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V37

Laboratório de Computação Científica

L C C - 007/82 COLAPSO PLÁSTICO OE TUBOS SONETIDOS

A UN ANILLO DE CARGA, MEDIANTE

OPTIMIZACION*

Néstor Zouain**

Edgardo Taroco***

Raul A. Feijó©*" fail

RELATÓRIO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO

LABORATÓRIO DB G0HFUT/.CXO CIENTÍFICA - LCC

MAIO DE 1912

L C C - 007/87

COLAPSO PLÁSTICO DE TUBOS SOMETIDOS A UN ANILLO DE CARGA, MEDIANTE

OPTIMIZACION*

Néstor Zouain** Edgardo Taroco*#* Raul A. Feijôo*##

* A aar preaentado an •) III Congreao Latino Aaericano sobra Ms todo* Conputacionalaa an Ingeaierfa, 10-12 aayo, 19Í2, Buenos Aires, Argentina.

•• Dept9 da Engenharia Mecânica, PUC/RJ. •••LCC/OlPo,

RESUMO

A análise limite de um tubo de comprimento finito, constituí

do de Material rígido-plãstico ideal» ê considerada para o caso de

carga interna uniformemente distribuída numa seção transversal do

tubo. A lei de fluencia adotada é a de una casca sanduíche tipo

Tresca. As cargas limites exatas são calculadas para diversos ca­

sos qualitativamente diferentes determinados pelo comprisento do

tubo. As tensões e Mecanismos de colapso correspondentes são mos­

trados com o propósito de comparar com as aproximações desenvolvi

das neste trabalho. Os teoremas estático e cinemático de colapso

plástico são utilizados para estabelecer dois métodos numéricos de

resolução do problema via programação matemática e método de ele­

mentos finitos. Esses métodos são aplicados ao cálculo da carga de

colapso do tubo considerado. ((XÁÁX0^)

RESUMEN

Se considera el análisis límite de un tubo de longitud fini­

ta» constituido de un material rígido-plástico ideal, cuya ley de

fluencia es la de Tresca asociativa, y sometido a una carga inter

na uniformemente distribuida en una sección transversal del tubo.

Las cargas límites exactas para diversos casos cualitativamente dji

ferentes, determinados por la longitud del tubo, y las tensiones y

mecanismos de colapso correspondientes, son mostradas a efecto de

comparación con las aproximaciones desarrolladas en este trabajo.

Los teoremas estático y cinemático de colapso plástico se utili -

-.an para establecer dos métodos numéricos que se valen de la pro­

gramación matemática (lineal) y del método de elementos finitos.

Estos métodos son aplicados al calculo de la carga de colapso del

tubo considerado.

1. IKTRODUCION

El conocimiento de 1> carga que provoca e l colapso p l á s ­t ico de una p ieza , es decir la fluencia il imitada bajo carga constante, es de gran importancia para el proyecto de ingenie­ría [l3 y en particular en tuberías y recipientes sometidos a presión.

En este trabajo ser i analizado e l caso de un tubo de Ion gitud finita constituido de un material r íg ido-plást ico idea l , cuya ley de fluencia es l a de Tresea asociativa, y sometido a una carga interna uniformemente distribuida en una sección transversal del tubo.

Fig. 1 - Tubo con ani l lo de Fig.- 2 - Esfuerzos en la cá¡s carga cara ci l indrica

Para describir e l comportamiento en resultantes de ten­sión en la cascara, a part ir de la relación constitutiva del material anteriormente mencionado, se sustituye la cascara por una cascara sandwich "equivalente". Si se considera que el coro portamiento de la cascara es descrito por otra curva, pero con la misma tensión de fluencia uniaxial o , la carga l ímite correspondiente es necesariamente superior o igual a la carga aquí presentada [2] .

La carga l ímite obtenida es aplicable a tubos de material rígi do-plástico ideal o e lasto-plast ico ideal y rs también la carga de fluencia i n i c i a l para un material TÍgido-plástico con endurecimiento siempre que para todos e l l o s se adopte la curva de fluencia, en resultantes de tensión, aquí ut i l izada. La hi_ pótesis de deformaciones pequeñas está implíci ta en las ecua-

?

d o n e s cinemáticas y de equilibrio u t i l i z a d a s , pjr lo que los resultados conseguidos se refieren al colapso plást ico inci­piente .

Para e l problema propuesto son conocidas [3.4,5] ecuacio nes anal í t icas a partir de las cuales se calcula fácilmente la carga c r í t i c a por integración n une r ica . El objetivo de este trabajo es u t i l i zar e s t e ejemplo para mostrar métodos numéri­cos de resolución de l a s ecuaciones de colapso plást ico de a-pl icación mas general.

Estos métodos consisten en la aplicación de los teoremas e s t á t i c o y cinemático de colapso p l á s t i c o , el uso del método de elementos f ini tos para obtener campos interpolantes de ten­siones y tasas de deformación, y e l uso de programación materna t i c a para la resolución del problema de optimización así plan­teado.

2. CRITERIO DE FLUENCIA PARA UNA CASCARA CILINDRICA

La cascara sandwich puede ser considerada como una cásea ra ideal de comportamiento simple, que sustituye a la cascara real homogénea o, en cambio, es posible adoptar la curva de fluencia asociada a la cascara sandwich, solamente como una aproximación poligonal inscrita en la curva real , lo que condu ce a una carga límite menor, como consecuencia del teorema está t i c o de anál is is l ími te .

La cascara sandwich [2] es formada por un núcleo de al tu ra h , igual al espesor real, y dos membranas, una en cada cara del núcleo. El núcleo absorbe exclusivamente esfuerzos cortan t e s , para los cuales e s infinitamente res i s tente , y las membra nas soportan un estado plano de tensiones uniforme através de su espesor.

Si se somete un punto de la cascara a un esfuerzo unia­x ia l o a un momento puro, la cascara sandwich presenta los mis mos l ímites de fluencia de la homogénea, que son

v i N» • h o y M, » -íí|— o Para esfuerzos caminados la p las t i f j cación de la cásea-

3

ra sandwich se produce cuando las tensiones en una o ambas ca­ras satisfacen e l c r i t e r i o de Tresca. Como estas tensiones en las Membranas pueden ser calculadas a partiT de las resultan­tes de tensiones H , N. y M. (N «0 en es te caso) definidos en

Z O O S

la figura 2, el c r i t e r i o de Tresca conduce a la siguiente su­perf ic ie de fluencia en tensiones generalizadas

2

donde: n

a) 0 í n <

b) - f < i í 1 .

e 157

» • ±1;

±as • 2n *

l i o - y

1» í

2 .

¿ 1 - n

2m e Me

Las ecuaciones (a) y (b) definen la parte de l a superfi­cie de fluencia, simétrica en relación al origen, en e l seaies pació n ^ 0.

Cuando se considera carga axisiraétrica no se producen la sas de curvaturas iL de la sección circunferencial, en conse-

B

cuencia e l esfuerzo M. no influye en la disipación y por tanto tampoco aparece en las ecuaciones de equi l ibrio . Esto signify ca que la s variables M„ y N_ son suf ic ientes para plantear las ecuaciones del problema, siendo M- calculada a partir de éstas mediante (a) y (b).

Fig. 3 -Curva de f luencia de la cascara sandwich ci l indrica

4

En 1» fisura 3 se representa el convexo de plasticidad en las variables a y n. Un estado de tensiones inter ior al hexá­gono corresponde a un punto de la ciscara en estado rígido, y un estado de tensiones en la frontera puede p las t i f i car o con­portarse rigidamente. Los puntos exteriores al hexágono son inaccesibles , o sea

D < 1 2) 2n • n * 2

5) -2n -JB < 2 4) - m ^ l

o en forma matTicial

NT Q « R

donde Q es el vector de tensiones generalizadas

3) 2n - u $ 2

4) -2n *m « 2 (1)

(2)

Q - [» n ] T

la matriz N es tá fornada por los vectores normales a los lados del polígono

1 1 _j __1_ J_ /T /T /T /TI

N 2 2

/r 2 __2

/T Vr

(4)

y las conponentes de R son las distancias de lo s lados al ori­gen

R - |l _?_ J^ i _1_ x f (5) 1 -2- 2 2 2

/T /r Una ley de fluencia asociativa impone que en un punto de

la cascara donde se produce plast i f icación, consecuentemente con tensiones generalizadas en la frontera, las tasas de de for nación p l á s t i c a están representadas por un vector normal a la superficie de fluencia en e l punto asociado a las tensiones men cionadas. Para tensiones interiores (rígidas) las tasas de d£ formación p lás t i ca son nulas.

Luego, l a s tasas de deformación adi men s i on a d as

s

coapleaentarias de n y • según la disipación interna, v e r i f i ­can para los lados 1 a 6 del convexo de plasticidad

1) c « 0 . ft *, Q 2) t - 2Í • 0 , U 0

3) c • 2¿ - 0, c * 0 4) Í - P. t v< 0 (6)

5 ) c - 2 K « 0 . e 4 : 0 6) t * 2 i ' 0 , È í O

y para los vert ices , el vector tasa de deformación plástica per teñece al ángulo entre las normales, o sea

1) c - 2* < 0, c * 0 2) c * | 2 i |

3) c • 2 i « 0, ê > 0 4) -c • 2ft * 0 , c « 0 (7)

5) -c * |2ÍJ 6) -£ - 2Í « 0 . è 4 0

3. ECUACIONES DEL PROBLEMA

Utilizando variables adiaensionadas

v * Attr V. P - vCt I* ziMírv v ' • • * i

i-'^-H-'-f-Sr a°"*»'-r£ j y 2

dint * *RN,M, Dint dext * 'R N.M,

Dext

donde D. . y D ^ son las disipaciones interna y externa, se ínx ' ext

tienen las siguintes ecuaciones:

Icuacionti de Icuilibuio

V - n, »' - -2v .*. *" - -2n (8)

ó

CondieioiteA de ContoAM

fl v (0 + ) « - p . - . .«(o*) - /Tp (9)

v(»L) - 0 . «(xL) - O (10)

Ecuación Cinemática

2k - e" (11)

ViAipacMõn

d int " l * ( •* • nê)dx • I »¿ • aê* (12)

dext " 2 / 3 fP • *(•> ( 1 3 )

donde nc es e l número de charnelas p l á s t i c a s , en l a s que la curvatura e s i n f i n i t a , mi e l loaento y oê ' e l s a l t o de t ' en estos puntos.

Condicíont* de Htgulahidad

Los esfuerzos n ( .* . a") pueden ser discontinuos adentras que los a deben ser continuos y los Y ( .* . • ' ) solo pueden ser discontinuos donde hay carga concentrada, o sea en z • 0.

La velocidad adimensional c , que coincide con la tasa de de fonación ê f t , debe ser cont inua, pero puede tener derivadas discontinuas (charnela p l á s t i c a ) ,

4. SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL PROBLEMA

Algunas definiciones son necesarias para ca rac te r iza r e l colapso p l á s t i c o [6,7]

a) Campo de velocidades puramente p l á s t i c o (mecanismo de colapso) para un determinado campo de tensiones Q(z) plást icamente admisible, es un campo no rígido y cuyas t a s a s de deforamción son normales a l a superf ic ie de f luenc ia o nulas en donde Q(x) es de la frontera y nu l a s en los ot ros puntos ;

7

b) Un campo de tensiones estáticamente admisible pare el

cual existe un campo de velocidades puramente plásti­

co, es un campo de tensiones de colapso y esta equili.

brado con la carga liaite.

El método directo de resolución del análisis liante con­

siste pues en encontrar una distribución de tensiones generali.

zades estáticamente admisibles, satisfaciendo pues la ecuación

de equilibrio (8), plásticamente admisible, o sea cumpliendo

(1) y asociado por la ley constitutiva a tasas de deformaciones

puramente plásticas, es decir que verifiquen (6) y (7).

Haciendo uso de este método directo es posible calcular

expresiones analíticas para un campo de tensiones estitica y

plásticamente admisible. Este procedimiento está desarrollado

en [83 y los resultados obtenidos son descritos a continuación,

para varias longitudes de tubos:

4.1 Tubos Largos

Para tubos suficientemente largos la región de píastifí

cación está confinada entre dos charnelas plásticas simétricas,

en z * ±zj donde el momento vale m2 « 1, existindo una tercera

en z • 0 donde el momento es m» * -1.

La tabla 1 y las figuras 4 a 9 muestran las tensiones y

tasas de deformaciones, válidas estrictamente para el tubo de

transición entre medios y largos, de longitud crítica zL -

« 3.4772. Para tubos mas largos las tensiones definidas en

rz2, Zjl son solamente una de las posibles distribuciones de

tensión estáticamente admisibles en la región rígida.

Para todos los tubos largos, de longitud z, > 3.4772 la

carga límite vale p « /3.

4.2 Tubos Medios

En tubos con longitud un poco menoT que 3.4772 no alcan­

zan a producirse las charnelas simétricas, presentándose sola­

mente una en z • 0. La función m tiene un máximo JDJ , 0* ji»a<l,

en z3. El tubo medio mas corto es aquel con m2 " 0 y tiene u;

1 , -mm 1 ! »

i * •

«i yyyyy

JG sen z *cos x - 2

- •^ eos s •—y- sen z n i

i n !-r- sen x ;-4— cos z i P ^ *

•

Region i . i

-L . eos i --i— stnz / T 2/3

—L. eos x • - = - sen z 2/1 4/3 1

- i - senh 2/3

- i - senh 4/3

FLUENCIA ILIMITADA

V%¿ ••1 2 - cosh (z -

- y - senh (x -

- £ - cosh (z -

(»t - x)

(xa - x)

i

m s t )

s t )

t . )

m. i » WM 2 - 2 c o » ( i

-sen (x -

-eos (x -

0.

0.

RÍGIDA

m - xO

*0

«*)

-1

Tabla 1 -Esfuerzos y tasas de deformación de colapso para tubos largos, x, • 0.46948 X] - 1.7864 z , - 2.8181 z* - 3.4772

Figura 4.

Pifara 5. Cor tanta da colapso

Figura t. Puarza circunfarancial da colapso

10

Figura 7. Tasa de defornacion circunferen ciai de colapso

a) tubo largo z, > 3.4772

b) tubo medio z, « 2.4273

c) tubo transición

cortos-medios

d) tubo corto z, « 0.7227

Figura 8. Tasa de curvatura de colapso

CM

® T t ® CO ® zj" ®

0

©

©Jj Jfi^ f^

n 5 ^

© ^K

í2*^! |

0.5

© m

® r̂© «« ® li'

o/ y^\

© i i i i

••' ®

© m

ura 9. Evoluclon de esfuerzos de colapso

z 0.

n

V

• n

* c

Í

W////A Z j

2.18 senz + cos z - 2

-1.09 cosz +0.5 sen z

1.09 sen z +0.5 cos z

0.707cosz- 0.212 sen z

-0.354 cosz +0.106 senz

% WÀ- W//M-2 - 1 . 5 cosh (z - «a)

0.75 senh (* -Za)

0.75 cosh (z -za)

-0.261 senh (z -Zj)

-0.131 senh (z - z j )

^ ^ -

1-1 co»(z - z*)

- sen (z -Zfc)

- cos (z -z*}

-0.261 sen(z -z$)

0.131 sen (z -z») - • • - - - ,

—1

Tabla 2 - Esfuerzos y tasas de deformaciõn de colapso para un tubo medio de z, - 2 .42 73 (ma • 0 . 5 ) Zj - O.SS625 z» • 1 .3516 z , - 1 .9406

12

comportamiento de transiciôn entre los correspondientes a aé dios y cortos.

Para ejeaplif icar e i coaportaaiento de un tubo Medio se •uestran los resultados para un tubo con. ais * 0.5, zL «2.4273. p c « 1.5471 en ia tabla 2 y figuras 4 a 9.

4.3 Tubo de Transiciôn Medios-CoTtos

£1 caso limite de los considerados en Ia secciôn 4.2 per a i te calcular Ia longitud cr í t ica que separa los tipos médios y cortos. En este caso e i máximo de los momentos es m2 « 0 y sucede en Ia extremidad. PaTa este tubo. z^ «1.0472, p c » /37I y Ias funciones correspondientes e s t in en Ia tabla 3 y figuras 4 a 9 .

z 0

a

V

n

•

c

i

W '/////////////////////A /% sen i • cos z - 2

/ T 1 —Y~ cos z *—i— sen z / T 1 -í-y- sen z • —j— cos z

- = - COS Z

/T - - = - COS Z

2/7

'///, - ,

Tabla 3 -Esfuerzos y tasas de deformaciôn de colapso para ei tubo de transiciôn me dios-cor tos (z, -1,04 72)

4.4 Tubos Cortos

Para tubos de longitudes menores que 1.0472 ninguna char nela plást ica se produce y e i modo de colapso consiste solamen te en disipaciõn distribuída debida a tracciôn circunferência! y momento combinados. El momento tiene un mínimo m,, -l<mõ<0, en z • 0 y un máximo m2 - 0 en Ias extremidades.

Como ejeiaplo se muestran los resultados para un tubo con 1 / I Í

m> « —*. t 2^ » 0.7227, p c « ^ en Ia tabla 4 y figuras 4 a 9.

13

z o

•

V

n

* c

fc

g; Y///////////M j£2- sea z • —y- cos z - 2

/ T 3 — 1 ^ cos z • —jr- sen z

/ T 3 - j - sen z • —Í— cos z

- ^ cos z / I

—=— cos z 2/7

^ \

Tabla 4 -Esfuerzos y tasas de defomaciones de colapso para un tubo corto de longi-tud 2, - 0.7227 (a . - - -£ - )

4.5 Anillo

Haciendo tender l a longitud del tubo a cero se puede apro ximar e l comportaaiento de un an i l lo soaetido a presión inter­na. Debe ser llevado en consideracion e l hecho de que cuando zL -*• 0 la resistência del tubo debe tender a cero en e l aodelo de carga anular adopt ado, lo que no sucede con una presiõn di£ tribuída uniforneaente sobre la supeTficie interior de un a n i l l o .

En e i l i a i te (z, •* 0) la soluciôn de un tubo corto puetle representarse de la forma siguiente:

^c «. • 1 * 1 - r - + SI a » 0 n - 1 c • - i - * - - - • - -

2L / T 2/2 es decir la disipaciõn es debida unicamente a tracción circun-

ferencial, coao sucede en un anillo con pTesión interna.

4.6 Curva Carga Limite - Longitud dei Tubo

En Ias secciones 4.1 a 4.5 se mostro ei procedimiento [8]

para calcular la paTga limite en todos los casos cualitativa-

r.cntc diferentes. Este cálculo fue programado para ei interva

14

lo de longitudes [0. 3.4772] obteniéndose la curva de cargas l í • i tes exactas da l a figura 10 qua sirva da comparación para los •étodos nua»ricos aproximados analisados an las secciones s i ­guientes.

; ,

«

1.1

*l

O.B i . • - •

O. I í. X. 4. »

Figura 10 -Cargas l ímites para diferentes longitu­des dé tubo.

5. MÉTODO ESTÁTICO

El teorema estát ico de colapso plástico [6,7] para cargas proporcionales establece que la carga límite es la máxima car­ga p para la cual existe un campo de tensiones Q(z) equilibra­do con és ta , es decir cumpliendo las ecuaciones (8 ) , (9) y (10), y plásticamente admisible, o sea compatible con las ecuaciones (1) . Conduce, por tanto a un problema de maximización de una función l i n e a l , con restricciones no l ineales (en general), en un espacio de dimensión in f in i ta . Para resolverlo se generan funciones de interpolación de tensiones generalizadas por e l método de elementos f ini tos y se busca e l máximo de p en e l subespacio de l a s combinaciones l ineales de é s t a s , que cumplan las restricciones correspondientes. De esta manera, el proble ma a resolver resulta ser uno de programación l i n e a l , puesto

IS

que l a superficie de fluencia es seccionalmente l inea l .

La interpolación elegida es cúbica, continua y con deriva da continua para m, y seccionalmente l inea l para n, verificando el equil ibrio (8) y las condiciones de regularidad. En fun­ción de los polinomios cúbicos de Hermite en el intervalo (-1? 1) [S] h. (j » i . . . . . 4) y de los parámetros nodales a1

y v „ los campos de tensión generalizada aproximados en el ele mentó i (de longitud 21} resultan as í :

Q 1 (0 « B(n)

m1"» a i + 1

v 1

..i*l

( " )

con

B(n) -h j h2

-¥ T

*h,

-¥ lh,

thX (15)

donde se ut i l iza la variable n c [-1, 1"] en lugar de z , para expresar las funciones de interpolación y sus derivadas (en re 1 ación a z ) .

a) Función objet ivo

La condición de contorno (9) suministra la relación entre el valor de la función p a maximizar y las variables (de inter polación) elegidas, que es:

1 „ i P ' ft

(16)

b) Restrición de admisibilidad plást ica

Se eligen ahora n puntos por elemento, en cada uno de los cuales 2a desigualdad (2) es impuesta para las funciones apro­ximación mediante restricciones l ineales sobre las variables de interpolación. Se observa que no es posible garantizar pa­ra todo valor de z la desigualdad (2) que es polinomial de gra do 2 , cualquiera sea e l número de puntos n .

Si n es e l número de elementos, se tienen asi n «n res

16

tracciones l ineales del tipo

NTB(np v* . i+1

< R i « 1, . . . . n« 3 - 1 . -•*. «« ( i y ) 1 . . . . . i»e j " l , . . . , I L

c) Restricciones correspondientes a extremidades l ibres

Las condiciones de contorno (10) se expresan para la fun­ción aproximación por:

(»-•!) (n *1) m e - 0 y v e - 0 (18)

que pueden ser impuestas eliminando simplemente estos paráme­tros del modelo de aproximación.

S.l El Problena de Opt i miz ación

Las ecuaciones (16) . (17) y (18) establecen un problema de maximización de una función l ineal con restricciones l inea­les de desigualdad, donde las variables son los parámetros (no dales) de interpolación. Una rutina basada en el método sim­plex de programación l ineal resuelve e l problema*

6. MÉTODO CINEMÁTICO

El teorema cinemático de colapso plást ico (6.73 para car­gas proporcionales establece que la caTga límite es e l mínimo de la disipación interna (12) calculada paTa todos los campos de tasas de deformación cinemáticamente admisibles, esto es que verifican (11) (puramente p lás t i cos ) , que producen disipación externa (13) unitaria. Conduce entonces a la resolución de un problema de minimización de una función no lineal (en general) con restricciones l i n e a l e s , en un espacio de dimension inf in i ­t a .

El método cinemático comienza con la generación de un subes pació de aproximación constituido por todas las combinaciones l ineales de las funciones de interpolación construidas u t i l i ­zando el método de elementos f in i tos . Siendo este subespacio

17

de dimensión f in i ta «1 problema aproximado es uno de minimi sa­cien con restricciones «pie puede ser resuelto por programación matemática. En e l caso de l a función de f luencia adoptada, e l probleaa puede ser planteado coao de programación l inea l , como se nuestra a continuación.

K e l e m e n t o i "*» n «-i n -o n "i u— —

nodo i

£ '

j" l , . . . . 6 ' 1»? 1»?

>í X*

nodo central i

êci

,— v

nodo (i+1)

• i*l

* j J •

, ( i * l )

» » • »

Figura 11 -Parámetros de interpolación del método cinemático

El campo de velocidades adinensionadas ê(z) es interpola­do cuadraticemente, util izando polinomios de Lagrange en el in tervalo ( - 1 , 1) h, [9] y parámetros nodales (figura 11) que a-seguran la continuidad de l a función, pudiendo su derivada ser discontinua en los nodos entre elementos. Se adopta

n2 h, - ¿ a n

• i+1 (19)

Se introduce ahora e l parametTO de plast ic idad X(z) con el s igni f icado de factor, posit ivo o nulo, que aplicado al ve£ tor normal a la superficie de fluencia suministra el vectoT ta sa de deformación p lás t i ca , de acuerdo Í» la ley asociativa. En el caso considerado de la curva poligonal ( 1 ) , solo se is norma les a é s ta son posibles, consecuentemente se ut i l izan 6 parame tros X i ( z ) ( 3 • l , . . . , 6 , -cinco de los cuales son nulos y e l restante, asociado al correspondiente modo de fluencia activo, indica la intensidad de l a tasa de deformación plástica en e)

1-8

punto. La tasa de deformación plást ica puede ser entonces igualada a la combinación l ineal da las normales según e s t o s coef ic ientes , para inponer la relación constitutiva de l a c i s ­cara. O sea

x) (2°)

donde K es la matriz (constante) de los 6 vectores normales de finida en (4) y \{z) e s e l vector de conponentes l * ( z ) .

Cono ejenplo considérese la evolución de las tensiones na ra un tubo largo nos trade en la figura 9 . En [0, s>] e s A»(z)¿ i 0 siendo los restantes nulos. 'En t i . X» pasa discontinuaren te a cero ni entras que Xt tiene un sa l to de 0 al valor Xt ( r í ) cono exige la continuidad de c.

En consecuencia, las funciones X*(z) son interpoladas tan bien cuadraiicaaente pero permitiendo l a discontinuidad en los nodos entre elementos. Con los parámetros de interpolación de la figura 11 se tiene para e l elemento i :

ftj(z)"!* - X]1 h , • \f h, • X^ l i + 1 ) h , (21)

donde se indica con +i y - i los parámetros correspondientes a interpolaciones por l a derecha y por la izquierda del nodo i , y e l super indi ce ci ident i f ica el parámetro central del elemen to i .

Asi como X* esta asociado al modo de fluencia representa­do por e l lado j del hexágono, se introducen parámetros pos i t i . vos o nulos A* y X* para representar los modos de fluencia de charnela plástica, con s a l t o de derivada positivo y negativo respectivamente. De es ta manera:

( n é ' ) 1 - xj - X* (22)

Solamente uno de estos parámetros es no nulo dependiendo del t ipo de charnela p lás t i ca producida en el nodo i . Ambos son nulos si no ex i s te charnela.

19

a) Funci6M objetivo

La disipación interna (12) es una función de la tasa de defornación plástica en l a cual se u t i l i z a e l valor de n y m correspondiente a c y i por la ley de la normalidad. Si e l no do de fluencia j es el act ivo para esa tasa de defornación se cunple:

ai • nc « X. R. (23)

donde R- es la distancia del lado j al origen definida en ( 5 ) . Ya que los restantes X. son nulos se puede sustituir en (23)

*J R3 p O T -"*' Para calcular m. en l a ecuación (12) se observa que en una

charnela plást ica i. - *• luego e l vector ( é . k) es paralelo al eje c * 0 y de la ley de normalidad se deduce que el (m, n) cor respondiente está en e l lado 1 o 4 y por tanto Mj • s i . La va riación de la derivada es sustituida según (22) .

Efectuando estas sustituciones en (12) se tiene (para me-dio tubo):

n» •» • ? / •* ^e d int * 2 ,1,11, R èCOdrJ* I CAÍ • JÒ (24)

i-luzi

J i « l

donde se t iene en cuenta que el último nodo no disipa. Luego, por (21):

dint * ¿ L i 1 2 R í u x ? + 2 *> I , x * *2 Rí I , X J ( Í + 1 ) ) * *• **-] (25)

,2**2* donde: In - I hn(z)dz (26)

b) Restriciones de compatibilidad cinemática T

La interpolación (19) garantiza la compatibilidad cinema"

tica interna en cada elemento asi como la continuidad entre es

tos. Para el salto en la derivada la situación es diferente

ya que en el interior del elemento, a izquierda y derecha del

nodo, está dado por la derivada de (19) mientras que en el no*

20

do fue ut i l izado (22). Es ««cosorio entonces iapoaer en codo nodo:

;•* - 1 - - *;• <27>

em particular, para ol nodo i * 1:

— ¿ - c» • - ^ c c - - j ^ - c» - û • *I • 0 (28)

y para los nodos i • 2 , . . . . nfc:

- 1 £*"* • 2 £cfi-l) 3 . i 4 2 £ d . ^ -i*l . x i , xi . o " * (29)

c) ftestriciones de admisibil idad p lás t i ca

Cow> se ut i l izan funciones aproximación cuadráticas para ( . c r } , para asefurar la identidad (20) en todo punto basta íaponerla en tres puntos, o sea:

• \ (-Kljb,X^ - N ^ X * - N . j h . X - ^ ) - 0 (30)

l i , ! * • h a c c i • h , t i + 1 •

• \ (-Ka^X? -N,.haX? - N,.h,x:<W)) - 0 (31)

Estas ecuaciones deben ser repetidas para cada uno de los 3 puntos elegidos en cad» elemento, paTa los cuales se calcu­lan los valores correspondientes de »n(n) y *>J¡Cn) -

d) Restricción de disipación externa unitaria

La condición d „ « 1 conduce, según (13) y (19). • *« «-cuación:

21

6.1 El Problema de Optimización

Las ecuaciones (25) . (28). (29) , .(30). (31) y (32) plan­tean un problema de minimización de una función l ineal con res tricciones l inea les de igualdad, donde las variables son los parámetros de interpolación de la figura 10. Una rutina basa­da en el método simplex de programación l ineal resuelve este problema.

Debido a que la compatibilidad cinemática y plástica del campo de tasas de deformación usado, es satisfecha en todo pun t o . de acuerdo al teorema es tát ico se obtiene una cota supe­rior de la carga l ími te .

7. RESULTADOS NUMÉRICOS

Para los ejemplos de tubos considerados en la sección 4 se obtuvieron dos resultados de la table S utilizando puntos de Gauss (y z * 0) para verificación de admisibilidad plástica del método es tát ico .

Longitud del Tubo

4.0000

3.4772

2.4273

1.0472

0.7227

6.1000

Carga Límite Exacta

1.7320

1.7320

1.5411

1.2247

0.93S4

0.14142

Método Es tá t i co

Carga Límite

1.713

1.723

1.S44

1.2247

0.93S0

0.1412

N* de Elem.

S

S

s

3

1

1

"p

2

2

2

2

2

2

Método Cinemático

Carga Límite

1.755

1.759

1.568

1.229

0.938

0.1412

N' de Elem.

9

7

7

5

3

2

Tabla 5 -Cargas l ímites calculadas por los métodos es tát ico y cinemático.

•> •>

Las curvas correspondientes a e s t a s in terpo lac iones c o i a -

ciden aproximadamente. con B ( Z ) y ¿ (x) de l a s figuras 4 y 7 [•).

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen • F1NEP, CNEN y IEN. por e l apoyo f inanciero.

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