por f enx = a es

00 ¡Ckl(a) 1" (a)~ ~ (x - a)k = fea) + f'(a)(x - a) + ----v- (x - a)2

f(n)(a)+ ... + --,- (x - a)" + ....

n.

La serie de Maclaurin generada por f es

00 f(k)(O) f" (O) f(¡¡)(O):¿ --, -xk = feO) + f'(O)x + -,-x2 + ... + --, -x" + ... ,k=O k. 2. n.

que es la serie de Taylor generada por f en x = O.

Con frecuencia, la serie de Maclaurin generada por f sólo se llama serie de Taylor de f.

EJEMPLO 1 Halle la serie de Taylor generada por f(x) = l/x en a = 2. ¿Converge la seriea l/x? ¿Dónde?

Solución Necesitamos determinar f(2), f' (2), /,,(2), Al derivar, tenemos

f(x) = x-I, f'(x) = -x-2, f"(x) = 2!x-3, , ¡(")(X) = (-1)"n!x-(¡¡+I),

por lo que

f(2) = TI =~, 1'(2) = - ;2' f'~(!2) = T3 = ;3' ( -l)n

n!

La serie de Taylor es

1"(2) ¡(")(2)f(2) + f'(2)(x - 2) + --(x - 2)2 + ... + --(x - 2)" + ...

2! n!

12

(x - 2) (x - 2)2 (x - 2)"--'-------,----'-+ - . . . + (- 1)n + ...22 23 2,,+1

BIOGRAFÍAS HI STÓRICAS

Brook Taylor (1685-1731)

Colin Maclaurin (1698-1746)


Si f tiene una representación como serie, ésta debe ser

f"(a) j(x) = j(a) + f'(a)(x - a) + 2! (x - a)2

¡(")(a) + .. . + --I-(x - ay + ....

n. (1)

Pero si empezamos con una función arbitraria f, infinitamente derivable en un intervalo 1 centrado en x = a y la usamos para generar la serie de la ecuación (1), entonces, ¿la serie convergerá a f(x) en cada x en el interior de I? La respuesta es quizá: para algunas funciones sí, pero para otras no será así, como veremos.

Series de Taylor y Maclaurin

La serie en el lado derecho de la ecuación (1) es la más importante y útil que estudiaremos en este capítulo.

DEFINICIONES Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo que contenga a a como un punto interior. Entonces la serie de Taylor generada por f en x = a es

00 ¡Ck)(a) f"(a) ,6 ~ (x - a)k = j(a) + f'(a)(x - a) + 2! (x - af

j(")(a) + ... + - -1 - (x - aY + .. ..

n.

La serie de Maclaurin generada por f es

00 j (k)(O) j" (O) j (n)(o) :¿ - -1 - xk = j(O) + f'(O)x + -,- x2 + .. . + - -, -x" + ... , k= O k. 2. n.

que es la serie de Taylor generada por f en x = O.

Con frecuencia, la serie de Mac1aurin generada por f sólo se llama serie de Taylor de f.

EJEMPLO 1 Halle la serie de Taylor generada por f(x) = l / x en a = 2. ¿Converge la serie a l/x? ¿Dónde?

Solución Necesitamos determinar f(2) , f' (2), /,,(2), . .. Al derivar, tenemos

j(x ) = x-I, f'(x ) = -x-2, f"(x) = 2!x- 3, .. . , ¡("\X) = ( - 1)"n!x-(,,+I),

por lo que

j(2) = TI = ~, 1'(2) = - ;2' f'~(!2) = T 3 = ;3' ( - 1)"

n!

La serie de Taylor es

1"(2) ¡(1I)(2) j(2) + f'(2)(x - 2) + --(x - 2)2 + ... + - -(x - 2)" + ...

2! n!

1 2

(x - 2) (x - 2f (x - 2Y - -- + - ... + (-1)" + ... 22 23 2,, +1


Ésta es una serie geométrica con 1/2 como primer término y razón r = -(x - 2)/2. Convergeabsolutamente para Ix - 21< 2 Ysu suma es


y

~O.5

---_~O~.5~--~OL---~O~.5~---71.70----+x

FIGURA 10.17 Lagráficadej(x) = e'Ysus polinomiosdeTaylor

PI(x) = I + x

P2(x) = l + x + (¿/2!)P3(x) = l + x + (x2/2!)+ (x3/3!).

Observela muy cercanaaproximacióncercadel centrox = O (ejemplo2).

1/2 1x'1 + (x - 2)/2 2 + (x - 2)

En este ejemplo, la serie de Taylor generada por f(x) = l/x en a = 2 converge a l/x paraIx - 21< 2 o O < x < 4. •

Polinomios de TaylorLa linealización de una función derivable f en un punto a es el polinomio de grado uno dadopor

F¡(x) = fea) + f'(a)(x - a).

En la sección 3.9 usamos dicha linealización para aproximar f(x) en valores de x cercanos a a.Si f tiene derivadas de orden mayor en a, entonces también tiene aproximaciones polinomialesde orden mayor, una para cada derivada disponible. Estos polinomios se conocen como poli-nomios de Taylor de f.

DEFINICIÓN Seafuna función con derivadas de orden k para k = 1,2, ... , n enalgún intervalo que contenga a a como un punto interior. Entonces, para cualquierentero n, desde O hasta N, el polinomio de Taylor de orden n generado por f enx = a es el polinomio

f"(a)Fn(x) = fea) + f'(a)(x - a) + ~ (x - a)2 + ...

¡<kl(a) f(nl(a)+ ~(x - a)k + ... + ~(x - aY.

Decimos que un polinomio de Taylor es de orden n y no de grado n, porque ¡<nl(a) puedeser cero. Por ejemplo, los dos primeros polinomios de Taylor de f(x) = cos x en x = O, sonFo(x) = 1 YF¡(x) = l. El polinomio de primer orden tiene grado cero, no uno.

Del mismo modo que la linealización de f en x = a ofrece la mejor aproximación linealde f en la vecindad de a, los polinomios de Taylor de orden mayor brindan "las mejores"aproximaciones polinomiales de sus respectivos grados. (Véase el ejercicio 40).

EJEMPLO 2 Determine la serie de Taylor y los polinomios de Taylor generados por f(x) = e'enx = O.

Solución Dado que ¡<nl(x) = ¿ y f(nl(o) = 1 para cada n = O, 1,2, ... , la serie de Taylorgenerada por f en x = O (figura 10.17) es

1"(0) f(nl(o)feO) + f'(O)x + --~ + ... + --~ + ...

2! n!

x2 x"+x+-+"'+-+'"2 n!oo~

~k!'

Ésta es también la serie de Maclaurin para e=. En la siguiente sección veremos que la serieconverge a eX en toda x.


y

---_~OL.5----~0~--~O~.5~---L1.~O---+ x

FIGURA 10.17 La gráfica de ¡(x) = eX

Y sus polinomios de Taylor

PI(x) = 1 + x

P2(x) = l + x + (¿/ 2!)

P3(X) = 1 + x + (x2/2!) + (x3/ 3!).

Observe la muy cercana aproximación cerca

del centro x = O (ejemplo 2).

Ésta es una serie geométrica con 1/ 2 como primer término y razón r = -(x - 2)/ 2. Converge absolutamente para Ix - 21 < 2 Y su suma es

1/ 2

1 + (x - 2)/ 2 2 + (x - 2) x·

En este ejemplo, la serie de Taylor generada por f(x) = l / x en a = 2 converge a l / x para Ix - 21 < 2 o O < x < 4. •

Polinomios de Taylor

La linealización de una función derivable f en un punto a es el polinomio de grado uno dado por

p¡(x) = jea) + f'(a)(x - a).

En la sección 3.9 usamos dicha linealización para aproximar f(x) en valores de x cercanos a a. Si f tiene derivadas de orden mayor en a, entonces también tiene aproximaciones polinomiales de orden mayor, una para cada derivada disponible. Estos polinomios se conocen como polinomios de Taylor de f.

DEFINICIÓN Sea funa función con derivadas de orden k para k = 1, 2, oo., n en algún intervalo que contenga a a como un punto interior. Entonces, para cualquier entero n, desde O hasta N, el polinomio de Taylor de orden n generado por f en x = a es el polinomio

1"(a) Pr/(x) = jea) + f'(a)(x - a) + ~ (x - a)2 + ...

¡<kl(a) j (nl(a) + ~(x - a)k + ... + -n-! -(x - a)".

Decimos que un polinomio de Taylor es de orden n y no de grado n, porque ¡<nl(a) puede ser cero. Por ejemplo, los dos primeros polinomios de Taylor de f(x) = cos x en x = O, son Po (x) = 1 Y p¡(x) = 1. El polinomio de primer orden tiene grado cero, no uno.

Del mismo modo que la linealización de f en x = a ofrece la mejor aproximación lineal de f en la vecindad de a, los polinomios de Taylor de orden mayor brindan "las mejores" aproximaciones polinomiales de sus respectivos grados. (Véase el ejercicio 40).

EJEMPLO 2 Determine la serie de Taylor y los polinomios de Taylor generados por f(x) = eX enx = O.

Solución Dado que ¡<nl(x) = ¿ y ¡<nl(o) = 1 para cada n = O, 1,2, oo ., la serie de Taylor generada por f en x = O (figura 10.17) es

1"(0) ¡<nl (o) j(O) + f'(O)x + --~ + ... + --xn + ...

2! n!

X2 x' +x + - + .. ·+ -+ .. · 2 n!

00 0 ~k!'

Ésta es también la serie de Maclaurin para eX. En la siguiente sección veremos que la serie converge a eX en toda x.



El polinomio de Taylor de orden n en x = O es

x2 x"Pn(x) = 1 + x + - + ... + -2 n! . •

EJEMPLO 3 Determine la serie de Taylor y los polinomios de Taylor generados porf(x) = cosx enx = O.

Solución El coseno y sus derivadas son

¡(x) =

j"(x) =

cosx,

-cosx,

j'(x) =

¡(3l(x) =

-senx,

senx,

¡(2n)(x) = (-lt cosx, ¡<2n+I)(X) = (_1)n+1 senx.

En x = O, los cosenos son 1 y los senos son O, por lo cual

¡<2n)(0) = (_1)n, ¡<2n+I)(0) = O.

La serie de Taylor generada por f en O es

¡"(O) ¡"'(O) ¡(n)(o)¡(O) + j'(O)x + --x2 + --x3 + ... + _-x" + ...

2! 3! n!x2 x4 ~n

1 + O·x - - + O·x3 + - + ... + (-1)" -- + ...2! 4! (2n)!

00 (-1 )kX2k:¿ .k=O (2k)!

Ésta también es la serie de Maclaurin para cos x. Observe que sólo las potencias pares de xaparecen en la serie de Taylor generada por la función coseno, lo cual es congruente con elhecho de que sea una función par. En la sección 10.9, veremos que la serie converge a cos xpara todax.

Como ¡<2n+I)(0) = O, los polinomios de Taylor de órdenes 2n y 2n + 1 son idénticos:

~ x4 x2nP2 (x) = P2 + 1(x) = 1 - - + - - ... + (_1)n_-

n n 2! 4! (2n)! .

La figura 10.18 revela qué tan bien estos polinomios aproximan af(x) = cos x, cerca de x = O.Sólo se muestra la parte del lado derecho de las gráficas, ya que las gráficas son simétricas conrespecto al eje y. •

y

FIGURA 10.18 Los polinomios11 (_l)kx2k

P2n(X) = ~ (2k)!convergen a cos x cuando n ~ oo. Podemos deducir el comportamientode cos x, a una distancia arbitrariamente grande, si se conocen sólolos valores del coseno y sus derivadas en x = O(ejemplo 3).


El polinomio de Taylor de orden n en x = O es

x2 x'1 Pn(x) = 1 + x + - + ... + -

2 n! . • EJEMPLO 3 Determine la serie de Taylor y los polinomios de Taylor generados por f(x) = cosx en x = O.

Solución El coseno y sus derivadas son

j(x) =

j"(x) =

cosx,

-cosx,

j(2n)(x) = (- ly cosx,

j'(x) =

j(3)(x) =

-senx,

sen x,

¡<2n+ l)(x) = (_1)n+ 1 sen x.

En x = O, los cosenos son 1 y los senos son O, por lo cual

¡<2n+I)(0) = O.

La serie de Taylor generada por f en O es

j "(O) j"'(O) j (II) (O) j(O) + j'(O)x + --x2 + - - x3 + ... + _ -x" + ...

2! 3! n! x2 x4 ~n

I + O· x - - + O· x3 + - + ... + (_1)" - - + ... 2! 4! (2n)!

00 (-1 )kX2k ~ . k=O (2k)!

Ésta también es la serie de Maclaurin para cos x . Observe que sólo las potencias pares de x aparecen en la serie de Taylor generada por la función coseno, lo cual es congruente con el hecho de que sea una función par. En la sección 10.9, veremos que la serie converge a cos x para todax.

Como ¡<2n+ 1)( O) = O, los polinomios de Taylor de órdenes 2n y 2n + 1 son idénticos:

~ x4 X211 P211(X) = P2n+I (X) = 1 - 2! + 4! - ... + (_ 1)n (2n) !'

La figura 10.18 revela qué tan bien estos polinomios aproximan af(x) = cos x, cerca de x = O. Sólo se muestra la parte del lado derecho de las gráficas, ya que las gráficas son simétricas con respecto al eje y. •

y

FIGURA 10.18 Los polinomios

11 (_!)kX2k P2n(X) = ~ (2k)!

convergen a cos x cuando n ~ oo. Podemos deducir el comportamiento

de cos x, a una distancia arbitrariamente grande, si se conocen sólo

los valores del coseno y sus derivadas en x = O (ejemplo 3).



EJEMPLO 4 Puede demostrarse (aunque no con facilidad) que

(figura 10.19) tiene derivadas de todos los órdenes en x = OYque /(nl(O) = Opara toda n. Estosignifica que la serie de Taylor generada por / en x = Oes

f(x) = {O~l/¿e ,

x=Oxi=O

FIGURA 10.19 La gráfica de la extensióncontinua de y = e-l/x' es tan plana en el

origen que todas sus derivadas allí son cero

(ejemplo 4).

1"(0) ¡(nl(o)feO) + f'(O)x + --2- + ... + _-x" + ...

2! n!= O + O'X + 0'x2 + ... + O·x" + ...=0+0+···+0+···.

La serie converge para toda x (su suma es O), pero converge a /(x) sólo en x = O.Esto es, laserie de Taylor generada por /(x) en este ejemplo no es igual a la función j'(x), •

Aún quedan pendientes dos preguntas.

1. ¿Para qué valores de x puede esperarse que una serie de Taylor converja a su función quela genera?

2. ¿Cuál es la precisión con la que los polinomios de Taylor de una función aproximan a lafunción en un intervalo dado?

o 2-2 -1

Las respuestas se dan en la siguiente sección por medio del teorema de Taylor.

Ejercicios 10.8

Determinación de polinomios de TaylorEn los ejercicios 1 a 10, determine los polinomios de Taylor de órdenes O,1, 2 Y 3 generados por f en a.

1. ¡(x) = e2x, a = O

3. ¡(x) = Inx, a = 1

5. ¡(x) = l/x, a = 2

7. ¡(x) = senx, a = 'Tr/4

9. ¡(x) = Vx, a = 4

2. ¡(x) = senx, a = O

4. ¡(x) = In (1 + x), a = O

6. ¡(x) = I/(x + 2), a = O

8. ¡(x) = tanx, a = 'Tr/4

10. ¡(x) =~, a = O

Determinación de series de Taylor en x = O (series de Maclaurin)Determine las series de Maclaurin para las funciones de los ejercicios 11a 22.11. e-x 12. xe'

l 14.2+x

13. I + x I - x

15. sen 3x 16.x

sen "2

17. 7cos(-x) 18. S cos 'TrX

19.¿ + e-x

20.¿ - e-x

cosh x = --2-- senh x = --2--

21. x4 - zX3 - Sx + 4 22.~

x + l

Determinación de las series de Taylor y de MaclaurinEn los ejercicios 23 a 32, determine la serie de Taylor generada por f enx = a.

23. ¡(x) = x3 - 2x + 4, a = 2

24. ¡(x) = 2x3 + x2 + 3x - 8, a = 1

25. ¡(x) = x4 + x2 + 1, a = -226. ¡(x) = 3Xi - x4 + 2x3 + x2 - 2, a = -1

27. ¡(x) = I/X2, a = l

28. ¡(x) = l/O - x)3, a = O

29. ¡(x) = e', a = 2

30. ¡(x) = 2X, a = 1

31. ¡(x) = cos (2x + ('Tr/2», a = 'Tr/4

32. ¡(x) =~, a = O

En los ejercicios 33 a 36, determine los primeros tres términos distintosde cero de la serie de Maclaurin para cada función y los valores de x paralos cuales la serie converge absolutamente.

33. ¡(x) = cosx - (2/(1 - x)

34. ¡(x) = (1 - x + ~) ¿

35. ¡(x) = (senx) In (1 + x)

36. ¡(x) = x serr' x

Teoría y ejemplos37. Utilice la serie de Taylor generada por eX en x = a para demostrar que

[(x - a)2 ]

e' = ea 1 + (x - a) + 2! +....

38. (Continuación del ejercicio 37). Determine la serie de Taylor ge-nerada por eX en x = 1. Compare su respuesta con la fórmula delejercicio 37.

39. Suponga que f(x) tiene derivadas hasta de orden n en x = a.Demuestre que el polinomio de Taylor de orden n y sus primerasderivadas tienen los mismos valores que f y que sus primeras n de-rivadas en x = a.


10.9 Convergencia de series de Taylor 589

40. Propiedades de aproximación de los polinomios de TaylorSuponga que f(x) es derivable en un intervalo centrado en x = a y queg(x) = b« + bl(x - a) + ... + bnCx - a)n es un polinomio de gradon con coeficientes constantes ba, ... , b.; Sea E(x) = f(x) - g(x). De-muestre que si imponemos a g las condiciones

ASÍ, el polinomio de Taylor Fn(x) es el único polinomio de gradomenor o igual que n que produce un error que es cero en x = a yademás resulta despreciable cuando se compara con (x - a)n.

i) E(a) = OE(x)

ii) Iím ( ) = O,x----+a X - a 11

El error de la aproximación es cero en x = a.

El error es despreciable si se comparacon (x - a)".

Aproximaciones cuadráticas El polinomio de Taylor de orden 2 gene-rado por una función f(x), dos veces derivable en x = a, se denominaaproximación cuadrática de f en x = a. En los ejercicios 41 a 46, deter-mine (a) la linealización (polinomio de Taylor de orden 1) y (b) la apro-ximación cuadrática de f en x = O.

entonces 41. ¡(x) = In (cosx)

43. ¡(x) = 1/~45. ¡(x) = senx

42. ¡(x) = esen x

44. ¡(x) = coshx

46. ¡(x) = tanxf"(a)

g(x) = ¡(a) + f'(a)(x - a) + ~ (x - a)2 +

¡(nl(a)+ --,-ex - a)n.

n.

lO.91_c_o_n_v_e--'r9:;....e_n_c_ia_d_e_s_e_n_·e_s_d_e_T-..;ay:;....L_o_r _

En la última sección preguntamos cuándo puede esperarse que una serie de Taylor para unafunción converja a la función (que la generó). Respondemos la pregunta en esta sección con elsiguiente teorema.

TEOREMA 23: Teorema de TayLor Si f y sus primeras n derivadas 1',1", ..., f(n)

son continuas en el intervalo cerrado entre a y b, Ysi f(n) es derivable en el intervaloabierto entre a y b, entonces existe un número c, entre a y b, tal que

f"(a)f(b) = fea) + f'(a)(b - a) + ~ (b - a)2 + ...

f(n)(a) r:l)(c)+ -- (b - a)" + (b - a)n+l.

n! (n + l)!

El teorema de Taylor es una generalización del teorema del valor medio (ejercicio 45). Al finalde esta sección se presenta una demostración del teorema de Taylor.

Cuando aplicamos el teorema de Taylor, generalmente queremos mantener fija a y usar a bcomo variable independiente. La fórmula de Taylor es más fácil de usar en esas circunstanciassi cambiamos b por x. He aquí una versión del teorema con este cambio.

FórmuLa de TayLorSi f tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto 1que contiene a a,entonces, para cada entero positivo n y para cada x de 1,

f"(a)f(x) = fea) + f'(a)(x - a) + ~ (x - a)2 + ...

¡Cn)(a)+ --, - (x - a)n + Rn(x),

n.

donde

f(n+I)(C)R (x) = (x - a),,+l

n (n + 1)!para alguna e entre a y x.

(1)

(2)


40. Propiedades de aproximación de los polinomios de Taylor Suponga que f(x) es derivable en un intervalo centrado en x = a y que g (x ) = ba + b 1(x - a) + ... + bnCx - a)" es un polinomio de grado 11 con coeficientes constantes ba, ... , b". Sea E(x) = f(x) - g(x) . Demuestre que si imponemos a g las condiciones

Así, el polinomio de Taylor P,,(x) es el único polinomio de grado menor o igual que n que produce un error que es cero en x = a y además resulta despreciable cuando se compara con (x - a)n.

Aproximaciones cuadráticas El polinomio de Taylor de orden 2 generado por una función f(x) , dos veces derivable en x = a, se denomina aproximación cuadrática de f en x = a . En los ejercicios 41 a 46, determine (a) la linealización (polinomio de Taylor de orden 1) y (b) la aproximación cuadrática de f en x = O.

i) E(a) = O

E(x ) ji) lím ( ) = O,

x~a X - a 11

entonces

El error de la aproximación es cero en x = a.

El error es despreciable si se compara con (x - a)" .

f"(a) g(x) = ¡(a) + f'(a)(x - a) + 2! (x - a)2 +

41. ¡(x) = In (cosx)

43. ¡(x) = l /~ 45. ¡(x) = senx

42. ¡(x) = esen x

44. ¡(x) = coshx

46. ¡(x) = tanx

¡ (nl(a) + --, -(x - a)" .

n .

1().~ 1 ~_(_o_n_v_e_rg~e_n_c_i_a_d_e __ se_n_·e_s __ d_e_T_a~y_Lo_r---------------------------------

En la última sección preguntamos cuándo puede esperarse que una serie de Taylor para una función converja a la función (que la generó). Respondemos la pregunta en esta sección con el siguiente teorema.

TEOREMA 23: Teorema de Taylor Si j Y sus primeras n derivadas 1' ,1", ... , j(n)

son continuas en el intervalo cerrado entre a y b, Y si j (n) es derivable en el intervalo abierto entre a y b, entonces existe un número e, entre a y b, tal que

f"(a) f(b) = fea) + f'(a)(b - a) + ~ (b - ap + ...

f (n)(a) f (lI+ l)(e) + --(b - a)n + (b - a)n+l.

n! (n + 1)!

El teorema de Taylor es una generalización del teorema del valor medio (ejercicio 45). Al final de esta sección se presenta una demostración del teorema de Taylor.

Cuando aplicamos el teorema de Taylor, generalmente queremos mantener fija a y usar a b como variable independiente. La fórmula de Taylor es más fácil de usar en esas circunstancias si cambiamos b por x. He aquí una versión del teorema con este cambio.

Fórmula de Taylor Si j tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto J que contiene a a, entonces, para cada entero positivo n y para cada x de J,

donde

f"(a) f(x) = fea) + f'(a)(x - a) + ~ (x - a)2 + ...

¡<n)(a) + --, - (x - a)n + Rn(x),

n.

j(n+ ll(e) R (x) = (x - ay+l

n (n + 1)! para alguna e entre a y x .

(1)

(2)



Cuando lo expresamos en esta forma, el teorema de Taylor nos dice que para cada x E 1,

f(x) = PI1(x) + Rn(x).

La función Rn(x) está determinada por el valor de la (n + l)-ésima derivada, f(I1+1) en un pun-to e, el cual depende de a y de x, y se encuentra entre ellos. Para cualquier valor de n queelijamos, la ecuación nos da una aproximación polinomial de f de ese orden y también unafórmula para el error cometido al usar esa aproximación sobre el intervalo I.

La ecuación (1) se conoce como fórmula de Taylor. La función Rn(x) se llama residuo deorden n o término de error para la aproximación de f por medio de P,¡{x) sobre I.

Si Rn(x) ~ O cuando n ~ 00 para toda x E 1, decimos que la serie de Taylor generadapor f en x = a converge a f en 1, y escribimos

00 ¡<k)(a)f(x) = ~ -k!- (x - a)k.

Con frecuencia podemos estimar RII sin conocer el valor de e, como ilustra el siguienteejemplo.

EJEMPLO 1 Demuestre que la serie de Taylor generada por f(x) = eX en x = O convergea f(x) para todo valor real de x.

Solución La función tiene derivadas de todos los órdenes en todo el intervalo 1= (-00, (0).Las ecuaciones (1) y (2) conf(x) = eX y a = O dan

e' = 1 + x + ~ + ... + ~ + RII(x)El polinomio del ejemplo 2,de la sección 10.8.

yC

R (x) = e x"+l11 (n + 1)!

para alguna e entre O y x.

Ya que e" es una función creciente de x, p C está entre eO = 1 Y eX. Cuando x es negativa, e tam-bién lo es, y e" < 1. Cuando x es cero, eX = 1 Y RI1(x) = O. Cuando x es positiva, e tambiénlo es, y e" < e". Por lo tanto, para RI1(x) dado como antes,

Ixl"+1IRn(x) I :S (n + 1)! cuando x :S O,

yxn+l< e'----'.'-----

(n + 1)!IRI1(x)I cuando x > O.

Por último, puesto que

x"+1lím = O

n-->oo(n + 1)!

lím Rn(x) = O, Y la serie converge a eX para toda x. Por lo tanto,n-->OO

para todax, Teorema 5, sección 10.1

00 ~ :l- xke'= L-= 1 +x+-+···+-+···

k=O k! 2! k! .

I El número e como una serie00 1

e= L-1/=0 n!

Podemos utilizar el resultado del ejemplo 1 con x = 1 para escribir

1 1e = 1 + 1 + -21

+ ... + , + RI1(l) ,. n.

(3)

•


I El número e como una serie

00 1 e = :¿ -

1/ = 0 n!

Cuando lo expresamos en esta forma, el teorema de Taylor nos dice que para cada x E 1,

f(x) = P,,(x) + R¡¡(x).

La función RI1(x) está determinada por el valor de la (n + 1)-ésima derivada, f (I1 +1) en un punto e, el cual depende de a y de x, y se encuentra entre ellos. Para cualquier valor de n que elijamos, la ecuación nos da una aproximación polinomial de f de ese orden y también una fórmula para el error cometido al usar esa aproximación sobre el intervalo I.

La ecuación (1) se conoce como fórmula de Taylor. La función Rn(x) se llama residuo de orden n o término de error para la aproximación de f por medio de P,¡{x ) sobre I.

Si Rn(x) --'> O cuando n --'> 00 para toda x E 1, decimos que la serie de Taylor generada por f en x = a converge a f en 1, y escribimos

00 ¡<k)(a) f(x) = ~ - k!- (x - a)k.

Con frecuencia podemos estimar Rn sin conocer el valor de e, como ilustra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1 Demuestre que la serie de Taylor generada por f(x) = eX en x = O converge a f(x) para todo valor real de x.

Solución La función tiene derivadas de todos los órdenes en todo el intervalo 1 = (- 00, (0). Las ecuaciones (1) y (2) conf(x) = eX y a = O dan

e' = 1 + x + ~ + ... + ~ + Rn(x)

y e

El polinomio del ejemplo 2, de la sección 10.8.

R (X) = e r+ 1

n (n + 1)! para alguna e entre O y x.

Ya que eX es una función creciente de x, eC está entre eO = 1 Y eX. Cuando x es negativa, e también lo es, y eC < 1. Cuando x es cero, eX = 1 Y R,,(x) = O. Cuando x es positiva, e también lo es, y eC < eX. Por lo tanto, para R,,(x) dado como antes,

Ix l"+l I RnCx) I :s; (n + 1)! cuando x :s; O,

y

IR,,(x) I X,,+ l

< e' ----"=----(n + 1)!

cuando x > O.

Por último, puesto que

r +1 lím = O

n -->oo(n + 1)! para todax, Teorema 5, secc ión 10.1

lím Rn(x) = O, Y la serie converge a eX para toda x . Por lo tanto, n -->OO

oo ~ x'- ~ e' = 2: -= 1 + x+ - + " ' + - + '"

k=O k! 2! k! . (3)

• Podemos utilizar el resultado del ejemplo 1 con x = 1 para escribir

1 1 e = 1 + 1 + -21 + .. . + , + R"O) ,

. n.



donde para alguna e entre Oy 1

RI/(1) = é ( 1n + 1)!

< 3(n + 1)!'

Estimación del residuoCon frecuencia es posible estimar Rn(x) como lo hicimos en el ejemplo 1. Este método de es-timación es tan conveniente que lo enunciaremos como teorema para referencias futuras.

Si esta desigualdad se cumple para toda n yf satisface todas las demás condicionesdel teorema de Taylor, entonces la serie converge a f(x).

TEOREMA24: Teorema de estimación del residuo Si existe una constante po-sitiva M tal que If(n+ 1)(t)1 ::s;M para toda t entre x ya, inclusive, entonces el términoresidual Rn(x) del teorema de Taylor satisface la desigualdad

Ix - aln+1

IRn(x)I ::s; M ( )n + 1 !

Los siguientes dos ejemplos utilizan el teorema 24 para demostrar que la serie de Taylorgenerada por las funciones seno y coseno converge a esas funciones.

EJEMPLO 2 Demuestre que la serie de Taylor para sen x en x = Oconverge para toda x.

Solución La función y sus derivadas son

f(x) =

f"(x) =

sen x, f'(x) =

f"'(x) =

cos x,- sen x, - cos x,

f2k)(X) = (-l)k senx, f2k+l)(X) = (-l/cosx,

de manera que

y

La serie sólo tiene términos de potencia impar y, para n = 2k + 1, el teorema de Taylor nos da

x3 x5 ( - 1/x2k+ 1senx = x - - + - - ... + + R2k+l(X).

3! 5! (2k + 1)!

Todas las derivadas de sen x tienen valores absolutos menores o iguales que 1, así que podemosaplicar el teorema de estimación del residuo con M = 1 para obtener

Del teorema 5, regla 6, tenemos (lxI2k+2/(2k + 2)!) ~ Ocuando k~ 00, cualquiera que sea elvalor de x, por lo que R2k+ 1(x) ~ Oy la serie de Maclaurin para sen x converge a sen x paratoda x. Por lo tanto,

00 (_l)k~k+l x3 x5 x7sen x = L = x - - + - - - + ...

k=O (2k + 1)! 3! 5! 7!(4)

•


donde para alguna e entre O y 1

R,,(I) = é ( 1 n + 1)!

Estimadón del residuo

< _-=3 _ _ (n + 1)!'

eC < el < 3

Con frecuencia es posible estimar R,,(x) como lo hicimos en el ejemplo 1. Este método de estimación es tan conveniente que lo enunciaremos como teorema para referencias futuras.

TEOREMA 24: Teorema de estimación del residuo Si existe una constante positiva M tal que If(lI+ 1)(t)1 ::s; M para toda t entre x ya, inclusive, entonces el término residual R,,(x) del teorema de Taylor satisface la desigualdad

Ix - al n+ 1

IRn(x) I ::s; M ( ) n + 1 !

Si esta desigualdad se cumple para toda n y f satisface todas las demás condiciones del teorema de Taylor, entonces la serie converge a f(x).

Los siguientes dos ejemplos utilizan el teorema 24 para demostrar que la serie de Taylor generada por las funciones seno y coseno converge a esas funciones.

EJEMPLO 2 Demuestre que la serie de Taylor para sen x en x = O converge para toda x.

Solución La función y sus derivadas son

de manera que

f(x) =

f"(x) =

sen x,

- sen x,

f2k)(X) = (-l)k senx,

f'(x) =

f"'(x) =

cos x,

- cos x,

La serie sólo tiene términos de potencia impar y, para n = 2k + 1, el teorema de Taylor nos da

x3 x5 (_1)kx2k+l senx = x - - + - - ... + + R2k+ l(X) .

3! 5! (2k + 1)!

Todas las derivadas de sen x tienen valores absolutos menores o iguales que 1, así que podemos aplicar el teorema de estimación del residuo con M = 1 para obtener

Ix12k+2 I R2k+l(X) I ::s; l' (2k + 2)!

Del teorema 5, regla 6, tenemos (lxI2k+2/(2k + 2)!) ~ O cuando k~ 00, cualquiera que sea el valor de x, por lo que R2k+ 1 (x) ~ O Y la serie de Maclaurin para sen x converge a sen x para toda x. Por lo tanto,

(4)

•


•


EJEMPLO 3 Demuestre que la serie de Taylor para cos x en x = Oconverge a cos x para todoslos valores de x.

Solución Sumamos el término residual al polinomio de Taylor para cos x (ejemplo 3, sec-ción 10.8) para obtener la fórmula de Taylor para cos x, con n = 2k:

x2 x4 x2kcos X = 1 - - + - - ... + (-l)k -- + R2k(x).

2! 4! (2k)!

Puesto que las derivadas del coseno tienen un valor absoluto menor o igual que 1, el teorema deestimación del residuo con M = 1 produce

Para todo valor de x, R2k(X) - Ocuando k - oo . Por lo tanto, la serie converge a cos x paratodo valor de x. Así que

co (_l)k~kcosx = ~---

k=O (2k)!~ x4 x6--+---+ ...2! 4! 6!

(5)

Uso de la serie de TaylorComo toda serie de Taylor es una serie de potencias, las operaciones de suma, resta y multipli-cación de series de Taylor son válidas en la intersección de sus intervalos de convergencia.

EJEMPLO 4 Mediante series conocidas y utilizando operaciones con series de potencias, de-termine los primeros términos de la serie de Taylor para la función dada.

1(a) 3(2x + x cosx) (b) ¿ cos x

Solución

1 2 1 ( x2 x4 x2k)(a) -(2x + xcosx) = -x + -x 1 - - + - - ... + (-l)k-- + ...

3 3 3 2! 4! (2k)!

2 1 x3 x5 x3 x5= -x + -x - - + -- - ... = x - - + - - ...

3 3 3! 3· 4! 6 72

(

2 3 4 ) ( 2 4 ) Multiplicar la primera(b) ¿ cos x = 1 + x + ~ + ~ + ~ + ... . 1 - ~ + ~ - ... serie por cada término

2! 3! 4! 2! 4! de la segunda serie.

= (1 + x + x2 + x

3 + x4

+ ...) _ (x2 + x

3+ L +L + ...)

2! 3! 4! 2! 2! 2!2! 2!3!

x3 x4+x----+···

3 6 •Por el teorema 20, podemos utilizar la serie de Taylor de la función f para determinar la

serie de Taylor de f(u(x)), donde u(x) es cualquier función continua. La serie de Taylor re-


EJEMPLO 3 Demuestre que la serie de Taylor para cos x en x = O converge a cos x para todos los valores de x.

Solución Sumamos el término residual al polinomio de Taylor para cos x (ejemplo 3, sec-ción 10.8) para obtener la fórmula de Taylor para cos x, con n = 2k:

y} x 4 x2k cos X = 1 - - + - - ... + (-l)k -- + R2k(x) .

2! 4! (2k)!

Puesto que las derivadas del coseno tienen un valor absoluto menor o igual que 1, el teorema de estimación del residuo con M = 1 produce

Para todo valor de x, R2k(X) ~ O cuando k ~ oo. Por lo tanto, la serie converge a cos x para todo valor de x. Así que

00 (-1 )ky}k cosx = ~--

k= O (2k)!

Uso de la serie de Taylor

y} x4 x6 - -+--- + ...

2! 4! 6! (5)

•

Como toda serie de Taylor es una serie de potencias, las operaciones de suma, resta y multiplicación de series de Taylor son válidas en la intersección de sus intervalos de convergencia.

EJEMPLO 4 Mediante series conocidas y utilizando operaciones con series de potencias, de-termine los primeros términos de la serie de Taylor para la función dada.

1 (a) 3(2x + x cosx) (b) i' cos x

Solución

(a) -(2x + xcosx) = -x + - x 1 - - + - - ... + (-I)k - - + .. . 1 2 1 ( x2 x4

x2k

)

3 3 3 2! 4! (2k)!

2 1 x3 x5 x3 x5 = - x + - x - - + -- - ... = x - - + - - ...

3 3 3! 3· 4! 6 72

(

2 3 4 ) ( 2 4 ) Multiplicar la primera (b) i' cos x = 1 + x + ~ + ~ + ~ + . " . 1 - ~ + ~ - . . . serie por cada término

2! 3! 4! 2! 4! de la segunda serie.

= (1 + x + x2 + x3

+ x4

+ ... ) _ ( x2

+ x3

+ L + L + ... ) 2! 3! 4! 2! 2! 2!2! 2!3!

x3 x4 +x - ---+ .. ·

3 6 • Por el teorema 20, podemos utilizar la serie de Taylor de la función f para determinar la

serie de Taylor de f(u(x)), donde u(x) es cualquier función continua. La serie de Taylor re-



sultante de dicha sustitución convergerá para toda e tal que u(x) esté dentro del intervalo deconvergencia de la serie de Taylor de f.

oo (-l)k(2x)2kcos 2x = L--'--------'----'-------'---

k=O (2k)!

(2X)2 (2x)4 (2x)61---+-----+···

2! 4! 6!Ecuación (5) con2x en vez dex

oo 22k 2kL(-l)k_X_.k=O (2k)!

EJEMPLO 5 ¿Para qué valores de x podemos sustituir sen x por x - (x3/3!) si introducimosun error de magnitud no mayor que 3 X 1O-4?

Solución Aquí es posible aprovechar el hecho de que la serie de Taylor para sen x es una seriealternante para todo valor de x diferente de cero. Según el teorema de estimación de series al-ternantes (sección 10.6), el error al truncar

x3: x5sen x = x - -: +- - ...

3!: 5!

después de (~ /3!) no es mayor que

Por lo tanto, el error será menor o igual que 3 X 10-4 si

Ixl5 < 3 X 10-4120

o Ixl < V360 X 10-4 ~ 0.514.Redondeado haciaabajo, por seguridad

El teorema de estimación de series alternan te s nos dice algo que el teorema de estimacióndel residuo no dice: que la estimación x - (x3/3!) para sen x es una subestimación cuando x espositiva, porque entonces x 5/120 es positiva.

La figura 10.20 muestra la gráfica de sen x, junto a las de algunos de sus polinomios deaproximación de Taylor. La gráfica de P3(X) = x - (x3/3!) es casi indistinguible de la curvaseno cuando - 1 :::;x :::;1. •

y


convergen a sen x cuando n -> ea.Observe cómo P3(X) aproximamuy bien a la curva del seno para x :5 l (ejemplo 5).


sultante de dicha sustitución convergerá para toda e tal que u(x) esté dentro del intervalo de convergencia de la $erie de Taylor de f.

00 (- 1 )k(2x) 2k cos 2x = L - ----

k=O (2k) !

00 2k 2k L(- l)k~ . k= O (2k)!

(2x? (2x)4 (2x)6 1--- + -- - - - +···

2! 4! 6! Ecuación (5) con 2x en vez dex

EJEMPLO 5 ¿Para qué valores de x podemos sustituir sen x por x - (x3/3!) si introducimos un error de magnitud no mayor que 3 X 1O- 4?

Solución Aquí es posible aprovechar el hecho de que la serie de Taylor para sen x es una serie alternante para todo valor de x diferente de cero. Según el teorema de estimación de series alternantes (sección 10.6), el error al truncar

x3 : x5 sen x = x - - : + - - . ..

3! : 5!

después de (~ / 3!) no es mayor que

Por lo tanto, el error será menor o igual que 3 X 10- 4 si

Ix l5 < 3 X 10- 4

120 o Ixl < V'360 X 10- 4 ~ 0.514.

Redondeado hacia abajo, por seguridad

El teorema de estimación de series alternantes nos dice algo que el teorema de estimación del residuo no dice: que la estimación x - (x3 / 3!) para sen x es una subestimación cuando x es positiva, porque entonces x 5 / 120 es positiva.

La figura 10.20 muestra la gráfica de sen x, junto a las de algunos de sus polinomios de aproximación de Taylor. La gráfica de P3(X) = x - (x3/ 3!) es casi indistinguible de la curva seno cuando - 1 :=:; x :=:; l . •

y


n ( _ I /x2k+l

P2n+ 1(X) = ~ (21e + l)!

convergen a sen x cuando n -> oo. Observe cómo P3(X) aproxima

muy bien a la curva del seno para x :5 1 (ejemplo 5).


Una demostración del teorema de Taylor


Demostramos el teorema de Taylor suponiendo que a < b. La demostración para a > b escasi la misma.

El polinomio de Taylor

f"(a) ¡<n)(a)PAx) = fea) + f'(a)(x - a) + ----z! (x - a)2 + ... + -n-! - (x - ay

y sus primeras n derivadas coinciden con la función f y sus primeras n derivadas en x = a.No alteramos esa coincidencia si sumamos otro término de la forma K(x - ay+ 1, donde K escualquier constante, ya que tal término y sus primeras n derivadas son todas iguales a ceroen x = a. La nueva función

y sus primeras n derivadas aún coinciden con f y sus primeras n derivadas en x = a.Ahora elegimos el valor particular de K que hace que la curva y = CPn(x)coincida con la

curva original y = f(x) en x = b. En símbolos,

o K = _f(_b)_-_P n_(b_)(b - a)n+1 . (7)

Con K definida por la ecuación (7), la función

F(x) = f(x) - CPn(x)

mide la diferencia entre la función original f y la función aproximante CPnpara cada x en [a, b].Ahora utilizamos el teorema de Rolle (sección 4.2). Primero, ya que F(a) = F(b) = O,y

F YF' son continuas en [a, b], sabemos que

para alguna el en (a, b).

Ahora, como F'(a) = F'(el) = O,y F' YF" son continuas en [a, el], sabemos que

¡ I para alguna e2 en (a, el).

El teorema de Rolle, aplicado de manera sucesiva a F", FIII, ... , F(n-I) implica la existencia de

e3 en (a, e2) tal que FIII(e3) = 0,

e4 en (a, e3) tal que F(4)(e4) = 0,

en en (a, en-d tal que F(n)( en) = O.

(8)

Por último, como F(n) es continua en [a, en] y derivable en (a, en), y pn)(a) = pnl(en) = 0,el teorema de Rolle implica que existe un número en+1 en (a, en) tal que

Si derivamos F(x) = f(x) - Pn(x) - K(x - a)n+1 un total de n + 1 veces, obtenemos

pn+I)(X) = ¡<n+I)(x) - O - (n + 1)!K. (9)

Juntas, las ecuaciones (8) y (9) producen

f(II+I)(e)K = -=--------'-

(n + 1)!para algún número e = en+ I en (a, b). (10)


Las ecuaciones (7) y (10) dan


¡C"+ 1)(e)f(b) = FIl(b) + (n + 1)! (b - a)"+1.

Esto concluye la demostración. •

Ejercicios 1--=O_.9~ _

Serie de Taylor por sustituciónUtilice sustitución (como en el ejemplo 4) para determinar la serie deTaylor en x = O de las funciones en los ejercicios 1 a 10.1. e-5x 2. e-x/2 3. 5 sen (-x)

4. (7TX) 5. cos 5~ 6. cos (~/3/V2)sen ""2

7. In (1 + x2) 8. tan"! (3x4) 9.+ ~x3

10. 12-x

Utilice operaciones con series de potencias para determinar la serie deTaylor en x = O para las funciones en los ejercicios 11 a 28.

11. xe' 12. x2 senx ~13. "2 - 1 + cos x

x314. senx - x + 3! 15. x cos 1TX 16. ~ cos (~)

17. cos2x (Sugerencia:cos2x = (1 + cos2x)/2.)

~18. serr' x 19. 1 _ 2x 20. x In (1 + 2x)

21. 1(1 - X)2

22. _-=2_(1 - x)3

c+_1_1 + x

26. cosx - senx24. senx· cosx 25.

27. ~ In(1 +~) 28. In (1 + x) - In (1 - x)

Determine los primeros cuatro términos distintos de cero en la serie deMaclaurin para las funciones en los ejercicios 29 a 34.

In (1 + x)30. 1 - x29. c senx

32. cos2 X· sen x 33. esen x 34. sen (tan" x)

Estimación del error35. Estime el error si P3(X) = x - (x3/6) se utiliza para aproximar el

valor de sen x en x = 0.1.

36. Estime el error si P4(x) = 1 + x + (x2/2) + (x3/6) + (x4/24) se uti-liza para aproximar el valor de eX en x = 1/2.

37. ¿Para qué valores aproximados de x puede remplazar sen x porx - (x3 / 6), con un error de magnitud no mayor que 5 X 1O-4? Jus-tifique su respuesta.

38. Si cos x se sustituye por 1 - (x2/2) y Ixl < 0.5, ¿cuál es el error esti-mado? ¿1 - (x2/2) tiende a ser demasiado grande o demasiado pe-queño? Justifique su respuesta.

39. ¿Qué tan cercana es la aproximación sen x = x cuando Ixl < 1O-3?¿Para cuáles de estos valores de x resulta que x < sen x?

40. La estimación v'1+x = 1 + (x/2) se usa cuando x es pequeña.Estime el error cuando Ixl < 0.01.

41. La aproximación eX = 1 + x + (x2/2) se usa cuando x es pequeña.Aplique el teorema de estimación del residuo para estimar el errorcuando Ixl < 0.1.

42. (Continuación del ejercicio 41). Cuando x < O, la serie para e' es unaserie alternante. Utilice el teorema de estimación de series alternantespara calcular el error resultante al sustituir e' por I + x + (x2/2)cuando -0.1 < x < O. Compare esta nueva estimación con la queobtuvo en el ejercicio 41.

Teoria y ejemplos43. Utilice la identidad sen- x = (1 - cos 2x)/2 para obtener la serie de

Maclaurin para sen? x. A continuación, derive esta serie y determinela serie de Maclaurin para 2 sen x cos x. Compruebe que esta últimaes la serie correspondiente asen 2x.

44. (Continuación del ejercicio 43) Aplique la identidad cos? x = cos 2x+ sen2 x para determinar una serie de potencias para cos- x.

45. El teorema de Taylor y el teorema del valor medio. Explique porqué el teorema del valor medio (teorema 4, sección 4.2) es un casoespecial del teorema de Taylor.

46. Linealizaciones en puntos de inflexión Demuestre que si la grá-fica de una función dos veces derivable f(x) tiene un punto de infle-xión en x = a, entonces la linealización de f en x = a también es laaproximación cuadrática de f en x = a. Esto explica por qué se ajus-tan tan bien las rectas tangentes en los puntos de inflexión.

47. El (segundo) criterio de la segunda derivada Utilice la ecuación

1" (C2)f(x) = fea) + f'(a)(x - a) + -2- (x - a)2

para demostrar lo siguiente.Suponga que f tiene primera y segunda derivadas continuas, y

que f'(a) = O.Entonces,

a. f tiene un máximo local en a si f" 05 Oen todo un intervalo,en cuyo interior está a;

b. f tiene un mínimo local en a si f" :2: Oen todo un intervalo, encuyo interior está a.



48. Una aproximación cúbica Utilice la fórmula de Taylor con a = OY n = 3 para determinar la aproximación cúbica estándar de f(x) =1/(1 - x) en x = O. Halle una cota superior para la magnitud delerror introducido en la aproximación cuando Ixl ::::0.1.

49. a. Use la fórmula de Taylor con n = 2 para determinar la aproxima-ción cnadrática de f(x) = (1 + x)k en x = O(k es una constante).

b. Si k = 3, ¿aproximadamente para qué valores de x en el intervalo[O, 1] el error de la aproximación cuadrática será menor que1/100?

50. Mejores aproximaciones de 7T

a. Sea P una aproximación de 7T con precisión de n decimales.Demuestre que P + sen P produce una aproximación correctahasta 3n decimales. (Sugerencia: Sea P = 7T + x).

D b. Inténtelo con una calculadora.

51. La serie de Taylor generada por f(x) = ~::"=oa"X' es ~::"=oa"x'Una función definida por una serie de potencias ~::"=oanx" con radiode convergencia R > Otienen una serie de Taylor que converge a la fun-ción en todos los puntos de ( - R, R). Demuestre que así es; para ello,demuestre que la serie de Taylor generada por f(x) = ~:oanxl/ esla misma serie ~::"=oa.x".

Una consecuencia inmediata de esto es que series como

x4 x6 x8x sen x = x2 - - + - - - + ...

3! 5! 7!

y

obtenidas al multiplicar la serie de Taylor por potencias de x, asícomo las series resultantes de la integración y la derivación de seriesde potencias convergentes son, en sí mismas, las series de Taylor ge-neradas por las funciones que ellas representan.

52. Series de Taylor para funciones pares y funciones impares(Continuación del ejercicio 55, sección 10.7). Suponga quef(x) = ~ ::"=0 a"x" converge para toda x en un intervalo abierto(- R, R). Demuestre que

a. Si f es par, entonces al = a3 = as = ... = O,es decir, la serie deTaylor para f en x = Ocontiene solamente potencias pares de x.

b. Sifes impar, entonces ao = az = a4 = ... = O,es decir, la seriede Taylor para f en x = Osólo contiene potencias impares de x.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORALa fórmula de Taylor con n = 1 Y a = Oproporciona la !inealización deuna función en x = O.Con n = 2 Yn = 3 obtenemos las aproximaciones

10 .1 O t--L_a_s_e_r_ie_b_i "_O_m_l_Oa_L-",y_a--,p_L_ic_a_c_io_"_e_s_d_e_La_s_s_e_n_O e_s_d_e_Ta--,y,--L_o_r -------

cuadráticas y cúbicas estándar. En estos ejercicios exploramos los erroresasociados con estas aproximaciones. Aquí trataremos de responder dospreguntas:

a. ¿Para qué valores de x la función puede sustituirse por cada aproxi-mación con un error menor que 1O-2?

b. ¿Cuál es el máximo error que podemos esperar si sustituimos lafunción por cada aproximación en el intervalo especificado?

Con un SAC, realice los siguientes pasos que le ayudarán a respon-der las preguntas (a) y (b) para las funciones e intervalos de los ejercicios53 a 58.

Paso 1: Trace la función sobre el intervalo que se especifica.

Paso 2: Determine los polinomios de Taylor P1(x), P2(x) y P3(X)enx = O.

Paso 3: Calcule la (n + 1)-ésima derivadaf(n+I)(c) asociada con eltérmino residual para cada polinomio de Taylor. Trace la gráfica dela derivada como una función de c sobre el intervalo especificadoy calcule su máximo valor absoluto, M.

Paso 4: Calcule el residuo Rn(x) para cada polinomio. Use la M

estimada en el paso 3 en vez de f(l/+l)(C); trace Rn(x) sobre el inter-valo especificado. Estime después los valores de x que responden lapregunta (a).

Paso 5: Compare su error estimado con el error realEI/(x) = If(x) - Pn(x) I para ello, trace la gráfica de EI/(x) en el in-tervalo especificado. Esto le ayudará a responder la pregunta (b).

Paso 6: Trace juntas la función y sus tres aproximaciones de Taylor.Analice las gráficas en relación como la información obtenida en lospasos 4 y 5.

53. f(x) = ,~'vi + x

3Ixl:::: -4

54. f(x) = (l + x)3/2,

55. f(x) =~, Ixl:::: 2x + 1

56. f(x) = (cosx)(sen2x), Ixl:::: 2

57. f(x) = e-x cos 2x, Ixl:::: 1

58. f(x) = ¿/3sen2x, Ixl:::: 2

En esta sección introducimos la serie binomial para la estimación de potencias y raíces de ex-presiones binomiales (1 + x)", También mostramos cómo pueden utilizarse las series paraevaluar integrales no elementales y para evaluar límites que conducen a formas indetermi-nadas; además, presentamos una deducción de la serie de Taylor para tan -1 x. Esta sección con-cluye con una tabla de referencia de series utilizadas con frecuencia.


48. Una aproximación cúbica Utilice la fórmula de Taylor con a = O Y n = 3 para determinar la aproximación cúbica estándar de f(x) = 1/(1 - x) en x = O. Halle una cota superior para la magnitud del error introducido en la aproximación cuando Ix l :::: O.l.

49. a. Use la fórmula de Taylor con n = 2 para determinar la aproximación cuadrática de f(x) = (1 + x)k en x = O (k es una constante).

b. Si k = 3, ¿aproximadamente para qué valores de x en el intervalo [O, 1] el error de la aproximación cuadrática será menor que l/lOO?

50. Mejores aproximaciones de TT

a. Sea P una aproximación de 7T con precisión de n decimales. Demuestre que P + sen P produce una aproximación correcta hasta 3n decimales. (Sugerencia: Sea P = 7T + x).

D b. Inténtelo con una calculadora.

51. La serie de Taylor generada por f(x) = ~::"=o u"X' es ~::"=o u"x'

Una función definida por una serie de potencias ~::"=o anx" con radio

de convergencia R > O tienen una serie de Taylor que converge a la fun

ción en todos los puntos de ( - R, R). Demuestre que así es; para ello,

demuestre que la serie de Taylor generada por ¡(x) = ~:o al/xn es

la misma serie ~:;O=o al/x"' Una consecuencia inmediata de esto es que series como

x4 x6 x8 x sen x = X2 - - + - - - + ...

3! 5! 7!

y

obtenidas al multiplicar la serie de Taylor por potencias de x, así como las series resultantes de la integración y la derivación de series de potencias convergentes son, en sí mismas, las series de Taylor generadas por las funciones que ellas representan.

52. Series de Taylor para funciones pares y funciones impares

(Continuación del ejercicio 55, sección JO.7). Suponga que

¡(x) = ~ ::"=0 allxll converge para toda x en un intervalo abierto

(-R, R). Demuestre que

a. Si f es par, entonces a ¡ = a3 = as = ... = O, es decir, la serie de Taylor para f en x = O contiene solamente potencias pares de x.

b. Sifes impar, entonces ao = a2 = a4 = ... = O, es decir, la serie de Taylor para f en x = O sólo contiene potencias impares de x.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORA La fórmula de Taylor con n = 1 Y a = O proporciona la linealización de una función en x = O. Con n = 2 Y n = 3 obtenemos las aproximaciones

cuadráticas y cúbicas estándar. En estos ejercicios exploramos los errores asociados con estas aproximaciones. Aquí trataremos de responder dos preguntas:

a. ¿Para qué valores de x la función puede sustituirse por cada aproximación con un error menor que 1O-2?

b. ¿Cuál es el máximo error que podemos esperar si sustituimos la función por cada aproximación en el intervalo especificado?

Con un SAC, realice los siguientes pasos que le ayudarán a responder las preguntas (a) y (b) para las funciones e intervalos de los ejercicios 53 a 58.

Paso 1: Trace la función sobre el intervalo que se especifica.

Paso 2: Determine los polinomios de Taylor p¡(x), P 2(x) y P3(X)

enx=O.

Paso 3: Calcule la (n + l)-ésima derivadaf(n+ll(c) asociada con el

término residual para cada polinomio de Taylor. Trace la gráfica de

la derivada como una función de c sobre el intervalo especificado

y calcule su máximo valor absoluto, M.

Paso 4: Calcule el residuo Rn(x) para cada polinomio. Use la M

estimada en el paso 3 en vez de f(l/ +ll(c); trace Rn(x) sobre el inter

valo especificado. Estime después los valores de x que responden la

pregunta (a).

Paso 5: Compare su error estimado con el error real

EI/(x) = I¡(x) - Pn(x) I para ello, trace la gráfica de En(x) en el in

tervalo especificado. Esto le ayudará a responder la pregunta (b).

Paso 6: Trace juntas la función y sus tres aproximaciones de Taylor.

Analice las gráficas en relación como la información obtenida en los

pasos 4 y 5.

1 53. ¡(x) = ,~'

vI + x

54. ¡(x) = (1 + x)3/2,

3 Ixl :::: -

4

55. ¡(x) = +-, Ixl:::: 2 x + 1

56. ¡(x) = (cosx)(sen2x), Ixl:::: 2

57. ¡(x) = e-x cos 2x, Ixl:::: 1

58. ¡(x) = ¿/3 sen 2x, Ix I :::: 2

10.1 O I--L_a_se_r_ie_ b_i"_o_m_ia_L...=y_a.....;p:...-L_ic_a_c_io_"_e_s_d_e_ La_s_s_e_n_O e_s_d_e_ Ta....;:y;....L_o_r -------

En esta sección introducimos la serie binomial para la estimación de potencias y raíces de expresiones binomiales (1 + X)IIl. También mostramos cómo pueden utilizarse las series para evaluar integrales no elementales y para evaluar límites que conducen a formas indeterminadas; además, presentamos una deducción de la serie de Taylor para tan -1 x. Esta sección concluye con una tabla de referencia de series utilizadas con frecuencia.


10.10 La serie binomial y aplicaciones de las series de Taylor 597

La serie binomial para potencias y raíces

La serie de Taylor generada por f(x) = (1 + x)/II, cuando m es constante es

m(m - 1) 2 mim - 1)(m - 2) 3l+mx+ x+ x+···

2! 3!

m(m - 1)(m - 2)··· (m - k + 1) k+ k! x + .... (1)

Esta serie, llamada serie binomial, converge absolutamente para Ixl < 1. Para deducir la serie,primero listamos la función y sus derivadas:

f(x) = (1 + X)11I

f'(x) = m(1 + X)",-I

f"(x) = mim - 1)(1 + x)III-2

f"'(x) = m(m - 1)(m - 2)(1 + x)"'-3

j<kl(x) = m(m - 1)(m - 2)··· (m - k + 1)(1 + x)l1I-k.

Luego las evaluamos en x = O Y las sustituimos en la fórmula de la serie de Taylor para obtenerla serie (1).

Si m es un entero mayor o igual a cero, la serie termina después de (m + 1) términos, yaque los coeficientes a partir de k = m + 1 son iguales a cero.

Si m no es un entero positivo o cero, la serie es infinita y converge para [x] < 1. Para verpor qué, sea Uk el término que incluye a xi. Luego aplique el criterio de la razón para conver-gencia absoluta para ver que

1

m - k I= ~-x ~Ixlk + 1

cuando k ~ 00 .

Nuestra deducción de la serie binomial sólo muestra que es generada por (1 + x)'" y con-verge para Ixl < 1. La deducción no muestra que la serie converge a (1 + x)", Sí converge,pero omitimos la demostración. (Véase el ejercicio 64).

(:) = m(m - 1)(m - ~; ... (m - k + 1) para k 2: 3.

Serie binomialPara -1 < x < 1,

(1 + x)" = 1 + ~ (m)0,k=! k

donde definimos

m(m - 1)2!

y

EJEMPLO 1 Si m = -1,

-1,-1(-2)

2!1,


La serie binomial para potencias y raíces

La serie de Taylor generada por f(x) = (1 + x)/II, cuando m es constante es

m(m - 1) 2 m(m - 1)(m - 2) 3 l + mx+ x + x+···

2! 3!

m(m - 1)(m - 2) .. . (m - k + 1) k + k! x + .... (1)

Esta serie, llamada serie binomial, converge absolutamente para Ix l < l. Para deducir la serie, primero listamos la función y sus derivadas:

¡(x) = (1 + x)/11

f'(x) = m(l + X)I1l-1

f"(x) = m(m - 1)(1 + X)II1 - 2

f"'(x) = m(m - 1)(m - 2)(1 + x)m-3

¡ (k) (X) = m(m - I )(m - 2) ·· · (m - k + 1)(1 + x)lIl- k.

Luego las evaluamos en x = O Y las sustituimos en la fórmul a de la serie de Taylor para obtener la serie (1).

Si m es un entero mayor o igual a cero, la serie termina después de (m + 1) términos, ya que los coeficientes a partir de k = m + l son iguales a cero.

Si m no es un entero positivo o cero, la serie es infinita y converge para Ixl < l. Para ver por qué, sea Uk el término que incluye a Xk. Luego aplique el criterio de la razón para convergencia absoluta para ver que

1

m - k I = --x ~ Ixl k + 1

cuando k ~ 00 .

Nuestra deducción de la serie binomial sólo muestra que es generada por (1 + x)1Il y converge para Ixl < l. La deducción no muestra que la serie converge a (1 + x)m Sí converge, pero omitimos la demostración. (Véase el ejercicio 64).

Serie binomial

Para -1 < x < 1,

donde definimos

y

(1 +x)1Il = 1 + ~ (m) ~, k=! k

m(m - 1)

2!

(m k) = m(m - 1)(m - 2)'" (m - k + 1)

k!

EJEMPLO 1 Si m = -1,

-1, - 1( - 2)

2!

para k 2.: 3.

1 ,



y

(-1) -1(-2)(-3)"'(-1 - k + 1) (kl)= = (- Il -...:.= (- 1)k

k k! k!'

Con estos valores para los coeficientes y con x remplazada por -x, la fórmula de la serie bino-mial produce la conocida serie geométrica

00

(1 + x i 1 = 1 + :¿: (_l)kxk = 1 - x + x2 - x3 + ... + (- 1)kxk +k=l

EJEMPLO 2 Del ejemplo 1, sección 3.9, sabemos que v'1+x ;:;:;1 + (x/2) para Ixlpequeña. Con m = 1/2, la serie binomial da aproximaciones cuadráticas y de orden supe-rior, junto con una estimación del error que proviene del teorema de estimación de la seriealternante:

(1 + x)I/2 = 1 + ~ + (~)(-~) 2 G)(-~)(-~)3

2 2! x + 3! x

(~)(-~)(-~)(-%)+ x4 + ...

4!

Al sustituir la x se obtienen otras aproximaciones. Por ejemplo,

para I x21 pequeña

para I~Ipequeña, esto es, Ixl grande.

En ocasiones utilizamos la serie binomial para determinar la suma de una serie de poten-cias dada en términos de una función conocida. Por ejemplo,

En los ejercicios 59a 62 se presentan más ejemplos.

Evaluación de integrales no elementales

Las series de Taylor pueden usarse para expresar integrales no elementales en términos de se-ries. Las integrales como f sen x2 dx surgen en el estudio de la difracción de la luz.

EJEMPLO 3 Exprese f sen x'' dx como una serie de potencias.

Solución De la serie para sen x, sustituimos x2 por x para obtener:

x6 xlO xl4 xl8sen ~ = ~ - - + - - - + - - ...

3! 5! 7! 9! .

Por lo tanto,

•

•

•


y

(- 1) -1(-2)( - 3)"'(-1 - k + 1) (kl) = = (_l)k --'. = ( _ l)k k k! k!'

Con estos valores para los coeficientes y con x remplazada por -x, la fórmula de la serie binomial produce la conocida serie geométrica

00

(1 + xrl = 1 + L ( _ l)kxk = 1 - x + x2 - x3 + .. . + (-1 )k0 + k= 1

•

EJEMPLO 2 Del ejemplo 1, sección 3.9, sabemos que v'1+x ~ 1 + (x/ 2) para Ixl pequeña. Con m = 1/2, la serie binomial da aproximaciones cuadráticas y de orden superior, junto con una estimación del error que proviene del teorema de estimación de la serie alternante:

(1 + x)I /2 = 1 + ~ + (~)(-~) 2 (~)(- ~)(-~) 3

2 2! x + 3! x

(~) (- ~) (-~) (-%) + x4 + ...

4!

Al sustituir la x se obtienen otras aproximaciones. Por ejemplo,

para I x21 pequeña

para I} I pequeña, esto es, Ixl grande. • En ocasiones utilizamos la serie binomial para determinar la suma de una serie de poten

cias dada en términos de una función conocida. Por ejemplo,

En los ejercicios 59 a 62 se presentan más ejemplos.

Evaluación de integrales no elementales

Las series de Taylor pueden usarse para expresar integrales no elementales en términos de series. Las integrales como J sen x2 dx surgen en el estudio de la difracción de la luz.

EJEMPLO 3 Exprese J sen x2 dx como una serie de potencias.

Solución De la serie para sen x, sustituimos x 2 por x para obtener:

x6 xlO xl4 xl8 sen ~ = ~ - - + - - - + - - ...

3! 5! 7! 9! .

Por lo tanto,

•



EJEMPLO 4 Estime fol sen x' dx con un error menor que 0.001.

Soludón De la integral indefinida del ejemplo 3,

{' 1 1 1 1 1lo sen~dx = 3" - 7'3! + ~ - 15'7! + 19'9! - ....

La serie es alternante, y experimentando encontramos que

111 . 5! ~ 0.00076

es el primer término numéricamente menor que 0.001. La suma de los dos términos prece-dentes da

f' 1 1lo senx2 dx ~ 3" - 42 ~ 0.310.

Con dos términos más, podríamos estimar

l' senx2 dx ~ 0.310268

con un error menor que 10-6. Con un solo término más, tenemos

{I 2 1 1 1 1 1lo senx dx ~ 3" - 42 + 1320 - 75600 + 6894720 ~ 0.310268303,

con un error de aproximadamente 1.08 X 10-9. Para garantizar esta precisión con la fórmulade error para la regla de trapecio se requeriría el uso de unos 8000 subintervalos. •

Arco tangente

En el ejemplo 5 de la sección 10.7, encontramos una serie para tan-I x derivando para obtener

iLtan-I x = __ 1_ = 1 - x2 + x4 - x6 + ...dx l+x2

e integrando para llegar a

_, x3 x5 x7tan x=x--+---+'"

3 5 7

Sin embargo, no demostramos el teorema de integración término a término en el cual se basaesta conclusión. Ahora deduciremos de nuevo la serie, integrando ambos lados de la fórmulafinita

( 1)"+ 112"+2_1_ = 1 - 12+ t - t6 + ... + (-1 )"12" + ------1+12 1+12 '

(2)

cuyo último término se obtiene sumando los términos residuales como una serie geométricacon primer término a = (-1)/+' t211+2y razón r = - t2. Si se integran ambos lados de la ecua-ción (2) desde t = Ohasta t = x, resulta

-r- l x3 x5 x7 n ~n+Itan x = x - - + - - - + ... + (-1) --- + R (x)3 5 7 2n+l n,

donde -lX (_I),,+Ij2n+2R,,(x) - .2 dt.

o 1 + t:

El denominador del integrando es mayor o igual que 1, por lo cual

11X' Ix1211+3IR (x) I :S 12"+2dt = --

n o 2n + 3 .


EJEMPLO 4 Estime Jol

senx2 dx con un error menor que 0.001.

Soludón De la integral indefinida del ejemplo 3,

(' 1 1 1 1 1 Jo sen ~ dx ="3 - 7'3! + ll=5! - 15'7! + 19'9! - ....

La serie es alternante, y experimentando encontramos que

1 ll=5! ~ 0.00076

es el primer término numéricamente menor que 0.001. La suma de los dos términos precedentes da

(' 1 1 Jo senx2

dx ~ "3 - 42 ~ 0.310.

Con dos términos más, podríamos estimar

l' senx2 dx ~ 0.310268

con un error menor que 10-6. Con un solo término más, tenemos

(1 2 1 1 1 1 1 Jo senx dx ~ "3 - 42 + 1320 - 75600 + 6894720 ~ 0.310268303,

con un error de aproximadamente 1.08 X 10-9. Para garantizar esta precisión con la fórmula de error para la regla de trapecio se requeriría el uso de unos 8000 subintervalos. •

Arco tangente

En el ejemplo 5 de la sección 10.7, encontramos una serie para tan - I x derivando para obtener

iL tan- , x = __ 1_ = 1 - x2 + x4 - x6 + ... dx 1 + ~

e integrando para llegar a

- 1 x3 x5 x7 tan x=x--+ - -- +' "

3 5 7

Sin embargo, no demostramos el teorema de integración término a término en el cual se basa esta conclusión. Ahora deduciremos de nuevo la serie, integrando ambos lados de la fórmula finita

1 ( -1)"+ 1 ?"+2 - - = 1 - ? + t - t6 + . .. + ( - 1 )"?" + - ---1+? 1+? '

(2)

cuyo último término se obtiene sumando los términos residuales como una serie geométrica con primer término a = (-1 )/+ ' t 211+2 y razón r = - t 2. Si se integran ambos lados de la ecuación (2) desde t = O hasta t = x, resulta

_, x3 x5 x7 11 ~/+ 1 tan x = x - - + - - - + .. , + (- 1) - - + R (x)

3 5 7 2n + l 11,

donde

-lX (_1),,+1?"+2 R,,(x) - .2 dt.

o 1 + ,

El denominador del integrando es mayor o igual que 1, por lo cual

11X' !X! 211 +3

!R (x)! :S ?"+2 dt = - -11 o 2n + 3 .


!~~\xl~\ = ;~ (1 - ~(X - 1) + ...) 1. •


Si Ixl :S 1, el lado derecho de esta desigualdad tiende a cero cuando n ~ oo , Por lo tanto,límn--,>ooRn(x)= O si [x] :S 1 Y

-1 _ 00 (- I)n~n+1tanx-2: 2 l'

n=O n +Ixl:S 1.

-1 x3 x5 x7tan x=x--+---+'"3 5 7 '

(3)

Tomamos este camino, en vez de determinar de manera directa la serie de Taylor, ya quelas fórmulas para las derivadas de orden superior de tan " x son inmanejables. Cuando ha-cemos x = 1 en la ecuación (3), obtenemos la fórmula de Leibniz:

7T 1 1 1 1 (-1)n-= 1--+---+--"'+---+'"4 3 5 7 9 2n + 1 .

Como esta serie converge con demasiada lentitud, no es útil para aproximar 7T a muchos de-cimales. La serie para tan " x converge más rápidamente cuando x es cercana a cero. Poresa razón, quienes utilizan series para tan-1 x para calcular 7T utilizan varias identidadestrigonométricas.

Por ejemplo, si

-1 1a=tan -2 y f3 = tan-,1

3 '

entoncestan a + tan f3

tan (a + f3) = 1 f3- tan a tan

1+ 12 31-6

7T= tan-

4

y

\.~

7T f3 -1 1 -1 14=a+ =tan 2+tan 3'

Ahora la ecuación (3) podría usarse con x = 1/2 para evaluar tan-I (1/2) y con x = 1/3 paraobtener tan"! (1/3). La suma de estos resultados, multiplicada por 4, da 7T.

Evaluación de formas indeterminadasA veces valuamos formas indeterminadas si expresamos las funciones en cuestión como seriesde Taylor.

EJEMPLO 5 Evalúe

1, lnx1m--.

x--'>I X - 1

Soludón Representamos In x como una serie de Taylor en potencias de x-l. Esto se con-sigue calculando la serie de Taylor generada por In x en x = 1, ya sea directamente o susti-tuyendo x por x - 1 en la serie que vimos para In x en el ejemplo 6 de la sección 10.7. Encualquiera de las dos formas, obtenemos

In x = (x - 1) - ~ (x - 1)2 + "',

de donde encontramos que

EJEMPLO 6 Evalúe

1, senx - tanxHfl .

x--'>O x3


Si Ixl s 1, el lado derecho de esta desigualdad tiende a cero cuando n ~ oo. Por lo tanto, límn-->oo Rn(x) = O si Ixl s 1 y

-1 _ 00 (- l y~n+1 tanx - L 2 l '

n=O n + Ixl s l.

-1 x3 x 5 x7 tan x=x--+---+'"

3 5 7 '

(3)

Ixl s l.

Tomamos este camino, en vez de determinar de manera directa la serie de Taylor, ya que las fórmulas para las derivadas de orden superior de tan- I x son inmanejables. Cuando hacemos x = 1 en la ecuación (3), obtenemos la fórmula de Leibniz:

7T 1 1 1 1 (-ly -= 1- - + - -- + - -"'+ --- +' " 4 3 5 7 9 2n + 1 .

Como esta serie converge con demasiada lentitud, no es útil para aproximar 7T a muchos decimales. La serie para tan- I x converge más rápidamente cuando x es cercana a cero. Por esa razón, quienes utilizan series para tan- I x para calcular 7T utilizan varias identidades trigonométricas.

Por ejemplo, si

entonces

a = tan- ,1 2

y {3 = tan- ,1 3'

tan a + tan {3 tan (a + (3 ) = ____ -'---c-

1 - tanatan{3

1 + 1 2 3

1 -6

y

~ = a + {3 = tan- ,1 + tan- ,1 4 2 3'

7T = tan-

4

Ahora la ecuación (3) podría usarse con x = 1/ 2 para evaluar tan- I (1 / 2) y con x = 1/ 3 para obtener tan- I (1 / 3). La suma de estos resultados, multiplicada por 4, da 7T .

Evaluación de formas indeterminadas

A veces valuamos formas indeterminadas si expresamos las funciones en cuestión como series de Taylor.

EJEMPLO 5 Evalúe

1, . Inx 1m --.

x--> I X - 1

Soludón Representamos In x como una serie de Taylor en potencias de x - l. Esto se consigue calculando la serie de Taylor generada por In x en x = 1, ya sea directamente o susti tuyendo x por x - 1 en la serie que vimos para In x en el ejemplo 6 de la sección 10.7. En cualquiera de las dos formas, obtenemos

In x = (x - 1) - ~ (x - 1)2 + "',

de donde encontramos que

lím ~ = lím (1 - -21

(x - 1) + ... ) x--> 1 X - 1 x--> 1

l. •

EJEMPLO 6 Evalúe

1, senx - tanx 1m .

x-->O x3


---------------------------------------------------------------------==-~--


SoLución Las series de Taylor para sen x y tan x, hasta los términos en x5, son

x3 x5sen x = x - -- + -- - ...

, 3! 5! 'x3 2X5tanx = x + -- + - + ...3 15

Por lo cual,

sen x - tan x = - ~ - x; - ... = x3 (- ~ - ~ - ... )

y

lím senx - tanx = lím (_1. _ ~ _ ... )x--->O x3 x--->O 2 8

•Si usamos series para calcular límx--->o((l/senx) - (l/x)), no sólo determinamos dicho límite,también descubrimos una fórmula de aproximaciones para ese x.

EJEMPLO 7 Determine;~ (se~x - i).Solución

1 x - senx----senx x x senx

x - G - ~ + ~ - )

X· (x - ~~+ ~~- )

Por lo tanto,

lím (se~ x - i)x--->O(

1 x2

)-----+ ...

, 3! 5!hm x 2 = O.

x--->O x1 - -- + ...

3!

Por el cociente de la derecha, podemos ver que si Ixl es pequeño, entonces

o 1 xcscx ~ X + 6' •

Identidad de Euler

Como recordará, un número complejo es un número de la forma a + bi, donde a y b son nú-meros reales e i = v'=l. Si sustituimos x = i8 (8 es real) en la serie de Taylor para e" y apli-camos las relaciones

¡2 = -1, i3 = ¡2¡ = + i, i5 = ¡4¡ = i ,


SoLución

Por lo cual,

y

Las series de Taylor para sen x y tan x, hasta los términos en x5, son

x3 x5 sen x = x - - + - - ...

, 3! 5! ' x3 2X 5

tan x = x + - + - + ... 3 15

sen x - tan x = - ~ - x; - ... = x3 ( - ~ - ~ - . .. )

hm = hm - - - - - ... , sen x - tan x , (1 :t? ) x-o 0 x-o 2 8

• Si usamos series para calcular límx_o ((l / sen x) - (l /x)), no sólo determinamos dicho límite, también descubrimos una fórmula de aproximaciones para ese x.

EJEMPLO 7 Determine ;~ (se~ x - ~ ).

Solución

- - - -senx x

Por lo tanto,

x - senx x senx

x - (x - ~ + ~ - ... )

X' (x - ~~ + ~~ - ... )

--- + .. . , 3! 5!

(

1 x2 )

hm x 2 = O. x-O x 1 - - + ...

3!

Por el cociente de la derecha, podemos ver que si Ix l es pequeño, entonces

o 1 x

cscx ~ X + 6'

Identidad de Euler

•

Como recordará, un número complejo es un número de la forma a + bi, donde a y b son nú

meros reales e i = v'=l. Si sustituimos x = ie (e es real) en la serie de Taylor para eX y apli

camos las relaciones

¡2 = -1 , ¡3 = p¡ = _¡, ¡4 = ¡2¡2 = 1, ¡5 = ¡4¡ = ¡ ,



y así sucesivamente, para simplificar el resultado, obtenemos

i e ¡2e2 ¡3e3 ¡4e4 ¡ses ¡6e6ei8

= 1 +-1' +-, +-3' +-4' +-, +-6' + .... 2. . . 5. .

= (1 - e2+ e4 _ e6

+ ... ) + i (e _ e3+ eS _ ... ) = cos e + i sen e

2! 4! 6! 3! 5! .

Esto no demuestra que ei8 = cos e + i sen e ya que aún no hemos definido lo que sig-nifica elevar e a una potencia imaginaria. Más bien, indica cómo definir e i8 para ser coherentescon el resto de nuestros conocimientos.

DEFINICIÓN

Para cualquier número real e, ei8 = cos e + i sen e.

La ecuación (4), denominada identidad de Euler, nos permite definir ea+bi como ea. ebi

para cualquier número complejo a + bi. Una consecuencia de la identidad es la ecuación

ei7r = -1.

Cuando se escribe en la forma ei7r + 1 = O, esta ecuación combina cinco de las constantes másimportantes en matemáticas.

TABLA 10.1 Series de TayLor utiLizadas con frecuencia

00

+ x + x2 + ... + x" + ... = 2:xn,n=O

Ixl < 1-x

00

- x + x2 - ... + (-x)n + ... = 2:(-l)nxn,n=O

11 + x Ixl < 1

x2 xn OOn

¿ = 1 + x + - + ... + - + ... = 2: ~"2! n! n=O n.

[x] < 00

x3 xS x2n+1 00 (_1)nx2n+1sen x = x - - + - - ... + (- 1)n + ... - 2: --'----

3! 5! (2n + 1)! - n=O (2n + 1)!'[x] < 00

2 4 2n 00 (- 1)nx2nCOS X = 1 - ~ + ~ - ... + (-l)n _x_ + ... = 2: ---

2! 4! (2n)! n=O (2n)! '[x] < 00

2 3 n 00 (_l)n-Ixnln(I + x) = x - ~ + ~ - ... + (_1)n-l~ + ... = 2: ---

2 3 n n=1 n '-1<x:s1

_ x3 xS x2n+1 00 (_I)nx2n+ltan 1 x = X - - + - - ... + (-l)n --- + ... = 2: -'---'---

3 5 2n + 1 n=O 2n + 1 '[x] :S 1

Ejercicios 10.10 _

Series binomialesDetermine los cuatro primeros términos de la serie binomial para las fun-ciones de los ejercicios 1 a 10.

1. (1 + X)I/2 2. (l + x)I/3 3. (l - x)-1/2

4. (I - 2x)1/2

(4)


y así sucesivamente, para simplificar el resultado, obtenemos

¡ e ¡2e2 ¡3e3 ¡4e4 ¡ses ¡6e6 e

i8= 1 + -1' +-, + -, +-4' +-5' +-6' + ... . 2. 3. . . .

= (1 - e2

+ e4

_ e6

+ ... ) + ¡ (e _ e3

+ eS _ ... ) = cos e + i sen e 2! 4! 6! 3! 5! .

Esto no demuestra que ei8 = cos e + i sen e ya que aún no hemos definido 10 que significa elevar e a una potencia imaginaria. Más bien, indica cómo definir e i8 para ser coherentes con el resto de nuestros conocimientos.

DEFINICIÓN

Para cualquier número real e, ei8 = cos e + i sen e. (4)

La ecuación (4), denominada identidad de Euler, nos permite definir e a+bi como ea. e bi

para cualquier número complejo a + bi. Una consecuencia de la identidad es la ecuación

ei7r = - l.

Cuando se escribe en la forma e i7r + 1 = O, esta ecuación combina cinco de las constantes más importantes en matemáticas.

TABLA 10.1 Series de TayLor utiLizadas con frecuencia

- x

00

+ x + x2 + ... + xn + ... = Lxn, n ~ O

00

Ixl < 1

1 + x 1 - x + X2 - ... + ( - x)n + ... = L(-l)nxn,

n~O

X2 xn OOn

¿ = 1 + x + - + ... + - + ... = L~, 2! n! n~ O n.

Ixl < 00

Ix l < l

x3 xS x2n+1 00 (_1)nx2n+1 sen x = x - - + - - ... + ( - l)n + ... = L ----

3! 5! (2n + 1)! n~O (2n + 1)! ' Ixl < 00

2 4 2n 00 (_1)nx2n COS X = 1 - ~ + ~ - ... + ( - l)n _x_ + .. . = L ---

2! 4! (2n)! n~O (2n)! ' Ixl < 00

2 3 n 00 (_l)n - Ixn In(l + x) = x - ~ + ~ - ... + (_1)n-1 ~ + ... = L ---

2 3 n n ~ 1 n '

3 S 2n+1 00 ( _ 1)nx2n+l tan-Ix = x - ~ + ~ - ... + (_l)n _x __ + ... = L ----,

3 5 2n + 1 n~O 2n + 1

Ejercicios 10.10

Series binomiales Determine los cuatro primeros términos de la serie binomial para las funciones de los ejercicios 1 a 10.

1. (1 + X)I /2 2. (l + x)I /3 3. (l - x)-1/2

4. (l - 2x)1/2

- l<x:<sl


(1 )1/2

9. 1 + X 10. xV'1+xDetermine la serie binomial para las funciones de los ejercicios 11 a 14.

11. (I + x)4 12. (I + ~)3

14. (1 - ~y13. (I - 2x)3

Aproximaciones e integrales no elementalesO En los ejercicios 15 a 18, estime por medio de series los valores de las

integrales con un error de magnitud menor que 10-3 (La sección de res-puestas presenta los valores de las integrales redondeados a 5 decimales).

¡02 ¡0.2 e-x - I15. ° sen~dx 16. ---dx° x

¡Ol I ¡02517. ° ~dx

18. ° \VI + ~ dx

o Por medio de series, aproxime los valores de las integrales de los ejerci-cios 19 a 22 con un error de magnitud menor de 10-8

¡Ol ¡Ol19. senx d 20. ° e-X> dxx x

°¡Ol ¡I I -;osx dx21. ° ~dx 22.

f t8 .Estime el error si cos t2 se aproxima mediante I - - + - en la in-2 41

tegral u cos P dt.

Estime el error si cos Vt se calcula en forma aproximada mediantet P f . (1, r

I - "2 + 41 - 61 en la integral J o cos V t dt.

En los ejercicios 25 a 28, determine un polinomio que aproxime F(x) entodo el intervalo dado con un error de magnitud menor que 10-3

23.

24.

25. F(x) = ¡X sen P dt, [O, 1]

26. F(x) = ¡XPe-t' di, [0,1]

27. F(x) = ¡X tan-I t di, (a) [0,0.5] (b) [O, 1]

¡x In (I + 1)28. F(x) = lo I dt, (a) [0,0.5] (b) [O, 1]

Formas indeterminadasEn los ejercicios 29 a 40, evalúe los límites por medio de series.

¿ - (I + x)29. lím 2x~o X

1, ¿ - e-x

30. lm---x---+O X

1 - cost - (P/2)31. lím A

1---+0 t

sen8 - 8 + (83/6)32. lím 5

8->0 8

y - tan"! y33. lím =---------'--

y->O itan-I y - seny

34. lím ----'-----'-y->O i cosy

35. lím ~(e-I/x' - 1)x---+oo

136. x~~ (x + 1) sen x + 1


In (I + X2)37. lím -,----

x-e-O 1 - cos x38. lím ~ - 4

x->2ln (x - 1)

In (J + x3)40. lím -----:-

x->O X· sen~sen3~

39. ;~ 1 - cos2x

Uso de la tabla 10.1En los ejercicios 41 a 52, utilice la tabla 10.1 para determinar la suma decada serie.

41. 1 + 1 + 1.- + 1.- + 1.- + ...21 31 41

42. (¡y + (¡y + (¡y + (¡y + ...

43.

44 1. __ 1_+_1 1_+ ...· 2 2 . 22 3 . 23 4 . 24

71' 71'3 71'5 71'745 - - -- + -- - -- + ...· 3 33.31 35.51 37.71

2 23 25 2746 - - -- + -- - -- + ...

· 3 33.3 35.5 37.7

47. x3 + x4 + x5 + x6 + ...32x2 34x4 36x6

48. 1 - T! + Ti - 6! + .

49. Xl - x5 + x7 - x9 + Xii - .

2 3 22x4 23x5 24x6

x -2x +T!-T!+Ti-'"

- 1 + 2x - 3~ + 4x3 - 5x4 + ...

50.

51.

x ~ Xl x4

52. 1 + "2+ 3 + 4 + 5 + ...

Teoria y ejemplos53. Sustituya x por -x en la serie de Taylor para ln(1 + x) con la finali-

dad de obtener una serie para In(1 - x). Después, reste esto de la seriede Taylor para In (1 + x) para demostrar que para !x! < 1,

l+x ( Xl x5)In -- = 2 x + - + - + ... .

1 - x 3 5

54. ¿Cuántos términos de la serie de Taylor para In(1 + x) es necesariosumar para tener la seguridad de calcular In(1.1) con un error de mag-nitud menor que 1O-8? Justifique su respuesta.

55. De acuerdo con el teorema de estimación de series alternantes, ¿cuán-tos términos de la serie de Taylor para tan -1 1 es necesario sumar paratener la seguridad de calcular 71'/4 con un error de magnitud menorque 1O-3? Justifique su respuesta.

56. Demuestre que la serie de Taylor para f(x) = tan-I x diverge para[x] > 1.

O 57. Estimación de pi ¿Aproximadamente cuántos términos de la seriede Taylor para tan-I x tendría usted que usar para evaluar cada tér-mino del lado derecho de la ecuación

_ 48 -1 1 + 32 -1 1 20 -1 171' - tan 18 tan 57 - tan 239

con un error de magnitud menor que 1O-6? En contraste, la conver-gencia de 2::;"=I(I/n2) a 71'2/6 es tan lenta que ni siquiera con 50 tér-minos se obtiene una precisión de dos decimales.



58. Integre los tres primeros términos distintos de cero de la serie de Tay-lar para tan t, desde O hasta x, para obtener los tres primeros términosdistintos de cero de la serie de Taylor para In sec x.

59. a. Utilice la serie binomial y el hecho de que

para generar los cuatro primeros términos distintos de cero de laserie de Taylor para sen -1 x. ¿Cuál es el radio de convergencia?

b. Serie para cos-1 x Utilice el resultado del inciso (a) para deter-minar los cinco primeros términos distintos de cero de la serie deTaylor para cos " x.

60. a. Serie para senh"! x Determine los cuatro primeros términosdistintos de cero de la serie de Taylor para

(X disenh-Ix = lo ~.

D b. Use los tres primeros términos de la serie en el inciso (a) paraestimar senh '! 0.25. Dé una cota superior para la magnituddel error introducido en la estimación.

61. Obtenga la serie de Taylor para I/(l + x)2 a partir de la serie para-1/(1 + x).

62. Use la serie de Taylor para 1/(1 - x2) para obtener una serie para2x/(l - x2)2

D 63. Estimación de Pi El matemático inglés Wallis descubrió la fórmula

w 2·4·4·6·6·8· .4 3·3·5·5·7·7· .

64.

Aplicando esta fórmula, calcule tr hasta la segunda cifra decimal.

Utilice los siguientes pasos para demostrar la ecuación (1).

a. Obtenga la derivada de la serie

f(x) = 1 + ~ (m)x"k=1 k

para demostrar que

f'( ) = mf(x) -1 < x < 1.x 1 + x'

b. Defina g(x) = (l + xl-m f(x) y demuestre que g' (x) = o.c. Con base en el inciso (b), demuestre que

f(x) = (1 + x)"'.

65. Serie para sen"! x Integre la serie binomial para (l - x2)-1/2 y de-muestre que para Ixl < 1,

00 1.3.5 .... ·(2n - 1) ~n+l

sen" x = x + L .,,=1 2·4·6· .... (2n) 2n + 1

66. Serie para tan "! x con Ixl > 1 Deduzca las series

tan"! x = 7!.. - 1. + _1 1_ + ..., x > I2 X 3x3 5x5

tan " x = _7!.. - 1. + _1_ - _1_ + ... x < -1,2 x 3x3 5x5 '

integrando la serie,

1 1___ =_e1 + P P

en el primer caso desde x hasta 00 y en el segundo, desde -00 hasta x.

Identidad de Euler67. Utilice la ecuación (4) para escribir las siguientes potencias de e

en la forma a + bi.

68. Utilice la ecuación (4) para demostrar que

y

69. Establezca las ecuaciones en el ejercicio 68 mediante la combinaciónde las series formales para eiOy e-ie .

70. Demuestre que

a. cosh ie = cos e, b. senh ¡¡¡ = i sen e.

71. Multiplicando las series de Taylor para e" y sen x, determine los tér-minos, hasta x5, de la serie de Taylor para e" sen x. Esta serie es laparte imaginaria de la serie para

Con base en este hecho, verifique su respuesta. ¿Para qué valores de xla serie para e< sen x debe converger?

72. Cuando a y b son reales, definimos e(o + ib)x con la ecuación

e(O+ib)x = eOX·eibx = eOX(cosbx + isenbx).

Mediante la derivación del lado derecho de esta ecuación demuestreque

!e(O+ib)x = (a + ib )e(O+ib)x.

Así que la regla conocida (d/ dx)ekx = kekx se cumple para k complejoy para los reales.

73. Utilice la definición de eiO para demostrar que para cualesquieranúmeros reales e, el ye2,a. eiO¡eiO, = ei(o¡+o,), b. e-iO = l/eio.

74. Dos números complejos a + bi Ye + id son iguales si y sólo si a = ey b = d. Con base en este hecho, evalúe

J eOxcos bx dx y J eOx sen bx dx

a partir de

donde e = el + ie2 es una constante compleja de integración.


58. Integre los tres primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor para tan t, desde O hasta x, para obtener los tres primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor para In sec x.

59. a. Uti lice la serie binomial y el hecho de que

para generar los cuatro primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor para sen- I x. ¿Cuál es el radio de convergencia?

b. Serie para cos-1 x Utilice el resultado del inciso (a) para determinar los cinco primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor para cos- I x.

60. a. Sede para senh- 1 x Determine los cuatro primeros términos distintos de cero de la serie de Taylor para

r di senh- Ix = Jo ~.

o b. Use los tres primeros términos de la serie en el inciso (a) para estimar senh- I 0.25. Dé una cota superior para la magnitud del error introducido en la estimación.

61. Obtenga la serie de Taylor para I/ (l + x)2 a partir de la serie para -1/(1 + x).

62. Use la serie de Taylor para 1/ (1 - x2) para obtener una serie para 2x/ (1 - x2)2

O 63. Estimación de Pi El matemático inglés Wallis descubrió la fórmula

w 2 ·4·4· 6·6·8· .. . 4 3'3·5'5·7 · 7· .. .

Aplicando esta fórmula, calcule w hasta la segunda cifra decimal.

64. Utilice los siguientes pasos para demostrar la ecuación (1).

a. Obtenga la derivada de la serie

¡(x) = 1 + ~(~)~ para demostrar que

¡ '(x) = rn¡(x) -1 < x < l. 1 + x'

b. Defina g(x) = (1 + x) - m ¡(x) y demuestre que g'(x) = O.

c. Con base en el inciso (b), demuestre que

f(x) = (1 + x)m.

65. Serie para sen- 1 x Integre la serie binomial para (l - x2)-1 /2 y demuestre que para Jx J < 1,

00 1 . 3 . 5 . ... ' (2n - 1) ~n+ l sen- I x = x + L .

n=1 2 '4· 6 · .... (2n) 2n + 1

66. Serie para tan- I x con Jx J > 1 Deduzca las series

tan- I x = ~ - 1 + _1_ - _1_ + ... x > 1 2 X 3x3 5x5 '

tan- I x = - ~ - 1 + _1_ - _1_ + .. . x < -1, 2 x 3x3 5x5 '

integrando la serie,

1 1 --- =-. 1 +? ?

en el primer caso desde x hasta 00 y en el segundo, desde -00 hasta x.

Identidad de Euter 67. Utilice la ecuación (4) para escribir las siguientes potencias de e

en la forma a + bi.

68. Utilice la ecuación (4) para demostrar que

y

69. Establezca las ecuaciones en el ejercicio 68 mediante la combinación de las series formales para eie y e - ie .

70. Demuestre que

a. coshiO = cosO, b. senh iO = i sen O.

71. Multiplicando las series de Taylor para e' y sen x, determine los términos, hasta x5, de la serie de Taylor para e" sen x. Esta serie es la parte imaginaria de la serie para

Con base en este hecho, verifique su respuesta. ¿Para qué valores de x la serie para e' sen x debe converger?

72. Cuando a y b son reales, definimos e(a + ib)x con la ecuación

Mediante la derivación del lado derecho de esta ecuación demuestre que

! e (a+ ib)x = (a + ib )e(a+ib)x .

Así que la regla conocida (d/ dx)ekx = kekx se cumple para k complejo y para los reales.

73. Utilice la definición de eie para demostrar que para cualesquiera números reales O, 01 Y 02,

74. Dos números complejos a + bi Y e + id son iguales si y sólo si a = e y b = d. Con base en este hecho, evalúe

J eQX cos bx dx y J eax sen bx dx

a partir de

donde e = el + ie2 es una constante compleja de integración.


CapítuLo 10 Ejercicios de práctica 605

I Preguntas de repasoCapitulo

1. ¿Qué es una sucesión infinita? ¿Qué significa que una sucesión con-verja? ¿Qué significa que una sucesión diverja? Dé ejemplos.

2. ¿Qué es una sucesión monótona? ¿En qué circunstancias tienen límitetales sucesiones? Dé ejemplos.

3. ¿De qué teoremas disponemos para calcular límites de sucesiones?Dé ejemplos.

4. ¿Qué teorema nos permite usar, algunas veces, la regla de L'Hópitalpara calcular el límite de una sucesión? Dé un ejemplo.

5. ¿Cuáles son los seis límites de sucesiones que se presentan común-mente en el teorema S cuando trabajamos con sucesiones y series?

6. ¿Qué es una serie infinita? ¿Qué significa el hecho de que una seriede este tipo converja? ¿Y que diverja? Dé algunos ejemplos.

7. ¿Qué es una serie geométrica? ¿Cuándo converge una serie de esetipo? ¿Cuándo diverge? Si converge, ¿cuál es su suma? Cite ejemplos.

8. Además de las series geométricas, ¿qué otras series convergentes ydivergentes conoce?

9. ¿Cuál es el criterio del n-ésimo término para la divergencia? ¿En quéidea se basa?

10. ¿Qué se puede decir acerca de las sumas y las restas, término a tér-mino, de series convergentes? ¿Y acerca de los múltiplos constantesde series convergentes y divergentes?

11. ¿Qué pasa si usted suma un número finito de términos a una serieconvergente? ¿Ya una divergente? ¿Qué ocurre si elimina un númerofinito de términos de una serie convergente? ¿Y de una divergente?

12. ¿Cómo se renumeran los índices de una serie? ¿Con qué propósitoquerría hacerlo?

13. ¿En qué circunstancias converge una serie infinita de términos nonegativos? ¿En cuáles diverge? ¿Por qué estudiamos series de tér-minos no negativos?

14. ¿Cuál es el criterio de la integral? ¿En qué razonamiento se basa? Déun ejemplo de su uso.

15. ¿Cuándo convergen las series p? ¿Cuándo divergen? ¿Cómo lo deter-mina? Dé ejemplos de series p convergentes y series p divergentes.

16. ¿Cuáles son el criterio de comparación directa y el criterio de com-paración del límite? ¿En qué razonamientos se basan? Dé ejemplosde su uso.

17. ¿Cuáles son los criterios de la razón y de la raíz? ¿Le brindan siemprela información que necesita para determinar la convergencia o la di-vergencia? Dé algunos ejemplos.

Ejercicios de prácticaCapitulo

Determinación de convergencia de sucesiones¿Cuáles de las sucesiones, cuyos n-ésimos términos aparecen en los ejer-cicios 1 a 18, convergen y cuáles divergen? Determine el límite de todas lassucesiones convergentes.

(-1)"1. a"= 1 + -n- 2. a" =

- (-1)"

-r:1 - 2"

3. a" = -2-"- 4. a" = 1 + (0.9)"

18. ¿Qué es una serie alternante? ¿Qué teorema nos permite determinarla convergencia de esas series?

19. ¿Cómo se estima el error introducido al aproximar el valor de la su-ma de una serie alternante con una de las sumas parciales de la serie?¿En qué razonamiento se basa esa estimación?

20. ¿Qué es la convergencia absoluta? ¿Y la convergencia condicional?¿Cómo se relacionan entre sí?

21. ¿Qué sabe acerca del rearreglo de los términos de una serie absoluta-mente convergente? ¿Y de una serie con convergencia condicional?Dé ejemplos.

22. ¿Qué es una serie de potencias? ¿Cómo se ponen a prueba la con-vergencia de una serie de potencias? ¿Cuáles son los resultados po-sibles?

23. ¿Cuáles son los hechos básicos con respecto a

a. sumas, diferencias y productos de series de potencias?

b. la sustitución de una función por x en una serie de potencias?

c. la derivación término a término de series de potencias?

d. la integración término a término de series de potencias?

Dé ejemplos.

24. ¿Qué es la serie de Taylor generada por una funciónf(x) en un puntox = a? ¿Qué información necesita acerca de f para construir la serie?Dé un ejemplo.

25. ¿Qué es una serie de Maclaurin?

26. ¿Una serie de Taylor siempre converge a su función generadora?Explique.

27. ¿Qué son los polinomios de Taylor? ¿Cuáles son sus aplicaciones?

28. ¿Qué es una fórmula de Taylor? ¿Qué nos dice acerca de los erroresintroducidos al usar polinomios de Taylor para aproximar funciones?En particular, ¿qué dice la fórmula de Taylor acerca del error en lalinealización? ¿Sobre la aproximación cuadrática?

29. ¿Qué es una serie binomial? ¿En qué intervalo converge? ¿Cómose usa?

30. ¿Cómo se usan a veces las series de potencias para estimar los valoresde integrales definidas no elementales?

31. ¿Cuáles son las series de Taylor para 1/(1 - x), 1/(1 + x), e', sen x,cos x, In(1 + x) y tan '! x? ¿Cómo estima usted los errores resultantesal sustituir estas series por sus sumas parciales?

5. n7T 6.a" = senT a" = sen nrr

7.In (n2)

8.In (2n + 1)

an = --n- an = n

9.n + lnn 10.

In (2n3 + 1)an = n an = n

(n-s)" 12. a" = (1 + kr"11. a" = -n-



;p;; (~r"13. " 14.a; = n an =

15. a" = n(21/" - 1) 16. afl = y!2;:;+¡(/1 + I)!

18.(-4)"

17. all =ni an=~

Series convergentesDetermine las sumas de las series de los ejercicios 19a 24.

~ -220. L..J,,~2 nin + 1)

~ -8,,~3 (4n - 3)(4n + 1)

00 119. L -----=----

,,~3 (2n - 3)(2/1 - 1)

00 921. L----'----

,,~I (3/1- 1)(3/1+ 2)22.

00 324. L(-1)"---;;,,~I 4

Determinación de la convergencia de series¿Cuáles de las series de los ejercicios 25 a 40 convergen absolutamente,cuáles convergen condicionalmente y cuáles divergen? Justifique susrespuestas.

00

~ ~500 (-1)"

25. L-1 26. 27. L-11=1~ 11=1 11=1 ~

00 00 (-1)" 00

28. L-1 29. L 30. L_1-,,~I 2/13 ,,~Iln(n + 1) ,,~2 ti (In n)2

~ In;100

31. 32. L~11=1 n ,,~3 In (In /1)

00 (_1)" 00 (_1)" 3/12

33. L 34./~ n3 + 1//~I/1~

~~00 (-1)"(n2 + 1)

35. 36./~ 2n2 + n - 111=1 n!

00 (-3)" 00 2"3"37. L- 38. L-,,-

1/=1 11.1 n=l n00

100

139. L 40. L,,~I V/1(n + I)(n + 2) ,,~2n~

Series de potenciasEn los ejercicios 41 a 50, (a) determine el radio y el intervalo de conver-gencia de las series. Después identifique los valores de x para los cualesla serie converge (b) absolutamente y (e) condicionalmente.

00 (x + 4)" 00 (x - 1f"-241. L 42. L ---,,~I n3" ,,~I (2/1- 1)!

00 (n + 1)(2x + 1)"44. L ---'-----

,,~o (2n + 1)2"

~ (-I),,-1(32X - 1)"

43. L..J11=1 n

00 )/

45. L~1/=1 n"

46. ~ ,x~II~I V n

00 (-l)"(x - 1)211+148. L -=----=-------'---

,,~o 2n + 1

00 (n + 1)x2"- 1

47. /~ ---3-"--

00

49. L(csch n)x"1/=1

00

50. L(coth n)x"n=!

Series de MaclaurinCada una de las series de los ejercicios 51 a 56 es el valor de la serie deTaylor en x = O de una función f(x) en un punto específico. ¿Cuál es lafunción y cuál es el punto? ¿Cuál es la suma de la serie?

51 1_1+-.-L_ ... +(-1)1I~+ .... 4 16 4"

52. l_ -±- + --ª-- - ... + (_1)II-IL + ...3 18 81 n3"

7T3 7T5 7T2" + 153. 7T - - + - - ... + (- 1)" + ...

3! 5! (2n + 1)!

7T2 7T4 7T2"54. 1 - -- + -- - ... + (-1)"-- + ...9'2! 81'4! 3211(2n)!

(ln2f (In 2)"55. 1 + In 2 + -2-! - + ... + -/1-! - + ...

56 _1 1_ + _1 __ .... V3 9V3 45V3

+ (_1),,-1 1 + ...(2n - 1)( V3)2"-1

Determine la serie de Taylor en x = O para las funciones en los ejercicios57 a 64.

57. 1 58. 11 - 2x 1 + x3

59. 60. 2xsen 7TX sen '"3

61. cos (x5/3) 62. x3cos--Vs

63. e(7Tx/2) 64. e-x'

Series de TaylorEn los ejercicios 65 a 68, determine los cuatro primeros términos distintosde cero de la serie de Taylor generada por f en x = a.

65. f(x) = V3 + ~ en x = -1

66. f(x) = 1/(1 - x) en x = 2

67. f(x) = l/(x + 1) en x = 3

68. f(x) = l/x en x = a > O

Integrales no elementalesPor medio de series, aproxime los valores de las integrales de los ejerci-cios 69 a 72 con un error de magnitud menor que 10-8 (En la sección derespuestas están los valores de las integrales redondeados a 10 decimales).

69.11/2e-x'dX 70·1Ixsen(x3)dx

11/2tan-I x71. --dx

o x 11/64t -172. ~dxo Vx

Uso de series para determinar limitesEn los ejercicios 73 a 78:

a. Utilice series de potencias para evaluar el límite.

O b. Use después una graficadora para respaldar sus cálculos.

. eO - e-o - 2074. lím :=.---=----=:::.8--->0 O - sen O

73. 1ím 7 senxx--->O e2, - 1

75. lím ( ~ - .12)1--->0 2 - cos t t

(senh)/h - cosh76. lím ~-~..,----

h--->O h2


77 1, 1 - COS2 z. 1ma-e O In (1 - z) + sen z

2

78 u Y• y~ cosy - coshy

Teoña y ejemplos79. Represente asen 3x por medio de una serie y halle valores de r y s

para los cuales

o 80. Evalúe la precisión de las aproximaciones sen x "" x y sen x "" 6x/(6 + x2) comparando las gráficas de J(x) = sen x - x y g(x) = sen x- (6x/(6 + X2». Describa lo que encuentre.

81. Determine el radio de convergencia de la serie

00 2·5· 8· .... (3n - 1)L. x".,,~l 2·4·6· .. · ·(2n)


00 3.5.7 ....• (2n + 1)L. (x - 1)".,,~14·9·14· .. · ·(5n - 1)

83. Determine una fórmula, de forma cerrada, para calcular la n-ésimasuma parcial de la serie L~21n O - 0/n2» y utilícela para deter-minar la convergencia o la divergencia de esa serie.

84. Evalúe Lr:20/(k2 - 1) calculando el límite de la n-ésima sumaparcial de la serie cuando n ----> oo.

85. a. Determine el intervalo de convergencia de la serie

Ejercicios adicionaLes y avanzadosCapitulo

Convergencia o divergencia¿Cuáles de las series L~ la; definidas por las fórmulas en los ejerciciosI a 4 convergen? ¿Cuáles divergen? Justifique sus respuestas.

00 1 00 (tan"! n)21. L. 2. L. -'-----::-2-'----

,,~I (3n - 2),,+(1/2) 1I~1 n + I

~ ~ IOg"3(n!)3. .L.- ( - 1)" tanh n 4. .L.-1/=1 ,,=2 n

¿Cuáles de las series ¿:;o~1 a" definidas por las fórmulas en los ejercicios5 a 8 convergen? ¿Cuáles divergen? Justifique sus respuestas.

nin + 1)5. al = 1, a +1 = a

" (n + 2)(n + 3) "(Sugerencia: Escriba varios términos, vea cuáles factores se cancelany luego generalice).

n si n 2:: 26. al = ai = 7, a,,+1

7. al = aa = 1,

(n - I)(n + l)a"

= __1_ sin 2:: 2an+l 1 + an

8. a" = 1/3" si n es impar, a; = n/3" si n es par

Capítulo 10 Ejercicios adicionales y avanzados 607b. Demuestre que la función definida por la serie satisface una

ecuación diferencial de la forma

d2y~ = xay + bdx2

y encuentre los valores de las constantes a y b.

86. a. Determine la serie de Maclaurin para la función x2/(l + x).

b. ¿Converge la serie en x = 1? Explique.

87. Si L~I a; y L~I b; son series convergentes de números no nega-tivos, ¿qué se puede decir acerca de L~~I anbn? Justifique su res-puesta.

88. Si L~I a; y L~~I b; son series divergentes de números no negati-vos, ¿qué se puede decir acerca de L~~I anbn? Justifique su res-puesta.

89. Demuestre que la sucesión {x,,} y la serie Lr:1 (Xk+l - Xk) conver-gen o divergen ambas.

90. Demuestre que L~l (an/O + all» converge si a; > O para toda n ysi L~~I an converge.

91. Suponga que al, aa, a3, ... , a" son números positivos que satisfacenlas siguientes condiciones:i) al 2:: aa 2:: a3 2:: ... ;

ii) la serie az + a4 + as + al6 + ... diverge.

Demuestre que la serie

diverge.

92. Utilice el resultado del ejercicio 91 para demostrar que

1 + ~~I-,,~2 ti In n

diverge.

Elección de centros para las series de TaylorLa fórmula de Taylor

f"(a)f(x) = fea) + f'(a)(x - a) + 2"! (x - a? +

/n)(a) r:1)(C)+ ---(x - a)"+ (x - a)"+1

n! (n + 1)!

expresa el valor de J en x en términos de los valores de J y sus derivadasen x = a. Por lo tanto, en cálculos numéricos necesitamos que a sea unpunto donde conozcamos los valores de J y sus derivadas. También re-querimos que a sea suficientemente cercano a los valores de J que nosinteresen, de manera que (x - a)"+ l sea tan pequeño que podamos des-preciar el residuo.

En los ejercicios 9 a 14, ¿qué serie de Taylor elegiría para representar lafunción cerca del valor dado de x? (Hay más de una respuesta correcta).Escriba los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie que elija.

9. cos x cerca de x = 1 10. sen x cerca de x = 6.311. e' cerca de x = 0.4 12. lnx cerca de x = 1.3

13. cos x cerca de x = 69 14. tan" x cerca de x = 2

2

77 1, 1 - COS

2 z • 1m

z--->O In (1 - z) + sen z 78 ]' Y

. y!..To cos y - cosh y

Teoña y ejemplos 79. Represente a sen 3x por medio de una serie y halle valores de r y s

para los cuales

o 80. Evalúe la precisión de las aproximaciones sen x ;:::; x y sen x ;:::; 6x/ (6 + x2) comparando las gráficas de J(x) = sen x - x y g(x) = sen x

- (6x/(6 + X2». Describa lo que encuentre.


00 2·5· 8· .... (3n - 1) L. x" . ,, ~ I 2·4·6· .. ··(2n)


00 3.5.7 .... ·(2n + 1) L. (x - 1)" . ,,~ 14 · 9 ·1 4· .. · ·(5n - 1)

83. Determine una fórmula, de forma cerrada, para calcular la n-ésima suma parcial de la serie L~2 1n (1 - (I / n2» y utilícela para determinar la convergencia o la divergencia de esa serie.

84. Evalúe L~2(1/(e - 1» calculando el límite de la n-ésima suma parcial de la serie cuando n-OO.

85. a. Determine el intervalo de convergencia de la serie

Capítulo 10 Ejercicios adicionales y avanzados

b. Demuestre que la función definida por la serie satisface una ecuación diferencial de la forma

d 2y ~ = x"y + b dx2

y encuentre los valores de las constantes a y b.

86. a. Determine la serie de Maclaurin para la función x2/(l + x).

b. ¿Converge la serie en x = I? Explique.

607

87. Si L : ¡ an y L;:"~I bn son series convergentes de números no negativos, ¿qué se puede decir acerca de L~I anbn? Justifique su respuesta.

88. Si L:¡ an y L;:"~¡ b" son series divergentes de números no negativos, ¿qué se puede decir acerca de L;:"~¡ a"b,,? Justifique su respuesta.

89. Demuestre que la sucesión {x,,} y la serie L~ I (Xk+1 - Xk) convergen o divergen ambas.

90. Demuestre que L~ ¡ (an/O + a,,» converge si an > O para toda n y si L;:"~¡ an converge.

91. Suponga que al , a2, a3 , ... , a" son números positivos que satisfacen las siguientes condiciones:

i) al :::: a2 :::: a3 :::: ... ;

ii) la serie a2 + a4 + as + al6 + ... diverge.

Demuestre que la serie

diverge.

92. Utilice el resultado del ejercicio 91 para demostrar que

1 + ~ _I-,,~2 n In n

diverge.

CapituLo Ejercicios adicionaLes y avanzados

Convergencia o divergencia

¿Cuáles de las series L~ I an definidas por las fórmulas en los ejercicios 1 a 4 convergen? ¿Cuáles divergen? Justifique sus respuestas.

00 I 00 (tan- I n)2 1. L. 2. L. -'--::-2 - '----

,,~ I (3n - 2),,+(1/2) 11~ 1 n + 1 00

4. ~ 10g,, ~n!) 11 =2 n

3. L.( - I)"tanhn 1/ = 1

¿ Cuáles de las series ¿:;o~ 1 an definidas por las fórmulas en los ejercicios 5 a 8 convergen? ¿Cuáles divergen? Justifique sus respuestas.

n(n + 1) 5. a l = 1, a +1 = a

" (n + 2)(n + 3) "

(Sugerencia: Escriba varios términos, vea cuáles factores se cancelan y luego generalice).

6. al = a2 = 7, a,,+ 1 n

1) a" (n - I)(n +

7. al = a2 = 1, = __ 1_ sin :::: 2 an+11+an

si n :::: 2

8. a" = 1/3" si n es impar, an = n/3" si n es par

Elección de centros para las series de Taylor La fórmula de Taylor

f" (a) f(x ) = f ea) + f'(a) (x - a) + ~ (x - a? +

/ ") (a) f (,,+ I)(c) + --- (x - a)" + (x - a),,+1

n! (n + 1)!

expresa el valor de J en x en términos de los valores de J y sus derivadas en x = a. Por lo tanto, en cálculos numéricos necesitamos que a sea un punto donde conozcamos los valores de J y sus derivadas. También requerimos que a sea suficientemente cercano a los valores de J que nos interesen, de manera que (x - a)"+ I sea tan pequeño que podamos despreciar el residuo.

En los ejercicios 9 a 14, ¿qué serie de Taylor elegiría para representar la función cerca del va lor dado de x? (Hay más de una respuesta correcta). Escriba los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie que elija.

9. cosx cerca de x = 1 10. senx cerca de x = 6.3

11. e' cerca de x = 0.4

13. cos x cerca de x = 69

12. In x cerca de x = 1.3

14. tan- I x cerca de x = 2



Teoría y ejemplos15. Suponga que a y b son constantes con O < a < b. ¿La sucesión

{(a" + b,,)I/,,} converge? Si converge, ¿cuál es el límite?

16. Determine la suma de la serie infinita

+1..-+~+~+~+~+~+~10 102 103 104 105 106 107

+~+~+""108 109

17. Evalúe

00 1,,+1 l2: --2 dx.,,~O '1 I + x

18. Determine todos los valores de x para los cuales

002: nxll

,,~I(n + 1)(2x + 1)"

tiene convergencia absoluta.

D 19. a. ¿Cree que el valor de

. ( cos (a/n»)"11m 1 - n '

Il-HX)

a una constante,

depende del valor de a? Si es así, ¿cómo?

b. ¿Cree que el valor de

. ( cos(a/n»)"lírn 1- b '

1/~OO n a y b constantes, b * O,

depende del valor de b? Si es así, ¿cómo?

c. Para confirmar sus suposiciones de los incisos (a) y (b) utilicecálculo.

20. Demuestre que si ~: 1 a; converge, entonces

~ (1 + sen(a"»),,,,~I 2

converge.

21. Determine un valor para la constante b que hará que el radio de con-vergencia de la serie de potencias

sea igual a 5.

22. ¿Cómo sabe que las funciones sen x, In x y e' no son polinomios?Justifique su respuesta.

23. Determine el valor de a para el cual ellírnite

sen (ax) - senx - xlím -----,-----

x~O x3

es finito, y evalúe el límite.

24. Determine los valores de a y b para los cuales

cos (ax) - blím -l.

X~O 2x2

25. Criterio de Raabe (o de Gauss) El siguiente criterio, que enuncia-mos sin demostración, es una extensión del criterio de la razón.

Criterio de Raabe: Si ~:lu" es una serie de constantes positi-vas y existen constantes C, K y N tales que

u" C f(n)--=1+-+--UII+l n n2'

donde If(n)1 < K para n 2:N, entonces ~;;"~Iu" converge si

C > 1 Y diverge si C oS 1.Demuestre que los resultados del criterio de Raabe coinciden con

los que conoce con respecto a las series ~;;"~l0/n2) y ~:I Cl/n).26. (Continuación del ejercicio 25). Suponga que los términos de

~: 1 u" se definen de manera recursiva por medio de las fórmulas

UI = 1,(2n - 1?

U,,+I = (2n)(2n + 1) Un·

Aplique el criterio de Raabe para determinar si la serie converge.

27. Si ~;;"~1a" converge, y si a" * 1 Y a" > O para toda n,a. Demuestre que ~;;"~ 1 a,,2 converge.

b. ~;;"~lan/O - a,,) converge? Explique.

28. (Continuación del ejercicio 27). Si ~;;"~la" converge, y si

1 > a" > O para toda n, demuestre que ~:lIn (1 - an) converge.

(Sugerencia: Primero demuestre que IIn (l - a,,) I oS a,,/O - an).)

29. Teorema de Nicole Oresme Demuestre el teorema de NicoleOresme, el cual afirma que

(Sugerencia: Derive ambos lados de la ecuación l/O - x) =I + ~;;"~IX".)

30. a. Demuestre que

00 nin + 1) 2x2

2: Xl = ( 1?n=1 X -

para Ixl > 1 derivando dos veces la identidad

00 22:x"+l = _X_n~l I - x

multiplique el resultado por x y luego reemplace x por l/x.

b. Utilice el inciso a) para determinar la solución real mayor que 1de la ecuación

_ ~ n(n + 1)x - ,,~I x" .

31. Control de calidad

a. Derive la serie

_1_= I +x+~+ ... +x'I+ ...1 - x

para obtener una serie para 1/(1 - X)2

b. En un tiro de dos dados, la probabilidad de obtener un resultadode 7 es p = 1/6. Si tira los dados de manera repetida, la proba-bilidad de que 7 aparezca por primera vez en el n-ésimo tiro es«:». donde q = 1 - p = 5/6. El número esperado de tiroshasta que aparezca el 7 por primera vez es ~: 1 nq,,-Ip.Determine la suma de esta serie.

c. Como ingeniero que aplica control estadístico de calidad a unaoperación industrial, usted inspecciona artículos que toma al azarde la línea de ensamble. Clasifique cada artículo muestreado


Teoña y ejemplos 15. Suponga que a y b son constantes con O < a < b. ¿La sucesión

{(a" + b,,) I/,,} converge? Si converge, ¿cuál es el límite?

16. Determine la suma de la serie infinita

+ 1..- + ~+ ~ + ~+ ~ + ~ + ~ 10 102 103 104 105 106 107

+ ~ + ~ + ... . 108 109

17. Evalúe

00 1"+1 I L --2 dx. ,, ~ o. n I + x

18. Determine todos los valores de x para los cuales

00 L nx" ,,~ I (n + 1)(2x + 1)"

tiene convergencia absoluta.

D 19. a. ¿Cree que el valor de

, ( cos (a/ n) ) " 11m 1 - n '

11----+00 a una constante ,

depende del valor de a? Si es así, ¿cómo?

b. ¿Cree que el valor de

, ( cos (a/ n))" 11m 1 - b '

11----+00 n a y b constantes, b * O,

depende del valor de b? Si es así, ¿cómo?

c. Para conf irmar sus suposiciones de los incisos (a) y (b) utilice cálculo.

20. Demuestre que si ~: 1 an converge, entonces

~ (1 + sen (all ))"

,, ~I 2

converge.

21. Determine un valor para la constante b que hará que el radio de convergencia de la serie de potencias

sea igual a 5.

22. ¿Cómo sabe que las funciones sen x, In x y e' no son polinomios? Justif ique su respuesta.

23. Determine el va lor de a para el cual el límite

sen (ax ) - sen x - x lím 3

x ----+O X

es f inito, y evalúe el límite.

24. Determine los valores de a y b para los cuales

cos (ax) - b lím -l. X~O 2x2

25. C riterio de Raabe (o de Gauss) El siguiente criterio, que enunciamos sin demostración, es una extensión del criterio de la razón.

Criterio de Raabe: Si ~: 1 u" es una serie de constantes positivas y existen constantes C, K y N tales que

u" C len) - -=1+- + --Un + 1 n n2 '

donde I/(n) I < K para n 2: N, entonces ~: l Un converge si

C > 1 Y diverge si C oS l . Demuestre que los resultados del criterio de Raabe coinciden con

los que conoce con respecto a las series ~;:"~ l 0 / n2) y ~: l ( I / n).

26. (Continuación del ejercicio 25). Suponga que los términos de ~: 1 u" se definen de manera recursiva por medio de las fórmulas

U l = 1, (2n - 1?

U,,+ I = (2n)(2n + 1) Un ·

Aplique el criterio de Raabe para determinar si la serie converge.

27. Si ~;:"~l an converge, y si a" * 1 y an > O para toda n,

a. Demuestre que ~;:"~l an2 converge.

b. ~;:"~ l an/O - all ) converge? Explique.

28. (Continuación del ej ercicio 27). Si ~;:"~l a" converge, y si

1 > a" > O para toda n, demuestre que ~:lln (1 - an ) converge.

(Sugerencia: Primero demuestre que [in O - an ) l oSan/O - an ) .)

29. Teorema de Nicole Oresme Demuestre el teorema de Nicole Oresme, el cual afirma que

1 + 1. . 2 + 1. . 3 + . .. + _ n_ + .. . = 4 . 2 4 2n- 1

(Sugerencia: Derive ambos lados de la ecuación l / O - x) =

1 + ~;:"~IX" . ) 30. a. Demuestre que

00 n(n + 1) 2x2

L x' = ( 1? n = 1 X -

para Ixl > 1 derivando dos veces la identidad

00 2

L x"+1 = _ X_ ,, ~ l 1 - x

multiplique el resultado por x y luego reemplace x por l /x .

b. Utilice el inciso a) para determinar la solución real mayor que 1 de la ecuación

_ ~ n(n + 1) x - II ~I x' .

31. Control de calidad

a. Derive la serie

_ 1_= 1 + x +~+ . . . + x ' + . .. 1 - x

para obtener una serie para 1/ (1 - X)2

b. En un tiro de dos dados, la probabilidad de obtener un resultado de 7 es p = 1/ 6. Si tira los dados de manera repetida, la probabilidad de que 7 aparezca por primera vez en el n-ésimo tiro es qn-lp, donde q = 1 - p = 5/ 6. El número esperado de tiros hasta que aparezca el 7 por primera vez es ~: 1 nqn- Ip . Determine la suma de esta serie.

c. Como ingeniero que aplica control estadístico de calidad a una operación industrial, usted inspecciona artículos que toma al azar de la línea de ensamble. Clasifique cada artículo muestreado


32.

como "bueno" o "malo". Si la probabilidad de que un artículo seabueno es p y de que sea malo es q = 1 - p, la probabilidad deque el primer artículo malo sea encontrado en el n-ésimo artículoinspeccionado es p'r+q. El número promedio de inspeccionadoshasta (e incluyendo) el primer artículo malo encontrado es2:: 1 np"-1 q. Evalúe esta suma; para ello, suponga queO<p<1.

Valor esperado Suponga que una variable aleatoria X puede tomarlos valores 1,2,3, ... , con probabilidades PI,P2,P3, ... , donde Pk es laprobabilidad de queXsea igual a k (k = 1,2,3, ... ). También supongaque Pk 2:: O y que 2::' 1 Pk = l. El valor esperado de X, denotado porE(X), es el número 2::' 1 kpi; siempre que la serie converja. En cadauno de los siguientes casos, demuestre que 2::'¡Pk = 1 Y determineE(X), si existe. (Sugerencia: Véase el ejercicio 31).

5k-1

a. Pk = Tk b. Pie = 71 1----k k + 1C. Pk = k(k+ 1)

033. Dosis segura y eficaz La concentración en la sangre que resulta deuna sola dosis de un medicamento, normalmente disminuye con eltiempo, conforme el fármaco se elimina del cuerpo. Por lo tanto, lasdosis necesitan repetirse de manera periódica para evitar que la con-centración descienda más allá de algún nivel particular. Un modelodel efecto de las dosis repetidas indica que la concentración residualjustamente antes de la (n + 1)-ésima dosis es

donde Co = al cambio en la concentración ocasionado por una soladosis (mg/mL), k = constante de eliminación (h'), y to = tiempo en-tre las dosis (h). Observe la siguiente figura.

C

Tiempo (h)

a. Escriba RIl en forma cerrada como una sola fracción y determineR = límll~ooRIl'

b. Calcule R¡ yR\OparaCo = 1 mg/rnl., k = 0.1 h-I Y to = 10h.¿Qué tan buena estimación de Res R\O?

Proyectos de apLicación tecnoLógicaCapítulo

Módulo de MathematicajMaple

Capítulo 10 Proyectos de aplicación tecnológica 609

34.

c. Si k = 0.01 h-I Y to = 10 h, determine la n más pequeña talque R, > (1/2)R.

(Fuente: Prescribing Safe and Effective Dosage, B. Horelick y S. Koont,COMAp' lnc., Lexington, MA.)

Tiempo entre dosis de medicamentos (Continuación del ejercicio 33).Si se sabe que un medicamento será ineficaz por debajo de una con-centración CL y resulta nocivo por arriba de una concentración másalta CH, uno necesita determinar los valores de Co y to que produciránuna concentración que sea segura (no superior a CH), pero eficaz (noinferior a CL). Observe la siguiente figura. Por lo tanto, necesita de-terminar los valores para Co y to para los cuales

R = CL Y Co + R = CH.

----r---- -- ---1 1 Nivel más bajo eficazI~to~1 1

O Tiempo

Por lo tanto, Co = CH - CL. Cuando estos valores se sustituyen en laecuación para R, obtenida en el inciso (a) del ejercicio 33, la ecuaciónresultante se simplifica a

Para alcanzar con rapidez un nivel eficaz, uno podría administrar unadosis "cargada" que produjera una concentración de CH mg/mL. Estopodría seguirse cada to horas mediante una dosis que eleve la concen-tración en Co = CH - CL mg/mL.

a. Verifique la ecuación precedente para to.

b. Si k = 0.05 h-I y la concentración más alta segura es e vecesla concentración eficaz más baja, determine el intervalo detiempo entre las dosis que asegurarán concentraciones segurasy eficaces.

c. Dados CH = 2 mg/mL, CL = 0.5 mg/mL y k = 0.02 h',determine un esquema para la administración del medicamento.

d. Suponga que k = 0.2 h-I Y que la menor concentración eficazes 0.03 mg/mL. Se administra una sola dosis que produce unaconcentración de 0.1 mg/rnl.. ¿Cuánto tiempo seguirá siendoeficaz el medicamento?

Pelota que rebotaEl modelo predice la altura de una pelota que rebota y el tiempo hasta que deja de rebotar.

Aproximaciones del polinomio de Taylor para una funciánUna animación gráfica muestra la convergencia de los polinomios de Taylor para funciones que tienen derivadas de todos los órdenes en un intervalo desus dominios.

32.

0 33.

como "bueno" o "malo". Si la probabilidad de que un artículo sea bueno es p y de que sea malo es q = 1 - p , la probabilidad de que el primer artículo malo sea encontrado en el n-ésimo artículo inspeccionado es p"- Iq . El número promedio de inspeccionados hasta (e incluyendo) el primer artículo malo encontrado es 2:: 1 np"- I q. Evalúe esta suma; para ello, suponga que O < p<1.

Valor esperado Suponga que una variable aleatoria X puede tomar

los va lores 1, 2, 3, .. . , con probabilidades PI ,P2, P3, ... , donde Pk es la

probabilidad de que Xsea igual a k (k = 1, 2, 3, ... ). También suponga

que Pk ~ O Y que 2:: 1 Pk = l. El valor esperado de X, denotado por

E(X), es el número 2:: 1 kPb siempre que la serie converja. En cada

uno de los siguientes casos, demuestre que 2:: ¡Pk = I Y determine

E(X), si existe. (Sugerencia : Véase el ejercicio 31).

a. Pk = T k

C. Pk= k(k + 1)

5"- 1 b. P"=~

k k + I

Dosis segura y eficaz La concentración en la sangre que resulta de una sola dosis de un medicamento, normalmente disminuye con el tiempo, conforme el fármaco se elimina del cuerpo. Por lo tanto, las dosis necesitan repetirse de manera periódica para evitar que la concentración descienda más allá de algún nivel particular. Un modelo del efecto de las dosis repetidas indica que la concentración residual justamente antes de la (n + l )-ésima dosis es

donde Co = al cambio en la concentración ocasionado por una sola dosis (mg/ mL), k = constante de eliminación (h- I), y to = tiempo entre las dosis (h). Observe la siguiente figura.

C

:g bb 5 t::

'O Tl ro b Co t::

" ü t:: o

U

O Tiempo (h)

a. Escriba Rn en forma cerrada como una sola fracción y determine R = Iímn~oo Rn .

b. CalculeRI y RlOpara Co = I mg/ mL, k = 0.1 h- I Y to = lO h. ¿Qué tan buena estimación de Res RIO?

34.

Capítulo 10 Proyectos de aplicación tecnológica 609

c. Si k = 0.01 h- I Y to = lO h, determine la n más pequeña tal que Rn > (l / 2)R.

(Fuente: Prescribing Safe and Effective Dosage, B. Horelick y S. Koont, COMAp' Inc., Lexington, MA.)

Tiempo entre dosis de medicamentos (Continuación del ejercicio 33). Si se sabe que un medicamento será ineficaz por debajo de una concentración CL y resulta nocivo por arriba de una concentración más alta CH, uno necesita determinar los valores de Co y to que producirán una concentración que sea segura (no superior a CH), pero eficaz (no inferior a CL). Observe la siguiente figura . Por lo tanto, necesita determinar los valores para Co y to para los cuales

R = CL Y Co + R = CH.

---- 1---- --- -1 1 Nivel más bajo eficaz l~tO-+l 1 1

O Tiempo

Por lo tanto, Co = CH - CL. Cuando estos valores se sustituyen en la ecuación para R, obtenida en el inciso (a) del ejercicio 33, la ecuación resultante se simplifica a

Para alcanzar con rapidez un nivel eficaz, uno podría administrar una dosis "cargada" que produjera una concentración de CH mg/ mL. Esto podría seguirse cada to horas mediante una dosis que eleve la concentración en Co = CH - CL mg/ mL.

a. Verifique la ecuación precedente para too

b. Si k = 0.05 h- I y la concentración más alta segura es e veces la concentración eficaz más baja, determine el intervalo de tiempo entre las dosis que asegurarán concentraciones seguras y eficaces.

c. Dados CH = 2 mg/ mL, CL = 0.5 mg/ mL y k = 0.02 h- I, determine un esquema para la administración de l medicamento.

d. Suponga que k = 0.2 h- I Y que la menor concentración eficaz es 0.03 mg/ mL. Se administra una sola dosis que produce una concentración de 0.1 mg/ mL. ¿Cuánto tiempo seguirá siendo eficaz el medicamento?

CapituLo Proyectos de apLicación tecnoLógica

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10 · debemos demostrar que existe un entero n, tal que para toda n n>n = ik-kl

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