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MATEMÁTICAS I

AUTOR COMPILADOR.

SANDRA ROJAS SEVILLA

Licenciada en Matemáticas.

CORPORACION UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECAR

FACULTAD DE CIENCIAS CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS

Sincelejo, 2007.

1

MATEMÁTICAS I.

AUTOR COMPILADOR.

SANDRA ROJAS SEVILLA

Licenciada en Matemáticas.

CORPORACION UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECAR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS

Sincelejo, 2007

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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

METODOLOGÍA

COMPETENCIA

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTO DE LOS NATURALES

CONJUNTOS DE LOS NUMERO ENTEROS

CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES

CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS REALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

DIAGRAMA DE LA RECTA NUMÉRICA

OPERACIONES CON EL CERO

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

EXPONENTES ENTEROS Y RACIONALES

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

AUTO EVALUACIÓN No.1

2. ECUACIONES POLI NÓMICAS

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

3

ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS

APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA QUÍMICA

ECUACIONES CUADRÁTICA EN UNA VARIABLES

AUTOEVALUACION No. 2

3. FUNCIONES Y GRAFICAS

CONCEPTO DE FUSIÓN

DEFERENTES REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN

GRAFICA DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES LINEALES

FORMA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

APLICACIONES

GRAFICA DE FUNCIONES LÍNEAS DE OFERTA Y DEMANDA

FUNCIONES CUADRÁTICA

AUTO EVALUACIÓN No. 3

4. VARIACIONES

MAGNITUDES INVERSA Y DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

REGLA DE TRES

PORCENTAJES

PROBLEMA DE APLICACIÓN

AUTOEVALUACION 4

5. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

4

LOGARITMOS

OPERACIÓN CONNOTACIÓN CIENTÍFICA

LOGARITMOS DECIMALES

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS DECIMALES

ANTILOGARITMOS

LOGARITMOS NATURALES Y SUS PROPIEDADES

APLICACIONES


6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL

REGLA PARA LA DERIVACIÓN

APLICACIONES


BIBLIOGRAFÍA.

5

INTRODUCCIÓN.

Básicamente la matemática es el lenguaje universal y también una técnica

cuyas implicaciones garantizan resultados precisos, por lo cual ha hecho

posible el desarrollo de la ciencia y la tecnología.

Así, pues, para que las matemáticas sea de utilidad para el estudiante de

CIANCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS este debe adquirir la

comprensión de los conceptos de la misma, de tal forma que pueda

manipularlos y ponerlos a su servicio; es por esto que el presente modulo

ratifica la importancia de ver las matemáticas mas como un lenguaje semántico

que sintáctico, presentando en cada unidad las respectivas aplicaciones de los

conceptos en situaciones del contexto del estudiante.

6

OBJETIVOS.

OBJETIVO GENERAL DEL MODULO.

Posibilitar el desarrollo de competencias Matemáticas en el estudiante que le

permita solucionar problemas de su área profesional y de otras asignaturas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Aplicar las propiedades de los números reales en la solución de ejercicios.

Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable utilizando diferentes

métodos.

Plantear problemas de aplicación lineal y cuadrática.

Aplicar el concepto y las propiedades de las proporciones en la resolución de

problemas.

Resolver problemas de aplicación en modelos de crecimiento y decrecimiento

exponencial.

Usar el concepto de derivada en la solución de problemas de aplicación.

7

METODOLOGÍA.

Al iniciar cada capitulo se presentan los objetivos generales, específicos y las

competencias que sirven tanto al docente como al estudiante para saber que

punto debe alcanzar al finalizar la unidad.

Se presenta la parte de conceptos, y los ejemplos se dividen en una parte

algorítmicas y la otra en ejemplos de aplicación, procurando así la motivación

del estudiante.

Por ultimo se presentan una por unidad auto- evaluación que se pretende sea

resuelta con lo que el estudiante comprendió de los conceptos de cada unidad.

8

COMPETENCIAS.

Enuncia características de los diferentes conjuntos numéricos.

Identifica métodos para resolver ecuaciones lineales en una variable, dos

variables y ecuaciones cuadráticas.

Propone alternativas para modelar y resolver situaciones del contexto

mediante ecuaciones.

Usa las diferentes representaciones de una función.

Relaciona los conceptos de función lineal con los de oferta y demanda.

Realiza graficas de rectas y parábolas.

Analiza la importancia del concepto de proporción al resolver situaciones

problemas que involucran regla de tres y porcentajes.

Resuelve problemas relacionados con la química y otras ciencias aplicando

las propiedades de la función exponencial y logarítmica

Usa el concepto de derivada para resolver problemas de administración.

9

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

OBJETIVO GENERALES:

Clasificar un número en el conjunto al que pertenece según sus

características.

Usar las propiedades de los exponentes para efectuar operaciones y

simplificar expresiones con exponentes enteros o fraccionarios.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Identificar un número como entero, racional o irracional.

Representar geométricamente los números reales.

Realizar las cuatro operaciones aritméticas entre un numero real y el

numero cero.

Usar las propiedades de los exponentes para simplificar fracciones.

Simplificar expresiones expresando radicales como exponentes

fraccionarios y viceversa.

COMPETENCIAS:

Enuncia diferencias entre los conjuntos numéricos

propone formas de simplificar expresiones a partir de las

propiedades de los exponentes.

Aplica las propiedades de los números reales en la solución de

ejercicios.

Justifica los procedimientos al realizar operaciones aritméticas.

10

Los conjuntos numéricos son muy útiles para resolver problemas de la vida

cotidiana, de allí la importancia de su estudio.

Para una mejor comprensión de los mismos es conveniente hacer una

clasificación de los diferentes tipos de números que se utilizaran en todo el

modulo.

Los números naturales

Los números que usamos para contar son los números naturales. Se obtienen al

añadir una unidad al número anterior; el primer número es el 1, pero el último no

tiene fin.

Representación de los números naturales sobre una recta

Podemos representar sobre una recta los números naturales, para lo cual

elegimos la distancia entre el 1 y el 2, y la llevamos a lo largo de dicha recta hasta

alcanzar el número que deseemos representar.

A esa recta la llamamos la recta numérica.

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…

Los números naturales forman un conjunto que representamos con la letra N.

Observa que en este conjunto N no se encuentra el cero (0) ni los números

negativos: no forman parte de los números naturales.

11

Orden de los números naturales

Un número natural es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está

situado más a la derecha sobre la recta numérica.

Por ejemplo, 5 > 3, 12 > 7 y 15 > 11:

De la misma forma, un número natural es menor que otro (símbolo <) si está

situado más a la izquierda sobre la recta numérica.

Por ejemplo, con las mismas parejas de números anteriores, podemos escribir 3 <

5; 7 < 12 y 11 < 15:

Conjunto de los números enteros.

Después de utilizarse los números naturales y de realizar operaciones con ellos se

ve la necesidad de trabajar con otras cantidades al intentar resolver los siguientes

interrogantes ¿Cómo indicar temperaturas bajo cero por ejemplo Estamos a 5

grados bajo cero: - 5 ºC?, ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra

La mina está a 80 metros de profundidad: - 80 m.?, ¿como expresar que se debe

algo ?, ¿Cómo resolver operaciones como 100 - 200?; cuya solución no se

encuentra en el conjunto de los números naturales.

De esta forma surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales,

surgiendo de esta manera el conjunto de los enteros

Los números enteros son:

Z = …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …,

12

Los enteros positivos (o números naturales): +1, +2, +3, +4, +5...

El 0, que no es ni positivo ni negativo.

Los negativos de los naturales: -1, -2, -3, -4, -5...

Representación de los números enteros sobre una recta

Se representan sobre una recta, llamada recta numérica, así:

El cero en mitad de la recta, los enteros negativos a la izquierda del cero y los

enteros positivos a su derecha. Normalmente no escribimos el signo + que

precede a los enteros positivos.

Orden de los números enteros.

Un número entero es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está

situado más a la derecha sobre la recta numérica.

Por ejemplo, 5 > 3; 5 > -1; -1 > -3:

De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está

situado a la izquierda sobre la recta numérica.

Por ejemplo, 2 < 4; -7 < -1; -3 < 0:

13

Antecesor, sucesor, y números enteros consecutivos.

Sea n un entero, entonces su antecesor es n – 1 y su sucesor es n + 1. se dice

que los números n y n + 1 son enteros consecutivos .

RELACIÓN DE ORDEN

Sean a y b números enteros entonces:

a > b si y solo si a – b > 0

a < b si y solo si a – b < 0

a b si y solo si a >b o a = b

a b si y solo si a < b o a = b

El conjunto de los números racionales.

Con los números enteros podemos contar cantidades exactas: 2 kilogramos de

carne, 1 metro de altura, -3 °C..., pero no podemos contar cantidades que

representen partes de la unidad, como 2,5 kilogramos de fruta, 1,52 metros de

altura o 18,3 ºC de alli la necesidad del hombre de crear un conjunto numérico

que sirviera para representar una parte de una cantidad entera.

El conjunto de los números racionales esta formado por todos aquellos números

que se pueden escribir en la forma a / b tales que a, b pertenecen a Z y b es

diferente de cero. Este conjunto se simboliza por

Q = a / b : a Z y b Z y b 0

Ejemplos:

6/7, 5/11, 11/23 son racionales positivos

14

-6/7, 5/-11, -11/23 son racionales negativos

3 es un numero racional porque 3 = 3 / 1

En general, cualquier numero entero a es un numero racional, porque n = n / 1

En particular, 0 es racional.

Relación de igualdad.

a / b = c / d si y solo si ad = bc

Relación de orden.

> si y solo si ad > bc y < si y solo si ad < bc.

Relación entre los racionales y los decimales

A continuación se enuncian unos teoremas que muestran dicha relación.

Teorema1.

Todo número racional tiene representación decimal.

Ejemplo: 3 / 4 = 0,75.

Teorema2.

Todo número real cuya representación decimal es finita, o presenta un periodo,

tiene representación fraccionaria.

Ejemplo.

0.625 = 625 / 1000 = 5 / 8

0.2727… = 0.27 = 27 / 99 = 3 / 27.

15

Teorema3.

Todo número real cuya representación decimal no cumple con lo anterior, no es

racional.

Operaciones de números racionales.

Sean a, b, c y d, con b y d diferentes de cero.

SUMA.

=

MULTIPLICACIÓN

=

DIVISION

El conjunto de los números irracionales.

El anterior teorema nos induce a pesar que existe otro conjunto numérico diferente

a los racionales dicho conjunto estaría formado por todos aquellos números que

NO se pueden escribir como el cociente de dos enteros, es decir, un número

irracional es aquel que no es racional.

También puedes pensar en definir los números irracionales como aquellos cuya

expresión decimal es infinita no periódica.

16

Al revisar la historia encontramos que en la época en que se construyeron los

números racionales, se creyó que estos eran suficientes para representar o medir

cualquier distancia. Pero al tratar de encontrar la diagonal de un cuadrado

apareció un número que no era racional.

Para que comprendas el procedimiento de hallar la medida de la diagonal de un

cuadrado recuerda el famoso teorema de Pitágoras.

“en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos”

También debes tener en cuenta que al trazar una diagonal a un cuadrado se forman dos triángulos

rectángulos.

D2 = 12 + 12

D2 = 2

D =

De donde se tiene que la diagonal de un cuadrado de lado 1 es 2 y se ha

demostrado que este numero no es un racional. Mas aun se concluye que si la

raíz de un entero positivo no es exacta, no puede ser racional.

17

Por ejemplo 3, 5, 6, 10…

Varios números interesantes no son racionales el número cuyo valor es

3,141592653589793… y que resulta de dividir la circunferencia de cualquier

círculo por su diámetro.

Ya conocemos varios números irracionales y a partir de estos podemos formar

otros.

Ejemplo.

e 2.7182 (es la base de los logaritmos naturales)

3, 5, 6, 10 son irracionales positivos

- 3, -5, -6, -10 son irracionales negativos.

3/2 es un irracional ya que si no fuera irracional seria racional y para que

fueras racional debería expresarse como el cociente de dos enteros y observe

que se ha afirmado que 3 es un irracional.

Observe que todo racional es una fracción. Por ejemplo 2/5 es una fracción. Pero

no toda fracción es un número racional. En efecto 3/2 es una fracción pero no es

racional.

Definición de fracción.

Una fracción es un numero de la forma a / b, con a y b números cualquier clase,

pero, b diferente de cero.

Números reales.

El conjunto de los números reales esta formado por los números racionales unidos

con los irracionales.

18

Un número real es un número que se puede representar por una expresión

decimal infinito.

Un número real puede tener muchas formas de representación. Por ejemplo,

podemos escribir 8 de varias maneras:

VIII, 24 / 3 8.000, 10 - 2

El numero racional que generalmente se expresa como 1 / 2

Se puede representar también por:

4 / 8, 8 / 16, 0.5, , ¼ + ¼ , ( )2 ,

Para escribir un numero real se suele utilizar la forma “mas sencilla” (8 y 1 / 2 en

los ejemplos anteriores). Solo que en ciertas circunstancias es conveniente usar

otras representaciones.

Por ejemplo si vamos a sumar + 1 podemos expresar el 1 =

Para obtener fracciones homogéneas + 1 = +

=

Recuerde que para sumar fracciones homogéneas se suman los numeradores y

se deja el mismo denominador.

Esta unidad trata las propiedades básicas de las operaciones entre números

reales y las representaciones graficas de los mismos en la recta numérica.

19

Propiedades de los números reales.

En esta parte describiremos las propiedades aritméticas de los números reales

basándonos en las propiedades de la adición y de la multiplicación, derivando de

ellas las propiedades de la sustracción y la división.

P1: son operaciones binarias

P2. Son conmutativas: a + b = b + a, a b = b a

P3. Son asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

P4. El cero es el neutro de la suma. Para todo a R, a + 0 = 0 + a = a

P5. El uno es el neutro del producto para todo a R, a (1) = 1 (a) = a

P6. Todo numero real tiene inverso aditivo para todo a, existe – a, tal que

a + (- a) = (- a) + a = 0.

P7. Todo numero real diferente de cero tiene inverso multiplicativo.

Para todo a 0, existe a-1 , tal que (a) (a-1) = (a-1 ) (a) = 1.

P8. Distributiva: a (b + c) = a b + a c

P9. Ley de tricotomía: si a R, entonces se cumple una y solo una, de las

siguientes proposiciones:

a > 0

-a > 0

a = 0

20

Valor absoluto.

Para cualquier número real a, se define su valor absoluto como sigue:

= a; si a 0, - a; si a < 0.

Esto significa que el valor absoluto de un numero, siempre es un numero positivo, salvo en el caso del cero cuyo valor absoluto es cero.

Teorema sobre los números reales.

Si a, b y c representan números reales, y si a = b, entonces:

Teorema1.

1. a + c = b + c

2. a – c = b – c

3. a c = b c

4. a / c = b / d, si c 0

Teorema 2.

Para todo numero real a, a x 0 = 0

Teorema 3.

Si a y b son números reales, y a x b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Teorema 4.

Para todo numero real a, (-1) a = - a

Teorema 5.

21

Si a y b son números reales, entonces (-a) (-b) = a b

Teorema 6.

Si a, b y c son números reales, y a b = c, con a 0, entonces b = (1 / a) c = c /

a

Teorema 7.

Si a, b y c son números reales, y a c = b c, con c 0 entonces a = b

REGLAS IMPORTANTES PARA RESOLVER OPERACIONES ARITMÉTICAS.

Regla de los signos.

1. para la suma.

Para sumar dos números del mismo signo se realiza la operación y se coloca

el signo de ambos.

Ejemplo.

3 + 2 = +5

-3 + (-2) = -5

Para sumar dos números de diferentes signos se realiza una resta y se coloca

el signo de número de mayor valor absoluto.

Ejemplo.

-8 + 5 = - 3

7 + (-9) = - 2

22

-20 + 30 = 10 cuando el resultado es un número positivo no se acostumbra a

colocarle el signo.

2. Para la multiplicación.

De igual signo el resultado siempre es positivo

2 * 4 = 8

-2 * -4 = 8

De diferente signo el resultado siempre es negativo.

-5 * 2 = - 10

15 * -4 = - 60

En síntesis:

+ * + = +

- * - = +

- * + = -

+ * - = -

Orden en los reales.

Existe una ordenación para el conjunto R1 por medio de una relación denotada

por el símbolo < (“menor que”) y otra por > (“mayor que”), las cuales se definen

como sigue:

a < b Significa b - a es positivo

23

a > b significa que a – b es positivo

Ejemplo ilustrativo 1: 3 < 5 por que 5 - 3 = 2 y 2 es positivo

- 10 < -6 porque – 6 – (-10) = 4 y 4 es un número positivo

-2 > -7 ya que – 2 – (7) = 5 y 5 es un número positivo

3/4 > 2/3 porque 3/4 - 2/3 = 1/12 y 1/12 es positivo

El símbolo ≤ (“menor que o igual a”) y el símbolo ≥ (“mayor que o igual a”) se

define como sigue:

a ≤ b si y solo si a < b o bien a = b

a ≥ b si y solo si a > b o bien a = b

Los enunciados a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades. En

particular, a < b y a>b se denominan desigualdades estrictas, en tanto que a ≤ b y a ≥ b se conocen como desigualdades no estrictas.

Ahora se considerarán los pares ordenados de números reales. Cualesquiera

dos números reales forman un par y cuando se especifica el orden de los

números reales del par se le denomina par ordenado de números reales. Si x

es el primer número real y Y el segundo, se denota este par ordenado mediante

su escritura entre paréntesis con una coma que separa los números (x,y).

Obsérvese que el par ordenado (3,7) es así diferente del par ordenado (7,3).

El conjunto de los números reales se denota por R1. Este conjunto puede ser

representado geométricamente como un punto sobre una recta horizontal

denominada eje de la recta real

24

DIAGRAMA DE RECTA NUMÉRICA

Se elije un punto sobre el eje para representar el número 0 a este punto se le

conoce como Origen. Se selecciona una unidad de distancia. Luego cada

número positivo X se representa mediante un punto situado a una distancia de X

unidades a la derecha del origen, y cada número negativo X se representa por

un punto a una distancia de X unidades a la izquierda del origen (debe

observarse que si X es negativo, entonces –X es positivo). A cada número real

le corresponde un punto sobre el eje, y para cada punto sobre el eje existe solo

un número real; se dice entonces que existe una correspondencia biunívoca (o de

uno a uno) entre el conjunto de los números reales y los puntos sobre el eje. De

este modo los puntos sobre el eje se identifican con los números que representan

y se emplea el mismo símbolo, tanto para el número como para el punto sobre el

eje X que corresponde al número. Se identificará R1 con el eje considerado y se

denominará a R1 recta numérica real.

El Conjunto de todos los pares ordenados de todos los números reales se

denomina plano numérico y cada par ordenado (x, y) se conoce como punto del plano numérico. El plano numérico se denota por R2. Al igual que R1 puede

identificarse con puntos sobre un eje (un espacio unidimensional), R 2 puede

identificarse como puntos en un plano (un espacio bidimensional). El método que

se utiliza con R2 es el que se le atribuye al matemático francés Rene Descartes

a quien se reconoce como el creador de la geometría analítica en el año de 1637.

Se elije ahora una recta horizontal en el plano y se le denomina eje x. Se escoge

una recta vertical y se llama eje y. El punto de intersección de los ejes x y y se

conoce como origen y se denota por la letra O. Se elige una unidad de longitud

(por lo general, la longitud de una unidad en cada eje es la misma). Se establece

25

el sentido positivo del eje x hacia la derecha del origen, y el sentido positivo del

eje hacia arriba del origen, tal como lo muestra la siguiente figura

Figura

Ahora se asocia un par ordenado de números reales (x, y) a punto P en el plano

como lo muestra la figura). La distancia de P desde el eje y (considerada como

positiva si P se encuentra a la derecha del eje y y negativa si P se halla a la

izquierda del eje y) se denomina abscisa (o coordenada x) de P y se denota por

x. La distancia de P desde el eje x (considerada como positiva si P se encuentra

arriba del eje x y negativa si P se halla abajo del eje x) se denomina ordenada (o

coordenada y) de P y se denota por y. La abscisa y la ordenada de un punto se

conocen como coordenadas cartesianas rectangulares del punto. Existe una

correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y R2; es decir, a cada punto

le corresponde un par ordenada único (x,y) , y para cada par ordenado (x,y)

existe un solo punto asociado. Esta correspondencia biunívoca se denomina

sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.

26

Figura

Los ejes x y y se llaman ejes coordenados. Dividen al plano en cuatro partes,

denominadas cuadrantes. El primer cuadrante es aquel en el que la abscisa y

la ordenada son ambas positivas, es decir, el cuadrante superior derecho. Los

otros cuadrantes se numeran en sentido contrario al de el reloj, siendo así el

cuarto por ejemplo, el cuadrante inferior derecho (Fig).

Debido a la correspondencia de uno a uno, R2 se identifica con el plano, y por

esta razón un par ordenado (x,y) se denomina punto. De manera semejante, se

designa una línea en R2 como el conjunto de todos los puntos que corresponden a

la línea en el plano; se emplean así otros términos geométricos para conjuntos de

puntos en R2

Ejemplo 1 graficar los puntos (-6, 0), (-8, -6) , (-4, 5), (0, -4), (1, 2), (9,7-) y (8,5).

Solución: La figura muestra un sistema de coordenadas cartesianas

rectangulares en el que se ubican los puntos dados.

27

Figura Nº

Existe otro conjunto numérico el cual no es de mucho interés para este curso. Se

tratas de los números Complejos, los cuales garantizan la existencia de raíces

cuadradas de números negativos.

-4, --9, -16

Las raíces cuadradas de estos números no puede ser un numero real ya que de

acuerdo a la ley de los signos no existe ningún numero que al multiplicarlo por

asimismo de cómo resultado un numero negativo.

Operaciones con el cero

28

Al realizar las cuatro operaciones básicas con el cero es muy común que exista

cierta dificultad al realizar divisiones, mostramos en forma general las operaciones

con el cero y sus resultados. (Recuerde la propiedad 7 de los números reales).

a + 0 = a 0 + a = a

a – 0 = a 0 – a = - a

a (0) = 0 0 (a) = 0

en contraste, al efectuar divisiones que incluyen el cero se debe tener un poco

mas de cuidado.

0 5 = 0 por que 0 (5) = 0

5 0 = ?. Debemos encontrar un número que al multiplicarlo por cero sea igual

a cinco. Y sabemos que todo número multiplicado por cero es igual a cero. a (0)

= 0

Este resultado esta soportado en la propiedad 7 de los números reales en la cual

se afirma que todo numero real excepto el cero tiene inverso multiplicativo.

Por ejemplo. 4 su inverso multiplicativo es 1 / 5 porque 5 x 1 / 5 = 1

2 /3 su inverso multiplicativo es 3 / 2 porque 2 / 3 x 3 / 2 = 1

0 0 =? como cualquier numero que se multiplique por cero es igual a cero,

entonces esta división no tendría una única respuesta, sino infinitas.

Por lo cual debe quedarle claro que la división entre cero no esta definida.

Entonces nunca divida por cero.

Propiedades de los exponentes: exponentes negativos y fraccionarios, radicales.

29

Exponentes enteros positivos.

an = a x a x a x a … a

Ejemplo: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 distinto de 3 x 4 = 12 (es un error muy

frecuente)

Propiedades de los exponentes:

1. an x am = an+m

Ejemplo: y4 y3 = y7 = y y y y y y y

(-3)5 (-3)-2 = (-3)5-2

= (-3)3

= (-3) (-3) (-3)

= - 27

2. (am)n = amn

Ejemplo: 2 = (-2)(3)(2) = (-2)6

= (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2)

= 64

3. (a b)n = an bn

30

Ejemplo: (3xy)3 = (3)3 x3y3

= 27 x3 y3.

4. , b 0

Ejemplo: = =

5. = para m > n

Ejemplo. = x6-4 = x2

= para n > m

Ejemplo: = =

Exponente cero y exponente negativo

Definición1: X0 = 1

Ejemplo: m5 m0 = m5+0 = m5

X3 + X0 = X3+0 = X3

31

Ejemplo: = = = 1

Evidentemente la multiplicar por cualquier número elevado a cero no altera las

expresiones; es como si se multiplicará por 1.

Definicion2. = , para a 0 corresponde a la propiedad 7 para los reales.

=

Luego en términos generales, podemos definir los exponentes enteros negativos

de la siguiente forma:

Si a es un número real distinto de cero y n es un entero positivo se tiene que:

=

Por ejemplo, si tenemos.

= = = = 8 aplicando la definición.

Ahora bien se puede invertir la expresión y elevarla al mismo exponente pero con

signo positivo.

32

Así: = 23 = 8 (recuerda que todo numero dividido entre 1 es igual al

numero así = 2 )

Ejemplo. El siguiente ejercicio reúne varias de las anteriores propiedades.

= =

=

Exponentes racionales.

Una expresión de la forma , con R+, se puede representar así:

se lee raíz n-ésima de a

En donde n: se llama índice de la raíz.

: Cantidad subradical.

: Símbolo radical.

= , R+

33

Ejemplo: = = 2; por que 25 = 32

Propiedades de los radicales:

1. = = =

=

2. =

3. =

4. =

5. si , entonces =

Ejemplos:

a) = = -3

b) = = = 4

c) = = =

34

d) 9 =

= 24 = 24 (3ab)

= 72ab

Auto- evaluación No. 1.

1. Escriba en el espacio indicado al final de cada expresión una V o una F,

según la verdad o falsedad de cada expresión.

35

a) 1000 es un numero racional _______

b) Todo racional es una fracción ______

c) Toda fracción es un numero es un numero racional _____

d) = 3 ____

e) es un numero racional ______

f) es un irracional _______

g) 20 0 = 0

h) 0 0 = 1

i) 0 2 = 2

2. a) ¿Por qué la sustracción y la división no son conmutativa en los números

reales? De un contraejemplo.

b) ¿porqué no es la sustracción una operación binaria en el conjunto de los

naturales? De un contraejemplo. Nombre un conjunto en el si sea una

operación binaria.

c) Haga un ejemplo numérico de cada uno de los Teoremas sobre los

números reales.

d) Represente sobre una misma recta numérica los siguientes números:

, , , ,

e) Grafique en el plano cartesiano los siguientes puntos.

P1: (-1, 1), P2: (1, -1), P3: (5, 0), P4: (0, -3), P5: ( , )

f) Grafique el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos:

P1: (-3, 5), P2: (4, 2), P3: (3, -2)

36

g) Grafique el rectángulo cuyos vértices son los puntos:

P1: (-3, 8), P2: (-7, 4), P3: (5, -7) P4: (9, -3),

3. resuelva:

a)

b) + +

c) (-4)-2

4. Simplifique dando sus respuestas sin exponentes negativos

a)

b)

c)

d)

5) simplifique

a)

b)

37

c)

d)

2. ECUACIONES POLI NÓMICAS.

OBJETIVO GENERALES:

Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable utilizando

diferentes métodos.

38

Aplicar los conceptos sobre ecuaciones en la representación y solución de

problemas del entorno del estudiante.


Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable por factorizacion

y por la formula general.

Solucionar ecuaciones con dos variables aplicando los métodos de suma y

resta, igualación y sustitución.

Utilizar las ecuaciones para presentar y solucionar situaciones del contexto

del estudiante.

COMPETENCIAS:

identifica y soluciona una ecuación lineal

modela y resuelve situaciones problemas de aplicación de ecuaciones

lineales en una variable y sistemas ecuaciones lineales 2x2.

Traduce a un lenguaje matemático situaciones de su contexto, y propone

alternativas de solución.

En la presente unidad nos dedicaremos al estudio de las ecuaciones más

sencillas. Las ecuaciones lineales y las cuadráticas. Estas pueden contener

una o más incógnitas. Para una mejor comprensión de los conceptos primero

abordaremos Las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas

seguidamente las ecuaciones lineales con dos incógnitas y la interpretación

grafica de las mismas, al introducir el concepto de función lineal.

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

39

Una ecuación lineal en una variable tiene la forma corriente de:

ax + b = 0

Donde a y b son números reales y a 0.

Ejemplo: 2x + 1 = 5

3x – 4 = 10x + 2

Grado de una ecuación: el grado de una ecuación con una sola incógnita es el

mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.

Ejemplo: La ecuación 3x – 4 = 10x + 2

Es lineal o de primer grado por que el mayor exponente de x es 1.

En una ecuación aparte de las incógnitas se involucran otros términos como son

Miembro: se llama primer miembro de una ecuación a la expresión que esta a la

izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que esta a la

derecha.

Así en la ecuación 4x – 5 = 3x +2

4x – 5 es el primer miembro y 3x + 2 es el segundo miembro

Término: son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el

signo + o - , o la cantidad que está sola en un miembro.

Ejemplo: en la ecuación 4x – 5 = 3x +2

Los términos son 4x, -5, 3x y 2

En la ecuación 8x = 7x + 3

Los términos son 8x, 7x y 3

Raíces o Soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que

verifican o satisfacen la ecuación; es decir que al sustituirla en lugar de las

incógnitas conviertan la ecuación en una identidad.

40

Ejemplo en la ecuación 5x – 2 = 4x + 3, la raíz o solución es 5 porque haciendo x

= 5 se tiene:

5(5) – 2 = 4(5) + 3

25 – 2 = 20 + 3

23 = 23

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.

Reglas para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.1. se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

2. se busca dejar los términos que contienen a la incógnita en un solo lado de

la ecuación y los términos independientes en el otro. Para esto se opera

sobre la ecuación ya sea sumando y restando las mismas cantidades o bien

trasladando de un miembro a otro cualquier expresión realizando la

operación contraria a la inicial, así: si esta sumando, pasa a restar; si esta

restando, pasa a sumar; si esta multiplicando, pasa a dividir y si esta

dividiendo, pasa a multiplicar.

3. se reducen términos semejantes en cada miembro.

4. se despeja la incógnita o la variable buscada, es decir se deja con

coeficiente uno.

5. Recuerda que una incógnita esta despejada cuando queda sola y positiva.

Ejemplos: resolver las siguientes ecuaciones.

1) 5x = 8x – 15

2) 11x + 5x – 13 = 65x + 36

3) =

41

La ecuación numero 1 se resuelve así teniendo en cuenta la regla general

5x – 8x = -15

-3x = -15

X =

X = 5

Verificación 5 (5) – 8(5) = -15

25 – 40 = -15

-15 = - 15

La ecuación 2) 11x + 5x - 13 = 65x + 36

Se resuelve así.

16x – 65x = 36 + 13

- 49x = 49

X =

X = - 1

Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación y productos

indicados.

Ejemplos.

1) 15x – 10 = 6x – (x +2) + (- x + 3)

15x – 10 = 6x –x – 2 – x + 3

15x – 10 = 4x + 1

15x – 4x = 1 + 10

11x = 11

X =

X = 1

42

2) 5 (x - 1) + 16 (2x + 3) = 3 (2x - 7) - x

5x – 5 +32x + 48 = 6x – 21 – x

37x +43 = 5x – 21

37x – 5x = - 21 – 43

32x = - 64

X =

X = 2

c) =

Recordamos la igualdad de dos fracciones = si y solo si

Luego, 5 (x + 1) = 3 (3 – 2x)

5x +5 = 9 - 6x

5x + 6x = 9 - 5

11x = 4

X =

ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS.

La expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables,

es:

A11 X + A12 Y = K1

A21 X + A22 Y = K2

Donde A11, A12, A21 y A22 son los coeficientes de las variables y pertenecen a los

reales, y K1, K2 son los términos independientes y también son números reales.

A estos sistemas normalmente se conocen como sistemas 2 x 2. Pues tienen dos

ecuaciones y dos incógnitas.

Por ejemplo:

2x + 4y = 5

-x + 2y = 3

43

Los valores de las variables, que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones

se denominan soluciones o conjunto solución del sistema, es decir, transforman la

ecuación en una expresión verdadera.

Además como ecuación lineal representa una función lineal (recta) en el plano, el

conjunto polución del sistema consiste de los puntos de intersección de las dos

rectas.

Se dan a continuación varios métodos para resolver tales sistemas.

a). Solución por resta o suma (eliminación)Resolvamos el ejemplo anterior.

2x + 4y = 5. ec.1

-x + 2y = 3. ec.2

La idea con este método es eliminar una de las dos incógnitas; para esto, la

variable que se va a eliminar debe tener los mismos coeficientes con signos

contrarios, si se va a eliminar x en el ejemplo vemos que en la ec.1 su coeficiente

es 2 (2x) y en la ec.2 su coeficiente es -1 (-x), luego para poder eliminar x se debe

multiplicar toda la ec.2 por 2.

2 por (ec.2) 2 (-x + 2y = 3.) = -2x + 4y = 6

2x + 4y = 5.

-2x + 4y = 6

8y = 11

Y =

Ahora reemplazamos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones parta asi

obtener el valor de x.

Escogemos la ec.1: 2x + 4y = 5. ec.1

44

2x + 4 ( ) = 5 2x + = 5

2x = 5 -

2x = -

x = -

Luego la solución es el punto: (- , )

Observe que la solución es la pareja: (- , ), y gráficamente es el punto donde se

intersecan o se cortan las dos rectas. Por lo cual podemos concluir que el sistema

es consistente y tiene una única solución.

b) solución por sustitución.

Si tenemos un sistema cualquiera por ejemplo:

x + 3y = 2 E1

2x + 6y = 4 E2

Se despeja una variable una de las dos variables en una de las dos ecuaciones ya

sea E1 o E2, para este caso escogemos

La variable x en E1

Así x + 3y = 2 x = 2 – 3y

Luego este valor lo sustituyo en la otra ecuación E2

E2: 2x + 6y = 4 2(2 – 3y) + 6y = 4

4 – 6y + 6y = 4

4 + 0 = 4

4 = 4

45

Observe que a diferencia del otro sistema donde encontramos un valor para x y

para y aquí llegamos a una expresión que siempre es verdadera. Cuando esto

ocurre se concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.

Al realizar la representación grafica encontramos que las rectas coinciden es decir

que ambas ecuaciones representan la misma recta.

Si detalla bien el sistema se dará cuenta que la segunda ecuación (E2) resulta de

multiplicar la ecuación E1 por 2. Lo cual quiere decir que una es múltiplo de la

otra. A estos sistemas se le llama sistemas consistentes dependientes.

c) solución por igualación.

Halle la solución del siguiente sistema:

3x - 9y = 12 E1

-x + 3y 4 E2

El método de igualación es uno de los mas usados en economía cuando se quiere

hallar puntos de equilibrio, consiste en escoger una de las dos variables ya sea x

o y para despejarla en ambas ecuaciones. Luego de estar despajada la variable se

igualan obteniendo un valor para la otra variable que no se despejo. Puede ocurrir

que no se obtenga un valor si no que mas bien se llegue a una expresión falsa

por ejemplo 2 = 5 esta expresión siempre es falsa si esto ocurre quiere decir que

el sistema es inconsistente, es decir no tiene solución y al representarlo

gráficamente da como resultado rectas paralelas.

Siguiendo los pasos indicados tenemos:

Escogencia de la variable en este caso escogemos a y.

De E1 (3x - 9y = 12) -9y = 12 -3x

y = E3

De E2 (-x + 3y 4) 3y = 4 + x E4

46

y =

Igualando y = y (E3 = E4)

= =

Resolviendo: 3(12 – 3x) = -9(4 + x)

36 – 9x = -36 - 9x

- 9x + 9x = -36 - 36

0 = -72 (falso)

Luego el sistema es inconsistente, no tiene solución.

Aplicaciones a la Administración y la Química.A continuación se dan algunos conceptos básicos sobre administración y química,

los cuales están estrechamente relacionados con las ecuaciones lineales.

Ingreso: denotado I, obtenido al vender x artículos a p precio es I = xp

Costo total = costo fijo + costo variable

CT = CF + CV.

Donde el costo variable depende del numero de artículos que se

produzcan (mano de obra, materia prima), mientras que los costos fijos

permanecen constantes, independientes de las unidades producidas

(arriendo, salario básico, etc.)

Utilidad: es la diferencia entre los ingresos totales recibidos I (x), y los

costos totales causados C.

U(x) = I(x) – C(x).

Punto de equilibrio: se define punto de equilibrio del mercado como aquel

en el que la oferta es igual a la demanda.

47

A continuación se dan algunas formulas químicas que son de mucha

importancia para su estudio y con la ayuda de conceptos Matemáticos se

logra un mayor manejo de las mismas.

D =

Porcentaje peso peso (%p/p): %p/p = x 100.

Masa de solución: masa de soluto + masa de solvente.

0F= 1.8 0C + 32 ; ( como 1.8 = ) 0F = 0C + 32

0K = 0C + 273.15

0R = 0F + 460

Ejemplo1.La empresa regentes exitosos tiene 2772 unidades de medicina natural en

bodega, del cual vende diariamente 84 unidades.

a) encuentre una ecuación que relaciones el numero de artículos en bodega,

en términos del numero de días de venta.

b) Para realizar los pedidos de reposición la empresa tiene como política,

hacerlos cuando le queden del producto 672 artículos. ¿En cuantos días

deberá hacer un nuevo pedido?

Solución:

a) Sea x el numero de días de venta, y sea y el numero unidades de

medicina natural en bodega; entonces,

y = 2772 – 84x

b) si y = 672

672 = 2772 – 84x

84x = 2772 - 672

84x = 2100

48

X =

X = 25

Luego tendría que realizar el pedido al pasar 25 días.

Ejemplo2: los laboratorios “RE” producen semanalmente 300 unidades de

medicamentos que venden al doble del costo menos $180. ¿Cuánto es el costo de

producir cada unidad de medicamento si sus utilidades son de $ 64 000?

Sea x el costo de producir una unidad de medicamento, luego:

I (x) = 300 (2x - 180)

= 600x - 54 000

C(x) = 300x

Como Utilidad = I(x) – C(x),

U = (600x - 54 000) - 300x

64 000 = 600x – 54 000 -300x (como U = 64 000 )

64 000 + 54 000 = 300x

X = = 393. 333

El costo de producir cada unidad de medicamento es $ 393.333

Ejemplo3: las curvas de oferta y demanda están dadas por:

P = 2q + 150 y P = - 3q + 100 respectivamente.

Halle el punto de equilibrio para la oferta y la demanda.

Solución:

Usando la definición de punto de equilibrio, igualamos las dos ecuaciones.

P = P

2q + 150 = - 3q + 100

49

Empleando el método de igualación para resolver sistemas 2x2.

2q + 3q = 100 + 150

5q = 250

q. =

q = 50

Reemplazamos q = 50 en cualquiera de las dos ecuaciones.

P = 2q + 150

P = 2(50) + 150

P = 100 + 150

P = 250

A un precio de 250 los consumidores compraran 50 unidades del

producto. Que corresponde al mismo número de unidades de producto

que el fabricante está dispuesto a vender a un precio de 250.

Ejemplo4: porcentaje peso peso.Se desea preparar 260 gramos de solución 13% p/p de Na2CO3, a partir del

reactivo del laboratorio.

Se debe calcular la cantidad de reactivo que se debe pesar en la balanza.

Vale aclarar que 13% p/p significa 13g de soluto en 100g de solución.

Como sabemos que:

Porcentaje peso peso (%p/p): %p/p = x 100

Vemos que tenemos una ecuación con tres variables de las cuales conocemos

dos.

% p/p = 13 gr. soluto/ gr. Solución

Masa de solución = 260gr solución.

50

Masa de soluto = ?

De la formula anterior se despeja Masa de soluto

Así: (%p/p) (masa de solución) = (masa de soluto) x 100

(Masa de soluto) x 100 = (%p/p) (masa de solución)

Masa de soluto =

Masa de soluto =

Masa de soluto = 33.8gr de Na2CO3,

33.8gr de Na2CO3 es la cantidad de soluto que se debe pesar en la balanza.

Ahora necesitamos saber la masa del solvente necesario para preparar 260 gr. de

solución.

Usamos la formula: Masa de solución: masa de soluto + masa de solvente

Despejamos masa de solvente.

Masa de solución – masa de soluto = masa de solvente

Masa de solvente = Masa de solución – masa de soluto

Masa de solvente = 260gr – 33.8gr.

Masa de solvente = 226.2gr.

Ejemplo5: un gas se encuentra a 45 0 F, se desea conocer su equivalencia en 0 C.

Usamos la formula 0F= 1.8 0C + 32

Despejamos 0C , 0F -32 = 1.8 0C

1.8 0C = 0F -32

0C =

0C = reemplazando 0 F= 45.

0C =

51

0C = 7.220C

ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE

Una ecuación cuadrática es una expresión de segundo grado, (2 es el mayor

exponente que tiene la incógnita) cuya forma estándar es ax2 + bx + c = 0 Donde

a, b y c son números reales y a 0

Ejemplos: x2 + 4x + 3 = 0

3y2 – 9x + 2x = 0

(6x + 2)2 = x (x + 1/3)

Para resolver ecuaciones cuadráticas estudiaremos dos métodos.

a) solución de ecuaciones cuadráticas por factorizacion.

Resuelva la ecuación:

X2 + 6x + 5 = 0

Esta ecuación se puede escribir como una ecuación equivalente pero factorizada.

(X+ 5)(X +1) = 0

Empleando una de las propiedades de los números, que dice que un producto de

dos números reales es cero si, y solamente si, al menos uno de ellos es cero. Por

tanto, la ecuación anterior es verdadera si y solo si

X + 5 = 0 o x + 1 = 0

De donde x = -5 o x = -1

Así el conjunto solución de la ecuación dada es S = -5, -1

Lo cual significa que la ecuacion: X2 + 6X + 5 = 0 tiene dos soluciones.

Verificación: de igual forma como se comprueba las soluciones en las ecuaciones

lineales reemplazando por x cada una de los valores hallados.

X2 + 6x + 5 = 0

Para x = -5 (-5)2 + 6(-5) + 5 = 0

25 -30 + 5 = 0

30 – 30 = 0

52

0 = 0 (verdad)

Para x = -1 (-1)2 + 6(-1) + 5 = 0

1 -6 + 5 = 0

6 – 6 = 0

0 = 0 (verdad)

Lo que indica que ambos valores son soluciones.

b) solución de ecuaciones cuadráticas usando la formula general.

La expresión X = se denomina formula para la solución de una

ecuación cuadrática de la forma . En la cual los valores de a, b

y c son respectivamente los coeficientes de la variable al cuadrado, la variable

lineal y el término independiente.

El símbolo en la formula significa que hay dos soluciones; una utilizando el

signo + y la otra, el signo -.

Resuelva. 2X2 + 3X – 1 = 0

a = 2, b = 3, c = -1

X1 = X2 =

X1 = 0.28075 X2 = -1.78075

X1 y X2 son las soluciones de la ecuacion 2X2 + 3x – 1 = 0

53

Como bien se dijo en el capitulo anterior las raíces cuadradas de los números

negativos no existe en los reales entonces se debe mirar ocurre para cada caso

que se presenta en la expresión llamada discriminante.

Si entones la ecuación tiene dos raíces reales.

Si entones la ecuación , no tiene raíces reales

Si entonces la ecuación , tiene una sola raíz real.

APLICACIONES

En los fundamentos de química general, específicamente en el tema de equilibrio químico, encontraras situaciones que conllevan a una ecuación cuadrática cuya

solución se obtiene a través de la aplicación de la formula general.

Por ejemplo: la determinación de la concentración de las sustancias en el equilibrio, para la siguiente situación conlleva a una ecuación de las forma

y como ya sabemos podemos hallar su solución al aplicar la

fórmula general:

“El oxido nítrico, que es un contaminante importante en el aire se forma de los

elementos a temperaturas altas, como las que se obtienen cuando se quema

gasolina en un motor de automóvil a 2000 grados centígrados, Kc. de la reacción

es 0.10. +

Predecir la dirección de la reacción a la cual se desplazará el sistema hasta llegar

al equilibrio, si se parte de 1.62 moles de N2, 1.62 moles de O2 en un recipiente de

2.0 litros; consideramos condiciones iniciales así.

= 1.0 mol/L.

54

= 0.70 mol/L, y para

= 0.22 mol/L

Sustancia Concentración

inicial (mol/L)

Cambio de

concentración(mol/L

)

Concentración en

el equilibrio.

(mol/L)

1.0

0.70

0

La condición de equilibrio

Al reemplazar los valores se tiene

Resolviendo y haciendo transposición de términos se obtiene:

Y reemplazando en ecuación cuadrática

55

Auto- evaluación No. 2.

1) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.

a) -

b)

c) (x -2) (x + 3) = (x + 5)2

d)

2) Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) x2 - 7x -8 = 0

b) x2 = 8x

c) 6 + x2 = 0

56

d)

e)

3) Resuelva algebraicamente los sistemas de ecuaciones dados. Después, trace

la gráfica de las dos rectas y verifique gráficamente la solución.

a) 3x -2y -3 = 0

6x -4y - 6 = 0

b) -5x + 2y = 10

10x -4y = 30

c) 4x +2y – 3 = 0

5x – 3y – 1 = 0

4) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) y = 2x -1

y = x2 -2x +4

b) x2 + 3xy + y2 -25 = 0

x = y

5) Resuelva los siguientes problemas:

a) el producto de dos números positivos es 54. Si un numero es tres unidades

mayor que el otro, ¿Cuáles son los números?

b) el precio de cuatro medicamentos comerciales y dos medicamentos genéricos

es $81.000. El de un medicamento comercial y tres medicamentos genéricos es

$31.500. Encontrar el precio de un medicamento comercial y un medicamento

genérico.

c) En una fábrica se producen dos artículos diferentes que se venden a $3.200 y

$4.500, respectivamente. Si se venden 400 artículos de las dos clases y los

ingresos obtenidos son de $1´519.200, ¿Cuántos artículos se vendieron de cada

uno?

57

d) Un sistema gaseoso se encuentra a 295.46 R su equivalencia en K es:

i) -164.54 ii) 163.96 iii) 106.4 iv) -109.18

e) Un laboratorio paga 35 dólares por arriendo (costo fijo) donde procesa sus medicamentos el costo del material es la cuarta parte de la mano de obra. Entonces lo que debe pagar por mano de obra y por material para que los costos totales sean de 125 dólares es:

i) Por mano de obra paga 72dolares y por material 18 dólaresii) Por mano de obra paga 360 dólares y por material 72 dólaresiii) Ninguna de las anteriores.

6) dada la ecuación de oferta y demanda respectivamente, halle el punto de

equilibrio.

a)

b)

c) Se tiene que las ecuaciones de oferta y demanda son respectivamente P - 4q = 400, P = -10q +1100 se pude concluir que el punto de equilibrio es

i) (600,-50) ii) (-50, 600) iii) (50, 600) iv) ninguna de las anteriores.

7) Se sabe que dos soluciones de distinta concentración pero que contienen las

mismas cantidades de soluto se relacionan de la siguiente manera-

V1 x C1 = V2 x C2

Si V1 = C1 = C2 =

Entonces, V2 =?

8) despeje cada una de las incógnitas en las siguientes fórmulas.

a) ley de Charles:

58

b) Ley Gay Lussac.

c) Ley de Avogadro:

9) un sistema gaseoso se encuentra a 296.35 K y se desea determinar su

equivalencia en 0 F

3. FUNCIONES Y GRAFICAS

OBJETIVO GENERALES:

Representar una función de diferentes formas

Resolver problemas de aplicación lineal y cuadrática.


Representar una función mediante diagrama sagital, una grafica, con una tabla y

como una ecuación.

encontrar la ecuación de una recta.

Graficar rectas y parábolas.

Aplica el concepto de función lineal a la oferta y la demanda.

COMPETENCIAS:

59

Representa de diferentes formas una función.

Analiza la función lineal, su modelo matemático y su interpretación grafica.

Determina la ecuación de una recta.

Resuelve de oferta y demanda.

Determina la grafica de una parábola

El concepto de función es uno de los conceptos matemáticos de mayor

aplicabilidad en la vida cotidiana es por esto entonces la importancia de su

estudio desde un punto de vista mas semántico que sintáctico, puesto de cada

vez que se habla de función o funciones se tiende a pensar en una expresión

algebraica que describa el comportamiento de las variables implicadas, donde el

comportamiento de una de ellas depende del comportamiento o de los cambios de

la otra. En ese sentido imaginamos representaciones como:

, , y entonces vemos a las funciones solo

como expresiones sin sentido alguno, con la cual podemos llegar (mediante

operaciones), a una representación tabular o en tablas y luego a una en el plano

cartesiano.

En realidad una función es más que eso, en términos generales se puede decir

que una función es una forma de representar comportamientos de ciertos

fenómenos de la naturaleza o de situaciones cotidianas, donde los cambios que

sufre uno de estos fenómenos o situaciones implica que hallan cambios en el otro.

Por ejemplo:

- la altura de un árbol varía a medida que pasan los días.

- Cada vez que una persona cambia de estatura también cambia su peso.

- Un fluido sometido a calor constante, cambia de temperatura al paso del

tiempo.

60

- El número de pulsaciones de un atleta sometido a diferentes actividades,

cambian con el tiempo.

Estos 4 ejemplos, muestran situaciones de variación, ahora si lo que se desea es

establecer un patrón que las relacione, entonces ya empezamos hablar de

función.

Concepto de función.

Definamos el producto cartesiano A x B = (x, y) / x A y

B y una relación “r” de A en B, dicha relación es un subconjunto de A x B con

dominio de r A y rango de r B.

A partir de lo anterior construimos el concepto de función así: una funciona f de A

en B es una relación en la que para cada elemento x A, existe un único

elemento y en B talque f (x) = y, Df = A y rango de de f “” Rf B.

Una función es una relación en la cual cada elemento del dominio D le

corresponde un elemento y, solo uno, del recorrido R.

Dicho de otra manera, una función es un conjunto de pares ordenados de los

cuales no existen dos que tengan el mismo primer elemento. De acuerdo ala

definición de función el dominio debe ser especificado, mientras que el recorrido lo

determina la función en si. Si la función se describe con alguna regla, entonces la

regla es dada en forma de ecuación.

Ejemplo de funciones.

1). Cada persona tiene uno y solo un tipo de sangre. Si definimos:

P = conjunto de personas

G = A, B, AB, O tipos de sangre

Tp : P G, será una función que asigna cada persona su tipo de sangre.

61

2. Una misma temperatura puede expresarse en todas las escalas existentes. Es

decir de centígrados a Kelvin por ejemplo:

sea C = conjunto de medidas de una temperatura en grados centígrados

K = Conjunto de medidas en grados kelvin

T: C K, será la función que expresa cada medida en centígrados en Kelvin.

T es una función.

Representación de una función.

Observemos la siguiente situación:

La tabla de datos que se presenta detalla el comportamiento en la altura de una

planta de maíz en los primeros 15 días de germinación.

No. de Días Altura(cm)

1 0,1

3 2

5 4

7 6

9 8

11 12

13 16

15 20

Nota: la tabla relaciona datos de la variable No. de Días con datos de la variable

Altura (cm). De ahora en adelante cualquier tipo de comportamiento comparativo

entre dos variables la denominaremos una Relación.

Teniendo en cuenta la tabla, los datos de la primera columna forman un conjunto

de números que corresponden a las variables en los días, observe que siempre

que hay cambios en esta variable se observan cambios en la otra variable (altura),

de manera que para cada valor en la primera variable encontramos uno y solo un

62

valor para la segunda variable. Cuando este tipo de comportamiento ocurre entre

dos situaciones que deseamos comparar se dice que esta relación corresponde a

una Función, y la denotaremos con la letra “f”.

Además que para este caso particular cada elemento de la primera columna a

parte de tener un único representante en la segunda columna, ese representante

es diferente en cada caso (para el tercer día la altura es 2 cm, para el quinto día la

altura es de 3 cm.,…), cuando esto ocurre se dice que la función es INYECTIVA O

UNO A UNO, básicamente los comportamiento de fenómenos naturales o que

hacen parte de las ciencias biológicas corresponde a este tipo de funciones.

De ahora en adelante, al conjunto de números correspondientes a las variaciones

de la variable independiente lo denominaremos “Dominio de la Función”, y al

conjunto de números correspondientes a los cambios de la variable dependiente lo

llamaremos “Rango de la Función “.

De modo que en nuestro caso:

Dominio de f o

Rango de f o

Otras representaciones para “ ” .

Los datos presentados en la tabla bien pueden describirse en la siguiente forma:

Aquí “ ”, relaciona elemento de un primer conjunto o conjunto de partida, con un

único elemento del segundo conjunto o conjunto de llegada.

1. Como diagrama sagital

63

1.3.7.9.5.11.13.15.

4.0,1.2.6.8

12.16.20.

Nº Af

2. Como parejas ordenadas

Aquí “ ”, se describe como un conjunto de parejas, donde el primer elemento de

cada pareja corresponde a los comportamientos de la variable independiente y el

segundo elemento al comportamiento de la variable dependiente.

3. Representación Cartesiana

64

x (Nº de días )

YA

ltura

A este tipo de representación se le conoce como representación en el plano

cartesiano. Normalmente los valores de la variable independiente se escribe en el

eje de las “ ” o eje horizontal, y los valores de la variable dependiente en el eje

vertical o eje “ ”.

Obsérvese que las representaciones anteriores nos muestran diversas formas de

estudiar el comportamiento de los datos, por ejemplo en el diagrama anterior

puede notar que la variación en la altura en los últimos 3 días fue mayor que en

los anteriores y que en cierto números de días, por ejemplo del tercero al día

nueve el comportamiento en la variable altura es proporcional, varia a razón de

2cm, para cada par de días, es decir, en este intervalo de tiempo la altura varia

1cm por día, así que podríamos decir que la altura esperada en el sexto día es de

4cm aproximadamente.

En fin podríamos realizar muchos comentarios y no acabaríamos.

Existe otro tipo de representación, que permite generalizar de una manera más

precisa el comportamiento de los datos, hacemos referencia a la Representación

Algebraica:

Aquí la idea es encontrar una expresión que describa el comportamiento de las

variables implicadas, busquemos entonces esa expresión para nuestro ejemplo:

Para ello denotemos con “ ” a todos los posibles valores que puede tomar la

variable “Nº de Días” y a “ ” a todos los valores que dependen de “ ”.

Iniciemos cuando , , es decir, para el primer día la altura es de

0.1cm.

Es fácil darse cuenta que el comportamiento de esta función para los días del 3 al

9, es diferente al de los tres últimos. Lo que implica encontrar una expresión para

cada intervalo de tiempo.

65

Estudiemos el primer intervalo, para los días 3,5, 7 y 9 obsérvese que la altura se

obtiene restando 1 a cada uno de estos valores; así por ejemplo:

Para el día 3, la altura es 3 -1 =2

Para el día 5, la altura es 5 -1 =4, y así sucesivamente.

Así para cuando x= 3, 5, 7 y 9, la representación algebraica es , donde

representa el No. de días del intervalo.

Para los días 11, 13 y 15, la variación en la altura es de 4cm por cada par de días.

Graficas y dominio una función

Para realizar la grafica de una función construimos una tabla en donde se

muestran algunos valores de x y y. para construir la tabla se asignan valores del

dominio a las variable independiente x y así por medio de la definición de f se

hallan los valores de y.

Ejemplo1:

Grafique la función f(x) = y establezca con anterioridad su dominio.

Determinar el dominio consiste en identificar que valores puede tomar x.En este caso f(x), está definida como un cociente y vemos que la variable

independiente aparece en el denominador. Y como sabemos que la division por

cero no está definida, se debe excluir del dominio todos los valores de la variable

independiente que hagan cero el denominador.

Solución:

Tomamos el denominador 2x - 1 = 0 2x = 1 X

= 1 / 2

Luego Df = x / x R x 1 / 2. Haga el ejercicio de

reemplazar x = 1 / 2 en f(x) y verá que este valor convierte el denominador en

cero.

Como primer paso para realizar la grafica construimos la tabla de valores.

66

Para x = -2 f(2) = = =

Para x = - ½ f(-1/2) = = = = -1

Para x = -1 f(-1) = = =

Para x = 0 f(0) = = = = -2

Para x = 1 f(1) = = = = 2

Para x = 3/2 f(3/2) = = = = 1

X -2 -1/2 -1 0 1 3/2

Y 2/3 -1 - 2/3 -2 2 1

Ejemplo2:Determine el dominio de la función f(x) = 3

67

Este es un ejemplo de una raíz par, y como sabemos las raíces ares de números

negativos no son números reales, el dominio incluye solo los valores de la variable

para los cuales los radicandos son positivos o cero.

X – 2 0

X 2

Así el dominio de la función es: Df = x / x R x 2

Observa que si das un valor a la variable menor que 2 por ejemplo 1

f(x) = 3 f(1) = 3

f(1) = 3 y no es un real.

FUNCIONES LINEALES.

Consideremos la ecuación: ax + by + c = 0 siendo a, b y c números reales para

todo a y b 0. Esta ecuación representa la forma general de una ecuación lineal

de dos variables. Además esta ecuación tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo: algunas soluciones de la ecuación lineal x – y = 6 son:

X = 6 Y = 0; X = 12 Y = 6; X = 9 Y = 3

La mejor forma de determinar el conjunto solución de las ecuaciones lineales de

dos variables, se logra al realizar una interpretación grafica de las mismas.

Retomando la ecuación ax + by + c = 0 y despejando Y tenemos:

Y = + ec.1

Donde x es la variable independiente y Y la variable dependiente (de x) en este

caso se afirma que Y esta en función de X.

Haciendo - = m y - = b

68

La ec1. Se convierte en Y = mx + b

La cual representa una recta. Donde m representa la pendiente y b el intercepto

con el eje y.

La pendiente de una recta representa el grado de inclinación de la misma y

formalmente se define:

M =

Es preciso aclarar que el valor de la pendiente no depende de los puntos que se

consideren para su cálculo.

Si P1: (x1, y1) y P2: (x2, y2), entonces

M =

Ejemplo: calcule la pendiente de la recta que pasa por P1: (3, 1) y P2: (5, 2)

Utilizando la EC.2 tenemos

m = = , luego la pendiente es m =

En este caso si hubiéramos considerado P1: (5, 2) y P2: (3, 1)

69

m = = = ,

Observe que el orden en que se tomen los valores de P1 y P2, no afecta el valor de

la pendiente.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

La ecuación de una recta en particular puede hallarse si se conocen dos puntos

que pertenecen a la recta, o si se conocen un punto y la pendiente d la recta. A

continuación se describe cada una de las formas que presenta.

a) ecuación punto_ pendiente.

La ecuación y = y0 + m(x – x0)

En donde (x1, y1) es un punto por donde pasa la recta y m es la pendiente,

Ejemplo1. Calcule la ecuación de la recta que pasa por (-3, 2) y tiene pendiente 4.

En este caso, x1 = -3 y1 = 2 y m = 4

Entonces y = 2 + 4(x – (-3))

Y = 2 + 4(x +3)

Y = 2 + 4x + 12

Y = 4x + 14 es la ecuación que se queríamos obtener.

70

Ejemplo2. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( , 4) y (5, 8)

Observe que aunque no conocemos la pendiente, podemos calcularla (puesto que

conocemos dos puntos) y luego usar la ecuación punto- pendiente para determinar

la ecuación de la recta.

Recuerda que m =

Luego m = = = (aplicando ley de la oreja)

Teniendo m = nos faltaría un punto que puede ser cualquiera de los dos

puntos dados para aplicar la ecuación punto –pendiente.

Escogiendo a (5, 8) como el punto P0: (x1, y1)

Tenemos y = 8 + (x - 5)

Y = 8 + x -

Y = x +

b) ecuación pendiente intersección.

Y = mx + b Ec3

Ejemplo3.

71

Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es – 2 y su corte con el eje y

es 9

Utilizando la Ec.3.

Tenemos y = -2x +9

Aplicaciones

Abordaremos algunas aplicaciones de las funciones lineales a la economía,

particularmente a conceptos básicos como oferta y demanda ya que los modelos

matemáticos que los representan, en muchos casos están dados por ecuaciones

de rectas.

Oferta y demanda: estos dos conceptos son básicos en economía pues

contribuyen a analizar el comportamiento del mercado. En general, si determinado

producto tiene cierto nivel de precios, los consumidores demandaran (compraran)

una cantidad correspondiente de dicho producto. Si el precio disminuye, por lo

general, la cantidad demandada aumenta; por el contrario, la demanda disminuye

al aumentar el precio del producto. Denotando por p al precio unitario del producto

y q, el número de unidades demandadas, existe una ecuación que relaciona p y q.

Dicha ecuación se denomina “ecuación de demanda” y es de la forma.

P = D (q)

Al trazar la recta de la ecuación de la demanda observamos que tiene pendiente

negativa, lo cual es consecuente con el hecho que a menor precio p hay mayor

cantidad demandada q, lo cual significa que la función decrece.

Caso contrario ocurre con la ecuación de la oferta

72

P = O (q)

Cuya grafica es creciente pues a mayor precio p, mayor es la cantidad ofrecida y a

menor precio menor es la cantidad ofrecida.

GRAFICAS DE FUNCIONES LINEALES DE OFERTA Y DEMANDA.

Dado que las funciones lineales de oferta y demanda están representadas por

líneas rectas, es posible encontrar sus ecuaciones si se conocen dos puntos o un

punto y la pendiente. Si se conocen dos puntos (q1, p1), (q2, p2) de una recta, su

pendiente esta dada por:

m =

Y la ecuación de la recta correspondiente esta dada por

P = p0 + m (q – q0)

Donde (p0, q0) es un punto de la recta.

Ejemplo: después de realizar un análisis financiero acerca del medicamento K se

obtuvo la siguiente información. Para el medicamento K la demanda semanal es

de 400 unidades cuando el precio es de $90 por unidad y de 800 si el precio es

de de $80. si la demanda del mercado puede representarse mediante una función

lineal, se le pide al administrador que modele esta situación de tal forma que se

pueda saber en un momento determinado la variación de la demanda al variar los

precios.

73

Para solucionar esta situación el administrador recuerda que puede hallar la

ecuación de la demanda y además realizar una grafica que permita una mejor

visualización de la situación.

El administrador esta seguro de poder hacer esto por que tiene dos puntos

P1: (400, 90) P2: (800,80)

La pendiente de la recta mes

m = = = -

Luego la ecuación de la demanda es:

P = p0 + m (q – q0)

Sea (p0, q0) = (400, 90). Recuerda que puedes tomar cualquiera de los dos puntos.

P = 90 - (q - 400).

P = 90 - q + 10.

Quedando la ecuación de la demanda:

P = - q + 100

La grafica es la siguiente:

74

Ejemplo2.

Para un producto W cuando el precio es de 1000 el fabricante está dispuesto a

fabricar y vender 3000 unidades de dicho producto, además si el precio asciende

2000 el fabricante estima que puede 9000 unidades. Se pide encontrar la ecuación

de oferta.

Primero determinamos los puntos: P1= (3000, 1000), P2 = (9000, 2000)

Hallamos la pendiente, m= = =

Usando la ecuación de la oferta.

P = 2000 + (q – 9000)

P = 2000 + q – 1500

P = q + 500 ecuación de la oferta.

Gráficamente.

75

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y SU GRAFICA.

Uno de los polinomios más conocidos es el polinomio de la forma

P(x) = ax2 + bx + c, a 0

Se denomina función cuadrática, Gráficamente un polinomio cuadrático

representa una parábola.

Una parábola queda determinada gráficamente cuando conocemos los siguientes

datos.

a) Hacia donde abre

b) Cortes con los ejes

c) Ubicación del vértice

a) Para determinar hacia donde abre la parábola basta observar el signo del

coeficiente de x2. si es positivo la parábola habré hacia arriba, si es negativo

abre hacia abajo.

b) Para determinar si la parábola corta el eje X debemos resolver la ecuacion

ax2 + bx + c = 0. si la ecuacion tiene solución, la parábola corta el eje X

justamente en los puntos x que solucionan la ecuacion. Si la ecuacion no

tiene solución, significa que la parábola no corta al eje X. si b2 – 4ac = 0,

entonces el vértice quedara exactamente sobre el eje X.

La parábola siempre cortara el eje Y; para determinar el corte hacemos x = 0

en f(x), obteniendo que y = c

c) El vértice corresponde al valor máximo o mínimo de la parábola y se

encuentra ubicado en el punto cuya abscisa es x = . El valor

correspondiente a y se encuentra reemplazando este valor de x en f(x).

77

Ejemplos.

Grafique la ecuación polinómica de segundo grado y = x2 - 2x - 3

a) Como el coeficiente de x2 es 1 y 1 > 0 entonces la parábola abre hacia

arriba.

b) Dado que x2 – 2x -3 = (x - 3) (x + 1) = 0

Entonces x = 3 y x = -1 son los cortes de la parábola con el eje X

c) La abscisa del vértice es x = = = = 1

Y por tanto la ordenada es y = (1)2 -2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4

El corte con el eje Y se encuentra haciendo x = 0; entonces y = -3

Luego la gráfica de la parábola

y = x2 - 2x - 3, es:

78

Auto-evaluación No.3

1) determine si cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados define

una función y en tales casos especifique el dominio .

a) A = (1,2), (2,1), (3,2), (5,-1), (1,3)

b) B = (x, y)/ x2 + y2 = 25

2) determine la ecuación de la recta, dadas las siguientes condiciones:

a) pasa por - y tiene pendiente m = -4

b) pasa por los puntos

3) trace las graficas de las siguientes funciones, estableciendo con anterioridad su

dominio.

a) 6x + 4y = 2

b)

c) y = 3

4) resuelva los siguientes problemas:

a) Debido al aumento en el costo de la materia prima, un laboratorio se vio en la

obligación de de aumentar los precios de sus medicamentos de $4500 a $5000,lo

79

que hizo disminuir las ventas de 800 a 560 medicamentos. Suponiendo que la

demanda es lineal, cuantos medicamentos venderá si decide fijar un nuevo precio

de $6 000?

b) suponga que los clientes demandaran 4000 unidades de un producto cuando el

precio es de $12 000 por unidad, y 2 500 unidades cuando el precio es de $18 000

cada un a. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal, y el

precio por unidad cuando son requeridas 3 000 unidades.

c) la empresa R.E sufrió una modificación en la venta de sus productos en el presente mes; de la siguiente manera:De 800 artículos que vendía a 16000 pasó a vender 500 a 17500,

Halle una ecuación lineal que represente la anterior situación. ¿Es una función de demanda o de oferta por que? A que atribuyes la disminución en las ventas. Grafique la función.

5) grafique las siguientes funciones calculando para ello puntos de corte con ejes,

vértice y hacia donde abre la función

a) y = 2x2 b) y = -2x2 + 5

c) 2y – x2 + 3 = 0

80

4. VARIACIONES

OBJETIVO GENERALES:

Reconocer y aplicar el principio básico de las proporciones.

Aplicar el concepto y las propiedades de las proporciones en

la resolución de problemas.


Aplicar la regla de tres diferenciando magnitudes directas de

magnitudes inversas.

Resolver problemas de química y administración usando el

concepto y las propiedades de las proporciones.

COMPETENCIAS:

Aplica el principio básico de las proporciones.

Diferencias magnitudes inversamente proporcionales de

las directamente proporcionales.

Utiliza la regla de tres y los porcentajes para resolver situaciones

problemas.

81

Las leyes científicas de mas aplicabilidad en la tecnología son las leyes de

variación esas leyes que expresan como varia una magnitud con respecto a la

otra.

Leyes los gases ideales: Las leyes de Boyle, (P1 V1 = P2 V2) de Charles,( =

) de Avogadro ( = ) en las que intervienen numero de moles,

temperatura presión y volumen, estén relaciones de variaciones directas e

indirectas. Y se aprecia también los conceptos de razón y proporción, de regla

tres y porcentajes.

Es preciso entonces hablar de las magnitudes directamente proporcionales y

las magnitudes inversamente proporcionales.

Magnitudes directamente proporcionales: dos magnitudes son directamente

proporcionales, si al aumentar una de ellas la otra también aumenta; o al

disminuir una de ellas la otra también disminuye y se cumple que el cociente

de los valores de las dos magnitudes es siempre el mismo.

Así, si una magnitud X es varia directamente con otra magnitud Y, entonces

existe una constante k, tal que para todos los valores de X e Y

= k

Magnitudes inversamente proporcionales: dos magnitudes son inversamente

proporcionales cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye; o al

disminuir una de ellas la otra aumenta, y el producto de las dos magnitudes

siempre es el mismo.

Así, si X varia inversamente con otra magnitud Y, existe una constante k, tal

que para todos los valores de X e Y

82

XY = k

Pero antes de ahondar masen las leyes de variación es indispensable abordar

conceptos que son básicos para la interpretación de estas, como son los

conceptos de razón y proporción.

Razón: es el cociente ente dos magnitudes.

La razón entre dos números a y b se puede denotar de tres maneras.

1) a : b. 2) a b 3)

Así, la razón de 12 : 3, expresada como 12 3 o como , indica que 12

contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4.

Observe que las razones están indicando cuantas veces es más grande un

número que otro.

Los números a y b se llaman términos de la razón.

Proporción: es la igualdad de dos razones.

Una proporción puede escribirse de tres maneras:

1) a : b = c : d 2) a b = c d 3) =

Al igual que en las razones a, b c y d se llaman términos de la proporción ay d

se llaman extremos; b y c se llaman medios.

83

Principio básico de las proporciones: En toda proporción, el producto de los

medios es igual al producto los extremos.

Simbólicamente, para b 0 y d 0,

= equivale a: ad = bc

Ejemplo. Si queremos determinar X de tal manera que sea una cuarta

proporcional entre 3, 4 y 6.

Escribimos la proporción y.

Tenemos: =

Por principio básico de las proporciones

3X = (4) (6)

3X = 24

X =

X = 8

REGLA DE TRES. La regla de tres es un procedimiento matemático útil para

la resolución de problemas en los cuales intervienen dos magnitudes

proporcionales.

Cuando nos encontramos ante el caso de de dos magnitudes directamente

proporcionales, entonces hablamos de regla de tres simple directa; en cambio,

si nos encontramos ante el caso de magnitudes inversamente proporcionales,

entonces hablamos de regla de tres simple inversa.

84

Lo anterior indica que para solucionar problemas de proporcionalidad es

necesario reconocer si las magnitudes son directa o inversamente

proporcionales.

Ejemplo1: La concentración de un reactivo nos indica que 100 gr de la solución

contiene 96 gr del acido puro. ¿Los 12.5 gramos de soluto que se requieren

para preparar el volumen de solución requerido están contenidos en?

Las magnitudes son directamente proporcionales, por tanto las cantidades se

expresan como una proporción, decir, como la igualdad entre dos razones.

gr. de solución gr. De soluto puro

100 96

X 12.5

=

(100)(12.5) = 96X

1250 = 96X

96X = 1250

X =

X = 13.2 gramos de solución.

Ejemplo2. A los empleados de la empresa R.E Ltda. Se les bonifica por cumplir

con las metas de venta si la suma de $ 2 000 000. ¿Cuanto le corresponde a

cada empleado este mes si solo 10 cumplió la meta?

85

Para este caso observe que a menos empleados que cumplan con las metas

de venta, será mayor la bonificación para cada uno de los que cumpla con las

metas. De donde podemos decir que estamos frente a una variación inversa.

Luego procedemos a organizar la información

Así,

Dinero No. Empleados

2 000 000 1

X 10

Como las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, el

producto de las cantidades correspondientes es constante.

(2 000 000) (1) = (10) X

10X = 2 000 000

X =

X = 2 00 000

Ejemplo3. 15 hombres construyen un puente en 10 días. ¿Cuántos días

emplearan 25 hombres para construir otro puente semejante?

Luego: hombres días

15 10

25 X

86

Como las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, el

producto de las cantidades correspondientes es constante.

Entonces. (15) (10) = 25X

150 = 25X

X =

X = 6

Luego son 6 días los que emplearan 25 hombres para construir otro puente

semejante.

PORCENTAJES:

Es muy coman ver en el comercio anuncios sobre diferentes descuentos, del

8% , 10 % del 20% en fin cualquier cantidad de rebajas, lo interesante para

nosotros es analizar que significa, por ejemplo un una rebaja del 8 % significa

que por cada $ 100 en el valor del articulo le rebajaran $ 8.

Hay tres maneras matemáticas de representar un porcentaje, la mas coman es

%, pero también podemos representarlo en forma fraccionaria y decimal.

Forma comun Forma fraccionaria Forma decimal

10 % 0.10

25 % 0.25

87

Los porcentajes y los tantos por mil son casos especiales de magnitudes

proporcionales donde la constante de proporcionalidad es, respectivamente,

y .

El cálculo de los porcentajes es un caso particular de regla de tres en el cual

uno de los valores es 100. Por ejemplo, al calcular 16% de 5000 000

escribimos la siguiente regla de tres:

16 100

X 5000 000

=

(16) (5000 000) = 100X

80 000 000 = 100X

X =

X = 800 000.

Ejercicios de aplicación.

1) Juan Manuel desea saber cual deberá ser su nota en el parcial final de

matemáticas para pasar la materia a 3.0, 4. 0, y la máxima nota que pueda

obtener.

Si se sabe que el valor del parcial final es del 25 % y que el 75 % fue evaluado

así:

88

Primer parcial, valor 10 % nota 4.8

Segundo parcial, valor 15 % nota 4.3

Tercer parcial, valor 20 % nota 4.5

Los talleres valen el 20 %

T1: 4.5 T2 = 4.1 T3 = 4.6 T4 = 3.5

En cinco quiz que hizo obtuvo las siguientes notas: (los quiz valen igual)

Q1 = 5.0 Q2 = 4.8 Q3 = 3.2 Q4 = 3.9 Q5 = 3.7

Solución:

P1 : 4.8 x 10% = 0.48 el acumulado de los tres parciales

P2: 4.3 x 15 % = 0.645 es: 0.48+0.645+0.9

= 2.025

P3: 4.5 x 20 % = 0.9 acumulado P = 2.025

P4: ¿? X 25 % =

Como los talleres tienen el mismo valor se suman y se dividen entre el numero

total de estos, en este caso son 4 talleres.

Total nota talleres = = 4.1

Acumulado T = 4.1 x 20% = 0. 835

________________________________________________________

89

Igual que los talleres los quiz tienen el mismo valor, y aunque el problema

especifique el valor de estos es obvio que es el 10 % puesto que entre talleres y

parciales suma un 90% hasta 100 % faltaría un 10 %.

Total notas quiz = = 4.12

Acumulado Quiz = 4.12 x 10 % = 0.412

Sumamos los acumulados = 2.025 + 0. 835 + 0.412 = 3.272

Lo que quiere decir que no necesita presentar el ultimo parcial para aprobar la

asignatura por que ya tiene lanota a mas de tres.

Ahora que si lo que desea es que le que a 4.0 se hace lo siguiente para saber que

debe sacar en el ultimo parcial.

4.0 – 3.272 = 0.796. Ahora la nota = = 3.98

Deberá sacar 4.0 para que su nota final sea de 4.0

Para saber cual es la nota máxima que podrá obtener en la asignatura.

Suponemos que saca 5.0 en el último parcial del 25 %.

Así: 5.0 x 25 % = 1.25, ahora este valor se lo sumo al acumulado que llevaba a

3.272.

Nota máxima = 1.25 + 3.272 = 4.5

2) ¿La empresa R.E compra mercancías a 20 000 y la vende con un 70 %?

90

¿Cuál es el valor de la venta?

Valor venta = 20 000 + 20 000x 70 % = 34 000

¿Cuál es la utilidad bruta de la venta?

Utilidad bruta = 20 000 x 70 % = 14 000

91

Auto- evaluación No.4

1) EL DEPARTAMENTO DE CARTERA DE LA EMPRESA "REGENTES EXITOSOS"DESEA CONOCER CUANTO DINERO LE ESTÁN DEBIENDO EN EL PRESENTE AÑO, PARA ESTO ANALIZA LA LISTA DE CLIENTES CON SUS RESPECTIVAS DEUDASDENTRO DE LAS POLÍTICAS DE LA EMPRESA, SE ESTABLECE QUE LA FECHA DE VENCIMIENTO PARA LOS PAGOS POR PARTE DE LOS CLIENTES ES DE 30 DÍASQUIEN SE PASE DE LA FECHA TENDRÁ UN INCREMENTO DEL 5% MENSUAL, PROPORCIONAL

CLIENTE DEUDAfecha de ultimo pago

fecha de vencimiento

HÉCTOR BAENA 55,000,000.000 22-Nov 10-Sep

CESAR NAVARRO 60,000,000.000 24-Nov 10-Jul

ROBINSÓN ROJAS 35,000,000.000 12-Nov 13-Oct

JUAN SINCELEJO 30,000,000.000 no ha cancelado 02-Jun

ALBERTO JARAMILLO 50,000,000.000 No ha cancelado 05-Nov

TOTAL 230,000,000.000

a) ¿CUANTO DINERO ENTRO A CAJA POR RECAUDOS DE CARTERA A NOV 25?b) ¿CUANTO DINERO LE QUEDAN DEBIENDO A LA EMPRESA?c) ¿CUANTO DINERO ENTRO A CAJA POR VENCIMIENTO DE PAGO?

2) MARIA JOSÉ QUIERE SABER QUE NOTA DE OBTENER EN LOS DOS PARCIALES QUE FALTAN DE QUÍMICA ; SI CADA UNO DE ELLOS VALE EL 15% , SIENDO SUS NOTAS LAS SIGUIENTES NOMBRE PORCENTAJE NOTALABORATORIO 1 10% 3.6LABORATORIO 2 10% 3.2PARCIAL1 25% 2.1PARCIAL2 25% 4.1QUE PODRÍAS DECIRLE A ROSA?

3) LA ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES ES

SI REEMPLAZAMOS K = nxR

92

¿VxP = _________?LA VARIACIÓN QUE SE DA EN LA ANTERIOR ECUACIÓN ES __________________DETERMINE EL VALOR DE R DE UN MOL DE UN GAS MEDIDO EN CONDICIONES NORMALES;ES DECIR QUE V = 22,4lts. P= 1atm n = 1mol T = 273ºK

4)LA SIGUIENTE INFORMACIÓN CORRESPONDE A UN INFORME SOBRE LOS INGRESOS POR VENTA DE MEDICINA NATURAL

referencias cantidad precio unitario

total precio de venta

costo unitario costo total

eucalipto 10 12,000 6,900 toronjil 13 ? 130,000 ? 70,000 Ruda 19 15,500 ? 8,500 ? Jarabe miel 9 40,000 ? ? 270,000 propóleos 3 ? 210,000 40,000 ? Jarabe.totumo 30 8,000 5,200 ?totales

se pideutilidad bruta de cada referencia porcentaje de utilidad sobre el costo porcentaje de utilidad sobre la venta Si los gastos corresponden al 34 % de la utilidad bruta cual es la utilidad neta. Cual de los de los medicamentos deja un margen de utilidad más alto. Cual de los medicamentos deja menos utilidad, de cuánto, a que porcentaje corresponde.

5) La empresa “R.E” ltda. Presenta la siguiente información.

referencias costo $ venta %util/ (costo) % util./ venta Utilidad dism.

medicamento1 20,000 ? 60 ?






totales 285,000 ? ?

93

Describa como halla el precio de venta. a) ¿Cómo halla el porcentaje de utilidad sobre la venta?b) ¿Cómo halla el porcentaje de utilidad sobre la venta? c) ¿Con que porcentaje en promedio se esta vendiendo? Si el mes siguiente nos hicieron un aumento todos los precios de los medicamentos Del 5% por no pagarlos de contado. d) como varia la utilidad si se mantienen los mismos precio de venta e) Llene la casilla de utilidad disminuida.

6) Maria José tiene las siguientes notas4.5 en un 15%, 2.3 en un 25%, 3.0 en un 20% , 3.8 en un 5%Solo falta una nota, y ella desea saber lo siguiente Cuanto debe obtener para ganar la asignatura en 3.0 Será posible que la asignatura le quede en 4.3 y que nota debe obtener en el

parcial final.

7) La concentración de un reactivo nos indica que 100 gr. de la solución contiene

87 gr del acido puro. ¿Los 10.8 gramos de soluto que se requieren para preparar

el volumen de solución requerido están contenidos en?

9) 16 visitadores médicos venden 20 cajas de medicamentos en 20 días. ¿Cuántos días emplearan 32 visitadores para vender la misma cantidad de medicamentos? Maria José tiene las siguientes notas4.5 en un 15%, 2.3 en un 25%, 3.0 en un 20% , 3.8 en un 5%Solo falta una nota, y ella desea saber lo siguiente Cuanto debe obtener para ganar la asignatura en 3.0 Será posible que la asignatura le quede en 4.3 y que nota debe obtener en el

parcial final

94

5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

OBJETIVO GENERALES:

Resolver problemas de aplicación usando las

propiedades de la función exponencial y logarítmica.


Manejar correctamente las propiedades de la función

exponencial y logarítmica.

Resolver problemas de aplicación en modelos de

crecimiento y decrecimiento exponencial.

Utilizar las propiedades de la función logaritmo en la

solución de ecuaciones.

COMPETENCIAS:

Interpreta las propiedades de la función exponencial.

Resuelve problemas de crecimiento y decrecimiento

exponencial.

Soluciona ecuaciones logarítmicas usando las

propiedades.

Función exponencial

Propiedades: si a > 0, b > 0 y x, y R, entonces

1.

95

2.

3.

Supongamos que en un experimento para controlar y estudiar el crecimiento de

las bacterias, se inicia con una cantidad de 300. El investigador anota los datos en

la siguiente tabla y se observa que cada hora que transcurre el número de

bacterias se duplica.

Tabla1.b (bacterias) 300 600 1200 2400 4800t (tiempo) 0 1 2 3 4

Esta tabla nos permite hacer las siguientes consideraciones:

Hora en que empieza la observación....................... 300 = 20(300) bacterias Una hora

después de comenzar el experimento......2(300) = 21(300) bacterias Segunda hora

después de comenzar el experimento 2(2(300)) =22(300) bacterias Tercera hora

después de comenzar el experimento 2(22(300)) = 23(300) bacterias

t horas después...................................... 2(2t-1(300)) = 2t (300) bacterias

Luego, t horas después el número p de bacterias presentes está dado por la

ecuación: p = 2t . 300, es decir, generalizado.

El número de bacterias en un tiempo t está dado por: p = 2t . b0, donde t es un número real y b0 es el número inicial de bacterias.

Ejemplo 1. Estimemos el número de bacterias que tendría el investigador para un

valor intermedio de tiempo t = 0.25s.

Debemos remplazar el valor del tiempo en la ecuación p = 2. b0. el valor de b0

sigue siendo 300:

96

p = 20.25 . 300; p = 1.189 . 300; p = 356.76

Luego el número de bacterias es 356.76 para t = 0.25s.

Ejemplo 2. Calculemos el número de bacterias que tendría el investigador media

hora y una hora antes de iniciar su experimento.

La población de bacterias media ahora antes la calculamos para un tiempo t = -

0.5, así: p = 300 x 2-0.5 =

La población de bacterias una hora antes, la calculamos para un t = -1, así:

p = 300 x 2-1 = = 150

Ejemplo 3. ¿Cómo podemos representar el crecimiento de las bacterias?

Generalizando, las ecuaciones de la forma y = 300 . 2x son modelos matemáticos

satisfactorios para describir fenómenos de crecimiento, en períodos limitados de

tiempo.

Observemos que el rango de y = 300 . 2x es el conjunto de los números reales

positivos y que la gráfica nunca interseca al eje X, aunque se aproxime

demasiado.

La gráfica de y = 300 . 2x interseca al eje Y cuando x = 0, lo que significa que:

y = 300 . 20 = 300 . 1 = 300

Este valor representa el número de bacterias con que se inicia el experimento. La

siguiente figura nos muestra dicho crecimiento.

97

Observemos que también la ecuación y = 300 . 2x define una ecuación, donde la

variable independiente x está en el exponente. Esta función se llama función

exponencial y su gráfica se llama curva exponencial. Esta curva exponencial

modela crecimientos exponenciales.

Lo anterior nos sugiere la siguiente definición:

Una función f definida por la ecuación f(x) = abx, con a 0, b > 0 y b 1, es una

función exponencial.

En la ecuación y = a . bx, b es el factor de crecimiento.

El dominio de f(x) = abx es el conjunto de todos los números reales; el recorrido es

el conjunto de todos los números reales positivos.

98

Por ejemplo, las siguientes funciones son exponenciales:

f(x) = 2x

h(x) = 5x2

I(x) = 3-x2 + x – 5

g(x) = ex

Las funciones exponenciales con base e, son usados en el cálculo para solucionar

diversos problemas.

Las funciones exponenciales son usadas en biología, física y química, para

estudiar el crecimiento de los organismos y difusión de sustancias.

Logaritmos.

Notación científica. Los técnicos y científicos, tienen que usar con frecuencia

números muy pequeños o muy grandes. Así por ejemplo en Química se trabaja

con el número de avogadro (602000000000000000000000) el cual es un numero

muy grande; es conveniente tener una expresión que lo represente de manera

simplificada; o bien se trabajaron numero muy pequeños tal como la masa del

electrón (0.0005499gr). Para lograr esta expresión se usa la notación científica.

N x 10n Donde N es un numero real cuyo valor esta entre 1 y 10 y puede ser un entero

positivo o negativo.

Ejemplo: tomando el numero de avogadro para expresarlo como notación

científica. Quedaría

6.02 x 1023

99

Y la masa del electrón

5.499 x 10-4gr

En general, para expresar en notación científica un número en forma decimal se

siguen los siguientes pasos.

a) corra el punto decimal hasta la derecha del primer digito distinto de cero.

b) Determine el exponente de diez contando el número de lugares que movió

el punto decimal.

c) Si movió el punto hacia la izquierda, el exponente es positivo.

d) Si movió el punto hacia la derecha el exponente es negativo.

Forma decimal. Notación científica

Ejemplo: 435 000 000 = 4.35 x 108

0.000 000 05 = 5 x 10-8 Operaciones con notación científica.

Adición: sumar las siguientes cantidades.

4.7 x 106 + 3.2 x 106 (es parecido a sumar términos semejantes. 3x4 + 5x4 = 8x4)

Sumamos (4.7 +3.2 )x 106 = 7.9 x 106

Cuando los exponentes son diferentes, se procede a igualarlos

Ejemplo.

Sumar 3.52 x 105 + 6.48 x 106 podemos expresar 3.52 x 105 = 0.352 x 106

y así obtuvimos los mismos exponentes.

Luego procedemos como en el ejercicio anterior.

3.52 x 105 + 6.48 x 106 = (0.352 + 6.48) x 106

= 6.832x 106

La resta funciona de igual forma que la suma.

Multiplicación. Para multiplicar números expresados en notación científica

utilizamos la propiedad de los exponentes ( am x an = am+n para este caso a = 10),

100

se multiplican los coeficientes, se deja la misma base y se suman o se restan los

exponentes dependiendo del signo que tengan.

Ejemplo: multiplicar (5 x 104 ) (9 x 105) = (5)(9) x 104+5

= 45 x 109

Multiplicar. (2 x 10-7) (6 x 103) = (2)(6) x 10-7+3

= 12 x 10-4

División. Para dividir números expresados en notación científica usamos la

propiedad de los exponentes am / an = am-n, Es decir, se dividen los coeficientes y

se restan los exponentes.

Ejemplo. Dividir 7.8 x 109 / 4 x 106 = ( ) x 109-6

= 1.95 x 103

Concepto de logaritmo: Si a > 0 y a 1, entonces loga x = b si, y solamente si, ab = x.

loga x = b. Se lee logaritmo en base a de x igual a b.

Ejemplos:

1. log5 1 = 0 puesto que 50 = 1

2. log2 32 = 5 puesto que 25 = 32

3. log2 1/16 = -4 puesto que 2-4 = 1/16

4. log10 0,01 = -2 puesto que 10-2 = 0,01

5. log8 4 = 2/3 puesto que 82/3 = 4

Logaritmos decimales.Son los logaritmos cuya base es diez.

Al expresar un numero Y como una potencia de 10 , el exponente x de 10 se llama

el logaritmo de Y

101

Se escribe: X = log10 Y o simplemente X = logY

Se acostumbra que cuando la base de los logaritmos sea 10, esta no se escribe.

De otro lado.

X = logY significa que: Y = 10X

Ejemplos

106 = 1000 000 log 1000 000 = 6

105 = 100 000 log 100 000 = 5

104 = 10 000 log 10 000 = 4

103 = 1 000 log 1 000 = 3

102 = 100 log 100 = 2

101 = 10 log 10 = 1

100 = 1 log 1 = 0

10-1 = 0,1 log 0,1 = -1

10-2 = 0,01 log 0,01 = -2

10-3 = 0,001 log 0,001 = -3

Propiedades de los logaritmos decimales.Si a, b son números positivos,

1. Logaritmo de un producto: Log (ab) = log a + log b “el logaritmo de un

producto es la suma de los logaritmos”.

2. logaritmo de un cociente: log = log a – log b “el logaritmo de un cociente

es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.”

3. logaritmo de una potencia: ak = k log a. “el logaritmo de una potencia es

igual al exponente por el logaritmo de la base.”

4. log (10x) = X “el logaritmo anula la exponenciación de X”.

102

5. 10loga = a “la exponenciación anula el logaritmo”.

6. log 1 = 0 “se sigue del hecho 1 = 100”

Ejemplo1. Encontrar si log4 a = ½

Solución.

log4 a = ½ 41/2 = a

a = 2

Ejemplo2. Encontrar b si logb 25 = 2

Solución: logb 25 = 2 b2 = 25

b = 5

Ejemplo3.

Antilogaritmos Hemos visto como determinar el logaritmo de un número n,

Por ejemplo: log2 32 = 5. en este caso n = 32.

Veamos ahora el problema inverso: dado el logaritmo de un número hallar el

número.

El numero correspondiente a un logaritmo dado se llama antilogaritmo (se escribe

antilog). Si log n = x, entonces, antilogx = n

Ejemplo: conociendo que el logaritmo de un numero n es 0.6021 ¿ cual será el

valor de n? Escribiendo en forma de ecuación log n = 0.6021

Usando la definición de logaritmo: n = 100.6021

Empleando la calculadora n = 4.0004

Como puede verse, el antilogaritmo decimal de un número es una potencia de 10

luego antilog (n) = 10n

103

Logaritmos naturales.También podemos formar logaritmos cuya base sea el numero irracional euler

(e = 2.718281), estos logaritmos reciben el nombre de logaritmos

naturales. Y se denota con el símbolo Ln, de tal forma ln x es la función inversa de

ex y satisface las siguientes relaciones.

elnx = x, si x >0 y ln(ex) = x Lo que quiere decir que el logaritmo natural anula la exponencial; y la exponencial

anula el logaritmo natural.

Propiedades de los logaritmos naturales.La función logaritmo cumple, entre, entre otras, las siguientes propiedades, las

cuales permiten transformar ciertas operaciones en otras más simples:

6. El logaritmo de un producto: ln (ab) = lna + lnb

7. El logaritmo de un cociente: ln ( ) = lna – lnb

8. El logaritmo de una potencia: ln ax = x lna.

9. Cambio se base: loga x =

10. ln1 = 0

104

APLICACIONES.

a) Cualquier capital C, a una tasa de interés del r % anual, capitalizando n veces al año, origina un saldo final igual a:

Ct = C (1 + ) n.

Ec1

b) al transcurrir t años, el saldo final obtenido es:

Ec2 Ct = C (1 + ) nt.

c) El capital final obtenido al depositar C pesos invertidos al r % anual

capitalizados continuamente es:

Ct = C ec.3

d) Al cabo de t años de capitalizar el interés continuamente, el saldo total al invertir C pesos al r %, es:

Ct = C ec.4

Otra aplicación importante de la función exponencial es una función que

represente un decrecimiento exponencial, ejemplo de esta tienen que ver con

depreciación de maquinaria, desintegración de sustancias radiactivas, etc.

Ejemplo, la función exponencial Q (t) = Q0

Representa un decrecimiento exponencial.

105

Ejemplo1:

La empresa “RE” desea realizar un préstamo bancario por $5 000 000, el banco le

ofrece las siguientes alternativas.

a) Con un interés anual del 15 % capitalizados mensualmente al año.

b) Con un interés del 15% capitalizados semestralmente por 3 años.

c) Con un interés del 15 % capitalizados continuamente.

d) con un interés del 15 % capitalizados continuamente por 3 años.

¿Cual opción escogerías?

Solución:

Para saber cual poción es mejor debemos calcular cual es el capital final para

cada una.

Así para a) usamos Ec.1 Ct = C (1 + ) n.

Ct = 5000 000

Ct = 5000 000

Ct = 5000 000

Ct = 5000 000 (1.1607)

Ct = 5 803 500

Para b) usamos la ec.2 Ct = C (1 + ) nt.

Ct = 5000 000

Ct = 5000 000

Ct = 5000 000

Ct = 5000 000 (1.54)

Ct = 7 716 507

Para c) usamos la ec.3 Ct = C

Ct = 5000 000 e

106

Ct = 5000 000 e

Ct = 5000 000 (1.1618)

Ct = 5 809 000

Para d) usamos la ec.4 Ct = C

Ct = 5000 000 e

Ct = 5000 000 e

Ct = 5 000 000 (1.5683)

Ct = 7 841 500

¿Analiza y decide cual opción escogerías?

Ejemplo2:

Resolver la ecuación:

Ln 6x = ln 20

Xln6 = ln 20

X =

X = 1.67

Ejemplo4:

Una población inicial Po está creciendo de tal forma que al casbo de un tiempo t,

en horas, 3Po = Po e0.04t. Hallar t

Solución)

Dividimos a ambos lados por Po.

Quedando la ecuación 3 = e0.04t

Aplicando logaritmo a ambos lados

Ln 3 = ln (e0.04t)

107

Ln 3 = 0.04t ln e

Ln 3 = 0.04t

Luego t = , t = 27.46 horas.

Ejemplo 5:

Cierta maquina se deprecia de tal forma que su valor después de t años esta dada

por:

V (t) = 1 400 000 e

¿Cuál es el valor de dicha maquina después de 6 años? V (6) = 1400 000 e

V (6) = 1400 000 (0.8352) V (6) = 1 169 280

108

Auto-evaluación No.5

1) Completo la siguiente tabla de valores y trazo la gráfica de la función x = 7-y.

Y -2 -1 0 1 2 3X 1 0.002

2. El número de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por ,q (t) =

200 e0.25t.

a) Halla el número inicial de bacterias.

b) Encuentra el número de bacterias en el cultivo después de 20 horas.

c) Completa los datos de la siguiente tabla.

t 1 4 8 10q(t)

3) Halle el valor de x en la ecuación dada:

a) 2 =

b)

c) 5 = 3 lnx - ln x

d) 3x = e2

e) –ln x = + C

4) Calcule la expresión sin usar calculadora.

a) ln e5

109

b) ln

c) eln9

d) e2 ln 3

e) e3ln2 – 2 ln

5) Está previsto que dentro de t años la población de cierto país será de

P (t) = 70 e millones

a) ¿Cuál es la población actual del país?

b) ¿Cuál será la población dentro de 30 años?

8) ¿cuánto dinero debe ser invertido hoy a un tipo anual de 9% capitalizado

continuamente, para que dentro de 20 años su valor sea de 32 000 000?

9) la cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t

años viene dada por una función de la forma Q (t) = Q e . Al final de 1000

años quedan 4 000 gramos de sustancia. ¿Cuántos gramos había inicialmente?

6. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL

OBJETIVO GENERALES:

Resolver problemas que involucren el concepto de tasa de

cambio.

110

Aplicar el concepto de derivada en la solución de problemas

de aplicación.


COMPETENCIAS:

Uno de los conceptos útiles en el estudio de diversos fenómenos naturales, como

el enfriamiento, las ondas, y la electricidad es la derivada además de tener

muchas aplicaciones en las ciencias económicas. Para introducir este concepto

definiremos primero la razón de cambio.

La Razón De Cambio De Una Función Real

Dada una función

f (x) = f(x2) – f(x1) “Cambio en f (x)”

x = x2 – x1 “Cambio en x”

rc = , donde x1, x2 R y x2 - x1

Y (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) existen. “Razón de cambio de F(x)”

Ejemplo:

Un cubo de hielo se derritió de acuerdo con la siguiente tabla

VOLUMEN Cm3

TIEMPOOBSERVACIONES

1000 Cm3 0 1

825 Cm3 60 Seg 2

780 Cm3 75 Seg 3

500 Cm3 200 Seg 4

145 Cm3 900 Seg 5

50 Cm3 1200 Seg 6

111

0 2400 Seg 7

Cual es la razón de cambio entre l a 2 y 3 observación del volumen de hielo?

t2 = 60 Seg t3 = 75 Seg

v2 = 825 Cm3 v3 = 780 Cm3

rc=

rc= -3 cm3/seg, esto significa que hubo una perdida de 3 cm3 de volumen por cada

segundo en promedio.

Dada , halle rc, para x =1 x=4

Hallamos f(1) = 2(1)+1 = 3 x1 = 1

F (4) = 2(4) + 1= 9 x2 = 4

rc =

Estos nos indica que la función f aumento 2 unidades por cada

Unidad del dominio. Para las funciones lineales la razón de cambio es

Constante y corresponde al valor de la pendiente.

Dada M: halle rc para x1 = 0 x2 =1

Calculamos f(0) = 1 x = 0

f (1) = 2 x = 1

112

Esto significa que la función M tuvo un aumento de 1 unidad por cada unidad del

dominio.

La derivada es la razón de cambio para una diferencia de dominio infinitamente

pequeña. Que tal si ahora quisiéramos saber como fue el desgaste del hielo para

la expresión de tiempo de magnitud más pequeña posible, es casi pretender el

incremento sobre un punto.

REGLAS PARA LA DERIVACIÓN.

1) Derivada de la función potencia. La derivada de la función potencia y = f(x) = axn f`(x) = naxn-1

Ejemplo: sea f(x) = 3x5 hallar f,(x) = 3(5)X5-1

f,(x) = 15 X4

2) Derivada de una función constante. Sea f(x) = k f`(x) = 0 Ejemplo Sea f(x) = 15 f`(x) = 0

3) Derivada de la suma y la diferencia.

=

113

4) derivada de un producto

5) derivada de un cociente

Ejemplos:

Sean las funciones f(x) = y g(x) =

Hallar.

a) =

b)

c)

d)

Solución:

a) =

= 6x + 15x2

b) =

114

= 6x – 15x2

c)

= (3x2) (15x2) + (5x3) (6x) = 45x4 + 30x4

= 75 x4

d)

=

=

=

=

6) Regla de la cadena.

Si y es una función que depende de u, y = y(u), donde u es una función que a su

vez depende de x, u = u(x), entonces la derivada de y con respecto a x se calcula

así:

= .

Ejemplo:

a) Calcule la derivada de f(x) = (4x7 – 5x2)3

f´(x) = 3 (4x7 – 5x2) (28x6 - 10x)

b) sea f(x)= , calcule f´(0),

Se calcula f´(x), aplicando regla de la cadena.

115

Escribimos a f(x) =

Así: f´(x) = .

f´(x) =

f´(0) = = (-9)

=

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ejemplo1.

La ecuación C(x) = 50 000 + 1 500x determina el costo al producir x unidades.

¿Cuál es el aumento en los costos al incrementar la producción de 700 a 900

unidades?

Solución:

c = c(x2) – c(x1)

= c (900) – c (700)

= -

= $300 000

El incremento en los costos es de $300 000.

Ejemplo2.

116

La siguiente ecuación de la demanda

40p = 5 000 – 150x

Relaciona el numero de de unidades vendidas, x, a un precio p.

Calcular el aumento en las ventas al incrementar el precio de $ 50 a $ 57.50

Solución:

Al escribir x como una función de p, obtenemos:

X(p) =

Luego = x2 – x1

= x (p2) - x (p1)

= -

= 18 – 20

= -2

Entonces x = -2

El incremento es negativo significa que al aumentar el precio disminuye el numero

de unidades vendidas

AUTO-EVALUACIÓN NO.6

1) la ecuación C(x) = 30 000 + 800x. Determina el costo al producir x unidades,

¿Cuál es el aumento en los costos al incrementar la producción de 300 a 550

unidades?

2) la siguiente ecuación de demanda

80p = 8 000 – 400x

Calcule el aumento en las ventas al incrementar el precio de $30 a $35.

117

3) calcule la derivada de

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

BIBLIOGRAFÍA

Carl B. Allendoefer. Matemáticas Universitarias. Editorial Mc. Graw Hill.

Cuarta edición 1990.

Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias

Sociales y de la Vida. Editorial Prentice may, octava edición, 2001.

Microsof Encarta enciclopedia.

Matemáticas, Física y Química. Millenium Enciclopedia temática Círculo.

118

1 · web viewla expresión x = se denomina formula para la solución de una ecuación cuadrática...

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