01-r matemático (1 - 6)
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Raz.Matemtico
1Situaciones Lgicas y Recreativas
OBJETIVOS:
Defiende tu derecho apensar, porque inclusopensar de manera errneaes mejor que no pensar.
Hipata
Utilizar sus habilidades creativas con sentido lgico al afrontar la resolucin de nuevas situaciones proble-mticas.
Descubrir lo ameno que es jugar con las matemticas.
Los ejercicios tratados en este captulo muestran situacio-nes, a veces familiares pero relacionadas con el pensamientocreativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector,mejorar notoriamente tu capacidad de razonamiento.
Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar con-clusiones con solamente un criterio lgico, sin hacer uso deconocimentos profundos de la matemtica y la lgica.
Se vern problemas sobre relacin de tiempos, ejercicioscon cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobretraslados, problemas sobre calendarios, problemas sobrecertezas y problemas sobre orden de informacin.
Siendo jueves el maana de hoy, qu da ser el ante-ayer del maana de pasado maana?
a) mircoles b) jueves c) martesd) lunes e) sbado
Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato)
Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > Jueves
Siendo el maana de pasado maana martes, qu da
ser el anteayer del ayer de maana?
a) sbado b) mircoles c) lunesd) jueves e) domingo
Rpta.: d
Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2
Rpta.: e
-2 -1 0 +1 +2 +3
J V S D L M
(Piden) (Dato)
Nociones Previas
I. PROBLEMAS SOBRE RELACIN DE TIEM
POS
Ejemplo 1:
Resolucin:
Ejemplo 2:
Resolucin:
* SISTEMA RELACIN TIEMPO
Si el anteayer de dentro de 5 das es domingo, qu daser el pasado maana de ayer de hace 3 das del pasadomaana de maana?
a) lunes b) sbado c) martes
d) viernes e) jueves
Ejemplo 3:
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5to Secundaria
En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre,1 to, 1 ta, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrinay 2 primos. Si cada uno consumi un men de 5 soles,cunto gastaron en total, como mnimo?
a) 30 soles b) 40 soles c) 20 solesd) 50 soles e) 60 soles
En este tipo de problemas debemos tener en cuenta,en el momento de la resolucin, que cada uno de losintegrantes de la familia puede desempear en un mis-mo problema papeles diferentes. As por ejemplo, unamisma persona puede ser padre e hijo a la vez.Luego haciendo un esquema utilizando la menor can-tidad de personas, se tiene:
Como mnimo estuvieron 4 personas.
Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20 Rpta.: b
Ejemplo 2:
Resolucin:
Piden: Ayer del ayer de anteayer
-1 -1 -2
= -1 -1 -2 = -4
Camila ve en la vereda a un hombre y dice: El nicohermano de ese hombre es el padre de la suegra de miesposo. Qu parentesco tiene el hermano de esehombre con Camila?
a) padre b) to c) to abuelod) abuelo e) suegro
Hagamos un grfico
Del grfico se deduce que el hermano de ese hombrees el abuelo de Camila.
Rpta.: d
Dato: -2 + 5 domingo +3 domingo ... (I)
Piden: +2 -1 -3 + 2 + 1 = 1 ...(II)
ahora de (I) y (II):
viernes sbado domingo
+1 +2 +3
Incgnita
Dato
Si el anteayer del maana de pasado maana es martes,qu da fue el ayer del ayer de anteayer?
a) lunes d) sbado b) martese) viernes c) jueves
Dato:
Anteayer del maana de
pasado maana martes
+1-1
+2
Rpta.: e
-2 + 1 + 2 martes +1 martes
abuelo
Resolucin:
Ejemplo 4:
Resolucin:
jueves
-4viernes
-3sbado
-2domingo
-4lunes
0martes
+1
retroceder Dato
Incgnita Rpta.: c
II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO
Ejemplo 1:
Resolucin:
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Raz.Matemtico
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Cuntos cerillos debes mover como mnimopara formar siete cuadrados?
Cuntos palitos hay que mover como mnimo
para obtener una verdadera igualdad?
La hermana del hijo de la hermana del hijo delhermano de mi padre es mi:
Qu parentesco tiene conmigo, la hija de la
nuera de la mam de mi madre?
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
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5to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Rosa ve en el mercado a un hombre y dice: El
nico hermano de ese hombre es el padre de la
suegra de mi esposo. Qu parentesco tiene el
hermano de ese hombre con Rosa?
Si el maana del pasado maana del ayer de
maana de hace 3 das es mircoles, qu da
ser el ayer del pasado maana del maana del
pasado maana?
7. De las fichas que se muestran en la figura, cules
deben ser invertidas para que la suma de los puntos
de la parte superior sea el triple de la suma de las
partes de la parte inferior?
a) 2 y 5 b) 3 y 4 c) 1 y 3
d) 2 y 4 e) 1 y 2
(1) (2) (3)
(4) (5)
8. Si el ayer del pasado maana del maana de an-teayer de maana es jueves, qu da fue ayer?
a) lunes d) jueves b) martes
e) domingo c) mircoles
9. El hermano de Sofa tiene un hermano ms quehermana. Cuntos hermanos ms que hermanas
tiene Sofa?
a) 3 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4
10. Si el presente mes tiene 5 martes, 5 mircoles y 5jueves, qu da caer el 20 de dicho mes?
a) sbado d) jueves b) lunes e) viernes c) domingo
Resolucin: Resolucin:
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Raz.Matemtico
1. Si hoy es jueves, qu da de la semana fue hace
100 das?
a) lunes d) viernes
b) martes e) domingo
c) sbado
2. Cuntos cerillos se debe mover como mnimo para
obtener 5 cuadrados iguales a los mostrados?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Qu es respecto a m el abuelo materno del mel-
lizo de Leonel si la madre de Leonel es la hermana
de mi hermano gemelo?
a) abuelo d) padre
b) hijo e) yerno
c) to
11. Coloca los nmeros del 1 al 9, uno por crculo, demanera que las sumas de los nmeros de cada ladosea igual a 20. Da como respuesta la suma de losnmeros que van en los vrtices.
12. En la siguiente figura, distribuye los nmeros del 1al 12, de modo que la suma de los nmeros que sehallan en cada lado del cuadrado sea 22. De como
respuesta la suma de los nmeros que van en losvrtices (x + y + z + w).
x
y
w
z
4. Si el ayer del anteayer de maana es sbado, qu
da ser el maana del maana del pasado maana
de ayer?
a) lunes d) viernes
b) mircoles e) sbado
c) jueves
5. Martn se jactaba de tratar muy bien a la suegra de
la mujer de su hermano, por qu?
a) es su mam
b) es su hermano
c) es su hermana
d) es su to
e) es su abuela
6. Mi nombre es Mentorcito y mi hermano Miguelito,
adems mi abuela tuvo un hijo solamente. Qu
parentesco tiene conmigo la hija de la nuera de la
mam de mi madre?
a) mi hermana d) prima
b) ta e) abuela
c) madre
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5to Secundaria
7. Si m = 2m,
calcula:
m + m + m + m + m
a) 5m b) m c) 3m
d) 0 e) 1
8. Siendo viernes el maana de maana de hace 5
das, qu da ser el anteayer del anteayer de den-
tro de 4 das?
a) lunes
b) martes
c) jueves d) sbado
e) viernes
9. Cuatro profesores de la academia y 2 alumnas
tienen que cruzar un ro en una canoa. En cada
viaje puede ir uno de los profesores o las dos alum-
nas, pero no un profesor y una alumna a la vez.
Cul es el mnimo nmero de veces que la canoa
tiene que cruzar el ro en cualquier sentido para
que todos logren cruzar dicho ro?
a) 12 b) 16 c) 17
d) 21 e) 9
10. Cuntos palitos se debe mover como mnimo para
dejar la basurita fuera del recogedor?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) ninguno
11. En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sbados.
Qu fecha cae el tercer mircoles de dicho mes?
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
12. Sal, Anibal y Marco son mdicos. Dos de ellos
son cardilogos y uno pediatra. Anibal y Marco
afirman que uno de ellos es cardilogo y el otro es
pediatra, por lo que podemos deducir que:
a) Anibal y Marco son pediatras.
b) Sal es pediatra.
c) Anibal y Marco son cardilogos.
d) Anibal es cardilogo y pediatra.
e) Sal es cardilogo.
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Raz.Matemtico
En este captulo nos encontraremos con diversos tipos deproblemas en cuya resolucin debemos tener en cuenta losiguiente:
La informacin que nos da el problema necesita serordenada.
Se comienza el ordenamiento utilizando la informacinprecisa o la ms relacionada.
Debemos verificar que la respuesta final que hallamoscumpla con las condiciones del problema.
Para su mejor estudio han sido agrupados, segn la manerade ordenar la informacin, en:
a) Ordenamiento lineal.b) Ordenamiento por posicin de datos.
c) Relacin de datos (cuadro de afirmaciones).
d) Ordenamiento circular.
En este caso se procede a ordenar la informacin, ubi-cando los datos en forma vertical u horizontal, segncorresponda.
a) Creciente o decreciente
En una fiesta se encuentran 4 amigos Sandro, Luis,Pedro y Martn. Adems:
Sandro es ms alto que Martn pero ms bajoque Luis. Pedro es ms alto que Sandro.
Indica verdadero (V) o falso (F), segn correspon-da. El ms alto de los 4 es Luis. ( )
El ms bajo es Martn. ( ) Es imposible que Pedro sea el ms alto. ( )
Se sabe que:
Carlos es 3 cm ms alto que Diego. Juan es 2 cm ms bajo que Diego.
Juan es 5 cm ms bajo que Carlos. Lucy es 3 cm ms baja que Diego.
Indica verdadero (V) o falso (F) segn correspon-da.
Diego y Juan son de la misma talla. ( ) Lucy es la ms baja. ( )
Diego es el ms alto. ( )
Genio e Ingenio
Durante su etapa como profesor activo, al final deun examen un alumno se acerc a Albert Einstein y lecoment sorprendido: Las preguntasdel examen de esteao son las mismasq u e l a s d e l a opasado! S - le contestEinstein-, pero esteao las respuestas
s o n t o t a l m e n t ediferentes.
Nociones Previas
Orden de Informacin I
Orden de Informacin II
A. ORDENAMIENTO LINEAL
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2 Orden de Informacin(Horizontal y Vertical)
OBJETIVOS:
Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio.
Potenciar la habilidad analtica.
Ejercitar la capacidad recreativa con la matemtica.
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5to Secundaria
Nota
Un postulante a la Catlica compra 6 libros y losubica en un estante de su biblioteca de la siguientemanera:
El libro de Aritmtica est siempre junto y a laizquierda del de lgebra.
El libro de Fsica est siempre junto y a laizquierda del libro de Qumica.
El libro de Geometra est a la izquierda del de
lgebra. El libro de Trigonometra est a la derecha del de
Aritmtica y a la izquierda del libro de Fsica.
Indica verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda. El libro que est a la derecha de los dems es el
libro de Qumica. ( ) El libro que est a la izquierda de los dems es el
libro de Aritmtica. ( ) El cuarto libro contando desde el extremo
derecho es el libro de lgebra. ( )
El quinto libro contando desde el extremoizquierdo es el libro de Fsica. ( )
Existen ejercicios en los quehay ms de un ordenamiento;para que una afirmacin seaverdadera debe cumplirse
en todos los posibles
ordenamientos.
CUIDADO!
En este tipo de ejercicios algunos datos ya tienen unaposicin determinada y la ubicacin de los otros esten funcin de ellos. Los problemas ms comunes sonlos problemas de edificios y los de carreras.
Cuatro hermanos viven en unedificio de 4 pisos. Si Arturovive en el primer piso, Mariovive abajo de Jorge y Willyvive en el piso inmediatamen-te superior al de Mario, enqu piso vive Willy?
4
3
2
1
Se observa nueve automviles estacionados en fila,y cada uno de ellos es de un color determinado. Sedesea saber el color del auto que est en el segundo
lugar, sabiendo que: El primero es blanco. El de color habano est entre el negro y el gris. El verde est entre el azul y el rojo. El de color arena est al ltimo. El rojo est entre el verde y el lila. El negro est despus del habano. El gris entre el lila y el habano.
Las proposiciones: A no es mayor que B, significa que A pued e
ser menor o igual que B.
A no es menor que B, significa que A puedeser mayor o igual que B.
b) Lateral
El procedimiento es similar al seguido en el ordena-miento creciente o decreciente.
izquierda derechaoeste este
occidente oriente
Cinco amigos van al estadio Monumental a ver elclsico U vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientosseguidos en fila. Si se sientan juntos siempre que no
sean del mismo sexo, y en ese caso se deja un asientodesocupado, entonces un jugador desde el campoobserva que: Susy est en el extremo derecho.
Braulio est entre Leandro y Luca. Boris est a la izquierda de Leandro que est
sentado junto a Susy.
Indica verdadero (V) o falso (F), segn corresponda. Luca se sienta en el extremo izquierdo. ( )
Braulio se sienta junto a Luca. ( ) La quinta posicin a partir del extremo derecho
est vaca. ( ) La quinta posicin a partir del extremo izquierdo
est vaca. ( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejemplo 2:
Ejemplo 2:
B. ORDENAMIENTO POR POSICIN DE DATOS
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
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Raz.Matemtico
Un edificio de 6 pisos est ocupado por 6 familias,cada familia ocupa un piso , los Aburto viven 2 pisosms arriba que los Caldern y 2 pisos ms abajo que
los Barrera, los Durn viven en el segundo piso y losGmez no viven adyacentes con los Aburto. En qupiso viven los Muoz?
Segn el primer dato hay 2 posibilidades:
(1)
Barrera
Aburto
Caldern
6.
5.
4.
3
2.
1.
(2)
Barrera
Aburto
Caldern
Puesto que los Durn viven en el 2. piso, slo es posible(1). Los Gmez no viven en el 4. piso, sino en el 6.En consecuencia los Muoz viven en el 4. piso.
En conclusin
Aburto
Caldern
6
5
4
32
1
Gmez
Durn
Barrera
Muoz
Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino yPepe es menor que Pipo, cul es el mayor?
Resolucin:
Empecemos representando en segmentos verticales lainformacin inicial con precisin, no debemos suponerlo que el enunciado no indique; veamos:
Pedro es menor que PepePepe
Pedro
Pipo es menor que PinoPino
Pipo
Ntese que es necesario trazar 2 segmentos, debido aque no se presenta ningn vnculo entre las anterioresproposiciones.
* Ahora utilicemos el vnculo que los relaciona:
Pedro es menor que Pipo
Pino
Pipo
Pepe
Pedro
Se aprecia que el mayor es Pino.
En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid,un periodista hizo las siguientes anotaciones de los sieteatletas participantes (ol, Pepe, Mario, Cano, Kilito yMakito). ol lleg antes que Pepe y despus que Mario. Mario lleg despus que Cano y ste despus que
Kilito. Trilcito lleg antes que Cano.Quin lleg en cuarto lugar?
Resolucin:Pepe ol MarioMario Cano Kilito
Cano Makito
Pepe
ol
Mario
Can
o
6. 5. 4. 3. 2. 1.
Makito y Kilito
En cuarto lugar Mario.
Dada la siguiente informacin:I) Aristteles es menor que Jos.
II) Jos es un ao menor que Walter.III) Walter es 21 aos menor que Renn.Si resto las edades de Renn y Jos, obtengo:
Resolucin:
22 aos.
Renn
Walter
Jos
Aristteles
21
1
= 22-
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:Resolucin:
-
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5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cadapiso vive una familia. La familia Mendez vive
un piso ms arriba que la familia Garca. La
familia Dueas vive ms arriba que la familia
Prado y la familia Mendez ms abajo que
la familia Prado. En qu piso viven los
Mendez?
En un edificio Beatriz vive ms arriba que lex,
Javier ms arriba que Sal y ste ms arriba que
lex. Si Beatriz y Javier viven en el mismo piso,
cules de las afirmaciones son necesariamente
verdaderas?
I. Javier vive ms arriba que lex.
II. Javier vive ms abajo que lex.
III. Beatriz vive ms arriba que Sal.IV. Beatriz adora a Javier.
Cinco amigos estn sentados en una banca enel parque, ubicados uno a continuacin de otro.
Zarah y Pedro se ubican en forma adyacente,
Pedro no est al lado de Silvia ni de Juan y
Zarah est en un extremo. Si Silvia y Manuel
estn peleados (no se sientan juntos), quin se
sienta al lado de Silvia?
Sobre una mesa hay un lapicero, un color y un
plumn. Si sabemos que:
- A la izquierda del color hay un lapicero.
- A la derecha del plumn est el que pinta
azul.
- A la izquierda del que pinta azul est el que
pinta verde.
-
A la derecha del que pinta rojo hay unplumn.
Entonces al extremo derecho, qu objeto est?
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
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Raz.Matemtico
Rpta:
5
Rpta:
6En una competencia de motocrs participan 6
personas cada una con sus motos numeradas
del 1 al 6. Se sabe que:
- Los tres ltimos lugares lo ocupan motos
con numeracin de los primeros nmeros
primos.
- La moto 6 lleg inmediatamente despus del 1.
- La diferencia entre el quinto y el segundo es 4.
- La moto de cuarto lugar es la semisuma de
los nmeros de las motos de lugares extremos.
Qu moto se encuentra a dos lugares de la
moto nmero 1?
En una carrera participan 4 amigas: Milena,
Rosa, Katy y rsula. Si del orden en que lle-
garon se conoce:
- Ni las trampas ayudaron a ganar a Rosa.- rsula y Katy llegaron una detrs de otra
en orden alfabtico.
- Milena aventaj a Rosa en 3 puestos.
Quin gan la carrera?
Quin lleg tercera?
7. En cierto examen, Sara obtuvo menos puntaje queNataly, Vanessa menor puntaje que Karina, Ireneel mismo puntaje que Susana, Sara ms que Silvia,Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene msque Karina. Quin obtuvo menos puntaje?
8. En una carrera participan 6 personas: A, B, C, D,E y F. Se sabe que A lleg antes que D, pero 2puestos despus que F, y B lleg inmediatamentedespus que A, pero antes que E. Se puede afirmarque:
I. C lleg en segundo lugar. II. D lleg antes que E. III. E lleg en sexto lugar.
9. En un edificio de 5 pisos viven las familias: Flores,Zanabria, Miranda, Prez e Islas cada una en pisosdiferentes.- Los Islas viven encima de los Zanabria.- Los Flores viven lo ms alejado de los Miranda.- Los Miranda no pueden subir las escaleras.- A los Prez les hubiera gustado vivir en el ltimo
piso.Son ciertas:
I. Los Flores viven en el piso dos.II. Los Prez viven en el piso tres.III. Los Miranda viven en el piso uno.
10. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en unpiso diferente. Carlos vive ms abajo que Bica,pero ms arriba que David. Franco vive 3 pisos msabajo que Carlos. Andrs vive 2 pisos ms arribaque Carlos y a 4 pisos de Enzo. El tercer piso loocupa:
Resolucin:
Resolucin:
-
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5to Secundaria
11. Se colocan en un estante seis libros de razonamientomatemtico, aritmtica, lgebra, fsica, historia ygeometra. Si:- El libro de aritmtica est junto y a la izquierda
del de lgebra.- El libro de fsica est a la derecha del de
aritmtica y a la izquierda del de historia.- El libro de historia est junto y a la izquierda del
de geometra.- El libro de razonamiento matemtico est a la
izquierda del de lgebra. De derecha a izquierda, el cuarto libro es de:
12. Seis amigas estn escalando una montaa, Carlaest ms abajo que Juana, quien se encuentra unlugar ms abajo que Mara. Daniela est ms arribaque Carla pero un lugar ms abajo que Tania, quien
est ms abajo que Rosa, que se encuentra entreJuana y Tania. Quin est en el cuarto lugar delascenso?
1. Cinco profesores: Medina, Parodi, Fernndez,
Cartoln y Lpez estn sentados en fila. Parodi
est en el extremo de una fila y Fernndez en el
otro extremo. Cartoln estaba al lado de Parodi y
Medina al lado de Fernndez. Quin estaba en el
medio?
a) Medrano
b) Cartoln
c) Fernndez
d) Lpez
e) Parodi
2. En una banca en el parque se sientan Juana a la
derecha de Mara y Ana a la izquierda de Juana,
por lo tanto:
a) Juana est al medio.
b) Juana est a la derecha.
c) Juana est a la izquierda.
d) Ana est al medio.
e) Mara est al medio.
3. Si Mara es mayor que Luca, Irene es menor que
Mara y Luca es menor que Irene, quin no es
mayor ni menor?
a) Mara b) Luca
c) Irene d) Ninguna
e) F.D.
4. Cinco amigos A, B, C, D y E viven en un edificio
de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe
que:
- El departamento del cuarto piso est desocu-
pado.
- D vive adyacente a A y C.
- E no vive en el ltimo piso.
Se afirma:
I. B vive en el sexto piso.
II. A no vive en el tercer piso.
III. C vive ms arriba que A.
Son verdaderas:
a) Slo I
b) II y III
c) I y III
d) Todas
e) I y II
5. Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que:
- B obtuvo un punto ms que D.
- D obtuvo un punto ms que C.
- E obtuvo dos puntos menos que D.
- B obtuvo dos puntos menos que A.
Ordnalos de mayor a menor puntaje.
a) ABCDE b) EDCBA
c) ECDBA d) CBADE
e) ABDCE
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Raz.Matemtico
9. Cuatro amigos viven en un edificio de 4 pisos.
Alberto vive en el primer piso, Martn vive ms abajo
que Jos y Walter vive en el piso inmediatamente
superior a Martn. En qu piso vive Walter?
a) Primero b) Cuarto
c) Segundo d) Tercero
e) F.D.
10. En un examen de Razonamiento Matemtico Luis
obtuvo menos puntos que lex, bner menos pun-
tos que Luis y Cristian ms puntos que Jessica. Si
Jessica obtuvo ms puntos que lex, quin obtuvo
el mayor puntaje?
a) Luis b) Jessica
c) lex d) bner
e) Cristian
11. Se deben realizar cinco actividades A, B, C, D y
E una por da desde el lunes hasta el viernes. B
se realiza despus de D. C se realiza el jueves o el
mircoles. D se realiza el jueves o el viernes. Halla
la secuencia en que se realizan las actividades si A
se realiza antes que E.
a) AECBD b) CEADB
c) AECDB d) EACBD
e) CAEDB
12. De un total de 30 inculpados; haban 8 que El Chino
quera castigar y a los dems dejarlos libres. Puso a
los 30 en crculo y castig a cada uno que ocupara
el 8. lugar. Hay 2 castigados que inicialmente
ocuparon lugares consecutivos. Cules son esos
lugares?
a) 8. y 9. b) 2. y 3.
c) 16. y 17. d) 20. y 21.
e) 24. y 25.
6. En un examen de Razonamiento Matemtico Rosa
obtuvo menos puntos que Mara, Laura menos
puntos que Luca, Noem el mismo puntaje que
Sara, Rosa ms que Sofa, Laura el mismo puntajeque Mara; y Noem ms que Luca. Quin obtuvo
menos puntaje?
a) Laura
b) Sofa
c) Mara
d) Sara
e) Rosa
7. Se sabe que Pablo es 4 cm ms alto que Julio,
Mnica es 3 cm ms baja que Julio. Ricardo es7 cm ms bajo que Pablo, Ruth es 4 cm ms baja
que Julio. Cules de las siguientes afirmaciones
son ciertas?
I. Ricardo y Mnica son de la misma talla.
II. Julio es ms alto.
III. Ruth es la ms baja.
a) Todas
b) II y III
c) I y II
d) Slo una es cierta
e) I y III
8. Carlos, Dante, Too, Erick, Beto y Flavio se ubican
en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro.
Too est junto y a la izquierda de Beto, Carlos a
la derecha de Too entre Flavio y Dante, y Dante
est junto y a la izquierda de Erick. Quin ocupa
el tercer asiento si los contamos de izquierda a
derecha?
a) Carlos
b) Flavio
c) Erick
d) Too
e) Dante
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5to Secundaria
3 Orden de Informacin(Relacin de Datos - Cuadro de Decisiones)
C. RELACIN DE DATOS
CUADRO DE AFIRMACIONESSe debe construir una tabla en la cual se relacionan losdatos proporcionados, marcando las relaciones correctasy eliminando las negativas.
Tres amigas: Carmen, Ftima y Milagros comentansobre el color de polo que llevan puesto.- Carmen dice: Mi polo no es rojo ni azul como los
de ustedes.- Milagros dice: Me gustara tener un polo verde
como el tuyo.- Ftima dice: Me gusta mi polo rojo.Qu color de polo tiene cada una?
Primero construimos un cuadro con todas las posibi-lidades.
Resolucin
Azul Rojo Verde
Carmen
Ftima
Milagros
Primer Dato:Como Carmen no usa polo rojo ni azul, entonces usapolo verde.
Tercer Dato:Ftima tiene polo rojo.
Por lo tanto: Carmen Verde ; FtimaRojo Milagros Azul
Azul Rojo Verde
Carmen X X
Ftima X
Milagros X
Ejemplo 1:
Azul Rojo Verde
Carmen
Ftima
Milagros
X X
X
X
X
X
Gauss, a la edad de diez aos su maestro solicit ala clase que encontrar la suma de todos los nmeroscomprendidos entre uno ycien. El maestro, pensandoque con ello la clase estaraocupada algn tiempo, quedasombrado cuando Gauss,levant en seguida la manoy dio la respuesta correcta.Gauss revel que encontr lasolucin usando el lgebra, elmaestro se dio cuenta de queel nio era una promesa en lasmatemticas.
Reto
Cuntas cerillas hay que mover como mnimo paraobtener una verdadera igualdad?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
-
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23
Raz.Matemtico
Mily, Pili, Lenn y Ely terminaron sus estudios de Medi-cina, Ingeniera, Matemtica y Derecho, se sabe que:- Mily no estudia Medicina.
- Pili hubiera estudiado Derecho si Lenn hubieraestudiado Ingeniera.
- Ely quiere empezar a estudiar Matemtica.- Lenn estudiara Medicina si Pili no lo hiciera.- Mily estudiaba Derecho pero se traslad a
Matemtica, qu estudia Pili?
Resolucin
* De los dos primeros enunciados:- Lenn no estudia Medicina.- Pili no estudia Derecho, Lenn no estudia Ingeniera.
- Lenn estudiaria Medicina si Pili no lo hiciera.- Mily estudiaba Derecho pero se traslad a
Matemtica.
Se tiene:- Ely no estudia Matemtica.- Lenn no estudia Medicina, Pili si estudia Medicina.- Mily estudia Matemtica.
Mily
Pili
Medicina Ingeniera Matemtica Derecho
Lenn
Ely
No
No
No
Mily
Pili
Medicina Ingeniera
No
Matemtica Derecho
Lenn
Ely
S
No
No
No
No
No
S
S
No
No
No
No
No
S
No
De tres amigas se sabe que:- Ana y la divorciada visitan siempre a Carmen.- Ana era muy amiga del fallecido esposo de la seora
Cruz.- La viuda y Betty son menores que la seora Quiroz.- La seora Pez es bien alegre.El nombre correcto es:
a) Betty Ruiz b) Betty Pez c) Ana Pezd) Carmen Pez e) Carmen Ruiz
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Resolucin
ViudaRuiz
Quiroz Pez
Ana
Carmen
Betty
No S No
S No No
No No S
Betty Pez
Rpta.: b
Reto
Tres amigos en el bar
Les voy a contar una vieja historia que muy bien
pudiera ser real:
Van tres amigos a tomarse un refresco. Despus de
tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lo.
-Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor.
-Camarero: Son 300 pesetas, caballeros.
Y cada uno de ellos pone 100 pesetas.
Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo
ve el jefe y le dice: -Jefe : No, esos son amigos mos. Cbrales slo 250
ptas.
El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas
puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente:
-Camarero: Ya est. Me quedar con 20 ptas y les
devuelvo 30, diez para cada uno.
Les devuelve a cada uno 10 ptas.
Ahora es cuando viene el problema. Si cada uno puso
100 ptas y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno
de ellos 90 ptas.
90 x 3 = 270 ptas. Si aadimos las 20 que se queda el
camarero son 290 ptas.
DNDE ESTN LAS OTRAS 10 PESETAS ?
-
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5to Secundaria
C. ORDENAMIENTO CIRCULAR
En estos casos se presenta la informacin indicando quese ubican los datos alrededor de un objeto, formando asuna lnea cerrada (circunferencia).
Seis amigos se sientan a comer helados alrededor deuna mesa.- Julio est al lado de Carlos y al frente de Ana.- David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos.Entonces es siempre cierto que:A) Ana y Carlos se sientan juntos.B) David est a la derecha de Julio.C) David est a la izquierda de Julio.D) Ana y Carlos estn separados por un asiento.
Resolucin
Carlos
Ana
Julio
(Primera posibilidad)
Ana
Julio
Carlos
(Segunda posibilidad)
Al analizar las alternativas, observamos que la que cum-ple en ambas posibilidades es la D (no es necesario elsegundo dato).
Seis amigos juegan domin alrededor de una mesa re-donda. David no est al lado de Coquito ni de Silvia.Piero no est al lado de Liz ni de Silvia. Coquito no
est al lado de Piero ni de Liz. Regina est junto y a laizquierda de Coquito. Quin est sentado junto y a laderecha de Coquito?
Resolucin
* Empezando porel ltimo dato,
tendremos: R
L
S
P
D
C
A la derecha de Coquito esta Silvia.
Rpta.: d
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ana invita a cenar a sus amigos: Betty, Coryna, Daniel,Ely y Felipe; este ltimo por razones de trabajo no pudoasistir.Se sientan alrededor de una mesa redonda con seisasientos distribuidos simtricamente y se sabe que:- Ana se sienta junto a Ely y Daniel.- Frente a Ely se sienta Betty.- Junto a un hombre no se encuentra el asiento vaco.Entre quines se sienta Ely?
Resolucin- Ana se sienta junto a Ely y Daniel.
- Frente a Ely se sienta Betty.
- Junto a un hombre no se encuentra el asientovaco. Entonces, dicho asiento debe de estar entrelas dos mujeres, luego:
Ely se sienta
entre Ana yCorina.
D E
A
D E
A
B
D E
A
B C
Ejemplo 3:
-
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Raz.Matemtico
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Ral, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentesocupaciones y se sabe que:
Ral y el gasfitero son amigos del mecnico.
Carlos es amigo del mecnico.
El comerciante es familia de Bruno.
El pintor es muy amigo de Pedro y del mecnico.
Ral es comerciante.
Cul es la ocupacin de Carlos?
Resolucin:
Felipe, Marco, Pedro, Daniel y Carlos harn
una encuesta en cinco distritos de Lima: La
Molina, San Isidro, Pueblo Libre, Lince y Mi-
raflores cada uno en un distrito diferente. Y se
sabe que:
Felipe ir a La Molina, pero Marco la har
en su propio distrito.
Las suegras de Pedro y Daniel viven en SanIsidro, por lo cual ellos no aceptan ir a ese
distrito.
Marco vive en Lince y es el nico que en-
cuesta en su distrito.
Daniel vive en Pueblo Libre.
Dnde encuesta Carlos?
Resolucin:
Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alre-dedor de una mesa circular con seis asientos
distribuidos simtricamente.
Adems:
D no se sienta junto a B.
A se sienta junto y a la derecha de B y fr-
ente a C.
E no se sienta junto a C.
Entre quines se sienta F?
Resolucin:
En una mesa circular de 7 sillas se sientan a
discutir cuatro obreros A, B, C y D y tres em-
pleados: X, Y, Z, y se sabe que:
Ningn empleado se sienta junto a otro
empleado.
B se sienta junto a D, pero Z no se sienta
junto a ellos.
Cul(es) de las siguientes afirmaciones soncorrectas?
I. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos.
II. X se sienta junto a B.
III. A se sienta junto a Y.
Resolucin:
-
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5to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6
7. Alicia, Carmen, Francis y Edith tienen diferentesprofesiones: periodista, mdico, kinesilogo ymatemtico y viven en las ciudades X, Y, Z y W.Adems, se sabe que: Francis no vive en X ni en Y. El mdico vive en X. Alicia vive en W. Edith es kinesiloga. El periodista nunca ha emigrado de Z.Qu profesin tiene Alicia?
8. Un estudiante, un mdico y un abogado comentanque cada uno de ellos ahorra en un banco difer-ente:
Yo ahorro en Interbank, dice el mdico a Ro-berto.
Tito comenta: El banco que ms inters pagaes el Wiese.
El abogado dice: Mi secretaria lleva mi dine-ro al Banco de Lima
El tercer personaje se llama Jos.Cmo se llama el estudiante?
Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alred-
edor de una mesa circular y se sabe que:
Las 5 sillas se encuentran distribuidas sim-
tricamente. A se sienta junto a B.
D no se sienta junto a C.
Podemos afirmar con certeza que:
I. D se sienta junto a A.
II. E se sienta junto a C.
III. B se sienta junto a D.
Resolucin:
En una mesa circular hay 6 asientos y se sien-
tan 4 amigos: A, B, C y D.
Nadie se ha sentado junto a A.
Si llega un amigo ms, podra estar junto aB.
Frente a D no hay nadie.
Quin est frente a C?
Resolucin:
9. Estn en una sala de conferencia: un ingeniero, uncontador, un abogado y un mdico. Los nombres,aunque no necesariamente en ese orden, de los pro-fesionales son: Pedro, Diego, Juan y Luis. Y si se sabeque:1. Pedro y el contador no se llevan bien.2. Juan se lleva muy bien con el mdico.3. Diego es pariente del abogado y ste es amigo de
Luis.
4. El ingeniero es muy amigo de Luis y del mdico.Quin es el mdico?
10. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudadessiguientes: Lima, Cusco e Iquitos; pero cada unotiene carcter diferente: tmido, agresivo y liberal. Marcos no est en Lima. Luis no est en el Cusco. El que est en Lima no es tmido. Luis no es liberal, ni tmido.
Se quiere saber en qu ciudad vive Vctor, que es
uno de los amigos, y qu carcter tiene. Adems sesabe que quien vive en Iquitos es agresivo.
-
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Raz.Matemtico
1. Tres amigos: Ana, Beto y Carlos tienen diferentes
profesiones; profesor, mdico y electricista, no nec-
esariamente en ese orden y se sabe que:
Ana es el mdico.
Beto no es el electricista.Cul es la profesin de Carlos?
a) Profesor
b) Contador
c) Mdico
d) Mecnico
e) Electricista
2. Ral, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes pro-
fesiones: ingeniero, profesor, abogado y mdicopero ninguno en ese orden.
Y se sabe que:
Carlos, el abogado y el mdico juegan ftbol.
Ral, el mdico y el abogado juegan ajedrez.
Qu profesin tiene Pedro?
a) Ingeniero
b) Mdico
c) Abogado
d) Profesor
e) Contador
11. Ana, Betty, Carol y Dina son 4 seoritas cuyasocupaciones son: enfermera, profesora, secretariay actriz (aunque no en ese orden necesariamente).Adems se sabe lo siguiente:
Ana y Betty son vecinas y se turnan para llevarseel auto al trabajo.
Betty gana ms dinero que Carol. Ana le gana siempre a Dina jugando casino. La actriz no vive cerca de la casa de la profe-
sora. La enfermera camina siempre a su trabajo. La nica vez que la secretaria vio a la actriz de-
tuvo su auto para pedirle un autgrafo. La actriz gana ms dinero que la profesora o la
secretaria, pero no tiene auto.
Qu ocupacin tiene Carol?
12. A, B, C y D corresponden a los nombres deRoberto, Gerardo, Manuel y Jess (no necesari-amente en ese orden). Roberto, C y D fueron al teatro juntos.
Gerardo, A y B trabajan en la misma fbri-ca.
A, C y Manuel concurren a los juegosmecnicos con regularidad.
D, B y Jess juegan en el mismo equipo. C es moreno, en cambio, Gerardo es de tez
blanca.Determina quin es moreno y quin es A.
3. En una mesa circular con seis asientos distribuidos
simtricamente se sientan cinco hermanos: Erica,
Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco.
Se sabe que:
Francisco y Miluska no se sientan juntos. Guisela se sienta junto a Erica y Francisco.
Fabiola se sienta frente a Guisela.
Quin se sienta frente al sitio vaco?
a) Erica
b) Guisela
c) Miluska
d) Fabiola
e) Francisco
4. Tres personas X, Y, Z disponen de A, B y C libros
aunque no necesariamente en ese orden.
Adems se conoce que:
Y le dice a la que tiene B que la otra tiene A
libros.
Z le dice a la que tiene A que tiene sed.
Se pregunta:
Quin tiene A libros?
a) X b) Y c) Z
d) X o Z e) Y o Z
-
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5to Secundaria
5. A, B y C tienen una mascota cada uno, perro, gatoy mono. Si B le dice al que tiene el gato, que la otratiene un perro, y C le dice a la que tiene el perro,que debera vacunarlo contra la rabia; entonces:
a) A tiene el monob) C tiene el gatoc) B tiene el perrod) A tiene el gatoe) B tiene el gato
6. Por mi casa vive un gordo, un flaco y un enano quetienen diferentes temperamentos. Uno para alegre,el otro colrico y el otro triste y se sabe que: Al gordo nunca se le ve rer.
El enano para molesto porque siempre lo fastidian por su tamao.Entonces:
a) El gordo para alegreb) El flaco para tristec) El enano para tristed) El flaco para alegree) El gordo para colrico
7. Rommel, lex, Luis y Eduardo practican los si-guientes deportes: ftbol, atletismo, natacin y
tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Brea,San Borja y Miraflores.Y se sabe que: Luis no vive en Los Olivos ni en Brea. El atleta vive en Los Olivos. Rommel vive en Miraflores. Eduardo es futbolista. El nadador nunca ha emigrado de San Borja.Qu deporte practica Rommel?
a) Natacin b) Atletismo c) Ftbold) Tenis e) Bsquet
8. Tres hermanos practican natacin, atletismo o bs-quet; cada deporte se identifica con un color: azul,rojo o verde, Juan no sabe nadar; el que juega porel verde es atleta; los rojos no juegan bsquet yGustavo participa por el verde. Qu deporte le cor-responde a Alberto y Gustavo, respectivamente?
a) Natacin y bsquetb) Bsquet y atletismoc) Atletismo y natacin
d) Natacin y atletismoe) Faltan datos
9. Luis, Judith, Armando y su prima Marilyn orden-aron helados de sus sabores favoritos. Cada unoorden un sabor diferente, tomaron helado dechocolate, fresa, vainilla y marrasquino. A Ar-mando y Marilyn no les gusta la fresa. Judith tomchocolate. Marilyn sola tomar marrasquino perose cans de ste. Qu ordenaron Armando y Mari-lyn, respectivamente?
a) Chocolate y fresab) Vainilla y fresac) Marrasquino y chocolated) Marrasquino y vainillae) Fresa y marrasquino
10. Los seores Prez, Snchez, Garca y Lazo sonmdico, abogado, ingeniero y matemtico, aunqueno necesariamente en ese orden. Prez no sabe demedicina ni de leyes, Snchez no sabe de nmerosni de planos Garca sabe los cdigos legales y Lazono sabe medicina ni tampoco de construccin.Qu profesin tiene el Sr. Prez?
a) Mdico d) Matemtico b) Abogadoe) Pintor c) Ingeniero
11. Marcos, Janeth, Manuel y Magaly son hinchas de lossiguientes equipos (no necesariamente en ese or-den): Boys, Universitario, Cristal y Alianza. Mar-cos no es hincha de Boys y su amigo tampoco. Sisabemos que Magaly es hincha de Universitario y suen amorado es hincha de Cristal y es el nico amigode Marcos, hincha de qu equipo es Marcos?
a) Universitario b) Boys c) Cristald) Boys y Cristal e) Alianza
12. Los cursos de R.M. y R.V., Aritmtica y lgebra
son dictados por Andrs, Carlos, Luis y Csar; y sesabe que: Luis es amigo del profesor de R.M. El profesor de R.M. no conoce a Carlos ni al
que dicta Aritmtica. Csar y el profesor de Aritmtica son amigos en
comn con el profesor de R.V. El nico amigo de Andrs es Carlos.Entonces la relacin correcta es:
a) Csar -R.V. b) Luis -R.M.
c) Andrs -lgebrad) Carlos -lgebra e) Andrs -R.V.
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Raz.Matemtico
4 Habilidad MatemticaOBJETIVOS:
Dominar mtodos prcticos en las operaciones, para aplicarlos en la multiplicacin, adicin, potenciacin, etc.
Resolver las situaciones complejas con fluidez y habilidad.
CLCULO DE NMEROS AL CUADRADO
En este captulo aprenderemos tcnicas y formas de solu-cin que nos permitan efectuar operaciones aritmticas conmayor rapidez que lo comn, para ello utilizaremos un pocode habilidad matemtica, basndonos en las propiedadesbsicas de las matemticas.
1 CUADRADO DE UN NMERO QUE TERMINA
EN 5
(N5)2= ..........25
1. (35)2 = 12 25
x 4
Nociones Previas
Ejemplos
3. (8,5)2 = 72 , 25
x 9
Con decimales!
1. (24)2 = ? (24)2 = 22 ...2(2)(4)...42
llevo 1 llevo 1
576
2. (83)2 = ? (83)2 = 82 ...2(8)(3)...32
llevo 4 no llevo
6889
2 CUADRADO DE UN NMERO DE 2 CIFRAS
2. (145)2 = 210 25
x 15
(ab)2= a2...2(a)(b)...b2
Desarrollo del Binomio
Ejemplos
x 17
4. (16,5)2 = 272 , 25
3 CUADRADO DE UN NMERO CUALQUIERA
Donde a es el C.A. para ser un mltiplo de 10 unaunidad inmediata superior o inferior.
1. (108)2=(108 - 8) (108+8)+ 82 =(100) (116) + 64
= 11 664
(N)2= (N - a) (N + a) + a2
Ejemplos
2. (212)2=(212 - 12) (212+12) + 122
=(200) (224) + 144
= 44 944
-
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5to Secundaria
Cmo lo hizo?
Una profesora sac a un alumno a la pizarra paramultiplicar: 57 324 x 236 el alumno multipliccomenzando por la izquierda y sorprendi a todos,cmo lo hizo?
5 7 3 24 x
2 3 6
1 1 4 6 4 8
1 7 1 9 7 2
3 4 3 9 4 4
1 3 5 2 8 4 6 4
CIFRAS TERMINALES
1 PARA NMEROS QUE TERMINEN EN: 0, 1,
5 Y 6
1. (11)2 = 121
(31)2 = 961
2. (20)2 = 400
(40)2 = 1600
3. (15)2 = 225
(65)2 = 4225
4. (26)2 = 676
(16)2 = 256
terminanen 6
terminanen 5
terminan
en 0
terminanen 1
2 PARA NMEROS QUE TERMINAN EN: 4 Y 9
(...4)impar = ...4
(...4)par = ...6
(...9)impar= ...9
(...6)par = ...1
(...0)n= ...0(...1)n= ...1
(...5)n= ...5(...6)n= ...6
Ejemplos
1. En qu cifra termina 20042004
(2004)2004= (...4)par= ...6?
Termina en 6
3 PARA NMEROS QUE TERMINAN EN: 2, 3,
5 Y 8
1. En qu cifra termina el desarrollo de: E = 3256261 ?
Resolucin:
En el exponente:
2. En qu cifra termina el desarrollo deRM = (5673)9763?
Resolucin:
En el exponente:
63 4 3 15
9763
= 9700 + 63
44
+ 34 + 3
2. Si A = 99999 hallar la cifra terminal.
A = 99999 par
= ...1
Termina en 1
2222555
33
(...7)4= ...1
(...8)4
= ...6
Ejemplos
61 4 1 15
9763
E = (...2)
4 + 1
= (...2)
1
= ...2
RM = (...3)4+3 = (...3)3= ...7
Soldados en apuros
Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla,se encuentra de pronto con un gran ro, profundo einfestado de cocodrilos. En la otra orilla ven a dosmuchachos nativos con una canoa. La canoa slopuede transportar a un soldado con su fusil y sumochila, o a los dos muchachos. Cmo conseguirnlos soldados atravesar el ro sin alimentar a loscocodrilos?
Solucin:La clave de la solucin depende del hecho de que lacanoa pueda transportar a los dos muchachos, peroslo se necesita a uno de ellos para llevar la canoa deuna orilla a la otra. As pues, uno de los muchachoslleva la canoa hasta la orilla en que se encuentran lossoldados. A continuacin este muchacho se baja yel primer soldado con todo su equipo cruza el ro; alldesembarca y el segundo muchacho regresa con lacanoa y recoge de vuelta a su compaero. Ya estn losdos muchachos y la canoa como al principio. Bastarepetir la maniobra tantas veces como soldados haya,hasta que el ltimo haya cruzado el ro.
(...2)4= ...6
(...3)4
= ...1
-
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Raz.Matemtico
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Halla la cifra terminal de A
A = (9971+2345)(9971+2345)
Resolucin:
9998
Halla la suma de las cifras de la operacin:
J = 24363548 (99999999)
Resolucin:
3+35+353+3535+ ...= ...SAN
20 sumandos
Si:
Halla: S + A + N
Resolucin:
Halla: L + U + I + S en 99
Resolucin:
2 2 8 2 8 2 2 8 2 8
. . . . L U I S
28
sumandos
+
-
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5to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Calcula la suma de cifras del resultado:
Resolucin:
P = (2+1)(22+1)(24+1)...(218+1)+164
Calcula:
Resolucin:
P = 2x4 x10x 82x 6562 x(38x38+1)+116
7. Calcula: (F -E)3
F = (87654) (87662) + 16
E = (87654) (976660) + 9
8. Calcula la suma de cifras del resultado:
(111...1113)2- (111...11)2
50 cifras 50 cifras
E =
A = (88888) +(99999)77777 22222+5
7 4 32
9. En qu cifra termina:
10. Cul es el resultado de la expresin?
E=(x -a) (x -b) (x -c) ... (x -z)
-
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Raz.Matemtico
2. Indica la suma de las cifras del resultado de efec-tuar:
a) 270 b) 300 c) 360 d) 400 e) 630
1. Halla el resultado de efectuar E:
E = (107+ 1)2 - (9999999)2
a) 15 x 106 b) 30 x 106
c) 20 x 106
d) 18 x 106 e) 40 x 106
(353535...35) (9999...99)
30 cifras 40 cifras
3. Halla la cifra terminal en el desarrollo total deA:
A=999 x 888 x 777 x 666 x 222
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
4. Calcula la suma de cifras del resultado deefectuar:
P = (777778)2 - (222223)2
a) 60 b) 30 c) 35
d) 42 e) 43
6. Calcula:
(20032003)2- (20032001)2
e indica la suma de cifras del resultado.
a) 27 b) 11 c) 19 d) 17 e) 8
5. Despus de efectuar:
E = 10305050301 + 2040604020
calcula la suma de las cifras del resultado:
a) 10 b) 9 c) 12
d) 6 e) 8
A + B + C + DE + F
ABCDEF x 999...99 = ...634528
12. Si:
n6Calcula:
n cifras
( (5
252525161616 + 393939...39161616...16
40 cifras
40 cifras
11. Calcula:
-
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34
5to Secundaria
7. Si:
Halla: L + I + M + A
a) 10 b) 18 c) 16 d) 15 e) 17
4 + 44 + 444 + ... = ...LIMA
24 sumandos
8. Halla: M + I + N + A si:
a) 17 b) 18 c) 19 d) 16 e) 20
9 9 9
9 9 9 9 9 9 9
. . . 9 9 9 9
. . . . . M I N A
21sumandos
+
9. Halla el valor de:
N = 0,982081 + 0,017838 + 0,000081
a) 1 b) 2 c) 0,81 d) 0,7 e) 0,83
O=(13+1)(23+1)(33+1)(43+1)...(203+1)
10. Cul es la ltima cifra del producto?
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 6
P = (111...1)
15 cifras
Q = (222...2)
30 cifras
M = (333...3)
60 cifras
11. Se sabe que:
Calcula la suma de las cifras del resultado de:(P + Q + M)
a) 225 b) 255 c) 155 d) 125 e) 120
12. Simplifica:
a) 1 b) 2 c) 9 d) 3 e) 4
E =1111111088888889
123456787654322-1
-
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Raz.Matemtico
5 Clculo InductivoOBJETIVOS:
Desarrollar la capacidad de observacin para establecer relaciones que permitan llegar a la solucin de un problema.
Dotar al estudiante de herramientas metodolgicas adecuadas para la resolucin de problemas que exigen el uso
del pensamiento creativo.
Consiste en la observacin y anlisis de casos particulares locul nos permite el descubrimiento de leyes generales, conla particularidad de que la validez de las ltimas se deducede la validez de las primeras.
La siguiente ancdota ocurri en la ocupacin de Francia por los
alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial.Cuatro personas suban en el ascensor de un hotel, uno de losocupantes era un oficial alemn, de uniforme, otro, un civil francs,enrolado en la resistencia. La tercera ocupante era una atractiva
joven, y la cuarta, una dama de edad, ninguno conoca a los dems.Hubo de pronto un corte de energa. El ascensor se detuvo, lasluces se fueron y todo qued en profunda oscuridad, se oy elchasquido de un beso, seguido por el retallar de un bofetn. Uninstante despus volvieron las luces. El oficial luca un enormechichn junto a un ojo. La seora mayor pens: Bien merecidolo tiene!, menos mal que las jvenes de hoy saben hacerse respetar.La joven pens: Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!,en lugar de besarme a m ha debido besar a esta seora mayor o aeste joven tan atractivo. No me lo explico!.El alemn pens: pero qu ha pasado? Yo no he hecho nada!,quizs el francs ha querido abusar de la joven y sta me hapegado por error.
Slo el francs conoca exactamente lo ocurrido.Sabras deducirlo?
Lgica Inductiva
Ejemplo 1:
CASO
I
CASO
II
CASO
III
CASO
GENERAL...
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo
Al sumar nmeros impares consecutivos en forma or-denada, tenemos:
S1= 1 = 1 = 12
S2= 1 + 3 = 4 = 22S
3= 1 + 3 + 5 = 9 = 32
S4= 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
S10
= 1+3+5+7+...+19= 100 = 102
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sn= 1+3+5+7+ ... = n2
Vemos que el resultado de sumar nmeros impares consecu-tivos es de la forma n2donde n es la cantidad de nmerosimpares que se suman.
Ejemplo 2:
Halla la suma de cifras de: E = (111...111)2
25 cifras
Resolucin:
Para 2 cifras: (11)2= 121 Suma de cifras = 4 = (1 + 1)2
Para 3 cifras: (111)2= 12321 Suma de cifras=9 = (1+1+1)2
Para 4 cifras:(1+1+1+1)2= 1234321 Suma de cifras=16=(1+1+1+1)2
2 cifras
4 cifras
3 cifras
Por induccin:
(n sumandos)
Reto
-
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5to Secundaria
Al nmero que te den le sumas 8 y esta suma lamultiplicas por 9.
Tambin se puede hacer cuando los das estnordenados en vertical. La suma de los nueve nmeroscontenidos en el cuadrado es:
(2 + 8) . 9 = 90
Suma de nmeros en un calendario
En cualquier hoja de calendario se pasa deun nmero al que hay debajo de l, sumando 7. En
cualquier cuadrado de nueve nmeros, se pasa delnmero menor al que ocupa el centro sumando 8.
Los nueve nmeros de cada cuadrado de nmerosse pueden escribir en funcin del nmero que ocupa elcentro del cuadrado.
Se trata de poder sumar los nueve nmeroscontenidos en el cuadrado seleccionado en el calendario,
bastando que nos digan el nmero menor del cuadrado.En este caso se trata del nmero 7.
Para averiguar la suma, debemos sumar 8 y despusmultiplicar por 9:
(7 + 8) . 9 = 135
2 x 32
Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuarE sera:
Suma de cifras = (1+1+1+...+1)2 = 252= 625
25 veces
Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguientearreglo.
1 2 3 98 99 100
Resolucin:
Debido a que la distribucin de las esferas responde a unaforma triangular, entonces analizaremos, recurriendo a lainduccin, los casos iniciales a dicha formacin.
# esferas Nmerostriangulares
1 = 1 =1 x 2
2
N. esferasde la base
1 + 2 = 3 =
N. esferasde la base1
2
1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 42
N. esferasde la base
.....
3
21
.....
.....
1 2 3 98 99 100
1 + 2 + 3 + ...+100 =100 x 101
2
N. esferasde la base
= 5050
Ejemplo 3:
1.er
caso
2. caso
3.ercaso
En general
L M M J V S D
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31
OCTUBRE
L 2 9 16 23
M 3 10 17 24
M 4 11 18 25
J 5 12 19 26
V 6 13 20 27
S 7 14 21 28
D 8 15 22
Suma de esferas del arreglotriangular 5050.
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5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
Calcula la suma de cifras de A, si:
Resolucin:
A = (333...34)2
100 cifras
Halla la ltima cifra luego de efectuar el pro-
ducto:
R=(22004+1)(22003+1)(22002+1)......(22+ 1)
Resolucin:
Calcula la suma de cifras del resultado de efec-tuar:
P = 997 x 998 x 999 x 1000+1
Resolucin:
E =(333...33)2
40 cifras
Calcula la suma de cifras del resultado en E,si:
Resolucin:
-
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Raz.Matemtico
Rpta:
5
Rpta:
6De cuntas maneras diferentes se puede leer
MENTOR en el siguiente arreglo?
Resolucin:
M
M E MM E N E M
M E N T N E M
M E N T O T N E M
M E N T O R O T N E M
Halla el valor de la F(100), si:
F(1) = 1
F(2) = 3 + 5
F(3) = 7 + 9 + 11F(4) = 13 + 15 + 17 + 19
Resolucin:
7. Halla la suma de los elementos de la siguiente ma-triz de 10 x 10.
2 4 6 ... 18 204 6 8 ... 20 226 8 10 ... 22 24
18 20 22 ... 34 3620 22 24 ... 36 38
8. Halla el valor de n si:
2233
22223333
222222333333
222...2333...3
n cifras
n cifras
22= + + +...+
9. De cuntas maneras diferentes se puede leerJESSICA?
JE E E
S S S S SS S S S S S S
I I I I I I I I IC C C C C C C C C C C
A A A A A A A A A A A A A
10. De cuntas maneras se puede leer la palabraRECONOCER pudiendo repetir letras?
RE E
C C CO O O O
N N N N N
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5to Secundaria
1. Calcula la suma de cifras de:
a) 108 b) 102 c) 110 d) 104 e) 103
M = (666...66)2
12 cifras
3. Calcula la suma de cifras del resultado de:
M = 100 x 101 x 102 x 103+1
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 10
2. Calcula la suma de cifras del resultado de:
a) 900 b) 925 c) 625 d) 90 e) 907
B = (999...995)2
101 cifras
1 2 3 48 49 50
11. Halla el total de palitos en:
5. Los puntajes que tiene un alumno en la academia
en sus exmenes son:N. examen Puntaje
1 ........... 2 2 ........... 5 3 ........... 10 4 ........... 17
Cul fue la nota que obtuvo en el dcimo segundoexamen?
a) 120 b) 146 c) 145
d) 148 e) 150
...
...
12. Si:
M(1) = 4 x 1 + 1
M(2) = 8 x 4 + 8M(3) = 12 x 9 + 27
Calcula el valor de x, si: M(x)= 4 x 104
4. De cuntas maneras diferentes se puede leer la pa-labra INGENIO en el siguiente arreglo?
a) 128 b) 127 c) 126 d) 125 e) 124
I
I N I
I N G N I
I N G E G N II N G E N E G N I
I N G E N I N E G N I
I N G E N I O I N E G N I
-
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Raz.Matemtico
10. En la siguiente secuencia grfica, halla el nmerototal de cuadrados de la figura 60.
a) 120 b) 200 c) 100 d) 240 e) 241
11. Halla el total de palitos que conforman la figura.
a) 1 599 b) 1 521 c) 24 d) 1 650 e) 989
1 2 3 38 39 404
12. De cuntas maneras diferentes se puede leertrotamundos?
a) 130 b) 128 c) 135 d) 166 e) 120
N
O U D R T M N OT O A U D S R T M N O O U D N
6. En qu cifra termina:
P = 4+(10700+1) ... (103+1) (102+ 1) (10+1)?
a) 1 b) 4 c) 8 d) 5 e) 9
8. Calcula:
a) 35 b) 12 c) 13 d) 20 e) 24
E= + + +...+3512
35351212
353535121212
3535...351212...12
24 cifras
24 cifras
9. De cuntas maneras diferentes se puede leer lapalabra INGRESO?
a) 16 b) 24 c) 14 d) 20 e) 30
I
N NG G G
R R R R
E E E
S S
O
7. Halla la suma de todos los elementos de la siguien-te matriz:
a) 100 b) 500 c) 1000 d) 1001 e) 3000
1 2 3 4 ... 9 102 3 4 5 ... 10 113 4 5 6 ... 11 124 5 6 7 ... 12 13
9 10 11 12 ... 17 1810 11 12 13 ... 1 8
-
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5to Secundaria
6Ecuaciones
OBJETIVOS:
Relacionar matemticamente hechos de nuestra vida diaria.
Ejecutar la capacidad de abstraccin para representar y relacionar simblicamente los datos de un problema con
las variables elegidas para las incgnitas.
Plantear una ecuacin es traducir al lenguaje matemtico (forma simblica) lo expresado en un lenguaje comn (verbal).Nuestro lenguaje est lleno de expresiones que en algunos casos puede ser medido (el costo de un libro, el nmero dealumnos de un aula, la altura de un estudiante, etc.) y en otros no pueden ser medidos (la alegra de un estudiante, lahabilidad de una persona, el herosmo de un soldado, etc.).En este tema nos ocuparemos de aquellas expresiones que s podemos representar matemticamente:
Nociones previas
* Traducir al lenguaje matemtico (forma simblica) cada uno de los siguientes enunciados:
Me agrada ver sufrir a los que no logran hacerlo. Tal regocijo me causa ver sus rostros demacrados por la derrota...
Me temen! Je, je, je. Mas aqullos que me encuentran me causan admiracin por su gran habilidad y perseverancia.Incluso muchas veces los he retado con ayuda de mis amigas las fracciones, pero ellos se sonren y siguen jugando,como si supiesen que van a ganarme.?
Hola! me llamo incgnita, mi juego favorito son las escondidas, muchos me buscan, pero son muy pocos losque me encuentran.
LENGUAJE COMN VERBALLENGUAJE MATEMTICO
(Forma simblica)
El triple de un nmero, aumentado en su mitad.
El triple de un nmero aumentado en su mitad.
El cuadrado de un nmero, aumentado en cinco.
El cuadrado de un nmero aumentado en cinco.
La suma de dos nmeros consecutivos es 99.
La suma de tres nmeros pares consecutivos es 36.
La suma de tres nmeros impares consecutivos es 45.
Gast la tercera parte de lo que no gast.
El nmero de varones es la quinta parte del total de losreunidos.
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Raz.Matemtico
Resolucin:
12 2C = 10
C = 5 L = 3
Por tanto:
Ejemplo 1:
Si ganara S/. 300, tendra el triple de lo que me quedara sihubiera perdido S/. 300. Cunto tengo?
Tengo al inicio S/. xSi ganara S/.300 tendra: x + 300Si perdiera S/.300 me quedara: x-300
Planteamos la ecuacin: x + 300 = 3(x -300) x + 300 = 3x -900 300 + 900 = 3x -x 1200 = 2x 600 = x
Tengo S/. 600
Ejemplo 2:
Halla el nmero de hojas de un libro de R.M. si sabemosque si arrancamos 25 quedarn la mitad de hojas que si ellibro tuviera 50 hojas ms.
Resolucin:
Nmero de hojas xSi arranco 25 hojas me quedara: x -25Si tuviera 50 ms tendra: x + 50
Planteamos la ecuacin:
x -25 = (x + 50)
2x -50 = x + 50 2x -x = 50 + 50 x = 100
Nmero de hojas 100.
Ejemplo 3:
Halla la longitud de un puente si sabemos que el sxtuplode dicha longitud disminuido en 300 metros es equivalenteal triple de dicha longitud disminuido en 60 metros.
Resolucin:
Longitud del puente: x metrosPlanteamos la ecuacin: 6x -300 = 3x -60 6x -3x = 300 -60 3x = 240 x = 80
Longitud del puente 80 metros.
Ejemplo 4:
Si compro 7 cuadernos y 3 lpices, gasto S/. 44; pero sicompro 7 lpices y 3 cuadernos, gasto S/. 36. Cuntocuesta 1 cuaderno y cunto 1 lapicero?
Resolucin:
Costo de 1 cuaderno: S/. CCosto de 1 lapicero: S/. L
De los datos planteamos las ecuaciones: 7C + 3L = 44 ....... (1) 3C + 7C = 36 ...... (2)
(1)+(2): 10(C + L)=80C+L= 8(1)-(2): 4(C -L)= 8 C -L= 2
Reto
Un chiquito caz varias araas y escarabajos, en totalocho, y los guard en una caja. Si se cuenta el nmerototal de patas que corresponde a los 8 animales resultan54 patas.Cuntas araas y cuntos escarabajos hay en la caja?
Las araas y los escarabajos
CuriosidadesLas abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios
problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, detal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre lasceldillas, ya que hay que aprovechar el espacio al mximo.Solo podran hacerlo con tringulos, cuadrados y hexgonos. Por queligieron entonces los hexgonos, si son mas difciles de construir?.La respuesta es un problema isoperimtrico (del griego igualpermetro). Papus haba demostrado que, entre todos los polgonosregulares con el mismo permetro, encierran mas rea aquellos quetengan mayor nmero de lados. Por eso,la figura que encierra mayor rea para unpermetro determinado es el crculo, que poseeun nmero infinito de lados.Por eso las abejas construyen sus celdillas deforma hexagonal, ya que, gastando la mismacantidad de cera en las celdillas, consiguen
mayor superficie para guardar su miel.La pregunta es: y quin le ense esto a lasabejas?...
1 cuaderno cuesta S/. 5 y1 lapicero cuesta S/. 3.
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5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3De los 200 soles que tena, gast la tercera partede lo que no gast. Cuntos soles gast?
Resolucin:
En una reunin, la cuarta parte de las personas
son hombres. Si la diferencia entre el nmero
de mujeres y hombres es 80, cuntas mujeres
hay en dicha reunin?
Resolucin:
Compr un lote de pantalones a 180 soles elciento y vend a 24 soles la docena, ganando
en el negocio 600 soles. Cuntos cientos de
pantalones compr?
Resolucin:
Sobre un estante se pueden colocar 30 libros
de ciencias y 6 libros de letras o 18 librosde
letras y 10 libros de ciencias. Cuntos libros
de letras nicamente se pueden colocar?
Resolucin:
-
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Raz.Matemtico
Rpta:
5
Rpta:
6En un pueblo, a cada habitante le corresponda
60 litros de agua por da; como llegan 40 per-
sonas, corresponden ahora 2 litros menos por
semana. Cuntas personas hay en el pueblo?
Resolucin:
En un asamblea todos deben votar a favor o en
contra de una mocin. En una primera rueda,
los que votaron en contra ganaron por 20 vo-
tos; en una segunda vuelta se aprob la mo-cin por una diferencia de 10 votos. Cuntos
asamblestas cambiaron de opinin?
Resolucin:
7. En una reunin se contaban tantos caballeros como3 veces el nmero de damas. Despus llegaron 300caballeros ms y 40 damas ms, y ahora por cadadama hay 5 caballeros. Cuntas damas haban alcomienzo?
8. En una reunin se observa que los hombres y lasmujeres estn en la relacin de 3 a 5 respectivamente;los que bailan y los que no bailan estn en la relacinde 2 a 3. En qu relacin estn los hombres quebailan y las mujeres que no bailan?
9. Se tiene un grupo de 84 fichas de 10 gramos cadauna y otro grupo de 54 fichas de 25 gramos cadauna. Cuntas fichas deben intercambiarse para
que ambos adquieran el mismo peso?
10. El exceso de 6 veces un nmero sobre 50 equivaleal exceso de 50 sobre 4 veces el nmero. Halla elnmero.
11. Se tiene un nmero impar, se le aade el parde nmeros impares que le anteceden y los tres
nmeros pares que son inmediatamente anterioresa dicho nmero, dando un resultado de 939unidades. Calcula la suma de cifras del nmeroimpar mencionado.
12. Nandito pag una deuda con monedas de S/.5 y S/.2,el nmero de monedas de S/.5 excede a las de S/. 2en 15, y la cantidad de dinero que pag con monedasde S/.5 es 2 veces ms que la cantidad que pag con
monedas de S/. 2. Cul es el valor de la deuda?
-
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5to Secundaria
1. Halla un nmero cuyo cuadrado disminuido en119 es igual a 10 veces el exceso del nmero conrespecto a 8.
a) 13 b) 10 c) 7 d) 3 e) 8
2. Un nio le dice a su padre: de los 140 soles queme diste, gast 58 soles ms de los que no gast.Cunto no lleg a gastar el nio?
a) S/. 21 b) S/. 25 c) S/. 31
d) S/. 37 e) S/. 41
3. Pedro paga por 2 polos y 5 faldas un total de 495soles. Si cada falda cuesta S/. 15 ms que un polo,cuntos soles cuestan un polo y una falda juntos?
a) 120 b) 105 c) 145 d) 95 e) 135
4. A cierto nmero par, se le suma los dos nmerosimpares que le anteceden y los dos nmeros pares quele preceden, obtenindose en total 630. El producto
de los dgitos del nmero par de referencia, es:
a) 10 b) 14 c) 16 d) 60 e) 12
5. Nicols tiene tres veces ms dinero de lo que tieneVctor. Si Nicols le diera 15 soles a Vctor, entoncestendran la misma cantidad. Cunto tienen entre losdos?
a) S/. 25 b) S/. 30 c) S/. 45
d) S/. 50 e) S/. 60
6. Tengo cierta cantidad de nuevos soles. Si regalara(2x - 3), me quedara (8x - 6). Cunto tengo?
a) 6x -9 b) 10x -9 c) 8x -3 d) 6x + 3 e) 9x -10
7. Del producto de dos nmeros enteros positivosconsecutivos se resta la suma de los mismos y seobtiene 71. El nmero mayor es:
) b) )
8. En dos cajas de lapiceros hay 68 de stos. Si de lacaja con ms lapiceros extraemos 14 de stos y los
colocamos dentro de la otra, logramos que ambas
cajas tengan la misma cantidad. Cuntos lapiceros
haba inicialmente en la caja con menor cantidad?
a) 18 b) 28 c) 16
d) 20 e) 15
9. Alex y Omar juntos tienen S/. 80. Si el triple del
dinero que tiene Omar excede en S/. 5 al doble de
lo que tiene Alex, cunto ms tiene Alex que
Omar?
a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/.14
d) S/. 15 e) S/. 16
10. Un alumno tiene 30 caramelos y los vende a 3
caramelos por 10 soles, otro alumno tiene 30
caramelos y los vende a 2 caramelos por 10 soles.
Los alumnos juntan sus caramelos y los venden a 5
caramelos por 20 soles. Entonces, ganan o pierden?
y cunto?
a) Ganan 10 soles
b) Pierden 20 soles
c) Pierden 10 soles
d) Pierden 5 soles
e) Ganan 15 soles
11. En una fiesta los invitados ingresaban de la siguiente
manera: un caballero con 2 damas o una dama con
tres nios. Si en total hay 220 asistentes y adems
ingresaron tantas damas con los caballeroscomodamas
con los nios, halla el nmero de nios asistentes.
a) 120 b) 130 c) 140
d) 150 e) 160
12. Juan dice: Al contar mi dinero, he contado mal
porque me confund contando por 1 sol las monedas
que son de 5 soles, as que al final tuve que agregar
a ese conteo 240 soles. Cuntas monedas fueron
las que cont mal?
) b) )