Nociones de

Algebra Lineal

1) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por: a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R2 (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (a, a) k R (a, b) R2(a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R22) Dados los siguientes subconjuntos de R2 y R3a) { (x, y) / x = y }b) { (x, y) / y = 2 }c) { (x, y) / y + x = 3 }d) { (x, y) / x = y / 2 }e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3)}f) { (x, y, z) / z = 0 }g) { (x, y, z) / y = 1 }h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }i) { (x, y, z) / x + y = 1 }

Representar grficamente los conjuntos dados y establecer cules de ellos son subespacios de R2 o de R3 segn corresponda, justificando la respuesta.

3) a) En R3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinacin lineal de los vectores siendo los escalares: a = 2; b= 3 y c = 1 . b) Expresar los vectorescomo combinacin lineal de los versores4) Determinar analticamente si los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base de R2, justificando la respuesta.a) A = { (1, 2); (-2, 1) }b) B = { (1, 2); (2, 4) }c) C = { (1, 3); (1/2, -4); (17/5, 8) }d) D = { (0, 0); (2, 1) } 5) Dados los vectores de R2:a) Verificar que el conjuntoes una base de R2b) Hallar en la base las coordenadas del vector

6) Sean los conjuntos de vectoresa) { (x, y) / x = y }b) { (x, y) / x = y / 2 }c) { (x, y, z) / z = 0 }d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio ii) Determinar la dimensin de cada sub espacio 7) Una concesionaria de automviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el nmero de modelos estndar y de lujo, mientras que las columnas indican el nmero de unidades de color rojo bermelln, azul metalizado, gris plomo y verde acuario. La casa central vendi en el mes de julio del modelo estndar 10 unidades de color rojo bermelln, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6 unidades color rojo bermelln, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de agosto fue en el modelo estndar ninguna unidad de color rojo bermelln, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5 verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermelln, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la informacin dada:a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto.b) De qu clase es cada matriz?c) Cuntos autos de modelo estndar y color rojo bermelln se vendieron en los dos meses?d) Cuntos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses?e) Esta concesionaria de automviles tiene una sucursal, que vendi en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto. f) Cul es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto? Cuntos autos se hubieran vendido en la sucursal si la venta en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central?

8) Escribir: a) Una matriz F C3 x 3 tal que: fij = 0 si i = j; fij = i si i jb) Una matriz G C3 x 2 tal que: gij = 2 i + j si i > j; gij = i - j si i j9) Sean las matrices A y B R2 x 3 Calcular: i) A + Bii) 3 Aiii) 2A - 3B 10) Dadas las matrices: a) Escribir las matrices -A y D b) Calcular, si es posible, B x A; D x A y D x B.

11) Calcular los rangos de las siguientes matrices:12) Calcular los siguientes determinantes

Espacio Vectorial Para que (V, *, K, ) sea espacio vectorial1) x V , y V x * y V Ley de cierre para * composicin interna en V2) x, y, z : x, y, z V (x * y) * z = x * (y * z) Asociativa para *3) 0 V / x : x V x * 0 = 0 * x = xExiste Elemento Neutro para *4) x V, x V / x * x = x * x = 0Existe Elemento Inverso para *Si x V e y V y es un escalar del cuerpo K5) x, y : x, y V x * y = y * x Conmutativa para *Hasta aqu se verificaron condiciones en V respecto de *, que hacen de (V, *) un grupo abelianoAhora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las operaciones * y entre elementos de V y de K

se debe verificar que:

1 a1 b1 c

6) x V, V x V Ley de cierre7) x V , , K : ( x) = ( ) x Asociativa8) x, y V, K : (x * y) = x * y es distributiva con respecto a *9) x V, , K : ( * ) x = x * x es distributiva con respecto a *10) x V : x 1 = 1 x = xEl elemento neutro de es el 1 de K

1 a1 b1 c

1 a) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por:

a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (k a, k b) k R , (a, b) R21) (a, b) , (c, d) R2 (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) R2 L.C.I.2) (a, b), (c, d), (e, f) R2 : [(a, b) (c, d)] (e, f) = (a, b) [(c, d) (e, f)][(a, b) (c, d)] (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)(a, b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)Asociativa3) (e1, e2) R2 / (a, b) : (a, b) R2 (a, b) (e1, e2) = (a + e1, b + e2) = (a, b)4) (a, b) : (a, b) R2, (a,b) R2 / (a a, b b) = (e1, e2) 5) (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d) R2 (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b)

Existe Elemento Neutro para

Existe Elemento Inverso para

Conmutativa para

1 b

1 c

7) a, b) R2 , , R : [ (a, b)] = [ ( a, b)] = ( a, b) = ( ) (a, b) 8) (a, b), (c, d) R2, R : [(a, b) (c, d)] = [(a + c, b + d)] = [ (a + c), (b + d)] = ( a + c, b + d) = = ( a, b) + ( c, d) = [ (a, b)] + [ (c, d)] Es distributivo con respecto de en R2 9) (a, b) R2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) a, ( + ) b] = [( a + a), ( b + b)] = [( a, b) + ( a, b)] = [ (a, b)] [ (a, b)] Es distributivo con respecto de * en K10) 1 R2 / (a, b) : (a, b) R2 1 (a, b) = (1 a, 1 b) = (a, b)6) (a, b) R2, R (a, b) = ( a, b) R2Se verifican todas las condiciones Es Espacio VectorialLey de cierre para con un escalarAsociativa para con R2 y RExiste Elemento Neutro para

1 b) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones y definidas por:

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R k (a, b) = (a, a) k R (a, b) R2La operacin definida en R2 es la misma que la del ejercicio anterior, por tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes7) (a, b) R2 , , R : [ (a, b)] = [( a, b)] = (a, a) = (a, a) ( ) (a, b) = [( ) a, ( ) b] = (a, a) Asociativa para con R2 y R8) (a, b), (c, d) R2, R : [(a, b) (c, d)] = [(a + c, b + d)] = [ (a + c), (b + d)] = (a + c, a + c) =[ (a, b) (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c) Es distributivo con respecto de * en R26) (a, b) R2, R (a, b) = ( a, b) = (a, a) R2 Ley de cierre para con un escalar9) (a, b) R2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) a, ( + ) b] = (a, a) ( * ) (a, b) = [ (a, b)] + [ (a, b)] = (a,a) + (a,a) = (a + a, a + a ) NO Es distributivo con respecto de * en RPero (a, a) (a + a, a + a) No se verifica esta condicin NO Es Espacio Vectorial

1 c

1 c) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por:(a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R21) (a, b) , (c, d) R2 R2L.C.I.2) (a, b), (c, d), (e, f) R2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)]pero* NO Es Asociativa en R2 NO Es Espacio Vectorial

SubespaciosDado un espacio vectorial (V, *, K, )y el conjunto no vaco S VS es un sub conjunto del conjunto VSi S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composicin interna que en V(S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, ) S es subespacio de VEscribimos de otra manera :Si1) S 2) x S y S x + y S3) R x S x SSi (S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, )(S, *) es un sub grupo de (V, *)entonces el elemento neutro pertenece a S

2 a2 b - c2 d2 e2 i2 g - h2 f

2 a) Si A = { (x, y) R2 / x = y }

Representamos grficamente4 4 = 4 42 2 = 2 21) A 2) Si3) Sipero pero A es sub espacio de R2cerrada para la sumacerrada para el producto por un escalar

Para analizar si A es subespacio, verificamos que se cumplan las tres condiciones suficientes para que un conjunto sea subespacio.Pero previamente verificamos que el vector nulo pertenezca al conjunto AEfectivamente (0,0) A

con

con

2 i

2 g - h

2 f

2 e

2 d

2 b - c

xy = xy

2 b) B = { (x, y) / y = 2 }

Representamos grficamente2 2 24 2 2- 6 2 2

Antes de analizar si es subespacio verificamos si el vector nulo pertenece al conjunto BPero (0,0) BB NO es sub espacio de R22 c) C = { (x, y) / y + x = 3 }2 - 2 + 3 1 6 - 6 + 3 -3Pero (0,0) CC NO es sub espacio de R2

2 i

2 g - h

2 f

2 e

2 d

xy = 2y

xy = -x + 3y

2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 }para representar grficamente, haciendo pasajes de trminos, busco la forma y = f(x)Ahora puedo confeccionar tabla de valores y representar grficamente2 2 2 44 4 2 8 1) D 2) Si3) Siluego pero El nulo (0,0) D porque 0 = 2 0cerrada para la sumacerrada para el producto por un escalarD es sub espacio de R2

con

con

2 i

2 g - h

2 f

2 e pods hacer la interpretacin geomtrica del producto ?

xy = 2xy

2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3) }

Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan grficamente en el espacio.Trazamos un par de ejes ortogonales x-y en el plano (como si fuera en el piso de una habitaciny a este par de ejes le incorporamos el eje z, perpendicular al plano determinado por x-y en el origen de coordenadas (0,0)Al punto (1,0,0) le corresponde x = 1;y = 0 y z = 0Al punto (0,1,0) le corresponde x = 0 ; y z = 0Al punto (0,0,1) le corresponde x = 0 ; y = 0;y z = 1Al punto (1,2,3) le corresponde x = 1;y = 2y z = 3Al punto (1,3,-1) le corresponde x = 1;y = 3y z = -1Al punto (-2,1,4) le corresponde x = -2;y = 1y z = 4Al punto (-3,-2,5) le corresponde x = -3;y = -2y z = 5Al punto (1,-1,1) le corresponde x = 1;y = -1y z = 1Al punto (2,-2,-3) le corresponde x = 2;y = -2y z = -3

y = 1;

E NO es sub espacio de R2El vector nulo (0,0,0) E

2 i

2 g - h

2 f

2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 }

Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan grficamente en el espacio.

Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1, 0)al ser siempre la ltima componente 0 (z = 0)Todos los vectores del conjunto F estn en el plano x, y1) F se verifica2)

cualquier punto del plano x, y F

3)si = 2 (puede tomar cualquier otro valor)

tambin el vector nulo (0,0,0) F F FF ES sub espacio de R2

2 i

2 g - h

2 g) { (x, y, z) / y = 1 }Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan grficamente en el espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0)

pero el vector nulo (0,0,0) F

y cualquier otro vector que verifique y= 1 (no importa cul sea x z)F NO es sub espacio de R32 h) { (x, y, z) / x + y = 1 }representamos la recta x + y = 1Cualquier par de valores de x e y que verifiquen esa ecuacin, con cualquier valor de z pertenece al conjunto de vectorespor ejemplo(1,0,6); (-1,2,3); etcPero (0,0,0) HH NO es sub espacio de R3

2 i

2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan grficamente en el espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2)al ser siempre las dos primeras componentes 0 Todos los vectores del conjunto I estn contenidos en el eje z1) I se verifica2)

3)

tambin el vector nulo (0,0,0) I II ES sub espacio de R2

Combinacin Lineal

Una combinacin lineal del conjunto de vectores A = {v1 v2 v3 . . . vn }Es cualquier vector v = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 . . . n vn con todos los i K Por ejemplo: dado el conjunto de vectoresv1= (3,-1); v2 = (-4,6); v3 = (1, 2)El vector v = 1v1 + 2v2 + 3v3 = Si 1 = 3 2 = -2 3 = -13 (3,-1) + (-2) (-4,6) + (-1) (1,2) =v = (9,-3) + (8,-12) + (-1,-2) =(9 + 8 - 1; - 3 12 - 2) =(16; - 17) es combinacin lineal de A A = {v1 v2 v3 }dondeSi hay alguna combinacin lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente dependientePara saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L.D. Debemos plantear :(0, 0) = 1 (3,-1) + 2 (-4,6) + 3 (1,2) =(31, -11) + (-42, 26) + (31,2) == (31 -42 + 3; -1 + 62 + 23)Sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas

Al sistema de ecuaciones

Lo resolvemos por sustitucin(1)De (1)(2)Reemplazo 3 en (2) y tengoPonemos 2 en funcin de 1 Ponemos 3 en funcin de 1, reemplazando (3)en (3)As es posible afirmar que para cualquier 1 0 ; 2 y 3 son tambin distintos de 0Si 1 = 1 ; 2 = 1/2 y 3 = -1 Con estos escalares es posible establecer una combinacin linealv = 1v1 + 2v2 + 3v3 = El vector nulo es combinacin lineal de los vectores del conjunto ALuego, los vectores de A son Linealmente Dependientescon 1 0 2 0 y 3 0

3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinacin lineal de Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la suma de los vectores Previamente multiplicados por escalares a = 2 b = 3 y c =1Es combinacin linealde3 b) Para expresar como combinacin lineal de escribimos

Sistema de Generadores

Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K, )es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como combinacin lineal de los vectores del conjunto ASe dice que A es un Sistema de Generadores de VEn la prctica, dado un conjunto de vectores A = { v1 v2 v3 . . . vn }Se busca escribir cualquier vector de V, como combinacin lineal de los vectores de ABaseUn conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si:Los vectores de A son linealmente independientesA es un sistema de Generadores de VRecuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer una combinacin lineal, la nica forma de obtener el vector nulo, es que todos los escalares de la combinacin lineal sean nulos

4 c4 d4 b4 a5 a5 b

4 a) Para saber si A = { (1, 2); (-2, 1) } es base de R2,

Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinacin lineal de los vectores del conjunto A Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y) R2y escribimos :Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo1 (1, 2) + 2 (-2, 1) = (0, 0)(1, 2 1) + (-2 2, 2) = (0, 0)(1 -2 2 , 2 1 + 2) = (0, 0)entonces: Por ser un sistema de ecuaciones homogneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0. Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogneo admitir mltiples soluciones.A es linealmente independiente

4 b

4 d

4 c

Resolvemos el sistema, aplicando el mtodo de los determinantes donde 1 y 2 son las incgnitasSi dos vectores son iguales, sus componentes son iguales

Con los valores hallados deplanteamos Vemos que para cada vector (x, y), existirn valores de 1 y 2 A es un Sistema de Generadores de R2Por ejemplo si v = ( 3, 1 )luego( 3, 1 )A es una Base de R2

4 b

4 d

4 c

4 b) Para saber si B = { (1, 2); (2, 4) } es base de R2,Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo1 (1, 2) + 2 (2, 4) = (0, 0)(1, 2 1) + (2 2, 4 2) = (0, 0)(1 + 2 2 , 2 1 + 4 2) = (0, 0)entonces: Por ser un sistema de ecuaciones homogneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0. Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogneo admitir mltiples soluciones.B es linealmente dependienteB NO es Base

4 d

4 c

4 c) Para saber si C = { (1, 3); (1/2, -4); (17/5, 8) } es base de R2,verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes, 1 (1, 3) + 2 (1/2, -4) + 3 (17/5, 8) = (0, 0)Tenemos as un sistema homogneo de dos ecuaciones con tres incgnitasDe (2)Reemplazando en (1)De manera que: si 3 = 15 ; 2 = - 6Los vectores de C son L.D.C NO es una Base de R2

4 d

4 d) Para saber si D = { (0, 0); (2, 1) } es una Base de R2

Planteamos la siguiente expresin para averiguar si los vectores de A son linealmente dependientesentoncesparaLos vectores del conjunto A son linealmente dependientescualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo, es linealmente dependiente A NO es una Base de R2

Coordenadas de un vector

Si es una base de R2Cada vector de R2 puede expresarse como una combinacin lineal de Aya que los vectores de A son linealmente independientes y sistema de generadoresPrecisamente por ser A una base de R2Entonces: si v R2 existen y son nicos los escalares a y b RTal que: v = a v1 + b v2 Donde a y b se llaman coordenadas del vector v respecto de la base A DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Es el cardinal (nmero de vectores) de cualquiera de sus bases Por ejemploB = { (x,y) / x = y } B es subespacio de R2Son bases de B { (1, 1) } ;{ (2, 2) } La Dimensin de B es 1 (n de vectores en cada base de B)

5 a6 a

5) Dados los vectores de R2:5 a) Verificar que el conjuntoes una base de R2

verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son linealmente dependientes, 1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (0, 0)Tenemos as un sistema homogneo de dos ecuaciones con dos incgnitasDe (2)Reemplazando en (1)Reemplazando en (2)Los vectores son Linealmente IndependientesInvestigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinacin lineal de los vectores del conjunto V y escribimos :1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (x, y)

BaseCoordenadas

5 b

Resolvemos el sistema, aplicando el mtodo de los determinantes donde 1 y 2 son las incgnitasSi dos vectores son iguales, sus componentes son igualesCon los valores hallados deplanteamos Podemos ver que para cada vector (x, y), existirn valores de 1 y 2 V es un Sistema de Generadores de R2V es una Base de R2

BaseCoordenadas

5 b

5 b) Para hallar las coordenadas del vectorEn la base A = { u; v } donde u = ( ; 2 ) ; v = ( 3, 1 )Planteamos la siguiente expresin:

que resultaA partir de esta expresin por la igualdad de los pares ordenados, planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incgnitas

De (1)Reemplazo a en (2)

Si b = -2

Coordenadas

6) a) dimensin de { (x, y) / x = y }

Si representamos grficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2a) donde( x, y ) S ( x, y ) = ( y, y ) Si y = 1( 1, 1 ) S

Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro vector que est contenido en la recta x = y con multiplicar el vector por un escalarestableciendo una combinacin lineal { (1,1) } es una base de { (x, y) / x = y }Dim (1)Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio{ (2,2) } tambin es base de { (x, y) / x = y }

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede genera cualquier vector que est contenido en la recta y = x

6 b

6 d

6 c

6) b) dimensin de { (x, y) / x = y / 2 }Si representamos grficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2d) donde:( x, y ) S ( x, y ) = ( x, 2x ) Si x = 1( 1, 2 ) S Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro vector que est contenido en la recta x = y /2 con multiplicar el vector por un escalarestableciendo una combinacin lineal { (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }Dim (1)Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio { (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que est contenido en la recta y = 2 x

6 d

6 c

Si representamos grficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2f)( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( x, y, 0 ) Si x = 1 y = 4( 1, 4, 0 ) S Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar cualquier otro vector que est contenido en el plano x,yestableciendo una combinacin lineal { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 }Dim (2)Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio { (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } tambin es es una base de { (x, y) / x = y / 2 }6) c) La dimensin de { (x, y, z) / z = 0 }

Necesito otro vector, por ejemploSi x = 6 y = 3( 6, 3, 0 ) S Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier otro vector que est contenido en el plano x,y

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que est contenido en el plano (x, y, 0)

6 d

Si representamos grficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2i)( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( 0, 0, z ) Si z = 1( 0, 0, 1 ) S Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro vector que est contenido sobre el eje zestableciendo una combinacin lineal { (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }Dim (1) { (0, 0, 3) } tambin es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }6) d) La dimensin de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que est contenido en la recta (0, 0, z)

MATRICESinformalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnasEsta matriz tiene m filas y n columnasEl nmero de filas no tiene por qu ser igual al nmero de columnas, pero si esto sucede, la matriz es cuadrada

Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una matriz distinta de A

operaciones con matrices ver en los ejercicios resueltos

7 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada

De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mesLa clase de una matriz est dada por la cantidad de filas y de columnas7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2x3)A es de la misma clase, A(2x3)7 c) Para saber cuntos autos de modelo estndar y color rojo bermelln se vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el correspondiente al mes de Agosto

esto es 10 +0= 10

7 f g

7 d e

Mes: JulioMes: AgostoRAGVRAGVestndar10579020105de lujo67512105712

7 d) Para saber cuntos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses

Sumamos las matrices que representan cada uno de los mesesse efecta sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre s7 e) Si la sucursal vendi en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2 (duplicamos)que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A )

7 f g

7 f) Cul es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto?

7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa centralSumamos a lo vendido en casa centrallo vendido en la sucursal

8) a) Escribir una matriz F C3 x 3 tal que: fij = 0 si i = j; fij = i si i j

Si la matriz F es de clase 3 x 3F(3x3)tiene tres filasy tres columnasPodemos escribir la matriz F de la siguiente manera:Donde los subndices de cada elemento, significan el orden de filas y columnas que le corresponde, segn su ubicacinEs el elemento ubicado en la fila i columna jEs el elemento ubicado en la fila 3 columna 2Si fij = 0 cuando i = jf11 = 0 ; f22 = 0; f33 = 0y cuando i j fij = i entonces :f12 = 1 ; f13 = 1; f21 = 2 ; f23 = 2 ; f31 = 3 ; f32 = 3entonces

8 b

8 b) La matriz G C3 x 2 tal que: gij = 2 i + j si i > j; gij = i - j si i jLa matriz G es de clase 3 x 2 G(3x2)tiene tres filasy dos columnasPodemos escribir la matriz G de la siguiente manera:Donde los subndices de cada elemento, significan el orden de filas y columnas que le corresponde, segn su ubicacinEs el elemento ubicado en la fila i columna jEn g11 i = j luego g11 = 1 1 = 0En g12 i < j luego g12 = 1 2 = -1En g21 i > j luego g21 = 22 + 1 = 5En g22 i = j luego g22 = 2 2 = 0En g31 i > j luego g31 = 23 + 1 = 7En g32 i > j luego g32 = 23 + 2 = 8entonces :

9 i) A + B9 ii) 3 A9 iii) 2A - 3B =

10 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos de la matriz cuya opuesta buscamos

Si10 b) B x AEvaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicarB(3x4) x A(4x3)Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matrizel resultado ser una matriz M( 3 x3 )que tendr igual cantidad de filas que la primera matrize igual cantidad de columnas que la segunda matriz

Trazamos dos rectas perpendiculares entre sEn el cuadrante inferior izquierdo colocamos la matriz BEn el cuadrante superior derecho colocamos la matriz AY efectuamos la sumatoria del producto de los elementos de cada fila de la primera matrizPor los elementos de cada columna de la segunda matriz1 1 + 5 0 + 2 3 + (-6) 3 =-11-111 2 + 5 1 + 2 + (-6) (-1) =1414

1 (-1) + 5 0 + 2 7 + (-6) 8 =-35-351 3 + 5 0 + 2 2 + (-6) 0 =77

0 1 + 1 0 + (-9) 3 + 4 3 =-15-150 2 + 1 1 + (-9) + 4 (-1) =-15/2-15/20 (-1) + 1 0 + (-9) 7 + 4 8 = -31-310 3 + 1 0 + (-9) 2 + 4 0 = -18-18

(-1) 1 + 5 0 + (-1) 3 + 3 3 = 55(-1) 1 + 5 1 + (-1) + 3 (-1) = 1/2(-1) (-1) + 5 0 + (-1) 7 + 3 8 = 18(-1) 3 + 5 0 + (-1) 2 + 3 0 = - 51/218-5

B x A

El resultado obtenido ser:

D x AEvaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicarD(3x3) x A(4x4)Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matrizEn este caso esto no es as : Las columnas de D son 3 y las filas de A son 4No es posible realizar D x A

D x BEvaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicarD(3x3) x B(3x4)Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matrizel resultado ser una matriz ( 3 x4 )MD x B1 1 + (-4) 0 + 3 (-1) = - 2 1 5 + (-4) 1 + 3 5 = 16 1 2 + (-4) (-9) + 3 (-1) = 35 1 (-6) + (-4) 4 + 3 3 = -13 -21635-13(-2) 1 + 1 0 + 2 (-1) = -4 (-2) 5 + 1 1 + 2 5 = 1 (-2) 2 + 1 (-9) + 2 (-1) = -15 (-2) (-6) + 1 4 + 2 3 = 22 (-1) 1 + 1 0 + 0 (-1) = -1 (-1) 5 + 1 1 + 0 5 = -4 (-1) 2 + 1 (-9) + 0 (-1) = -11 (-1) (-6) + 1 4 + 0 3 = 10 -4 1-1522-1 -4-1110

Rango de una Matriz

El Rango de una matriz es su rango fila su rango columna (que siempre coinciden)Rango fila rango columna de una matriz es el mximo nmero de vectores filas vectores columnas linealmente independientes de la matrizPara conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna) como vectores y determinar si son o no linealmente independientesOtra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales sobre la matriz, y al cabo de un nmero determinado de operaciones elementales, habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos obtenido otra matriz del mismo rangoOperaciones elementales sobre una matriz:

1. Permutacin de dos filas entre s, o de dos columnas entre s2. Adicin de una fila a otra de una columna a otra.3. Multiplicacin de una fila de una columna por un escalar no nulo.

Mtodo de Gauss Jordan para determinar el rango de una matriz

Este mtodo es una manera mecnica de operar en forma ordenada pasos repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un nmero finito de pasos, se obtiene el mximo nmero posible de vectores cannicos linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matrizSea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementosElegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivoteEn nuestro caso el pivote ser a11 = a

Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote

Luego a cada elemento se le restael producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos

dividido por el pivoteLuego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no estn en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes ya elegidos en pasos anteriores

y los restantes elementos de la fila que quedan se dividen por el pivote

Por ejemplo: Hallar el rango de la matrizTomamos como pivote el elemento de la 1 fila y 1columna

Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote y los restantes elementos de la fila se dividen por el pivote (1) y quedan como estnLuego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote

Se transforma en

Se transforma en

Se transforma en

Se transforma en Luego se repite el procedimiento, ahora tomo 3 como pivote

al dividir 6 por el pivote (-3) se hace 2

Se transforma en Se transforma en

La matriz hallada

No se puede seguir transformando por Gauss-Jordan porque el prximo pivote debe ser de la 3 columna 3 fila y este elemento es 0

Pero 0 no puede ser pivoteEn este caso, el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente independientes de la matriz

porque los elementos de la terceras fila despus de todas las transformaciones posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinacin lineal de las otras dosGauss-Jordan no es el nico mtodo para efectuar operaciones elementales en una matriz, pero lo adoptamos porque es el mtodo que nos provee:Un algoritmo eficiente (en un nmero determinado de pasos entrega la solucin)Aunque para ello debes estar muy entrenado en el clculo de operaciones con fracciones . . .

11 a) Para calcular el rango de

Tomamos el pivote 2 de la 1 fila 1 columnaDividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivoteY completamos los restantes elementos de la 2 filatrabajamos ahora con los elementos de la 3 filaTomamos el pivote 3 de la 2 fila 2 columnaDividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos de la columna del pivote

completamos los restantes elementos de la 1 filay completamos los restantes elementos de la 3 fila

11 b

El prximo pivote debe estar en la 3 fila, en las columnas 3 4

Pero ambos elementos son 0 y el pivote debe ser distinto de 0En consecuencia las operaciones elementales se terminaron en esta matrizLa matriz de tres filas qued con una fila de elementos nulosEl Rango de la matriz ser la cantidad de filas con al menos un elemento distinto de 0Existen otros mtodos para realizar operaciones elementales en una matriz pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un mtodo algortmico, y como tal puede programarse.NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento, con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene porqu seguir un orden, y si ests trabajando sin calculadora te conviene que los pivotes sean los 1

11 b

11 b) Calculamos el rango de B

tomamos el pivote 1 de la 1 fila 1 columnaDividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivotey completamos los restantes elementos de la 2 filacompletamos los restantes elementos de la 3 filalos restantes elementos de la 4 fila sonTomamos como pivote el 1 de la 4 fila 2 columna

Dividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivotey completamos los restantes elementos de la 1 filay completamos los restantes elementos de la 2 filay completamos los restantes elementos de la 3 filaTomamos como pivote el 4 en la 2 fila 3 columna

Dividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivote

completamos

En la matriz resultante

Tambin puede transformarse en cannica si:a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4a la tercera fila le multiplicamos por -1a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2Y la matriz queda con cuatro filas linealmente independientes, por tantoEl Rango de la matriz B es 4El nico elemento que puede ser pivote est en la 3 fila 4 columna

Determinantes

Determinante es una funcin f: Kn x n KDada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento aij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna jque se escribe det A A

Determinante es una funcin definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene imagen en conjunto de nmeros reales (si los elementos de la matriz son complejos, la imagen puede ser un complejo).

Una definicin de determinante por recurrencia requiere:i) Definir el determinante de orden 1ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden kA = ( a11 )A= a11entonces:Por ejemplo:

En determinantes de 3X3

+-ordenando resulta

lo que verifica la regla de Sarrus

Una vez escrito el determinante que queremos calcular, transcribimos las dos primeras filas como se indica

Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de las contradiagonales) segn corresponda

Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3

Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el mtodo del desarrollo por los elementos de una lneadonde tendremos que calcular 4 determinantes de orden 3Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible reducir a uno de orden inferior en 1 y as sucesivamente, hasta encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus

12 a) El determinanteSe resuelve restndole al producto de la diagonalel producto de la contradiagonal

Para resolver B de orden 3 se aplica la regla de SarrusTranscribo las dos primeras filas al final del determinanteEfectuamos la suma de los productos de las diagonalesA esto le restamos los productos de las contradiagonales

El determinanteNo se puede resolver con ninguna regla particular por ser de orden 4Aplicamos el desarrollo por los elementos de una lneaVamos a desarrollarlo por los elementos de la segunda fila

Todo esto hecho con entusiasmo puede parecerse a . . .Un juego de nios

Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr. Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas preciado que tenemos. El hombre encuentra a Dios detrs de cada puerta que la ciencia logra abrir. Albert Einstein