Unidad I

Diseños de ExperimentosIng. Víctor Hugo Castro

Tavares

Pruebas de Homogeneidad de Medias y de Varianza

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

1.1 Introducción

En los procesos prácticos o áreas de investigación del área ingenieril es común que tener que efectuar comparaciones entre dos muestras de medias aleatorias de una misma o diferente población bajo un parámetro de estudio. Esto implica la utilización de algún estadístico de prueba que nos permita definir sobre una hipótesis planteada de la forma H 0 : μi=μ j. Sin embargo, también es necesario considerar las características de las muestras aleatorias, en función de su tamaño, variación y correspondencia de los elementos de una respecto a otra.

2

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

1.2 Prueba de Homogeneidad de

Medias

Esta es una de las aplicaciones más importantes de la distribución t de Student (Dn Student) por medio de la cual se comparan los resultados obtenidos en un experimento bajo una condición A con los resultados obtenidos con el mismo experimento bajo una condición B.

Dn [ ¿ ] Distribución

Distribución t-Student

En probabilidad y estadística, la distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

La distribución t surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

3

Es el valor determinado a partir de la información muestral que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis

inicial

T C [≡ ]Estadisticode Prueba

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Error o Significancia α

Este parámetro lo fija a su criterio el investigador

El proceso de pruebas de homegeneidad de medias consiste en calcular un estadístico de prueba a partir de datos obtenidos en el experimento.

La formula para calcular el estadístico de prueba es:

Tc=|x A−xB|

√( 1nA

+ 1nB )[ (nA−1 ) s A2 +(nB−1 ) sB2

nA+nA−2 ]

nA=¿ Número de observaciones obtenidas en el experimento bajo las condiciones A

nB=¿ Número de observaciones obtenidas en el experimento bajo las condiciones B

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Estadístico de Prueba

El valor del estadístico de comparación depende de la significancia y del tamaño del experimento

T Tabla [≡ ]EstadisticodeComparacion

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

x A=¿ Es la media aritmética de las observaciones obtenidas en el experimento bajo una condición A. Donde:

x A=∑ x AnA

xB=¿ Es la media aritmética de las observaciones obtenidas en el experimento bajo una condición B

x A=∑ x AnA

Varianza s2

Es una medida de dispersión la cual nos sirve para determinar que tan buen representante es la media aritmética, es decir, mide la desviación que tienen las observaciones con respecto a la media.

sA2 =

∑ (x A−x A )2

nA−1

sA2 [≡ ]La varianza de las observaciones obtenidas bajo una condición A

sB2 =

∑ (xB−xB )2

nB−1

sB2 [≡ ]La varianza de las observaciones obtenidas bajo una condición B

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Estadístico de Comparación

Si el estadístico de prueba es mayor que el estadístico de comparación se rechaza la hipótesis inicial, también

conocida como hipótesis nula.

Si T C>TTabla se rechaza H 0

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

La forma de calcular el estadístico de comparación es:

T Tabla=Tα+(n A+nB−2 ) g . L.

(n A−1 ) [≡ ] Grados de Libertad de A

(nB−1 ) [≡ ] Grados de Libertad de B

Hipótesis

Es un supuesto formulado antes de realizar el experimento donde precisamente el resultado del experimento comprueba la hipótesis.

H 0 : μA=μB

H 1: μ A≠μB

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Regla de Desición

1-α

α

TTabla TC

Región de aceptación de H0

Región de rechazode H0

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

La prueba de homogeneidad de medias no es tan concluyente es por ello que se debe realizar la prueba de homogeneidad de varianza para rectificar lo concluido.

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

1.3 Prueba de Homogeneidad de Varianza

Esta es una de las aplicaciones más importantes de la Distribución F (Dn

Fisher) en la cual utilizando los datos obtenidos en el experimento se calcula un estadístico de prueba.

Dn F [≡ ] Distribución Fisher

Distribución F-Fisher

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

Donde

U1 y U2 siguen una distribución ji-cuadrada con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y

U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza. Véase el test F.

La función de densidad de una F(d1, d2) viene dada por

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Es el valor determinado a partir de la información muestral que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis

inicial

FC [≡ ]Estadisticode Prueba

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

para todo número real x ≥ 0, donde d1 y d2 son enteros positivos, y B es la función beta.

La función de distribución es

donde I es la función beta incompleta regularizada.

La fórmula para calcular el estadístico de prueba es:

Fc=Varianza MayorVarianza Menor

Fc=sA

2

sB2

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Estadístico de Prueba

El valor del estadístico de comparación depende de la significancia y del tamaño del experimento

FTabla [≡ ]EstadisticodeComparacion

Si el estadístico de prueba es mayor que el estadístico de comparación se rechaza la hipótesis inicial, también

conocida como hipótesis nula.

Si FC>FTabla se rechaza H 0

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

La forma de calcular el estadístico de comparación es:

FTabla=Fα ;g . L .numerador ;g . L .denominador

Hipótesis

Es un supuesto formulado antes de realizar el experimento donde precisamente el resultado del experimento comprueba la hipótesis.

H 0 :σ A=σ B

H 1: σ A≠σ B

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Estadístico de Comparación

Regla de Decisión

1-α

α

FTabla FC

Región de aceptación de H0

Región de rechazode H0

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Contando con las dos pruebas de homogeneidad de medias y de varianza se puede dar una conclusión más precisa acerca del experimento.

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

1.4 Observaciones de Homogeneidad de Medias y de

Varianza

Se representan 4 diferentes casos en donde la homogeneidad de media y varianza son variables.

Medias Varianzas ObservacionesHomogéneas Heterogéneas DiferentesHomogéneas Homogéneas IgualesHeterogéneas Homogéneas DiferentesHeterogéneas Heterogéneas Diferentes

La restricción de la prueba de Medias y de Varianza es que solo nos comparan resultados obtenidos bajo dos condiciones.

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Ejemplo

En un proceso para obtener ácido nítrico se utilizan ciertas condiciones en la reacción obteniéndose los siguientes resultados dados en % en peso. Por el método tradicional el cual llamaremos testigo y condiciones B se obtuvieron los resultados siguientes:

A B(testigo)34 2634 2636 2736 28

28

Con un 5% de significancia podemos decir que el nuevo proceso para producir ácido nítrico es mejor que el tradicional.

α=5%=0.05

Los datos obtenidos del experimento en las condiciones A y B se ordenan en una tabla de concentración de datos:

A B (x A−x A )2 (xB−xB )2

34 26 (34−35 )2=1 (26−27 )2=1

34 26 (34−35 )2=1 (26−27 )2=1

36 27 (36−35 )2=1 (27−27 )2=0

36 28 (36−35 )2=1 (28−27 )2=1

28 (28−27 )2=1

∑ x A= 140 ∑ x B= 135 ∑ ( xA−x A )2 = 4 ∑ ( xB−xB )2 = 4nA= 4 nB= 5 (n A−1 )=¿ 3 (nB−1 )=¿ 4x A=¿35 xB=27 sA

2 =¿ 1.3333 sB2 =¿ 1

Tc=|35−27|

√( 14+1

5 )[ ( 4−1 )1.3333+ (5−1 ) 15+4−2 ]

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Tc=11.1555

El siguiente paso consiste en contrastar el estadístico de prueba con un estadístico de comparación donde el estadístico de comparación se tiene en tablas.

T Tabla=1.895

Esta prueba nos conduce a concluir, dado que las medias son diferentes el nuevo proceso A es mayor que el proceso tradicional B. Sin embargo esta prueba no es concluyente. Es por ello que la prueba de homogeneidad de medias necesita del soporte de la prueba de homogeneidad de varianza.

Aplicando la fórmula para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad de varianza se obtiene:

Fc=sA

2

sB2 =1.3333

1=1.3333

FTabla=1.3333

El estadstico de prueba se contrasta con un estadístico calculado de tablas llamado “Estadístico de Comparación”.

Consultando el valor de FTabla para los grados de libertad 3,4 se obtiene:

FTabla=6.59

Ya que el estadístico de prueba es menor que el estadístico de comparación se acepta la hipótesis inicial.

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Ejercicios

EJERCICIO 1

Los datos de refieren al incremento diario de peso de dos grupos de corderos alimentados con dos raciones diferentes, isoproteicas e isoenergéticas, peor donde la fuente proteica principal fue harina de soya y torta de girasol. Cabe aclarar que el número de elementos de los grupos fue diferente. Realice la prueba de homogeneidad de medias y de varianza a los datos proporcionados:

Aumento de peso (g/día)Harina de soya Torta de girasol

218 194224 201235 216241 218222 199241 185237 210229 216234 204241236

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

EJERCICIO 2

Analizando la producción de leche obtenida de nueve vacas en el segundo tercio de su lactancia, las cuales fueron sometidas a dos tipos de manejo; el primero de dos y el segundo de tres ordeñas al día. Haga una prueba de homogeneidad de medias y de varianza a los datos aportados:

Número de Vacas Dos ordeñas (litros) Tres Ordeñas (litros)1 16.6 17.22 15.4 14.33 18.8 17.64 19.2 20.15 17.7 18.26 14.5 13.87 18.3 17.88 19.1 20.39 22.4 21.3

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Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Tablas Distribución F-FisherAlfa = 0,05 Grados de libertad del numerador

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 100001 161,4

5199,5 215,7

1224,5

8230,1

6233,9

9236,7

7238,8

8240,5

4241,8

8248,0

2252,2 253,0

4254,3

2 18,513

19 19,164

19,247

19,296

19,329

19,353

19,371

19,385

19,396

19,446

19,479

19,486

19,496

3 10,128

9,5521

9,2766

9,1172

9,0134

8,9407

8,8867

8,8452

8,8123

8,7855

8,6602

8,572 8,5539

8,5267

4 7,7086

6,9443

6,5914

6,3882

6,2561

6,1631

6,0942

6,041 5,9988

5,9644

5,8025

5,6878

5,664 5,6284

5 6,6079

5,7861

5,4094

5,1922

5,0503

4,9503

4,8759

4,8183

4,7725

4,7351

4,5581

4,4314

4,4051

4,3654

6 5,9874

5,1432

4,7571

4,5337

4,3874

4,2839

4,2067

4,1468

4,099 4,06 3,8742

3,7398

3,7117

3,6693

7 5,5915

4,7374

4,3468

4,1203

3,9715

3,866 3,7871

3,7257

3,6767

3,6365

3,4445

3,3043

3,2749

3,2302

8 5,3176

4,459 4,0662

3,8379

3,6875

3,5806

3,5005

3,4381

3,3881

3,3472

3,1503

3,0053

2,9747

2,9281

9 5,1174

4,2565

3,8625

3,6331

3,4817

3,3738

3,2927

3,2296

3,1789

3,1373

2,9365

2,7872

2,7556

2,7072

10 4,9646

4,1028

3,7083

3,478 3,3258

3,2172

3,1355

3,0717

3,0204

2,9782

2,774 2,6211

2,5884

2,5384

11 4,8443

3,9823

3,5874

3,3567

3,2039

3,0946

3,0123

2,948 2,8962

2,8536

2,6464

2,4901

2,4566

2,405

12 4,7472

3,8853

3,4903

3,2592

3,1059

2,9961

2,9134

2,8486

2,7964

2,7534

2,5436

2,3842

2,3498

2,2967

13 4,6672

3,8056

3,4105

3,1791

3,0254

2,9153

2,8321

2,7669

2,7144

2,671 2,4589

2,2966

2,2614

2,207

14 4,6001

3,7389

3,3439

3,1122

2,9582

2,8477

2,7642

2,6987

2,6458

2,6022

2,3879

2,2229

2,187 2,1313

15 4,5431

3,6823

3,2874

3,0556

2,9013

2,7905

2,7066

2,6408

2,5876

2,5437

2,3275

2,1601

2,1234

2,0664

16 4,494 3,6337

3,2389

3,0069

2,8524

2,7413

2,6572

2,5911

2,5377

2,4935

2,2756

2,1058

2,0685

2,0102

17 4,4513

3,5915

3,1968

2,9647

2,81 2,6987

2,6143

2,548 2,4943

2,4499

2,2304

2,0584

2,0204

1,961

18 4,4139

3,5546

3,1599

2,9277

2,7729

2,6613

2,5767

2,5102

2,4563

2,4117

2,1906

2,0166

1,978 1,9175

19 4,3808

3,5219

3,1274

2,8951

2,7401

2,6283

2,5435

2,4768

2,4227

2,3779

2,1555

1,9795

1,9403

1,8787

20 4,3513

3,4928

3,0984

2,8661

2,7109

2,599 2,514 2,4471

2,3928

2,3479

2,1242

1,9464

1,9066

1,8438

21 4,3248

3,4668

3,0725

2,8401

2,6848

2,5727

2,4876

2,4205

2,3661

2,321 2,096 1,9165

1,8761

1,8124

22 4,3009

3,4434

3,0491

2,8167

2,6613

2,5491

2,4638

2,3965

2,3419

2,2967

2,0707

1,8894

1,8486

1,7838

23 4,2793

3,4221

3,028 2,7955

2,64 2,5277

2,4422

2,3748

2,3201

2,2747

2,0476

1,8648

1,8234

1,7577

24 4,2597

3,4028

3,0088

2,7763

2,6207

2,5082

2,4226

2,3551

2,3002

2,2547

2,0267

1,8424

1,8005

1,7338

25 4,2417

3,3852

2,9912

2,7587

2,603 2,4904

2,4047

2,3371

2,2821

2,2365

2,0075

1,8217

1,7794

1,7117

26 4,2252

3,369 2,9752

2,7426

2,5868

2,4741

2,3883

2,3205

2,2655

2,2197

1,9898

1,8027

1,7599

1,6913

27 4,21 3,3541

2,9603

2,7278

2,5719

2,4591

2,3732

2,3053

2,2501

2,2043

1,9736

1,7851

1,7419

1,6724

28 4,196 3,3404

2,9467

2,7141

2,5581

2,4453

2,3593

2,2913

2,236 2,19 1,9586

1,7689

1,7251

1,6548

29 4,183 3,3277

2,934 2,7014

2,5454

2,4324

2,3463

2,2782

2,2229

2,1768

1,9446

1,7537

1,7096

1,6384

30 4,1709

3,3158

2,9223

2,6896

2,5336

2,4205

2,3343

2,2662

2,2107

2,1646

1,9317

1,7396

1,695 1,623

40 4,084 3,231 2,838 2,606 2,449 2,335 2,249 2,180 2,124 2,077 1,838 1,637 1,589 1,509

17

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

7 7 7 5 9 2 3 9 3 2 850 4,034

33,182

62,79 2,557

22,400

42,286

42,199

22,129

92,073

32,026

11,784

11,575

71,524

91,439

260 4,001

23,150

42,758

12,525

22,368

32,254

12,166

52,097 2,040

11,992

61,748 1,534

31,481

41,390

370 3,977

83,127

72,735

52,502

72,345

62,231

22,143

52,073

72,016

61,968

91,722

31,504

61,449

81,354

80 3,9604

3,1108

2,7188

2,4859

2,3287

2,2142

2,1263

2,0564

1,9991

1,9512

1,7032

1,4821

1,4259

1,3259

90 3,9469

3,0977

2,7058

2,4729

2,3157

2,2011

2,1131

2,043 1,9856

1,9376

1,6883

1,4645

1,407 1,3032

100 3,9362

3,0873

2,6955

2,4626

2,3053

2,1906

2,1025

2,0323

1,9748

1,9267

1,6764

1,4504

1,3917

1,2845

200 3,8884

3,0411

2,6498

2,4168

2,2592

2,1441

2,0556

1,9849

1,9269

1,8783

1,6233

1,3856

1,3206

1,1903

300 3,8726

3,0258

2,6347

2,4017

2,2441

2,1288

2,0402

1,9693

1,9112

1,8623

1,6057

1,3634

1,2958

1,1521

400 3,8648

3,0183

2,6272

2,3943

2,2366

2,1212

2,0325

1,9616

1,9033

1,8544

1,5969

1,3522

1,2831

1,1303

500 3,8601

3,0138

2,6227

2,3898

2,232 2,1167

2,0279

1,9569

1,8986

1,8496

1,5916

1,3455

1,2753

1,1159

600 3,857 3,0107

2,6198

2,3868

2,229 2,1137

2,0248

1,9538

1,8955

1,8465

1,5881

1,341 1,2701

1,1055

700 3,8548

3,0086

2,6176

2,3847

2,2269

2,1115

2,0226

1,9516

1,8932

1,8442

1,5856

1,3377

1,2664

1,0976

800 3,8531

3,007 2,616 2,3831

2,2253

2,1099

2,021 1,95 1,8916

1,8425

1,5837

1,3353

1,2635

1,0912

900 3,8518

3,0057

2,6148

2,3818

2,224 2,1086

2,0197

1,9487

1,8903

1,8412

1,5822

1,3334

1,2613

1,0861

1000 3,8508

3,0047

2,6138

2,3808

2,2231

2,1076

2,0187

1,9476

1,8892

1,8402

1,5811

1,3318

1,2596

1,0818

1500 3,8477

3,0017

2,6108

2,3779

2,2201

2,1046

2,0157

1,9446

1,8861

1,837 1,5775

1,3273

1,2542

1,0675

2000 3,8461

3,0002

2,6094

2,3764

2,2186

2,1031

2,0142

1,943 1,8846

1,8354

1,5758

1,325 1,2516

1,0593

10000

3,8424

2,9966

2,6058

2,3728

2,215 2,0995

2,0105

1,9393

1,8808

1,8316

1,5716

1,3194

1,2451

1,0334

Alfa =0.01 Grados de libertad del numerador1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 4052,2

4999,3

5403,5

5624,3

5764 5859 5928,3

5981 6022,4

6055,9

6208,7

6313 6333,9

6365,6

2 98,502

99 99,164

99,251

99,302

99,331

99,357

99,375

99,39 99,397

99,448

99,484

99,491

99,499

3 34,116

30,816

29,457

28,71 28,237

27,911

27,671

27,489

27,345

27,228

26,69 26,316

26,241

26,126

4 21,198

18 16,694

15,977

15,522

15,207

14,976

14,799

14,659

14,546

14,019

13,652

13,577

13,464

5 16,258

13,274

12,06 11,392

10,967

10,672

10,456

10,289

10,158

10,051

9,5527

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6 13,745

10,925

9,7796

9,1484

8,7459

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7,976 7,8742

7,3958

7,0568

6,9867

6,8811

7 12,246

9,5465

8,4513

7,8467

7,4604

7,1914

6,9929

6,8401

6,7188

6,6201

6,1555

5,8236

5,7546

5,6506

8 11,259

8,6491

7,591 7,0061

6,6318

6,3707

6,1776

6,0288

5,9106

5,8143

5,3591

5,0316

4,9633

4,8599

9 10,562

8,0215

6,992 6,4221

6,0569

5,8018

5,6128

5,4671

5,3511

5,2565

4,808 4,4831

4,415 4,3116

10 10,044

7,5595

6,5523

5,9944

5,6364

5,3858

5,2001

5,0567

4,9424

4,8491

4,4054

4,0819

4,0137

3,91

11 9,6461

7,2057

6,2167

5,6683

5,316 5,0692

4,886 4,7445

4,6315

4,5393

4,099 3,7761

3,7077

3,6035

12 9,3303

6,9266

5,9525

5,4119

5,0644

4,8205

4,6395

4,4994

4,3875

4,2961

3,8584

3,5355

3,4668

3,3619

13 9,0738

6,7009

5,7394

5,2053

4,8616

4,6203

4,441 4,3021

4,1911

4,1003

3,6646

3,3413

3,2723

3,1665

18

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

14 8,8617

6,5149

5,5639

5,0354

4,695 4,4558

4,2779

4,14 4,0297

3,9394

3,5052

3,1813

3,1118

3,0051

15 8,6832

6,3588

5,417 4,8932

4,5556

4,3183

4,1416

4,0044

3,8948

3,8049

3,3719

3,0471

2,9772

2,8695

16 8,5309

6,2263

5,2922

4,7726

4,4374

4,2016

4,0259

3,8896

3,7804

3,6909

3,2587

2,933 2,8627

2,7539

17 8,3998

6,1121

5,185 4,6689

4,336 4,1015

3,9267

3,7909

3,6823

3,5931

3,1615

2,8348

2,7639

2,6542

18 8,2855

6,0129

5,0919

4,579 4,2479

4,0146

3,8406

3,7054

3,5971

3,5081

3,0771

2,7493

2,6779

2,5671

19 8,185 5,9259

5,0103

4,5002

4,1708

3,9386

3,7653

3,6305

3,5225

3,4338

3,0031

2,6742

2,6023

2,4905

20 8,096 5,849 4,9382

4,4307

4,1027

3,8714

3,6987

3,5644

3,4567

3,3682

2,9377

2,6077

2,5353

2,4224

21 8,0166

5,7804

4,874 4,3688

4,0421

3,8117

3,6396

3,5056

3,3982

3,3098

2,8795

2,5484

2,4755

2,3615

22 7,9453

5,719 4,8166

4,3134

3,988 3,7583

3,5866

3,453 3,3458

3,2576

2,8274

2,4951

2,4218

2,3067

23 7,8811

5,6637

4,7648

4,2635

3,9392

3,7102

3,539 3,4057

3,2986

3,2106

2,7805

2,4471

2,3732

2,2571

24 7,8229

5,6136

4,7181

4,2185

3,8951

3,6667

3,4959

3,3629

3,256 3,1681

2,738 2,4035

2,3291

2,2119

25 7,7698

5,568 4,6755

4,1774

3,855 3,6272

3,4568

3,3239

3,2172

3,1294

2,6993

2,3637

2,2888

2,1706

26 7,7213

5,5263

4,6365

4,14 3,8183

3,5911

3,421 3,2884

3,1818

3,0941

2,664 2,3273

2,2519

2,1327

27 7,6767

5,4881

4,6009

4,1056

3,7847

3,558 3,3882

3,2558

3,1494

3,0618

2,6316

2,2938

2,218 2,0978

28 7,6357

5,4529

4,5681

4,074 3,7539

3,5276

3,3581

3,2259

3,1195

3,032 2,6018

2,2629

2,1867

2,0655

29 7,5977

5,4205

4,5378

4,0449

3,7254

3,4995

3,3303

3,1982

3,092 3,0045

2,5742

2,2344

2,1577

2,0355

30 7,5624

5,3903

4,5097

4,0179

3,699 3,4735

3,3045

3,1726

3,0665

2,9791

2,5487

2,2079

2,1307

2,0075

40 7,3142

5,1785

4,3126

3,8283

3,5138

3,291 3,1238

2,993 2,8876

2,8005

2,3689

2,0194

1,9383

1,8061

50 7,1706

5,0566

4,1994

3,7195

3,4077

3,1864

3,0202

2,89 2,785 2,6981

2,2652

1,909 1,8248

1,6847

60 7,0771

4,9774

4,1259

3,6491

3,3389

3,1187

2,953 2,8233

2,7185

2,6318

2,1978

1,8363

1,7493

1,6023

70 7,0114

4,9218

4,0744

3,5997

3,2907

3,0712

2,906 2,7765

2,6719

2,5852

2,1504

1,7846

1,6954

1,5422

80 6,9626

4,8807

4,0363

3,5631

3,2551

3,0361

2,8713

2,742 2,6374

2,5508

2,1153

1,7459

1,6548

1,496

90 6,9251

4,8491

4,0069

3,535 3,2276

3,0091

2,8445

2,7154

2,6109

2,5243

2,0882

1,7158

1,6231

1,4593

100 6,8953

4,8239

3,9837

3,5127

3,2059

2,9877

2,8233

2,6943

2,5898

2,5033

2,0666

1,6918

1,5977

1,4292

200 6,7633

4,7128

3,881 3,4143

3,11 2,8933

2,7298

2,6012

2,4971

2,4106

1,9713

1,5833

1,4811

1,2812

300 6,7201

4,6766

3,8475

3,3822

3,0787

2,8625

2,6993

2,5709

2,4668

2,3804

1,9401

1,5468

1,441 1,2228

400 6,6987

4,6586

3,8309

3,3664

3,0632

2,8472

2,6842

2,5559

2,4518

2,3654

1,9245

1,5285

1,4207

1,19

500 6,6858

4,6479

3,821 3,3569

3,054 2,8381

2,6751

2,5469

2,4429

2,3565

1,9152

1,5174

1,4084

1,1684

600 6,6773

4,6407

3,8144

3,3506

3,0478

2,8321

2,6691

2,5409

2,4369

2,3505

1,9091

1,5101

1,4001

1,1529

700 6,6713

4,6356

3,8097

3,346 3,0434

2,8278

2,6648

2,5367

2,4327

2,3463

1,9047

1,5048

1,3942

1,1411

800 6,6667

4,6318

3,8062

3,3427

3,0402

2,8245

2,6617

2,5335

2,4295

2,3431

1,9013

1,5008

1,3897

1,1318

900 6,6631

4,6288

3,8034

3,3401

3,0376

2,822 2,6592

2,531 2,427 2,3406

1,8988

1,4978

1,3863

1,1242

1000 6,6603

4,6264

3,8012

3,338 3,0356

2,82 2,6572

2,529 2,425 2,3386

1,8967

1,4953

1,3835

1,1178

1500 6,6518

4,6193

3,7947

3,3317

3,0294

2,814 2,6512

2,5231

2,4191

2,3327

1,8906

1,4879

1,3751

1,0969

19

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

2000 6,6476

4,6158

3,7914

3,3286

3,0264

2,811 2,6482

2,5201

2,4162

2,3298

1,8875

1,4842

1,3708

1,085

10000

6,6374

4,6073

3,7836

3,321 3,0191

2,8038

2,6411

2,513 2,4091

2,3227

1,8802

1,4752

1,3606

1,0476

Tablas Distribución t-StudentTabla distribución t de Student

x \ n 1 2 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40 500,00 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,5000,05 0,516 0,518 0,519 0,519 0,519 0,519 0,519 0,519 0,519 0,520 0,520 0,520 0,520 0,520 0,5200,10 0,532 0,535 0,537 0,538 0,538 0,538 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,540 0,5400,15 0,547 0,553 0,556 0,557 0,557 0,558 0,558 0,558 0,558 0,559 0,559 0,559 0,559 0,559 0,5590,20 0,563 0,570 0,574 0,575 0,576 0,576 0,577 0,577 0,577 0,578 0,578 0,578 0,579 0,579 0,5790,25 0,578 0,587 0,593 0,594 0,595 0,595 0,596 0,596 0,596 0,597 0,597 0,598 0,598 0,598 0,5980,30 0,593 0,604 0,610 0,612 0,613 0,614 0,614 0,615 0,615 0,616 0,616 0,617 0,617 0,617 0,6170,35 0,607 0,620 0,628 0,630 0,631 0,632 0,632 0,633 0,633 0,634 0,635 0,635 0,636 0,636 0,6360,40 0,621 0,636 0,645 0,647 0,648 0,649 0,650 0,651 0,651 0,653 0,653 0,654 0,654 0,654 0,6550,45 0,635 0,652 0,662 0,664 0,666 0,667 0,668 0,668 0,669 0,670 0,671 0,672 0,672 0,672 0,6730,50 0,648 0,667 0,678 0,681 0,683 0,684 0,685 0,685 0,686 0,688 0,689 0,689 0,690 0,690 0,6900,55 0,660 0,681 0,694 0,697 0,699 0,700 0,701 0,702 0,703 0,705 0,706 0,706 0,707 0,707 0,7080,60 0,672 0,695 0,710 0,713 0,715 0,716 0,717 0,718 0,719 0,721 0,722 0,723 0,723 0,724 0,7240,65 0,683 0,709 0,724 0,728 0,730 0,732 0,733 0,734 0,735 0,737 0,738 0,739 0,740 0,740 0,7410,70 0,694 0,722 0,739 0,742 0,745 0,747 0,748 0,749 0,750 0,753 0,754 0,755 0,755 0,756 0,7560,75 0,705 0,734 0,753 0,756 0,759 0,761 0,763 0,764 0,765 0,768 0,769 0,770 0,770 0,771 0,7720,80 0,715 0,746 0,766 0,770 0,773 0,775 0,777 0,778 0,779 0,782 0,783 0,784 0,785 0,786 0,7860,85 0,724 0,758 0,778 0,783 0,786 0,788 0,790 0,791 0,792 0,796 0,797 0,798 0,799 0,800 0,8000,90 0,733 0,768 0,790 0,795 0,799 0,801 0,803 0,804 0,805 0,809 0,811 0,812 0,812 0,813 0,8140,95 0,742 0,779 0,802 0,807 0,811 0,813 0,815 0,817 0,818 0,821 0,823 0,824 0,825 0,826 0,8271,00 0,750 0,789 0,813 0,818 0,822 0,825 0,827 0,828 0,830 0,833 0,835 0,837 0,837 0,838 0,8391,05 0,758 0,798 0,824 0,829 0,833 0,836 0,838 0,839 0,841 0,845 0,847 0,848 0,849 0,850 0,8511,10 0,765 0,807 0,833 0,839 0,843 0,846 0,848 0,850 0,851 0,856 0,858 0,859 0,860 0,861 0,8621,15 0,772 0,815 0,843 0,849 0,853 0,856 0,858 0,860 0,862 0,866 0,868 0,869 0,870 0,872 0,8721,20 0,779 0,823 0,852 0,858 0,862 0,865 0,868 0,870 0,871 0,876 0,878 0,879 0,880 0,881 0,8821,25 0,785 0,831 0,860 0,867 0,871 0,874 0,877 0,879 0,880 0,885 0,887 0,889 0,890 0,891 0,8911,30 0,791 0,838 0,868 0,875 0,879 0,883 0,885 0,887 0,889 0,893 0,896 0,897 0,898 0,899 0,9001,35 0,797 0,845 0,876 0,883 0,887 0,890 0,893 0,895 0,897 0,901 0,904 0,905 0,906 0,908 0,9081,40 0,803 0,852 0,883 0,890 0,894 0,898 0,900 0,902 0,904 0,909 0,912 0,913 0,914 0,915 0,9161,45 0,808 0,858 0,890 0,897 0,901 0,905 0,907 0,910 0,911 0,916 0,919 0,920 0,921 0,923 0,9231,50 0,813 0,864 0,896 0,903 0,908 0,911 0,914 0,916 0,918 0,923 0,925 0,927 0,928 0,929 0,9301,55 0,818 0,869 0,902 0,909 0,914 0,917 0,920 0,922 0,924 0,929 0,932 0,933 0,934 0,935 0,9361,60 0,822 0,875 0,908 0,915 0,920 0,923 0,926 0,928 0,930 0,935 0,937 0,939 0,940 0,941 0,9421,65 0,827 0,880 0,913 0,920 0,925 0,929 0,931 0,933 0,935 0,940 0,943 0,944 0,945 0,947 0,9471,70 0,831 0,884 0,918 0,925 0,930 0,934 0,936 0,938 0,940 0,945 0,948 0,949 0,950 0,952 0,9521,75 0,835 0,889 0,922 0,930 0,935 0,938 0,941 0,943 0,945 0,950 0,952 0,954 0,955 0,956 0,9571,80 0,839 0,893 0,927 0,934 0,939 0,943 0,945 0,947 0,949 0,954 0,957 0,958 0,959 0,960 0,9611,85 0,842 0,897 0,931 0,938 0,943 0,947 0,949 0,951 0,953 0,958 0,960 0,962 0,963 0,964 0,9651,90 0,846 0,901 0,935 0,942 0,947 0,950 0,953 0,955 0,957 0,962 0,964 0,965 0,966 0,968 0,9681,95 0,849 0,905 0,939 0,946 0,950 0,954 0,957 0,959 0,960 0,965 0,967 0,969 0,970 0,971 0,9722,00 0,852 0,908 0,942 0,949 0,954 0,957 0,960 0,962 0,963 0,968 0,970 0,972 0,973 0,974 0,9752,05 0,856 0,912 0,945 0,952 0,957 0,960 0,963 0,965 0,966 0,971 0,973 0,975 0,975 0,977 0,9772,10 0,859 0,915 0,948 0,955 0,960 0,963 0,966 0,967 0,969 0,973 0,976 0,977 0,978 0,979 0,9802,15 0,861 0,918 0,951 0,958 0,962 0,966 0,968 0,970 0,971 0,976 0,978 0,979 0,980 0,981 0,9822,20 0,864 0,921 0,954 0,960 0,965 0,968 0,971 0,972 0,974 0,978 0,980 0,981 0,982 0,983 0,9842,25 0,867 0,923 0,956 0,963 0,967 0,970 0,973 0,974 0,976 0,980 0,982 0,983 0,984 0,985 0,9862,30 0,869 0,926 0,959 0,965 0,969 0,973 0,975 0,977 0,978 0,982 0,984 0,985 0,986 0,987 0,9872,35 0,872 0,928 0,961 0,967 0,971 0,974 0,977 0,978 0,980 0,984 0,985 0,987 0,987 0,988 0,9892,40 0,874 0,931 0,963 0,969 0,973 0,976 0,978 0,980 0,981 0,985 0,987 0,988 0,989 0,989 0,9902,45 0,877 0,933 0,965 0,971 0,975 0,978 0,980 0,982 0,983 0,986 0,988 0,989 0,990 0,991 0,9912,50 0,879 0,935 0,967 0,973 0,977 0,980 0,982 0,983 0,984 0,988 0,989 0,990 0,991 0,992 0,9922,55 0,881 0,937 0,968 0,974 0,978 0,981 0,983 0,984 0,986 0,989 0,990 0,991 0,992 0,993 0,9932,60 0,883 0,939 0,970 0,976 0,980 0,982 0,984 0,986 0,987 0,990 0,991 0,992 0,993 0,994 0,9942,65 0,885 0,941 0,972 0,977 0,981 0,984 0,985 0,987 0,988 0,991 0,992 0,993 0,994 0,994 0,9952,70 0,887 0,943 0,973 0,979 0,982 0,985 0,986 0,988 0,989 0,992 0,993 0,994 0,994 0,995 0,9952,75 0,889 0,945 0,974 0,980 0,983 0,986 0,987 0,989 0,990 0,993 0,994 0,995 0,995 0,996 0,9962,80 0,891 0,946 0,976 0,981 0,984 0,987 0,988 0,990 0,991 0,993 0,994 0,995 0,996 0,996 0,9962,85 0,893 0,948 0,977 0,982 0,985 0,988 0,989 0,990 0,991 0,994 0,995 0,996 0,996 0,997 0,9972,90 0,894 0,949 0,978 0,983 0,986 0,989 0,990 0,991 0,992 0,995 0,996 0,996 0,997 0,997 0,9972,95 0,896 0,951 0,979 0,984 0,987 0,989 0,991 0,992 0,993 0,995 0,996 0,997 0,997 0,997 0,9983,00 0,898 0,952 0,980 0,985 0,988 0,990 0,991 0,993 0,993 0,996 0,996 0,997 0,997 0,998 0,9983,05 0,899 0,954 0,981 0,986 0,989 0,991 0,992 0,993 0,994 0,996 0,997 0,997 0,998 0,998 0,9983,10 0,901 0,955 0,982 0,987 0,989 0,991 0,993 0,994 0,994 0,996 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998

20

Unidad 1 Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

3,15 0,902 0,956 0,983 0,987 0,990 0,992 0,993 0,994 0,995 0,997 0,997 0,998 0,998 0,998 0,9993,20 0,904 0,957 0,984 0,988 0,991 0,992 0,994 0,995 0,995 0,997 0,998 0,998 0,998 0,999 0,9993,25 0,905 0,958 0,984 0,989 0,991 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,9993,30 0,906 0,960 0,985 0,989 0,992 0,993 0,995 0,995 0,996 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,9993,35 0,908 0,961 0,986 0,990 0,992 0,994 0,995 0,996 0,996 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,9993,40 0,909 0,962 0,986 0,990 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993,45 0,910 0,963 0,987 0,991 0,993 0,995 0,996 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999

3,50 0,911 0,964 0,988 0,991 0,994 0,995 0,996 0,997 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000

21