uaeh.jpgECUACIONES DIFERENCIALES

TAREA 1

Hector Miguel Palomares Maldonado

1. Verifique que las siguientes funciones son soluciones de las correspondientes ecuacionesdiferenciales:

a) y = c1e2x + c2e

2x

d2y

x 4y = 0

y = 2c1e2x 2c2e2x

y = 4c1e2x + 4c2e

2x

4c1e2x + 4c2e

2x 4(c1e2x + c2e2x) = 04c1e

2x + 4c2e2x 4c1e2x 4c2e2x) = 0

0 = 0

b) y + seny = x, (ycosy seny + x)dydx

dy

dx+ cosy

dy

dx= 1

dy

dx(1 + cosy) = 1

dy

dx=

1

1 + cosy

(ycosy senyx)dydx

= y

dy

dx=

y

ycosy seny + xdy

dx=

y

ycosy + ydy

dx=

y

y(cosy + 1)dy

dx=

1

1 + cosy

c) y2 = x2 cx, 2xy dydx

= x2 + y2

y2 = x2 cx2ydy

dx= 2x c

dy

dx=

2x c2y

2xydy

dx= x2 + y2

dy

dx=x2 + y2

2xydx

dy=x2 + x2 cx

2xydx

dy=x(2x c)

2xydx

dy=

2x c2y

1

2. Encuentre la solucion mas general de las siguientes ecuaciones diferenciales

a) (1 + x)dy

dx= x

dy =x

1 + xdx

y = x

1 + xdx

y = x

1 + xdx

y = x + 1 1

1 + xdx

y = x + 1

1 + xdx 1

1 + xdx

y =dx 1

1 + xdx

y = 1 ln | 1 + x | +cb)

dy

dx+ ytanx = 0

dy

dx= ytanx

dy

y = tanxdx

dyy

=tanxdx

ln | y |1= ln | secx | +celn|y|

1= eln|secx| + ec

y1 = |secx|+ c

c) xdy

dx= (1 2x2)tany

dy

tany=

(1 2x2)x

dx dytany

= dxx 2xdx dy

seny

cosy

= dxx 2xdx

cosydyseny

= dxx 2xdx cosydy

seny= dxx 2xdx

ln|seny| = ln|x| x2eln|seny| = elnx ex2seny = xex

2

+ c

3. Encuentre la solucion particular que satisface la condicion inicial dada en las siguientesecuaciones diferenciales

a)dy

dx= xex, y(x = 1) = 3

dy = xexdxdy =

xexdx

y = xex exdxy = xex ex + cy = ex(x 1) + cy = ex(1 1) + c3 = c

b)dy

dx= 2senxcosxdx, y = (x = 0) = 1

dy = 2senxcosxdx

y = sen2x + cy = sen2x + c1 = sen2(0) + cc = 1

2

4. Realice un esbozo de la familia de curvas y encuentre sus trayectorias ortogonales

a) yx = c

y =c

xy = c

x2para encontrar la pendientesustituimos cy =

y

x

familia ortogonal debe cumplir 1m

y = xy

dy

dx= x

yydy =

xdx

y2

2=x2

2+ c

y2 = x2 + cc = y2 x2 solucion

b) y = cx2

dy

dx= 2cx

dy

dx=

2yx

x2dy

dx=

2y

x

familia ortogonal: 1m

dy

dx= x

2x2ydy = xdx

y2 = x2

2+ c

c = 2y2 + x2

5. Si la mitad de cierta cantidad de radio se desintegra en 1600 anos, que porcentaje dela cantidad original quedara despues de 2400 anos?

sea N0 la cantidad inicial y N la cantidad de radio variable

dN

dt= kN

dN

N= kdt dN

N= k

dt

ln|N | = kt + celn|N | = ekt+c

eln|N | = cekt

N(t) = cekt

y ahora para t = 0;N(0) = N0N0 = ce

k(0)

N0 = csustituyendo cN(t) = N0e

kt

veamos para t = 1600

N(t) =N02

N0ek(1600) =

N02

ek(1600) =1

2

lnek(1600)

= ln

(1

2

)1600k = ln

(1

2

)

k =

ln

(1

2

)1600

K0,0004quedando:N(t) = N0e

0,0004t

ahora veamos para 2400 anosN(100) = N0e

0,0004(2400)

N(100) = 2,6N0

3