Repblica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la DefensaUniversidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza ArmadaUNEFAPuerto Pritu Edo Anzotegui

Profesor: Bachilleres:Luis Solorzano Eucaris Zorrilla C.I: 23.653.281. Seccion: 1 Albani Castillo C.I: 23.653.459. Carrera: ing. petroquimica Kevin Cardenas C.I: 23.653.578. Alvis Muoz C.I: 25.595.761. Jorge Lopez C.I: 26.009.862.

ContenidoPg(s).

Principio de Enumeracin o Conteo4

Principio de Adicin4

Probabilidad de un Evento6

Teorema de Probabilidad Completa7

Teorema de Probabilidad Compuesta9

Probabilidad Condicional11

Bibliografa12

1Principio de enumeracin:

Si un suceso puede ocurrir de m maneras diferentes y, despus de que hasucedido, un segundo suceso puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el nmero total de las maneras en las cuales ambos sucesos pueden ocurrir es el producto de mn (maneras diferentes). Ejemplo:Un estudiante universitario tiene 5 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos. Cuntos conjuntos diferentes de una camisa, un pantaln y un par de zapatos puede usar?Solucin:Segn el principio fundamental de enumeracin, el nmero de conjuntos diferentes es el producto 5 * 3 * 2 = 30

2 Principio de adicin. Supongamos que un procedimiento, designado como 1, se puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. Supongamos adems que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces el nmero de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 +n2. Tambin este principio puede generalizarse como sigue: si hay k procedimientos, y el i-simo procedimiento se puede hacer en ni maneras, i =1,2,..., k, entonces el nmero de maneras como podemos hacer.El procedimiento 1, o el procedimiento 2 o... o el procedimiento k est dado por n+n + +nk.... 1 2, suponiendo que los procedimientos no se pueden realizar en forma conjunta. Ejemplo: Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportarnos por autobs o por tren. Si hay tres rutas para el autobs y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje. 2.1 principio de la suma o adiccin

Si una primera operacin puede realizarse de m maneras y una segunda operacin de n maneras, entonces una operacin o la otra pueden efectuarse de:

M+N MANERAS.

Ejemplo:

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo econmico un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo econmico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. Cuntas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA PLAYASEconmico ResidencialCondominio CalifornianoProvenzalm=2 n=3

2+3= 5 maneras

3 Probabilidad de un eventoEVENTOSUn evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mnima unidad de anlisis para efectos de clculos probabilsticos los eventos se clasifican de la siguiente forma:Mutuamente excluyentes:aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.EJEMPLO:cara o escudo.Independientes:Estos no se ven afectados por otros independientes.EJEMPLO:el color del zapato y la probabilidad que llueva hoy.Dependientes:cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro.EJEMPLO:repaso, calificaciones.No excluyentes entre si:cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro.EJEMPLO:que una persona sea doctor que tenga 56 aos, ser estudiante y ya estar casado.Cuando el enunciado de un problema de la probabilidad tiene como condicin que se presente uno o otro evento, la probabilidad total se forma por la suma directa de las1).P (AoB)=P(A)+P (B)

En el caso deeventos no excluyentes entre sidebe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos esta incluida en ellos esa probabilidad de la suma directa(regla general de la suma de probabilidades)P (AoB)=P(A)+P (B)-P (AyB)

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicin que se presente uno y otro evento, la probabilidad total se forma por la multiplicacin directa de las probabilidades individuales si los eventos son independientes.2).P (AyB)=P(A)*P (B); si son independientesSi los eventos son dependientesdeben considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurri un primer evento esto se conoce como:regla general de la multiplicacin de probabilidades.3).P (PyB)=P(A)*P (B\A)

4 El Teorema de la probabilidad completa.Es sin duda este teorema el caballo de batalla de los procesos estocsticos, es decir de procesos que toman resultados aleatorios a travs del tiempo, y es el soporte para el controvertido Teorema de Bayes. Basta de prembulos y veamos de qu se trata.Supongamos que para el espaciotenemos definida una "particin" sobre, digamos, de tal modo que se conoce cada probabilidadparaivariando de 1 an. Consideremos un suceso A de este espacio de probabilidad, y adems supongamos que se conocepara cadai. Entonces la probabilidadse determina mediante:(1)Recordemos que una particin sobre un conjunto significa una coleccin de subconjuntos cuya reunin forma el conjunto particionado, pero estos subconjuntos no tienen elementos en comunes. Piense en las provincias de un pas, como paradigma de particin (de un pas). De manera quese interpreta por lo que es, la probabilidad de A condicionado a la ocurrencia del sucesoAi. Otra manera de interpretar esta expresin es:es la probabilidad deA"bajo el escenarioAi". Y cadaes la probabilidad de cada escenario, de manera que lo que dice la formula anterior (1) es lo siguiente: La probabilidad deAes igual a la suma de todas las probabilidades deAcondicionados al escenarioAipor la probabilidad de que ocurra el escenarioAi.Imagnese usted la siguiente situacin. Hay tres urnas como se indica en el esquema siguiente. Para cada urna hay una determinada distribucin de bolitas negras y blancas, y que tambin se indica en el esquema

Supongamos que la probabilidad de cada urna se define como:

Entonces la probabilidad de que la bola sea negra est dada por

5 El Teorema de la probabilidad compuestaLaprobabilidad compuesta(o regla de multiplicacin de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada:La probabilidad de que se den simultneamente dos sucesos (suceso interseccin de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.Lafrmulapara calcular esta probabilidad compuesta es:

Ejemplo 1: Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 aos casados) y el suceso B (varones mayores de 40 aos con ms de 2 hijos) y obtenemos la siguiente informacin:Un 35% de los varones mayores de 40 aos estn casados.De los varones mayores de 40 aos y casados, un 30% tienen ms de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varn mayor de 40 aos est casado y tenga ms de 2 hijos(suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,35P (B/A) = 0,30P (AB) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 aos estn casados y tienen ms de 2 hijos.Ejemplo 2:Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan ingls) y el suceso B (alumnos que hablan alemn) y obtenemos la siguiente informacin:Un 50% de los alumnos hablan ingls.De los alumnos que hablan ingls, un 20% hablan tambin alemn (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable ingls y alemn(suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,50P (B/A) = 0,20P (AB) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan ingls y alemn.Experimentos compuestosSe llamaexperimento aleatorio compuestoal que resulta de la realizacin de varios experimentos aleatorios simples. En general, a un experimento compuesto se asocia unaprobabilidad compuesta, tambin llamadaprobabilidad productoy expresada como P (AB) o, simplemente, P (AB). Segn la definicin de probabilidad condicionada, el valor de la probabilidad compuesta por dos experimentos simples dependientes viene dado por:

Diagrama de rbol relativo al experimento compuesto que consiste en lanzar tres veces una moneda al aire.En el caso particular de que los sucesos del experimento compuesto sean independientes, se cumple que P (AB) = P (A)P (B). Cuando el experimento compuesto corresponde a tres experimentos simples, la frmula se transforma en:

Si A, B y C son dependientes (ABC) = P (ABC) = P (A)P (B/A)P (C/AB) Si A, B y C son independientes: P (ABC) = P (A)P (B)P (C)

6 Probabilidad condicional

La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurri algn evento A se llama probabilidad condicional y se denota P(B|A). Este smbolo por lo general se lee la probabilidad de que ocurra B dado que ocurri A o simplemente la probabilidad de B dado A. La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota P(B|A).Ejemplo 8: Supongamos que nuestro EM es una muestra de adultos de Copiap que cumplen con los requisitos para obtener un grado en la Facultad de Ingeniera. Debemos clasificarlos de acuerdo con su gnero y situacin laboral.