1. modelos en semiconductores y en fÍsica

7/22/2019 1. MODELOS EN SEMICONDUCTORES Y EN FSICA

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TEMA 1 : Modelos en Semiconductores y en Dispositivos Semiconductores.

I.T.T.(S.E.) - Universitat de Valncia - Curso 00/01 -1-

ELECTRNICA DE DISPOSITIVOS

I. Introduccin.I.1. Definiciones

Electrnica Fsica: Ciencia que se basa en el estudio y control de las propiedadeselectrnicas de determinados slidos, con el fin de formar dispositivos complejosque transportan o almacenan electrones.Esta definicin est dada desde un punto de vista fsico, segn el cual el ltimoobjetivo del fsico que trabaja en electrnica fsica es el comportamiento ltimo delos materiales en la naturaleza y en ese sentido es una definicin que se refiere a losaspectos microscpicos de la electrnica. Ha de diferenciarse esta rama de la electrnica de la electrnica aplicada o laelectrnica de circuitos, encaminada esta ltima a realizar labores de transmisin,manipulacin o registro de la informacin fsica de los resultados que se logran en la

electrnica fsica.

Microelectrnica: Es la capacidad de la fsica y de la tcnica para producirinterconectados, con las propiedades deseadas, componentes activos (uniones p-n,metal-semiconductor, transistores bipolares y unipolares), pasivos (resistencias ycondensadores), aislantes y conductores sobre un mismo substrato de Si o de otrossemiconductores, mediante procesos en los que se controla el lugar y el espesor delmaterial e impurezas que se incorporan sobre el substrato. Cada realizacin de sta constituye un circuito integrado (CI) el cual puededesarrollar funciones de amplificacin, memoria, registro, etc.

Tecnologa microelectrnica: Se entiende por tecnologa microelectrnica, elconjunto de reglas, normas, requisitos, materiales y procesos de diseo y derealizacin que, aplicados en una secuencia determinada, llevan a la consecucin deun producto final (dispositivos de CI). Desde ese punto de vista cabra situar la tecnologa microelectrnica como el

punto medio, entre el estudio de las propiedades microscpicas de lossemiconductores y el circuito integrado una vez fabricado y dispuesto para suutilizacin. Ms bien como una herramienta que permite obtener dispositivossemiconductores de aplicacin o en la vida real.


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I.2. Resea histrica de la electrnica fsica.

GENESIS: Doble discusin.Hay quien dice que la electrnica fsica se origin con:

(J.J. Thomson, 1894-97): Descubrimiento del electrn y el posterior

establecimiento de la teora de conduccin en los slidos.Y quien prefiere decir que tuvo su origen en:(T.A. Edison, 1883): Observacin del efecto termoinico y posterioresestudios de Richardson, Dushman, Sommerfield, Langmuir y Fleminglos cuales determinaron el comportamiento del diodo de vaco (que esel primer dispositivo electrnico construido).

Dejando a un lado la discusin de la gnesis, vamos a trazar ahora algunos rasgos enforma secuencial de su evolucin histrica.

SEMICONDUCTORES Y DISPOSITIVOS ELECTRNICOS ANTES DEL

TRANSISTOR

La historia de los semiconductores se remonta a los tiempos de Faraday (1833) yBecquerel (1839). Faraday descubre que el sulfato de plata tiene un coeficiente detemperatura negativo y Becquerel estudia las propiedades de algunos electrolitos.

Ambrose Fleming (1905), en la bsqueda de un detector de seales elctricas,desarrolla el diodo de vaco, el primer dispositivo electrnico (vlvula) conocido. Casisimultneamente, Gertel y Elstel (1905) toman como base el efecto fotoelctrico y

producen la primera clula fotoelctrica, la cual no ser utilizada con fines comercialeshasta 1920, cuando da comienzo la investigacin del cine sonoro y de la televisin.Poco despus, Lee de Foret (1907) inventa el triodo. Este dispositivo, aparte de detectarseales elctricas, es ya capaz de amplificar seales (surge aadiendo un tercerelectrodo a la vlvula). Hacia 1915 se comienza a usar el cristal de galena como detectorde seales. A principios de los aos 20 se empiezan a utilizar los rectificadores deselenio y de xido de cobre y las vlvulas de radio sustituyen el detector de cristal.Entre 1920 y 1940, por un lado se desarrolla el tetrodo y el pentodo, y de otro, losfsicos elaboran teoras que explican algunos de los fenmenos descubiertos hastaentonces. En 1923 Schottky publica la teora de los rectificadores secos; es la primeracontribucin al estudio terico de los semiconductores. En esta teora se aprecia que elempleo de la mecnica cuntica se revela indispensable.

Tal vez sea el televisor el invento ms notable de nuestro tiempo, a juzgar por el

impacto social que ha causado. En 1928 Zworykin desarrolla un dispositivo capaz detransformar una imagen ptica en una corriente elctrica: el iconoscopio. Poco despuseste dispositivo o tubo sufre modificaciones y as se obtiene el tubo disector de imagen,en que la imagen se consigue a base de presentarla lnea a lnea en lugar de punto a

punto. Una vez salvados todos los problemas tcnicos en la experimentacin, latelevisin comercial irrumpe en los hogares norteamericanos en 1945.

Hacia 1940, durante la segunda guerra mundial, se busca un detector de cristal quesatisfaga las necesidades del radar (instrumento que funciona en las ondascentimtricas). La industria electrnica se desarrolla vertiginosamente y surgen tcnicasde miniaturizacin y empleo de materiales robustos y ligeros en los dispositivoselectrnicos. As el diodo semiconductor recibe un nuevo impulso, mientras que el

diodo de vaco queda relegado. Pongamos en claro aqu las ventajas del diodo de cristalde silicio o diodo semiconductor (diodo de unin pn) frente al diodo de vaco:


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dimensiones reducidas, capacidades en paralelo muy pequeas, posibilidades de empleopara captar seales de muy alta frecuencia por el radar y su estudio terico constituyeuna base indispensable en el estudio del transistor.

Efecto termoinico: Emisin de electrones por un cuerpo, generalmente metlico, a

elevada temperatura.Electrolito: Sustancia que en estado fundido o disuelto conduce la corriente elctricadebido a la existencia de iones; es susceptible de descomponerse por electrolisis.Diodo de vaco: vlvula electrnica que consta de dos electrodos. El ctodo es unfilamento que, al ser calentado mediante una pila, emite electrones que van a parar alotro electrodo o nodo.Triodo: Vlvula o tubo de vaco termoinico de 3 elementos: nodo, ctodo y unarejilla (electrodo de control) cuya potencia regula la corriente de electrones que va delctodo al nodo.

RESUMEN HISTRICO DESDE LA INVENCIN DEL TRANSISTOR

A finales de la dcada de los 40 estaban claras las limitaciones de los dispositivostermoinicos, que haban imperado en la electrnica aplicada desde que Flemingconstruyera el primer diodo de vaco de la historia. La nica salida posible estaba en eldesarrollo de nuevos dispositivos que utilizasen materiales slidos, a causa de que enestos se poda modular la conductividad.

El transistor bipolar

La invencin y desarrollo del transistor bipolar de difusin se llev a cabo en los Bell

Telephone Laboratories, donde un grupo de ingenieros electrnicos y metalrgicos (W.Schockley, J. Bardeen, W. Brattain) se propusieron la realizacin de un amplificador deestado slido. La denominacin transistor bipolar es debida a la existencia de dos tiposde portadores electrones y huecos- y al hecho del cambio de impedancias entre elcircuito de emisor (baja) y el de colector (alta), de donde se genera la palabra transistor(transfer-resistor). W. Schockley, J. Bardeen, W. Brattain reciben el premio Nobel deFsica en 1956.

Transistor unipolar JFET

En los aos sucesivos se perfecciona el transistor bipolar y se desarrollan nuevos

dispositivos de estado slido. Entre estos pueden citarse el transistor de basegradualmente impurificada, los transistores de potencia, el transistor unipolar de efectode campo (JFET=Junction Field-Effect Transistor) construido por Shockley en 1952, eldiodo de cuatro capas (tambin debido a Shockley), los elementos de control de

potencia (tiristores y triacs) y el efecto del efecto tnel en uniones por Esaki (1958).

Transistor unipolar MOS

Ya J.E. Lilienfield (1926) haba imaginado un dispositivo similar al actual transistormetal-xido-semiconductor de efecto de campo (MOSFET o simplemente transistorMOS). Pero por limitaciones tecnolgicas obvias de la poca no pudo construirse. En

1960 Atalla y Kalng proponen que sobre un semiconductor base o sustrato de silicio seproduzca una fina capa de dixido de silicio (SiO2). Y en 1963 Holfstein y Heiman


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construyen el primer dispositivo MOS que funciona en deplexin o vaciamiento y enacumulacin.

Microelectrnica: los circuitos integrados

Hacia el ao 1958 era evidente la necesidad de obtener dispositivos, a ser posiblecircuitos, de dimensiones ms pequeas que las alcanzadas hasta esa fecha. Estasituacin conduce a que se produzca un circuito de componentes discretos hechonicamente de silicio (prototipo experimental de un oscilador de deriva de faseconstruido por Kilby en 1959) El desarrollo de los nuevos circuitos comienza con loscircuitos digitales discretos bipolares (1962). Pronto se pasa a los circuitos monolticos

bipolares (que ya eran circuitos integrados en un substrato comn de Si), con la familialgica TTL (Transistor-Transistor Logic), que no puede fabricarse con dispositivosdiscretos porque emplea un transistor multiemisor que no se consigue como dispositivodiscreto. El paso siguiente fue aplicar la incipiente tecnologa microelectrnica de los CImonolticos bipolares a la de los dispositivos MOS. As se produce un singular avance

en los CI digitales, de forma particular en las memorias lgicas, que lleva en los aos 70a la cada de los precios de las calculadoras, cada que se continua produciendo ao trasao.

Hasta el ao 1972 el predominio de los CI digitales fue de los MOS sobre losbipolares, salvo cuando se requera gran velocidad, que era satisfecha con CI bipolaresT2L. A partir de ese ao el dominio deja de ser absoluto, al irrumpir en el campo de lamicroelectrnica la familia bipolar IIL (Integrated-Injection-Logic); su configuracin

bsica permite una mayor densidad de integracin y rapidez de clculo que con suscompetidoras de tecnologa MOS.

Desde 1962, en que se produjeron los primeros CI lgicos digitales de pequeaescala de integracin (SSI =Small Scale Integration), hasta la actualidad, lamicroelectrnica ha experimentado un extraordinario desarrollo, como lo prueban losdatos que se dan a continuacin:

DESARROLLO EXPERIMENTADO POR LA MICROELECTRNICA

Nivel deintegracin

Fechas deintroduccin

Npuertas/chip Aplicaciones(ejemplo)

SSI (Small ScaleIntegration)

Comienzos de los60

3-30 Puertas lgicasbsicas

MSI (Medium

Scale Integration)

A mediados y

finales de los 60

30-300 Memorias 256 bits

Sumadores de altavelocidadLSI (Large Scale

Integration)Comienzos de los

70300-3000 RAM 1-16K

CalculadorasVLSI (Very LargeScale Integration)

Finales de los 70 >30.000 RAM 64k

A la vista de los datos anteriores, se puede afirmar, sin peligro de equivocarse,que es la historia del incremento de componentes por chip y de la reduccin de lasdimensiones mnimas de los componentes del CI.

Sin embargo la evolucin de los circuitos integrados lineales o analgicos ha sido

ms lenta que la de los digitales encontrndose en la actualidad en un proceso menosavanzado. De todas formas, el CI amplificador operacional ha llegado a tal grado de


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versatilidad y precisin en configuraciones realimentadas, que se considera elcomponente bsico de los CI ms avanzado, sustituyendo al transistor salvo en loscasos de aplicaciones de alta potencia y alta frecuencia.

Sistemas analgicos: La respuesta del sistema es lineal con la entrada del mismo.

Respuesta continua a una entrada continua.(Por ejemplo: Rectificador) Sistemas digitales: Ante una entrada continua su salida es un uno o un cero

lgico.(Por ejemplo: Puertas lgicas, memorias).


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TEMA 1: MODELOS EN SEMICONDUCTORES Y EN FSICA DESEMICONDUCTORES

Definicin de modelo:Modelo de enlace covalente.Modelo de bandas de energa.Modelo analtico o matemtico.Modelo circuital o analgico.

1.1. MODELO DE ENLACE COVALENTE

1.1.1. Materiales Semiconductores.1.1.2. Estructura cristalina

Elementos semiconductoresndices de Miller.

1.2. MODELO DE BANDAS DE ENERGA

1.2.1. Modelo cualitativo de bandas de energa (Schrdinger).

1.2.2. Modelo cuantitativo de bandas de energa (Modelo de Kronig-Peney).

1.3. MODELOS ANALTICOS.

1.4. MODELOS ANALGICOS O CIRCUITOS EQUIVALENTES.


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TEMA 1: MODELOS EN SEMICONDUCTORES Y EN FSICA DESEMICONDUCTORES.

Definicin de modelo: El trmino modelo se refiere a una representacin

matemtica que permite comprender la naturaleza de determinadoscomportamientos fsicos que se dan en el material, pero que adems permite avanzaren el conocimiento mediante la realizacin de descubrimientos importantes.Son cuatro los modelos que permiten analizar y comprender el comportamiento delos semiconductores y de los dispositivos semiconductores.

Modelo de enlace covalente: Es el ms simple. Permite hacerse una ideaintuitiva de los procesos de conduccin en semiconductores. Ofrece unarepresentacin cualitativa del comportamiento interno de los slidoscristalinos. Modelo de bandas de energa: Es el ms utilizado. Rene las

caractersticas de ser un modelo grfico y matemtico. Permite describir losfenmenos de transporte en semiconductores y dispositivossemiconductores de una forma cuantitativa. Modelo analtico o matemtico: Describe mediante un conjunto deecuaciones matemticas los procesos fsicos que tienen lugar en elsemiconductor o dispositivo.Modelo circuital o analgico: Describe el comportamiento del dispositivoa nivel macroscpico en funcin de las magnitudes de tensin y decorriente. Adecuado para el anlisis de circuitos en los que intervengandispositivos semiconductores.

1.1. Modelo de enlace covalente.

1.1.1. Materiales Semiconductores.

Fig. 1:Conductividades para aislantes, semiconductores y conductores.

Los materiales de estado slido pueden agruparse en tres clases: aislantes,semiconductores y conductores. La anterior figura muestra la conductividad elctrica (y la resistividad 1/) asociada a varios slidos importantes.

Aislantes: Conductividad entre 10

-18

y 10

-8

S/cm (cuarzo y vidrio)Conductores: Conductividad entre 104y 106S/cm (aluminio, plata)


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Semiconductores: Zona intermedia: Conductividad en funcin de:temperatura, iluminacin, campo magntico y cantidad de impurezas (Ge,Si, GaAs)

1.1.2. Estructura cristalina

Los materiales semiconductores se encuentran en la naturaleza formando unallamada estructura cristalina. Segn esta estructura, los tomos del materialsemiconductor se encuentran distribuidos espacialmente formando una estructuraregular (celosa, enrejado o lattice).

Sin embargo, los tomos no ocupan en el espacio posiciones fijas, sino quedebido a las vibraciones trmicas estn situados o localizados alrededor de esta

posicin.Para un material semiconductor dado, hay una estructura bsica llamada celda

unidad, a partir de la cual es posible mediante repeticin tridimensional construir laestructura propia del cristal.

En la siguiente figura se recogen tres tipos diferentes de celdas unidad en uncristal de tipo cbico.

Fig. 2:Tres tipos diferentes de celdas unidad en un cristal cbico. (a) Celda de cubosimple. (b) Celda cbica centrada en el centro. (c) Celda cbica centrada en las caras.

2.a) Celda de cubo simple: En ella cada tomo del material ocupa los ocho vrtices(aristas) del cubo. La cantidad a es llamada constante de la estructura. El Poloniocristaliza en esta forma.

2.b) Celda cbica centrada en el centro: En esta estructura, adems de los ochotomos de las aristas hay uno ocupando el centro de la celda. Es la celda tipo (bcc)(body-centered-cubic). Ejemplos son el sodio y tungsteno.

2.c) Celda cbica centrada en las caras: En este tipo de celda, adems de los ochotomos de las aristas se encuentran seis tomos ms, localizados en el centro decada cara. Es la celda de tipo (fcc) (face-centered cubic). Cada tomo tiene 12vecinos. Ejemplos son el aluminio, cobre, oro y platino.

Los elementos semiconductores tales como el germanio y el silicio presentan unaestructura cristalina del tipo del diamante (ver figura (a)). Dicha estructura puede servista como dos estructuras (fcc) interpenetradas con un desplazamiento de una con

respecto a la otra de4

1de la distancia a lo largo de la diagonal del cubo ( a

4

3). En este

caso, cada tomo del semiconductor est rodeado de cuatro tomos equidistantesconfigurando los vrtices de un tetraedro.


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La estructura de la zincblenda (pechblenda) es idntica a la del diamante salvoen que cada estructura (fcc) constituyente est formada por tomos de valenciadiferente. A dicha estructura pertenecen materiales semiconductores del tipo delarseniuro de galio (AsGa) en que una de las estructuras (fcc) tiene tomos de Ga (IIIcolumna) y la otra de As (V columna).

Fig. 3: (a) Estructura del diamante. (b) Estructura de la Pechblenda.

ndices de Miller: En la figura 2.b) se puede ver que hay cuatro tomos en el planoABCD y cinco tomos en el plano ACEF (cuatro en las esquinas y uno en el centro).Adems, las distancias interatmicas en cada uno de los planos son diferentes. Elloconlleva que las propiedades del cristal van a ser diferentes segn el plano que seconsidere, siendo las propiedades elctricas y otras caractersticas funcin de laorientacin del cristal

Un mtodo conveniente para definir los planos de un cristal es utilizar los llamadosndices de Miller. Estos ndices se obtienen con los siguientes pasos:


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(1)Intersectar el plano en cuestin con los tres ejes cartesianos y obtener ladistancia de la interseccin en trminos de la constante de la estructura.

(2)Obtener los recprocos (inversos) de estos tres nmeros y reducirlos al enteromnimo comn mltiplo (entero ms prximo a los nmeros multiplicndolos

por el menor entero posible).

(3) Englobar los tres nmeros en un parntesis (hkl) y este conformar los ndicesde Miller.En Fig. 4 se muestran algunos ejemplos de obtencin de los ndices de Miller en

diferentes planos de un cristal.

Fig. 4:ndices de Miller de algunos planos importantes de un cristal cbico.

Enlaces de valencia:En la estructura cristalina del silicio, cada tomo est rodeado porotros cuatro tomos los cuales ocupan los vrtices de un tetraedro regular (Fig. 5.a),cuya proyeccin plana se muestra en Fig. 5.b.

Fig. 5:(a) Tetraedro que constituyen los enlaces. (b) Proyeccin plana.

Cada tomo de silicio posee cuatro electrones de valencia, los cuales estnsiendo compartidos por los restantes cuatro tomos. El mecanismo de comparticin de


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los electrones recibe el nombre de enlace covalente. El enlace covalente puede ocurrirentre tomos idnticos o no. Cada electrn est el mismo tiempo alrededor de un ncleoque de otro y la atraccin elctrica que ejercen los ncleos hacia los electrones hace que

permanezcan los tomos unidos entre s. La estructura de la pechblenda es anloga sloque cada tomo de As est rodeado de cuatro tomos de Ga y viceversa.

A bajas temperaturas, los electrones estn constituyendo en su totalidad losenlaces covalentes que conforman la estructura cristalina del silicio, la cual en estascondiciones trmicas posee gran rigidez. A altas temperaturas, las vibraciones trmicasde las partculas de la red dan lugar a que algunos de los enlaces covalentes se rompan,formndose en consecuencia un electrn libre capaz de dar lugar a una corriente deconduccin (fig. 6.a). Adems se ha formado una deficiencia de electrn en uno de losenlaces covalentes, la cual puede ser llenada por otro electrn de los enlaces covalentes

prximos. Ello supone un desplazamiento de la deficiencia de un enlace covalente (A) aotro (B) a lo largo de la estructura cristalina (Fig. 6.b).

El desplazamiento de esta deficiencia puede considerarse como eldesplazamiento de una partcula similar al electrn. Esta partcula ficticia se denomina

hueco , es portadora de carga positiva (h+) y se desplaza en sentido opuesto al de loselectrones, cuando se aplica a la red cristalina un campo elctrico.

Fig. 6:Dibujo bsico de losenlaces en el siliciointrnseco. (a) Un enlaceroto en la posicin A, dalugar a un electrn en labanda de conduccin y unhueco. (b) Enlace roto en laposicin B.


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1.2. Modelo de Bandas de Energa

El modelo de bandas de energa es de gran utilidad para explicar la fsica electrnicaen los materiales y dispositivos semiconductores. Se expondr en primer lugar unmodelo de tipo cualitativo muy conceptual y a continuacin el modelo que da una

descripcin cuantitativa, el llamado modelo de Kronig-Penney.

1.2.1. Modelo cualitativo de bandas de energa.

La teora de bandas de energa se basa en la mecnica cuntica, la cual describe elcomportamiento fsico de los electrones que forman parte de un tomo. Dichocomportamiento est determinado por la llamada funcin de onda ),,( zyx la cualcontiene toda la informacin medible sobre cada electrn y satisface la llamadaecuacin de onda o de Schrdinger:

[ ] 0),,(),,(8

),,( 2

2

2 =+ zyxzyxVEhm

zyx

donde:

2

2

2

2

2

22

zyx

+

+

(operador Laplaciano)

m masa de la partculah constante de Planck

E energa total de la partculaV (x,y,z) energa potencial de la partcula

Hay una funcin de onda para cada electrn del tomo. La ecuacin de ondaanterior slo tiene solucin para determinados valores discretos de la energa E delelectrn. La mecnica cuntica asocia a cada valor discreto de E un conjunto decantidades o nmeros cunticos n, l, m y ms de forma que cada electrn del tomoqueda caracterizado por el nivel energtico E o por sus nmeros cunticos. Esta es lasituacin que ocurre cuando se considera un tomo aislado. Sin embargo, la situacin es

bien diferente cuando se considera el sistema formado por muchos tomos tales comolos que constituyen una red cristalina de material semiconductor.

Cuando se considera un sistema formado por dos o ms tomos debe tenerse encuenta el principio de exclusin de Pauli, segn el cual dos electrones no podrn tener elmismo nivel energtico o los mismos nmeros cunticos. De esta forma, dos electrones

pertenecientes a dos tomos idnticos separados una distancia muy grande (infinita)poseen el mismo nivel energtico, pero al aproximarse una distancia ya del orden de ladistancia interatmica en un cristal esos dos niveles energticos del mismo valor sedesdoblan o desplazan ligeramente producindose dos nuevos niveles energticosdegenerados.

En el caso de una red cristalina formada por N-tomos, donde antes haba N nivelesenergticos idnticos (separacin infinita) ahora hay N-niveles energticos degeneradosmuy prximos entre s, de forma que puede considerarse todo el conjunto como una

banda de energa.Fig. 7 representa la formacin de las bandas de energa en un cristal del tipo del Si.Cuando los tomos estn separados por una distancia elevada, cada uno conserva

definidos sus niveles energticos susceptibles de ser ocupados por electrones (en Fig. 7es la parte derecha, ms alejada, se han representado dos niveles).


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Si la distancia interatmica disminuye, los niveles energticos idnticos se separanentre s, dando lugar a una banda de niveles muy prximos entre ellos. Si ahora ladistancia alcanza el valor de la distancia interatmica en el equilibrio (para el Si es de5.43) de la red cristalina, el conjunto de niveles que antes conformaba una banda deenerga se divide en dos bandas. Estas dos bandas estn separadas por una regin o

intervalo de energas que no poseern ninguno de los electrones de la red cristalina. Esteintervalo es llamado intervalo prohibido o banda prohibida, de anchura Eg. La bandasuperior es llamada banda de conduccin y la inferior, banda de valencia.

Fig. 7: Formacin de bandas de energa cuando un cristal de estructura dediamante es formado al colocar juntos dos tomos de silicio aislados.

A la temperatura de 0K, la banda de conduccin est vaca y la de valencia llena deelectrones, por lo que no existe conduccin. La nica posibilidad de lograr conduccinelectrnica es comunicar a los electrones una energa mayor o igual que Egpara que loshaga pasar de la banda de valencia a la banda de conduccin (por ejemplo medianteexcitacin trmica o luminosa).

Para el silicio y germanio a la temperatura ambiente de 300K, Egvale:

Ge: Eg= 0.72 eVSi: Eg= 1.12 eV

Fig. 8 representa esquemticamente la disposicin de las bandas en diferentes tiposde slidos: aislantes, semiconductores y conductores.


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Metales, semiconductores y aislantes.

Fig. 8: Representacin esquemtica de las bandas de energa en (a) unaislante, (b) un semiconductor, y (c) un conductor.

En un slido aislante tal y como el xido de silicio (SiO2) los electrones de valenciaque forman los enlaces covalentes forman fuertes uniones con los tomos de la redcristalina que les rodean. Estos enlaces son difciles de romper y, en consecuencia, nohay electrones libres para originar una conduccin. Considerando sus bandas de energahay una banda prohibida de mucha anchura (Fig. 8a), la cual se encuentra entre la bandade conduccin que est completamente vaca y la de valencia, completamente llena deelectrones de valencia. La anchura de la banda no permitida es tal que incluso medianteun aporte energtico externo (excitacin trmica o campo elctrico aplicado) no essuficiente como para romper los enlaces covalentes y crear electrones libres en la bandade conduccin. Por lo tanto, el dixido de silicio es un aislante, no puede conducir

corriente.El caso correspondiente a Fig. 8b representa la disposicin de bandas de energa enun material semiconductor (tal como el Si). Tal y como se ha visto anteriormente, losenlaces covalentes que constituyen la red cristalina pueden ser rotos con relativafacilidad y poco aporte energtico (para el Si, 1.12eV por electrn). En unsemiconductor, la anchura de la banda prohibida es muy pequea comparada con la delaislante, y en consecuencia un pequeo aporte energtico exterior produce la ruptura dealgunos enlaces covalentes creando pares de electrn-hueco, los cuales ocupan la bandade conduccin y la de valencia respectivamente. Cuando un campo elctrico es aplicadoal cristal semiconductor, tanto los electrones como los huecos adquieren energa cinticadando lugar a conduccin elctrica.

Las bandas de energa de Fig. 8c representan el caso de un metal. Las bandas deconduccin y de valencia estn solapadas entre s y no existe banda de energaprohibida. Con esta disposicin los electrones de la banda de valencia pueden alcanzarfcilmente el nivel ms alto de la de conduccin sin ms que aplicar un pequeo campoelctrico. De esta forma, pueden dar lugar a una rpida conduccin elctrica.

Conviene indicar que la tendencia de los electrones al recibir energa es la demoverse hacia arriba en los niveles energticos de la banda que ocupe, por el contrariocuando un hueco es excitado energticamente tiende a moverse hacia niveles inferioresen la banda donde se localice.

Fig. 9 ilustra de forma esquemtica la disposicin tpica de bandas de energa. Laanchura de la banda prohibida se denomina gap de energa prohibido y se representa por

la cantidad Eg. El nivel energtico ms bajo de la banda de conduccin se designa por lacantidad Ecy corresponde a la mnima energa que posee un electrn libre, para este


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caso es energa potencial en su totalidad (energa de un electrn en reposo) siendo estenivel el origen de energa cintica (energa cintica cero). La energa del electrnaumenta al movernos hacia arriba en la banda de conduccin. Anlogamente, para loshuecos se define el nivel Ev como el mximo nivel en la banda de valencia, Evcorresponde a la energa potencial de un hueco (energa de un hueco en reposo) y su

energa cintica se mide a partir del nivel Ev. En consecuencia, la energa del huecoaumenta al movernos hacia abajo en la banda de valencia.

Fig. 9:Energa potencial y cintica en la representacin de bandas de energa.

Como puede verse a partir de la figura, para que un hueco salga de la banda devalencia, un electrn de la banda de conduccin ha de ser desexcitado y volver a ella.

Fig. 10:Gap prohibido para el Si y el GaAs en funcin de la temperatura.

En Fig. 10 se representa la variacin del gap prohibido Eg en trminos de latemperatura del slido semiconductor (para el Si y GaAs). Se observan como puntosrepresentativos:


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T=300K (ambiente) Si: Eg=1.12eVP=1atm GaAs: Eg=1.42eVT=0K Si: Eg=1.17eV

GaAs: Eg=1.52eV

La variacin del gap Egcon la temperatura sigue las expresiones:

636

1073.417.1)(

24

+

=

T

TTEg para el Si

204

104.552.1)(

24

+

=

T

TTEg para el GaAs

El coeficiente de temperatura dT

dEg

es negativo para cualquiera de los dossemiconductores.

Finalmente, debe decirse que el modelo de bandas de energa constituye unaherramienta muy valiosa para hacerse una representacin de cuales son los mecanismosque producen la conduccin elctrica en un material semiconductor. No obstante, debeeliminarse la imagen de que las bandas de energa son como canales por los cualescirculan los electrones o huecos. nicamente se trata de niveles energticos que llevanasociados, por el hecho de ocuparlos, el estado de conduccin elctrica o la ausencia deella.

Este mecanismo de conduccin elctrica en semiconductores presenta ciertacomplejidad y deben aplicarse herramientas matemticas avanzadas como la estadsticade Fermi-Dirac. Concretamente, como se ver posteriormente, debe determinarse laestructura de bandas en el semiconductor, la densidad de estados cunticos en cada

banda y la concentracin de portadores en cada banda, as como su comportamiento.

1.2.2. Modelo cuantitativo de bandas de energa (Modelo de Kronig-Peney).

El modelo de Kronig-Peney es un modelo de tipo cuantitativo y tiene como objetivodescribir el comportamiento fsico de una partcula cargada (electrn) en el cristal.La energa potencial del electrn en el tomo de hidrgeno viene dada por la ecuacin:

r

qW

0

2

4

= (Fig. 11a)

Para dos tomos sera como la mostrada en Fig. 11b. Suponiendo un cristal dehidrgeno unidimensional, la energa potencial representada en funcin de la distanciaaparecera como la mostrada en Fig.11c con una constante L para la red. La distribucinde energa potencial para un conjunto de tomos es muy compleja de manera que laresolucin de la ecuacin de Schrdinger para tal distribucin es muy difcil.


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Fig. 11:(a) Energa potencial de un electrn en las proximidades de un tomode hidrgeno; (b) Lo mismo que (a) pero cuando se tienen dos ncleosatmicos; (c) Lo mismo que (a) pero para un conjunto de tomos.

En un esfuerzo para obtener una solucin matemtica que confirmase la formacinde bandas de energa, incluyendo las bandas prohibidas, Kronig y Penney utilizaron unmodelo unidimensional para la distribucin de energa potencial en un slido. Se tratade un modelo de potencial peridico de forma cuadrada y unidimensional, es decir, paraun cristal de dimensin infinita pero unidimensional. Dicho modelo, mostrado en Fig.12, presenta alguna similitud con la distribucin de energa potencial mostrada en Fig.11c. A pesar de esta basta similitud, la solucin de la ecuacin de Schrdingerutilizando este modelo describe con bastante precisin los efectos que se observan enslidos reales.


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Fig. 12:Modelo de Kronig-Penney unidimensional de la distribucin de energapotencial

Es importante tener en cuenta una serie de suposiciones en el modelo y en susolucin:

1.La interaccin entre el electrn y el ncleo es nicamente debida al campoelctrico debido a sus cargas.

2.No se tiene en cuenta la interaccin electrn-electrn.3.Se desprecian los efectos no ideales tales como las colisiones con la estructura y la

presencia de impurezas.4.tomos fijos aunque, de hecho, los tomos pueden estar vibrando.

En el modelo de Kronig-Peney, el nivel del cero de energa potencial est en lasproximidades del ncleo y el pico de valor W0ocurre a medio camino entre los ncleos.

Se va a suponer que un electrn, con una cierta masa y energa, esta presente en estadistribucin de energa potencial generada por los ncleos del tomo. Cuando elelectrn se acerca a uno de los tomos de la red cristalina se acelera y cuando se aleja esdecelerado hasta que se acerca al campo elctrico del siguiente tomo de la red,repitindose de nuevo el proceso.

Las funciones de onda asociadas al electrn se obtienen resolviendo la ecuacin deSchrdinger independiente del tiempo:

[ ]2

22

22

2

4con0)()(

2)(

hxxWE

h

m

dx

xd==+

!

Las soluciones de esta ecuacin con significado fsico corresponden a funciones de

onda asociadas a los electrones que son planas indicando la direccin de propagacinmediante el vector de onda K y moduladas por una funcin U(x) que posee la misma

periodicidad que la de la red cristalina:iKxexUx = )()(

siendo )()()( LNxULxUxU +=+= ; N n de tomos del cristala = anchura regiones con W(x) = 0

b = anchura regiones con W(x) = W0a + b = L = periodo = constante de la estructura (distancia interatmica)

y, por tanto,: )()( bUaU =


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Teniendo en cuenta las condiciones de contorno, la ecuacin de Schrdinger tendrsolucin si se cumplen las siguientes igualdades:, una para 0 < E < W0y otra paraE>W0:

)cos()cos()cosh()sin()sinh(

2

22

LKabab =+

; para E W0

con2

2 2

h

mE , 2

02 )(2

h

EWm = y j (en regin II en que es imaginario)

Estas son ecuaciones trigonomtricas implcitas que permiten obtener los valores dela energa asociados a las distintas funciones de onda del electrn. Su solucin es detipo numrico o grfico.

Un hecho importante es que la funcin peridica cos(KL) slo puede tomar valores

comprendidos entre 1 y +1. Desde un punto de vista numrico para un potencial W0dado, habr unos valores de la energa que cumplan la igualdad anterior, sin embargotambin existirn otros valores para los cuales el primer miembro de la igualdad sermayor o menor que el segundo miembro. Los primeros de ellos son los valores deenerga permitidos para el estado del electrn en el cristal unidimensional, los segundosconstituyen los valores no permitidos para la energa del electrn. Esta es la explicacinde que aparezcan bandas de energa prohibida.

Las dos expresiones anteriores constituyen el modelo matemtico de Kronig-Peney. Su representacin matemtica queda recogida en Fig. 13.

Fig. 13:Bandas permitidas y prohibidas, segn el modelo de Kronig-Penney.

Las regiones en blanco son las bandas prohibidas y las rayadas las permitidas.

En la grfica se ha representado el primer miembro de las anteriores expresiones y sehan delimitado los niveles de 1 y +1 como los valores extremos del segundo miembro.Las zonas sombreadas corresponden a aquellas en las cuales la variable E hace que se

produzca la igualdad de los dos miembros y las zonas en blanco corresponden a losvalores de E que ocasionan la desigualdad (mayor o menor) entre el primer miembro yel segundo, son los valores no permitidos de la energa.

Resolviendo las ecuaciones anteriores puede representarse la relacin entre E y K. Estoes lo que indica Fig. 14:


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Fig. 14: Representacin normal o extendida de la funcin E(K) para unaestructura cristalina simple unidimensional, segn el modelo de Kronig-Penney.La parbola con trazo discontinuo corresponde a la solucin para la partculalibre.

Esta figura muestra los valores permitidos de la energa del electrn en trminos delvector de onda K. Se pueden hacer las siguientes observaciones:

La representacin del modelo de Kronig-Peney muestra discontinuidades yperturbaciones cuando se compara con la forma parablica que presenta lasolucin para una partcula libre. Estas modificaciones son mayores para valores

bajos de energa. Para valores mas grandes de energa la solucin para estemodelo se asemeja ms al de una partcula libre. En conclusin, cuanto mayor esla energa del electrn menor importancia tiene el potencial peridico del cristal.

El modelo presenta discontinuidades para KL=n. Para los valores de energacorrespondientes a tales discontinuidades, las ondas del electrn no pueden

propagarse en el slido. Estos valores de K marcan los lmites de las zonas deenerga que constituyen las bandas prohibidas.A las zonas marcadas por los puntos de discontinuidad se las denomina zonas deBrillouin. De esta forma, la primera zona de Brillouin sera la correspondiente alintervalo ]-/L, /L[. La segunda zona de Brillouin sera la correspondiente a losintervalos ]-2/L, -/L[y ]/L, 2/L[. Y as sucesivamente.

Al incrementarse el valor de E, la anchura de las bandas permitidas se incrementamientras que la anchura de las bandas prohibidas se reduce.

La parte izquierda de las ecuaciones no sufre modificacin alguna si KL cambiaen

2

. Por razones relacionadas con la masa de las partculas y que resultarnms claras ms adelante, es conveniente desplazar las curvas correspondientes a


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la segunda y tercera banda permitida a lo largo del eje x en 2/L. Los valorescorrespondientes a la segunda y tercera banda permitida para K positiva sedesplazan -2/L y los correspondientes a K negativa son desplazados en 2/L.De esta forma nos limitamos a la regin comprendida entre -/L y /L (primerazona de Brillouin), como se muestra en las curvas con trazo discontinuo c, d, e

y f que reemplazan a las curvas c, d, e y f. Las nuevas curvas se muestran enFig. 15 y representan el perfil energtico de las bandas de valencia y deconduccin correspondientes a n=1, 2 y 3.

Fig. 15:Reduccin a la primera zona de Brillouin de la funcin E(K) en que serepresentan las bandas permitidas y, entre ellas, las prohibidas.

Se han mostrado las curvas de energa para tres valores de n. Es posible obtenerestas curvas para mayores valores de n. Sin embargo, las que se han mostrado sonsuficientes para ilustrar la relevancia y beneficios del modelo de Kronig-Penney.Es importante remarcar que el modelo unidimensional de Kronig-Penney presenta unagran semejanza con las condiciones reales existentes en un cristal. En un cristal realtridimensional, las relaciones E-K son mucho ms complicadas que las obtenidas conanterioridad. Sin embargo, los resultados obtenidos a partir de dicho modelo nos ha

permitido explicar la existencia de bandas permitidas y de bandas prohibidas de una

manera analtica.Para un slido semiconductor el gap de energa entre una zona de Brillouin y su

contigua tiene una anchura suficientemente pequea comparada con la anchurarespectiva para un slido aislante. Finalmente, el slido metal posee un gap pequeo yde menor energa que los anteriores.

1.3. Modelos analticos.

Un modelo matemtico o analtico es, en general, una formulacin matemtica deuna situacin o de un fenmeno fsico y que permite hacer predicciones en cuanto a losacontecimientos que pueden aparecer y obtener consecuencias. Son aplicables tanto a unsemiconductor (modelo de Kronig-Peney) como a dispositivos semiconductores (setratar con posterioridad).


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Por ejemplo, para el dispositivo diodo, se tiene el modelo del diodo de uninreflejado mediante la ecuacin del diodo o de Shockley.

)1( = TVV

s eII

I corriente del diodoIs corriente de saturacin del diodoV tensin aplicada

VTq

TK= 26mV a 300K

Con K constante de Boltzman = 1.38110-23J/K = 1.38110-23cV/K Y q carga del electrn = 1.60210-19c

De igual manera se tiene el modelo de Ebbers-Moll para el transistor bipolar pnp encontinua, formado por dos ecuaciones:

)1()1( 1211 += TCB

T

EBVVVV

E eaeaI

)1()1( 2221 += TCB

T

EB

V

V

V

V

C eaeaI

IE, Iccorrientes de emisor y colectorVEB, VCBtensiones emisor-base y colector-baseaijparmetros fsicos del dispositivo

1.4. Circuitos equivalentes o modelos analgicos.

Los modelos analgicos o de circuitos equivalentes constituyen una representacin anivel circuital del comportamiento elctrico del dispositivo. Dicha representacin serealiza mediante conexionado de elementos pasivos y activos propios de la teora decircuitos. Dichos modelos no constituyen una representacin del comportamiento fsicointerno del dispositivo sino que son tiles desde el punto de vista de su aplicacin

prctica.Por ejemplo, un transistor bipolar funcionando en configuracin de emisor comn.

Cuando el transistor bipolar funciona con seal de pequea amplitud (condicindinmica de funcionamiento), las ecuaciones que definen sus parmetros relacionanmagnitudes elctricas de una forma lineal. Estas ecuaciones son susceptibles de serrepresentadas por circuitos equivalentes que contengan impedancias (o admitancias) y

generadores dependientes (de corriente o tensin). As, un transistor bipolar quefunciona en condiciones dinmicas puede ser representado por un cuadripolo (Fig. 16)pudindose obtener dos relaciones entre las cuatro magnitudes mostradas.

Fig. 16: Cuadripolo con la indicacin de las variables de entrada (ib, vbe)y de salida (ic, vce)


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Se trata del caso de configuracin en emisor comn, con entrada por la base y salida porcolector, referida a emisor. Las corrientes ibe icpueden escribirse de la forma:

cerebeieb vyvyi +=

ceoebefec vyvyi +=

0=

=

cevbe

bie v

iy = admitancia de entrada

0=

=

bevce

coe v

iy = admitancia de salida

0=

=

cevbe

cfe v

iy = admitancia de transferencia directa

0=

=

bevce

bre v

iy = admitancia de transferencia inversa

El correspondiente modelo analgico o circuito equivalente asociado a estas ecuacioneses el de Fig. 17. Este circuito representa el modelo del circuito equivalente a laconfiguracin en emisor comn, no explica el funcionamiento interno del dispositivo

pero es muy til en la aplicacin prctica.

Fig. 17:Modelo analgico o circuito equivalente en T del transistor bipolar depequea seal con los parmetros admitancia.

Para cada propsito prctico aparece un modelo de circuito equivalente que respondeal comportamiento circuital del dispositivo. As aparecen modelos para la descripcindel comportamiento en rgimen de pequea o gran seal, en corriente continua, etc.


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ANEXO:Obtencin de las expresiones matemticas delmodelo de Kronig-Peney

Las funciones de onda asociadas al electrn se obtienen resolviendo la ecuacin de

Schrdinger independiente del tiempo:

[ ] 0)()(2)(

22

2

=+

xxWEh

m

dx

xd

Las soluciones de esta ecuacin con significado fsico corresponden a funciones deonda asociadas a los electrones que son planas indicando la direccin de propagacinmediante el vector de onda K y moduladas por una funcin U(x) que posee la misma

periodicidad que la de la red cristalina. Son las llamadas funciones de Bloch (basadas enel Teorema de Floquet):

iKxexUx = )()(siendo )()()( LNxULxUxU +=+= ; N n de tomos del cristal

y, por tanto,: )()( bUaU =

En las regiones I en que W(x)=0:

iKxII exUx = )()(

iKxIiKxI

I edx

dUexUKi

dx

xd+=

)(

)(

iKxIiKxIiKxI

I edx

Udedx

xdUKiexUKdx

xd ++= 22

22

2

)(2)()()(

definiendo2

2 2

h

mE ; se obtiene a partir de la ecuacin de Schrdinger:

0)()(

2)( 22

2

2

=++ III UKdx

xdUKi

dx

xUd

En las regiones II, W(x)=W0y con la substitucin:

202 )(2

h

EWm

anlogamente se obtiene la ecuacin:

0)()(

2)( 22

2

2

=++ IIIIII UKdx

xdUKi

dx

xUd

La solucin de las dos ecuaciones diferenciales resultantes es de la forma:


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( )xkixKiI eBeAU

+ += )(( )xikxiKi

II eDeCU + += )(

donde A, B, C y D son constantes.

Las funciones U y dx

dUhan de ser continuas en los lmites y se cumple la relacin

U(a)=U(-b) por ser U una funcin peridica. Estas condiciones de contorno sesatisfacen si:

=

=

== 00

)0()0(

x

II

x

I

III

dx

dU

dx

dUUU

Continuidad en los lmites de U ydx

dU

=

=

== bx

II

ax

I

III

dxdU

dxdU

bUaU )()(

Periodicidad de U y dx

dU

Es decir:

DCBA +=+DiKCiKBKiAKi +=+ )()()()(

biKbiKaKiaKi eDeCeBeA )()()()( ++ +=+ biKbiKaKiaKi eDiKeCiKeBKieAKi )()()()( )()()()( ++ +=+

Si se pasan todos los trminos del segundo miembro de cada una de las igualdades alprimer miembro se tendr un sistema homogneo de cuatro ecuaciones en A, B, C y D.Empleando la regla de Cramer para los sistemas homogneos se llega a la conclusin deque el sistema tiene solucin distinta de cero si el determinante formado por loscoeficientes de A, B, C y D es distinto de cero.

Despus de unos laboriosos clculos algebraicos, se puede comprobar que estaltima condicin se satisface si:

)cos()cos()cosh()sin()sinh(2

22

LKabab =+

; para E W0. En este caso elparmetro es imaginario y para explicitar este hecho y resolver en trminos reales laecuacin se realizan pequeas operaciones algebraicas:

j ; )sin()sinh()sinh( bjbjb ==

)cos()cosh()cosh( bbjb ==


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y, de esta manera, la ecuacin anterior se transforma en:

)cos()cos()cos()sin()sin(2

)(22

LKabab =+

+

; para E > W0

Las dos expresiones anteriores constituyen el modelo matemtico de Kronig-Peney.

1. modelos en semiconductores y en fÍsica

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