04 variables aleatorias discretas

Variables Aleatorias Discretas Gua de estudio

1. Definiciones bsicas 2. Distribucin de Bernoulli 3. Distribucin binomial 4. Distribucin geomtrica 5. Distribucin hipergeomtrica 6. Distribucin de Poisson 7. Ejercicios

Holger Benalczar Paladines

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noviembre - 2008

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1. Definiciones bsicas Cada experimento aleatorio tiene asociado un conjunto muestral que contiene todos los resultados posibles del experimento. Una variable aleatoria (va) es una funcin que asigna un nmero real a cada elemento del conjunto muestral; de esta manera, la probabilidad de un evento se traducir por la probabilidad de que la va tome determinados valores. Se distinguen dos tipos de va, las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas, cuyas denominaciones obedecen a la naturaleza del conjunto muestral asociado. En lo que sigue, las va se identificaran con letras maysculas y los valores que toman con letras minsculas.

Una variable aleatoria discreta (vad) es aquella que toma un nmero contable de valores, esto es, el experimento aleatorio asociado tiene un nmero finito o infinitamente numerable de resultados.

Ejemplo 1:

- En el experimento de lanzar una moneda podemos definir la vad X de la siguiente manera: X=0, si sale cara; y, X=1, si sale sello. En este caso, la vad X toma solo dos valores, uno por resultado posible, ya que el conjunto muestral es de cardinalidad finita.

- Si fuese el caso, podemos definir la vad Y que mide la vida til de una mquina en das. Entonces, la vad

Y tomar valores desde cero das en adelante: 0, 1, 2, ....; aqu, no conocemos el lmite superior de los valores de Y, aunque los podemos contar.

Si X es una vad que toma los valores: x1, x2, x3 ..., la funcin de probabilidad de X asigna a cada uno de sus valores la probabilidad de que ocurran. En adelante, utilizaremos la notacin pk, para referirnos a la probabilidad de que la vad X tome exactamente el valor xk, esto es:

pk = P(X= xk)

Para asegurarnos que la funcin de probabilidad de cualquier vad X est bien definida, debemos verificar que cumple con las propiedades:

1- La probabilidad asignada a cualquier valor xk de X debe pertenecer al intervalo [0,1]; es decir,

0 pk 1 para cualquier k

2- Como la unin de todos los eventos simples reconstruye el conjunto muestral, la suma de las probabilidades asignadas a los valores de X, debe ser uno:

p1 + p2 + p3 +...... = 1

Ejemplo 2: Si X es una vad que describe el resultado de lanzar una moneda; entonces, X tomar dos valores: x1 = 0 cuando salga cara y x2 = 1 cuando salga sello. Aqu los valores escogidos son solo etiquetas, pues los resultados de lanzar la moneda no son numricos. Si la moneda es legal, la funcin de probabilidad es: p1 = P(X=0)=0.50 y p2 = P(X= 1)=0.50.

Para definir una vad basta con conocer los valores que puede tomar la variable y la probabilidad con que toma dichos valores, por lo que existen infinitas vad.

Ejemplo 3: Si decimos que Y puede tomar cualquiera de los seis valores siguientes:

y1 = -5 y2= -2 y3= 0.5 y4= 4 y5=8 y6= 11.2

con probabilidades dadas por:

p1 = P(Y= -5)=0.05 p2 = P(Y= -2)=0.30 p3 = P(Y= 0.5)=0.30 p4 = P(Y=4)=0.20 p5= P(Y= 8)=0.10 p6 = P(Y= 11.2)=0.05

entonces Y es una vad. El grfico de su funcin de probabilidad respecto a los valores de la variable, es:

0.05

0.3 0.3

0.2

0.1

0.05

-5 -2 0.5 4 8 11.2

La funcin de acumulacin o de distribucin de la vad X evaluada en cualquier nmero real w, es la probabilidad de que la vad X tome valores menores o iguales a w:

F(w) = P( X w )= p kx wk

Como los valores que toma la vad X representan eventos simples, los cuales a su vez son disjuntos, se tiene que la funcin de distribucin evaluada en w no es ms que la acumulacin de las probabilidades correspondientes a todos los valores de X que son menores o iguales a w. Adems, los valores de la funcin de distribucin, por ser una probabilidad, siempre se encontrarn en el intervalo [0,1].

Si x1,x2,x3...xm, son los valores que toma la vad X, ordenados en forma ascendente, la funcin de distribucin se comportar de la siguiente forma:

Si w < x1, entonces F(w)= P( X w ) = 0, ya que X recin empieza a tomar valores a partir

de x1 Si x1 w < x2, entonces F(w)= P( X w ) = P( X = x1 ) = p1, ya que el nico

valor de X que es menor o igual a w es x1 Si x2 w< x3, entonces F(w)=P( X w )= P( X = x1 )+P( X = x2 )=p1+p2, ya

que ahora, los valores x1 y x2 sern menores o iguales a w Si x3 w < x4, entonces F(w)= p1 + p2 + p3

y as, sucesivamente hasta: Si xm-1 w < xm, entonces F(w)= p1 + p2 + p3 + ....+ pm-1 Si xm w, entonces F(w)= p1 + p2 + p3 + ....+ pm-1 + pm = 1

Ejemplo 4: Consideremos el lanzamiento de una moneda y su vad X asociada, recordando que la vad toma 2 valores, x1 = 0 y x2 = 1. A continuacin, revisemos algunos valores de la funcin de distribucin de X:

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w -1.4 0 0.3 1 1.8 F(w)= P(X w) 0 0.5 0.5 1 1

- Cuando w= -1.4, la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a w es 0, ya que X recin empieza

a tomar valores a partir del valor x1 =0. Igual razonamiento se puede hacer para cualquier valor w1, para los cuales la funcin de distribucin valdr 1.

El grfico de la funcin de distribucin para la vad X, es el siguiente:

0 1

acumula 0.5

acumula 0.5


Ejemplo 5: Consideremos la vad T con funcin de probabilidad dada por:

tk -1.5 0 2 Pk = P(T= tk ) 0.35 0.25 0.4

Entonces, el grfico de su funcin de distribucin es:

-1.5 2

acumula 0.25

acumula 0.40

0

acumula 0.35

Ejemplo 6: Si x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , son los valores que toma una vad X, ordenados en forma ascendente, se tienen los siguientes resultados generales:

P(X x6 ) = F( x6 )

P(X < x6 ) = P(X x5 ) = F( x5 )

P(X x6 ) = 1- F( x5 )

P(X > x6 ) = 1- F( x6 )

P(x3 X x7 ) = F( x7 ) - F( x2 )

P(x3 X < x7 ) = F( x6 ) - F( x2 )

P(x3 < X x7 ) = F( x7 ) - F( x3 )

P(x3 < X < x7 ) = F( x6 ) - F( x3 )

El valor esperado o esperanza de X es la suma de los productos entre los valores que toma la vad y la probabilidad de que los tome. La esperanza de X, se asimila como el promedio de los valores de X que se obtendra al repetir muchas veces el experimento respectivo. La manera de calcularla, es:

= E(X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 + ........



Ejemplo 7: Consideremos la vad X que describe el lanzamiento de una moneda legal. Esta variable toma 2 valores, con probabilidad 0.5 cada uno; entonces, su valor esperado es:

= E(X) = 0*0.5 + 1*0.5 = 0.5

Este valor lo podemos interpretar de la siguiente manera. Si una persona lanza 1000 veces la moneda, se esperara que obtenga aproximadamente 500 caras y 500 sellos. Si adems, cada vez que sale cara anota un 0, y cada vez que sale sello lo registra con 1, la suma de sus 1000 registros estara cerca de 500; y el promedio por lanzamiento, la suma dividida por 1000, estara cerca del valor esperado = 0.5. Si luego, la persona realizara 10000 lanzamientos de la moneda y los registrara de la manera descrita, la suma sera aproximadamente 5000 y el promedio que obtendra estara mucho ms cerca de = 0.5 que cuando realiz solo 1000 lanzamientos. Es en este sentido, que el valor esperado de una vad se interpreta como el promedio que se obtendra al repetir muchas veces un experimento. Con relacin a este mismo experimento, si asignamos a la vad X otro par de valores distintos a 0 y 1; por ejemplo, el valor de 2 si la moneda sale cara y el valor de 5 si sale sello, el valor esperado es:

= E(X) = -2*0.5 + 5*0.5 = 1.5 El cambio en el valor esperado es debido al cambio en los valores asignados a la vad X y no a una variacin en el concepto del mismo. En los 1000 lanzamientos seguiramos esperando aproximadamente 500 caras y 500 sellos, por lo que la suma de los registros estara cerca de 1500 (500*(-2)+ 500*5), de donde el promedio por lanzamiento estara cerca de 1.5=1500/1000. Es decir, para este experimento, podemos escoger cualquier par de nmeros para asignarlos como valores de la vad X sin que esto altere la esencia del anlisis, aunque por facilidad se acostumbra a escoger valores ms sencillos, tales como elegidos, 0 y 1.

El valor esperado para cualquier vad es un valor constante, sea que se lo conozca o no. Adems, el concepto de valor esperado es distinto del concepto de valor ms probable, aunque en algunos casos pueden coincidir; el valor esperado es el promedio que se obtendra al repetir muchas veces el experimento, mientras que el valor ms probable, es el valor al que apostaramos al realizar una sola vez el experimento.

La varianza de X es el valor esperado de (X-)2, es decir, el valor esperado de la distancia entre X y su esperanza elevada al cuadrado. La varianza es una medida de la dispersin de los valores de X respecto a su esperanza . Su clculo se realiza por:

2 = Var(X) = E[(X-)2] =(x1-)2p1 +(x2-)2p2 +(x3-)2p3 +...

La raz no negativa de la varianza (), se denomina desviacin estndar o tpica.

Ejemplo 8: Consideremos la vad T con funcin de probabilidad dada por:

tk -1.5 0 2 Pk = P(T= tk) 0.35 0.25 0.4

El valor esperado de X es = 0.275. La varianza de T y la desviacin tpica de T, son: 2 = Var(T) = E[ (T-)2 ] = (-1.5-0.275)2 *0.35 + (0-0.275)2 *0.25 + (2-0.275)2 *0.4 = 2.312 = 1.52

Cualquier variable Z que se obtenga como una funcin de la vad X es tambin una vad. Esto es, si g(X) es una funcin real de la vad X, entonces Z=g(X), es una vad.

Ejemplo 9: Consideremos la vad X con funcin de probabilidad dada por:

tk -1 0 1 2 Pk = P(T= tk) 0.15 0.25 0.2 0.4

Entonces, la vad W= 3X-2, tomar los valores: -5, -2, 1 y 4, y tiene por funcin de probabilidad:

wk -5 -2 1 4 Pk= P(W= wk) 0.15 0.25 0.2 0.4

La funcin de probabilidad de W resulta del razonamiento siguiente: cuando la vad X toma el valor de -1, la nueva vad vale W=3X-2 = 3(-1)-2= -5, y esto sucede con una probabilidad de 0.15; cuando X=0 se tiene que W= 3(0)-2= -2, con una probabilidad de 0.25; cuando X=1 se tiene que W= 3(1)-2= 1, con una probabilidad de 0.2; y cuando X=2, se tiene que W= 3(2)-2= 4, con una probabilidad de 0.4. Si consideramos Z=X2, esta nueva vad tiene por funcin de probabilidad:

zk 0 1 4 Pk= P(Z= zk) 0.25 0.35 0.4

Podemos ver que la vad Z toma solo 3 valores, ya que cuando X=-1 o X=1, se tiene el mismo valor para la vad Z, Z=(-1)2 = 12 =1; por tanto, Z=1 cuando X=-1 o X=1, lo que sucede con una probabilidad de 0.35=0.15+0.2.

Si X y Y son vad, la esperanza y la varianza cumplen con las siguientes propiedades:

1- Si Z es la vad construda mediante Z=g(X), donde g(X) es una funcin real de la vad X, entonces:

E(Z)= E[g(X)] = kx

kk pxg )(

En especial: E(aX + b)= a E(X) + b, donde a y b son constantes E(X - )= 0, donde es el valor esperado de X

2- El valor esperado de la combinacin lineal de dos variables aleatorias es la combinacin lineal de los valores esperados; entonces, si a y b son constantes, se tiene que E(aX + bY)= a E(X) + bE(Y)

3- La varianza de X tambin puede calcularse por: 2 = Var(X)= E (X2 ) - 2

4- Si a y b son constantes, Var( aX+b ) = a2 Var(X)

5- Para cualquier vad X con valor esperado y desviacin tpica , se cumple la desigualdad de Chebyshev.

Esta desigualdad asegura que para cualquier valor k>0, la probabilidad de que un valor cualquiera de la vad X caiga en el intervalo [ -k , +k ] es mayor o igual a (1-1/k2):

P( - k X +k ) (1- 1/k2 )



Por ejemplo, para cualquier vad X, la probabilidad de que un valor de la vad se encuentre dentro de k=2 desviaciones tpicas medidas a partir del valor esperado , es mayor o igual a (1-1/4)=0.75; y que se encuentre dentro de k=3 desviaciones tpicas a partir del valor esperado , es mayor o igual a (1-1/9)=0.88. La desigualdad de Chebyshev tambin se la puede escribir como:

P(X -k X + k ) (1-1/k2)

Asi, para cualquier vad, la probabilidad de que el valor esperado se encuentre dentro de k desviaciones tpicas medidas desde cualquier valor de la vad X, es mayor o igual a (1-1/k2). Cuando adems de conocer que X es una vad cualquiera, tengamos mayor informacin sobre la funcin de probabilidad, comprobaremos que la probabilidad de la desigualdad crecer.

Aunque hay infinitas vad, existen vad especiales que han demostrado su utilidad en la creacin de modelos matemticos para estudiar la realidad en diversos campos y se las identifica por un nombre, como las vad de Bernoulli, binomial, geomtrica, hipergeomtrica, Poisson, etc. Pasemos entonces a revisar algunas de ellas.

2. Distribucin de Bernoulli

Consideremos un experimento que consiste en una sola prueba con dos resultados posibles: obtener un xito con probabilidad p u obtener un fracaso con probabilidad q =1-p. Si X es la va que representa el resultado de la prueba, X es una va de Bernoulli.

Por facilidad se asume que X=1 si el resultado es un xito y X=0 si el resultado es un fracaso, aunque es vlido tomar cualquier par de valores para representar el xito y el fracaso. Entonces, la funcin de probabilidad de X tiene solo dos valores: P(X=1)= p y P(X=0)= q.

Para una vad de Bernoulli, se tiene que su valor esperado es = p y su varianza es 2= pq.

3. Distribucin binomial

Se dice que se realiza un experimento binomial si se tiene que:

1- El experimento consiste de n pruebas independientes de Bernoulli. 2- La probabilidad de xito p permanece constante en todas las pruebas, y por tanto, tambin la probabilidad

de fracaso.

En la prctica, es muy comn que estemos interesados en estimar la proporcin de elementos p de una poblacin que tienen una caracterstica de inters, como la proporcin de clientes morosos, o la proporcin de artculos defectuosos que genera un proceso de manufactura, o la proporcin de votos que alcanzar un candidato, etc.; en estos casos, tomamos una muestra aleatoria simple (por sorteo) para estimar la proporcin poblacional. El proceso de extraccin de la muestra no es completamente un experimento binomial, aunque se lo puede considerar como tal, si la fraccin de muestreo es menor a 0.1; esto es, si existe N elementos en la poblacin y la muestra aleatoria es de tamao n, la fraccin n/N debe ser inferior a 0.1 para suponer un experimento binomial con n pruebas, una por cada elemento que se sortea para la muestra, y con probabilidad de xito p en cada prueba.


Ejemplo 10: Supongamos que hay 1000 almacenes en cierta regin que son vendedores potenciales de un nuevo producto, y que una proporcin desconocida p de los propietarios aceptara el producto para ponerlo a la venta, entonces extraemos una muestra aleatoria simple de 50 propietarios de almacenes para preguntarles si aceptarn el producto cuando est listo para la venta; el objetivo de la encuesta sera utilizar la proporcin observada en la muestra para estimar la proporcin desconocida p de la poblacin (los 1000 propietarios). Por ahora, nos interesa discutir si el proceso de extraccin de la muestra es un experimento binomial, as que supongamos que la proporcin poblacional es p=0.4.

Entonces, la seleccin de los 50 propietarios sern las 50 pruebas del experimento; diremos que obtenemos un xito en una prueba, si el propietario respectivo vender el producto, y que obtenemos un fracaso en caso contrario. - Antes de seleccionar el primer propietario para la muestra, primera prueba, existirn 400

vendedores en la poblacin que vendern el producto; luego, la probabilidad de un xito en la primera prueba es p1= 400/1000 = 0.4.

- La probabilidad de que el segundo propietario de la muestra venda el producto depender de la

respuesta del primer propietario, esto es, de si la primera prueba fue un xito o un fracaso. Si el primer propietario va a vender el producto, la probabilidad de que el segundo lo venda es p2= 399/999 = 0.399; si el primer propietario no va a vender el producto, la probabilidad de que el segundo lo venda es p2= 400/999 = 0.400.

- La probabilidad de que el tercer propietario de la muestra venda el producto depender de las

respuestas de los dos propietarios ya seleccionados, y as sucesivamente, hasta obtener que la probabilidad de que el propietario 50 venda el producto depender de los resultados de las 49 pruebas anteriores. Para esta ltima seleccin, consideremos solo los casos extremos. Si los primeros 49 propietarios vendern el producto, la probabilidad de obtener un xito en la prueba 50 es p50= 351/951 = 0.369; mientras que si, los primeros 49 propietarios no vendern el producto, la probabilidad de obtener un xito en la prueba 50 es p50= 400/951 = 0.421.

Podemos observar que la probabilidad de xito no permanece constante en todas las 50 pruebas, por lo que este no sera completamente un experimento binomial; sin embargo, que la fraccin de muestreo sea n/N = 50/1000 = 0.05, hace que las variaciones de la probabilidad de xito, an en las situaciones extremas, no vare ms all de un 8%, por lo que en la prctica, esta seleccin de muestra la consideraramos un experimento binomial. El caso anterior contrasta con el siguiente. Un comprador recibe un furgn con 20 grandes computadoras; el comprador quiere revisar 3 computadoras para ver si trabajan bien antes de aceptar todo el cargamento. Dos de las computadoras, lo que el comprador no sabe, tienen desperfectos. Nos preguntamos lo mismo, La extraccin de las 3 computadoras es un experimento binomial? La seleccin de las 3 computadoras sern las 3 pruebas del experimento; la prueba ser un xito si la computadora est daada, y ser un fracaso en caso contrario. En este caso, notemos que la fraccin de muestreo es n/N = 3/20 = 0.15, mayor a 0.10. - La probabilidad de que la primera computadora est daada, o equivalentemente, que la primera

prueba sea un xito, es p1= 2/20 = 0.10. - La probabilidad de que la segunda computadora est daada depender de si la primera prueba fue

un xito o un fracaso. Si la primera computadora fue defectuosa, la probabilidad de que la segunda lo sea es p2= 1/19 = 0.053; si la primera computadora es buena, la probabilidad de que la segunda sea defectuosa es p2= 2/19 = 0.105.

- La probabilidad de que la tercera prueba sea un xito depender de si las dos pruebas anteriores

fueron xitos o fracasos. Consideremos igualmente, solo los casos extremos. Si las dos primeras computadoras fueron defectuosas, no habr ms defectuosas en el furgn, luego, la probabilidad de obtener un xito en la tercera prueba es p3= 0/18 = 0; mientras que si, las dos primeros pruebas fueron un fracaso, la probabilidad de xito en la tercera prueba es p3= 2/18 = 0.111.

Aqu, la probabilidad de xito no permanece constante en las 3 pruebas; y adems, por tratarse de una fraccin de muestreo mayor a 0.10, las variaciones que sufre la probabilidad de xito pueden llegar al 100%, por lo que esta seleccin de muestra no podemos considerarla un experimento binomial.

La vad X que cuenta el nmero de xitos que ocurren al realizar las n pruebas de un experimento binomial, se conoce como va binomial. Su funcin de probabilidad est dada por:

P(X=k)= C pk

n k q(n-k) donde k= 0, 1, 2, ...,n

El valor esperado de X es = np y su varianza es 2= npq.

Ejemplo 11: La compaa XYZ tiene planes de presentacin de venta para una docena de productos. Se estima que la probabilidad de recibir una orden como resultado de una de esas presentaciones es 0.3.

Cul es la probabilidad de recibir exactamente 8 rdenes como resultado de las reuniones?

Cada presentacin de un producto es una prueba, por lo que tenemos n=12 pruebas. Si llamamos xito a recibir una orden en una presentacin, lo tendremos con una probabilidad de 0.3 en cada prueba. Luego, si la vad X cuenta el nmero de xitos, lo que buscamos es:

P(X=8) = *0.3128C 8 * 0.74= 0.008

Cul es la probabilidad de recibir a lo mucho 3 rdenes?

P(X3) = F(3) = P(X=0) + P(X=1)+ P(X=2) + P(X=3) =0.493

Cul es la probabilidad de recibir menos de 3 rdenes?

P(X8) = P(X 9)= 1-P(X 8) = 1-F(8) = 1- 0.998= 0.002

Ejemplo 12: Un proveedor entrega lotes con 2000 transistores, los cuales tienen una fraccin de defectuosos del 9%. El departamento de adquisiciones de la empresa compradora acostumbra tomar muestras aleatorias de tamao 60 y rechaza aquellos lotes que proporcionen muestras con ms de 2 defectuosos. Determnese la probabilidad de que un lote sea rechazado.

La fraccin de muestreo es 60/2000=0.03, por lo que este tipo de muestreo puede considerarse un experimento binomial, donde cada prueba consiste en revisar un transistor de la muestra. Luego, se realizan n=60 pruebas, con probabilidad de xito de 0.09, si encontrar un transistor defectuoso se denomina xito. Si la vad D cuenta el nmero de defectuosos en la muestra, el lote ser rechazado con una probabilidad de:

P(D>2) = 1- F(2) = 0.915

Este resultado indica que el departamento de adquisiciones aceptar, con este plan de muestreo, aproximadamente 8 de cada 100 lotes, a pesar de que estos tienen un 9% de transistores defectuosos

En la prctica no es frecuente que el vendedor comunique la fraccin real de defectuosos que tienen sus lotes de artculos, lo ms probable es que asegure que son 100% buenos. Un plan de muestreo facilitar al



comprador la identificacin de lotes de productos con una fraccin prohibitiva de artculos defectuosos para rechazarlos. Veamos como utilizar la distribucin binomial para crear un plan de muestreo simple para grandes lotes de artculos.

Un plan de muestreo simple se define por la dupla (n,c) y se lo aplica de la siguiente manera: en cada lote que llega se toma una muestra de tamao n, si el nmero de artculos defectuosos encontrados en la muestra es mayor que el valor c se rechaza el lote, caso contrario, se acepta el lote. El valor c, se denomina valor de aceptacin.

Ejemplo 13: Consideremos el plan de muestreo simple (n=110, c=3). Si los lotes tienen una fraccin defectuosa de 0.01 o menos, el plan aceptar el 97.5% de estos lotes:

P(D 3) = 0.975 si p 0.01

En cambio, si los lotes tienen una fraccion defectuosa de 0.06 o ms, el plan rechazar el 90.2% de dichos lotes:

P(D 3) = 0.902 si p 0.06

En la terminologa del muestreo para aceptacin, la fraccin 0.01 se denomina Nivel de Calidad Aceptable, y la fraccin 0.06 se conoce como el Nivel de Calidad Rechazable.

4. Distribucin geomtrica

Esta distribucin est tambin relacionada con un experimento binomial, excepto que el nmero de pruebas no es fijo y lo que interesa es el nmero de pruebas requeridas para lograr el primer xito. Si la vad X indica el nmero de prueba en la que se obtiene el primer xito, tendr una distribucin geomtrica; su funcin de probabilidad es:

P(X=k)= q(k-1) p donde k= 1, 2, 3, ...

El valor esperado y la varianza de la vad X son = 1/p y 2= q/p2, respectivamente. La funcin de distribucin es F(w) = 1 qw, para cualquier entero w 1.

Ejemplo 14: Un lote de artculos tiene una proporcin de defectuosos de 0.05. Se inspeccionan al azar, de uno en uno los artculos.

Cul es la probabilidad de encontrar el primer defectuoso en la primera inspeccin?

Llamando xito, el encontrar un artculo defectuoso, tendremos que en una prueba la probabilidad de obtener un xito es p= 0.05 y la probabilidad de obtener un fracaso es q=0.95. Si X es la vad geomtrica que cuenta el nmero de artculos que debemos revisar hasta encontrar el primer defectuoso, la probabilidad pedida es: P(X=1) = q0 p1 = 0.05

Cul es la probabilidad de que no haya que revisar ms de 2 artculos para encontrar el primer defectuoso?

Lo que buscamos ahora, es la probabilidad de que el primer defectuoso asome en cualquiera de las 2 primeras revisiones, entonces: P(X 2) = F(2) = P(X=1) + P(X=2) = q0 p1 + q1 p1 = 0.098

Cuntos artculos en promedio habr que revisar para encontrar el primer defectuoso?

Si nos fijamos, la respuesta es el valor esperado de X; entonces, tendramos que revisar en promedio un nmero de artculos igual a = 1/p = 1/0.05 = 20. Recordemos que el valor esperado es el promedio de repetir muchas veces el experimento. Para este caso, si se inspeccionan 5000 lotes, por ejemplo, y cada vez se anota el nmero de la prueba donde se encontr el primer defectuoso, tendremos 5000 registros; si se suman estos registros y el resultado se divide por 5000, el resultado estar cerca de 20.

Cul es la probabilidad de que el primer defectuoso se encuentre en las revisiones 18, 19, 20, 21 o 22?

P(18 X 22) = F(22) F(17) = 0.676 0.582 = 0.094

5. Distribucin hipergeomtrica

Supngase que en una poblacin de tamao N, existe un nmero D de elementos que tienen una caracterstica de inters (por ejemplo, artculos defectuosos). Cuando se selecciona de la poblacin una muestra de tamao n, sin que haya reposicin de los elementos extrados, la vad X que cuenta el nmero de elementos en la muestra con la caracterstica de inters tiene una distribucin hipergeomtrica. La funcin de probabilidad es:

P(X=k)= C C

CkD

n kN D

nN

donde: D N, k D, k n y (n-k) (N-D).

El valor esperado de la vad X es = nD/N y su varianza 2=[nD(N-D)(N-n)] / [N2(N-1)]

La distribucin hipergeomtrica puede aproximarse por la distribucin binomial. La aproximacin es aceptable si la fraccin de muestreo (n/N) es menor a 0.1; en este caso, se toma como probabilidad de obtener un xito a p=D/N y se utiliza la funcin de probabilidad binomial para estimar P(X=k).

La distribucin hipergeomtrica se la utiliza para planes de muestreo de aceptacin cuando el tamao de la muestra es grande con relacin al tamao del lote (fraccin de muestreo mayor a 0.1). La construccin de las curvas caractersticas de operacin sigue un procedimiento similar a las construidas con la distribucin binomial.

Ejemplo 15: Un lote de 25 microscopios se somete a un procedimiento de prueba de aceptacin. El procedimiento consiste en seleccionar 5 microscopios aleatoriamente, sin reemplazo y probarlos. Si 2 o menos microscopios fallan se aceptan los restantes, de otro modo se rechaza el lote. Considrese que el lote contiene 4 microscopios defectuosos.

Cul es la probabilidad exacta de aceptar el lote?


Si denotamos por X a la vad que cuenta el nmero de microscopios defectuosos, la probabilidad de aceptar el lote es:

P(X 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 255

213

42

255

214

41

255

215

40

CCC

CCC

CCC ++ = 0.984

Ejemplo 16: Si en el ejemplo anterior, el lote de microscopios fuese de tamao 100, qu tan satisfactoria sera la aproximacin binomial para calcular la probabilidad de tener a lo ms 2 microscopios defectuosos? Utilizando la distribucin hipergeomtrica, el valor exacto de P(X 2) es 0.99976. En este caso tiene sentido usar la aproximacin por la distribucin binomial ya que, la fraccin de muestreo es n/N= 5/100 = 0.05, inferior al 10%. Entonces, tomando n=5 y p= 4/100, el valor aproximado es:

P(X 2) = 0.99940 325241515050 qpCqpCqpC ++

6. Distribucin de Poisson

Esta distribucin permite representar la distribucin de frecuencias del nmero de ocurrencias por unidad de medida de ciertos eventos; por ejemplo, llegadas a una unidad de servicio por minuto, nmero de fallas por metro cuadrado, nmero de impurezas por litro, etc. Si es la tasa promedio de ocurrencia de los eventos por unidad de medida, la funcin de probabilidad de la vad X que cuenta el nmero de eventos que ocurren en la unidad de medida es:

P(X=k)= k e- / k! donde k= 0, 1, 2, .....

La esperanza de X es = y su varianza es 2= .

La distribucin de Poisson produce buenas aproximaciones para la distribucin binomial si n es grande y p pequea, para lo cual se toma =np; en general, la probabilidad de xito p debera ser menor de 0.1 (mientras ms pequea sea p y mayor n, mejor ser la aproximacin).

Sean X1, X2, ..., Xm vad distribuidas independientemente, cada una con distribucin de Poisson de parmetro i, para i=1,2,..,m, y sea la vad Y= X1 + X2 + ...+ Xm, entonces Y tambin tiene una distribucin de Poisson con parmetro = 1 + 2 + ...+ m.

Ejemplo 17: Las lesiones graves que ocurren en una planta siderrgica tienen una media anual de 2.7. Si las condiciones de seguridad sern iguales en la planta durante los prximos aos,

Cul es la probabilidad de que el nmero de lesiones graves sea menor que dos el prximo ao?

Si X es la vad que cuenta el nmero de lesiones graves por ao, entonces: P(X< 2) = P(X=0) + P(X=1)= 0.249



Cul es la probabilidad de que el nmero de lesiones graves sea menor que 5 en los prximos 3 aos?

Aqu debemos aplicar el ltimo resultado. Sean X1, X2 y X3, las vad que cuentan el nmero de lesiones en cada uno de los prximos 3 aos, respectivamente. Estas vad son independientes, en el sentido de que el nmero de lesiones en un ao no es influenciado por el obtenido en otro ao; y adems, como las condiciones de seguridad se mantienen, cada vad tiene una distribucin de Poisson con parmetro =2.7. Entonces, la vad que cuenta el nmero de lesiones durante los prximos 3 aos es Y= X1 + X2 + X3, que tiene una distribucin de Poisson con parmetro = 1 + 2 + 3 = 2.7+ 2.7 + 2.7 = 8.1. Luego: P(Y

6- Supngase que se toma una muestra aleatoria de tamao 200 de un proceso que tiene una fraccin de defectuosos de 0.07. Cul es la probabilidad de que la proporcin estimada en la muestra sea mayor a la verdadera fraccin de defectuosos, por dos veces su desviacin tpica? [La probabilidad buscada es 0.024. Para encontrarla, siga el procedimiento siguiente: a- La proporcin en la muestra es =X/n, donde X es el nmero de artculos defectuosos en la muestra.

Muestre que la desviacin tpica de es 0.018, valindose de las propiedades de la varianza y de que X es una vad binomial.

pp

b- La probabilidad pedida es P( > 0.07 + 2*0.018) = P(X > 21.22) ] p

7- Un agente de bienes races estima que sus probabilidades de vender una casa son de 0.25. Tiene que ver 4 clientes el da de hoy. Si tiene xito en las primeras 3 visitas, cul es la probabilidad de que no tenga xito en su cuarta visita? [0.253*0.75]

8- Cierto experimento deber repetirse hasta obtener un resultado exitoso. Los ensayos son independientes y el costo de realizar un experimento es de $25000; sin embargo, si se presenta un fracaso, cuesta $5000 poner en orden las cosas para la siguiente prueba. La probabilidad de xito en una prueba es de 0.25. a- El experimentador deseara determinar el costo esperado del proyecto. [$ 115000] b- Supngase que el experimentador dispone de mximo $500000. Cul es la probabilidad de que el

costo del trabajo experimental sobrepase esta cantidad? [0.01]

9- La compaa XYZ planea enviar un agente a visitar a posibles clientes hasta lograr una venta. Cada presentacin de ventas cuesta $500. El costo de viajar adonde se encuentra el siguiente cliente, incluido el primero, y realizar una nueva presentacin es de $100. a- Cul es el costo esperado de realizar una venta, si la probabilidad de realizar una venta despus de

cualquier presentacin es 0.1? b- Si la ganancia esperada en cada venta es $8500, debern realizarse los viajes? c- Si el presupuesto para promocin es solamente de $7000, cul es la probabilidad de que se gaste esta

cantidad sin obtener una orden?

10- Un furgn contiene 20 computadoras de las cuales 2 estn defectuosas. Si se selecciona al azar 3 computadoras, Cul es la probabilidad de que 2 de ellas tengan desperfectos? [0.016]

11- Los lotes de cierto producto que llegan a una planta manufacturera constan de 100 unidades. En el departamento de compras se utiliza el siguiente plan de muestreo de aceptacin: se seleccionan al azar 20 unidades, sin reemplazo, y se acepta el lote si la muestra no contiene ms de un elemento defectuoso.

a- Si el lote contiene exactamente el 5% de artculos defectuosos, Cul es la probabilidad de que el lote

sea aceptado? [0.739] b- Dibuje la curva caracterstica de operacin para n=10 y a=1. Comprela con la respectiva curva

obtenida utilizando una distribucin binomial. Qu puede concluir?

12- Una fbrica recibe pequeos lotes (N=25) de un dispositivo de alta precisin. Se desea rechazar un lote el 95% de las veces si ste contiene 3 dispositivos defectuosos. Suponga que se decide que la presencia de un dispositivo defectuoso es suficiente para rechazar el lote. Cul debe ser el tamao mnimo de muestra? [16]

13- El nmero de glbulos rojos por unidad cuadrada visible bajo un microscopio sigue una distribucin de Poisson con media 4. Obtngase la probabilidad de que ms de 5 glbulos rojos sean visibles para el observador. [0.215]



14- Las cuadrillas de mantenimiento llegan por la maana a la bodega pidiendo cierto repuesto y siguiendo una distribucin de Poisson con parmetro 2. Normalmente se tienen a mano 3 de esos repuestos. Si se presentan ms de 3 rdenes, las cuadrillas permanecen inactivas hasta el da siguiente en que llegan las unidades de repuesto faltantes.

a- Cul es la probabilidad de que alguna cuadrilla permanezca inactiva? [0.143] b- Cul es la demanda diaria esperada de los repuestos? [2] c- Cuntas unidades de repuestos debern tenerse en la bodega si se quiere servir a las cuadrillas el 90%

de las veces? [4]

15- Cada 10 horas un telar experimenta la ruptura de un hilo. Se est produciendo cierto tipo de tela que tomar 25 horas de trabajo en este telar. Si 3 o ms rupturas hacen que el producto se vuelva no satisfactorio, obtngase la probabilidad de que este tipo de tela se termine con calidad aceptable.

16- La probabilidad de que una persona se involucre en un accidente de auto es 0.01 durante cualquier ao. Cul es la probabilidad de que alguien tenga 2 o ms accidentes manejando durante un lapso de 10 aos?

17- Un detallista ha determinado que el nmero de rdenes para un cierto artculo en un mes tiene una distribucin de Poisson con media 3. Calcular el nivel de almacenamiento K para el inicio del mes, de manera que exista una probabilidad de al menos 0.95 de satisfacer a todos los clientes que ordenan el artculo durante el mes. No se desea tener que devolver mercadera o volver a abastecer la bodega durante el mes. [6]

18- Supngase que la va X tiene una distribucin binomial con n=30 y p=0.1. Halle el valor exacto de P(X3) y su aproximacin mediante la distribucin de Poisson.

19- En una lnea de control de calidad se revisan 10 artculos, determinndose que hay 3 que no cumplen con las especificaciones. Si se escogen al azar 4 artculos, halle la esperanza de la variable aleatoria que describe el nmero de artculos correctos entre los 4 seleccionados.

20- Se lanzan 8 monedas. Determinar la probabilidad de: a- Obtener por lo menos 3 caras. b- Obtener a lo ms 4 caras.

21- Una aeronave dispone de 2 motores que funcionan independientemente. La aeronave puede seguir volando an si ha perdido uno de los motores. La probabilidad de que un motor falle durante el vuelo es de 0.01. Calcular la probabilidad de que en un vuelo: a- No se observen fallas. b- Falle un motor. c- El avin caiga a tierra por falla en sus 2 motores.

22- La ganancia en 20 das de trabajo de un distribuidor al menoreo est dada por G= 1000- 200 Y2 , donde Y representa el nmero de das en que su vehculo sufre algn desperfecto que le impide efectuar el reparto diario. Si el vehculo, en promedio, se daa 2 das de cada 20 das, calcular la ganancia esperada del distribuidor durante un perodo de 20 das.

23- Una compaa petrolera va a perforar 5 pozos, donde cada uno de ellos tiene una probabilidad de 0,1 de producir petrleo de manera rentable. El costo de perforar un pozo es de $10.000, y si resulta rentable, genera $150.000, ya descontado el costo de perforacin. a- Cul es la ganancia esperada para la compaa petrolera en la perforacin de los 5 pozos? b- Cul es la desviacin tpica de la ganancia?

Variables Aleatorias Discretas1. Definiciones bsicas 2. Distribucin de Bernoulli 3. Distribucin binomial 4. Distribucin geomtrica 5. Distribucin hipergeomtrica 6. Distribucin de Poisson 7. Ejercicios

04 variables aleatorias discretas

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