1. matrices y operaciones

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL

DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N.

ESCUELA DE INGENIERIAS

AREA DE CIENCIAS BASICAS

ALGEBRA LINEAL

MATRICES Conceptos Básicos Una matriz es una ordenación rectangular de números, por ejemplo:

A= |

|

Es una matriz. Se emplean los paréntesis con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad. En general, una matriz frecuentemente se escribe así:

( ) |

|

Y se dice que es una matriz de tamaño , o que está compuesta de m filas y n columnas. Ejemplo:

Sea |

|

Esta matriz es de tamaño , es decir, tiene tres filas y cuatro columnas. Sus filas son:

( ) ( ) ( )

Y sus columnas

(

) (

) ( ) (

)

Tipos De Matrices Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos reciben nombres diferentes:





ALGEBRA LINEAL

TIPO DE MATRIZ DEFINICION EJEMPLO

FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas

que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Se representa por ó

OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas

que de columnas, , diciéndose que la

matriz es de orden n. Diagonal principal: son los elementos

Diagonal secundaria: son los elementos

con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

;





ALGEBRA LINEAL

TIPO DE MATRIZ

DEFINICION EJEMPLO

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.

, Necesariamente

DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada

e invertible: La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene

inversa, , si se verifica que:





ALGEBRA LINEAL

Operaciones Con Matrices Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

Suma de matrices La suma de dos matrices ( )

y ( ) de la misma dimensión:

y es otra matriz ( ) ( )

(

) (

)

|

|

Ejemplo:

o Propiedades de la suma de matrices

1. Asociativa: ( ) ( ) 2. Conmutativa: A+B = B+A 3. Elemento Neutro: (matriz cero ) , 0+A = A+0 = A 4. Elemento Simétrico: ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0

Resta de matrices La resta de dos matrices ( )

y ( ) de la misma dimensión:

y es otra matriz ( ) ( )

(

) (

)

|

|





ALGEBRA LINEAL

Ejemplo:

[

] [

] [

] [

]

o Propiedades de la suma de matrices

1. Asociativa: ( ) ( ) 2. Conmutativa: A-B = B-A 3. Elemento Neutro: (matriz cero ), 0-A = A-0 = A 4. Elemento Simétrico: (matriz opuesta -A), A - (-A) = 2A, (-A) – A = -

2A Nota: La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas!!

Producto de un número real o escalar por una matriz Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

Si ( ) |

|

Entonces; ( )

|

|

Ejemplo:

Es una ley de composición externa con las siguientes

o Propiedades de un número real o escalar por una matriz

1. Asociativa: ʎ(µA) = (ʎµ)A 2. Distributiva I: ʎ(A+B) = ʎA+ ʎB 3. Distributiva I: (ʎ+µ) A= ʎA+ µA 4. Elemento Neutro: 1A = A





ALGEBRA LINEAL

Producto entre matrices Dadas dos matrices ( )

y ( ) donde , es decir, el número de

columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B, se define el producto de la siguiente forma: El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.

Para cada par i y j. Ejemplo

[

] [

] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [

]

También se debe revisar el hecho que la cantidad de columnas de la primera matriz sea correspondiente a la cantidad de filas de la segunda matriz para que se pueda desarrollar la multiplicación de matrices y que el tamaño de la matriz que de como resultado final de la operación debe ser del tamaño de las filas de la primera matriz con las columnas de la segunda matriz.

Determinantes y calculo determinantes de orden 2X2 y 3X3 El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el

determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras no significan valor absoluto).

a) Consideremos el sistema de ecuaciones

22221

11211

byaxa

byaxa

en dos incógnitas x y y

El número real 12212211 aaaaAij se llama un determinante de orden 2 y se denota

por

2221

1211

aa

aaAij





ALGEBRA LINEAL

Si consideramos el determinante como el cuadro de números, entonces su valor es el producto de los elementos de una diagonal (Diagonal principal) menos el producto de los elementos de la otra diagonal (Diagonal secundaria).

b) Consideremos el sistema de ecuaciones

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

en tres incógnitas x, y, z.

Un determinante de orden 3,

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

, se calcula de la siguiente manera:

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaAij

, Por lo que,

312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaAij

Se puede también hacer uso de la ley de Sarrus la cual determina que para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se repiten las dos primeras columnas (o filas) a continuación de la tercera, se multiplican los números que hay en la diagonales principales y luego se suman los resultados de las multiplicaciones. Repetimos, el mismo proceso con las diagonales secundarias y después hacemos la diferencia entre el resultado obtenido con las diagonales principales y el total obtenido con las

diagonales secundarias; este resultado es el determinante de la matriz ijA.

Si

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

entonces 3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

Aij

, por tanto,

122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaAij

o Propiedades de los determinantes:

Cuando se hable de fila o columna de un determinante se referirá a la matriz a la cual se le va a calcular el valor del determinante.





ALGEBRA LINEAL

a) Propiedad 1: Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante, es igual a cero, el valor del determinante es cero.

b) Propiedad 2: El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta.

c) Propiedad 3: Si dos filas (o columnas) de un determinante son intercambiadas, el signo del determinante queda cambiado.

d) Propiedad 4: Si un determinante tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante vale cero.

e) Propiedad 5: Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k.

f) Propiedad 6: Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante se expresa como la suma de dos o más términos, el determinante se puede expresar como la suma de dos o más determinantes.

g) Propiedad 7: La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) de un determinante por los correspondientes cofactores de otra fila (o columna), es cero.

h) Propiedad 8: La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los correspondientes cofactores de esa, da el determinante; pero la suma de los elementos de una fila (o columna) por los correspondientes cofactores de otra fila, da cero.

i) Propiedad 9: El valor de un determinante no cambia si a los elementos de cualquier fila (o columna) se le suman k veces los correspondientes elementos de cualquier otra fila (o columna).

j) Propiedad 10: Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño,

entonces BAAB

.

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