1

SEMINARIO PROBLEMAS (1 DICIEMBRE 2014)

Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada

Facultad de Farmacia UCLM

2

1.- Un tono puro de 432.9 Hz se propaga en el aire a 340 m/s. La amplitud de la onda de presión en un punto situado a 2 m de la fuente es de 184 mPa. Se pide:(a) La ecuación de onda y representar en el punto indicado la presión como función del tiempo. (b) Calcular la intensidad de la onda y el nivel de intensidad en dicho punto. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.27 kg.m-3.

Cálculo de y k rad/s 2720rad/s 8.8659.4322 2 f 1-m 8340

2720

vk

kv

)cos( tkxpp m Pa ) 2720 8cos(184 mtx

Representación gráfica en x = 2 m

mPa ) 272016cos(184 tp

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

s t

Valor rms de la presión

mPa 1302

184

2 m

rms

pp

c

pI rms

·

2

25

23

W/m10·91.3340·27.1

10·130

I

dB 769.7510

10·91,3log10log10

12

5

0

I

ILI

3

2.- Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martillete emitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza un receptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, se pide: a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es igual a p0 = 210-4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección que se haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I?

2

1 20

v

pI

c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?

Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: = 1.22 kg/m3

Ayuda

a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p0 = 210-4 Pa.

tkxptxp cos, 0

kv

1-m 6.3

340

6122

2

v

f

vk

rad/s 12246122 2 f

m 555.06.3

22

k

Pa)en ( 1224 6.3cos102, 4 ptxtxp Elegimos como punto inicial el momento en que la presión pasa por un máximo

00 cos0,0 ppp 0

Suponemos que se propaga de izquierda a derecha

Longitud de onda m 555.06.3

22

k

4

b) Nivel de intensidad que percibe el receptor 2

1 20

v

pI

Densidad del aire: = 1.22 kg/m3

211

24

W/m1082.4 403 .221

102

2

1

Justificación de las unidades S.I. m

watios

Área

Potencia2

I

c) Nivel de intensidad dB 171201082.4log1010

1082.4log10 11

12

11

10

IL

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?

1210 10

log10201720I

LL II 7.310

log1210

I 7.312

1010

I

29127.3 W/m1051010 I

b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I?

2

1 20

v

pI

c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?

Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: = 1.22 kg/m3

Ayuda

(2.- Continuación)

5

3.- El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10 metros de distancia de la misma, es de 70 dB. Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejará de ser audible; (c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de ser audible. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.20 kg.m-3; velocidad del sonido 338 m/s.

dB 70log100

11

I

ILI

0

22 log10

I

ILI

A 10 m de distancia (punto 1)

A 1 km de distancia (punto 2)

0

1

0

212 loglog 10

I

I

I

ILL II

1

2log 10I

I 702 IL

La intensidad de las ondas sonoras es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente (suponemos propagación isótropa)

22

21

1

2

r

r

I

I

46

2

23

2

1010

10

10

10 dB 30407010log1070 42

IL

La distancia r0 a la que la sirena deja de ser audible es aquella a la intensidad de la onda se hace igual al límite de percepción I0 = 10-12 W·m-2

21

20

0

1

r

r

I

I

0

110

I

Irr m 31600

10

10 10

12

5

-257121 W·m1010·10 I

Intensidad de la onda en cubierta

c

pI rms

·

2

Relación entre la intensidad y la presión rms de la onda sonora

00 ·· Icprms Pa 10·210·344·29.1 512 Umbral de presión = 20 Pa

6

4.- Una fuente sonora isótropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Las condiciones ambientales son densidad del aire 1.27 kg.m-3 y velocidad del sonido 340 m/s.Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor máximo de la presión de la onda sonora a 2 m de la fuente ¿Cuál es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2.

dB 65log100

11

I

ILI

-26-25.55.6121 W·m10·16.3 W·m1010·10 I5.6log

0

1 I

IIntensidad a 1 m de la fuente

La intensidad a 1 m de la fuente es la potencia emitida repartida sobre la superficie de una esfera de radio r1 = 1m.

21

1 4 r

WI

211 4· rIW

W10·4 W10 · 16.3 · 4 56 W

Para determinar la presión de la onda sonora calculamos la intensidad a r2 = 2 m de la fuente.

La intensidad de las ondas sonoras es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente

22

21

1

2

r

r

I

I

22

21

12 r

rII 2-7

5.5

2

25.5 W·m10·91.7

4

10

2

110

c

pI m

·2

2

Relación entre la intensidad y la presión máxima de la onda sonora

22 ··2 Icpm Pa 10·61.210·91.7·340·27.1·2 27

2m

rms

pp En una función senoidal la relación

entre valor máximo y valor rms esPa 10·85.1

2

Pa 10·61.2 22

7

5.- Un altavoz de forma semiesférica se ajusta para un nivel de intensidad de 40 dB a 10 m de distancia. (a) ¿Cuál es la intensidad en W·m-2 a esa distancia? (b) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 2.5 m de distancia? (c) Suponiendo que el altavoz semiesférico es una fuente isótropa de sonido, ¿cuál es su potencia? (d) ¿Cuál es la presión rms a 20 m de distancia? Densidad del aire 1.29 kg.m-3; velocidad del sonido 344 m/s. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2.

dB 40log100

11

I

ILIA r1 = 10 m de distancia (punto 1) -28412

1 W·m1010·10 I

1

1r2

2r

3

3r

Intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, por tanto para r2 = 2.5 m la intensidad es 2

2

21

1

2

r

r

I

I

22

21

12 r

rII 2-7

2

28 W·m10·6.1

5.2

1010 dB 52

10

10·6.1log10log10

12

7

0

22

I

ILI

La potencia emitida por el altavoz se distribuye uniformemente sobre una superficie semiesférica. Por lo tanto, tomando el dato de I1 y r1 tenemos que

21

1 2 r

WI

2

11 2· rIW W10·28.6 10 · 2·10 628 W

·/2 cpI rms

Para calcular la presión rms a 20 m hallamos primero la intensidad de la onda

23

21

1

3

r

r

I

I

23

21

13 r

rII 2-7

2

28 W·m10·5.2

20

1010

cIprms ·· Pa 10·05.1344·29.1·10·5.2 27

8

6.- La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a una tensión de 50 N está dada por

sen cm,en m,en 20sin 2.0sin 8, tyxtxtxy

m 102.0

22

22

k

T

v kg/m 10510

50 342

v

T

b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.

a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.

c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico.

m/s 1002.0

20

2

2

kv

sen cm,en m,en

40sin 4.0sin 8,4

tyx

txtxy

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

a) Parámetros de la onda . estacionaria

-12 m 2.0 k -1

2 srad 20

y (cm)

x (m)

Hz 102

20

22

2

f

b) Las frecuencias de todos los armónicos son . múltiplos enteros del término fundamental

1fnfn 1-21 srad 10

2

Longitud de onda:2

nnL

n

Ln

2 m 20

1

21

L -111 m 1.020/2/2 k

c) Ecuación 4º armónico

sen cm,en m,en 10sin 1.0sin 8,1 tyxtxtxy

-114 srad 404

m 54

24

Ly (cm)

x (m)

1-

44 m 4.0

5

22

k

Hay un nodo para cada valor x que verifica

0 4.0sin x

(m) 10 5.7 5 5.2 0 54321 xxxxx

cm/s 80, max1max txyv

9

L

7.- Determinar la imagen de un objeto de 5 mm de altura situado a 2.5 cm de una lente convergente de focal 15 cm. ¿Qué tipo de imagen es y cuál es su tamaño?

fss

111

mm 5

cm 5

5.37

5.12

5.2

1

15

1111

sfscm 3s

s

s f

F F

cm 5y

2.15,2

3

s

sm cm 652.1

ymy

y

ym

yy

Imagen virtual (formada por la concurrencia de prolongaciones de rayos refractados), derecha (el aumento lateral m es positivo) y de mayor tamaño que el objeto (m>1).

Los rayos divergen después de refractarse en la lente: eso implica que la imagen se forma en el lugar de donde viene la luz por prolongación de los rayos refractados, es decir, se forma una imagen virtual (véase que el signo para s’ es negativo).

1010

A 19 cm a la derecha de la lente del problema anterior se sitúa una lente divergente de focal 12 cm. Determinar la imagen formada por el conjunto de las dos lentes del mismo objeto al que se refiere el enunciado anterior. ¿Qué tipo de imagen es y cuál es su tamaño?

2f

2F

L2cm 19d

2s

222

111

fss

cm 2212 dss

cm 122 f

264

34

22

1

12

1111

222

sfscm 76.72 s

Rayo auxiliar

35.022

76.7

2

22

s

sm

cm 1.2635.0 2222

22

ymy

y

ym

Imagen virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto

L1

111

111

fss

mm 5

cm 5

5.37

5.12

5.2

1

15

1111

111

sfscm 31 s

1s

1s 1f

1F 1F

cm 51 y

2.15,2

3

1

11

s

sm cm 652.1 111

1

11

ymy

y

ym

yy

8.- SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + DIVERGENTE)

1111

1L 2L

OcularObjetivo

1F

1F 2F

2F

El objetivo y el ocular de un microscopio son lentes convergentes de focales 20 mm y 50 mm, respectivamente. El tubo del microscopio tiene 150 mm de longitud. (a) ¿A qué distancia del objetivo debe colocarse la muestra a examinar? Hágase un esquema gráfico con la marcha de los rayos. (b) ¿Cuál es el aumento angular de este microscopio?

(a) El microscopio enfoca cuando la imagen del objetivo se forma en un punto muy próximo al foco del ocular.

mm 150d

2f

1f

mm 201 f mm 502 f

Imagen del objeto formada por el objetivo, que es ampliada por el ocular

Rayos emergentes

casi paralelosMuestra

mm 10

mm 10

111

111

fss

100

4

100

1

20

1111

111

sfs

21 fds mm 25

4

1001 s (Compruébese

en el gráfico)

21

1

25.0·

ff

sM

22 ff

mm 10050150

(b) Aumento angular: 25.050.02·0

25.0·1.0

Los detalles se ven 25 veces mayores que a simple vista

1s1s

A determinar

9.- MICROSCOPIO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)

12

Véase esquema gráfico en página siguiente Imagen virtual e invertida.mm 3.102 s

mm 27.22 y

1

1tg sy

2

2tg sy

tg

tg86.3

4.07

3.1027.2

1

1

2

2

ys

sy

10.- SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)Un pequeño objeto de 0.4 mm de altura se observa utilizando un sistema formado por dos lentes convergentes. La primera lente es de focal 5 mm, y el objeto se sitúa 7 mm a su izquierda. La segunda lente es de focal 8 mm, y ésta se sitúa 22 mm a la derecha de la primera lente. Utilícese papel milimetrado para resolver gráficamente el problema de la formación de la imagen de este objeto y a partir de la representación gráfica construida contéstese a las siguientes preguntas:1º) Dónde se forma la imagen y cuál es su tamaño.2º) ¿Qué tipo de imagen es y qué orientación tiene?3º) Estímese a partir de la construcción gráfica el aumento angular de este sistema.

13

1F1F

2F2F

L1L2

mm 51 fmm 82 f

mm 27.22 y

mm 4.01 y

mm 3.102 s

mm 71 s

1 mm

10 mm

Imagen virtual e invertida.

1

1tg sy

2

2tg sy

tg

tg

86.34.0

73.10

27.21

1

2

2

ys

sy

10.- SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)

14

Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas, la primera de ellas L1 es divergente de focal f’1 = -30 cm; la segunda L2 es convergente de focal f’2 = +20 cm y se encuentra situada a 45 cm a su derecha. Un objeto de 5 mm de altura se sitúa 25 cm a la izquierda de la lente divergente (véase figura). Se pide:

Usando la ecuación de las lentes de Gauss, determinar dónde se formará la imagen del objeto y cuál será su orientación y su tamaño.

a)

Usando papel milimetrado, hágase la reconstrucción geométrica de la marcha de los rayos y obténgase gráficamente la posición de la imagen.

b)

1L 2L

cm 45dcm 25

Para la lente L1cm 301 f

cm 251 s 111

111

fss

750

55

2530

3025

25

1

30

1111

111

sfscm 6.131 s

55.025

6.13

1

11

s

sm

1s

Esta imagen virtual de la lente divergente L1 actúa como objeto para la lente convergente L2.

cm 202 f

cm 6.58 12 dss 222

111

fss

1173

6.38

6.5820

206.58

6.58

1

20

1111

222

sfs

cm 4.302 s

52.06.58

4.30

2

22

s

sm

mm 51 y 2s

Orientación de la imagen: invertida

Tamaño de la imagen: 29.052.055.0211

2

mmy

y

mm 45.1529.0 29.0 12 yy

mm 45.12 y

11.- SISTEMA ÓPTICO (DIVERGENTE + CONVERGENTE)

15

11.- SISTEMA ÓPTICO (DIVERGENTE + CONVERGENTE)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1L 2L

cm 10

mm 5

Pla

no f

ocal

L2

2F

Pla

no f

ocal

L1

1F mm 5.1

cm 30