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Tutor académico: Javier Prieto Tejedor, Fernando De la Prieta y Guillermo Hernández González

Título en español: Extensiones de los números reales en redes neuronales convolucionales

Título en inglés: Extensions of the real numbers in convolutional neural networks

Descripción:

Las redes neuronales convoluciones tienen un papel fundamental en el estado del arte del campo de la visión computacional, incluyendo problemas como el reconocimiento de imágenes, la detección de imágenes manipuladas o la detección automática de copias modificadas de vídeos.

Uno de sus principales debilidades es la propensión al sobreentrenamiento, que puede impedir que la red generalice de forma adecuada los ejemplos con que se entrena. Una posibilidad de evitar esto es mediante un diseño específicamente orientado a la operación que deben desempeñar. Varias extensiones de los números reales, como pueden ser los números complejos y los cuaterniones, recogen de forma natural algunas propiedades de las imágenes, por lo que recientemente se ha empezado a considerar la posibilidad de su empleo para diseñar redes neuronales con un mejor desempeño en estas tareas.

En este trabajo se propone al estudiante revisar las tendencias emergentes en redes neuronales convolucionales con complejos y cuaterniones, preparando una síntesis de la base teórica existente y revisando la validez de estas propuestas.

Área de conocimiento preferente: Matemática aplicada

Asignaturas relacionadas: Informática I, Informática II, Álgebra

Modalidad: Trabajo teórico-experimental

Bibliografía: - Guberman, N. (2016). On complex valued convolutional neural networks. arXiv preprintarXiv:1602.09046.- Zhu, X., Xu, Y., Xu, H., & Chen, C. (2018). Quaternion convolutional neural networks.En Proceedings of the European Conference on Computer Vision (ECCV) (pp. 631-647).

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Tutor académico: Javier Prieto Tejedor, Fernando De la Prieta y Roberto Casado Vara

Título en español: Aplicación de la teoría de grafos para encontrar la ruta óptima en el transporte de mercancías de la última milla.

Título en inglés: Use of graph theory to find the optimal route in last-mile shipping.

Descripción:

En matemáticas, la teoría de grafos y la teoría espectral de grafos estudian las propiedades de los grafos a través de sus representaciones matriciales y de sus respectivos espectros. A partir del estudio de la teoría espectral de grafos se obtienen importantes propiedades de los grafos que sirven para conocer con mayor detalle la red que se está representando en el grafo.

Dentro de la teoría de grafos hay algunos algoritmos que sirven para buscar información subyacente en los grafos como por ejemplo el camino más corto entre algunos de sus vértices. Haciendo uso de la teoría de grafos, la teoría espectral de grafos y los algoritmos usados para los grafos, se buscará una solución óptima al problema de las rutas en el transporte de mercancías en la última milla.

El alumno tendrá que revisar el estado del arte de la teoría de grafos, su teoría espectral y de los algoritmos más comunes relacionados con los grafos. Por último, tendrá que aplicar el conocimiento adquirido sobre los grafos para dar una solución al problema del transporte de mercancías en la última milla.

Área de conocimiento preferente: Matemática aplicada

Asignaturas relacionadas: Álgebra Lineal, Matemática discreta y optimización.

Modalidad: Trabajo teórico-experimental

Bibliografía:

[1] Bondy, J. A., & Murty, U. S. R. (1976). Graph theory with applications (Vol. 290). London:Macmillan.

[2] West, D. B. (1996). Introduction to graph theory (Vol. 2). Upper Saddle River, NJ: Prentice hall.

[3] Deo, N. (2017). Graph theory with applications to engineering and computer science. CourierDover Publications.

[4] Agnarsson, G., & Greenlaw, R. (2007). Graph theory: Modeling, applications, and algorithms.Pearson/Prentice Hall.

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PROPUESTAS TRABAJOS FIN DE GRADO Curso 2019/2020.

Graduado en Matemáticas

Título: CLASIFICACIÓN DE ENDOMORFISMOS CON POLINOMIO ANULADOR EN ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA.

Tutor: Fernando Pablos Romo

Área de conocimiento preferente: Álgebra

Área de conocimiento afín: Geometría y Topología

Tipo: TRABAJO DE REVISIÓN E INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA.

Modalidad: Específico

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta:

- Álgebra Lineal I (1º curso).- Álgebra Lineal II (1º curso).- Álgebra Conmutativa y Computacional (3º curso).

Citas bibliográficas:

- M. Atiyah, J. M. Macdonall, Introducción al álgebra Conmutativa, Ed. Reverte (1989).

- M. Castellet e I. Llerena, Álgebra Lineal y geometría, Ed. Reverté (1991).

- D. Hernández Ruipérez, Álgebra Lineal, Manuales Universitarios Universidad deSalamanca (1985).

- J. A. Navarro, Álgebra Conmutativa Básica, Manuales de la UNEX, 19.

Descripción: El trabajo consistirá en recopilar resultados que permitan la clasificación de endomorfismos en espacios vectoriales de dimensión infinita que tengan un polinomio anulador. El trabajo contendrá la clasificación de módulos finito generados sobre anillos íntegros y de ideales principales, de la que se deduce la clasificación rigurosa de endomorfismos en espacios vectoriales de dimensión finita. Los invariantes que se determinen para clasificar endomorfismos en espacios vectoriales de dimensión infinita deben generalizar la clasificación en el caso de dimensión finita. El trabajo deberá incluir varios ejemplos numéricos de cómputo de invariantes en el caso de dimensión infinita que permitan al lector conocer la forma de cálculo de los mismos.

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Título: Morfismos de Abel (Abel morphisms)

Tutor: Ana Cristina López Martín


Área de conocimiento afín: Geometría

Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante) / General (para varios estudiantes): Especifico

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Álgebra Conmutativa, Ampliación de Álgebra Conmutativa, Geometría Algebraica afín y Geometría Algebraica

Citas bibliográficas (al menos 2):

(1) E. Arbarello, M. Cornalba, P.A. Griffiths, J. Harris, Geometry of Algebraic Curves,Volume I, Grundlehren der mathematishen Wissenschaften, Volume 267 (1985)

(2) C. Birkenhake, H. Lange, Complex Abelian Varieties, Grundlehren dermathematishen Wissenschaften, Volume 302 (2004)

Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):

La primera parte del trabajo consistirá en estudiar el morfismo de Abel de una curva proyectiva lisa. Se comenzará con las construcciones algebraica y analítica de la variedad Jacobiana de una curva. A continuación, se definirá de morfismo de Abel-Jacobi y se estudiarán sus propiedades. Dado que dicho morfismo se define de forma natural para familias de curvas lisas y las curvas lisas degeneran en curvas singulares, es natural preguntarse cómo los morfismos de Abel degeneran, y por tanto cómo se construyen dichos morfismos para curvas singulares. Puesto que muchos de los teoremas clásicos que se prueban para curvas lisas no se verifican para curvas singulares, en la segunda parte del trabajo se analizarán los problemas que aparecen al definir los morfismos de Abel para curvas singulares.

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Título: Functor de puntos en Geometría Algebraica. Aplicación a la construcción de la variedad de Picard

Tutor: Carlos Sancho de Salas



Tipo:

Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante)

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Ampliación de Algebra, Geometría Afín y Geometría Algebraica.


A. Grothendieck, "Eléments de géomètrie algébrique. I Le langage des schémas" Publ.Math. IHES : 4 (1960) pp. 1–228

C. Chevalley, "Sur la théorie de la variété de Picard" Amer. J. Math. , 82 (1960) pp.435–490.


Se trata de introducir el lenguaje del functor de puntos sobre álgebras, como lenguaje común en Geometría, de modo que permite aclarar y simplificar las nociones introducidas tanto en la asignaturas de Algebra Conmutativa, Geometría Algebraica y Diferencial, así como la construcción de variedades naturales asociadas a variedades dadas, como son los fibrados tangentes, cotangentes, variedades asociadas a módulos, conjuntos etc.

Se construirá de modo detallado las variedades de Hilbert y Picard en casos elementales en los que tal construcción es razonablemente asequible.

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Título: Homología y cohomología de espacios finitos / Homology and cohomology of finite spaces

Tutor: Fernando Sancho de Salas



Tipo:


Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Topología Algebraica, Topología.


Barmak, Jonathan A. Algebraic topology of finite topological spaces and applications. Lecture Notes in Mathematics, 2032. Springer, Heidelberg, 2011. xviii+170 pp. ISBN: 978-3-642-22002-9; 978-3-642-22003-6.

McCord, Michael C. Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. Duke Math. J. 33 (1966), 465–474.


Se trata de desarrollar la teoría de homología y cohomología en el contexto de los espacios topológicos finitos y su relación con los complejos simplicales finitos. En primer lugar se hará un estudio de los haces y los cohaces sobre un espacio finito y de sus operaciones fundamentales: secciones y cosecciones, imágenes directas e inversas, homología y cohomología; seguidamente se estudiarán las sucesiones exactas fundamentales: Mayer-Vietoris, cohomología local, subespacio cerrado. También se estudiará la relación de los espacios finitos con los complejos simpliciales finitos y la realización geométrica, siguiendo las ideas de McCord.

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https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=820453

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/series.html?id=589


https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/journaldoc.html?id=477

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg1=ISSI&s1=374231


PROPUESTA TRABAJO FIN DE GRADO Curso 2019/2020.


Título: Complejos simpliciales y espacios topológicos finitos. Aplicación al Análisis Topológico de Datos.

Title: Simplicial complexes and finite topological spaces. Applications to Topological Data Analysis.

Tutor: Darío Sánchez Gómez.

Área de conocimiento preferente: Álgebra.

Área de conocimiento afín: Geometría y topología.

Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica centrados en diferentes campos relacionados con la titulación.


Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Topología, Topología algebraica.


[1] Carlsson, M., Topology and Data, Bulletin of the American Mathematical Societyno. 46: 255-308, 2009.

[2] McCord, Singular Homology groups and homotopy groups of finite topologicalspaces, Duke Math. J., 33: 465-474, 1966.

[3] Munkres, J. R. Elements of algebraic topology, Addison-Wesley PublishingCompany, Menlo Park, CA, 1984.

[4] Patania,A. and Vaccarino, F. and Petri, G., Topological analysis of data, EPJ DataScience, vol. 6, Article ID 7, 2017.

[5] Stong, R. E. Finite topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 123: 325-340,1996.


Las herramientas usuales del manejo de bases de datos resultan insuficientes a la hora de analizar conjuntos de información muy grandes y complejos y, por lo general, sin

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ninguna estructura (Big Data). Una de las técnicas desarrolladas recientemente para estudiar y analizar grandes cantidades de información es el Análisis Topológico de Datos (TDA, por sus siglas en inglés), el cual desarrolla métodos matemáticos con el propósito de inferir información de un sistema de datos, mediante el análisis de las estructuras topológicas y geométricas subyacentes a la información o a los datos, a partir de muestras representadas como un espacio topológico combinatorio. La idea subyacente consiste en asociar al sistema, o red compleja de datos que se está analizando, complejos simpliciales e inferir características cualitativas del conjunto a partir de la homología de dichos complejos [1,4]. Por otro lado, la Teoría de McCod [2] analiza la relación de los complejos simpliciales con los espacios topológicos finitos, mostrando que todo espacio topológico finito tine el mismo tipo de homotopía débil que la realización geométrica de un complejo simplicial.

El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es introducir al estudiante en la teoría de complejos simpliciales y en la de los espacios topológicos finitos, y sus aplicaciones al Análisis Topológico de Datos. De modo más concreto, se pretende lo siguiente:

1. Estudiar de manera datallada la categoría de complejos simpliciales y lahomología simplicial [3].

2. Presentar una introducción de los aspectos básicos de la teoría de los espaciostopológicos finitos [5].

3. Analizar la relación existente entre los espacios topológicos finitos y loscomplejos simpliciales.

4. Mostrar la relevancia de ambas teorías en el Análisis Topológico de Datos.

PROPUESTAS TRABAJOS FIN DE GRADO Curso 2019/2020


Título: Integración de ecuaciones diferenciales mediante simetrías

Tutor: Jesús Rodríguez Lombardero

Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático


Tipo: 2

Modalidad: Específico (1 estudiante)

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Geometría Diferencial II, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Métodos Geométricos en Ecuaciones Diferenciales.


[1] Bluman G. W; Anco, S. C.: Symmetries and integration methods of differentialequations, Springer, New York, 2002.

[2] Blumann, G.W.; Cole, J.D.: The general similarity solutions of the heat equation, J.Math. Mech. 18 (1969), 1025-1042.

[3] Muriel, C.; Romero, J. L.: New method of reduction for ordinary differentialequations, IMA Journal of Applied Mathematics 66 (2001), 111-125.

[4] Olver, P.J.: Applications of Lie groups to differential equations, Springer, New York,1993.


A mediados del siglo XIX el matemático noruego Sophus Lie demostró que muchos de los métodos de integración conocidos para ecuaciones diferenciales ordinarias son consecuencia de la invarianza de la ecuación considerada por un grupo de transformaciones; basándose en esta idea desarrolló una teoría en cierto modo análoga a la teoría de Galois; la resolubilidad del grupo de simetrías permite, en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la reducción del orden o su integración por cuadraturas.

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En el caso de las ecuaciones en derivadas parciales la situación es más compleja; hay numerosos trabajos en los que las simetrías de una ecuación en derivadas parciales se usan para reducir la integración del sistema considerado a la de otro sistema con menor número de variables independientes.

El trabajo que se propone consiste en estudiar, en el marco de la geometría de los espacios de jets, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, la noción clásica de simetría, su aplicación a la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias [4,1] y, si el tiempo y el espacio lo permiten, alguna de sus generalizaciones, como las simetrías condicionales [2] o las lambda-simetrías [1].

PROPUESTATRABAJOFINDEGRADO

GraduadoenMatemá<cas

Título:Fraccionescon<nuas

Tutor:LuisManuelNavasVicente

Áreadeconocimientopreferente:Álgebra

Áreadeconocimientoa4n:AnálisisMatemá<co

Tipo:2(Trabajoderevisióneinves<gaciónbibliográfica)

Modalidad:Específico(1estudiante)

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):Análisis I-IV, Álgebra Lineal I-II, Álgebra, Geometría, Análisis Complejo, EcuacionesAlgebraicasyTeoríadeGalois,AnálisisArmónico.

Citasbibliográficas(almenos2):

1. HaroldDavenport,TheHigherArithme<c,CambridgeUniversityPress(1982).

2. G.H.Hardy, E.M.Wright,An introduc<on to the theoryofnumbers,Oxford,ClarendonPress(1979).

3. AllenHatcher,TopologyofNumbers,AMSOpenMathNotes(2017).

4. Juan LuisVarona,Recorridospor la TeoríadeNúmeros, EdicionesElectolibris,coediciónconlaRSME(2014).

Descripción(almenos500caracteresincluidosespacios):

Eltrabajoproponeelestudiodelasfraccionescon<nuas,quesonlasexpresionesdelaforma

�

donde los � son en general números enteros. Cuando son todos posi<vos y los� , se dice que la fracción es simple ó regular. Se trata de encajar fraccionesrepe<damente dentro de otras fracciones, pudiendo parar tras un número finito depasos o creando una sucesión infinita. En este úl<mo caso se ob<enen algunasfórmulassorprendentes.Porejemplo,larazónóproporciónáureaes

a0 +a1

b1+a2

b2+a3

b3 + ⋯

an, bnan = 1

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http://brumario.usal.es/search~S1*spi?/Xthe+higher+arithmetic&searchscope=1&SORT=R/Xthe+higher+arithmetic&searchscope=1&SORT=R&SORT=RZ&extended=0&SUBKEY=the+higher+arithmetic/1%252C2%252C2%252CB/frameset&FF=Xthe+higher+arithmetic&searchscope=1&SORT=R&1%252C1%252C#.W0-7Qy2mO6c

http://brumario.usal.es/search~S1*spi?/Xan+introduction+to+the+theory+of+numbers&searchscope=1&SORT=R/Xan+introduction+to+the+theory+of+numbers&searchscope=1&SORT=R&SORT=RZ&extended=0&SUBKEY=an+introduction+to+the+theory+of+numbers/1%252C10%252C10%252CB/frameset&FF=Xan+introduction+to+the+theory+of+numbers&searchscope=1&SORT=R&4%252C4%252C#.W0-8DC2mO6e

https://www.ams.org/open-math-notes/omn-view-listing?listingId=110676

http://electolibris.es/tienda/index.php/matematicas/recorridos-teoria-numeros-ebook.html

Númeroscomo� ó � ,cuyos desarrollosdecimalesparecenaleatorios(ydehecho,sesuponequeloson,aunqueestonosehayademostrado)<enensinembargofraccionescon<nuasquesiguenunpatrónregular.UnejemplofamosodeEuleres

yparapitenemoslanomenoselegante

Este<podefórmulassuelededucirsedeexpresionesparafuncionesconocidascomofraccionescon<nuasdelavariable,siendoportantoun<podedesarrollocomoeldeTaylor,oeldeFourier,peromás«exó<co».

Lasfraccionescon<nuasllamadassimplesóregulares<enenunaestrecharelaciónconlassolucionesenenterosdela(mal)conocidacomoecuacióndePell

�

e π

x2 − ny2 = 1

ϕ =1 + 5

2= 1 +

1

1+1

1+1

1+1

1 + ⋯

e = 2 +1

1+1

2+1

1+1

1+1

4+1

1+1

1+1

6 + ⋯

π = 3 +12

6+32

6+52

6+72

6 + ⋯

siendo� natural,unaecuaciónestudiadadesdehacemásdedosmilañosconmul<tuddeaplicaciones,porejemploalde lasrepresentacionesdeenterosporsumasdedoscuadradosenteros.

Las fracciones con<nuas son fundamentales en los problemas de irracionalidad ytrascendencia de números: un número con una fracción con<nua simple infinitaautomá<camente es irracional. En general, la fracción con<nua mide «cómo deirracional» ó «cómo de trascendente» es un número, mediante la teoría de laaproximaciónDiofán9ca.

Las fracciones con<nuas también están relacionadas con los sistemas dinámicosdiscretos, donde se estudia qué ocurre al aplicar repe<das veces una función. Porejemplo la fracción con<nua anterior para la razón áurea se ob<ene repi<endo laaplicación de la función � empezando con � . Una fracción con<nua

general se puede expresar como una composición infinita de transformaciones deMöbius u homograkas, que son las funciones de la forma � y se estudian en al

AnálisisComplejoyenGeometríapordiversosmo<vos.

Se trata pues de un tema con numerosos aspectos y ramificaciones, que permiteescogerelenfoquesegúnelinteréspar<cular.

n

x ↦ 1+ 1x x = 1

az + bcz + d



Título: Una introducción al Cálculo Umbral. Polinomios ortogonales.

The Umbral Calculus: An Introduction. Orthogonal Polynomials

Tutora: María Jesús Senosiain Aramendía


Área de conocimiento afín: Álgebra

Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.


Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):

Análisis Funcional. Teoría de operadores.


El Cálculo Umbral clásico, como se conoció desde 1850 hasta los años ‘70 consistía en unas técnicas simbólicas para manipular sucesiones cuyo rigor matemático dejaba mucho que desear pero que produjo ciertos resultados relevantes. En los años ’70 G. C. Rota empezó a construir una teoría rigurosamente fundamentada basada en lasideas de funcionales lineal, operadores lineales y adjuntos. Esta teoría es el tema aestudiar en este trabajo. Además se incluye el estudio de una clase de sucesionesllamadas sucesiones de Scheffer, y en particular las sucesiones de Appell, y su relacióncon conocidas familias de polinomios ortogonales que aparecen a menudo enaplicaciones Físicas, Combinatoria, etc


1.- R. Roman and G.C. Rota , The umbral Calculus. The Advances in Mathematics 27, 95-188 (1978)

2.- S. Roman, The Umbral Calculus I. Academic Press, Inc (1984)

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Grado en Matemáticas

Título: Integración de funciones con valores en un espacio de Banach.

Tutor: Mercedes Maldonado Cordero


Área de conocimiento afín: Matemática Aplicada



Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Análisis Funcional, Análisis Complejo y Análisis Armónico.


• Rodríguez Ruiz, J.: Integración en espacios de Banach. Tesis doctoral. Universidadde Murcia (2006) ISBN: 8468982474.

• Aliprantis, C.D., Border, K. C.: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide.3rd edition. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1999, 2006.


En este trabajo se pretenden recoger algunos de los resultados existentes sobre los distintos tipos de integrales que extienden la integral de Lebesgue a funciones con valores en un espacio de Banach. Se realizará un estudio previo sobre series en espacios de Banach, medidas vectoriales y medibilidad en espacios de Banach. Posteriormente se definirán algunas integrales de funciones con valores en un espacio de Banach:

• La integral de Pettis o integral de Gelfand-Pettis , llamada integral débil, dadoque está definida utilizando el dual del espacio de Banach.

• La integral de Bochner, definida como el límite de funciones simples y conocidacomo integral fuerte. Es muy utilizada en la teoría de los espacios de Banach.

• La integral de Birkhoff, que surge de la interpretación de Fréchet de la integralde Lebesgue, en la que se reemplazan (en la definición de integral de Riemman)los intervalos por conjuntos medibles arbitrarios y se consideran particionesnumerables en lugar de particiones finitas. Así, en el caso de funcionesvectoriales, se utilizan particiones numerables del espacio de partida y seriesincondicionalmente convergentes.

Finalmente se estudiará la relación entre las distintas integrales definidas.

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Título: Algunos resultados de existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes.

Tutor: Ricardo J. Alonso Banco


Área de conocimiento afín:

Tipo: Revisión bibliográfica


Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Ecuaciones en derivadas parciales, Ecuaciones diferenciales, Análisis funcional, Análisis armónico.

Citas bibliográficas (al menos 2): [1] Tao, T., Notas del curso: Incompressible fluid dynamics, 254A, UCLA, página webWordpress, 2018.[2] Taylor, M.E., Partial differential equations, Vol I, II, III, Springer-Verlag, New York,1996.[3] Temam, R., Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, Siam,Philadelphia, 1995.

Descripción: El objetivo del trabajo propuesto es el de presentar algunos de los resultados básicos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales que describen el comportamiento de los fluidos incompresibles, específicamente, de las ecuaciones de Navier-Stokes. Aunque es sabido que éste es un campo de investigación muy abierto, algunas cuestiones sobre existencia y unicidad local pueden ser abordadas una vez en disposición de ciertas herramientas fundamentales del análisis matemático: operadores diferenciales, espacios de Sobolev, distribuciones, transformada de Fourier, etc. El posible guión del trabajo sería seguir parte del curso de T. Tao [1] y algunos capítulos del texto de R. Teman [2] (las herramientas necesarias que no se hayan visto en el grado podrán tomarse, por ejemplo, de M.E. Taylor [2], Vol.I).

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Propuesta Trabajo Fin de Grado para el curso 2019/20

Grado en Matemáticas (Área de Geometría y Topología)

Título: Aplicaciones armónicas entre variedades riemannianas.

Tutor: Antonio López Almorox

Área de Conocimiento preferente: Geometría y Topología

Área de Conocimiento afín: Análisis Matemático.

Tipo: Trabajo de revisión bibliográfica e investigación Modalidad: específica (1 estudiante)

Descripción:

Las aplicaciones armónicas entre variedades riemannianas son soluciones de problemas variacionales asociados a la denominada energía de una tal aplicación. Este concepto sintetiza y generaliza ciertas nociones esenciales de Geometría Diferencial tales como las geodésicas (relacionados con las aplicaciones armónicas en una dimensión), las superficies mínimas (relacionados con las aplicaciones armónicas en dos dimensiones), inmersiones isométricas (que aparecen en el estudio de difeomorfismos armónicos en dominios bidimensionales) o las funciones y campos vectoriales armónicos. Las aplicaciones armónicas están estrechamente relacionadas también con las aplicaciones holomorfas de varias variables complejas y aparecen en teoría de los procesos estocásticos, en la teoría de campos no lineales en Físicas Teórica, etc.

El trabajo que se propone es un trabajo de revisión bibliográfica e investigación sobre las aplicaciones armónicas entre variedades riemannianas. El objetivo fundamental es analizar los aspectos y propiedades geométricas básicas de dichas aplicaciones desde un punto de vista intrínseco geométrico y del cálculo de variaciones. Para ello el/la estudiante deberá inicialmente familiarizarse con los fibrados vectoriales sobre variedades diferenciables, sus operaciones y las leyes de derivación covariantes inducidas de manera natural sobre los mismos. Deberá también conocer y utilizar los operadores diferenciales naturales asociados a una variedad riemanniana que sean necesarios para el desarrollar este trabajo, así como los conceptos de segunda forma fundamental de una aplicación diferenciable entre variedades riemannianas y el campo de tensiones de la misma que permite introducir las aplicaciones armónicas como aplicaciones de tensión nula. El estudiante deberá buscar en la literatura diferentes aplicaciones geométricas y ejemplos de este concepto y tales como las inmersiones isométricas, estudio de superficies de curvatura media constante, etc. En una segunda fase, el/la estudiante deberá también mostrar cómo dichas aplicaciones armónicas aparecen como los valores críticos del problema variacional asociado a la funcional energía de la aplicación. Posteriormente analizará la segunda fórmula de variación para establecer la estabilidad de estas aplicaciones en términos del espectro del operador de Jacobi correspondiente y analizar, por ejemplo, el teorema de Xin sobre la

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inestabilidad de las aplicaciones armónicas sobre la esfera o el teorema de Smith sobre estabilidad de la aplicación identidad. Dependiendo del desarrollo del programa anterior, se le propondrá analizar los aspectos geométricos riemannianos que hay tras el método del flujo del calor que permite establecer y demostrar la existencia de aplicaciones armónicas entre dos variedades y tratar de entender el teorema de Eells y Sampson que a firma que cualquier aplicación continua entre dos variedades riemannianas compactas puede deformarse homotópicamente a una aplicación armónica bajo ciertas condiciones sobre la curvatura.

Referencias bibliográficas:

[1] D. Perrone: ``Un’ introduzione alla Geometria Riemanniana’’. Aracne. 2011.

[2] J. Eells y J.H. Sampson: ``Harmonic Mappings of Riemannian Manifolds’’. Amer. J. Math. ,Vol. 86, nº 1, 1964, pp. 109-160.

[3] J. Eells y A. Ratto: ``Harmonic Maps and Minimal Inmersion with Symmetries’’. Annals ofMathematics Studies, nº 130. Princeton University Press. 1993.

[4] Y. Xin: ``Geometry of Harmonic Maps’’. Progress in Nonlinear Differential Equations andTheir Applications, vol. 23. Birkhauser. 1996.

[5] F. Lin y C- Wang : ``The analysis of Harmonic Maps and Their Heat Flows’’. World Scientific.2008

[6] S. Dragomi y D. Perrone. ``Harmonic Vector Fields. Variational Principles and DifferentialGeometry’’. Elsevier. 2012.



Título: Deformaciones de variedades algebraicas y móduli local. Title: Deformations of algebraic varieties and local moduli. Tutor: Daniel Hernández Ruipérez

Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología


Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica



Geometría Algebraica, Geometría Algebraica Afín, Álgebra Conmutativa y Computacional


- Edoardo Sernesi, “Deformations of Algebraic Schemes”. Grundlehren dermathematischen Wissenschaften, 334. Springer Verlag (2000).

- Robin Hartshorne, “Deformation Theory”, Graduate Texts in Mathematics 257,Springer-Verlag (2010). DOI 10.1007/978-1-4419-1596-2

- L. Abrams, “Two-dimensional topological field theories and Frobenius algebras”.Journal of Knot Theory and Ramifications 5, 335-352 (2000).

Descripción: El trabajo es una introducción a la teoría de deformaciones de variedades algebraicas no singulares con especial énfasis en el caso de curvas algebraicas. La teoría de deformaciones permite abordar problemas de móduli local de variedades algebraicas de modo constituyendo un método para conocer la estructura local de los “espacios de móduli”, es decir, de los espacios cuyos puntos se corresponden con las variedades de una determinada familia. Un ejemplo será el de la familia de las curvas algebraicas no singulares de género fijo. Esta familia puede dotarse (bajo ciertas hipótesis que no serán importantes para el trabajo) de la estructura de una variedad algebraica. La teoría de las deformaciones permite en este caso determinar como es esta variedad en “un entorno del punto correspondiente a una curva prefijada” y determinar su dimensión. El estudiante tendrá la oportunidad de utilizar diversas técnicas de álgebra conmutativa y geometría algebraica en un problema concreto. Deberá revisar la teoría de derivaciones y diferenciales, estudiar el concepto de deformación infinitesimal de una variedad y su relación con derivaciones locales (o vectores tangentes) y calcular el espacio de estas deformaciones, primero en el caso afín, y luego en general como un grupo de cohomología. Para eso tendrá que

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utilizar métodos de álgebra conmutativa en el caso afín, y métodos cohomológicos en el caso general. Finalmente, deberá comprender la relación entre las deformaciones y los espacios de móduli locales.



Título: Ciencia de redes: aplicaciones de la teoría de grafos e introducción al análisis de datos topológico. Title: Network Science: applications of graph theory and an introduction to topological data analysis. Tutor: Daniel Hernández Serrano






Álgebra Lineal I y II - Álgebra – Geometría - Matemática Discreta.

Sería conveniente, para la última parte del trabajo, tener nociones básicas de Álgebra Conmutativa y Computacional y de Topología Algebraica.


- A. Barabási, “Network Science”. Cambridge University Press (2016).- S.V. Maletic, “Simpicial complexes and complex networks: the influence of

higher-order (sub)structures on network properties”. Doctoral Dissertation,Belgrade (2013).

Descripción: Las redes aparecen casi en todas partes: el cerebro es una red de neuronas conectadas por la sinapsis, las células son redes de moléculas conectadas por reacciones químicas, las sociedades son redes de personas unidas por amistad, parentesco o relaciones profesionales, los ecosistemas son redes de especies, las redes de transporte, de transmisión eléctrica, de colaboraciones científicas … Es decir, son una parte importante en ámbitos tan dispares como las ciencias sociales, las ciencias biomédicas o las ciencias de la información. Este trabajo pretende introducir al estudiante en la modelización matemática de redes para poder entender su estructura, topología y propiedades. El trabajo es un ejercicio de revisión bibliográfica que comenzará estudiando y repasando conceptos básicos de la teoría de grafos y su relación con las redes complejas. Las redes nos son más que grafos donde los vértices representan a los agentes y los enlaces las interacciones entre dos agentes, se dicen complejas cuando pequeñas modificaciones locales conducen a cambios significativos de la red global. Desde este punto de vista, se

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estudiarán algunas medidas de centralidad en redes, que permiten decidir la importancia de los vértices o agentes en función de distintos parámetros, por ejemplo, en función de sus enlaces (los “influencer” en redes sociales), o de su capacidad de intermediación de información entre otros vértices (medidas de cercanía, lejanía o intermediación), etc.

Durante 40 años, la ciencia trató las redes complejas como redes aleatorias, y este paradigma tiene su raíz en el trabajo de los matemáticos Erdös y Rényi, que en 1959 describieron de este modo ciertas redes en ciencias de la comunicación: cojamos ‘n’ agentes y conectémoslos aleatoriamente con ‘m’ enlaces. Revitalizaron con ello la teoría de grafos y crearon un nuevo campo en matemáticas: la teoría de redes. Estas redes aleatorias son profundamente democráticas, en el sentido de que en una red así formada casi todos los vértices tienen el mismo número de enlaces, y siguen una distribución de Poisson (se las suele llamar también redes exponenciales). Sin embargo, no todas las redes reales son aleatorias, por ejemplo en la red WWW las páginas web que tienen muchos enlaces tienen mayor probabilidad de ir adquiriendo cada vez más enlaces, es decir, serían nodos con mayor probabilidad de conexión. Con esta sencilla idea, Barabási y Albert introducen en 2002 las redes libres de escala, en las que la función de distribución es potencial (en vez de exponencial), y que engloban ejemplos tan importantes como la red WWW, la de colaboraciones científicas, la de palabras sinónimas, la de enlaces proteicos, la de circuitos digitales, etc. Una vez estudiadas y descritas matemáticamente estos dos tipos de redes y sus propiedades, el estudiante también hará un estudio un poco más detallado del modelo Barabási-Albert, en particular del algoritmo de enlace preferencial (en vez de aleatorio), que hace que al formarse estas redes resulten poco nodos con muchos enlaces (los llamados “hubs”).

Una vez hecho este estudio, se describirán en términos de redes complejas qué son y cómo se definen lo que se conoce como comunidades dentro de una red, su grafo asociado y sus principales propiedades. Con esto daríamos paso a la última parte del trabajo: hacer un estudio descriptivo de los complejos simpliciales, que permiten modelizar matemáticamente redes complejas donde hay interacciones entre más de dos agentes y cuyos objetos son esencialmente comunidades. Esta herramienta de topología algebraica lleva utilizándose durante los últimos 10-15 años fundamentalmente en el ámbito del análisis topológico de datos. Se pretende que el estudiante describa someramente su formulación matemática y sus principales aplicaciones, de entre las cuales hay una de reciente aparición y de particular interés para este trabajo: aplicar la teoría de complejos simpliciales a la ciencia de redes. Aquí se introducirán brevemente las nuevas medidas de centralidad existentes en complejos simpliciales y sus potenciales usos en la ciencia de redes.

PROPUESTA TRABAJOS FIN DE GRADO Curso 2019/2020.


Título: Inmersiones proyectivas de curvas no singulares. Estudio de las curvas en el espacio.

Tutor: Esteban Gómez González






Ampliación de Álgebra Conmutativa. Geometría Algebraica Afín. Geometría Algebraica.


- Hartshorne, R.; Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977

- Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, P. A.; Harris, J. Geometry of algebraiccurves. Vol. I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [FundamentalPrinciples of Mathematical Sciences], 267. Springer-Verlag, New York, 1985.

- Fulton, W.; Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry.Mathematics Lecture Notes Series. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam,1969.

- Harris, J.; Algebraic geometry. A first course. Graduate Texts in Mathematics,133. Springer-Verlag, New York, 1995.

Descripción:

El trabajo consistirá en estudiar las inmersiones proyectivas de las curvas no singulares a partir de los haces de línea y divisores, analizando los resultados que relacionan el género, el grado y la dimensión del espacio proyectivo, y su geometría. En particular, en el caso de inmersiones en el espacio proyectivo de dimensión 3, se realizará un estudio detallado de las relaciones entre el género y el grado de la curva con los teoremas de

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Halphen y Castelnuovo. Se presentarán las posibilidades del género y de grado en casos bajos para que existan curvas en el espacio con dichos datos.



Título: Relaciones entre funciones tau y funciones theta. Tutor: Francisco José Plaza Martín






Geometría Algebraica, Geometría Algebraica Afín, Ampliación de Álgebra Conmutativa


1. Boris Dubrovin, Approximating tau-functions by theta-functions, arXiv:1807.033772. Gómez González, Esteban; Muñoz Porras, José M.; Plaza Martín, Francisco J.;

Rodríguez, Rubí E. Characterizations of Jacobians of curves with automorphisms.Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), no. 10, 5373–5394

3. Krichever, Igor Moiseevich Methods of algebraic geometry in the theory ofnonlinear equations. Uspehi Mat. Nauk 32 (1977), no. 6(198), 183–208

4. Shiota, Takahiro Characterization of Jacobian varieties in terms of solitonequations. Invent. Math. 83 (1986), no. 2, 333–382

Descripción: El trabajo propuesto consiste en realizar una revisión bibliográfica, a partir de las referencias principales 3 y 4, sobre las expresiones de las funciones tau de las jerarquías KP y KdV provenientes de datos geométricos y la función theta de la curva correspondiente. Se pretende que el estudiante entienda y sea capaz de explicitar el proceso que construye la función tau a partir de una superficie de Riemann (con una base de homología), un punto y un parámetro en el punto. En función del desarrollo podrían abordarse un segundo aspecto, como una iniciación a la investigación, en la que el resultado de la referencia 1 se interpretaría de manera algebraica en términos de la grassmanniana infinita con las herramientas de la referencia 2.

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https://arxiv.org/search?searchtype=author&query=Dubrovin%2C+B










https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/journaldoc.html?journalKey=uspehi_mat_nauk








Título: Decodificación de códigos algebro-geométricos

Tutor: José Ignacio Iglesias Curto


Área de conocimiento afín: Geometría

Tipo: Revisión e investigación bibliográfica.


Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Códigos y Criptografía, Geometría Algebraica


• Tsfasman, M., & Vladut, S. G. (2013). Algebraic-geometric codes (Vol. 58).Springer Science & Business Media.

• Høholdt, T., Van Lint, J. H., & Pellikaan, R. (1998). Algebraic geometry codes.Handbook of coding theory, 1(Part 1), 871-961.

• Van Lint, J. H. (1990). Algebraic geometric codes. Coding theory and designtheory, 20, 137-162.

Descripción:

Los códigos algebro-geométricos, definidos a partir de elementos tales como puntos racionales sobre una curva así como funciones sobre la misma cuyos ceros y polos verifiquen alguna condición, son uno de los ejemplos más claros de cómo una fuerte estructura matemática puede utilizarse para estudiar las propiedades de un código así como para desarrollar eficientes algoritmos de decodificación para dicho código.

Se conocen distintos algoritmos de decodificación para códigos algebro-geométricos, desarrollados en función de la construcción concreta de cada código. Sin embargo, a pesar del uso efectivo de las propiedades del código presentan diferentes limitaciones.

El objetivo del proyecto es estudiar los algoritmos de decodificación presentados para distintos códigos desde comienzos de los años 80 hasta nuestros días, haciendo hincapié en los intentos de superar las limitaciones que los algoritmos anteriores presentaban así como en las aplicaciones de los mismos en la práctica.

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PROPUESTAS TRABAJOS FIN DE GRADO

Curso 2019/2020.


Título: Variedades complejas

Título en inglés: Complex Manifolds

Tutor: Pablo M. Chacón.

Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología.

Área de conocimiento afín: Análisis Matemático.


Modalidad: Específico (1 estudiante).

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Geometría Diferencial II, Análisis Complejo I, Métodos Geométricos en Física


S. KOBAYASHI y K. NOMIZU, Foundations of differential geometry vol II, New York,John Wiley, 1969.

F. ZHENG, Complex Differential geometry, American Mathematical Society-International Press, 2000.


Se propone el estudio inicial de la geometría de las variedades complejas. Dada una variedad diferenciable se introducirán las estructuras casi-complejas, su torsión, variedades casi-complejas y complejas, métricas hermíticas, etc. para poder demostrar resultados básicos en geometría diferencial compleja. Se abordarán también propiedades locales de la curvatura seccional holomorfa y ciertos resultados de subvariedades complejas.

La bibliografía básica incluirá algún artículo de investigación. Esta propuesta tiene como prerrequisito haber cursado la asignatura Geometría Diferencial II y se recomienda cierta familiaridad con el análisis complejo.

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Título: Clasificación de fibraciones en espacios proyectivos sobre curvas elípticas

Tutor: Carlos Tejero Prieto



Tipo: Trabajos de revisión e investigación bibliográfica

Modalidad: General

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2): Análisis Complejo, Geometría Algebraica, Topología Algebraica, Geometría Diferencial II.


Atiyah, M. F. Vector bundles over an elliptic curve. Proc. London Math. Soc. (3) 7 1957 414–452.

Beauville, Arnaud. Complex algebraic surfaces. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 34. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

Barth, Wolf P. Hulek, Klaus; Peters, Chris A. M.; Van de Ven, Antonius. Compact complex surfaces. Second edition. Springer-Verlag, Berlin, 2004.

Friedman, Robert. Algebraic surfaces and holomorphic vector bundles. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1998.

Griffiths, Phillip; Harris, Joseph. Principles of algebraic geometry. Reprint of the 1978 original. Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994.

Hartshorne, Robin. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

Huybrechts, Daniel. Complex geometry. An introduction. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005.


En este trabajo se abordará la clasificación de las variedades fibradas en espacios proyectivos sobre curvas elípticas. Para conseguir dicho objetivo se estudiará la equivalencia de dichas variedades con las proyectivizaciones de los fibrados vectoriales sobre las curvas elípticas. La obtención de la clasificación se basará de modo clave en la descripción de los fibrados vectoriales sobre curvas elípticas que fue realizada por

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Atiyah. En particular se analizará en detalle el caso de las superficies regladas sobre las curvas elípticas que corresponde al caso en el que las fibras son rectas proyectivas.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA JESÚS MARTÍN VAQUERO

Casas del Parque nº 2, despacho 14 Tel.: +34 670 510235 [email protected]

PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO PARA EL GRADO EN MATEMÁTICAS

21 - CURSO 2019-2020

Tutor académico: Jesús Martín Vaquero

Título: Métodos Exponential Time Differencing (ETD) para resolver sistemas de EDOs rígidos (o

stiff)

Descripción:

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de tipo stiff son muy comunes en una gran

variedad de áreas. Especialmente son habituales tras la semi-discretización en las variables

espaciales de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) no lineales en varias dimensiones.

En este Trabajo Fin de Grado se pedirá al alumno que haga un estudio del arte de los métodos

más habituales para resolver este tipo de problemas, concentrándose en aquellos denominados

ETD, describiendo sus ventajas e inconvenientes. Y a continuación que trabaje en alguno de

los algoritmos más habituales y haga una comparativa de un par de ellos con un ETD de la

literatura científica, en algún problema concreto.

Bibliografía:

J. D. Lambert, Numerical methods for ordinary differential systems: the initial value problem,

John Wiley & Sons, 1991.

E. Hairer y G. Wanner, Solving ordinary differential equations II. Stiff and Differential-Algebraic

Problems, Springer, 1996.

A. Kassam, L.N. Trefethen, Fourth-Order Time Stepping for Stiff PDEs, SIAM J. Sci. Comput. 26

(2005), pp. 1214–1233.

Áreas de conocimiento preferente y afín en las que se enmarcan: Matemática Aplicada

http://www.usal.es/

mailto:[email protected]

2

Asignaturas del grado con las que está directamente relacionado: Análisis Numérico II,

Análisis Numérico III

Tipo: (2) trabajo teórico-experimental.

Modalidad: Específico.

FACULTAD DE CIENCIAS

TRABAJO DE FIN DE GRADO

GRADO EN: MATEMÁTICAS

DATOS DEL ESTUDIANTE

PROPUESTA DE TEMA PARA REALIZAR EL TFG

Título (Castellano:) Clases características de estructuras geométricas Título (Inglés:) Characteristic classes of geometric structures

Datos del tutor/a • Nombre y Apellidos: Antonio Fernández Martínez• Departamento: Matemática Aplicada

Área de conocimiento preferente en el que se encuadra el trabajo: Matemática Aplicada (Preferente), Geometría y Topología (Afín)

Tipo (trabajo experimental, trabajo teórico, trabajos de revisión e investigación bibliográfica): Trabajo de revisión e investigación bibliográfica. Modalidad individual

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Geometría Diferencial I y II

Citas bibliográficas (al menos 2 citas):

1.- Peter B. Gilkey, “Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem”, Editorial Publish or Perish Inc., USA, año 1984. http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/gilkey1.pdf

2.- M. Atiyah, R.Bott y V.K. Patodi “On the Heat Equation and the Index Theorem” Inventiones math. 19, 279-330 (1973).

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http://www.maths.ed.ac.uk/%7Eaar/papers/gilkey1.pdf

FACULTAD DE CIENCIAS

Descripción (al menos 500 caracteres):

El título de este trabajo fin de grado se corresponde con la primera sección del aclamado artículo de Atiyah, Bott y Patodi “On the Heat Equation and the Index Theorem” en el cual se da una demostración del teorema del índice utilizando las clases características de operadores diferenciales en lugar de las técnicas de topología global del artículo de Atiyah y Singer o analíticas en el artículo de Atiyah y Bott. De este modo, el objetivo será la caracterización de Gilkey de las clases de Pontrjagin de las estructuras riemannianas como los únicas invariantes valorados en el álgebra exterior con una condición de racionalidad y homogeneidad. El trabajo comenzará con la definición de conexión en un fibrado vectorial complejo como un operador diferencial de primer orden de las secciones del fibrado vectorial a las 1-formas sobre la base a valores en el fibrado vectorial, de manera que se recomienda que el alumno adjudicatario de este trabajo maneje con soltura este tipo de conceptos.

SR/A. PRESIDENTE/A DE LA COMISIÓN DEL TRABAJO DE FIN DE GRADO EN MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO - GRADO EN MATEMATICAS - CURSO 2019/2020

Título: Métodos Quasi-Newton/ Quasi-Newton Methods

Tutor: Mª Isabel Asensio Sevilla

Descripción del trabajo: En muchas aplicaciones prácticas es necesario resolver sistemas de ecuaciones no

lineales (F(x)=0) u optimizar funciones sin restricciones (min J(x)). Para ambos tipos de problemas (sin más

que sustituir F por ∇J para el problema de optimización), el método de Newton nos puede proporcionar la

solución con una convergencia local, es decir, debemos partir de una solución inicial suficientemente cerca

de la solución exacta del problema. En la práctica, esto supone un inconveniente costoso desde el punto de

vista computacional. Los métodos Quasi-Newton proponen combinar estrategias de convergencia global

con estrategias locales de convergencia rápida con el objetivo de aprovechar los beneficios de ambas. En

este TFG se estudiarán en profundidad estos métodos y sus resultados de convergencia, se programarán los

correspondientes algoritmos y se resolverán ejemplos prácticos.

Área de conocimiento: Matemática Aplicada,

Asignaturas: Optimización Numérica (imprescindible)

Conocimientos previos: Análisis Numérico, programación con C, MatLab o Mathematica. Imprescindible

haber cursado Optimización Numérica.

Bibliografía:

• Dennis, J.E., Schnabel, R.B., Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear

equations, Prentice-Hall, 1983.

• Rao, Singiresu S., Engineering Optimization: Theory and Practice, John-Wiley & Son, 1996.


Modalidad:

• Específico

• General Nº de alumnos :

x

1

23 -

*DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA

PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO

GRADO EN -----MATEMATICAS-

CURSO 2019/2020

Página 1 de 2

Facultad de Ciencias, Plaza de los Caídos, S/N. 37008 Salamanca, España Telf.: + 34 923294451, Fax: + 34 923294514 Web: http://ciencias.usal.es , Email: [email protected]

1. Título: Validacion de una cartera con mínimo drawdown.2. Tutor: Jesús Vigo Aguiar

Descripción del trabajo.: Se trata de un trabajo para aquellos alumnos que hayan cursado asignaturas de métodos numéricos III y métodos numéricos en finanzas. Para establecer una cartera hay que determinar los títulos que la componen y el peso o ponderación de cada uno de ellos dentro de ella. Dentro de la cartera de valores, los inversores pueden abrir posiciones cortas en un activo si consideran que va a caer, o abrir posiciones largas en un activo si consideran que va a subir. Al ir teniendo y combinando posiciones tanto cortas como largas en una cartera de valores nos vamos descorrelacionando de aquello que hacen los mercados. El alumno deberá seleccionar al principio del trabajo en febrero una serie de activos financieros y crear una cartera. El criterio para la elección de activos se basará en el trabajo fin de grado propuesto el curso pasado. Se validara la cartera propuesta numéricamente debiendo determinar el numero de re-balanceos a hacer. Durante los meses de marzo y Abril deberá hacer correcciones a la cantidad de cada activo que contiene la cartera creada siguiendo métodos numéricos de optimización estudiados en la carrera y que se expondrán en la memoria. El drawdown de una cartera es la diferencia entre nuestro capital actual y el máximo capital que hemos tenido anteriormente en nuestra cartera (excluyendo aportes y retiradas de dinero). Se minimizara su máximo en un periodo determinado. Durante el mes de mayo se realizarán comparaciones de la cartera con sus índices de referencia mostrando el porcentaje de éxito obtenido.

Es imprescindible haber cursado las asignaturas mencionadas, empezar desde el primer día y facilidad a la hora de manejar lenguajes de programación.

Referencias:-Hakansson, N. (1971). “Capital Growth and the Mean-Variance Approach to Portfolio Selection.” Journal ofFinancial and Quantitative Analysis (6) pp. 517-557.-Markowitz, H.(1959). Portfolio Selection. Efficient Diversification of Investments. John Wiley & Sons.-Roy, A. (1952). Safety first and the holding of assets. Econometrica 20 (3) pp. 431-449.-J. Estrada (2010) “Geometric mean maximization: an overlooked portfolio approach?” Journal of Investing, vol.19, no. 4, pp. 134–147.

Tipo:2

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http://ciencias.usal.es/


*DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA


GRADO EN -----MATEMATICAS-

CURSO 2019/2020

Página 2 de 2


Modalidad: General

Tipo: 2

Modalidad:

• Específico

• General x Nº de alumnos : 1



*DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA


GRADO EN MATEMÁTICAS

CURSO 2019/2020

Página 1 de 2


Título: Autómatas celulares reversibles: definición, propiedades y aplicaciones

Title: Reversible cellular automata: definition, properties and applications

Área de Conocimiento: Matemática Aplicada

Tutor: Ángel Martín del Rey, Guillermo Hernández González

Descripción del trabajo: La Inteligencia Artificial hace referencia de manera genérica a la capacidad que tienen las “máquinas” de comportarse de manera inteligente. Esta disciplina se cimenta básicamente tanto en el Machine Learning como en las Redes Neuronales aunque la Planificación, la Búsqueda y Optimización, los Sistemas Expertos y las Sistemas Complejos Evolutivos juegan también un papel fundamental. Podríamos considerar la noción de autómata celular como la precursora de la teoría de sistemas evolutivos: fue propuesta inicialmente por J. Von Neumann y S. Ulam a mediados del siglo XX. En la década de los ochenta se populariza enormementegracias a los trabajos de J. Conway y S. Wolfram y en la actualidad se pueden encontrar múltiples aplicaciones encasi todos los ámbitos científicos.

El objetivo de este trabajo es introducir de manera rigurosa la definición matemática de autómata celular y explicar sus propiedades básicas. Nos centraremos fundamentalmente en los autómatas celulares reversibles detallando sus principales propiedades algebraicas y mostrando algunas de las aplicaciones más características de los mismos.

Áreas de conocimiento: Matemática Aplicada.

Asignaturas del grado con las que está relacionado: Matemática Discreta y Optimización, Teoría de Juegos e Investigación Operativa.

Bibliografía:

Gardner, M. "The Game of Life, Parts I-III." Chs. 20-22 in Wheels, Life, and other Mathematical Amusements. New York: W. H. Freeman, 1983.

Goles, E. and Martínez, S. (Eds.). Cellular Automata and Complex Systems. Amsterdam, Netherlands: Kluwer, 1999.

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CURSO 2019/2020

Página 2 de 2


Gutowitz, H. (Ed.). Cellular Automata: Theory and Experiment. Cambridge, MA: MIT Press, 1991.

Wolfram, S. (Ed.). Theory and Application of Cellular Automata. Reading, MA: Addison-Wesley, 1986.

Wolfram, S. Cellular Automata and Complexity: Collected Papers. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Tipo: 1

Modalidad: Teórico-experimental

Tipo: 1

Modalidad:

• Específico


X

*DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA



GRADO EN Matemáticas

Curso 2019-2020

Tutor: Javier Villarroel Rodriguez

Título en español: Semigrupos de Markov para procesos estocásticos de difusión

Título en inglés: Markov semigroups and difusión processes

Descripción del trabajo

Los semigrupos de Markov son familías de operadores en espacios de funciones continuas, que satisfacen ciertas propiedades de continuidad en sentido Feller. El trabajo pretende estudiar determinados procesos de Markov en tiempo continuo, con especial énfasis en las propiedades del semigrupo de transición y correspondientes ecuaciones de Kolmogorov, generadores infinitesimales, dominio de estos y resolvente o transformada de Laplace. También la forma canónica del generador en términos de la función de escala de Feller y la ``medida’’ de velocidad, así como su solución por medio de funciones de Green.

El trabajo abordará tentativamente la teoría de Feller de comportamiento y condiciones de frontera, así como una posible clasificación de barreras absorbentes, reflejantes, pegajosas en términos del dominio del generador.

Áreas de conocimiento preferente y afín: Estadística e Investigación Operativa.

Asignaturas del Grado con las que está directamente relacionado: Procesos estocásticos

Tipo: (Artículo 3 del Reglamento de TFG de la Universidad de Salamanca).

Modalidad: específico, ofertado para la realización por un único estudiante.

• Específico X

• General Nº de alumnos:

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RABI N. BHATTACHARYA; EDWARD C. WAYMIRE Stochastic Processes with Applications 261-324 SHELDON M. ROSS Stochastic processes 2nd. Ed (1996) Chapter 3, 98-153

FELLER, W. (1952). The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations. Ann. of Math. (2) 55 (468–519).

Página 2 de 2





Título en inglés: Renewal stochastic processes

Descripción del trabajo

Los Procesos estocásticos de renovación son un tipo especial de procesos de llegadas caracterizados por que los tiempos de espera definen una familía de variables aleatorias independientes identicamente distribuidas. Generalizan por tanto las propiedades del proceso de Poisson a distribuciones generals. El trabajo pretende estudiar sus características, con especial énfasis en las propiedades del semigrupo de transición-propagador y correspondientes ecuaciones de Kolmogorov. El trabajo abordará tentativamente el studio de otros observables del proceso son las llamadas``vida adelantada y atrasada’’ o el cambio de medida para estos procesos y construcción de Martingalas (Teorema de Girsanov) Áreas de conocimiento preferente y afín: Estadística e Investigación Operativa.

Asignaturas del Grado con las que está directamente relacionado: Procesos estocásticos

Tipo: (Artículo 3 del Reglamento de TFG de la Universidad de Salamanca).

Modalidad: específico, ofertado para la realización por un único estudiante.

• Específico X


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GRADO EN Matemáticas

Curso 2019-2020 27 -Tutor: Javier Villarroel Rodriguez

Título en español: Procesos estocásticos de renovación compuestos






RABI N. BHATTACHARYA; EDWARD C. WAYMIRE Stochastic Processes with Applications 261-324 SHELDON M. ROSS Stochastic processes 2nd. Ed (1996) Chapter 3, 98-153

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CURSO 2019/2020

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Tutora: MARÍA TERESA CABERO MORÁN

Título en español: ADAPTACIÓN DE UN CONTRASTE ESTADÍSTICO A MUESTRAS CENSURADAS

Título en inglés: ADAPTING STATISTICAL TESTS TO CENSORED DATA

Descripción del trabajo: La inferencia estadística está basada en la aplicación de pruebas o contrastes estadísticos para poder extrapolar los resultados de la muestra a la población e, incluso, poder tomar decisiones. El problema se encuentra cuando no se dispone de toda la muestra, ya que, hay una parte que es desconocida por diversos motivos. Este trabajo propone cómo adaptar, de una forma generalizada, un test a muestras censuradas. Se empezará enunciado diferentes tipos de censura; se continuará diciendo cómo hacer la transformación, cómo saber cuándo aceptar o rechazar hipótesis; y, se terminará aplicándolo a un ejemplo concreto.

Áreas de conocimiento preferente y afín: Estadística e Investigación Operativa.

Asignaturas del Grado con las que está directamente relacionado: Estadística, Cálculo de probabilidades y Estadística Matemática.

Tipo: 1 (“Trabajos experimentales relacionados con la titulación y ofertados por los docentes que participan en el título”) (Artículo 3 del Reglamento de TFG de la Universidad de Salamanca).

Modalidad: 2 (específico), ofertado para la realización por un único estudiante (Artículo 3 del Reglamento de TFG de la Universidad de Salamanca).

• Específico



CHEN, L. y HE, X. (1998): Testing normality for censored data. Applied statistical science, III, 113-125,

Nova Sci. Publ.

VAN DER LAAN, M. J. y ANDREWS, C. (2015): Testing for Normality of Censored Data. Uppsala

University Publications.

X

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DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA

PROPUESTA DE TRABAJO DE FIN DE GRADO


Curso 2019/2020

Título: Aplicación de las redes neuronales artificiales al Big Data en medicina.

Title: Application of artificial neural networks to Big Data in medicine.

Tutor: Quintín Martín Martín

Cotutora:

Descripción del trabajo:

En este trabajo el alumno deberá adentrarse en el conocimiento del Big Data junto con el de las redes neuronales artificiales para formar una simbiosis entre ambas. El paradigma de 6V se invoca con frecuencia para definir los principios de Big Data: volumen, variedad, velocidad, veracidad, variabilidad y valor. Para el estudio de las aplicaciones nos centraremos en las redes neuronales que predigan o clasifiquen un suceso (perceptrón multicapa) y en las que nos ayuden a obtener información específica (redes neuronales avanzadas).

Asignaturas del Grado con las que está relacionado: Estadística, Análisis Matemático e Informática.

Tipo: Trabajo teórico experimental

Modalidad: Específica

Nº de alumnos: 1

Bibliografía:

Dybowski, R. & Gant, V. Clinical Applications of Artificial Neural Networks. Cambridge University Press, Cambridge 2001. St. Kliment Ohridski. Big Data Analytics in Medicine and Healthcare, Journal of Integrative Bioinformatics. 2018.

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Tutor académico. Ana Belén Nieto Librero y Nerea González García

Título. Técnicas estadísticas multivariantes y su utilidad en el análisis de datos funcionales

Functional multivariate statistical techniques and its usefulness on real data analysis.

Descripción. El análisis multivariante hace referencia a las metodologías, estadísticas y

matemáticas, diseñadas para el estudio de datos que provienen de la medida de varias variables

sobre una muestra de observaciones; esto es, de carácter multidimensional, analizadas

conjuntamente. El Análisis de Datos Funcionales (FDA) se basa en la transformación de

observaciones discretas en funciones de datos continuos, aplicando sobre ellas métodos del

análisis estadístico para descubrir patrones latentes de información. Las técnicas clásicas de la

estadística multivariante han tenido que ser adaptadas a este campo de estudio, reciente en la

literatura. Se plantea en este trabajo una revisión bibliográfica y definición teórica de las

principales técnicas multivariantes del análisis de datos funcional, como el Análisis de

Componentes Principales Funcional, mostrando su utilidad en el análisis de un conjunto de datos

real.

Área de conocimiento. Estadística e Investigación Operativa

Asignaturas del grado con las que está relacionado. Estadística

Tipo y modalidad. Trabajo de revisión e investigación bibliográfica

Bibliografía

Febrero-Bande, M. and M. Oviedo de la Fuente (2012). Statistical computing in functional data

analysis: the R package fda.usc. Journal of Statistical Software, 51(4), 1-28.

Górecki, T., Krzyśko, M., Waszak, Ł., & Wołyński, W. (2018). Selected statistical methods of

data analysis for multivariate functional data. Statistical Papers, 59(1), 153-182.

Kokoszka, P. and M. Reimherr (2017). Introduction to Functional Data Analysis. CRC Press

Ramsay, J. O., & Silverman, B. W. (2005). Functional data analysis. New York: John Wiley &

Sons.

Yang, W., Müller, H. G., & Stadtmüller, U. (2011). Functional singular component analysis.

Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 73(3), 303-324.

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CURSO 2019/2020

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Título: Teoría de la Percolación y sus aplicaciones al estudio de la vulnerabilidad en redes

Title: Percolation Theory and its applications to the study of the network robustness


Tutor: Ángel Martín del Rey

Cotutor: José Miguel Mateos Roco

Descripción del trabajo:

La Teoría de la Percolación se ocupa de la descripción y fundamentación de las propiedades emergentes relacionadas con la conectividad de grandes estructuras de objetos cuya topología es relevante y puede ser descrita en términos estadísticos. Consecuentemente la Teoría de la Percolación se encuentra relacionada con la Teoría de Grafos o Redes permitiendo obtener propiedades globales de las mismas a partir de características locales. De manera más específica, la Teoría de la Percolación tiene especial influencia en el estudio de la robusted o vulnerabilidad de las redes complejas.

El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es introducir y justificar de manera detallada los conceptos y resultados fundamentales de la Teoría de la Percolación y su relación con la Teoría de Grafos o redes, así como mostrar sus principales aplicaciones al estudio de la vulnerabilidad de diferentes redes: redes eléctricas, redes de transporte, etc.


Asignaturas del grado con las que está relacionado: Matemática Discreta y Optimización, Cálculo de Probabilidades

Bibliografía:

[1] A.L. Barabási, Network Science, Cambridge University Press, 2016.

[2] D. Stauffer, A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, 2nd Edition, CRC Press, 1994.

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[3] R. Albert, A.L. Barabási, Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys. 74(1) 47-49, 2002.

[4] D.S. Callaway, M.E.J. Newman, S.H. Strogatz, D.J. Watts, Network robustness and fragility: Percolation onrandom graphs, Phys. Rev. Lett. 85(25) 5468-5471, 2000.

Tipo: 1


Tipo: 1

Modalidad:

• Específico


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Título: Criptografía ligera de clave pública: fundamentos y aplicaciones

Title: Lightweight public-key cryptography: fundamentals and applications


Tutor: Ángel Martín del Rey

Descripción del trabajo: La criptografía convencional tiene como objetivo el desarrollo y análisis de protocolos criptográficos para su implementación en sistemas que tienen capacidades de procesado, cómputo y almacenamiento razonables (servidores, computadoras, tabletas, smartphones, etc.) Con la aparición de los nuevos paradigmas tecnológicos sobre los que se cimenta/cimentará nuestra sociedad (Internet de las Cosas, Industria 4.0, Smartcities, etc.) y el uso masivo de dispositivos de toda índole conectados a la red (sensores, dispositivos wearables, etc.) ha sido necesaria una reformulación de las técnicas criptográficas dando lugar a la denominada criptografía ligera (lightweight cryptography en inglés). Esta se puede considerar como la adaptación de los métodos criptográficos tradicionales cuando se pretende implementarlos en sistemas embebidos, redes de sensores, RFID, etc. en donde aparecen condicionantes relativos al tamaño físico, capacidad de cómputo, batería, etc.

El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es realizar una revisión detallada de los principales métodos criptográficos utilizados en criptografía ligera. Se centrará la atención en los protocolos de clave pública debido a su utilidad a la hora no sólo del cifrado de datos sino de la autenticación. Se revisarán los fundamentos matemáticos de estos algoritmos justificando detalladamente los resultados en los que se basan. Finalmente se abordará, como caso de estudio, el análisis del esquema de identificación del GPS.


Asignaturas del grado con las que está relacionado: Códigos y Criptografía, Desarrollo de Sistemas Informáticos.

Bibliografía:

[1] G. Hatzivasilis, K. Fysarakis, I. Papaefstathiou, Ch. Manifavas, A review of lightweight block ciphers, J.Cryptogr. Eng. 8, 141-184 (2018)

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[2] W.J. Buchanan, S. Li, R. Asif, Lightweight cryptography methods, J. Cyber Secur. Tech. 1, 187-201, 2017.

[3] D. Rani, N.S. Gill, Lightweight security protocols for internet of things: A review, Int. J. Adv. TrendsComput. Sci. Eng. 8(3), 707-719, 2019.

Tipo: 1


Tipo: 1

Modalidad:

• Específico


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33 - Título: Teoremas del punto fijo y aplicaciones

Tutor: Ángel Tocino





Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Análisis Funcional


• Farmakis, I.; Moskowitz, M.A. Fixed Point Theorems and their Applications,World Scientific, 2013.

• Banach, Stefan (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leurapplication aux équations integrals.Fundamenta Mathematicae. 3: 133–181.

Descripción:

El teorema del punto fijo de Banach (o lema de las aplicaciones contractivas) es bien conocido, así como su aplicación para demostrar la existencia y unicidad de solución para ciertos tipos de ecuaciones. Este teorema se puede considerar el principal representante de un grupo de resultados derivados o similares que prueban la existencia de un punto fijo desde un punto de vista métrico. Con otro enfoque diferente, que se podría denominar "topológico", el teorema del punto fijo de Brouwer da lugar a un grupo de teoremas con finalidad similar y numerosas aplicaciones. El trabajo consiste en hacer un estudio al menos de estos dos tipos de teoremas (y otros si la extensión lo permite), así como de presentar aplicaciones variadas de cada uno de ellos.



34 - Título: Clasificación de isometrías

Tutor: Mª Teresa Sancho de Salas

Área de conocimiento preferente: Álgebra.

Área de conocimiento afín: Geometría y Topología.


Modalidad: Específico (un solo estudiante)

Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Álgebra, Geometría, Álgebra Conmutativa.

Descripción: En este trabajo se pretende dar la clasificación de las isometrías de un espacio vectorial módulo la conjugación por isometrías.

La primera parte consistirá en dar una introducción de los conceptos necesarios y propiedades elementales. Así mismo se dará el teorema que da la equivalencia entre isometrías en un k-espacio vectorial y métricas hermíticas sobre un anillo.

La segunda parte consistirá en dar el teorema de clasificación dividiéndolo en tres teoremas de descomposición, invariantes y formas canónicas.

La tercera parte consistirá en dar una descripción detallada de la clasificación en el cuerpo de los números reales y los cuerpos finitos.

BIBLIOGRAFIA

- J. Milnor, “On isometries of inner products spaces. Inventiones Mathematicae, volume 8, pp 83-97. 1969. Springer

- E. Artin, "Geometric algebra", Interscience (1957)

- N. Bourbaki, "Elements of mathematics. Algebra: Modules. Rings. Forms", 2 , Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.4;5;6

- J. Milnor, D. Husemoller, "Symmetric bilinear forms", Springer (1973)

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