FUNCIONES 1

1 FUNCIÓN: CONCEPTO Y ELEMENTOS BÁSICOS

1.1. Introducción

El concepto de función viene unido al estudio de los fenómenos sujetos a cambios.

En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento. Nicolás de Oresme, representó en unos ejes de coordenadas el cambio de la velocidad respecto del tiempo.

En el siglo XVI, Galileo estudió el movimiento desde un punto de vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo leyes entre magnitudes.

En el siglo XIX, Dirichlet dio la definición de función como relación entre dos variables.

El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que se pueden observar: fenómenos sociales relacionados con el crecimiento demográfico, fenómenos económicos relacionados con la inflación y capitalización de dinero, fenómenos físicos relacionados con la variación de la velocidad, el movimiento armónico, fenómenos biológicos relacionados con la evolución de las especies.

Cuando se inicia un estudio de carácter científico, social, económico,..., uno de los objetivos es obtener un modelo matemático que nos permita entender y expresar la relación entre las distintas magnitudes que intervienen.

En muchas ocasiones esta información se nos muestra en gráficas, como las temperaturas en el parte meteorológico o como la evolución económica de una empresa.

El estudio de las funciones y gráficas nos ayudará en la comprensión de la información que recibimos continuamente de nuestro entorno:

� Las funciones lineales están relacionadas con variables directamente proporcionales.

� Las funciones cuadráticas están relacionadas con problemas de optimización (altura y alcance máximo en un tiro parabólico).

� Las funciones racionales están relacionadas con variables inversamente proporcionales. Las gráficas de estas funciones son hipérbolas. Nos ayuda a interpretar situaciones relacionadas con la Sociología, Economía, Biología, …, situaciones en las cuales a pesar del crecimiento de una de las variables la otra tiende a mantenerse fija o constante. La hipérbola está asociada a la superficie hiperboloide presente en instrumentos musicales, campanas, chimeneas de refrigeración de centrales térmicas.

� Las funciones exponenciales y logarítmicas están relacionadas con la reproducción múltiples de bacterias, desintegración de sustancias radiactivas, crecimientos demográficos, inflación, …

� Las funciones trigonométricas están relacionadas con el movimiento ondulatorio, movimiento de mareas, las funciones periódicas, situaciones que se repiten periódicamente.

FUNCIONES 2

1.2. Concepto de función

Una función real de variable real es una relación de dependencia entre dos variables que asocia a cada valor de la variable del conjunto inicial, x, un único valor de la variable del conjunto final, y.

f: A → B

x → y = f(x)

A y B son un subconjunto del conjunto de los números reales, � .

Normalmente, para representar la variable independiente se utiliza la letra x y para representar la variable dependiente se emplea la letra y.

Para expresar simbólicamente una función, se utiliza la letra f o alguna otra (g, h,...): y = f(x), que se lee “y es función de x” o simplemente “es igual a f de x”, lo que significa que el valor que toma y depende del valor que le demos a x.

Los valores que va tomando la variable dependiente son las imágenes de los correspondientes valores de la variable independiente, que se pueden llamar originales.

Se llama dominio de definición de una función, f, al conjunto de valores de la variable independiente que tiene imagen. Lo representamos por Dom(f)

El recorrido de una función, o imagen, es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente, que son imagen de algún valor de la variable independiente.

Lo representamos por Im (f) o R(f).

� Ejemplos:

1. Sea la función área de un cuadrado, f(x) = x2, siendo x el lado del cuadrado,

Esta función no está definida para valores negativos.

2. La función y = x + 5 nos da el peso total de un depósito en función de los litros de agua que contiene.

La función no está definida para valores x < 0.

3. La función valor absoluto: y = | x |

Su dominio es el conjunto de los números reales

Su recorrido es R+, ya que el valor absoluto de cualquier número real es siempre positivo.

4. La función y = x3,

Su dominio es el conjunto de los números reales

Su recorrido es R, ya que cualquier número puede ser el cubo de otro nº real.

FUNCIONES 3

2 DIVERSOS LENGUAJES PARA EXPRESAR UNA FUNCIÓN

La relación entre las variables independiente y dependiente puede establecerse mediante una gráfica, una tabla numérica, una expresión algebraica, un texto, etc...

En todos estos lenguajes se maneja la misma idea: la relación de dependencia entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente se le asigne un único valor de la variable dependiente

2.1. Tabla de una función de valores

Dada una relación funcional podemos construir una tabla que refleje la relación entre algunos de los valores que toman las variables. Esto nos permite clarificar la relación entre las variables, sacar conclusiones, obtener representaciones gráficas, etc.

� Ejemplo:

El precio de un litro de leche es de 0,56 €. Construimos una tabla de valores que refleje lo que debemos pagar en función del número de litros.

Nº litros 1 2 3 4 5 6

Precio (€) 0,56 1,12 1,68 2,24 2,8 3,36

2.2. Gráfica de una función

En muchas ocasiones se observa mejor la dependencia entre dos variables si tenemos los valores de éstas representados en unos ejes de coordenadas.

Para ello, consideramos unos ejes de coordenadas cartesianas:

En el eje de abscisas (eje horizontal) representamos el conjunto de valores de la variable x.

En el eje de ordenadas (eje vertical) representamos el conjunto de valores de la variable y.

Para cada par de valores de la tabla representamos el punto de coordenadas (x,y)

� Ejemplo:

Las tarifas de una empresa de mensajería dependen de la distancia al lugar de envío: si ésta es inferior a 100 Km, el precio es de 0,06 €/Km, mientras que si es de 100 km o más, el precio asciende a 0,12 €/Km.

En la siguiente tabla tienes algunos de los valores de esta función:

Kilómetros 0 25 50 75 99 100 120 140

Precio 0 1,5 3 4,5 5,94 12 14,4 16,8

Precio(€)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180Distancia(km)

En cada uno de los tramos podemos unir los puntos, pues tiene sentido considerar las tarifas correspondientes.

En x = 100 Km se produce un salto en los valores de la variable dependiente

FUNCIONES 4

2.3. Descripción verbal

A partir de la lectura detallada de un texto en el que se relacionan dos magnitudes podemos obtener una gráfica que permita visualizar la información, representando cada magnitud en un eje.

� Ejemplo:

Si sacamos del congelador hielo muy frío (por ejemplo, a –10ºC), su temperatura va subiendo hasta llegar a la temperatura de 0º C;.

Esta temperatura se mantiene durante todo el tiempo que tarda el hielo en derretirse.

Cuando ya no queda hielo, sigue aumentando hasta igualarse con la temperatura ambiente ( 12ºC, por ejemplo).

Describimos, mediante una gráfica, la relación:

Tiempo - temperatura del hielo.

Temperatura(ºC)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Tiempo(h)

2.4. Expresión analítica de una función

La relación existente entre las dos variables se puede definir a través de una expresión algebraica, es decir, expresarse mediante una fórmula.

Esta expresión analítica presenta una serie de ventajas:

� La posibilidad de recurrir a modelos conocidos.

� Aplicarle una serie de métodos específicos para analizar las funciones.

� Ejemplo:

Si colgamos un muelle por un extremo y aplicamos un peso en el otro, se produce un alargamiento que se refleja en la siguiente tabla:

Peso (g) 100 200 300 400

Alargamiento (cm) 5 10 15 20

Asignando a la variable peso la letra x y a la variable alargamiento la letra y, podemos definir la siguiente igualdad algebraica:

y = 0,05x.

2.5. Gráficas que no son funciones

Una gráfica de puntos no siempre representa una función.

Tampoco el hecho de que una gráfica sea una línea continua implica que sea necesariamente la representación de una función.

Otras gráficas que no son funciones son:

y y y y x x x x

FUNCIONES 5

3 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

3.1. Cálculo de dominio de funciones sencillas

a) FUNCIONES CONSTANTES ( f(x) = k, siendo k un nº real )

Toda función constante está definida para cualquier valor real. ⇒ Dom (f) = �

La variable dependiente tomo siempre el mismo valor k ⇒ Rec (f) = k

� Ejemplo:

f(x) = 3 ⇒ Dom(f )

Rec(f ) 3

= =

�

b) FUNCIONES POLINÓMICAS

Una función polinómica es aquella cuya expresión es y = p(x), donde p(x) es un polinomio.

Para cualquier valor real existe su imagen ⇒ Dom (f) = �

� Ejemplo:

���� f (x) = x2 + 3 ⇒ Rec(f) = [3, +∞ )

Para cualquier valor real x2 ≥ 0, al sumar 3 quedaría x2 + 3 ≥ 0 + 3 ⇒ x2 + 3 ≥ 3

c) FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es aquella cuya expresión es una fracción algebraica: p(x)

yq(x)

= , donde p(x)y q(x)

son polinomios con q(x)≠ 0.

El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan el denominador.

� Ejemplos

� 2

1f(x)

x 9=

−

El denominador se anula para x = 3 y x = -3. Por tanto: Dom (f) = � - {± 3}

� 2

1f(x)

x 1=

+

El denominador no se anula para ningún valor de x. Por tanto Dom(f) = �

d) FUNCIONES IRRACIONALES

Una función irracional es aquella cuya expresión matemática presenta un radical: n xpy )(==== , donde p(x) es una función polinómica o racional.

Si el índice de la raíz es par hay que imponer que el radicando sea positivo o nulo: p(x)≥ 0.

NOTA IMPORTANTE: Recuerda que una expresión radical de índice par tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Para considerar este tipo de expresiones como una función tomaremos sólo la solución positiva de la raíz (así evitamos que para un valor de la variable independiente le corresponda dos valores de la variable dependiente)

FUNCIONES 6

� Ejemplos:

� 3)( ++++==== xxf

El dominio de esta función será el conjunto de valores de x que cumplan x + 3≥ 0.

x + 3 ≥ 0 ⇒ x≥ -3 ⇒ Dom (f)= [-3, +∞)

� 3 x 4g(x) +=

Al ser el índice impar la raíz está definida para cualquier valor. Luego Dom (g) = �

� ( ) 2h x x 2x 3= − −

Su dominio serán los valores de x que cumplan que x2 – 2x – 3 ≥ 0.

x2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)

-∞ -1 3 +∞ x +1 - + +

⇒ dom (h) = (-∞, -1] U [3, +∞) x - 3 - - + (x + 1)(x - 3) + - +

� ( ) 31 x

g xx 4

−=+

Al ser el índice impar la raíz está definida para cualquier valor. Luego sólo tendremos que imponer que el denominador de la fracción sea distinto de 0: x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4

Luego Dom (g) = � – {-4}.

e) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

El dominio de las funciones del tipo f(x) = sen x y g(x) = cos x es � .

El dominio de la función tangente, h(x) = tg x es:

/x x k siendo k2π ∈ ≠ + π ∈

� �

f) FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial es aquella en la que en su expresión analítica aparece la variable en el exponente de una potencia, y = ax, donde la base a es un número positivo y distinto de 1.

Su dominio es � .

Su recorrido es (o, +∞ ) ya que toda potencia de base positiva siempre es positiva.

g) FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Una función logarítmica es aquella cuya expresión matemática presenta la variable en un logaritmo:

ay lg (p(x))= , donde p(x) es una función polinómica, racional,..

Su dominio es el conjunto de valores de x que cumplen que p(x) > 0

Su recorrido es � .

� Ejemplo:

� f (x) lg (x 3)= +

Su dominio serán los valores de x que cumplan que x + 3 > 0 ⇒ Dom (f) = (-3, +∞ )

FUNCIONES 7

4 MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN

Para estudiar las variaciones de una función gráficamente, hemos de mirar su gráfica de izquierda a derecha, es decir, hemos de ver cómo varía y cuando x aumenta.

4.1. Funciones estrictamente crecientes.

� Una función es estrictamente creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y.

Es decir:

Si b > a entonces se verifica que f(b) > f(a)

Gráficamente, esto significa que al desplazarnos hacia la derecha en el eje horizontal, el desplazamiento correspondiente en el eje vertical es hacia arriba.

4.2. Funciones estrictamente decrecientes.

� Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente, x, disminuye la variable dependiente, y. Es decir:

Es decir:

Si b > a entonces se verifica que f(b) < f(a)

Gráficamente, esto significa que al desplazarnos hacia la derecha en el eje horizontal, el desplazamiento correspondiente en el eje vertical es hacia abajo.

4.3. Funciones constantes.

� Una función es constante cuando al aumentar al variable independiente, x, la variable dependiente no varía, se mantiene constante.

Es decir:

Si b > a entonces se verifica que f(b) = f(a)

Gráficamente, esto significa que al desplazarnos hacia la derecha en el eje horizontal, no se produce desplazamiento vertical.

� Ejemplo:

Creciente: (- ∞, -1) ∪ (0, 2)

Decreciente: (-1, 0) ∪ (2,4]

FUNCIONES 8

5 EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

5.1. Máximos y mínimos relativos

� Una función tiene un máximo relativo en un punto x = a cuando la imagen de ese punto es mayor que la ordenada de los puntos que lo rodean.

A la izquierda del máximo relativo, la función es creciente, y a su derecha, decreciente.

� Una función tiene un mínimo relativo en un puntos = b cuando su ordenada es menor que la ordenada de los puntos que lo rodean.

A la izquierda del mínimo, la función es decreciente, y a su derecha, creciente.

� Ejemplo:

� Los máximos y mínimos reciben el nombre de extremos de la función.

Hay funciones que tienen más de un extremo relativo.

También existen funciones que no presentan ningún máximo ni mínimo. Las funciones que son estrictamente crecientes o decrecientes en todo su dominio no presentan extremos.

� Ejemplos:

Máximo en (-1,1) y (1,1). Mínimo: (0,0) Máximo: (1,4). Mínimo: (3,0)

FUNCIONES 9

6 FUNCIONES ACOTADAS

6.1. Función acotada superiormente

� Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M tal que

x Dom f∀ ∈ se verifica que f(x) ≤ M.

El número M se llama cota superior de la función f.

Geométricamente, significa que ninguna imagen es superior al

valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por

debajo de la recta y = M.

NOTA: Si M es una cota superior de la función f, cualquier otro número real M’ mayor que M, también es cota superior de f. En consecuencia, si una función está acotada superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores.

6.2. Función acotada inferiormente

� Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real m tal que

x Dom f∀ ∈ se verifica que f(x) ≥ m

El número m se llama cota inferior de la función f.

Geométricamente, significa que ninguna imagen es inferior al valor m y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = m.

NOTA: Si m es una cota inferior de la función f, cualquier otro número real m’ menor que m, también es cota inferior de f. En consecuencia, si una función está acotada inferiormente siempre tendrá un conjunto de cotas inferiores.

6.3. Función acotada

� Una función f está acotada si lo está superior e inferiormente.

Por estar acotada superiormente, existirá un número real M que es mayor o igual que todas las imágenes de la función y por estar acotada inferiormente, existirá otro número real m que es menor o igual que todas las imágenes de la función. En consecuencia,

m,M / m f (x) M x Dom(f )∃ ≤ ≤ ∀ ∈

lo cual significa que todas las imágenes de nuestra función estarían comprendidas entre m y M y, por tanto, geométricamente, la gráfica de la función f estaría en la banda comprendida entre las rectas y = m e y = M.

FUNCIONES 10

� Ejemplo:

Las funciones seno y coseno son funciones acotadas ya que para cualquier valor x se verifica:

-1 ≤ sen x ≤ 1 -1 ≤ cos x ≤ 1

6.4. Extremos absolutos

� Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la menor de las cotas superiores.

Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de máximo absoluto.

Por tanto, se dice que una función f tiene un máximo absoluto en un punto a Dom(f )∈ si se verifica que:

f (x) f (a) x Dom(f ).≤ ∀ ∈

� Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor de las cotas inferiores.

Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo absoluto.

Por tanto, se dice que una función f tiene un mínimo absoluto en un punto b Dom(f )∈ si se verifica que:

f (x) f (b) x Dom(f ).≥ ∀ ∈

� Ejemplo:

La función f(x) = 2

2

xx 2+

está acotada por 0 y 1.

Realizando la división: 2

2 2

x 21

x 2 x 2= −

+ +

Como 2

20 1

x 2< ≤

+ →

2

21 0

x 2≤ − <

+ →

2

20 1 1

x 2≤ − <

+ →

2

2

x0 1

x 2≤ <

+

La cota inferior es un mínimo absoluto ya que el punto (0,0) es un punto de la gráfica.

FUNCIONES 11

7 FUNCIONES PERIÓDICAS

La periodicidad es algo que aparece en muchos aspectos de nuestra vida: prensa, horario de trenes, fases

lunares, vibraciones del sonido, etc.

La siguiente gráfica representa un electrocardiograma que representa el bombeo realizado por el corazón:

Observa cómo la gráfica se repite para intervalos de longitud determinada. El intervalo más corto en el que la gráfica es diferente, se llama período del fenómeno que se está analizando.

7.1. Definición de función periódica

� Una función es periódica cuando su gráfica se va repitiendo a intervalos de igual longitud. Es decir:

f es periódica si existe un número real, no nulo, T, tal que para todo ( )∈x Dom f , ( )+ ∈x T Dom f y

se verifica que ( ) ( )f x + T = f x .

A dicho número T se le denomina período.

Una función periódica queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un período.

� Ejemplos:

1. La función g(x) = sen x es una función periódica de periodo 2 π .

FUNCIONES 12

2. La función g(x) = cos x es una función periódica de periodo 2 π .

3. La función h(x) = tg x es una función periódica de periodo π .

FUNCIONES 13

8 FUNCIONES SIMÉTRICAS

8.1. Simétrica respecto del eje de ordenadas.

Consideremos la función f(x) = -4x4 + 4x2.

Si representamos esta función veremos una peculiar característica:

Los valores de x opuestos tienen la misma imagen, es decir:

f(-x) = f(x)

Si x = 1 → f(1) = 3 Si x = -1 → f(-1) = 3

Gráficamente la función es simétrica respecto al eje de ordenadas (OY)

� Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si se verifica:

f(-x) = f(x) x Dom f∀ ∈

Si ( , ( ))P x f x es un punto de la gráfica, su simétrico

'( ', ( '))P x f x pertenece también a la misma gráfica:

Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y 'P son simétricos respecto del origen y sus coordenadas verifican que:

'

( ') ( )

= − =

x x

f x f x

Es decir, para valores opuestos de x, le corresponden la misma imagen

A estas funciones se les denomina funciones pares.

� Ejemplos:

� La función cuadrática 2( )f x x= ya que 2 2( ) ( ) ( )f x x x f x− = − = = .

� La función valor absoluto ( ) | |f x x= ya que ( ) | | | | ( )f x x x f x− = − = =

Q(2,0)

P´(-1,3) P(1,3)

Q´(-2,0)

R(1´5,4) R´(-1´5,4)

FUNCIONES 14

8.2. Simétrica respecto del origen de coordenadas. Consideremos la función f(x) = x3 – 4x

Si representamos la siguiente función, observamos que las imágenes de cualesquiera dos valores opuestos, x y –x, del dominio son también opuestos. Es decir:

f(-x) = -f(x)

Si x = 1 → f(1) = -2 Si x = -1 → f(-1) = 2

Gráficamente la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.

� Una función f es simétrica respecto del origen de coordenadas si se verifica:

f(-x) = – f(x) x Dom f∀ ∈

Si ( , ( ))P x f x es un punto de la gráfica, su simétrico

'( ', ( '))P x f x pertenece también a la misma gráfica:

Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y 'P son simétricos respecto del origen y sus coordenadas verifican que:

'

( ') ( )

x x

f x f x

= − = −

Es decir, para valores opuestos de x, le corresponden imágenes opuestas

A estas funciones se les denomina funciones impares.

� Ejemplos:

� La función 1

( )f xx

= ya que 1 1

( ) ( )f x f xx x

− = = − = −−

� La función 3( )f x x= ya que 3 3( ) ( ) ( )f x x x f x− = − = − = −

Q(2,0)

P´(-1,2)

P(1,-2)

Q´(-2,0)

FUNCIONES 15

9 PUNTO DE CORTE CON LOS EJES

La siguiente gráfica representa la temperatura de un día de invierno a lo largo de un día:

Hay puntos donde la gráfica corta a los ejes.

o La gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0,2): a las doce de la noche la temperatura es 2ºC.

o Los puntos de corte con el eje de abscisa son (2,0) y (6,0): se llega a los 0ºC a las dos y a las seis de la madrugada.

Se puede calcular analíticamente estos puntos, sin necesidad de representar gráficamente la función:

� Corte con el eje OX: Para calcular dicho punto de corte imponemos que y = 0

� Corte con el eje OY: Para calcular dicho punto de corte imponemos que x = 0

� Ejemplo

Calcular los puntos de intersección con los ejes de la función y = x(x + 1)(x – 3)

� Para calcular el punto de corte con el eje de ordenadas imponemos que x = 0:

x = 0 ⇒ y = 0· (0 + 1) · (0 – 3) = 0

� Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisa imponemos que y = 0:

0 = x (x + 1) (x – 3)

Resolviendo la ecuación obtenemos los valores x = 0, x = -1, x = 3.

Los puntos de corte con los ejes son:

o Con el eje Y: (0, 0)

o Con el eje X: (0, 0), ( -1, 0), ( 3, 0)

FUNCIONES 16

10 TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

Si se conoce la gráfica de la función y = f(x) se pueden obtener, a partir de ella, las gráficas de las siguientes funciones:

o f(x) ± k → traslación vertical de y = f(x)

o f(x ± k) → traslación horizontal de y = f(x)

o f(k · x) → contracción o dilatación de y = f(x)

o f(-x) ó –f(x) → reflexiones respecto a uno de los ejes de y = f(x)

10.1. Representación de y = f(x) ±±±± k a partir de y = f(x)

y = f(x) + k y = f(x) – k

Traslación vertical k unidades hacia arriba Traslación vertical k unidades hacia abajo

10.2. Representación de y = f(x ±±±± k) a partir de y = f(x)

y = f(x + k) y = f(x – k)

Traslación horizontal k unidades hacia la izquierda Traslación horizontal k unidades hacia la derecha

FUNCIONES 17

10.3. Representación de y = –f(x) o y =f(–x) a par tir de y = f(x)

y = –f(x) y = f(–x)

Reflexión: Simetría respecto del eje OX Reflexión: Simetría respecto del eje OY

10.4. Representación de y = k · f(x) a partir de y = f(x)

y = k · f(x) , 0 < k < 1 y = k · f(k), k > 1

Expansión: Las imágenes se multiplican por k Contracción: Las imágenes se dividen por k

y = k · f(x) , –1 < k < 0 y = k · f(k), k < – 1

Expansión y reflexión respecto eje OX Contracción y reflexión respecto eje OX

FUNCIONES 18

11 OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g cuyos dominios son Dom f y Dom g, respectivamente:

� La suma de funciones es otra función, f + g, tal que para cualquier valor, x, que pertenece a los dominios de ambas funciones, se cumple:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

� El producto de funciones es otra función, f · g, tal que para cualquier valor, x, que pertenece a los dominios de ambas funciones, se cumple:

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

� El cociente de funciones es otra función, f

g, tal que para cualquier valor, x, que pertenece a los dominios

de ambas funciones, se cumple: f f (x)

(x)g g(x) =

, con g(x) 0≠

� El dominio de las funciones sumas y producto es el conjunto de valores de x que pertenecen a los dominios de f y g:

Dom (f + g) = Dom(f) ∩ Dom (g) Dom (f · g) = Dom(f) ∩ Dom (g)

� El dominio de la función cociente es el conjunto de valores de x que pertenecen a los dominios de f y g, y además no anulan g(x):

Domf

g

= Dom(f) ∩ Dom (g), con g(x) 0≠

� Ejemplos:

1. Sean las funciones f(x) = 2x

y g(x) = x2 , determina las siguientes funciones con sus respectivos

dominios:

a) (f + g) b) f · g c) fg

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x

+ x2 = 3x 2x+

→ Dom (f + g) = { }0−�

b) (f · g)(x) = f(x) · g(x) = 2x

· x2 = 2x → Dom (f · g) = { }0−�

c) ( )

( ) :( )

23

f f x 2 2x x

g g x x x

= = =

→ Dom

fg

= { }0−�

FUNCIONES 19

12 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Una función f (x) transforma números "x" en nuevos números que designamos por "f(x)".

A veces sobre un elemento x actúa primero una función "f" y, después, sobre su imagen vuelve a actuar otra función "g".

� Ejemplo

Si f(x) = x2 y g(x) = x +1, veamos que sucede con el número 2 al actuar primero f y luego g sobre la imagen obtenida.

( ) ( )2f x x g x x 122 2 4 4 1 5= = +→ = → + =

Esta nueva función que se obtiene haciendo actuar primero f y luego g se llama "f compuesta con g" y se escribe: "gof".

Lo que hemos hecho con el número 2 se suele escribir de la siguiente forma: (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 5.

Dadas dos funciones f y g , Im f ⊂ Dom(g), se llama función compuesta de la función f con la función g ( f compuesta con g) a la función ( )( )g f xo que cumple:

( )( )g f xo = g(f(x))

Las funciones se van aplicando de derecha a izquierda. Para nombrarla se comienza por la función de la derecha porque es la primera que actúa sobre la variable x.

� Ejemplo

1. Sean las funciones:

f(x) = x g(x) = 1x

h(x) = x + 2

Vamos a ver algunas funciones que podemos obtener componiendo estas funciones:

a) x ( )f x x=→ x

( )1

g xx

=→

1

x → ( )( )g f xo = g(f(x)) = ( ) 1

g xx

=

b) ( ) ( )

1g x f x xx 1 1

xx x

= =→ → → ( )( )f g xo = f(g(x)) = 1 1 1

fx x x

= =

c) ( )( ) f x xh x x 2x x 2 x 2== +→ + → + → ( )( )f h xo = f(h(x)) = f(x + 2) = x 2+

d) ( ) ( )f x x h x x 2x x 2 x= = +→ → + → ( )( )h f xo = h(f(x)) = ( )f x = 2 x+

[ ]f gx f (x) g f (x)→ →

( )og f

FUNCIONES 20

2. Sean las funciones: f(x) = 2x

y g(x) = x2. Determinar:

a) ( )f go b) ( )g fo c) ( )g go d) ( )f fo

a) ( )f go (x) = f(g(x) = f(x2) = 2

2x

b) ( )g fo (x) = g(f(x)) = 2

2

2 2 4g

x x x = =

c) ( )g go (x) = g(g(x)) = g(x2) = (x2)2 = x4

d) ( )f fo (x) = f(f(x)) = 2 2

f x2x

x

= =

12.1. Propiedades La composición de funciones es asociativa ( ) ( )f g h f g h=o o o o , pero no cumple la propiedad conmutativa, en general, f g g f≠o o .

� Ejemplo

Sean las funciones:

f(x) =x + 1 g(x) =x2 h(x) = 2x ( )g ho (x) = g(h(x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2 → ( ) ( )f g h xo o = f (4x2) = 4x2 + 1

( )f go (x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1 → ( )f g ho o (x) = ( )f go h((x)) = ( )f go (2x) = (2x)2 + 1 = 4x2 + 1

Verifica la propiedad asociativa.

En el apartado anterior vimos ejemplos de no conmutatividad de la composición de funciones.

( )f go (x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1

( )g ho (x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2

Por tanto, no se cumple la propiedad conmutativa.

FUNCIONES 21

13 FUNCIONES INVERSAS

Si consideramos que una función f: A → B es una aplicación que transforma los puntos de un conjunto A en puntos de otro conjunto B, será fácil imaginar una aplicación inversa que los devuelva a su forma original. Consideremos la función f(x) = 3x – 1 Construyamos una tabla de valores:

Buscamos una función g que transforme las imágenes f(x) en x, es decir, g(y) = x:

g(-10) = -3 g(-7) = -2 g(-1) = 0 g(2) = 1 g(8) = 3

Por lo tanto para que exista esta función g hay que imponer que a un punto “x” de A sólo se le asigne un único punto, “y”, de B y viceversa, a un punto de B sólo se le asigne un único punto de A. (f sea inyectiva) Dos funciones f: A → B y g: B → A son funciones inversas una de la otra si se verifica:

Ambas funciones verifican f(x) = y , g(y) = x ↔

o g f (x)o = x x Domf∀ ∈

o f g(y)o = y y Dom g∀ ∈

� Ejemplo

Veamos que las funciones f(x) = 3x – 1 y g(x) = x 1

3

+ son inversas.

Calculamos:

g f (x)o = g(f(x)) = g(3x – 1) = 3x 1 1

x3

− + =

f g(x)o = f(g(x)) = x 1

f 33

+ =

x 1·

3

+1 x− =

Nos fijamos que si P (a,b) es un punto de la gráfica de f, entonces Q(b,a) es un punto de la gráfica de su inversa, g.

Por tanto, una tabla de valores de la función f, nos sirve como tabla de la función g, simplemente cambiando las variables.

Es interesante ver la relación existente entre los gráficos de un par f, g de funciones inversas. Si uno acepta que la variable independiente de la función g se mueva por el eje de ordenadas y la dependiente por el de abscisas, el mismo gráfico de f sirve de gráfico a g.

Gráficamente, ambas funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante (y = x)

FUNCIONES 22

13.1. ¿Cómo calcular la función inversa de una func ión?

La función inversa de una función f es otra función, denotada por 1f − , que cumple:

1f (y) x− = ⇔ f(x) = y x Domf∀ ∈

Una función y su inversa verifica que 1 1f f f f i− −= =o o , siendo i la función identidad ( i(x) = x )

Para determinar la función inversa de una dada, realizamos los siguientes pasos:

1º. Expresamos la función en la forma f(x) = y e intercambiamos x por y en ambos miembros.

2º. Despejamos y en la ecuación resultante.

� Ejemplo

Determinar la función inversa de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x – 3 b) g(x) = x 1

x

+ c) h(x) = 2x

a) f(x) = 2x – 3 → y = 2x – 3

Despejamos x en la expresión anterior:

y = 2x – 3 → y + 3 = 2x → x = y 3

2

+

Por tanto, 1 x 3f (x)

2− +=

b) g(x) = x 1

x

+ → y =

x 1

x

+

Despejamos x en la expresión anterior:

y = x 1

x

+ → yx = x + 1 → yx – x = 1 → x (y – 1) = 1

x = 1

y 1−

Por tanto, 1 1g (x)

x 1− =

−

c) h(x) = 2x → y = 2x

Despejamos x en la expresión anterior:

y = 2x → log2 y = x

Por tanto, h-1 (x) = log2 x