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Rafael Vázquez ValenzuelaVehículos Espaciales y Misiles 1Mar-12-08

Misiones No Geocéntricas

1. Misiones Lunares2. Misiones Interplanetarias

Vehículos Espaciales y Misiles 2Apr-10-07

1. Misiones Lunares• Primer Análisis: Órbita de Intercepción e impulsos mínimos.• Esfera de Influencia• Proceso de “Ajuste de Cónicas”

Hipótesis de partida:1. La órbita de la Luna es una órbita kepleriana circular, de radio

D=384400 km.2. La sonda lunar comienza en una órbita de aparcamiento de radio

r0, en el plano orbital de la Luna.3. No se considera ningún tipo de perturbación adicional a la

presencia de los dos cuerpos (Tierra y Luna) que ejercen suatracción gravitatoria sobre la sonda.



1. Misiones LunaresPrimer Análisis: Órbita de Intercepción. Para un primer análisis, sedesprecia la atracción gravitatoria de la Luna y se considera simplementela transferencia de la órbita de aparcamiento a la órbita de la Luna.


Posibles trayectorias:

• Órbita de mínima energía: latransferencia de Hohmann.

• Otras órbitas elípticas másexcéntricas.

• Órbita parabólica o deescape.

• Órbitas hiperbólicas: las másrápidas.


1. Misiones LunaresPrimer Análisis: Impulsos mínimos.El resultado de calcular todas las posibles órbitas es el siguiente:

Se deduce que no es necesario emplear una órbita parabólica o hiperbólica, puesto que aumentan elcoste sin reducir sensiblemente eltiempo de vuelo.



1. Misiones LunaresPrimer Análisis: Órbita de Intercepción. El encuentro Luna-sonda seráposible sólo si ambos cuerpos llegan simultáneamente al punto deencuentro! Por tanto, es necesario conocer cuando se aplica el impulso enla órbita de aparcamiento, cuál debe ser el ángulo inicial de la Luna(llamado “ángulo de fase” y denotado como ). Será necesario aguardara que la Luna se encuentre en dicho ángulo para realizar la transferencia(“ventana de oportunidad”).

Determinación:


tTRANSμ

D3 = TRANS


1. Misiones LunaresLa esfera de influencia. Concepto originalmente inventado por Laplace.Consideremos un vehículo espacial cercano a un cuerpo masivo (quedenotamos como 1), y alejado de otro cuerpo (que denotamos como 2)cuya atracción puede considerarse en primera aproximación como unaperturbación. La fuerza gravitatoria específica, , que siente el vehículoespacial, se puede escribir como

donde denota que la fuerza se considera perturbativa. Si por elcontrario el cuerpo se encontrase en las inmediaciones del cuerpo 2:

Consideremos los puntos del espacio para los que se verifica:


g

g = g1 + g2 '

g = g1 '+ g2

g '

g1 '

g2=g2 '

g1


1. Misiones LunaresLa esfera de influencia.

Dichos puntos verifican que la perturbación tiene la misma magnitud conrespecto a la fuerza central kepleriana, en las dos ecuaciones:

Por tanto, la aproximación o es igualmente válida; dichospuntos constituyen el límite que divide el espacio en dos zonas, en lascuales una aproximación es mejor que la otra. Una expresiónaproximada para el lugar geométrico descrito por dicha ecuación cuandoel cuerpo 2 es supuesto menos masivo que el cuerpo 1, consiste en unaesfera (la esfera de influencia) alrededor del cuerpo 2, de radio:

(donde D es la distancia entre 1 y 2)


Re = Dm2

m1

2/5

g1 '

g2=g2 '

g1

g = g1 + g2 '

g = g1 '+ g2

g g2 g g1


1. Misiones LunaresLa esfera de influencia.Para ese caso (cuerpo 1 más masivo que 2), el interior de la esfera deinfluencia será donde se considere la atracción del cuerpo 2 y sedespreciará la de 1, mientras que en el exterior, sólo se considerará laatracción de 1. Si una trayectoria kepleriana (con 1 como cuerpocentral) cruza la esfera de influencia, se calculará una nueva trayectoriakepleriana (proceso de ajuste de cónicas) con 2 como cuerpo central, ycondiciones iniciales las de la trayectoria anterior al cruzar la esfera.Este análisis en primera aproximación es válido tanto en el caso Tierra-Luna (todo el espacio dominado por la atracción de la Tierra excepto laesfera de influencia lunar) como para análisis en el Sistema Solar (todoel espacio dominado por la atracción del sol excepto las esferas deinfluencia de cada planeta, y dentro de éstas las esferas de influencia desus respectivos satélites).En el caso lunar: tomando D=384400 km, resulta Re=66183 km.



1. Misiones LunaresAjuste de cónicas.Para diseñar (en primera aproximación) una misión lunar, se calcularáen primer lugar una transferencia orbital geocéntrica desde la órbita deaparcamiento, que entre en la esfera de influencia lunar.



1. Misiones LunaresAjuste de cónicas.Fijada la órbita de aparcamiento (en el ejemplo, de altitud 180 km, esdecir, r0=6558 km), conocidas la posición inicial (ángulo de fase) de laLuna y la velocidad de inyección, denotada por Vi y definida como la

velocidad TOTAL necesaria al principio de la órbita de la transferencia) se calcula si se entrao no en la esfera de influencia lunar,definiendo así “ventanas de oportunidad”.(La linea gruesa central denota impacto con la superficie lunar)



1. Misiones LunaresAjuste de cónicas.

Una vez la sonda cruza la esfera de influencialunar, hay que calcular una nueva trayectoriacon la Luna como cuerpo central, usandocomo condiciones iniciales las de la órbitageocéntrica en su encuentro con la esfera.Egorov demostró que la trayectoria lunar essiempre una hipérbola, que habrá que determinar.


Importante: no olvidar que para expresar lavelocidad en el nuevo sistema de referencia(selenocéntrico) se debe sustraer a lavelocidad de la sonda (expresada en elsistema de referencia geocéntrico) lavelocidad de la Luna respecto de la Tierra!!


1. Misiones LunaresTipos de misiones lunares.

• Misión de impacto: este tipo de misión requiere que el radio delperilunio de la hipérbola selenocéntrica sea menor que el radiolunar (es decir, 1738 km).

• Misión de orbitación lunar: se requerirá convertir la hipérbolaselenocéntrica en una elipse alrededor de la luna, con unamaniobra que exigirá un cierto impulso.

• Misión de sobrevuelo: se deja inalterada la hipérbola, con loque a la salida de la esfera de influencia ha de realizarse unnuevo proceso de ajuste de cónicas para determinar una nuevatrayectoria geocéntrica.



1. Misiones LunaresEjemplo de misión de sobrevuelo.Prediseño efectuado por Egorov de la misión de la sonda Lunik III,para fotografiar la cara oculta de la Luna y enviar las imágenes devuelta a la Tierra.



2. Misiones Interplanetarias• Esferas de Influencia• Órbitas de Intercepción e impulsos mínimos requeridos• La maniobra asistida por gravedad• El proceso de ajuste de cónicas.

Hipótesis de partida:1. Las órbita de los planetas alrededor del sol son coplanarias y

circulares, con radios fijos.2. La sonda interplanetaria comienza en una órbita de aparcamiento

de radio r0, en el plano de la eclíptica.3. No se considera ningún tipo de perturbación adicional a la

presencia de los tres cuerpos (Tierra, Sol y planeta de destino)que ejercen su atracción gravitatoria sobre la sonda.



2. Misiones InterplanetariasLas esferas de influencia. Empleamos el concepto que se introdujo paramisiones lunares de la esfera de influencia. Se modela el Sistema Solarcomo dominado por la atracción gravitatoria del Sol, excepto en esferascentradas en cada planeta cuyo radio viene dado por:

Los resultados que se obtienen de aplicar dicha fórmula son:


Re = amPLANETA

m

2/5

(donde a es la distancia media al sol)


Las esferas de influencia.

De la tabla se extraen las siguientes conclusiones:1. Los radios de las esferas de influencia son muy pequeños comparadoscon los radios de las órbitas planetarias. Por tanto, en el cálculo de laórbita heliocéntrica las esferas de influencia se consideran puntuales.2. Los radios de las esferas de influencia son muy grandes comparadoscon los radios de los planetas. Por tanto, en el cálculo de las órbitasplanetocéntricas, se consideran dichos radios infinitos.

2. Misiones Interplanetarias



2. Misiones InterplanetariasPrimer Análisis: Órbita de Intercepción. Para “escapar” de la esfera deinfluencia (EI) terrestre, la sonda debe asumir una trayectoria geocéntricahiperbólica. Puesto que se asume la EI infinita, la velocidad a la salida dela esfera de influencia será V

, el exceso de velocidad hiperbólico. Una

vez fuera de la EI, la velocidad inicial en la órbita heliocéntrica será:

Dado el radio de la órbita de la Tierra, se tiene:

Analicemos una transferencia de Hohmann desde la órbita circular de laTierra hacia la órbita circular del planeta destino. Para realizar este tipode transferencia, el vector V

ha de ser paralelo al vector de velocidad de

la Tierra.


VINICIAL = V +V

V =μ

a

132712439935,5

150 106 = 29.74 km/s


2. Misiones InterplanetariasPrimer Análisis: Órbita de Intercepción. Según el planeta sea superior (i.e.más alejado del Sol que la Tierra) o inferior, el vector V deberá apuntaren la misma dirección que la velocidad de la Tierra, o en la opuesta. En lafigura se pueden ver los ejemplos de Marte (superior) y Venus (inferior):



2. Misiones InterplanetariasPrimer Análisis: Órbita de Intercepción. En la siguiente figura se puedenver, para los dos casos, como ha de diseñarse la hipérbola de salidageocéntrica para obtener la velocidad V necesaria (recordemos que en elinfinito, la velocidad de exceso hiperbólica sigue la dirección de lasasíntotas de la hipérbola.



2. Misiones InterplanetariasPrimer Análisis: Impulsos mínimos.Se puede calcular, para cada órbitaalrededor del Sol, cuál sería el impulsomínimo V que se debe añadir en laórbita de aparcamiento para llegar acada planeta, y el tiempo detransferencia (para transferencias detipo Hohmann).Observaciones:a) Las misiones a planetas exterioresrequiren un tiempo muy largo.b) El interior del Sistema Solar esenérgeticamente muy costoso.Por tanto: Las misiones no se lanzande forma directa al destino!



2. Misiones InterplanetariasManiobra asistida por gravedad El análisis anterior justifica la búsquedade un mecanismo para obtener propulsión adicional y así disminuir elcoste energético y el tiempo de vuelo.Una fuente “gratuita” de energía son otros planetas!

En las inmediaciones de un planeta, una órbita verá modificada su órbitade forma sustancial. La idea de la maniobra es aprovechar estamodificación para ganar (o perder, si se desea frenar) energía y/omodificar la dirección de la trayectoria.(Adicionalmente: ningún planeta es tan conocido como para quesobrevolarlo no proporcione datos nuevos de interés.)


“Júpiter juega con las órbitas de los cometas”Leverrier, matemático francés (siglo XIX)


2. Misiones InterplanetariasManiobra asistida por gravedad Explícitamente, denominemos la velocidadantes del encuentro, en el sistema de referencia heliocéntrico, como Va, yla velocidad tras el encuentro, Vd. Similarmente, llamemos va y vd a estasmismas velocidades expresadas en el s.r. planetocéntrico. Se tiene:

donde VP es la velocidad del planeta.Además:

De la figura:

y operando:


Va = VP + va ,Vd = VP + vd

va = vd = v =μP

a,a =

rpe 1

,sin2= e

V = 2V sin2

V = 2V1

1+ rpV 2

μP


2. Misiones InterplanetariasManiobra asistida por gravedad En el cálculo anterior, V viene dada porla velocidad del planeta VP y la velocidad con la que la sonda se acerca alplaneta Va. Las dos variables que se pueden optimizar son V y elacercamiento máximo al planeta, dado por el radio de periapsis rp. Puestoque está claro que a menor rp mayor aporte de energía, tomemos rp=RP,el radio planetario. Optimizando con respecto a V se tiene:

Es decir, la velocidad circular correspondiente aperiapsis en la hipérbola, con periapsis a “alturacero”. Los resultados para los diferentes planetasse resumen en la tabla.


VOPT=

μP

RPeOPT = 2, OPT

= 60 , V MAX=

μP

RP


2. Misiones InterplanetariasManiobra asistida por gravedad por El máximo anteriormente conseguidoes teórico, ya que muchas consideraciones diferentes impiden alcanzarlo;p.ej. atmósferas planetarias. Asimismo, no es recomendable acercarse aJúpiter más de 10 radios planetarios debido a su fuerte campo magnético.En la figura, las maniobras consecutivas que permitieron a la Voyager IIalcanzar la velocidad de escape del Sistema Solar (la configuraciónplanetaria que permite el llamado “Grand Tour” se repite sólo una vezcada 176 años).



2. Misiones InterplanetariasProceso de ajuste de cónicas.


En el análisis preliminar, se calculanmuchas posibles trayectoriasheliocéntricas, diferentes de la deHohmann. Para encontrar estastrayectorias, se parte de una“oposición de referencia” y seconsideran diferentes ángulos ytiempos, determinándose el tiempode vuelo y los puntos de partida yllegada. Entonces se resuelve elProblema de Lambert paradeterminar la cónica de latrayectoria. Todas estas solucionesse pueden representar gráficamente.




Tabla de trayectorias heliocéntricas para viajar de la Tierra a Júpiter.




Proceso de ajuste de cónicas. Puesto que la esfera de influencia sesupone puntual a efectos de la trayectoria heliocéntrica, sólo esimportante en la hipérbola geocéntrica que V tenga la dirección(marcada por u en la figura) y magnitud correctas (sin importar el planode la hipérbola!). Por ello existen una serie de puntos, posibles perigeoshiperbólicos, que constituyen una circunferencia en la figura; la maniobrade inyección habrá de realizarse en la intersección de la órbita deaparcamiento con dicha circunferencia.




Proceso de ajuste de cónicas. Finalmente, al llegar al planeta de destino,se ajusta la cónica siguiendo el mismo procedimiento. Se pueden

construir ciertas “secciones hiperbólicas” que en su interseccióncon el punto de entrada determinan sila trayectoria es:

1. De colisión.

2. De “entrada” o “reentrada” (en laatmósfera planetaria).

3. De orbitación planetaria (se aplicaun V en periapsis para “cerrar” laórbita).

4. De sobrevuelo (apta para unamaniobra asistida por gravedad).

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