El poder de resolución de un instrumento óptico

Grupo de Óptica Aplicada y Grupo de Microscopía Electrónica - Departamento de Física

Agosto de 2015

Objetivos

1. Determinar el poder de resolución del ojo.

2. Reconocer los elementos que afectan el poder de resolución del ojo humano.

3. Determinar la relación entre el poder de resolución de un telescopio refractor pequeño y la apertura dellente objetivo

4. Determinar que otros aspectos pueden determinar el poder de resolución de un telescopio

Preguntas de preparación

1. ¾Qué es la resolución espacial y la resolución angular? ¾Qué diferencia hay entre ellas?

2. ¾Qué es la apertura numérica?

3. ¾Cuál es la ecuación de resolución de Abbe? ¾Que criterios de resolución hay?

4. Después de leer la guía, describa los pasos fundamentales y el montaje experimental para la realizaciónde esta práctica.

5. ¾A qué corresponden una visión 20/20?

6. ¾Qué signi�ca tener astigmatismo, miopía o hipermetropía y cómo se puede identi�car?

7. ¾Que relación tiene con la resolución si la tiene?

8. ¾Que signi�ca un lente de 1, 2 o 3 dioptrías?

Introducción

El �poder de resolución� es la capacidad de un instrumento óptico de distinguir entre dos puntos de unobjeto cercanos entre sí[1]. En el caso del ojo hay tres factores que determinan este poder de resolución:tamaño de las células receptoras, imperfecciones de foco (aberraciones) y la difracción a la entrada de lapupila del ojo[3].

Este último efecto se analiza aquí. En general un patrón de difracción se forma cuando la luz pasa através de un obstáculo como puede ser una abertura circular, tal como el de la lente de un telescopio, unmicroscopio, una cámara o incluso la pupila en el ojo humano. Este patrón de difracción limita la capacidaddel instrumento óptico para resolver (o distinguir entre) imágenes de diferentes objetos.

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Figura 1: Imagen de un objeto circular muy pequeño al ser observado por un lente debido a los efectos dedifracción.

En general cuando un objeto puntual es observado por un lente de tamaño �nito, los efectos de difracciónque aparecen hacen que este objeto puntual circular no sea observado como un punto sino como una serie dediscos llamado disco de Airy (�gura 1).

Si sobre la linea de la �gura 1 se muestra la distribución de intensidad en función de la posición se obtienela �gura 2a. Las �guras 2b, 2c y 2d muestran las distribuciones de intensidad, cuando la luz pasa por dosaberturas espaciadas a diferentes distancias. La línea punteada es la combinación de la intensidad de los dospatrones. Se está suponiendo que la intensidad de la luz es la misma en cada apertura1 y no hay efectos decoherencia entre las fuentes de luz.

/Observe que en la �gura 2b hay un descenso en la intensidad entre los dos máximos. Esto indica que

las dos fuentes se podrían distinguir entre sí, es decir, sus imágenes se pueden resolver. En la �gura 2c, lospatrones de difracción individuales se unen para formar un pico de intensidad único, por lo que los picosindividuales no pueden distinguirse el uno del otro, es decir que no están resueltos. Lord Rayleigh (1842 -1919) propuso un criterio para determinar si dos objetos luminosos apenas se pueden resolver: los objetosse pueden resolver si el máximo del patrón de difracción de un objeto cae en el mínimo de primer ordendel patrón de difracción del otro objeto. La distribución de intensidad de dos fuentes puntuales resueltas, deacuerdo con el criterio de Rayleigh, se muestra en la �gura 1d2.

El tamaño de los disco de Airy es inverso al tamaño de la abertura. Por lo tanto, cuanto mayor sea laabertura, menos el disco de Airy y mayor será el poder de resolución de un instrumento óptico y más �noserá el detalle que se puede ver con él. Se de�ne el poder de resolución angular como el ángulo de aperturaθR en el que dos objetos se pueden distinguir uno de otro, utilizando algún criterio objetivo (Rayleigh, Airy,etc...).

El poder de resolución debido a los efectos de difracción se relaciona con la apertura de acuerdo a unafunción de la forma:

1Se debe asumir además que no hay correlación entra las luces que pasan por cada una de las aberturas. ¾Puede explicar por

que se debe hacer esta suposición?2Se han propuesto otros criterios

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Figura 2: Distribuciones de intensidad debidas a la difracción de la luz en una o dos aberturas en función desu separación .

θR = k λ aβ (1)

donde k es una constante, λ es la longitud de onda y a el diámetro de la apertura,

1. Poder de resolución en el ojo humano

Como ya se mencionó el poder de resolución del ojo esta afectado además de la difracción por el tamañode los sensores (conos y bastones) y por aberraciones.

Vamos a medir el poder de resolución y tratar de estimar estos factores.

Procedimiento

1. Ponga su mano sobre uno de sus ojos y mire el conjunto de líneas espaciadas más estrechamente de unadiapositiva con franjas uniformemente espaciadas, de separación conocida s, �jas en una pared (Si ustedusa anteojos debe seguirlos usando). Muévase hacia atrás y hacia adelante �alejándose o acercándose- ala diapositiva hasta que esté a cierta distancia D a la que el ojo sea capaz de resolver este conjunto delíneas. Mida esta distancia D y calcule el poder de resolución del ojo en radianes mediante θR = s/D.Busque otra diapositiva con franjas diferentemente separadas conocidas. Determine el poder mediode resolución de su ojo y el error estándar de la media, haga tantas medidas para tener un errorestadísticamente con�able. Convierta estos valores de radianes a unidades de minutos de arco.

2. Mientras hace la anterior medición, determine el diámetro a, de la pupila del ojo tomando una fotografíadel ojo (sin �ash) de cada experimentador sosteniendo una regla o escala cerca de ojo para calibrarla imagen. A continuación, utilice este valor con un estimado de λ. Utilizando el criterio de Rayleighdetermine el valor teórico de resolución que se debería tener para el ojo. Para comparar con el valorobtenido anteriormente, convierta este valor de radianes a las unidades de minutos de arco, ¾Valor deApertura Numérica va a tomar para esto?, e indique el criterio para tomar este valor.

3. El poder de resolución del ojo humano no está simplemente limitado por difracción. Esta afectadoademás por otros factores como las aberraciones de los lentes que conforman el ojo y el espaciamiento

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Figura 3: Esquema en vista superior del montaje para determinar la resolución de un telescopio en funcióndel diámetro de la apertura de iris.

de receptor de células en la retina, tal como ya se mencionó[4, p.38]. El poder de resolución en un ojo,sin defectos visuales y una visión aguda, es considerado como un minuto de arco. Lo más común esque sea mayor a esta cantidad. ¾Cómo se compara el poder de resolución de sus ojos con estos valores?¾Puede sugerir algunos valor para los factores que incrementarían el valor obtenido experimentalmentepor el poder de resolución de sus ojos? Recomendamos leer el libro de Born-Wolf [2] en el capítulo deinstrumentos de formación de imágenes.

Sus ojos no pueden resolver objetos con una separación angular menor al valor encontrado. Es así que losprimeros astrónomos solo pudieron determinar la posición de las estrellas dentro de algunos minutos de arcoutilizando solo los ojos y objetos para ubicar su posición. De manera que para estrellas separadas menos de unminuto de arco se requiere de telescopios los cuales proveen resolución angular. Cualquier falta de resoluciónfue entonces debido al tamaño de la apertura del telescopio, no de sus ojos.

2. Poder de resolución en un telescopio en función de la apertura

del lente objetivo

Para esta parte utilizaremos el telescopio de un teodolito, una rejilla un diafragma iris, lámparas LEDazul y verde, y un espejo plano para aumentar la distancia telescopio-rejilla. En la �gura 3 se muestra unesquema superior del montaje.

La �gura 3 muestra una foto de la disposición de los elementos. Este telescopio hacía parte de un teodolitoy aún tiene su soporte. Ponga el diafragma de iris en otro soporte frente al telescopio lo más centrado posible.Coloque la rejilla para medir resolución frente a la lámpara (LED) en un banco óptico a una distanciaD cercana a cuatro metros del diafragma de iris, mida esta distancia. Con el diafragma de iris abiertocompletamente, enfoque el telescopio en la rejilla. Apunte en la bitácora la longitud focal del ocular (estáescrito en el costado derecho del telescopio en el ocular)

Procedimiento

El enfoque del telescopio es crítico: el foco debe estar muy exacto al tomar los datos. Quien observedebe ver claramente las líneas de la rejilla en el ocular. Este enfoque depende de vista de cada persona,cada experimentador deber enfocar el telescopio, mientras toman los datos luego el segundo �y el tercer-experimentador puede enfocar ahora el telescopio para sus ojos para tomar un segundo �o tercer- conjuntode datos.

1. Mientras observa la rejilla a través del telescopio, cierre la abertura del diafragma lo más posible iris, ymueva la rejilla hasta que el conjunto de líneas de la rejilla comiencen a ser nítidas. Entonces aumentecompletamente la apertura del diafragma iris y aleje la rejilla hasta que las líneas comiencen a ser

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Figura 4: El montaje experimental propuesto, allí se ven las diferentes partes utilizadas y su ubicación.

borrosas, este es el rango de distancias ∆D para la apertura del diafragma iris. Lo que se quieredeterminar es la relación entre la apertura a y la distancia D. Utilice un calibrador para medir eldiámetro de la abertura del diafragma para esta condición; el llamado a en la ecuación (1).

2. Repita este procedimiento algunas veces. Encuentre la abertura media en la que se resolvió las líneasde la rejilla junto con su estimación del error estándar de la medida. Calcule el poder de resoluciónθR = s/D (en radianes) para cada una de las rejillas.

3. Mida la separación de las rejillas empleando la difracción con la luz de un láser (Para el láser de He/Nerojo,λ = 632, 8 ± 0, 1nm). Trace una curva de θR como función de a en una hoja de 2 x 2 períodosde papel log-log. Use la pendiente de la grá�ca para determinar el valor numérico de la potencia β(redondeado al entero más cercano) en la ecuación (1).

4. A continuación, trace un grá�co de θR en función de β, y determine la pendiente. Busque las longitudesde onda de la luz del LED en un Manual de Química y Física o algún tipo de referencia adecuado. Seusa un LED verde, para aprovechar una gran potencia de emisión y una máxima sensibilidad del ojo.Utilice el valor numérico de k y β para escribir una ecuación que relacione θR con λ y a. El criteriode Rayleigh predice un valor de k = 1, 22 en la ecuación (1), para aberturas circulares. ¾Se puedenresolver objetos cuyos patrones de difracción estén más cerca que la distancia elegida para el criterio deRayleigh? El astrónomo William Rutter Dawes (1799 - 1868) así lo creía. Para los pequeños telescopiosutilizados para separar las estrellas dobles muy próximas entre sí, determinó el "límite de Dawes",que corresponde a un valor de k ≈ 1. ¾Cómo funciona su valor de k comparado con los valores antesmencionados?

5. Use la ecuación que usted ha encontrado para el poder de resolución, para calcular el poder de resoluciónde los telescopios siguientes: (a) el mayor telescopio óptico del telescopio, el Gran telescopio de Canarias,con diámetro D = 10, 4m; (b) el telescopio espacial Hubble, con diámetro D = 2, 40m (c) el mayorradiotelescopio en Puerto Rico, diámetro D = 305m. Utilice un valor de λ = 550nm para los telescopiosópticos y λ = 21cm para el radiotelescopio. Calcule el poder de resolución en radianes y también ensegundos de arco.

6. El poder de magni�cación o aumento MP, de un telescopio está dado por MP = fo/fe, donde fo es lalongitud focal de la lente objetivo y fe es la longitud focal del ocular. Se puede determinar observando

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a través del telescopio un objeto con una estructura periódica, como un �Programador mensual� yobservándolo directamente con el otro ojo. Con algo de práctica es posible superponer ambas imágenesy comparar cuántas cuadrículas, vistas directamente, corresponden con una, vista a través del telescopio.Utilice este método para calcular la potencia de aumento del telescopio.

Típicamente, el ojo humano puede resolver entre uno y dos minutos de arco. ¾El poder de aumento deltelescopio empleado era su�cientemente grande como para hacer que las líneas más estrechamente espaciadasparecieran más grandes que un minutos de arco?

Al igual que con el ojo humano, la resolución del telescopio está modi�cada por otros aspectos como lasaberraciones y el detector, ¾Cómo estan involucrados estos aspectos en sus resultados?

3. Lecturas recomendadas

Ver los enlaces (consultados en 06.07.2015)

www.cambridgeincolour.com/tutorials/camera-vs-human-eye.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_resolution,

http://es.wikipedia.org/wiki/Disco_de_Airy

http://en.wikipedia.org/wiki/Point_spread_function

http://en.wikipedia.org/wiki/Optical_transfer_function

y las referencias en éstas últimas páginas.

Referencias

[1] Resolving power, December 2014. Page Version ID: 637166503.

[2] Max Born, Emil Wolf, A. B. Bhatia, P. C. Clemmow, D. Gabor, A. R. Stokes, A. M. Taylor, P. A.Wayman, and W. L. Wilcock. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference

and Di�raction of Light. Cambridge University Press, Cambridge ; New York, 7th edition edition, October1999.

[3] Ray Egerton. Electron Energy-Loss Spectroscopy in the Electron Microscope. Springer, July 2011.

[4] B. K. Johnson. Optics and Optical Instruments. Dover Publications Inc., 1960.

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