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Introducción a la Probabilidad

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¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?

¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un corte de ruta cuando voy a clase?

Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el concepto de probabilidad.

La idea intuitiva es lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.

En este capítulo vamos a:› Definir probabilidad.› Reglas de cálculo.› Teorema de Bayes

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Origen del calculo de probabilidades

Surge de preguntarse cómo repartir el dinero apostado en un juego de azar que se interrumpe antes de finalizarlo?????

Blaise Pascal 1623-1662

Fermat 1601-1665

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Experimentos Determinísticos

Aleatorios

AZAR

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Ejemplo 1

Se arroja un dado : Si observamos su cara superior, el conjunto

de resultados posibles es

Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

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Experimentos-Espacio Muestra

Ejemplo 2: Se arrojan dos dados y se observa la suma de sus caras.

Ω 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

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Ejemplo3: Se arroja una moneda hasta que aparezca cara.

Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC, ..., X..XC, .... }

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Ejemplo : Sea el experimento arrojar dos dados. El conjunto de resultados posibles es:

= {(x,y)/ x = 1, 2 .. 6, y = 1, 2 .. 6 }

Ω

1 2 3 4 5 6

Ω

A = {(x,y) / x + y = 5 }

A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

A

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Sucesos

E espacio muestral

E espacio muestral

A

A’

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestra (Ω).

Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama suceso complementario de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A

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E espacio muestral

A

B

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos).

E espacio muestral

A

B

UNIÓN

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B

E espacio muestral

A

B

INTERSEC.

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P AA número de resultados favorables

número de resultados posibles( )

#

#

P( )#

1

Espacio muestra equiprobable# (cardinal de ) a la cantidad de resultados posibles del experimento cada resultado posible tiene una probabilidad de 1/#Ω de ocurrir.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.

Sea A un subconjunto de , Ω, simbolizando con #A al cardinal de A que indica el número de casos favorables al suceso A, calculamos la probabilidad de dicho suceso (siempre que sea equiprobable) como el cociente:

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PROPIEDADES

PROPIEDAD 1 0 ≤P(A) ≤ 1

1)(0#

#

#

#

#

0

APAComo 0 ≤ #A ≤ # Ω

#

# #( )

0

0P

PROPIEDAD 2

Como # = 0

P( )= 0

PROPIEDAD 3 P(Ω) =1

1#

#

Ya que P(Ω ) =

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PROPIEDAD 4 P (AB) = P(A) + P(B), si AB =

P A BA B A B A B

P A P B( )#( )

#

# #

#

#

#

#

#( ) ( )

Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B.

PROPIEDAD 5 P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠

P A BAUB A B A B A B A B

P A B P A P B P A B

( )# ( )

#

# # # ( )

#

#

#

#

#

# ( )

#

( ) ( ) ( ) ( )

PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A)A

P AA A A

P A( )# ( )

#

# #

#

#

#

#

#( )

1 A

A’

AB

A

B

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DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.

Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del experimento.Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento

nlim

f

np

La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad teórica del suceso A y la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del suceso A.

Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones del experimento.

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n f h n f h

10 6 0,60 110 56 0,51

20 8 0,40 120 63 0,53

30 14 0,47 130 61 0,47

40 19 0,48 140 72 0,51

50 25 0,50 150 75 0,50

60 31 0,52 160 78 0,49

70 38 0,54 170 83 0,49

80 43 0,54 180 89 0,49

90 46 0,51 190 95 0,50

100 51 0,51 200 101 0,50

n

h

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0 50 100 150 200 250

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PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS

P (AB) = P(A) + P(B), si AB =

P (AB C) = P(A) + P(B) + P(C), si ABC =

Sucesos Excluyentes

Sucesos No Excluyentes

P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB)

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

)()(

)|(BPABP

BAP

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:

E espacio muestral

A

B

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Probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A dado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,08

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Probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A dado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0

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Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico:

› A indep. B P(A|B) = P(A)

Dicho de otra forma:› A indep. B P(AB) = P(A) P(B)

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Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A1 A2

A3 A4

Son una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

A4

A2A1

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A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples..

A3 A4

A2A1

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Teorema de la probabilidad totalA1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

A3 A4

A2A1

Tema 4: Probabilidad 24

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

› P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

MujeresVarones

fumadores

T. Prob. Total.Hombres y mujeres formanUn Sist. Exh. Excl.De sucesos

T. Bayes

¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

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Expresión del problema en forma de árbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)

• Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

• Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

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Teorema de Bayes

P(B)

Ai) P(B B)|P(Ai

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

A3 A4

A2A1