ESTADÍSTICA INFERENCIAL-SESIÓN 3CUSCO 2015

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella. Los estadísticos obtenidos de estas muestras nos van a permitir decidir sobre la aproximación adecuada del correspondiente parámetro de la población. Por ello en el proceso de obtener inferencias respecto a una población en estudio basándose en información muestral es necesario conocer la relación que se establece entre estadísticas y parámetros. Esta se realiza a través de la distribución muestral de una estadística.

Definición La distribución muestral de una estadística es la distribución de todos los posibles valores que puede tomar esta estadística, calculados en base a muestras del mismo tamaño, seleccionadas aleatoriamente de una misma población.

El conocimiento de las distribuciones muestrales permite conocer su forma funcional, su media, varianza, entre otras características.En el caso de considerar poblaciones finitas y discretas, se puede construir empíricamente una distribución de probabilidad de la siguiente manera,

1. Se seleccionan aleatoriamente todas las muestras posibles de tamaño n de una población finita de tamaño N.

2. Se calcula la estadística de interés para cada una de las muestras.3. Se organizan los valores observados de la estadística y se obtienen sus respectivas frecuencias.

En aquellos casos en los cuales la población no es finita, se obtiene un gran número de muestras del mismo tamaño de esta población y de esta manera se obtiene una aproximación de la distribución muestral.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL

La distribución de la media muestral es una de las distribuciones más importantes, esta permite realizar inferencias relacionadas a las medias poblacionales, a través de una estimación puntual, estimación por intervalo o prueba de hipótesis.

Ejemplo

Con el fin de construir la distribución de probabilidad de la media muestral considere una población conformada por cinco docentes de bibliotecología. La variable de interés es el número de años de experiencia docente (X). La información es la siguiente:

DOCENTEAÑOS DE

EXPERIENCIA DOCENTE (X)

1 x1 = 22 x2 = 33 x3 = 44 x4 = 55 x5 = 6

Media y varianza poblacional

1

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Tabla . Todas las posibles muestras de tamaño n=2 seleccionadas desde una población de tamaño N=5 y sus respectivas medias muestrales. Las muestras que aparecen sombreadas indican que son muestras obtenidas en base a un muestreo con reemplazamiento. Las restantes son resultado de un muestreo sin reemplazamiento

PRIMERA SELECCIÓN

SEGUNDA SELECCIÓN2 3 4 5 6

MUESTRA

MUESTRA

MUESTRA

MUESTRA

MUESTRA

2 (2,2) 2 (2,3) 2.5 (2,4) 3 (2,5) 3.5 (2,6) 43 (3,2) 2.5 (3,3) 3 (3,4) 3.5 (3,5) 4 (3,6) 4.54 (4,2) 3 (4,3) 3.5 (4,4) 4 (4,5) 4.5 (4,6) 55 (5,2) 3.5 (5,3) 4 (5,4) 4.5 (5,5) 5 (5,6) 5.56 (6,2) 4 (6,3) 4.5 (6,4) 5 (6,5) 5.5 (6,6) 6

Se organizaran el conjunto de todos los posibles valores obtenidos en base a las muestras de tamaño dos, considerando dos situaciones :muestreo con reemplazamiento y muestreo sin reemplazamiento

Si el muestreo es con reemplazamiento el número total de posibles muestras es Nn, para este ejemplo N=5 y n=2 obteniéndose 52 =25 muestras.

Se obtiene la media para cada una de las muestras. En una tabla se organizan los valores de obtenidos a través de las 25 muestras de tamaño 2 y sus

respectivas frecuencias. Tabla 1. Distribución muestral de obtenida

a partir de las muestras de la tabla

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

2.0 1 1/252.5 2 2/253.0 3 3/253.5 4 4/254.0 5 5/254.5 4 4/255.0 3 3/255.5 2 2/256.0 1 1/25

Total 25 1.00

2

Figura Distribución muestral de

MEDIA

6,005,505,004,504,003,503,002,502,00

6

5

4

3

2

1

0

Std. Dev = 1,02

Mean = 4,00

N = 25,00

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Media de :

La media de la distribución muestral de tiene el, mismo valor que la media poblacional.

Varianza de :

Puede notarse que la varianza de la distribución muestral de es igual a la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la muestra, es decir

Los resultados obtenidos en este ejemplo conducen a señalar que, cuando el muestreo se realiza desde una población finita, la media de la distribución muestral de es igual a la media de la población. la varianza de la distribución muestral de es igual a la varianza de la población dividida entre el

tamaño de la muestra.

Si el muestreo es sin reemplazamiento el número total de posibles muestras es

para este ejemplo N=5 y n=2 se obtienen muestras.

Se obtiene la media para cada una de las muestras. En una tabla se organizan los valores de obtenidos a través de las 10 muestras de tamaño 2 y sus

respectivas frecuencias.

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

2.5 1 1/103.0 1 1/103.5 2 2/104.0 2 2/104.5 2 2/105.0 1 1/105.5 1 1/10

Total 10 1.00

3

Tabla 1. Distribución muestral de obtenida a partir de las muestras de la tabla.

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Media y varianza

4

Figura Distribución muestral de