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Dinmica de Automviles Introduccin a la Dinmica de Sistemas

Escuela de Ingeniera Mecnica FCEIA UNR Ao 2015 Pgina 1 de 9

Captulo 1

Contenido Introduccin a la Dinmica de Sistemas ..................................................................... 2

Conceptos Bsicos ................................................................................................................................ 2

Modelado de Sistemas ............................................................................................... 3

Sistema Fsico Idealizado ................................................................................................................................. 4

Parmetros Concentrados o Distribuidos ........................................................................................................ 4

Representacin de Modelos Fsicos ................................................................................................................. 4

Relaciones Constitutivas y Estructurales ......................................................................................................... 5

Modelos Matemticos .......................................................................................................................... 5

Mtodos de Integracin Numrica .................................................................................................................. 6

Diagramas de Bloques y Bond Graphs ............................................................................................................ 6

Sistemas Deterministas ........................................................................................................................ 7

Concepto de Estado y Causalidad .................................................................................................................... 8

Aplicaciones de los Modelos Dinmicos ..................................................................... 9

Anlisis ............................................................................................................................................................. 9

Identificacin ................................................................................................................................................... 9

Sntesis ............................................................................................................................................................. 9

Referencias ................................................................................................................ 9



Introduccin a la Dinmica de Sistemas El estudio de la dinmica de sistemas se ocupa del modelado matemtico de sistemas dinmicos y del anlisis de respuesta de tales sistemas con el objetivo de entender la naturaleza de su dinmica y mejorar su desempeo. El anlisis de respuesta de los sistemas dinmicos es comnmente realizado a travs de simulacin computacional.

Conceptos Bsicos La palabra sistema es ampliamente usada y puede adquirir diversos significados. En el mundo del modelado la palabra sistema adquiere un significado especfico, y se realizan 2 asunciones:

Un sistema es asumido como una entidad separable del resto del universo (entorno) por un lmite

o frontera fsica o conceptual.

Un sistema de aire acondicionado, por ejemplo, puede ser pensado como un sistema que reacciona a su entorno, la temperatura del aire exterior, y que intercambia energa e informacin con este ltimo. En este caso el lmite es fsico o espacial. Por otro lado, un sistema de control de trfico areo es un sistema complejo en el cual su entorno no es slo el ambiente fsico, sino tambin la fluctuante demanda de trfico areo. Esta ltima depende fundamentalmente de decisiones de personas a viajar y/o enviar mercanca. A pesar de las diferencias entre los sistemas mencionados, en ambos existe una frontera conceptual que separa lo que se considera parte del sistema de las perturbaciones o acciones externas.

Un sistema est formado por partes interactuantes (o componentes).

En un sistema de aire acondicionado podemos reconocer dispositivos con funciones especficas, tales como el compresor y ventilador, sensores que transmiten informacin, y actuadores que responden a la misma. El control de trfico areo est compuesto de personas y mquinas con vas de comunicacin entre ellos. El arte y la ciencia del modelado de sistemas tienen que ver con la construccin de un modelo lo suficientemente complejo como para representar aspectos relevantes del sistema real pero no demasiado complejo al punto de ser inmanejable.

Se hace referencia con Sistema Fsico a aquellos que intercambian informacin, materia o energa. Adems, un sistema es considerado dinmico si el mismo puede almacenar informacin, materia o energa (se suele decir en tal caso que el sistema tiene memoria). En otras palabras, un sistema es denominado dinmico si su salida actual depende del comportamiento de las entradas en el pasado. Si en cambio, sta depende slo de las entradas actuales, el sistema es conocido como sistema esttico. Las salidas de los sistemas estticos permanecen constantes cuando las entradas no cambian. En general todos los sistemas fsicos son dinmicos, sin embargo aquellos en lo que puedan despreciarse los fenmenos de almacenamiento de energa tienen un comportamiento de sistema esttico.

Un sistema dinmico puede encontrarse en una situacin estacionaria, estado estacionario o de equilibrio, en el cual sus variables permanecen constantes en el tiempo, o puede hallarse en una situacin no estacionaria en la cual las variables evolucionan en el tiempo. Existen muchos casos de sistemas dinmicos que pueden ser diseados y analizados adecuadamente centrando el estudio en los estados estacionarios. Para muchos otros sistemas, resulta fundamental analizar la evolucin dinmica.

Por ejemplo, para analizar el consumo de combustible de un avin que permanece la mayor parte de su tiempo en un estado que podemos considerarlo estable, un anlisis del sistema en estado estacionario es suficiente. Pero si para el mismo avin, queremos analizar los esfuerzos que se generan en sus alas, no ser suficiente con analizar la situacin de manera estacionaria, sino que tendremos que pensar en un sistema dinmico en estado no estacionario.



An en los ejemplos ms simples de ingeniera, en los cuales un anlisis en rgimen estacionario es suficiente para dar respuesta al problema planteado, es de gran utilidad tener un mnimo conocimiento de la dinmica involucrada en el sistema analizado.

Un ejemplo que podemos citar es el caso de una represa hidroelctrica en la cual deseamos bajar la potencia generada. Si cerramos la compuerta justo antes de la turbina, de manera instantnea veremos un incremento de la potencia generada. Esto se debe a que por la "inercia" del agua y la reduccin de la seccin se incrementa la velocidad del flujo de agua. Luego el caudal circulante disminuye y la potencia generada se reduce.

Modelado de Sistemas La idea central detrs del estudio de la dinmica de sistemas reales es la creacin de un modelo del sistema. Utilizar el sistema real para predecir su evolucin y analizar su comportamiento puede ser una alternativa factible, pero en algunos casos existen factores que limitan o impiden su aplicacin.

Por ejemplo:

Costos: Realizar un experimento en una planta industrial podra significar detener un proceso de

produccin durante varias horas, con las consiguientes prdidas econmicas.

Riesgos: Las consecuencias del experimento pueden ser inadmisibles.

Ejemplo: Ciertos experimentos en plantas nucleares. Cmo incidira en la atmsfera un escape de vapor radioactivo?

Experimento irrealizable.

Inexistencia del sistema: Tpicamente, en las fases de diseo previas a la construccin de un

(prototipo de un) sistema, se desea saber cmo incidirn ciertos parmetros en su funcionamiento.

Ejemplo: Cul es el efecto aerodinmico de distintos tipos de alas en un nuevo tipo de avin?, Cmo inciden distintos tipos de suspensin en el confort de los pasajeros de un automovil?

Incapacidad humana de experimentar: Aunque mucho ha contribuido la tcnica al poder del

hombre sobre la naturaleza, en muchos dominios es imposible determinar o modificar procesos

fsicos (en muchos casos afortunadamente).

Ejemplo: Cul sera el efecto de un desplazamiento del eje magntico de la Tierra?

Cuando no se puede experimentar sobre los sistemas reales se recurre a tcnicas de modelado. Los modelos de sistemas son simplificaciones, construcciones abstractas usadas para predecir el comportamiento de los mismos.

Se pueden clasificar en:

Modelos Fsicos: Son representaciones a escala (prototipos) de los sistemas originales. El resultado

de los experimentos sobre los modelos se transfiere a los originales en base a la Teora de

Semejanza.

Ejemplos: tnel de viento para el estudio de fenmenos aerodinmicos; reproduccin a escala del lecho de un ro para estudios hidrolgicos.

Modelos Abstractos: dentro de este se encuentran los Matemticos. Los modelos matemticos

son expresiones matemticas que describen las relaciones existentes entre las variables que

caracterizan el sistema. En estos suelen estar presentes: ecuaciones diferenciales, sistemas de



ecuaciones, inecuaciones, expresiones lgico-matemticas. Los modelos matemticos son

utilizados solo para describir ciertos aspectos del sistema real.

SISTEMA FSICO IDEALIZADO Un modelo integral que contemple el anlisis de todas las variables del sistema real es imposible de construir y/o parametrizar. Por otro lado, un modelo demasiado simplificado puede no ser capaz de reproducir ciertos fenmenos de inters. Por lo tanto a la hora de obtener el modelo es importante que el mismo resulte lo ms simple posible, y al mismo tiempo los suficientemente completo como para analizar los fenmenos de inters.

La obtencin de un modelo se basa siempre en la aplicacin de hiptesis simplificadoras, las cuales nos permiten pasar del sistema fsico real al sistema fsico idealizado. Por lo tanto el modelo creado tendr validez siempre que se respeten las mencionadas hiptesis.

PARMETROS CONCENTRADOS O DISTRIBUIDOS Existe una divisin fundamental en el mundo de los modelos que se genera a partir del anlisis que se pretende realizar. Dicha decisin conduce a modelos a parmetros concentrados y modelos a parmetros distribuidos.

En general podemos decir que los modelos a parmetros concentrados son apropiados para estudiar sistemas formados por un conjunto de componentes, pertenecientes o no al mismo dominio fsico, en los cuales las variables de inters asociadas a cada uno de ellos muestra una evolucin que solo depende del tiempo. En general estos modelos se describen con sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En contraste, en los modelos a parmetros distribuidos generalmente se abordan problemas especficos dentro de un campo de la fsica (pueden ser ms), y las variables de inters ahora estn en funcin del tiempo y del espacio. Estos modelos generalmente se describen con sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. El siguiente ejemplo cita ambos modelos.

Imaginemos una situacin en la cual se desea realizar un anlisis dimensional para comprobar la resistencia mecnica de una pieza de la suspensin de un automvil. En otras palabras se necesita verificar que la tensin mecnica producida en la pieza no supere en ningn caso y en ninguna parte de la misma el valor de tensin admisible (despreciando los efectos de fatiga). La variable a determinar es la tensin y se requiere conocer la misma en cada punto del espacio (pieza), en algn instante de tiempo. Para dar respuesta a esta pregunta el sistema a analizar comprende a la pieza en cuestin y se utilizan modelos a parmetros distribuidos. Los parmetros involucrados en el modelo sern mdulo de elasticidad, espesores, tensin de fluencia entre otros. Por otro lado es sabido que el modelo a parmetros distribuidos requiere de condiciones de borde para poder efectuar sus clculos. Para este caso puntual las condiciones de borde son fuerzas y/o torques aplicado sobre la pieza en sus puntos de vinculacin con las otras partes de la suspensin. Dichos valores pueden determinarse de variaras maneras. Una de ellas es a partir de un anlisis dinmico de la suspensin, cuando la misma transita por un terreno particular. En este caso se requiere de un modelo global, donde ahora el sistema es toda la suspensin. Aqu tiene validez la utilizacin de un modelo a parmetros concentrados con un nivel de detalle menor de cada componente, el cual puede resumirse un par de parmetros que concentran toda la informacin necesaria. Estas podran ser longitudes, constantes elsticas, masa, coeficientes de friccin, entre otros.

REPRESENTACIN DE MODELOS FSICOS Histricamente se han desarrollado diferentes diagramas para la representacin de modelos de sistemas dinmicos en funcin del campo de aplicacin. Por ejemplo, cada parte de la siguiente figura representa un diagrama tpico de diferentes modelos fsicos.



Los diagramas son una representacin grfica simplificada del sistema fsico idealizado. En otras palabras, la aplicacin de las hiptesis simplificadoras sobre el sistema real deriva en el sistema fsico idealizado que suele representarse mediante un diagrama.

Los diagramas muchas veces son el punto de partida para la construccin de los modelos matemticos. Del mismo suelen desprenderse ms fcilmente las relaciones matemticas que vinculan las variables del modelo.

RELACIONES CONSTITUTIVAS Y ESTRUCTURALES Estas relaciones provienen tanto de los fenmenos fsicos considerados, denominadas relaciones constitutivas, como de la interaccin entre los componentes en funcin de su disposicin en el sistema, a las que se conoce como relaciones estructurales.

En general, las relaciones constitutivas estn determinadas explcitamente en el esquema (teniendo en cuenta las leyes fsicas correspondientes) mientras que la obtencin de las relaciones estructurales requiere de algn tipo de anlisis geomtrico y/o topolgico (en relacin al espacio).

Una vez que se tienen todas las relaciones matemticas necesarias, an no se tiene un modelo matemtico til. Si bien se dispone de una especie de sistemas de ecuaciones (en realidad una mezcla de ecuaciones diferenciales y algebraicas), este sistema as planteado no tiene una estructura que permita estudiar y resolver problemas. El paso siguiente tras reunir las relaciones constitutivas y estructurales es obtener un sistema de ecuaciones que tenga una estructura que permita aplicar alguna teora matemtica adecuada ya establecida.

Modelos Matemticos Las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones algebraicas son formalismos matemticos que se utilizan para modelar un sistema. La diferencia fundamental entre las ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales es que en esta ltima aparece la derivada de la variable. Cuando el sistema es dinmico se requiere de ambas ecuaciones para realizar su modelo, mientras que para sistemas estticos solo necesitamos de ecuaciones algebraicas.

Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales.

Lineales hace referencia a que la variable en la ecuacin (y/o sus derivadas) aparecen con potencia uno. No lineal se refiere a ecuaciones en las cuales la variable, en al menos una de sus apariciones, tiene una potencia mayor que uno.



A su vez las ecuaciones diferenciales pueden ser en derivadas parciales (EDP) u ordinarias (EDO).

En las EDO la variable de inters es funcin solo del tiempo y aparece derivada respecto del mismo. Por otro lado en las EDP la variable de inters es funcin del tiempo y de otras variables como por ejemple el espacio, y por lo tanto en las ecuaciones aparecen derivadas parciales de la variable principal respecto del tiempo u otra variable.

Por otro lado una ecuacin puede ser invariante o variante en el tiempo.

El primer caso se refiere a que los coeficientes o trminos independientes presentes en la ecuacin no dependen explcitamente del tiempo. Cuando esto no sucede, las ecuaciones son variantes en el tiempo.

Finalmente, las ecuaciones EDO pueden clasificarse segn su orden. El mismo hace referencia a la mxima derivada temporal presente en la ecuacin.

Esto es, en una ecuacin diferencial en la que aparece solo la derivada primera de la ecuacin diferencial, se dice que es una ecuacin de primer orden.

Las EDO sirven para modelar sistemas bajo hiptesis de parmetros concentrados. Por otro lado las EDP son utilizadas para modelado de sistemas bajo hiptesis de parmetros distribuidos. A lo largo del curso trataremos con sistemas fsicos bajo hiptesis de parmetros concentrados, arribando a modelos en los que aplica la teora de EDO.

MTODOS DE INTEGRACIN NUMRICA La gran mayora de los modelos que se utilizan en las distintas ramas de la Ingeniera tienen como caracterstica distintiva, que las variables evolucionan continuamente en el tiempo. Por tal motivo, dichos modelos son habitualmente categorizados como Sistemas Continuos. Cuando estos sistemas tienen parmetros concentrados, las relaciones matemticas que vinculan la evolucin de las distintas variables conducen a Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Aunque existen distintos mtodos para analizar cualitativamente la forma de las soluciones, y en cursos anteriores aprendimos a resolver exactamente dichas ecuaciones, estos procedimientos suelen ser tediosos y muy poco prcticos cuando los sistemas tienen orden alto o bien cuando las entradas siguen trayectorias complicadas. Ms an, ninguno de los mtodos estudiados puede utilizarse en sistemas no lineales, ya que en dicho caso las ecuaciones carecen en general de solucin analtica. Por el contrario, encontrar la solucin temporal de un modelo discreto es trivial, ya que el mismo modelo nos da la frmula para calcular el siguiente valor de las trayectorias.

Por todos estos motivos, generalmente se recurre a distintos mtodos que bajo ciertas condiciones permiten obtener soluciones aproximadas, normalmente mediante el uso de computadoras. Estos algoritmos, denominados mtodos de integracin numrica para ecuaciones diferenciales ordinarias constituyen la herramienta bsica fundamental para la simulacin de Sistemas Continuos.

DIAGRAMAS DE BLOQUES Y BOND GRAPHS Los diagramas de bloque (DB) permiten escribir un modelo matemtico en forma grfica, lo cual facilita su interpretacin y procesamiento. Es frecuente el uso de las herramientas de modelado y simulacin para sistemas donde conviven subsistemas elctricos, mecnicos, hidrulicos entre otros. Para analizar sistemas mixtos existe una notacin uniforme y universal denominada Bond Graphs (BG). Esta notacin permite modelar sistemas de diferentes naturaleza fsica (elctricos, mecnicos, hidrulicos, trmicos, etc.).

Un ejemplo de la transmisin de un automvil con su correspondiente esquema, modelo en DB y modelo en BG, se muestran respectivamente a continuacin.



Sistemas Deterministas En notacin matemtica, un modelo de un sistema fsico dinmico es descripto por un grupo de ecuaciones diferenciales en las variables conocidas como variables de estado y por un grupo de ecuaciones algebraicas que relacionan las variables de estado con otros subsistemas o salidas. Conocidas las ecuaciones de estado de un sistema determinista, puede predecirse el valor futuro de todas las variables del mismo si:

Las variables de estado son conocidas en el instante inicial.

Se conoce el valor futuro de las variables de entrada.



Claramente toda la historia puede tener efecto sobre un sistema, particularmente sobre un sistema determinista todo el pasado se resume para el presente en el valor que toman las variables de estado. Esto significa que diferentes historias pasadas pueden conducir al sistema al mismo estado presente y por lo tanto el sistema evolucionar de la misma manera en el futuro independiente de sus diferencias en el pasado.

Los experimentos cientficos en general son realizados como si los sistemas estudiados fueran determinista. El experimento siempre comienza de las mismas condiciones que son expresadas en trminos de variables estrictamente monitoreadas. Si el resultado del experimento se repite una y otra vez, entonces las variables elegidas y monitoreadas contienen, o son, un grupo posible de variables de estado del sistema. Si el experimento no repite el resultado, puede que falte controlar el estado de alguna variable, o no se repite la evolucin de las variables de entrada para cada ensayo, o bien el sistema estudiado no es determinista. Los sistemas que no son deterministas se denominan estocsticos.

CONCEPTO DE ESTADO Y CAUSALIDAD Algunas definiciones tiles para entender el concepto de estado y causalidad:

Vector de variables de estado: Es todo conjunto de variables dependientes, tal que su valor en un instante genrico t es suficiente para calcular estticamente usando las relaciones constitutivas (RelaCs) y las relaciones estructurales (RelEsts) cualquiera otra variable dependiente del sistema.

Vector de estados minimal: Todo vector de estados cuyo valor es suficiente y necesario para determinar estticamente toda otra variable dependiente del sistema.

Orden de un modelo: Es el nmero mnimo de variables dependientes con cuyo valor quedan estticamente determinadas todas las otras variables dependientes del sistema. En otras palabras, es el nmero mximo de variables dependientes cuyo valor puede asignarse arbitrariamente sin

contradicciones en el modelo. En consecuencia, es el cardinal de cualquier Vector de estados minimal. El orden de un modelo es nico.

Relacin causal: Una seal depende causalmente de otra seal si:

depende de

no depende de valores futuros de

Relacin causal esttica: Relacin causal en la que para todo instante genrico t, el valor del efecto depende solamente del valor de la causa , es decir, no hay dependencia de valores pasados de .

( )

Relacin causal con memoria o dinmica: Relacin causal en la que el valor del efecto en algn instante genrico t depende de al menos algn valor pasado de la causa .

( )



Aplicaciones de los Modelos Dinmicos En la siguiente figura se muestra un esquema de un sistema dinmico. El sistema S es caracterizado por un grupo de variables de estado X, influenciadas por un grupo de variables de entrada U, que representan la accin del resto del universo sobre el sistema. Sobre el grupo de variables de salida Y se observa la respuesta del sistema dentro del entorno.

Este tipo de modelo de sistema dinmico puede ser utilizado de tres maneras diferentes.

ANLISIS Conocida U en el futuro, X en el presente y dado el sistema S, se puede predecir el futuro de Y. Asumiendo que el modelo del sistema tiene representacin precisa del sistema real.

IDENTIFICACIN Conocida la evolucin de U e Y en el tiempo, usualmente tomada de una experimentacin con el sistema real, encontrar el modelo S y las variables de estado X que son consistentes con U e Y. Esta es la esencia de la experimentacin cientfica. Claramente un buen modelo es aquel que se ajusta para una gran variedad de pares (U, Y).

SNTESIS Dado U y algunos valores deseados de Y, encontrar S tal que U actuando sobre S produce Y. La mayora de los objetivos de la ingeniera son de sntesis, pero solo en limitados contextos es posible aplicar sntesis directa. En consecuencia, el mtodo de prueba y error con diferentes sistemas S es empleado a menudo. En este sentido los modelos dinmicos juegan un rol importante, de no existir deberamos construir cada sistema "en metal" para probar sus propiedades y conocer su evolucin.

Referencias Karnopp, Dean C., Donald L. Margolis, and Ronald C. Rosenberg. System Dynamics: Modeling, Simulation, and Control of Mechatronic Systems: Modeling, Simulation, and Control of Mechatronic Systems. John Wiley & Sons, 2012.

Ogata, Katsuhiko. System dynamics. Fourth edition. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2004.

Asignatura Control I de la carrera Ingeniera electrnica de la UNR, Departamento de Dinmica de los Sistemas Fsicos. Dinmica de Sistemas Fsicos, Sistemas Dinmicos y Modelos Matemticos.

Asignatura Control I de la carrera Ingeniera electrnica de la UNR, Departamento de Dinmica de los Sistemas Fsicos. Introduccin a los Mtodos de Integracin Numrica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

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