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Manual de Usuario D.R.V.M 1. El Metodo

1. EL METODO

D.R.V.M realiza las iteraciones con el Método numérico de Hardy Cross el cual describiremos brevemente a continuación. 1.1 HARDY CROSS Como primera medida cabe aclarar que para que una red pueda ser calculada mediante este método, se debe elegir una base de malla de la red. El método toma como pivote las leyes de Kirchhoff. Para efectuar la elección de una base de malla, debe tenerse siempre presente las ramas a caudal impuesto. Si un régimen de caudales satisface la primera ley de Kirchhoff, se obtendrá un nuevo régimen, en cada nudo de esa malla se suma +q – q, por lo tanto para calcular el régimen real, es inicialmente un régimen de caudales que satisfacen la primera ley de Kirchhoff, se suma luego algebraicamente a los caudales de todas las ramas de una misma malla de la base un caudal q, denominado “corrección de malla”, de forma que la suma de las perdidas de carga a lo largo de esta malla sea nula. Se hace lo mismo sucesivamente en las otra mallas de la base. Pero cada vez que se hace nula la perdida de carga a lo largo de una malla se modifica la perdida de carga a lo largo de todas las mallas de la base que tienen una rama en común con esta malla. Después de haber hecho una corrección de caudal en todas las mallas de la base se llega a un régimen de caudales satisfactorio ya que de una manera aproximada tiende a cumplir la segunda ley de Kirchhoff, sin embargo el régimen obtenido no es satisfactorio y debe repartirse nuevamente el proceso o ciclo iterativo hasta obtener un grado de aproximación aceptable. En la solución de una red de ventilación por el método de Hardy Cross se pueden presentar los siguientes casos: No hay rama a caudal impuesto, para este caso, las incógnitas serán p Caudales + p perdidas de carga = 2p incógnitas Él numero de ecuaciones independientes estará dado por. Ley de los nudo: n- 1 ecuaciones independientes Ley de las mallas : m = p – n +1 ecuaciones independientes Leyes de las ramas : p ecuaciones independientes

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Total de ecuaciones independientes (suma) 2p La forma mas simple de resolver el problema es (descripción operativas) : Es importante tener presente la siguientes recomendaciones: Cada rama se orienta en un sentido arbitrario antes de iniciar el calculo. Al finalizar el calculo, el signo del caudal de cada rama dirá si la realidad física corresponde o no al sentido supuestamente arbitrario elegido inicialmente. Para la aplicación de las mallas, también se recorren es sentido arbitrario. El caudal de cada una de las mallas de la base es igual l caudal de la rama directriz, si la orientación de esta mallas coincide en el sentido de recorrido de la malla. El calculo de la red se comienza entonces, dando un sistema inicial de valores de caudales de malla, tales que los caudales de rama cumplan la primera ley de Kirchhoff, en síntesis se escogen caudales nulos, en otras palabras se asignan valores nulos a los caudales de malla, excepto para aquellas mallas que tienen un caudal impuesto. En el primer ciclo de aproximaciones se calcula para cada una de las mallas de la base una corrección del caudal de malla , comprobando que la ley de mallas se satisface de manera aproximada en cada una de ellas. Luego de repetir la iteración varias veces el proceso se vuelve convergente, los valores de las incógnitas no se modifican mas de un ciclo a otro sino una cantidad despreciable, en ese momento el calculo se da por finalizado. 1.2 Descripción Matemática: Antes e la primera iteración se cumple que Qi = Σ Eij qi (1.0) y esto es el i-esimo caudal que llega o parte del nudo en cuestión Qi = caudal de la rama i que llega o parte del nudo en cuestión. Finalizada la primera iteración se comprueba que todas o algunas mallas lo siguiente: Σ Eij * ∆ Hi ≠ 0 ( 1.1) i = 1,2,... numero de rama que conforman cada malla j = j-esima malla ( j = 1,2,...) Eij = factor que da el signo al caudal de la malla. ∆Hi = perdida de carga en la malla.

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La expresión (1.0) es equivalente a: Σ EijRi⏐Qi⏐Qi ≠ 0 (1.2) entonces el caudal de la j–esima malla ( qj, j = 1,2,...,m) se reemplaza por qj + Xj, Xj la corrección del caudal de malla para la j–esima malla. Ahora el valor de Qi de la expresión (1.0) tendrá entonces el valor de Qi + Eij Xj. el valor de Xj debe tomarse de tal manera que la ley de las mallas se satisfaga, ósea: ΣEij Ri⏐(Qi + Eij Xj) ⏐(Qi + Eij Xj) = 0 (1.3) Xj a esta variable de le denomina “paso de iteración”. Mientras más pequeño es el paso de iteración mejor son los resultados obtenidos. Un valor ejemplo puede ser Xj = 0.001. La siguiente expresión permite calcular el paso d e iteración: Xj = - Σ Eij Ri⏐Qi⏐Qi/2Σ Ri Qi i = 1,2,... numero de ramas que conforman la i-esima malla. UN EJEMPLO El siguiente ejemplo es tomado de la revista AGEMPET Vol. 12 . Castro, 1980. Pagina 34

Esquema de la r La Relación de resi

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ed de una mina, pa

stencias para la red

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ra solucionarla por el mé

se muestra a continuación

4

4

5

todo de Hardy

:

V
1
Cross.


Rama Resistencia EA 5.0 BS 5.0 AB 2.5 AC 30.0 CB 10.0 AD 3.0 DB 7.0 CD 20.0

Nota las respectivas resistencia están dadas en murges. La red del ejemplo consiste de cuatro nudos y siete ramas, entonces por la expresión que se conoce como “orden de la red “ que dará una base de malla, con m mallas independientes esta dada por. .m = p – (n -1) = 7 –4 + 1 = 4 lo que quiere decir que es necesario encontrar cuatro mallas independientes. La tabla 3 relaciona las mallas encontradas manualmente por tanteo tabla 1

Tabla 1

No malla Nombre Rama directriz

1 ACBA AC 2 CDABC CD 3 BVAV BVA 4 DBAD DB

Las mallas serán recorridas por el sentido indicado por sus nombres. Así por ejemplo, la malla ACBA se recorrerá de A a C, en el mismo sentido de la rama orientada AC, luego de C a B, en el mismo sentido de la rama orientada CB, posteriormente de B a A, en el sentido contrario de la rama orientada AB.

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Primera Iteración Malla ACBA Σ Ei1RiQi2

AC 30*152 6750 CB 10*102 1000 BA -2.5*602 -9000 Total -1250 2Σ Ri ⏐Qi⏐ AC 30*15 450 CB 10*10 100 BA 2.5*60 150 Total 700*2 = 1400 Luego la corrección de la malla ACBA es X1 = (-1250)/1400 = 0.89 Malla CDABC Σ Ei2RiQi2

CD 20*5.02 500 DA -3*452 -6075 AB 2.5*602 9000 BC -10*102 -1000 Total 2425

2Σ Ri ⏐Qi⏐

CD 20*5. 100 DA 3*45 135 AB 2.5*60 150 BC 10*10 100 Total 485*2 = 970

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Luego la corrección de la malla CDABC es X2 = (-2425)/970 = -2.49 Malla BVAB En pagina 58 Nicolás Ossa 1984, esta la curva característica del ventilador. La rama BVA es una rama activa. Por lo tanto la depresión entre sus extremos esta dada por la expresión ∆HBVA = 10/1000*Q2 - H Según 120m3/s que es el caudal de la rama por lo tanto el valor de 1000H corresponde a 101000, correspondiente a una depresión de 101mmCA, funcionando el ventilador a 220RPM Por ser la rama BVA una rama activa RQ = HBVA/Q = RQ2/Q – H/Q Si la malla hace parte de una malla recorrida en el mismo sentido que ella y se resta en sentido contrario , se tendrá entonces : BVA: 120 + X3 = 120 – 11.84 = 108.16 AB : 60 – X1 + X2 + X3 + X4 = 60 –0.89 –2.49 – 11.84 + 11.48 = 56.26 AC : 15 + X1 = 15 + 0.89 = 15.89 CB : 10 + X1 – X2 = 10 + 0.89 + 2.49 = 13.38 AD : 45 – X2 + X4 = 45 –2.49 –11.84 = 36.01 DB : 50 + X4 = 50 –11.48 = 38.52 CD : 5 + X2 = 5 –2.49 = 2.51 De esta manera se llega a una nueva manera de disponer la red.

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Terminada esta primera iteración se verifica el cumplimiento de la ley de los nudos y se pasa a la segunda iteración. La siguiente tabla muestra los resultados para las siguientes seis iteraciones. Rama 2ª iteración 3ª iteración 4ª iteración 5ª iteración 6ª iteración 7ª iteración BVA 103.62 101.66 100.81 100.29 100.06 99.89 AB 56.13 54.64 56.06 55.63 55.04 55.59 AC 14.91 14.19 13.08 12.79 12.58 12.15 CB 15.12 17.47 17.34 17.89 18.62 18.43 AD 32.58 32.83 31.67 31.87 32.44 32.15 DB 32.37 29.55 27.41 26.77 26.40 25.87 CD -0.21* 3.28 4.26 5.10 6.04 6.28 * Este signo nos indica un sentido contrario al dado inicialmente en forma arbitraria.

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