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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE UNA VARIABLE.
MÉTODO DE MÜLLER.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Müller.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 125
1.12.- MÉTODO DE MÜLLER.
Consideraremos ahora un método presentado por primera vez por D. E. Müller en 1956.
Esta técnica puede ser usada para cualquier problema de búsqueda de raíces, pero es
particularmente útil para aproximar raíces de polinomios.
El método de Müller es una generalización del método de la secante. El método de
la secante empieza con dos aproximaciones iniciales 1x y 0x , y determina la siguiente
aproximación 1x como la intersección del eje x con la recta que pasa por ))(,( 11 xfx y
))(,( 00 xfx . Ver figura 1.46.
Figura 1.46. Aplicación del método de la secante.
El método de Müller usa tres aproximaciones iniciales 2x , 1x y 0x y determina la
siguiente aproximación 1x considerando la intersección del eje x con la parábola que pasa
por ))(,( 22 xfx , ))(,( 11 xfx y ))(,( 00 xfx . Ver figura 1.47.
Figura 1.47. Aplicación del método de Müller.
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La derivación del método de Müller comienza considerando el polinomio cuadrático
cxxbxxaxP )()()( 0
2
02
Que pasa por ))(,( 22 xfx , ))(,( 11 xfx y ))(,( 00 xfx . Las constantes a, b, y c, pueden
determinarse de las condiciones
cxxbxxaxf )()()( 02
2
022 (1.36)
cxxbxxaxf )()()( 01
2
011 (1.37)
ccxxbxxaxf )()()( 00
2
000 (1.38)
las cuales nos dan
)()()(
)]()([)()]()([)(
120102
01020201
xxxxxx
xfxfxxxfxfxxa (1.39)
)()()(
)]()([)()]()([)(
120102
02
2
0101
2
02
xxxxxx
xfxfxxxfxfxxb (1.40)
)( 0xfc (1.41)
Forma alternativa para determinar las constantes a, b y c.
Debido a que se tienen tres ecuaciones, es posible encontrar los tres coeficientes
desconocidos a, b y c. Debido a que dos términos de la ecuación (1.38) son cero, se
encuentra inmediatamente que )( 0xfc . Así, el coeficiente c es igual al valor de la
función evaluada en el tercer valor inicial, 0x . Este resultado se sustituye en las ecuaciones
(1.36) y (1.37) para tener dos ecuaciones con dos incógnitas:
)()()()( 02
2
0202 xxbxxaxfxf (1.42)
)()()()( 01
2
0101 xxbxxaxfxf (1.43)
Una manipulación algebraica permite encontrar los coeficientes restantes a y b. La
manera de hacer esto consiste en definir las diferencias:
210 xxh 101 xxh
21
210
)()(
xx
xfxf
10
101
)()(
xx
xfxf (1.44)
Éstas se sustituyen en las ecuaciones (1.42) y (1.43) para dar
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1100
2
1010 )()( hhahhbhh
11
2
11 hahbh
De donde se despejan a y b. El resultado se resume como
01
01
hha
(1.45)
11 hab (1.46)
)( 0xfc (1.47)
En cualquiera de los dos casos, para determinar 1x , la raíz de P, aplicamos la fórmula
cuadrática a P.
cabb
cxx
4
2201
(1.48)
Esto da dos posibilidades para 1x dependiendo del signo que precede al término radical en
la ecuación (1.48). En el método de Müller, el signo se elige para que coincida con el de b.
Escogido de esta manera, el denominador será el más grande en magnitud y resultará en
seleccionar a 1x como la raíz de P más cercana a 0x . Así,
cabbb
cxx
4)(signo
2201
(1.49)
Donde a, b y c están dadas en las ecuaciones (1.39), (1.40) y (1.41) ó (1.45), (1.46) y
(1.47).
Una vez que se determina 1x , el procedimiento se reinicializa usando 1x , 0x y 1x
para determinar la siguiente aproximación 2x . El método continúa hasta que se obtiene una
conclusión satisfactoria.
Requisitos para la aplicación del método de Müller.
Para la aplicación del método de Müller, debe disponerse de:
a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .
b) Tres estimaciones iniciales 2x , 1x y 0x del valor de la raíz.
c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.
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Algoritmo del método de Müller.
Para encontrar una solución a 0)( xf , dadas tres aproximaciones 2x , 1x y 0x :
ENTRADA: 2x , 1x , 0x ; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.
SALIDA: Solución aproximada de p o mensaje de fracaso.
Paso 1. Tomar 1i .
Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 7.
Paso 3 Tomar 320 ii xxh ;
211 ii xxh ;
0
320
)()(
h
xfxf ii ;
1
211
)()(
h
xfxf ii ;
01
01
hha
;
11 hab ;
)( 1 ixfc .
21
)4( 2 cabD . (Nota: puede ser aritmética compleja)
Paso 4. Si DbDb entonces tomar dbE
Si no tomar dbE
Paso 5. Tomar E
xfh i )(2 1 ;
hxx ii 1 .
Paso 6. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx
xx
i
ii 1001 entonces
SALIDA (ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).
PARAR
Paso 7. 1 ii .
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Paso 8. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”); (Procedimiento
completado sin éxito).
PARAR
Ejemplo 1.21.
Determine la raíz de 02 xex usando el método de Müller con 12 x , 01 x y
20 x . Realice dos iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en
la última iteración.
Solución.
- Ecuación a resolver: 02 xex .
- Las estimaciones iniciales 2x , 1x y 0x del valor de la raíz son 12 x , 01 x y
20 x .
- Se ejecutarán 2 iteraciones.
Desarrollo del método.
i) Definimos xexxf 2)( .
ii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.
Primera iteración ( 1i ).
cabbb
cxx
4)(signo
2201
)()()(
)]()([)()]()([)(
120102
01020201
xxxxxx
xfxfxxxfxfxxa
)()()(
)]()([)()]()([)(
120102
02
2
0101
2
02
xxxxxx
xfxfxxxfxfxxb
)( 0xfc
12 x
8461.71828182)1()1()( )1(2
2
efxf
01 x
00000000000.1)0()0()( )0(2
1
efxf
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20 x
68646647167.3)2()2()( )2(2
0 efxf
)01()20()21(
)68646647167.31()21()68646647167.38461.71828182()20(
a
6640.57135017a
)01()20()21(
)68646647167.367182818284.1()20()68646647167.31()21( 22
b
1663.57503271b
68646647167.3c
)68646647167.3()45713501766.0(4)65750327116.3(65750327116.3
)68646647167.3(22
21
x
0620.610364931 x
Gráficamente.
Figura 1.43. Primera iteración del método de Müller
para xexxf 2)( con 12 x , 01 x y
20 x .
Segunda iteración ( 2i ).
cabbb
cxx
4)(signo
2212
)()()(
)]()([)()]()([)(
011011
10111110
xxxxxx
xfxfxxxfxfxxa
)()()(
)]()([)()]()([)(
011011
11
2
1010
2
11
xxxxxx
xfxfxxxfxfxxb
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)( 1xfc
01 x
00000000000.1)0()0()( )0(2
1
efxf
20 x
68646647167.3)2()2()( )2(2
0 efxf
0620.610364931 x
1360.17060727)0620.61036493()0620.61036493()( )0620.61036493(2
1 efxf
0560.77249423a
2141.83035067b
1360.17060727c
)1360.17060727()0560.77249423(4)2141.83035067(2141.83035067
)1360.17060727(20620.61036493
22
x
5900.700171202 x
Gráficamente.
Figura 1.44. Segunda iteración del método de Müller
para xexxf 2)( con 12 x , 01 x y
20 x .
Error relativo porcentual de aproximación.
100actualón Aproximaci
anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci
a
1005900.70017120
0620.610364935900.70017120
a
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%83.12a
La solución de la ecuación 02 xex es 97041685290.03 x , obtenida aplicando el
método de Müller con las estimaciones iniciales 12 x , 01 x y 20 x y dos
iteraciones. El error relativo porcentual de aproximación es 12.83%.
Ejercicios propuestos.
88. [WM] Use el método de Müller para aproximar las soluciones de las ecuaciones
siguientes con precisión de 10–5
.
a) 3
2 2xex
x 10 x b) 03 2 xex 10 x
c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).
89. [WM] Aproxime con 10–4
de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los
intervalos dados usando el método de Müller.
a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[
c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2
1
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
1.12.- MÉTODO DE MÜLLER.
88. a) 02 x , 5.01 x , 10 x : 5440.257530284 x ; b) 02 x , 5.01 x , 10 x :
2490.910007574 x ; c) 12 x , 5.11 x , 20 x : 1931.829383604 x ; d) 02 x ,
11 x , 20 x : 7821.968872934 x
89. a) 12 x , 5.21 x , 40 x : 8032.690647444 x ; b) 42 x , 21 x , 00 x :
4870.652703646 x ; c) 02 x , 7854.01 x , 5708.10 x : 4040.739085133 x ; d)
02 x , 7854.01 x , 5708.10 x : 7570.964333883 x .