1-1naturaleza de los numeros

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE

MINATITLÁN

División de Estudios a Distancia

MATERIA: Introducción a las Matemáticas

UNIDAD: 1. Naturaleza de los números

SUBTEMA: 1.1 Naturaleza de los números

INTRODUCCIÓN

Los primeros matemáticos de la Antigüedad fueron los egipcios; sus sacerdotes

crearon un calendario de fechas que ofrecía la posibilidad de prever las crecidas del río Nilo para establecer durante el año los periodos más favorables para la siembra y la cosecha. Por su parte, la medición de superficies de terreno dio origen a la geometría, considerada como la ciencia de las figuras. Todo esto fue perfeccionándose muy rápidamente, lo cual permitió que los arquitectos de aquella época lograran construcciones fabulosas, que en la actualidad son testimonio de aquellos tiempos. A su vez, la geometría dio origen a la trigonometría, ciencia que por la medición angular se convirtió en un instrumento indispensable para la astronomía: Cabe subrayar que entre los egipcios las grandes conquistas matemáticas fueron logradas por sus sacerdotes, quienes constituían una casta privilegiada en la sociedad de aquella época.

Las matemáticas, que se definen como la ciencia que estudia las magnitudes

numéricas y las espaciales, así como las relaciones que se establecen entre ellas, en la actualidad es una ciencia más amplia que la aritmética y la geometría clásicas. Se puede distinguir entre matemáticas puras, que estudian las propiedades de los entes abstractos, como figuras geométricas, números, conjuntos, etc., y matemáticas aplicadas, que consideran las propiedades de los entes abstractos en relación con los cuerpos, objetos y fenómenos físicos. Las matemáticas tienen aplicación en casi todas las ciencias; por ejemplo, en astronomía y mecánica son exclusivamente matemáticas aplicadas; asimismo, en otras ciencias, como sociología, economía, psicología o medicina, son un importante instrumento de trabajo.

Las propiedades matemáticas para ser admitidas deben ser demostradas. Las

deducciones sucesivas parten de unos principios admitidos pero no demostrados: axiomas, postulados y definiciones. Los principios deben ser los menos posibles para una buena



construcción matemática. En toda demostración se deben distinguir los antecedentes, llamados "hipótesis", y las conclusiones que se quieren obtener, llamadas "tesis".

DESARROLLO

Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de reglas que se emplean para expresar y

escribir números, sin embargo, dudo que todos tenemos una idea intuitiva del número lo consideraremos como un concepto que surge de modo natural, pues desde siempre el hombre ha tenido la necesidad de contar.

Nosotros expresamos los números como una sucesión de símbolos. De esta forma, si

a un número le agregamos una unidad resulta un número mayor; de lo anterior podemos deducir que una serie de números no tiene fin porque por grande que sea cierto número siempre podremos agregarle una unidad para formar un número más grande, es decir, podemos formar series de números como la siguiente: 0,1,2,3,4,5,6 ... 9, 10 ... 19,20 ... Este tipo de numeración la llamamos "arábiga", porque fueron los árabes quienes la introdujeron en Occidente; ellos, a su vez, la tomaron de la india. Es una numeración decimal porque la base de la numeración es 10.

A continuación se indican algunos de los distintos sistemas de numeración que

existen: Podemos observar en los sistemas anteriores que sólo en el sistema arábigo existe el

cero, por eso, en este sistema podemos utilizar distintas bases de numeración, como la decimal o la binaria, cuyas bases 2, 8, 12 o 16 son utilizadas en informática.

Ahora bien, sabemos que el cero representa a los conjuntos que no tienen elementos (la palabra cero proviene del árabe sitr, que significa "vacío"). De este modo, podemos decir que el cero no tiene valor absoluto pero sí valor relativo. Por eso, se dice que una cifra tiene tanto valor absoluto (la cantidad que expresa) como valor relativo (el lugar que ocupa en la cantidad).

Numeración romana La numeración romana, otro tipo de numeración, utilizaba símbolos que únicamente

tenían valor absoluto, de ahí que actualmente sólo se emplee para indicar fechas, señalar siglos, numerar capítulos, etc. Además, es aditiva (si nosotros usáramos una numeración aditiva, el número 3564 sería igual a 3 + 5 + 6 + 4, cuyo resultado sería igual a 18, que a su vez sería igual a 1 + 8 = 9). Ase el número 3564 los romanos lo escribían de esta manera: MMMDLXIIII, sin embargo, en aras de la sencillez se optó por hacer algunas excepciones, así, el cuatro (IIII) se escribió IV; el nueve (VIIII),IX; el 40 (XXXX), XL, etcétera.

Con base en lo anterior, surgen tres reglas para representar los números romanos:

Si a la derecha de una cifra se coloca otra cifra igualo ITlé:10r él vulor de ésta se le suma a la cifra que está a la izquierdo.. Así:



XX = X + X = 20

Si a la izquierda de una cifra se coloca una cifra menor, el valor de ésta se le resta a la cifra que sigue a la derecha. Así:

IX = X - 1 = 9

No se pueden emplear tres cifras iguales a la derecha de otra cifra similar ni tampoco cifras aisladas, ni más de una cifra a la izquierda de otra cifra mayor. Así, el 40 no se escribe XXXX sino XL, el nueve no se escribe VIIII sino IX; el 70 no se escribe XXX e sino LXX.

En los números más grandes que tres mil se indican los millares con una raya encima

del número correspondiente, de este modo, 36000 se escribe así: XXXVI.

Parece que la numeración romana son los vestigios de un sistema de numeración de base 5 .

Sistema decimal

Cuando pretendemos descubrir el origen de algunas de nuestras costumbres, que tal vez se remontan a los más lejanos tiempos de la historia humana, recurrimos al estudio de aquellas que todavía perduran entre determinados pueblos de la Tierra. También esto ocurre en el caso de la numeración. Los etnólogos, quienes estudian las costumbres de los pueblos, han comprobado que algunas poblaciones salvajes todavía cuentan empleando los dedos de las manos y, en ocasiones, los dedos de los pies. Probablemente así se originaron la numeración y el cálculo que rigen en la actualidad, ya que la numeración decimal se basa en el número de dedos de nuestras manos. Sin embargo, será conveniente subrayar que, por muy increíble que pueda parecer y a pesar de su origen natural, la numeración decimal no resulta tan práctica como los sistemas de cálculo basados en los números 2, 6, 12 o 24, por ejemplo, la numeración binaria (base 2), que es la base de los modernos cálculos electrónicos, fue utilizada por los chinos hace más de tres mil años.

El sistema de numeración decimal, que apareció en Europa durante la Edad Media,

fue introducido por los árabes a través de España y Siciliu, lugares conquistados por ellos. Más tarde, los frecuentes contactos con los repúblicas marineras de Venecia, Génova y Pisa y las cruzadas, que llevaron a los ejércitos europeos a tierras lejanas, contribuyeron a un despertar que no se interrumpió. Así. se afirmó el sistema decimal y el uso del cero, lo que permitió emplear los números como lo hacemos hoy. También se afirmó el álgebra, que ya había sido utilizada por los babilonios para estudiar y resolver ecuaciones.

El símbolo cero se mostró de inmediato como la cifra más importante. Con él se

pueden indicar no sólo distintas ecuaciones matemáticos sino también las más complicadas, como, por ejemplo, los números decimales. Ante todo, el cero se utiliza para indicar que un conjunto no tiene elementos. Asimismo, no sólo es el resultado de una resta de números iguales, sino que también es posible expresar cualquier número; por grande y complicado que sea, con la ayuda de los nueve símbolos restantes. Por ello, la diferencio entre nuestra numeración y otros sistemas carentes de cero (como el romano) es evidente. Además, el cero, 0.1 igual que las nueve cifras restantes, posee distintos significados: su valor, por



ejemplo, es muy distinto en los números 350 y 305, aunque las cifras utilizadas para formar estos números sean las mismas. El valor de una cifra depende, en el sistema de cálculo indoarábigo (sistema decimal), de la posición ésta ocupe, porque el cero, aunque tenga valor de posición (valor relativo), goza del privilegio de no poseer valor numérico (volar absoluto).

El sistema decimal o décuplo que utilizamos nosotros es un sistema de base 10, lo

que significa que 10 unidades de cualquier orden constituyen una unidad de orden inmediato superior y que una unidad de cualquier orden está formado por 10 unidades de orden inmediato inferior. De esta forma, podemos decir que una decena está formado por 10 unidades de orden inmediato inferior y que 10 decenas están formadas por una centena de orden inmediato superior, y así sucesivamente. De la misma forma, si una decena consta de 10 unidades y si una centena se compone de 10 decenas, entonces podemos establecer que la unidad simple o de primer orden (el número uno) también está dividida en 10 partes iguales, que reciben el nombre de décimas y que constituyen el primer suborden, Asimismo, si cada décima la dividimos en 10 partes iguales, entonces cada una de estas partes será una centésima. y formará el segundo suborden, y así sucesivamente.

Sistemas de bases diferentes Se mencionó que la base del sistema decimal es 10 y que existen además, sistemas

de numeración de base distinta a la 10 como son 2,3,4,5, etc., que cumplen principios semejantes a los establecidos por el sistema de base 10. Así, los principios mencionados se pueden generalizar en la siguiente forma:

Equis unidades de orden cualquiera e igual a la base forman una unidad de orden inmediato superior.

Toda cifra escrita a la izquierda de otra es, de acuerdo con las unidades de la base, equis veces mayor que esta otra cifra. Éste es el principio del valor relativo.

En todo sistema (con tantas cifras, contando el cero, como unidades tenga la base) se pueden escribir todas las cantidades.

Por tanto, los sistemas de numeración se diferencian entre sí por su base. Además,

dado que se puede tomar como base cualquier cantidad, el número de sistemas es infinito, lo cual propicia, para diferenciar conforme a su base los distintos sistemas de numeración, que se establezca la nomenclatura siguiente:

Base Nombre o denominacion

2 binario 3 temario 4 cuaternario 5 quinario 6 Senario 7 Septenario 8 Octonario



Base Nombre o denominacion

9 Notario 10 Decimal 11 undecimal 12 Duodecimal

etc etc

Para distinguir a qué sistema pertenece una cantidad, se escribe abajo y a la derecha de ésta un subíndice, que indico tanto la base como el tipo de sistema. Así, -273 (cuya base es 3) pertenece al sistema ternario y -5376 (cuya base es 6) pertenece al sistema senario. Por tanto, se entenderá que una cantidad pertenece al sistema decimal cuando no tenga subíndice.

En cualquier sistema empleado se utilizan tantas cifras, contando el cero, como unidades tenga la base, de ahí que el sistema binario, cuya base es 2, emplee dos cifras: 0 y 1. No se emplea el 2 porque en este sistema dos unidades de orden cualquiera forman una unidad de orden inmediato superior y porque, además, su representación es 10, que significa tanto cero unidades de primer orden como una unidad de segundo orden. Asimismo, el sistema cuaternario, cuya base es 4) emplea cuatro cifras: 0, 1, 2 y 3. No se emplea el 4 porque cuatro unidades como base del sistema forman ya una unidad de orden inmediato superior, además, su representación sería 10.

En un sistema de base igualo superior a 10 las cantidades iguales o más grandes que 10 se pueden representar por medio de letras, mismas que tienen los valores siguientes:

a = 10 b = 11 e = 12 d = 13 e = 14 f = 15, y así sucesivamente

Por lo anterior, las cifras del sistema duodecimal son éstas:

0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9, a, b

Valor relativo de las cifras de una cantidad de base desconocida

Independientemente de la cantidad y de la base que dicha cantidad tenga, podemos determinar el valor relativo de cada una de las cifras que componen dicha cantidad.

Ejemplo:

Para obtener el valor relativo de 3274 se sabe que la cifra 3 por ser una unidad de tercer orden y de base 4 contiene cuatro unidades de segundo orden y cuatro de primer orden, de ahí que el valor relativo de dicha cifra sea 3 x 4 x 4 = 48, que es su valor relativo y que forma unidades de primer orden. Asimismo, la cifra 2 por ser una unidad de segundo orden y de base 4 contiene cuatro unidades de primer orden, de ahí que el valor relativo de



dicha cifra sea 2 x 4 = 8, que es su valor relativo y que forma unidades de primer orden. Por último, la cifra 7 por ser una unidad de primer orden no contiene unidades de otro orden, de ahí que su valor relativo sea 7, que forma unidades de primer orden. El valor relativo de cada una de las cifras de la cantidad 42547 es el siguiente:

El valor relativo de la cifra 4 es 4 x 7 x 7 x 7 = 1372, que forma unidades de primer orden.

El valor relativo de la cifra 2 es 2 x 7 x 7 = 98, que forma unidades de primer orden.

El valor relativo de la cifra 5 es 5 x 7 = 35, que forma unidades de primer orden.

El valor relativo de la cifra 4 es 4, que forma unidades de primer orden.

Equivalencia de cantidades de base distinta

Para saber cuál es la equivalencia entre una cantidad de base equis y otra de base distinta, se pueden presentar los tres casos siguientes:

1. Una cantidad perteneciente al sistema decimal (de base 10) a qué cantidad equivale

en sistema no decimal. El procedimiento es el siguiente:

La cantidad dada en sistema decimal se divide entre la base del sistema en que se desee hallar la equivalencia; a su vez, cada uno de los cocientes resultantes también se dividirán hasta no ver que el último cociente sea menor que el divisor.

Ejemplos: La cantidad 89 equivale en sistema cuaternario a la cantidad siguiente:

89 = 11214

La cantidad 3720 equivale en sistema undecimal a la cantidad siguiente:



3720 = 288211

Para escribir la cantidad equivalente, se leen de derecha a izquierda y de abajo hacia

arriba todos los cocientes, aunque éstos sean ceros.

2. Una cantidad perteneciente a cualquier base a qué cantidad equivale en sistema decimal (de base 10).

El procedimiento es el siguiente:

La primera cifra de la izquierda de la cantidad dada se multiplica por la base, y el producto que resulta se suma a la segunda cifra. A su vez, el resultado de esta suma se multiplica por la base, y el producto que resulta se suma a la tercera cifra, y esto se hace sucesivamente hasta terminar de sumar la última cifra de la cantidad dada, cuyo resultado será la equivalencia buscada.

Ejemplos: La cantidad 157543 equivale en sistema decimal a la cantidad siguiente:

157543 = 298 La cantidad 85bc3212 equivale en sistema decimal a la cantidad siguiente:

85bc3212 = 2115110

3. Una cantidad cuyo sistema no es decimal (de base 10) a que cantidad equivale en

sistema no decimal. El procedimiento es el siguiente:

Con base en las explicaciones que se dieron para resolver los incisos uno o dos, la equivalencia de la cantidad dada se obtiene primero en el sistema decimal y después en el sistema que se pida.

Ejemplos: La cantidad 34152 equivale en sistema septenario a la cantidad siguiente

a) Primero se determina la equivalencia de 34152 en sistema decimal:

1 x 3=3 8 x 3 = 24

31 x 3 = 93 98 x 3 = 294

3 + 5 = 8 24 + 7 = 31 93 + 5 =98

294 + 4 = 298

8x12 = 96 101x12 = 1212

1223x12 = 14676 14688 x 12 = 176256 176259x12 = 2115108

96+5 = 101 1212+11 = 1223

14676 + 12 =14688 176256 + 3 = 176259

2115108 + 2 = 2115110

3 x 2 = 6 10 x 2 = 20 21 x 2 = 42

6 + 4 = 10 20 + 1 = 21 42 + 5 = 47



bef14 = 2367 b) Después se determina la equivalencia de 47 en el sistema se pide:

La expresión bef14 equivale en sistema duodecimal a la cantidad siguiente:

a) Primero se determina la equivalencia de bef14 en sistema decimal: 11 x 14 = 154 154 + 14 = 168 168 x 14 = 2352 2352 + 15 = 23.67

bef14 = 2367

b) Después se determina la equivalencia de 2367 en el sistema que se pide:

Bef14 = 145312

CONCLUSIONES

Conclusiones del subtema (Arial 11, Justificado)… {Debe contener: Síntesis del tema y la evaluación del aprendizaje (preguntas relacionadas con el tema)}

REFERENCIAS

[1] Algebra; Baldor, Aurelio; 1997; Publicaciones Cultural. [2] Algebra para universitarios; Alvarado García, Rodolfo; 2001; Editorial Esfinge. [3] Aritmética y algebra; Sada García, María Teresa; 2001; Ediciones DGTI. [4] Algebra; Acosta Sánchez, Raymundo; 2006; Ediciones DGTI.

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