1.- introducciÓn

6
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL “ ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS”  CURSO : ANALISIS ESTRUCTURAL II DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO  NUEVO CHIMBOTE - SEPTIEMBRE , 2014

Upload: xjaiverjensx

Post on 10-Oct-2015

16 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

    FACULTAD DE INGENIERA

    ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

    ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

    CURSO : ANALISIS ESTRUCTURAL II

    DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO

    NUEVO CHIMBOTE - SEPTIEMBRE , 2014

  • INTRODUCCIN

  • Una de las responsabilidades del ingeniero estructural es dimensionar y proporcionar adecuadamente los elementos estructurales

    Para que soporten de manera eficiente y econmica las condiciones de carga esperados en la vida til de las estructuras

    Tanque elevado. Evidencia de esfuerzos en la base. Cortesa de The National Information Service for Earthquake Engineering, EERC, University of California, Berkeley .

  • Necesitamos conocer : 1. Los desplazamientos relativos del sistema

    Desplazamiento permanente del segundo nivel del edificacin de aprioximadamente 90 cm debido a sismo de Califormia en 1971. Cortesa de the National Information Service for Earthquake Engineering, EERC, University of California, Berkeley

  • 2.- La distribucin de esfuerzos en la estructura

    Edificio Rodrigo de Triana en Concepcin, Chile, daado por el sismo de febrero de 2010. Foto de Alejandro Muoz

  • Los elementos estructurales que componen las estructuras se pueden

    clasificar en:

    Unidimensionales

    Se representan por una lnea que define su eje

    Las secciones transversales son perpendiculares al eje

    Barras, vigas, columnas ,cables arcos

    Bidimensionales

    Pueden representarse por superficies planas o curvas: Membranas, losas y cascarones.

    Tridimensionales

    No se puede hacer simplificaciones por su geometra o comportamiento

    Slo pueden ser analizados por mtodos no analticos por ejemplo elementos finitos

  • El anlisis estructural consiste en idealizar la estructura con base en algunos los elementos segn la clasificacin anterior considerando las conexiones y sus apoyos

  • Nos enfocaremos en la idealizacin de estructuras con elementos unidimensionales

    Fxj

    i

    j

    Fxi

    Armadura (truss)

  • Prticos Planos con conexiones rgidas

    i

    Fyi

    Fxi

    Mi

    Fyj

    Fxj

    Mj

    j

  • Parrillas

    Fyj

    Fyi

    Mxi

    Mxj

    Mzi

    Mzj

  • Prticos Tridimensionales

  • En general, el comportamiento de los elementos estructurales est descrito por una ecuacin diferencial.

    Los elementos unidimensionales tienen solucin ya conocida.

  • La solucin se obtiene a partir de sistema de ecuaciones algebraicas formadas a partir de:

    Ecuaciones de equilibrio

    Compatibilidad de los nudos y

    apoyos

    Relaciones esfuerzo-

    deformacin

  • La resolucin de dichos sistemas puede ser sencilla o complicada dependiendo del nmero de variables a determinar .

    En el caso de estructuras complejas se recurre a utilizar arreglos matriciales para la solucin del sistema de ecuaciones.

  • Avances en la tecnologa han permitido el desarrollo de programas de cmputo que resuelven estructuras de manera rpida.

    Un ingeniero estructural debe entender los principios del anlisis y ser responsable por los resultados que obtiene de un programa.

  • Diagrama de Flujo de anlisis estructural

    Ingreso

    Definicin de modelo fsico, geometra, material, cargas y

    condiciones de borde

    Librera de elementos

    Generacin de modelos matemticos

    para elementos estructurales y cargas

    aplicadas

    Solucin

    Construccin y solucin del modelo matemtico para el sistema estructural

    Salida

    Visualizacin de desplazamientos y fuerzas obtenidas

    Adaptado de Fig 1.1 de Matriz Structural Analysis McGuire

  • DEFINICIONES Y CONCEPTOS

  • Grados de libertad Nmero mnimo de

    desplazamientos independientes en los nudos de una estructura.

    Al determinar los desplazamientos en los grados de libertad es posible determinar todos los esfuerzos y reacciones en los elementos de la estructura.

    u

    v

  • En la prctica el nmero de grados de libertad no es nico, depende de la forma en que idealicemos la estructura.

    Por ejemplo se sabe que en estructuras de concreto armado sometidas a flexin y fuerza axial, los desplazamientos debido a esfuerzos de flexin generalmente son mucho mayores que los axiales.

    En estos casos es posible despreciar algunos grados de libertad.

  • Si el elemento es flexible Si el elemento es rgido

    1

    2

    3

    4

    1

    Lddd

    dd

    231

    24

    2

    d1

    d2

    d3

    d4

    L L

    El nmero de gdl es 4 El nmero de gdl es 2

  • ARMADURAS

    2 desplazamientos independientes por cada nudo libre = 2 gdl /nudo= 12 gdl

    Para que la estructura sea estable debe restringir algunos de sus grados de libertad

  • ARMADURAS

    2 desplazamientos independientes por cada nudo libre = 2 gdl /nudo= 12 gdl

    Para que la estructura sea estable debe restringir algunos de sus grados de libertad

  • ARMADURAS

    9 gdl

    Si se restringen 3 grados de libertad aparecern 3 reacciones en las direcciones de los gdl. Los desplazamientos en los grados de libertad restringidos se hacen nulos

  • Si la viga es infinitamente rgida axialmente

    3 gdl

    6 gdl

    5 gdl

    Si las columnas y viga son infinitamente rgidas axialmente

    PRTICO PLANO

    12 gdl

    3 gdl por nudo

  • 9 gdl 5 gdl

  • Cuando hay rtulas

    8 gdl

    5 gdl

    Si la viga y columnas son infinitamente rgidas axialmente

  • Si las vigas y columnas son infinitamente rgidas axialmente

    6 4 nudos = 24 gdl 3 rotaciones x 4 nudos + 4 traslaciones=16 gdl

    PRTICO ESPACIAL 6 gdl por nudo

  • La losa es rgida en su plano ( no se deforma en su plano) pero es flexible en la direccin perpendicular a su plano

    2 giros en cada nudo + 3 desplazamientos en el plano de la losa= 11 gdl

    PRTICO ESPACIAL CON LOSA RGIDA

  • 1

    2

    3

    4

    5

    6

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    Qi : es la fuerza aplicada en el grado de libertad i en la direccin del grado de libertad

    Di : es la componente del desplazamiento sobre el grado de libertad i en la direccin del grado de libertad

    7

    9

    10 8 12

    11

    Los desplazamientos y fuerzas de los nudos en las direcciones de los grados de libertad pueden colocarse en un arreglo vectorial

  • 1

    2

    3 4

    5

    6

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    Si la estructura tiene restricciones en sus nudos entonces aparecern reacciones y desplazamientos conocidos

    7

    9

    10 8 12

    11

  • Ejemplo P

    Definimos los grados de libertad

    1

    L L

    2

    3

    0

    0

    P

    Q

    EI

    PL

    2

    2

    EI

    PL

    3

    3

    EI

    PLL

    EI

    PL

    EI

    PL

    6

    5

    23

    323

    L

    EI

    PLD

    21

    65

    31

    3

    E: Mdulo de elasticidad I: Mdulo de Inercia de la seccin

  • Reemplazando valores:

    EI= 10,000 ton.m2

    L= 5 m

    P= 6 ton

    rad

    m

    m

    D

    0075.0

    0625.0

    025.0

  • Los grados de libertad se definen en sistemas de coordenadas

    globales locales

  • Los vectores de carga y desplazamiento de toda la estructura estn enmarcados en un sistema de coordenadas global compuesto por un conjunto de ejes ortogonales fijos x,y,z (right -hand)

    x

    y

    z

    La relacin entre desplazamientos y fuerzas se puede encontrar utilizando las coordenadas globales

    x

    y

    z

    Q D

  • Para poder conocer el comportamiento de un elemento de la estructura podemos tomar sistemas de coordenadas locales vlidas para ese elemento.

    4

    3

    2

    1

    q

    q

    q

    q

    q

    4

    3

    2

    1

    d

    d

    d

    d

    d

    x

    y

    qn : es la fuerza en el extremo de barra en el grado de libertad n en la direccin del grado de libertad

    dn : es la componente del desplazamiento sobre el grado de libertad n en la direccin del grado de libertad

  • Grados de libertad globales

    1 2

    3

    Grados de libertad locales por cada elemento

    x

    y

    x

    y y

    x

    Tramo1 Tramo 2

    rad

    m

    m

    D

    0075.0

    0625.0

    025.0

    0

    0

    6ton

    Q

    1

    2

    3

    4 1

    2

    3

    4

  • 0

    6

    .30

    6

    ton

    mton

    ton

    q

    rad

    md

    0075.0

    025.0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    q

    rad

    m

    rad

    m

    d

    0075.0

    0625.0

    0075.0

    025.0

    Grados de libertad globales

    1 2

    3

    x

    y

    Tramo1

    Tramo 2

    rad

    m

    m

    D

    0075.0

    0625.0

    025.0

    0

    0

    6ton

    Q

    Grados de libertad locales por cada elemento

    x

    y y

    x

    Tramo1 Tramo 2

    1

    2

    3

    4 1

    2

    3

    4

  • La relacin entre fuerza y desplazamiento en su forma matricial se puede expresar como:

    DKQ

    rigidezdematrizK

    elementodelrigidezdeecoeficientkij

    Es el valor de la fuerza ( o momento ) que aparece en el grado de libertad i si a la estructura se le impone un desplazamiento de valor unitario en el grado de libertad j y todos los otros grados de libertad se mantienen fijos ( sin desplazamiento o rotacin) .

  • Esencia del mtodo de rigidez

    Se basa en la superposicin de desplazamientos

    Condiciones de compatibilidad de desplazamiento (siempre estn satisfechas)

    Las incgnitas son los desplazamientos

    Se resuelven a partir de las ecuaciones de equilibrio de nudo

    DKQ nnnnnnn

    n

    n

    n

    kkkk

    kkkk

    kkkk

    kkkk

    K

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

    K es la matriz de rigidez

    elementodelrigidezdeecoeficientkij

    En esta ecuacin los grados de libertad se refieren a coordenadas globales

  • Para obtener matrices de rigidez bandeadas hay que ordenar los grados de libertad de manera lgica y consecutiva, por ejemplo:

    2

    1 3

    11

    10 12

    5

    4

    6

    8

    7 9

    a) b)

    2

    1 3

    8

    7 9

    5

    4

    6

    11

    10 12

  • Esencia del mtodo de Flexibilidad

    Se basa en la superposicin de fuerzas

    Las condiciones del compatibilidad de desplazamientos son forzadas

    Las incgnitas son las fuerzas

    Se resuelve a partir de la compatibilidad de desplazamientos

    QFD nnnnnnn

    n

    n

    n

    ffff

    ffff

    ffff

    ffff

    F

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

    F es la matriz de flexibilidad

    elementodeladflexibiliddeecoeficientfij

  • Relacin entre F y K

    Es el valor del desplazamiento ( o giro) que aparece en el grado de libertad i si a la estructura se le impone una fuerza de valor unitario en el grado de libertad j manteniendo nulas las fuerzas en los otros grados de libertad .

    nnnnnnn

    n

    n

    n

    ffff

    ffff

    ffff

    ffff

    F

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

    QFD

    QDF 1

    Premutiplicando por F-1 ambos lados de la ecuacin

    KF 1 FK 1o

  • Existencia de K

    El nmero de desplazamientos debe coincidir con el nmero de grados de libertad

    Sistema no generalizado EA=

    La matriz de flexibilidad sera:

    44434241

    34333231

    24232221

    14131211

    ffff

    ffff

    ffff

    ffff

    F

    La fila 1 y la fila 4 son iguales , por lo tanto el determinante de F es cero. Esto significa que F-1 no existe . En consecuencia K no existe

    1

    2 3

    4

  • Existencia de K

    No es necesario que la estructura tenga apoyos (en este caso la matriz es singular)

    2

    1 3

    8

    7 9

    5

    4

    6

    11

    10 12

    Sin apoyos |K| =0

  • Existencia de F

    La estructura debe tener apoyos

    En caso que no tenga apoyos el determinante de K es nulo y no existe la inversa.

    En consecuencia no existe F

    2

    1 3

    8

    7 9

    5

    4

    6

    11

    10 12

    Sin apoyos No existe F

  • Matriz de rigidez: Global versus local

    Global

    Local

    x

    y Q-D q-d

  • El elemento barra de armadura slo tiene dos grados de libertad en su sistema local

    EA es constante y conocido

    1 2

    L

    q-d

    11

    11

    L

    EAk

    k es una matriz simtrica k es una matriz singular, por lo tanto F no existe

  • El elemento de barra en el sistema global

    x

    a

    aaaaaa

    aaaaaa

    aaaaaa

    aaaaaa

    22

    22

    22

    22

    coscos

    coscoscoscos

    coscos

    coscoscoscos

    sensensensen

    sensen

    sensensensen

    sensen

    L

    EAK

  • REPASO DE LGEBRA MATRICIAL

  • mnmmm

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...Fila 1 Fila 2 Fila 3 . . . . . Fila m

    Co

    lum

    na

    1

    Co

    lum

    na

    2

    Co

    lum

    na

    3

    . . . . . Co

    lum

    na

    n

    Una matriz es un arreglo rectangular de smbolos o valores colocados en filas y columnas

  • El elemento tpico de la matriz es

    donde i representa la fila y j la columna que el elemento ocupa en la matriz.

    Se dice que la matriz tiene orden m x n, es decir el nmero de filas por el nmero de columnas.

    Una matriz es un arreglo y no necesariamente implica una relacin entre sus elementos

    ija

    mnmmm

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ... Columna

    Fila m n

  • Algunas matrices especiales

    1

    1

    31

    21

    11

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    mx

    ma

    a

    a

    a

    A

    nnaaaaA

    11131211

  • Matriz Cuadrada

    nnnnnnn

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

  • Matriz simtrica

    Es una matriz cuadrada aij = aji para todo ij

    nnnnnnn

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

  • Matriz Diagonal

    Es la matriz cuadrada que tiene elementos nulos excepto en la diagonal principal aij=0 cuando i j

    nnnn

    nn

    a

    a

    a

    a

    a

    A

    0..000

    0...

    ....

    ....

    0...00

    0...00

    0...00

    11

    33

    22

    11

  • Matriz Identidad

    nn

    I

    10..000

    01...

    ....

    ....

    0...100

    0...010

    0...001

    Es la matriz diagonal aij=1 cuando i =j , aij=0 cuando i j

  • Matriz Triangular superior

    nnnn

    n

    n

    n

    u

    uu

    uuu

    uuuu

    U

    000

    ....

    ....

    ....

    ...00

    ...0

    ...

    333

    22322

    1131211

    La matriz tiene elementos nulos si la fila es mayor que la columna , uij=0 cuando i >j

  • Matriz Triangular inferior

    nnnnnnnllll

    lll

    ll

    l

    L

    321

    333231

    2221

    11

    ....

    ....

    ....

    0...

    0...0

    0...00

    La matriz tiene elementos nulos si la fila es menor que la columna , lij=0 cuando i

  • Matriz bandeada

    Todos los elementos no nulos de la matriz se agrupan alrededor de la diagonal principal.

    Ancho de banda = 2w-1 = Nmero de diagonales totales

    66265000

    634100

    547610

    016541

    001432

    000123

    A

    w jiaij ,0

    w Ancho de la semibanda= Nmero de diagonales superiores incluyendo la principal

    w

  • Una posibilidad de almacenamiento para una matriz bandeada es guardar los elementos de la semibanda en un arreglo rectangular

    66265000

    634100

    547610

    016541

    001432

    000123

    A

    632

    63

    547

    165

    143

    123

    A

  • En general

    A

    Nmero de elementos a almacenar = w n

    El nmero de ceros en la parte inferior es la suma =1 +2+3++ w-1

    w

    w-1

    2

    1

    ww

    2

    1

    ww

    n

  • OPERACIONES CON MATRICES Repaso de lgebra Matricial

  • Matriz Transpuesta

    TAA

    ija jia

    63

    52

    41

    654

    321

  • Propiedades de la matriz transpuesta

    mnT

    nm AA

    TTAA TTT ABAB )(

    TTTT ABCABC )(

    BAAT B es una matriz simtrica

  • Matrices ortogonales

    A y B son matrices ortogonales si

    IABBA TT

  • Operaciones con matrices

    Suma

    Resta

    Multiplicacin

    Particionamiento

    Determinante

    Inversin

  • Particionamiento de una matriz

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    32

    22

    12

    31

    21

    11

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    B

    2221

    1211

    AA

    AAA

    B21

    B11B

    A y B se pueden partir en un submatrices Aij y Bij donde los subndices representan su posicin en la matriz original

    D

    CAB

    A22B21A21B11

    A12B21A11B11

    Sub matriz orden A11 2x2 A21 1x2 A12 2x1 A22 1x1 B11 2 x2 B21 1x2 C 2x2 D 1x2

    Por ejemplo:

  • La traspuesta de una matriz con particiones se calcula:

    TT

    TTT

    T

    AA

    AA

    AA

    AAA

    2212

    2111

    2221

    1211

  • Determinante

    211222112221

    1211aaaa

    aa

    aaA

    Determina la unicidad de la solucin de un sistema lineal. Para una matriz de 2 x 2

    Para el clculo del determinante de cualquier orden existe una regla recursiva. Para reducir el costo computacional y mejorar la estabilidad de los clculos se utiliza el mtodo de Chio.

  • Mtodo de Chio

    nnnnnnn

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    ....

    ....

    ....

    ...

    ...

    ...

    Sea la matriz A

    111

    111

    33313231

    131112|11

    23212221

    13111211

    2

    11)(

    1

    nnnnn

    n

    n

    aa

    aa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aA

    Se puede demostrar que:

    Ejemplo: Calcular |A| por el mtodo de Chio

  • Matriz Inversa A-1

    La inversa de una matriz es nica

    No toda matriz tiene inversa

    Si la matriz es singular |A|=0, entonces no existe A-1

    AA-1=I

    Propiedades:

    1. (A-1)-1=A

    2. (AB)-1=B-1A-1

    3. Si A es simtrica entonces A-1 tambin es simtrica

    4. (cA)-1= A-1

    5. Si

    6. Si

    c

    1

    3300

    0220

    0011

    a

    a

    a

    A

    33/100

    022/10

    0011/11

    a

    a

    a

    A

    2221

    1211

    AA

    AAA

    11

    11

    2221

    1211

    AA

    AAA

  • Mtodos de inversin

    Inversin por adjunta

    Inversin por transformadas sucesivas

    Inversin por particiones