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04 – Funciones de masa de probabilidad discretas

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Contenido

● FMPs Bernoulli

● FMPs binomial

● FMPs Poisson

● FMP geométrica

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Sobre la selección de las FMPs/FDPs

La elección de una FMP/FDP para representar un fenómeno de interés práctico debe estar motivada tanto por la compresión de la naturaleza del fenómeno en sí, como por la posible verificación de la FMP/FDP seleccionada a través de la evidencia empírica.

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FMP de Bernoulli

El espacio muestral está compuesto por dos sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos:

Ω = {éxito, fracaso}

Ejemplos:●¿La muestra de material satisface las especificaciones?

●¿El vehículo dobla a la izquierda? o no.●¿Falla una estructura ante ciertas condiciones?

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FMP de Bernoulli

La variable aleatoria de Bernoulli es:

Y la FMP de Bernoulli es:

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FMP de Bernoulli

Valor esperado:

Varianza:

la varianza es máxima cuanto p = 0.5

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FMP de Bernoulli

Una realización de una FMP de Bernoulli se llama experimento de Bernoulli.

Cuando se realizan varios experimentos de Bernoulli y estos son mutuamente independientes y cuando la probabilidad de éxito no cambia, se le llama a la sucesión de experimentos ensayos de Bernoulli (Bernoulli trial).

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FDP de Bernoulli en MS EXCEL/MATLAB

● Utilice la FMP Binomial con n=1

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Ejemplo FMP Bernoulli

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FMP Binomial X~B(n,p)

Consideremos n ensayos de Bernoulli, mutuamente independientes, tal que:● p es la probabilidad de éxito (u ocurrencia)● 1-p es la probabilidad de fracaso (no

ocurrencia)

es constante.

Si X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos, el interés está entonces en determinar la probabilidad de obtener exactamente X(ω)=x éxitos durante los nensayos.

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FMP Binomial X~B(n,p)La probabilidad de tener en n ensayos x éxitos consecutivos seguidos de n-x fracasos consecutivos es:

La probabilidad de obtener exactamente x éxitos y n-x fracasos en cualquier otro orden es la misma, puesto que los factores p y 1-p se ordenan de acuerdo con el orden particular.

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FMP Binomial X~B(n,p)Tomando el número de combinaciones de nobjetos tomando x a la vez se obtiene:

Recuerde que la combinatoria está dada por:

La FDA Binomial es entonces:

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FMP Binomial X~B(n,p)

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Momentos de la FMP Binomial

● Media:

● Media cuadrática:

● Varianza:

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FMP Binomial vs FMP Bernoulli

La FMP Binomial se reduce a la FMP Bernoulli cuando n=1:

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Aplicaciones de la FMP Binomial

Control de calidad: un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas producidas en este proceso es constante durante un periodo razonable y si como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un número determinado de unidades, entonces las suposiciones de probabilidad con respecto al número de artículos defectuosos puede hacerse mediante el empleo de la FMP binomial

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Aplicaciones de la FMP Binomial

Publicidad: si la probabilidad de venta es contstante para todas las personas, la FDP binomial es adecuada, puesto que las personas tienen un criterio independiente para comprar.

Construcción: de 5 cilindros de concreto se extraen dos que no cumplen con los requerimientos...

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FMP Binomial con MATLAB

● y = binocdf(x,n,p); = FX(x;n,p)

● y = binopdf(x,n,p); = pX(x;n,p)

● x = binoinv(y,n,p); = FX

(-1)(x;n,p)

● [m,v] = binostat(n,p) ; = media y varianza

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FMP Binomial con MS EXCEL

● y = DIST.BINOM(x;n;p;VERDADERO); = FX(x;n,p)

● y = DIST.BINOM(x;n;p;FALSO); = pX(x;n,p)

● x = BINOM.CRIT(n;p;y); = FX

(-1)(x;n,p)

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Aplicaciones de la FMP Binomial

Tránsito: de 5 vehículos observados, cual es la probabilidad que dos giren a la derecha?

Hidrología: en una sucesión de 30 años, la probabilidad de ocurrencia o no de un caudal mayor que la capacidad de un vertedero es p. Suponiendo que las magnitudes del caudal annual máximo son independientes y que la probabilidad p de una ocurrencia en cualquier año no cambia a través de lo años, determine...

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Ejemplo 1 FMP Binomial

Suponga que todos los días se ensayan 15 cilindros de concreto. La probabilidad que el cilindro no cumpla con las especificaciones es del 5%. La interventoría ha decidido detener la construcción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o mas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día, la construcción se detenga? Tenga en cuenta que la prueba de los cilindros constituyen un conjunto de ensayos independientes.

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Observe que en promedio

estarán defectuosos en la muestra de 15 unidades

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Ejemplo 2 FMP Binomial

En una rifa, se sabe que la probabilidad que una persona compre una boleta es del 5%. Si ofrezco a 15 personas el bono, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas compren el bono?

Este problema se resuelve igual que el problema anterior.

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Ejemplo 3 FMP Binomial

La probabilidad de que una persona cumpla años en Marzo 20 es 1/365. ¿Cuántas personas se requieren en un grupo de modo que la probabilidad que al menos una persona cumpla años en esa fecha sea de al menos del 5%?

Se debe entonces encontrar el mínimo n para el cual

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Respuesta:19 personas

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Ejemplo 4 FMP Binomial

De 20 pernos 5 están malos. Si selecciono 4 al azar, ¿cuál es la probabilidad que estos estén bien?

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Ejemplo 5 FMP Binomial

Un equipo de beisbol tiene 50% de probabilidad de ganar un partido. ¿Qué cantidad razonable de juegos, ganará el equipo en una temporada de 162 juegos?

Este resultado significa que en el 90% de las temporadas, un equipo ganará entre 71 y 91 juegos.

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Ejemplo 6 FMP BinomialUn ingeniero de control de calidad, verifica 200 circuitos diarios. Si 2% de los circuitos tienen defectos, ¿cuál es la probabilidad que el inspector no encuentre defectos en un día dado?

Cual es el número más probable de circuitos defectuosos que el ingeniero encontrará?

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FMP Poisson