01 revisión de relaciones fundamentales

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE ENERGA ELCTRICA

DINMICA DE MQUINAS ELCTRICAS

Profesor: Dr.-Ing. Hugo Arcos Martnez

Contenido:

0. Revisin de relaciones fundamentales

1. Sistemas Magnticos

2. Transformadores

3. Fundamentos de mquinas elctricas y teora de sistemas de referencia

4. Mquinas sincrnicas

ESCUELA POLITCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

DINMICA DE MQUINAS DR. ING. HUGO ARCOS M.

2

0. Revisin de Relaciones Fundamentales

0.1. Densidad de corriente y densidad de flujo:

Flujo magntico escalar

B Densidad de flujo magntico vector i Corriente elctrica - escalar

J Densidad de corriente elctrica vector

A

ABAdB .[Wb] . [1]

A

AdJi [A] . [2]

Figura 1. Lneas de induccin magntica

en una bobina recorrida por corriente

0.2. Carga y corriente:

C .A dtiqdtdq

i [3]

N BvqF [4]

0.3. Fuerza causada por la induccin magntica:

Figura 2. Direcciones de fuerza, velocidad y campo magntico sobre una partcula cargada y sobre un

conductor que transporta corriente.



3

sinqvBF N [5]

ilBFBdlidF

Bdt

dldqdF

[6]

0.4. Momento magntico:

Figura 3. Induccin magntica debida a Figura 4. Induccin magntica debida a

una corriente en un conductor un lazo que lleva corriente

El momento magntico del lazo de corriente se define como:

Aipm . Am2 [7]

Figura 5. Momento mecnico aplicado al lazo de corriente por el campo magntico

BpT m Nm [8]



4

0.5. Flujo magntico y densidad de flujo magntico:

Figura 6. Induccin magntica a travs de un camino cerrado

Figura 7. Ilustracin de la integral de superficie

Si B es perpendicular a la superficie,

AB. Wb [9]

A

B

T o Wb/m2 [10]

Para una superficie cerrada se cumple:

0. A

dAB [11]

0.6. Intensidad de campo magntico:

Figura 8. Fuerza magnetomotriz a travs de un camino cerrado

fuerza magnetomotriz asociada al camino cerrado [A]

321 III

c

dlB. [12]



5

permeabilidad absoluta [H/m]

0 constante magntica o permeabilidad absoluta del vacio

m

H

m

H 257.1104 70

r permeabilidad relativa 0. r

NidlH

dlH

HB

dlB

c

c

c

.

.

[13]

Esta ltima expresin es la ley circuital de Ampere que tambin puede expresarse como:

Ac

dAJdlH .. [14]

Figura 9. Intensidad de campo magntico alrededor de un conductor que lleva corriente

Para el caso del conductor de la Figura 9, la aplicacin de la ley de Ampere conlleva a

la siguiente expresin:

A/m 2

2

r

iH

irH

[15]



6

Figura 10. Ilustracin de la integral de superficie de la Ec. [14]

0.7. Fuerza electromotriz inducida e inductancia:

El campo elctrico inducido en un conductor que se mueve a una velocidad v dentro de

un campo magntico, cuya densidad de flujo magntico es B, esta dado por:

BvEi [16]

Mientras que la fuerza electromotriz inducida en dicho conductor estar dada por la

componente de Ei coincidente en direccin con el conductor, es decir:

lBvei [17]

Lo cual puede expresarse de forma diferencial como:

dlBvedlBvdlEde iii [18]

vdlBdlBvdlEi [19]

Considerando que:

dABd l

Se puede reescribir la Ec. [19] como:

dt

dddlE li

[20]

Lo que significa que, la fuerza electromotriz inducida en una porcin del conductor es

igual al flujo magntico cortado por dicha porcin, dividido en el tiempo requerido para

que se produzca el corte.

Considerando un lazo conductor que se mueve dentro de un campo magntico y

teniendo en cuenta la ley de Lenz se tiene que:



7

dt

dedlE ii

[21]

Auto induccin.-

Figura 11. Circuito magntico bsico

Para la bobina mostrada en la Figura 11, al variar la corriente en el circuito, aparece una

fuente de tensin inducida (fuerza electromotriz autoinducida) como producto de la

variacin del flujo magntico total concatenado por la bobina.

dt

diLiRV

dt

diL

dt

de

Li

N

i

[22]

Pudiendo deducirse las siguientes expresiones:

2

0

2

0

2

0

0

0

2

2

2

2

2

N

r

ANL

ir

AN

r

iNA

r

iNB

r

iNH

[23]

Induccin mutua, Inductancia mutua: Al tener dos circuitos de corriente vecinos, ante

un cambio en el campo magntico originado por el circuito 1 aparece en el circuito 2 un

voltaje inducido. Tambin ante un cambio en el campo magntico originado por el

circuito 2 aparece en el circuito 1 un voltaje inducido.

11212 iM [24]

Donde:



8

12: Flujo magntico concatenado con el circuito 2 cuando en l no circula corriente (ver Figura 12).

M12: Inductancia mutua entre los circuito 1 y 2

Figura 12. Flujo concatenado mutuo

dt

diMe

dt

diMe

2211

1122

[25]

Si la permeabilidad es independiente de la intensidad de campo magntico H, se cumple:

MMM 2112 [26]



9

1. Sistemas Magnticos

1.1. Circuitos Magnticos

Figura 1. Bobina enrollada sobre un toroide de madera

Ley de Ampere:

Ac

AdJldH

.. [1]

A/m 2

A 2

l

Ni

a

NiH

NiaH

[2]

Si el dimetro d de la seccin transversal del toroide es mucho ms pequeo que a,

entonces H calculado con el radio medio a se puede usar como una buena aproximacin

del valor promedio de la intensidad de campo en la seccin del toroide.

avav HB

0 T [3]

4

2dBav

Wb [4]

Fuerza magnetomotriz (fmm) en Ampere-vuelta

cA

ldHAdJNi

.. [5]

020

2

422

a

da

BaH A [6]

Reluctancia del camino magntico (Ampere/Weber)



10

[7]

4/2

2

0 d

a

[8]

Resistencia en un circuito elctrico ][ .

wire

wire

A

lR

Figura 2. Circuito magntico equivalente

Si en la Fig. 1 vara la corriente, vara tambin y aplicando la ley de faraday para una espira

dt

deturn

V [9]

Y para las N espiras de la bobina :

dt

d

dt

Nde

[10]

Con id

a

N

42

2

0

2

[11]

Se define la inductancia de la bobina como:

i

L

[H] [12]

Por lo tanto:

2N

L [H] [13]

Para una bobina ideal sin resistencia se tiene:



11

dt

diLv

dt

dev

[14]

Considerando la resistencia de la bobina se tiene:

dt

diLRiv [15]

Figura 3. Diagrama para el ejemplo 1

Ejemplo 1: La Fig. 3 muestra una bobina enrollada sobre un toroide de plstico de

seccin rectangular. La bobina tiene 200 vueltas de alambre de cobre redondo de

dimetro 3 mm.

a. Para una corriente de 50 A encuentre la densidad de flujo magntico en el dimetro medio de la bobina.

b. Encuentre la inductancia de la bobina asumiendo que la densidad de flujo magntico dentro de ella es uniforme e igual al valor calculado en a.

c. Determine el porcentaje de error cometido al haber asumido densidad de flujo magntico uniforme en la bobina.

d. Conociendo que la resistividad volumtrica del cobre es de 17.2 X 10-9 ohm.metro, determine los parmetros del circuito equivalente.



12

1.2. Ferromagnetismo

Figura 4. Diagrama en corte de un toroide

La corriente i produce H y esta produce la densidad de flujo magntico B colineal con

H.

Para ncleo = vaco HB 0 T [16]

Para ncleo = aire [16] aumenta 0.4 partes por milln

Para ncleo = hierro, B y por lo tanto se incrementan notablemente para la misma corriente.

Considerando un modelo simple del tomo: Ncleo rodeado de una nube de electrones,

se tiene:

Figura 5. (a) Movimiento orbital de un electrn; (b) Spin de un electrn

pm0 = momento magntico resultante a lo largo del eje de la rbita

pms = momento magntico de spin = 9.27 x 10-24

Ampere . metro2

pm0 = o bien cero o bien un mltiplo de pms

pm = momento magntico de un tomo



13

Figura 6. Dominios ferromagnticos. (a) Cuando no est aplicado un campo magntico.

(b) Cuando si est aplicado un campo magntico

1.3. Magnetizacin

Figura 7. Curvas de magnetizacin.

Densidad de flujo magntico en el toroide ferromagntico

BBB 0 T [17]

B0 : Para ncleo = vaco

B : Adicional debido al ncleo ferromagntico

Para H = 1000 A/m;

B0 = 4x10-4 0.00125 T

De la Fig. 7 para hierro fundido (cast iron), y para esa H



14

B = 0.513 T

Por lo que B = 0.512 T ( 500 X B0)

Momento magntico del tomo de hierro = 2.2 x (momento magntico bsico)

= 2.2 x (9.27 x 10-24

) A.m2

d = espacio entre tomos del hierro

d = 2.27 x 10-10

m

d2 = rea ocupada por un tomo de hierro.

Momento magntico = corriente i fluyendo en un lazo de rea d2

2242 A.m 1027.92.2 Xdipm [18]

A 103941027.2

1027.92.2 6202

24

i [19]

Intensidad de campo magntico equivalente debido al bobinado ficticio (d3 = volumen

de un tomo):

A/m 33

2

d

p

d

di

d

iH mequiv

[20]

Magnetizacin M = momento magntico por unidad de volumen de material

ferromagntico:

Mxima magnetizacin:

A/m 1073.11027.2

10394 610

6

max

equivHM [21]

Induccin en el aire para ese Hequiv:

T 18.21073.1104 67max0max MBM [22]

La saturacin completa corresponde a la magnetizacin Mmax (todos los momentos

magnticos alineados completamente con el campo exterior aplicado)

T 00 MHBBB M [23]

De la Fig. 7: si H = 3000 A/m; B(cast iron) = 0.76 Tesla



15

si H = 3000 A/m; B(M-36) = 1.99 Tesla (el 92% corresponde a Mmax del

hierro, principal componente de M-36)

Temperatura Curie, Tc

Figura 8. Disminucin de la induccin ferromagntica por efecto de la temperatura

Tc (hierro) = 770 C

Tc (niquel) = 384 C

La temperatura en las mquinas elctricas se encuentra por lo general por debajo de 150

C.

Como se puede apreciar, la curva B-H de la Fig. 7 es altamente no lineal.

Normalmente los materiales magnticos son operados en puntos de la curva B-H no

muy alejados de la regin de saturacin.

Es conveniente aproximar mediante una recta aquella parte de la curva B-H que se usa.

Figura 9. Aproximacin a la curva de magnetizacin para

acero fundido (cast steel) indicada en la Fig. 7



16

La aproximacin lineal indicada en la Fig. 9 es vlida hasta valores de B 0.9 T

En el rango lineal aceptable, la curva B-H puede ser descrita por:

T 0HB r [24]

r = permeabilidad relativa

Si H = 530 A/m, de la curva lineal se obtiene B = 0.9 T

B0 = 0 H = 4 x 10-7

x 530 = 6.669.308 x 10-7

(B/ B0) = r = 1349.4

Ejemplo 2: La bobina de la Fig. 1 tiene 1000 vueltas. El toroide es de acero fundido

(cast steel), tiene un radio medio de 250 mm y una seccin transversal de dimetro 25

mm. Emplee la curva B-H de la Fig. 7 para determinar la magnetizacin M y la

permeabilidad relativa r cuando la corriente en la bobina es de 1.2 Ampere.

Ejemplo 3: Para el sistema magntico del ejemplo 2, determine:

a. La corriente en la bobina para producir una densidad de flujo magntico de 1.2 Tesla en el toroide.

b. La permeabilidad relativa para una densidad de flujo magntico de 0.9 Tesla. c. La inductancia de la bobina usando la aproximacin lineal que pasa por el

punto de la curva correspondiente a B = 0.9 Tesla.

1.4. Histresis



17

Figura 10. Variacin de B con H

La variacin de H entre Hmax y - Hmax y entre -Hmax y +Hmax debe ser unidireccional.

Br = densidad de flujo magntico remanente o residual

-Hc = Coercitividad o fuerza coercitiva

Figura 11. Lazo de histresis B-H de la aleacin

deltamax (50% Ni; 50% Fe)

1.5. Energa del campo magntico

Si se aplica tensin variable a la bobina de N espiras y de resistencia R bobinada sobre

un toroide no ferromagntico (Fig. 1), se tiene que los enlaces de flujo en cada instante

estn dados por:

Wb 0 ANB [25]

La fuerza electromotriz inducida es:

V 0

dt

dBNA

dt

de

[26]



18

La ecuacin de voltaje estar dada por:

V 0

dt

dBNARiv [27]

Y la potencia instantnea en terminales de la bobina ser:

W 02

dt

dBNAiRivip [28]

En el cual Ri2 corresponde a disipacin de calor mientras que la potencia restante esta

relacionada con el campo magntico.

W 0

dt

dBNAipB [29]

Sustituyendo la expresin H = Ni/l, resulta la expresin alternativa

W 0

dt

dBAlHpB [30]

Con:

pB > 0 el flujo de energa se da hacia el campo magntico dentro de la bobina

pB < 0 liberacin de energa desde el campo magntico de la bobina

Si B0 = 0 la energa del campo magntico es tambin cero.

WB = energa en el campo magntico

Si la densidad de flujo magntico aumenta, la energa del campo se expresa como:

J 2

........

0

2

0

0

0

0

0

0

0

00

BlAdB

BlAdBHlAdtpW

BB

BB [31]

A.l = volumen del espacio encerrado por la bobina

wB = densidad de energa almacenada en el campo magntico

3

0

2

0

0

0

0

0 J/m 2

10

BdB

Bw

B

B [32]



19

Figura 12. Lazo B-H para un material no magntico

1.6. Prdidas por histresis

Representando la parte de la curva B-H para B creciente como:

A/m BfH i [33]

Para un incremento de B desde B1 a B2 (Fig. 13 (a)), se requiere un aumento de la

energa por unidad de volumen en el campo magntico.

De igual manera, la parte de la curva B-H para B decreciente puede expresarse como:

A/m BfH d [34]

Y para un decremento de B desde B2 a B1 (Fig. 13 (b)), se requiere una disminucin de

la energa por unidad de volumen en el campo magntico.

Figura 13. Curvas B-H de un material ferromagntico

32

1

J/m .B

B

Bincr dBHw [35]

31

2

J/m .B

B

Bdecr dBHw [36]

Energa por unidad de volumen adquirida (+) y liberada (-) por el campo magntico al

variar H:



20

Figura 14. Variacin de B con H

De +Hmax a cero : -amb

De cero a - Hmax : +bcdn

De -Hmax a cero : -dne

De cero a + Hmax : +efam

Las prdidas de energa por unidad de volumen = bcdn + efam amb dne = rea del lazo de histresis = prdidas por histresis = f(Bmax)

Para los materiales magnticos empleados en las mquinas elctricas:

rea del lazo de histresis = k (Bmax)n con 1.5 < n < 2.5 [37]

Con k y n constantes empricas.

Para f ciclos de magnetizacin por segundo, la energa disipada por segundo a causa de

la histresis es directamente proporcional a f.

Para el toroide, la potencia disipada por histresis est dada por:

W nhh BfKP [38]

Kh = constante dependiente del material ferromagntico y de las dimensiones del

toroide.

Ejemplo 4: La Fig. 15 muestra un lazo B-H para un tipo de acero elctrico laminado.

Determine aproximadamente las prdidas por histresis por ciclo en un toroide de 300

mm de dimetro medio y de seccin transversal 50mm x 50 mm.



21

Figura 15. Lazo B-H para acero elctrico M-36

1.7. Flujo alternado

Figura 16. Inductor excitado con corriente alterna

(bobina de N espiras y parmetros R, L ncleo ferromagntico)

ie = corriente alterna de excitacin, es tal que en el ncleo el flujo magntico vara

sinusoidalmente

Wb sin t [39]

Fuerza electromotriz inducida:

V cos tNdt

dNeL

[40]

Relacin en valores eficaces:



22

V 2 fNNEL [41]

f = frecuencia del voltaje aplicado

Si R es pequea, entonces:

V Lev [42]

Wb2 fN

V

[43]

La relacin aproximada (Ec. 43) expresa que si se aplica al inductor una diferencia de

potencial sinusoidal, se establece un flujo magntico sinusoidal que induce una fuerza

electromotriz que es igual a la diferencia de potencial aplicada.

Las propiedades del material ferromagntico y la configuracin del ncleo determinan

cul es la corriente de excitacin requerida para producir el flujo magntico.

1.8. Prdidas por corrientes parsitas (corrientes de remolino)

Figura 17. Bobina sobre un toroide ferromagntico

Ncleo = material Ferromagtico

A, l seccin transversal y longitud media del toroide

B, H uniformes en la seccin transversal del toroide

ie = corriente de excitacin

= enlaces de flujo en la bobina

b WNAB [44]

A N

Hlie [45]



23

Figura 18. Lazo -ie para el sistema de la Fig. 17

Si se aumenta la frecuencia de ie manteniendo Bmax y por tanto , el lazo de histresis se vuelve ms ancho. Este efecto se debe a las corrientes inducidas en el ncleo

ferromagntico que es tambin un conductor de electricidad.

Figura 19. Corrientes parsitas en el toroide cuando ie decrece

(i = corriente parsita inducida).

Efectos:

Desmagnetizacin de la parte central del ncleo

Flujo magntico forzado hacia la superficie del ncleo y prdidas Ri2 en el ncleo.

Para disminuir las prdidas por corrientes parsitas:

Usar como ncleo material magntico de alta resistividad

Dividir la seccin transversal del ncleo en pequeas superficies y aislarlas entre s.



24

Figura 20. Ncleo toroidal laminado

Como B es uniforme, en cada lmina vale:

Wb n

Bha [46]

fem inducida en la periferia de cada lmina:

V dt

dB

n

ha

dt

de

[47]

Resistencia de un camino de resistividad , longitud 2h y seccin al/2n:

2

2

nal

hkR [48]

K tiene en cuenta que los caminos en lminas interiores tendrn menor fem que aquellos

que estn situados ms cerca de la superficie del toroide.

Potencia de prdidas cuando B vara en el tiempo:

W 4

2

2

222

dt

dB

n

ah

hnk

la

R

ep

[49]

Para todo el ncleo de n lminas:

W4

2

2

2

lahdt

dB

nk

apcore

[50]

Y las prdidas por unidad de volumen son:

3

2

2

2

W/m 4

dt

dB

nk

a

lah

pcore

[51]

Para una densidad de flujo alterna sinusoidal:



25

T sin tBB [52]

T/s 2cos2cos ftBftBdt

dB [53]

W/kgo W/m 32fdBKP ee [54]

Donde:

d = a/n = espesor de la laminacin

Ke = constante dependiente del material y de las dimensiones del ncleo

1.9. Prdidas en el ncleo

pc(W/kg) = prdidas por histresis + prdidas por corrientes parsitas

= g(d,f,Bmax)

Figura 21. Prdidas en el ncleo para dos tipos de acero elctrico laminado

de espesor d = 0.635 mm.



26

Figura 22. Prdidas en el ncleo para tres espesores del acero laminado M-36

Figura 23. Prdidas en el ncleo para el acero laminado M-36

de espesor 0.356 mm.

1.10. Corriente de excitacin en un inductor

Debido a la relacin no lineal entre B y H en el material ferromagntico, al aplicar al

inductor una tensin sinusoidal, la corriente que ste toma es no sinusoidal.



27

Figura 24. Forma de onda de la corriente de excitacin en un inductor

Figura 25 Componentes fundamental y tercera armnica de la corriente de excitacin

Expresin de la corriente de excitacin:

A ...531 eeee iiii [55]



28

Figura 25. Diagrama fasorial de las

componentes fundamentales de v, e ie

Ic representa una corriente ic en fase con v y de variacin sinusoidal que tiene en cuenta

las prdidas en el ncleo. Im1 representa una corriente im1 sinusoidal en fase con , que necesariamente es sinusoidal pues se cumple:

V dt

dv

[56]

El valor eficaz de la corriente de excitacin estar dado por:

A ...252

3

2

1 eeee IIII [57]

Figura 26. Circuito equivalente de un inductor

para frecuencia fundamental

En el circuito de la Fig. 26, se ignora la resistencia de la bobina y las componentes

armnicas de la corriente de excitacin; Xm = reactancia de magnetizacin y en Rc se

producen las prdidas en el ncleo).



29

1.11. Sistemas magnticos

Figura 27. Toroide de hierro parcialmente bobinado

Para una operacin no cercana a la saturacin, B (fuera del toroide) 0. Si a >> d, B es uniforme en A y tambin lo es H por la presencia del ncleo de hierro.

Aplicando la ley de Ampere y dado que H = constante:

A/m 2 l

Ni

a

NIH

[58]

Con H, de la curva B-H se obtiene B. Con B y las dimensiones del ncleo surge :

Wb BA [59]

Figura 28. Ncleo no toroidal

Si la operacin est alejada de la saturacin, el flujo de dispersin (leakage flux) es

despreciable comparado con (flujo en el ncleo).

Si el estado del ncleo para una corriente particular en la bobina puede ser descrito

mediante la relacin lineal:



30

T 0HB r [60]

Entonces el flujo magntico en el ncleo es:

Wb00l

ANiHA rr

[61]

Y dado que la fmm F=N.i A, resulta:

A/Wb 0 A

l

r

[62]

Si en el hierro fundido (cast iron) se produce

Figura 29. Sistema magntico de dos materiales diferentes (ejemplo 5)

Ejemplo 5: En el sistema magntico mostrado en la Fig. 29, desprecie el flujo

magntico de dispersin y emplee la curva de magnetizacin de la Fig. 7 para

determinar:

a. La corriente requerida para producir un flujo total de = 0.25 x 10-3 Wb. b. La reluctancia del camino de flujo completo

c. La permeabilidad relativa r para cada material bajo las condiciones dadas. d. La reluctancia de cada parte del sistema magntico.

1.12. Circuitos Magnticos Complejos

Se analizan con los mtodos aplicados a los circuitos elctricos siempre que el lazo de

histresis sea angosto para que pueda ser representado satisfactoriamente por la curva de



31

magnetizacin. Cuando la curva de magnetizacin puede ser representada por una lnea

recta, entonces vale:

0rH

B [63]

Con r constante, con lo que el circuito magntico equivalente es lineal.

Ejemplo 6: En el sistema magntico mostrado en la Fig. 30, determine las densidades

de flujo B1, B2 y B3 en las tres ramas del circuito cuando la corriente en la bobina es

0.5 A.

Figura 30. Circuito magntico ejemplo 6

1.13. Flujo magntico en el aire

Figura 31. Sistema magntico ejemplo 7

(dimensiones en mm.)



32

B en el centro de una bobina circular de N vueltas estrechamente empaquetada de

dimetro d (Fig. 31 (a)) es:

T 0

d

NiB

[64]

Para N = 1000; i = 1.5 A; y d = 175 mm, se tiene:

T 1077.1010175

5.110104 33

37

B

Una ms alta densidad de flujo puede ser producida en el aire con la misma bobina y la

misma corriente empleando un material ferromagntico como se muestra en el siguiente

ejemplo:

Ejemplo 7: La bobina de 1000 vueltas discutida en el prrafo precedente est colocada

en un ncleo ferromagntico que tiene un entrehierro como se muestra en la Fig. 31

(b). Si la corriente en la bobina es nuevamente 1.5 A y la permeabilidad relativa del

ncleo es 1450, determine:

a. Que parte de la fmm total es requerida para vencer la reluctancia del entrehierro.

b. La densidad de flujo producida en el entrehierro. c. La relacin entre la densidad de flujo en el entrehierro y la densidad de flujo

producida en el centro de la bobina cuando esta ausente el ncleo.

d. Las intensidades de campo magntico en el ncleo y en el entrehierro.

El flujo de dispersin y el efecto de bordes en el entrehierro pueden ser despreciados.

1.14. Efecto linealizante del entrehierro

Si en el ejemplo 7 (Fig. 31) se emplea el verdadero lazo de histresis B-H del material

para determinar el flujo magntico producido por el sistema se tiene:

A

A

ai

aaii lHlH

[65]

El lazo de histresis B-H del ncleo del ncleo (Fig. 32 a) y la recta del entrehierro

(B=0H) se pasan a las coordenadas (, fmm) multiplicando:

B por la seccin transversal (del ncleo; del entrehierro)

H por la longitud (del camino de en el ncleo, del camino de en el entrehierro)

(ver Fig. 32 a y b).



33

Figura 32. Lazos -fmm para el sistema de la Fig. 31

Variando entre los lmites -4.205 x 10-3 < < 4.205 x 10-3 se obtiene la relacin -fmm para el sistema magntico completo segn se observa en la Fig. 32 c.

Como una aproximacin vlida para el hierro operando alejado de la saturacin se tiene

que:

Se considera al hierro ideal (r = ; y Ri 0): Se usa como caracterstica magntica para todo el sistema la indicada en la Fig. 32 b. Aqu se comete un error

de alrededor del 12%.

Si la reluctancia del ncleo ferromagntico es pequea pero es una porcin significativa

de la reluctancia total del sistema, entonces se reemplaza el lazo de histresis por una

lnea recta de pendiente 1/Ri que pasa por el punto correspondiente a los valores de pico

(4.205 x 10-3

, 162) en la Fig. 32 a. El error cometido al ignorar histresis y no linealidad

es pequeo. Para el sistema en conjunto la relacin -fmm es ahora una lnea recta de pendiente 1/(Ri+Ra).

1.15. Inductancia y energa almacenada en un sistema magntico con

entrehierro.

Se asume que la relacin -fmm es lineal; la inductancia es constante e igual a:

H 22

N

Ni

N

i

N

iL

[66]

La energa almacenada en el campo magntico es:

J 21 2LiWB [67]

Ejemplo 8: La Fig. 33 muestra una seccin transversal de un sistema magntico de una

mquina de corriente continua tomada. En cada uno de los cuatro polos del estator hay



34

una bobina de 500 vueltas, y como todas las bobinas estn conectadas en serie, todas

llevan la misma corriente. Los polos del estator estn hechos de muchas lminas de

material M-36 de 0.356 mm de espesor. Las dimensiones de cada polo son 100 mm en

direccin radial, 90 mm de arco de circunferencia y 110 mm en direccin axial. El

rotor es tambin de acero laminado y tiene 200 mm de dimetro. El yugo del estator

que es de hierro fundido, tiene 460 mm de dimetro medio y una seccin transversal de

150 mm x 60 mm. El entrehierro tiene una longitud de 1.5 mm.

Considerando despreciables el flujo de dispersin y el efecto de bordes en el

entrehierro, encuentre:

a. El circuito magntico equivalente para el sistema. b. Empleando las curvas de la Fig. 7 determine la corriente necesaria en la

bobina para producir B = 1.0 Tesla en el entrehierro.

c. Los enlaces de flujo totales del campo en las bobinas. d. La inductancia del circuito de campo completo. e. La energa almacenada en el sistema magntico. f. La energa almacenada en el entrehierro.

Figura 33. Sistema magntico de la mquina de corriente continua del ejemplo 8.

1.16. Circuito equivalente de un inductor

En un inductor ideal se cumple:

El campo elctrico producido por el bobinado es despreciable

La resistencia del bobinado es despreciable

Todo el flujo magntico est confinado en el ncleo ferromagntico

La permeabilidad relativa del material del ncleo es constante

Las prdidas en el ncleo son despreciables



35

Se aplica v a un bobinado de N espiras y fluye ie. La fmm Nie produce y se establecen

enlaces de flujo . Si v vara aparece una fuente de tensin inducida y como R=0, se tiene que:

V dt

dev

[68]

Como r = constante :

WbeLi [69]

V dt

diLv e [70]

Si v es una funcin sinusoidal del tiempo con = frecuencia angular:

V eLe IjXILjEV [71]

Figura 34. Circuito equivalente del inductor (a) Ideal; (b) con resistencia

Figura 35. Circuito equivalente del inductor con

resistencia en el bobinado y prdidas en el ncleo

En un inductor real se cumple que:

Resistencia en el bobinado

Prdidas en el ncleo

Naturaleza no toroidal del bobinado



36

En este caso se divide en dos componentes, una correspondiente a magnetizacin y otra correspondiente a dispersin (ver Fig. 36):

Wb lm [72]

R(ncleo)



37

Figura 37. Circuito equivalente del inductor

incluyendo enlaces de flujo de dispersin

Para el circuito equivalente presentado en la Fig. 37 se asume que:

El campo elctrico producido por el bobinado es despreciable

La resistencia del bobinado se representa concentrada en un terminal

El flujo magntico se divide en dos partes: o Flujo principal confinado al ncleo ferromagntico y al entrehierro o Flujo de dispersin que es producido en un camino de aire que rodea a la

bobina

Ejemplo 9. A la bobina de 2000 vueltas de un inductor con entrehierro en el ncleo,

como la mostrada en la Fig. 36, se le ha medido una resistencia de 17.5 . Para una corriente en la bobina de 0.7 A, una bobina de bsqueda ubicada sobre el ncleo

inmediatamente adyacente al entrehierro indica un flujo de 4.8 x 10-3

Wb, mientras que

otra bobina de bsqueda bobinada encima de la bobina del inductor indica un flujo de

5.4 x 10-3

Wb.

Asumiendo que las prdidas en el ncleo de este inductor son despreciables, dibuje un

circuito equivalente y determine sus parmetros.

1.17. Sistemas Magnticos con ms de un bobinado

Figura 38. Sistema magntico y su circuito equivalente



38

0

0

22121

1211

spgp

pgps

[80]

Con:

g

ss

p

p

p

s

ss

A

l

A

l

A

l

0

pg AA si g pequeo

Dividiendo las expresiones de la Ec. [80] para N1 y derivando con respecto al tiempo se

tiene:

0

0

122

2

1

21

2

1

2

1

2

1

11211

1

2

1

2

1

2

1

2111

2

1

11

dt

NiNd

Ndt

dN

NNNdt

dN

dt

dN

dt

di

dt

di

NNNdt

dN

dt

dN

Ndt

dN

spgp

pgps

[81]

Considerando las siguientes equivalencias:

2

1

1

22'

2

111

1

NL

N

iNi

dt

dNv

s

s

2

1

2

1

12

2

1'

2

1

1

NL

NL

dt

dN

N

Nv

p

p

g

g

[82]

Se tiene que:

0112

0121

'

2'

21

'

21

1'

211

dt

div

Lvv

LLdt

di

dt

divv

LLv

L

sgp

gps

[83]

Los flujos concatenados por cada uno de los dos bobinados pueden ser expresados

como:



39

'

2

'

221212221212

'

2

'

121112121111

iLiLiLiL

iLiLiLiL

[84]

Resolviendo el sistema de Ecs. [83] [84] pueden ser determinadas las autoinductancias e inductancias mutuas del bobinado 1 como:

gps

gps

gps

s

i

gpssgp

i

NNiN

i

N

iL

N

i

iN

iL

24

2

2

24

2

22

2122

2

1

2

01

12

2

1

1

11

1

01

11

1

2

[85]

1.17. Conversin de Energa

Figura 39. Rel y su curva vs. i.

El balance de flujo de energa para un periodo dt con un movimiento dx se expresa

como:

fdWfdxeidt [86]

entrada Salida Cambio en

elctrica = Mecnica + energa del campo

fdxiddW f [87]

Si x = x0 El flujo en el ncleo y la armadura se incrementan con la corriente de excitacin

El flujo correspondiente a una corriente de excitacin es mayor cuando la reluctancia del entrehierro es ms pequea, es decir cuando x < x0.

La energa usada para magnetizar el rel desde la no excitacin hasta (i0, 0) con x fijo se almacena como energa de campo dada por el rea sombreada (ver Fig.

39 b).



40

La curva vs. i es una funcin de x, de aqu que Wf puede expresarse como una funcin de y x y su diferencial puede expresarse como:

dxx

Wd

WxdW

ff

f

, [88]

Igualando a la Ec. 87 se tiene:

x

Wf

Wi

f

f

[89]

El rea rayada de la Fig. 39 (b) es referida como coenerga y puedes ser expresada

como:

),(' xWiW ff [90]

fdxiddiiddW

xdWiddW

f

ff

'

' ,

fdxdidW f ' [91]

dxx

Wdi

i

WxidW

ff

f

''

' , [92]

x

Wf

i

W

f

f

'

'

[93]

01 revisión de relaciones fundamentales

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