11-9-2015

Código: 20130284CProfesor: CUEVA PACHECO RONALD.

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OBJETIVOS

Analizar la estructura de una barra de sección variable.

Utilizar métodos matemáticos (modelamiento) para aproximar la forma de la

sección a una más sencilla de estudiar.

Calcular los esfuerzos en determinadas secciones de la barra de sección

variable.

Calcular la reacción en los apoyos.

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PRIMERA PRÁCTICA

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm. Calcule:

Los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar tres elementos

finitos.

Sabiendo que:

P =30000 N

T (espesor) = 150 mm

E = 3.0x105 N/mm2

γ = 8.0 gr-f/cm3 = 7,848x10-5 N/mm3

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SOLUCIÓN:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Consideramos tres elementos finitos de longitud de 250, 250 y 500 mm desde la

base hasta la punta.

El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio de cada

elemento finito:

Y las áreas se calculan de la siguiente relación:

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Luego:

Conectividad:

e

NODOS GDL

le

(mm)

Ae

(mm2)

(1)

Primer

nodo

(2)

Segundo

Nodo

1 2

1 1 2 Q1 Q2 250 157500

2 2 3 Q2 Q3 250 112500

3 3 4 Q3 Q4 500 45000

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES .- (GDL)

(VECTOR DESPLAZAMIENTO)

En el siguiente gráfico se muestran los vectores desplazamientos nodales globales

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El vector de desplazamiento será:

Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] ¿

¿¿¿

¿

Donde Q1=0 debido a que la placa esta empotrada y los demás desplazamientos

son incógnitas donde procederemos a calcularlos.

3. VECTOR CARGA

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Analizando las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

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4.-MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está

determinada por la siguiente ecuación:

Ki∫¿= (AEl )1 ¿

[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

+ ( AEl )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿

¿¿− ( AEl )

3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿

¿¿

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

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5.-ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i = K i∫ Q∫¿¿

Con nuestros valores calculados tenemos:

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:

Resolviendo obtenemos:

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6.-ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente

ecuación:

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

Y obtenemos lo siguiente:

4. RESULTADOS

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5. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOS

CONSTANTE: E, f, t

VECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F=

[AL1γ2

+R1

AL2γ2

+ AL1γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ2

+PA

AL3 γ2

] ; K=

[EA1

L1−EA1

L10 0

−EA1

L1EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 −EA3

L3EA3

L3]

β

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TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

[AL1 γ2

AL2γ2

+ AL1γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ2

+PA

AL3 γ2

]=

[−1 −EA1

L10 0

0EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 − EA3

L3EA3

L3][R1Q2Q3Q4

] CALCULO DE ESFUERZOS

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , e1 , e2 , e3

β

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9. DIGITACIÓN EN MATLAB

% Practica N01: Traccion Pura clcclear allformat longsyms R disp('**************************************************')disp('*****************TRACCION PURA********************')disp('***********Triangulo isoceles invertido***********')disp('******INGRESE LAS CARACTERÍSTICAS DEL CUERPO******')disp(' ')disp('NOTA: - Los datos deben ingresarse en milímetros')disp(' - Las longitudes deben senumerarse en forma ascendente')disp(' ')h=input('Ingrese el ancho del cuerpo: ')l=input('Ingrese la longitud del cuerpo: ')t=input('Ingrese el espesor del cuerpo: ') % Seccion constante en este casoE=input('Ingrese el modulo de elasticidad: ')m=input('Ingrese la densidad especifica: ') disp('*******INGRESE LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA*******')disp(' ')e=input('Ingrese la cantidad de elementos a utilizar: ')li=input('Ingrese las longitudes de los elementos: ')P=input('Ingrese la fuerza aplicada: ')p=input('Indicque la posición vertical de la fuerza: ') % SOLUCION DEL PROBLEMAdisp('************SOLUCION DEL PROBLEMA*************')disp(' ')disp('Por ser traccion pura, cada elemento presenta 2 grados de libertad')disp(' ')disp('********Tabla de Conectividad********') hi=[];for i=1:e; hj=(sum(li(1:i)))*h/l; hi=[hi hj]; end;

FIN

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disp(hi);lt=li(3:-1:1);f=[1:1:e]';g=f+ones(3,1);ht=hi(3:-1:1);hmi=(ht+[ht(2:3) 0])/2;Ai=hmi'*t; disp(' elemento nodos grad. libertad long area')[f f g f g lt' Ai] disp('****Matrices de Rigidez****') uno=[1 -1;-1 1];cero=[0 0;0 0];k=E*Ai./lt';k1=k(1:1)*[uno cero;cero cero];k2=k(2:2)*[0 0 0 0;0 1 -1 0;0 -1 1 0;0 0 0 0];k3=k(3:3)*[cero cero;cero uno]; Kij=k1+k2+k3 disp(' ')disp('*******Vector Carga*******') fi=m.*Ai.*lt'/2; Fi=[];for i=1:e+1; if i==1; q=fi(i:i); else if i==e+1; q=fi(i-1:i-1); else q=(fi(i:i)+fi(i-1:i-1)); end end Fi=[Fi q];endFij=Fi+[0 P 0 0];disp(Fij'); Fti=[Fi(1:1)-R Fi(2:4)];Fti' disp('**********RESULTADOS**********') disp('**Desplazamientos de los nodos (Qi)**') Ft=Fij';F2=Ft(2:end,1)Kij2=Kij(2:end,2:end);Q=inv(Kij2)*F2;Qi=[0 ;Q]

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disp('*****Reaccion R en el nodo Q1*****') R=Fij(1:1)-Kij(1,1:4)*Qi;disp(R) disp('*****Esfuerzos*****') Oi=[];[-1 1]*[Qi(1:2,1)]; for i=1:e; oi=([-1 1]*[Qi(i:i+1,1)]).*E./lt(i:i); Oi=[Oi oi];end disp(Oi)

Resultados obtenidos en Matlab:

*******************************************************************TRACCION PURA*******************************Triangulo isósceles invertido*****************INGRESE LAS CARACTERÍSTICAS DEL CUERPO****** NOTA: - Los datos deben ingresarse en milímetros - Las longitudes deben enumerarse en forma ascendente Ingrese el ancho del cuerpo: 1200

h =

1200

Ingrese la longitud del cuerpo: 1000

l =

1000

Ingrese el espesor del cuerpo: 150

t =

150

Ingrese el módulo de elasticidad: 300000

E =

300000

Ingrese la densidad especifica: 7.848*10^(-5)

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m =

7.847999999999999e-005

*******INGRESE LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA******* Ingrese la cantidad de elementos a utilizar: 3

e =

3

Ingrese las longitudes de los elementos: [250 250 500]

li =

250 250 500

Ingrese la fuerza aplicada: 30000

P =

30000

Indicque la posición vertical de la fuerza: 500

p =

500

************SOLUCION DEL PROBLEMA************* Por ser traccion pura, cada elemento presenta 2 grados de libertad ********Tabla de Conectividad******** 600 900 1200

elemento nodos grad. libertad long area

ans =

1 1 2 1 2 250 157500 2 2 3 2 3 250 112500 3 3 4 3 4 500 45000

****Matrices de Rigidez****

Kij =

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189000000 -189000000 0 0 -189000000 324000000 -135000000 0 0 -135000000 162000000 -27000000 0 0 -27000000 27000000 *******Vector Carga******* 1.0e+04 *

0.154507500000000 3.264870000000000 0.198652500000000 0.088290000000000

ans = 61803/40 - conj(R) 26487/10 79461/40 8829/10 **********RESULTADOS************Desplazamientos de los nodos (Qi)**

F2 =

1.0e+04 *

3.264870000000000 0.198652500000000 0.088290000000000

Qi =

1.0e-03 *

0 0.187926587301587 0.209181587301587 0.241881587301587

*****Reaccion R en el nodo Q1***** 3.706320000000000e+04

*****Esfuerzos***** 0.225511904761905 0.025506000000000 0.019620000000000

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10. CONCLUSIONES

Los esfuerzos calculados son tres positivos, lo que significa que tres son de

tracción, respecto al sistema de referencia elegido.

En el programa hemos usado la format long en vez de la format short ya que

así obtendremos una mayor exactitud.

El uso de MATLAB es muy importante, ya que podemos modelarlo de forma

más sencilla y así poder tener un resultado con mayor exactitud.

La fuerza neta total que se ejerce sobre el cuerpo, es en contra del sistema de

referencia (opuesta al eje x), y es igual al volumen total por su Peso específico

(γ=7,848x10-5 N/mm3) más la Fuerza aplicada (P=30000N), lo que da de

resultado un valor de .

Teóricamente este resultado sería el valor de la reacción en el nodo

(1).

La precisión en el resultado con respecto al uso del Matlab es muy alta, lo que

significa que para el cuerpo estudiado el número de elementos finitos (tres) es

suficiente gracias a su geometría simple.

Para otras figuras, la precisión será directamente proporcional al número de

elementos finitos en que se divida, pues entre más se escojan, menor error en

los cálculos.

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11. BIBLIOGRAFÍA

CHANDRUPATLA, T. “Introducción al Estudio de los Elementos Finitos en

Ingeniería”, Prentice Hall, 1999

ZIENKIEWCTZ, O. “The Finite Element Method”, New Cord, Mec Graw – Hill,

1977.

ZIENKIEWCTZ, O. and MORGAN K. “Finite Elements and Approximation”,

New Cork, Wiley, 1982.

LIVESLEY, R. “Finite Element: An Introduction for Engineers”, Cambridge,

Great Britain, Cambridge University Press, 1983.