036 analisis limite 3d

Sociedad Mexicana de Ingeniera Estructural, A.C.

ANLISIS LMITE EN 3D PARA LA EVALUACIN Y REFUERZO DE ESTRUCTURAS HISTRICAS DE MAMPOSTERA

Agustn Ordua B. 1 y Paulo B. Loureno 2

RESUMEN En este artculo se presenta una formulacin para el anlisis lmite de estructuras modeladas como conjuntos de bloques rgidos que interactan a travs de juntas y de elementos de refuerzo. Este tipo de anlisis es til en la evaluacin estructural de edificios histricos. El planteamiento propuesto toma en cuenta leyes de flujo no-asociadas y permite limitar los esfuerzos de compresin en las juntas. Se comparan resultados obtenidos por este planteamiento con los de otros mtodos, y se muestra la aplicacin de la presente propuesta en la evaluacin ssmica de una estructura antigua.

ABSTRACT This paper presents a formulation for the limit analysis of structures modeled as rigid blocks interacting through joints and strengthening elements. This type of analysis is useful in the structural assessment of ancient buildings. The formulation takes into account non-associated flow rules and limited compressive stresses at the joints. Results obtained with this formulation are compared with those of other methods and the present proposal is applied to the seismic assessment of an ancient structure.

INTRODUCCIN La conservacin y restauracin del patrimonio construido es un tema de inters creciente en muchas partes del mundo. En este proceso de conservacin, la evaluacin de la capacidad estructural de los edificios histricos es un aspecto fundamental. Estas magnficas construcciones fueron hechas usando reglas empricas. Sin embargo, la aplicacin de los conceptos modernos de la mecnica y el desarrollo de herramientas de cmputo automtico para el anlisis estructural de edificios antiguos de mampostera han sido temas de investigacin muy activa a partir de la dcada pasada. En la actualidad se cuenta con herramientas poderosas de anlisis no-lineal, basadas en el mtodo de los elementos finitos (MEF); pero el ingeniero de la prctica requiere de herramientas ms expeditas para su trabajo cotidiano. En casos especiales como construcciones grandes, complejas o especialmente importantes, el MEF no-lineal es sin duda la mejor opcin para el anlisis estructural. Recientemente se han desarrollado, dentro de este contexto, modelos avanzados para el anlisis de mamposteras, como modelos continuos anistropos (Loureno et al. 1998), o modelos discretos (micro-modelos), (Loureno y Rots, 1997). Sin embargo, el uso de estas tcnicas en la prctica puede representar una serie de inconvenientes:

(a) El usuario requiere poseer un adecuado conocimiento de problemas no-lineales y tcnicas de solucin avanzadas.

(b) Es necesario conocer con precisin las caractersticas mecnicas de los materiales, y en el caso de mamposteras antiguas esto es prcticamente imposible dada su heterogeneidad.

(c) Se requiere mucho tiempo para la elaboracin del modelo de elementos finitos, para realizar todos los anlisis necesarios, y para interpretar y entender los resultados.

1 Estudiante de doctorado, Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil. Azurm, 4800-057,

Guimares, Portugal. Telfono: (+351)253-510200; Fax: (+351)253-510217; [email protected] 2 Profesor asociado, Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil. Azurm, 4800-057,

Guimares, Portugal. Telfono: (+351)253-510200; Fax: (+351)253-510217; [email protected]

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XIII Congreso Nacional de Ingeniera Estructural Puebla, Pue., Mxico 2002

Podra pensarse que una opcin ms prctica sera el uso de anlisis elstico-lineales por el MEF, an cuando el tiempo para la construccin del modelo sea el mismo. Pero este tipo de anlisis es incapaz de proporcionar una idea del comportamiento de la estructura ms all del inicio del agrietamiento. Debido a la baja resistencia en tensin de la mampostera, los anlisis elstico-lineales no pueden representar adecuadamente el comportamiento de las construcciones histricas. El anlisis lmite combina una serie de ventajas que lo hacen la mejor opcin en el caso de construcciones de pequea a mediana magnitud. En primer lugar, es capaz de proporcionar una idea clara de los mecanismos de colapso de las estructuras, y de las distribuciones de esfuerzos en el estado ltimo (al menos en las secciones crticas). En segundo lugar, es adecuado para desarrollar herramientas prcticas de anlisis estructural por computadora. Finalmente, el anlisis lmite requiere de pocos parmetros para caracterizar a los materiales. Esto es especialmente importante en mamposteras histricas, dadas las dificultades que se tienen en obtener informacin experimental confiable de estos materiales. Livesley (1978) fue el primer autor en aplicar el anlisis lmite en arcos de bloques rgidos, mediante el teorema del lmite inferior. Gilbert y Melbourne (1994) aplicaron el teorema del lmite superior al mismo problema, para analizar puentes de arco de mampostera. En estos dos trabajos, los autores aceptaron como hiptesis que la mampostera tiene una resistencia infinita en compresin, y que la falla por corte (gobernada por la ley de Coulomb) es asociada. Begg y Fishwick (1995) eliminaron la restriccin del flujo asociado para la falla por corte, en un planteamiento aplicable a arcos. Baggio y Trovalusci (1998) eliminaron esta misma restriccin en un planteamiento general en tres dimensiones, aunque los ejemplos que presentan se refieren al caso de flujo asociado. Es importante notar que extender el anlisis lmite al caso de flujo no-asociado, conduce a un problema de optimizacin no-lineal de un tamao significativamente mayor que el problema de programacin lineal que resulta de la teora clsica. Adems, este problema de optimizacin no-lineal es de difcil solucin (Baggio y Trovalusci, 1998), pero los avances recientes en programacin matemtica proporcionan rutinas eficientes para su solucin (Ferris y Tin-Loi, 2001). El problema de considerar un lmite en los esfuerzos de compresin fue tratado por Gilbert (1998) en una forma aproximada. Ordua y Loureno (2001) desarrollaron una formulacin en dos dimensiones en la que consideran la existencia de flujo no-asociado en corte, y un lmite en los esfuerzos de compresin, en forma directa. El presente artculo representa la extensin a tres dimensiones del trabajo presentado por Ordua y Loureno (2001). Se presenta el planteamiento completo para el anlisis lmite de estructuras tridimensionales modeladas como conjuntos de bloques rgidos, con flujo no-asociado para los modos de falla que involucran esfuerzos de corte, y con un esfuerzo limitado en compresin. Se agrega a este planteamiento un elemento barra til para modelar refuerzos. Se discute el campo en el que se ha observado que el planteamiento propuesto es vlido. Finalmente, se presenta un ejemplo que ilustra el anlisis y refuerzo de una construccin antigua.

PLANTEAMIENTO La aplicacin de la teora del anlisis lmite a estructuras de mampostera modeladas como bloques rgidos est basada sobre una serie de hiptesis. La primera es: la carga de colapso ocurre con desplazamientos pequeos en comparacin con las dimensiones de la estructura. Esto es razonable para la mayora de los casos, especialmente en estructuras y elementos con poca esbeltez. La segunda hiptesis es: la mampostera no tiene resistencia a tensin a escala estructural. Efectivamente, la mampostera tiene una resistencia en tensin muy pequea con un modo de falla cuasi-frgil, hechos que justifican esta suposicin. La tercera hiptesis se refiere a que la falla por corte es perfectamente plstica; la evidencia experimental confirma esto. La ltima hiptesis es: la falla por formacin de una articulacin ocurre para una fuerza de compresin normal a la junta que es independiente de la rotacin en la articulacin. Esta suposicin es cuestionable si ocurre aplastamiento, pero este tipo de falla es poco frecuente en estructuras histricas de mampostera. En lo sucesivo, se har mencin a dos tipos de sistemas de referencia: el sistema de referencia global, de coordenadas (X, Y, Z); y a los sistemas de referencia locales asociados a cada junta. En la junta k, que sirve de interfaz entre los bloques i y j, se definen los vectores unitarios s1k, s2k y nk, mutuamente ortogonales y formando un sistema dextrgiro, tales que nk es normal a la junta y est orientado hacia el exterior del bloque

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i, como se ilustra en la figura 1. Existe la matriz Tgk, que transforma un vector en coordenadas globales a coordenadas locales en el sistema de la junta k.

Figura 1 Variables estticas en una junta y en los bloques adyacentes Las variables estticas, o esfuerzos generalizados en la junta k, estn definidas por el vector de fuerzas Qkt en el centroide de la junta y el vector de momentos Qkr, ambos en coordenadas locales. En correspondencia, las variables cinemticas son las razones de cambio de los desplazamientos y giros relativos qkt y qkr, respectivamente, para la misma junta. Los grados de libertad son las razones de cambio de los desplazamientos y de los giros, uit y uir , respectivamente, para el bloque i. Estos vectores estn referidos al sistema global y estn ubicados en el centroide del bloque. Correspondientemente, las cargas estn descritas por las fuerzas y los momentos en el centroide de cada bloque. Las cargas se separan en una parte constante (con subndice c) y otra variable (con subndice v): Fict y Fivt para las fuerzas en el bloque i, y Ficr y Fivr para los momentos en el mismo bloque. Con estas variables se forman los vectores de esfuerzos generalizados Q, deformaciones generalizadas q, razones de cambio de los desplazamientos u, cargas constantes Fc, y cargas variables Fv. Finalmente, se define al factor de carga , el cual indica la porcin del vector de cargas variables que se aplica a la estructura. El problema consiste en encontrar el valor mnimo del factor de carga que produce falla en la estructura. Con la notacin as establecida, el vector de cargas totales F queda definido por la ec. (1). vc FFF += (1) COMPATIBILIDAD La compatibilidad entre las deformaciones generalizadas de la interfaz k, y las razones de cambio de los desplazamientos de los bloques adyacentes i y j est dada por la ec. (2). Donde ck es el vector de posicin del centroide de la junta k, ci y cj son los vectores de posicin de los centroides de los bloques i y j, respectivamente; el smbolo indica producto vectorial. Esta ecuacin puede expresarse como la ec. (3). Finalmente, la compatibilidad para toda la estructura est dada por la ec. (4), en donde la matriz de compatibilidad C se obtiene a partir de las matrices de cada una de las juntas.

(2) ( )

( )

+=

ri

rj

gk

ikrijk

rj

ti

tj

gk

rk

tk

uuTccuccuuuT

qq

)()(

(3) i

ikj

jkk uCuCq =

uCq = (4)

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EQUILIBRIO Al aplicar el principio de contragradiencia, el equilibrio de la estructura queda expresado por la ec. (5). (5) QCFF Tvc =+ FUNCIN DE FALLA La funcin de falla en cada interfaz se compone de los criterios de formacin de una articulacin, deslizamiento por corte directo y giro en direccin normal a la junta. Para la formacin de una articulacin, se supone que la fuerza normal es equilibrada por una distribucin uniforme de esfuerzos cerca del borde de la junta. En este artculo se considera la funcin de falla para juntas con forma de cuadriltero. Para este caso, la funcin que proporciona la fuerza normal mxima que puede transmitir la junta, en trminos de la posicin de su resultante, queda definida, en el caso ms general, por 12 expresiones distintas. Estas expresiones son paramtricas, cada una de ellas depende de dos parmetros que definen la forma del rea en compresin, y tanto la fuerza normal, como las coordenadas de la resultante se expresan en trminos de estos parmetros. Para evitar stos y otros inconvenientes, se decidi buscar una aproximacin mediante cuatro expresiones, una para cada lado de la interfaz. La figura 2 muestra una interfaz y la nomenclatura que se usa a continuacin. En esta seccin se omite el superndice que indica la junta por brevedad. Las componentes de los vectores de esfuerzos generalizados se indican con subndices, y los superndices indican si se trata de fuerzas (t) o de momentos (r). Para el lado 1, la ec. (6) garantiza que la fuerza normal est localizada del lado izquierdo del borde (interior de la junta). Vale la pena mencionar que la fuerza normal es negativa en compresin. Desigualdades anlogas para los otros tres bordes garantizan que la fuerza normal est ubicada en el interior de la junta. Para tomar en cuenta el efecto de limitar los esfuerzos de compresin al esfuerzo efectivo fcef, se observa que el tercer trmino representa a la resistencia a los momentos proporcionada por la fuerza normal. Entonces, se multiplica este trmino por un factor que toma el valor cero cuando la fuerza normal es igual al esfuerzo efectivo multiplicado por el rea de la junta A (resultante en el centroide); y toma el valor uno cuando la fuerza normal es cero (resultante sobre el lado 1), ec.(7). Desigualdades anlogas para los otros tres lados definen a las funciones de falla 2, 3 y 4.

figura 2 Nomenclatura para una interfaz (6) 0)()()( 12

21

22

11

12

222

11

2111 ++ xxxxQxxQxxQ

tn

rr

01)()()( 1221

22

11

12

222

11

2111

+++

cef

tnt

nrr

AfQxxxxQxxQxxQ (7)

La falla por corte est regida por la ley de Coulomb sin cohesin. La figura 3 muestra un corte de la superficie de falla paralelo al plano de las fuerzas cortantes Qt1, Qt2. Si bien la ley de Coulomb queda expresada por una funcin cuadrtica (lnea a trazos), en la prctica se ha encontrado que es ms conveniente usar ocho funciones lineales para aproximar dicha ley (lnea continua). La ec. (8) es la expresin para este modo de falla. Aqu es el coeficiente de friccin, igual a la tangente del ngulo de friccin.

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Figura 3 Superficie de falla por fuerza cortante

02/)(

02/)(

02/)(

02/)(

0

0

0

0

2112

2111

2110

219

28

27

16

15

+

+

++

++

+

+

+

+

tn

tt

tn

tt

tn

tt

tn

tt

tn

t

tn

t

tn

t

tn

t

QQQ

QQQ

QQQ

QQQ

QQQQ

QQQQ

(8)

La funcin de falla por torsin est dada por la ec. (9). Se supone que acta un esfuerzo normal uniforme en toda la superficie de la junta, que proporciona una resistencia al corte tambin uniforme. Se usa la teora de la torsin plstica (Nadai, 1950) para evaluar la constante ct, que depende de la geometra de la junta.

(9) 0

0

14

13

+

+tnt

rn

tnt

rn

QcQQcQ

Con estas catorce funciones se forma el vector de funciones de falla de la junta k, y con los vectores de todas las juntas se forma el vector de funciones de falla de la estructura . LEY DE FLUJO Para la falla por formacin de una articulacin se considera que el flujo es asociado. Mientras que para las fallas por corte y torsin el flujo es no-asociado, y ocurre desplazamiento nicamente paralelo a la junta (en el caso de flujo asociado se tendra una componente normal), de acuerdo con la evidencia experimental. La ley de flujo para la junta k se expresa por la ec. (10). En esta ecuacin, k es el vector de multiplicadores plsticos, cada multiplicador se corresponde con cada una de las funciones de falla. La matriz N0k se presenta en la ec. (11). Los puntos suspensivos representan trminos similares a los mostrados en la primera columna, que corresponden con las funciones de falla por articulacin en los otros tres bordes de la interfaz. La omisin de estos trminos obedece a razones de espacio. Los multiplicadores plsticos satisfacen las ecs. (12) y (13). La ec. (12) indica que el flujo implica disipacin de energa, mientras que la ec. (13) expresa que el flujo no puede ocurrir a menos que los esfuerzos hayan alcanzado la superficie de falla correspondiente. La ec. (14) expresa la ley de flujo para la estructura completa. Aqu, la matriz de flujo N0 se obtiene a partir de las matrices de cada una de las interfaces.

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(10) kkk Nq 0=

+

=

110000000000000000000000.........0000000000.........

0000000000.........2002/12/12/12/111000000002/12/12/12/100110000

12

22

11

21

12

21

22

11

0

xxxx

AfQxxxx

cef

tn

kN (11)

(12) 0 k (13) 0=k

Tk

Nq 0 = (14) EL PROBLEMA DE PROGRAMACIN NO-LINEAL La solucin a un problema de anlisis lmite debe cumplir con los principios discutidos en las secciones anteriores. En presencia de flujo no-asociado, en general, existe varias soluciones que satisfacen estos principios, entonces, con el fin de verificar la seguridad estructural, debe buscarse el mecanismo con el factor de carga mnimo (Baggio y Trovalusci, 1998). El planteamiento matemtico propuesto conduce al problema de programacin no lineal expresado por las ecs. (15-21). La ec. (15) es la funcin objetivo. La ec. (16) garantiza el cumplimiento de la compatibilidad y de la ley de flujo. Para garantizar la existencia de un mecanismo de colapso, y debido a que en el estado lmite, la grandeza de los desplazamientos es indefinida (nicamente es posible obtener sus valores relativos), se introduce la ec. (17) que tambin proporciona un factor de escala a las razones de cambio de los desplazamientos (esta ecuacin puede ser sustituida por cualquier otra con las mismas propiedades). El equilibrio est garantizado por la ec. (18). La ec. (19) es la expresin de las condiciones de falla. Los multiplicadores plsticos deben satisfacer la ec. (20), y junto con las funciones de falla tambin deben cumplir con la ec. (21). Minimizar: (15) Sujeto a: 0uCN = 0 (16) (17) 01=uFTv (18) 0QCFF T =+ vc 0 (19) 0 (20) (21) 0=T Este conjunto de expresiones representa lo que en la literatura de programacin matemtica se conoce como un Problema Matemtico con Restricciones de Equilibrio (Ferris y Tin-Loi, 2001). Este tipo de problemas es difcil de resolver debido a la restriccin de complementariedad, ec. (21). La estrategia de solucin adoptada aqu es la propuesta por Ferris y Tin-Loi (2001). Consiste en dos fases, en la primera, se resuelve el Problema de Complementariedad Mixto, definido por las ecs. (16-21). Esto proporciona una solucin factible inicial. En la segunda fase, se reintroduce la funcin objetivo, ec. (15), y se sustituye la ec. (21) por la ec. (22). Esta ecuacin relaja el requisito de complementariedad, vuelve al problema ms fcil de resolver, y permite buscar soluciones con factores de carga menores. El problema as definido se resuelve para valores sucesivamente menores del parmetro para forzar a cumplir nuevamente con el requisito de complementariedad. (22) T

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Intentar resolver un problema matemtico con restricciones de equilibrio como un problema de optimizacin no-lineal comn, no garantiza que la solucin sea un mnimo (Ferris y Tin-Loi, 2001). Sin embargo, este procedimiento parece ser eficiente desde el punto de vista computacional, y proporciona soluciones de mejor calidad que otras estrategias intentadas previamente (Ordua y Loureno, 2001).

ELEMENTO BARRA PARA REFUERZO Cuando es necesario reforzar construcciones antiguas de mampostera, es comn usar barras de acero o tiras de polmeros reforzadas con fibras de carbono o de otros materiales (FRP por sus siglas en ingls). Estos elementos proporcionan resistencia a tensin a la estructura pero, debido a su gran esbeltez, su aporte en compresin normalmente es muy pequeo. El elemento barra propuesto a continuacin refleja este comportamiento; posee una resistencia limitada en tensin y ninguna en compresin. Debe tenerse especial cuidado cuando se usen FRPs, ya que estos materiales normalmente no poseen ductilidad alguna, por lo que no puede permitirse que fluyan en el mecanismo de colapso crtico. El esfuerzo generalizado para el elemento barra k es la fuerza axial Qnk, positiva en tensin. La deformacin generalizada correspondiente es la razn de cambio de los desplazamientos axiales qnk. El elemento barra une al bloque i con el bloque j. El extremo inicial de la barra, en el bloque i, tiene el vector de posicin cki, y el extremo final, en el bloque j, tiene el vector de posicin ckj. El vector unitario en la direccin de la barra se denomina nk. La compatibilidad de deformaciones est dada por la ec. (23). sta puede expresarse como la ec. (3) (23) ( ) kikirijkjrjtitjnkl nccuccuuu += )()( La funcin de falla est compuesta por los modos de falla en tensin y en compresin. La ec. (24) expresa esta funcin, donde fy es la resistencia en tensin de la barra.

0

0

2

1

nkk

ynkk

QfQ

(24)

A cada una de estas funciones de falla se le asocia un multiplicador plstico: 1k y 2k, respectivamente. As, la ley de flujo est dada por la ec. (25), que es la expresin en componentes de la ec. (10).

(25) [ ] [ ]

=

k

knkl

2

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Despus de agregar las nuevas variables a los correspondientes vectores, y las componentes necesarias a las matrices, el resto de la formulacin no presenta cambio alguno.

PROGRAMA DE COMPUTADORA Uno de los objetivos de este proyecto es desarrollar un programa de computadora adecuado para ser usado en la ingeniera prctica para la evaluacin ssmica de edificios antiguos. Por esta razn la implantacin se ha hecho recurriendo a AutoCAD, en donde se elabora el modelo tridimensional de la estructura de bloques. El programa, desarrollado en Visual Basic para Aplicaciones dentro de AutoCAD (ActiveX and VBA 1999), extrae la informacin geomtrica del modelo y la preprocesa. Posteriormente, se agrega informacin complementaria como pesos volumtricos, coeficientes de friccin y esfuerzos efectivos en compresin. La solucin al problema matemtico se realiza recurriendo al ambiente de modelacin GAMS (Brooke et al. 1998), el cual permite al usuario desarrollar problemas grandes y complejos, y resolverlos con rutinas recientes y eficientes. La intencin es que la parte de solucin sea invisible para el usuario en la versin final

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del programa. Finalmente, AutoCAD vuelve a usarse como post-procesador para dibujar los mecanismos de colapso y las lneas de empuje.

VALIDACIN Se han comparado los resultados obtenidos mediante el planteamiento propuesto con los obtenidos por otros mtodos de anlisis reconocidos. Por ejemplo, en la figura 4 se presenta una arco semicircular de 7.5 m de dimetro interior, 0.5m de espesura, y 1.0 m de ancho. El arco est sometido a su peso propio y a fuerzas horizontales proporcionales al peso. Este arco fue analizado por Lemos (1997) mediante el mtodo de los elementos discretos. En la figura 4.a la carga horizontal est en el plano del arco. En este caso Lemos (1997) obtiene un factor de carga de 0.06, mientras que mediante esta propuesta se obtiene 0.07. Para el caso de carga fuera del plano, figura 4.b, Lemos (1997) reporta un factor de carga de 0.20, y el mismo valor se obtiene por el anlisis lmite. Los mecanismos de colapso obtenidos por ambos mtodos son muy similares, por lo que puede afirmarse que hay concordancia entre ellos. A pesar de que en este caso y en otros, los resultados de la propuesta presentada coinciden con los de otros mtodos, se ha observado que cuando el mecanismo de colapso incluye falla por torsin en una o varias juntas, la similitud entre resultados ya no es tan cercana. Esto se debe seguramente a que la falla por torsin es mucho ms compleja que el modelo aqu propuesto. Puede observarse que en el modelo no se toma en cuenta ninguna interaccin entre el momento torsor y la fuerza cortante que actan en la junta. Tampoco se toma en cuenta que cuando existe contacto parcial, la superficie efectiva en torsin es nicamente el rea de contacto y no toda la junta. Por otro lado, debe mencionarse que las rutinas de programacin no-lineal requieren que las restricciones sean funciones simples para trabajar con rapidez y asegurar que exista convergencia. Por ello, para tomar en cuenta las interacciones mencionadas, es necesario encontrar aproximaciones que produzcan buenos resultados sin la necesidad de funciones muy complejas; este tema ser tratado con detalle en una publicacin posterior. Adems, pueden resolverse una gran cantidad de problemas prcticos en los que la torsin no tiene un papel importante, como en el ejemplo de la siguiente seccin.

(a) (b)

Figura 4 Mecanismos de colapso para un arco semicircular

EJEMPLO DE APLICACIN A continuacin se presenta el anlisis ssmico de una casa antigua, antes y despus de ser reforzada. Este ejemplo es una adaptacin del presentado por Giuffr et al. (1991). El edificio en estudio es una casa de dos niveles, ubicado en una zona ssmica. La planta mide 8.30 m por 5.35 m. En la figura 5 se presenta un modelo tridimensional de los muros principales del edificio. Los muros AB y DC tienen 0.60 m de espesura en el primer nivel y 0.40 m en el segundo. El muro AD es de 0.74 m de espesor y el BC de 0.52 m. El muro AD es

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comn con otra casa, por lo que los muros AB y DC tienen continuidad de este lado. Por esta razn nicamente se consider la accin del sismo en la direccin positiva del eje X. En la direccin Y se consideraron los dos sentidos para la accin ssmica, aunque por ser la estructura casi simtrica, slo se incluyen los resultados para la accin en el sentido positivo del eje. El coeficiente ssmico para estados ltimos se estima en 0.20, y la distribucin de aceleraciones se supone constante con la altura. Se consideran, adicionalmente al peso propio de los muros, las cargas permanentes y cargas vivas accidentales del techo y del entrepiso, tanto para las acciones verticales como para las acciones ssmicas. Este es un ejemplo del uso de lo que pueden llamarse macro-bloques. En este enfoque no se modela cada una de las piezas de la mampostera, como en el ejemplo de la figura 4, sino que se supone una serie de posibles grietas que dividen a la estructura en bloques, y se permite que las rutinas de programacin matemtica se encarguen de determinar cules de ellas forman el mecanismo de colapso crtico. Se hace esto porque no se conoce la configuracin de las piezas en la estructura, y porque, an cuando se conociera dicha configuracin, el modelo matemtico resultara tan grande que sera prcticamente imposible de resolver. La ventaja del uso de los macro-bloques es tener modelos manejables en el sentido de poder obtener la solucin al problema matemtico en algunos minutos de clculo de computadora. La desventaja de este enfoque es la gran dependencia que existe entre la configuracin de los bloques y la solucin (Ordua y Loureno, 2001). Esta dependencia obliga a adoptar reglas razonables para la elaboracin del modelo. Aunque estas reglas en general dependen del tipo y calidad de la mampostera, en el presente ejemplo se adoptaron las siguientes:

Para las grietas por cortante, se considera una zona de compresin en la base del muro de longitud igual a la espesura del mismo.

Las grietas por cortante se forman a ngulos mayores o iguales que 45, dependiendo de la existencia o no de puertas o ventanas (Giuffr et al. 1991).

Si se considera la posibilidad de una grieta en el dintel de una puerta o ventana, sta se coloca verticalmente a la mitad del vano (Giuffr et al. 1991).

(a) (b)

Figura 5 Edificio en estudio Este problema convierte al anlisis en un proceso iterativo. Se elabora inicialmente un modelo, se analiza y se evala si los resultados son satisfactorios. Si no es as, se modifica el modelo y se analiza nuevamente. Para elaborar el modelo y evaluar los resultados es necesario tener algunas nociones del comportamiento de este tipo de estructuras. Tambin es til elaborar modelos en dos dimensiones de algunos de los muros del edificio. En estos modelos es posible intentar reproducir la estructura interna de la mampostera usando bloques con tamaos y arreglos similares a los reales.

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Es ilustrativo mencionar que el tiempo necesario para extraer la informacin geomtrica, resolver el problema matemtico y dibujar el mecanismo de colapso, es en promedio de 25 minutos para los modelos aqu presentados. Esto es indicativo de que es perfectamente posible usar en la prctica este programa para evaluar y, en su caso, disear el refuerzo de edificios antiguos. ANLISIS DE LA ESTRUCTURA ORIGINAL En la figura 6 se presentan los mecanismos de falla y factores de carga correspondientes para la estructura en su estado original. Se observa que el modo de falla en ambos casos es el volteo de muros hacia afuera de su plano, y que los factores de carga son mucho menores que el coeficiente ssmico considerado. Esto era de esperarse debido a que no se consider que los sistemas de piso y techo tuvieran capacidad de redistribuir las cargas horizontales.

(a) (b)

Figura 6 Mecanismos de falla para la estructura no reforzada (a) sismo en direccin +X, factor de carga: 0.050; (b) sismo en direccin +Y, Factor de carga: 0.068.

ANLISIS DE LA ESTRUCTURA REFORZADA Con el fin de mejorar la capacidad ssmica de la construccin, se propusieron algunas medidas de refuerzo (Giuffr et al. 1991). Los sistemas de piso y techo se reforzaron para que tuvieran capacidad de distribuir las cargas laterales hacia los muros en la direccin supuesta del sismo. En la parte superior de los muros se consider la construccin de una cadena de concreto con una barra de acero embebida. A la altura del entrepiso se consider la colocacin de tirantes, dos en la direccin X, y tres en la direccin Y. La figura 7 muestra los mecanismos de falla y los factores de carga respectivos para los anlisis hechos con la estructura reforzada. Es posible observar que para el sismo en la direccin +X, la falla sigue siendo por volteo de la parte superior de la fachada. Sin embargo, la cadena colocada en la parte superior de los muros obliga a que la fachada arrastre consigo todo el techo. Esto incrementa considerablemente el factor de carga a un valor muy superior al coeficiente ssmico considerado. Para el sismo en la direccin +Y, el refuerzo permite que el modo de falla cambie para cortante en los muros AD y BC, con el consecuente incremento en el factor de carga a un valor tambin superior al coeficiente ssmico. En este caso particular se us el refuerzo que haba sido previamente calculado (Giuffr et al. 1991). Sin embargo, el clculo puede hacerse, tambin en forma iterativa. Se proponen refuerzos que eliminen el mecanismo de falla crtico y se analiza la estructura para verificar si el nuevo factor de carga es mayor que el

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coeficiente ssmico de diseo. En caso contrario se aade nuevo refuerzo que impida el nuevo mecanismo de falla crtico. Este procedimiento se repite hasta obtener el comportamiento deseado.

(a) (b)

Figura 7 Mecanismos de falla para la estructura reforzada; (a) sismo en direccin +X, factor de carga: 0.38; (b) sismo en direccin +Y, factor de carga: 0.28.

CONCLUSIONES El planteamiento de anlisis lmite presentado en este artculo tiene el potencial de convertirse en una herramienta prctica y poderosa para la evaluacin ssmica de construcciones antiguas de pequea a mediana magnitud. Por un lado, evita la necesidad de usar el MEF no-lineal, que si bien es un mtodo refinado, consume demasiado tiempo para su uso en la prctica. Por el otro lado, evita hacer hiptesis demasiado simplistas que pueden conducir a errores grandes. Este planteamiento ofrece un tratamiento ms general de las funciones de falla y flujo que los presentados anteriormente, por ejemplo por Baggio y Trovalusci (1998) y por Gilbert (1998). El elemento barra presentado agrega la capacidad para dimensionar refuerzos de estructuras. Es necesario investigar otras formas de las funciones de falla que permitan tomar en cuenta, en forma simple pero efectiva, el efecto en la resistencia a torsin de las fuerzas cortantes y del contacto parcial en las juntas. La dependencia que existe entre la configuracin de los bloques y el resultado del anlisis, obliga a la necesidad hacer investigaciones para determinar, con la mayor exactitud posible, las reglas que deben seguirse para la elaboracin de los modelos de macro-bloques.

AGRADECIMIENTOS El primer autor desea agradecer al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa la beca otorgada para realizar sus estudios de doctorado. Este trabajo tambin ha sido parcialmente financiado mediante el proyecto SAPIENS 33935-99 por la Fundao para a Cincia e Tecnologia de Portugal.

REFERENCIAS ActiveX and VBA developers guide (1999), Autodesk.

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PLANTEAMIENTOFigura 1 Variables estticas en una junta y en l(1)

COMPATIBILIDAD(2)(3)(4)

EQUILIBRIO(5)

FUNCIN DE FALLAfigura 2 Nomenclatura para una interfaz(6)(7)

Figura 3 Superficie de falla por fuerza cortante(8)(9)

LEY DE FLUJO(10)(11)(12)(13)(14)

EL PROBLEMA DE PROGRAMACIN NO-LINEALMinimizar: ((15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)

ELEMENTO BARRA PARA REFUERZO(23)(24)(25)

PROGRAMA DE COMPUTADORAVALIDACIN(a)(b)Figura 4 Mecanismos de colapso para un arco semicircular

EJEMPLO DE APLICACIN(a)(b)Figura 5 Edificio en estudio

ANLISIS DE LA ESTRUCTURA ORIGINAL(a)(b)Figura 6 Mecanismos de falla para la estructura n

ANLISIS DE LA ESTRUCTURA REFORZADA(a)(b)Figura 7 Mecanismos de falla para la estructura r

CONCLUSIONESAGRADECIMIENTOSREFERENCIAS

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