0fundam calculo financiero

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FUNDAMENTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO FINANCIERO. - Valoración del dinero en el tiempo: tipo de interés. - Tipo de interés compuesto. - Tipo de interés efectivo y tipo de interés nominal. - Valor actual: Capitalización y descuento. - Flujos de tesorería múltiples: Rentas financieras. - Ejemplos y ejercicios Referencia: Principios de Dirección Financiera. R.A. Brealey, S.C. Myers y A.J. Marcus. Ed. McGraw-Hill. Madrid 1999. – Capítulo 3.

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fundamentos de cálculos financieros

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  • FUNDAMENTOS BSICOS DEL CLCULO FINANCIERO.

    - Valoracin del dinero en el tiempo: tipo de inters. - Tipo de inters compuesto. - Tipo de inters efectivo y tipo de inters nominal. - Valor actual: Capitalizacin y descuento. - Flujos de tesorera mltiples: Rentas financieras. - Ejemplos y ejercicios

    Referencia: Principios de Direccin Financiera. R.A. Brealey, S.C. Myers y A.J. Marcus. Ed. McGraw-Hill. Madrid 1999. Captulo 3.

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  • 52 PARTE II. EL VALOR

    Las empresas invierten en muchas cosas. Algunas son actiuos tangi-b/s -esto es, activos que usted puede tocar, como fbricas, maqui-naria y oficinas. Otras son actiuos intangibles, tales como patentes omarcas comerciales. En cada caso la empresa desembolsa ahoraalgn dinero con la esperanza de recibir ms dinero posteriormente.

    Los individuos tambin realizan inversiones. Por ejemplo, su edu-cacin universitaria puede costarle a usted 30.000 dlares. Esto esuna inversin que usted espera amortizar en la forma de un salarioms alto a lo largo de su vida. Usted esta sembrando ahora y esperarecoger ms tarde.

    Las empresas pagan sus inversiones acumulando dinero y asu-miendo responsabilidades. Por ejemplo, ellas pueden pedir prestadodinero a un banco y prometer devolverlo con intereses ms tarde. Us-ted tambin puede haber financiado su inversin en educacin pidien-do prestado dinero que planea devolver despus con ese salario mayor.

    Todas estas decisiones financieras exigen comparaciones de losflujos de tesorera en diferentes fechas. Ser su sueldo futuro lo sufi-ciente para justificar el gasto actual en educacin? Cunto tendr quedevolver al banco si pide un prstamo para financiar su educacin?

    En este captulo daremos los primeros pasos para entender larelacin existente entre el valor de los dlares hoy y su valor en elfuturo. Empezaremos mirando cmo los fondos invertidos a un tipode inters determinado crecern a 1o largo del tiempo. Entonces, nospreguntaremos cunto necesitara usted invertir hoy para produciruna cantidad de dinero determinada en el futuro. Despus se descri-birn algunos atajos para calcular el valor de una serie de flujos detesorera. Finalmente, demostraremos cmo valorar un proyecto deinversin simple.

    Despus de estudiar este captulo usted debera ser capaz de:o Calcular el valor futuro que alcanzar una inversin a un tipo

    de inters determinado.o Comparar tasas de inters en diferentes intervalos de tiempo

    -por ejemplo, tasas mensuales uersus tasas anuales.o Calcular el valor actual de flujos de tesorera futuros.o Calcular el valor actual y futuro de una serie de flujos de tesorera.o Calcular el valor actual neto de una inversin simple.No hay nada complicado en estos clculos pero para manejarlos

    con facilidad, usted debera leer el captulo a fondo, trabajar concuidado a travs de los ejemplos (hemos llenado de ellos el captulo).y estar seguro de que usted es capaz de abordar los autocuestiona-rios. Le estamos proponiendo realizar una inversin ahora paraobtener una rentabilidad despus.

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    [S VUAIJNVNIC N9IJJAUIC AC SOIdIJNIUd

  • PARTE II. EL VALOR

    Valor futuro: Cantidad a la quecrecer una invers in despusde ganar los intereses.

    Inters compuesto: Intersganado sobre inters.

    Inters simple: lnters ganadosolo sobre la inversin inicial,los intereses no ganan intereses.

    TABLA 3.I.Inters compuesto.

    inters de r y un horizonte de / aos, el valor futuro de su inversin ser

    Valor futuro de 100$ : 100$ x (1+ r)rNote en el ejemplo que sus intereses en el primer ao es 6 dlares (6 porciento de 100 dlares), y en el segundo ao es 6,36 dlares (6 por ciento de106 dlares). Su renta en el segundo ao es ms alta porque usted ahoragana intereses sobre arnbos,la inversin inicial de 100 dlares y los 6 dlaresde inters ganados en el ao anterior. Esta ganancia de intereses sobre losintereses reinvertidos se conoce como capitalizacin o inters compuesto. Encontraste, si el banco calcul el inters slo sobre su inversin inicial, ustedcobrara inters simple.

    La Tabla 3.1 y la Figura 3.1 ilustran los mecanismos del inters com-puesto. La Tabla 3.1 muestra que en cada ao, usted empieza con un re-sultado mayor en su cuenta -sus ahorros han aumentado por el inters delao anterior . Como resultado, su renta de intereses tambin es ms alta.

    Obviamente, cuanto ms alto es el tipo de inters, ms rpido crecernsus ahorros. La Figura 3.2 muestra que unos pocos puntos porcentualessumados a la tasa de inters (compuesto) pueden afectar dramticamente alos resultados futuros de su cuenta de ahorro. Por ejemplo, despus de 10 aos1.000 dlares invert idos al 10 por ciento crecern a 1.000$ x (1,10)10 ::2.594$. Si invirti al5 por ciento slo crecer a 1.000$ x (1,05)10 : 1.6295.

    Calcular valores futuros es fcil util izando cualquier calculadora. Siusted tiene paciencia, puede multiplicar su inversin inicial por 1 * r (1,06en nuestro ejemplo) una vez por cada ao de su inversin. Un sencilloprocedimiento es utilizar la tecla de potencias (la tecla y') en su calculadora.Por ejemplo, para calcular 1,0610, introduzca 1,06, presione la techa

    _r.'.introduzca 10, presione : y descubra que la respuesta es 1.791. ( Intntelolr

    Si usted no tiene calculadora, puede utllizar una tabla de valores futurostal como la Tabla 3.2. compruebe que usted puede urllizarla para calcularlos valores futuros de una inversin de 10 aos al 6 por ciento. Encuentreprimero la fila correspondiente a 10 aos. Contine a lo largo de la filahasta que alcance la columna del 6 por ciento. La entrada muestra que1dlar invert ido durante 10 aos al 6 por ciento crece a 1,791 dlares.

    Intente ahora otro ejemplo. Si usted invierte un dlar durante 20 aos al10 por ciento, cunto tendr al final de los veinte aos? Su respuestadebera ser 6.127 dlares.

    La Tabla 3.2 presenta los valores futuros para una pequea seleccin deaos y tipos de inters. La Tabla A.1 al final del libro es una versin mayorde la Tabla 3.2. Ella presenta el valor futuro de una inversin de un dlarpara un amplio rango de periodos de tiempo y tipos de inters.

    Resultado Inters ganadoAo al principio del ao durante el ao

    Resultadoal final del ao

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    100.00106,00t12 ,361 19. 10l ) 6 ) 6

    0,06 x0,06 x0,06 x0,06 x0.06 x

    106,00t12,36l 19 ,10126.25I 33.82

    100.00 : 6,00106,00 : 6.36t12,36 : 6 .741 1 9 " 1 0 : 7 , 1 5t26,25 : 1 ,57

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  • 56 PARTE rr. EL vALoR

    Las tablas de valores futuros son tediosas, y como se demuestra en laTabla 3.2, muestran valores futuros para un limitado conjunto de tipos deinters y periodos de tiempo. Por ejemplo, suponga que usted quiere calcu-lar valores futuros utilizando un tipo de inters de 7,835 por ciento. La teclade elevar potencias en su calculadora ser ms rpida y fcil que las tablasde valores futuros. Una tercera alternativa es utilizar una calculadora finan-ciera. stas se discuten en un recuadro de la pgina 75.

    EJEMPLO 3.1. La isla de Manhattan.

    Uno de los ejemplos, preferidos por casi todo el mundo, del poder delinters compuesto es la venta de la isla de Manhattan por 24 dlares en1626 a Peter Minuit. Si consideramos los precios actuales de los bienesinmobiliarios en Nueva York parece que el Sr. Minuit obtuvo un buennegocio. Pero consideremos el valor futuro de 24 dlares si hubieran sidoinvertidos durante 368 aos (1994 menos 1626) a un tipo de inters del 8 porciento anual:

    24$ x (1,08)368 : 47.880 mil lones de dlaresQuizs la inversin no fuera tan buena como pareca. El valor total de latierra en Manhattan est hoy probablemente cerca de 51.000 millones ded1ares.

    Aunque entretenido, este anlisis es algo errneo. Primero, el tipo deinters del 8 por ciento que hemos utilizado para calcular el valor futuro esbastante alto como estndar histrico. A un 3,5 por ciento de tasa dcinters, ms consistente con la experiencia histrica el valor futuro de 24 d-lares seria dramticamente menol slo 24$ x (1,035)368 : 1.555.444 d\a-res! Segundo, nosotros hemos subestimado los rendimientos del Sr. Minuiry sus sucesores: hemos ignorado todos los ingresos por alquileres que la islaha generado durante los ltimos 3 o 4 siglos.

    Considerando todas las cosas, si nosotros hubiramos estado en 1628.hubiramos pagado con mucho gusto 24 dlares por la isla.

    El poder del crecimiento a tipo compuesto no est restringido al dineroLos propietar ios de bosques intentan predecir la tasa de crecimiento conr-puesta de los rboles, los demgrafos la tasa de crecimiento compuesta de lapoblacin. Un socilogo ha observado que el nmero de abogados en losEstados Unidos est creciendo a una tasa compuesta mayor que la pobla-cin en su totalidad (3,6 uersus 0,9 por ciento en los aos ochenta) y hacalculado que aproximadamente dentro de dos siglos habr ms abogadorque personas.

    Suponga que Peter Minuit no fuera el primer magnate inmobil iario deNueva York pero en lugar de ello hubiera invertido sus 24 dlares a la tasadel 5 por ciento de inters en el Banco de Nueva Amsterdam Cul hubiera

    AUTOCUESTIONARIO 3.I.

    sido el saldo de su cuenta despus de 5 aos? Y despus de 50 aos?

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  • 58 PARTE II. EL VALOR

    Tipo de inters nominal (APR):Tipo de inters equivalente enbase anua l u t i l i zando in te rssimple.

    En general, el tipo de inters efectivo anual se define como la tasa decrecimiento anual de los fondos incluyendo los efectos de la composicin.Por lo tanto,

    (1 + tipo anual) : (1 + tipo mensual)12

    Cuando se comparan tipos de inters, es mejor utilizar tipos efectivosanuales, porque esto compara el crecimiento de los fondos durante unperiodo comn permitiendo posibles composiciones durante el periodo.Desafortunadamente, la prctica comn anualiza tipos de inters a cortoplazo utllizando inters simple, multiplicando la tasa por periodo por elnmero de periodos al ao. De hecho, las leyes de transparencia en losprstamos en Estados Unidos exigen que los tipos se anualicen de estamanera. Estos tipos se denominan tipo de inters anual (APR1. As nuestro1 por ciento al mes de la tarjeta de crdito tiene un tipo compuesto anual de12,68 por ciento pero un APR de 12 por ciento.

    Si los tipos cotizan sobre las bases de APR, cmo podemos encontrar eltipo efectivo anual? La solucin es sencilla. Primero tome el tipo APR divida por el nmero de periodos en un ao para recuperar el tipo originalpor periodo que actualmente se est cargando en el prstamo. Entoncescalcule el tipo de inters equivalente compuesto anualmente. Por ejemplo, elinters sobre el prstamo de la tarjeta de crdito cotizar como un APR del12 por ciento. Como el inters se calcula mensualmente, hay 12 periodospara componer en el ao. Asi, nosotros dividiremos primero por 12 paraobtener el tipo de inters mensual, 1 por ciento. Entonces, convertiremos aun tipo compuesto anualmente:

    (1 + tipo anual) : (1 + tipo mensual)L2 : (1 + 0,01)12 : 1,1268El tipo de inters anual es 0,1268 : 12,68 por ciento.

    En general, suponga que el inters sobre el prstamo se paga r veces alao. Si el inters se capitaliza mensualmenfe, m : 12; si la capitalizacin essemestral, m : 2. El inters cargado por periodo iguala el APR dividido pornr. Despus de un periodo una inversin de 1 dlar se aprecia en 1 ++APR/nr. As el tipo de inters compuesto anual equivalente es (1 +*APR/n)- - 1.

    EJEMPLO 3.3. Los tioos de inters efectivos en cuentas bancarias.

    En los aos 1960 y 1970la regulacin federal limit el tipo de inters (APR'que los bancos podan pagar sobre cuentas de ahorro. Los Bancos estabanhambrientos de depositarios, y estudiaban diversas formas de incrementar eltipo de inters efectiuo que podra pagarse dentro de las reglas. Su solucin

    t Las leyes de transparencia en los prstamos se aplican a pstamos de tarjetas de crdito.prstamos para adquisicin de automviles, prstamos de mejoras del hogar, y algunos prsta-mos para pequeos negocios. Los APR no se utilizan normalmente en las grandes operacionr'.financieras.

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    lunue olsanduoc s?rolul ap odr e se 1en3? 'ouotc-'lod

    g lop UdV un el.rodos ,( sele:1sewt.tl so8ed eEtxe eqcoc un EJBd otuslsqrd ufll

    'alueurIJ"Ip olsenduoc Jelqnq os sqJelul Ie IS enbsgru ocod un olos'$8I90'I : go,oBIL'Z e oge Iep IsuIJ I gracorJ uqISJe^uIn,

    ,o1u.r" lod 9'ep znurluoc ug1zlle1tdec uoc odtl un o3o{o enb ocueq unuoo Jlop 1 esodap pelsn IS

    '1sy '(o1nc19c Ie uqlconpoJlul ep 0sel3 un 0p,nt1t-nj1rts epend enb e'ttc eun) g'7 -: a opuop'"oo2

    ocorc relgp I 'oge

    un op onuuuoJ ugrtrtzr1oltdo) uoJ'soft soe,t:elul ep :e8n1 ue onulJuoJofng un ue ueqeSed es seseJeJur so enb reuodns ee osed ouIlllq IE

    'sogenbed sgtrr sole^JeluIE sgJelul Ie opuelnclec eluaureldruls o^IlJeJo seJelul ep- odtl Io JlueuaJoul epsecLde"',rotenJ soouq sol ou93 t' slqeJ el ep:t1:ed

    re^ opend pelsn('uqI3JlsnlI ouroc

    Jezrlrln ered opuopeJ oJOuInu olluoq un se oJualc 'r9d 9 I3 oJOd 'olsa enb

    ,ou- o3e e.r ,oqceq eq) 'oluerc tod 9 eran e3d ue.letpnd socueq so1

    enb y otulxglu 1e anb opuatuodns solnclgc sol rlsenu ' lqel eI'el-ueul Ienu olsenduoc o,l,r1ce;e seJelur ep odtl 1e'etcuencasuoc uA

    'seJ3lul

    ieue? ererpnd sqJelur 1e enb ep selue odruetl souolu IJJncsueJJ

    'sogenbed

    sgrrr sole^Jelul ue za| epec glnclec es ssJelul I0 oluoJ 'elueluoluoncs4

    seur solisgdop sol eJqos s?Jelul Ie JelnJIo o-red y otusl[u Ie ]euelutu eJa

    6S VUEIJNVNI.{ N9IJJAUIC A(I SOIdIJNIUd

  • 60 PARTE lI. EL vALoR

    Tasa de descuento: Tipo deinters utilizado para calcularvalores actuales de flujos detesorera futulos

    El valor futuro se calcula multiplicando la inversin actual por 1 ms eltipo de inters,0,06, o 1,06. Para calcular el valor actual, nosotros simple-mente invertimos el proceso y dividimos el valor futuro por 1,06:

    valor actual : vA - valorJuturo : ry : 100s1,06 1 ,06

    Cul es el valor actual de, digamos , 112,36 dlares que sern recibidosdentro de 2 aos? De nuevo preguntamos, . La respuesta es obviamente 100 dlares; nosotros ya hemos calcu-lado que al 6 por ciento 100 dlares crecen a 112,36 dlares:

    1 0 0 $ x ( 1 , 0 6 ) 2 : 1 1 2 , 3 6 $Sin embargo, si no lo conocemos, o bien olvidamos la respuesta, dividire-mos el valor futuro por (1,06)2:

    vator actual : vA : ii1T,t : 1oo$( r .uoJ-En general, para un valor futuro o pago dentro de r periodos, el valor

    actual es

    Valor actual :Valor futuro despus de r periodos

    (1 -t r)tEn este contexto el tipo de inters r se conoce como la tasa de descuento y elvalor actual se denomina a menudo ualor descontado de los flujos futuios.Para calcular el valor actual, descontamos el valor futuro al tioo deinters r .

    EJEMPLO 3.4. Ahorrando para comprar un ordenador nuevo

    Suponga que usted necesita 3.000 dlares el prximo ao para comprar unordenador nuevo. El tipo de inters es el 8 por ciento anual. cunto dinerodebera usted apartar ahora para pagar por la compra? calcule el valoractual al 8 por ciento de tipo de inters del pago de 3.000 dlares dentro deun ao. Este valor es

    v A : T S : 2 . i i 7 , 7 i $1,09

    Note que 2.717,77 dlares invertidos durante un ao al 8 por ciento conce-dern lo suficiente para comprar el ordenador:

    Valor futuro : 2.777,77$ x 1.08 : 3.000S

  • ,('r + t)I

    x ornlnJ o8ed :

    ,("t + I) -- - : vl\oJnlnJ oeo

    eluerulen8t soureupod ,(,r + 'o]ueJaJrp rrrJoJ ep seuolssso

    :,(,.t + I)lI.rod rectldtllnu1)

    -rod ornlnJ o8ed 1e rlpl^lp ep ru8nl uguo aqrJcss es Ienlc Jole^ Iep elnuJo,J

    'I

    $000.000.0I : oe(60,i) x $II'S:seJlgp ep seuollru 0I ?]sq u0c0J3 sog 0E elueJnp

    olsanduroc serelul ep oluolc rod 61e sopluelul sorelgp IIESL enb e1o1

    $II s : #H+ : vA : Ienrc rolel

    sog 0E ep orluop ugrlqlcor es enb sorlopep souollrtu 0I op Inloe Jol?^ IO se 1gn3?

    'oluels :od 6 se sqrelul ep odtl 1E

    'vA opuelnclJ '9' oTdI ltrfs

    'gJpuot JoIBA Joueu 'o;eutp Io reuelqo eJed ruedse enbpelsn e8uei sgru oluenJ

    'usBJloJ os soJnlnJ elJoJosol ap so8ed sol opuenJ'1en3r sesoc sul ep olseJ Ie opuelueluetu 'uaec se1enloe soJole^ aot ,tO....

    99

    ern?rg l Jlsontu otuoc

    'so331 sgt sopolad uoc uac solen]o seJol^' so-I'eluasad I oJnlnJ Ie epsop soull sel ep o8rul ol 3 sotuepocoJleJ salnlcseJol^ sorulncleo opuunc

    'olsandruoc s?Jolul uoJ sopluo^ul seJulgp 00Iep ornlnJ role^ Ie uerlsontu 'g ernStg BI ep seluepue3s seeull sel se;luell4tr'olsenduroc soJelul opuezlllln uelnolec es a;dtuets selenlc seJol^ so-I

    ',("r + I) :od epr,trp .{ se.a 1e oseco:d 1e eltde; 'orn1no8ed un ep Inlce Jol^ Io JeJluocue erc',Q * 1) rod IeDIUI uoISJe^.uIey anb17d47nru

    '.r sgtelut sp odtl IB soge I elueJnp oUeI^.uI IS oJnlnJ Ie uopelsn gJpue] olugnJ JelnclJ eJed

    'oclsgq oluoltulpecord 1e soutlede

    'sog sop ep orluop sorelgp 000' sorusllusol Jouelqo erud serelop ZO'T,L;'Z olos o;ed ogu un ep oJluep serelgp 000'Jeuelqo e;ed serelop LL'LLL'Z ,{oq rtlre,rul ellseJeu pelsn

    'eruo lsa eCI

    ,(go't ) so's ::: vA$UUU L

    :z(80'I) rod se:e1gP000' sol opuelpl^Ip oJnlnJ o8ed 1ep lnlJe role^ Ie so{uelnclJ osec aJSeuA

    'soge sop ep oJtuep lseq JopeuepJo olso ep erduroc u1 rauodsod apendpelsn anb eSuodns

    'oldurele :o ',{oq JIue^.uI ep pplseceu ?l se Jouetu'o8ed 1e JeJeq aqep pelsn enb Ie JoIJolu oduet] 1e se :o,{eru o}uenJ

    19 VUAIJNVNIC N9IJJAUIC ACI SOIdIJNIUd

  • 62 PARTE rr. EL vALoR

    FIGURA 3.3.Valor actual de un flujo detesorera futuro de I dlar.

    Factor de descuento: Valoractual de un pago futuro de1 dlar.

    0.9oL ^ ^s u'- n 7

    a

    o 0 6

    E 0 5E6 0 4

    S 0,3

    ' - r = S o / s

    La expresin llQ * r)' se denomina factor de descuento. Mide el valoractual de 1 dlar recibido en el ao t.

    La forma ms sencilla para encontrar el factor de descuento es utilizaruna calculadora, pero los directores financieros a veces encuentran conve-nientemente calcular el factor de descuento utilizando tablas de factores dedescuento. Por ejemplo, la Tabla 3.4 muestra factores de descuento para unpequeo rango de aos y tipos de inters. La Tabla 4.2 situada al final dellibro proporciona un conjunto de factores de descuento para un rangomayor de aos y de tipos de inters.

    Intente utllizar la Tabla 3.4 para comprobar nuestros clculos sobrecunto dinero aparfar parala compra del ordenador de 3.000 dlares . Si eltipo de inters es el 8 por ciento, el valor actual de 1 dlar pagado al finaldel ao 1 es 0.926 dlares . As el valor actual de 3.000 dlares es

    VA : 3.000$ * t* : 3.000$ x 0,926 : 2.7785t.0b

    TABLA 3.4.Valor actual de I dlar . Tipo de inters anual

    Nmerode aos 5Vo l0Va9Vo7Vo

    123451 02030

    0,9520,9070,8640.8230,'7840,6140,3770.231

    o q410,8900,8400,'7920,1470,5580,3120.174

    0,9350,8730,8 160,7630,7130,5080,2580 .131

    0,9260,8570,7940,7350,6810,4630,2150,099

    0,9170,8420,7720,7080,6500,4220,1 780,075

    0,9090,8260,7510,6830,6210,3860,1,490,057

  • ., olnlrdJ l3 ue sorxsllqeq solle oJqos

    .ota, ugdrc souoq outoc uocouos as os?3 else ua'9 ogeIJp fuu lp o8ed oJrun un olos ugJl?p ourlelr oulalqoc IJp souoq so'l

    'uodn) o tDlnbJ sy'.ttulun uoqrcsJ souoq ue soloslo^ul sol

    'elueull"IuloN 'soroq ouIoJ uacouoc es nol solsg z

    'sellul3ep seJl ep pnlllcexe uoJ- 8t9'0se

    'ourruec op pellul gise oluencsep op JolseJ Ie oluolc Jod S' ep sqJelulop odrl un eJed

    'oluol3 Jod 8 Ie se s?Jelul op odl] Ie IS 9'0 sa ,{ oluels Jod Ie se sgJalul ep odrl Ie IS 999'0 so soge 9 3 oluoncsep op JolcBJ e anb re,nepend potsn

    'orqll Iop IEuIJ Ie spenlls Z'Y elqe- el razqrln soueppod 'o1-uoncsep op JolceJ Ie JeJluoouo elud e.ropen3lc Bun JezrlrTn ep;e8n ug

    ^(cr o'r ) s8t9:8t9'0 x $0001 x $000'l : vAt

    :sog? 9 ep oluenJsep ep rolcJ Ie:od serelgp 000'I ep oJnlnJ o8ed e soruectldtllntu role^ I3 relnclsJ

    JBdouerlslr ouJolqog Iep OOI un od rc?ed e olsendstp pelsn opelso relqnqo1u9n3?

    'olualJ tod g' Je oJuolrIoru ose ue opeoJelu op s9J31uI ep odtlIE.soge g op Iuu I serlgp 000.I ropoesod e re8ed elleuro;d selenc soep oun 3pe3

    'snol gllluje olla eJsd 'soge sles eluBJnp soJlgp op seuolllur8t ep ourlsad un .rrped gltseceu oueIIBlI ourelqoD lo 7,66I op orerqeJ uE

    sorlgp ep souollltu 8t uo Bpnepue os oUBIIII ourolqoc IE '9't OIIAISfS

    ''.9 OIUYNOITSSNJOIiIY

    '(optluesolse euoll gnb ;o?)

    'ua,{nuturstp o^onu ep selnlo seJol^ so 'so?resgru oluenosep ep sopotred etceq

    'seurunloo sel od e.tenur es pelsn opunJ'e,nurursrp Inlc Jole^ Ie 'so11e sgru seJOluI ep sodrl Btceq esopu?lSlilp'r't EIqeL l ep selu se1 ;od elentu es pelsn anb eprperu e enb e1o1

    'oopuopeJ ep seJoJleso1 :od oJuelueclun y'g odruefg lep solnclgc sol ep eJeIJIp olonu ep enb

    srs'z: s8'o x $ooo'E: P x $ooo't: vA Iso sorelgp 000' p Ienlce rols^ I3 o8enl

    '98'0 se soge sop op orluop ope8edrlgp I op Intcu role^ Io enb erlsenru t't

    lqI eT sog Z ep orluepelseq euodsod es ;opeuepJo lep eduoc 3l IS eJJn3o 9n?

    't'E oldruefg 1eue o^nlqo es enb Jols^ Ie uoc eplculoc oepuopal ep seJoJJe :od o.t1us Isnc Ie

    E9 VUAIJNVNIC N9I]JEUIC ECI SOIdIJNIUd

  • 64 PARTE II. EL VALOR

    EJEMPLO 3.7. Encontrando el valor de un crdito sin inters.

    Canguro Autos ofrece crdito sin inters sobre un coche de 10.000 dlares.Usted paga 4.000 dlares ahora y el resto dentro de dos aos. TortugaMotor no ofrece crdito sin inters pero le rebaja a usted 500 dlares delprecio en tarifa. Si el tipo de inters es el 10 por ciento3. qu compaa estaofreciendo mejores oportunidades?

    Note que en total usted paga ms al comprar a travs de Canguro, pero.como parte del pago se pospone, puede mantener el dinero en el bancodonde continuar ganando intereses. Para comparar las dos ofertas, ustednecesita calcular el valor actual de los Dasos de Cansuro:

    vA : 4.000$ + 6.000$ "

    - : : 4.000s + (6.000s x 0,826) :(1 .10) ' .: 4.000$ + 4.958,68$ : 8.958,68$

    Si usted paga 4.000 dlares ahora y aparLa 4.958,68 dlares en unacuenta en el banco, tendr lo suficiente para pagar a Canguro Autos. Elcoste total de 8.958,68 dlares es una oportunidad mejor que los 9.500dlares cargados por Tortuga Motor

    Estos clculos ilustran lo importante que es utilizar valores actuales cuan-do comparamos formas alternativas de pagos. Usted nunca debera compararflujos de tesorera que tengan lugar en diferentes momentos de tiempo sindescontarlos primero a un momento comn. Calculando los valores actualesvemos cunto dinero debe aplazarse hoy para pagar futuros.

    Encontrar el Cuando miramos a los IOUs del Gobierno italiano en la seccin anterior, setipo de inters utiliz el tipo de inters para calcular un precio de mercado aproximado

    para cada IOU. Algunas veces le dan a usted el precio y tiene que calcular elrnters que se est ofreciendo.

    Por -ejemplo,

    cuando el Gobierno italiano se endeud, no anunci untipo de inters; simplemente ofreci la venta de IOU a 648 dolares. De estaforma sabemos oue

    V A : 1 . 0 0 0 $ X - : 6 4 8 $( l * r ) "

    Cul es el tipo de inters?Hay diferentes formas de aproximar esto. Primero, usted podra utilizar

    una tabla de factores de descuento. Usted necesita encontrar el tipo deinters para el cual el factor de descuento a seis aos es igual a 0,648. Mirela Tabla 4.2 situada al final del libro y mueva su dedo a 1o largo de la filacorrespondiente a seis aos. Usted puede ver que un tipo de inters del 7 porciento proporciona un factor de descuento mayor y que un tipo de descuen-

    3 Suponemos capitalizacin anual, de forma que no hay necesidad de distinguir APR de lostipos efectivos anuales.

  • 'soJlgp 00I ue oluel'uepstulxoJde o^IlcoJe olceJd ns oplJnpeJ eq oJnSueJ

    $0s'6s8'8 :EZ'1,I|V + $LZ'17.1'7, * $000'Z :

    (928'0 x $000's) + (606'0 x $000'E) * $000'Z :[,(orr) I (ot't - \ | " "- - x q000'9 | + t, x $000'el + SOOO'Z : VAL t r \r /

    se so8d sol ep lelol role^ IA 'sog sop e oluenJsop

    ep JolJeJ 1e ;od soruectldtlntu 'soge sop e oSed Ie JJole^ e;ed loge un e

    oluanosep op JoloeJ 1e rod soruectldtllntu ou un e o?ed Ie :eJolu^ BJdBueJo JorJolu? l uoJ else .l.leduoc ourg3?

    '7 ove Iep IBurJ Ie sorslgp 000'9 ,( 'I oge Iep IsuIJ I3 serslgp 000' 'eroq?seJelgp ggg' .re8ud uo elslsuoJ

    'eueJo ns opesl^oJ q solnY o;n8uu3

    oqcor un ep sozeld e erduro3 '8' OldIAItrfT

    'soln]3s seJol^. sol soluIllns,( eperedes uJoJ ep oun EpEO sotueJolel olueuedurts

    'solnln so8ed soIJeA,{eq opuenc ISV

    'solJeluns epend pelsn enb eIrIJoJ ep- so}uelJJoc soJlopue sopese;dxe uulso enb se selnlce soJole^ sol ep selulue,t sel ep un

    ssrdrrlchr Ylusuossr [c sofnr.{ 'v'E

    '(o;qll Iep g eut89d ;e,n) e;etcueut3 er-opulnJlec eun Jszrlrln u?Iqrusl epend polsll 'osned sgru se olse 1e'teue8 ug

    % I'L o 'S0'0 : I

    9o'I : nir(tvg'r): (r + l)

    oluelJ rod 9' enb ouau o oeueros r rs Jrop petsn epand?

    'solnclgJ sol rBa[BoJ ep saluv seJBIgp S0rod 6 ms Jopuo^ epond oueqult ourotqog Ie IS s?Jolul ep odq e sa un3?

    '9't oluYNorrssnJor.l \

    $819 ti9'r ::n(;+I): nQ -r I) x $8t9

    s000'Is000'r

    enb elsoruep e;edBJopelncleo ns Jezrllln ,( uotcence e1 ua :eredo epend pelsn

    'opun8ag'oluatJ ,rod g' un

    'p]lur el aluorpsuuxo,de le ouzllell ouJolqog Iep otuelseJd 1ep sqlalutep odrl IE

    'Jouoru oluonosep ep JolcJ un uuotc;odod oluen :od 3 ep o1

    s9 VUSTJNVNIJ N9IJJIUICI aC SOIdIJNIUd

  • 66 PARTE II. EL VALOR

    Deuda perpetua

    Perpetuidad: Flujo de pagos detesoreria oue no finaliza nunca.

    Cuando hay mltiples pagos, usted oir a las personas de negociosreferirse a una corriente de Jlujos de caja. Ellos calculan el valor actual de esacorriente calculando primero el valor actual de los pagos de cada periodo isumndolos posteriormente.

    A veces hay atajos que hacen ms fcil el clculo del valor actual de unactivo que ofrece varios pagos en diferentes periodos. Veamos algunosejemplos.

    En ocasiones usted se encuentra con inversiones que realizan un pagoregular a perpetuidad. Por ejemplo, hace algn tiempo el Gobierno Britni-co se endeud emitiendo deuda perpetua. En lugar de devolver el prstamo.el Gobierno Britnico paga a los inversores que posean estos ttulos unacantidad fija anual a perpetuidad (para siempre).El tipo de inters de la deuda perpetua es igual al pago anual prometido Cdividido entre el valor actual. Por ejemplo si la deuda perpetua paga 10 d-lares al ao y usted puede comprarla por 100 dlares, ganar un i0 porciento de intereses cada ao Dor su inversin. En seneral.

    Tipo de inters de la deuda perpetua :pago de tesorera

    valor actualC

    ' V A

    Podemos reordenar esta relacin para derivar el VA de la deuda perpetuadado el tipo de inters r y el pago de tesorera C:

    VA de la deuda perpetua : I :r

    pago de tesoreratipo de inters

    Suponga que una noble persona desea hacer una donacin de unactedra en finanzas a su Universidad. Si el tipo de inters es el 10 por cientr-'y el objetivo es conceder 100.000 dlares al ao, para siempre, la cantidadque debe ser destinada hoy es

    100.000$VA de la deuda perpetua 0 ,10

    : 1.000.000s

    Dos advertencias sobre la frmula de la deuda perpetua. Primero, sihecha una mirada rpida usted puede confundir fcilmente la frmula conla del VA de un pago individual. Un pago de 1 dlar al final del ao 1 tieneun valor actual de IIG * r).La deuda perpetua tiene un valor de 1/r. sto.son bastante diferentes.

    Segundo, la frmula de la deuda perpetua nos dice el valor de unacorriente de pagos regular que comienza dentro de un periodo. As nuestradonacin de un milln de dlares dara por lo tanto a la Universidad elprimer pago de 100.000 dlares dentro de un ao. Si el noble donante quiereconceder a la universidad un pago adicional de 100.000 dlares inmediata-mente, el o ella necesitara donar 1.100.000 dlares.

    : q :r

  • 'z

    SI

    SI

    sI

    SI

    $l

    $I

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    "$l

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    r0+l)._.tII

    (. + I)rI.t

    I

    soge t t ppllnuv

    g enlad.red epnsq

    y enad.rad epnoq

    IBnlrB rolBAogv

    slrarosal ap sofng

    'I sllJ BI 3p uorsJo^ur el oluoc elJoJo.sol ep soSed souIslur sol oluetuelcexeup E ,{ ser sl op seuolsJe^ul sEI s?}un[ opuulo1

    'o1se .le,t opond u?lq-I.ue] pelsn 'soge soJl pBpllsnue eun so'seJqel8d sJlo uE 'soge seJl sol epoun pec Jod og Ie Jelgp I op oSed ep Ie^ru un epoJuoc elsg

    't'E eJnSIl elep llJ JecJel el ue Jlsonu es enb uoISJeAuI l oJIlil

    'ol.ullln Jbd 't ll.{

    ,(;+l)"r_r(.r+l)..rIII

    op rolel un euer] epezede peprnledred el ISV 'soge ep oluenosep op

    JolcJ Ie Jod J/I JecIIdIUnu sotuellseceu ,(oq JolB^ Ie JJluocue eJed 'BJoq

    JolE^ Ie so ou es? ored '(1 oge Iep IBuu IB uzuelluos 3nb so33d uo3 IeIuJou

    enlodJod pnep eun gJos 'oluetuotu ese u enb:od) og Ie ue l ep Jole^

    un eJpue] enb sorueqes 't og Ie Blseq uzuoluloo ou so8ud solse o;ed'pep

    -rnteded relgp 1 ep so8ed ep ofng un euolorodord ugtqure'y'g ern8tg e1ep ellJ epun8es el ue eJlsenur es enb UoISJOAUI el e eJoq aJIW

    'Z sll.{'rlI ep Ien]oe role.\ un euerl enledred epnap elsa

    enb o1sr.,r, sotuor{ e^'I oge Ie ue opezuetuoc pplnledred e Jelgp 1 ep soSedep ofng un epecuoc e. ereurud el uo epeJlsotu uoISJe^uI e'I

    'I BIl.{'seuorsJe^ur

    op soJol^ so1 ,( eue;ose1 ep sofng sol Jlsenlu 'E ernSrg e'I 'ocnJ] eluetnSts

    1ep efelue.t Jeces so eprdg: BrrrJoJ E-I 'seJole^ sol Jeuns ,{ o8ed epec

    JeJoleA so luol ruJoJ e-I 'peprlenu un JeJolz. ap setuJoJ sop ,{e1

    'selen8r solenu sepprlue3 g ue 'oldruefe od 'sozeld uo eJqoc elueuuctdllopelso Iep lJelol eun op :opeue8 19

    'selen8r selnsuolx so8ed gy ue?txaeqcoo un ep erduroc el oJqos sog oJlenc sourelsed so1

    'selen8t soSedg9g e re8nl elrep olso sog 0E u ouelsard un eJd

    'oue1sgtd IOp epl^ ?lelueJnp selenSr selensuoru soSed Jezqvet e ouuletdod 1e e,te11 epuol^I^ uunep ecalodrq e1

    'oldurela Jod 'soporJed ep opeulluJelop oJeurnu un elueJnpopored upuc eir pprluc eun e?ud enb uotsrelul eun so pBpIInuB un

    "'9'pprlnuE eun opueJolP.\

    't't vuflcr-{

    'seJEIn'1-

    sole^lelur B aluElsu.:ueroset ap otng :pupllunu\

    sepBpllBnuBTBJOIBA OIU9J

    .9'I OIUYNOIISINJOINY seJelur ap odrl e e.ra 1gn3?'sJqrl 8? ap otcard un Iual 661 ep otunf ue,{ eduars ered oge le sergrl e?ed oJtugtFg ourelgoD ap peprntedrad uu

    L9vUETJNVNIJ N9IJJAUTA E(I SOrdrJNrUd

  • 68 PARTE II. EL vALoR

    As el valor de nuestra anualidad lfila 3) debeperpetua de la fila 1 menos el valor de laretrasado:

    ser igual al valor de la deudadeuda perpetua de la fila l

    Valor actual de una anualidad de 1S durante 3 aosI(1-T-T

    La frmula general para el valor de una anualidad que paga C dlares alao durante t aos es

    _ [ r 1 - ]Valor actual de una anualidad a f aos : Cl ; - ^ |L , r ( l + r ) '_ .1la expresin entre corchetes muestra el valor actual de una anualidad de

    Factor de anualidad: Valor 1 dlar al ao durante / aos. Esto se conoce en general como el factor deactual de una anualidad de 1$ anualidad de / aos. En consecuencia, otra formipara escribir el valor de

    una anualidad es

    Valor actual de una anualidad a f aos : cuanta x factor de anualidad

    Recordar las frmulas es casi tan dificil como recordar el cumpleaos d.'la gente. Pero en la medida en que usted tenga presente en su mente eue uncanualidad es equivalente a la diferencia entre una deuda perpetua inmediat"v una retrasada. no debera tener ninsuna dificultad.

    EJEMPLO 3.9. Volvemos a Cansuro Autos

    Volvamos a Canguro Autos casi por ltima vez. Muchos crditos a plazo.utilizan corrientes de flujos de pagos iguales. As, supongamos que esta vezCanguro ofrece en su proyecto un

  • 'anDDDdaJd ?DPUDnut)EUn OIUOC aSJeJOuoJ elans elueluelBlpstrru{ ocuel[rjoJ 3nb ofu }Jolosa} ep oinu uI} t

    'oluolc rod 8 lep sqJolul op odll un e8uodns ollrrord Iop Ienlc role^Io sa IenJ?

    'oun Bpec serzlgp 000'S9t op selenue sozeld 0 ue esreSd e;qeppeprlueo BlsE

    'soJelop op souofitru '6 op Jolel un e]uetuleoJ e]uol ou oruredns enb Jleges uypod ee elsendse-t oIUoJ

    'so8tue so,{enu ,{ selueued 'secg-aueq Soue1ll o sul SeuoIOnJIlsuI Op Su33op op oJoulp ep seuolclled ,{ soesapsouenq

    'sepeltcqos ou souolcellclleJ glql)er e11e enb sorueqcedsos 'seJBIgpop seuollrtu 9'6 :etrolstq sl ep epuBJS sgru otued 1e gtn8tsuoc ,( oua epourse3 Ie uo seJelop zI glsode sogs 09 3p BJeIuJeJue uun'766 ap o,(eu ug

    'seede8ul eurnbgu un uo otued uer8 u '0t' OTdSf[

    $rt6'0l : l69tL'r) $000't + $000't : vAsa InlJ rol^ Ie o8enl

    '9'I se soge Z e ppllsnue rolcJ Ie oluels rod g1 y

    (soge u pepllunu) YA + $000't : Ienlcs roleoseJ eJSo uE

    'elueluelBlpelxul opuuzuel'uoc seJelgp 000't ep selnuso8ud serl opt8txe JOqq IJpod o:n8ue

    'oldruefe Jod 'reluoluelelpetuulecrleeJ as o8ed erutd 1a enb ue8txe opnueu e sozed e sourelse;d so1'ogs un op oJluop uezuollxoo enb uyre;ose1 ep so?ud ep ofng un op Jole^Ia uocrp al sellg

    'opoued Iop IuIJ 1e .re8n uouelJ so8ed soerutrd so1 enbueuodns sopepllnu se1 ep,{ nleded upnep el ep selnuJoJ s-1 :osnv

    'Blsendsa.l l euoze soreulfu sop solsaanue uonelor ul so en3? soge t E pptlenu" ep rolJBJ a sa 9n? sogut u oluenJsop op JolJeJ 1a sa enc?

    'oluelc rod 3 Je sa selslul ap odrl a 15''t oruYNolrssnJorlt

    'opezeyde o8ed out11gle rEZrIeaJ u:ed eluetctns'$000't : 0I'I x SE'9t9' e oUB olullln Ie ue u-ecrc ocueq Io uo pellsodep peprluJ elsE

    'serelop L;'gtg'E uoc euepenbes ,{ serelgp 000't ep opezede o8ed opunSos I3

    Irezllser soouo}ue po}sfl'$Ll'gtgL: 0I'l x sgfzv6'g e soralul uoJ uIJecerJ soJJoq sns 'oge opunSesIop IurJ IV'serelgp ;I'ZV6'g uor pelsn e elopueiap'sorelop ggg'7 ep ozeldeuud 1e "re?ud elr]Isoceu pelsn olso uof

    '$91'7V6'0I: 0i'I x $IV'LV6'6 ogs Jer.uIJd ep leut Ie ueJJeJeJc soJJoq sns

    'oJuelc Jod 0I Ie sopluo^ul'se.rqeled selso soueqo:dtuo3 'solnv orn8uu3 e soJnlnJ sozeld so1 re8edered oreurp oluelJlJns gJpuet pelsn',(oq soJlgp IV'LV6'6 e1:ede pelsn ts'od-urefe ro 'soJnlnJ BIJeJosol ep so8ed ep ofng un eeue8 e;ed ,{oq JIuo^uIenb euart olunc petsn e uurlsentu el Ienlce rol^ 3p totnttlbt,i#ro.

    0I Iop sgJolur ep odrl un ed soge [ pepllenu Eun op Jo]csJ I0 Jel]uoouoepend palsn anb eqen;duo3

    '(o.lqll Iap IeUIJ Ie 'V slqeJ el uo srlsonruos suelxo sgtu uoISJe^ eun) sepeptlunue ep lqel el ep epnnpoJ uqISJo^ BUnse g' elqel e-I

    'sopepllenue ep se_lqel ep olunfuoc un rezlllln epend o ppll-enu ep seJolcJ sol JelncleJ ered e;opelnclec un Jezrlrln epend pelsn

    VUAIJNVNI.{ NOIJJAUIC EC SOIdIJNIUd

  • 70 PARTE rr. EL vALoR

    TABLA 3.5.Tabla de anuaiidades: valoractual de 15 al ao paracada uno de los / aos.

    Tipo de inters anualNmerode aos l0Vo8Va5 % 77a

    I23451 02030

    0,9521 ,859

    3,5464.3297,722

    12,46215.3'72

    0,9431 ,8332.6733.4651.2127,360

    11,47013,165

    0,9351,8082.6243,3874,1001,024

    10,59412,409

    09261.7832.5771 1 1 )1 q q 16,7109,8 18

    1 1 ,258

    0,91 7t ,1592,5313,2403,8906.4189,t29

    10,214

    0.9091.7 36) 4R13, t703,7916,1458,5 14q 4 ) ' 7

    El valor actual de estos pagos es simplemente la suma de los valoresactuales de cada pago. Pero en lugar de valorar cada pago de formaseparada, es ms fcil tratar los pagos de tesorera como una anualidad de20 aos. Para valorar esta anualidad simplemente multiplicamos 465.000dlares Dor e1 factor de una anualidad a 20 aos:

    VA : 465.000$ x factor anualidad a 20 aos

    : 4 6 s . o o o s ' I t - - - l - - - l

    f l r ' ( l - r ) ' "J

    Al tipo de inters del B por ciento, el factor anualidad es

    [ 1 1 - ]

    L* -

    o,os(r-oi-l : e'818

    (Tambin se podra mirar el factor anualidad en la Tabla A.3). El valoractual de 465.000$ x 9,818 : 4.565.000$. Estos tienen un verdadero valor en torno a 4,6 millones de dlares.

    Este valor actual es el precio que los inversores ofreceran por esas serlesde flujos de tesorera. Por ejemplo, el casino podra acordar con una compa-a de seguros el pago al afortunado ganador. En este caso, la compaacobrara algo menos de 4,6 millones de dlares para hacerse cargo de laobligacin. Con esta cantidad hoy en la mano, podra generar bastantesingresos por intereses para realizar los 20 pagos antes de dejar su acero.

    Cuando calcula el valor de las ganancias de Ia mquina tragapeffas, supone-mos que el primero de los 20 pagos tiene lugar al f inal del ao l. Sinembargo, el primer pago probablemente se realiz de lorma inmediata- conlos siguiente pagos extendidos a lo largo de los siguientes l9 aos. Cul esel valor actual del premio de 9.3 millones de dlares?

    AUTOCUf,STIONARIO 3.8.

  • 'oluerr rod 89'zf o '89i'0: I - zr(I0'I) so lenue o^IlceJe od4 1E oluarc .rod 1 ep UdV un e euple,trnbe olsg ,

    el rrcnper erad rrezr]|ln es ($06'82 : IL'666 -

    I9'820'I) Iensuelu o8ed nsep seJelgp 06i82 olsoJ I3 f saseJelul op 83Jc

    l Jod sBplqJosqe uos lBnsueuro8ed opun?os ns ep sorelgp VI[666 onb eIUroJ eCI

    '$I'666 : 6t'IL6'66op oluorc Jod I Iep soseJelut ep e8;ec eun gJqeq

    'sour aluetn?ls IA'seul ose ue ouelsoJcl le oJqos u?1)

    -DzrtloutD pl eurluousp as selelop I9'82 so-t 'soJBlop 6t'lL6'66 e our]se.d

    Iep oluerpued peprluec BI rlsnpeJ ercd ezqrn es sorelop lg'82 ep oruelse;de

    ,( ourelsg:d 1e e.rqos sesoJelul e?sd eed ez\rtn es lensuetu o8ed eruudns op serlgp 000 I tsv serelgp 000'I o

    'sorlgp 000'00I ep oluelr rod 1eBJes oruls?d else ue setu un ep sendsep ope8ue,top s?Jelul 1e

    'oduefe ;o'ouelsg.rd Iep ppllu?c el JIOnper emd uezty|n es e]ed ,{ ouelsard Ia erqossesoJelur m?ed emd uazrlrtn os selensuotu so8ed sol op e1;ud enb ecttu8ts>'alqozu.toLuD olavls?d ueuturouep es ecelodlq

    l ep pI^ 3l ep

    o?ru1 o e ueft es solensueru soSud so1 enb 1e ue'otuelsgrd ep odtl elsg

    $I9'820t :8IZ,L6 -

    $000'00ronr(Io'I)Io'o _

    I: melodlt{ o33d$000'00r

    socuolug'sseru I oluolc;od 1 1e so sgJelul ep odrl e enb eSuodn5

    sese{u 099 3 pprlenuB JolJeJ: ecelodlq o33d$000'00I

    $000'00r :: SeSeI 09 ep ppllBnue rolcJ x ecel0dtq oSed : I3n1c role^

    '1sV 'serlgp 000'00i ep lznlce role^ un uu8uel enb eurro ep selsnsuetu so8dsolse refg ellseoeu ocueq 1g

    '(seseru g9g) soge 0E sotulxqJd so1 elue'tnp se-nsuer so8ed ep so^J1 e ouelsg;d Ie ellen^ep sec 3l ep.roperduoc 1g

    ecelodrq e emd opensop Isnsueuo8ed e se gn3?

    'leool sorroqv ep eryJ q uoc ecelodlq un eluelpetusotu]ser serelgp 000'001 so rod asopugpnepus

    'opeluoc 1e 'se:ugp 000'92Bes o

    'eJdruoc ep onerd Iep oluetc rod g 1e eSud rope:duoc 1e enb ,{ 'sele-gp 000'SZI lsenc esc un enb Suodns'selensueru sozeld uo e8ed es enbsoge 0[ e oruelsqrd un so unuloJ sglu oruelsg.td ep opJonos 1g

    'elsrurulse.tdun B BSec e1 ap orce:d lop elueluoru Ie opulserd ueprd elueuectdll sesecep se:operduoc sol

    'oldruefa :o '.{oq opep Jols^ un uIJepecuoc enb et-eJose] ep so8ud ep salJes sel JJluocua JeJlseceu epend polsn sece^ seunSy

    I0'0I

    VvuIITJNVNIC NOTf,f,AXIC aC SOIdIJNIUd

    'secelodrg 'II't OIdI ISS

  • 72 PARTE I I . EL VALoR

    FTGURA 3.5.Amortizacin hipoteca.

    AUTOCUESTIONARIO 3.9.

    12.000 -

    10.000 *

    g 8.000 *G

    6.000 *

    4.000 -

    2.000 *

    0 -l 0 1 3 1 6 t 9 2 2

    Aos

    cantidad pendiente de su prstamo. La amortizacion en el segundo mes e:mayor que en el primer mes porque la cantidad del prstamJha disminui-do, y en consecuencia se toma menos del pago der mes para intereses. Estcprocedimiento contina cada mes hasta que el ltimo ms, cuando la amor-tizacion es suficiente para reducir la cantidad pendiente del prstamo a cero.y el prstamo se cancela.

    como el prstamo se cancela de forma continua, la fraccin del oasr.mensual dedicada a intereses cae de forma continua, mientras la fraci6nutllizada para reducir el prstamo (la amortizacin) aumenta de la mismaforma. As la reduccin en el tamao del prstamo es mucho ms rpida enlos ltimos aos de la hipoteca. La Figur 3.5 ilustra como en los piimerosaos_casi todos los pagos de la hipoteca son para intereses. Incluso despu:de 15 aos, el grueso de los pagos mensualei es intereses.

    r r r r l t l l l l

    Iffi

    Amortizacin

    Interes pagado

    cul ser el pago mensual si usted acuerda una hipoteca de 100.000 dlaresa 15 aos y un tipo de inters del l por ciento al mes?

    EJTMPLO 3.12. cunto lujo y diversin pueden comprar 37.000 millones dedlares?

    El Sultn de Brunei tiene la reputacin de ser la persona ms rica delmundo, con una riqueza estimada de alrededor de 32.000 millones de dla-res. Nosotros no conocemos todava al sultn, y entonces no podemosincluirle a usted en sus planes para asignar los 37.000 millones d dlaresentre actos de beneficencia y el coste de una vida de lujo y diversin (L&D).Para hacer las cosas ms tciles, nos preguntamos ia siguiente preguntahipottica: cuanto podra el Sultn gaslar anualmente en?O aRos de Laosi dedicara la totalidad de los 37.00 millones de dlares a estos fines.lSuponga que su dinero se invierte al 9 por ciento de inters.

  • 'oluelt rod LI'g o'L190'0: I

    -

    .,(9000'I) Iros lenu? o^tlroJr odll lil UdY oluorr:od 9 un e ae'ttnbe olsg n

    enb odrl Ie se oluelc Jod I 'Icuoncesuo3 ug 'oluelc lod 1 outs ioluetc od

    S'0 se ou Jruo^ul eluo[ulenlce epend pelsn enb Ie s?Je]ul ep odtl Io oJed

    J CL$90's9 :

    nr(soo't)soo'oI

    $000'zI_ 900'0

    I$000'zI

    sesetlI 9 pepllenuB rolceJ:

    ensueru o8es000'zI'ercuencesuoc

    ugs000'zI :

    sesotu g pepllenue JolcJ x lunsuetu o8ed :oluelc ;od g'g op sgJOluI ep odrl 1e oSed Iap Ienlc Jole^

    'tsy 'se.lu1op 000'I e en8t Jes solelulep odrl ep olualJ rod g'g un opuzlllln selensuoru soSed 9E sol op IsnlceJolB^ Ie

    'soge g ep o8re o1 e seen8r sozed ue e8d es ouelsgrd Io IS 'oluelc

    "rod g' Io JenJ sgJOluI ep odrl Ie IS otoc o8ed ep selonc sel "Jelnclec

    ,( se;e1-gp 000'ZI erelserd el ropepuel 1e'ropapuen lep EuoJo e1 edece pelsn ISaqcoc Iep olsoc Ie opeuolouenqns otuelse;d else scnpeJ o1u9n3?

    'solu Ie oJuels.rod 11a so opecra{u ep odrl Io IS osnlsul esetu [E oluelJ.tod g'g lep sqJolul 3podrl 1e rope:dutoc 1e erdruoc ep otca;d lep ourzlserd un Jece4o eppod saJlgp000'ZI e oqcoo un epue^ enb :opapue.t un

    'odruefe ro 'ectis;llAoluolns slJlsnp-ut l op leuonouord eluoIIrIEJJeq eun se sgJelut ep odq oleq un e JBIJUeUIC

    'oqcoc un ep erdruoc e1 rod se.re1ur ep odrl-ofeq e oruelsgrd 1E 'tl't OldIAISfg

    'otuelc rod ep serolut ep odn un e8uodnS soge 0 olllmpownsuoo ap uuld also elodos ured ope.r.roq leuol ullsecau olaulp o1uun3?'og? le serulop 966'99 rese8 e.rodsa pstsn oltler ns eluelnp ,{ 'seur soge0Z ap epr^ sp ezuu;adso Eun uor'soge 0 so1 e uqnles pelsn anb e8uodn5

    .OI'T OIUYNIOIISSNJOI 1\

    'o1n11dec outxodIo ue olse eJqos seN

    ',(oq uer.req ol otuoc 0I0z ou Ie ue cT,'I oluul ue:ed-tuoc ou seJBIgp ep seuollltu ep salllu 7'g enb etuloJ ep

    'eJeluerune CyIJudruoc ap olsoc IE

    'uolcelJul BI opelsplsuoc q es oN :uollns lD ostav

    $000 000'6i7.9 : lenu olsc9'0I x lenue olse8 : $000'000'000'

    pspllnu? JolcJ x l"nue ols3 : IenlJB Jolu^'snb euuo eCI '9'0I se oluetr .tod 6 1e sog 0t ep pepllenuz rolceJ Ia

    vUETJNVNIJ NQIJJaUI(I aC SOIdIJNIUd

  • 74 PARTE II. EL VALOR

    usted deberia uttlizar para calcular el uerdadero valor actual de estos pagos.El tipo al que usted puede invertir determina cunto dinero necesita apatafahora para cubrir los pagos mensuales. Entonces, el valor actual de su flujode pagos es

    365,06$ x factor anualidad 36 meses :t 1 1 - l36s'06$' Lopt

    -

    o^o(lpl)- l365,06$ x 30,1110.991$

    El prstamo subvencionado entonces reduce el coste del coche de 12.000 d-lares a 10.991 dlares.

    3.5. VALOR ACTUAL NETO:UNA PRIMERA APROXIMACION

    Usted debe estar ya familiarizado con los principios bsicos del descuentode pagos futuros de tesoreria para encontrar su valor actual. Concluimoseste captulo aplicando estas ideas parala evaluacin de sencillas decisionesde inversin.

    Suponga que usted est en el negocio inmobiliario y est considerandola construccin de un edificio de oficinas. El terreno costara 50.000 dlaresy el coste de construccin sera de 300.000 dlares. Usted prev una escasezde espacio para oficinas y predice que de aqu a un ao el edificio se venderpor 400.000 dlares. De modo que debera invertir ahora 350.000 dlarescon la esperanza de conseguir 400.000 dlares dentro de un ao. Usteddebera seguir adelante si el valor actual de los 400.000 dlares es mayorque la inversin de 350.000 dlares .

    Suponga de momento que el ingreso de 400.000 dlares es algo seguro.El edificio de oficinas no es la nica forma de obtener 400.000 dlaresdentro de un ao. Usted podra invertir en IOU a un ao del Gobierno deEstados Unidos. Suponga que los IOU ofrecen un inters del 7 por ciento.cunto debera usted invertir para conseguir 400.000 dlares al final delao? Esto es fcil: usted debera invertir

    400.000$' : : 400.000s x 0,935 : 373.832s1,07Por tanto, al tipo de inters del 7 por ciento, el valor de 400.000 dlares es373.832 dlares.

    Suponga que en el momento en que usted compr el terreno y comenzola construccin del edificio decide hacer lquido su proyecto por cuantopodra venderlo? Como el valor de la propiedad ser 400.000 dlares dentrode un ao, los inversores deberan estar dispuestos a pagar por l al meno'373.832 dlares ahora. Esto es lo que les costara conseguir un ingreso de400.000 dlares invirtiendo en ttulos del Gobierno. Por supuesto, siemprcsera posible vender su propiedad por menos, pero, por qu venderla pormenos de lo que dara el mercado?

  • 'Jolel I ]eu ugIOnqIJJuoc eun uolcJodod olso- eJsoc nsop eurcue rod epe.role^ else suIJIJo ep uglcztuqJn

    l 'serqeled seJlo uE

    -"1?;jillfi:,*J:T;T I *"^ r'rcru:epuenber uorsro^ur BI opu'lser

    urrurrep as ;,o;i'JJl,1t,nj'r:Hil;i:f"fnXffolou Ienlce Jolel IA

    'seJelop ZE'ET, se (XVrt) olau IEnIJ Jol^ Ia'olue] od roe:(y) oleu Junlce ot.\',{ se"relgp 000'0S optleuro;druoc q potsn 'oclr sgtu sorelgp Z8' espelsn enb ecru8rs ou otso o;ad sarelop ZEB'ELE ue operolu^ glse olclJlpe Ig oleu IBnIJB rolA

    'o1ce.{o.rd Ie uo Jrue^ul Ie elcunue.l es anb el e pBpIIIqsluoJ l se anbodpeprunlrodo-ep elsoc n-nf111eg'udur "p puprunra p "rrorl"o-otr ,,r",il*:''jrt:J'JlTffi#",: -roouoc

    Jes elens -oldruefe oJlsenu ua oluelc rcd - oluenosep 3p esel 3'I

    'pnp,,qnurr rp esel:uduo 'solqereduroJ

    ugrsJe^ur ap se^r]uJolle :od epIJeIo peplllqelueJ ep sel el ? ap puprunrrodo ap alsoJ

    soJnlnJ soperedse soJqoo sol sotu]uocsep'lenlcu JolE^ [0 JulnJIc eJed 'opD)JaM ap Jol00

    o oporraw ap onatd ns u?Iqurel se pepetdord e1 ep lenlcu JolA Ie ,{ 'e1qt1ce

    orced oJrug Io se lnloe Jole^ Ie 'e:eue8 uE 'Jopepue,r 1e ,( rope;duroc

    I oJBJST]s enb otced oclug Ie se serelgp ZEy'tLt ep I3n13 role^ IA

    's3rlop 0m'00I rouolqo sFeqep pelsn 'Ad elnrlEc sr-uoluA '(soU 0 op sondsep epelecuuc eluaurulalduocse ereodrq el) 0 : At'l : I

    't9'80'I : ,r,yd '(ses-aur) 09 : a pJznporlul 'ecalodrg l ep ppnueJ lerouoc as ou enb e8uodng

    'olualJ ;od rm ep sglatuap odrr m serelop I9'820'l ep saensueu soEeduoc eceodrq Eun oroplsuoc as II' odruoig 1o ug

    pBpllnuE 8un ap IEncE olBA 'v

    'otuorr -rod g' lo oluoJ t alnJIeJ '0 : JWd:8f9 : ^d :000'I : At :9 : / opuelsnporlut sar-alul ap odll ue Jouelqo soluapod

    '19'g odurafg eue owoc) sorElop 8?9 ep ,{oq ro1e,r un suol} sog 9ep orturp srrlgp 000'l ap oEed un enb eEuodng

    s?alu! rp odll lo opuslsH 't

    'solelop 8t9 ep lenlJu lop^ un reu-elqo Ireqap palsn ^d elnJ[J seJuolIIE

    'O : JW:OOO'I : A'g'L : I :9 : u rznporlul'sepprtnuE,{eq ou

    'o^onu aC 'lenlw JolE^ ns telncleJ B}ISe3euas ,{ ornn oEed un opuep glse os

    'uueqord Jlse uA'oluop rod E" IOp ra seJetur ep odtl Je opuenc sogr9 op ortuop grwtlear os enb sarelgp 696' ap o6edun ep luntre rolu^ Ie glnrlm as 9'g odruala Ia ug

    salsnltG srolB^ 'z

    '(sarquou satueJaJrp rauat epend'>'1WOJ lrel EI'seropEnrlsr seunEe uA) '89'll grp-uelqo f,'A-4 WOJ E3znporlul '(g) ornn rolu^ looFrl"c enb eropznclEJ ele olunEad eloqv

    'solnolgosol ua epecrldtur peprenuu eun8uru ,{et ou onbrod,g orsa.r le ue 0 ucznporlul

    'u olst8a Ia ue ZI 83-mportur 'euoduoc eud sesau ap ueuodslp sorul-gp ml sol oruoc ,{'r orls6er Ie uo I elznporltrl'sarup oluap rod ap sgrelul ep odr un ap olsendns Ia oz-[ar as enb osen ' ors6ar la uo 001 mznporlul'otrrpqrr ep elefru ns ep serslgp 00I ap oplus lep oJnl-nJ roleA Io glnoleJ es epuop ''g odurefg Ie apronso

    *nlnJ seolB^ 'l

    'on1decolse op sogdwafe sol ap ounEu elcuaroJo opuo-rJBq BJopFTJBJ Bl Jezqrln ouoo souaJcldxg

    elurnb el JeJluooue .Ieaosar apand utopepcucEI selq"lrE^ sstso 3p oJtBno sBpec

    '(pprlenu eun opsepeprluer sq o

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    9L VUAIJNVNI.{ N9IJJEUIC E(I SOIdIJNIUd

  • PARTE II. EL VALOR

    Un comentariosobre riesgo

    y valor actual

    Otrasdenominacionesdel valor actual

    En nuestra discusin sobre la construccin de oficinas hemos supuesto qucse conoca el valor del proyecto completo. Por supuesto, usted nunca puedeIener certeza sobre los valores futuros de los edificios de oficinas. Lo.400.000 dlares representan la mejor prediccin, pero no es segura.

    Por tanto, nuestra conclusin sobre cunto pagaran los inversores porel edificio es errnea. Dado que podrian conseguir 400.000 dlares sin riesgoinvirtiendo en ttulos del Gobierno de los Estados lJnidos por un valor de373.832 dlares, no compraran su edificio por esta cantidad. Usted tendraque reducir su precio pata atrae el inters de los inversores.

    Aqu se puede invocar un principio financiero fundamentaT'. un dlar conriesgo uale ntenos que un dlar seguro. La mayora de los inversores evitan elriesgo cuando pueden hacerlo sin sacrificar la rentabilidad. Sin embargo, losconceptos de valor actual y de coste de oportunidad del capital todavatienen sentido para los inversores con riesgo. Sigue siendo adecuado descon-tar el ingreso a la tasa de rentabilidad ofrecida por una inversin com-parable. Pero debemos pensar en ingresos esperados y tasa de rentabilidadesperada en otras lnverslones.

    No todas las inversiones tienen igual riesgo. La construccin de oficinases ms arriesgada que un ttulo del Gobierno pero probablemente seamenos arriesgada que la perloracin de un pozo de petrleo. Supongamosque usted cree que el proyecto es tan arriesgado como una inversin en elmercado de acciones y que prev una tasa de rentabilidad del 12 pot cientopara las inversiones en el mercado de acciones. Entonces el 12 por ciento seionvierte en el coste de oportunidad adecuado del capital. Esto es lo queusted est sacrificando por no invertir en ttulos comparables. Usted puedeahora tecalcular el VAN:

    vA : 400.000$ ^ : : 400.000$ x 0.893 : 357.143$r . l 2

    vAN : VA - 350.000$ : 7.143$

    Si otros inversores estn de acuerdo con su previsin de un ingreso de400.000 dlares y con su valoracin de un 12 por ciento de coste deoportunidad del iapital, entonces su propiedad debera valorarse en 357 '143d-lares una vez que la construccin se haya iniciado. Si usted intentaravenderla por ms de esto, nadie deseara comprarla, porque la propiedadofrecera una tasa de rentabilidad esperada menor al 12 por ciento dis-ponible en el mercado de acciones. El edificio de oficinas tiene un valor netopositivo pero es mucho menor que lo estimado en los clculos anteriores'

    El valor actual, como los conceptos ms importantes, tiene varios nombres'Los directores financieros pueden decir

    Valor actual, o slo VA.- Valor descontado.- Inversin necesaria para generar determinados pagos futuros.- Precio de mercado.- Valor de mercado.

    y quieren decir lo mismo.

  • '2861'uluJlhtr uolqSnoH:uolsofl po rll g

    'aruout lo ellDwaqryw aq '.relqodsell 'J 'cI '( 'esst3 'g 'esst3 ':oldtuefo Jod

    oqsnJd 'lllol

    Ie oJqos soJqII ep oJelunu un ,{eq'stu.IeztpunJoJd eosep pe}snrs oed'so:n1n f selenlce seJole^ sol B ueepor enb sectlgluoleru sel Jecouoce"red sepeplsooau sns sepol JIJqnc

    IJoqop oln]IdeJ elso 3p IIJolBur IE

    SV(IV(INSTAIOJSU SVUNIJST

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    pprlenu ep rolJeJpprlnu

    enled;ed epnep

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    oluencsep ep odtl(y) lentce ;o1e.t

    Iunuou seJeJuI ep odtl

    Ienu o^rlceJes?Jolur ep odrleldurrs sgJolul

    olsenduoc sgJelurornlnJ Jol^

    SAVTJ SYUSVTYd

    'ugISJeAuI l eluelepe J"Aell Jod pelsn BlJes ocIJ seluoluEnJ opltu oleu Ienls? Jole^ Ia

    'oleu Ienlsu Jole^ Ia oluoc esouoJ espprJenbal uorsJo^ul e1 .{ uotsre.tul un ep lsnlJ Jolu^ Ie eJlus BIcuoJeJIpe-I

    'ol^ otugnJ 0p plpotu un se uoISJeAuI un ep IsnlJ Jol^ IE'sapepllnu sel op

    ,{ en}eded epnep el op uglcJole^ el IIcgJ sgtu uocq (sofele uoc) spl?c-r;rldturs selnlrlJoJ sB-I

    'pepllenue eultuouop es soge ep opelltull oJaulnuun elueJnp EgurluoJ Onb

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    LL VUAIJNVNIC NgIJJAUIC AC SOIdIJNIUd

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  • 78 PARTE II. EL VALOR

    PROBLEMAS1. Calcule el valor actual de un flujo de tesorera de 100 dlares para las siguientes

    combinaciones de tasas de descuento y periodos de tiempo:a) r : 10 por ciento, f : 10 aos.b) r : 10 por ciento, : 20 aos.c) r : 15 por ciento, : 10 aos.d) r : i5 por ciento, - 20 aos.

    2. Calcule el valor futuro de un flujo de tesorera de 100 dlares para las mismascombinaciones de tasas y periodos de tiempo que en el problema 1.

    3. En 1880 se prometi a cinco rastreadores indigenas el equivalente de 100 dlaresaustralianos para ayudar a la captura del famoso proscrito Ned Kelley. En 1993las nietas de dos de los rastreadores comunicaron que la recompensa no habasido pagada. El primer ministro de Victoria seal que, si esto era verdad, elgobierno estara feliz de pagar los 100 dlares. Sin embargo, las nietas tambinllamaron la atencin sobre su derecho al inters compuesto. A cunto tenanderecho si el t ipo de inters era 5 por ciento? Y si fuera el 10 por ciento?

    4. Usted deposita 1.000 dlares en su cuenta en el banco. Si el banco paga un 10por ciento de inters simple, cunto acumular usted en su cuenta despus de10 aos? Y si el banco paga a un inters compuesto? Cunto de sus gananciases inters sobre intereses?

    5. Usted necesitar 100 dlares dentro de 5 aos. Si usted gana un 6 por ciento deinters en sus fondos. Cunto necesitar invertir hoy para alcanzar su objetivode ahorros?

    6. Encuentre el t ipo de inters anual efectivo.

    Tipo de inters anual Periodonominal (APR) (7) de composicin

    l0 3 meses8 6 meses6 l m e s

    7. Preferira usted recibir 100 dlares al ao durante 10 aos o 80 dlares al aodurante 15 aos si:a) El t ipo de inters es 5 por ciento.b) El t ipo de inters es 20 por ciento.c) Por qu sus respuestas en a) y b) son diferentes?Encuentre el t ipo de inters anual:

    - Periodovalof luturo

    oe ilempoValor actual

    100200100

    Lt5,7 6262,r6110 .41

    3 aos4 anos5 aos

  • pBpoldord el ep oleu In138 role^ Io eculpolrr es ol'ugJ? 'pp

    -erdord u epieieigp 000'002 ep luor eun eueS sqtuep palsn enb eSuodng Qolrltsod

    Iop olou Inlce role^ 1a se enc? 'oluetc rod g 1e so sqrolul ep odtl 1e tg (rt

    '(PePerdordel op

    lual eun8utu oglcoJ ou pelsn) seregp ap seuollltu t rod soge S op orluopnir"puen .{ sereop ep seuolllru g rod peperdod eun ,{oq rerduoc epend pels

    oluorc rod g 1e se solrsgdep sorlo oqos eqruodstpsgrolur ep odrl Ie rs erSelelso Buonq eun sg? erduets eed oge Ie soJslgpgg1 (sorrercgouoq sns u o) pelsn e soueeEed ol sorlosou ,( soge 0I elulnpoge I sorlop gg1 soueq! :etEelerlse eluetnEs el Icunue Icol oJueq un

    ocueq 1e oPue8ed 91se s?Jolul ePodrl 9nb?'peprnledred

    rI^IA eeueld pelsn IS ',(oq ocueq,lo ue serelop 000'92

    elriodep Is epl^ ns otuernp og Ie sorlgp gg' ereEud ol l3ol ocueq ufl

    lensuetu o8ed 1e soco^ ecop elueuralduts se ou elsendserns enb ro? rouelue orcrcefe I3p o^r]reJa serelul ep odtl olustlu Ie Oclllnoplnclc r{ pelsn enb saensueu soEed so1 anb lBnlcs JolA olusllu Io elrpuol1e,i" oeA en6t oge Iap pu' Is solgnue sozeld orlunc ue u-Bzlleor as so3ediol t. ep.cns gn|?

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    ourelsgrd Iop o^IlceJo Inu s?relul ep odrl s saen3? lunsueu o8d ns sa 19n3?

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    6LVUAIJNVNIC NOIJCAUIC E(I SOIdISNIUd

  • 80 PARTE II, EL VALOR

    21.

    22.

    Una propiedad conceder 10.000 dlares al ao a perpetuidad. Si su valor es125.000 dlares, cul debe ser el coste de oportunidad del capital?

    Usted invierte 1.000 dlares al t ipo de inters anual del 6 por ciento, es-tablecido como un APR. El inters es capitaiizado mensualmente. Cuntotendr usted en un ao? Y en ao y medio?

    Usted invierte 1.000 dlares hoy y espera vender su inversin por 2.000 dlaresdentro de 10 aos.a) Es este un buen plan si el coste de oportunidad del capital es el 5 por

    ciento?b) Y si el coste de oportunidad del capital es el 10 por ciento?

    Si un banco paga un inters del 10 por ciento con composicin continua Cules el tipo anual efectivo?

    Un gran almacn ofrece dos formas de pago. Bajo la forma aplazada , ustedpaga un 25 por ciento al inicio y en cada uno de los 3 prximos aos el 25 porciento del precio de compra. Si usted paga la totalidad de la factura inmediata-mente, recibe un 10 por ciento de descuento del precio de compra. Cul es lamejor alternativa si usted puede prestar y pedir prestado fondos al tipo deinters del 6 por ciento?

    Reconsidere la pregunta anterior. Cmo cambia su respuesta si los pagos delos 4 aos del plan aplazado no empiezan hasta dentro de un ao?

    26. a) Si usted se endeuda en 1.000 dlares y l lega al acuerdo de pagar elprstamo en cinco pagos iguales anuales al t ipo de inters del 10 porciento. Cul ser el pago?

    b) Qu ocurre si usted realiza el primer pago del prstamo inmediatamenteen lugar de realizarlo al final del primer ao?

    Los prstamos sobre casas tpicamente implican , que son tasas carga-das por el prestatario. Cada punto cargado significa que la persona que seendeuda debe pagar un I por ciento de la cantidad del prstamo como unatasa. Por ejemplo, si el prstamo es de 100.000 dlares, pero la cantidad netaque la persona que solicita el prstamo recibe es slo 98.000 dlares. Cul es eltipo de inters efectivo anual cargado en ese prstamo suponiendo que el pagodel prstamo ocurre a lo largo de 360 meses? Suponga que el t ipo de inters esel I por ciento al mes.

    Usted cree que necesitar tener ahorrado 500.000 dlares cuando se retiredentro de 40 aos para vivir confortablemente. Si el t ipo de inters es el 4 porciento al ao. Cunto debe usted ahorrar cada ao para obtener su objetivode retiro?

    29. Cunto deberan necesitar en el problema 28 si usted creyese que ustedheredar 100.000 dlares dentro de 10 aos?

    30. Usted cree que gastar 40.000 dlares al ao durante 20 aos Ltna vez que seretire dentro de 40 aos. Si el t ipo de inters es el 4 por ciento al ao. Cuntodebe ahorrar usted cada ao hasta su retiro para cumplir su objetivo?

    23.

    )

    21.

    28.

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    IJunu es enb oqcoJ un udtuoc epend pels1

    oluetc rod9 Ie soge 8 elurnp ouel\ul ss rs ? sog 9 oluurnp oluot od 3 lep olsenduoceluouIenurluoc serelur ep odrl Io uuer^ur es rs soJlop 00I ueJoJeJc o1uen3?

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    18 VUAIINVNII N9IJJAUIA :IC SOIdIJNTUd

  • 82 PARTE II. EL VALOR

    3.3. La tasa trimestral es 8/4 : 2 por ciento. El t ipo efectivo anual es (1,02)4 - I: 0.0824. o 8.24 por ciento.

    3.4. Multiplique el pago de 1.000 dlares por el factor de descuento de cinco aos

    v A : 1 . o o o ) < - ] - : 6 9 6 , 5 6 $(1.075) '3.5. 705 x (1 * r )6 : l .000impl icaquer : 0 ,06 o 6porc iento. Ustedsabaque

    el tipo tena que ser inferior al 7,5 por ciento porque el valor actual de elprstamo al 7,5 por ciento era 648 dlares. Como el VA es mayor en esteejemplo, el tipo de inters debe se inferior.

    3.6. El t ipo es 4148 : 0,0833, aproximadamente 8,3 por ciento.

    3.1 . El factor de descuento a 4 aos es 1/(1,08a : 0'735' El factor de anualidad a4 aos es [1/0,08 - 1/(0,08 x 1,084)] : 3,312. Esta es la diferencia entre elvalor actual de una deuda perpetua de I dlar comenzando el ao prximo de una deuda perpetua de I dlar comenzando en el ao 5:

    VA (deuda perpetua comenzando el prximo ao) : j : tZ,tOU,U-VA (deuda perpetua comenzando en el ao t : *

    "-+:0.08 ( 1.08)4

    : VA (anualidad a 4 aos): 12,50 x 0,735:9,188: 12.50-9.188:3,312

    3.8. Calcule el valor de una anualidad de 19 aos, entonces sume el pago inmedia-to de 465.000 dlares:

    factor anualidad a 19 aos : [ 1 - - =lL r r ( l + r t " l[ l I I: l _ _ _ l : 9 . 6 0 410.08 0.08( r,08)' "_.1

    VA : 465.000$ x 9,604 : 4.466.000$Valor total : 4.466.000 + 465.000 : 4.931.000$

    Comenzar la corriente de flujos de tesorera durante 20 aos inmediatamenteen lugar de esperar un ao, aumenta el valor aproximadamente en 400.0005

    3.9. Quince aos significa 180 meses. Entonces100.000

    Pago hipoteca : factor anualidad a 180 meses100.00083,32

    : 1.200,17 dlares al mes

    3.10. Usted necesitar el valor actual al 7 por ciento de una anualidad a 20 aos de55.000 dlares:

    Valor actual : gasto anual x factor anualidad

    El factor anualidad es [1/0,07 - l l{0,07 x 1,0720)] : 10,594. As ustednecesita 55.000 x 10.594 : 582.670$.