7/26/2019 1-Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales en La Ing. Quimica. (1)

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Un tanque esta lleno con 10 galones de agua salada en la cual estn disueltas5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por galn que entra altanque a 2 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

!uanta sal est presente despu"s de 10min# $!uanta sal est presente despu"s de un tiempo largo#

FORMULACIN MATEMTICA%

Sea & el n'mero de libras de sal en el tanque despu"s de t minutos.

(uegodA

dtes la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta

dada por%

dA

dt) tasa de cantidad ganada * tasa de cantidad perdida.

+uesto que entran2 gal

min, conteniendo

3 lb

gal de saltenemos que la cantidad

de sal que entra por minuto es%

2 gal

min-

3 lb

gal de sal)

6 lb

min.

(o cual es la tasa a la cual se gana sal. +uesto que siempre ay 10 gal en eltanque y debido a que ay & libras de sal en cualquier tiempo t, laconcentracin de sal al tiempo t es & libras por 10gal. (a cantidad de sal quesale por minuto es, por tanto,

A lb

10 gal-

2 gal

min)

2 A lb

10min)

A lb

5min

/e 1, 2 y 3 tenemosdA

dt

) A

5

+uesto que inicialmente ay 5lb de sal, tenemos que & ) 5 en t ) 0. &s4, laormulacin matemtica completa es%

dA

dt)

A

5, & ) 5 en t ) 0

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SOLUCIN:

Usando el m"todo de separacin de 6ariables, tenemos%

dA30A ) dt5

7 * ln 30 * & ) t5

8 c

+uesto que & ) 5 en t ) 0, c ) * ln 25. &s4,

* ln 30 * & ) t

5 * ln 25 . ln [ 30A25 ] )

t

5 & ) 30 * 25 e

t

5

(a cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

Al final de los 10min. la cantidad de sal es & ) 30 * 25e

2 ) 2. lb.

Despus de un tiempo largo, esto es, cuando t)9:, 6emos que &)930 lb. Esto

tambi"n podr4a ser 6isto desde la ecuacin dierencial aciendodA

dt) 0,

puesto que tambi"n & es una constante cuando se alcanza el equilibrio.

PRESENTADO POR:VIVIANA MARCELA PRADA ALBARRACIN.

BIBLIOGRAFIA: Ecuaciones Die!encia"es A#"ica$as% Mu!!a& R S#en'e"(Te!ce!a e$ici)n( Ca#i*u"o T!es.