Integración Numérica

Dr. J. Abel Mejía M.FIA-UNALM

PROGRAMACIÓN CON MATLAB(Aplicaciones en Ingeniería)

Introducción

Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de interpolación. Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de integración numérica. Los métodos que se estudian a continuación se basan en las fórmulas de interpolación con puntos de separación uniforme y se deducen al integrar las fórmulas de interpolación de Newton hacia delante y hacia atrás. Se analizará solo los métodos numéricos que se utilizan para evaluar integrales de una variable:

∫=b

adxxfI )(

Resumen de los métodos de integración numéricaMétodo Ventajas Desventajas

Regla del trapecio

Sencillez. Optima para integrales impropias.

Necesita gran número de subintervalospara buena precisión.

Regla de 1/3 de Simpson

Sencillez. Mas precisión que la regla del trapecio.

Solo con un número par de intervalos.

Regla de 3/8 de Simpson

El mismo orden de precisión que la regla de 1/3.

Solo con intervalo cuyo número sea múltiplo de tres.

Fórmula de Newton -Cotes

Utiliza puntos con igual separación. Se dispone de fórmulas abiertas y cerradas.

Las fórmulas de orden superior no necesariamente son más precisas.

Cuadraturas de Gauss

Mayor precisión que las fórmulas de Newton–Cotes. No se utilizan valores de la función en los extremos.

Los puntos no están separados uniformemente.

Transformación Exponencial

doble

Buena precisión para las integrales impropias

Requiere de un cuidado especial para evitar el desbordamiento o la división por números muy pequeños.

Regla del Trapecio

Esta regla es un método de integración numérica que se obtiene al integrar las fórmulas de la interpolación lineal. Se escribe en la forma siguiente:

[ ] EbfafabdxxfIb

a++

−== ∫ )()(

2)(

donde E representa el error. En la figura se muestra gráficamente la integración numérica por medio de la ecuación. El área que queda del trapecio es igual a la integral calculada numéricamente, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto. Por lo tanto, el error de la integración sería la diferencia entre ambas áreas.

[ ] )´´(121)()(

2)( 3 xfhbfafabdxxfE

b

a−≅+

−−= ∫

y = f(x)

x

y

ba

f(a)

f(b)

Regla del Trapecio

La ecuación se puede extender a N varios intervalos con una separación uniforme h para así obtener la regla extendida del trapecio:x0 x2x1 xNxi

f0

f1fif2

fNy

Regla Extendida del Trapecio

x

( ) EfffffhEbfjhafafhxfI NN

N

j

b

a++++++=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++== −

−

=∑∫ )1(210

1

1

2...222

)()(2)(2

)(

∑=

−−≅

N

ixf

NabE

13

3

)´´()(121

( )N

abh −=

( )haffaff +== 10 ),(

( )ihaff i +=

Ejemplo

El cuerpo de revolución se obtiene al girar la curva dada por y = 1+(x/2)2, 0 ≤ x ≤ 2, entorno al eje x. Calcule el volumen mediante la regla del trapecio con N = 2, 4, 8, 16, 32, 64 y 128. Si el valor exacto es I = 11.7286, evaluar el error para cada N.

Solución: ∫∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+===

2

0

222

0

2

21 dxxdxyIVolumen ππ

Para: N = 2 ⇒ h = 2/2 = 1

[ ] [ ] 7627.124)5625.1(215.0)2()1(2)0(21

=++=++= πfffI

Para: N = 4 ⇒ h = 2/4 = 0.5

[ ] 9895.11)2()5.1(2)5.0(2)0(25.0

=+++= ffffI

Las integraciones con los demás valores de N se muestran en la siguiente tabla:

N h Ih Ek

2 1 12.7627 -1.03414 0.5 11.9895 -0.26098 0.25 11.7940 -0.0654

16 0.125 11.7449 -0.016332 0.0625 11.7326 -0.004064 0.03125 11.7296 -0.0010

128 0.015625 11.7288 -0.0002

Valor exacto 11.7286; se puede observar que el error decrece en forma proporcional h2

La regla de 1/3 de Simpson se basa en la interpolación polinomialcuadrática de Newton de segundo grado. Al integrar la fórmula de interpolación de Newton hacia adelante, haciendo el cambio de variable adecuado desde x0 = a hasta x = b, se obtiene la regla de 1/3 de Simpson:

y = f(x)

x

y

x2=bx0=a

f0

f2

Regla del Simpson

x1

f1

[ ] [ ] EfffhEbfxfafhdxxfIb

a+++=+++== ∫ 210 4

3)()(4)(

3)(

2/)( abh −= 2/)( bax

Regla del Simpson

+=

)()( ihafxff ii +==

)(90

5

xfhE iv−≅

EjemploResolver el problema del ejemplo anterior utilizando la regla extendida de 1/3 de Simpson con N = 2, 4, 8, 16, 32.

SoluciónEl tamaño del intervalo es h = 2/N. Los cálculos para N = 2 y 4 son como sigue:

[ ] [ ] 7809.112)25.1)(4(131)2()1(4)0(

312 22 =++=++=⇒= πfffIN

[ ]

[ ] 7318.112)5625.1(4)25.1(2)0625.1(4135.0

)2()5.1(4)1(2)5.0(4)0(35.04

222 =+++=

++++=⇒=

π

fffffIN

Los cálculos para N mayores se pueden realizar de manera análoga. Los resultados y evaluaciones del error se muestran a continuación.

N h Ih Eh

2 1. 11.7809 -0.05234 0.5 11.7318 -0.00328 0.25 11.7288 -0.0002

16 0.125 11.7286 032 0.0625 11.7286 064 0.03125 11.7286 0

Al comparar los resultados con la regla del trapecio se puede ver que la regla extendida de Simpson es mucho más precisa, utilizando el mismo número de intervalos. Por ejemplo, la exactitud de la regla extendida del trapecio con 32 intervalos es equivalente a la de regla extendida de Simpson con solo 4 intervalos. El error de la regla extendida de Simpson es proporcional a h4, por lo que es dos ordenes más grande que el de la regla extendida del trapecio. Debido al alto orden de error, la regla extendida de Simpson tiende a la solución exacta en forma más rápida que la regla extendida de trapecio cuando h se reduce.

La regla extendida de 3/8 de Simpson se obtiene de integrar la fórmula de interpolación polinomial de tercer grado. Para un dominio [a,b] dividido en tres intervalos, se escribe como:

[ ] EffffhdxxfIb

a++++== ∫ 3210 33

83)(

,3

)( abh −= ),( ihaffi += ),´´´´(803 5 xfhE −≅

2)( bax +

=

La regla extendida de 1/3 de Simpson se aplica a un número par de intervalos, mientras que la regla extendida de 3/8 se aplica a un número de intervalos que sea múltiplo de 3. Cuando el número de intervalos es impar pero sin ser múltiplo de 3, se puede utilizar la regla de 3/8 de Simpson para los primeros tres o los últimos tres intervalos, y luego usar la regla de1/3 para los intervalos restantes, que son un número par. Puesto que el orden de error de la regla de 3/8 es el mismo que el de la regla de 1/3, no se gana mayor exactitud que con la regla de 1/3 cuando uno puede elegir con libertad entre ambas reglas.

La Fórmula cerrada de Newton-Cotes de orden n utiliza n+1 puntos de datos con intervalos equiespaciados. Las abscisas de los puntos (xi) de los datos son :

1n1,2,3,...,i )1( +=+−−

= ain

abxi

Las ordenadas de dichos puntos son fi = f(xi). Las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se escriben en forma general:

∫ ∑+

=

≅=b

a

n

iii fwhdxxfI

1

1)(

Cuadratura de Newton-Cotes

nabh −

=

Donde n+1 es el número total de puntos, wi son factores de ponderación dados en tabla. Para n = 1,2 y 3 la integral se convierte en la regla trapezoidal, la regla 1/3 de Simpson y la regla 3/8 de Simpson, respectivamente.

Factores de Ponderación de las Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

in

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.50000000

0.50000000

2 0.33333333

0.33333333

0.33333333

3 0.37500000

0.12500000

0.12500000

0.37500000

4 0.31111111

1.42222222

0.53333333

1.42222222

0.31111111

5 0.32986111

1.30208333

0.86805555

0.86805555

1.30208333

0.32986111

6 0.29285714

1.54285714

0.19285714

1.94285714

0.19285714

1.54285714

0.29285714

7 0.30422453

1.44901620

0.53593749

1.21082175

1.21082175

0.53593749

1.44901620

0.30422453

8 0.27908289

1.66151675

-0.26186948

2.96183421

-1.28112874

2.96183421

-0.26186948

1.66151675

0.27908289

Comandos de MATLAB para Integración

La caja de herramientas de MATLAB cuenta con int, quad,quad8 y quadl. La función int calcula la integral definida e indefinida de una función sobre una de sus variables; la función quad utiliza la regla de Simpson recursiva; quad8 se vale de la cuadratura de Newton-Cotes recursiva de orden 8 y quadl es la cuadratura de Lobatto con mejor performance.Ejemplo: Resolver: dxxsen∫

1

0 23

>> I=int('3*sin(x/2)',0,1)I =-6*cos(1/2)+6

>> I = quad('3*sin(x/2)',0,1)I =

0.7345

>> I = quadl('3*sin(x/2)',0,1)I =

0.7345

>> I=int('a*sin(b*x)')I =-a/b*cos(b*x)

∫ dxbxasen )(