Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 1 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY TRANSFORMACIN DE COORDENADAS INTRODUCCION:Engeometraanaltica,aligualqueenfsica,esmuyimportante elegirunsistemadecoordenadas,oreferencia,adecuadoconobjetodesimplificaral mximo las ecuaciones y que el proceso de resolucin sea lo ms rpido posible. Ello se realiza mediante una transformacin de ejes coordenados cuyo proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos, uno de traslacin y otro por rotacin. DEFINICIN: Transformacin es una operacin por la cual una relacin, expresin o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. ECUACIN ORDINARIAECUACIN CANNICA TRANSFORMADA 2 2 2( ) ( ) (1) x h y k r + = 2 2 2(2) x y r ' ' + = Vemos entonces, que moviendo los ejes coordenados paralelamente a s mismos, hemos transformadolascoordenadas( , ) xy deunpuntocualquieradelacircunferenciaen lascoordenadas( , ) x y ' ' ycomoresultadohemostransformadolaecuacin(1)enla ecuacin ms simple (2). Laoperacindemoverlosejescoordenadosenelplanocoordenadoaunaposicin diferente,paralelosalosejesprimitivosydirigidosenelmismosentido,sellama traslacin de los ejes coordenadas. Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 2 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY TRASLACINDEEJES.SeanOXyOYlosejesprimitivosyOX '' yOY ' ' , paralelosrespectivamentealosanteriores,losnuevosejes.Seantambin(h,k)las coordenadas deO'con respecto al sistema inicial. Supongamosque(x,y)sonlas coordenadasdeunpuntoPconrespecto alosejesprimitivos,( , ) x y ' ' las coordenadas,delmismopunto,respecto delosnuevos.Paradeterminarxeyen funcin de x' , y' ; h y k se tiene: x MP MM MP h x ' ' ' = = + =+y NP NN NP k y ' ' ' = = + = + Por tanto, las ecuaciones de la traslacin de ejes son: x x h ' = + ,y y k ' = + Relacin para simplificar una ecuacin o para obtener las nuevas coordenadas de unpunto. Relacin para trasladar los ejes coordenadas a unpunto dado Ejemplo1:Lasnuevascoordenadasdelpunto P(7,4),altrasladarlosejesalnuevo origen( 3, 6) O' son: Sea3 h = 6 k =x x h ' = =7 ( 3) 10 =y y k ' = =4 6 2 = Luego las nuevas coordenadas del punto son:(10, 2) P' x x h ' = +y y k ' = +x x h ' = , y y k ' = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 3 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Ejemplo2:Determinarlanuevaecuacindelarecta2 4 6 0 x y + = despusde trasladar los ejes al nuevo origen(2, 4) O' . Trazar los sistemas y la recta. Solucin: Con 2 h =y 4 k = , tenemos: x x h ' = + , y y k ' = +2 x x' = + 4 y y' = + Sustituyendo los valores de x y y en la ecuacin de la recta:2 4 6 0 x y + =( ) ( ) 2 2 4 4 6 0 x y ' ' + + + =2 4 4 16 6 0 x y ' ' + + + = 2 4 14 0 x y ' ' + + = Comoseobservaenlafigura,larectanosemuevealencontrarelnuevosistema,lo nico que cambia es la ecuacin en que pasa, de2 4 6 0 x y + =a2 4 14 0 x y ' ' + + = ; la pendiente no cambia, pero s la interseccin con los eje x y y. Ejemplo 3: Hallar la ecuacin de la curva 2 22 3 8 6 7 x y x y + + =cuando se traslada el origen de coordenadas al punto( ) 1 , 2 . Solucin: Sustituyendo2 + ' = x x ,1 y y' = en la ecuacin dada se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 3 1 8 2 6 1 7 x y x y ' ' ' ' + + + + = . Desarrollando y simplificando, se llega a la ecuacin de la curva referida a los nuevos ejes.2 22 3 18 x y ' ' + = .

2 219 6x y ' '+ = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 4 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Esta es la ecuacin de la elipse con centro en el nuevo origen, con el eje mayor sobre el ejex'y de semiejes3 = a ,6 = b Ejemplo4:Pormediodeunatraslacindeejes,transformarlaecuacin 135 24 6 4 32 2= + + y x y x enotraenlacualloscoeficientesdelostrminosde primer grado sean nulos. Solucin: Sustituyendox eypor los valoresh x + 'ey k ' + , respectivamente. 135 24 6 4 32 2= + + y x y x( ) ( ) ( ) ( )2 23 4 6 24 135 x h y k x h y k ' ' ' ' + + + + + + = Desarrollando y agrupandotenemos: ( ) ( )2 2 2 23 4 6 6 8 24 3 4 6 24 135 x y h x k y h k h k ' ' ' ' + + + + + = . Si deseamos eliminarx',y'debemos hacer cero sus coeficientes: De0 6 6 = + hy0 24 8 = kse obtiene1 = hy3 = k , con lo cual resulta 102 4 32 2= ' ' y x . Esta es la ecuacin de una hiprbola con centro en el origen, eje real o transversal sobre el eje x y semieje igual a34 . Otro mtodo. A veces, para eliminar los trminos de primer grado de una ecuacin, se sigue el mtodo que se da a continuacin. Dada la ecuacin135 24 6 4 32 2= + + y x y xcompletando cuadrados tenemos: ( ) ( )2 23 1 4 3 102 x y + =Sustituyendo1 x +porx'e3 y pory'se tiene: 2 23 4 102 x y ' ' =. Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 5 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY ROTACIN DE EJES: Sean OX y OY los ejes primitivos y OX y OY los nuevos ejes,siendoOelorigencomndeambossistemas.Representemosporu elngulo XOXdelarotacin.Supongamosque(x,y)sonlascoordenadasdeunpuntoPdel planoconrespectoalosejesprimitivos,y( , ) x y ' ' lascoordenadasdelmismopunto, respecto de los nuevos ejes. Paradeterminarxeyenfuncindex' ,y' ,u ,se tiene: x OM ON MN = = cos x y sen u u ' ' = y MP MM MP NN MP ' ' ' ' = = + = +cos x sen y u u ' ' = + Por lo tanto, las formulas de la rotacinude los ejes coordenados son: Por simplicidad el ngulo de rotacin siempre se considera agudo o recto y positivo. Sisequiereobtenerlosvaloresdex' ydey' ,seresuelveelsistemaanterior considerando que las incgnitas sonx' ,y' . Luego: Llamadas ecuaciones recprocas de rotacin Ejemplo5:Hallarlasnuevascoordenadasdelpunto(3, 4) P , cuandolosejes coordenados giran un ngulo de30entorno a su origen. Solucin: cos x x ysen u u ' = +cos y y xsen u u ' = 3cos30 ( 4) 30 sen = + 4cos30 3 30 sen = ( )3 3 142 2| |= |\ .

3 1( 4) 32 2| |= |\ .

3 322= 32 32= cos x x y sen u u ' ' = cos y x sen y u u ' ' = +cos x x ysen u u ' = +cos y y xsen u u ' = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 6 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Por lo tanto las coordenadas son( ) , Px y ' 'son: 3 3 32, 2 32 2| | | |\ . Ejemplo 6: Obtenga una ecuacin en las variables x' ,y' de la grfica de4 = xy bajo un ngulo de rotacin de los ejes alrededor del origen con 45 u = Solucin: Se tiene 21 45 cos =y 21 45 = sen . Si se tiene cos x x y sen u u ' ' = cos y x sen y u u ' ' = +1 12 2x x y ' ' = 1 12 2y x y ' ' = +2x yx' ' =2x yy' ' += Sustituyendo en la ecuacin 4 = xy , se tiene: 42 2x y x y ' ' ' ' + | || | = | |\ .\ . 2 242x y ' ' =2 28 x y ' ' =2 218 8x y ' ' = Ejemplo 7: Hallar el ngulo de rotacin de ejes necesario para eliminar el trmino en xy de la ecuacin16 13 3 6 72 2= + y xy x Solucin: Sustituyendo en la ecuacin dada cos x x y sen u u ' ' = cos y x sen y u u ' ' = +

Se obtiene: ( ) ( )( ) ( ) 16 cos 13 cos cos 3 6 cos 72 2= ' + ' + ' + ' ' ' ' ' u u u u u u u u y sen x y sen x sen y x sen y x(*) Desarrollando y reduciendo trminos semejantes: Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 7 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY ( ) ( ) | | y x sen sen x sen sen ' ' + ' + u u u u u u u u2 2 2 2 2cos 3 6 cos 12 13 cos 3 6 cos 7 + ( ) 16 cos 13 cos 3 6 72 2 2= ' + + + y sen sen u u u u Paraeliminareltrminoenx'y',igualamosaceroelcoeficientededichotrminoy despejamos( )2 212 cos 6 3 cos 0 sen sen u u u u =( )2 22 cos 3 cos 0 sen sen u u u u =Recordar:2 2 cos sen sen u u u =

2 2cos cos2 sen u u u = Luego tenemos: ( )2 22 cos 3 cos 0 sen sen u u u u = 2 3cos 2 0 sen u u =Luego 23cos 2sen uu = Entonces2 60 u = , de donde30 u = Sustituyendo este valor de uen (*), la ecuacin se reduce a :2 24 4 x y ' ' + = , 2 214 1x y ' '+ =Que representa unaelipse de centro enel origen yque tiene sus ejes sobre los nuevos. Los semiejes mayor y menor son, respectivamente, a = 2, b = 1. Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 8 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Ejemplo8:Hallarlascoordenadasdelpunto( 1, 3) cuandolosejescoordenadosson trasladados primero al nuevo origen(4, 5)y despus se les gira un ngulo de 60. Solucin: -Coordenadasdelosejesoriginalesxyy:( , ) ( 1, 3) P xy = .Entonces1 x = y 3 y =-Cuandolosejessontrasladadosalnuevoorigen,lascoordenadasson:( ) , (4, 5) h k = x x h ' = ,y y k ' =

1 45x' = = 3 52y' == Luego5 x' = y 2 y' = Entonces: cos x x y sen u u '' ' ' = + cos y y x sen u u '' ' ' = 5cos60 2 60 x sen '' = 2cos60 ( 5) 60 y sen '' = 1 35 22 2x| || |'' = | | |\ .\ .

1 32 52 2y| || |'' = +| | |\ .\ . 52 32x'' = 5 312y'' = + Ejemplo 9: Si2 y x ' ' =es la ecuacin despus de una rotacin de 53, hallar su ecuacin en el sistema XY. Solucin: Se sabe que: cos x x ysen u u ' = +cos y y xsen u u ' = Como53 u =Entonces: cos53 53 x x ysen ' = + cos53 53 y y xsen ' =

3 45 5x x y ' = +3 45 5y y x ' = Reemplazando:2 y x ' ' =

3 4 3 425 5 5 5y x x y| | = + |\ . 3 4 6 8 y x x y = + 0 10 5 x y = + 2x y = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 9 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY FORMA GENERAL La ecuacin de segundo grado es: 02 2= + + + + + F Ey Dx Cy Bxy AxPara eliminar el trmino Bxy de la ecuacin, el ngulo de giro se escoge de la siguiente manera: Si A= C, entonces45 u = Si tan 2t 2BA CA CA CcoBuu= == , tener en cuenta que: 1 cos 22senuu= , 1 cos 2cos2uu+=Elnguloderotacinquedarestringidoalintervalo0 90 u s < ,demaneraque para 2ues0 2 180 u s < Ejemplo 10: Eliminar el trmino en xy de la ecuacin16 13 3 6 72 2= + y xy x Solucin:Como A=7 , C=13, entonces: tan 2BA Cu ==6 3 6 337 13 6= = tan2 3 u =Entonces2 60 u = , de donde30 u = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 10 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Luego sustituyendo en la ecuacin dada con: cos x x y sen u u ' ' = cos30 30 x y sen ' ' = 3 12 2x y ' ' = 32x y ' ' =cos y x sen y u u ' ' = + 30 cos30 x sen y ' ' = + 32x y ' ' += Luego reemplazando en 16 13 3 6 72 2= + y xy x Tenemos: 2 23 3 3 37 6 3 13 162 2 2 2x y x y x y x y| | | || | | |' ' ' ' ' ' ' ' + + + = || || || ||\ . \ .\ . \ . Simplificando se tiene: 2 214 1x y ' '+ =(Ver fig. del ejercicio 7) SIMPLIFICACIONDEECUACIONESPORTRANSFORMACINDE COORDENADAS. Acabamosdeverque,porunatraslacinounarotacinde1osejescoordenados,es posibletransformarmuchasecuacionesenformasmssimples.Esentonces1gico inferirquesepuedeefectuarunasimplificacinmayoranaplicandoambas operaciones a la vez. Si una ecuacin es transformada en una forma ms simple por una traslacinounarotacinde1osejescoordenados,oporambas,elprocesosellama simplificacin por transformacin de coordenadas. Ejemplo11:Representarlagrficade 2 23 2 3 2 10 9 0 x xy y x y + += asuforma ms simple mediante una rotacin de ejes y una traslacin. Solucin: Por rotacin: Como A= C, entonces45 u = . Las ecuaciones de la rotacin son 2x yx' ' =2x yy' ' += Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 11 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Sustituyendo estos valores de x e y en la ecuacin, 2 23 2 3 2 10 9 0 x xy y x y + +=2 23 2 3 2 10 9 02 2 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' + + + | | | || | | | | | | | + + = || ||||\ . \ .\ . \ . \ . \ . Tenemos: 2 24 8 12 2 8 2 18 0 x y x y ' ' ' ' + + =De tal manera que se ha eliminado el trmino xy Por traslacin:Para eliminar los trminos de primer grado, completamos cuadrados:

2 24 8 12 2 8 2 18 0 x y x y ' ' ' ' + + =2 24 12 2 8 8 2 18 0 x x y y ' ' ' ' + + =( ) ( )2 24 3 2 8 2 18 0 x x y y ' ' ' ' + + =2 2 23 2 3 2 2 24 8 18 02 2 2 4x y | | | | | |' ' + + = ||| ||| \ . \ . \ . 2 23 2 24 18 8 4 18 02 2x y| | | |' ' + + = || ||\ . \ . 2 23 2 24 8 42 2x y| | | |' ' + = || ||\ . \ . 2 23 2 22 21112x y| | | |' ' ||\ . \ .+ =Sean 3 2 2, 2 2x x y y '' ' '' ' = = Tenemos:2 21112x y '' ''+ = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 12 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY CLASIFICACIN DE LAS CNICAS DE SEGUNDO GRADO La ecuacin general de segundo grado02 2= + + + + + F Ey Dx Cy Bxy Ax , excepto en casos particulares, corresponde a una seccin cnica. Se demuestra que si24 I B AC = AC B 420 , la curva es una hiprbola. En los casos particulares, la ecuacin representar (degeneracin) dos rectas siempre que elprimermiembrosepuedadescomponerenelproductodedosfactoreslineales,un punto o rectas imaginarias. Teniendo en cuenta el valor de 2 2 24 FB CD AE BDE ACF + = A1)Si 0 = A , entonces la ecuacin02 2= + + + + + F Ey Dx Cy Bxy Axa) 0 < I , elipse b)0 > I , hiprbola c)0 = I , parbola 2)Si 0 = Aa) 0 < I , punto real o vaco b)0 > I , dos rectas concurrentes c)0 = I , dos rectas paralelas coincidentes o vaco. Ejemplo12:Hallarlanaturalezadelacurvarepresentadaporlaecuacin: 2 24 4 6 3 2 0 x xy y x y + + + = Solucin: Dado que A=4 B=-4 C=1, tenemosAC B 42 =0, puede ser una parbola. Agrupando trminos, esta ecuacin se puede descomponer en factores: ( ) ( )2 24 4 3 2 2 0 x xy y x y + + =( ) ( )22 3 2 2 0 x y x y + =( )( ) 2 1 2 2 0 x y x y =Se trata de las rectas paralelas:2 1 0 x y = ,2 2 0 x y = Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 13 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY Ejemplo13:Hallarlanaturalezadelacurvarepresentadaporlaecuacin: 2 23 4 3 15 x xy y = Solucin: Dado que A=3 B= 4 3 C=-1, tenemosAC B 42 =60>0 La cnica es una hiprbola. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.Encadaunodelossiguientesejerciciostransformarlaecuacindadatrasladando los ejes coordenados al nuevo origenO' . a) 2 26 4 0; O( 3, 2) x y x y ' + + + = b) 236 9 0, O , 02y x| |' + = |\ . c) 2 23 4 12 8 4 0; O( 2,1) x y x y ' + + = d)3 4 13 0; O( 4,3) xy x y ' + = 2.Aplicandolasfrmulasdelatraslacindeejes,h x x + ' = ,k y y + ' = ,reducirlas ecuaciones siguientes a su forma ms simpley establecer la naturaleza dela figura que representan.a)0 5 4 62= + x y yb) 2 23 4 12 8 4 0 x y x y + + =c) 2 22 3 4 12 20 0 x y x y + + =d) 24 6 17 0 y x y + = 3.Losejesdecoordenadashangiradounngulode60.Lascoordenadasdelos puntos) 4 , 3 2 ( A ,) 0 , 3 ( B ,) 3 2 , 0 ( C estndeterminadasenelnuevosistema. Calcularlascoordenadasdeestosmismospuntosenelsistemadecoordenadas primitivo. 4.Dadaslasrectas2 3 6 0 x y + = y4 3 12 0 x y + = determineelnuevoorigen dondesedebentrasladarlosejesxeydemodoquelasecuacionesdelasrectas dadas carezcan de trminos libres. 5.Hallar las nuevas coordenadas del punto dado cuando los ejes rotan el ngulo dado Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 14 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY a)( ) 3, 4 ;30 u =b)( ) 180 ; 1 , 3 = uc)(1, 2); 45 = ud) ( )2, 3 2 ; 45 = ue)( ) 1, 0 ; 90 u = 6.Culessonlascoordenadasdelpuntocuandolosejessegiranelngulo especificado y luego el origen se traslada al punto especificado. a)Punto P(3,6), ngulo 30 , O(2, -6) b)Punto P(2,2), ngulo 45 , O(-1,1) 7.Por traslacin de los ejes coordenados el nuevo al nuevo origen O(3,3)ydespus rotacin en un ngulo de 30las coordenadas de un cierto punto P se transforman en (7,6). Encuentre las coordenadas de P con respecto a los ejes originales. 8.Hallarlatransformadadelaecuacindada,algirarlosejesdecoordenadasun ngulo dado. a) 23 3 1 0;60 y xy u + = =b) 2 22 3 4;30 x xy y + + = = uc) 3 43 4 10 0; , cos5 5x y senu u + = = =d) 2 22 2 4 3 0;45 x xy y x y + + + = = ue)3 3 y x = + ;60 u =f) 2 24 311 24 4 30 40 45 0;, cos5 5x xy y x y senu u + + + = = = 9.Eliminarlostrminosdeprimergradodelasecuacionessiguientescompletando cuadrados perfectos.a) 2 22 6 8 7 0 x y x y =b) 2 24 6 3 0 x y x y + + =c)0 10 8 6 4 32 2= y x y xd)0 17 10 12 5 22 2= + + y x y x 10. Considere una rotacin 45, para graficar2 xy = , indique sus elementos principales. 11. Por una rotacin de 45 de los ejes coordenados, una ecuacin de segundo grado se transforma en 2 22 4 8 x y ' ' = . Hallar la ecuacin original. Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 15 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY 12. Porunarotacindeejeslaecuacin 2 23 x xy y + = ,setransformaen ( ) ( )2 21 Ax By ' ' + = . HallarA B + 13. Porunatraslacindeejes,laecuacin 22 2 1 0 x x y + + = setransformen ( ) ( )2x k y ' ' = . Hallar k 14. Hallar la nueva ecuacin de3 3 y x = + , despus de haber girado los ejes 60. 15. Si2 y x ' ' = eslaecuacindespusdeunarotacinde53,hallarsuecuacinenel sistema XY. 16. Mediante una traslacin de ejes coordenados, si es posible, reducir la ecuacin:a) (4 6)(2 1)xyx+= a la formax y a ' ' = , a es constante b) 2 22 2 4 37 0 xy y xy x y + + ++ =a la forma( )2x y a ' ' = , 17. Por una rotacin de 60 de los ejes coordenados, una ecuacin de segundo grado se transforma en 2 23 3 x y ' ' = . Hallar la ecuacin original. 18. Por una rotacin de ejes, transformar la ecuacin3 4 5 x y + = , en otra que no tenga trmino eny' . 19. Medianteunatraslacindeejesadecuado,transformarlaecuacin: 2 27 8 18 0 x xy y x y + + + =en otra que no tenga trminos de primer grado. 20. Al efectuar una rotacin, se obtiene un ngulo cuya medid es u , la pendiente de la recta: 3 6 0 L x y + =en el nuevo sistema es infinita. Halle u y la ecuacin en el nuevo sistema. 21. Por una traslacin de coordenadas al nuevo origen (-2,3) seguido de una rotacin de 45;laecuacindeunacurvasehareducidoalaecuacin( ) ( )2 24 4 x y '' '' + = . Hallar la ecuacin original. 22. Lanuevaecuacindeunacurvadespusdeunarotacinsegnunngulocuya medida de 37 es: 2 239( ) 64( ) 4 100 0 x y x y ' ' ' ' + + = . Hallar la ecuacin original. 23. Por una rotacin deejessimplificar la ecuacin 2 22 3 4 x xy y + + =(dar respuesta la distancia de los focos). Geometra Analtica y lgebra: Ciclo 2011-1 16 ______________________________________________________________________DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY 24. Pormediodeunarotacindeejesyunatraslaciny,reducelasecuacionesasu forma ms simple, trazar los ejes coordenados. a) 2 29 24 16 90 130 0 x xy y x y + + + =b) 2 28 4 5 36 x xy y + =c) 2 24 3 3 30 x xy y + =d) 2 23 2 3 2 10 9 0 x xy y x y + +=e) 2 29 4 6 12 36 44 0 x xy y x y + + + + + =f) 2 210 1 0 x xy y x y + ++ + = 25. Hallarlanaturalezadelascnicassiguientesteniendoencuentaelvalorde discriminanteAC B 42 .a) 2 22 3 2 22 35 0 x xy y x y + + =b) 2 23 18 27 5 7 4 x xy y y y + + = c) 2 22 3 2 22 35 0 x xy y x y + + =d) 2 23 0 x xy y x + =e) 2 22 3 3 2 0 x xy y x y + + + =f) 2 216 24 9 30 40 0 x xy y x y + + =