03. algebra.pdf
TRANSCRIPT
-
35
ECUACIONES EXPONENCIALES
LEYES DE EXPONENTES:
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los
exponentes a travs de las operaciones de potenciacin y
radicacin.
POTENCIACIN:
Es una operacin matemtica que consiste en hallar una expresin
llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y
exponente.
Notacin: a : base
an = P n: exponente
P: potencia
Definiciones:
Exponente natural
an =
n veces
a si n
a a a si n
1
. ... 2
Exponente cero
Si a 0 se define:
a0 = 1
Nota:
* 00 no est definido
Exponente negativo
Si a 0 n N se define:
a-n =
n
n aa
1 1
Nota:
* 0 n
no existe
Teoremas:
Sean a y b nmeros reales y m, n enteros positivos, entonces
se cumple:
1. Multiplicacin de bases iguales.
an . a
m = a
m+n
2. Divisin de bases iguales.
mm n
n
bb
b
3. Potencia de potencia.
n m
m m n nb b b.
Nota:
* m.nmn bb
4. Potencia de una multiplicacin.
n n nab a b
5. Potencia de una divisin.
n n
n
a a
b b
; b 0
Nota:
* Si b es un nmero real y m, n, p son enteros, entonces:
zbbb yxm
pnm
Se efecta las potencias de arriba hacia abajo
RADICACIN EN :
Es una operacin matemtica que consiste en hacer corresponder
dos nmeros llamados ndice y radicando con un tercer nmero
llamado raz, el cual es nico, segn:
nb = r rn = b
n: ndice (n 2 ; n N)
-
36
b: radicando
r: raz n-sima principal de b
Teoremas:
Si n
a y n
b existen, entonces se cumple:
1. Raz de una multiplicacin:
na
nb = n ba
2. Raz de una divisin:
n
nn
a a
bb si b 0
3. Raz de una radicacin:
n m nmb b. .
Exponente fraccionario:
Si nm
a existe en se define:
mn
n ma a
1. Reducir
2
1
5
4
3
2
32
1
27
1
A
A) 5 B) 8 C) 4
D) 3 E) 9
2. Simplifica:
3n 22
n 7
11E
1331
a)9 b)10 c)11 d)12 e)1
31. Simplificar :
n2
4n + 20n
16n + 80n
A) 2 B)2 C)4 D) 8 E) n 2
3. Calcular el valor numrico de :
2-x
x .
x
x
para x = 100 A)0,1 B)100 C)10 D)0,01 E)1
4. Calcular x en :
(4x+1
)(8x-1
) = 16x+3
A)10 B)13 C)11 D)12 E)14
5. Hallar n a partir de :
44 4 4
= 4 4
n
42
A)1 B)2 C)3 D)4 E) 3 6. Determine el valor de x en :
36 = xx3
A)3 2 B) 3 3 C) 3 6 D) 3 9 E)2
7. Hallar x en :
9 99
= )xx(9
A)9 B)93
C)99
D)98
E)9 9
8. Si : x + y = 3
x
2x(x+y) = 216
el valor de y - x es : A)15 B)18 C)21 D)24 E)25
9. Resolver : 2
x+1 + 4
x = 80
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
10. Si : 5
27 = )xx 5(
hallar : x2
A)1,2 B)1,6 C)1,8 D)2,4 E)2,5
11. Si: 3xx . Hallar: 1xxx
A)6 B)9 C)270 D)3 E)27
12. Simplificar: 243.24
123.9523
n
n
nn
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
13. Si se cumple: xyyx
Calcular: xxy
xyxy
yxyx
2 .
A)x B)xy C)x/y D)y/x E)y
14. Si : 1 + a = aa
-
37
calcular : a
a 1- + 1 aa a
a a
A)a B)a2
C)1 D)a-1 E)a
a-1
15. Si: 16
2
22nn
. Calcular: 1 11 n nn
A)1 B)4 C)2 D) 2 E) 4 2 16. Indicar el exponente final de x en :
radicales
xxxxx
20
5 5 5 5 5.......
A)185.20
1205 B)205
1205 C)195.4
1205 D)195.20
1205 E)
205
17. Calcule el exponente final de x en :
3 4 5 1.....4.3.2.
n nxxxxx
A)!
11
n B)1-(n+1)! C)
!
1)!1(
nn
D)(n+1)!-1 E) )!1(
11
n
18. Si la expresin:
21 2
7 33.3 2
ax
axaxes equivalente a x
2.
Hallar el valor de a. A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
19. Si: 5 45 xx . Hallar x2 A)0,2 B)0,3 C)0,4 D)0,6 E)0,8
20. Si: 08,02,0xx .
Hallar: 225225 xx
A)4 B)27 C)55 D)256 E)1/ 2
21. Resolver:
658
1818
xx
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 22. Resolver:
122x27 9x.93x3 , e indicar el valor de: x+1
A)0 B)-1 C)-2 D)-3 E)-4 23. Luego de Resolver:
16168 84 42 xxx
, el valor de 11x es:
A)2 B)1 C)11 D)1/2 E)5/3
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS ESPECIALES
TRMINO ALGEBRAICO
Es una expresin algebraica donde no estn presentes las
operaciones de adicin y sustraccin.
Ejemplo:
M(x,y) = 4 x5 y
3
TRMINOS SEMEJANTES
Dos o ms trminos sern semejantes si a los exponentes de las
respectivas variables son iguales.
Ejemplos:
P(x;y) = 4x2y
7 y Q(x;y) = 2x
2y
7
P(x;y) = 5x2y
3 y S(x;y) = 2xy
7
M(x;y) = 2
3
y
x4 y N(x) =
2
3
y
x2
POLINOMIO
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las
variables estn afectadas solo de exponentes enteros positivos.
Ejemplos:
P(x;y) = 5x3y
7 (monomio)
R(x;z) = 2x2z + 5z
5 (binomio)
F(x) = 3 5x + 3 x2 (trinomio)
GRADO DE UN MONOMIO
A. Grado Relativo:
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el
exponente que afecta a dicha variable.
Ejemplo:
Sea P(x;y;z) = 5 x5y3z
GR(x) =
GR(y) =
GR(z) =
B. Grado Absoluto:
Es la suma de los grados relativos.
Ejemplo:
Sea R(x;y;z) = 2x4y
5z
3
Exponentes
Variables Coeficiente
-
38
GA =
GRADO DE UN POLINOMIO
A. Grado Relativo:
Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el
valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada
trmino.
Ejemplo:
Sea P(x,y) = 3x3y
5 7x
2y
9 + 5x
7
GR(x) =
GR(y) =
B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
Es el mayor de los grados absolutos de cada trmino.
Ejemplo:
Si F(x;y) = 2x2y
3 7x
6y + 4x
4
Polinomios Especiales
POLINOMIO MNICO:
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le
denomina mnico.
Ejemplos:
A(x) = 1 + x2 + 3x
B(x) = 7 2x2+x
3
C(x) = x
POLINOMIO ORDENADO:
Con respecto a una variable es aquel que presenta a los
exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o
descendente.
Ejemplos:
P(x) = 4x4 + 12x
2 3x + 7
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.
P(x,y,z) = 21xz4 34x
5y
2z + 41x
7y
4
Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y,
adems es ordenado descendentemente respecto a z.
POLINOMIO COMPLETO:
Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el
mayor hasta el de grado cero.
Ejemplos:
A(x) = 4x3 + 12x 7x
2 + 16
B(x,y) = x3 + 3x
2y + 3xy
2 + y
3
Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y adems es
completo, entonces el nmero de trminos ser igual a su grado
aumentado en una unidad.
POLINOMIO HOMOGNEO:
Es aquel en el cual todos sus trminos tienen el mismo grado
absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
Ejemplo:
P(x,y) = 3x3y
12 + 23x
8y
7 15x
15 13y
15
R(x) = 7xy3 + 8x
2y
2
POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO:
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.
Ejemplo:
P(x) = (n m) x2 + (p q) x, si es idnticamente nulo:
n m = 0 m = n
p q = 0 p = q
POLINOMIOS IDNTICOS:
Dos polinomios son idnticos si sus trminos semejantes tienen
coeficientes iguales.
Ejemplo:
p(x) = ax2 + bx + c
q(x) = dx2 + ex + f
p(x) = q(x)
Si se cumple a = d; b = e; c = f
01. Si: 2423.....21322223)( xxxxxF Hallar: F(1) A)100 B)200 C)300 D)600 E)1200
02. Sea: bac1ab5a
zyx)z,y,x(M
GR(x)=2 ; GR(y)=8, adems GA=22 Hallar el valor de: a + b + c
A)16 B )15 C)13 D)12 E)10
03. Si: 1mnyxyx5)y,x(P5m2nm1m2nm
4 4
15 15 15 15
-
39
adems: GR(x) = 7 ; GR(y) = 19. Hallar el trmino independiente de dicho polinomio A)-5 B)-1 C)0 D)1 E)8
04. Si:
37)()(
53)()(
xxGxF
xxGxF
Hallar: ))2((FG
A)-15 B)-16 C)-17 D)-18 E)-19
05. Hallar: mnmn del monomio.
mynx
nymxyxP
21
21),( , Si: GR(y) = 4 ; GA(P)=10
A)3 B)4 C)5 D)256 E)3125
06. Si:
210))((25)2( xxFPxxP
Hallar: F(3) A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
07. Dado el polinomio:
P(x; y) = xay2b+c + xa+by2c + xa+2c ya-2b cuyo grado de homogeneidad es 6, calcular: a + b + c A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
08. Si el polinomio:
abcddxcxbxax)x(P2d3c4b5a
Es completo y ordenado. Calcular: P(1) P(0) A)25 B)24 C)22 D)21 E)19
09. Si el polinomio:
F(x) = (2m + n 215) x9 (2n + p 215)x5 + (2p + m +216) Es idnticamente nulo, hallar el valor de: m+n+p A) 1 B) 0,5 C) 0 D)1,5 E) 3
10. Hallar m IN, sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36.
IN)(m;x7x0,2P 31m235m(x)
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8
11. Si se cumple la siguiente identidad:
a x 3 b x 4 7 2x 3
Calcular: 3
a b a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5
12. Hallar a b , si el polinomio es homogneo:
a 5 3 a 1
a a bP x,y a x by c x
a) 8 b) 9 c)10 d)12 e) 11 13. Si el polinomio que se muestra:
4 4 3 2 3P x x n 15 x 3x 5nx n 1 es un polinomio mnico. Hallar el trmino que no depende de la variable en dicho polinomio. a) 5 b) 1 c) 9 d) 7 e) 2
14. En el polinomio:
2n 2
P a 1 3a 2 (5a 7) (4a 7)
Se observa que: 3 coef 686 Trm. Ind. Calcular el valor de n.
a)1 b) 3
2 c) 2 d)
2
3 e) 3
15. Si al reducir:
nn n
x xP x x 1 x 1
x; x 0
resulta un polinomio completo, qu se puede afirmar de:
nnn n 6n n
J x 2x 3x 4x y a) Que es homogneo b) Que es completo c) Que es ordenado d) Que es un monomio e) Que es un trinomio 16. Si el polinomio:
1 2 3a 1 a 2 a 3
1 2 3 nP x a x a x a x a Es completo y ordenado Donde n es entero positivo : Hallar:
1 2 3 nS a a a a
a) n 1 b) 2n c) n 1
d) 2
n n 1 e) n
17. Sabiendo que el polinomio:
2 4 2 2 3
2 6
P x;y a bc 3a 2 x 3 ab c 3b 2 x y
2 abc 3c 2 y
es idnticamente nulo, hallar:
9 9 9
E a b c a) 12 b) 18 c) 21 d) 27 e) 30
18. Hallar el valor de n para que el grado de:
322),(
ynxyxP , sea 36
A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
19. Sea el polinomio:c31cb6a54b3a
ycxybxyax)y,x(P
adems a y c son nmeros pares y b es un nmero impar. calcular el valor de: a.b.c A)10 B)20 C)30 D)40 E)50
20. Si:
31125),(
6247),(
5463),(
tqtqP
babaN
yxyxM
Calcular: )()(
)()(
tGRbGR
PGAxGR
A)2 B)3 C)4 D)16/9 E)18/11
-
40
21. Sea el binomio:
2325b35232aybxyx3yxayax)y,x(Q
Calcular: 1b.a A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
22. Sea: 33527)( aaxaaxaaxxM un polinomio
de grado 4, seale el coeficiente del trmino cuadrtico. A)10 B)12 C)13 D)14 E)15
23. Calcular el trmino independiente del siguiente polinomio:
8)3)(2)(1)...(1)(2)(3()( xxxxxxxP A)10 B)12 C)8 D)6 E)44
24. Si los polinomios:
2 2 3 2 2 2
2 2
P x a b x b c x
c a x 2abc
3 2
H x abx bcx cax 1
son idnticos, halle:
2 2 23 3 3 3 3 3ab b c bc c a ca a b
a b c
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se
obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operacin
de multiplicacin.
PRINCIPALES IDENTIDADES:
Trinomio cuadrado perfecto:
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2
(a b)2 = a
2 2ab + b
2
Identidades de Legendre:
(a + b)2 + (a b)
2 = 2(a
2 + b
2)
(a + b)2 (a b)
2 = 4ab
Diferencia de cuadrados:
(a + b) (a b) = a2 b
2
Desarrollo de un binomio al cubo:
(a + b)3 = a
3 + b
3 + 3ab(a + b)
(a b)3 = a
3 b
3 3ab(a b)
Suma y diferencia de cubos:
(a + b) (a2 ab + b
2) = a
3 + b
3
(a b) (a2 + ab + b
2) = a
3 b
3
Multiplicacin de binomios con trmino comn:
(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab
Desarrollo de un trinomio al cuadrado:
(a + b + c)2 = a
2 + b
2 + c
2 + 2(ab + bc + ac)
Desarrollo de un trinomio al cubo:
(a+b+c)3 = a
3 + b
3 + c
3 + 3(a+b) (b+c)(a+c)
(a+b+c)3=a
3+b
3+c
3+3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc
Identidad trinmica (Argand):
x2 + x + 1) (x
2 x + 1) = x
4 + x
2 + 1
IGUALDADES CONDICIONALES:
Si: a + b + c = 0 , se cumple:
a3 + b
3 + c
3 = 3abc
a2 + b
2 + c
2 = 2(ab + ac + bc)
(ab + bc + ac)2 = (ab)
2 + (bc)
2 + (ac)
2
01. Si: a+ b= 5 a.b=3.
Calcular: 2)( ba
A)-7 B)-9 C)6 D)10 E)12
02. Calcular el valor de:
4 1)7x)(1x()4x)(2x(
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
03. Luego de efectuar:
5)3x)(11x()7x()1x(3333
Se obtiene: A)35 B)40 C)45 D)30 E)25
04. Simplificar:
)25)(25(
)27()27(22
A)1 B)2 C)3 D)18 E)28
05. Si: 4a
1a .
Hallar: 3
3
a
1a
A)52 B)51 C)50 D)49 E)48
06. Si: a b = 3ab = 6.
Calcular el valor de:33
ba A)250 B)252 C)253 D)255 E)257
07. Sabiendo que:
2a
b
b
a .
-
41
Hallar el equivalente de.
22
22
)1b()3a(
)3b()1a(
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
08. Si:
a b c 0
Calcular:
3 3 3a b c
E9abc
a) 2 b)3 c)1
2 d)
1
3 e) 4
09. Sabiendo que: a+ b+ c = 1
Calcular: bc)1a(
cb)1a(333
A)-3 B)-1 C)0 D)1 E)3
10. Si: 0142 xx . Calcular el valor de:
33
13 x
x
A)49 B)51 C)53 D)55 E)57
11. Si xR,x0 tal que: 4(x4 + 1) = 5x
2,
Entonces el valor de:
21
xx es:
A)3/4 B)13/4 C)9/4 D)7/4 E)2
12. Reducir:
2 2
6
(x 3)(x 3)(x 3x 9)(x 3x 9)
x 729
a) 6
x b) 6
x c) 6
x 729 d) 1 e) 3 13. Si:
1 1 1
a b a b
; proporcione el equivalente de:
6 6 6
3
a b 6 a bT
ab
a) 7 b) 7 c) 9 d) 9 e) 11
14. Si: x y z 0
Calcular:
3 3 33x y 3y z 3z x
3x y 3y z 3z x
a) 9 b) 16 c) 25 d) 4 e) 3
15. Al efectuar:
2 2 3 3 4 4 1 2 2a x a x a x ax a x Se obtiene un producto de la forma:
a a
x x
; Hallar : " "
a) 4 b) 2 c) 6 d) 9 e) 5
16. Cumplindose que:
ab ac bca b c
c b a
Halle el valor de: 77 77 77
7 7 7 7 7 7 21
a b c
(a b a c b c ).(abc)
a) 3 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2
17. Si se cumple que: 2n 2n 2na b c 0
Calcular el valor de:
n n na b c
Cbc ac ab
a) 4 b) 5 c) 2 d) 6 e) 3
18. Si: a+ b=7 a.b=3.
Calcular: 22
ba A)42 B)43 C)44 D)45 E)46
19. Efectuar:
222)3x(2)5x()1x(M
Y dar como respuesta el valor de: 1m A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
20. Dada la igualdad: 14a
1a
4
4
Calcular: a
1a
A) 6 B) 3 C) 2 D) 6 E) Ms de una es correcta.
21. Si: )yx(2)yx(222
El valor de 22
322
xyyx
y8
x5
y6x4
xy
yx5
es:
A)11 B)10 C)9 D)8 E)7
22. De la siguiente igualdad:
338383x
Indicar el valor de: 1x3x3
A)5 B)4 C)3 D)1 E)2
23. Si: Rz,y,x .
Adems: )2(26222 zyxzyx
Calcular el valor de: xzy zyx
A)8 B)6 C)5 D)4 E)2
-
42
DIVISIN ALGEBRAICA
IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE DIVISIN ENTERA:
Dados los polinomios dividendo (D(x)), divisor (d(x)), cociente (q(x))
y residuo (R(x)) condicionados por la definicin, se cumple:
D(x) d(x) . q(x) + R(x)
TEOREMA:
Dado el dividendo D(x) y el divisor d(x), los polinomios cociente q(x)
y residuo R(x) son nicos.
Clases de Divisin
De acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:
1. Divisin Exacta (R(x) 0)
D(x) d(x) . q(x)
2. Divisin Inexacta (R(x) 0)
D(x) d(x) . q(x) + R(x)
Como d(x) 0, se tendr la equivalencia siguiente:
)(
)()(
)(
)(
xd
xRxq
xd
xD
PROPIEDADES DE GRADOS
El grado del cociente: Grad(q) = Grad(D) Grad(d) El grado mximo que puede tomar el residuo ser uno menos al
divisor. Grad. Max.R = Grad(d) 1 TEOREMA:
De la identidad fundamental de divisin entera:
P(x) d(x) q(x) + R(x)
I. Si x = 1 P(1) = d(1) q(1) + R(1) Se obtiene la suma de coeficientes
II. Si x = 0 P(0) = d(0)q(0) + R(0) Se obtiene el trmino independiente.
Criterios para dividir polinomios
Dados los polinomios en una sola variable estos deben ser
completos y ordenados en forma descendente. Si faltase algn
trmino, en su lugar se reemplazar un trmino con coeficiente
cero.
Mtodos para dividir algebraicamente polinomios
Los procedimientos a seguir derivan de la divisin entera de
nmeros enteros.
1. Mtodo clsico o divisin normal: Seguiremos los mismos pasos de la divisin de enteros.
2. Por coeficientes separados: En un caso similar a la divisin normal con la diferencia que en ste caso slo se trabajan con los coeficientes.
3. Mtodo de Guillermo Horner: Diremos que ste es un caso sintetizado de coeficientes separados y exigen las mismas condiciones. En forma general:
Dividir a0xn + a1x
n-1 + a2x
n-2 + an
Entre b0xm + b1x
m-1 + b2x
m-2 + bm
Donde n m a0b0 0
4. Regla de Paolo Ruffini: Se considera como un caso particular del mtodo de Horner, se utilizar el divisor es de primer grado o transformable a esta forma. Veamos un ejemplo inicialmente efectuado por Horner para ver una comparacin con la regla de Ruffini. En general
Al dividir a0xn + a1x
n-1 + a2x
n-2 + + an entre ax+b; ab 0 se
presentarn dos casos :
CASO I
Cuando a = 1; se tendr:
bx
na ....... 2-nx2a
1-nx1a nxoa
CASO II
Cuando a 1; se tendr:
bax
na ....... 2-nx2a
1-nx1a nxoa
De la identidad fundamental
D(x) (ax + b)q(x) + R(x)
a
bx (aq(x)) + R(x)
TEOREMA DE RENATUS DESCARTES
(TEOREMA DEL RESTO)
Finalidad: Se utiliza para hallar el resto en una divisin de
polinomios sin la necesidad de efectuar dicha operacin, es decir,
de una manera directa.
TEOREMA: En toda divisin de la forma P(x) entre (ax+b), el resto
se halla mediante el valor numrico del polinomio P(x) cuando x
toma el valor de
a
b.
01. Calcular el cociente que resulta de dividir :
6524
122522831344
xx
xxxx
A) 322 xx B) 322 xx C) 322 xx D) 232 xx E) 232 xx
02. Si la divisin:
1x2x4
baxx15x22x20
2
234
, es exacta.
Calcular: a.b
-
43
A)-1 B)1 C)3 D)5 E)6 03. Encuentre el trmino Independiente del cociente:
3 2x 4x 1
x 1
a) 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3 04. En la divisin:
4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2
x 2
Calcular la suma de coeficientes del cociente:
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 6 2 e)0 05. Hallar el resto de la divisin:
2x
11x7x8x2 24
A) 3 B) 16 C) 14 D)-16 E) 18
06. Calcular el resto de dividir:
1x
1x2xx
4
135160
A)3x B)2x-1 C)4x D)2x+1 E)3x-1
07. Hallar el valor de m si el resto de la divisin:
1x
ax3xx 23
, es 9 A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 8 08. Hallar el resto al dividir:
3 2 2x 2x (2 m 2m)x 2m 2
x m 2
A)1 B)2 C)3 D) 2 E) 1 09. Si la divisin:
3x2x
3x8x14BxAx
2
234
, es exacta.
Hallar el valor de:
1AB A)5 B)4 C)3 D)2 E)1
10. Luego de dividir:
2x3
6x2x4x22x3234
proporcione la suma de coeficientes del cociente
A)3+ 2 B) 2+ 3 C) 1+ 2 D) 2- 2 E) 3+2 2
11. Calcular el resto en:
5x7x
18)6x)(1x()3x)(5x)(4x)(2x(
2
y dar como respuesta la raz cuadrada de dicho resultado. A)1 B) 2 C)3 D)4 E)5
12. Si:
8
2
x ax b
x 2x 1
da como resto 8x 7 Hallar el valor de: a b
a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 e ) 2 13. Reconstruir la siguiente divisin por el mtodo de Guillermo
Horner.
5 a 6 6b c 0
1
2 a b 3
Dar como respuesta: a b c a) 4 b) 1 c) 10 d) 8 e) 6
14. Calcular a b si la suma de los coeficientes del cociente es 256 y el resto es 24.
61ax 2bx 2b a
x 1
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
15. Hallar el valor de "a" si al dividir:
a 17 a 16 a 15 3 2x x x x x x 1
entre x 1 se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto. a) 13 b)155 c)160 d)163 e) 165 16. Al efectuar la divisin:
4 2 3 2 2 2nx n n 1 x x n x n 7x n 1
se observa que la suma de los coeficientes del cociente y el resto es cero, el valor de ste ltimo es: a) 1 b) 4 c) 2 d) 8 e) 2 17. En la siguiente divisin:
4 3 2 2 22
9x 6ax a 3b x abx 9a
3x ax b
el residuo obtenido es de grado cero e igual a:
2R 6ab b
Calcular:
2 2
2
3a bE
a
a) 12 b) 16 c) 15 d) 24 e) 35
18. Hallar a para que el residuo de la divisin
2
223
ax
aaxaxx
sea 5a+11 A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
19. Hallar el resto al dividir:
1x
1xbxaxbxax
5
812263751
A)x3+1 B)x+1 C)x-2 D)1-x E)1-x
3
20. Calcular el resto en:
5x7x
18)6x)(1x()3x)(5x)(4x)(2x(
2
y dar como respuesta la raz cuadrada de dicho resultado. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
21. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:
-
44
3x2
cbxaxx18x8234
son nmeros consecutivos y el residuo es igual a 18, calcular: a + b c A)-7 B)-3 C)0 D)3 E)7
22. Si la siguiente divisin:
2
50
)1x(
baxx
Es exacta, calcular el valor de: a + b A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
23. Calcular m, si el resto de la divisin:
2x
mx5x12x6x4x2 21002100320052006
,es 17. A)1 B)3 C)4 D)6 E)9
COCIENTES NOTABLES
CONCEPTO
Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin
necesidad de efectuar la operacin de divisin.
Condiciones que debe cumplir:
m mx y
x y
Donde:
x; y bases iguales
m Z+; m 2
DEDUCCIN DE LOS COCIENTES
CASO I: (para n=par o impar)
n nx y
x y=
CASOII:(para n=impar)
n nx y
x y=
CASOIII:(para n=par)
n nx y
x y=
CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN
C.N.
De:
m n
p q
x y
x y se debe cumplir:
m n
rp q
; r Z+
Donde r
FORMULA DEL TRMINO GENERAL DE UN C.N.
Es una frmula que nos permite encontrar un trmino cualquiera en
el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los dems.
De la divisin:
n nx y
x y
Tenemos:
. n k kkt signo x y1
.
Donde:
tk trmino del lugar k
x 1er. trmino del divisor.
y 2do. trmino del divisor.
n nmero de trminos de q(x)
1. Hallar el t9 del C.N.
yx
yx 1515
a) x6 y
6 b) x
6 y
8 c) x
8 y
6
d) xy e)- x8 y
6
2. Hallar el t6 del C.N.
65
4235
nm
nm
a) m5 n
30 b) m
3 n
30 c)m
6n
25
d) m6 n
25 e) x
8 y
6
3. Calcular n en el cociente notable:
25
223
ba
nbna
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 4. Calcular el nmero de trminos del C.N.
98
34124
mm
mm
yx
yx
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 5. Calcular el t11 en el C.N.
m3
507m
yx
yx
a) x6 y
390 b) x
8 y
380 c)x
4 y
280
d) x9 y
280 e) N.A
6. Calcular a.b si el siguiente C.N. tiene en su desarrollo como
-
45
t60 =x56
y708
ba
ba
yx
yx42
196148
a) 2 b) 6 c) 10 d) 12 e) 20 7. Hallar (m + n) si el t25 del desarrollo de:
nm
nm
ax
ax23
86129
es x
270 a
288
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 11
8. Si x15 + x12 + x9 + x6 + x3 + 1, es el desarrollo del cociente notable:
A) 15
5
x 1
x 1
B) 12
2
x 1
x 1
C) 18
3
x 1
x 1
D) 18
3
x 1
x 1
E) 20
5
x 1
x 1
9. 1Sabiendo que uno de los trminos del C.N.
2yx
yx ba
es x
4y
10
Calcular: a.b a) 20 b) 100 c) 200d) 300 e) 600
10. En el C.N. 73
ba
yx
yx
hay un trmino central, que es: x
c y
231.
Hallar: E = a + b +c a) 769 b) 765 c) 767 d) 768 e) 700 11. Cul es el lugar que ocupa un trmino en el C.N.
25
140350
yx
yx
contado a partir del 1 trmino sabiendo que la diferencia del grado absoluto de ste con el G.A. del trmino que ocupa la misma posicin contado a partir del extremo final es 9.
a) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) 33 12. Calcular el valor numrico del sexto trmino del cociente
notable para x 3
7 7x 1 x 1
2x
a) 64 b) 81 c) 128 d) 128 e) 64 13. Calcular el trmino independiente en el cociente notable:
9 18x 9 3
x
a) 9 b) 19 c) 27
d) 9
9 e) 27
9 14. La suma de todos los exponentes de las variables del
desarrollo de: 100 100
4 4
x y
x y
; es:
a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800
15. 1Si al dividir:
n n
n n
2 2
3 1 3 1
x y
x y
se obtiene como segundo trmino en su cociente a 16 8
x y .
Cuntos trminos tiene el cociente notable? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 16. Hallar el nmero de trminos que tiene el siguiente producto:
20n 19n n 20n 19n nx x x 1 x x x 1 a) 41n b) 40n 1 c) 42n
d) 40 e) 21
17. Hallar el 12vo trmino del desarrollo del siguiente cociente
notable:
19 19x y
x y
A) -x7y13 B) x11y7 C) -x9y12
D) x12y9 E) -x7y11
18. Si la siguiente divisin da lugar a un cociente notable. Calcular
el 8vo trmino de ste:
20 30
a a 1
x y
x y
A) x4y14 B) x2y18 C) x6y14
D) x4y21 E) N.A. 19. Calcular a + b si el quinto trmino del desarrollo del siguiente
cociente notable:
14 35
2 5
x y
x y
es : x9-a y12+b A) 13 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 20. Hallar el coeficiente del cuarto trmino del desarrollo de:
5 532x 243y
2x 3y
A) 24 B) 52 C) 54 D) 34 E) 54 21. Simplificar la expresin:
1..............xxx
1..............xxx547290
9096102
Calcular el valor para x= 2 A) 1089 B) 73 C) 72 D) 1090 E) 511 22. Calcular el 11mo trmino en el cociente notable:
m 507
3 m
x y
x y
A) x6y390 B) x6y290 C) x13y39
D) x26y290 E) x6y190
-
46
FACTOTRIZACIN
Es el proceso de transformacin de un polinomio en una
multiplicacin indicda de sus factores primos o sus potencias.
Multiplicacin
P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)
Factorizacin
FACTOR PRIMO
Un polinomio F ser primo de otro polinomio P si F es factor
algebraico de P y primo a la vez.
Nota .
Ejemplos:
P(x) = (x + 2)3 (x + 1)
2 (x + 5)
6
Son factores primos de P(x):
P(x) = (x) (x + 2)6 (x 1)
2
Son factores primos de P(x):
CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
1. Factor Comn
Consiste en buscar factores comunes a todos los trminos de un
polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.
Ejemplos:
1. Factorizar:
P(x,y) = 2x2y + 3xy
2 + xy
2. Factorizar:
A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)
2. AGRUPACIN
Consiste en agrupar trminos convenientemente tratando que
aparezca algn factor comn.
Ejemplos:
1. Factorizar:
x2 + x + xy + y xz z
2. Factorizar:
x2 + ax + x + xy + ay + y
3. ASPA SIMPLE
Forma general de polinomio a factorizar: m, n N
P(x,y) = Ax2n
+ Bxn y
m + Cy
2m
P(x) = Ax2n
+ Bxn + C
Ejemplos:
1. Factorizar:
2x2 + 7xy + 6y
2
2. Factorizar:
(x + y)2 2 (x + y) + 1
3. Factorizar:
(x + y)2 2 (x + y) + 1
TEOREMA
Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre s, tal que:
P(x) = n px xf g( ) ( )
.
I. Nmeros factores primos = 2 II. Nmeros factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) 1
Ejemplo:
Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)
I. Nmeros factores primos = II. Nmeros factores algebraicos =
4. ASPA DOBLE:
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy
2 + Dx + Ey + F
Ejemplos:
* 20x2 + 22xy + 6y
2 33x 17y + 7
5. ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax4 + Bx
3 + Cx
2 Dx + E.
Ejemplos: Factorizar
..
-
47
6. Mtodo De Los Divisores Binmicos.
Con ste mtodo se busca uno o ms factores binomios primos
Consideraciones:
Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).
Los dems factores se encuentran al efectuar:
0xxxP
Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:
ceros
Posibles
x Pincipal deCoef. Divisores xde PT. indep. Divisores
xPr0
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3 + 6x
2 + 11x 6
1. Factorizar:
F(x; y)=x3-x2y+xy2-y3.
Sealar el nmero de factores primos.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Factorizar:
F(x)=(x2+2)2-(2x+1)2
Sealar el factor primo que ms se repite:
A) x+1 B) x-1 C) 2x+1
D) 2x-1 E) x+2
3. Factorizar: 8x2 - 2x - 3
e indicar un factor A) 2x - 1 B) 3x - 4 C) 4x - 3 D) 8x - 1 E) 8x 3
4. Factorizar:
P(x) = (x + 1)4 5(x + 1)2 + 4 Indicando un factor primo. A) x B) x + 8 C) x + 9 D) x + 12 E) x + 7
5. Luego de factorizar:
12(x+y)2 + 7(x+y) -
12
se obtiene: A) (4x - 4y - 3)(3x - 3y+4) B) (4x+4y - 3)(3x+3y+4) C) (4x - 4y+3)(3x+y - 4) D) (3x+4y+3)(4x+3y - 4) E) (6x+y+2)(2x - y - 6)
6. Factorizar:
F(x;y)=6x2+13xy+6y2+12x+13y+6
Indicar la suma de factores primos
A) 5x+5y+1 B) 5x+5y+2 C) 5x+4y+5
D) 5x+4y+4 E) 5x+5y+5
7. Calcular un factor de: a2+2a+ab+b+1
A) a+b+1 B) b+1 C) b - 1 D) a - 1 E) a+b
8. Luego de factorizar:
N(x; y)=6x2+19xy+15y
2 - 11x+4 - 17y
indicar un factor: A) 2x+3y - 1 B) 2x - 3y+1 C) 3x - 5y+4 D) 3x+y+4 E) 3x+5y+4
9. Factorizar:
P(x)=x4+6x
3+7x
2+6x+1
y calcular la suma de coeficientes de un factor primo obtenido. A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7
10. Factorizar:
P(x)=2x4+x
3 - 16x
2+8x - 1
e indicar un factor A) 2x
2+5x - 1 B) x
2+3x 1 C) x
2+2x - 1
D) 2x2+x - 1 E) x
2+5x+1
11. Factorizar:
N(x)=2x4 - 3x
3 - 2x
2 -x+6
e indique un factor: A) 2x
2+x+1 B) 2x
2 - x+1 C) x
2+x+1
D) x2 - x+3 E) x
3 - x+1
12. Factorizar:
x3 - 3x
2+4x - 2
y calcular un factor. A) x+1 B) x - 1 C) x
2+x+1
D) x2+2x - 2 E) x+2
13. La suma de sus coeficientes de un factor primo del polinomio:
561456 234 xxxxxP ; es: A) 7 B) 5 C)3 D) 8 E) 9
14. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes al factorizar el polinomio:
303116 22 xxxxxxP
A) x-3 B) x-5 C) x+2
D) x+3 E) x+5
15. si el polinomio:
QaaxxaxxxP ;13 234 es un cuadrado perfecto, otorgue el menor valor de a
A) 2 B) -3 C) 4
D) 5 E) -2
16. Despus de factorizar:
2 2x 2 x 4x 6 15 Seale el factor que tiene mayor suma de coeficientes:
a) 2
x 4x 9 b) 2
x 4x 1 c) 2
x 4x 3
d) 2
x 4x 7 e) 2
x 4x 4
17. Factorizar e indicar el coeficiente cuadrtico de uno de los factores primos de:
4 3 216x 8x 16x 22x 15
a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e)6
18. Indicar el nmero de factores primos en:
8 6 4 2x 5x 5x 5x 6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
-
48
19. Sealar un factor primo del polinomio:
10R x x 2 256x x 4 2048
a) 2
x 2x 4 b) 2
x 2x 4 c) 2
x 2
d) 2
x 5 e) 10
x 256x 1
20. Indicar un factor de:
a3+2a
2b+4ab
2+8b
3
A) a
2+b
2 B) a
2+2b
2 C) a+b
D) a+2b E) a+4b
FACTORIALES Y BINOMIO DE
NEWTON
El desarrollo del binomio de Newton se aplica para poder
determinar los trminos del resultado de potencias binomios,
cuando los exponentes son nmeros naturales mayores que tres,
pues cuando los exponentes son pequeos podemos aplicar
productos notables.
Cuando se asignan valores a las variables se pueden generar
diversas sumatorias con nmero combinatorios, las cuales serian
difciles de sumar sin usar el binomio de Newton, por ejemplo se
llega a calcular que:
2020
20
20
4
20
3
20
2
20
1
20
02... CCCCCC
en forma directa, pues 220
es el resultado de desarrollar; (1 + 1)20
por Binomio de Newton.
CONCEPTOS PREVIOS
FACTORIAL
El factorial de un nmero slo est definido en el conjunto de los
nmero naturales y es igual el producto del nmero dado, por todos
los nmero naturales menores que l, sin incluir el cero.
NOTACIN
Para indicar el factorial de un nmero empleamos cualesquiera de
los siguiente smbolos .
! n n
Se lee: factorial de n
Por definicin:
n! ..............................
Ejemplos:
!3 = .............................
6!= .........................................
Definiciones:
Factorial de cero 0!= ......
Factorial de la unidad 1! .....
Igualdad de Factorial
Si a! = b! a = b , a, b Z+
Ejemplo: Hallar x
x! = 24
Propiedades
1. Si a! = 1 a = 1 a = 0
2. n! = n (n 1)! , n Z+ n 1
Ejemplo:
6!= (n+2)!= (2x-1)!=... (6x+5)!=..
Semifactorial:
Se representa por: !!N y su definicin depende, si N es par o
impar.
= 2 2 4 6 ..... 2N !!n(par) 2n x x x x n
= 2 1 3 5 2 1N !!n -1(impar) 2n -1 x x x.....x( n ) Propiedades:
!!.( 1)!!= ( 1)! n n n
ANALISIS COMBINATORIO
Se define como el nmero total de grupos que se pueden formar
con n elementos tomados de k en k, de modo que los grupos
se diferencias por lo menos en un elemento.
NOTACIN: n
k
n
kC
Se lee: combinaciones de n elementos tomados de k en k, o
simplemente combinaciones de n en k.
n
k
n
n k kC!
( )! !
Donde: n, k Z ; n k 0
Adems: n es el ndice superior
k es el ndice inferior
EJEMPLOS:
9
6 ............................................................C
7
4 ..................................................................C
PROPIEDADES:
1)
1 1O 1 n n n
nC ; C n ; C
-
49
2) Complemento:
n n
k n kC C
3) Degradacin:
11
n n
k k
nC C
k
1
1
n n
k k
n kC C
k
1
n n
k k
nC C
n k
4) Suma de Combinatorias:
1
1 1
n n n
k k kC C C
Ejemplos:
20
0 .....C ;
10
0 ......C :
17
1 ........C
205
1 .......C ;
205
205 .......C ;
2
2
x
x.......C
Complementarias
9
6 ....................C
25
22 ....................C
Suma de combinatorias
7 7
2 3 ........C C
20 20
7 6 ........C C
Degradacin
10
5 .................................C
12
4 ...................................C
BINOMIO DE NEWTON
Definicin: es una expresin matemtica que tienen la forma de
una funcin polimonial.
Es un binomio de la forma:
(a+b)n , para n = 0, 1, 2,3,.........
Sabemos:
0
1
2
3
.
( a b ) ....
( a b ) .......
( a b ) .....................
( a b ) ....................................
En forma polinomial:
n n n n n 1 n no 1 nP(x,a) (x a) C x C x a ... C a
n Z
Propiedades:
1. n( x a ) tiene (n+1) Trminos.
2. Exponente de x van disminuyendo de n hasta 0
Exponente de a van aumentando de 0 hasta n.
3. En cada trmino, la suma de exponentes de x y a es igual a n.
4. Recordemos que la suma de coeficientes se obtiene
para 1 x a
1 2 ... .....n n n n
o nC C C C
Trmino General:
Contando de Izquierda a derecha:
n n k k
K KT C x a1
Donde:
n exponentedel binomio
1 k lugar del termino
x,a te rminosdel binomio
Contando de derecha a izquierda:
1
n k n k
K KT C x a
Donde:
T K+1 es el trmino de lugar ( k+1)
Trmino Central:
El desarrollo del binomio tendr un nico trmino central en cambio
si n es par, luego la posicin que ocupa este Trmino es:
11
n
2 2
12 2
n n
nc n n
( )T T C x a ; n es par
-
50
01. Calcular:
!42
!41!40!82!81
!83E
a) 2 b) 10 c) 11
d) 20 e) N.A. 02 Luego de simplificar: E =
2000! 2001! 2002!
2000! 2001!
Calcular la suma de cifras de "E". A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03. Simplificar:
!1n!n!2n!1n!nE
a) n + 2 b) 1 c) 1/2
d) n e) N.A.
04. Simplificar:
2113
218
208
147
186
185
CC
CCCCE
a) 1/2 b) 2 c) 4
d) 8 e) N.A.
05. Si:
CCC
15
6
15
9
15
6
5
982E
, el valor de E2 es igual a:
A)400 B)256 C)512 D)64 E)81
06. Calcular n en.
n2
p10
n2
2p CC
a) 5 b) 2 c) 4
d) 7 e) N.A.
08. Siendo : 42!b!a
!10
Calcular: ab : a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42
09.Hallar el valor de n, sabiendo que:
184!n
)3!n(!n
a)4 b)8 c)12 d)16 e) N.A.
10. Sabiendo: 3 11777
7 176
C Ck k
Calcula: K !
a) 3 b) 6 c) 9 d) 11 e) N.A.
11. Halla n si el octavo trmino del desarrollo de:
n
2x
1x
contiene a x
12
a) 20 b) 25 c) 33 d) 35 e) 40
12. Calcula el lugar que ocupa el trmino que contiene a x
5 en el
desarrollo de:
135
x
1x
a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20
13. Calcula el coeficiente del quinto trmino de:
7
4x
1x
a) 30 b) 35 c) 33 d) 40 e) 1
14. Halla n si en el trmino 28 del desarrollo de (x+3y)
n el
exponente de x es 3. a) 30 b) 28 c) 25 d) 15 e) 12
15. Halla el lugar que ocupa el trmino independiente de:
56
3
3
x
1x
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
16. Calcular el coeficiente de x6 en el desarrollo de:
C(x) = (1 + 2x + x2)
a) 10 b) 120 c) 80
d) 30 e) 30
17. Determina el valor de n para que los trminos de lugares 9 y
10 de (x+3)n tengan igual coeficiente.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
18).- Halla (n+m), si se sabe que el cuarto trmino de (x+2)n es
80mx
m.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
19).- Calcula el tercer trmino en el desarrollo de:
7
3
3
xx
1xx
a) 21 x
1/2 b) 21x
3/2 c) 35x
d) 35x3/2
e) 21
20. Calcular el valor de n en:
596.... n1n
nn
n2n
n1n
n2
n3
n1
n2
n0
n1
C
nC
C
C)1n(
C
C3
C
C2
C
C
a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38