UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICASPROGRAMA DE ECONOMIACLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES.

DOCENTE: Mag. Erwin Maury Mancilla.UNIDAD 1: FUNCIONES CON VARIAS VARIABLESEl verdadero precio de todas las cosas, lo que todas las cosas cuestan realmente al hombre que quiere adquirirlas es el esfuerzo y la molestia que supone adquirirlas (Adam Smith).

En Ciencias Econmicas, las variables econmicas se relacionan con dos o ms variables. La demanda de un bien, por ejemplo, depende del precio del bien, de los gustos del consumidor, de la renta de los diferentes consumidores y de los precios de los bienes sustitutivos y complementarios, etc.; el precio de venta de un artculo particular puede depender de su costo de produccin, del costo de materiales y de los gastos generales; el producto obtenido por una empresa est relacionado con diferentes insumos utilizados en su proceso productivo, tales como el capital, horas de trabajo, tierra, etc. Estos tipos de relaciones dan origen a las llamadas funciones multivariables o funciones de varias variables.

La funcin de produccin asocia a cada conjunto de insumos el nivel de produccin alcanzado en un periodo determinado. Lo anterior, se expresa matemticamente:

En donde q representa la cantidad de producto que una empresa puede obtener; K, factor capital (fsico, humano, financiero); L, factor trabajo (toda actividad humana que interviene en el proceso de produccin); T, factor tierra (incluye los recursos naturales) y los puntos suspensivos indican que tambin depende de otros factores.

1.1 FUNCIONES DE DOS VARIABLES.

Antes de entrar a definir funciones en dos variables, primero se ver un ejemplo:Ejemplo 1.1: Una empresa dedicada a producir filetes de pescado, presenta los siguientes datos:Nmero de trabajadores (L)Nmero de mquinas (K)Cantidad producida (q) Kg/ao

20420.000

251050.000

5020100.000

12030250.000

14050300.000

Tabla 1De acuerdo a los datos de la tabla 1, podemos relacionar 20.000 con la pareja (20, 4), 50.000 con (25, 10) y as sucesivamente. Es decir, a cada pareja le podemos asociar un nico nmero, condicin para que una relacin sea una funcin, pero en este caso el dominio de la funcin es un conjunto de parejas ordenadas.Es decir: = {(20, 4); (25, 10); (50, 20); (120, 30); (140, 50)} (: Dominio de ) = {20.000, 50.000, 100.000, 250.000, 300.000} (: Rango de ).En notacin funcional:(20,4) = 20.000(25, 10) = 50.000(50, 20) = 100.000(120, 30) = 250.000(140, 50) = 300.000 = {(20,4, 20.000), (25,10, 50.000), (50,20, 100.000), (120, 30, 250.000), (140, 50, 300.000)} Entonces podemos afirmar que la cantidad producida, puede expresarse como que es una funcin de dos variables independientes . La letra es la variable dependiente

DEFINICIN: Una funcin f de dos variables x e y con dominio D R2 es una relacin que asigna a cada punto (x, y) D un nico nmero f(x, y)

La anterior definicin, matemticamente se expresa as:Sea f: D R2 R, f es una funcin si y slo si (x, y) D, f(x, y) R es nico.

Observacin 1: Cuando tenemos una funcin de dos variables se suele utilizar para representar los valores de la funcinLa variable es la variable dependiente y las variables independientes.Observacin 2: El dominio es un subconjunto de R2 (espacio bidimensional), ya que sus elementos son pare ordenados.

Funcin Costo: El costo de producir dos bienes diferentes por una empresa, se puede expresar como una funcin de dos variables.

Ejemplo 1.2: Un fabricante puede producir porttiles a un costo de $250.000 cada uno, y computadores de mesa a un costo de $180.000 cada uno.a) Exprese el costo mensual de produccin como funcin del nmero de porttiles y computadores de mesa.b) Halle el costo total si al mes produce 20 porttiles y 50 computadores de mesac) Si el fabricante desea aumentar la produccin de porttiles en 10 al mes, que cambio debe hacer en la produccin de computadores para que el costo mensual no cambie.

Solucin:a. Representemos por q1 cantidad de porttiles y por q2 la cantidad de computadores producidos al mes y sea c, el costo mensual dado en pesos, entonces la funcin de costo mensual est dada por:

b. Sea, entonces, reemplazando estos valores en (1)

El costo total mensual es de $14000.000c. El costo total c debe permanecer constante, es decir $14000.000, pero la produccin de porttiles sera de 30 (20 +10) al mes, entonces reemplazando estos valores en (1):

Resolviendo la ecuacin anterior:(Restamos 7500.000 a ambos lados de la igualdad)

(Dividimos por 180.000 a ambos lados de la igualdad)

Para aumentar la produccin de porttiles en 10 al mes y dejar el costo mensual constante, el fabricante debe disminuir en 14 (50 36) la produccin de computadores de mesa al mes.

Valor futuro y presente de una suma de dinero. Dos concepto bsico en matemticas financieras son los de valor futuro y presente de una o varias sumas de dinero. Estos dos conceptos son funciones que cuyas variables son la tasa de inters y el tiempo.

Valor futuro: Dada una suma de dinero $ hoy, se llama valor futuro de al cabo de perodos y con una tasa de inters del por perodo al valor $ que en esa fecha sea equivalente a $ de hoy. Su frmula es:

Valor presente: Dada una cantidad de dinero $ al final de perodos, se llama valor presente de con tasa de inters del por perodo a la cantidad $ que hoy equivale a . Su frmula es:

Ejemplo 1.3: Una persona deposita hoy la suma de $ 500.000 en una cuenta de ahorros. Hallar la cantidad total acumulada dentro de:a) Cinco aos si la tasa de inters es del 2% mensual.b) Seis aos, si la tasa de inters es del 36% anual.Solucin: a) = $500.000; = 5 aos = 60 meses; = 2% mensual = = $1640.515,40. Que representa la cantidad total (capital ms intereses) acumulada al cabo de cinco aos. La interpretacin de este resultado es que si el dinero rinde el 2% mensual a lo largo de los cinco aos, es equivalente a tener hoy $ 500.000 y a tener $ 1.640.515 dentro de cinco aos.

b) = $500.000; = 6 aos ; = 36% anual

= = $3163.759,44.

1.2 FUNCIONES DE MS DE DOS VARIABLES

Antes de pasar a definir el concepto de funciones de cualquier nmero de variables, primero haremos las siguientes consideraciones: Un punto de R se denota mediante un nmero real . Un punto de R2 se denota por medio de un par ordenado de nmeros reales (x, y) Un punto de R3 se expresa mediante una terna ordenada de nmeros reales (x, y, z,) Un punto del espacio n-dimensiona Rn se representa por medio de una n-ada (lase eneada) o n-upla ordenada de nmeros reales denotada por P = .DEFINICIN: Una funcin de n variables con dominio D Rn es una relacin que asigna a cada n upla () D un nico nmero

En notacin matemtica, la anterior definicin se escribe as:Sea f: D Rn R, f es una funcin si y slo si () D, R es nico.

EJERCICIOS1. Explique por qu la funcin de produccin no es una funcin si su Dominio son los Reales.

2. Sea f la funcin definida por la frmula . Determine w si:a. f (0, 3, 2)b. f (tx, ty, tz)c. f (x + h, y, z)d. f (x, y + h, z)e. f (x, y, z + h).

3. Supongamos que observando el proceso elaboracin de arepas rellenas con queso en el Arepaso Costeo se ha construido la siguiente tabla y ha quedado inconclusa:

Nmero de asadores de arepas (K)Nmero de trabajadores (L)Nmero de arepas producidas por hora (q)

115

2210

3315

101050

Tabla 1a) Termine la tabla.b) Construya la funcin de produccin para el Arepaso Costeoc) Halle;

4. La pequea microempresa Dulces Palenque produce diferentes variedades de dulces, entre ellos, las cocadas de coco y las alegras con coco y ans. Los costos promedio de produccin son, respectivamente, constantes de $400 y $200 por unidad. Las cantidades de cocadas y alegras que pueden venderse cada semana estn dadas por las funciones de demanda conjunta:Para recordar:Costo = Costo unitario x nmero de unidades producidas.Ingreso: Precio de venta x nmero de unidades vendidas.Utilidad: Ingreso Costo.

Donde son los precios de venta por unidad de las cocadas y alegrias respectivamente. Halle:a. La funcin del costo total en funcin de y.b. La funcin del costo total en funcin de .c. La funcin ingreso total en funcin de y.d. La funcin del ingreso total en funcin de e. La funcin de la utilidad total en funcin de yf. La funcin de la utilidad total en funcin de .

5. Suponga que la produccin de q unidades del producto de una compaa se determina mediante la funcin de produccin:

Donde K est dado en miles de pesos y L las horas de trabajo.a) Qu cantidad producir la compaa si invierte $100000.000 y se trabajan 625 horas?b) Qu suceder si la inversin y las horas trabajadas se reducen a la mitad?

6. La empresa Cueros Quilla se dedica a fabricar zapatos, bolsos y correas en cuero. De acuerdo a la informacin dada en la tabla 3:a) Halle la funcin costo total.b) Determine la funcin venta.c) Determine la funcin utilidad.d) Determine la utilidad de la empresa si vendi todas las unidades producidas.e) Halle la utilidad que obtuvo la empresa durante el perodo si vendi 9625 pares zapatos, 6125 bolsos y 1750 correas durante el perodo.

COSTOSZAPATOSBOLSOSCORREAS

Unidades a producir9.6256.1251.750

Costos variables unitarios:

Materiales directos por unidad producida $8.500$6.300$4.500

Mano de obra directa por unidad producida$3.800$2.500$2.000

Costos indirectos de fabricacin por unidad producida$2.700$1.800$800

Costos fijos totales: arrendamiento, depreciacin, salarios bsicos. $5000.000

Precio de venta unidad$25.000$18.500$12.500

Tabla 2

Alegra con coco y ans: Pequeas bolas hechas con millo, ans y coco. Es una delicia que aportaron los afro-descendientes a la gastronoma colombiana.Cocadas de coco: Dulce elaborado con coco, azcar, clavos de olor y jugo de limn. Tambin es otro aporte de los afro-descendientes trados a Colombia.

7. La media aritmtica se puede considerar como funcin de varias variables. Si son observaciones numricas, entonces:

Teniendo en cuenta la funcin anterior, halle la media aritmtica, para las siguientes observaciones:a) Los datos correspondientes al tiempo que han necesitado 10 clientes de un banco para llevar a cabo una transaccin bancaria son:4.1, 3.1, 6.5, 5.0, 2.5, 7.4, 3.3, 2.0 6.4 y 2.8 min.b) Un economista est realizando una investigacin y para la cual ha recolectado los datos de los salarios devengados por 12 trabajadores de una empresa, los cuales son: $1500.000; $1700.000; $1300.000; $1000.000; $1750.000; $1400.000; $1000.000; $1300.000; $1200.000; $1750.000; $1000.000; $1750.000. Cul es el salario promedio de la empresa?

8. Consulte que es la media geomtrica y la media armnica y explique si se pueden considerar como funciones de varias variables.

9. Para la temporada de carnaval, un artesano se dedica a elaborar dos tipos de mscaras, de Torito Ribereo y de Tigre Manchado. En la siguiente tabla se muestra los costos variables y fijos para cada una de ellas. Con base a la informacin dada

CostosMscara de Torito Ribereo$Mscara de Tigre Manchado$

Costos variables unitarios70.00060.000

Costos fijos totales110.000100.000

Precio venta unitario235.000220.000

Tabla 3a) Determine la funcin costo total.b) Halle el costo total si durante la temporada vende 20 mscaras de Torito y 30 de Tigre.c) Determine la funcin utilidad.d) Halle la utilidad que obtuvo durante la temporada de carnaval.Mascara de Torito: es la mscara ms representativa de las danzas de Congos (Negros), en las que el toro mayor lidera la cuadrilla de animales. Tradicional del barrio Rebolo, data de 1878. Es realizada en madera tallada, pintada con esmaltes y decorada con espejos, cachos de res, cascabeles de latn, paoletas y cintas de satn. Mscara de Tigre: hace parte de la cuadrilla de animales de las danzas de Congos. Tradicional del barrio Rebolo, de Barranquilla, con mandbula articulada. Es elaborada en madera tallada y pintada con esmaltes; bigotes de pelo de caballo.