08 - armonico simple - 2015.pdf
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Dr. Eberardo Osorio Rojas
FISICA I
Módulo: 2 Unidad: IV Semana:08
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Movimiento armónico simple
Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide
La ecuación general de cualquier movimiento armónico simple es:
+A
-A
cresta
valle
v = Cte.
Donde:
– X: es la elongación, la posición en cualquier instante,
– A: es la amplitud del movimiento
– w: es la frecuencia o velocidad angular; se mide en radianes / segundo.
– t: Es el tiempo
– : recibe el nombre de fase inicial
Aceleración Máxima:
amax=Aw2
Donde:
A= Amplitud
W=velocidad o frecuencia angular
PERÍODO
VELOCIDAD MAXIMA:
Vmax = w. A
Donde:
T = Periodo (seg)
f = frecuencia (hertz)
FRECUENCIA ANGULAR (W)
•
fT
1
fT
w
22
Unidades = radianes /seg
1. Una partícula vibra con una velocidad máxima de 40 m/s y una amplitud de 5 cm. Calcular:
a) La frecuencia con que vibra la partícula.
b) La aceleración máxima.
Solución
a) La velocidad máxima de una partícula en un m.a.s. es vm = Aw, :
vm 40 m/s
w = ———— = —————— = 800 rad/s
A 5 · 10-2 m
De la expresión w = 2 · f obtenemos el valor de la frecuencia:
800 400
f = —— = ——— Hz = 127.39 Hz
2 3.14
b) La aceleración máx. depende de la Amplitud,
amax= W2 A
amax = w2A = 82.1002 (rad/s)2 * 5 cm
amax= 64 • 104 rad/s2 • 5 • 10-2 m
amax = 320 • 102 m/s2 = 3.2x104 m/s2
Ejemplo: Al colgar una masa de 100 g a un resorte su longitud aumenta en 1 centímetro. ¿Cuánto vale k?
Sol:
Como F = k x; 0.1Kg 9.8 m/s2 = k 0.01 m
k = 98 N/ m
Elongación
Longitud Inicial
3. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión:
Y =5 sen( 2t + x/6 ) .
Donde x está en cm y t en s. Encuentre la longitud de onda , frecuencia, el periodo, la amplitud del movimiento y la velocidad de propagación de la onda. Solución: Ecuación. Longitud de onda = 12 cm Periodo = 3.14 cm Frecuencia = 1/3.14 Hz Amplitud = 5 cm Velocidad de propagación de la onda: V = Long. De Onda/ Periodo T = 12* 3.14 / 3.14 = 12 cm/s
)12
(2
xt
ASeny
EL PENDULO
Hace un movimiento oscilatorio
Periodo del péndulo:
T = 2 (s) g
L
L
-A +A x 0
v = 0 a Fres k
Posc. Equil.
2da. Ley de Newton:
Fres = ma = m (-2 x) = -m2 x = - k x
Donde:
k = m2 w =
Como:
w = 2/T T = 2
m
k
DINAMICA DEL MAS
k
m
ELEMENTOS DE UNA ONDA
+A
-A
cresta
valle
v = Cte.
1.- Longitud de onda () .- Distancia entre dos puntos
consecutivos de posición semejante.
2.- Periodo (P).- Tiempo empleado en realizar un ciclo.
3.- Frecuencia (f).- (Hertz = Hz).
Se cumple que: f = 1/T
ELEMENTOS DE UNA ONDA
+A
-A
cresta
valle
v = Cte.
5.- Amplitud (A).- Desplazamiento máximo de cada partícula.
6.- Velocidad de propagación (v).-
v = /T = f (m/s)
Expresión de una onda armónica:
y (x , t) = A Sen 2( t /T+ x/)
Donde:
A = Amplitud de la onda (m) , x = Posición de la partícula (m/s)
t = Tiempo k = Número de onda = 2/ ,
= velocidad o frecuencia angular (rad/s)
3. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión:
Y =5 sen( 2t + x/6 ) . Donde x está en cm y t en s. Encuentre la longitud de onda , frecuencia, el periodo, la amplitud del movimiento y la velocidad de propagación de la onda. Solución: Ecuación. Longitud de onda = 12 cm Periodo = 3.14 cm Frecuencia = 1/3.14 Hz Amplitud = 5 cm Velocidad de propagación de la onda: V = Long. De Onda/ T = 12* 3.14 / 3.14 = 12 cm/s
)12
(2
xt
ASeny
Un muelle elástico de constante k=0.4 N/m está unido a una masa de m=25 g.
En el instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad. V=-20√3 cm/s.
Calcular
•El periodo de la oscilación.
•Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.
•El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad
k
m2T
m
k w mw k
(N/m) (muelles) rarecuperado Constante -k
2 ;21
))((s movimiento del Frecuencia - f
(s) moviento del Periodo - T
(rad/s) angular frecuencia/ Pulsación - w
2
1-
fwwf
T
Hz
2
2
12
2
1EcEpEm
2
2
1Ec
2
2
1Ep
Mecánica Energía
cinética Energía
2
1kxdxF(x)dx Trabajo
va)conservati - rarecuperado (fuerza elástica potencial Energía
2
mvkx
mv
kxkx
gravedad la de valor dely
longitudsu de depende solamente pénduloun de oscilación de periodo El
22
2...
L
x-sen
agsen
mamgsen
maP
x
xx
g
LT
L
gw
L
gw
L
xga
xwaSAM
aL
xg
x
L
mg.sen
3. Un cuerpo de masa 100 g. desciende 10 cm. por debajo de su posicion
de equilibrio a y se abandona así mismo , oscila con un periodo de 2 seg.
a) cual es su velocidad al pasar por su posición de equilibrio?
b) ¡cual es su aceleración cuando ese encuentra 5cm . por encima de su
posición de equilibrio? )( wtASenX
2
1
)(1010
Sen
Sen
)( wtASenX)
22
2
t
)2
t )t
A=10cm.
T=0 x= +10cm
En uno
X=10 Sen(
X=10 Sen ( =10 Cos(
a) Vmax = w*A=10*pi= 31.416 m/s
b) x= 5cm
2/3.49
)5.0(10
10
10
5.0
)(105
2
2
sma
a
tCosa
tsenv
tCos
tCos
Velocidad angular=w=2pi/T=2*pi/2=pi
Velocidad=v= dx/dt
Aceleración=a=dv/dt
3. El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta
viene definida por: x= 3t3-14t2+16t-50, donde x se expresa en metros y t en
seg. Calcular los tiempos, las posiciones y las aceleraciones cuando la
velocidad es cero. (3 Ptos)
• Velocidad:
V=dx/dt= 9t2 - 28t + 16 = 0 Ecuación de 2do grado hallar t1= ? Y t2=?
Posiciones:
X1 = 3t3-14t2+16t-50 = reemplaza t1
X2 = 3t3-14t2+16t-50 = reemplaza t2
Aceleración: a= dv/dt= 18t - 28
a1= 18t - 28 = reemplaza t1
a2= 18t - 28 = reemplaza t2
GRACIAS