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GUΓA NO. 1 DESIGUALDADES LINEALES
Utilizando la tecnologΓa, observa los siguientes videos instructivos del tema.
https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU
https://www.youtube.com/watch?v=q5Yfn5DMlDc
https://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI
https://www.youtube.com/watch?v=1CmeGrYDgLU&t=33s
https://www.youtube.com/watch?v=sjJp1zfWZq4
No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones o desigualdades, pero se cree que se
originaron poco despuΓ©s de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.), debido al surgimiento de
un problema en el cual la respuesta podΓa ser mΓ‘s de una absoluta, sino que podΓa
contener un grupo de nΓΊmeros.
Desigualdad matemΓ‘tica es una proposiciΓ³n de relaciΓ³n de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a travΓ©s de los signos: desigual que β , mayor que
>, menor que <, menor o igual que β€, asΓ como mayor o igual que β₯, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Como nos indica el primer texto las desigualdades nos permite encontrar un conjunto de
soluciones para un mismo problema, a los cuales llamaremos intervalo soluciΓ³n.
Propiedades de las desigualdades:
Cuando un nΓΊmero real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el
sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a + c < b + c y a β c < b β c
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Ejemplo 1:
3 < 8 β 3+ππ < 8 + 7 β΄ 19 < 15
3 < 8 β 3βππππ < 8 β 15 β΄ β12 < β7
(β ππππππππππππππππππ "ππππππππππππππ"); (β΄ ππππππππππππππππππ "ππππππ ππππ ππππππππππ")
Cuando multiplicamos o dividimos por un nΓΊmero real c positivo a ambos lados de
una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a β c < b β c y ππππ < ππ
ππ
Ejemplo2:
2 < 10 β ππ Γ ππ < ππππ Γ ππ β΄ ππππ < 50 ππππ < ππππ
ππ β΄ 4 < 8
Cuando multiplicamos o dividimos por un nΓΊmero real c negativo a ambos lados de una
desigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:
Si a < b entonces a β c > b β c y ππππ > ππ
ππ
Ejemplo 3:
βππ < ππππ β βππ Γ βππ > ππππ Γ βππ β΄ βππππ > βππππ
ππ < ππππ β ππβππ
> ππππβππ
β΄ βππ > βππ
Tipos de intervalos soluciΓ³n
Los intervalos soluciΓ³n pueden ser abiertos y se representan con los sΓmbolos <, >. Este
tipo de intervalos utiliza los parΓ©ntesis para su representaciΓ³n ( )
Los intervalos cerrados se representan con los sΓmbolos β€, β₯. Este tipo de intervalos
utiliza los corchetes para su representaciΓ³n [ ].
El conjunto de soluciones para una desigualdad, lo podemos expresar en notaciΓ³n de
intervalos o en forma grΓ‘fica.
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Tipo de intervalo NotaciΓ³n de intervalos GrΓ‘fica
Intervalo abierto
(utilizan parΓ©ntesis) ( a, b)
a b
Intervalo cerrado
( utilizan corchetes) [a, b]
a b
Intervalos semi
abiertos por la derecha [a, b)
_
a b
Intervalo semi abierto
por la izquierda (a, b]
a b
Intervalos infinitos
(a, β )
[a, β )
( -β, b)
(-β , b]
R o (-β,β)
Ejemplo: Escriba la desigualdad en forma de notaciΓ³n de intervalo y en forma grΓ‘fica
Desigualdad NotaciΓ³n de intervalo GrΓ‘fica
β3 < π₯π₯ β€ 4
(-3, 4]
Semi abierto por la
izquierda
-3 4
π₯π₯ > 6 (6, β )
Intervalo infinito
6
π₯π₯ β€ β4 (-β , -4]
Intervalo infinito
-4
β7 β€ π₯π₯ β€ 2 [-7, 2]
Intervalo cerrado
-7 2
a
b
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Una desigualdad lineal con una variable x es una proposiciΓ³n que puede ser escrita de la
forma ππππ + ππ > ππ, (o bien β₯) donde c y b son constantes con ππ β ππ
ΒΏQuΓ© significa resolver una desigualdad lineal?
Resolver una desigualdad es hallar todos los valores x que hacen verdadera esta relaciΓ³n.
La manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma
ππ > ππ o cualquiera de las otras tres formas cuya soluciΓ³n es evidente: ππ < ππ; ππ >
ππ; ππ β€ ππ Γ³ ππ β₯ ππ. Para llevarla a alguna de estas formas debemos tener en cuenta
ciertas reglas que se enuncian a continuaciΓ³n.
Ejemplo 1.
Resuelva la siguiente desigualdad: 2(3 β π₯π₯) β€ 5 β 4π₯π₯
SoluciΓ³n:
Resolver el producto indicado 2 (3 β x)
6 β 2π₯π₯ β€ 5 β 4π₯π₯
Luego se dejan los tΓ©rminos en x en un
lado y las constantes en el otro lado. El 6
estΓ‘ sumando pasa restando y el 4x estΓ‘
restando pasa sumando sin alterar el
sentido de la desigualdad
β2π₯π₯ + 4π₯π₯ β€ 5 β 6
Se reducen los tΓ©rminos semejantes 2π₯π₯ β€ β1
Ahora, el 2 estΓ‘ multiplicando, pasa
dividiendo sin alterar el sentido de la
desigualdad
π₯π₯ β€ β12
π₯π₯ β€ β12
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
intervalos y geomΓ©tricamente
Conjunto soluciΓ³n οΏ½ββ,βπππποΏ½
β1 2
ββ
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Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad: ππππβ ππ
ππ < ππ+ππ
ππ
SoluciΓ³n:
Buscamos el ππ. ππ.ππ ( ππ,ππ,ππ) = ππππ, se
multiplica cada tΓ©rmino por el m.c.m
(12) 14β (12) π‘π‘
3 < (12) 3+π‘π‘
2
3 β 4π‘π‘ < 6(3 + π‘π‘)
Se resuelve el producto indicado 6(3 + t) 3 β 4π‘π‘ < 18 + 6π‘π‘
Luego se dejan los tΓ©rminos en t en un
lado y las constantes en el otro lado. El 3
estΓ‘ sumando pasa restando y el 6t estΓ‘
sumando pasa restando sin alterar el
sentido de la desigualdad
β4π‘π‘ β 6π‘π‘ < 18 β 3
Se reducen los tΓ©rminos semejantes β10π‘π‘ < 15
Ahora, el -10 estΓ‘ multiplicando, pasa
dividiendo cambiando (por ser negativo) el
sentido de la desigualdad
π‘π‘ >15β10
; π‘π‘ > β 3 2
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
intervalos y geomΓ©tricamente: Conjunto soluciΓ³n = (β 3
2,β )
β3 2
β
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Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad: ππ < βππππβππππ
< ππ
SoluciΓ³n:
Se trata de una desigualdad simultΓ‘nea.
Una estrategia a utilizar es hallar primero el
mcm: 2, y se multiplica cada tΓ©rmino por ese
comΓΊn denominador 2.
(2)(ππ) < (2) β3π₯π₯β12
< (ππ)(ππ)
8 < 1(β3π₯π₯ β 1) < 14
Se resuelve el producto indicado 8 < β3π₯π₯ β 1 < 14
Luego se dejan los tΓ©rminos x en el medio y las
constantes que la acompaΓ±an pasan a la
izquierda y a la derecha. El -1 pasa sumando
a ambos lados sin alterar el sentido de la
desigualdad
8 + 1 < β3π₯π₯ < 14 + 1
Se reducen los tΓ©rminos semejantes 9 < β3π₯π₯ < 15
Ahora, el -3 estΓ‘ multiplicando, pasa
dividiendo a ambos lados cambiando (por ser
negativo) el sentido de la desigualdad
9β3
> π₯π₯ > 15β3
;
β3 > π₯π₯ > β5
Se escribe poniendo el nΓΊmero menor a la
izquierda β5 < π₯π₯ < β3
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
intervalos y geomΓ©tricamente:
Conjunto soluciΓ³n = (β5,β3 )
βππ
βππ
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Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMΓTICA
ASIGNACIΓN SUMATIVA # 1
DESIGUALDADES LINEALES
Nombre: _____________________________________ Grupo: ________
Profesor: _____________________________________ Fecha: ________ Puntos: __/ 50
I. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notaciΓ³n de
intervalos y luego trace la grΓ‘fica del intervalo. 10 puntos
DESIGUALDAD INTERVALO GRAFICO
π±π± β₯ βππππ
π±π± < βππππ
βππ < π±π± β€ ππππ
βππππ β€ π±π± < βππππ
ππ < π±π± β€ ππππ
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II. Determina el intervalo soluciΓ³n de las siguientes inecuaciones de primer grado,
con una incΓ³gnita. De su respuesta como intervalo y como grΓ‘fico. Recuerda
escribir todos los procedimientos. 30 puntos
ππππππ β ππ(ππ + ππ) β€ ππππ ππππππ β
ππππ
β€ ππππππ +
ππππ
ππ(ππ β ππ) + ππ β€ ππ(ππ + ππ) (ππ + ππ)(ππ β ππ) + ππππ < (ππ + ππ)(ππ + ππ)
βππ β€ βππ + ππππ β€ ππππ
βππ β€
ππ + ππππ
β€ ππ
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LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
PuntuaciΓ³n
esperada
Aspectos por evaluar PuntuaciΓ³n
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, segΓΊn
organizaciΓ³n del colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
3 Expresa adecuadamente la
soluciΓ³n de cada problema.
40 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fΓ³rmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIΓN.
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GUΓA NO. 2 RESOLUCIΓN DE DESIGUALDADES POLINOMIALES
Observar los siguientes videos
https://www.youtube.com/watch?v=keJwrVpvarI
https://www.youtube.com/watch?v=7OoLfOeKCIA&t=500s
https://www.youtube.com/watch?v=p3Sv3Wa5qYQ
https://www.youtube.com/watch?v=CiCp1-3n3sU
Esta GuΓa didΓ‘ctica tiene el propΓ³sito de mostrar cΓ³mo resolver desigualdades que
contienen una expresiΓ³n cuadrΓ‘tica. En los prΓ³ximos ejemplos se mostrarΓ‘ el uso de la
tabla de signos y las propiedades del signo de un producto.
Propiedades del signo de un producto: el producto de dos nΓΊmeros reales es positivo
(negativo) si y sΓ³lo si los nΓΊmeros tienen signos iguales (opuestos).
REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES POLINOMIALES
i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad
dada en forma tal que todas las variables y constantes diferentes de cero
se encuentren del mismo lado del sΓmbolo de desigualdad y el nΓΊmero cero
quede del otro lado. Es decir, plantee la desigualdad en una de las formas:
π·π·(ππ) > ππ, π·π·(ππ) < ππ, π·π·(ππ) β₯ ππ ππ π·π·(ππ) β€ ππ.
ii) Luego, si es posible, factorice el polinomio π·π·(ππ) en factores lineales ππππ +
ππ.
iii) Marque la recta numΓ©rica en los ceros reales de π·π·(ππ). Estos nΓΊmeros
dividen la recta numΓ©rica en intervalos.
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iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego
determine el signo del producto aplicando las propiedades de los signos
de un producto.
Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad: π±π±ππ + πππ±π± β ππππ > ππ
SOLUCIΓN:
Comenzamos factorizando
la expresiΓ³n cuadrΓ‘tica
pues uno de los lados es
igual a cero.
π₯π₯2 + 2π₯π₯ β 15 > 0
(π₯π₯ + 5) ( π₯π₯ -3) > 0
Ahora resolvemos la
ecuaciΓ³n
(ππ + ππ)( ππ β ππ) = ππ.
Obtenemos que
π₯π₯ + 5 = 0 ππ π₯π₯ β 3 = 0:
π₯π₯ = β5 ππ π₯π₯ = 3
Estos valores dividen la
recta real en tres
intervalos:
(ββ,β5) (β5,3) (3, β ).
β5 3
Sabemos que
ππ = βππ β§ ππ = ππ satisfacen la ecuaciΓ³n
ππππ + ππππ β ππππ > ππ .
Deseamos determinar el
signo de la expresiΓ³n
ππππ + ππππ β ππππ
en los intervalos:
(ββ,βππ), (-5,3) y (3, β ).
Para esto determinamos el
signo de cada uno de los
factores usando un valor de
ππ en cada uno de los
intervalos. Este valor
particular de ππ se conoce
como valor prueba.
Intervalos (ββ,β5) (-5,3) (3, β )
Signo de π₯π₯ +5 - + + Signo de π₯π₯ -3 - - +
Signo de (π₯π₯ +5) ( π₯π₯ -
3) + - +
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Construimos una tabla,
llamada una tabla de
signos, para organizar la
informaciΓ³n obtenida:
Por ejemplo, para determinar el signo del factor ππ +5 en el intervalo (ββ,βππ)
escogemos un valor de x que este en este intervalo, digamos x = -8 y lo
substituimos en ππ +5. Obtenemos ππ +5 = -8 +5= -3. Luego ππ +5 es negativo en
el intervalo (ββ,βππ). Por otro lado ππ -3 = -8-3 = -11 por lo que ππ -3 es negativo
en el intervalo (ββ,βππ). Repetimos este procedimiento para los otros dos
intervalos.
El signo de (ππ + 5) ( ππ -3) se obtiene multiplicando el signo de ππ +5 con el signo
de ππ -3. Nos interesa saber dΓ³nde (ππ + 5) ( ππ -3) > 0, es decir dΓ³nde (ππ + 5) ( ππ -3)
es positivo
Esto ocurre en (ββ,βππ) U (3, β ).
Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad ππππ β€ ππππ + ππππ
SoluciΓ³n: Primero
despejemos para que un lado
de la desigualdad sea cero y
factoricemos la expresiΓ³n
resultante:
ππππ β€ ππππ + ππππ
ππππ β ππππ β ππππ β€ ππ
(ππ β ππππ)(ππ + ππ) β€ 0
Resolvemos la ecuaciΓ³n
(x - 11) (x + 4) = 0.
Obtenemos que
x + 4 = 0 o x -11 = 0.
Luego
x = - 4 o x = 11
Ahora construimos una tabla
de signos.
(ββ,βππ) (-4,11) (11, β ).
-4 11
Buscamos todos los valores de x tales que (ππ + ππ)(ππ β ππππ) β€ 0.
(ππ + ππ)(ππ β ππππ) es menor que cero en el intervalo (4, 11) e igual a cero en x = -4 y
en x = 11.
Intervalos (ββ,β4) (-4,11) (11, β ) Signo de π₯π₯ -11 - - + Signo de π₯π₯ + 4 - + + Signo de (π₯π₯ -11)( π₯π₯ +4) + - +
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Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad ππππ β€ ππππππ + ππππππ
SOLUCIΓN. Primero
despejemos para que un lado
de la desigualdad sea cero y
factoricemos la expresiΓ³n
resultante:
ππππ β€ ππππππ + ππππππ
ππ β€ ππππππ + ππππππ β ππππ
ππππππ + ππππππ β ππππ β₯ ππ
(ππππ + ππππ)(ππππ β ππ) β₯ ππ
Resolvemos la ecuaciΓ³n
(ππππ + ππππ)(ππππ β ππ)= 0.
Obtenemos que
ππππ + ππππ = ππ ππ ππππ β ππ = ππ
Luego
ππ = βππππππ
ππ ππ = ππππ
Ahora construimos una tabla
de signos.
(ββ,βππππππ) (βππππ
ππ, ππππ ) ( ππ
ππ, β ).
βππππππ ππ
ππ
Buscamos todos los valores de x tales que (ππππ + ππππ)(ππππ β ππ) β₯ 0
(ππππ + ππππ)(ππππ β ππ) es mayor que cero en el intervalo (ββ,βππππππ) o en intervalo ( ππ
ππ, β ) e
igual a cero en
x = βππππππ y en x = ππ
ππ.
Luego la soluciΓ³n de la desigualdad es el intervalo (ββ,βππππππ
] U [ ππππ, β ).
Luego la soluciΓ³n de la desigualdad es el intervalo [-4, 11].
Intervalos (ββ,βππππππ
) (βππππππ
, ππππ) ( ππ
ππ, β )
Signo de 2π₯π₯ + 15 - + + Signo de 2π₯π₯ - 3 - - + Signo de (2π₯π₯ +15)( 2π₯π₯ -11)
+ - +
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ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMΓTICA
ASIGNACIΓN SUMATIVA NO.2
DESIGUALDADES CUADRΓTICA
Nombre: ______________________________ Grupo: __________________
Fecha: ______________________________ Profesor: ______________ Puntos: /50
I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notaciΓ³n de
intervalos y luego trace la grΓ‘fica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento.
5 puntos c/u
5π₯π₯2 + 4π₯π₯ β 1 β₯ 0
π₯π₯2 β 2π₯π₯ β 5 β₯ 3
π₯π₯(3π₯π₯ + 5) > 0
2π₯π₯2 + π₯π₯ β 1 < 0
3π₯π₯2 β 7π₯π₯ < 0
2π₯π₯2 β 7π₯π₯ + 3 β€ 0
π₯π₯2 + 10π₯π₯ β€ 0
3π₯π₯2 + 10π₯π₯ β₯ 8
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LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
PuntuaciΓ³n
esperada
Aspectos por evaluar PuntuaciΓ³n
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, segΓΊn
organizaciΓ³n del colegio.
3 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
2 Expresa adecuadamente la
soluciΓ³n de cada problema.
40 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos
de acuerdo con las
fΓ³rmulas y propiedades.
.
CALIFICACIΓN.
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GUΓA NO. 3
ACTIVIDAD DE INICIO:
β’ Ver utilizando las tecnologΓas, los siguientes videos.
https://www.youtube.com/watch?v=qciUZ4Xev5c
https://www.youtube.com/watch?v=kqRQvcoh9aI
https://www.youtube.com/watch?v=LCcBLxlHX1c
https://www.youtube.com/watch?v=AI--j_fYKoQ
ACTIVIDAD DE DESAROLLO:
ECUACIONES Y DESIGUALDADES EN VALOR ABSOLUTO
DefiniciΓ³n:
El valor absoluto o mΓ³dulo de un nΓΊmero x, representado por |x| es igual a x si el nΓΊmero
es positivo y es igual a βx si el nΓΊmero es negativo. El signo "-" opera en x cambiΓ‘ndolo a
positivo.
Esto lo escribimos de la siguiente manera
DefiniciΓ³n
π₯π₯ , π π π π π₯π₯ > 0
|π₯π₯| = βπ₯π₯ , π π π π π₯π₯ < 0
0, si x = 0
|x| se lee como el valor absoluto de x.
Se define como desigualdad de valor absoluto a una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
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ΒΏQuΓ© significa resolver una desigualdad de valor absoluto?
Como los valores positivos y negativos tienen un valor absoluto positivo, resolver
inecuaciones con valores absolutos significa encontrar la soluciΓ³n para ambos valores
positivo y negativo.
Para resolver desigualdades de valor absoluto debemos indicar sus propiedades
PROPIEDADES DESIGUALDADES Y ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
ππ ) |ππ| < ππ ππππ ππ ππΓ³ππππ ππππ β ππ < ππ < ππ
ππππ) |ππ| > ππ ππππ ππ ππΓ³ππππ ππππ ππ < βππ Γ³ ππ > ππ
ππππππ) |ππ| = ππ ππππ ππ ππΓ³ππππ ππππ ππ = β ππ Γ³ ππ = ππ
Estas propiedades tambiΓ©n son verdaderas con los signos de desigualdad β€ π¦π¦ β₯.
Ejemplo 1: Resuelve la desigualdad |ππππ β ππ| < ππ
SoluciΓ³n:
El primer paso es verificar en que propiedad cae
nuestra desigualdad, en este caso serΓa la propiedad
i) |ππ| < ππ ; en donde a = 5
|ππππ β ππ| < ππ
Aplicamos la soluciΓ³n para este caso, el cual nos dice
βππ < ππ < ππ . Como ves el sΓmbolo de valor
absoluto se elimina de la expresiΓ³n.
βππ < ππππ β ππ < ππ
Trasladamos los tΓ©rminos libres de la expresiΓ³n
central hacia ambos extremos de la desigualdad,
recordando las reglas de despeje.
βππ + ππ < ππππ < ππ + ππ
Seguimos reduciendo la expresiΓ³n en los laterales de
la desigualdad.
βππ < ππππ < ππ
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Por ΓΊltimo, despejamos a la variable x, la cual debe
quedar en el centro de la desigualdad. El valor 3 que
acompaΓ±a a nuestra variable, pasa hacia ambos lados
de la desigualdad dividiendo.
βππππ
< ππ < ππππ
βππππ
< ππ < ππ
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de intervalos y
geomΓ©tricamente:
Conjunto soluciΓ³n =
οΏ½β 13
, 3οΏ½
-ππππ
ππ
Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad: |ππ + ππ| > 3
SoluciΓ³n:
El primer paso es verificar en que propiedad
cae nuestra desigualdad, en este caso serΓa la
propiedad
ii) |ππ| > ππ ; en donde a =3.
|ππ + ππ| > 3
Aplicamos la soluciΓ³n para este caso, el cual
nos dice
ππ < βππ Γ³ ππ > ππ . Para este caso
resultan dos desigualdades lineales, las cuales
desarrollaremos individualmente.
Primera desigualdad
ππ < βππ
ππ + ππ < βππ
ππ < βππ β ππ
ππ < βππ
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Segunda desigualdad
ππ > ππ
ππ + ππ > ππ
ππ > ππ β ππ
ππ > ππ
Para este modelo tenemos dos intervalos
soluciΓ³n. Los valores de x menores que -5 y
los valores de x mayores que 1.
La U entre los intervalos indica que esta
desigualdad tiene dos conjunto soluciΓ³n.
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
intervalos y geomΓ©tricamente:
Conjunto soluciΓ³n =
(-β, -5) U (1, β )
-β β
-5 1
Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad οΏ½οΏ½ππ β πππππποΏ½οΏ½ β₯ ππ
SoluciΓ³n:
El primer paso es verificar en que propiedad
cae nuestra desigualdad, en este caso serΓa la
propiedad
ii) |ππ| > ππ ; en donde a =7. Recuerda que la
propiedad tambiΓ©n aplica para β₯.
οΏ½ππ β ππππ
πποΏ½ β₯ ππ
Aplicamos la soluciΓ³n para este caso, el cual
nos dice
ππ < βππ Γ³ ππ > ππ . Para este caso
resultan dos desigualdades lineales, las cuales
desarrollaremos individualmente.
Primera desigualdad
ππ < βππ
ππ β ππππ
ππ β€ βππ
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β ππππ
ππ β€ βππ β ππ
β ππππ
ππ β€ βππππ
(βππ) οΏ½βπππποΏ½
ππ β€ βππππ(βππ)
ππ β₯ ππππ
Segunda desigualdad
ππ > ππ
ππ β ππππ
ππ β₯ ππ
β ππππ
ππ β₯ ππ β ππ
β ππππ
ππ β₯ ππ
(βππ) οΏ½βπππποΏ½
ππ β₯ ππ(βππ)
ππ β€ βππ
Para este modelo tenemos dos intervalos
soluciΓ³n. Los valores de x mayores e iguales a
22 y los valores de x menores e iguales a -6.
La U entre los intervalos indica que esta
desigualdad tiene dos conjunto soluciΓ³n.
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
intervalos y geomΓ©tricamente:
Conjunto soluciΓ³n =
(-β, -6] U [22, β )
-β β
-6 22
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Ejemplo 4. Resuelva la siguiente igualdad: |ππ β ππ| = ππππ β ππ
SoluciΓ³n:
Si x-1 < 0, es equivalente a x <1, entonces
|ππ β ππ|= -(x-1) y la ecuaciΓ³n dada se
convierte en β(ππ β ππ) = ππππ βππ.
Luego, se resuelve esta ecuaciΓ³n para obtener
ππ = ππππ
Puesto que ππ = ππππ no satisface la condiciΓ³n
x <1, no es una soluciΓ³n.
β(ππ β ππ) = ππππ βππ
βππ + ππ = ππππ β ππ
βππ β ππππ = βππ β ππ
βππ ππ = βππ
ππ = ππππ
Si x-1 β₯ 0, es equivalente a x β₯1, entonces
|ππ β ππ|= x-1 y la ecuaciΓ³n dada se convierte
en ππ β ππ = ππππ βππ.
Luego, se resuelve esta ecuaciΓ³n para obtener
ππ = ππ
Puesto que ππ = ππ satisface la condiciΓ³n
x β₯1, es una soluciΓ³n.
ππ β ππ = ππππ β ππ
ππ β ππππ = βππ + ππ
(βππ) β ππ = βππ( βππ)
ππ = ππ
Para este ejemplo tenemos una soluciΓ³n para x
Expresaremos la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
conjunto y geomΓ©tricamente:
Conjunto soluciΓ³n = { 2}
2
- 30 -
ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMΓTICA
ASIGNACIΓN SUMATIVA NO.3
DESIGUALDAD VALOR ABSOLUTO
Nombre: ______________________________ Grupo: __________________
Fecha: ______________________________ Profesor: ______________ Puntos: /40
I PARTE. Determina el intervalo o intervalos soluciΓ³n para las siguientes
ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto. Sea ordenado y lΓ³gico en su
procedimiento. De utilizar lΓ‘piz mΓ‘rquelo fuertemente y su respuesta final en
bolΓgrafo. Si trabaja con bolΓgrafo No tachones ni borrones. Valor: 30 puntos.
|ππππ β ππ| < ππ
οΏ½ππππ β ππ
πποΏ½ > ππ
- 31 -
|ππππ + ππ| = ππππ + ππππ
οΏ½ππ β ππππ
πποΏ½ β€ ππ
|ππ β ππππ| β₯ ππ
- 32 -
|ππ β ππ| = ππππ β ππ
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
PuntuaciΓ³n
esperada
Aspectos por evaluar PuntuaciΓ³n
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, segΓΊn
organizaciΓ³n del colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
3 Expresa adecuadamente la
soluciΓ³n de cada problema.
30 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos
de acuerdo con las
fΓ³rmulas y propiedades.
.
CALIFICACIΓN.
- 33 -
GUΓA NO. 4 ACTIVIDAD DE INICIO:
Observar los siguientes videos
β’ https://www.youtube.com/watch?v=iZ8yZANNRDA&list=PLC6o1uTspYwHJRGNl
WFnTqjOeAgCvFWGa
β’ https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE
β’ https://www.youtube.com/watch?v=UJyyUnOJFOs
β’ https://www.youtube.com/watch?v=k20VPkFhv40
ACTIVIDAD DE DESARROLLO:
CONTENIDO
FUNCIONES REALES
CONCEPTO DE RELACIΓN
En muchas actividades humanas en donde se necesite verificar la correspondencia de una
cifra numΓ©rica con otra, se utiliza con concepto de relaciΓ³n y funciΓ³n.
El concepto de funciΓ³n es uno de los mΓ‘s importantes en el mundo de las matemΓ‘ticas.
Las funciones no sΓ³lo representan fΓ³rmulas y lugares geomΓ©tricos, tambiΓ©n son de mucha
utilidad para resolver problemas de la vida diaria, tales como el Γ‘rea comercial (finanzas
y bancas, contabilidad, estadΓstica), en la ingenierΓa, medicina, quΓmica y fΓsica, y
cualquier Γ‘rea en donde haya que relacionar variables.
CONCEPTO DE RELACIΓN: llamaremos una relaciΓ³n a cualquier conjunto de pares
ordenados de elementos. La nociΓ³n de correspondencia o relaciΓ³n se establece entre
los elementos de dos conjuntos que pueden ser iguales, pero no vacΓos.
Verifiquemos estos dos conjuntos cuyos elementos son nΓΊmeros enteros a los cuales
llamaremos el conjunto
A y B
A = {1,2,3,4,5,6} B = {7,8,9,10}
- 34 -
Estableceremos una relaciΓ³n entre los elementos de estos dos conjuntos, resultando los
siguientes nuevos conjuntos:
R = {(1,7), (1,8), (1,9), (1,10)}
R ={(2,7), (3,8), (5,10)}
R = {(6,7), (6,8), (6,9), (6,10)}
R = {(1,7), (3,8), (4,9), (6,10)}
Si observamos se crearon pares ordenados entre los elementos del conjunto A y B
llamΓ‘ndole a el nuevo conjunto relaciΓ³n R.
En una relaciΓ³n, el conjunto de las primeras componentes en los pares ordenados se le
llama Dominio (D) y el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados se
le llama Codominio o Contradominio (C). Para los ejemplos de arriba, veremos que
R = {(1,7), (1,8), (1,9), (1,10)}; D ={1} C ={7,8,9,10}
R = {(2,7), (3,8), (5,10)}; D ={2,3,5} C ={7,8,10}
R = {(6,7), (6,8), (6,9), (6,10)}; D ={6} C ={7,8,9,10}
R = {(1,7), (3,8), (4,9), (6,10)}; D ={1,3,4,6} C ={7,8,9,10}
CONCEPTO DE FUNCIΓN
CONCEPTO DE FUNCIΓN: Una funciΓ³n de A β B es una relaciΓ³n en la cual a cada
elemento del
Dominio A le corresponde uno y sΓ³lo un elemento del codominio B, formΓ‘ndose asΓ
un conjunto de pares ordenados, en el que no hay dos pares que tengan igual la
primera componente.
Las funciones se denotan o escribe con las letras ππ = ππ(ππ), donde
x: es la variable independiente
y: es la variable dependiente
f: es la funciΓ³n
Para la funciΓ³n ampliaremos los conceptos de Dominio, Codominio y Rango:
Dominio Df: es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente
(π₯π₯)en una funciΓ³n.
Codominio Cf: es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente
(π¦π¦) en una funciΓ³n.
- 35 -
Rango Rf: es el conjunto de imΓ‘genes formado por todos los elementos asociados. Es decir,
siempre es un subconjunto del codominio.
Las funciones y relaciones pueden tener una representaciΓ³n grΓ‘fica en el plano cartesiano.
Para distinguir si se trata de una funciΓ³n o de una relaciΓ³n basta con trazar una recta al
eje βYβ sobre la grΓ‘fica; si Γ©sta interseca en dos o mΓ‘s puntos es una relaciΓ³n, si sΓ³lo
interseca u punto serΓ‘ una funciΓ³n.
Ejemplo: Indica segΓΊn la definiciΓ³n, si los siguientes conjuntos son relaciΓ³n o funciΓ³n.
1. {(ππ,ππ), (ππ,ππ), (ππ,ππππ)}
Si observamos al elemento 2 del dominio le
corresponden 2 valores del codominio, por tanto, es
relaciΓ³n.
π¬π¬ππ ππππππ ππππππππππππΓ³ππ.
2. {(10,15), (20,25), (-20,35)}
Si observamos a cada elemento del Dominio le toca
un solo elemento del condominio.
Es una funciΓ³n
3. {(ππ,ππ), (βππ,ππ), (ππ,βππ), (ππ,ππ)}
A cada elemento del dominio le corresponde un solo
elemento del codominio.
Es una funciΓ³n
4. {(ππ,ππ), (ππ,ππ), (ππ,ππ), (ππ,ππ)}
A un mismo elemento del dominio, le
corresponden varios elementos del codominio.
Es una relaciΓ³n
5.
Si dibujamos una paralela al eje Y esta corta a la
grΓ‘fica en dos puntos
Es una relaciΓ³n
- 36 -
6.
Si dibujamos una paralela al eje Y corta la grΓ‘fica
en un solo punto
Es una funciΓ³n
VALORIZACIΓN DE UNA FUNCIΓN REAL
El proceso de determinar el valor de ππ (π₯π₯) para un valor de π₯π₯ determinado se le llama
valorar la funciΓ³n, es decir el proceso de obtener el valor de salida se llama ValorizaciΓ³n.
Ejemplos: EvalΓΊa las siguientes funciones SOLUCION
ππ. ππ(ππ) = ππππππ β ππππ β2
ππππππππ ππ(ππ),ππ(βππ),ππ( ππ)
Para valorar la funciΓ³n debemos evaluar
esta para el valor de x indicado.
ππ(0) = 3(0)2 β 5(0) β 2
= β2
ππ(β3) = 3(β3)2 β 5(β3) β 2
= 27 + 15 β 2
= 40
ππ(2) = 3(2)2 β 5(2) β 2
= 12 β 10 β 2
= 0
2. ππ(ππ) = ππ βππππππ
ππππππππ ππ(ππ),ππ(ππ),ππ(ππ)
ππ(1) = 4 β 3(1)
2
= 4 β32
= 12
ππ(2) = 4 β 3(2)
2
- 37 -
= 4 β62
= β22
= β1
ππ(4) = 4 β 3(4)
2
= 4 β122
= β82
= β4
3. ππ(ππ) = ππππππ β ππ ππππππππ ππ(ππ),ππ(ππ), ππ(ππ + ππ)
ππ(2) = 3(2)3 β 2
= 24 β 2
= 22
ππ(ππ) = 3(ππ)3 β ππ
= 3ππ3 β ππ
= ππ(3ππ2 β 1)
ππ(ππ + 1) = 3(ππ + 1)3 β ( ππ + 1)
= 3(ππ3 + 3ππ2 + 3ππ + 1) β ( ππ + 1)
= 3ππ3 + 9ππ2 + 9ππ + 3 β ππ β 1
=3ππ3 + 9ππ2 + 8ππ + 2
- 38 -
ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMΓTICA
ASIGNACIΓN SUMATIVA NO.4
FUNCIONES REALES
Nombre: ______________________________ Grupo: __________________
Fecha: ______________________________ Profesor: ______________ Puntos: /45
I PARTE. Identifica si los siguientes conjuntos representan funciones o relaciones.
Valor: 3 puntos.
1) {(β2,β8), (β1,β1), (0, 0), (1, 1), (2, 8) β¦ } _____________________
2) οΏ½(2,β1), (3, 0), οΏ½β9, 1οΏ½, (0,β3), (β1,β4) β¦ οΏ½ _____________________
3) οΏ½(0, 0), (β4,β2), οΏ½ββ643 , 2οΏ½, (β9, 3) β¦ οΏ½ _____________________
II PARTE. Identifica quΓ© representa cada grΓ‘fica, (funciΓ³n o relaciΓ³n). Valor: 6 puntos.
1) 2)
4) 5) 6)
3) 1)
6)
5)
4)
3)
2)
- 39 -
III PARTE. EvalΓΊa las siguientes funciones. Valor:
1) ππ(π₯π₯) = 3π₯π₯β1
,πππππ‘π‘πππππππ π ππππ ππ(4), ππ οΏ½β 12οΏ½ ,ππ οΏ½1
2οΏ½. (6 puntos)
2) ππ(π₯π₯) = β8 β 3π₯π₯,πππππ‘π‘πππππππ π ππππ ππ(0),ππ οΏ½β 13οΏ½ ,ππ οΏ½β 8
3οΏ½. (6puntos)
3) ππ(π₯π₯) = 3π₯π₯2 + 4π₯π₯ β 2,πππππ‘π‘πππππππ π ππππ ππ(β1),ππ(3),ππ(π₯π₯ + β ), ππ(π₯π₯+β)βππ(π₯π₯)β
(8 puntos)
4) ππ(π₯π₯) = βπ₯π₯2 β 3,πππππ‘π‘πππππππ π ππππ ππ(π₯π₯ + β ), ππ(π₯π₯+β)βππ(π₯π₯)β
(6 puntos)
- 40 -
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
PuntuaciΓ³n
esperada
Aspectos por evaluar PuntuaciΓ³n
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, segΓΊn
organizaciΓ³n del colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
3 Expresa adecuadamente la
soluciΓ³n de cada problema.
35 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos
de acuerdo con las
fΓ³rmulas y propiedades.
.
CALIFICACIΓN.
- 41 -
INFOGRAFΓA MATEMΓTICA 12-ALGEBRA Y CΓLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AUTOR: DIANA L.DE LAJON Y DIANA LAJΓN
MATEMΓTICA 12- SANTILLANA
AUTOR: MARYLIN ALVARADO VARGAS
CΓLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL- PEARSON
AUTOR: ARTURO AGUILAR MARQUEZ
PΓGINAS WEB DADAS EN CADA TEMA COMO APOYO AL MATERIAL
DIDΓCTICO OFRECIDO.