Parámetros de líneas aéreas

1

Impedancia serie de líneas aéreas2

§ Supuestos

– Conductores suficientemente largos, macizos, cilíndricos y paralelos entre sí.

– Conductores no magnéticos

– Densidad de corriente uniforme.

– No se considera retorno por tierra (por ahora).

Línea aérea de n conductores3

Considerar el caso general de una línea aérea de n conductores

1

2

3 j

n

Inductancia serie de líneas aéreas4

Considerar que tenemos n conductores (1, …, n,), cada uno con corrientes I1,…,In, y deseamos obtener el flujo total que abraza al conductor 1, hasta un punto p en el espacio.

Expandiendo la ecuación

1 201, 1 2

1 12 1ln ln ... ln

2p p np

p nn

D D DI I I

r D Dµ

λπ

= + + + ′

( )

01, 1 2

1 12 1

1 1 2 2

1 1 1ln ln ... ln2

ln ln ... ln

p nn

p p n np

I I Ir D D

I D I D I D

µλ

π

= + + + ′

+ + + +

Inductancia serie de líneas aéreas5

Considerando que los conductores son partes de un sistema de n-1 fases (conductor n como neutro).

Se puede deducir:

Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior

( )1 2

1 2 1

... 0...

n

n n

I I II I I I −

+ + + =

= − + + +

(( ) )

01, 1 2

1 12 1

1 1 2 2 1 1

1 2 1

1 1 1ln ln ... ln2

ln ln ... ln

ln

p nn

p p n n p

n np

I I Ir D D

I D I D I D

I I ... I D

µλ

π

− −

−

= + + + ′

+ + + +

− + + +

Inductancia serie de líneas aéreas6

Expandiendo el último termino de esta ecuación, resulta:

Combinando logaritmos en los últimos términos (la diferencia de dos logaritmos es el logaritmo de su cociente) el resultado es:

(

)

01, 1 2

1 12 1

1 1 2 2 1 1

1 2 1

1 1 1ln ln ... ln2

ln ln ... ln

ln ln ln

p nn

p p n n p

np np n np

I I Ir D D

I D I D I D

I D I D ... I D

µλ

π

− −

−

= + + + ′

+ + + +

− − − −

01, 1 2

1 12 1

1 2 11 2 1

1 1 1ln ln ... ln2

ln ln ... lnln

p nn

p p n pn

np np np

I I Ir D D

D D DI I I

D D D

µλ

π

−−

= + + + ′

+ + + +

Inductancia serie de líneas aéreas7

Ahora si tomamos el punto p lejos en el espacio, a una distancia infinita de cualquiera de los conductores. En este caso, todas las distancias Dkpson iguales, y todos los logaritmos en el último término se hacen 0. Por lo tanto:

Además, como el punto el p está “lejos” en el espacio, se obtiene todo el flujo que enlaza al conductor 1, y por lo tanto la expresión nos da λ1.

Así,

01, 1 2

1 12 1

1 1 1ln ln ... ln2p n

nI I I

r D Dµ

λπ

= + + + ′

01 1 2

1 12 1

1 1 1ln ln ... ln2 n

nI I I

r D Dµ

λπ

= + + + ′

Inductancia serie de líneas aéreas8

El flujo general para el conductor k-esimo, es

No interesa la unidad de medida empleada en la ecuación anterior, pero entre ella estas deben ser consistente, típicamente pies o metro.

Dkj es la distancia entre el conductor k y jr’k es el RMG del conductor k

01 2

1 2

1 1 1 1ln ln ... ln ... ln2k k n

k k k knI I I I

D D r Dµ

λπ

= + + + + + ′

Inductancia serie de líneas aéreas9

Definiendo:

- Inductancia propia

- Inductancia mutua

Don λkk y λkj son los enlaces de flujo que abraza al conductor k debido a las corrientes en los conductores k y j respectivamente.

El enlace de flujo en el conductor k queda entonces:

0 1ln h/m2

kkkk

k kL

I rλ µ

π= =

′

0 1ln h/m2

kjkj

j kjL

I Dλ µ

π= =

1 2 ... ...k k k kk knλ λ λ λ λ= + + + + +

Inductancia serie de líneas aéreas10

Donde

reescribiendo estas ecuaciones de manera fasorial

Donde Vkk es la caída de voltaje en el conductor k debido a su inductancia propia y Vkj es la ciada de voltaje en el conductor k debido a la inductancia mutua con el conductor k

0 1ln2kk k kk k

kI L I

rµ

λπ

= =′

0 1ln2kj j kj j

kjI L I

Dµ

λπ

= =

0 1( ) ( ) ln2kk k kk k

kV I j L I j

rµ

ω ωπ

= =′

0 1( ) ( ) ln2kj j kj j

kjV I j L I j

Dµ

ω ωπ

= =

Inductancia serie de líneas aéreas11

Definiendo

se puede escribir finalmente

0 1ln2

kk kk

Z R jr

µω

π= +

′

0 1ln2

kjkj

Z jD

µω

π=

kkkk kV I Z=

kjkj jV I Z=

Inductancia serie de líneas aéreas12

Unidades

Considerando f = 50 Hz

770 4 10 2 10 /

2 2j j m

µ πω ω

π π

−−×

= = × Ω

1 1,609.344 milla m=

-5 16.28319 10 ln /kk kk

Z R j mr

= + × Ω′

10.10112 ln /kk kk

Z R j millar

= + Ω′

-5 16.28319 10 ln /kjkj

Z j mD

= × Ω

10.10112 ln /kjkj

Z j millaD

= Ω

Dos conductores con retorno13

I i

I d

I j

+

-

Vig +

-Vjg tierra

z ii

z jjz ij

z idz jdz dd

Dos conductores con retorno14

Voltaje entre el conductor i y tierra.

ordenando

Por otra parte, la corriente por conductor de tierra es:

de manera que:

( ) ( ) ( )ii di ij dj id ddig i j dV Z Z I Z Z I Z Z I= − + − + −

( )dd di dj ii ij idig d i j i j dV Z I Z I Z I Z I Z I Z I= − + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )ii di ij dj id ddig i j i jV Z Z I Z Z I Z Z I I= − + − − − +

( )d i jI I I= − +

Dos conductores con retorno15

Ordenando nuevamente

definiendo:

queda finalmente

De la misma manera

( ) ( )ˆ ˆig ii i ij jV Z I Z I= +

ˆ

ˆjj dj jd ddjj

ji di jd ddji

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

= − − +

= − − +

( ) ( )ˆ ˆjg ji i jj jV Z I Z I= +

( ) ( )ii di id dd ij dj id ddig i jV Z Z Z Z I Z Z Z Z I= − − + + − − +

ˆ ii di id ddiiZ Z Z Z Z= − − +

ˆ ij dj id ddijZ Z Z Z Z= − − +

Dos conductores con retorno16

jjZ

iiZ

Tierra

Ii

Id

I j

+

-

Vig +

-Vjg

ijZ

ˆ ˆij ji

ij ji

dj id di jd

Z Z

Z Z

Z Z Z Z

=

=

+ = +

Dos conductores con retorno17

Ii

Ij

+

-

Vig +

-Vjg

tierra

zii

zjj zijV'ig

+

+V'jg

--

1ˆ 0.12134 ln ln

1ˆ 0.12134 ln ln

id diii d i

i d

di jdij d

ij d

D Dz r r j

RMG RMG

D Dz r j

D RMG

= + + +

= + +

/ millaΩ

/ millaΩ

Ecuaciones de Carson18

Dos conductores y sus respectivos conductores imagen

S nnSnm

Dnm m

m'

n

n'

-0nm

4 2 ln 4

4 2 ln 4

iiii i ii i iii

ijij ij ij

ij

Sz r P G j X G Q G

RD

Sz P G j G Q G

D

ω ω ω

ω ω ω

= + + + ⋅ +

= + ⋅ +

$

$

Ecuaciones de Carson19

donde:

ω = frecuencia angular del sistema

G = 0.1609347x10-3 Ω/milla 10-4 Ω/km

Rdi = radio del conductor i en pie (o metro)

RMGi = radio medio geométrico del conductor i en pie o (metro)

f = frecuencia del sistema Hz

ρ = Resistividad del terreno en Ω-metros

Dij = distancia entre el conductor i y j en pies

Sij = distancia entre el conductor i y su imagen j en pies

θij = ángulo entre el par de líneas dibujadas desde el conductor i y su propia imagen y desde el conductor i a la imagen del conductor j

Ecuaciones de Carson20

2 ln /millaii

i

RDX G

GMRω= ⋅ Ω

( ) ( )2

1 2cos cos 2 0.6728 ln8 163 2

ijij ij ij ij

ij

kP k

kπ

θ θ

= − + ⋅ +

( )1 2 10.0386 ln cos2 3 2ij ij ij

ijQ k

kθ= − + ⋅ +

48.565 10ij ijfk Sρ

−= × ⋅ ⋅

Ecuaciones de Carson21

Considerando las siguientes simplificaciones:

8ijP π=

1 20.0386 ln2ij

ijQ

k= − + ⋅

48.565 10ij ijfk Sρ

−= × ⋅ ⋅

2 ln /ii

i

RDX G milla

RMGω= ⋅ Ω

Ecuaciones de Carson22

Asumiendo:f = 60 Hzρ = 100 Ω-m resistividad del terreno

10.09530 0.12134 ln 7.93402 /ii ii

z r j millaGMR

= + + + Ω

$

10.05922 0.0754 ln 7.93402 /ii i

iz r j km

GMR

= + + + Ω

$

10.09530 0.12134 ln 7.93402 /ijij

z j millaD

= + + Ω

$

10.05922 0.0754 ln 7.93402 /ijij

z j kmD

= + + Ω

$

23

Comparando ecuaciones

1ˆ 0.12134 ln ln

1ˆ 0.12134 ln ln

id diii d i

i d

di jdij d

ij d

D Dz r r j

RMG RMG

D Dz r j

D RMG

= + + +

= + +

/ millaΩ

/ millaΩ

10.09530 0.12134 ln 7.93402 /ii ii

z r j millaGMR

= + + + Ω

$

10.09530 0.12134 ln 7.93402 /ijij

z j millaD

= + + Ω

$

Cuatro conductores estrella aterrizada24

V'bg

V'ag

V'cg

Vag

Vbg

Vcg

+

+

+

+

+

+

Vng+

-- - -V'ng

+

- - - -

zaa

zbb

zcc

znn

zab

zbn zanzbc

zcn

zacIa

Ib

In

Ic

'

'

'

'

ag ag aa ab ac an abg bg ba bb bc bn b

ccg cg ca cb cc cnnng ng na nb nc nn

V V z z z z IV V z z z z I

IV V z z z zIV V z z z z

= + ⋅

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $

Reducción de Kron25

[ ] [ ][ ][ ]0 0

abc anabcg abcg abcn mnna nn

z zV V IIz z

= + ⋅

$ $

$ $

[ ] [ ] [ ] [ ]1

nn nan abc n abcI z z I t I−

= − ⋅ ⋅ = ⋅ $ $

[ ]1

nn nant z z−

= − ⋅ $ $

[ ]1

abc an nn naabcg abcg abcn mV V z z z z I

− = + − ⋅ ⋅ ⋅ $ $ $ $

Línea trifásica general26

Zca

Zbc

Zab

Zaa

Zbb

Zcc

Ia

Ib

Ic

+

+

---

+

Vbg

Vcg

Vag

+

+

+

- - -Vcg

Vbg

Vag

Nodo n Nodo m

n

n

n

m

m

m

ag ag aa ab ac a

bg bg ba bb bc b

ca cb cc ccg cgn m

V V Z Z Z IV V Z Z Z I

Z Z Z IV V

= + ⋅

ij ijZ z longitud= ⋅