24. Estudia la continuidad de la siguiente función:

2x si13x

2x si4x

1

f(x)

.especie segunda de idaddiscontinu una Presenta

01x3limf(x)lim

.definida estáNof(x)lim

3

1f

:3

1x

.especie segunda de idaddiscontinu una Presenta

.definida estáNof(x)lim

2

1

4x

1limf(x)lim

2

12)f(

:2x

.infinito salto de especie primera de asintótica idaddiscontinu una Presenta

0

1

4x

1limf(x)lim

0

1

4x

1limf(x)lim

4)f(

:4x

.3

1xy2x4,xenidadesdiscontinu Presenta

,3

124,4,f(x)Dom

3

1x01x3

4x04x

:Dominio

31x

3

1x

3

1x

2x

2x2x

4x4x

4x4x

25. A partir de la función

0x si

2x

1

0x si1ax

f(x)

2

, obtén el valor de a que

verifique que la función en x = 0 sea: a. Continua.

2

1a

2

11a

2

1

2x

1limf(x)lim

1a1axlimf(x)lim

1a)0(f

:0x

0x0x

2

0x0x

b. Discontinua evitable. No existe ningún valor de a que haga que la discontinuidad sea evitable. c. Discontinua inevitable.

.2

1a donde ,a

26. Estudia la continuidad de la función

0x si1x

1x

0x si1x

62x

f(x)

2

2

2

y halla los

extremos relativos, si los tiene.

61x

6x2limf(x)lim

1f(0)

:0x

f(x)Dom

2

0x0x

11x

1xlimf(x)lim

2

2

0x0x

mínimo,10,N1f(0)mínimo,0(1)

04(0)''f

máximo,41,M41)f(máximo,01)1(

161)(''f

0x si1)(x

x124

0x si1)(x

16

(x)''f

0x0x401)(x

x4

1x

0,3x06x4x20

1)(x

6x4x2

0(x)'f

0x si1)(x

x4

0x si1)(x

6x4x2

(x)'f

:Extremos

{0}.en contínuaes función la que lo por 0,x en finito salto de idaddiscontinu una Hay

3

3

32

2

3

22

2

2

2

22

2

2

27. Considera la función

1x six

1x six)(2f(x)

2

3

y justifica si es continua y

derivable en todo ℝ.

}.1{enderivable Es

.derivable esNo2x2lim(x)'flim

3x)3(2lim(x)'flim

:1x

1x six2

1x six)3(2(x)'f

.encontinua Es

1xlimf(x)lim

1x)(2limf(x)lim

1f(1)

:1x

f(x)Dom

1x1x

2

1x1x

2

2

1x1x

3

1x1x

28. Sea la función:

1x si1x

2x

1x six

13xx

f(x)

2

a. Estudia el dominio y la continuidad de f (x).

{0}.encontinua Es

.asintótica dadiscontinuiD

0

1

x

1x3xlimf(x)lim

0

1

x

1x3xlimf(x)lim

f(0)

:0x

.continua Es

1x

1x3xlimf(x)lim

11x

x2limf(x)lim

11)f(

:1x

{0}.f(x)Dom0x

1),(1x01x

:Dominio

2

0x0x

2

0x0x

2

1x1x

1x1x

b. Identifica y clasifica las discontinuidades de la función. Discontinuidad asintótica de primera especie de salto infinito cuando x = 0. c. Halla los extremos relativos.

mínimo,51,N5f(1)mínimo,0(1)

2(1)''f

1x si1)(x

4

1x six

2

(x)''f

01)(x

2

1x01x0x

1x

0(x)'f

1x si1)(x

2

1x six

1x

(x)'f

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

29. Dada la función de expresión:

2

3

2

3

x si2x112

7

x si4

x1

f(x)2

2

a. Estudia la continuidad y derivabilidad de f (x).

.2

3enderivable Es

.derivable esNo

12

72)(x

6

7lim(x)'flim

4

3

2

xlim(x)'flim

:2

3x

2

3x si2)(x

6

7

2

3x si

2

x

(x)'f

:dadDerivabili

.encontinua Es

.continua Es

16

72)(x1

12

7limf(x)lim

16

7

4

x1limf(x)lim

16

7

2

3f

:2

3x

:dContinuida

2

3x

2

3x

2

3x

2

3x

2

2

3x

2

3x

2

2

3x

2

3x

b. Halla los máximos y mínimos locales de f (x).

2x0)2x(6

7

0x02

x

0)x('f

.16

7,

2

3enlocalmínimounHay

máximo,12

72,B

12

7f(2)máximo,0

6

7(2)''f

máximo,10,A1f(0)máximo,02

1(0)''f

2

3x si

6

7

2

3x si

2

1

(x)''f

SOLUCIONES PÁG. 092 30. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:

2x si2x

2x si2)x(xf(x)

3

.2enderivable Es

.derivable esNo

2)(x3

1lim(x)'flim

22x2lim(x)'flim

:2x

2x si2)(x3

1

2x si2x2

(x)'f

:dadDerivabili

.encontinua Es

.continua Es

02xlimf(x)lim

02)x(xlimf(x)lim

02f

:2x

:dContinuida

f(x)Dom

3 22x2x

2x2x

3 2

3

2x2x

2x2x

31. Considera la función

0x si1e

0x sixxf(x)

x

2

y contesta razonadamente a las

siguientes preguntas: a. ¿Es continua en el punto x = 0?

.continua Es

0xxlimf(x)lim

01elimf(x)lim

00f

:0x

2

0x0x

x

0x0x

b. ¿Es derivable en el punto x = 0?

.derivable esNo

11)x(2lim(x)'flim

1elim(x)'flim

:0x

0x sie

0x si1x2(x)'f

0x0x

x

0x0x

x

c. ¿Alcanza algún extremo?

.mínimounes0)N(0,tanto,Por0.xcuandomínimountiene

0,xpuntoelencontinuaesfunciónlaComo.edecrecientes1eycrecienteesxx x2

32. Sea la función: 4

63

x1

xxf(x)

a. Encuentra su dominio y los posibles puntos de discontinuidad.

}11,{f(x)Dom1x0)x)(1x(10x1 224

b. Determina si alguna de las discontinuidades es evitable.

)x1)(x1(

)x1(x

x1

xx)x(f

22

33

4

63

– 1 0 0 1

1 – 1 – 1 – 1

– 1 – 1 – 1 0

)x1)(x1(

)1xx(x

)x1)(x1)(x1(

)1xx)(1x(x

)x1)(x1(

)x1(x)x(f

2

23

2

23

22

33

En x = 1, la discontinuidad es evitable.

33. Halla el dominio de la función 23xx

xxf(x)

2

2

y estudia su continuidad.

2}1,{f(x)Dom1x

2x

2

893x02x3x 2

.infinito

saltodecieeespprimerade

asintóticaidaddiscontinu

0

2

2x

xlim

2x3x

xxlimf(x)lim

0

2

2x

xlim

2x3x

xxlimf(x)lim

2f

:2x

.evitableidaddiscontinu

2

1

2x

xlim

2x3x

xxlimf(x)lim

2

1

2x

xlim

2x3x

xxlimf(x)lim

2

11f

:1x

2x

x

2)1)(x(x

1)x(x

2x3x

xxf(x)

:dContinuida

2x2

2

2x2x

2x2

2

2x2x

1x2

2

1x1x

1x2

2

1x1x

2

2

34. Dada la función f (x) = x2 – 5x + 6, indica las variaciones en la continuidad y derivabilidad que presentan las funciones f (x) y |f (x)|.

3,2enDerivable

.derivableesNo15x2lim)x('flim

15x2lim)x('flim

:3x

.derivableesNo15x2lim)x('flim

15x2lim)x('flim

:2x

3x,5x2

3x2,5x2

2x,5x2

)x('f

:dadDerivabili

enContinua

.continuaEs

06x5xlim)x(flim

06x5xlim)x(flim

0)3(f

:3x

.continuaEs

06x5xlim)x(flim

06x5xlim)x(flim

0)2(f

:2x

3x,6x5x

3x2,6x5x

2x,6x5x

)x(f

:dContinuida

3x

2x06x5x,6x5x)x(f

.iomindosutodoenderivable,)x(fDom,6x5x)x(f

3x3x

3x3x

2x2x

2x2x

2

3x3x

2

3x3x

2

2x2x

2

2x2x

2

2

2

22

2

35. Calcula el valor de a para que f (x) sea continua en todo ℝ, teniendo en cuenta que f (x) corresponde a la siguiente función:

1x si1)ln(2x

1x si3axf(x)

2

3a03a

01ln)1x2ln(limf(x)lim

3a)3ax(limf(x)lim

3a1f

:1x

1x1x

2

1x1x

36. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua:

0x sixx

0x sik

0x sie

f(x)2

x

1

0k

0)xx(limf(x)lim

0eeelimf(x)lim

k0f

:0x

2

0x0x

0

1

x

1

0x0x

37. Determina para qué valores de a la siguiente función es continua en x = 0:

0x si1

0x si2x

ax)(1e

f(x) 2

ax

2a4a14

a

f(x)lim4

a

4

aelimaHôpitalL'ación,indetermin,

0

0

x4

1elima

x4

aaelimHôpitalL'ación,indetermin,

0

0

x2

ax)(1elimf(x)lim

10f

:0x

22

0x

2ax

0x

ax

0x

ax

0x2

ax

0x0x

38. A partir de la función

0x sikx

0x si2

xlnx

f(x) x halla el valor de k para que

f (x) sea continua en ℝ.

0k

010

0

2x2ln2

x2lim

x2

12x2ln2

1lim

x

x2

12x2ln2

x

1

limHôpitalL'ación,indetermin,

x

2

xlnlimaciónindetermin,

1

0

2

xlnxlimf(x)lim

kk)(xlimf(x)lim

k0f

:0x

x1x0xxx0x

xx0x

x0x

x0x0x

0x0x

39. Determina los valores de a y b para que la función f (x) sea continua en x = 2 y tenga un mínimo en x = 1:

2x sia2x

2x si1bxxf(x)

2

3b21a2bb20(1)'f

2x si2

2x sibx2(x)'f

:1xenmínimounHay

b21aa4b25

a4a)x(2limf(x)lim

b251)bx(xlimf(x)lim

b252f

:2x

2x2x

2

2x2x

40. Considera la función:

3x six10x4

3x sia3xf(x)

2

a. Halla el valor de a para que f (x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor?

.derivable esNo4x)2(10lim(x)'flim

3(x)'flim

:3x

3x,x210

3x,3(x)'f

3x,xx104

3x,8x3f(x)

8a17a9

17)xx104(limf(x)lim

a9a)x(3limf(x)lim

a93f

:3x

3x3x

3x

2

2

3x3x

3x3x

b. Determina los puntos en los que f' (x) = 0.

5xx2100)x('f

c. Calcula el máximo y el mínimo absolutos de f (x) en el intervalo [4, 8].

128,N intervalo, elenabsolutomínimo12f(8)20,f(4)

215,M21f(5)máximo,02(5)''f

3x,2

3x,0(x)''f

ervalointalpertenece5x84,x

41. Se tiene una función, f (x), que no es derivable en x = a. a. ¿Puede presentar en dicho punto un extremo relativo? Sí. b. Si la respuesta del apartado anterior es positiva, ¿cómo se realiza el cálculo de dicho extremo si no pueden usarse los procedimientos de derivación? En este caso ha de estudiarse el signo de la derivada a izquierda y derecha del punto x = a. También puede aplicarse la definición de extremo relativo.

42. Dada la siguiente función:

0x sie

0x sia

0x si1x

3x2x

f(x)

2

x

1

a. Determina el valor de a para que f (x) sea continua en x = 0.

0a

0eelimf(x)lim

01x

x3x2limf(x)lim

a0f

:0x

x

1

0x0x

2

0x0x

b. Para ese valor estudia la derivabilidad de f (x) en x = 0.

.derivable esNo0)0('f31)(x

3x4x2lim(x)'flim

:0x

0x siex

1

0x si0

0x si1)(x

3x4x2

(x)'f

0x sie

0x si0

0x si1x

x3x2

f(x)0a

2

2

0x0x

x

1

2

2

2

x

1

2

43. Sea la función:

0x siex

0x six)ln(1af(x)

x2

a. Calcula f(x)limx

y f(x)limx

.

0e

2limHôpitalL'ación,indetermin,

e

x2lim

HôpitalL'ación,indetermin,e

xlimexlimf(x)lim

xxxx

x

2

x

x2

xx

)1ln(a)x1ln(alimf(x)limxx

b. Halla el valor de a para que f (x) sea continua en todo ℝ.

0a

0exlimf(x)lim

a)x1ln(alimf(x)lim

00f

:0x

x2

0x0x

0x0x

c. Estudia la derivabilidad de f (x) y calcula f' (x) donde sea posible. Es continua en x = 0 si a = 0. Es derivable en ℝ – {0}.

0x sixx2e

0x si1x

1

(x)'f2x

44. A partir de la función:

0x si3xe

0x sia

0x si1x

1xx

f(x)x

2

2

a. Determina, si existe, el valor de a para que f (x) sea continua en x = 0.

33xelimf(x)lim

11x

1xxlimf(x)lim

a0f

:0x

x

0x0x

2

2

0x0x

No existe ningún valor de a para que f(x) sea continua, pues los límites laterales no coinciden. b. Comprueba si la función es derivable en x = 0 para algún valor de a.

0)0('f1)1x(elim(x)'flim

0x si)1x(e

0x si0

0x si)1(x

x1

(x)'f

x

0x0x

x

22

2

No existe ningún valor de a para el que la función sea derivable en x = 0.

SOLUCIONES PÁG. 093 45. Sea la función:

3x si158xx

3x1 si32axx

1x si2x1

f(x)2

2

2

a. Calcula el valor de a para que f (x) sea continua en x = 1.

2

5a1a24

a243ax2xlimf(x)lim

1x21limf(x)lim

11f

:1x

2

1x1x

2

1x1x

b. Para a = 2 estudia la continuidad y la derivabilidad de f (x).

3,1enderivabley3,1encontinuaEs

.continuaesNo

0)15x8x(lim)x(flim

24)3x4x(lim)x(flim

24)3(f

:3x

.continuaesNo2

52a:1x

3x si15x8x

3x1 si3x4x

1x six21

f(x)

2a

2

3x3x

2

3x3x

2

2

2

46. Dada la función

1x sixbx

1x si32bxxf(x)

2

2

, donde b ∈ ℝ:

a. Calcula el valor de b para que f (x) sea continua en x = 1.

3

1b1bb22

1bxbxlimf(x)lim

b223bx2xlimf(x)lim

b221f

:1x

2

1x1x

2

1x1x

b. Para b = 1 determina los extremos relativos de la función.

máximo,41,M41)f(máximo,021)(''f

1x si2

1x si2(x)''f

1,2

1x0x21

1x02x2

0(x)'f

1x six21

1x si2x2(x)'f

1x sixx

1x si3x2xf(x)1b

2

2

c. ¿Es derivable en x = 1?

.derivable esNo

3x)2(1lim(x)'flim

42x2lim(x)'flim

:1x

1x1x

1x1x

47. Considera la función 4x

eef(x)

3x3x , con b ∈ ℝ:

a. Indica de forma razonada en qué valor de x la función no está definida. No está definida en x = 0, ya que este valor de x anula el denominador.

b. Calcula el valor del parámetro b ∈ ℝ para que la función

ax sib

ax sif(x)g(x)

sea continua, siendo a el valor anteriormente obtenido.

2

3bbg(a)

2

3

4

6

4

e3e3lim

HôpitalL'ación,indetermin,0

0

x4

eelim

x4

eelimf(x)limg(x)lim

x3x3

0x

x3x3

0x

x3x3

axaxax

48. Determina los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en x = 1.

1x si12abxx

1x siaxf(x)

2

2

1a4b2b2b2)bx2(lim)x(flim

2)x2(lim)x('flim

:1x

1x,bx2

1x,x2)x('f

:dadDerivabili

3ba2ba21a

2ba2)1a2bxx(lim)x(flim

1a)ax(lim)x(flim

1a)1(f

:1x

:dContinuida

)x(fDom

1x1x

1x1x

2

1x1x

2

1x1x