09-ingenieria economica rentas

Ingeniería Económica – Alejandro Chambergo

67 TASAS DE INTERÉS

CAPITULO XI. ANUALIDADES o RENTAS CAPACIDAD

Identifica y explica los conceptos sobre los diferentes tipos de rentas o anualidades y sus modelos matemáticos que estos describen y valora su importancia en el flujo de las operaciones financieras

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

Calcula el valor futuro y el valor actual de las anualidades vencidas, anticipadas y diferidas.

Comprende cómo están inversamente relacionados el valor actual y la tasa de interés. Cuando una aumenta la otra disminuye.

11.1 Anualidades o Teoría de la Renta

La palabra anualidad se utiliza por costumbre que tiene su origen en los pagos que se hacían anualmente. En el mundo de las finanzas la palabra anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales.

En particular se utiliza esta palabra con un concepto más amplio, para referirse al sistema de pagos de cantidades fijas a periodos de tiempo iguales, que no solamente pueden ser anuales, sino de cualquier otra magnitud. Son ejemplos de anualidades: los sueldos, los pagos que hacemos por servicios públicos, los programas de créditos pagaderos a plazos, las pensiones universitarias, las pensiones de jubilación etc.

Definición.- Una anualidad es una serie o sucesión de pagos, depósitos o retiros periódicos iguales con

interés compuesto.

11.2 Definición de factores vinculados con las Anualidades o Rentas.

Tiempo o Plazo de la Anualidad o Renta.- Es el tiempo que transcurre entre las fechas de inicio o

comienzo del periodo y vencimiento o término del último.

Intervalo o Periodo de Pago o Periodo de Renta.- Es el tiempo medido o fijado entre dos pagos

sucesivos de la anualidad o renta.

Pago Periódico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de los pagos, depósitos o retiros que se hacen.

Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un año.

Tasa Interés de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que regirá para la

anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva.

Ejemplo de la identificación de los factores de las Anualidades o Rentas.

Ejemplo 142. Una persona adquiere un equipo D.V.D. mediante un contrato de compra-venta a plazos en una tienda de electrodomésticos, a un plazo de ____ años por el que pagará $36 mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36% efectivo anual.

Los factores de la Anualidad o Renta son:

Tiempo o plazo de la anualidad:

Intervalo de Pago:

Pago Periódico:

Renta Anual:

La tasa de interés efectiva anual



11.3 Clasificación de las Anualidades o Rentas.

a) Las anualidades o rentas se clasifican según el tiempo o fechas extremas del plazo en:

Anualidades Ciertas y

Anualidades Eventuales, Contingentes o Aleatorias

Anualidades Ciertas son aquellas cuyas fechas de inicio y término se conocen perfectamente por estar

claramente establecidas. Por ejemplo el día 01 de septiembre de 2001 se adquiere un equipo de sonido con un contrato de crédito que establece el pago de una cuota inicial de $50,00 y 18 cuotas mensuales de $50,00, contrato que vence 01 de Marzo del año 2003.

Anualidades Eventuales, Contingentes o Aleatorias, son aquellas en las que la fecha de inicio o la de

término de la anualidad o ambas se desconocen, ya que dependen de un suceso previsible del que las fechas antes referidas, no pueden prefijarse. Ejemplo: Las pensiones de viudez que otorga la seguridad social, son anualidades que se pagan al fallecimiento del titular asegurado, fecha imposible de prefijar, esta pensión concluye al fallecimiento de la viuda que la percibe, cuya fecha de deceso también sólo Dios sabe cuándo ocurrirá.

Anualidades o Rentas Perpetuas o Perpetuidades, son una variación de las anualidades ciertas, en

las que la duración del pago en teoría es ilimitada. Ejemplo. La Fundación Ford, concede anualmente una beca de estudios – por cinco años - pagadera mensualmente, para estudiantes brillantes de escasos recursos económicos, para ello la fundación ha hecho un depósito en la empresa aseguradora Fénix, de tal magnitud que los intereses que este depósito genera permitirán cubrir a perpetuidad los derechos académicos de los becarios, durante los cinco años de estudios, la aseguradora que actúa como fideicomisario cumpliendo con el encargo de la fundación, entregará mensualmente a la entidad educativa los derechos pertinentes.

b) Según la forma de ejecución de los pagos de renta o pagos periódicos, las anualidades o rentas se clasifican en:

Anualidades o Rentas Ordinarias o Vencidas o Post pagables y

Anualidades Anticipadas o Pre pagables.

Anualidades o Rentas Ordinarias o Vencidas o Post pagables, son aquellas en las que el pago periódico o pago de la renta se efectúa al final del intervalo de pago. Ejemplo de este tipo de anualidad lo tenemos en los pagos de los servicios públicos de agua, luz, o teléfono, que se pagan de manera vencida.

Anualidades Anticipadas o Pre pagables, son aquellas en las que el pago periódico se efectúa al

principio del periodo de pago. Ejemplo los contratos de alquiler de inmobiliario, en los que se establece que la merced conductiva del inmueble o renta mensual o mensualidad se abonará a principio de cada mes.

c) Según la fecha de ejecución del primer pago de la renta o anualidad se clasifican en:

Anualidades Inmediatas y

Anualidades Diferidas

Anualidades inmediatas, son aquellas cuyo primer pago se realiza en el primer periodo de pago, no

interesando si es al principio o término del intervalo de pago.

Anualidades Diferidas, son aquellas cuyo primer pago periódico se efectúa algunos periodos después de que se suscribe el plazo de la anualidad o renta. Ejemplo: los contratos de ventas a plazo de Sagafalabella, en los que se promociona las ventas con el slogan: compre ahora y pague después (a partir del próximo año).



d) Según los intervalos de pago las anualidades o rentas se clasifican en:

Anualidad Simple y

Anualidad General

Anualidad Simple, es aquella en la que los intervalos de pago y el periodo de capitalización de los

intereses son iguales. Ejemplo: contratos de alquiler de oficinas comerciales con pagos trimestrales a una tasa de interés capitalizable trimestralmente

Anualidad General, es aquella en la que los intervalos de pago y el periodo de capitalización de los

intereses no son iguales. Ejemplo: Una renta semestral a una tasa de interés anual ó una renta trimestral a una tasa de interés mensual.

11.4 Valor de la Anualidades o Rentas

El valor de una anualidad o renta puede ser calculado al final o vencimiento de su plazo, a dicho cálculo se le denomina monto o valor futuro y en este caso lo pagos periódicos se capitalizan y el valor de una anualidad o renta calculado al inicio o principio de su plazo se llama valor presente o valor actual siendo en este caso que los pagos periódicos son descontados. También el valor de una anualidad o renta puede ser calculado en posiciones intermedias de su tiempo o plazo que da lugar al cálculo del monto o valor futuro parcial, cuando se refiere al cálculo de la parte vencida de la anualidad y valor presente o actual parcial, cuando dicho cálculo se refiere a la parte de los pagos que faltan por vencer de la anualidad o renta.

11.5 Cálculo del Monto o Valor Futuro de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias e Inmediatas

El monto o valor futuro de una anualidad de este tipo es el capital acumulado correspondiente todos los pagos periódicos y todos los intereses generados por éstos, al término del plazo o mejor dicho, es la suma de todos los montos compuestos determinados por los pagos periódicos hechos a la anualidad o renta.

En la práctica es el caso que más se presenta en lo que se refiere al cálculo del valor de las anualidades.

A partir de una ecuación de equivalencia financiera y tomando como fecha de referencia la fecha de vencimiento del plazo, el monto o valor futuro F de esta anualidad la obtenemos de la siguiente manera:

Momento Actual Vencimiento del Plazo

0 R1 R2 R3 ,,,,,,,,,,, Rn-2 Rn-1 Rn → F’n= R(1 + i)0

---------------- → F’n-1 = R(1 + i)1

-------------------------------------- → F’n-2 =R(1 + i)2

……………………………..

---------------------------------------------------------- →F’ 3 = R(1 + i)n-3

----------------------------------------------------------------------------- → F’2 = R(1 + i)n-2

------------------------------------------------------------------------------------------------ → F’1 = R(1 + i)n-1

→F = ?



Utilizando un procedimiento que nos presenta de manera inversa el orden de los pagos periódicos realizados observamos en el gráfico que cada pago periódico de la anualidad esta impuesto a interés

compuesto por n números de periodos diferentes. El primero R1 estará durante n -1 periodos, el

segundo R2 durante n – 2, el tercero R3 durante n – 3, el antepenúltimo durante 2 periodos, el penúltimo

durante 1 período y el último pago por coincidir con la fecha de vencimiento del plazo no devenga interés por lo que teóricamente le hemos puesto al FSC exponente 0. Luego el monto o valor futuro de la anualidad o renta simple cierta ordinaria e inmediata será igual a la suma de los montos compuestos parciales o valores futuros parciales a interés compuesto generados por cada pago computados al vencimiento del plazo.

Fn = R(1 + i)n-1

+ R(1 + i)n-2

+ R(1 + i)n-3

+..........+ R(1 + i)2 + R(1 + i)

1 + R(1 + i)

0

Si invertimos el orden de la progresión anterior nos queda:

Fn = R + R(1 + i)1 + R(1 + i)

2 +...................+ R(1 + i)

n -3 + R(1 + i)

n -2 + R(1 + i)

n -1

En conclusión tenemos que el monto o valor futuro de la anualidad Fn es igual a la suma de los términos

de una progresión geométrica cuyo primer término a1 es R, su razón r es (1 + i), la que obtenemos

aplicando la ecuación de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica (Sn ).

a1 (rn – 1)

Sn =-------------------- r - 1 r ≠ 1

Luego basados en esa fórmula y adecuando a la nomenclatura o términos de las anualidades tenemos:

El término encerrado entre corchetes se le llama Factor de Capitalización de la Serie (FCS) o también Factor de Capitalización de la Renta Unitaria o también Factor del Valor Futuro de la Anualidad o Renta, el mismo que se lee : “El Factor de Capitalización de una Serie a una tasa i efectiva por periodo y por un número n de periodos de capitalización transforma una serie uniforme de pagos periódicos en un valor futuro F”.

Ejemplo 143: Una persona deposita en una cuenta de ahorros $7,500 dólares anuales durante _____ años. ¿Cuánto habrá acumulado en la cuenta si percibió una TEA del 9%?



Observamos que cada uno de los pagos periódicos ha sido multiplicado por su FSC, obteniendo montos compuestos parciales a partir de cada pago periódico. En la práctica este método de cálculo empleado se llama método largo para el cálculo del monto o valor futuro de una anualidad o renta, que es un método demostrativo de su concepto. Utilizable cuando el número de pagos de la anualidad es relativamente corto, y poco útil por lo largo y tedioso que sería aplicarlo a un número de pagos periódicos bastante grande. En reemplazo de esta forma de determinación utilizamos la ecuación directa de estimación.

Aplicando la ecuación del Valor Futuro o Monto de la Anualidad o Renta y obtenemos:

Ejemplo 144: Un trabajador de la empresa X, ha aportado a la AFP Horizonte, S/. 450,00 mensuales durante ____ años. ¿Cuánto tendrá acumulado a la fecha si en ese lapso la TNA pagada era del 14,4% capitalizable mensualmente?

Cálculo de monto posterior al término de una anualidad o renta

Hay casos en los cuales el monto acumulado por una anualidad, continúa invertido generando intereses en ese caso dicho interés se calcula en términos de interés compuesto.

Ejemplo 145: Una persona deposita $250 al final de cada quincena durante____ años en una cuenta que paga una TNA del 14.4% capitalizable mensualmente. Si no realiza mas depósitos determine el valor acumulado en la cuenta, 18 meses después de haber efectuado el último depósito.



Ejemplo 146. Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 soles cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

Ejemplo 147. Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 años, si imponemos al final de cada uno de ellos 20 000 soles siendo TEA 12%

Solución:

El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de interés de la propia cuenta.



Ejemplo 148. Calcular el número de ingresos de 25.000 soles que tenemos que realizar al final de cada año para reunir 209.845,94 soles en un banco que capitaliza a una TEA 6%.

En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.



11.6 Valor Presente de una Anualidad o Renta Simple Cierta Ordinaria o Vencida e Inmediata.

El valor presente de una anualidad es aquel capital denotado por P que con sus intereses compuestos en el tiempo o plazo de la anualidad proporcionará un valor futuro equivalente al de la anualidad.

En donde:

P = Es el valor presente de una anualidad de n pagos

R = Es el importe del pago periódico de la anualidad

Ejercicios de aplicación

Ejemplo 149. Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 soles cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.



Ejemplo 150. Una persona alquila una propiedad por _____ años por la que le pagarán una renta mensual de $ 4500. Si conviene con su inquilino que le abone el importe de dicho contrato el día de hoy, a TNA del 24% capitalizable mensualmente.

Ejemplo 151. Un automóvil se vende con una cuota inicial de $___________ y 48 cuotas mensuales de $777. Si el crédito automotriz cobra una TNA del 17,4% con capitalización mensual, hallar el valor al contado del vehículo.

Ejemplo 152. Una persona desea comprar una renta de $5500 pagadera trimestralmente, durante los siguientes ____ años. Hallar el costo de la renta o anualidad si estos fondos son remunerados con TNA de 9% capitalizable trimestralmente.



Ejemplo 153. Calcular el valor de la imposición que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de interés efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 soles al final de cada uno de los próximos 5 años.

Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposición y los reintegros, aquélla debe coincidir con el valor actualizado de estos últimos. Así, la imposición inicial será el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operación.



11.7 Anualidades Anticipadas o Pre pagables,

Ejemplo 154. Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales situados a principios del año de 100 soles cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

Ejemplo 155. Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales situados a principios del año de 100 soles cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.



11.8 Anualidades Diferidas,

Ejemplo 156. Calcular el valor actual y final de una renta cuya duración es de 5 años, con términos anuales prepagables de 2.700 soles sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 años. Tanto de valoración 11% efectivo anual.

Se trata de una renta diferida 3 años, con términos prepagables y 5 términos.

• Valor actual:

• Valor final:

El diferimiento no afecta al valor final, que se podía haber calculado como el de una renta inmediata de 5 términos prepagables:



Ejemplo 157. Calcular el valor actual y final de una renta de 3 términos anuales de 1.000 soles pagaderos por vencido si la valoración al 7% anual se efectúa a los 8 años de comenzada la renta.

Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoración se realiza 5 años después de haberse hecho efectivo el último capital. No obstante, la anticipación no afecta al valor actual que se resolverá como una renta inmediata.

• Valor actual:

• Valor final:



S = P.FSC.

206. Se necesita un financiamiento bancario de S/. 4000, el cual puede obtenerse bajo la modalidad de descuento de pagaré. ¿Por qué monto debe aceptarse dicho pagaré con vencimiento a 45 días aplicando una TEM del 4 % Respuesta . S= S/. 4.242.38

S = R.FCS.

207. Una persona deposita en una cuenta de ahorro al final de cada trimestre un importe constante de s/. 2000. ¿Qué monto acumulara en el plazo de dos años percibiendo una TNA del 24 % capitalizable trimestralmente? Respuesta. S=S/. 19,794.94

208. ¿Qué monto puede acumularse durante 3 años depositando S/. 1000 cada fin de mes y percibiendo una TNA del 24 % con capitalización mensual? Respuesta. S/. 51,994.37

209. ¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 8 meses consecutivos se deposito S/. 800 en un banco que paga una TEA del 12 % Respuesta. S= S/. 6,616.63

P = R.FSA.

210. Una maquina es vendida al crédito con una cuota inicial de S/. 2000 y 12 cuotas de S/. 300 c/u pagaderas cada 30 días. Calcule el respectivo precio de contado equivalente utilizando una TET de 9%. Respuesta P= S/. 5 001.55

211. Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas uniformes vencidas de S/. 2 000 cada una, a una TEM del 4%. La primera renta se pagará dentro de tres meses y las siguientes en periodos de 3 en 3 meses. Respuesta. R = S/. 14 494,80.

212. La empresa Alfa alquila un local comercial durante 5 años por un importe anual de $ 12 000 pagadero $3 000 por trimestre vencido. Alfa recibe como alternativa del arrendamiento la propuesta de efectuar un único pago de $ 17 000 al inicio del contrato. Considerando que Alfa puede invertir el importe de los alquileres que recibirá a una TEM del 5% ¿le conviene la alternativa propuesta? Respuesta. No, ya que el VP de los alquileres es $ 18 013,60.

P = S.FSA.

213. Dentro de 70 días se recibirá S/. 2 000 ¿Cuál es su valor actual a una TNA del 18% anual con capitalización mensual?

Respuesta. P = S/. 1 931,71.

214. Habiéndose descontado una letra con valor nominal de S/. 1 000, la cual vence dentro de 42 días a una TEM del 5% ¿Cuál es el importe neto disponible?

Respuesta. P = S/. 933,97.

215. ¿Cuál ha sido el capital que al cabo de 6 meses se convirtió en S/. 2 000 a una TEA del 20%? Respuesta. P = S/. 1 825,74.

PRACTICA Nº 16



216. Un órgano electrónico modelo. MT-1280 es ofrecido por una casa comercial al precio de contado contraentrega de $ 430 y al crédito con una cuota inicial de $ 200 y una letra que puede otorgarse a los siguientes plazos: a 15 días por $ 235, a 30 días por $ 239, a 45 días por $ 245. ¿Cuál es la mejor oferta suponiendo que el costo de oportunidad del cliente es del 5% mensual y tiene indiferencia por disponer del bien ahora o dentro de 45 días?

Respuesta. La mejor oferta seria a 30 días con un valor presente de $ 427,62.

R = S.FDFA

217. Calcule el importe de la renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 4 años permita constituir un monto de S/. 20 000. La TNA aplicable es del 36% con capitalización mensual.

Respuesta. R = S/. 592.08.

218. El programa de inversiones de Productos Industriales S.A. (Prodinsa) planea adquirir dentro de seis meses un equipo de computación interconectado para toda su empresa a un costo de $ 10 000. La Gerencia Financiera de Prodinsa puede colocar sus excedentes mensuales de caja en una institución financiera que paga una TEM del 2%. ¿Qué importe constante de fin de mes deberá ahorra para acumular los $ 10 000 al final del sexto mes?

Respuesta. R = $ 1 585,26.

219. Se planea reemplazar una maquina dentro de 4 meses, cuyo precio se estima en S/. 5 000 ¿Qué importe constante de fin de mes deberá depositarse durante ese plazo en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha maquina con los ahorros capitalizados?

Respuesta. R = S/. 1 160,06.

220. Un préstamo de S/. 5 000 debe ser cancelado en su totalidad dentro de un año. Trimestralmente deben pagarse los intereses aplicando una TET del 8%. Para el pago de intereses y amortizar el préstamo se efectúan depósitos trimestrales por los que se perciben una TEM del 2%. Calcule el importe de la cuota que puede cubrir tanto los intereses trimestrales como cancelar el préstamo a su vencimiento.

Respuesta. R = S/. 1 540,01.

R = P.FRC

221. Un préstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en 12 cuotas uniformes cada fin de mes, aplicando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de cada cuota.

Respuesta. R = S/. 502,31.

222. La Empresa Equipos S.A., vende sus máquinas al contado en $ 10 000 pero debido a que ha conseguido un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas al crédito con una cuota inicial de $ 5 000 y seis cuotas mensuales uniformes. Si la TEA a cargar al financiamiento es del 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo.


223. Se compro un auto cuyo precio al contado fue $ 12 000, pagando una cuota inicial de $ 2 000 y el saldo cancelable en cuatro armadas mensuales iguales. ¿Cuál será el importe de cada cuota si el costo del financiamiento es del 2% mensual? Respuesta. R = S/. 2 626,24.



224. Prepare una alternativa de financiamiento para una máquina que se vende al contado a un precio de $4000. Al crédito se otorgará con una cuota inicial equivalente al 25% del precio de contado y seis cuotas uniformes pagaderas cada 30 días. Se cargará una TEM del 5% sobre el saldo deudor.


225. ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/. 500 cada uno, serán necesarios ahorrar para acumular un monto de S/. 5474.86 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalización mensual?.

Respuesta. n=10

226. Una maestría en Administración de Negocios tiene un costo de $ 190 por cada crédito de estudios. El plan curricular contempla 60 créditos que pueden ser aprobados satisfactoriamente en el plazo de 2 años. Roberto Rojo, estudiante de pregrado que en la fecha le faltan 3 años para concluir su bachillerato, ha decidido seguir la maestría al término de su bachillerato. Para estos efectos, a fin de cada mes y durante los 3 años siguientes ahorrará un determinado importante constante que le permita sufragar el costo de su maestría. Considerando que Roberto puede percibir una TEM del 0,5% por sus ahorros y que los pagos de la maestría se realizaran en cuota iguales cada fin de mes, ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente Roberto?

Respuesta. $ 272,45.

227. ¿Con cuántas cuotas constantes trimestrales vencidas de S/. 500 cada una se podrá amortizar un préstamo de S/. 5000 por el cual se paga una TET del 6.1208%?

Respuesta n = 15.9399

228. Si un trabajador ha cotizado a una AFP el equivalente de S/. 3600 anual durante los últimos 5 años de actividad laboral dependiente ¿Cuál es el importe final su percibió una TEA de 10%?

Respuesta. S=S/. 21.978,36

229. ¿Qué monto se acumulará en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 4 meses consecutivos se depositó S/. 1000 por los cuales se percibe una TNA del 24% capitalizable mensualmente?

Respuesta. S=S/. 4.121,61

230. Calcular la TEA si 5 depósitos anuales de S/360 cada uno generó un monto acumulado de S/.2197,84

Respuesta. TEA=10%

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