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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACION EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGIA AVANZADA
REPRODUCIBILIDAD Y DESARROLLO PROFESIONAL DE
PROFESORES DE NIVEL BÁSICO. UN CASO DE LA GEOMETRÍA ESCOLAR.
Tesis que para obtener el grado de
Doctora en Ciencias en Matemática Educativa
Presenta:
María Soledad Montoya González
Director de Tesis:
Dr. Javier Lezama Andalón
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iii
iv
Para mis hijas
Paulina y Rocío
y mi esposo Carlos
v
Agradecimientos
Agradezco a Dios por darme la vida y permitir realizar mis sueños de ahora y los
que vendrán…..
Agradezco a mi esposo Carlos y mis hijas Paulina y Rocío por apoyarme y
comprender, el sentido de estudiar. Gracias por la paciencia y los abrazos de
ánimo para continuar…
Agradezco a mi madre por inculcar la tenacidad, el valor para enfrentar desafíos,
agradezco a mi padre por inculcar el gozo de la lectura y de aprender…
Agradezco a mi hermana Marycela por darme cada vez que lo necesité un Ánimo
y decir sigue…
Doy mis agradecimientos a las instituciones que permitieron hacer efectivo este
estudio, al Instituto de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de
Valparaíso, en especial a José Pantoja y Arturo Mena, por darme la posibilidad
de continuar con mis estudios. A los profesores que fueron alumnos del programa
de postítulo de mención en matemáticas -Miguel, Isabel, Paulina y Ruth- que
permitieron realizar una investigación con su propia historia. Un agradecimiento
especial a mi profesor director de tesis Dr. Javier Lezama.
Índice
6
ÍNDICE
RESUMEN ............................................................................................................................. 9
ABSTRACT ......................................................................................................................... 10
Introducción .......................................................................................................................... 11
Motivación y Contexto ......................................................................................................... 14 Motivación ..................................................................................................................................... 14 Contexto ........................................................................................................................................ 14
CAPÍTULO 1 ....................................................................................................................... 16
Antecedentes ......................................................................................................................... 16 1.1 Antecedentes sobre formación de profesores .......................................................................... 16 1.2 Antecedentes relacionados con la reproducibilidad ................................................................ 26
CAPÍTULO 2 ....................................................................................................................... 31
Problemática, pregunta de investigación y propósito ........................................................... 31 2.1 Problemática ............................................................................................................................ 31 2.2 Pregunta de Investigación ........................................................................................................ 34 2.3 Propósito de la investigación ................................................................................................... 34
CAPÍTULO 3 ....................................................................................................................... 36
Marco Teórico ...................................................................................................................... 36 3.1 Introducción ............................................................................................................................. 36 3.2 Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) ................................................................................. 38 3.3 Reproducibilidad ..................................................................................................................... 41
3.3.1 Reproducibilidad externa e interna ................................................................................... 43 3.4 Teoría Antropológica de lo Didáctico y sus principales nociones .......................................... 44 3.5. Reflexión y desarrollo profesional ........................................................................................ 51
3.5.1. Reflexión ......................................................................................................................... 51 3.5.2 Desarrollo profesional ...................................................................................................... 53
CAPÍTULO 4 ....................................................................................................................... 56
Método .................................................................................................................................. 56 4.1 Ingeniería Didáctica y su vínculo con el programa de postítulo ............................................. 57 4.2 Estudio de Clases (Lesson Study) ........................................................................................... 60 4.3 Datos y su forma de analizarlos ............................................................................................... 63
CAPÍTULO 5 ....................................................................................................................... 69
Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras .......................................................................... 69 5.1 Dimensión Epistemológica ...................................................................................................... 71
Índice
7
5.2 Dimensión Cognitiva ............................................................................................................... 74 5.3 Dimensión Didáctica ............................................................................................................... 77
5.3.1 Análisis del programa de estudio ..................................................................................... 78 5.3.2 Análisis de textos .............................................................................................................. 83 5.3.2.1 Análisis de Texto de nivel universitario ........................................................................ 83 5.3.2.2 Texto de Nivel Escolar .................................................................................................. 87
CAPÍTULO 6 ....................................................................................................................... 92
Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad ........................................................... 92 6.1 Introducción ............................................................................................................................. 92 6.2 Marco de Referencia ................................................................................................................ 92 6.3 Obtención de información ....................................................................................................... 94 6.4 Análisis de la información obtenida en la entrevista escrita ................................................... 98 6.5 Análisis de la información obtenida a través del taller de discusión ..................................... 107 6.6 Conclusión ............................................................................................................................. 113
CAPÍTULO 7 ..................................................................................................................... 115
Análisis de talleres de reflexión .......................................................................................... 115
Fase1: Estudio de Clases .................................................................................................... 115 Introducción ................................................................................................................................. 115 7.1 Identificación de la Tarea y la Técnica asociada .................................................................. 115 7.2 Análisis taller 1: Discusión del contenido matemático ......................................................... 116 7.3 Análisis taller 2: Discusión del contenido matemático con un referente teórico .................. 120 7.4 Análisis taller 3: Profundización del contenido matemático ................................................. 125
CAPÍTULO 8 ..................................................................................................................... 128
Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad ..................................................... 128 Introducción ................................................................................................................................. 128 8.1 Análisis taller 4: Reproducibilidad parte 1 ............................................................................ 129 8.2 Análisis taller 5: Planteamiento de una discusión tecnológica teórica .................................. 137 8.3 Análisis taller 6: El diseño didáctico ..................................................................................... 144 8.4 Análisis taller 7: Reflexión didáctica sobre el constructo reproducibilidad .......................... 149
CAPÍTULO 9 ..................................................................................................................... 156
Análisis de las situaciones de aprendizajes ........................................................................ 156 9.1 Análisis Situación 1 ............................................................................................................... 156 9.2 Análisis Situación 2 ............................................................................................................... 157 9.3 Análisis Situación 3 ............................................................................................................... 158 9.4 Análisis Situación 4 ............................................................................................................... 158
CAPÍTULO 10 ................................................................................................................... 160
Análisis videos de clases .................................................................................................... 160 10.1 Análisis situación de aprendizaje 1 ..................................................................................... 161 10.2 Análisis situación de aprendizaje 2 ..................................................................................... 164
Índice
8
10.3 Análisis situación de aprendizaje 3 ..................................................................................... 166 10.4 Análisis situación de aprendizaje 4 ..................................................................................... 169 10.5 Análisis de la clase Profesora 3 .......................................................................................... 172 10.6 Análisis de la clase Profesora 4 ........................................................................................... 176
CAPÍTULO 11 ................................................................................................................... 180
Análisis talleres de discusión sobre las clases .................................................................... 180
Fase 3 Estudio de Clases .................................................................................................... 180 11.1 Análisis del taller de discusión de la Clase 1 ....................................................................... 180 11.2 Análisis del taller de discusión de la Clase 2 ....................................................................... 191 11.3 Análisis del taller de discusión de la Clase 3 ....................................................................... 200 11.4 Análisis del taller de discusión de la Clase 4 ....................................................................... 209
CAPÍTULO 12 ................................................................................................................... 212
Una respuesta a la pregunta de Investigación, .................................................................... 212
Conclusiones y proyecciones .............................................................................................. 212 12.1 Respuesta a la pregunta de investigación ............................................................................ 212 12.2 Conclusiones ........................................................................................................................ 217 12.3 Proyecciones del trabajo ...................................................................................................... 221
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 222
Anexos ................................................................................................................................ 228 1. Guía de trabajo (Profesor Martín y Profesora Isidora) ............................................................ 229 2. Guía de trabajo de las profesoras Pamela y Romina ............................................................... 233 3. Análisis clase de Profesor 1 (Martín) ..................................................................................... 234
Resumen
9
RESUMEN
La presente investigación se centra en presentar y analizar las reflexiones y actividades
realizadas por un grupo de trabajo, el cual estuvo constituido por cuatro profesores de
educación general básica; quienes dictaban la asignatura de matemáticas a estudiantes de 10
a 14 años. Estos profesionales pertenecen a un programa de perfeccionamiento docente en
el marco de formación continua para el desarrollo profesional. La reflexión provocada es de
tipo didáctica sobre el “constructo reproducibilidad de situaciones de aprendizaje”. Se
analizan los efectos que produce esta reflexión y se detecta qué elementos aporta a los
profesores para que los diseños didácticos, creados por ellos, puedan ser aplicados en
distintos escenarios. El marco teórico está fundamentado en la teoría antropológica de lo
didáctico, en el significado de reproducibilidad y de desarrollo profesional. La
investigación se sitúa en el conocimiento didáctico del profesor.
La metodología para realizar estas reflexiones es “Estudio de Clases Japonés” (Lesson
Study). El diseño didáctico es creado por los profesores mediante ciertos elementos de la
ingeniería didáctica y fundamentado en ciertos aspectos de la teoría de situaciones
didácticas. El contenido matemático del diseño didáctico es el teorema de Pitágoras para
alumnos de 7º Año Básico (12-13 años de edad) del sistema escolar chileno.
Abstract
10
ABSTRACT
This purpose of this research is to present and analyze the reflection and activities made by
a working group, which is composed of four basic general education teachers, who dictate
the mathematic class for students between 10 and 14 years old. These professionals belong
to a teacher training program in the context of continuing education for professional
development. The reflection made by teachers is a didactical type under the "reproducibility
construct learning situations". We analyze the effects produced by this reflection and detect
which element contributes to teachers for didactical designs, created by them, can be
applied in different scenarios. The theoretical framework is based on anthropological theory
of the didactic, the meaning of reproducibility and professional development. The research
is focused in the teacher's didactical knowledge.
The methodology used for these reflections is "Japanese Lessons Study" (Lesson Study).
The didactical design is created by the teachers by certain elements of the Didactical
Engineering and based on certain aspects of the theory of didactical situations. The
mathematical content of didactical design is the Pythagora's Theorem for 7th grade student
(12 to 13 years old) in the Chilean school system.
Introducción
11
Introducción
La formación de profesores de matemática en ejercicio es un tema que ha sido discutido en
diferente ámbitos. Un caso es el cuestionamiento del quehacer del docente en vista de los
resultados de los aprendizajes de sus alumnos. La revisión de la literatura en relación a la
investigación en formación de profesores de matemáticas mostró que hay diversidad de
puntos de vista (de artículos). Pareciera ser que se ha investigado de todo o al menos que
hay varias aristas que se han puesto en escena para realizar estudios. Por ejemplo: estudios
sobre las creencias de los profesores, estudios relacionados con el conocimiento pedagógico
del contenido, entre otros.
El estudio que se presenta está ubicado en el conocimiento didáctico del profesor. La
motivación para realizar la investigación se fundamenta en que la autora es formadora de
profesores de matemáticas tanto en formación inicial como continua y, por otra, ejerció
durante varios años como docente de aula en diferentes tipos de escuela haciendo clases de
matemáticas a estudiantes entre 10 a 17 años de edad. Estos dos hechos permitieron tener
evidencia empírica de los profesores que ejercen en el aula y que a su vez realizan
perfeccionamiento docente en instituciones formadoras. De ahí, surge el planteamiento de
una problemática que vincula un constructo de la didáctica de la matemática (que se origina
a partir de la aplicación de ingenierías didácticas en la década de los ochenta llamado
reproducibilidad) con el desarrollo profesional. Los profesores, al asistir a programas de
especialización: diplomados, postítulos entre otros, tienen que llevar a la práctica dichas
actualizaciones. Se desconoce cómo aprende el profesor; lo que sí se sabe es que el docente
bajo cualquier circunstancia es un profesional y por tanto desea que sus alumnos
“aprendan”, en este caso matemática.
A partir de algunos antecedentes, que serán expuestos más adelante, surge la pregunta de
investigación que resume el constructo teórico de reproducibilidad, los diseños didácticos,
la reflexión y la aplicación de situaciones de aprendizajes en diferentes escenarios. La
interrogante es la siguiente: con respecto a la reflexión sobre reproducibilidad en el proceso
de formación continua, ¿qué elementos agrega al quehacer docente para que los diseños
didácticos sean aplicados en distintos escenarios? Para responderla se organizó la
investigación en etapas, haciendo un seguimiento a un grupo de profesores que pertenecían
Introducción
12
a un programa de especialización en matemática en una institución de tipo universitaria.
Los profesores tenían que diseñar situaciones de aprendizajes de un contenido matemático,
siguiendo una metodología que les permitiera reflexionar desde antes de la concepción de
las situaciones hasta discutir sus clases observándose mutuamente en pos de mejorar sus
propias prácticas. Esto originó una serie de información la cual, bajo cierto marco teórico,
se tradujo en datos para ser analizados.
El presente reporte es producto del estudio que se menciona en los párrafos anteriores. Está
constituido por una breve descripción de la motivación y el contexto de la investigación,
enseguida se exhiben doce capítulos, las referencias bibliográficas y los anexos.
En el primer capítulo se presentan los antecedentes considerando dos aristas: análisis de
investigaciones sobre la formación continua de profesores de matemáticas y comentario
crítico de investigaciones sobre la reproducibilidad de situaciones. A través de estas
reflexiones se devela la diversidad y variedad de estudios relacionados con la formación de
profesores.
Enseguida en el capítulo 2 se muestra la problemática, la pregunta de investigación, el
propósito y las implicancias del constructo reproducibilidad que se ha adoptado para la
investigación.
El capítulo 3 está constituido por el marco teórico que fundamenta el estudio. Este marco
articula varios constructos teóricos: la teoría de situaciones didácticas, la teoría
antropológica de lo didáctico, la conceptualización de reflexión y tipo de reflexión en el
ámbito de la formación de profesores y el desarrollo profesional.
En el capítulo 4 se presenta el método de obtención de los datos para analizarlos y la
metodología de Estudio de Clases. Esta metodología tiene como fundamento el aprendizaje
colaborativo entre pares y es la investigación de una clase sobre un contenido matemático.
En el capítulo 5 se expone el objeto matemático que constituye el fundamento para
comprender las reflexiones de los profesores observados frente a las diferentes tareas
planteadas. Este objeto es el teorema de Pitágoras; el que se presenta mostrando su hábitat
desde los diferentes ámbitos en su dimensión: epistemológica, didáctica y cognitiva.
En el capítulo 6 se presenta un estudio de las ideas intuitivas de reproducibilidad declaradas
por algunos profesores. Desde este capítulo hasta el número 11 se exponen, además, los
análisis de los datos constituidos por: talleres de reflexión sobre el contenido matemático y
Introducción
13
el diseño de las situaciones de aprendizaje, taller de reflexión del constructo
reproducibilidad, situaciones de aprendizajes, videos de clases y talleres de discusión sobre
cada una de las clases que aplicaron los profesores del equipo de trabajo.
El capítulo 12 está constituido por la respuesta a la pregunta de investigación, las
conclusiones y las posibles proyecciones que podría tener el estudio.
Finalmente se muestran las referencias bibliográficas y el anexo en el cual se encontrarán
las situaciones de aprendizaje que diseñaron los profesores; los cuales pertenecían al grupo
de trabajo observado para la presente investigación.
Motivación y Contexto
14
Motivación y Contexto
Motivación
La motivación de este estudio está dada por la experiencia de aula que ha tenido la
investigadora como profesora de matemáticas. Razón por la cual ha asistido a múltiples
cursos de perfeccionamiento docente, a partir de los cuales surge la pregunta esencial:
¿cómo todos estos aprendizajes se llevan al aula? (vinculación teoría y práctica).
Por otra parte, es investigadora y formadora de profesores, lo que le ha permitido observar
empíricamente, tanto en la formación inicial como en formación continua, las dificultades
que los profesores en servicio tienen para apropiarse de los saberes y luego hacer cambios
en su propia práctica. También ha observado cómo los profesores que asisten a programas
de desarrollo profesional, en ocasiones, desvirtúan situaciones de aprendizaje en su
esfuerzo de adaptar y readecuar a su contexto. Sin embargo, en esa readecuación se pierde
la esencia de dicha situación.
Contexto
Para comprender la problemática que se plantea en la investigación y mostrar el origen de
ella se expone el contexto donde surge el cuestionamiento que conduce a plantearse una
pregunta de investigación, la cual será respondida mediante el método científico.
El contexto corresponde a un grupo de profesores que están en servicio y que asisten a
cursos de perfeccionamiento para reactualizar saberes de índole: matemático, didáctico y
pedagógico. Estos docentes, en formación continua, tienen que diseñar situaciones de
aprendizaje que tienen en vista un propósito didáctico. Dichas situaciones tienen que estar
fundamentadas teóricamente en elementos de la didáctica de la matemática (matemática
educativa), y por tanto son inducidas, analizadas y retroalimentadas por expertos; esta
actividad provoca en particular una reflexión tanto en el diseño como en la puesta en
escena, es decir, en estos cursos se busca introducir elementos teóricos en el quehacer
cotidiano y práctico del profesor.
En particular, se hará referencia al programa del Postítulo de Mención en Matemática para
profesores y profesores de Segundo Ciclo Básico de la Pontificia Universidad Católica de
Valparaíso. Este perfeccionamiento docente está destinado a profesores y profesoras de
educación general básica que hacen clases de matemáticas en el segundo ciclo básico, a
Motivación y Contexto
15
alumnos cuyas edades fluctúan entre 10 y 14 años. El postítulo busca que los educadores
adquieran y se apropien de saberes del contenido disciplinar de la matemática y la
didáctica. El programa del postítulo tiene un módulo denominado taller de reflexión
pedagógica. Este módulo se desarrolla durante toda la ejecución del programa y uno de sus
objetivos es que los profesores reflexionen sobre los procesos de aprendizaje de sus
alumnos y desarrollen diseños didácticos para aplicarlos en el aula de acuerdo a su
contexto. Los diseños didácticos y su experimentación se evalúan a través de talleres de
reflexión.
Así, los profesores diseñan y ejecutan propuestas de enseñanza-aprendizaje de un contenido
matemático mediante ciertos elementos de la ingeniería didáctica. Este constructo se
caracteriza por un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase,
es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de
enseñanza (Artigue, 1995). Se parte del supuesto de que al diseñar y ejecutar una propuesta
de enseñanza aprendizaje mediante una metodología, en este caso la ingeniería didáctica, se
contribuye al desarrollo profesional docente en el sentido de que provee un método para la
realización de diseños para la enseñanza-aprendizaje.
La creación del diseño didáctico mediante ciertos elementos de la ingeniería didáctica se
complementa y articula con la metodología de Estudio de Clases o Lesson Study. El
Estudio de Clases es un método de perfeccionamiento docente y se le considera un proceso
mediante el cual un equipo de profesores trabaja en común para mejorar progresivamente
los métodos pedagógicos, examinándose y criticándose mutuamente las técnicas de
enseñanza. Es un trabajo en equipo que fortalece el aprendizaje entre pares, pues forman un
grupo en donde comparten sus saberes matemáticos, didácticos y pedagógicos, analizan sus
experiencias de aula, discuten sobre sus concepciones y creencias en pos de adquirir nuevos
conocimientos y mejorar sus prácticas pedagógicas.
Por lo anteriormente expuesto, a continuación se presentan los diferentes capítulos que
sistematizan el estudio realizado.
Capítulo 1 Antecedentes
16
CAPÍTULO 1
Antecedentes
Los antecedentes, que a continuación exponemos, son la síntesis de la revisión en la
literatura sobre dos focos del estudio. El primer foco se centra en antecedentes relacionados
con estudios vinculados a la investigación desarrollada en el ámbito de la formación de
profesores en servicio. Este foco permite situar la investigación en un campo de la
matemática educativa llamado: conocimiento didáctico del profesor. El segundo foco
pertenece al campo de análisis de los estudios que permiten plantear la problemática a partir
del fenómeno de reproducibilidad.
1.1 Antecedentes sobre formación de profesores
Al revisar la literatura en relación a los estudios que se han realizado sobre la formación de
profesores en servicio se detecta que la bibliografía es numerosa y que hay una variedad de
tópicos al respecto. Esto nos permite develar que existe un cuestionamiento profundo sobre
diversos temas en relación a la labor del profesor y su formación.
Primeramente exponemos que en la actualidad la investigación en la formación continua de
profesores de matemáticas es considerada un campo distintivo. Considerando que el
aprendizaje del profesor es complejo, la indagación en la formación del profesorado de
matemáticas se basa en una amplia gama de teorías y enfoques (Goos y Geiger, 2010).
Sin embargo, el protagonismo del docente en las investigaciones en el ámbito de la
didáctica de la matemática, en particular en Francia, no siempre fue un foco relevante pues
no era considerado un actor problemático, el centro de los estudios en los comienzos de la
didáctica de la matemática como ciencia fue el alumno. Esto va cambiando y las
investigaciones se van descentralizando, la mirada se sitúa en el docente, los estudios se
focalizan en las concepciones y representaciones: sus modos de acción y de decisión, sus
conocimientos y competencias (Artigue, 2004).
Capítulo 1 Antecedentes
17
Ponte y Champan (2006) mencionan que el estudio de los profesores y la enseñanza ha sido
un campo activo por un largo tiempo en particular en la comunidad del PME1. Señalan que
en la década de los ochenta toman gran impulso los estudios focalizados en el profesor, los
representantes de esas investigaciones son: Elbaz(1983), Shulman(1986) y Schön(1983)
quienes en gran medida aportan con sus estudios a que se desarrollen investigaciones en
esos ámbitos. Mencionan, que Elbaz (1983) identificó el conocimiento práctico del profesor
y cómo los profesores encapsulan dicho conocimiento. Este conocimiento se basa en la
experiencia. Ponte y Chapman agregan que Shulman (1986) expone las ideas sobre el
conocimiento pedagógico del contenido (PCK) y propone siete categorías de
conocimientos, a saber: conocimiento práctico, conocimiento del contenido, conocimiento
pedagógico general, el conocimiento curricular pedagógico del contenido, conocimiento de
los estudiantes, conocimiento de las instituciones educativas, fines propósitos y valores.
Este autor hizo hincapié en PCK como un aspecto clave para abordar el estudio de la
enseñanza. En relación a Schön (1983) los autores Ponte y Chapman señalan que desarrolla
estudios sobre la práctica reflexiva. Cuando se requiere una acción, los profesionales actúan
sobre la base de lo que saben sin reparar en lo intelectual o el conocimiento formal de la
práctica. Para un profesor reflexionar la práctica tiene que ver con el contenido y los
conocimientos pedagógicos relacionados exclusivamente con el contenido.
El conocimiento de los profesores incluye nociones de creencias de los profesores y sus
concepciones que se consideran que son constructos relevantes para entender lo que los
profesores saben. Ponte y Champan (2006) indican, además, que desde los años 1986 a
1994 aparecen estudios sobre las prácticas docentes y entre los años 1995 a 2005 éstos
crecen sustantivamente. Los estudios relacionados con el profesor de refieren a:
conocimientos de las matemáticas de los profesores, conocimientos de los profesores en la
enseñanza de la matemática, creencias y concepciones de los profesores y la práctica
docente.
Cardeñoso, Flores y Azcárate (2001) plantean dos grandes bloques en la línea del desarrollo
profesional; por una parte problemáticas sobre el conocimiento profesional del profesor, sus
dimensiones, sus relaciones, su estructura; y por otra problemáticas sobre elaboración del
1 PME Psychology of Mathematics Education
Capítulo 1 Antecedentes
18
conocimiento profesional. Por otra parte, la construcción de un conocimiento profesional
más elaborado es un proceso mediante el cual las ideas evolucionan hacia nuevas formas de
concebir la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. De acuerdo con la idea de desarrollo
profesional, dicha construcción está mediatizada por el contexto, las actividades que se
realizan y el conjunto de interacciones que se producen. En consecuencia, indican que
siguiendo la idea de Llinares (1994) hay que diseñar entornos de aprendizaje adecuados
para facilitar dicho proceso de construcción.
Azcárate (2004) se refiere al desarrollo profesional y lo vincula a la evolución por parte del
docente en la capacidad de reflexión en y sobre la práctica diagnosticando, comprendiendo
para descubrir, criticar y modificar los referentes, esquemas y creencias que subyacen a la
misma. Agrega que los profesores son capaces de diseñar, gestionar la puesta en práctica y
evaluar propuestas curriculares sin olvidar la complejidad del contexto educativo. También
menciona que el conocimiento docente es un conocimiento práctico; es complejo e
integrador; es crítico y es profesionalizado sobre la enseñanza de los contenidos. Señala la
necesidad de las acciones de formación inicial y continua y la investigación acerca del
fuerte vínculo que deben tener con la práctica docente actual o futura; centrándose
preferentemente en procesos de investigación relacionados con algunos de los aspectos
específicos implicados con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Los dos últimos antecedentes exponen sobre el desarrollo profesional del profesor,
proponiéndose tanto generar o diseñar entornos de aprendizaje como potenciar la
investigación sobre la formación continua vinculada con la práctica docente. Ambos
objetivos relacionan de alguna u otra manera teoría y práctica.
Con respecto al cómo y qué aprende el profesor en procesos de formación continua,
Llinares (2007) señala que el aprendizaje del profesor de matemáticas (tanto en su contexto
de formación inicial como en el de formación continua) pasa por llegar a comprender la
enseñanza de las matemáticas de una determinada manera y aprender a realizar las tareas y
usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional. El
Capítulo 1 Antecedentes
19
conocimiento y destrezas necesarias sobre “enseñar matemáticas”, visto desde esta
perspectiva supone:
- Poseer “instrumentos” técnicos y conceptuales que permiten desarrollar, y tener la
capacidad de construir nuevos conocimientos desde la práctica. En este sentido los
instrumentos conceptuales -ideas teóricas procedentes de la Didáctica de la
matemática- y técnicos desempeñan diferentes papeles en la caracterización de las
tareas que definen la práctica de enseñar matemáticas.
Para este autor, en el proceso de aprendizaje del profesor existen dos características del
conocimiento:
- Poseer – usar – generar dicho saber
- Relacionar teoría y práctica
Lo anterior impone condiciones a los formadores de profesores cuando tienen que diseñar
oportunidades (entornos de aprendizaje) para que los estudiantes de pedagogía o los
profesores en ejercicio lleguen a generar nuevo conocimiento y destrezas además de
potenciar la capacidad para seguir aprendiendo desde la práctica.
Perrin-Glorian, Deblois y Robert (2008) remarcan la complejidad de poner en práctica los
conocimientos matemáticos que reciben los profesores. Las autoras revisan la literatura en
relación a un estudio que realizan en el contexto del desarrollo profesional docente e
indican lo difícil que es organizar la variedad de conceptos. Identifican tres cuestiones
principales. La primera tiene relación con los cambios de paradigmas propuestos en la
formación de profesorado en ejercicio que plantea nuevos problemas en la enseñanza. Lo
anterior incluye la investigación sobre la formación del profesorado de matemáticas que
muestra la importancia de la flexibilidad, la profundidad y la conexión de los
conocimientos de los profesores de matemática. También muestran lo difícil que es para
los profesores adquirir conocimientos flexibles, y que lo utilicen para gestionar aprendizaje
de matemáticas de los estudiantes en el aula con actividades desafiantes. Por lo cual,
indican que es importante estudiar la enseñanza en su contexto. La segunda tiene relación
con los cambios que tienen que hacer los profesores por las reformas o nuevos programas
de estudio. Señalan que es difícil para los docentes hacer esos cambios y que algunos
estudios muestran que cambios aislados no son suficientes para garantizar una mejora real
Capítulo 1 Antecedentes
20
en la práctica. Las dificultades vienen dadas por las imbricaciones entre las creencias y
conocimientos de los profesores. La tercera, tiene relación con la importancia de la
construcción de conceptos o sistemas capaces de tomar en consideración la variedad de
trabajo de los profesores (planificación, análisis, interacciones en el aula, incluyendo las
relaciones con los padres, etc.).
Para continuar con nuestro estudio, examinaremos algunos antecedentes que presentan
modelos que determinan los conocimientos didácticos del profesor y, en consecuencia, nos
permiten interpretar la práctica del profesor.
Godino(2009) muestra un modelo del conocimiento del profesor que propone categorías de
análisis más finas sobre los conocimientos didácticos-matemáticos del profesor basado en
el enfoque ontosemiótico. Lo relevante de su aporte es que el autor analiza el modelo del
conocimiento del profesor propuesto por Shulman(1986) y las adaptaciones que han
realizados diversos autores. A partir de ello, formula un modelo que contempla las
categorías de análisis sobre los conocimientos didácticos-matemáticos. Señala el autor que
la expresión “conocimiento didáctico-matemático del profesor” se relaciona con la
concepción que tienen los docentes acerca de la Didáctica de la Matemática; la cual es
asumida como la articulación de diversas disciplinas interesadas en el estudio de los
procesos de enseñanza y aprendizaje (Godino,1991). El conocimiento matemático-didáctico
del profesor lo define como el conjunto de conocimientos y competencias profesionales.
Agrega que se incluye en el contenido didáctico, el conocimiento del contenido
matemático, en cuanto éste es contemplado desde la perspectiva de su enseñanza. Además,
expone que el control de las transformaciones que se deben aplicar al contenido
matemático, para su difusión y comunicación en los distintos niveles escolares, es otra
competencia del profesor de matemáticas.
También, Godino (2009) menciona tres modelos: el conocimiento del contenido para la
enseñanza, conocimiento matemático para la enseñanza y “Proficiencia” en la enseñanza
de las matemáticas.
El primer modelo atañe a las categorías del conocimiento para la enseñanza que propuso
Shulman(1986); al respecto Godino indica que este autor es pionero en llamar la atención
sobre el carácter específico del conocimiento del contenido para la enseñanza. Las
Capítulo 1 Antecedentes
21
categorías que define Shulman se relacionan con: conocimiento de la materia, conocimiento
pedagógico del contenido (PCK) y conocimiento curricular. Esta propuesta ha jugado un
papel importante en el desarrollo de la investigación e implementaciones curriculares para
la formación de profesores. Las categorías siguen vigentes, aun cuando las interpretaciones
iniciales dadas a las mismas han ido cambiando.
El segundo modelo, analizado por Godino(2009), se relaciona con el conocimiento
matemático para la enseñanza que se reconoce por sus siglas MKT; cuyos autores son (Hill,
Ball y Shilling, 2008).
El tercer modelo mencionado en este estudio es “Proficiencia en la enseñanza de las
matemáticas”, Godino (2009) indica que esta noción es utilizada por Schoenfeld y
Kilpatrick (2008) y propone interpretarla como una referencia a los conocimientos y
competencias que deberían tener los profesores para que su enseñanza se pueda considerar
de calidad.
El artículo de Hill, Ball y Schilling (2008) da a conocer un modelo sobre el conocimiento
matemático para la enseñanza (MKT). Los autores lo realizan a partir del estudio de
Shulman (1986) sobre el conocimiento pedagógico del contenido (PCK) y lo aplican en la
enseñanza de la matemática. Su modelo buscó entender y medir el conocimiento didáctico
de las matemáticas, los conocimientos matemáticos que utilizan los profesores en las aulas
para producir la instrucción y crecimiento de los estudiantes. Definen el conocimiento del
contenido y el conocimiento de cómo los estudiantes aprenden ese contenido y lo abrevian
por la sigla KCS. Presentan su modelo mediante la representación de un óvalo parcelado
(Figura1). Este modelo está determinado primeramente por dos grandes áreas:
conocimiento del contenido y conocimiento pedagógico del contenido.
El conocimiento del contenido a su vez está parcelado en tres sectores:
- Conocimiento común del contenido (CCK) descrito como el conocimiento que tiene
relación con la resolución de problemas matemáticos y que es común a otras
profesiones, pues lo pueden resolver por ejemplo los ingenieros.
- Conocimiento del horizonte matemático
Capítulo 1 Antecedentes
22
- Conocimiento especializado del contenido (SCK), es el conocimiento matemático
que permite a los profesores idear la enseñanza. Se refiere al contenido netamente
matemático que el profesor debe saber para poder provocar aprendizajes.
El conocimiento pedagógico de los contenidos está parcelado en:
- Conocimiento del contenido y los estudiantes (KCS): conocimiento del contenido
que se entrelaza con el conocimiento de cómo los estudiantes piensan, saben, o
aprenden este contenido particular,
- Conocimiento del contenido y la enseñanza (KCT) que resulta de la integración del
contenido matemático con el conocimiento de la enseñanza de dicho contenido.
Incluye saber construir, a partir del razonamiento de los estudiantes y las estrategias
utilizadas por ellos, procesos pertinentes para tratar y corregir sus errores y
concepciones erróneas (Godino, 2009)
- Conocimiento del currículo
Figura 1: Modelo MKT
Tanto los modelos de: Shulman(1986); Schoenfeld y Kilpatrick (2008); como los de Hill,
Ball y Schilling (2008) y Godino(2009) -expuestos en los párrafos precedentes- se centran
en el conocimiento del profesor y sus competencias. Lo anterior enfatiza que el
Capítulo 1 Antecedentes
23
conocimiento del profesor de matemática se focaliza en dos áreas: en la matemática y su
didáctica,y el ámbito pedagógico. Esto nos permite conjeturar que dichos modelos son más
amplios o, mejor dicho, ven la generalidad del quehacer del profesor. En sus modelos es
posible detectar ciertas coincidencias, las cuales apuntan a que un profesor tiene que
conocer la disciplina que enseña y el cómo aprenden sus alumnos. A la vez manejar
variables para provocar aprendizaje. Las variables están relacionadas con el conocimiento
de la institución y del currículo.
Por su parte, Margolinas, Coulange y Bessot (2005) investigan el conocimiento del
profesor centrándose en sus procesos de aprendizaje a partir de la observación y la
interacción con los estudiantes. Señalan la importancia de distinguir un tipo de
conocimiento específico del profesor: el conocimiento didáctico del profesor.
Este conocimiento didáctico del profesor se inserta en el campo de investigación de la
Didáctica de la Matemática (francesa) y se refiere al conocimiento matemático y a su
enseñanza. Desarrollan un modelo para la actividad del profesor y lo diseñan para
comprender mejor la complejidad de la actividad del mismo.
El modelo está dado por +3 a -1 y sus significados son:
Se señala que en todos los niveles el profesor tiene que lidiar con al menos dos de los
componentes (Perrin-Glorian, 1999): el componente superior y el componente inferior. Esto
§ + 3 Principios y concepciones sobre enseñanza y aprendizaje - Proyecto educacional: principios educacionales, concepciones de la
enseñanza. Concepciones del aprendizaje. § +2 Proyecto didáctico global
- El proyecto didáctico global, del cual la secuencia planeada de las clases es una parte: estudio de nociones y adquisición del conocimiento.
§ +1 Proyecto didáctico local - El proyecto didáctico específico es la secuencia planificada de las
lecciones, los objetivos, la organización del trabajo. § 0 La acción didáctica
- Las interacciones con los alumnos, las decisiones durante la acción. § -1 La observación de las actividad de los alumnos
- Percepción de la actividad de los alumnos, la regulación del trabajo de los alumnos.
Capítulo 1 Antecedentes
24
crea una especie de "tensión" para el profesor. El estudio que realizan lo centran en el
conocimiento didáctico del profesor en relación con el nivel de observación (-1) y lo
denominan con la sigla “ODK” (conocimiento didáctico de observación) y qué puede
aprender el profesor durante la interacción en el aula.
A partir del modelo presentado por Margolinas et al(2005), en relación al conocimiento
didáctico del profesor, nos permitimos precisar su significado. Comprenderemos el
conocimiento didáctico del profesor como el conocimiento de la matemática y su
vinculación estrecha con la enseñanza-aprendizaje. Esto involucra el conocimiento de las
concepciones de la enseñanza y el aprendizaje considerando: la especificidad del saber
matemático, el proyecto global (relacionado con el currículo en donde las clases planeadas
son parte de ella), la secuencia específica de un contenido matemático (considera las
lecciones de clases, sus objetivos y la organización del trabajo). También incluiremos,
como parte del conocimiento didáctico del profesor, las interacciones de los alumnos en el
aula y la observación de la actividad de los mismos. Debemos precisar que la idea del
conocimiento didáctico del profesor nace en la didáctica de la matemática francesa, lo que
implica un estudio profundo de la situación matemática (proyecto específico de enseñanza-
aprendizaje) lo que lo hace ser distinto del MKT propuesto por Hill, Ball y Shilling(2008).
En resumen, el modelo presentado por Margolinas et al(2005) difiere de los otros que se
presentaron -por ejemplo en Godino(2009)- en cuanto no menciona las competencias
generales y su centro es lo especifico de la matemática.
Dado que los antecedentes presentados en los párrafos anteriores han señalado que la
matemática, el conocimiento de cómo y qué aprenden los alumnos, la observación de la
actividad matemática y el currículo son conocimientos del profesor para hacer clases
matemáticas; podemos inferir que también hay una institución, o un contexto institucional, que enmarca la enseñanza del contenido matemático.
A continuación se presenta un análisis del artículo de Bosch y Gascón (2009) que expone la
relación de la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante TAD) con la formación inicial
y continua de profesores. Los autores mencionan que la TAD fue uno de los primeros
enfoques en considerar como objeto de estudio de investigación no sólo las actividades de
Capítulo 1 Antecedentes
25
enseñanza y aprendizaje en el aula, sino todo el proceso que va desde la creación y utilización
del saber matemático hasta su incorporación en la escuela como saber enseñado. Dicho
objeto de estudio incluye todas las instituciones que participan en este proceso, entre las que
se cuentan al profesorado como institución y también aquellas que intervienen en su
formación inicial y continua. Esto nace a partir de la puesta en evidencia del fenómeno de la
transposición didáctica (Chevallard, 1985). También, Bosch y Gascón(2009) reformulan el
problema de la formación de profesores y plantean preguntas que tienen relación con los
conocimientos o competencias necesarias para que los profesores puedan intervenir de
manera efectiva y pertinente en la formación matemáticas de sus alumnos entre otras.
En resumen, los antecedentes seleccionados y presentados anteriormente en el marco de
formación continua, nos develan las diversas miradas que se han desarrollado en la
investigación sobre el tema. Por una parte, en la década de los ochenta los estudios sobre el
profesor se relacionan con la reflexión sobre el quehacer del mismo; por otra, se da inicio a
la postura que no es suficiente saber matemáticas para hacerla enseñable y se introduce el
PCK. Lo anterior promueve el desarrollo de diferentes estudios que tratan de modelar el
conocimiento del profesor considerando no sólo el ámbito matemático, sino también el
didáctico y pedagógico. También evidenciamos la necesidad de incorporar, en cualquier
programa de formación continua, la conexión entre teoría y práctica. Esto conlleva el
diseño de entornos de aprendizaje.
Esta revisión nos permite situar la investigación que estamos desarrollando en el
conocimiento didáctico del profesor, siguiendo la idea de Margolinas et al(2005). El estudio
que realizamos vincula la adquisición de saberes de índole matemático, didáctico y
pedagógico para ponerlos en práctica por parte de los profesores. El contexto de la
investigación es un curso de perfeccionamiento docente que contribuye a su desarrollo
profesional.
Capítulo 1 Antecedentes
26
1.2 Antecedentes relacionados con la reproducibilidad
A continuación, se presentan antecedentes que permiten conceptualizar la reproducibilidad
de situaciones de aprendizaje el cual se relaciona con el contexto en que surge el problema
de nuestra investigación.
Uno de los primeros estudios de reproducibilidad es de Artigue (1986), quien presenta una
investigación sobre la reproducibilidad de situaciones didácticas en la que expone el estudio
de la dinámica de clase de una situación didáctica particular con el objetivo de determinar
características que las hacen reproducibles. La primera parte de este artículo se refiere a las
representaciones de reproducibilidad en didáctica de la matemática. Presenta diversos
textos de didáctica que tratan la reproducibilidad, tipifica los trabajos que se presentan en
la literatura y señala que hay dos tipos, uno que focaliza el estudio en las concepciones del
sujeto, y otros que estudian las secuencias de enseñanza. En este último tipo manifiesta las
dificultades de análisis de los fenómenos observados, da ejemplos de algunos estudios en
donde los investigadores señalan dicha dificultad y expresan la necesidad de una
investigación científica de la experimentación de clases.
Además, expone el diseño de un modelo que le permite analizar la reproducibilidad de
situaciones didácticas; este modelo lo define en base a historias de clase, órbitas y
trayectorias. Una historia de clase está constituida por un grupo de órbitas (que son como
pequeñas metas conceptuales a lo largo de la secuencia) que tienen relación con el logro de
los aprendizajes de cada estudiante -se espera que el estudiante pase por cada una de ellas-
y esto permite describir trayectorias de los estudiantes a lo largo de la situación didáctica.
Artigue concluye esta parte señalando la importancia de desarrollar estudios sobre las
concepciones del sujeto y que los métodos para investigarlas están inspirados en el campo
de la sicología social. Plantea también que por una parte hay que tratar de entender el
sistema didáctico en un sentido más global y por otra afirma que el rol de la investigación
no es solamente efectuar constataciones sobre la enseñanza, sino también construir
herramientas que permitan un cierto sentido de optimización.
La segunda parte del escrito muestra el estudio de la dinámica de una situación de
aprendizaje de círculos. Describe la metodología utilizada, que consiste en construir un
modelo (ingenuo), usar el modelo al máximo realizando las simulaciones e interpretar los
resultados obtenidos en términos de reproducibilidad.
Capítulo 1 Antecedentes
27
En la conclusión global del estudio se destacan las preguntas que se plantea a partir del
estudio de reproducibilidad: ¿cuáles son los fenómenos observados y cuáles son las
variables que los determinan?¿cuáles son los reportes que existen entre la historia de la
clase y las historias individuales de los alumnos? ¿se puede pasar de un discurso descriptivo
y llegar a un discurso explicativo o predictivo de la clase?
También, concluye sobre dos hechos importantes; uno que tiene relación con las historias
de clase, constituidas por la historia personal de cada alumno frente a la resolución del
problema, y la otra con el rol del profesor dentro del aula, pues afirma que el profesor juega
un rol decisivo en la reproducibilidad de la situación.
Lo relevante de este artículo es que el modelo que plantea de reproducibilidad que elabora
la investigadora lo declara ingenuo, pues no le permite evidenciar la reproducibilidad como
tal y en sus conclusiones plantea interrogantes que orientan la reflexión en la dirección a
dos subsistemas del sistema didáctico: los constituidos por el profesor y el alumno.
Artigue (1995), señala que Brousseau fue el primero en enfrentarse al problema de la
reproducibilidad de su ingeniería didáctica sobre la enseñanza de los decimales. A partir de
esto, Brousseau (1986) escribe sobre los fenómenos de obsolescencia y relaciona el hecho
de que un profesor de un año a otro reproduce condiciones para que sus alumnos tengan
los mismos resultados en la comprensión de un concepto; sin embargo, en lugar de
reproducir las condiciones, deja libre las trayectorias y reproducen una “historia” similar a
la de años anteriores pero que desnaturaliza las condiciones didácticas que garantizan una
significación correcta de los estudiantes. También, en este antecedente se consideran los
problemas de transmisión y de representación metacognitivas. Se desarrolla la idea a partir
de dos trabajos, uno de ellos es la investigación de Arsac (1989), quien realiza un estudio
de reproducibilidad en el marco de un problema abierto; sus hallazgos le permitieron poner
en evidencia la desproporción entre el carácter aparentemente anodino de algunas
intervenciones del profesor y sus efectos reales. Arsac, además, define un concepto para la
caracterización del fenómeno llamado “escogencia didáctica”, el cual lo describe como una
decisión situacional que toma el profesor y produce un cambio cognitivo en el estudiante,
pues cambia “el sentido y la función” del conocimiento.
Brousseau clasifica el fenómeno de “obsolescencia” entre los fenómenos ligados al control
de la transposición didáctica. También define el envejecimiento de situaciones de
Capítulo 1 Antecedentes
28
enseñanza, este fenómeno lo relaciona con las dificultades que tiene un profesor para
reproducir una misma lección, pues plantea que la reproducción exacta de lo que ha dicho o
hecho anteriormente no tiene el mismo efecto y tiene la necesidad de cambiar la
formulación de la exposición o las instrucciones o los ejemplos o los ejercicios; incluso la
estructura misma de la clase.
Estos primeros antecedentes dan cuenta de los inicios del constructo reproducibilidad,
insertándolo entre los fenómenos ligados al control de la transposición didáctica.
Un investigador, que aborda el fenómeno de reproducibilidad posterior a las décadas de los
ochenta y noventa, es Lezama (2005). El autor establece que la reproducibilidad de una
situación didáctica o situación de aprendizaje necesariamente establece los factores que
posibilitan el logro de los propósitos didácticos de una misma clase al repetirse en escenario
distintos. Sin embargo, da a conocer otros estudios en los que se señala que la
reproducibilidad en estricto rigor no se puede asegurar en didáctica, pero que se puede
predecir reagrupando historias de clases en vecindades de historias y en distinguir
trayectorias y órbitas propias de cada situación didáctica. Además, agrega que la
reproducibilidad no depende únicamente de los elementos del diseño, sino que hay que
considerar factores exógenos a él. También, Lezama (2005) muestra antecedentes
relacionados con investigaciones que se han desarrollado en relación a la reproducibilidad,
se citarán algunos de ellos como:
Perrin–Glorian (1993), investigación que pone en evidencia la necesidad de considerar el
polo “profesor” y por otra da cuenta de que las ingenierías didácticas no son instrumentos
universales, hecho relevante para la reproducibilidad porque permite poner atención en las
estructura de las situaciones y considerar el rol del profesor.
Arsac, Balacheff, y Mante (1992) plantean una interesante pregunta para los estudios de
reproducibilidad relacionada con los tipos de fenómenos que pueden emerger cuando una
misma situación de clase es experimentada por dos profesores distintos en dos clases
diferentes. Sus hallazgos apuntan directamente a las concepciones del profesor.
En sus conclusiones, Lezama plantea que el polo del saber es el más estable a pesar de su
complejidad en la investigación que realizaron; además agrega que el subsistema profesor y
subsistema alumno son los más difíciles de controlar. También menciona que el profesor
juega un papel determinante en el proceso de reproducción de situaciones didácticas, por lo
Capítulo 1 Antecedentes
29
cual requiere ser el más activo y flexible. Los principales resultados de esta investigación,
tienen relación con el planteamiento de elementos para un modelo de reproducibilidad de
situaciones didácticas, estos son: la situación didáctica en el sistema didáctico, la estructura
de la situación didáctica como factor de reproducibilidad, los estudiantes ante la
reproducibilidad, un fenómeno producido a partir de la falta de antecedentes matemáticos
en los estudiantes, el profesor como agente de reproducibilidad.
Los antecedentes presentados en los párrafos anteriores señalan que la reproducibilidad de
situaciones de aprendizajes es altamente significativa al observar la aplicación de
ingenierías didácticas.
Artigue (1986), autora del primer estudio sobre reproducibilidad, reflexiona sobre la
ingeniería didáctica ( ID) en Artigue (2008) analizando el origen, desarrollo y estado actual
de este constructo. Artigue (2008) expone ideas fundamentales sobre el desarrollo de
marcos teóricos en la didáctica francesa y que esto surge de la necesidad de las propias
investigaciones. Señala que las dificultades encontradas en la transmisión de las
realizaciones de ID han demostrado la necesidad de considerar al profesor como un actor
global de la situación didáctica, de conocer mejor su contribución a la dinámica del aula y
sus efectos así como los fundamentos de las decisiones que toma. Una mejor comprensión
de las prácticas docentes y de los factores determinantes de estos se convierte así en una
prioridad en la agenda de investigación. Por lo cual desde principios de los noventa se
produce el desarrollo de metodologías de investigación menos invasivas y crece la
importancia dada a las observaciones naturalistas que se llevó a cabo en las aulas
ordinarias; se potencia el desarrollo de las constructos teóricos dentro de la teoría de
situaciones didácticas (TSD) o estrechamente vinculados a ella (como el refinamiento de la
noción de contrato didáctico, la evolución de la estructura vertical asociado a la noción de
“milieu”, los nuevos modelos de la acción didáctica del profesor (cf. (Laborde y Perrin-
Glorian, 2005) para muchos ejemplos ilustrativos), así como modelos fuera de TSD por
ejemplo el enfoque ergonómico-didáctico por Robert y Rogalski (2002), y de un importante
cuerpo de investigación sobre las prácticas docentes que afectan la visión del diseño
didáctico.
Capítulo 1 Antecedentes
30
Estos antecedentes justifican el estudio de la reproducibilidad de situaciones de aprendizaje,
al detectar dificultades de transmisión por parte del profesor, quien juega un papel
fundamental en el momento de reproducir la situación.
En el capítulo siguiente se expone la problemática de la investigación. Para comprenderla
es necesario que precisemos el alcance del término “reproducibilidad de una situación de
aprendizaje”. Con este fin, expondremos los antecedentes que manifiestan la imposibilidad
de practicar la reproducibilidad de forma exacta. Hemos precisado aún más el significado
de dicho constructo en el marco teórico, donde se desarrollará esta idea en profundidad. A
forma a priori diremos que la reproducibilidad de una situación de aprendizaje es: la forma
en que dicha situación de aprendizaje puede ser aplicada en distintos escenarios para
extrapolar los elementos que permiten que la situación en sí misma no pierda su esencia
relacionada con el logro del objetivo didáctico.
Capítulo 2 Problemática, pregunta de investigación y propósito
31
CAPÍTULO 2
Problemática, pregunta de investigación y propósito
2.1 Problemática
La enseñanza aprendizaje de la matemática ha sido discutida en diversos escenarios,
principalmente por los resultados que arrojan algunas evaluaciones estandarizadas de nivel
internacional como la prueba PISA2.
El programa PISA de la OCDE3 cuestiona desde el exterior la eficiencia de los sistemas
educativos y hacen visible tanto los éxitos como las limitaciones y fracasos. Además que
lidera la investigación educativa para informar y orientar las decisiones curriculares y
políticas (Artigue, 2008).
Los resultados de esta medición, en especial la del año 2009 en la parte matemática, ponen
en evidencia que hay una gran cantidad de países - 41 de 65 - que obtienen un puntaje bajo
el promedio. Chile y México son ejemplos de países que obtuvieron un puntaje similar y
bajo el promedio dado por OCDE, pero sin duda lo más interesante es que devela que en
Chile el 22% de los estudiantes que se sometieron a estas pruebas se ubican en el nivel de
desempeño 1, es decir, no dominan las competencias elementales en la resolución de
problemas. Por su parte, en México el 28,9% de los estudiantes se localiza en el nivel 1.
Dados estos datos, se puede señalar que algunos estudiantes del sistema escolar no
aprenden matemáticas, pues la definición del área de matemática en esta prueba tiene
estrecha relación tanto con la capacidad del individuo para: analizar, razonar y comunicar
de forma eficaz como con su habilidad para resolver e interpretar problemas matemáticos.
Por otra parte, la intención de que los estudiantes aprendan matemática se fundamenta en
la idea de instalar un proceso social de culturización científica que reconozca la necesidad
de implementar modificaciones educativas en el campo particular de las matemáticas
(Cantoral y Farfán 2002). Desde esta mirada, surge la necesidad de investigar en el campo
de la matemática educativa y a su vez se convierte en un desafío, puesto que las
aportaciones que se realizan en este ámbito, entre otras: definen, estudian, detectan 2 PISA: Programme for International Student Assessment 3 OCDE: Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos
Capítulo 2 Problemática, pregunta de investigación y propósito
32
fenómenos didácticos; por ende podrían explicitar algunos de estos fenómenos y evidenciar
problemáticas qué se están generando. De esta forma contribuirían al conocimiento
disciplinar que alimenta el cuerpo teórico del campo de la matemática educativa y que
después puede usarse en beneficio de la escuela.
Además de lo presentado en los párrafos anteriores, se tiene que mencionar que la
enseñanza-aprendizaje de la matemática en los últimos años ha sufrido algunos cambios.
Estos cambios obedecen a los procesos que se han producido en la educación a nivel
mundial como aquellos relacionados con los ámbitos tecnológicos y sociales.
Dichos cambios conllevan plantear reformas educacionales, pues de un modelo tradicional
de enseñanza se propone un nuevo enfoque que está orientado al desarrollo del
pensamiento matemático del estudiante y no sólo a la transmisión pasiva de información.
Algunos de estos nuevos enfoques de enseñanza son, por ejemplo, aquel que se basa en la
resolución de problemas, aquel que está centrado en la modelación matemática o bien aquel
que se fundamenta en la matemáticas en contexto. En este proceso de adaptación y
aceptación de los modelos que surgen en las reformas educacionales, se proponen diversos
cursos de actualización para los profesores que están en servicio y que consideran por igual
los saberes matemáticos, didácticos y pedagógicos. Asimismo, las políticas públicas de
algunos países tienen institucionalizada la formación continua de docentes, a través de
diversas estrategias como: postítulo (también conocidos como diplomados), cursos de
perfeccionamiento docentes, entre otros.
En esta formación continua se fortalecen conocimientos en diversos ámbitos con el
propósito de que el docente pueda readecuar y cambiar un modelo de enseñanza-
aprendizaje de la matemática y contribuya a su desarrollo profesional.
La experiencia de la investigadora de este estudio, que ha trabajado con docentes en
diferentes cursos de reactualización, permite señalar que el cambio de enfoque en el
proceso enseñanza aprendizaje de la matemática para el profesor no es “natural”. Sobre
todo para docentes que llevan 10, 15 hasta 20 años de servicios. Rossouw & Smith (1998)
mencionan en un estudio realizado sobre el conocimiento pedagógico del contenido (PCK)
a profesores de primaria en geometría, quienes dos años después de haber completado el
curso de instrucción interno, finalmente desarrollaron su propio conocimiento pedagógico
del contenido que se formó por su propia experiencia. Esto conduce a presentar que cada
Capítulo 2 Problemática, pregunta de investigación y propósito
33
profesor que tiene la necesidad de cambiar el enfoque en la enseñanza de la matemática
tiene una historia propia; la cual está constituida –también- por creencias que se han
instalado en su quehacer profesional y que se han validado por su propia práctica. Parte de
la historia del profesor de matemática es la experiencia formativa, situada en una época y
en una tradición regional, de la enseñanza-aprendizaje. Se agrega a esta historia, los
cambios sociales y tecnológicos que eran más lentos si se compara con los cambios que se
producen actualmente. Las observaciones empíricas en el trabajo con docentes permiten
exponer que hay profesores que en el proceso de actualización de saberes logran con
dificultad poner en acción dichos saberes al servicio de su profesión y diseñar sesiones de
clases con un nuevo enfoque. En este caso, se podría señalar que algunos docentes han
provocado una ruptura con su quehacer pedagógico tradicional y están abiertos a cambios
de enfoques. Sin embargo, no se sabe con certeza qué aprende, cómo aprende y cómo
valida lo que aprende.
Estos hechos conducen a reflexionar sobre la práctica pedagógica de un profesor de
matemática en servicio, pues con o sin perfeccionamiento el profesor desea provocar
aprendizajes de matemática en sus alumnos, independiente del modelo que él seleccionó o
aprendió para diseñar y realizar sus clases.
De las ideas plasmadas en los párrafos anteriores en relación a los antecedentes expuestos
surge la inquietud y más bien la cuestión de vincular el fenómeno de reproducibilidad con
el quehacer docente que asiste a un programa de reactualización de saberes. Pues en esos
cursos tienen posibilidad de apropiarse, o al menos de conocer, elementos de la didáctica de
la matemática. Estos elementos pueden convertirse en herramientas para el diseño y
ejecución de propuestas de enseñanza y aprendizaje fundamentada en marcos teóricos
como la teoría de situaciones didácticas, la cual es una teoría de aprendizaje en donde
subyace un modelo constructivista.
La reproducibilidad como fenómeno es establecida precisamente en la teoría de situaciones
didácticas, específicamente en los fenómenos ligados a la transposición didáctica y en
particular al envejecimiento de situaciones de enseñanza (Brousseau,1984). El constructo
emerge en las puestas en escena de las ingenierías didácticas en distintos escenarios.
Investigaciones de Artigue (1984), Arsac (1989), Arsac et al (1992), Perrin–Glorian (1993),
Lezama (2005), exponen que el profesor es un factor fundamental en la reproducibilidad de
Capítulo 2 Problemática, pregunta de investigación y propósito
34
diseños didácticos. Por lo cual, nos permite dar una mirada profunda al profesor que está
en servicio y que realiza cursos de perfeccionamiento para su desarrollo profesional. En
esta reactualización de saberes matemáticos, didácticos y pedagógicos es inducido a crear
diseños didácticos fundamentados en elementos teóricos y herramientas metodológicas que
se derivan de la didáctica de la matemática. Esto lleva a cuestionar o preguntarse sobre lo
que ocurre en la trayectoria del profesor que está haciendo intentos por articular teoría y
práctica.
2.2 Pregunta de Investigación
Tomando como punto de partida el constructo teórico “reproducibilidad de situaciones de
aprendizaje”, considerado como elemento teórico de la didáctica de las matemáticas y en el
marco de un curso para el desarrollo profesional para el profesor de educación general
básica, nos planteamos la siguiente pregunta:
¿La reflexión sobre reproducibilidad en el proceso de formación continua, qué
elementos agrega al quehacer docente para que los diseños didácticos sean aplicados
en distintos escenarios?
Pregunta que intentaremos responder mediante una metodología desarrollada en el marco
de un curso de postítulo de especialización en matemática y un equipo de profesores que
diseñan, ejecutan, y reflexionan, sobre dicho diseño didáctico. Desarrollando una reflexión
de tipo didáctica en torno al constructo de reproducibilidad.
2.3 Propósito de la investigación
El propósito del estudio tiene dos aristas que a continuación detallaremos. La primera:
aportar con una investigación que ha considerado la articulación de dos teorías (teoría de
situaciones didácticas y teoría antropológica de lo didáctico) para el desarrollo de la teoría
en didáctica de la matemática en un subcampo que es el conocimiento didáctico del
profesor en servicio. La idea es cómo se pueden imbricar estas dos teorías, de tal modo que
Capítulo 2 Problemática, pregunta de investigación y propósito
35
le den al investigador la posibilidad de relacionar de forma eficaz los puntos esenciales de
las investigaciones didácticas (Artigue, 2004).
La segunda tiene una componente esencial, que ha sido objeto de estudio y debate entre la
comunidad de investigadores de matemática educativa; vincular teoría y práctica. Para ello
hemos considerado dos constructos.
El primer constructo señala que la ingeniería didáctica considera al profesor en servicio
como profesor-ingeniero. Este profesor planea y ejecuta proyectos de enseñanza-
aprendizaje sobre un determinado contenido matemático. En el desarrollo de dichos
proyectos hay interacción entre el profesor y alumnos, el proyecto evoluciona bajo las
reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la
ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto resultante de un análisis a priori, y un
proceso, que no es otra cosa que una adaptación de la puesta en funcionamiento del
producto mencionado a las condiciones dinámicas de una clase (Douady, 1996).
El otro constructo es Estudio de Clases (Lesson Study) se fundamenta en la investigación
de una clase desde su diseño hasta su ejecución. El Estudio de Clases es una metodología
de formación continua que tiene la característica esencial de ser un trabajo colaborativo
entre profesores y se localiza en la escuela.
Capítulo 3 Marco Teórico
36
CAPÍTULO 3
Marco Teórico
3.1 Introducción
En la presentación de antecedentes relacionados con los estudios del profesor se mostró la
diversidad de ellos, lo cual nos condujo a situar este estudio dentro del amplio campo de la
didáctica de la matemática en aquellos que centran su atención en particular en el
conocimiento didáctico del profesor; entendiéndose este como un conocimiento profesional
del docente quien relaciona el conocimiento matemático con su enseñanza (Margolinas et
al, 2009). Es decir, se tiene el contenido matemático y un conjunto de procedimientos para
hacer enseñable ese contenido. En los procedimientos se considera: los principios
educacionales, las concepciones de la enseñanza y concepciones de aprendizaje; la
planificación de la enseñanza contextualizada; la planificación de las lecciones de clases,
los objetivos y la organización del trabajo; las interacciones de los alumnos y la
observación de las actividades de los alumnos.
Distinguir la naturaleza del conocimiento del profesor y sus reflexiones a partir de su propia
práctica no es simple, pues son numerosas las investigaciones que analizan precisamente el
conocimiento profesional del profesor y que de alguna forma han intentado definir dicho
conocimiento. Ponte y Chapman (2006) exponen algunos estudios que tiene como centro
precisamente la conceptualización del conocimiento profesional del profesor; indican que
Ponte(1994) presentó algunos casos para ilustrar aspectos del profesor y la resolución de
problemas donde se discutió su naturaleza. Basándose en las ideas de Schön (1983) y Elbaz
(1983), presentó el concepto de "conocimiento profesional" esencialmente como saber en
acción, basado en la experiencia, la reflexión sobre la experiencia y los conocimientos
teóricos. Según Ponte(1994), este conocimiento es diferente del conocimiento académico y
del conocimiento de sentido común, deben ser estudiados por derecho propio, y no sólo
considerarlo como "deficiencia" del conocimiento académico.
Capítulo 3 Marco Teórico
37
Por otra parte Ponte (2000) señala que la práctica profesional del profesor se ve como el
conjunto de actividades que se generan cuando realiza las tareas que definen la enseñanza
de las matemáticas y la justificación dada por el profesor. Agrega que las actividades del
profesor en el aula vienen determinadas en parte por intentar dar cuenta de unos objetivos
educativos que pretenden el aprendizaje del contenido matemático de los estudiantes. En
este sentido la clase de matemáticas (la enseñanza de la matemática) no se puede percibir
aislada del currículo y de la institución en la que desarrolla, ya que situamos la enseñanza
de las matemáticas en contextos escolares y sociales (perspectiva institucional).
Por lo cual, se puede inferir que el conocimiento profesional tiene estrecha relación con la
práctica del profesor y por tanto se conjugan elementos esenciales para hacer aprender a
otros en un contexto de enseñanza aprendizaje de la matemática.
Esto, a su vez, nos da la idea de que el profesor en su práctica adquiere un conocimiento,
dicho aprendizaje está conectado según Llinares(2007) al llegar a comprender la enseñanza
de las matemáticas de una determinada manera y aprender a realizar las tareas y usar y
justificar los instrumentos que la articulan en su contexto institucional. Además, Llinares
(2007) señala que el conocimiento y destrezas necesarias sobre “enseñar matemáticas”,
visto desde esta perspectiva, supone: poseer “instrumentos” técnicos y conceptuales que
permiten desarrollarla y tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la
práctica. En este sentido, los instrumentos conceptuales-ideas teóricas procedentes de la
didáctica de la matemática- y técnicas desempeñan diferentes papeles en la caracterización
de las tareas que definen la práctica de enseñar matemática. También expone que en el
proceso de aprendizaje del profesor existen dos características del conocimiento: poseer-
usar-generar y la relación teoría y práctica.
Como nuestro estudio se centra en un contexto de formación continua de profesores para
potenciar el desarrollo profesional, hemos decidido fundamentar la investigación bajo el
soporte de dos teorías que tienen su origen en la didáctica francesa. Estas teorías son la
teoría de situaciones didácticas Brousseau(1986) y la teoría antropológica de lo didáctico
Chevallard(1991), estudios ampliamente difundidos y reconocidos en el campo de la
didáctica de la matemática.
Desde la teoría de situaciones didácticas se desprende un constructo fundamental para
nuestra investigación: la reproducibilidad de situaciones a partir del diseño de ingenierías
Capítulo 3 Marco Teórico
38
didácticas. La teoría antropológica de lo didáctico nos dota de un marco en el cual la
actividad del profesor puede ser considerada un proceso de estudio cuando se dispone a
crear diseños didácticos. Esto con el fin de que sus alumnos puedan lograr el aprendizaje de
un contenido matemático. A continuación presentamos las nociones fundamentales de
ambas teorías.
3.2 Teoría de Situaciones Didácticas (TSD)
En particular la teoría de situaciones didácticas se centra en las situaciones que permiten a
un aprendiz construir un conocimiento matemático bajo las adaptaciones que realiza por los
desequilibrios, dificultades y contradicciones que lo hacen accionar y que son provocados
en la medida que evoluciona dicha situación. El objeto fundamental no es el sujeto que
aprende, sino la situación en la que éste interactúa con otros y con la matemática (Artigue,
2004).
Así, el profesor propone a sus alumnos una situación de desafío que se desarrolla en un
escenario adecuado que él diseña previamente.
Brousseau(1986) distingue situación adidáctica y situación didáctica. Así, la situación
adidáctica es una situación matemática específica que, sin apelar a razones didácticas y en
ausencia de toda indicación intencional, permita o provoque un cambio de estrategia en el
jugador (Bosch, Chevallard y Gascon, 1997). Es decir, es un problema en que la respuesta
no es inmediata sino que permite que los alumnos puedan: indagar, argumentar, explicar,
escuchar, validar. La idea es que el alumno confronte los conocimientos antiguos y perciba
la necesidad de aprender un conocimiento nuevo. Por otra parte, la situación didáctica se
define como el conjunto de relaciones explícitas o implícitas entre un alumno y un cierto
medio en el cual se pueden considerar eventualmente algunos instrumentos u otros objetos,
de tal modo que el profesor ayuda a apropiarse a los alumnos de un saber construido o en
proceso de construcción.
La situación didáctica es la continuación de una situación adidáctica por lo que su meta es
la apropiación de los conocimientos que surgieron en la situación adidáctica. Así forman un
encadenamiento entre las situaciones adidácticas y didácticas.
Capítulo 3 Marco Teórico
39
Las situaciones adidácticas se clasifican en:
• Situaciones de acción: son aquellas en que se genera una interacción entre los alumnos
y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para
organizar su actividad de resolución del problema o desafío planteado. En esta actúa o
interactúa sólo el alumno con la tarea propuesta.
• Situaciones de formulación: su objetivo es la comunicación de informaciones entre los
alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente,
precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar.
• Situaciones de validación: en ellas se trata de convencer a uno o varios interlocutores de
la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso deben elaborar pruebas para
demostrar afirmaciones.
• Situaciones de institucionalización constituyen el momento en que el profesor oficializa
los conocimientos de que los alumnos se han apropiado. Al institucionalizar este
conocimiento, se convierte en un “saber”.
En los tres primeros tipos de situaciones el actor principal es el alumno, el profesor tiene
que visar y poner en común las formulaciones realizadas por los propios alumnos. En el
último tipo de situación la responsabilidad absoluta es del profesor, quien tiene una relación
con el saber matemático que le permite, a partir de lo desarrollado en los tipos de
situaciones mencionadas, realizar un resumen y considerar el conocimiento clave que se
pretendía lograr en las situaciones.
Esta teoría es de aprendizaje y en ella subyace el modelo constructivista que permite que
los estudiantes aprendan por adecuaciones al medio diseñado, interactuando tanto con el
problema como con otros que también están aprendiendo y con un profesor más
escenógrafo -en relación a la preparación de escenarios para provocar aprendizaje- que
conductor del logro didáctico implicado en la situación.
En la década de los ochenta, época en que surge la TSD, se permite entre otras acciones
fundamentar diseños didácticos, los cuales actúan articulando situaciones de aprendizaje
encadenadas de tal forma que dan origen a una secuencia de enseñanza que tiene un logro
didáctico. Su principal representante en esta línea son las ingenierías didácticas.
Capítulo 3 Marco Teórico
40
Ingeniería didáctica es un constructo que en sus inicios tuvo un doble rol, uno como
metodología de investigación que muestra la utilidad para la identificación de los
fenómenos didácticos cruciales y el trabajo de ellos. Esto permitió en los años ochenta el
surgimiento de conceptos fundamentales como: las paradojas incluidas en el contrato
didáctico, la noción de institucionalización, la obsolescencia didáctica y la
reproducibilidad; del mismo modo permitió que surgiera la noción de memoria didáctica.
El otro rol se relaciona con la creación del diseño didáctico “experimentado”, es decir, con
el diseño desde la perspectiva de intervención controlada. Esta idea se basa en la teoría de
situaciones didácticas. Sin embargo, la transmisión de los diseños didácticos resultantes de
la investigación ID es rápidamente percibida como algo problemático. Realizaciones ID se
difunden a través de diferentes canales: publicaciones de los IREM4, de pregrado y la
formación de profesores en servicio, libros de texto; pero los resultados son bastante
engañosos. Los libros de texto sólo proponen transposiciones parciales y superficiales de
las construcciones originales. Realizaciones observadas en las aulas muestran distorsiones
importantes, reproducciones desnaturalizadas (Artigue, 2008).
Se observa entonces una relación fundamental entre TSD e ID, de la cual se origina un
constructo que es la reproducibilidad en el contexto de los diseños didácticos. Así, las ID se
diseñan fundamentadas en TSD. Al aplicar las ID emerge la reproducibilidad (Esquema 1).
Esquema 1: Origen del constructo reproducibilidad
4 IREM: Instituts de Recherche sur l ‘ Enseignement des Mathématiques.
Diseños Didácticos
ID
TSD
Reproducibilidad
Capítulo 3 Marco Teórico
41
3.3 Reproducibilidad
Reproducibilidad, según el diccionario de la RAE5, es la capacidad de reproducirse o ser
reproducido. Es una palabra que viene de reproducción y ésta a su vez tiene, según la
misma referencia, varios significados, a saber: Volver a producir o producir de nuevo;
volver a hacer presente lo que antes se dijo y alegó; sacar copia, en uno o en muchos
ejemplares, de una obra de arte, objeto arqueológico, texto, etc., por procedimientos
calcográficos, electrolíticos, fotolitográficos o mecánicos y también mediante el vaciado;
ser copia de un original; dicho de los seres vivos: Engendrar y producir otros seres de sus
mismos caracteres biológicos.
De los cinco significados se descartará, de inmediato, aquel que relaciona el concepto con
la idea de procedimiento que permite obtener copias.
Al revisar algunas referencias sobre la palabra reproducibilidad, esta aparece en varios
documentos vinculada estrechamente con el método científico, más aun es uno de los
pilares fundamentales de dicho método. Su uso por lo tanto es en el área de la ciencia y hoy
también en el ámbito de la tecnología. El significado de la palabra se relaciona con que un
experimento, dadas las condiciones iniciales, se puede repetir en lugares distintos6 y por
distintas personas.
Dado lo anterior, la palabra reproducibilidad tiene estrecha relación con volver a “hacer” o
“repetir” una experiencia esperando que a partir de esto se obtengan resultados similares.
El constructo reproducibilidad en didáctica de la matemática emerge en Artigue(1986)
quien fue una de las primeras investigadoras en estudiar el tema. Dado que la ingeniería
didáctica nace como metodología de investigación es casi natural pensar que la
reproducibilidad en la ciencia de la didáctica de la matemática también es factible. De ahí,
Artigue( 1986), Arsac(1989), Arsac, Balacheff, y Mante (1992) realizan investigaciones en
donde situaciones de aprendizajes son aplicadas en más de un escenario, por lo cual la
intención del uso del concepto de reproducibilidad es el mismo que se dan en el área de la
ciencia y más aún como una idea relevante en el contexto del método científico.
5 RAE: Diccionario de la Real Academia Española 6 http://definicion.de/
Capítulo 3 Marco Teórico
42
Posteriormente Artigue et al (1995) señalan que Brousseau fue el primero en enfrentarse al
problema de la reproducibilidad de su ingeniería didáctica sobre la enseñanza de los
decimales. A partir de esto, Brousseau escribe sobre los fenómenos de obsolescencia y
relaciona el hecho de que un profesor de un año a otro reproduce condiciones para que sus
alumnos tengan los mismos resultados en la comprensión de un concepto; sin embargo, en
lugar de reproducir las condiciones, deja libre las trayectorias y reproduce una “historia”
similar a la de años anteriores, pero que desnaturaliza las condiciones didácticas que
garantizan una significación correcta de los estudiantes.
De lo anterior se desprende que la reproducibilidad es un fenómeno didáctico enmarcado
precisamente en los fenómenos didácticos ligados a la transposición didáctica como: efecto
Topaze; efecto Jourdain; deslizamiento metacognitivo; el uso alusivo a las analogías; el
envejecimiento de las situaciones de enseñanza; específicamente se origina a partir de este
último. El fenómeno de envejecimiento de las situaciones de enseñanza lo relaciona con las
dificultades que tiene un profesor para reproducir una misma lección, pues plantea que la
reproducción exacta de lo que ha dicho o hecho anteriormente no tiene el mismo efecto y
tiene la necesidad de cambiar: la formulación de la exposición o las instrucciones o los
ejemplos o los ejercicios y si es posible la estructura misma de la clase (Brousseau, 1986).
Lezama(2005) realiza un estudio de reproducibilidad y aborda este fenómeno, relacionando
la situación didáctica o situación de aprendizaje con los factores de logro de los propósitos
didácticos de una misma clase al repetirse en escenario distintos.
Para este estudio se comprenderá por reproducibilidad la forma en que una situación de
aprendizaje puede ser instalada en distintos escenarios para extrapolar los elementos que
permiten que la situación en sí misma no pierda su esencia relacionado con el logro del
objetivo didáctico.
En otras palabras, una situación de aprendizaje enmarcada en un diseño didáctico se tiene la
primicia que se origina para que sea reproducible. Sin embargo; dado que se está frente a
un fenómeno didáctico, comprenderemos por reproducibilidad el hecho de que es posible
aplicarlo en otros escenarios o instituciones y que al ser aplicados no pierda su esencia
ligada específicamente con el logro didáctico que en este caso es el aprendizaje de un
contenido matemático.
Capítulo 3 Marco Teórico
43
Si bien la reproducibilidad tiene su origen en la aplicación de ID en diferentes escenarios, y
además está constituida por situaciones adidácticas y didácticas, para esta investigación nos
proponemos ampliar este constructo. Esto significa que hemos incorporado las situaciones
de aprendizaje diseñadas para una clase sobre un contenido matemático. Nótese que no
estamos exponiendo situaciones didácticas en forma detallada y exclusiva, sino que las
estamos presentando en una forma más general. Lo anterior se condice con el contexto de
la investigación; puesto que los profesores no son didactas, sino que participan de un
programa de formación continua que actualiza saberes de índole didáctico relacionados con
el diseño de situaciones. Estos saberes incluyen elementos esenciales de la teoría de
situaciones didácticas como, por ejemplo, el diseño de una situación problemática para el
aprendiz.
Considerando lo expuesto en el párrafo anterior, presentamos algunos ejemplos en donde es
posible observar la reproducibilidad a nivel de una institución: “la escuela”, en la cual hay
un profesor y alumnos que tienen que aprender en el marco de dicha institución; un
profesor que diseña una clase para un grupo determinado de estudiantes y luego tiene que
replicar esa clase con otro grupo en la misma institución o en otra diferente; un profesor
que tiene que replicar la clase o situaciones de enseñanza aprendizaje a lo largo de su
ejercicio profesional; dos profesores que diseñan una clase y tienen que aplicarla en dos
cursos distintos, es decir, con distintos grupos de estudiantes en la misma institución o en
instituciones distintas.
3.3.1 Reproducibilidad externa e interna
Artigue(1995) hace alusión a dos tipos de reproducibilidad una interna y otra externa,
siguiendo esa idea, Lezama(2005) señala que la reproducibilidad interna está situada en la
construcción de significados con relación a un contenido matemático específico y que la
reproducibilidad externa tiene relación con los comportamientos individuales o colectivos
de los estudiantes o su evolución en el tiempo.
A luz de estas expresiones se puede interpretar como reproducibilidad interna la que tiene
relación con la tarea que realiza el aprendiz y que pone en juego lo conceptual y
procedimental. Es decir, se puede explorar en las acciones del alumno para establecer las
Capítulo 3 Marco Teórico
44
ideas que hacen posible la tarea. Lo que se traduce en lo especifico de la comprensión del
contenido matemático y las condiciones cognitivas del alumno.
La reproducibilidad externa se vincula al comportamiento individual y colectivo en el
sentido de lograr hacer la tarea propuesta en el marco del diseño didáctico, es decir, la idea
de repetir en distintos escenarios la misma situación y que se obtengan similares
“respuestas”.
En resumen, el fundamento de esta investigación se encuentra en la conceptualización de
reproducibilidad. La teoría de situaciones didácticas, en la que este concepto es definido,
es uno de los contenidos de tipo didáctico que se desarrollaron en el programa de estudio
del postítulo (contexto de la investigación). Esto implica que los profesores actualizaron
nociones de la didáctica de la matemática a través del diseño de propuestas de enseñanza-
aprendizaje, relacionadas con un contenido matemático específico.
3.4 Teoría Antropológica de lo Didáctico y sus principales nociones
La teoría antropológica de lo didáctico, propuesta por Chevallard, se centra no sólo en el
alumno que aprende o en la situación de aprendizaje, sino en la institución como un factor
primordial en los procesos de enseñanza aprendizaje de la matemática. Dichos procesos son
analizados en términos de la actividad humana a diferentes niveles. Además, esta teoría
desarrolla ampliamente la transposición didáctica y focaliza el estudio primeramente en la
matemática.
Es una teoría que ha estado íntimamente ligada con la formación inicial y continua de
profesores en diversos ámbitos. La TAD, a partir de la evidencia del fenómeno de la
transposición didáctica, fue uno de los primeros enfoques en considerar como objeto de
estudio de investigación no sólo las actividades de enseñanza y aprendizaje en el aula, sino
todo el proceso que va desde la creación y utilización del saber matemático hasta su
incorporación en la escuela como saber enseñado. Su objeto de estudio son todas las
instituciones que participan en este proceso (Bosch et al, 2009).
Algunas investigaciones que han considerado la TAD como marco teórico se han
preocupado de estudiar la enseñanza de la matemática, la profesión de profesor y sus
problemas. Bosch et al(2009) exponen que hay dos pilares conceptuales principales: uno es
Capítulo 3 Marco Teórico
45
la profesión, entendiéndola como el conjunto de los actores de la enseñanza de las
matemáticas y el otro es el de los problemas de la profesión que surgen en el ejercicio
mismo del oficio docente, estos temas se situaron en un eje del congreso de la TAD del año
2007.
Sánchez (2009) menciona que Bosch y Gascón desde la TAD plantean en su trabajo que la
formación de profesores de Matemáticas no debe centrarse únicamente en el equipamiento
praxeólogico del profesor (considerado en el sentido amplio como el conjunto de
praxeologías para la enseñanza que debe activar un profesor) sino que es necesario situar en
el núcleo mismo de la formación profesional, las cuestiones, dificultades o problemas a los
que el profesor debe aportar respuestas a través de la actividad profesional.
Las nociones fundamentales de este modelo tienen vinculación estrecha con la matemática,
su hábitat y las instituciones. Concibe que el conocimiento matemático es posible
modelarlo a través de una praxeología matemática u organización matemática.
Una praxeología matemática tipifica la actividad matemática en dos niveles. El primero lo
relaciona con la praxis, es decir, con la práctica y se vincula con los tipos de tareas y las
técnicas que permiten hacer ese tipo de tarea. Por lo cual, se puede relacionar con el saber
hacer. El segundo nivel tiene como centro el saber pues se vincula con la justificación de
las técnicas que permiten hacer un tipo de tareas, además describe y explica la elaboración
de las técnicas a lo que llaman “discurso tecnológico” y la teoría que da un fundamento a
las producciones tecnológicas. De esta forma, la noción de praxeología resulta de la unión
de los dos términos praxis y logos.
En una praxeología matemática se distinguen cuatro componentes que dan origen a las
siguientes categorías: tareas, técnicas, tecnología y teoría.
Tarea es una acción o una actividad y generalmente de identifica por medio de un verbo,
se distinguen los tipos de tarea (T) y una tarea (t) que está vinculado con ese tipo de tarea.
Técnica (𝜏) es un saber hacer, pues se centra en la forma de realizar un tipo de tarea T, está
asociado a un procedimiento o a una manera de desarrollar la tarea.
Capítulo 3 Marco Teórico
46
Tecnología (𝜃) es la justficación de la técnica que permite desarrollar un tipo de tarea, lo
relacionan con un discurso racional. Además, dicho discurso racional dependerá del espacio
institucional y en una institución dada considerando también la historia de dicha institución.
Teorías (𝛩) permiten explicar, fundamentar el discurso tecnólogico (Bosch, Espinoza y
Gascón, 2003).
Algunas precisiones en relación a los componentes de las praxeologías matemáticas:
Una praxeología relativa al tipo de tareas T contiene en principio una técnica 𝜏 relativa a T.
Se conforma así un bloque práctico-técnico [ T / 𝜏 ] que se identifica con un saber hacer.
Además, en una institución I dada y a propósito de un tipo de tareas T existe en general una
sola técnica o al menos una cantidad pequeña de técnicas institucionalmente reconocidas,
con la exclusión de técnicas alternativas posibles que pueden existir efectivamente en otras
instituciones.
En una institución I, cualquiera que sea el tipo de tarea T, la técnica 𝜏 relativa a T está
siempre acompañada de un embrión o más frecuentemente de un vestigio de tecnología 𝜃.
Tres funciones se distinguen en la tecnología: la primera es justificar la técnica, la segunda
es exponer por qué es correcta y la tercera corresponde a un empleo más actual del término
tecnología llamado función de producción de técnicas. El bloque tecnológico-teórico [𝜃/𝛩 ]
se identifica con el saber.
Se distinguen organizaciones praxeológicas matemáticas: puntuales, locales, regionales y
globales. Las praxeologías puntuales son aquellas que se construyen alrededor de un único
tipo de tarea. Las organizaciones locales corresponden a una articulación de praxeologías
matemáticas puntuales alrededor de un discurso tecnológico común que a su vez se puede
articular entre sí formando una praxeología regional con una teoría compartida.
Praxeologías Didácticas u organizaciones didácticas responden al cómo una praxeología
matemática se hace enseñable en el contexto de la escuela. Más preciso lo definen como el
conjunto de los tipos de tareas, de técnicas, de tecnologías movilizadas para el estudio
concreto de un contenido matemático en una institución concreta (Chevallard, 1999).
Capítulo 3 Marco Teórico
47
Dado un tema matemático que se tiene que enseñar en la escuela, identificado como
proceso de estudio con un director de dicho proceso (profesor) en una institución dada; se
utiliza una praxeología didáctica con su componente práctico constituido por tareas y
técnicas didácticas y su componente teórico constituido por una tecnología y una teoría
didáctica.
Una característica de las praxeologías didácticas, que la distinguen de las praxeologías
matemáticas, es que están formadas por tareas y técnicas cooperativas en la que distintos
actores (profesor y alumno) ocupan posiciones diferentes y explicitas y que se cooperan
mutuamente. Así, la praxeología didáctica que utiliza el profesor se denomina praxeología
docente y la praxeología didáctica que utiliza el alumno es la praxeología discente (Bosch
et al, 2003).
También Chevallard(1999) señala que las organizaciones didácticas contemplan niveles de
especificación que en algunos aspectos dependen de la didáctica. Distingue en un primer
nivel las condiciones y restricciones propias de un sistema de enseñanza y de sus centros,
por ejemplo: existencia de cursos, programas de estudios nacionales, existencias de
sistemas y dispositivos didácticos. En un segundo nivel ubica a los determinantes
específicos de una materia que figura en un curso determinado, por ejemplo, las formas
didácticas que tienen sentido a priori para el conjunto de materia estudiada. En los niveles
siguientes de especificación se consideran los aspectos propios de cada una de las
organizaciones de la materia estudiada: global, regional, local y puntual.
Dada una praxeología didáctica, fruto de un proceso de estudio que se sitúa en un espacio
determinado, se producen tipos de situaciones; pues sus actores -profesor y alumno-
ocupan roles diferentes pero que a la vez son cooperativos. A esos tipos de situaciones se
les denomina momentos didácticos. Cabe destacar, que estos momentos no se producen
para obedecer a una cronología de situaciones, sino que es más bien de tipo funcional
(Chevallard,1999).
Seis son los momentos didácticos: el momento del primer encuentro, el momento
exploratorio, el momento del trabajo de la técnica, el momento tecnológico teórico, el
momento de la institucionalización y el momento de la evaluación (Bosch et al, 2003).
Capítulo 3 Marco Teórico
48
Cada uno de ellos tiene características específicas, de acuerdo a Bosch et al( 2003) quienes
se basaron en Chevallard (1999), señalan que:
Primer momento del estudio es el primer momento del encuentro con la organización que
está en juego. Es el tipo de situación en que la obra O es encontrada a través de al menos un
tipo de tareas Ti constitutivos de O. Este tipo de encuentro de Ti con O puede darse en
varias ocasiones; lo anterior dependerá de los entornos matemáticos y didácticos en los que
se produce.
Segundo momento es el de la exploración del tipo de tareas Ti y de la elaboración de una
técnica 𝜏i relativa a este tipo de tarea. Se plantea que en esta etapa frente al tipo de tarea al
menos habrá un embrión de una técnica que permita resolver dicho tipo de tareas y que a
posteriori se convertirá en un medio casi rutinario para la resolución de ese tipo de tareas.
Tercer momento del estudio es el de la constitución tecnológica-teórica relativo a 𝜏i. Este
momento está en interrelación estrecha con cada uno de los otros momentos. Agregan
además que por razones de economía didáctica global, a veces las estrategias de dirección
de estudio tradicionales hacen en general de este tercer momento la primera etapa del
estudio.
Cuarto momento es el del trabajo de la técnica que debe, a la vez, mejorar la técnica la cual
adquiere mayor eficacia y fiabilidad. Es un momento en que se retoca la tecnología
elaborada hasta entonces y que hace acrecentar la maestría que se tiene de ella: este
momento de puesta a prueba de la técnica supone en particular uno o más corpus de tareas
adecuadas tanto cualitativa como cuantitativamente.
Quinto momento es el de la institucionalización que tiene por objeto precisar lo que es
“exactamente” la organización elaborada; distinguiendo claramente, por un parte, los
elementos que, habiendo concurrido a su construcción, no le hayan sido integrados y, por
otra parte, los elementos que entrarán de manera definitiva en la organización matemática
considerada: distinción que buscan precisar los alumnos cuando preguntan al profesor, a
propósito de tal resultado o tal procedimiento, si hay o no “que saberlo”.
Capítulo 3 Marco Teórico
49
Sexto momento es el de la evaluación que se articula con el momento de la
institucionalización. Es un momento en donde se deben “hacer balances”, puesto que es una
instancia de reflexividad en el cual cualquiera que sea el criterio y el juez se examina lo que
vale lo aprendido.
La institución, en el marco de la TAD, adquiere un rol relevante en el proceso enseñanza
aprendizaje de la matemática. En esta investigación determinaremos, en forma explícita, las
instituciones involucradas. Dichas instituciones juegan un rol en el quehacer de cada uno de
los profesores involucrados en el estudio; además de incidir en la aplicación de sus diseños
de clases en distintos escenarios. Es en este contexto donde plantearemos la
reproducibilidad de situaciones de aprendizajes. El contexto de la investigación es un
programa de perfeccionamiento docente, desarrollado en una institución de educación
superior y formadora de profesores de matemáticas en su etapa inicial y continua.
A partir de lo anterior, se distinguen las siguientes instituciones:
- Ministerio de Educación de Chile (I1): institución a nivel macro encargada de
delinear la educación chilena a través de la propuesta curricular y de los programas
de estudio de las diferentes disciplinas.
- Programa de postítulo de mención en matemáticas (I2); programa constituido por
módulos, que tienen por objetivo actualizar saberes de índole matemático, didáctico
y pedagógico. Sus destinatarios son profesores de educación general básica quienes
hacen clases de matemáticas a alumnos de 10 a 14 años. En su objetivo general
señala: “Fortalecer los conocimientos en matemáticas, didáctica de las matemáticas
y pedagógicos de los profesores y profesoras del curso para mejorar su desempeño
profesional, favoreciendo el desarrollo de competencias que les permitan lograr
mayores aprendizajes de calidad de sus alumnos y alumnas, potenciar su capacidad
de liderazgo profesional entre sus pares y desarrollar una actitud crítica y reflexiva
sobre sus prácticas docentes”. Este programa pertenece a la institución formadora de
profesores de matemáticas.
- Escuelas: Cada participante del postítulo, trabaja en una escuela pública de índole
rural o urbana. Para el caso de nuestra investigación, los tres profesores a los cuales
Capítulo 3 Marco Teórico
50
se les hizo el seguimiento pertenecen a escuelas diferentes. Se detalla una
descripción general de las escuelas involucradas
E1: Escuela que pertenece a una zona rural de la provincia de Valparaíso ( Chile), su
infraestructura y el equipamiento es de alto nivel.
E2: Escuela que pertenece a la comuna de Valparaíso ( Chile) y está ubicada en una
zona central de dicha comuna, su equipamiento es regular comparado a la escuela
rural.
E3: Escuela que pertenece a la comuna de Valparaíso ( Chile) y está ubicada en una
zona periférica de dicha comuna, su equipamiento es menos que regular comparada
a la escuela E2
Las instituciones “Escuelas E1, E2 y E3” se relacionan a través de profesores que pertenecen
al programa de postítulo. Dichos docentes participan en particular en el módulo de
reflexión de la práctica en el contexto de un grupo de trabajo. Bajo la metodología de
Estudio de Clases, diseñan clases de matemáticas monitoreados por un académico de la
institución superior a la que pertenece el programa.
En resumen, hemos presentado ciertos elementos de la TAD, seleccionando aquellos que
nos permitirían analizar las prácticas de los profesores. Esto obedece a que el contexto de la
investigación es el diseño de una clase. De este modo, se distingue un proceso de estudio en
una institución dada, lo cual permite identificar praxeologías matemáticas y praxeologías
didácticas. Los elementos expuestos son precisos para realizar el análisis praxeológico
matemático de ciertas actividades presentes en libros de texto tanto de matemática escolar
como universitaria. Se consideran ciertas actividades dadas como ejemplos en el programa
de estudio, las cuales los docentes ocupan como referente para construir sus situaciones de
aprendizajes.También, a través, de las clases que realizaron los profesores es posible
identificar las praxeologías didácticas.
Como la investigación considera el análisis de talleres de discusión y reflexión pedagógica
del grupo de trabajo de los docentes, es posible identificar una praxeología a partir de las
reflexiones que ellos mismos realizaron sobre el constructo de reproducibilidad.
Capítulo 3 Marco Teórico
51
Esto conlleva el análisis de ciertos talleres a partir de la identificación de una praxeología.
Sin embargo, esto no es aplicable a los que tenían como tema la discusión sobre la
aplicación de cada una de las clases. Para subsanar lo anterior, se toma la decisión de
analizar estos talleres, identificando el tipo de reflexión.
En el siguiente apartado exponemos el significado y los tipos de reflexión en el ámbito de
la enseñanza-aprendizaje de la matemática y lo que se comprenderá por desarrollo
profesional.
3.5. Reflexión y desarrollo profesional
Reflexión y desarrollo profesional son términos que se involucran en el estudio, esto da
cabida para que se especifique el significado y en qué línea se ocuparán dichos conceptos.
3.5.1. Reflexión
El significado de reflexión depende desde qué punto de vista se sitúa, así a partir de la
lingüística, indagando en RAE: es la acción de reflexionar (del latín reflexio-onis) y
reflexionar a su vez, es considerar nueva o detenidamente algo. Desde el punto de vista
filosófico, reflexión es el proceso de meditar o de considerar algo en forma detenida.
La reflexión en al ámbito de la educación, en particular en la formación inicial y continua
de profesores, se ha investigado durante décadas. Como consecuencia de dichos estudios,
se postula que cualquier programa de formación inicial y continua de profesores ha de
considerar la integración del conocimiento científico y del conocimiento práctico. El
conocimiento práctico está relacionado estrechamente con el saber hacer del profesor, es
decir, es un conocimiento en acción sostenido en la experiencia, reflexión sobre la
experiencia y conocimiento teórico (Ponte,1994) citado por (Llinares, 2005).
Por otra parte, qué es un profesional reflexivo o qué significa que el docente reflexione
sobre su propia práctica no está tan claro en la literatura. Sin embargo, el representante más
potente en esta línea es Schön, esto se puede observar al revisar artículos y libros
relacionados con el tema. Flores (2004) confirma que la corriente del profesor reflexivo que
Capítulo 3 Marco Teórico
52
ha cobrado realce en la actualidad es precisamente la de Schön (1983,1992), el cual ha
remarcado las diferencias que existen entre la racionalidad teórica y la racionalidad práctica
que utilizan los profesionales. Ponte y Champan (2006) también mencionan a Schön(1983):
señalan que cuando se requiere de una acción, los profesionales actúan sobre la base de lo
que saben sin separar lo intelectual o el conocimiento formal de la práctica. Además,
señalan que para un profesor reflexionar la práctica tiene que ver con el contenido y los
conocimientos pedagógicos relacionados con el contenido. También mencionan que el
conocimiento de los profesores incluye nociones de creencias y sus concepciones se
consideran como constructos relevantes para entender lo que los profesores saben.
Dado el contexto anterior se propiciara la idea de un profesional reflexivo; por lo cual, para
esta investigación, la definición de reflexión que se adoptará es la que señala Sánchez
(2010) quien dice que es una actividad de tipo cognitiva y la considera un proceso mental
por el cual las acciones, creencias, conocimientos o sentimientos son conscientemente
consideradas y examinadas.
Al situarnos en la enseñanza aprendizaje de la matemática, se pueden extrapolar tres
dimensiones vinculadas a un proceso de estudio, éstas son: una dimensión matemática, una
dimensión didáctica y una dimensión pedagógica. De este modo, un profesor de matemática
frente a la reflexión de su práctica, podrá ubicar su reflexión en cualquiera de las
dimensiones mencionadas y tal vez esto sea un proceso inconsciente, pues discriminar en
qué ámbito realiza la reflexión no es tan evidente. Hay ideas que se originan en algunas
fases del proceso de estudio y que se traslapan en las dimensiones. Este hecho nos conduce
a esclarecer y a hacer la distinción entre las reflexiones matemáticas, didáctica y
pedagógicas.
Así, una reflexión matemática es aquella que relaciona la matemática misma con lo que se
examina conscientemente en la interpretación de conceptos matemáticos. La reflexión
didáctica es el proceso en el cual el profesor conscientemente considera su propia práctica,
sus valores y acciones asociadas con la misma (Sánchez, 2010).
La reflexión pedagógica es transversal en los procesos educativos y tienen relación con las
metodologías, planificación y paradigmas de enseñanza.
Capítulo 3 Marco Teórico
53
En la investigación desarrollada se analizan talleres de discusión y reflexión, involucrando
desde la creación del diseño didáctico hasta su aplicación en el aula. Si bien, hemos
considerado dos teorías de la didáctica de la matemática que se pueden articular, ninguna
de ellas permite analizar las discusiones realizadas en los talleres de reflexión. De ahí,
tomamos la decisión de analizarlos distinguiendo el tipo de reflexión dada por cada uno de
los docentes, de tal modo de constatar en qué ámbito se desarrolla este tipo de discusión y
develar sus hallazgos.
Por otra parte, la institución, en donde se desarrolla la investigación, se define como
formadora de profesores; por lo que asume la tarea de brindar un programa de
perfeccionamiento docente para profesores de educación general básica en el área de las
matemáticas. Junto a esto se utiliza, como parte del programa de perfeccionamiento, la
metodología de formación continua llamada “Estudio de Clases”. Ambas ideas permiten en
el profesor el desarrollo profesional. A continuación exponemos el referente que muestra lo
que asumiremos como desarrollo profesional en este estudio.
3.5.2 Desarrollo profesional
El foco de la formación continua de profesores es el desarrollo profesional y se puede
comprender como la evolución por parte del profesor en la capacidad de reflexión en y
sobre la práctica: diagnosticando, comprendiendo para descubrir, criticando y modificando
los referentes esquemas y creencias que subyacen en la misma (Azcárate, 2004).
La necesidad de la formación continua de profesores surge por el ejercicio mismo de la
profesión, pues un profesor en su trayectoria como docente tendrá que adaptarse a los
cambios propios de la sociedad en función de la situación histórica. Además, no es posible
pensar que el profesor pasa de ser estudiante a ser profesor por un proceso de formación
puntual, sino que se ve sumergido en un proceso de desarrollo profesional continuo que va
atravesando diversos papeles y momentos (Cardeñoso et al, 2001).
En este ejercicio profesional, el profesor tendrá que hacer “tareas profesionales” las que
Llinares(2005) define como: diseñar, modificar o elegir tareas, actividades, problemas;
organizar y secuenciar el contenido matemático durante las interacciones; analizar y dotar
de sentido a las producciones matemáticas de sus alumnos. Agrega, que el desarrollo
Capítulo 3 Marco Teórico
54
profesional del profesor puede ser entendido como cambios en cómo participar en las
prácticas matemáticas que se generan en el aula y cómo es comprendida por el profesor.
En este contexto de desarrollo profesional, la reflexión toma un rol protagónico para el
progreso personal y profesional del profesor, lo que permite hacer una análisis crítico de
sus ideas y sus actos (Azcárate, 2004). Del mismo modo Jaworoski(1998) citado por
Azcárate(2004) considera que la práctica reflexiva y crítica es una de las estrategias
fundamentales del desarrollo profesional y que esta adquiere sentido dentro de los procesos
de colaboración fundamentalmente entre iguales.
Lo expuesto en este capítulo fundamenta la investigación que presentamos, explicando las
dos teorías que se articulan. Estas teorías son: teoría de situaciones didácticas y teoría
antropológica de la didáctica.
En relación a la articulación, podemos señalar que TSD se localiza a nivel microdidáctico,
pues está situado en el aula y el centro de estudio es la situación de aprendizaje y el cómo
aprende el alumno. En cambio TAD está ubicado a nivel macrodidáctico; pues el centro de
investigación no es el sujeto que aprende y la situación didáctica, sino que considera que
ambos están insertos en una institución (Artigue, 2004). Entonces, la TAD amplía el ámbito
de estudio insertando la institución y los saberes involucrados.
Para nuestra investigación, la TSD es considerada porque fundamenta tanto el diseño de
ingenierías didácticas como su aplicación desde el constructo de reproducibilidad. Este
último tema es central en el estudio y es propuesto en la pregunta de investigación. Por otra
parte, TSD es un tema que se aborda en el programa de postítulo (contexto de la
investigación) con los profesores. Es un saber del ámbito de la didáctica de la matemática
que es aplicado para diseñar situaciones de aprendizaje o, al menos, considerado al
momento de determinar las ideas centrales de una situación adidáctica y didáctica.
La TAD la hemos seleccionado tanto para analizar ciertas fases del proceso de estudio que
se desarrolló en los diferentes talleres de discusión como para la reflexión en el contexto de
la investigación.
Este proceso de estudio abarca desde la discusión del saber matemático (saber puro), hasta
los análisis del programa de estudio, del texto escolar, y de las clases diseñadas por los
profesores del grupo de trabajo. El contenido matemático es el teorema de Pitágoras. El
Capítulo 3 Marco Teórico
55
nivel de enseñanza comprende estudiantes de 12-13 años de edad ( Nivel séptimo básico en
el sistema escolar chileno).
Además, dos talleres de discusión son posibles de analizar con la TAD. El primer taller se
refiere a la tarea de diseñar una clase sobre el teorema de Pitágoras y el segundo es un taller
sobre la reproducibilidad de situaciones de aprendizajes. En este último taller, a partir de la
discusión y reflexión de los profesores, es posible identificar una praxeología en el grupo
de trabajo.
Para analizar las discusiones de la clase que distintos docentes aplicaron, se identifica el
tipo de reflexión. Esto se realiza con el fin de indagar en el ámbito en que se sitúan los
profesores con el propósito de determinar en forma global la aportación que hace este tipo
de discusión al quehacer docente.
A continuación, se presenta el método y se explícita aún más la forma en que se desarrolló
la investigación.
Capítulo 4 Método
CAPÍTULO 4
Método
El método que se ha decidido para realizar la investigación está inserto en una metodología
de tipo cualitativo. Se ha considerado un grupo de trabajo de 3 profesores que ejercen en el
segundo ciclo básico y realizan clases de matemáticas a estudiantes entre 10 y 14 años,
además dichos docentes son participantes de un perfeccionamiento docente de
especialización en matemáticas (programa de postítulo) en una universidad de la zona.
Acorde a lo anterior, y en congruencia con la pregunta de investigación que se ha propuesto
(la cual apunta a la reproducibilidad de situaciones de aprendizaje diseñadas por los
profesores del postítulo), se han seleccionado dos constructos: metodología de Ingeniería
Didáctica y Estudio de Clases japonés (Lesson Study); tanto para el diseño como aplicación
de las situaciones de aprendizaje.
Estos constructos son parte del programa de postítulo en donde los docentes (formando
grupos de trabajo de 3 profesores) se apropian de ellos a través del desarrollo de los cursos,
y en especial, de los módulos de didáctica de la matemática. Los profesores-estudiantes en
la actualización de saberes matemáticos y didácticos diseñan situaciones de aprendizaje en
el marco de una clase basada en resolución de problema.
Además, en el marco teórico se ha considerado la TAD, pues los diseños de clases de los
profesores se han definido como procesos de estudios, por lo cual la institución juega un rol
fundamental y se han realizado análisis del programa estudio del nivel, textos escolares y
programa del curso de perfeccionamiento.
El estudio se realizó en cinco etapas; tres de ellas coinciden con las etapas del Estudio de
Clases. La primera se refiere al estudio del contenido matemático en su dimensión
epistemológica, cognitiva y didáctica. La segunda conforma un estudio preliminar sobre las
ideas intuitivas que tienen un grupo de 7 docentes (entre ellos los 3 profesores del grupo de
trabajo), los cuales pertenecen al curso de perfeccionamiento, sobre la repetición de una
clase. La tercera etapa tiene relación con el diseño de una situación de aprendizaje en el
marco de la elaboración de una clase sobre el contenido matemático teorema de Pitágoras.
La clase se basa en resolución de problemas, es decir, los profesores tienen que seleccionar
Capítulo 4 Método
57
un “problema” que les permita a sus alumnos (12 a 13 años de edad) buscar estrategias de
solución. Cuando se habla de “problema” se refiere a que la tarea no tiene una solución
inmediata, sino que hay una indagación para encontrar dicha solución. El diseño de la clase
se establece de acuerdo a ciertas fases de la ingeniería didáctica y la forma de realizarla se
basa en el trabajo colaborativo de los profesores.
La etapa cuarta analiza la aplicación del diseño de clase en distintos escenarios. Estos
escenarios son los distintos cursos y escuelas que le corresponden a cada uno de los
profesores del grupo de trabajo. La quinta etapa y final se ocupa de la discusión y reflexión
de los diseños de clases en el marco del Estudio de Clases.
En este capítulo se presentan las características esenciales de las metodologías de ingeniería
didáctica y Estudio de Clases. Posteriormente especificaremos cada una de las etapas
mencionadas y la forma en cómo se obtuvieron los datos y la manera de analizarlos.
4.1 Ingeniería Didáctica y su vínculo con el programa de postítulo
La ingeniería didáctica es una metodología de investigación. Uno de sus roles es la
producción de diseños didácticos para la enseñanza-aprendizaje de un contenido
matemático. Una de las características esenciales es que está sustentada en un esquema
experimental, basado en las realizaciones didácticas en clase, es decir, sobre la concepción,
la realización y el análisis de secuencia de enseñanza (Artigue, 2009).
En términos de diseños de clases se puede comprender como una secuencia de enseñanza-
aprendizaje de un contenido matemático constituido por situaciones adidácticas y didácticas
que entrelazadas producen aprendizajes en los estudiantes con la hipótesis de que “haciendo
se aprende”, es decir en un modelo de enseñanza-aprendizaje constructivista.
La ID como metodología tiene cuatro fases: la primera es el análisis preliminar, la segunda
concepción y análisis a priori,la tercera es de experimentación y la cuarta es de análisis a
posteriori y de evaluación. Se define a continuación cada una de las fases según Artigue(
1995)
Análisis preliminar: en esta fase se investigan los antecedentes que servirán para la
concepción de la secuencia didáctica sobre el objeto de estudio. Para ello hay que tener
Capítulo 4 Método
58
presente el análisis epistemológico del objeto matemático, análisis de la enseñanza
tradicional y sus efectos; con este fin se debe observar y estudiar el programa escolar y los
textos de estudios. Además se debe incorporar el análisis sobre las concepciones de los
alumnos y alumnas, las dificultades y obstáculos que marcan su evolución; análisis del
campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica efectiva.
La concepción y el análisis a priori: en esta fase el investigador toma la decisión de
concebir una secuencia didáctica mostrando la organización de ella. Esta secuencia está
particularmente organizada a través de situaciones adidácticas y didácticas, cada una de
ellas incluye su análisis a priori. El objetivo del análisis a priori es controlar los
comportamientos de los alumnos y su significado. Comprende una parte descriptiva y una
predictiva, la cual se centra en las características de una situación adidáctica que se ha
querido enseñar y que se va a tratar de llevar a los alumnos.
La experimentación: constituida por una fase de prueba en que la propuesta didáctica o
diseño didáctico se aplica en las clases, se observa en terreno el comportamiento del
alumno en clase con respecto a lo planteado y se obtienen las producciones de ellos para el
análisis.
Análisis a posteriori: etapa en que se analizan las producciones de los alumnos con
respecto a la propuesta.
Los profesores que conforman el grupo de trabajo, estudiantes del programa de postítulo,
diseñan una clase basada en resolución de problemas con el contenido específico “Teorema
de Pitágoras” para estudiantes de 12 a 13 años de educación básica. El método que ellos
siguieron fue precisamente en el marco de la ingeniería didáctica, donde algunas de las
fases fueron trabajadas en talleres de discusiones. Cabe hacer notar que los profesores
involucrados no se rigen estrictamente por el constructo ID si no que se retoma la idea de
Duoady(1995) con la metáfora del profesor-ingeniero. En la cual señala que la elaboración
de un problema es un paso de una ingeniería didáctica y en relación a ese contexto define
ingeniería didáctica como un conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y
articuladas en el tiempo de tal modo que el profesor ingeniero realiza un proyecto de
aprendizaje para una población determinada de alumnos.
Capítulo 4 Método
59
Las fases de la ingeniería didáctica que son desarrolladas por los profesores en el diseño
involucran ciertos elementos de la fase preliminar: análisis del programa de estudio del
nivel, análisis descriptivo de un texto escolar; ciertos elementos de la concepción de la
enseñanza como análisis a priori de la situación de aprendizaje; evaluación de la propuesta
de enseñanza-aprendizaje (análisis a posteriori).
Metodológicamente, la investigación realiza un seguimiento a un grupo de 3 profesores que
son estudiantes de un programa de postítulo de especialización en matemáticas. En ese
programa actualizan saberes matemáticos relacionados con áreas tan diversas como álgebra
y funciones, geometría, datos y azar; también involucran saberes de la didáctica de la
matemática como: teoría de situaciones didácticas, metodología de ingeniería didáctica y
estudio de clases. En uno de los módulos del programa de postítulo, denominado taller de
reflexión de la práctica, se articula la matemática y su didáctica; por lo que realizan un
diseño de clase basado en resolución de problemas en grupos de trabajos. La forma para
diseñar la clase incluye ciertos elementos de TSD y algunos de ID. Esto debido a que ellos
no son investigadores sino que se apropian de teorías de aprendizajes y de métodos para
aplicarlos en su quehacer profesional con el fin de potenciarlo.
La relación que existe entre la investigación y el programa de postítulo es el planteamiento
de una problemática surgida a partir de la observación de lo que se desarrolla en dicho
programa de formación continua. La pregunta de investigación plantea un constructo
teórico de la didáctica de la matemática que se pone en escena cuando los profesores van
desarrollando discusión y reflexión sobre sus propios diseños de clases (que tienen que
aplicaren distintas escuelas). Recordemos que cada uno de los profesores pertenecen a una
escuela distinta una de otra.
La fase del análisis a priori de la ID define un método que permite predecir lo que ocurrirá
en la clase, considerando las variables didácticas. Lo anterior posibilita que el docente (al
predecir las posibles estrategias de solución de sus estudiantes, los posibles errores, las
posibles dificultades) pueda, a posteriori, evaluar la clase en términos de lo que se pensó y
de lo que realmente ocurrió en ella. Para realizar las discusiones se ocupa la metodología de
Estudio de Clases que a continuación se detalla.
Capítulo 4 Método
60
4.2 Estudio de Clases (Lesson Study)
Isoda, Arcaví y Mena (2008) señalan que el Estudio de Clases Japonés es una actividad
permanente de muchos actores de ese sistema educacional. Este programa incluye a todos
sus profesores de escuelas y colegios; a quienes permite no sólo compartir sus
conocimientos y aprender unos de otros –y, según se suele reiterar, de los alumnos-, sino
también aportar como investigadores al desarrollo de su país.
A la luz de estas ideas, y de lo que constató la autora de esta investigación in situ en Japón,
podemos inferir que esta metodología constituye una estrategia de formación continua que
se realiza en la escuela para el desarrollo profesional de los profesores. Su fundamento es
que si los profesores mejoran sus clases en pos de los logros didácticos entonces mejoran
los aprendizajes de sus alumnos. Pero también, es la “investigación” de una clase y tiene
una metodología específica para estudiar la misma entre grupos de trabajos. Dichos grupos
lo conforman profesores en ejercicio y, eventualmente, académicos de universidades
especialistas en Estudio de Clases; quienes aportan con sus conocimientos adquiridos en
otras instituciones relacionadas con los procesos de enseñanza-aprendizaje de la escuela.
El jyugyo kenjyu o Estudio de Clases es un proceso en el cual los profesores desean mejorar
progresivamente sus métodos de enseñanza, trabajando con otros profesores para
examinarse y criticarse mutuamente las técnicas de enseñanza (Isoda et al, 2008).
Las características esenciales son el trabajo colaborativo y la reflexión de tipo matemática,
didáctica y pedagógica que realizan los profesores que pertenecen a un grupo de trabajo
para el estudio de una clase. Se distinguen tres etapas: preparación de la clase, aplicación y
discusión de la clase; es un proceso cíclico.
A continuación se detallan cada etapa según Isoda et al(2008)
Preparación de la clase: en esta fase los profesores en conjunto determina un contenido
matemático y diseñan una clase considerando: el currículo, los textos escolares, los
materiales didácticos. Es un proceso que se inicia con la búsqueda y selección de recursos o
medios relevantes que le permitan el propósito de la clase. Se discute en el grupo de trabajo
sobre dicha selección, de tal modo de refinar el diseño de la clase sobre la base de las
necesidades efectivas de los alumnos (contexto de la enseñanza). Dados todos estos
Capítulo 4 Método
61
elementos se reúnen y se redacta en un plan de clase el cual considera: objetivo de la
unidad de aprendizaje, meta de aprendizaje, actividades de aprendizaje (o el tipo de tarea
que realizará el alumno), las intervenciones del docente, la distribución del tiempo.
Además, en esta parte se hace una predicción de lo que pueda suceder en la clase, en
relación a las posibles respuestas de los alumnos, las posibles dificultades y los posibles
errores. Es decir, se realiza un análisis predictivo considerando elementos desde la didáctica
de la matemática.
Experimentación o aplicación de la clase: diseñado y validado el plan de clases entre el
grupo de trabajo, un profesor realiza la clase. A esta sesión acuden los docentes que
conforman el grupo de trabajo con el objetivo de observar la clase y registrar dichas
anotaciones, además se filma la clase. Los observadores no intervienen en la clase, sino que
pueden pasearse por la sala de clases analizando lo realizado por los alumnos.
Discusión de la clase: es una etapa de reflexión didáctica y pedagógica sobre la base del
plan de clase diseñado en conjunto, se hacen observaciones sobre la puesta en práctica del
diseño. Esta sesión la inicia el profesor que aplicó la clase en su escuela, enseguida los
otros profesores opinan, dan ideas y cuestionan decisiones del profesor o bien sobre los
recursos que se utilizaron. Es una fase de preguntas que se plantean los docentes y analizan
la efectividad de dicha clase en términos precisos del logro de aprendizaje.
Finalizada la sesión de clase, se readecua el diseño atendiendo a las discusiones planteadas
en pos de mejorar la enseñanza aprendizaje del tema matemático seleccionado. Y se vuelve
aplicar la clase en la misma escuela por otro profesor o en otra escuela con otro docente.
El proceso es cíclico y se puede resumir en el siguiente esquema:
Capítulo 4 Método
62
Esquema 2: Proceso de Estudio de Clases
Artigue (2009) expone, en relación a la metodología de Estudio de Clases, que es un
dispositivo cuya difusión ha sido acelerada a nivel internacional en la última década y que
puede ser vista como una forma de ingeniería didáctica que se calificaría como ID en
formación. Agrega que es una respuesta cultural a la pregunta del desarrollo profesional de
los profesores en una institución dada. El sistema educativo japonés, sin un control teórico
explícito pero debido a la atención que tiene por una serie de evaluaciones y
comparaciones, se convirtió en un objeto de estudio para el cual se ha desarrollado un tipo
de discurso tecnológico.
Dado lo expuesto podemos articular ambas metodologías, pues por una parte hay un diseño
didáctico (clase del teorema de Pitágoras) creada bajo ciertos elementos de la ID y
fundamentadas en ciertas ideas de la TSD. Por otra parte, el Estudio de Clases se realiza en
base a la práctica del profesor y también desarrolla un análisis predictivo y discuten sobre
lo realizado en la clase.
Así, el Estudio de Clases aporta un método para realizar los talleres de discusión desde el
inicio de la creación del diseño didáctico hasta el análisis del diseño después de que ha sido
• Identi<icación del problema.
• Plani<icación de la clase:"Diseño".
Preparación de la Clase
• Aplicación de la clase.
Clase a investigar
• Evaluación de la clase.
• Reconsideración de la clase.
Discusión de la Clase
Capítulo 4 Método
63
aplicado. Lo relevante es señalar que es un proceso fundamental del programa de postítulo;
por lo que entrega información factible de ser analizada en pos de responder nuestra
pregunta de investigación.
En el siguiente apartado se presenta la forma en cómo se obtuvo información y en cómo se
analizó para convertirse en datos.
4.3 Datos y su forma de analizarlos
Tal como se menciona en la primera parte de este capítulo, la investigación se realizó en
cinco etapas. En cada una de ellas fue posible obtener información factible de convertir en
datos.
Etapa 1: Estudio del contenido matemático en su dimensión epistemológica, cognitiva y
didáctica, además de algunos antecedentes relacionados con la formación de profesores y el
tema en cuestión. En esta etapa se da una mirada al objeto matemático, se indaga en su
aspecto histórico y se presenta el tema en su estatus actual. En la dimensión cognitiva se
buscan referentes que tienen relación con la visualización y razonamiento. En la dimensión
didáctica, se presenta el análisis del programa de estudio del nivel 7º básico (alumnos de
12-13 años) en forma descriptiva y se realiza un análisis praxeológico de una actividad
expuesta en dicho programa; la cual se relaciona con el teorema de Pitágoras por medio de
la TAD. También se expone el análisis de dos textos de geometría sobre el teorema de
Pitágoras uno de nivel universitario y el otro de la matemática escolar. El texto de nivel
universitario de geometría seleccionado forma parte de la bibliografía del módulo de
geometría ocupada en el programa de postítulo. El texto escolar corresponde al que usan los
profesores con sus alumnos en este nivel. Además, es entregado por el Ministerio de
Educación de Chile a todos los alumnos de las escuelas del país en forma gratuita.
Etapa 2: Corresponde al estudio de las ideas intuitivas que tienen algunos profesores sobre
el constructo reproducibilidad. Estudio que se lleva a cabo en el módulo “taller de reflexión
de la práctica” del programa de postítulo; conformado por cuatro grupos de trabajo (entre 6
a 9 docentes cada uno).Cada grupo de trabajo era liderado por un académico de la
institución en donde se desarrollaba el postítulo. La responsable de esta investigación lidera
uno de esos grupos constituidos por 9 docentes. Para realizar este estudio preliminar se
Capítulo 4 Método
64
entrevistaron a 7 docentes de dicho grupo, entre ellos estaban los profesores que forman el
grupo de trabajo al cual se hizo el seguimiento mencionado al inicio del capítulo.
Enseguida, y de acuerdo a las respuestas de la entrevista escrita que se realizó, se observó
que algunas preguntas no fueron respondidas; por lo que se realiza un taller de discusión
sobre los temas no abordados. En el capítulo 6 se encuentra el detalle de este estudio.
Etapa 3: diseño de situaciones de aprendizaje para la clase, basada en resolución de
problemas por los profesores del grupo de trabajo. Esta etapa coincide con la primera fase
del Estudio de Clases. Se realizaron talleres de discusión que consistían en discutir y
reflexionar sobre el proceso del diseño de situaciones de aprendizajes. Se efectuaron
talleres, programados por los académicos que lideraban los grupos de trabajo en el módulo
de taller de reflexión. Todos los grupos de trabajo del curso del programa de postitulo
diseñaron clases con distintos contenidos matemáticos para el segundo ciclo básico
(alumnos de 10-14 años).
El grupo de seguimiento participó en siete talleres. Cada taller tenía un objetivo que se
detalla a continuación:
Taller 1: Discusión y reflexión del tema matemático. El tema matemático es el teorema de
Pitágoras, este tema fue seleccionado en común acuerdo con los profesores del grupo de
trabajo en el ámbito de la geometría. El objetivo era observar y detectar cuáles eran las
concepciones de los docentes sobre el teorema de Pitágoras. Participaron siete profesores y
se consideran las expresiones de los tres profesores que pertenecen al grupo de seguimiento
y eventualmente opiniones de los otros cuatro profesores para poder comprender las
interacciones que se desarrollan.
Taller 2: Discusión del objeto matemático, teorema de Pitágoras con una perspectiva
formal, es decir con referentes teóricos matemáticos. En este caso se estudian dos páginas
de un texto de matemática de nivel universitario, llamado Geometría con aplicaciones y
solución de problemas de los autores Clemens, R., O’ Daffer, P., y Cooney, T; año 1989;
editorial Addison Wesley Iberoamericana, México. Se seleccionó este texto por ser parte de
la bibliografía del módulo de geometría del programa de postítulo.
Capítulo 4 Método
65
Taller 3: Su objetivo es leer y analizar páginas 226 – 227, del texto de nivel universitario
Clemens (mencionado en la página 57), la académica responsable del taller, se focalizó en
profundizar el teorema de Pitágoras dando a conocer su versión desde el punto de vista
geométrico y aquella que está redactada en términos de relación numérica entre las medidas
de los catetos y la hipotenusa.
Taller 4: su objetivo fue provocar la discusión de un elemento teórico de la didáctica de la
matemática que es el concepto de reproducibilidad. Este taller se desarrolla para facilitar la
aplicación de una misma clase sobre el teorema de Pitágoras en distintas escuelas. Es decir,
se introduce un elemento teórico de la didáctica de las matemáticas y se pretende analizar
sus efectos.
Taller 5: Su objetivo es el planteamiento de una discusión tecnológica-teórica para
oficializar un constructo de la didáctica de la matemática. Este constructo es la
reproducibilidad.
Taller 6: Su objetivo es la discusión de las situaciones de aprendizajes que componen el
diseño didáctico.
Taller 7: Se retoma la discusión sobre reproducibilidad. Su objetivo es determinar los
elementos que deben considerarse para que la clase sea aplicada en diferentes escenarios.
Dado que la investigación se enmarca en un curso de un programa de postítulo participaron
en algunos talleres el grupo de profesores que se realizó el seguimiento y otros docentes del
programa de postítulo. Así en el taller 1 participaron 7 profesores, en los talleres 2 y 3
aumenta a 8 profesores. Cabe señalar que siempre son los mismos profesores. Por tal razón,
en ocasiones se consideran opiniones de algunos profesores que no pertenecen al grupo de
seguimiento para comprender las interacciones.
Los talleres fueron filmados y posteriormente se hicieron las transcripciones para analizar
las discusiones. El Taller 2 tiene relación con la profundización del contenido matemático
con referente teórico. Los profesores tenían que realizar un tipo de tarea que se propone en
el texto (Geometría con aplicaciones y solución de problemas). A partir de las respuestas
Capítulo 4 Método
66
de los docentes a dicha tarea, se analizan los resultados identificando las praxeologías
matemáticas.
En el taller 4 y 5 se identifica una praxeología, el fundamento es considerar que toda
actividad humana es posible modelarla mediante una praxeología (Chevallard, 1999).
Después de realizar el taller 4, los profesores diseñan y escriben las situaciones de
aprendizaje sobre el teorema de Pitágoras. Estas situaciones se analizan en el taller 6, en el
cual los profesores reflexionan y discuten en relación a cada una de las situaciones. La
producción de los profesores (situaciones de aprendizaje) es analizada en el marco de la
TAD. El análisis realizado a las situaciones se basó en identificar el tipo de tarea, la técnica
y tecnología asociada. Es decir, en determinar las praxeologías matemáticas.
Las reflexiones que se obtienen de los profesores en relación a la reproducibilidad (Taller
7) se analizan para determinar los elementos que deben considerarse para que la clase sea
aplicada en distintos escenarios.
Etapa 4: corresponde a la segunda y tercera fase del Estudio de Clases. Dadas las
situaciones de aprendizaje y los planes de clases se procedió a aplicar dichos diseños en
distintos escenarios y enseguida se discutió sobre cada una de las clases. En esta parte
cuatro profesores (P1, P2, P3 y P4) son observados y el procedimiento para aplicar la clase
en sus distintas escuelas y realizar la discusión es:
- Profesor 1 aplica la clase en su curso, asisten a observar esta clase los profesores 2,
3 y 4, luego de discute sobre la clase.
- Enseguida profesor 2 aplica la clase, asisten a observar la clase los profesores 1, 3 y
4, luego se discute la clase.
- Profesor 3 aplica la clase en dos cursos distintos pero del mismo nivel (7º básico)
los profesores 1, 3 y 4 observan los videos de clase y se discute.
- Profesor 4 no participa en el diseño de las situaciones de aprendizajes, pero sí
participa en su observación y en algunos talleres de discusión: taller de discusión
del objeto matemático, taller de discusión de las clases de los profesores 1, 2 y 3.
Posterior a eso aplica la clase en su curso.
Capítulo 4 Método
67
Discusión de la clase
Discusión de la clase
Discusión de la clase (profesor 3 y profesor 4)
El esquema 3 permite visibilizar quienes aplicaron las situaciones y de qué forma se realiza
el proceso.
Esquema 3: Proceso de aplicación y discusión de clases
De este modo se obtienen 5 videos de clases, los cuales se transcribieron y analizaron de
acuerdo a los momentos didácticos y praxeologías didácticas establecidas.
Para analizar los videos de las clases, en las transcripciones se identificaron episodios de
clases. El episodio es cuando se produce un diálogo, se toma una idea y al cambiar de idea
finaliza dicho episodio.
También se recogen 4 talleres de discusión. Estos fueron filmados, enseguida se
transcribieron y se realizó el análisis mediante la identificación de las diferentes reflexiones
matemáticas, didácticas y pedagógicas. Para su análisis, en la transcripción se identificaron
episodios y luego en cada episodio se tipifica de acuerdo a las reflexiones.
El siguiente esquema presenta un resumen de la información obtenida, centrado en las
etapas 2, 3, 4 y 5 mencionadas al inicio de este capítulo. También los datos recabados en las
diferentes fases del Estudio de Clases.
Profesor 1
Profesor 2
Profesor 3
Profesor 4
Curso 1
Curso 2
Capítulo 4 Método
68
Esquema 4: Resumen de información obtenida
A continuación se presenta el capítulo 5 que expone el objeto matemático: teorema de
Pitágoras y su análisis epistemológico, didáctico y cognitivo.
Ideas Intuitivas Constructo
reproducibilidad
§ Respuestas de encuesta escrita
§ Diálogo de profesores (Taller de discusión)
Talleres de Reflexión
Fase 1: Estudio de Clases § Discusión del contenido matemático.
§ Discusión sobre las situaciones de aprendizajes.
§ Discusión y presentación del constructo reproducibilidad.
Fase 3: Estudio de Clases § Taller de Discusión clase 1 § Taller de Discusión clase 2 § Taller de Discusión clase 3 y
clase 4
Videos de Clases
Fase 2: Estudio de Clases
§ Clase Profesor 1 § Clase Profesor 2 § Clase profesor 3 § Clase profesor 4
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
69
CAPÍTULO 5
Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
Hemos seleccionado el contenido matemático teorema de Pitágoras porque es un tema que
tiene que ser tratado en la enseñanza básica chilena y además ofrece la oportunidad para
desarrollar explícitamente un objeto matemático que puede ser interpretado desde la
geometría y por otra parte como una relación numérica. Además, en la indagación de
antecedentes relacionados con este tema se pudo detectar que algunos profesores, en
especial de enseñanza básica (en Chile), tienen dificultades con la comprensión del
teorema y con el tratamiento de dicho contenido con sus alumnos. Por otra parte, la doble
interpretación del teorema de Pitagóras: en su versión geométrica y como relación
numérica; induce a presentar la demostración de tipo algebraica desconectada de sus
propiedades geométricas.
Así, Varas ( 2008) expone sobre una investigación que se realizó en Chile a través de
FONIDE7 y analiza prácticas pedagógicas en la enseñanza del teorema de Pitágoras, las que
se constrastan con resultados de aprendizajes. Participaron 21 profesores y 802 alumnos de
séptimo básico de escuelas, liceos y colegios de diversas dependencias, nivel
socioeconómico y rendimiento de la ciudad de Santiago de Chile. Los análisis lo realizan
con la metodología utilizada por el estudio internacional Pitágoras, desarrollado por el
Instituto de Investigación Pedagógica Internacional de Alemania (DIPF): calidad de la clase
y comprensión matemática en diversas culturas instruccionales. Señalan que el teorema de
Pitágoras ofrece una oportunidad inmejorable para analizar una gran variedad de aspectos
de la instrucción matemática. Entre las características más valiosas mencionan que es un
contenido de presencia universal en los currículos escolares, establece conexiones
importantes entre el álgebra y la geometría, tiene una variada gama de aplicaciones al
interior de la matemática, es especialmente apropiado para realizar modelamiento
matemático, a nivel escolar; es el primer teorema no trivial en la geometría euclidiana, se
necesita lógica y razonamiento matemático para entenderlo y no hay manera de
"descubrirlo" sin una clara conducción del profesor. 7 FONIDE: Fondo de Investigación y Desarrollo en Educación, Ministerio de Educación de Chile
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
70
En sus conclusiones exponen que la revisión de los videos les dejó la impresión de que gran
parte de los profesores no comprenden ni transmiten a sus alumnos el teorema de Pitágoras.
Además, destacan que la actividad de indagación, que en su mayoría realizan los docentes
que participaron en la investigación, fue diseñada en el 80% de los casos de una forma que
no fomentaba el razonamiento matemático. También evidencia la investigación el uso
abusivo de la expresión "descubrir el teorema de Pitágoras" para referirse al resultado de la
actividad de indagación, sin aclarar que se obtiene apenas una conjetura que no tiene
validez de un teorema.
Por otra parte, Garciadiego(2002) expone que algunos docentes simplifican la demostración
del teorema de Pitágoras y menciona que el teorema tiene la propiedad de entrelazar y
unificar un gran número de proposiciones de la matemática en general (geometría,
trigonometría, álgebra, cálculo) y no únicamente la geometría plana. El autor señala que al
presentar a los estudiantes un posible objetivo para un curso de geometría plana, sin duda
sería un objetivo el entendimiento del teorema de Pitágoras.
Ambos antecedentes nos permitieron proponer al grupo de trabajo el diseño didáctico sobre
la introducción del teorema de Pitágoras en el nivel 7º básico. Tanto por su riqueza para
desarrollar el tema desde la geometría y hacer visible por primera vez en la enseñanza
básica un teorema iniciando la prueba de dicho teorema y la rigurosidad en el lenguaje
geométrico.
A continuación presentamos las miradas al teorema desde una visión epistemológica,
cognitiva y didáctica. Esto lo realizamos puesto que los docentes involucrados en el grupo
de trabajo para realizar el diseño didáctico ocuparon como método ciertas fases de la ID. La
primera de ellas fue establecer el estatus del teorema desde su visión epistemológica para
ello se discutió sobre el contenido matemático e indagaron en su historia; enseguida
analizaron en forma descriptiva el programa de estudio del nivel 7ºBásico y también
analizaron el texto escolar que ocupan en la escuela en la parte que se presenta el teorema.
Además, estos antecedentes permiten comprender la actividad del profesor frente al diseño
de una clase sobre el teorema de Pitágoras.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
71
5.1 Dimensión Epistemológica
Exponemos una mirada a la dimensión epistemológica focalizando lo que ocuparon los
profesores del grupo de trabajo para el diseño didáctico sobre el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras es uno de los conocimientos matemáticos reconocidos
universalmente, puesto que es un tema que durante siglos ha sido tratado en la escuela
elemental. En Boyer(1999) se menciona que en la época de Kepler se consideraba al
teorema de Pitágoras uno de los dos grandes tesoros de la geometría.
Son numerosas los escritos tanto a nivel cultural como matemático sobre el teorema de
Pitágoras, varios de ellos mencionan su importancia y lo relacionan con diferentes ramas
de la matemática como: la geometría analítica, la trigonometría entre otros.
González(2008) expone que la verosimilitud del teorema no depende de un dibujo bien
ilustrado sino que obedece por completo a un ejercicio intelectual puro alejado de lo
sensorial -la deducción lógica- . Tal vez lo que menciona este autor puede ser una de los
fundamentos de por qué el teorema de Pitágoras se estudia en la escuela elemental.
También señala extractos de textos del teorema en diversas civilizaciones, en particular, nos
referiremos a la cultura egipcia. Al respecto menciona que la cultura egipcia conocía y
utilizaba el hecho de que el triángulo de lados 3, 4 y 5 (o proporcionales a estos números),
llamado “triángulo egipcio” es rectángulo, para trazar una línea perpendicular a otra, a
modo de “escuadra de carpintero”. Esta práctica era utilizada por lo agrimensores oficiales
para recuperar las fronteras de los lindes de las tierras tras los periódicos corrimientos de
tierras producidos por la crecidas del río Nilo.
Un hecho importante es que el teorema de Pitágoras tiene numerosas demostraciones de
tipo algebraica y geométrica que se han realizado por diversos autores durante la historia.
Mencionaremos aquella que los profesores en su diseño utilizan para que sus alumnos
puedan verificar la relación presentada en el teorema.
González(2008) señala que Henry Perigal era un corredor de bolsa londinense y astrónomo
aficionado que ideó hacia 1830 una sencilla prueba del teorema de Pitágoras del tipo
congruencia por adición. Agrega que es muy singular y elegante por su simetría.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
72
La figura que se utiliza para demostrar el teorema es la siguiente:
Figura 2: Dibujo que utiliza Perigal para la demostración del teorema de Pitágoras
González (2008) en relación a la demostración del teorema de Pitágoras que realizó Perigal señala:
El cuadrado sobre el mayor de los catetos de triángulo rectángulo se divide en cuatro partes iguales, mediante dos segmentos perpendiculares que se cortan en el centro del cuadrado, siendo uno de ellos paralelo a la hipotenusa. Desplazando paralelamente estas cuatro piezas, junto con el cuadrado sobre el cateto menor, es posible componer, yuxtaponiendo las cinco piezas, el cuadrado sobre la hipotenusa. (p.119)
En la actualidad en la enseñanza-aprendizaje del teorema de Pitágoras, se reconoce por las
siguientes redacciones8:
Teorema de Pitágoras
Si el triángulo ABC es rectángulo entonces el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de las longitudes de los catetos.
𝑎! + 𝑏! = 𝑐!
a, b y c representan la longitud de los lados del triángulo
La demostración que se presenta es de tipo geométrica algebraica, puesto que dado un
triángulo rectángulo se construye un cuadrado con 4 triángulos congruentes al triángulo
dado, enseguida algebraicamente se demuestra la igualdad de sus áreas.
8 Extraído de Clemens, R., O’ Daffer, P., y Cooney, T.(1989). Geometría con aplicaciones y solución de problemas. México:Addison Wesley Iberoamericana
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
73
D
E
H
F
A
B
C
G ba
a
b
b a
b
ar
n
m
m
m
m
n
n
n
n
c
c
c
c
Hipótesis: Dado el triángulo ABC rectángulo en C con a, b y c la longitudes de los catetos
y la hipotenusa respectivamente
Tesis: 𝑎! + 𝑏! = 𝑐!
Demostración
Dado el triángulo ABC rectángulo en C, se traza un cuadrado en donde cada uno de sus
lados tiene longitud (a + b). En ese cuadrado se dibujan cuatro triángulos rectángulos con
catetos a y b (como lo muestra la figura 3).
Los triángulos AHD, DEF y FGB son congruentes, con el triángulo dado. Así, todos tienen
hipotenusa de longitud c.
Figura 3: Cuadrado y triángulos
El cuadrilátero BADF formado por las cuatro hipotenusas de los triángulos es un cuadrado.
En efecto, tiene sus cuatros lados de igual longitud, faltaría fundamentar que los ángulos
FBA, BAD, ADF y DFB son rectos.
En la figura el triángulo BCA tiene dos ángulos que miden m, n y m + n = 90º, puesto que
son ángulos agudos de un triángulo rectángulo y complementarios.
Por otra parte, se puede escribir que m + n + r = 180º, como m + n = 90 º entonces r = 90º
Así, el ángulo BAD mide 90º.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
74
Del mismo modo se puede probar que los otros 3 ángulos del cuadrilátero BADF son rectos
en D, F y A.
El área del cuadrado CHEG es igual a la suma del área del cuadrado BADF más el área de
los cuatro triángulos rectángulos congruentes:
Por tanto, (𝑎 + 𝑏)! = 𝑐! + 4 ∙ !!𝑎𝑏
Así, 𝑎! + 2𝑎𝑏 + 𝑏! = 𝑐! + 2𝑎𝑏
De donde, 𝑎! + 𝑏! = 𝑐!
La redacción del teorema de Pitágoras en su versión geométrica9 señala.
“En un triángulo rectángulo el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”
La demostración del teorema, en su versión geométrica, es de tipo geométrica algebraica.
Una de las primeras demostraciones en que sólo se utiliza geometría es la de Euclides.
Ambas versiones (relación numérica y geométrica) del teorema de Pitágoras nos aportan
para expresar la relevancia que tiene, puesto que en la educación chilena en el nivel básico
(alumnos de 10 a 14 años) no se estudian las demostraciones formales. Sin embargo, es
común que el tratamiento del teorema en este nivel sea en su versión geométrica y los
docentes realicen actividades para comprobar en forma pragmática la relación que se
establece entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los catetos del triángulo rectángulo
y el área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa.
5.2 Dimensión Cognitiva
Tal como se ha señalado en la dimensión epistemológica, algunos docentes suelen realizar
en sus clases actividades de indagación o bien verificar el teorema de Pitágoras en su
versión geométrica en forma pragmática. En la verificación utilizan actividades que tienen
relación con la configuración y reconfiguración de figuras geométricas, que son
9 Extraído de Clemens, R., O’ Daffer, P., y Cooney, T.(1989). Geometría con aplicaciones y solución de problemas. México:Addison Wesley Iberoamericana.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
75
reconocidas como “puzle”. Desde este enfoque es que exponemos una mirada a los
aspectos cognitivos de dichas actividades.
Torregrosa y Quesada (2007) muestran una caracterización de los procesos cognitivos que
intervienen en la resolución de problemas de geometría y generan un modelo teórico que
ayuda a interpretar las interacciones de dichos procesos. El estudio se centra en la
caracterización de la coordinación de los procesos de visualización y los procesos de
razonamientos que han sido propuestos por Duval(1998). Manifiesta que la investigación
está ligada al análisis y estudio de lo que podría llamarse genéricamente capacidades
geométricas, particularmente a los procesos cognitivos que evidencia el alumno al resolver
un problema en geometría. Los autores plantean que si se aproxima a una interpretación
sobre los procesos de resolución de los problemas geométricos se puede intervenir mucho
más eficazmente en el aprendizaje geométrico de los alumnos, pues se contará con una
mayor comprensión de sus respuestas y lo que ayudará a establecer mejores métodos de
enseñanza ajustadas a sus necesidades. La hipótesis de la que parten está relacionada con el
problema básico de la enseñanza de la geometría con respecto a la cual Duval (1998) señala
que: la actividad geométrica involucra tres clases de procesos cognitivos - la visualización,
el razonamiento y la construcción. Los tres procesos deben desarrollarse por separado; es
necesario realizar durante el currículo escolar un trabajo que reconozca los diferentes
procesos de visualización y de razonamiento. La coordinación entre visualización y
razonamiento sólo puede ocurrir realmente tras este trabajo de diferenciación. El estudio
presenta los términos; aprehensión, aprehensión perceptiva y aprehensión discursiva, los
vinculan primeramente con el significado de visualización. Además, señalan que, de
acuerdo a Duval(1998), se pueden distinguir tres tipos de aprehensión.
- Aprehensión perceptiva identificación simple de una configuración.
- Aprehensión discursiva: la acción cognitiva que produce una asociación de la
configuración identificada con afirmaciones matemáticas (definiciones, teoremas,
axiomas). Agregan que se pueden vincular de dos maneras: según las direcciones de
las transferencias realizada, a la cual llaman cambio de anclaje (el primero de ellos
es del anclaje visual al anclaje discursivo); el segundo del anclaje discursivo al
anclaje visual.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
76
- Aprehensión operativa: se produce cuando el sujeto lleva a cabo alguna
modificación a la configuración inicial para resolver un problema geométrico.
Dicho cambio pues ser de dos tipos: Aprehensión operativa de cambio figural y
Aprehensión operativa de reconfiguración.
Terragosa et al( 2007), distinguen tres tipos de razonamientos y señalan al respecto:
Se pueden diferenciar al menos tres tipos de razonamiento en relación con los procesos
discursivos desarrollados ( Duval, 1998, p. 45): el proceso figural, que se identifica con la
aprehensión operativa; el proceso discursivo natural, que es espontáneamente realizado en el
acto de la comunicación ordinaria a través de la descripción, explicación y argumentación, y
el proceso discursivo teórico, que se caracteriza por un desarrollo del discurso mediante la
deducción y puede ser hecho en un registro estrictamente simbólico o en el lenguaje
natural.( p.288)
Un segundo antecedente sobre la dimensión cognitiva del teorema de Pitágoras se extrae
del estudio realizado por Padilla(1992) sobre algunas demostraciones del mismo. La autora,
tomando como referencia a Duval, plantea el término aprehensión operativa y las ideas de
configuración y reconfiguración. Además señala que hay factores de visibilidad y
complejidad que inciden en la aprehensión operativa. Al respecto indica que los factores
pueden jugar un rol de facilitador o al contrario ocultar la aprehensión operativa que
conduce a la solución del problema. El hecho de que los alumnos “vean” rápidamente o “no
vean” la operación figural que sugiere un tratamiento matemático pertinente, depende de
esos factores. Toma como ejemplo el teorema de Pitágoras, por una parte porque ha sido
importante a lo largo de la historia y por otra porque tiene varias maneras de ser
demostrado. Algunas de la demostraciones son consideradas algebraicas fundadas sobre la
aplicación de la operación reconfiguración.
Estos antecedentes permiten señalar que el teorema de Pitágoras, desde el punto de vista
cognitivo, tiene significancia; puesto que tiene relación con la aprehensión figural y por
otra con los registros algebraicos. Por cual, se puede inferir que la actividad de “puzle” para
la verificación del teorema de Pitágoras no es natural para los alumnos porque en este tipo
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
77
de actividad hay procesos de visualización, habilidad que debiese desarrollarse para poder
configurar y reconfigurar figuras geométricas.
5.3 Dimensión Didáctica
En la dimensión didáctica se muestra; el análisis del programa de estudio del nivel séptimo
básico de enseñanza básica (alumnos de 12-13 años); el análisis de un texto de nivel
universitario, del cual se extraen las redacciones del teorema en su versión numérica y
algebraica (ambas presentadas en la dimensión epistemológica) y el análisis de un texto
escolar del nivel séptimo básico.
(1) El programa de estudio dado por la institución (Ministerio de Educación de Chile)
señala, entre otros, los aprendizajes que debiesen lograr los alumnos del nivel 7º
básico. Este documento constituye un elemento de orientación que tienen los
docentes para desarrollar ciertos temas y determina la intensidad con que se
proponen en la escuela. Es decir, es un referente institucional que los profesores
conocen y utilizan en el diseño de algunas de sus clases. También los profesores
involucrados en el grupo de trabajo realizaron un análisis de tipo descriptivo del
programa de estudio.
(2) El texto universitario: en la sección en donde se presenta el teorema de Pitágoras fue
estudiado en un taller de reflexión con el grupo de trabajo de los docentes que
realizaron el diseño didáctico. Este texto es parte de la bibliografía del módulo de
geometría del programa antes descrito.
(3) El texto escolar es aquel que utiliza el profesor (en particular los profesores del
grupo de trabajo) para la realización de sus clases, en este caso corresponde al nivel
7º básico. Los docentes involucrados en el grupo de trabajo realizan un análisis
descriptivo de dicho texto. Si bien hay más textos a los que los docentes pueden
tener acceso para la realización de sus clases, se ha seleccionado el que utilizan
todos los alumnos del nivel (7ºbásico) de las escuelas de Chile, pues es entregado
gratuitamente por el Ministerio de Educación.
De los tres puntos mencionados en el párrafo anterior nos parece pertinente presentar los
análisis que hemos realizado de los textos. Dicho análisis considera una parte descriptiva y
algunas de las actividades analizadas; utilizando como herramienta metodológica la TAD.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
78
En particular se han identificado praxeologías matemáticas; determinando el tipo de tarea,
técnica, tecnología y teoría.
5.3.1 Análisis del programa de estudio
Se presenta el análisis del programa de estudio del nivel 7º Básico (alumnos de13 a 14
años), pues en este nivel se propone por primera vez el teorema de Pitágoras como
contenido matemático. Este análisis es de tipo descriptivo y algunas de las actividades se
han analizado con elementos teóricos de la teoría antropológica de lo didáctico.
El programa en sus propósitos concibe al aprendizaje de la matemática como la forma de
ayudar a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida
cotidiana. Destacan que el cálculo, el análisis de la información proveniente de diversas
fuentes, la capacidad de generalizar situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de
resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas contribuyen a desarrollar un
pensamiento lógico, ordenado crítico y autónomo. Además, indican que el conocimiento
matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el
desarrollo, el desempeño y la vida de las personas.
En relación a las habilidades de pensamiento propuestas a desarrollar en el nivel 7º básico
mencionan dos: la primera resolver problemas en contextos diversos y significativos,
utilizando los contenidos del nivel y la segunda analizar la validez de los procedimientos
utilizados.
Se expone también una sección denominada “orientaciones didácticas”, las cuales proveen
directrices para la enseñanza aprendizaje de la matemática. Proponen siete ideas para
considerar en los procesos, éstas incluyen: conceptos matemáticos, profundidad e
integración de dichos conceptos, el uso de contextos, razonamiento matemático y
resolución de problemas, el uso del error, aprendizaje matemático y desarrollo personal,
tecnologías digitales y aprendizaje matemático, clima y motivación.
Con respecto a la primera idea, relacionada con los conceptos matemáticos profundidad e
integración, mencionan que explorar ideas matemáticas y entender que ellos constituyen un
todo y no fragmentos aislados del saber. Agregan que es necesario comprender en
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
79
profundidad los conceptos matemáticos, sus conexiones y sus aplicaciones. Se destacan las
recomendaciones relacionadas con la profundización de los conceptos matemáticos en los
cuales los estudiantes podrán adquirir mayor confianza para investigar y aplicar las
matemáticas y, por otra, la sugerencia de usar materiales concretos y la realización de
trabajos prácticos apoyados en la tecnología.
El programa está constituido por cuatro unidades de aprendizaje: Números y álgebra,
Geometría, Números y geometría y Datos y azar. En cada unidad de aprendizaje se expone
el propósito, los conocimientos previos de los alumnos, contenidos, habilidades, actitudes,
palabras claves, aprendizajes esperados e indicadores de evaluación, aprendizajes esperados
en relación a los objetivos fundamentales transversales y orientaciones didácticas de la
unidad.
El teorema de Pitágoras se ubica en la unidad 3 denominada: Números y geometría, cuyo
propósito es la profundización de los conocimientos relacionados con potencia de base y
exponente natural, extendiendo sus propiedades a potencias de base fraccionarias o decimal
positivo y exponente natural y a potencia de base 10 y exponente entero. Además, señalan
que es la oportunidad para trabajar el concepto de raíz cuadrada, su cálculo, estimación para
así utilizar este conocimiento para aplicar el teorema de Pitágoras y el recíproco de
Pitágoras en la resolución de problemas en contextos diversos, incluyendo el matemático.
Los conocimientos previos declarados para el tratamiento de la unidad son: potencias de
base y exponente natural, perímetro de figuras planas y elementos de prismas rectos y
pirámides.
Los contenidos a desarrollar en la unidad 3 son: “potencias de exponente natural cuya base
es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de base 10 con exponente entero;
Raíz cuadrada de un número entero positivo; teorema de Pitágoras y teorema recíproco de
Pitágoras; estudio de la variación en el perímetro de polígonos; Volúmenes de prismas
rectos y pirámides”
Entre las habilidades a desarrollar, propuestas en la unidad, destaca la resolución de
problemas utilizando el teorema de Pitágoras.
Se presentan 12 aprendizajes esperados (AE), dos de ellos tienen relación con el teorema de
Pitágoras, para cada uno se señala los indicadores de evaluación sugeridos como se
presenta a continuación:
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
80
Aprendizaje esperados
(Se espera que los estudiantes sean capaces
de)
Indicadores de evaluación sugeridos
(Cuando los estudiantes han logrado este
aprendizaje)
AE 08
Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras.
Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras, de manera manual o utilizando un procesador geométrico.
Verifican en casos particulares el teorema recíproco de Pitágoras, en forma manual o utilizando un procesador geométrico.
Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras.
Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos.
AE 12
Resolver problemas en contextos diversos:
b. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras
Resuelven problemas relativos a cálculos de lados en triángulos rectángulos.
Aplican el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en figuras planas, por ejemplo, calculan los lados de triángulos rectángulos
Verifican que un triángulo no es rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras
Construyen ángulos rectos, utilizando el teorema recíproco de Pitágoras.
Por ejemplo, construyen el ángulo recto dividiendo una cuerda en 23 partes iguales
Evalúan las soluciones de problemas resueltos en función del contexto del problema.
Tabla 1: Aprendizajes esperados del programa de estudio.
En las orientaciones didácticas de la unidad señalan que el teorema de Pitágoras es una
buena instancia para verificar propiedades y relaciones geométricas, trabajando no solo la
verificación directa, sino también su recíproco. De esta manera, los alumnos podrán
resolver problemas en contextos matemáticos y cotidianos, aplicando ambos teoremas.
Indican además que, en la medida de lo posible, se sugiere profundizar la comprensión de
estos teoremas, su verificación y sus aplicaciones con algún software geométrico. La
utilización de material concreto ayuda en la verificación de las relaciones que se producen.
Se observa en los ejemplos de actividades para el aprendizaje esperado AE 08, que se
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
81
orientan por una parte a la verificación de casos particulares del teorema como: la suma de
las áreas de triángulos equiláteros construidos sobre los catetos de un triángulo
rectángulo es igual al área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa del
triángulo rectángulo; la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los
catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido sobre la
hipotenusa del triángulo rectángulo. Por otra parte, utilizan el teorema recíproco de
Pitágoras para verificar la construcción de un segmento perpendicular a otro; para esto
una posibilidad es unir los segmentos y dividir en doce partes iguales esta unión; Elaboran
estrategias para determinar, en contextos cotidianos, que ciertas figuras son rectangulares.
Por ejemplo, verifican utilizando el teorema recíproco de Pitágoras si una ventana de
forma rectangular está cuadrada.
En el caso de AE 12 los ejemplos de actividades relacionados con el teorema de Pitágoras
son la resolución de problemas en contextos diversos, utilizando el teorema de Pitágoras.
Por ejemplo: obtienen de manera práctica el ángulo recto, utilizando los tríos pitagóricos;
calculan perímetros de triángulos rectángulos; estiman perímetros de triángulos
rectángulos, cuya hipotenusa no es un número entero (por ejemplo, de un triángulo de
catetos 2cm y 3cm); determinan áreas de triángulos rectángulos, utilizando el teorema de
Pitágoras; utilizan el teorema de Pitágoras para resolver problemas en contextos
geométricos. Dan un ejemplo en que se tiene que calcular el perímetro de un trapecio
rectángulo y se desconoce una medida.
A continuación presentamos el análisis praxeológico de una actividad propuesta en el
programa de estudio en relación al teorema de Pitágoras:
Actividad:
“Los estudiantes determinan el perímetro del trapecio rectángulo de la siguiente figura”
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
82
Tipo de Tarea: Determinar el perímetro del trapecio rectángulo
Técnica: Como el perímetro se calcula sumando la medidas de todos los lados de la figura,
se tiene que calcular primeramente la longitud del lado que falta. Para ello:
- Se identifican los vértices con nombres
como lo muestra la figura.
- Se traza un segmento DE congruente y paralelo al segmento AB, E pertenece al
segmento BC.
- Se visualiza el triángulo rectángulo DEC, la medida del segmento EC es 6 cm,
puesto que la medida del segmento BC es 14 cm, se les resta la medida del
segmentoAE que es 8 cm.
- Se aplica el teorema de Pitágoras identificando los catetos y la hipotenusa y se
obtiene la siguiente relación, DE2 + EC2 = DC2, se reemplaza por las medidas:
DE2 + EC2 = DC2
82 + 62 = DC2
64 + 36 = DC2
100 = DC2
100 = 𝐷𝐶2
10 = DC
Por lo cual, la medida del segmento DC es 10 cm.
Luego el perímetro del trapecio rectángulo es 36 cm, puesto que la suma de las
medidas de sus lados es 8+8+14+6 = 36.
Tecnología: la técnica utilizada es la aplicación de propiedades geométricas para la
construcción auxiliar del triángulo rectángulo DEC. Primero se identifica en el triángulo
construido los catetos y la hipotenusa. Luego se aplica el teorema de Pitágoras para
determinar la longitud de la hipotenusa del triángulo DEC, la cual corresponde a un lado
del trapecio ABCD. Enseguida se aplica la definición de perímetro.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
83
El análisis se realiza identificando el tipo de tarea, la técnica y la tecnología utilizadas.
Cabe señalar que, por el nivel de enseñanza básica, el componente relacionado con la teoría
no se considera; pues la demostración de propiedades y teoremas en geometría en el nivel
enseñanza básica no es parte del programa de estudio de nuestro país. Sin embargo, es
posible testear que en el programa de estudio se propone los contenidos relacionados con
propiedades geométricas, teorema de Pitágoras y perímetro de figuras rectangulares.
En resumen, el programa de estudio propone el teorema de Pitágoras en una unidad que
considera temas de Números (potencia de base natural y exponente natural) y temas de
geometría. La razón de ser del teorema es resolver problemas que involucren la
determinación de medidas desconocidas en triángulos rectángulos y, además, en ciertas
actividades realizar construcciones geométricas auxiliares que permiten identificar el
triángulo rectángulo para aplicar el teorema de Pitágoras.
5.3.2 Análisis de textos
5.3.2.1 Análisis de Texto de nivel universitario
Texto 1
Autor: Clemens Título: Geometría Addison Wesley Longman, Máxico SA de CV, Editorial PEARSON Año:1998
Descripción:
El teorema de Pitágoras como contenido está inserto en el capítulo 7 del texto, dicho
capítulo desarrolla el tema de triángulo y se titula “más sobre triángulos”
Las dos primeras páginas muestran el teorema e inician su presentación señalando “El
teorema dice que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos
del triángulo”
Enseguida exhiben tres ejemplos que corresponden a tres dibujos cuadriculados, en donde
es posible visualizar la relación que se presenta en el teorema. Dicha relación es entre las
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
84
áreas de los cuadrados trazados sobre cada uno de los catetos y el área del cuadrado sobre
la hipotenusa. Indican: “encuéntrese la manera de contar las pequeñas unidades cuadradas
para mostrar que el área de los cuadrados A y B es igual al área del cuadrado C sobre la
hipotenusa”. Los tres dibujos corresponden a triángulos rectángulos y sobre cada uno de los
catetos y la hipotenusa se han trazado cuadrados. Cada uno de estos trazados a su vez está
constituido por “pequeñas unidades cuadradas”. Además, en el dibujo se han marcado
ciertos segmentos en los cuales es posible visualizar otros triángulos y cuadrados. También
cada uno de los dibujos tienen asignados letras para nombrar los cuadrados A, B y C y las
medidas de los lados de cada uno de los triángulos estas son: a, b y c.
A continuación de los ejemplos que es un tipo de tarea se enuncia el teorema de Pitágoras
como: “Si ∆ ABC es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos”
Presentan la demostración identificando la hipótesis y tesis, señalan que se deben construir
cuadrados sobre los catetos e hipotenusa del ∆ ABC como lo indica la figura 4.
Figura 4: Representación visual del teorema de Pitágoras.
Enseguida muestran la demostración del teorema de tipo algebraica y dice:
“El cuadrado sobre el lado c consta de cuatro triángulos congruentes con ∆ ABC y un
cuadrado. La figura 5 muestra que la longitud de un lado del cuadrado pequeño es a-b.
Puede encontrarse el área del cuadrado grande sumando las áreas de los cuatro triángulos
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
85
y el área del cuadrado pequeño. El área de los triángulos es ! !𝑎𝑏. El área de cuadrado es
(𝑎 − 𝑏)!.
Así, 𝑐! = 4 !!𝑎𝑏 + (𝑎 − 𝑏)! = 2𝑎𝑏 + 𝑎! − 2 𝑎𝑏 + 𝑏! = 𝑎! + 𝑏!
Figura 5: Representación visual que sustenta la demostración del teorema de Pitágoras.
En la página siguiente, se enuncia el recíproco del teorema de Pitágoras y señala: Si ∆ ABC
tiene lados de longitudes a, b y c, y 𝑐! = 𝑎! + 𝑏! , entonces ∆ ABC es un triángulo
rectángulo.
Presentan un ejemplo en qué se dan las longitudes de los catetos y la hipotenusa y se
comprueba la relación entre estas medidas.
“∆ ABC es un triángulo rectángulo porque ( 7!+ 1! = (2 2)
!. ( 7+ 1 = 8)”
Se observa la ausencia de la demostración del recíproco del teorema.
Análisis praxeológico de una actividad presentada en el texto.
La presentación inicial del teorema de Pitágoras, en este texto, se determina en términos de
áreas de cuadrados trazados sobre la hipotenusa y sobre cada uno de los catetos en un
triángulo rectángulo. Enseguida se expone un ejemplo que permite visualizar la relación
establecida entre las áreas de los cuadrados trazados. En este ejemplo se identifica un tipo
de tarea. A continuación se muestra el análisis:
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
86
Tipo de tarea: Mostrar que el área de los cuadrados A y B es igual al área del cuadrado C
sobre la hipotenusa en cada uno de los ejemplos:
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
Técnica 1: para cada cuadrado trazado sobre cada uno de los catetos de los triángulos
rectángulos se cuentan las unidades cuadradas, enseguida en el cuadrado trazado sobre la
hipotenusa se visualizan otras figuras que corresponden a triángulos rectángulos y
cuadrados. Se contabilizan dichos cuadrados y se constata que esa cantidad de unidades
cuadradas corresponden a la suma de las unidades cuadradas de los cuadrados trazados
sobre la hipotenusa.
Técnica 2: de tipo pragmática. Se visualizan los trazados y se realiza una superposición de
figuras sobre el cuadrado dibujado en la hipotenusa.
Tecnología: concepto de área, cálculo de áreas de figuras planas; usando una unidad de
medida: en este caso “unidad cuadrada”. Superficies equivalentes (dos superficies son
equivalentes si tienen la misma área pero distintas formas). Esto permite descomponer y
componer figuras para determinar superficies equivalentes. Si se tiene una superficie y se
particiona en otras superficies disjuntas, la suma total del área de la superficie es igual a la
suma de cada una de las áreas de las superficies particionadas.
Teoría: definiciones de triángulo rectángulo, hipotenusa y catetos; áreas de figuras planas
en particular área de cuadrados y triángulos rectángulos.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
87
Al realizar el análisis praxeológico se constata que, por medio de superficies equivalentes,
es posible calcular el área y determinar una relación entre éstas. A su vez, no es posible
visibilizar la relación numérica establecida en el teorema de Pitágoras. La razón de ser de
este tipo de tarea en este texto, al parecer, es demostrar el teorema de Pitágoras en términos
de relación numérica y su utilización algebraica; pues la demostración que presenta es de
este tipo.
A continuación se presenta el análisis de un texto escolar.
5.3.2.2 Texto de Nivel Escolar
Texto 2
7º Educación Básica, Matemática
Autoras; Javiera Setz Mena – Florencia Darrigrandi Navarro
Editorial: Santillana
Año:2011
Descripción:
El texto está constituido por 7 unidades: Números enteros, Potencias, Geometría,
Relaciones proporcionales, Ecuaciones lineales, Volumen de prismas rectos y pirámides.
El contenido teorema de Pitágoras está inserto en la unidad 3, denominada “Geometría”.
Uno de sus objetivos de aprendizaje es: verificar, en casos particulares el teorema de
Pitágoras, su recíproco y su aplicación en contextos diversos.
Los contenidos matemáticos tratados en la unidad son: los polígonos y sus elementos,
construcciones geométricas, construcciones geométricas de triángulos, medidas de los
ángulos de un triángulo, simetrales, transversales de gravedad, teorema de Pitágoras.
En la página 82 se encuentra el teorema de Pitágoras. En primer lugar muestra un párrafo
en el cual se recuerda que un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo que
mide 90º, además señalan que dos lados que forman el ángulo recto se denominan catetos y
el lado mayor (opuesto al ángulo recto) se denomina hipotenusa. Agregan que el triángulo
rectángulo ha sido objeto de estudio de matemáticos de todos los tiempos y en todo el
mundo. Indican que se le atribuye a Pitágoras una propiedad que relaciona las medidas de
los lados de estos triángulos: el teorema de Pitágoras.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
88
Exponen: “Este teorema establece que: la suma de los cuadrados de las medidas de los
catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa”.
La primera actividad que proponen se exhibe en un párrafo que dice “para discutir” y
plantean tres preguntas: ¿Qué significa esto?; ¿qué utilidad práctica tiene el teorema de
Pitágoras? Justifica. Si conoces las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo
rectángulo, ¿podrías conocer la medida del otro lado? ¿Cómo?
A continuación presentan un recuadro que dice: “No olvides que”
-‐ El teorema de Pitágoras dice: en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de las medidas de los catetos es igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado
𝑎! + 𝑏! = 𝑐!; a, b: medidas de cada cateto, c: medida de la hipotenusa.
-‐ Un trío pitagórico muy usado es 3, 4 y 5. Como 36 y 48 son múltiplos de 3 y 4,
entonces el otro valor del trío pitagórico es múltiplo de 5.
3 ∙ 12 = 36 4 ∙ 12 = 48 5 ∙ 12 = 60
Análisis praxeológico de las actividades
El primer tipo de tarea identificada tiene relación con una actividad que utiliza material
concreto para comprender el teorema de Pitágoras. La consigna es copiar las figuras 6 y 7
en papel grueso (cartón) y construir rompecabezas para probar en forma intuitiva la
veracidad del teorema.
Figura 6: Rompecabezas 1 Figura 7: Rompecabezas 2
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
89
De esta actividad se identifica:
Tipo de Tarea1: comprobar que el teorema de Pitágoras se verifica, es decir, que 𝑎! +
𝑏! = 𝑐! (a, b representan las longitudes de los catetos y c representa la longitud de la
hipotenusa)
Técnica1: dibujar dos figuras en donde se muestran el triángulo rectángulo y los cuadrados
trazados sobre los catetos y la hipotenusa.
En la figura 6, el cuadrado trazado sobre el cateto de mayor longitud, tiene trazados
cuadriláteros que están pintados de diferentes colores. En la figura 7 los dos cuadrados
trazados sobre la hipotenusa tienen marcados polígonos (triángulos y cuadriláteros
pintados de distinto color).
Se recortan las figuras de diferentes colores y se comprueba el teorema “armando los
rompecabezas”
Tecnología1: verificación práctica del teorema de Pitágoras, estableciendo las relaciones
entre los cuadrados trazados sobre los catetos y el cuadrado trazado sobre la hipotenusa.
Cabe señalar que la primera figura 6 propuesta corresponde a la visualización de una
demostración del teorema de Pitágoras llamada “Perigal”, definida en la dimensión
epistemológica.
Tipo de Tarea2 : Verificar que se cumple el teorema de Pitágoras para los siguientes tríos de
números: 3,4 y 5; 9,12 y 15; 11, 12 y 13; 18, 24 y 30 ; 16, 17 y 18; 10, 24 y 26.
Técnica2 : identificar en el trío de números los que representan a, b y c. Enseguida elevar al
cuadrado cada uno de los números del trío dado y calcular su potencia. Luego, verificar que
se cumple la igualdad 𝑎! + 𝑏! = 𝑐!.
Tecnología2: teorema de Pitágoras, potencias base natural y exponente entero.
El tipo de tarea3 se enmarca en la resolución de un problema contextualizado en base a la
construcción de una carretera. Se presenta una ilustración que permite la comprensión del
contexto, pero no indica que el triángulo que permite visualizar la situación es rectángulo.
Por lo anterior, ha de suponerse que la intersección entre las líneas continuas de la
ilustración son perpendiculares. El problema dice: “Se planea construir una carretera que
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
90
84 Unidad 3
1. Verifica si se cumple el teorema de Pitágoras para los siguientes tríos de números.a) 3, 4 y 5.b) 9, 12 y 15.c) 11, 12 y 13.d) 18, 24 y 30.e) 16, 17 y 18.f) 10, 24 y 26.
2. En relación con los tríos de los ejercicios a), b) y d) de la actividad anterior, ¿se mantiene la relaciónsi se multiplica cada número de un trío pitagórico por un mismo número? Prueba con otros tríos.
3. Respecto a los tríos de los ejercicios a), c) y e), ¿se mantiene la relación si a cada número de un tríopitagórico se le suma un mismo número? Justifica.
4. Se planea construir una carretera que una las ciudades A y B, estableciendo un camino más cortoentre ambas (el antiguo camino está marcado con línea continua y la posible carretera con líneapunteada). ¿Cuántos kilómetros menos se recorrerían al viajar por la nueva carretera respecto delcamino antiguo?
5. Joaquín y Beatriz se encuentran en una intersección de calles. Luego de conversar, Joaquín se dirigehacia el norte y Beatriz hacia el este, caminando por senderos perpendiculares. Joaquín es de pasoregular y avanza 48 metros en un minuto; mientras que Beatriz lo hace a 36 metros por minuto.¿Cómo podemos representar gráficamente esta situación? ¿A qué distancia se encuentran Joaquíny Beatriz luego de 3 minutos? ¿Qué relación existe, entre las respectivas distancias, a los 1, 2, 3, 4,5 minutos?, ¿cuál sería la distancia entre ellos a los 10 minutos?
6. Indica si los siguientes triángulos son rectángulos. Explica tu decisión.
a) b) c) d)
EN TU CUADERNO
A
B12 km
5 km
610
8
3989
80
9 14
12
4,5 7,5
6
U3 (62 - 95):Maquetación 1 26/10/09 17:34 Página 84
una las ciudades A y B, estableciendo un camino más corto entre ambas (el antiguo camino
está marcado con línea continua y la posible carretera con línea punteada). ¿Cuántos
kilómetros menos se recorrerían al viajar por la nueva carretera respecto del camino
antiguo?
Figura 8: Ilustración del problema
Tipo de Tarea3: calcular la longitud de un segmento dado ciertas condiciones.
Técnica3: se marca la intersección de ambos segmentos que representan las carreteras,
denominándola como el punto C. Se tiene que suponer que el triángulo ACB es rectángulo
en C. Dadas estas condiciones se determina la longitud del segmento AB (hipotenusa) por
medio del teorema de Pitágoras. Así, la longitud entre A y B mide 13 Km. (línea punteada
en el dibujo) y por el antiguo camino recorre 17 Km. Por lo tanto, se recorren 5 Km menos
al viajar por la nueva carretera.
Técnología3: suponer que las líneas continuas de la ilustración son perpendiculares, por
tanto el triángulo que se visualiza es rectángulo y el teorema de Pitágoras.
Los problemas que se proponen están para la aplicación del teorema. En este caso se
entrega, además, el dibujo que permite complementar la información y hacer las
adecuaciones pertinentes y algunos supuestos. El supuesto es que el triángulo que se
visualiza lo asume como rectángulo. No se observa una información que afirme que el
triángulo es rectángulo o que, al menos, en el problema las carreteras son representadas por
rectas perpendiculares.
En resumen, no se observa la vinculación entre el material concreto y las ideas
matemáticas. También hay ausencia del rigor matemático en el sentido de que no es
explícita cuál es la hipótesis y tesis del teorema.
Capítulo 5 Objeto Matemático: Teorema de Pitágoras
91
Las praxeologías analizadas muestran que el foco de los tipos de tareas está centrado en el
resultado numérico. Es posible conectarlo con la geometría solo en la actividad de inicio,
pero se pierde al no exponer claramente la tecnología. Lo cual hacer perder el fundamento
de proponer una actividad de visualización (tarea propia de la enseñanza aprendizaje de la
geometría) con las ideas geométricas.
Conclusión
El tener una mirada epistemológica, cognitiva y didáctica sobre el teorema de Pitágoras,
permite comprender la importancia del estudio del teorema tan tempranamente (enseñanza
básica) y la intencionalidad de enseñar el lenguaje propio de la geometría. Se puede inferir
que la razón de ser del estudio de este contenido permite evolucionar en la enseñanza
aprendizaje de la demostración en geometría, tema que no es fácil, sobre todo si se persiste
en el estudio de la geometría como un conjunto de figuras y formas asociadas con su
medición.
El análisis praxeológico de las actividades extraídas, tanto del texto de nivel universitario
como del uso escolar, permite señalar que el tipo de tarea y su técnica aportan a la
verificación del teorema y no al uso del teorema como una tecnología. Este análisis se
relaciona con la dimensión epistemológica; puesto que el teorema de Pitágoras fue
descubierto a partir de su uso para dibujar trazos perpendiculares, por lo que fue una técnica
que permitió realizar un tipo de tarea conectado a lo cotidiano para medir longitudes (los
egipcios desarrollan esta idea). Los griegos instauran el teorema como una tecnología y lo
demuestran en forma geométrica (Euclides).
A continuación se presenta el estudio de las ideas intuitivas sobre la reproducibilidad de
situaciones de aprendizajes de siete profesores. Estos profesores pertenecen al programa de
postítulo (contexto de la investigación). Se incluyen en el grupo los profesores parte del
seguimiento para la investigación planteada.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
92
CAPÍTULO 6
Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
6.1 Introducción
Se presenta un estudio sobre las ideas intuitivas de reproducibilidad de situaciones de
aprendizaje de algunos profesores. El contexto del presente estudio es un grupo de trabajo
conformado por profesores que realizan diseños didácticos y luego los aplican en diferentes
escenarios. Se ha planteado la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las ideas intuitivas de
reproducibilidad de algunos profesores en ejercicio?
Como son ideas intuitivas, se parte del supuesto que el constructo de reproducibilidad no es
conocido por los docentes; por lo cual se utiliza para el diseño de las preguntas la expresión
“repetición de clases”.
6.2 Marco de Referencia
Para analizar las declaraciones e ideas de los profesores que fueron encuestados en relación
a la repetición de clases hemos considerado el sistema didáctico y los subsistemas.
Brousseau (1986) establece que en el aula se puede modelar en un sistema didáctico. Los
componentes del sistema didáctico son: profesor- saber y alumno, dichos componentes se
insertan en un conjunto de interacciones por lo cual es un sistema dinámico. Así, cada uno
de ellos a su vez forma subsistema.
Saber
El saber está constituido por la matemática. Es posible distinguir entre el saber puro, el
saber a enseñar y el saber enseñado tres nociones que son abordadas en el marco de la
transposición didáctico (Chevallard,1995). La distinción de los saberes tiene su connotación
de acuerdo a quien manipula dichos saberes. Así el saber sabio (saber puro) lo produce,
utiliza y lo hace público la comunidad de matemáticos que provee a la “teoría matemática”;
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
93
el saber a enseñar es propio de quien desea hacer aprender conceptos, nociones, teoremas,
propiedades etc. en una institución dada, para nuestro caso la escuela. De este modo, el
saber a enseñar está constituido por los saberes que una institución desea que aprendan los
alumnos. En este caso está dado por el currículo y los programas de estudio del sistema
escolar; finalmente, el saber enseñado es aquella matemática que es posible de ser
transformada por los profesores para que sus alumnos de apropien de un saber y se
conviertan en conocimientos matemáticos.
El polo del saber en el sistema didáctico es atracción de referencias ontológicas y
epistemológicas. Es alrededor de este polo que se sitúa la teoría de los obstáculos
epistemológicos ( D’Amore y Fandeño, 2002).
Profesor de matemáticas
El profesor es el sujeto que tiene una historia personal y profesional. Personal, en el sentido
que ha tenido experiencias como alumno por cual también ha tenido acceso al saber.
Profesionales, en el sentido que es el sujeto que hace aprender a otros o bien sobre su
experiencia precedente de sujeto que otorga el saber (D’Amore et al, 2002).
Como profesional; el profesor es quien planea, diseña y evalúa diseños didácticos para que
sus alumnos aprendan un contenido matemático en una institución dada, Chevallard (1985)
señala que el profesor tiene la responsabilidad de administrar una transposición didáctica,
adaptar a sus conocimientos los objetos a enseñar, insertarlos en el saber escolar y
organizarlos en el tiempo. Agrega, que el docente recontextualiza y personaliza el saber, de
modo que los alumnos lo hagan en el tiempo.
De este modo la gestión del profesor del proceso de enseñanza aprendizaje viene articulada
a través de la realización de “tareas profesionales” mediante el uso de instrumentos
(Llinares, 2002-a).
Llinares (2005) señala que el término práctica profesional del profesor indica todo lo que el
profesor hace, las tareas profesionales y los instrumentos que utiliza. Plantea como tareas
profesionales las siguientes: diseñar, modificar o elegir tareas actividades, problemas;
organizar y secuenciar el contenido matemático durante las interacciones; analizar y dotar
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
94
de sentido las producciones matemáticas de los alumnos. Además, indica que también la
comprensión de los instrumentos que el profesor utiliza y del propósito de su uso.
Los instrumentos son los que contribuyen a que el profesor pueda plantear situaciones de
aprendizajes para el logro de un contenido matemático. Llinares (2005) define dos focos de
instrumentos. Uno de ellos se refiere a los instrumentos técnicos que son los necesarios
para realizar la práctica y que, en definitiva, apuntan a conseguir el aprendizaje matemático
de los alumnos, por ejemplo, los materiales didácticos. El otro foco es el de los
instrumentos conceptuales que tienen relación con los conceptos y construcciones teóricas
generadas en las investigaciones en Didáctica de la Matemática que permiten comprender y
tratar la realidad, algunos ejemplos que señala son: conocer tipos de problemas y diferentes
estrategias utilizadas por los alumnos.
De este modo, visibilizando la idea de profesor en los párrafos anteriores, podemos decir
que un profesor cuando tiene que enseñar (o mejor hacer aprender a otros) debe
preocuparse de la creación de las condiciones que producirán la apropiación de
conocimientos por parte de los estudiantes (Duoady, 1995).
Alumno
Sujeto que tiene que aprender no solamente saberes de matemáticas, su condición es de
aprendiz o discente como lo de define Bosch et al (2003), es decir, es la persona que recibe
enseñanza o estudios.
D’ Amore et al(2002) define a este polo en el sistema didáctico como la atracción de
referencia genética y psicológica.
Lo anterior nos conduce de inmediato a una dimensión cognitiva: qué aprende y cómo
aprende. Además, en un grupo de alumnos también ha de considerarse la diversidad de los
mismos, en particular la diversidad cognitiva de quienes están aprendiendo.
6.3 Obtención de información
Se diseñaron dos instrumentos para obtener la información y poder analizarla. Uno de ellos
fue un conjunto de preguntas organizadas como cuestionario que llamaremos entrevista
escrita y la otra fue la realización de un taller de reflexión de la práctica pedagógica.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
95
Entrevista escrita
Se creó una entrevista constituida por tres focos. Uno relacionado con la práctica del
profesor, el otro con la justificación de la práctica y finalmente otro sobre elementos
teóricos que permiten justificar dicha práctica.
La práctica del profesor se comprenderá, por una parte, como la metáfora del “profesor
ingeniero” de acuerdo a lo planteado por Duoady(1986), el profesor es quien planea y
ejecuta proyectos de enseñanza- aprendizaje sobre un contenido matemático. En la
aplicación de dichos proyectos hay interacción entre el profesor y los alumnos. El proyecto
evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del
profesor. Por otra parte, es significativo el sentido que da Llinares(2005) a la “práctica
profesional”, quien indica que el profesor hace las tareas profesionales y los instrumentos
que utiliza.
Así, el primer foco de preguntas tiene como propósito reconocer cuáles son las prácticas de
los profesores en relación a repetir clases, qué los motiva a repetirlas y por qué consideran
que se pueden repetir; y si no lo hacen, conocer que les hace no hacerlo. Qué elementos
ponen ellos atención para utilizar sus diseños repetidamente con otros estudiantes. Si ponen
atención en la diferencias de sus alumnos, qué ideas tienen sobre la posible inmovilidad
temática de los conceptos y tareas que se realizan en clase para aprender. Si los contenidos
matemáticos son elementos declarados y establecidos o bien de acuerdo a como trabajan los
estudiantes estos pueden ser dinámicos y es posible identificar ciertos cambios. Si la clase
que se proponen es posible repetirla, de tal manera que los profesores puedan decir que se
logró el objetivo; en otras palabras: qué hace que una clase sea susceptible de repetirse.
El propósito del segundo foco de preguntas fue conocer cuál es la causa de decidir si se
puede repetir una clase, es decir, si esta decisión es en relación al contenido matemático o
bien al contexto escolar o bien al programa de estudios. Las modificaciones que hacen y en
el sentido que las hacen, es decir, si el cambio es en la gestión de la clase o en el contenido.
Si el modelo de clase es el que queda fijo. En qué elementos se fija el docente para repetir
la clase y no modificarla, es decir, puede que nos indique que él siempre hace lo mismo
porque el programa de estudio lo solicita (la institución). Si hay recursos que utiliza en la
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
96
clase y justifica las decisiones de modificación en relación a dichos recursos (textos
escolares, material didáctico). Si el logro didáctico está implícito en la repetición de clases.
El tercer foco tiene la intención de detectar elementos desde la teoría o embriones de teoría
de la didáctica de la matemática que permiten justificar su práctica, como: la forma que
aplica una clase en distintos escenarios, sus causas; los elementos que le permiten “repetir”
la clase en el sentido de permanencia del logro didáctico; Si los docentes hacen alusión a
clases “obsoletas”.
Considerando los aspectos mencionados anteriormente podemos observar la tabla 1 en
donde se muestran las preguntas de acuerdo a los focos.
La práctica del profesor Justificación de la práctica Teoría justificación de la práctica
En relación a su propia práctica y considerando que hace clases a los mismos niveles año a año, responda.
1.1 ¿Usted repite clases de una año para otro? Explique
1.2 Si la respuesta es afirmativa en 1.1 ¿Por qué las repite? Explique.
1.3 Si la respuesta es negativa en 1.1 ¿Por qué no las repite? Explique
Cuando en su práctica tiene dos o más cursos de un mismo nivel
1.4 ¿Prepara una sola clase para todos los niveles? Explique su respuesta e indique por
2.1. En el caso que usted repite una clase ¿Cómo justifica la decisión de repetir
2.2. Al repetir una clase
- ¿Usted realiza alguna modificación? Explique
- ¿Cómo justifica esas modificaciones que realiza? Explique.
2.3. Si no realiza modificaciones al repetir una clase ¿Cuál es su justificación para no modificarla? Explique
Piense en clases que usted ha repetido en dos cursos del mismo nivel.
3.1. ¿Cuáles son las causas fundamentales que lo inducen a la repetición de la clase? Explique
Piense en clases que usted repite año a año.
3.2. ¿Cuáles son las causas fundamentales que lo inducen a la repetición de las clases? Explique
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
97
qué.
1.5 ¿Usted repite clases entre cursos del mismo nivel? ¿Por qué? Explique su respuesta
Tabla 2: Preguntas de la entrevista escrita
Taller de discusión
Este taller se origina a partir del análisis de las respuestas que se realizaron en la entrevista
escrita, puesto que se observó que ciertos tópicos no son mencionados por los docentes, en
especial los relacionados con los contenidos matemáticos.
Las preguntas que se idearon están focalizadas en tres temas que no pudieron ser
visibilizados en la entrevista escrita, estos son: contenido matemático, el uso de recursos
didácticos y la existencia de situaciones de aprendizajes obsoletas.
En la tabla siguiente se presentan las interrogantes:
Contenido Matemático Recursos Didácticos Situaciones de aprendizajes
¿De qué manera influye en la repetición de una clase el contenido matemático?
¿Hay que considerar la parte matemática para la repetición de clases o no?
¿Cómo influyen los textos
escolares en la repetición
de una clase? ¿Y los
recursos didácticos?
¿Hay situaciones de aprendizaje o
actividades de aprendizaje que se
dejan de utilizar? ¿Por qué?
Tabla 3: Preguntas del Taller de Reflexión
Las preguntas para cada uno de los focos tienen vinculación estrecha con los elementos a
considerar al momento de diseñar una clase de matemática. Así, en el contenido
matemático se plantea la significancia que le atribuye el profesor para la repetición de la
clase. El segundo foco se centra en detectar la influencia de ciertos recursos didácticos que
suelen utilizar los docentes en la repetición de la clase. El tercer foco tiene la
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
98
intencionalidad de percibir si los docentes tienen en su bagaje profesional la idea de
situaciones obsoletas y cuáles son sus causas para dejar de usarlas.
6.4 Análisis de la información obtenida en la entrevista escrita
Para analizar la información escrita que dieron los profesores en la entrevista, se
caracterizaron cinco categorías. Dichas categorías obedecen a la referencia teórica que
corresponde a los componentes del sistema didáctico y a la reproducibilidad interna y
externa mencionada en el marco teórico de la investigación.
De este modo se definió cada uno de la categoría de la siguiente manera:
• El contenido matemático: tal como se ha señalado en el marco de referencia es el
saber matemático que sufre transformaciones para ser enseñado. Se considera su
dimensión epistemológica, por lo cual, en el análisis se tenía la intención de detectar
si el profesor reconocía la complejidad del contenido matemático para “repetir
clases”.
• El profesor: es considerado como profesional que tiene adquirido en su bagaje
instrumentos técnicos, conceptuales y experiencia para diseñar clases. Además de
tener en vista que es un aspecto relevante, la transposición didáctica del saber puro
al saber enseñado.
• El alumno: quien aprende el contenido matemático, por lo cual es el polo que tiene
estrecha relación con la cognición.
• Elementos externos de reproducibilidad: visibles a través de instrumentos
técnicos del profesor de matemáticas como: planificación de la unidad de
aprendizaje, plan de clases, recursos didácticos.
• Elementos internos de reproducibilidad: visibles a través de la evaluación del
logro didáctico y de la diversidad en el aula del ámbito cognitivo de los alumnos.
Enseguida se ordenó la información en una tabla de doble entrada, constituida por las
respuestas de los profesores considerando cada uno de los focos que se definieron al diseñar
la entrevista.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
99
Análisis del Foco 1: La práctica del profesor
Las preguntas que se hicieron en este foco están relacionadas con la repetición de clases, las
respuestas a las preguntas son: Un profesor responde que sí repite clases; dos profesores
señalan, a veces y cuatro indican que no repiten clases.
Sus respuestas se muestran en la tabla 4 de acuerdo a la categorización que se realizó
anteriormente. Considerar P (profesor encuestado); S (Sí); N (No) y AV (A veces).
P S/N Contenido matemático
Profesor Alumno Elementos externos
Reproducibilidad
Elementos internos
Reproducibilidad
1 S
Se entregan los mismos contenidos.
El grupo el contexto diferencias de un grupo a otro
Cambio de planificación
Correspondencia clase –texto.
Cambio de orden temático para verlo con suficiente tiempo.
2 AV Experiencia.
Me han asignado cursos diferentes cada año.
Buen resultado
3 AV Falencias de los años anteriores
Lograr que aquellos alumnos que son capaces aún más puede ejercitar y comprender todavía mucho mejor
Fortalecer
Cuando me queda material de un año para otro.
Preparo un curso por nivel
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
100
que antes.
4 N Los contenidos no sufren variaciones considerables
Práctica personal
Contexto de los alumnos
No repito idénticamente
Modificar la planificación y la presentación de las actividades.
Modifica lo que no resulta bien.
5 N No es la misma planificación inicial
Pasaba de un año para otro con el curso
Nivel de los alumnos
Misma planificación se adecuan las actividades y contenidos.
No porque no hay cursos paralelos.
6 N Cada grupo es diferente.
Contextualizando a la realidad del nuevo curso
En mi colegio existe un curso por nivel.
Tomar de lo anterior aquello que me dio buen resultado de aprendizajes
7 N La clase en sí misma no es la misma.
Reflexión pedagógica permanente te permite identificar aquellas cosas que puedes volver a utilizar y aquellas que no debes
Se ajusta las necesidades de cada curso.
Generalmente lo que utilizó año a año son las metodologías.
Metodología resulta apropiada vuelvo a utilizarla.
Sólo tengo un curso por nivel.
Mejorando aquellos aspectos susceptibles
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
101
Tabla 4: Respuest
as de docentes “Práctic
a del profesor”
El
Profesor (1) que responde que sí repite sus clases, manifiesta que el contenido no cambia.
Lo que varía el contexto (alumnos), su intensidad de respuesta es que cambia los factores
externos de la reproducibilidad.
Los dos profesores (2) y (3) que señalan que a veces repiten clases. Uno de ellos responde
que no tiene experiencia en hacer clases en cursos paralelos del mismo nivel, pero si se
repite la clase es por el buen resultado, es decir, su intensidad en relación a la repitencia de
clases se ubica en el polo alumno del sistema didáctico. El otro profesor se refiere a que
repite clases cuando le queda material del año anterior o bien para fortalecer y lograr
aprendizajes, en este caso también se focaliza la repitencia de clases en el polo alumno.
Las respuestas de los profesores (4), (5), (6) y (7), indican que no repiten clases y las
explicaciones del por qué no lo hacen, se ubican con mayor intensidad en los elementos de
la reproducibilidad externa. Con menor intensidad señalan al polo alumno y polo profesor,
en relación al saber no es explícito y lo mencionan débilmente.
Se observa que el polo “conocimiento matemático” no es señalado por la mayoría de los
profesores en forma explícita como un componente en la repetición de clases.
Foco 2: “Justificación de la práctica”
seguir utilizando.
de ser mejorados.
P Contenido Profesor Alumno Elementos Elementos
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
102
matemático externos
Reproducibilidad
internos
Reproducibilidad
3 Lograr aprendizajes
Lograr comprender el contenido
Buscar nuevas estrategias.
Justifico realizando una retroalimentación de la clase anterior y pensando en otras metodologías.
No se cumplió el objetivo de la clase.
Tengo que volver a reformular
Cambio la actividad por una más sencilla y se las explico paso a paso.
4 No es conveniente repetir clases.
Tanto como repetir una clase al pie de la letra no.
Dominio más rápido de la habilidad.
Contexto de los alumnos.
Si bien son similares estas sufren modificaciones por varias causales.
Es posible modificar en base a la experiencia obtenidas en las clases
5 No es la misma planificación sino que se enriquece la clase.
No he tenido la oportunidad de repetir la misma clase.
Nivel de los alumnos, sus dificultades y fortalezas.
Considero la planificación pero la adecuo.
Sólo tomo elementos de esa clase que me puedan servir
6
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
103
Tabla 5: Respuesta de los docentes “Justificación de la práctica”
En el caso que usted repite una clase ¿Cómo justifica la decisión de repetir dicha clase?
Explique. Al repetir una clase ¿Usted realiza alguna modificación? Explique. ¿Cómo
justifica esas modificaciones que realiza? Explique
De los siete profesores, dos de ellos no responden; pues señalan no tener experiencia para
repetir clases de un año a otro, tienen pocos años de servicio y cada año les han asignado
niveles diferentes.
Los 5 profesores restantes justifican los cambios que pueden hacer a una clase cuando se
repite con mayor intensidad en la categoría de reproducibilidad externa, enseguida
mencionan los elementos de reproducibilidad interna y como tercer foco al polo alumno del
sistema didáctico. El polo profesor y el polo saber del sistema didáctico no es declarado con
intensidad en las respuestas de los profesores.
Foco 3: Justificación de la práctica (Teoría)
Piense en clases que usted ha repetido en dos cursos del mismo nivel.
¿Cuáles son las causas fundamentales que lo inducen a la repetición de la clase? Explique.
7 Existen situaciones en que las clases te resultan espectaculares y otras no tanto
Reflexión pedagógica
Participación de los alumnos.
Conocimientos previos.
Grupo humano que tienes año tras año, respetando sus procesos y necesidades
Metodologías utilizadas.
Decisiones que debes tomar pues va a depender de las variables que hicieron que esa clase fuera extraordinaria o fuera más débil.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
104
Piense en clases que usted repite año a año. ¿Cuáles son las causas fundamentales que lo
inducen a la repetición de las clases? Explique.
En la tabla 6 se muestran las respuestas de los profesores para este foco:
P Contenido matemático
Profesor Alumno Elementos externos
Reproducibilidad
Elementos internos
Reproducibilidad
2 No he tenido la oportunidad ya me han asignado sólo cursos diferentes.
3 Cada año son distintos alumnos y uno puede pensar que se logran los objetivos.
Implementado las mismas metodologías
Por lo resultados obtenidos anteriormente con los alumnos de años anteriores.
4 No he tenido la posibilidad de realizar clases en cursos del mismo nivel
Me imagino el logro de los objetivos planteados para las clases es lo que permite replantear las clases con pocas modificaciones.
5 No tengo dos cursos del mismo nivel
6 No repito clases, sólo tomo elementos que me permiten obtener aprendizajes esperados
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
105
Tabla 6: Respuestas de docentes “Justificación de la práctica (Teoría)”
De los siete profesores encuestados, uno de ellos no responde pues señala que no tiene la
experiencia de repetir clases año a año y tampoco ha tenido dos cursos del mismo nivel
paralelamente.
De los seis profesores restantes, cuatro de ellos señalan no tener la experiencia de hacer
clases en cursos del mismo nivel en forma paralela. Sin embargo, se observa que la
reproducibilidad externa es la fundamentación para repetir clases. La focalizan en el logro
didáctico de la clase.
Cabe hacer notar que el polo contenido matemático no lo menciona como fundamentación
para repetir clases y para realizar las modificaciones.
Conclusión
A partir de las respuestas de los docentes se concluye que para los profesores en servicio, y
que año tras año tienen que “repetir clases”, la repetición de clases en forma exacta no es
posible. Es decir, repiten clases pero con modificaciones. Dichas modificaciones apuntan a
cómo aprenden los estudiantes, la diversidad y procesos distintos de aprendizajes (lo
cognitivo).
La base de estas modificaciones está centrada en el contexto de los grupos cursos
(diversidad de aprendizajes, conocimientos previos de los estudiantes, buen resultado de
aprendizaje o mal resultado). Sus cambios los realizan en la planificación y en las
actividades propuestas. Es decir, hay elementos que necesariamente cambian al repetir una
clase y esos corresponden a los de la reproducibilidad externa, a saber: diseño de
planificación de la clase, recursos metodológicos de enseñanza.
7 No realizo clases en 2 cursos del mismo nivel.
La reflexión que da la directriz seguir
La causa fundamental es el cumplimiento de los objetivos propuestos
.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
106
Si hacemos una triangulación con el sistema didáctico: profesor, alumno y saber; el foco de
los cambios está en el alumno y en las interacciones que percibe el alumno, en el contenido
matemático. No se detecta la conexión profesor - contenido matemático. Para repetir una
clase, el profesor necesita de la experiencia (años de servicio); de modo que pueda
reconocer las metodologías que le dan resultados (logro didáctico). Por otra parte, el
profesor se tiene que adecuar año a año a distintos contextos, por tanto la repetición de
clases está condicionada por las realidades personales y los niveles de cognición de sus
alumnos.
El hallazgo más significativo que podemos señalar, a partir de este estudio, es que para
estos docentes el contenido queda estable o mejor dicho inamovible. Es decir, cuando
piensan en repetición de clases no están pensando en el logro didáctico derivado del saber
matemático a enseñar. Tampoco se detecta que los profesores señalen al contenido
matemático como un componente que en ocasiones puede presentar dificultades en su
enseñanza, en términos didácticos no se refieren a las dificultades epistemológicas de un
saber puro para hacerlo enseñable; ni siquiera se puede observar un embrión de
cuestionamiento a la matemática en relación a la justificación de su práctica.
Se observa que no hacen mención del programa de estudio, textos escolares y recursos
didácticos cuando repiten clases tampoco explican cómo éstos influyen en la decisión de
repetir una clase.
La idea de que no se repite una clase en forma exacta, coincide con las investigaciones
sobre reproducibilidad. Artigue (1986), al realizar su estudio, concluye que su modelo no le
permite evidenciar la reproducibilidad como tal y en sus conclusiones plantea interrogantes
que orientan la reflexión en la dirección a dos subsistemas del sistema didáctico: los
constituidos por el profesor y los constituidos por el alumno.
A continuación, exponemos el análisis de las respuestas de los profesores en el taller de
discusión.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
107
6.5 Análisis de la información obtenida a través del taller de discusión
Este taller corresponde a la discusión generada para observar algunas ideas sobre la influencia del contenido matemático, recursos didácticos y situaciones de aprendizajes en la repetición de clases.
Por tanto, los tres focos que se han determinado para analizar la información son: el
contenido matemático, recursos didácticos y situaciones de aprendizaje. Se idearon
preguntas para instalar la discusión en el taller, sin embargo el método utilizado permitió
formular otras preguntas que tenían relación con los tres focos para así facilitar el diálogo
entre los participantes.
El análisis se basará en las respuestas que expresaron los profesores, las cuales se extraen
del taller de discusión en relación a cada uno de los focos. Es importante señalar que las
respuestas que se muestran en cada una de las tablas son de distintos profesores que
participaron en el taller.
Foco 1 : Contenido Matemático
¿De qué manera influye en la repetición de una clase el contenido matemático?
Romina: “lo que es en la repetición de clase, el aprendizaje o el contenido, yo lo veo que eso va a quedar como es lo inmutable es lo que no se va a modificar, lo que se modifica son las actividades o las metodologías, o desde cómo voy a empezar digamos, si voy a adaptar esa nueva clase, o si pensando en que si voy a ocupar esa misma planificación y después la aplico de nuevo, quizá voy a adaptar actividades o metodologías o el material concreto, pero el contenido va a ser el mismo si estoy trabajando un mismo aprendizaje, no sé yo lo veo así” “el contenido como dice Romina es inmutable”
“Yo creo que como dice Romina los contenidos ya están, los contenidos no cambian, los elementos de la clase anterior se pueden tomar como base para poder armar otra clase en base a lo mismo, mejorar un poco más, cambiar algunos elementos que la clase anterior no funcionaron, realizar actividades paralelas o similares a las que ya se hicieron en base a la misma clase que ya se hizo. “Que también nos podemos dar cuenta de los aprendizajes previos que debieran conocer para la realización de la clase, o sea si nos damos cuenta que había una falencia en tal tema para llegar a la solución de lo nuevo, ya saber con anterioridad como abordar cuando tenga de nuevo que pasar ese contenido”
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
108
Tabla 7: Respuestas de los profesores Foco 1
“Claro y quizá ahí, podría cambiar un poco el objeto, el contenido matemático porque si el curso está muy desfasado, digamos o tiene conocimientos previos errados, tendremos que bajar ir desde el inicio y ahí puede cambiar contenido para llegar igual al final a lo que quiero lograr, pero voy a tener que considerar otros contenidos que son primarios o que están antes”
“También, si están más adelantados van a tener que pasar a otro contenido que es más complejo, quizás” “los contenidos no se modifican, el contenido siempre es el mismo, podrían modificarse los procedimientos que se emplean para entregar ese contenido”
¿Hay que considerar la parte matemática para la repetición de clases o no? “Sí”
“Sí, eso siempre es primordial” “Yo les voy a explicar potencias, les voy a pasar potencia, y las potencias no las puedo pasar de otra manera que no sea la base y el exponente, puedo explicarla, contextualizar distinto, dar ejemplo, buscar de manera concreta, de manera visual, hacerles una canción, la forma como yo la entrego, pero la potencia no la voy a modificar, porque la potencia ya es la base y el exponente y se repite tantas veces como…” “El contenido en ese sentido es potencia, y la forma cómo yo la entregue quizás va a depender en relación si repito la clase, las cosas que ya, como dije anteriormente, me han interiorizado los niños, los errores frecuentes, voy a ver el contexto del grupo si están adelantado, aventajado o han descendido, pero las potencias van a seguir siendo las potencias” “Los conceptos, yo creo que primero los conceptos, las propiedades si hay propiedades, todo lo que tenga que ver con lo que es definiciones” “O sea los conceptos, las definiciones, las propiedades eso tú dices que no cambia” “Pero el contenido no cambia” “Y esos elementos generalmente son los conceptos, propiedades” “definiciones”
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
109
Foco 2: Situaciones de Aprendizajes
¿Hay situaciones de aprendizaje o actividades de aprendizajes que ustedes dejan de utilizar?
“Sí, yo creo que sí” “O sea que uno las usó y se dio cuenta que no, ¡ah sí!.”
“Puede ser que porque para cierto grupo de, como los mismos grupos no son iguales, a veces para un grupo me va a ser servir y para otro grupo no me va a servir, entonces no la utilizo” “O hay cosas que ya se desechan, ponte tú cuando los niños, las tablas de multiplicar, era 3 por 1 es 3, 3 por 2 es 6, yo pienso que antiguamente se hacía mucho y ahora ya no se hace porque todo el mundo o lo descubre con pelotitas o lo construye, pero yo creo que nadie repite en una sala de clase las tablas de multiplicar, por poner un ejemplo absurdo, pero yo creo que hay contenidos que van cambiando o sea en la forma de entrega” “Ya están obsoletas” “Por ejemplo lo que dice Isidora de las tablas, yo con los chiquillos trabajo en el gobierno de Canaria hay una parte que se llama cálculo mental, entonces te salen las tablas igual solamente que con tiempo y va saliendo la imagen, y van los chiquillos diciendo 8, 6, y van repitiendo, pero ya más entretenido, más lúdico, tiene puntaje, tiene tiempo, lo hacemos por fila, entonces es una nueva forma de abordar y sigue siendo lo mismo: las tablas de multiplicar” ¿Por qué se deja de usar?, ¿por qué se vuelve obsoleto? “Porque se descubre que hay otra manera, yo pienso que también es por etapas, cuando ya el conductismo pasamos al constructivismo, ahora ya nadie lo haría. Aunque obviamente uno todavía tiene cosas, se combina pero se trata que todo sea por construcción, por descubrirlo” “O porque provoque el impacto que uno quiere también” “ah que, los alumnos se sientan con ganas de aprender, o sea que estén todos participando y que logre el aprendizaje, que el aprendizaje sea significativo” A lo mejor puede ser que uno antes decía ya: 3 por 1 es tres, entonces ahora el niño tiene que descubrir 3 por una ¿Cuánto es? “Sabe que yo, quería ver más que nada lo que pasa en la escuela ¿ya? Quizás nosotros, en este momento acá estamos hablando de que el alumno descubra, porque empezamos a tener una visión más amplia de lo que es la Educación, incluso en nuevo Currículo que tenemos, tenemos más exigencia y por el hecho de estar en un Post-título tengamos esa mirada más amplia. Pero, veo que la escuela todavía, me refiero a profesores que llevan quizás años trabajando, trabajan bajo las mismas metodologías y los mismos conceptos y la misma forma de trabajar, incluso ni
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
110
siquiera a lo mejor miran el currículo para ver cuál es la propuesta nueva que viene o nuevas exigencias, sino que por cumplir, ya se hace que clases sea tan monótona o repetitiva, pero quizás por un tema de o no se están perfeccionando, pero hay mucho quizás de la práctica, de la realidad educativa que todavía podemos ver que no hay cambios. Los profesores siguen manteniendo sus propias formas de trabajar, sus propios paradigmas de la educación” “Yo creo que eso se va a mantener, en el sentido que están los conductos teóricos, yo creo que todos los profesores lo dominan, que hay que ser constructivista y todo eso, el problema es que la operacionalización de ese conducto no están hechas, entonces uno puede decir y decir muchas cosas y características de una clase contractiva, pero no sabe cómo hacerlo, porque en ninguna parte se dice cómo, o se habla de una especie de pauta, mire se puede usar esto o lo otro, y uno trata de hacer lo que se imagina o lo que de cierta manera entiende por la teoría que está leyendo, pero nadie, no sé si será el caso de otra escuela, pero particularmente la nuestra, no se da eso. Entonces los profesores, incluyéndome, hacemos lo que sabemos hacer, de cierta manera, entonces nosotros podemos saber que se tienen que hacer clases constructivistas pero no sabemos sintetizar ese conducto si hacemos lo anterior, sabemos hacer lo que nos hicieron a nosotros, entonces por experiencia nosotros sabemos. “Lo que pasa es que uno también va mejorando, el tema del perfeccionamiento, si yo siempre lo hice de tal manera, y ahora encontré otra estrategia, otra forma de hacerlo, voy a empezar a adoptar la nueva y voy a dejar la otra atrás , si esta nueva me da mejores resultados y es para los niños de hoy, porque los niños de hoy son distintos a los niños de antes; entonces si yo encontré ahora un video chistoso que habla de un tema matemático, y eso llega más que estar haciendo una guía, me voy a cambiar por el video” “Es que por ejemplo, del año pasado a este año, entendía los números enteros de una manera, el contenido matemático es los números enteros, entonces este año vimos la construcción de los números enteros y la construcción de ese contenido significó la utilización de nuevas estrategias para poder enseñar ese contenido…”
Tabla 8: Respuestas de profesores Foco 2
En relación a las situaciones de aprendizaje, reconocen que hay actividades y situaciones
que son obsoletas. Se dejan de usar para dar paso a la innovación y, por sobre todo, en pos
de mejorar para que produzcan efectos en sus alumnos en relación al impacto o bien al
aprendizaje que pueda provocar.
Se observa, además, que el cuestionamiento que ellos están realizando tal vez sea porque
están en curso de formación continua, pues señalan que se observan profesores que no
cambian ni en sus metodologías ni tampoco en sus modelos de enseñanza.
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
111
Foco 3: Recursos Didácticos
Los textos escolares, ¿Influyen en la repetición de una clase? “O sea los textos ahora están hace como cuatro años el mismo texto” “No tomarlo en cuenta muchas veces” “Porque si uno quiere innovar, no hay que tomarlo mucho en cuenta, porque son repetitivos los textos” “La innovación va en uno, porque el texto recién lo está descubriendo el niño, o sea no es el mismo niño que trabaja con el mismo texto, son diferentes grupos” “Yo lo utilizo, pero voy agregando, digamos más material a esa clase, porque he visto que en algunas unidades o algunos contenidos vienen como, digamos por tratamiento de la unidad o por tratamiento del contenido, es muy poco el ejercicio que viene en el libro, entonces uno agrega más actividades, mas guías o actividades más lúdicas para abordar esa misma” “A mí me pasó algo más distinto porque en la parte que empezamos con álgebra, entonces en el libro salía al tiro lo que era lenguaje algebraico” “Y ecuaciones algebraicas, al tiro, así explícito, entonces yo tuve que plantearme como dos o tres clases anteriores de introducir al niño de qué se trataba, qué significaba, para después poder plantear lo que decía el libro” “O sea, me van a entregar el mismo libro al año siguiente y yo habré leído y voy a tener que pensar que buscar las mismas estrategias que busque el año para poder aplicar eso, que ellos en quinto básico no tienen idea que es x, y, z o a, b, c y que hay que remplazar valores, inmediatamente viene con valores” Si usan un recurso didáctico para hacer una clase y ustedes vuelven a repetir una clase, ¿qué pasa con ese recurso didáctico? “Al resultado” “A que si hubo aprendizaje” “No sólo si hubo aprendizaje, sino también de la motivación, por ejemplo, puedo ver un video que no había descubierto antes que es de Poncho y Troncho, que es muy del lenguaje de los niños y de lo que ellos hacen y yo lo lleve y en el séptimo, en las potencias, y les encantó, quedaron fascinados, y después lo buscaron ellos y lo bajaron, y yo pienso que ese recurso lo volvería a usar en otro séptimo”
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
112
“Sí, se motivaron y a raíz de eso, conseguí que se interesen en los contenidos y no es algo que estén así: Ah, otra vez, que lata; y eso también influye, yo no sé si en esa clase logré tanto aprendizaje pero sí motivación y me sirvió para la clase siguiente, de hecho ellos lo recuerdan todo el tiempo” “Un poco lo que hablaba hace un rato, ya que muchos profesores todavía siguen con esa lógica de repetición de clases, ni siquiera hay una reflexión” “Y aparte de que los niños de ahora son más activos, por ejemplo yo llevé el Geogebra para geometría que me ha servido un montón, y había cosas que yo claro llevábamos una clase y había descubierto ciertas cosas que me sirvieron para trazar segmentos y todos los conceptos que necesitaba, y de repente, pero profe si yo apretó aquí y acá me sale esto otro, o sea ellos van un paso antes que nosotros, porque no tienen temor, y como ahora está todo con la tecnología, el internet y todo, entonces uno tiene que ir a la par de ellos, o sea uno no se puede ir quedando a cómo eran las clases antes, el profesor adelante y 10 ejercicios y eso era toda la clase” ¿Cómo influye en una repetición de la clase el currículo y los programas de estudio o no influyen? “Sí, si influyen” “Pero hay que considerar, como la pregunta dice el currículum también, o sea si me están pidiendo que cumpla ciertos puntos y después vienen cambios curriculares son otras cosas que quiero conseguir, son otros objetivos”
Tabla 9: Respuestas de los profesores Foco 3
En relación a los textos escolares no se percibe explícitamente si lo usan o no para hacer
sus clases. Señalan que los textos no varían y que ellos son los que tienen que agregar en
algunos casos ciertas situaciones de aprendizaje o bien ejercicios para complementar lo que
el texto presenta. Con mayor intensidad se refieren a que, teniendo el texto, ellos
complementan con otras actividades pero no se logra percibir explícitamente si influye en
la repetición de una clase. Se evidencia la trasposición que realiza el profesor para adaptar
el contenido a su propio contexto de enseñanza. Toman decisiones de transformar
actividades para extrapolarlas a los aprendizajes de sus estudiantes, es decir, la
reproducibilidad de situaciones las realizan pero con ciertas modificaciones.
Lo que sí consideran al repetir una clase es el recurso didáctico, esto obedece al resultado
en términos de aprendizaje o también a lo motivador que puede ser para el estudiante. Los
profesores aplican recursos didácticos, como el geogebra, para desarrollar sus clases y los
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
113
los consideran al repetirlas porque observan que sus estudiantes se muestran motivados y se
involucran con recursos de esta naturaleza.
Un tema que no se pensó cuando se idearon los focos para realizar el taller fue en relación
al currículo y programas de estudio y su influencia en el momento de repetir una clase. Sin
embargo, al momento de hacer la pregunta no se percibe una intensidad en las respuestas,
señalando como un elemento que si tiene inferencia en la repetición de clases.
6.6 Conclusión
A partir del análisis de la entrevista escrita y el taller de discusión se puede concluir que:
- Los profesores que participan en este estudio manifiestan que la repetición de clase
no es posible en forma exacta, es decir, repetir tal cual de un curso a otro o de un
año a otro. Siempre va a tener variaciones la clase que se repite.
- Las variaciones que realizan están focalizadas en elementos externos de la
reproducibilidad como: planificación de la unidad de aprendizaje, planes de clases,
actividades de aprendizaje, recursos didácticos.
- Realizan modificaciones a las clases que repiten y estas se fundamentan en los
elementos internos de la reproducibilidad como: logro de aprendizaje de los
contenidos matemáticos y el contexto de la enseñanza. Es decir, de la diversidad de
aprendizajes que pueden detectarse en el curso que están realizando clases.
- El contenido matemático no influye en la repetición de la clase, pues para ellos éste
no varía, siempre es el mismo.
- Para los profesores encuestados el texto escolar que la institución entrega para que
el estudiante lo pueda usar es el mismo por varios años, por lo cual ellos
complementan con actividades para poder innovar o bien poder fortalecer algunos
temas.
- El currículo no es un elemento que lo hacen visible para repetir clases. Lo
consideran, pero no se percibe que cumple alguna función en relación a repetir una
clase.
También, podemos señalar que la repetición de clases y sus causas están situadas en dos
subsistemas del sistema didáctico y que ellos consideran que son dinámicos –polo alumno-
Capítulo 6 Ideas intuitivas sobre el constructo reproducibilidad
114
y - polo profesor-. En estricto rigor, el profesor es quien toma decisiones en pos de los
aprendizajes que logran sus alumnos y como año a año los contextos son distintos
necesariamente hay dinamismo en este ámbito.
En el siguiente capítulo se presenta el análisis de los talleres de reflexión. Estos talleres se
realizaron en el marco del Estudio de Clases y corresponden a la fase 1 de esta
metodología.
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
115
CAPÍTULO 7
Análisis de talleres de reflexión
Fase1: Estudio de Clases
Introducción
El grupo de trabajo lo conforman tres profesores que están realizando un curso de
especialización en matemática, liderado por una académica. Dicho grupo tiene la tarea de
diseñar una clase basada en resolución de problemas, es decir, proponer un problema a sus
alumnos en el sentido de que sea una actividad de indagación y los estudiantes puedan
plantear estrategias de resolución. En esta primera etapa de la metodología de Estudio de
Clases se discute sobre el contenido matemático, posteriormente se diseñan las situaciones
de aprendizajes, se determinan los recursos de aprendizajes y se plasman en un plan de
clase. El plan de clases es la organización de los tiempos y de las actividades que se
plantearán a los alumnos.
Los análisis de los talleres de la fase 1 del Estudio de Clases se ubican desde el capítulo 7
hasta el capítulo 9. A partir de estos talleres, y de las situaciones de aprendizaje que
diseñaron los profesores del grupo de seguimiento, vamos a identificar una praxeología en
relación a una actividad que realizaron los docentes. Esta actividad consistió en diseñar una
clase del teorema de Pitágoras para alumnos de 13-14 años (Nivel 7º Básico).
7.1 Identificación de la Tarea y la Técnica asociada
Considerando como referente a Chevallard(1999) vamos a identificar una tarea específica
que este grupo de docentes tiene que realizar y es:
Tarea 1: diseñar una clase para estudiantes de 13-14 años sobre el teorema de Pitágoras,
basada en resolución de problema.
Dado el marco institucional en donde se ubica la investigación, y en el contexto de un
programa de formación continua (programa de postítulo), la Técnica es aplicar la
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
116
metodología de Estudio de Clase en su primera fase, es decir, discutir sobre el contenido
matemático para diseñar situaciones de aprendizajes y organizarlas en un plan de clases
(Tiempo didáctico). La discusión del contenido matemático se inicia desde las
concepciones que tienen los docentes sobre el teorema de Pitágoras y su contrastación con
un referente teórico matemático. Enseguida, en base a ese contenido, los profesores diseñan
situaciones de aprendizaje con el fin de alcanzar un logro didáctico relacionado con el
teorema de Pitágoras.
Frente a la técnica que está dada, se analizarán las discusiones de los profesores sobre el
tema matemático para poder establecer un discurso tecnológico de dicha técnica.
7.2 Análisis taller 1: Discusión del contenido matemático
Descripción del taller 1: Este taller consistió en discutir sobre el contenido matemático
correspondiente al Teorema de Pitágoras, pues esta reflexión surge al plantear la tarea a los
docentes de diseñar situaciones de aprendizajes para estudiantes de 13-14 años. Para iniciar
la discusión se pregunta ¿Qué es para ustedes el teorema de Pitágoras?
Es posible detectar en las respuestas de los profesores frente a la pregunta una praxeología.
Así, se revela que los profesores reconocen el teorema de Pitágoras como una técnica para
encontrar la longitud de los catetos o la hipotenusa en un triángulo rectángulo. El hecho de
decir técnica se relaciona con que los docentes no se refieren al teorema en sí, sino que de
inmediato surgen dos palabras claves asociadas al objeto matemático: fórmula y medida.
Esto se detecta a partir del siguiente episodio
P4: Yo sé que los catetos son los lados que están al lado del ángulo recto, está el ángulo recto ¿cierto? y esos dos lados se llaman catetos, y el otro lado, digamos contrario (junto con P3) es la hipotenusa, y la hipotenusa se puede descubrir, digamos hay una fórmula que es la suma de los catetos al cuadrado, se puede descubrir la hipotenusa. P1: la medida P4: La construcción de la medida de los catetos P7: Sí, porque es la construcción de P1: La construcción de la medida de los catetos
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
117
A partir de este mismo episodio es posible identificar un tipo de tarea: calcular la medida
de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
Además, distinguen la fórmula y escriben (en un comienzo de la discusión) h = a2 + b2,
donde h representa la longitud de la hipotenusa y a, b corresponde a las longitudes de los
catetos. Posteriormente, corrigen dicha fórmula y escriben h2 =a2+b2, también identifican
que para dicha fórmula hay una condición. Es decir, h2 =a2+b2 en un triángulo rectángulo
siendo a, b la longitudes de los catetos y h la longitud de la hipotenusa. Se detecta que no
hay alusión a la hipótesis y tesis del teorema. Estas observaciones se desprenden del
siguiente episodio:
P4: Claro, esos son los catetos al cuadrado, que están al lado del ángulo recto P4: ¿Lo dibujo?, el triángulo rectángulo P7: es solamente, se da en el triángulo rectángulo, si, sólo en el triángulo rectángulo P4: solo en el triángulo rectángulo, seria cateto, cateto e hipotenusa, ósea seria el lado a, el lado b, a y b serían los catetos, y este lado sería la hipotenusa, no sé qué más. P7: Podría acotar, no sé ¿Puedo acotar? P4: Acá se genera un cuadrado, y acá también – haciendo referencia a su dibujo- P7: Sí, eso, también lo puede hacer con cuadraditos
También, visualizan el teorema de Pitágoras mediante la figura 9. Así, es posible
determinar que tienen la noción del teorema a través de registro algebraico y visual.
Figura 9: Representación del teorema de Pitágoras dadas por los docentes.
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
118
De los episodios que se exponen en la primera parte, podemos identificar:
Tipo de tarea: calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Técnica: relacionar el teorema de Pitágoras con fórmula y medida.
La justificación del teorema de Pitágoras, o mejor dicho el convencimiento de la relación
que se expone en el teorema de Pitágoras, es realizado en forma pragmática; relacionando
la fórmula expresada con las áreas de los cuadrados que se trazan sobre los catetos y la
hipotenusa. Esta idea se desprende del siguiente diálogo.
P7: Y la otra te falta, porque la suma de esos dos catetos, te da la hipotenusa, pero la hipotenusa al cuadrado. P4: Ahí, ahí está al cuadrado P4: Ah! Dijiste que esa fórmula se fundamenta con los cuadrados P1: Claro, el hecho de dibujar los cuadrados en cada lado para fundamentar la fórmula P5: Estaba viendo que le faltó un cuadrado a la h P7: Sí, yo también estaba viendo eso P4: Ah!, anda a colocarlo P5: Ah! Porque ahí está al cuadrado, h2=a2+b2, se supone que la suma de las dos áreas es igual a la suma de la área de la otra
En estos episodios es posible señalar que los docentes identifican el teorema y lo asocian a
la técnica mediante una fórmula, la cual justifican mediante los dibujos de los cuadrados
trazados sobre los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Además, el teorema en
una primera versión lo relacionan sólo con las longitudes de los catetos y la hipotenusa.
Posteriormente, hacen alusión en su versión geométrica, es decir, relacionarlo con las áreas
de los cuadrados trazados sobre los catetos y la hipotenusa.
No hay indicios de que comprendan lo que significa un teorema, sino sólo de su
reconocimiento a partir del nombre del mismo y de la presencia de una hipótesis y de una
tesis. Frente a esto, la académica pregunta ¿por qué es un teorema? La respuesta a dicha
cuestión es diluida, pues conectan el concepto a palabras como “axiomas, teoría,
principios”. Además, lo relacionan con una proposición demostrable. En relación a su
significado, algunos ponen en dudas sus aseveraciones. Lo anterior se observa en el
siguiente diálogo:
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
119
P4: Claro, hay axiomas, P7: Porque se estudia antes de llegar a eso P4: Principio P4: Una teoría que se construye a partir de varios axiomas, puede ser demostrable. P7: ¿Esa es una teoría o no? P7: Esa es una teoría P4: Mmm.., ¿Es una teoría o puede ser un conjunto de teorías, porque los teoremas son más grandes? P4: Qué se construye a partir de principios o axiomas P4: La teoría es más amplia que el teorema ¿o no? O el conjunto de principios o axiomas que forman un teorema, ¿no?
Otra pregunta que hace la académica es ¿qué otra característica tiene un teorema?, las
respuestas de los profesores, nuevamente, son ambiguas y ponen en duda sus respuestas.
Sin embargo, es posible detectar que tienen la idea de que un teorema se demuestra y que
son diferentes a los axiomas. Esto se observa a continuación:
P1: Vienen axioma, teorema y después la teoría P2: Podría ser ¿Qué se demuestra? P4: Pero los axiomas son principios P1: Los axiomas son como definiciones, son la base de los teoremas. P4: Son principios P7: Los teoremas no son los axiomas
Así, es posible percibir que no reconocen una tecnología en el teorema de Pitágoras, puesto
que no tienen claro qué es un teorema en matemáticas.
También es posible observar que los profesores hacen uso de teoremas, pero no los
reconocen. Identifican el “teorema de Pitágoras” que está en forma explícita la palabra
teorema. La duda que ha generado la discusión sobre lo que es un teorema conduce a que
una profesora revise un texto de matemática escolar y lea lo que dice en relación al teorema
de Pitágoras. Esto nos permite inferir el rol que juega el texto escolar en los conocimientos
de los docentes, pues lo que lee esta profesora lo aceptan como verdadero y validan las
ideas que ellos tienen. No cuestionan lo que dicen en el texto escolar sino que lo admiten
como verdadero y parte de la teoría.
P7: Claro como el teorema de Pitágoras
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
120
P3: O sea, la fórmula está ahí o sea donde están, las propiedades, los axiomas, donde están, no lo sé, porque para mí es h2=a2+b2 P4: Yo lo que sé, es que si sabiendo en algunos ejercicios, te dan digamos, la medida de la hipotenusa y uno de los otros dos catetos, la fórmula es restando. P2: Tú puedes sacar el otro valor que ese es la fórmula para. P1: No, estamos súper bien, ¿puedo leer? porque dice, como ya tú sabes el triángulo rectángulo se caracteriza porque uno de sus ángulos mide 90 grados, además sus lados se llaman de forma especial, sus lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, el lado opuesto mayor al ángulo recto hipotenusa. Este triángulo ha sido objeto de estudio matemático de todos los tiempos y en todo el mundo, es así como se atribuye a Pitágoras una propiedad que relaciona la medida de los lados de este triángulo, que es el teorema de Pitágoras, que establece que la suma de los cuadrados de la medida de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.
Para comprobar la relación numérica entre los cuadrados de las medidas de los catetos y el
cuadrado de la medida de la hipotenusa se dan ejemplos, es decir, dan medidas a los lados
del triángulo rectángulo y a su vez perciben levemente que hay dos versiones del teorema.
Una basada en la relación numérica y la otra basada en las áreas de los cuadrados trazados
sobre los catetos y la hipotenusa.
Conclusión de este análisis: es posible distinguir en la discusión del tema matemático una
praxeología en las discusiones de los profesores en relación al teorema de Pitágoras. Se
identifica un tipo de tarea, una técnica y esbozo de tecnología. El esbozo de tecnología se
asume porque los profesores no tienen claridad del significado del término “teorema” en
matemáticas. Por lo cual, en la discusión se observa que la dialéctica surge en el bloque
práctico-técnico y que hay ausencia de la teoría, puesto que no menciona que el teorema es
demostrable.
7.3 Análisis taller 2: Discusión del contenido matemático con un referente teórico
Descripción del taller 2: este taller consistió en leer y analizar las páginas 226-227 del
capítulo más sobre triángulos del texto de nivel universitario Clemens sobre el teorema de
Pitágoras. En la página 226 se observa un tipo de tarea que corresponde a la verificación
del teorema.
Este taller se analizará en base a la identificación de un tipo de tarea que propone el texto y
detectar las técnicas que utilizan los profesores para resolver este tipo de tarea.
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
121
Tipo de tarea: A partir de las figuras dadas (ejemplos 1, 2 y 3), mostrar que el área de los
cuadrados A y B es igual al área del cuadrado C sobre la hipotenusa.
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
El diálogo que se produce entre dos profesoras da a conocer que en el ejemplo 1 el
cuadrado C está constituido por 4 triángulos congruentes y que en el ejemplo 2 también es
posible establecer la relación por medio de los triángulos congruentes. Sin embargo, la
profesora P2 pone en duda su planteamiento, pues visualiza 4 triángulos congruentes en el
cuadrado C, estos tienen un área que no es coincidente con el área del cuadrado B.
P2: En el ejemplo 1, en el cuadrado de C que se genera del lado c, ahí serían los 4 triángulos que se forman. P4: Son iguales. P2: En el 2, en el ejemplo que está diciendo acá, las áreas de los 4 triángulos coinciden con el área de B y me queda C, estos 4 triángulos serían el área de B. ¿o no?
Por tanto, podemos identificar una primera técnica que realizan estas profesores asociada al
tipo de tarea.
Técnica 1: Reconocer los triángulos congruentes por visualización en función de los
cuadrados marcados.
Por otra parte, el profesor P8 interviene, manifestando que la suma de los cuadraditos
formados sobre los catetos (conteo de cuadraditos) debiera ser igual a total de cuadraditos
del cuadrado formado sobre la hipotenusa. Se observa en:
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
122
P8: Que la suma de los cuadraditos de los cuadrados formados sobre los catetos debiera ser igual a la suma de los cuadraditos. P8: O sea al total de los cuadraditos que hay en el cuadrado que hay sobre la hipotenusa.
A partir de la intervención del profesor es posible determinar una segunda técnica.
Técnica 2: mediante el conteo de los cuadrados (unidad de medida) se determina que los
cuadrados A y B coinciden con la cantidad de cuadrados del cuadrado C.
Para mostrar la relación entre las áreas, las profesoras P2 y P3 utilizan la asignación de
medidas a las longitudes de los lados. Es lo que se observa en este diálogo, además de
reconocer que necesitan una unidad de medida.
P2: Tendríamos que asignarle medida a los lados para comprobarlos. P3: Sí, darle una unidad de medida.
Así, es posible reconocer una tercera técnica:
Técnica 3: Asignar medidas a las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
El profesor P8 visualiza una descomposición de la figura y trata de verificar usando
lenguaje algebraico para la representación de las medidas de los cuadrados, de tal modo de
buscar expresiones algebraicas que le permitan establecer la igualdad de las áreas entre las
áreas de los cuadrados sobre los catetos y el área de la hipotenusa. Sin embargo, realiza un
error que le impide llegar a lo propuesto: asume que b=c-a, en otras palabras está
deduciendo que si a2 + b2 = c2, entonces b = c – a.
Esto se observa en el siguiente diálogo.
P8: Porque la idea es tomar uno de los cuadrados y ampliarlo, para que dé el área de la hipotenusa, el área de uno de los catetos ampliarlo para que dé el cuadrado de la hipotenusa P8: Ese es el lado a, lado b, lado c. Entonces sería a2+(c-a)2=c2 P7: ¿Y b? P3, P4: Ese es b. P8: Ese es el resultado de b2 en general. P8: Porque lo que quiero yo es igualar, o sea conocer lo que falta para rellenar el cuadrado de a, para que sea igual al cuadrado de c, eso es lo que estoy buscando. P2: Es más complejo lo que está haciendo, es mucho más complejo. P8: No no no, lo que estoy haciendo es tratando de demostrarlo.
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
123
P2: a2+b2=c2 P7: Está tratando por un solo lado. P3: ¿Tú estás buscando otro cuadrado igual a este? Eso P8: Claro, estoy buscando sumar este más este, saber cuánto tengo que sumar para que me de ese otro de acá. Observamos que el profesor intenta resolver la situación utilizando lenguaje y tratamiento
algebraico, pero no llega a lo correcto. Es posible identificar una cuarta técnica
Técnica 4: Usar lenguaje algebraico para buscar la igualdad de las expresiones que
representan las áreas.
La profesora P7 visualiza la figura, sin embargo su intervención obedece a lo que realiza
con sus estudiantes, pues ella señala que siempre piensa en el papel lustre, es decir, marcar
las figuras sobre papel lustre luego recortar y superponer para verificar que hay superficies
equivalentes.
P7: Yo siempre pienso en el papel lustre, entonces yo igual corto, entonces los dos cuadrados simetral, hago los dos triángulos los pongo arriba y me calza justo. P7: Aquí corto estos cuadraditos, los parto en dos triángulos congruentes, y cómo decía Salfate todo calza.
Mediante lo expresado por la profesora, se identifica una quinta técnica para resolver este
tipo de tarea:
Técnica 5: Recortar los cuadrados trazados sobre los catetos en dos triángulos rectángulos
congruentes y luego superponer estos triángulos en el cuadrado trazado sobre la hipotenusa.
El teorema de Pitágoras en sí es una tecnología. En el análisis del taller 1 se llega a la
conclusión de que la praxeología que se identifica en los profesores en relación al teorema
de Pitágoras se sitúa en el bloque práctico-técnico: embrión de tecnología.
En la siguiente tabla presentamos el resumen de la praxeología identificada; se muestra el
tipo de tarea, la técnica y la tecnología asociada.
Tipo de tarea: A partir de las figuras dadas, mostrar que el área de los cuadrados A y B es igual al área del cuadrado C sobre la hipotenusa. Técnicas asociadas al tipo de tarea Tecnología asociada a la técnica identificada
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
124
Técnica 1:
Reconocer los triángulos congruentes
por visualización en función de los
cuadrados marcados.
Tecnología 1:
Triángulos, triángulos rectángulos, triángulos
congruentes, unidad de medida.
Técnica 2:
Mediante el conteo de los cuadrados
(unidad de medida) de los cuadrados A
y B, coinciden con la cantidad de
cuadrados del cuadrado C.
Tecnología 2:
Unidad de medida, medición de superficie en
base a la unidad de medida.
Técnica 3:
Asignar medidas a las longitudes de los
lados del triángulo rectángulo.
Tecnología 3:
Medida, triángulo rectángulo.
Técnica 4:
Usar lenguaje algebraico para buscar la
igualdad de las expresiones que
representan las áreas.
Tecnología 4
Lenguaje algebraico, expresiones algebraicas,
áreas de cuadrados.
Técnica 5:
Recortar los cuadrados trazados sobre
los catetos en dos triángulos rectángulos
congruentes y luego superponer estos
triángulos en el cuadrado trazado sobre
la hipotenusa.
Tecnología 5:
Para descomponer los cuadrados sobre la
hipotenusa en dos triángulos congruentes
rectángulos cada uno, lo justifica
pragmáticamente. Hace uso de instrumentos
como el transportador para verificar que los
ángulos son rectos de los triángulos rectángulos
que visualiza.
Se desprende que la técnica se justifica por el
uso de triángulos rectángulos y triángulos
congruentes
Tabla 10: Resumen que muestra la praxeología identificada
Las técnicas presentadas en la tabla 10 son las que fueron posibles de identificar en el
trabajo que realizaron los profesores frente al tipo de tarea. Los docentes no justifican las
técnicas utilizadas en forma explícita. Tampoco se observa teoría o algún esbozo de ella.
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
125
Sin embargo, a partir de lo realizado por los profesores, es posible exponer explícitamente
la tecnología para cada técnica identificada. Estas tecnologías muestran conocimientos
matemáticos que son parte del saber del profesor; pues los conocimientos involucrados
permiten afirmar que el docente reconoce objetos matemáticos que pone en juego para
resolver el tipo de tarea y que se deriva de su propia experiencia.
Conclusión de este análisis: es posible identificar técnicas para resolver el tipo de tarea
propuesto. Los docentes se ubican en el bloque práctico-técnico, pues no se observan
tecnologías explícitas por parte de ellos. Sin embargo, al asociar una tecnología para cada
una de las técnicas identificadas, podemos concluir que los docentes tienen los
conocimientos matemáticos. También es posible detectar, en este tipo de tarea, lo
epistemológico del teorema de Pitágoras; pues la demostración de Euclides (demostración
geométrica) evidencia la presencia de triángulos congruentes a partir de construcciones
geométricas auxiliares.
7.4 Análisis taller 3: Profundización del contenido matemático
Descripción del taller 3: Este taller es la continuación del taller 2. Su objetivo es leer y
analizar páginas 226 – 227, del texto de nivel universitario Clemens, la académica
responsable del taller, se focalizó en profundizar el teorema de Pitágoras dando a conocer
su versión desde el punto de vista geométrico y aquella que está redactada en términos de
relación numérica entre las medidas de los catetos y la hipotenusa. Se inicia el estudio con
la lectura de ambas versiones, cuyos redacciones se pueden observar a continuación:
P5: El Teorema dice que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a las sumas de las áreas de los rectángulos construidos sobre los catetos del triángulo.
Teorema de Pitágoras en su versión geométrica
P1: Si un triángulo ABC es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Teorema de Pitágoras redactado en función de una relación numérica
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
126
Además, se precisa el lenguaje para considerar el rigor; pues estamos en el estudio de una
organización matemática que corresponde al bloque tecnológico teórico. Por lo cual se hace
ver la distinción de la hipótesis y la tesis en un teorema. Además, se trata de comprender la
demostración del teorema de Pitágoras que está escrita en las páginas del texto que se está
estudiando. No hay un tipo de tarea específico, es decir, los profesores no reproducen la
demostración sino que intenta comprender la demostración expuesta en el texto.
Sin embargo, es relevante que al final del taller los docentes que participaron en esta
discusión respondieron de esta manera frente la pregunta ¿qué aprendieron hoy?
P5: Yo, para que no me copien la idea, de que hay dos maneras de mirar el teorema de Pitágoras, que tiene aristas distintas. P5: el de las áreas. P5: La parte geométrica y la parte numérica. P4: Yo, yo, que en los teoremas partimos de una hipótesis, que parte de un si tal cosa y lo que hacemos con eso, a partir de la hipótesis hay que comprobar la tesis, eso creo yo, me confundí, a ver, partimos de la hipótesis para comprobar una tesis. La hipótesis parte del sí algo y la tesis parte del entonces tal cosa, eso, y lo puedo constatar o lo puedo demostrar P2: El teorema solamente lo había visto como las áreas, y comprobar que los dos cuadrados que se generaban a los lados de los catetos tenían que ser igual a la suma del cuadrado que se genera en la hipotenusa, pero ahora también lo veo desde esta perspectiva asignando medida a la longitudes de los lados, y esto del recíproco no lo sabía, siempre uno había leído el otro teorema principal, y este como lo contrario, no lo contrario sino como que lo da vuelta, y parte de la condición de las longitudes y con esa condición se demuestra el teorema. También se usa más en álgebra para descubrir el lado, la incógnita. P6: Verlo desde otro punto de vista, lo veía también como áreas, pero me lo imaginé extendiendo longitud y que midiera lo de la otra.
En este diálogo no se observa alusión a la demostración del teorema de Pitágoras, por lo
cual podemos inferir que está ausente el conocimiento teórico en la discusión sobre las
páginas del texto. Cabe señalar que el objetivo del taller era discutir la naturaleza del
teorema de Pitágoras.
En resumen, en este análisis del taller 3 no se identifica praxeología pues no hay un tipo de
tarea que se proponga a los docentes. La intención es que los profesores, para diseñar su
clase, necesitan comprender la naturaleza del teorema. Se ha mencionado la ausencia de
Capítulo 7 Análisis de talleres de reflexión – Fase 1 Estudio de Clases
127
teoría, pero este componente también está ausente en la enseñanza-aprendizaje del teorema
en el nivel básico del sistema escolar chileno.
Conclusión del capítulo 7
En este capítulo, se inicia la identificación de una praxelogía a partir de la actividad que se
propone a los docentes (sobre el teorema de Pitágoras para alumnos de 13-14 años) que
consiste en diseñar una clase basada en la resolución de problemas. También se entrega la
técnica asociada: discutir y reflexionar sobre la naturaleza del teorema, iniciando dicha
discusión con las concepciones que tienen los docentes sobre el teorema de Pitágoras. Esta
técnica es parte de la primera fase del Estudio de Clases.
De acuerdo al análisis de los talleres y la identificación de praxeologías matemáticas,
podemos concluir que:
- Los docentes reconocen el teorema de Pitágoras como una técnica para resolver un
tipo de tarea que consiste en calcular la medida de la longitud de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo o calcular la medida de cualquiera de sus catetos.
- Siendo el teorema de Pitágoras una tecnología, los profesores no lo reconocen como
tal; pues se detecta que no tienen el conocimiento acerca de lo que es un teorema en
matemáticas ni tampoco que todo teorema es demostrable. Por tanto hay ausencia
de teoría en este caso.
- Frente al tipo de tarea que consiste en comprobar la relación entre áreas de los
cuadrados trazados sobre los catetos del triángulo rectángulo y el cuadrado trazado
sobre la hipotenusa, se identifican 5 técnicas. Ellos no justifican esta técnica, salvo
la técnica 5; sin embargo, para cada técnica identificada se asocia una tecnología.
Esto permite señalar que los contenidos matemáticos que justifican las técnicas son
conocimientos que el profesor tiene.
- Se observa cómo a partir de la tarea propuesta en el taller 2 se evidencia la
epistemología del teorema de Pitágoras en la demostración que realiza Euclides.
Pues en ésta, Euclides explicita la relación establecida en el teorema de Pitágoras,
realizando construcciones geométricas auxiliares y justificando a través de la
congruencia de triángulos.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
128
CAPÍTULO 8
Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
Introducción
En la fase 1 del Estudio de Clases se han incluido dos talleres que permitieron discutir,
reflexionar e introducir en el grupo de seguimiento la reproducibilidad de situaciones de
aprendizajes. En estos talleres solo participan los tres docentes que tienen que diseñar la
clase sobre el teorema de Pitágoras. Estos profesores iniciaron la preparación de la clase
con la discusión acerca de la naturaleza del teorema de Pitágoras, enseguida realizaron un
análisis del programa de estudio del nivel (7ºBásico). Dicho análisis fue conducente a
identificar el hábitat del contenido matemático y los aprendizajes esperados que propone el
currículo. También revisaron un texto escolar, en este caso seleccionaron el que ocupan con
sus estudiantes. El análisis que realizaron al texto tuvo como propósito determinar la
matemática involucrada en la página en donde se ubicaba el teorema de Pitágoras y cómo
estaba organizado en el contexto de los temas presentados. Además, determinaron los tipos
de problemas y ejercicios que se proponían.
A los profesores se les explica que se realizará un taller (8.1) en donde se reflexionará
acerca de un elemento teórico de la didáctica de la matemática. Los profesores tienen las
nociones fundamentales de didáctica de la matemática, puesto que el programa de
perfeccionamiento incluye, en cada uno de los módulos, una sección dedicada a la
didáctica. Por ejemplo, en el módulo de geometría tienen didáctica de la geometría;
mientras que en el módulo de álgebra y funciones, didáctica del álgebra. Así, el hablar de
elementos de la didáctica de la matemática no es ajeno a los docentes. Los temas que se
desarrollaron en didáctica de la matemática fueron: teoría de situaciones didácticas,
contrato didáctico, paradojas didácticas (efecto topaze, efecto jourdain), nociones de
transposición didáctica y metodología de ingeniería didáctica. En particular; la noción
fundamental de ingeniería didáctica, que estudiaron y aplicaron, fue el análisis a priori de
situaciones de aprendizaje.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
129
Por otra parte, en el estudio de las ideas intuitivas sobre reproducibilidad participaron los
mismos profesores. Al momento de realizar este taller, se les explica que el elemento que se
va introducir tiene relación con ese estudio. El taller se inicia planteando tres preguntas a
los profesores, se les señala que primero las respondan cada uno en forma personal y que
luego se hará una puesta en común con el fin de discutir sobre las ideas.
La pertinencia de introducir este taller está dada por la aplicación posterior, que deberán
realizar los tres profesores del seguimiento, de la misma clase en tres escuelas distintas;
descritas en el capítulo del marco teórico como las instituciones E1, E2, E3.
Expuestas la características de los docentes participantes y el contexto de taller, éste se
analiza a la luz de la teoría antropológica de lo didáctico. A partir de las ideas y reflexiones
de los docentes, se identifica una praxeología en relación a aplicar una misma clase en
distintos escenarios (escuelas E1, E2, E3) y con distintos profesores. Esto nos permitirá
observar cómo un elemento de la didáctica de la matemática se introduce en la reflexión de
la práctica docente y qué aporta en términos de tarea, técnica, tecnología y teoría didáctica.
8.1 Análisis taller 4: Reproducibilidad parte 1
Descripción del taller 4: este taller consistió en plantear tres preguntas relacionadas con la
repetición de clases e identificando los elementos que hacen posible repetirla.
Identificando una praxeología en la discusión de las respuestas
Según Chevallard (1999), toda actividad humana podría modelarse a través de una
praxeología. En particular define una praxeología matemática y una praxeología didáctica,
ambas se imbrican, pues dada una praxeología matemática esta podría estar incluida en una
praxeología didáctica o dada una praxeología didáctica necesariamente hay incluida una
praxeología matemática.
El constructo praxeología didáctica está constituido por su componente práctico formado
por los tipos de tareas y técnicas didácticas y su componente teórico formado por una
tecnología y una teoría didáctica (Bosch et al, 2003)
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
130
Por otra parte, Castela (2011) define una praxeología depurada constituida por tareas,
técnicas, tecnología justificada por la teoría, tecnología justificada por la práctica.
El estudio que se está realizando considera la actividad del profesor que hace clases de
matemática, por tanto sus saberes en ocasiones los ha construido por su propia práctica y,
efectivamente, no hay una teoría que fundamente la tecnología del profesor.
Se está analizando un taller que es una actividad que se realizó en el marco de prácticas
pedagógicas. Lo que se provoca es una reflexión de las praxeologías didácticas en el
sentido de volver a “repetir” estas praxeologías en distintos escenarios. Así, estamos en
presencia de un constructo teórico denominado reproducibilidad de situaciones de
aprendizajes.
Entonces, el análisis será identificar una praxeología que tiene relación con la
reproducibilidad de situaciones de aprendizajes en la escuela. Vamos a considerar que las
situaciones de aprendizaje están organizadas, puesto que se encuentran en el contexto de la
escuela y los profesores repiten sus clases.
Así consideramos que la pregunta ¿Una situación de aprendizaje es posible de aplicar tal
cual en distintos escenarios? ¿Por qué? Es un cuestionamiento para discutir sobre la
experiencia de los profesores que realizan clases de matemáticas y podemos desprender el
siguiente tipo de tarea:
Tipo de Tarea 1: aplicar situaciones de aprendizajes en distintos escenarios.
Técnica: la situación de aprendizaje es posible de aplicarla en distintos escenarios, pero se
tienen que considerar:
-‐ el contexto de la enseñanza
-‐ el beneficio en términos de resultados
-‐ la experiencia que tenga el profesor en relación a la situación de aprendizaje
-‐ la metodología
-‐ la diversidad de aprendizaje en el aula
-‐ el logro del objetivo de aprendizaje
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
131
Tecnología: la justificación de la técnica está dada por las consideraciones que se toman en
cuenta al aplicar situaciones de aprendizaje.
El primer punto es considerar el contexto de la enseñanza porque los diferentes escenarios
son “clases” distintas, es decir, grupos distintos de estudiantes en diferentes escuelas o en la
misma escuela hay alumnos que aprenden de diferente manera. Por tanto, la situación de
aprendizaje al aplicar en distintos escenarios tiene que readecuarse para el contexto propio
de cada curso y de cada clase.
Otra consideración es la experiencia que el profesor tiene con la situación de aprendizaje,
porque llevar 2 o 3 años haciendo lo mismo y ha dado buenos resultados amerita continuar
con el uso de la situación de aprendizaje.
También, dependerá de los resultados en términos de logro de aprendizaje, es decir, si hay
buenos resultados se continúa con la misma situación; pero si los resultados no son buenos,
entonces se modifican ciertos aspectos.
Así, la metodología y las actividades se cambiarán de acuerdo al contexto. El contenido
sigue siendo el mismo.
Hasta aquí se distingue un bloque práctico, pues los profesores responden que es posible
aplicar una situación de aprendizaje bajo ciertas condiciones y esto lo justifican en base a
su propia experiencia, lo cual se observa en las siguientes respuestas:
Isidora: yo pienso que sí es posible con la diversidad de alumnos, que se deba considerar el contexto, para poder adecuar, realmente es necesario que sea beneficiosa y obtener buenos resultados. A qué me refiero, estoy pensando en la misma situación de aprendizaje, la misma clase con mis niños de arriba y en un colegio en el centro, yo la podría hacer porque hay niños diversos, arriba también hay niños que van a entender de la forma que lo voy a explicar y abajo también. Considerando el contexto tal vez haciendo una pequeña modificación, pero sí se podría hacer una misma situación de aprendizaje. Pamela: yo creo que sí es posible, pero va a depender de la experiencia que se tenga de la situación de aprendizaje. Pamela: eeee, a ver porque si en mi experiencia no sé, si uno lleva 2 o 3 años haciendo lo mismo y le ha dado buenos resultados puede continuar, pero si no le han dado buenos resultados hay que modificar ciertos aspectos. Pamela: eee bueno el contenido sería el mismo, yo creo que modificaría dependiendo si estoy en otro lugar, el contexto, cambiaría las actividades y cambiaría la metodología Pamela: claro, porque si la metodología que utilicé anteriormente me dio buenos o malos resultados, tengo que volver a replantearme, aplicar otra metodología, y ver si me funciona o no me funciona. Y si no me funciona puedo ver una de las que aplica antes y que a lo mejor me fue mal con esa, y ahora acá me pueda ir bien.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
132
Isidora:…bueno yo me fui al tema de los alumnos, inmediatamente contexto y Pamela se fue a la experiencia de ella, de docente, si ella es capaz y lo maneja todo lo puede hacer, tenemos enfoques distintos, yo pensaba si los niños eran distintos, si lo niños piensan distinto, pensando siempre en quien lo recibe, ella lo piensa en quien lo hace. Martín: yo puse es posible, pero depende de tres factores: si la situación de aprendizaje permitió el logro de los objetivos tanto de contenidos como de la unidad, si logro los contenidos de la unidad yo creo que se puede replicar, porque no vas a replicar una actividad que no funciona. Pamela: claro Martín: esa es la primera característica. Si el grupo en el cual se desarrolló la actividad es similar al inicial, en el nivel, más menos en el contexto, características de un grupo. Y, de los recursos con los que se cuenta, recursos humanos, recursos físicos, por ejemplo si, un poco lo que planteaba Isidora, si trabaja en el campo y va a hacer la actividad en el campo, no va a ser lo mismo que se pueda plantear en la ciudad, en Valparaíso o en Santiago, son situaciones totalmente distintas, y las actividades que se pueden plantear también son muy distintas, porque lo contextos son muy distintos. Martín: sí de contenidos y actividades, del objetivo de la clase Martín: de la situación, o sea si la situación permite lograr los objetivos de la clase. Porque dice si ¿Una situación de aprendizaje es posible de aplicar tal cual en distintos escenarios? ¿Por qué? Ya yo creo que si es posible si la situación permite lograr la clase de ese objetivo. Isidora: sí, sí se puede repetir la clase, tiene que cumplir ciertas consideraciones. Martín,Isidora: las situaciones.
De la pregunta 2 que se realizó en el taller y que dice: ¿Cuáles son los elementos que
debemos tener en cuenta para aplicar una situación de aprendizaje sin perder su esencia?, se
desprende el tipo de tarea 2.
Tipo de Tarea 2:
Reconocer elementos que se tienen que tener en cuenta para aplicar una situación de
aprendizaje sin perder su esencia.
Técnica 2:
Consensuar el significado de la palabra esencia en el contexto escolar, el cual se entenderá
como el logro del objetivo de aprendizaje. Detectar los elementos que son:
-‐ Objetivo a lograr u objetivos de aprendizajes
-‐ Recursos
-‐ Las actividades para readecuar al contexto
-‐ Planificación de la enseñanza: tiempos de la clases ( inicio, desarrollo y cierre)
-‐ Contenido matemático y objetivos de aprendizajes quedan fijos.
-‐ Prerrequisitos o conocimientos previos que necesitan los estudiantes para aplicar la
situación de aprendizaje.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
133
Tecnología 2:
La justificación de la técnica en donde se determinan los elementos para aplicar situaciones
de aprendizajes en distintos escenarios, tiene estrecha relación con el quehacer de tres
profesores que realizarán situaciones de aprendizajes y tendrán que aplicarlas en distintos
cursos y escuelas. Por lo cual, lo primero que realizan es consensuar el sentido y
significado de la palabra “esencia” en el contexto de la pregunta. Para ellos esencia de la
situación de aprendizaje es el logro del objetivo de aprendizaje o cumplimiento del objetivo
principal que está estrechamente relacionado con los objetivos de aprendizajes. En vista de
que la esencia es el objetivo de aprendizaje, tienen que considerar los recursos necesarios,
es decir, planifica una situación donde se necesitan ciertos recursos; pero si se aplica en
otro contexto y no están los mismos recursos, entonces es posible que no resulte la
aplicación de la situación de aprendizaje.
También es necesario tomar en cuenta los conocimientos previos de los alumnos, pues
todos los alumnos que desarrollarán la situación necesitan un piso de base para poner en
acción sus conocimientos.
Las siguientes respuestas corresponden a lo manifestado por los profesores frente a la
pregunta 2, estas líneas permitieron detectar un tipo de tarea, técnica y parte de una
tecnología.
Consensuar qué se comprende por esencia de la situación de aprendizaje
Martín: qué tipo de esencia, lo esencial, que logren los objetivos para los cuales fue diseñada, porque yo puedo plantear una actividad, y si no logro los objetivos con los cuales la diseñé, pierde su esencia. Martín: por ejemplo si yo planteo una situación problema, eee haber no sé, ejercicios, actividades, donde yo quiero lograr una cosa con los niños, ee que multipliquen por ejemplo, y que ellos asimilen el algoritmo de la multiplicación y comiencen a asimilar multiplicaciones, y suman y siempre suman, y no multiplican, puedo realizar la actividad, pero pierde la esencia, está bien a lo mejor se logró la actividad, pero no se logró lo que yo quería que era que ellos comenzarán ya a visualizar ya el algoritmo de la multiplicación. Isidora: por ejemplo lo que hice con mis niños, estaba tratando de que entendieran que la UF ( Unidad de fomento), la UTM son medibles, que se pueden convertir en dinero qué sé yo. Ahí muchos se equivocaron en multiplicar, este con este, entonces yo les dije: usen calculadora, porque no me interesa que sepan multiplicar, me interesaba que entendieran lo que era convertir una UF que un día era 10 millones, 20 millones, etc., me interesaba más eso que la multiplicación, entonces si yo no los dejo ocupar calculadora, se va a ir la clase en multiplicar, en correr un numerito, en el algoritmo, y no en mi esencia de la clase que era que entendieran las unidades de medida que se utilizan en el mercado. ¿Puede ser eso?
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
134
Pamela: eso, o sea que un ejemplo, lo que me pasó a mí como experiencia hace poco con la famosa construcción de triángulos en séptimo básico, estuve como todo el mes de agosto explicándoles lo que era la construcción de triángulos, y no se logró y no se logró, van a reforzamiento y los niños aún les es difícil lo que es la construcción de triángulos. O sea, para mí esa era la esencia: que aprendieran a construir sus propios triángulos con diferentes formas, con regla, compás, como sea, pero ahí tuve que replantearme porque no aprendieron a construir triángulos y los resultados pésimos en las pruebas. Entonces para mí eso es la esencia. Isidora: el foco Retomando del taller la pregunta 2 que dice: ¿Cuáles son los elementos que debemos tener
en cuenta para aplicar una situación de aprendizaje sin perder su esencia?
Los docentes responden: Isidora: aprendizajes esperados Pamela: objetivos de aprendizaje Martín: lo principal es nunca perder de vista el objetivo a lograr eso puse en el primero, contar con los recursos necesarios, es decir planifico una situación donde necesito tales recursos y esas situación después la aplico en otro lado donde no estén esos recursos no va a resultar. Y acomodar la actividad a cualquier contexto de grupo, lo mismo que decía del campo y lo urbano, porque por ejemplo en el campo puedo sacar a los niños a hacer rayones en el patio de la escuela. Martín: claro a enseñar Pitágoras, en el colegio urbano si están haciendo educación física en el patio no hay lugar donde realizar la actividad. Entonces acomodar las actividades a las situaciones. Martín: las actividades, o sea, no estoy cambiando la forma de cómo trabajar las actividades, no estoy cambiando el objetivo de la clase, estoy cambiando el cómo voy a lograr ese objetivo. Martín: contar con los recursos necesarios, los objetivos y acomodar la actividad al contexto del grupo. Martín: yo puse, poner siempre los objetivos de aprendizaje, si no se tiene presente modificar algunos elementos, basándome siempre en el objetivo de aprendizaje que quiero lograr, y modificar algunos planes de clase, para así poder obtener resultados como corresponden. Isidora: ¿A qué te refieres con planes de clase? Pamela: a la planificación de la clase. Pamela: sí Pamela: no sé, por ejemplo los tiempos de la clase, las actividades, inicio, desarrollo, cierre, eee si implemento otros recursos como decía el Martín . Pamela: serían los diferentes recursos que tengo que utilizar dentro de la clase para yo poder realizar ese plan de clases. Pamela: yo creo que el puro contenido no más, y el objetivo de aprendizaje también. Yo creo que esos dos elementos quedarían fijos. Isidora: ya, dice ¿Cuáles son los elementos que tenemos que tener en cuenta? Que sea clara, que se adecue a la realidad de los niños, que exista un piso anterior que me permita lograr lo que pretendo conseguir ahora, es decir los prerrequisitos necesarios para una nueva situación. Bueno me fijé en los niños, en el contexto, y en tener claro con lo que cuento. Isidora: yo creo que los prerrequisitos son fundamentales. Isidora: para mí los conocimientos previos Isidora: conocimientos previos, no puedo pasar Pitágoras si los niños no conocen un triángulo rectángulo. Martín: recursos Martín: contextualizar Pamela: el contexto
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
135
Isidora: Según la realidad de los niños. Martín: estamos pensando que la clase Isidora: la estamos haciendo en lugares distintos. Martín: que la actividad resulta ¿cierto?, que la actividad realizada está bien planificada. Isidora: no se refiere a las actividades se refiere a los objetivos, porque yo puedo modificar mi planificación, pero no pierdo la esencia, y la esencia son los objetivos de aprendizaje. Martín: claro, porque se supone que nosotros vamos a dar por sentado que eso está, que para realizar una actividad eso está bien hecho, está bien planificada la actividad y busca un objetivo. Isidora: ¿se refiere a la actividad también o no? Martín: lo principal sería que la actividad estuviera orientada a lograr el objetivo de la clase. Isidora: haber yo quiero hacer una idea, se dice ¿cuáles son los elementos a considerar que nos permiten replicar una situación de aprendizaje sin perder la esencia? Y quedamos en que la esencia es el objetivo que voy a lograr, el objetivo de aprendizaje, y yo quiero lograr ese objetivo, ¿no importa que cambie las actividades? ¿Estaría repitiendo la clase o no repitiendo la clase? Isidora: entonces estoy cambiando la actividad Isidora: el objetivo Martín: El mismo Isidora: entonces ahí no sería repetición de clase. Isidora: porque estoy haciendo actividades distintas en función de lo esencial del objetivo, pero estoy haciendo actividades distintas. No estoy repitiendo la clase, para mi repetir la clase es hacer las mismas actividades, modificando de acuerdo al contexto, los recursos pero hacer las mismas actividades, ahora si yo hago otra actividad y mi objetivo de aprendizaje es que aprendan Pitágoras y en el campo lo voy a hacer en el patio, y en el liceo lo voy a hacer con materiales concretos, estoy logrando la misma esencia, pero estoy haciendo la clase no igual a la otra, no es la misma clase. Martín: que sean adecuadas a los Isidora: que sean las mismas. Isidora: aunque la esencia es la misma Isidora: pero igual somos distintos porque ella está en el plan (refiriéndose a Pamela) y yo estoy en el cerro.
La tercera pregunta que se planteó en el taller fue: ¿cuáles son los elementos que se deben
tener en cuenta para que sean trabajadas en tres cursos por diferentes profesores?
La tarea que se puede desprender es:
Tarea 3: determinar los elementos que se deben tener en cuenta para que una situación de
aprendizaje sea aplicada en tres cursos (niveles) por diferentes profesores.
Técnica 3: para determinar los elementos, la técnica es considerar aspectos del ámbito
pedagógico y didáctico, pues mencionan lo siguiente:
-‐ Planificación del diseño para adecuarla al contexto real de cada uno de los cursos.
-‐ Los conocimientos previos y las habilidades a desarrollar.
-‐ Recursos similares.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
136
-‐ La actividad tiene que ser diseñada por los profesores que aplicarán la situación de
aprendizaje.
Tecnología 3: la justificación de la técnica es a través del contexto de la enseñanza, puesto
que al determinar elementos de base como planificación y actividades, éstas se readecuarán
según el nivel o las necesidades de los estudiantes. El otro elemento importante que
mencionan es que los estudiantes tengan los conocimientos previos (de los tres cursos) para
que puedan accionar todos con la misma actividad.
La técnica y tecnología se desprenden del dialogo y la discusión que se ha producido en el
taller frente a la pregunta. El siguiente párrafo muestra las respuestas de los profesores
involucrados. Isidora: yo puse, para que sea aplicada la clase por los tres compañeros debemos tener en cuenta en nuestra planificación una adecuación de acuerdo a nuestro contexto, haber coordinado la realización de las clases previas. Vuelvo a insistir en los conocimientos previos, para que los alumnos estén en igualdad de condiciones en relación a los contenidos. Pamela: y las habilidades que se quieran desarrollar. Isidora: eso para mí es lo esencial, porque independiente de si vamos a planificar los tres juntos, estamos planificando las mismas actividades que nosotros sabemos que nos pueden resultar, ya tenemos las actividades, ya cada uno lo contextualiza porque tenemos que tener también el piso, el piso previo, porque Martín puede decir es que no, mis niños no les he pasado eso todavía, entonces para mí es fundamental saber con lo que contamos. Martín: yo le puse elementos contextualizados, recursos similares, aprendizajes previos dependiendo del contenido. Pamela: yo puse el contexto de la enseñanza y las habilidades que se quieren desarrollar para comprender los contenidos. Isidora: sí, yo al principio leí, no lo entendí de la manera que lo entiendo ahora. Yo pensé que ya habíamos hecho la clase, entonces cuáles eran los elementos que uno utiliza para aplicar la clase. Isidora, Pamela: yo pienso que sí. Martín: si tuviéramos la actividad, la hicimos entre todos. Martín: también está la respuesta de los alumnos. Martín: yo puse el objetivo del profesor, o sea cómo él va a mirar lo que quería hacer no solamente eso, sino lo que viene a posterior y lo anterior, porque eso le da un mayor peso a la enseñanza que está realizando. Isidora: ahora yo podría apostar a ganador que tenemos la misma planificación en papel los tres y la podemos aplicar de manera distinta. Pamela: sí Martín: sí
En resumen, se han identificado tres tipos de tareas que se han desprendido de tres
preguntas que se realizaron en el taller. La técnica y la justificación también se han
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
137
observado en las respuestas que dieron los profesores; con respecto a lo cual podemos
señalar que cada profesor justifica la técnica (tecnología) a partir de su propia práctica, en
el sentido de “repetición de clases”. Este análisis nos permite detectar que los docentes
tienen la idea de repetir las clases, pero que hay ciertos elementos que tienen que fijar para
que las clases sean similares. Ellos se dan cuenta de que no van a realizar tal cual la clase
en los diferentes cursos. En cada tipo de tarea que se propone, los docentes dan respuestas y
en dichas respuestas se pueden identificar las técnicas y las tecnologías. En las praxeologías
formuladas no se considera la componente teoría. En el componente tecnológico, que es
posible determinar, los profesores fundamentan a partir de su propia experiencia en el aula.
8.2 Análisis Taller 5: Planteamiento de una discusión tecnológica teórica
Descripción del taller 5: este taller consistió en oficializar un elemento teórico de la
didáctica de la matemática, por lo cual lo hemos focalizado en una discusión tecnológica
teórica.
En la introducción se señaló que los docentes tenían conocimientos de la didáctica de la
matemática porque se ha tratado el tema en los diferentes módulos del programa de
formación (postítulo). Lo que se realiza en este taller es introducir el elemento teórico
llamado “reproducibilidad de situaciones de aprendizajes”. Es decir, se oficializa un saber
proveniente de la didáctica de la matemática. Por tanto, nos situamos desde una discusión
tecnológica teórica. Esto se realiza porque en el análisis de los talleres anteriores se
identificaron praxeologías y no era posible determinar el componente teórico. En otras
palabras, estamos completando las praxeologías con su cuarto componente. Justificando la
técnica a partir del constructo teórico reproducibilidad.
A continuación se muestran diálogos que se producen entre la académica (profesora de la
universidad responsable del taller) y los profesores del grupo de trabajo. Estos diálogos se
analizan para extraer los conocimientos de didáctica que los profesores mencionan.
En el primer diálogo, en donde se pregunta a los profesores ¿qué recuerdan sobre los
elementos de la didáctica de la matemática?, los docentes responden que se acuerdan de
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
138
una clase basada en resolución de problemas, de la conceptualización de la palabra
didáctica y de la teoría de situaciones didácticas. A continuación se muestra el diálogo 1.
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática que se detectan
A: Vamos a entrar en un elemento teórico desde la didáctica de las matemáticas, ¿qué recuerdan sobre los elementos de la didáctica de la matemática? P1: la clase basada en un problema, en actividades, ya no solamente ejercitar matemáticas haciendo ejercicios. P2: el mal uso de la palabra didáctica. P1: la diferencia entre la didáctica y la a-didáctica. A: ahí estamos hablando de las situaciones P1: porque para mí la a-didáctica es una palabra nueva.
Clase basada en resolución de problemas.
Conceptualización de la palabra didáctica.
Diferencia entre situaciones didáctica y adidácticas (TSD)
Tabla 11: Diálogo1
En el diálogo 2 se expone sobre el nuevo constructo “reproducibilidad de situaciones de
aprendizajes”.
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática que se detectan
A: Se comprenderá por reproducibilidad de una situación, le vamos a cambiar ahora, no le vamos a poner repetición de clase. ¿Y por qué le vamos a cambiar? P2: porque no es sólo la clase la que se repite, la que se reproduce. A: ya, ¿y qué más? P2: se reproducen las situaciones de aprendizaje, la esencia. A: ya, ¿qué significa para ustedes la palabra reproducibilidad? ¿Qué significa para ustedes ese término? P2: que algo que se desprende de otra cosa
Reproducibilidad de situaciones de aprendizajes.
Tabla 12: Diálogo 2
Al introducir el término reproducibilidad, relacionado con la repetición de clases, los
profesores reaccionan de acuerdo a la reflexión que han sostenido en torno a una práctica
que ellos realizan habitualmente y en la discusión que se ha producido para determinar los
elementos que hay considerar para la repetición de la clase.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
139
A continuación se muestra el diálogo 3, en el cual se da a conocer lo que se comprenderá
por reproducibilidad.
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática que se detectan
A: ¿qué se entiende por reproducibilidad? A la forma en que una situación de aprendizaje puede ser instalada en distintos escenarios y extrapolar los elementos que permiten que la situación en sí misma no pierda su esencia relacionada con el logro del objetivo didáctico. P2: lo bueno es que estábamos todos de acuerdo en que sí se podía repetir en distintas situaciones, en el caso que hubiésemos dicho no, no se puede repetir hubiéramos entrado en contradicción, pero esto se apropia de nosotros porque ya lo descubrimos en nuestro taller, descubrimos que se puede repetir en distintos escenarios, que no se pierda la esencia porque es el objetivo, entonces esto viene como a confirmar nuestra idea P1: hicimos lo mismo, pero sin nombres ostentosos.
Situación de aprendizaje
Reproducibilidad
Tabla 13: Diálogo 3
En el diálogo 3 (tabla 13) se observa cómo se oficializó el constructo reproducibilidad por parte de la académica a cargo del taller y cómo los docentes no quedan extrañados porque lo asocian a la reflexión que han sostenido en los talleres anteriores.
Enseguida se muestra cómo continúa la reflexión del constructo y cuáles son sus orígenes.
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática
A: Cuando empezaron a instalarse ingeniería didáctica en distintos escenarios, percibieron que no era posible hacerlos, dijeron no es posible ¿por qué? Porque empezaron a observar que se transformaba la actividad, porque es un problema no más. El profesor a la situación problema le quitaba algo o le agregaba algo. Entonces a partir de eso, hay estudios, en el año 86 partieron esos estudios y después en el año 2005 hay otro autor que hace un estudio y hasta el día de hoy se hacen estudios de esta naturaleza, pero no con el nombre que nosotros hemos citado acá. ¿Qué ocurre entonces? Ellos dijeron: parece que la reproducibilidad no es posible. Y dijeron pareciera que depende del profesor. ¿Creen ustedes que es eso o no?
Ingeniería Didáctica
Reproducibilidad
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
140
P2: es lo que yo le decía en un principio que si, hacíamos juntos la planificación los tres de acuerdo a nuestros conocimientos, en relación con nuestros niños lo íbamos a plantear ese concepto con ciertas modificaciones. P1: yo creo que sí P2: teniendo la misma planificación. P1: yo creo que sí, lo veo en el asunto del PAC P2: claro P1: ¿Lo ubica? (dirigiéndose a A) A: no P1: hay un material que es del Ministerio de Educación y lo envían a los colegios municipales vienen con las clases planificadas y hojas de cuadernillo para todos los chiquillos igual. No creo, y lo veo muy difícil, que un profesor que trabaja en el norte y otro que trabaje en el centro presenten la clase número 46 de la misma forma, aunque venga la clase planificada y vengan los mismos cuadernillos para los profesores. P2: y con los mismos recursos. A: o sea hay varios elementos que están controlados. P1: y aun así no se van a repetir las clases. A: ¿Y por qué no se van a poder repetir? P1: bueno, primero porque son distintos profesores, el profesor cuando hace la clase deja su personalidad, su manera de ser, todo eso, ya de partida eso es diferente, los conocimientos que tienen los profesores son distintos, el profesor que entre comillas es superior a otro va a saber, va a orientar la clase de otra forma, va a llegar más arriba no solo determinar los objetivos de la clase sino aparte va a llegar más allá, entonces puedo implementar esta otra actividad en beneficio de eso. P2: a mí me pasa en relación al PAC que complemento mucho la clase, entonces la clase 36 la hago en dos oportunidades, porque el objetivo y el contenido que dieron es mucho para hacerlo en una sola clase, por ejemplo tengo que pasar perímetro en un clase a mis niños, en una, de cuarto y no lo conocen, entonces les explico lo que está ahí las actividades y después al otro día tengo que empezar con otra cosa, entonces yo vuelvo con los perímetros, tomamos una cuerda y hacemos esto y ya me salí del pack, reforcé siempre lo mismo.
Tabla 13: Dialogo 4
En el diálogo 4 (tabla 13) se observa cómo los profesores reaccionan a lo que señala la
académica, la profesora P2 recuerda las discusiones anteriores en la cual ella señalaba que
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
141
si efectuaban los tres docentes lo mismo, es decir, misma planificación y situaciones
iguales; siempre se realizaría una modificación por parte de ellos. Observar que ella dice
“…es lo que yo le decía en un principio que…”, es decir al inicio de la reflexión sobre la
repetición de clases también tenía la idea intuitiva de que no es posible repetir una clase tal
cual.
Además, lo profesores relacionan esta parte con un programa que viene desde el
MINEDUC 10 llamado PAC 11 , el cual está constituido por cuadernillos de clases
planificadas y con ejercicios. Ellos señalan que no es posible repetirlo tal cual, pues hay
profesores distintos y hacen alusión a la experiencia y a los conocimientos de los docentes.
Se observa una discusión de tipo didáctica en los docentes en términos de reproducibilidad
conectada con su práctica.
El siguiente diálogo permite percibir el cómo los docentes conectan las discusión del
constructo reproducibilidad con su práctica. Se distingue que la reflexión de
reproducibilidad la conducen al trabajo que tienen que realizar: el diseñar situaciones de
aprendizajes sobre el teorema de Pitágoras. Hacen explícitos los elementos que tienen que
tomar en cuenta para reproducir la clase en los tres cursos (distintos escenarios).
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática que se detectan
A: entonces no se puede repetir la clase, por eso es que hablamos de la reproducibilidad de la situación, porque en el fondo vamos a reproducir. P2: se reproduce la clase no se repite. A: vamos a reproducir pero va a tener una esencia, el logro del objetivo, y nosotros vamos a tener que determinar cuáles son los elementos, factores que te permiten obtener el logro de aprendizaje, de ahí la necesidad del problema, de ahí la necesidad de responder la última pregunta, es decir tenemos una
Reproducibilidad
Situaciones de aprendizajes
10 MINEDUC: Ministerio de Educación de Chile 11 PAC: El plan “Apoyo Compartido” es una iniciativa implementada por el Ministerio de Educación en más de mil escuelas del país desde marzo de 2011, que incorpora metodologías de aprendizaje exitosas tanto en Chile como en otros países, centrada en el fortalecimiento de capacidades en las escuelas en cinco focos esenciales: Implementación efectiva del currículum, fomento de un clima y cultura escolar favorable para el aprendizaje, optimización el uso del tiempo de aprendizaje académico, monitoreo del logro de los estudiantes y desarrollo profesional docente. Para lograr esto, entregaremos como Ministerio herramientas pedagógicas, metodologías de enseñanza y asesoría técnica sistemática. Extraido de http://www.apoyocompartido.cl/.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
142
situación veamos cuáles son los elementos que permiten que la situación en sí misma no pierda su esencia, tenemos que saber cuál es la esencia de la actividad. P2: por ejemplo si tenemos la actividad que habíamos planteado con Martín (P1) y con Pamela (P3) de la actividad de la evaluación de los nudos para explicar el teorema de Pitágoras que proponía los planes y programas. Entonces tenemos que tener ya unos elementos como los conocimientos previos: que los niños sepan lo que es un triángulo rectángulo, que ellos sepan no sé, que tengan los recursos, que tengan el cordelito. P1: el espacio. P2: no sé, Martín decía llevarlos al patio, yo decía una larga en la mesa. Entonces también estamos pensando en nuestras realidades, porque yo decía en el patio ¿será posible? Entonces ya tenemos los elementos, los recursos, los conocimientos previos. Entonces esa actividad también tiene su adecuación para los tres.
Tabla 15: Diálogo 5
En el diálogo 6 se conjugan elementos teóricos de la didáctica de la matemática como la
reproducibilidad, lo cual la académica reafirma en conjunto con el significado que se le dio
en el taller, permitiendo obtener una reflexión por parte de los docentes en relación al
objetivo de la clase y la esencia de una situación de aprendizaje
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática que se detectan
A: ahí están pensando en la actividad, pareciera que este taller les va a servir para hacer la actividad y pensar que tienen que hacerla en los contextos de ustedes. Ahora, ¿entienden esta idea de reproducibilidad, el concepto? P1: Sí. A: porque es difícil, es una palabra difícil. ¿Reproducibilidad qué es lo que es? P2: es reproducir algo A: pero no es eso, es un constructo teórico, un constructo teórico desde la didáctica de la matemática. P2: pero se entiende muy bien por lo que trabajamos anteriormente. Si hubiésemos partido la clase con esta definición, yo pienso que hubiese sido difícil. P1: claro, porque uno lo puede ligar, la esencia con objetivo y esencia con reproducibilidad, entonces para
Situación de aprendizaje ( actividad)
Reproducibilidad
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
143
que sea reproducible ella tiene que volver al mismo objetivo. P2: distintos escenarios y la misma situación de aprendizaje.
Tabla 16: Diálogo 6
En el diálogo 7 (tabla 17) se observa cómo los profesores, en particular (P1 y P2), realizan
una reflexión en términos de establecer una relación entre reproducibilidad, esencia y
objetivo de aprendizaje. Para ellos, dicha relación es explicable en términos de establecer
una relación de equivalencia. El punto fuerte de esta reflexión es que visibilizan que para
hacer posible la reproducibilidad tienen que explicitar la esencia de la situación de
aprendizaje que corresponde al logro del objetivo didáctico.
Diálogo entre académica y profesores Nociones y elementos de la didáctica de la matemática que se detectan
P1: O sea es eso de transitividad. A: a ver ¿Cómo es eso? P1: que para que haya esencia tiene que haber un objetivo, entonces si es reproducible no tengo que cambiar el objetivo. A: a ver anda a escribirlo (se ríen) P1: ya si quiere lo escribo. Entonces era así esencia igual a objetivo (E=O) y la reproducibilidad que no pierda la esencia 𝑹 ⇒ 𝑬 , entonces la reproducibilidad no pierde el objetivo. A: ya ¿Qué es lo que es el R? P1: reproducibilidad A: ¿y el E? P1: esencia A: ¿y el O? P1: el objetivo A: ¿y cuál es la transitividad, algo tú me dijiste? ¿Por qué? P1: porque si la esencia va a ser igual al objetivo de la clase, emmm y dice que la reproducibilidad que permiten que no se pierda la esencia, entonces la reproducibilidad tiene que permitir que no se pierdan los objetivos. P2: yo lo pondría de otra forma (se acerca a la pizarra). Si la reproducibilidad es igual a la esencia (R=E) y la esencia es igual a objetivo (E=O), entonces la reproducibilidad también es igual al objetivo. Entonces si eso es igual a eso otro, entonces es igual a ese otro.
Reproducibilidad
Objetivo de aprendizaje
Tabla 17: Diálogo 7
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
144
En resumen, en este taller se oficializa un constructo teórico de la didáctica de la
matemática: reproducibilidad de situaciones de aprendizaje. Se observa cómo los docentes,
en sus ideas expresadas, conectan el constructo reproducibilidad con las expresiones que
han planteado en diferentes talleres. Además, hacen la conexión con el tipo de tarea
planteado que consiste en diseñar una clase sobre el teorema de Pitágoras.
8.3 Análisis taller 6: El diseño didáctico
Descripción del taller 6: este es un taller de discusión sobre las situaciones de aprendizaje
que han creado los profesores para el diseño didáctico. Se reflexiona en relación a la
organización de las situaciones y su contenido.
El análisis se realizará sobre episodios consistentes en diferentes tipos de tareas (Ti) que los
profesores han pensado para sus estudiantes y las posibles respuestas de éstos. Es decir, se
identificará la praxeología matemática que proponen los docentes. Enseguida se muestran
los episodios en los que se visibiliza la reflexión sobre el constructo reproducibilidad:
Tareas que se identifican en la discusión.
Una de las profesoras lee, de un escrito, cómo han organizado la clase sobre el teorema de
Pitágoras, en donde es posible determinar la praxeología matemática que han considerado
Profesor Tipo de tarea P2: (profesora lee del documento proyectado) ¿cómo se utiliza la geometría en la vida diaria? Presentar distintos problemas de área de triángulos dando todos los lados. Después en el desarrollo: presentación de un problema de perímetros de triángulo rectángulo donde se desconozca el valor de la hipotenusa, ese es lo fuerte que teníamos. Para desarrollar se entrega primero en un papel para direccionar la reflexión, después conocer la historia de Pitágoras, contextualizar la historia, presentar la definición del teorema y aquí incluimos que una vez presentado tienen unos minutos para ver qué entienden, para dar una inferencia sobre lo que comprenden del enunciado del teorema. Y después vamos
T1: Responder preguntas sobre la geometría y su utilización.
T2:Resolver problemas de área de triángulos dando las longitudes de sus lados
T3: Resolver un problema de cálculo de perímetro de un triángulo rectángulo donde se desconoce la longitud de la hipotenusa.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
145
Se detectan cuatro tipos de tareas relacionadas con los objetos matemáticos, áreas y
perímetros de figuras geométricas como cuadriláteros y triángulos.
Además, es posible distinguir la planificación del primer encuentro que corresponde al
primer momento de estudio de una organización didáctica.
Profesor Tarea
P2: mire (refiriéndose a una parte del documento) eso es como el libreto que decía usted: ¿Crees que los ingenieros, los deportistas ocupan geometría? ¿En qué crees que los futbolistas ocupan geometría? En la esquina, en el ángulo, pero eso solamente una motivación. Entonces no sólo las figuras geométricas sino el perímetro, ¿recuerdan ustedes cómo se calcula el perímetro? Y ahí empezamos, hasta ahí llegamos en el plan.
T1: Responder preguntas sobre la geometría y su utilización. La preguntas formuladas son: ¿Cómo se utiliza la geometría en la vida diaria ¿Crees que los ingenieros, los deportistas ocupan geometría? ¿En qué crees que los futbolistas ocupan geometría? ¿Recuerdan ustedes cómo se calcula el perímetro?
La profesora manifiesta que iniciarán la clase con las siguientes preguntas: ¿Cómo se
utiliza la geometría en la vida diaria?, ¿crees que los ingenieros, los deportistas ocupan
geometría?, ¿en qué crees que los futbolistas ocupan geometría?, ¿recuerdan ustedes cómo
se calcula el perímetro? En este episodio enfrentamos el primer encuentro del momento de
estudio. Los docentes han pensado en preguntas generales relacionadas con la geometría
para luego enfocarse a un tema en especial: el perímetro de figuras geométricas.
En el siguiente episodio se aprecia una provocación de tipo didáctica; pues se trata de
controlar algunas variables o bien de plantear preguntas de devolución frente a la actividad
que proponen los docentes. La actividad que discuten es el tipo de tarea T4: verificación del
teorema de Pitágoras. Los docentes señalan que la técnica que usarán los alumnos para este
a decir que es lo que es un cateto, una hipotenusa, los tipos de áreas, dar los tiempos para trabajar y se pide resolver el problema anterior, es decir el que está al inicio del desarrollo, y el alumno verifica el teorema cortando y sobreponiendo el cuadrado en el lugar del triángulo rectángulo, comento las experiencias y una guía de autoevaluación, compartimos los resultados como para hacer el cierre.
T4: Verificación del teorema de Pitágoras
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
146
tipo de tarea consiste en verificar el teorema cortando figuras geométricas, las que
enseguida superponen para hacerlas coincidir.
A: pero cuando tú explicas, tú estás intencionando encuentro yo. Cuando tú explicas haber haga esto, haga esto otro. ¿Qué está haciendo? Estás conduciendo. ¿Qué es lo que puede pasar? Que el niño diga no entiendo lo que hay que hacer. ¿Qué preguntas le harías tú para que él frente a esta actividad en donde tiene que verificar el teorema de Pitágoras? Ahora, si lo logra verificar ustedes dicen que va a comprender el teorema de Pitágoras. Si el alumno te dice no entiendo, no entiendo lo que hay que hacer ¿Qué preguntas se les ocurren que podrían hacer? P2: yo le diría primero ¿qué es lo que no entiendes? P1: identificar el problema. P3: lo que ellos dicen no entiendo. P1: que dicen no entiendo nada. A: supongamos que les dicen que todo no lo entienden. ¿Qué sugerencia le darías? P1: es comenzar a identificar las partes del teorema, lo que es un cateto. A: pero es la actividad, ojo. No entienden la actividad. P3: pero a lo que yo me refiero es cuando ellos leen la actividad y no la entienden. A: no entienden la actividad. P3: la leen y no la entienden, ¿qué hacemos en ese caso? P2: a ver dice mira (lee de un libro): pegue los papeles lustres de colores para diferenciar cada pieza como si fuera un rompecabezas, y recórtela utilizando las piezas de cada rompecabezas y el concepto de área, compruebe que este teorema se cumple. Es decir, a2+b2=c2. Esa es la instrucción que tiene el libro. A: ¿La van a hacer tal cual sale en el texto? P2: la íbamos a analizar, pero analicemos esta que está acá. A: ¿están de acuerdo ustedes? P3: sí P1: déjenme ver A: esa es la que está en el texto. P2: (le muestra el libro a P1) Ahí los cuadrados están con diferentes colores como para simplificarle la forma a los niños, después dice en el 1 que esto lo peguen en un cartón para que quede más duro, pero eso no es necesario, en el 2 pegue los papeles de colores para diferenciar cada pieza y luego recorten. A: y a lo mejor no te convendría llevar los recortes a ustedes para la actividad. P2: sí A: porque no les conviene que ellos recorten porque si no se nos va a desvirtuar la clase. P2: no, o sea igual lo tienen que recortar ellos. P1: nosotros le vamos a llevar la figura. P2: esto (mostrando el dibujo del libro) pero más grande y ellos lo tienen que recortar y superponer encima no pegarlo, sino que ese pedacito más ese de ahí completan el área entera del cuadrado de la hipotenusa. A: pero ¿iban a llevar la figura con colores o con un solo color? P1: bueno si nos vamos al desarrollo lo ideal es que el cuadrado del c sea blanco para que se note que hay que llenar eso, entonces eso de por si un cuadrado en blanco y los otros de color dice ah ya hay que completar el cuadrado en blanco. A: ¿van a hacer las mismas preguntas que salen en el texto? P2: no ahí no tiene preguntas, tiene las instrucciones. Las instrucciones dicen pegue los papeles, nosotros no vamos a decir eso porque no queremos utilizar pegamento, le vamos a dar la palabra de sobreponiendo o superponiendo, que el niño tenga que superponer encima los colores de cada
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
147
pies, y después utilizar las piezas y el concepto de área compruebe que el teorema se cumple. No es muy explícito
Frente al tipo de tarea T3: Resolver un problema de cálculo de perímetro de triángulos
rectángulos donde se desconoce la longitud de la hipotenusa.
Señalan que esta actividad es el centro de la clase y se puede observar en lo siguiente:
A:… ¿cuál es el problema de la clase? P1: el problema es del principio cuando ellos tienen que necesariamente identificar uno de los lados P2: uno de los elementos que no estaban. P1: claro, ese es el problema. A: ¿y le van a dar minutos para que ellos? P2, P1: claro A: bueno, entonces tomen esa actividad, pero esto no es el centro. P1: no, esta es la verificación. P3: el centro es ellos tienen que… P2: el desarrollo antes del teorema. P1: la idea es presentarles ese problema, y ellos no tienen las herramientas para solucionarlo, y ahí es cuando surge P2: al terminar la clase, terminar la clase con una idea distinta. En el siguiente episodio, una de las docentes provoca una reflexión de anticipación a las
respuestas de los alumnos. Puesto que el problema central es calcular el perímetro de un
triángulo rectángulo cuyas medidas son 3 y 4 en el caso de los catetos y no se indica la
medida de la hipotenusa. La técnica es determinar esa medida con el uso del teorema de
Pitágoras, pero los alumnos desconocen ese contenido por lo cual tendrán que buscar
alguna manera de determinar dicha longitud. Los profesores, frente a esa idea, esperan que
sus alumnos respondan que la longitud de la hipotenusa es 5, ocupando la regla para medir.
Pero también ponen en duda el uso de la regla, pues ellos desean o al menos esperan otra
forma de calcular la longitud de la hipotenusa. Más aún manifiestan que ese es
precisamente el desafío para sus alumnos.
P2: Yo creo que al menos en mi clase, no me van a decir que es el teorema de Pitágoras, pero pueden llegar a 5, por último P1: Por la medición de regla A: Ya entonces, cuando te digan es 5, ¿Qué van a hacer ustedes ahí? P2: No, ahí nos vamos (Risas), yo creo que yo renuncio P3: Yo creo que si van a decir 5, hay que verificar y comprobar porque es 5
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
148
A: Entonces hay una pregunta que hacer, porque suponte tu que te digan 5, todos te digan que es 5, entonces ya qué hacemos, cómo seguimos. P2: No no no, entonces damos el segundo cuadrado, porque es muy fácil llegar a 5, por 3, 4,5 A: Yo estaba pensando en eso, porque son consecutivos, 3, 4,5 P2: Claro, entonces, lo hacemos por otro trío. P1: 6, 8,10, aunque también es. A: Es que también la regularidad, es que mira, la regularidad, porque supongamos que te dicen 5 P2: No, pero si estamos con el error frecuente, que también es la medida, ya sea 5 o 10, también la van a medir igual, entonces nuestros ojos aquí no van a que lleguen a la respuestas, porque lo pueden hacer, sino que como puedo llegar a esta respuesta, como lo puedo descubrir, sin usar, yo creo que debemos decir una condición, que nadie ocupe regla, sin regla A: Pero si le dice sin regla, ¿Cómo pueden medir? Cómo van a saber calcular eso P2: Pero si no lo estamos calculando A: Mira, hace la actividad ahí (apuntando la pizarra), hace el triángulo rectángulo, como han pensado ustedes, el perímetro de esa figura, ¿cierto?, le van a dar 3, 4 P2: Es que ese es el desafío, dar solamente los lados, y no tengo regla, como podría yo llegar a descubrir el valor del lado que falta, si no tengo regla, no cuento con ella, solo con los lados.
En relación al tipo de tarea T4: Verificación del teorema de Pitágoras, los docentes explican
la técnica que debiera usarse para verificar el teorema y que consiste en superponer figuras
una sobre otras, a modo, de puzles geométricos. Esto se desprende del siguiente episodio.
P1: es una verificación, que si este cuadrado con este cuadrado (haciendo el gesto con las manos) yo los superpongo al cuadrado de c, entonces va a quedar la misma área. P2: ya, entonces nuestra idea era dar esta actividad, y esta actividad era para nosotros como la verificación, pero al niño después le vamos a dar otro triángulo y él tiene que solito hacer la actividad. P1: verificar P2: y verificar. Eso era lo que habíamos pensando, uno guiado y otro solo para verificar. ¡Oh se cumplió ahí!, ¡si y aquí también! ¡Y aquí también se cumple! Una cosa así. Esa pensamos que era la verificación.
La idea de verificar el teorema a través de esa técnica la extraen de una actividad
presentada en el texto escolar nivel 7º básico de la editorial Santillana del año 2011
(analizado en la dimensión didáctica). Los profesores señalan que no la plantearán como se
muestra en el texto, sino que incluirán términos como superponer y el concepto de área, es
decir, realizarán modificaciones.
En resumen, en este taller se discute sobre el diseño de clase que los profesores han
propuesto. Se analiza el diseño en términos de identificar la organización matemática que
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
149
plantean, dicha organización está constituida por cuatro tipos de tareas. Es posible
identificar las técnicas para dichas tareas. Al menos mencionan en forma explícita la
técnica para el tipo de tarea4 que es la verificación del teorema de Pitágoras.
8.4 Análisis taller 7: Reflexión didáctica sobre el constructo reproducibilidad
Descripción del taller 7: en este taller, nuevamente, se provoca la reflexión didáctica sobre
reproducibilidad de situaciones de aprendizaje para determinar los elementos que se tienen
que considerar para que la clase sea aplicada en diferentes escenarios.
En el siguiente episodio se observa la reflexión sobre el constructo reproducibilidad y la
consideración de ciertos elementos para que las situaciones de aprendizajes sean aplicadas
en diferentes cursos y escuelas.
A: sí, vamos a volver al taller porque ahora ya tenemos el contexto. Alguien podría anotar con un plumón las ideas. Ya ¿Cuáles son los elementos que se deben tener en cuenta para que sea aplicada? estamos viendo cómo llevamos a escena esta clase para que sea reproducible, y reproducible es que tenía una esencia y ¿cuál es la esencia de esta clase? La tenemos que determinar. ¿Cuál es la esencia? P2: la esencia es el objetivo. A: y ¿Cuál es el objetivo? P1: que los alumnos entiendan el teorema A: ya ¿y eso lo vamos a entender cómo? P1: la explicación verbalizada del alumno y la visualización de la autoevaluación. P2: pero también en la verificación de la aplicación del teorema. P1: claro, si es capaz de construir la segunda verificación, la primera va a ser un poco más guiada, dirigida y la segunda donde ya lo haga con los múltiplos de los lados. A: cuando ustedes se refieren a eso ¿me pueden explicar la actividad que van a hacer ahí en ese momento? P2: van a tomar un triángulo rectángulo y vamos a dibujar como en el papel los ejercicios que hay, el niño lo va a cortar y va a superponer en el cuadrado de la hipotenusa los otros dos cuadrados y tiene que calzar justo. Lo vamos a hacer guiado con un ejemplo que lo vamos a tener y después con otro tipos de triángulos de otras medidas.
En este diálogo entre docentes y académica se observa que relacionan de inmediato esencia
de la actividad con el objetivo de la clase. En este caso, ellos plantean que dicho objetivo es
la comprensión del teorema de Pitágoras. La forma en cómo los profesores piensan que se
darán cuenta de dicha comprensión es si sus alumnos explican el teorema en forma verbal
y la otra manera es que sus alumnos puedan verificar el teorema. En el momento en que se
les consulta por una explicación de lo que están pensando, se refieren a la técnica que
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
150
utilizarán los estudiantes para verificar el teorema y que corresponde a la utilización de
puzles geométricos por medio de superposición o cubrimientos de superficies equivalentes.
El siguiente episodio muestra la discusión para determinar los elementos que hay que
considerar para no perder la esencia de la clase:
A: entonces volvamos ¿Cuáles son los elementos que debemos tener en cuenta para que sea aplicada y no pierda la esencia, y la esencia es la comprensión del teorema de Pitágoras? ¿Qué elementos debemos considerar? Ahí deberías anotar la pregunta (indicando a P1 que escriba en la pizarra) para que tengamos consciencia al momento de aplicar la clase. Pamela ¿qué elementos te fijarías? P3: mmmm P1: las instrucciones, o sea tienen que ser P2: tú estás pensando en la actividad 3 P3: no, en general. P2: lo que planteaste la otra vez (refiriéndose a P1) los recursos. P1: ah claro, los recursos. P2: sean las fotocopias. Habíamos pensando con Martín en poner en el inicio por la cantidad de minutos, ya que contamos con 90 minutos, entonces pensábamos que esto así como lo vemos nos va a sobrar tiempo, quizás no, porque no estamos considerando el desarrollo de los niños, el desarrollo, sus respuestas, sus preguntas, que quizás nos puedan alargar la clase, entonces con Martín estábamos pensando en un power point y decíamos un power point de qué, puede ser de una figura, en el inicio para recordar lo que eran los perímetros como didáctico, un power point que mostrará lo que P1: una actividad como un juego identificación de perímetro. A partir de las respuestas de los docentes es posible visibilizar algunos elementos para
conservar la esencia de la clase, éstos son: las instrucciones y los recursos. En el tema de
los recursos para desarrollar el diseño didáctico cuestionan el uso del power point, pues no
todas las escuelas cuentan o tienen equipos que pueden ocuparse en el día que realizarán las
clases. Además, advierten que si un profesor usa power point para dar a conocer las
actividades y los otros no, entonces la clase no sería la misma. Esto se detecta en el
siguiente episodio:
P2: el tema es que tiene sus pro y sus contra, a favor y en contra, porque a favor está lo que plantea Martín el tema de que estamos más pauteados y más acotados para hacer la reproducibilidad de la clase, porque cada pregunta yo pienso que la vamos a ir dando en forma de interacción, no podemos esperar que el escriba, no, yo pienso que igual debe ser más natural más espontáneo porque es solamente el inicio, pero también es una pérdida y distrae. P1: eso hay que pensarlo. A: piénsenlo. Un elemento detectado las preguntas tienen que ser las mismas. P2: tenemos un problema con el data por ejemplo. Si a Pamela ese día le ocuparán el data, ya estaría con un problema. P1: ya no sería la misma clase
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
151
Frente a esa discusión, la académica indica que es mejor asegurarse. Les hace la
observación de que los profesores manifestaron que las preguntas sí tenían que ser las
mismas, ante lo cual la profesora P2 manifiesta duda. Los otros profesores están de acuerdo
en no hacer otras. Esto se percibe en el siguiente diálogo:
A: entonces a lo mejor ese recurso te va a entorpecer, puede ser o puede que no. Así es que mejor vámonos a la segura. Pero ustedes dijeron que las preguntas son un elemento, las preguntas todas iguales, en el libreto son importantes. En el libreto, en el inicio, hay que colocar las preguntas que ustedes van a hacer. P2: ¿y no podemos hacer otras? P1: la idea es no hacer otras. P3: claro Del siguiente episodio se desprenden dos elementos que son necesarios dejar estables: las
preguntas claves y las actividades. Estas actividades tienen que usar los mismos datos (en
este caso los mismos números). Sin embargo, la académica les cuestiona que si los alumnos
plantean una pregunta, cómo le responderían. Los profesores señalan que es parte de la
clase y está fuera de la planificación. Por tanto, surge la necesidad de hacer explícitas las
preguntas claves.
P1: a no, ahí ya forma parte de la clase, ya sale de la planificación del profesor. A:Sí, porque también hay que dejar libertad a eso. No podemos perder de vista un elemento que las preguntas son las mismas, puede que a lo mejor aparezca una pregunta que se desprenda de la interacción y le haga una pregunta y ustedes tengan que responder con otra pregunta, puede ser pero hay preguntas claves. P2: preguntas claves (le indica a P1 que escriba en el pizarrón) P2: diferenciamos elementos en el inicio A: Sí, mejor (Martín sigue escribiendo en la pizarra) P2: Después momentos de desarrollo (Se para Martín a escribir en la pizarra) A: Esto nos va a ayudar para después colocarlo en el libreto también. P2: Somos actores también, de la educación A: Esto nos trae aspectos definidos, las preguntas P2: Espere, cuando dice, problemas de áreas, perímetros de triángulos, después vamos a dar, también sería, pero no preguntas claves, pero sería los mismos problemas, los mismos, no sé cómo decirlo A: Actividad P1: Las mismas actividades P2: Eso también es un elemento clave, por ejemplo, si vas a jugar con ellos, en el cálculo mental del perímetro, también lo tengo que tener, para que tú hagas lo mismo. P1: Claro.
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
152
P2: Y hasta los mismos números, porque si yo les digo un perímetro de un cuadrado de lado 10, va a ser mucho más fácil la respuesta que si yo digo uno de la lado 9, ya que el 10 es más fácil para sacarlo más rápido y el 9 requiere un poquito más. Entonces también nosotros tenemos que tener pauteado.
En relación a los recursos, se refieren a la actividad impresa de tal modo de tener las
mismas actividades y con los mismos números.
P2: Ya, en este caso, dice entregar problema en papel, fotocopia del papel, fotocopia de la guía P1: Mismos recursos A: Ahí queda claro que es el mismo recurso, porque no se cambia, ¿ahí las medidas van a ser 3, 4 o no?, o pensaron en cualquiera? P1: O sea la idea es que sea una de esas medidas de los tríos pitagóricos P3: Claro, esa es la idea P1: De ese estilo, nosotros queremos después encontrar la hipotenusa como el lado único, que no sea como 5,1 o 4,9 sino 5.
En el siguiente episodio emerge por primera vez en la discusión, el análisis a priori de una
situación de aprendizaje. Este es un elemento teórico, pues pertenece a una de las fases de
la ingeniería didáctica. La justificación de considerar el análisis a priori es porque tendrán
los posibles errores, las posibles respuestas de sus alumnos. En otras palabras, la discusión
se focaliza en predecir lo que ocurrirá en la clase, más aún, el profesor al diseñar su clase se
pone en el lugar del alumno y piensa en lo que responderán sus alumnos.
P2: No, yo acá pienso que los elementos en común, es el análisis a priori A: Ya P2: Porque ahí están los posibles errores, las posibles respuestas, el análisis a priori de la actividad A: Colócalo entonces (Hablando a Martín) P2: No obstante, lo tenemos que tener en el transcurso de toda la clase, pero en este caso, porque está en nuestra actividad fuerte, tiene que estar aquí.
En el contexto del taller es posible observar que los profesores escriben en la pizarra un
listado de elementos que ellos tienen que considerar para que la situación de aprendizaje no
pierda su esencia al aplicarla en cada uno de los escenarios y que son: “Elementos del
Inicio: Preguntas claves, Cálculo de perímetro y área (mismas medidas); Elementos de
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
153
desarrollo: Mismo recurso, Análisis a priori; Elementos de Cierre: Recurso,
autoevaluación, preguntas claves.”
Se observa que los docentes, durante la discusión, evaden o al menos no consideran el
contenido matemático como un elemento para que la clase no pierda su esencia. La
académica, en algunos episodios, provoca explícitamente dicha reflexión y los invita a
reflexionar del contenido matemático de la clase que están planeando y se produce el
siguiente diálogo:
A: claro, hay conocimientos adquiridos que tienen que tener. Ahora, el objetivo de la clase es comprensión del teorema de Pitágoras, sería bueno definir qué es lo que vamos a entender por comprender el teorema de Pitágoras. Así conversando ¿qué es lo que van a entender ustedes? P1: ¿Qué es lo que vamos a entender nosotros? A: Sí, porque ustedes dicen esta clase va a ser la comprensión del teorema de Pitágoras, consensuemos qué vamos a entender por comprender el teorema de Pitágoras. Porque en definitiva ese es el logro de aprendizaje: comprender el teorema de Pitágoras. ¿Cómo vamos a entender que ellos comprendieron el teorema de Pitágoras o qué vamos a entender nosotros por teorema de Pitágoras? P2: Esa fue una discusión que tuvimos ese día, porque pensamos en poner ejercicios y después dijimos ejercicios no, porque ahí ya está aplicando y no queremos que lo aplique queremos que lo comprenda, entonces por eso incluimos la autoevaluación para ver si el niño entendió lo que es la hipotenusa, si entendió la definición del teorema, o sea comprenderlo, entenderlo, saber que de qué se trataba, que él demuestre que si no entendió nada, porque sino proponer ejercicios ya era aplicarlo. P1: claro, no queríamos irnos al objetivo de la segunda clase, queríamos mantenernos en la idea de la primera, en la comprensión. La comprensión como se evidencia, primero en la observación directa, en la observación que hace el profesor con los alumnos. Las respuestas de los docentes P2 y P1 evaden la discusión sobre el contenido matemático
en cuestión y responden en términos de tareas didácticas, pues piensan que plantearán
ejercicios y se refieren al objetivo de la clase y la forma en que ellos se darán cuenta de si
sus alumnos comprenden el teorema de Pitágoras.
Dada esta respuesta, y continuando con la intención de poner en discusión el teorema de
Pitágoras, la académica pregunta: “pero, ¿cómo me doy cuenta de que el alumno no
entendió el teorema?” Los profesores responden:
P2: si lo vuelvo a explicar. A: pero, ¿qué explicación crees que daría? P2: la definición del teorema parafraseada con palabras de él. P1: o que no lo aplique, pero lo identifique en otro ejemplo. Te acuerdas que se planteó esa idea (dirigiéndose a P2), no hacerlo con un solo triángulo, sino hacerlo con otro; pero con la misma
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
154
medida y después tomar eso en la tercera clase como recíproco, aprovechar, o sea se les da el primer triángulo y la idea es que ellos recorten la actividad 3,4 y 5, y va a ver si la suma de los cuadrados, entonces después hacer de ese mismo pero con 6,8,10. P2: claro, con los tríos pitagóricos.
Sin embargo, las respuestas de los profesores P2 y P1 se focalizan en los ejemplos que
podrían dar sus alumnos y no en el contenido matemático.
Continuando con la discusión, emerge entonces la pregunta de qué es un teorema y se
observa lo siguiente:
P2: ¿pero es necesario que ellos sepan que un teorema es diferente de una regla? A: claro P2: porque ellos ya están acostumbrados, en una propiedad uno hace esto, pero para ellos no va a ser tan terrible aprenderse un teorema porque yo pienso que lo van a relacionar como una de las tantas reglas que ellos han visto. A: claro lo van a ver como una regla, pero ahora el teorema en matemática para que todos nos crean tenemos que demostrarlo, pero como no podemos demostrarlo ustedes lo van a verificar. Esa es la idea que ustedes tienen que introducirla en el momento que van a verificar el teorema, ahí sería pertinente decirles aquí tenemos el teorema de Pitágoras, a este le vamos a llamar hipótesis, a este tesis, la hipótesis es la condición, si no ocurre eso entonces no puedo hacer nada. Eso es muy interesante porque los chicos primera vez que están en geometría. P2: lo más probable que tiendan a probar un triángulo que no sea rectángulo. P1: y podríamos dar el ejemplo en ese caso, o sea este tipo de ejercicios de hipótesis tesis, en el sentido de que si tengo un lápiz en la mano sobre el piso y suelto el lápiz, el lápiz va a caer y va a rebotar en el suelo, entonces la condición es tener un lápiz en la mano si no tengo un lápiz no va a pasar la consecuencia de que el lápiz se caiga, si lo tengo en la mesa no se va a caer, si lo tengo en la mano se va a caer, es como un poco la implicancia, si al final es lógica.
La académica hace una intervención relacionada con el teorema y su demostración. Como
los alumnos de los profesores son de nivel básico no se enseña la demostración, pero se
hace hincapié en que al menos pueden verificar el teorema. Los docentes plantean la prueba
del teorema con ejemplos y con la explicación de qué es una hipótesis y una tesis en el
ámbito de la ciencia.
Conclusión
Dados los análisis realizados en términos praxeológicos, podemos concluir que frente al
tipo de tarea “aplicar diseños didácticos en diferentes escenarios”, se identifica una
praxeología constituida por tipos de tareas, técnicas y tecnologías. El componente
tecnológico es justificado en los talleres 1 y 2 por la práctica del profesor. En el siguiente
Capítulo 8 Análisis del taller sobre el constructo reproducibilidad
155
taller se incorpora un elemento teórico al quehacer del profesor que permita determinar los
conocimientos didácticos que tienen los docentes. En esta se completa la praxeología
identificada con sus cuatro componentes. Puesto que se ha introducido un componente
teórico a través del constructo reproducibilidad de situaciones de aprendizajes.
También se concluye que los docentes realizan una organización matemática de la clase,
constituida por cuatro tipos de tareas y mencionan algunas técnicas asociadas al tipo de
ellas; en especial el tipo de tarea “verificar el teorema de Pitágoras”.
En relación a la reproducibilidad de las situaciones de aprendizaje, los docentes plantean
ciertos elementos que deben dejar inamovibles para que las mismas situaciones sean
aplicadas en distintos escenarios.
Capítulo 9 Análisis de las situaciones de aprendizajes
156
CAPÍTULO 9
Análisis de las situaciones de aprendizajes
Los docentes; a partir de la discusión generada en los talleres sobre el teorema de Pitágoras,
más el análisis descriptivo del programa de estudio y el análisis de un texto escolar del
nivel 7º básico (edad 13-14 años); diseñan cuatro situaciones de aprendizaje que organizan
en un guía de trabajo para sus alumnos el cual tiene como logro didáctico la comprensión
del teorema de Pitágoras.
En lo que sigue se presenta el análisis de cada situación, determinando los tipos de tareas, sus técnicas asociadas y la tecnología
9.1 Análisis Situación 1
Tipo de tarea1: Calcular área de cuadriláteros (cuadrados y rectángulos) de las figuras.
Figura 10: Figuras entregadas a los estudiantes
Técnica 11: cómo está cuadriculado con cuadrados de 1 cm por lado, cada uno de ellos tiene
1 cm2 de área, se procede a contar en cada figura la cantidad de cuadrados. Así el área de
las figuras son: primer rectángulo 10 cm2 ; segundo rectángulo 6 cm2; primer cuadrado 9
cm2; segundo cuadrado 4 cm2 .
Técnica 12 : cada figura está constituida por cuadradados de 1 cm por lado. De este modo se
puede indicar la longitud de cada lado y luego aplicar fórmulas: 𝑎 ∙ 𝑏 para calcular área del
rectángulo en donde 𝑎 representa la longitud del ancho y 𝑏 representa la longitud de la
medida del largo; 𝑎! donde 𝑎 representa la longitud del lado del cuadrado.
Tecnología11:medición de superficies planas, en este caso, medición de cuadrados y
rectángulos.
Tecnología12:área de cuadrados y retángulos, lenguaje algebraico.
Capítulo 9 Análisis de las situaciones de aprendizajes
157
9.2 Análisis Situación 2
Tipo de tarea2: Calcular el perímetro de cuadriláteros y triángulos dadas las longitudes de sus lados.
Figura 11: Figuras entregada a los estudiantes
Técnica21: dadas las longitudes, para calcular el perímetro de los cuadriláteros y triángulos
se suman las medidas.
Técnica22: identificando que los cuadriláteros son: cuadrado, rectángulo y el triángulo es
equilátero se aplica la fórmula para cálculo de perímetro de las respectivas figuras.
Tecnología21: adición de números naturales, medición de segmentos y perímetro de figuras
planas (triángulo, cuadrado y rectángulo).
Tecnología22:significado de figuras planas, en este caso, triángulos, cuadrados y
rectángulos. Reconocimiento de una fómula para calcular el perímetro de triángulos,
cuadrados y rectángulos. Uso de lenguaje algebraico.
Capítulo 9 Análisis de las situaciones de aprendizajes
158
9.3 Análisis Situación 3
Tipo de tarea3: calcular el perímetro de
triángulos rectángulos en donde se desconoce
la longitud de la hipotenusa.
Técnica31: medir con regla (instrumento) la longitud de la hipotenusa y luego sumar las medidas de los tres lados del triángulo.
Técnica 32: aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa y luego sumar las medidas de los tres lados del triángulo.
Figura 12: Figura correspondiente al tipo de tarea3
Tecnología31: sistema métrico decimal, medición de segmentos, perímetro de un triángulo.
Tecnología32: teorema de Pitágoras, perímetro de un triángulo.
9.4 Análisis Situación 4
La actividad de la situación 4 consiste en verificar el teorema de Pitágoras mediante el uso de
la figura 10 como puzle geométrico. Los alumnos tienen que dibujar la figura 10, enseguida
recortar los cuadriláteros trazados sobre los catetos del triángulo rectángulo y superponer el
cuadrado trazado sobre la hipotenusa.
Figura 13: Representación del teorema de Pitágoras
Capítulo 9 Análisis de las situaciones de aprendizajes
159
Cabe señalar que en la actividad se precisa la técnica que tienen que aplicar los estudiantes
para verificar el teorema. Utilizan la idea de superficies equivalentes y lo constatan a través
de “armar un rompecabezas”. No hay una conexión con la relación numérica, es decir, dan
una sola posibilidad para hacer la tarea. Esta actividad es presentada en el texto escolar. Los
profesores cambian las instrucciones y conservan el dibujo.
Dada la descripción de la actividad se identifica el siguiente tipo de tarea:
Tipo de tarea4: verificar el teorema de Pitágoras: “En un triángulo rectángulo cuyos catetos
tienen por longitud 𝑎 y 𝑏, la hipotenusa es de longitud c entonces 𝑎! + 𝑏! = 𝑐!”.
Técnica4 : En forma pragmática, relacionando el área de los cuadrados trazados sobre los
catetos y el cuadrado trazado sobre la hipotenusa, superponen las figuras trazadas sobre los
catetos en el cuadrado trazado sobre la hipotenusa. (Hay más de una manera).
Tecnología4: área de cuadrados y superficies equivalentes
Conclusión de capítulo
El análisis realizado en términos praxeológicos permite identificar la organización
matemática que diseñaron los docentes para la comprensión del teorema de Pitágoras. Se ha
considerado explicitar el tipo de tarea, la técnica y la tecnología asociadas. Esta
organización está destinada a estudiantes de enseñanza general básica, por lo cual no se ha
identificado la teoría. Esto último obedece a que en el programa de estudio chileno de la
educación general básica no se considera la demostración en geometría.
En relación a la organización matemática es posible detectar que los docentes han
propuesto una praxeología relacionada con medidas de dimensión 1 y dimensión 2. Es
decir, vincularon el contenido matemático, teorema de Pitágoras, con la medición. Esto
permite percibir que han usado un componente epistemológico del teorema de Pitágoras,
pues este objeto matemático emerge a partir de la práctica de medir terrenos y trazar
segmentos perpendiculares.
En el capítulo siguiente se presenta el análisis de los videos de clases.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
160
CAPÍTULO 10
Análisis videos de clases
En este capítulo se presenta el análisis de las cinco clases en que fue aplicado el diseño
didáctico sobre el contenido matemático (teorema de Pitágoras).
Dado el contexto de la investigación, se realiza un seguimiento a los tres profesores (P1, P2
y P3) que diseñaron las situaciones de aprendizajes y que reflexionaron en forma explícita
sobre el constructo reproducibilidad. Se incorpora una cuarta docente del programa de
postítulo (P4). La profesora P4 participó en la observación de las clases que fueron
aplicadas por sus colegas y en los talleres de discusión de las clases, también participó en el
taller sobre la discusión y profundización de la naturaleza del teorema de Pitágoras. Ella
aplica el diseño didáctico en su escuela a estudiantes del nivel 7º básico (alumnos de 12-13
años).
El análisis que se realiza es la identificación de la praxeología didáctica, a través de la
determinación de los momentos de estudio, mencionados en el capítulo del marco teórico.
Dicho análisis se efectuó determinando los episodios de cada clase. Enseguida en cada
episodio se identificó el momento de estudio (momento didáctico), el actor principal
(profesor o alumno), el objeto matemático involucrado y la actividad analizada. En el anexo
se presenta un análisis completo, a modo de ejemplo, de la clase de un profesor.
En este capítulo se presentan sólo la gestión y análisis de las cuatro situaciones diseñadas
por los profesores. Por tanto, se exponen solo algunos episodios de las diferentes clases.
Las situaciones de aprendizajes corresponden a las organizaciones matemáticas
identificadas y se relacionan con los cuatro tipos de tareas analizadas en el capítulo 8.
Cabe señalar que la profesora 3 y profesora 4 desarrollan tres situaciones, puesto que
después de la discusión de las clases de los profesores 1 y 2, el grupo de trabajo considera
replantear la situación 1 y 2 modificando dichas situaciones. Esta modificación consistió en
disminuir la cantidad de ejercicios que se presentan a los alumnos, por lo que deciden
diseñar una situación que involucre los tipos de ejercicios de las situaciones 1 y 2.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
161
10.1 Análisis situación de aprendizaje 1
La situación 1 de aprendizaje corresponde al tipo de tarea1 y consiste en calcular el área de
cuadriláteros de ciertas figuras (cuadrados y rectángulos) señaladas en la figura.
Figura 14: Figura presentada en el tipo de tarea1
Las técnicas y tecnologías asociadas al tipo de tarea1 son:
Técnica 11: como cada figura presentada
está cuadriculada con cuadrados de 1 cm
por lado, cada uno de ellos tiene 1 cm2
de área, se procede a contar en cada
figura la cantidad de cuadrados. Así, el
área de las figuras son: primer rectángulo
10 cm2 ; segundo rectángulo, 6 cm2;
primer cuadrado 9 cm2; segundo
cuadrado, 4 cm2 .
Tecnología11:Medición de superficies planas,
en este caso, medición de cuadrados y
rectángulos.
Técnica 12 : Cada figura está constituida
por cuadradados de 1 cm por lado. De
este modo se puede indicar la longitud de
cada lado y luego aplicar fórmulas: 𝒂 ∙ 𝒃
para calcular área del rectángulo en
donde 𝒂 representa la longitud del ancho
y 𝒃 representa la longitud de la medida
del largo; 𝒂𝟐 donde 𝒂 representa la
longitud del lado del cuadrado.
Tecnología12:Área de cuadrados y
rectángulos, lenguaje algebraico.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
162
El análisis de la organización didáctica de la situación 1 se expone a continuación:
Momentos didácticos
Profesor 1 (P1)
Episodios:
E7 y E8
Se observa el trabajo de la técnica, lo que se denomina el cuarto
momento de estudio. El profesor previamente realizó preguntas sobre
cómo calcular el área de cuadrados y rectángulos y entregó una forma
de calcularla.
Profesor 2 (P2)
Episodios:
E7 y E8
La docente propone a su alumnos resolver la situación 1, previamente
hace preguntas en relación al perímetro y áreas de cuadrados y
rectángulos.
Se identifica el cuarto momento del estudio: la práctica de la técnica.
La profesora 3(P3) no realiza el mismo tipo de tarea1 (situación1), de común acuerdo con
el equipo de trabajo cambia la redacción de la situación 1. El tipo de tarea que plantea es:
Figura 15: Situación de aprendizaje modificada
El análisis se focaliza en el episodio 3 y 4 (E3 y E4) en donde los alumnos resuelven la tarea
propuesta:
Momentos didácticos
Profesor 3 (P3)
Episodios:
E3 y E4
Se observan dos momentos del estudio. Uno es el segundo momento
denominado exploratorio, pues la profesora pregunta a sus alumnos
cómo calcular el perímetro y área de las figuras presentadas en la guía
de trabajo. Este momento da espacio para que los alumnos indaguen y
Capítulo 10 Análisis videos de clases
163
respondan. Enseguida señala cómo calcular el perímetro y área de las
figuras presentadas.
Así, es posible distinguir también el otro momento que corresponde al
cuarto momento de estudio: practicar la técnica.
En resumen, el tipo de tarea que los profesores idearon (situación1) fue calcular el área y
perímetro de cuadrados y rectángulos, cada una de esas figuras estaban cuadriculadas. El
profesor 3 cambia la situación y la pregunta que realiza es ¿Cómo calcularía el área y
perímetro? Las figuras que muestra son dos cuadriculadas y las otras dos con las longitudes
de los lados.
El profesor 1 y profesor 2 coinciden en el cuarto momento didáctico que es el trabajo de la
técnica. Pues antes de plantear esta actividad a los alumnos plantean preguntas relacionadas
con el cálculo de áreas y perímetros de cuadrados y rectángulos. Por tanto, al momento de
proponer la actividad, los estudiantes ya conocen la técnica y la ejercitan.
La profesora 3 cambia la actividad en el sentido que toma dos figuras cuadriculadas y las
otras dos muestran sus longitudes de los lados. Al introducir la palabra cómo y proponerla
en base a una pregunta cambia el sentido de la respuesta. Este cambio que utiliza la docente
da paso para que los estudiantes elaboren una técnica para resolver el tipo de tarea. Se
observa que la tarea calcula el área la transforma a la necesidad de la elaborar una técnica
con el uso de ¿cómo calcularías el área y perímetro? (Chevallard,1999). Si bien cambió la
situación y planteó una pregunta, permitió identificar un momento exploratorio; pues lo
estudiantes tenían que buscar una técnica para resolver el tipo de tarea. Sin embargo, la
docente entrega la técnica para calcular lo solicitado. La técnica que entrega son fórmulas
de perímetro y área de cuadrados y rectángulos y la actividad que realizan los alumnos es
aplicar esas fórmulas.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
164
10.2 Análisis situación de aprendizaje 2
La situación 2 corresponde al tipo de tarea2 consistente en calcular el perímetro de
cuadriláteros y triángulos, dadas las longitudes de las figuras presentadas en el siguiente
recuadro:
Figura 16: Situación de aprendizaje 2
Las técnicas y tecnologías asociadas a este tipo de tarea2 son:
Técnica21: Dadas las longitudes, para calcular
el perímetro de los cuadriláteros y triángulos
se suman las medidas.
Tecnología21: Adición de números
naturales, medición de segmentos y
perímetro de figuras planas (triángulo,
cuadrado y rectángulo).
Técnica22:Identificando que los cuadriláteros
son: cuadrado, rectángulo y el triángulo es
equilátero se aplica la fórmula para cálculo de
perímetro de las respectivas figuras.
Tecnología22: Significado de figuras
planas, en este caso, triángulos, cuadrados
y rectángulos. Reconocimiento de una
fórmula para calcular el perímetro de
triángulos, cuadrados y rectángulos. Uso
de lenguaje algebraico.
Análisis de la organización didáctica de la situación 2
Capítulo 10 Análisis videos de clases
165
Momentos didácticos
Profesor1 (P1)
Episodios:
E10 y E11
El profesor plantea previamente preguntas relacionadas con el
significado de perímetro. Enseguida señala la forma de calcular
perímetros de cuadriláteros y triángulos.
En el desarrollo de esta actividad se perciben dos momentos de
estudios: uno es el quinto momento denominado institucionalización,
pues el profesor indica la manera de calcular los perímetros. El otro
momento es el cuarto, en el cual los estudiantes practican la técnica
dada por el docente.
Profesor 2 (P2)
Episodios:
E9 E10 y E11
La profesora en estos episodios plantea la situación y hace preguntas
relacionadas con el perímetro. Frente a las respuestas de sus alumnos
indica la manera de calcular perímetros de cuadrados, rectángulos y
triángulos dadas su longitud. En cada caso expone con ejemplos la
aplicación de fórmulas.
Por tanto, el momento de estudio es el cuarto; el cual señala la práctica
de la técnica.
En resumen, el profesor 1 desarrolla la actividad y a partir de esta actividad hace una
institucionalización del cálculo del perímetro, luego ejercita la técnica que ha oficializado
lo que se aprecia en los siguientes extractos de diálogos. P1: 24 cm. ahora ya no hablamos de centímetros cuadrados, solo hablamos de 24 cm. Ahí ustedes tienen 4 figuras, se agrega una figura más que es el triángulo. Tienen que obtener el perímetro, la medición que hay por el exterior de esas figuras, se dan también las medidas. Comiencen, vamos. [El profesor se pasea por la sala de clases] P1: Dijimos que para calcular el perímetro de una figura vamos a sumar un lado, más el otro lado, más el otro lado, más el otro lado. Esto es un rectángulo de ancho 2 cm. y de largo 7. ¿Cuál es el largo de abajo? Alumno: 7 P1: También es 7. P1: el cuadrado de lado de 4 cm, ¿cuál es su perímetro? As: 16 [El profesor anota las respuestas de los alumnos] P1: el triángulo de lado 5,6 y 8 cm. As: 19
Capítulo 10 Análisis videos de clases
166
P1: el rectángulo de lado 7 y 3 As: 20 P: ¿y el último? As: 12 P1: En general entonces, para sacar el perímetro ¿qué hacemos con los lados? A: sumamos P1: ¿y cuándo sacamos el área? A: Se multiplican
Por otra parte, la profesora 2 desarrolla la actividad y el único momento didáctico que se
observa es el cuarto momento que se relaciona con ejercitar la técnica.
La profesora 3 no realiza la actividad, sino que al cambiar la situación 1, la sustituye por
otra en donde considera ambos tipos de tareas.
En términos praxeológicos, organización didáctica, los profesores 1 y 2 que realizan la
misma actividad coinciden en el cuarto momento relacionado con la práctica de la técnica.
Cabe destacar que el objetivo de la situación fue precisamente practicar la técnica.
10.3 Análisis situación de aprendizaje 3 La situación 3 corresponde al tipo de tarea3 que es calcular el perímetro de triángulos
rectángulos en donde se desconoce la longitud de la hipotenusa.
Figura 17: Situación de aprendizaje 3
Las técnicas y tecnologías asociadas al tipo de tarea3 son:
Capítulo 10 Análisis videos de clases
167
Técnica31: Medir con regla (instrumento) la
longitud de la hipotenusa y luego sumar las
medidas de los tres lados del triángulo.
Tecnología31: Sistema métrico decimal,
medición de segmentos, perimétro de un
triángulo.
Técnica 32: Aplicar el teorema de Pitágoras
para calcular la longitud de la hipotenusa y
luego sumar las medidas de los tres lados
del triángulo.
Tecnología32: Teorema de Pitágoras,
perimetro de un triángulo.
Análisis de la organización didáctica de la situación 3
Profesor y episodios Momentos didácticos
Profesor1 (P1)
Episodios:
E13, E14, E15, E16, E17,
E19 , E20.
El profesor plantea el tipo de tarea3 y deja un espacio de tiempo
para que los alumnos lean e inicien la búsqueda de estrategias
para resolver. Se identifica el primer momento, que se comprende
como el primer encuentro de los estudiantes con la pregunta que
tienen que responder, y de acuerdo a los datos que tienen.
Enseguida hace una puesta en común y los alumnos señalan sus
formas de encontrar la técnica. En esta parte se percibe el
segundo momento llamado exploración de la técnica.
Posteriormente se identifica el momento de la, institucionali-
zación pues el profesor a partir de la exploración de la técnica
para resolver el tipo de tarea oficializa un conocimiento que
corresponde al teorema de Pitágoras.
El docente retoma el problema planteado y lo resuelve aplicando
el teorema de Pitágoras. En este caso se percibe el cuarto
momento relacionado con la práctica de la técnica.
Profesor 2 (P2)
Episodios:
E14 E15 , E16, E17,
E18, E19, E20 y E21
La profesora plantea la situación 3, da tiempo para que los
estudiantes comprendan lo que tienen que realizar y además
explica la situación. Se identifica en esta parte el primer
encuentro, es decir, el alumno se enfrenta al tipo de tarea.
Enseguida realiza una puesta en común con las respuestas de los
Capítulo 10 Análisis videos de clases
168
estudiantes y las confronta, se identifica en esta etapa el segundo
momento: la exploración de la técnica. Lo anterior, sin mencionar
cuál es la respuesta correcta frente al tipo de tarea presentada; les
señala a sus alumnos que hay una forma de calcular la medida de
la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En este instante da a
conocer el teorema de Pitágoras, se identifica el quinto momento,
el de la institucionalización de un saber. Sin embargo en el
transcurso de la clase retoma el tipo de tarea dado y hace explorar
a sus estudiantes sobre la técnica dada para encontrar la longitud
de la hipotenusa.
Profesora 3(P3)
La profesora 3 realiza la misma actividad pero los triángulos tienen las longitudes reales, es decir, si un cateto del triángulo ABC mide 4 cm, en el dibujo está con esa medida.
Episodios. E5 E6 , E7, E8, E9, E10,
La profesora 3 plantea el problema y explica la situación a sus
alumnos, hace preguntas sobre las figuras y lo que solicita el
problema. Se identifica en esta parte el primer momento, llamado
el momento del primer encuentro. Da tiempo para que los
alumnos resuelvan el problema, enseguida realiza una puesta en
común sobre las estrategias de solución. En esta parte se
identifica el segundo momento, el momento de la exploración y
la búsqueda de una técnica para resolver el tipo de tarea.
Posteriormente, analizan lo escrito en la guía de trabajo sobre el
teorema de Pitágoras. En esta parte se identifica el quinto
momento: la institucionalización.
En resumen, en términos de momentos didácticos se observa que los tres profesores
coinciden en tres momentos didácticos: primer momento – el primer encuentro- ; segundo
momento – el de la exploración y la búsqueda de una técnica para resolver el tipo de tarea;
quinto momento – es de la institucionalización del teorema de Pitágoras. Por tanto, no hay
grandes diferencias en el desarrollo de la clase, al menos hay una exploración de la técnica,
es decir, proponen la tarea para crear la necesidad en los alumnos de la elaboración de una
técnica pues los estudiantes desconocen el teorema de Pitágoras.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
169
10.4 Análisis situación de aprendizaje 4
La actividad de la situación 4 consiste en verificar el teorema de Pitágoras mediante el uso
de la figura 10 como puzle geométrico. Los alumnos tienen que dibujar la figura 10,
enseguida recortar los cuadriláteros trazados sobre los catetos del triángulo rectángulo y
superponer el cuadrado trazado sobre la hipotenusa.
Figura 18: Representación del teorema de Pitágoras
El tipo de tarea4 identificado es: verificar el teorema de Pitágoras: “En un triángulo
rectángulo cuyos catetos tienen por longitud 𝑎 y 𝑏, la hipotenusa es de longitud c entonces
𝑎! + 𝑏! = 𝑐!”.
La técnica y tecnología asociada al tipo de tarea es:
Técnica4 : En forma pragmática,
relacionando el área de los cuadrados
trazados sobre los catetos y el
cuadrado trazado sobre la
hipotenusa, superponen las figuras
trazadas sobre los catetos en el
cuadrado trazado sobre la
hipotenusa. (Hay más de una
manera).
Tecnología4: Área de cuadrados y superficies
equivalentes
Análisis de la organización didáctica de la situación 4
Capítulo 10 Análisis videos de clases
170
Profesor y episodios Momentos didácticos
Profesor1 (P1)
Episodios:
E21 y E22,
El profesor plantea la situación y señala a los alumnos que van a
poner en duda lo que dice el teorema de Pitágoras. Por lo cual
tienen que verificarlo. Para ello entrega un dibujo en donde se
visualiza el teorema, los alumnos tienen que recortar y
superponer las figuras recortadas a modo de puzle geométrico.
Esto lo realizan para comprobar la relación entre las áreas de los
cuadrados trazados sobre los catetos del triángulo rectángulo y el
área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa del mismo
triángulo. En esta parte se identifica el tercer momento de estudio
que corresponde a la constitución tecnológica teórica del teorema
de Pitágoras.
Profesor 2 (P2)
Episodio: E22
La profesora plantea la situación y pone en duda lo que dice el
teorema. Por tal razón tienen que verificar la relación entre las
áreas de los cuadrados trazados sobre la hipotenusa y el área del
cuadrado trazado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Para verificarlo, la profesora les indica que realicen cortes a los
cuadrados trazados sobre los catetos y los superpongan sobre el
cuadrado de la hipotenusa. Se percibe el tercer momento de
estudio: la constitución tecnológica teórica del teorema de
Pitágoras.
Profesora 3(P3)
Epidosio E11
La profesora plantea el tipo de tarea y señala que lo que
realizarán es la comprobación del teorema de Pitágoras. La
técnica que señala es usar la figura 10: realizar ciertos cortes a los
cuadrados trazados sobre uno de los catetos y luego superponer
las figuras recortadas sobre el cuadrado trazado sobre la
hipotenusa. En esta parte se identifica el tercer momento que se
refiere a la constitución tecnológica teórica del teorema de
Pitágoras.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
171
Al proponer la tarea de verificar el teorema de Pitágoras, los docentes entregan el procedimiento para realizar dicha verificación, es decir, entregan la técnica.
El profesor 1 conecta la superposición de superficies mediante material concreto con el teorema se observa en el siguiente episodio:
P1: ¿Cuál es la actividad que vamos a hacer ahora? Vamos a probar si de verdad los cuadrados construidos sobre los catetos van a tener la misma área que tiene el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Para eso ustedes ahora esta no la recortan, van a recortar As: Tengo una distinta. (El profesor les cambia la hoja a algunas alumnas) P1: ¿Cuál es la idea entonces? Toman el triángulo rectángulo que tiene esos segmentos en los catetos. As: ¿Cuál? P1: El que no tiene letras. Entonces ustedes tendrían que tener una figura así como esta. (El profesor muestra la manera de cortarlo) P1: Observen este teorema, observen lo que tienen en la mano y piensen ustedes cómo podrían verificar la veracidad del teorema. Dice que si tenemos un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados que construidos sobre los catetos es igual al cuadrado que construye en la hipotenusa. (Los alumnos recortan la figura) Bueno, una vez que ustedes cortaron entonces la figura lo que tienen que enfrentarse es como a una especie de rompecabezas hacer calzarlo (empieza a explicar en la pizarra) la parte del cuadrado, la parte de este otro cuadrado en este otro cuadrado en el cuadrado grande (Refiriéndose al cuadrado sobre la hipotenusa)
Sin embargo los alumnos no logran comprender la actividad y además que no coinciden las
“piezas dibujadas”, por lo cual no es posible finalizar la tarea.
El profesor 2 entrega la actividad, sin embargo deja libre la comprobación en términos de
cortes que realizan los estudiantes. Por lo cual no todos los estudiantes realizan la
verificación con el mismo dibujo o, mejor dicho, con los cortes que realizan. También
conecta la actividad en material concreto con el teorema y se observa en el siguiente
episodio:
P2: Entonces tendríamos que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma, miren, Nicol lo descubriste tú, es igual a la suma del cuadrado del lado a y del lado b, ya ¿Será verdad? o sea si Nicol tomó su dibujo y me dijo:” yo creo que si este cuadrado de aquí más este cuadrado de acá, los juntó y me da el cuadrado de acá”, entonces si yo tuviese una tijera, corto y trato de ver si es verdad o no y ahí vemos si Pitágoras nos dijo la verdad o no ¿cierto?. Acá tienen la guía que les voy a entregar ahora, lo mismo que Nicol hizo en su cuaderno, tienen un triángulo rectángulo que cumple con la condición y tiene dibujado unos cuadraditos ahí a los lados, entonces vamos a probar que tienen uno, tienen otro, uno que ya está con unos cortes no va a dar dolor de cabeza y otro que no los tiene, ustedes lo hacen a su manera, pero probemos si es
Capítulo 10 Análisis videos de clases
172
verdad o no lo que dice Pitágoras, ¿ya? Vamos a repartir, uno para cada uno, el que necesita tijeras, yo tengo acá. Catalina, ¿tiene tijeras usted? A: No. P2: ¿A quién le faltan tijeras? Ya venga a buscar. [Los alumnos trabajan en su guía, cortando]
En esta clase sólo algunos estudiantes logran realizar cortes y comprobar el teorema.
La profesora 3, en esta clase, sutilmente hace conexión con el teorema en estudio o, más
precisamente, con la tarea de verificar con material concreto.
P3: la hipótesis y la tesis, vamos a hacer una actividad de la comprobación del teorema de Pitágoras. P3: chiquillas silencio [La profesora le pide a una alumna que reparta la guía] P3: a ver chiquillas silencio. Siéntate por favor. Van a recortar, a ver… silencio. Vamos a recortar los catetos y probar que la suma de los catetos, de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. [La profesora se pasea por la sala de clases] P3: silencio, a una alumna acá ya le resultó, a dos. Silencio, silencio. Se observa, además, que la profesora 3 enuncia el teorema en términos de relación
numérica y no hace alusión a la redacción en términos de áreas de cuadrados. Puesto que la
verificación que están realizando los alumnos es de tipo geométrica.
Las acciones y decisiones que toma la profesora 3 en relación a esta actividad demuestran
la debilidad de la conexión entre material manipulativo y las ideas matemáticas. Realizando
dicha conexión, se promueve el entendimiento matemático (Ma, 2010).
Dadas estas observaciones, los tres docentes se ubican en el momento del estudio de la
constitución tecnológica-teórica.
10.5 Análisis de la clase Profesora 3
La profesora 3, con las modificaciones que hizo a las situaciones originales, realiza la clase
en dos escenarios distintos. Es decir, aplica a dos grupos de estudiantes de nivel 7º básico
(estudiantes de 13 a 14 años) en la misma escuela.
Se presentará el análisis, considerando las situaciones de aprendizajes presentadas en las
partes 10.1;10.3 y 10.4 de este capítulo. No se expone el análisis de la situación 2, puesto
Capítulo 10 Análisis videos de clases
173
que la profesora 3 modifica esta situación. Ella desarrolla tres situaciones en ambos grupos
de alumnos.
A continuación se presenta el análisis.
Análisis Situación 1 (ver 10.1)
Profesora Momentos Didácticos
Grupo 1 de estudiantes Grupo 2 de estudiantes
Profesora 3 Se observan dos momentos del
estudio. El segundo momento
denominado exploratorio, pues la
profesora les pregunta cómo
calcular el perímetro y área de las
figuras presentadas en la guía de
trabajo. Este momento da espacio
para que los alumnos indaguen y
respondan. Enseguida señala cómo
calcular el perímetro y área de las
figuras presentadas.
Así es posible distinguir también el
cuarto momento de estudio y que es
practicar la técnica.
La profesora inicia la clase
repasando contenidos relacionados
con el área y perímetro de
triángulos, cuadrados y rectángulos.
En el episodio que propone la
situación de aprendizaje 1, lo
alumnos ya conocen la técnica para
calcular el área y perímetro de las
figuras. Por tanto se identifica en
esta parte de la clase el cuarto
momento que es la práctica de la
técnica.
La profesora 3 en el grupo 2 desarrolla la situación de aprendizaje y el momento observado
es el cuarto, es decir, es el trabajo de la técnica. Previamente al episodio donde plantea esta
tarea, hay dos episodios en donde a través de preguntas a las estudiantes y utilizando
lenguaje algebraico señala cómo encontrar el perímetro y área de cuadrados y rectángulos.
Lo anterior se observa en los siguientes extractos de los episodios señalados:
P3: si yo tengo un lado a y lado b. Primero el perímetro. ¿Cómo sería? A: a por b. P3: perímetro.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
174
P3: ¿Cómo sería el perímetro? Si la compañera aquí nos dijo que era la suma de todos sus lados A: uno es a u el otro es b, P3: Ah ya. A: a más b, P3: ya, a más b, y después A: a más b, más P3: ¿por? A: a más b más P3: por a más b, bien. Es lo mismo que decir, dos a más dos b. [La profesora dibuja en la pizarra un rectángulo de lado a y b, y escribe a+b+a+b es lo mismo que 2a+2b]
P: y el área de eso, ¿cómo sería entonces? si tengo un lado a y el otro b. ¿Cómo sería? A: a por b. P: muy bien, a por b. A: a por b elevado. P: a por b, no tenemos ningún elevado, acuérdense que base por altura se saca la superficie del área. Una vez que recordamos todo esto que ya lo sabíamos me van a responder esta guía donde salen calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras [Una alumna entrega las guías de la actividad 1]
Dada esta observación, el sentido de cambiar la actividad original que decía: calcular el
área y perímetro a la pregunta ¿Cómo calcular el área y perímetro de las figuras?, pierde
significado. La pregunta se plantea a los estudiantes, pero recordó las fórmulas para el
cálculo de perímetro y área. La tarea no es la necesidad de indagar en una técnica para
resolverla.
Al comparar ambas clases en esta situación, se observa que la actividad es la misma pero el
trabajo en clases en particular la organización didáctica cambia.
Análisis Situación 3 (ver 10.3)
La profesora 3 presenta la situación 3 con una modificación. Esta modificación es que los
dibujos presentados en la guía de trabajo tienen las medidas reales en centímetros.
En ambos grupos, la profesora 3, desarrolla la actividad tal como fue planeada y es posible
identificar los mismos momentos didácticos; el primer encuentro - en ambos grupos plantea
preguntas acorde al tipo de tarea para que el estudiante accione con sus conocimientos-;
segundo momento el de la exploración- los estudiantes tienen espacio para la búsqueda de
una técnica para resolver la tarea, pues ellos no tienen el conocimiento del teorema de
Capítulo 10 Análisis videos de clases
175
Pitágoras para aplicarlo en dicho problema; quinto momento: la institucionalización.
Después de explorar en la técnica, la profesora en ambos grupos realiza puesta en común
con las respuestas e institucionaliza el teorema de Pitágoras.
Posteriormente, la profesora retoma la tarea original y mediante preguntas e interacción con
los estudiantes aplica el teorema de Pitágoras para resolverla. En el desarrollo de esas
interacciones es posible distinguir dos momentos: el tercer momento – constitución
tecnológico teórico de la técnica (Teorema de Pitágoras)- y el cuarto momento: trabajo de
la técnica. Esto lo realiza en ambos grupos.
Análisis Situación 4 (ver 10.4) En ambos grupos de estudiantes (1y 2) se realiza la actividad de recortar y superponer las
figuras recortadas (figura 10) sobre el cuadrado de la hipotenusa. De este modo, los
alumnos verifican el teorema de Pitágoras. En el grupo 2, se conecta la acción manipulativa
(puzles geométricos) con las ideas matemáticas; lo que se observa en el siguiente extracto
de episodio.
P3: Silencio. Ahora me tienen que comprobar el teorema ¿Cómo yo compruebo el teorema? ¿Quién me puedo decir como yo compruebo el teorema? En esto que está escrito acá. Esto es como un rompecabezas, ¿cierto? Un rompecabezas. [Mostrando la imagen que sale en la guía] P3: ¿Qué tengo que hacer con rompecabezas?, primero, recortarlo ¿no es cierto? Ya, entonces ustedes me van a comprobar que lo que ya saben del teorema de Pitágoras. Silencio ¿qué parte tendría que recortar de esto? A: Todo. P3: No ahí, solo dos partes tienen que cortar para poder comprobar. P: ¿Qué partes? A: estas de acá. P3: ¿Qué parte tendría yo que recortar de acá? ¿Qué partes? ¿Qué debo de recortar acá para poder comprobar el teorema de Pitágoras? A ver, ¿cuál es la? Silencio. Dijimos que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, entonces ¿qué tendríamos que recortar acá? [La profesora muestra la pizarra] A: la hipotenusa. P3: no A: los catetos. P3: tendría que recortar los dos catetos y comprobar que la suma de los dos catetos es igual a la de la hipotenusa. A3: ¿o sea a más b? P: sí, hágalo. [La profesora se pasea por la sala]
Capítulo 10 Análisis videos de clases
176
P3: silencio por favor, siéntate. Chiquillas miren acá, una compañera logró hacer la comprobación del teorema, yo les dije que recortaran para ayudar en algo el área de a y b, o sea eso y eso (apuntando la hoja de la alumna). Y acá está el cuadradito ¿cierto? Pongan atención y miren. Y acá yo tengo las otras cuatro parte del cuadrado de abajo ¿cierto? ¿Qué hice yo ahora? Los puse en el de arriba. A: en c P3: en c. [La profesora realiza la actividad en su escritorio y luego la muestra al curso] P3: miren acá, caben los pedacitos. A: miren. P3: ya pues, atrás. Ahí está. A ver, Gaby, da tú la explicación. A: ya niñas, hay que cortar a y ; entonces yo después recorté todos los pedacitos de a y b; entonces después el cuadradito lo monte acá y en esta otra figura, esa, fui buscando en que partes del otro cuadrado y rectángulo cabían, y si se podía, entonces si se cumplió el teorema de Pitágoras.
Sin embargo, dicha conexión que plantea es entre la verificación del teorema con su versión
geométrica. La profesora enlaza la actividad manipulativa con la interpretación numérica
del teorema en una parte de la interacción con las alumnas. Luego retoma la conexión
manipulativa con la interpretación geométrica del teorema.
10.6 Análisis de la clase Profesora 4
La profesora 4 es una docente que no está en el grupo que diseña las situaciones de
aprendizaje, pero que participa de los talleres de discusión de las clases. Tampoco participó
en el taller en el cual se introduce el constructo teórico de reproducibilidad.
Se quiso observar qué efectos produce el realizar una clase sin estar en el diseño de ella. Es
decir, se tiene el diseño didáctico y se aplica. Para ello, la profesora 4 conoce y comprende
el diseño a través de la observación in situ de dicha clase por algunos de sus colegas.
La profesora desarrolla su clase con las mismas situaciones que realizó la profesora 3
Análisis Situación 1 (ver 10.1)
La profesora 4 aplica la situación 1 que readecuó la profesora 3, se observan dos momentos
didácticos: el segundo momento – exploración de la técnica- y el trabajo de la técnica. Esto
coincide plenamente con la profesora 3 cuando aplica al primer grupo la situación.
Capítulo 10 Análisis videos de clases
177
Análisis Situación 3 (ver 10.3)
En la organización didáctica de la situación 3 de la profesora 4 es posible identificar los
siguientes momentos: el primer momento – el momento del primer encuentro-; segundo
momento – el de exploración de la técnica-; el tercer momento – constitución tecnológico
teórico-; quinto momento – la institucionalización.
Si observamos las cinco clases, percibimos, al menos, todas coinciden en la organización
didáctica en tres momentos.
Análisis Situación 4 (ver 10.4)
La profesora 4 explica la tarea y la técnica a utilizar para verificar el teorema, se identifica
el tercer momento-la construcción tecnológica teórica- del teorema. Cabe señalar que la
profesora 4 hace la conexión entre la acción manipulativa y las ideas matemáticas. Esto se
observa en el siguiente extracto de diálogo:
P4: Ya, teorema de Pitágoras, pero ¿Qué cosa hicimos?, cuando lo recortamos, lo pegamos, los cuadraditos. Ya ¿qué hicimos recién? A: Armarlo P4: Armarlo, pero qué estábamos hablando antes de recortar y armar A: Armarlo P4: Hablábamos de un A: Teorema P4: hablamos de un teorema y a través de esta actividad qué hicimos A: Armarlo
A: Hacerlo encajar P4: Ya, hacerlo encajar, chiquillos, estamos comprobando que realmente los cuadrados de los catetos calzaron justo, ¿dónde pusieron los cuadrados de los catetos, los de abajo?, en el cuadrado mayor, ¿Cómo se llama eso? A: Hipotenusa P4: Eso, sobre la hipotenusa, muy bien, excelente, excelente. Entonces ahora, chiquillos, entonces el teorema, siguiendo el ejemplo de acá, este lado, la hipotenusa no la sé ¿cierto? A: No P: Entonces sería c2, que sea al cuadrado es la suma de estos dos, que fue lo que recortaron ¿cierto?, este cuadradito de acá lo recortaron, este también, y lo pusieron sobre, a ver, decía, nuevamente, los cuadrados que ustedes recortaron, fue este cuadradito, que es a2 +b2 ya, que son los cuadrados que recortaron, acuérdense, la suma de estos dos, es el cuadrado mayor que es este c2
Capítulo 10 Análisis videos de clases
178
La mayoría de los alumnos logra realizar la actividad, inclusive la profesora después de
realizar esta actividad (situación 4) retoma la situación 3 y aplica el teorema de Pitágoras
para realizarla. Se observa en el siguiente extracto de episodio:
P4: 21, ya, este lado suponiendo que este es el cateto a y este es el b, ¿Cuál sería la medida de a, según este? A: 12 P4: 12 al cuadrado más b A: 9 P4: 9 al cuadrado, ya, entonces a2 ¿cuánto es, quién sabe, quién sabe cuánto es 122? A: 4 P4: Pueden multiplicarlo, multiplíquenlo por ahí A: Es 4 P4: Es 12 por 12 A: 24 P4: ¿Quién lo puede multiplicar?, esto es 144 y 92 es 9 por 9 ¿Cuánto es? A: 81 P: Bien ¿Cuánto es 144 + 81, quién sabe? A: 225 P4: Sí, ¿seguro?, tengo que sacar la raíz cuadrada de 225 ¿Quién me puede sacar la raíz cuadrada de 225? A: 15 P4: 15, bien, entonces el lado c es A: 15 P4: Acá es 15, y es un cálculo mucho más exacto que con la regla porque las medidas pueden variar ¿ya niños?, de esta forma se saca la hipotenusa que es esta (haciendo referencia al dibujo), ¿entendido, sí?
En resumen, en este capítulo se han mostrado los análisis de las clases del grupo de
seguimiento y de la profesora 4 que se incorpora al grupo participando de algunos talleres.
La idea fundamental del análisis fue percibir los cambios en términos de momentos
didácticos, puesto que las organizaciones matemáticas son las mismas para todas las clases.
Conclusión del capítulo
Dado que las organizaciones matemáticas son las mismas, se perciben algunos cambios en
ciertas gestiones de las situaciones de aprendizaje. Dichos cambios se realizan en las
actividades previas a la situación clave para la comprensión del teorema de Pitágoras. Se
Capítulo 10 Análisis videos de clases
179
detecta que en la gestión de la situación clave (tipo de tarea3), los docentes realizan los
mismos momentos didácticos, es decir, la organización didáctica no varía. En términos de
reproducibilidad, los docentes en la reflexión de este constructo teórico establecieron
ciertos elementos que debiesen quedar inamovibles para que el diseño didáctico constituido
por cuatros situaciones de aprendizajes sea reproducible. Uno de esos elementos involucró
no cambiar la situación clave para la comprensión del teorema de Pitágoras, que
corresponde a la situación 3. Pues bien, efectivamente se detecta que esa situación no fue
cambiada en su esencia ni tampoco varió la gestión de la situación.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
180
CAPÍTULO 11
Análisis talleres de discusión sobre las clases
Fase 3 Estudio de Clases
Estos talleres son parte de la tercera fase del Estudio de Clases en donde el equipo de
trabajo, la académica y el profesor que realizó la clase reflexionan y discuten sobre los
diversos ámbitos: el matemático, didáctico y pedagógico.
El análisis se realizó observando en cada discusión los tipos de reflexión que se dan en
relación a los ámbitos descritos.
11.1 Análisis del taller de discusión de la Clase 1
Se detecta en esta reflexión y discusión sobre la clase del profesor Martín varias ideas que
se pueden interpretar como reflexiones de tipo matemática, didáctica y pedagógica.
Las reflexiones pedagógicas tienen su foco en la estructura de la clase: inicio, desarrollo y
cierre. Los 4 docentes que participan en la discusión hacen intervenciones en donde es
posible detectar las ideas en relación a los tiempos que el profesor ocupa para la clase.
Así, el profesor Martín en su primera intervención expone sobre la relación del tiempo y los
conocimientos previos de sus alumnos, da una visión global de su clase mostrando la
estructura de la clase. Se observa en los siguientes extractos.
Martín: Bien, la clase fue un poco difícil, difícil llevar la clase porque yo pensaba que los niños se acordaban bien de área y perímetro y pensé que iba a ser natural el relacionar esas dos medidas, y me di cuenta de que no, a pesar de que se había repasado no fue tan natural como lo pensé, entonces ocupé más tiempo del que tenía presupuestado para eso, entonces me compliqué un poco y después me sentí un poco presionado por los tiempos, no sabía si apurar, eso me cortó un poco. Bueno en el desarrollo de la clase considero que fue (asienta con la cabeza), la mayoría participaba, habían algunos que no participa, pero la mayoría sí participaba, y llegar a lo que se pretendía, por lo menos en un principio.
Isidora: la clase bueno, en sí lo que nosotros diseñamos hay que arreglar algunos detalles y acomodar algo para que se pueda alcanzar el cierre y ver si los niños internalizaron realmente el teorema de Pitágoras o ver si se basó más en los conocimientos de área y perímetro. Bueno, yo encuentro que la clase se dio como la habíamos planificado, el tiempo la actividad de inicio debió
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
181
haber sido más rápida, más dinámica y no demorar tanto, quizás como dice Martín el tema de que quería afianzar más el tema de área y perímetro, pero siento que se dio más énfasis del necesario al inicio, para poder abordar más la base que era el desarrollo y ver si aprendieron en el cierre, que por tiempo no se alcanzó a completar. Yo creo que un error fue que lo hizo muy largo esa fue mi apreciación, el resto creo que estuvo muy bien, las actividades estaban acorde porque los niños con eso podían internalizar el teorema que era nuestro objetivo, el objetivo de nuestra clase era que comprendieran el teorema de Pitágoras, conocer y comprender.
Pamela: yo al igual que la Isidora concuerdo en que el inicio fue un poquito largo, la clase era del Teorema de Pitágoras y yo le hubiese dado un poquito más de énfasis al Teorema de Pitágoras. O sea estamos claro de que a lo mejor los niños no se acordaban de perímetro y área en sí, pero a lo mejor nosotros lo hubiésemos puesto como un recordatorio y en base a eso empezar con el Teorema de Pitágoras, y yo encontré que la clase en general estuvo buena y al final no alcanzamos a ver casi el cierre de la clase, entonces por eso yo cortaría un poquito más el tiempo al área y perímetro de figuras planas, pero la dinámica de Miguel, cómo planteó la clase, en la forma de referirse a los contenidos a los conceptos, me gustó.
Las tres opiniones que se muestran corresponden a los docentes que formaban el grupo de
trabajo y que diseñaron las situaciones de aprendizaje. Sus primeras intervenciones son
globales y miran la clase en términos de la estructura que ellos han ideado.
La siguiente es la intervención de la profesora Romina que no participó en el diseño de la
clase y señala:
Romina: a ver, la clase me gustó, encuentro que si bien es cierto la clase estaba bien estructurada con sus distintos momentos inicio, desarrollo y su final, siento que faltó un poquito en el cierre haber finalizado, quizás por tiempo, por los mismos nervios no sé o donde habíamos tantos ahí quizás los niños se sentían un poquito más cohibidos porque quizás faltó un poquito más de participación de los alumnos, participar más. Entonces en el cierre creo que me faltó esa parte en la que yo pudiera comprobar el teorema, la comprobación, a través de esta actividad que tenían que recordar y que quedó un poco inconclusa porque faltó tiempo ¿cierto? Yo creo que ahí en esa parte habría que mejorar en cuanto a los tiempos, ya se dijo ya que el inicio fue muy dilatado en cuánto al área y perímetro de las otras figuras, yo hubiese centrado más el área y perímetro del triángulo no más. Y ahí empezar a retroalimentar en cuanto a los elementos de triángulo, como formulábamos, a determinar el área del triángulo quizás, y no tanto en lo que era el cuadrado y los rectángulos porque en esa parte del inicio eran como tres actividades, fueron tres actividades que ocuparon bastante tiempo, quizás hubiésemos dejado una o dos actividades y ahí hubiésemos ocupado más tiempo en el cierre como para evaluar mejor la actividad, porque creo que las actividades están bien centradas, las que son del triángulo ya esas creo que están bien centradas en lo que íbamos a tratar, el objetivo, lo que era determinar el área de los dos triángulos que se presentaban. Creo que se podría hacer esa modificación acotar un poco al inicio, centrarlo más en lo que era el área del triángulo o específicamente en el del triángulo rectángulo, y desde ahí trabajar más en el desarrollo. Bueno y faltó cerrar bien, hacer realmente la comprobación del teorema.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
182
En relación a la estructura de la clase en donde señalan: inicio, desarrollo y cierre, es
importante apuntar que es común en los docentes de las aulas chilenas. Es oficial que los
profesores cuando diseñan una clase se basan en ese esquema. Los programas de estudio de
los diferentes niveles también lo señalan como una estrategia para organizar la clase.
Las reflexiones de tipo matemáticas son escasas, no cuestionan la matemática o mejor
dicho no profundizan en el contenido matemático. Cuando abordan el contenido en
particular se refieren a la escritura o al lenguaje que utiliza el profesor que realizó la clase.
Además, se observa en sus expresiones que les falta rigor matemático, pues se refieren al
teorema de Pitágoras como una definición o bien como la fórmula.
Isidora: yo siento que hay una corrección que no se hizo y a lo mejor Martín no la alcanzó a ver, yo planteé cuando hice el borrador la misma forma el teorema de Pitágoras y la profesora me lo corrigió porque me dijo que faltaba la matemática. Pero para mí ese es el teorema y ahí está el teorema y no hay otro. Y me dijo no tiene que decir a+b entonces a2, entonces ahí se introducía el teorema para que los niños sea más claros, en la definición del teorema. Pamela: ¡ah! claro, te faltó como la definición del teorema, que la hipotenusa, que el cateto al cuadrado con la hipotenusa, la fórmula, la fórmula en sí.
La intervención de la profesora Romina hace alusión al teorema y señala explícitamente la
hipótesis y tesis. Se observa un embrión del bloque tecnológico teórico, sin embargo no
profundiza más allá en el contenido matemático. Lo que expresa la docente tiene relación
con la verificación del teorema y hace la distinción entre definiciones y axiomas. Además,
manifiesta que el común de los docentes se queda sólo con la fórmula. Esto es parte de lo
que señala:
Romina: Encontré súper bueno esta parte donde dice verifica la hipótesis y la tesis del teorema, porque generalmente uno no le da mucho importancia a lo que son las definiciones o los axiomas, entonces generalmente uno se queda como en el cálculo o en la fórmula, entonces esta parte siento que fue buena porque así los niños pudieron identificar que tenían que comprobar algo, comprobar el teorema que digamos se estaba trabajando, y algunos niños me acuerdo que nombraron que la hipótesis era algo que tenían que cumplir, que tenía que comprobarse, tú la relacionaste con un método científico en ciencias naturales, ahí está esa parte (indicando una hoja), sino el inicio acotarlo un poco más.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
183
Dado que los docentes no profundizan la reflexión en el contenido matemático, la
académica centra en algunos episodios la discusión del contenido matemático. En especial
hay un episodio en que se conduce la reflexión hacia la matemática y su enseñanza en la
escuela. Sin embargo, se detecta que los profesores no ahondan en la discusión sino que
responden sólo a las preguntas de la académica pero no exponen sus ideas. Se presenta en
los siguientes extractos
A: Pero ahí volvemos al caso, ¿matemáticamente qué falta ahí? ¿En esa parte qué falta? Isidora: ¿Que el niño lo replique? Romina: El área, la hipotenusa. Martín: Está la condición y lo que se quiere probar. A: Eso ya está, falta algo fundamental y esa fue una observación que yo les hice, ¿qué faltó ahí? Ustedes están estudiando geometría. Isidora: ¿La demostración? A: No, no se puede demostrar aún, por eso se verifica. ¿Qué falta ahí? A: ¿Qué faltó en el enunciado? Martín: La condición escrita. Isidora: De hecho hay que copiarlo y lo copiaron arriba. Martín: Yo no escribí que fuera un triángulo rectángulo, pero lo dije. Romina: Lo dijo, lo explicitó sí. A: Lo explicitaste bien, Miguel, pero dime una cosa ¿en qué momento el alumnos se dan cuenta de que yo aquí tengo un triángulo ABC con medidas representadas por las letras a, b, c minúsculas? ¿En qué momento está eso? Martín: No está. A: ¿Qué pasó entonces? Que esta actividad que venía después, y que era la interesante para hacer matemática. Acuérdense del teorema de Pitágoras ¿por qué es la enseñanza del teorema de Pitágoras? Isidora: Para encontrar la raíz cuadrada. A: Ya, okey. Para los irracionales, ¿y por qué más se estudia el teorema de Pitágoras en séptimo básico? ¿Por qué creen que se estudia en séptimo y no a nivel de cuarto medio? ¿Por qué lo estudio justamente en ese curso? Romina: Raíz cuadrada.
Las reflexiones didácticas son más abundantes y en ellas los docentes exponen sus ideas
sobre: las situaciones de aprendizajes, el constructo reproducibilidad, las respuestas de los
alumnos, los errores que detectaron cuando los alumnos desarrollaron las actividades, los
tiempos que se dieron para que los alumnos accionaran en las tareas, las veces que el
profesor dio pistas para que los estudiantes llegaran a la respuesta.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
184
En el caso de las situaciones de aprendizaje, señalaron que tenían que centrarse en el
triángulo. Cuestionan la situación 4, cuyo objetivo es la verificación del teorema; puesto
que en esta clase no resultó dicha actividad, ya que el profesor copió la actividad del texto
escolar y pensó que al multicopiarla sus alumnos recortarían y resultaría la superposición
de figuras. Sin embargo, no fue posible superponer ya que las medidas no eran
coincidentes.
En la organización didáctica plantearon que las actividades de desarrollo y cierre son las
claves para la comprensión del teorema (se refieren a las situaciones 3 y 4).
De la situación 4, discuten si los dibujos de los triángulos tienen que ser expuestos con
medidas reales (cm.) para que emerja la necesidad de buscar una forma de determinar la
longitud de la hipotenusa del triángulo en forma exacta. Los profesores analizan las
actividades pensando en el logro didáctico de la situación.
También analizan si las situaciones propuestas fueron un problema para los alumnos, en
términos de que no tenían las herramientas matemáticas en forma inmediata para resolver.
Reconocen que la situación 4 es un problema, pero a su vez cuestionan el tipo de tarea. La
tarea propuesta fue: “Calcular el perímetro del triángulo rectángulo dadas las medidas de
los catetos”. En la discusión plantean que se reformule en términos de pregunta por
¿Cuánto mide la hipotenusa?, sin embargo, no llegan a consenso para realizar la
modificación.
Se observa que tienen claridad acerca de cuál es el objetivo de las situaciones 3 y 4; en
cambio, al observar la puesta en escena de la situación 1 y 2 piensan que se desvirtuó el
objetivo y que el centro de dichas actividades eran calcular el perímetro y áreas de figuras
planas. Por tal motivo proponen modificar dichas actividades en el sentido de reducir el
tiempo para que los alumnos respondan, en otras palabras, no cambian el tipo de tarea sino
la gestión.
Algunos extractos de lo expresado por los docentes en relación a las observaciones
anteriores son:
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
185
Isidora: yo pienso que la actividad número 3, bueno la última la de recortar es una actividad muy buena para que ellos puedan comprobar y clarificar, pero al minuto de entregar el material los niños no sabían qué hacer, no estaba la instrucción clara, porque todavía no tenían bien claro ellos, y eso lo discutimos mucho con el grupo porque estamos con la idea de que el niño descubra.
Romina: yo creo que esta actividad de cierre debiese haber sido parte del desarrollo. Porque con esta tu compruebas el teorema y quizás dándoles más tiempo a los niños porque aquí como que les costó ¿qué hago con esto? ¿No es cierto? Entonces las instrucciones no estaban muy claras, entonces en ese tiempo él quizás hubiese descubierto si le hubiera alcanzado el tiempo, si ponemos esta como parte del desarrollo, ahí el alumno tiene que probar y buscar distintos caminos, porque si bien es cierto estaban las líneas digamos donde tenía que cortar, a lo mejor si no hubiesen estado las líneas.
Isidora: Se supone, yo no entendí por qué dos, porque en el original que después Martín modificó estaba solo 1 y estaba con colores y con las instrucciones. Pero, por ejemplo, estos dos cuadrados me tienen que calzar ahí, entonces yo decía pongo uno y el resto yo lo corto, lo corto por ahí, por allá para que me calce, porque aquí ya es otra dificultad, el hecho de tener que cuadrar esto que si yo lo pongo solo y calza así cortando por tiritas tú decías la otra vez, cortándolo de alguna manera que ¡ya me calzó! Pero esto ya era de un nivel superior, más complejo el tener que ver dónde van los. Doris: Pero ¿hubo algún niño que lo pudo hacer? Martín: No, eso no. A: Pero ¿por qué no se pudo hacer? Martín: Porque no lo pudo hacer calzar. A: ¿Quién? Martín: Yo. A: ¿Y por qué no te diste cuenta antes de la clase de eso? Martín: Es que como estaba en el libro y tomé las mismas medidas, pensé que calzaba a la perfección. Doris: Claro es que uno confía. Martín: Pensé que estaba a la perfección y no. Doris: Es que uno confía, pero tiene que hacer el ejercicio antes.
Los profesores reflexionaron y discutieron sobre las respuestas de los alumnos y las
situaciones de aprendizaje. Manifestaron que es recomendable que el profesor resuelva las
situaciones de aprendizaje antes de la clase.
Se focalizaron en la situación clave, en las que los alumnos tenían que calcular el perímetro
de un triángulo rectángulo dadas las longitudes de los catetos (tal como se muestra en la
figura)
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
186
Figura 19: Actividad propuesta a los estudiantes
El triángulo ACB tiene las medidas de los catetos que son: 3cm y 4cm, estas medidas no
son las reales. Los alumnos del profesor Martín, para determinar la longitud de la
hipotenusa, suman 3cm más 4cm lo que resulta 7cm. Dada esta medida, los alumnos
midieron la hipotenusa y coincide en que mide 7 cm. Frente a esto, lo profesores se dan
cuenta de que no tomaron como una variable a contralar el dibujo con las medidas reales.
Sin embargo, los alumnos utilizan la misma técnica para calcular la longitud de la
hipotenusa, pero en ese caso no coincide el resultado con la medición que realizan al
segmento DF. Dada esta situación; los profesores, para poder aplicar en otros escenarios
esta situación, discuten sobre cambiar o no las medidas. Pues, el tener las medidas de los
catetos, la única posibilidad para los alumnos es medir con regla porque no tienen como
conocimiento el teorema de Pitágoras. Se observa en esta reflexión que los docentes han
analizado las respuestas de los errores de los alumnos y a su vez han discutido de la
intención de la situación. Así, la posibilidad de cambiar la actividad cuando sea aplicada en
otro curso es fundamentada en la acción que realizan los alumnos y teniendo en vista el
objetivo de plantear esta situación de aprendizaje.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
187
También emerge, en esta discusión, un elemento de la metodología de ingeniería didáctica
que es el análisis a priori, es decir, la predicción de lo que puede ocurrir con alumnos
cuando desarrollan las tareas propuestas. Los docentes hacen alusión a dicho elemento: por
una parte cuando plantean que el profesor tiene que desarrollar la tarea propuesta buscando
la respuesta experta; por otra, observan que a ellos no se les ocurrió que los alumnos
sumaran las medidas de los catetos, por tanto ahora tienen una idea más para predecir las
respuestas de los alumnos.
En relación a la gestión de la clase se cuestiona tanto la participación y el espacio que se
dio a los alumnos para resolver y realizar la puesta en común. Como también lo que el
profesor Martín expresaba verbalmente y lo que escribía en la pizarra.
Los siguientes extractos permiten corroborar las observaciones planteadas en los párrafos
anteriores:
Doris: y se comprendió bien en el momento que tú pusiste los cuadraditos en el área, yo creo que estaba súper bien explicado, quizás lo que faltó un poquito fue que tú diste mucha. Isidora: ¿información? Doris: mucha información, quizás ellos te tendrían que haber entregado mayor información, y tú no darle tantas pistas para que te dieran información. Pero en general, a mí me gustó bastante la clase.
Romina: .por los mismos nervios no sé, o donde habíamos tantos ahí quizás los niños se sentían un poquito más cohibidos porque quizás faltó un poquito más de participación de los alumnos, participar más. Entonces en el cierre creo que me faltó esa parte en la que yo pudiera comprobar el teorema, la comprobación, a través de esta actividad que tenían que recordar y que quedó un poco inconclusa porque faltó tiempo ¿cierto? Yo creo que ahí en esa parte habría que mejorar en cuanto a los tiempos, ya se dijo ya que el inicio fue muy dilatado en cuanto al área y perímetro de las otras figuras, yo hubiese centrado más el área y perímetro del triángulo no más.
Romina: Yo primero hacerlo, porque yo no lo he intentado hacerlo. Pamela: Claro. Romina: Entonces como para ver que hago primero, no sé. A: Pero ¿cómo para guiar? Romina: No, la idea es hacerla nosotras primero. Porque estábamos con la Delia tratando y yo le dije: espérate si a mí me salió el año pasado y ahora no me sale. A: Para hacer la misma actividad primero el profesor se tiene que internalizar para pensar un método Pamela: Como dijo Rut la respuesta experta, tenerla clara para poder. A: Entonces las dificultades que tengamos y en las posibles respuesta por parte de.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
188
Doris: Como dice Isidora entregar instrucciones diferentes a las que pudo entregar Martín, un poquito más clara porque igual el tiempo apremió, entonces igual.
Isidora: El primer triángulo da justo 3,4 y 7, y con la regla daba 7, entonces yo pienso que eso llevo a los niños a pensar que sumandos daban 7. A: Ah eso es lo que tú me decías y yo no entendía. Isidora: Pero se contradice con el segundo porque los niños midieron, yo estaba mirando al niño de al lado, y no daba 12 daba como 14,5. Pero el primero llevaba al niño a ese error, o sea a esa concepción. No sé si se fijaron pero 10 de los niños dijeron lo mismo y 12 de los niños asumieron de la otra manera. Doris: Pero, ¿cuál es el objetivo real de esta actividad, de esta? Isidora: Que ellos tuvieran la duda, que ellos se presentaran ante una dificultad, ¿cómo saco el perímetro si me falta un lado? ¿Cómo consigo el lado faltante? Doris: O sea está bien puesto ahí que el perímetro es tanto, y que iban a sacar ese argumento, luego tú de ahí diste la explicación que de eso se construía el cuadrado y eso.
A: entonces AC no medía tres centímetros ni AB tampoco medía 4 cm. Isidora: entonces lo niños solamente midieron la incógnita. A: ¿qué pasa ahí? Pamela: yo creo que hay que colocar medidas reales en los dibujos que se van a hacer. A: ¿qué opinan ustedes? Romina: este estaba real, porque aquí le calza 4 y 3 midieron. Pamela: no, porque yo me refiero a que eso de ahí es 4 cm y eso. Doris: Lo que pasa que no debería de haber medido acá, porque tenía los datos digamos. Isidora: si fuera real, esto valdría 5, los tríos pitagóricos, 3,4 y 5, pero este era menos y este era menos.
En la discusión se hace explícito el constructo reproducibilidad, puesto que el profesor
Martín fue el primero en aplicar las situaciones de aprendizaje. Posterior a este taller, las
profesoras: Isidora, Pamela y Romina aplicarían las mismas situaciones en sus respectivos
cursos.
Se detecta en las reflexiones que para que exista reproducibilidad hay que preocuparse de
analizar los tiempos de la clase, es decir, de la organización de esos tiempos y en cómo el
profesor gestiona dichos tiempos. De esa manera, aplican las mismas situaciones pero
observan el tiempo dado a cada una de las actividades. No relacionan la reproducibilidad
con el logro de aprendizaje. Los siguientes extractos de episodios son una muestra de lo
expresado:
Isidora: Bueno yo trataría de. Yo le contaba a Romina podemos tener el plan exactamente igual pero la forma es de cada uno, la impronta es muy distinta, entonces yo le decía a las chiquillas que
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
189
tiendo a hablar muy rápido y ser muy ágil, entonces a mí me sobra tiempo en las clases, entonces yo sé que el inicio lo voy a hacer más rápido y me va a alcanzar el tiempo, entonces en el desarrollo voy a dar énfasis en que tratemos de entender más para que al final puedan verificar, y a lo mejor si resulta, pero también les voy a dar la opción de que lo corten como ellos quieran. La profesora Isidora es quien va a aplicar la clase, ella señala explícitamente que es más
rápida y ágil para hablar por tanto expone que le alcanzará el tiempo para desarrollar las
situaciones de aprendizaje. Es claro que la docente no se coloca en el topo de los alumnos,
en el sentido que en esa clase y con las situaciones de aprendizaje diseñadas el grupo de
estudiante tienen un logro didáctico. Más aun, agrega que lo único que modificaría es la
situación 4 de verificación del teorema. Propone dar la tarea de verificar el teorema con los
dibujos que eligieron pero que les diría a sus estudiantes que comprueben el teorema
haciendo cortes en las figuras como ellos quisieran.
Continúa la discusión y se observa
A: Pero ahí ya modificaste la actividad. Doris: Es que yo creo que Martín no alcanzó porque hubo tiempos perdidos, como por ejemplo la introducción, no estoy cuestionando eso, pero esos son tiempos perdidos. Porque estaba planificada para un tiempo la actividad. A: Sí, pero ustedes lo dijeron. Se dieron cuenta sin que yo lo dijera que el tiempo de inicio fue demasiado para el centro de la clase que era la comprensión del teorema de Pitágoras. Romina: Incluso cuando usted me pasó antes de que entráramos acá, cuando entramos a la sala yo mire la planificación y dije tantas guías en el inicio. Doris: Yo también miré y consideré mucho. Por experiencia uno dice el inicio se va así rapidísimo. La académica hace ver que ha modificado la actividad y menciona que el centro de la clase
es el teorema de Pitágoras, pero los docentes opinan del tiempo destinado a las situaciones
que se presentaron al inicio de la clase.
Posteriormente se refieren a la modificación y emerge el logro didáctico. Es decir, en
función de la organización de los tiempos se preocupan de que se logre por parte de los
alumnos la comprensión del teorema de Pitágoras. Es decir, hay cambios pero no pierden
de vista el logro didáctico.
Isidora: Hay que reforzar el desarrollo para que tenga éxito la modificación. A: ¿Y qué más? Isidora: Martín lo hizo en función del tiempo, quedaban 15 minutos y teníamos que pasar esta actividad, entonces ya no podía, pero yo pienso que la idea de eso es ¿Qué entendieron? ¿Qué es lo que ellos realmente lograron comprender del teorema de Pitágoras? O sea que podemos llegar al valor de la hipotenusa, que los valores son los que sumados dan el otro, entonces comprobemos esa verdad,
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
190
como dice Martín pongámoslo en duda. ¿Haber se logra o no? Pero todavía no era apropiado lo que era. Pamela: Yo creo que hay que acortar el inicio para poder hacer esa actividad.
Al analizar cada una de las situaciones tienen en vista el logro didáctico, hecho importante
para la reproducibilidad. Se observa cuando revisan la situación 3
Doris: Pero, ¿cuál es el objetivo real de esta actividad, de esta? Isidora: Que ellos tuvieran la duda, que ellos se presentaran ante una dificultad, ¿cómo saco el perímetro si me falta un lado? ¿Cómo consigo el lado faltante? Doris: O sea está bien puesto ahí que el perímetro es tanto, y que iban a sacar ese argumento, luego tú de ahí diste la explicación que de eso se construía el cuadrado y eso.
Para finalizar la discusión se focalizan y discuten sobre qué observar para aplicar las
mismas situaciones en los distintos escenarios (grupo de alumnos).
Martín: En el tiempo. Doris: Faltó el tiempo uno de ellos. Isidora: Énfasis en el desarrollo. Romina: Énfasis en la actividad de problemas que ese es problema. Isidora: Ese es el desarrollo. Doris: Y acortar el tiempo de inicio, o sea la actividad de inicio. A: De otra manera ¿qué no podemos borrar? Doris: La actividad central. A: ¿Cuál? Doris: Esta (apuntando una hoja). Doris: No sé si no se podrá borrar, pero yo creo que aquí podemos plantearlo como la hipotenusa. Romina: Se puede cambiar la pregunta del profesor. En el extracto del episodio se detectan ciertos elementos a considerar para aplicar las
situaciones de aprendizaje en otros cursos, estos son: tiempo, énfasis en las situaciones que
se proponen en el desarrollo de la clase que corresponden a las situaciones que ellos han
denominado claves. Pues; por una parte es el problema, es decir, plantean un tipo de tarea
en que los alumnos buscan técnicas para dar respuesta y por otra tienen claridad que es la
actividad central. Además, la modificación planteada son las preguntas que puede realizar
el profesor.
También se centran en el logro didáctico que han definido para las situaciones, que es la
comprensión del teorema, y se observa en lo siguiente:
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
191
Isidora: Qué comprendan, conocer y comprender el teorema de Pitágoras. ¿Y eso que significa entonces? Dar un significado. Hay varias cosas que a partir de la discusión los profesores que van a realizar, ya tienen más elementos para darse cuenta que.
11.2 Análisis del taller de discusión de la Clase 2
En esta discusión se observan los diferentes tipos de reflexión que los docentes plantean. La
reflexión pedagógica es menos frecuente y sólo en ciertos aspectos es posible percibir una
reflexión matemática. Se detectan más reflexiones didácticas desde el inicio de la discusión.
Las reflexiones pedagógicas que se detectan son en relación a la distribución de los tiempos
al aplicar las situaciones. Analizan las actividades y deciden reorganizar para acotar dichos
tiempos. Se observa que toman decisiones de acuerdo a las dos clases que han observado,
con dos escenarios distintos y en base a las reflexiones que se han producido en ambas
discusiones. Por otra parte, exponen sobre el logro del objetivo y el lenguaje que utiliza la
docente que realiza la clase.
Estas ideas se perciben en los siguientes extractos de episodios:
Martín: Yo encontré que se logró el objetivo o sea lograron llegar a la verificación del teorema de Pitágoras y después eso de explicar con palabras, me imagino que fue por más de timidez que decían yo lo puedo explicar, ya explíquelo acá adelante pero en general bien, no, bien, eso sí que yo no sé si será por tu personalidad, pero trate de ponerme en tu lugar, pero tú piensas una cosa y dices otra. Isidora: ¿Por qué, en qué sentido? Martín: En una, le preguntaste a los niños algo de un rectángulo y los niños se confundieron; pero yo me puse en tu lugar, estabas pensando en el triángulo rectángulo y le preguntaste por el rectángulo. Isidora: Ah, ya, me equivoqué, eso puede haber sido. Martín: No, no, yo creo que porque tú estabas apuntando el triángulo rectángulo y preguntaste algo del rectángulo, entonces como que los niños vi que se miraron, por eso te digo estabas pensado en esto pero preguntaste otra cosa, no, pero bien, en general bien.
Isidora: Igual habría que acortarlo, uno tiene que hacerlo más rápido. A: El inicio te demoraste 25 minutos y Miguel se demoró 40 minutos, más o menos. Pamela: Si, más o menos, Miguel te demoraste. Isidora: Ya, si Miguel 40, yo 25, la Pamela se tiene que demorar 7 (risas).
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
192
La reflexión matemática observada se refiere al lenguaje que utiliza la docente para
desarrollar el tema matemático, así en el siguiente extracto de diálogo se detecta que esta
reflexión es provocada por la académica.
A: Pero mira, Isabel, escucha lo que te estoy diciendo, la pregunta que te estoy diciendo. Tengo el a2 ¿Qué representa en el dibujo? Isidora: El cuadrado. A: No. Isidora: El cuadrado del lado. Romina: La medida del cuadrado. A: ¿Qué representa en el dibujo? Martín: El cuadrado construido sobre el cateto. A: No, ¿Qué representa el a2? Martín: El área. A: El área, ¿de quién? Martín: El área de un cuadrado.
En el episodio anterior se trata de aclarar lo que representa el a2 en el dibujo. Ella responde
que es el cuadrado, pero ahí se refiere al cuadrado de un número y dicho número es la
longitud de uno de los catetos del triángulo rectángulo. Se percibe que no hay congruencia
entre el dibujo que representa el teorema de Pitágoras y las ideas matemáticas asociadas
como: longitud del cateto, cuadrado trazado sobre cada uno de los catetos y la hipotenusa,
área de dichos cuadrados. El lenguaje utilizado no es riguroso y se confirma en el siguiente
extracto de episodio
Isidora: Cuando Nicol lo descubrió, yo lo hice público, que lo mostrara, y eso verificaba que ese cuadrado, más ese cuadrado, era lo mismo que el otro cuadrado, entonces ella, al decir eso, estaba en posición de verificar. A: Pero, mira lo que tú dijiste bien, dijiste, ese cuadrado, más ese cuadrado igual a ese cuadrado, y no es así ¿Cómo es? Romina: El área del cuadrado. A: El área del cuadrado, si yo lo miro como números estoy bien, pero con imagen y con el cuadrado, es el área y ahí está la conexión de la relación numérica con la geométrica, no sé si me entienden, y yo creo que debiera retomarlo.
Isidora: Sí, no, sí es verdad.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
193
También es posible detectar que la reflexión matemática es inducida explícitamente por la
académica y que los docentes al escuchar las preguntas responden lo necesario. Los
docentes no profundizan en las ideas tratadas ni tampoco consultan al respecto.
Las reflexiones didácticas son más visibles que la reflexión pedagógica y matemática, lo
cual es relevante porque los docentes y de acuerdo a la experiencia de la investigadora es
común que se centren en reflexiones de tipo pedagógica en estas discusiones.
En la discusión de esta clase, las reflexiones didácticas están relacionadas con: la
información que da el profesor para resolver las situaciones, las respuestas que los alumnos
presentan al resolver la tarea, las situaciones de aprendizajes diseñadas, el logro del
objetivo de la clase, la reproducibilidad de las situaciones.
Los profesores participantes en la discusión hacen ver a la profesora que aplicó la clase la
demasiada información que entrega a los alumnos para resolver la tarea, lo cual se puede
observar en los siguientes extractos de diálogos.
Pamela: a ver, yo, lo único que encontré como malo, es que le dio mucha información, o sea como que le daba demasiadas pistas a los alumnos, para que llegaran a la conclusión de algo, y eso fue como lo que me llamó más la atención de la clase de Isidora. Y lo otro que bueno que por los tiempos se pudo lograr el objetivo de hacer la última actividad y lo otro que a diferencia de Martín haya lenguaje matemático. Isidora: Lo usé ¿o faltó? Pamela: Faltó un poquito, porque de primera, cuando tu empezaste a hablar de los lados de un triángulo, no les dijiste al tiro lo de los catetos y la hipotenusa, sino que los nombraste cuando pensaste a hablar del teorema de Pitágoras. Entonces ahí yo considero que debería de haber sido un poquito antes, porque no te hubiese salido la duda del alumno que ¿Qué era la hipotenusa?, eso fue lo único.
El hecho de que la profesora Isidora diera bastante información para resolver la tarea,
conlleva a dejar poco espacio a los alumnos para responder o bien en apurar sus propias
respuestas.
Se observa que la profesora quería hacer las mismas situaciones de la clase anterior y las
mismas intervenciones, estaba provocando en sus estudiantes un comportamiento similar;
sin embargo, al parecer no se da cuenta de que es un escenario distinto. Lo que ocurrió en la
clase del profesor Martín es que fue lenta su gestión. La profesora Isidora no cambia la
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
194
actividad, cambia la gestión pero no deja que el alumno realice el encuentro con la tarea.
Más bien no les da el espacio para que emerjan respuestas en sus estudiantes. Esto que le
sucedió a la docente puede inferirse que ella observó la clase anterior y decidieron no
cambiar las situaciones en la discusión, por tanto estaba consciente de la reproducibilidad
de la situación.
Esto significó que apuraba los tiempos didácticos para lograr el objetivo de la clase
mediante las 4 situaciones que propusieron. Los docentes plantean en la discusión el
espacio que se les dio a los alumnos. En particular la profesora Romina, que no participó en
el diseño de las situaciones, expone sus ideas de la clase y hace mención a la participación
de los alumnos para explicar sus procedimientos. Ella plantea que la docente, en vez de dar
respuestas o decir lo que estaban haciendo mal, debió formular preguntas para que los
propios alumnos reconocieran sus errores. Romina identifica la conexión que la profesora
Isidora hace con la situación clave (resolver un problema) y también señala que los
alumnos, para determinar la longitud de la hipotenusa, suman las medidas de los catetos
que se dan. Hace alusión a que ésta es una respuesta errada, pero que también sucedió en la
clase de Martín.
Romina: a ver, yo siento que en un plano general, creo que el objetivo que era comprender el teorema los niños como que lo pudieron lograr, ya, y destaco el hecho como que de no habérselos dicho al comienzo de la clase, eso lo destaco, ya , porque ellos como que es bueno que vayan descubriendo los aprendizajes o los objetivos de la clase, ya, porque al final ellos lo mencionan, que el objetivo era comprender el teorema, ya, eso como en general. En general también hubo participación de los niños, aunque siento que un poco limitada, porque, no sé si donde tú tratabas de apurar la actividad y al dar pistas como decía Paulina no dejabas que ellos terminaran la idea o que ellos expusieran con mayor tiempo lo que habían hecho. Entonces siento que ahí se podría dar más tiempo a los niños para explicar, para explicar cómo llegaron y muchas veces tú terminabas respondiendo la respuesta, entonces yo creo que ahí, no tanto modelar y quizás apuntar a preguntas en donde ellos puedan responder en vez de a ver (tengo anotado por aquí, aquí dice, si yo quiero calcular el área que tengo que hacer y tú les dabas los lados, si te doy este 5, que hiciste, haber multiplicó , ya multiplique), entonces volvías a repetir el niño, entonces ahí no sé, usar otro tipo de preguntas como, ¿Qué estrategia usaste, qué operación?, como para que ellos vayan a identificar más lo que están haciendo, como mejorar eso un poquito las preguntas y no tan guiados, eso. Lo otro, encuentro a las actividades que son como claves , esta de la medida de la hipotenusa que era el triángulo rectángulo, de los dos triángulos rectángulos, creo que estuvo mejor, se logró, claro que salió de nuevo eso de sumar, sumar los dos catetos 3+4 es 7 y algunos también habían medido y que también le había coincidido con la medida de la regla el 7, ya, ahora siento que a veces es bueno que ocurran ese tipo de errores , porque te dan pie para hacer la conexión
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
195
inmediatamente con el teorema y tú lo supiste trabajar bien en ese momento, lo aprovechaste, hiciste el anclaje con el teorema y ahí te pasaste inmediatamente al problema que era la situación de descubrir la hipotenusa ya, entonces en eso encuentro que estuvo como bien. Hiciste la conexión con el problema, digamos que era descubrir la hipotenusa y que había otra forma de hacerlo, ya, y que no era solo el sumar. Ahora no sé si será bien decirles a los niños, que lo que hicieron está mal, está mal sumar, si se pudieran cuestionar ellos un poquito más si lo que hicieron ellos estaba bien o no.
En relación a las situaciones 3 y 4 que son las claves, analizan las preguntas que se pueden
hacer y menciona lo difícil que es para los alumnos descubrir. Se refieren a que la profesora
hace la conexión entre actividad y el contenido matemático teorema de Pitágoras, pero el
profesor Martín señala que no es capaz de visualizar si todos los alumnos logran
comprender dicha conexión.
También analizan la actividad de verificación del teorema, pues la profesora hizo un
cambio en esta actividad en relación a la clase anterior. Para verificar hay que superponer
los cuadrados trazados sobre los catetos sobre el cuadrado de la hipotenusa. Para ello los
alumnos tenían libertad de hacer los cortes.
Romina: No sé si se puede guiar eso a través de otro tipo de preguntas, me acuerdo que cuesta como encontrar preguntas como para guiar eso, como para que ellos los descubran que es otra, de otra forma se puede hacer, ya. Pero tu después lograste hacer la conexión con el teorema, la fórmula, diste los lados y llegaste a que ellos te dijeran a al cuadrado , mas b al cuadrado, es igual a la hipotenusa, hiciste la conexión y después pasaste al teorema ya, en donde, pero le costó un poco descubrir esto de cuál era la, lo que tenía que ocurrir, si bien es cierto, descubrieron la condición que era en el triángulo rectángulo, visualicé que en general no pudieron reconocer, que la condición tenía que ser un triángulo rectángulo, pero no así, les costó un poquito más la consecuencia hasta que le pasaste la guía en donde tenían ya que comprobar ya, en cuanto a la actividad donde ellos recortan y manipulan y comprueban lo encontré bueno en cuanto a los tiempos también, creo que se logró, lo que sí al final hubiese sido mejor que, no sé si por grupo, hubiesen mostrado lo que hizo cada uno o quizás más alumnos. Isidora: No era pegar, entonces era más difícil, les costó, por eso yo llamé a la profesora para que viera el caso de 2 o 3 niños que lo habían demostrado bien. Romina: Claro, como es distinta forma como lo pegaron, claro. P3: Si. Romina: Como lo fueron encajando en el fondo, como les fue calzando, eso
Se analiza la extensión de la clase, en términos didácticos para el logro del objetivo. Los
docentes señalan que tal vez son muy extensas las situaciones de aprendizaje en una clase y
se pierde el objetivo. Observan que dieron énfasis a las actividades de inicio.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
196
Martín: Porque al principio (Inicio) es como una clase de perímetro y área. Romina: Sí. Martín: Sí me pasó lo mismo, yo por eso me demoré tanto y después es una clase de Pitágoras, y al niño cuando le preguntan dice y ¿Qué será de área o de Pitágoras, de que habrá sido la clase?
En el siguiente extracto de diálogo se observa cómo los docentes reflexionan sobre ciertos
elementos que son necesarios de tener en cuenta en el momento de la reproducibilidad de
situaciones de aprendizajes. En particular, conocer el contexto de enseñanza y asegurarse
de que los alumnos tienen los conocimientos previos adquiridos para resolver la tarea.
Isidora: Yo, hoy tuve clase con ellos en la mañana y tuve la intención de hacer una clase de área y perímetro y después dije no, porque va a ser diferente de lo que ya habíamos dicho con Martín que la misma clase la íbamos a hacer con conocimientos previos... A: Pero podríamos verificar que no era esencial. Isidora: Claro, porque si yo hubiese hecho en la mañana la clase de área y perímetro, en la tarde hubiese visto solamente Teorema de Pitágoras. Martín: Ahí se ve el problema que introduje yo en todo caso ¿Por qué lo introduje yo? Isidora: Porque le agregaste. Martín: No, pero por otra cosa, la clase, pero ¿por qué introduje el problema? Isidora: Ah!, porque tu curso no es tu curso, entonces tenías que. Martín: Tenía que asegurarme que los niños supieran Isidora: Tiene razón.
Por otra parte, la profesora Isidora manifiesta que tuvo la intención de hacer con sus
estudiantes una clase de área y perímetro (situación 1 y situación 2) en forma previa, sin
embargo, desistió. Esta situación da la idea de que la profesora tiene presente la
reproducibilidad como el hecho de repetir en forma exacta.
Al analizar esto comienzan a reformular las actividades de inicio en vista del objetivo que
se quiere lograr. Analizan la modificación de las actividades de inicio, la académica
conduce la reflexión hacia el cuestionamiento de la pertinencia de transformar dichas
actividades. Esto es en términos de reproducibilidad y reconocen que el objetivo de la clase
es comprender el teorema de Pitágoras.
A: Por lo tanto si no es igual, en el momento de reproducir ahora ¿Podemos quitar esa actividad o no? Isidora: Es un elemento importante. A: Es un elemento importante, pero ¿podemos quitar esa actividad o no?
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
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Isidora: Sí. Martín: O sea, es presentar solo el área del cuadrado. A: ¿Cuál es el objetivo de la clase? Martín: El área del cuadrado. Isidora: Comprender el área de. Martín: Comprender el, o sea. Isidora: Teorema de Pitágoras. A: O sea comprender el teorema de Pitágoras, por lo tanto la actividad de inicio, ¿es necesario que la hagamos? Romina: Yo creo que sí Pamela: Como recordatorio, pero no tan extensa como. Romina: Yo sabe lo que haría, activaría conocimientos previos en cuanto al triangulo rectángulo y área de. Pamela: Del triángulo rectángulo. Romina: Área de los cuadrados de los que se forman en los catetos. A: Pero eso lo puedes hacer con el teorema, pero ¿la actividad de inicio es necesario hacerla? Pamela: Tanto así como el cálculo mental de área y perímetro. A: Por ejemplo el cálculo mental. ¿Qué me aporta para el teorema? No nos aporta mucho parece en la clase. Romina: La de los cuadrados sí. Isidora: Cuando reconozcan lo que es la diferencia. Pamela: Podría ser la parte de área y perímetro de lo. Romina: Mm, sabes donde yo, esa de los cuadrados, yo, no sé, la de inicio cuando tú dices ya, si el lado mide 3 y ¿el área cuánto es?, yo ahí le agregaría hacer la conexión numérica de escribir a2 para conectar lo que es cuadrado, con el área del cuadradito. Pamela: O sea podría dar como una pequeña formulita de lo que es área y perímetro. Romina: A lo mejor ahí modificar un poquito eso.
Los profesores y la académica analizan la situación 1 y las preguntas que se realizan en la
etapa de inicio. Las cuestionan en términos del logro didáctico que es la comprensión del
teorema de Pitágoras. Por tanto, deciden modificar esa parte, en particular la situación 1 y
2. Se detecta que los docentes toman una decisión de cambiar la situación 1 y 2; pero lo
hacen analizando la puesta en escena de las situaciones, de las respuestas de los alumnos,
de que al plantear pierde protagonismo el contenido matemático a enseñar. Por tanto, el
objetivo de la clase se desnaturaliza. En función de esas variables es que realizan las
modificaciones a las situaciones.
A: Entonces, el asunto es que la actividad de inicio, ahora en términos de reproducir, yo ¿puedo quitarlo o no? Isidora: Sí.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
198
A: Sí, ¿Por qué? Isidora: Porque el objetivo es el teorema. A: La actividad no aporta mucho, aporta más como elemento distractor, porque mira, Isidora lo hizo y no conectó con la actividad de inicio. Isidora: Le quita protagonismo a Pitágoras. A: Perdió protagonismo Pitágoras. Romina: Y si lo conecto yo, como explicaba, puedo dar el ejemplo, para determinar el área del cuadrado necesito multiplicar a por a y que vean la conexión a2.
También deciden que las situaciones claves (situación 3 y situación 4) no se pueden
modificar. Sin embargo, la profesora Isidora reflexiona en términos de reproducibilidad.
Ella plantea que cuando se cambian la actividad, cambia la estructura y todo.
La académica le hace ver que ella hizo la misma clase, sin embargo cambió la gestión de la
clase cuando propuso el problema clave y dicho problema se convirtió en un ejercicio para
los alumnos y no en un desafío a resolver.
Isidora: Ya, otra de las cosas que tiene que tener la reproducibilidad es que cuando estamos juntos y practicamos algo, después eso se tiene que hacer. Porque si alguien ya cambia las actividades o las acomoda, ya cambia la estructura y cambia todo.
En relación a las situaciones 3 y 4 también las analizan. Para la situación 3 cuestionan los
dibujos, pues surge la necesidad de colocar las medidas reales para que puedan obtener
respuestas que tiene relación con la necesidad de aprender el teorema de Pitágoras.
Además, al parecer al colocar los dibujos con las medidas que tienen conduce a errores;
pues tanto en la clase del profesor Martín como en la clase de la profesora Isidora los
alumnos realizan los mismos errores.
Isidora: El problema ya lo vimos ayer, problema es que coincide que tuvimos 4 y 7. A: Estamos potenciando un error, por lo tanto, hay que variar ahí el dibujo. Isidora: Y pasó en los niños de ayer y en los míos. Romina: No ponerles números. A: eh no, yo creo que hay que hacer otra cosa ahí. Martín: No, tiene que tener número. A: Sí, ¿Qué hay que hacer? Pamela: Lo que le dije yo ayer. A: Hay que hacer las medidas reales, sino no va a emerger, a mí me dio 4,9 a mí me dio 5 a mil 5,1, porque eso se perdió en la clase de Isidora, y por eso no se convirtió en problema. Isidora: Sí, porque no tenía regla y me traté de conseguir y después se me olvido ir a buscar.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
199
A: No, pero no importa, los niños trataron, pero no importa. Pamela: Había uno que estaba con un lápiz pasta. A: Pero, yo creo que, Pamela, tú tienes que hacer la clase y yo creo que ahí hay que hacer de nuevo esa actividad. Pamela: Con las medidas reales. Posteriormente, analizan la situación 4 que corresponde a la verificación del teorema y se
focalizan en la esencia de dicha situación. Se observa que los docentes no tienen claridad
acerca de que están verificando. Por lo cual, la académica hace preguntas en relación a eso
y se logra determinar que la esencia es la verificación del teorema de Pitágoras.
A:…. ¿Cuál es la esencia de esta actividad? Pamela: Verificar el área. Isabel: Verificar que en los dos cuadrados. A: No, verificar ¿qué? Pamela: El área. A: A ver, verificar ¿qué? Pamela: La suma de los dos. A: No, verificar ¿qué? Isabel: El teorema de Pitágoras.
Analizan las posibles respuestas de los estudiantes para la situación 3. Más bien, se sitúan
en el lugar del alumno frente a la tarea solicitada y predicen que usarán regla para medir.
Pero también tienen en vista las respuestas que dieron los alumnos en las clases que
observaron, por tanto piensan en las tareas de devolución y que los alumnos busquen
estrategias para dar respuesta al tipo de tarea planteado.
Durante la discusión de esta clase se detecta cómo los profesores van evolucionando en el
cuestionamiento de sus decisiones y cómo van abordando algunos temas que los hacen
visibles para que la siguiente profesora pueda realizar la clase. Ellos observan que van
reflexionando sobre sus propias decisiones. Además, la académica hace la pregunta ¿Cuál
será el objetivo de reproducir clases? Y los profesores responden que es perfeccionar la
clase.
Isidora: Ahora si nos damos cuenta, el problema de ayer que todos sentimos fue el tiempo, entonces yo traté de enfocarme en el problema de ayer ya, y creía haberlo conseguido hasta el momento en que llegué a la autoevaluación. Ahora nos dimos cuenta que tuve problemas de matemática, del
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
200
problema, entonces Pamela ya sabe que tiene que mejorar el tiempo, que ya está mejorado con eso y tiene que mejorar lo otro, entonces también es una buena experiencia que A: Se va. Martín: Reflexionando. A: Yo creo que también, ¿Cuál será el objetivo de reproducir clases? Martín: Perfeccionar la clase. A: Perfeccionar, es mejorarla, es decir, yo reproduzco, porque ya sabemos que reproducir textual es imposible. Isidora: Sí. Martín: Claro, yo después de terminar la clase me di cuenta de que hay actividades que hay que eliminar aquí derecho y no lo quise decir porque como había que reproducir esa cuestión no sirve. Isidora: Esta no, la otra sí. Martín: Claro, esa no sirve, la otra sí. A: Pero, o sea hay que cambiar la actividad. Martín: O sea ésta hay que cambiarla. A: Cambiarla por algo que te resulté. Martín: Claro, yo lo pensé, pero no lo quise decir y lo dije ahora por el hecho del aprendizaje de la clase.
En la discusión de esta clase, los profesores deciden hacer cambios para poder aplicar en
otro escenario, teniendo en vista el logro del objetivo didáctico que se propusieron. Las
modificaciones que ellos propusieron a la profesora Pamela, fue cambiar las situación 1 y 2
y dejarla en una sola. Modificar el tipo de tarea de calcular áreas y perímetros de cuadrados
y rectángulos a preguntar a los alumnos ¿cómo calcularía el área de los cuadrados y
rectángulos? En la situación 3, cambiar los dibujos de los triángulos rectángulos por
medidas reales (centímetros) y en la situación 4 hacer la conexión entre las ideas
matemáticas y el material concreto a utilizar.
11.3 Análisis del taller de discusión de la Clase 3
Esta clase la aplica la profesora Pamela en otro escenario con las modificaciones que se
plantearon en la discusión de la clase 2.
Así, la situación 1 se cambia por el cálculo de áreas y perímetros de cuadrados y triángulos
y se elimina la situación 2, pues ésta queda involucrada en la situación1. Por tanto, en esta
clase se aplican 3 situaciones.
Se observa que los profesores Martín e Isidora al mirar la clase mediante el video no
reconocen la clase que ellos diseñaron. En forma global afirman que ahí no hay
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
201
reproducibilidad porque la profesora cambia las preguntas en cada uno de las partes y las
actividades. Efectivamente, la docente inicia la clase con un repaso de las fórmulas para el
cálculo de áreas y perímetros de cuadrados y luego plantea la situación 1 para aplicar la
técnica. La situación 3 y la situación 4 las aplica, pero queda la interrogante si los alumnos
ya tenían la idea del teorema de Pitágoras.
En relación a las reflexiones pedagógicas que se detectan están relacionadas con los
comportamientos de los alumnos frente a las actividades presentes;
A: Ahí reparte las guías. Martín: Las reparte una niña. A: Ahí lo escribió en la pizarra. Martín: Ah!, porque si ella expuso que era b por h, podría haber continuado con la h en el rectángulo y siendo la altura. Romina: En el rectángulo no dice que es el perímetro, dice. Martín: Dice perímetro y área abajo. Isidora: Hay que sumar no multiplicar, qué fome eso sí, la niña está jugando con la cadena todo el rato. Romina: No ponen atención. Martín: Y no es atractiva, me trato de poner en el lugar del niño.
Los profesores que observan la clase se dan cuenta que algunos alumnos utilizan el texto
para resolver la actividad sobre el teorema de Pitágoras.
Romina: Pero ahí está con el libro. Isabel: Si, esta con Pitágoras al lado, no vale. A: Pero mira lo que hace. Romina: Sí, dice perímetro = 4 por 3 Martín: No sabe. Isidora: Pero, ¿Cómo el niño ocupa Pitágoras?, los niños igual tenían pistas porque dijo que habían pedido un trabajo de Pitágoras.
Romina: Sí, hay varios que están con el libro, ahora fijándome, hay varios que están con el libro abierto.
Ambos extractos de episodios muestran que la docente no respetó las consideraciones que
ellos habían propuesto para que las situaciones de aprendizaje fueran reproducibles:
algunas de ellas eran que no podían usar el texto escolar y la otra es que los alumnos no
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
202
tenían como conocimiento previo el teorema. Esto hace que al mirar la clase de la docente
los otros profesores que diseñaron la clase la desconozcan.
Por otra parte, hay una reflexión de tipo pedagógica que tiene relación en el cómo los
docentes se cuestionan sobre sus debilidades y fortalezas frente al contenido matemático.
Martín: Está cansada ya, yo creo que nosotros estamos bien, en cuanto nos damos cuenta de las debilidades y lo podemos cambiar por fortalezas. Isabel: Eso reclamaba el otro día que yo le dije, ya yo reconozco, reconozco que estoy débil, pero una cosa es reconocerlo y otra mejorarlo. Romina: Hay profes que ni siquiera reconocen que están mal, y se creen bacán.
No se observan reflexiones de tipo matemáticas, puesto que detectan los docentes que la
profesora Pamela no tiene claro el teorema de Pitágoras; ya que no reconoce bien cuál es la
hipótesis y cuál es la tesis.
El centro de la discusión de esta clase fue la reproducibilidad, hay varios episodios en que
se toma el tema por parte los docentes y por otra parte la académica la intenciona. Dado
esto en la discusión emerge una reflexión de tipo didáctica y se observa que los mismos
docentes utilizan un lenguaje y conceptos desde la teoría de la didáctica de la matemática.
Isidora: Ya, quiero partir diciendo que no hay reproducibilidad en esta clase, porque no siguió el conducto que teníamos acordado para hacerlos todos igual, porque el hecho de hacerlos todos igual era no decir que era el Teorema de Pitágoras que los niños descubrieran que se vieran en la necesidad, entonces ella modela y ya saben de Pitágoras, dice el teorema y no siguió el punteo inicial que habíamos acordado, entonces difícil la reproducibilidad en este sentido que hizo otra clase, no la que estamos haciendo, según mi punto de vista, no sé qué opinan ustedes, ¿Martín? Martín: Sí, igual, no es la misma clase que hicimos por lo menos. A: ¿Por qué? Martín: Porque está estructurada de otra forma, o sea, la estructura de inicio, desarrollo y cierre, esa es la estructura macro que se da para todas las clases, pero como lo habíamos planificado nosotros, las actividades que habíamos desarrollado, está bien que cambie algunas, pero sentí un cambio muy drástico.
Analizan y manifiestan que tenían que modificar las actividades pero ellos sienten que no
es lo mismo. También reconocen en la clase que perdió su esencia por tanto no es
reproducibilidad de las situaciones:
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
203
Romina: Es cierto que se habían sacado algunas actividades al inicio, me acuerdo del cálculo mental que hicieron ustedes, me acuerdo que eso se sacaron, igual tenían que sacar el perímetro de unos triángulos, había una de esa también, y acá tampoco se hizo eso. Isidora: Yo acá no vi, yo siento que mi clase fue reproducibilidad de Martín. Romina: Sí. Isidora: Con la diferencia que no pude terminar. Romina: Claro. Isidora: Y en la otra se supone que íbamos a acotar y no tener tantos ejercicios, pero seguía la misma esencia. Romina: Claro, para no tener tantas actividades. Isidora: Si eran 9 ejercicios, a lo mejor íbamos a tener 3. Romina: Claro. Isidora: Pero la clase seguía el mismo formato, no sé cómo lo hiciste tú (dirigiéndose a Romina).
La académica provoca nuevamente la discusión sobre el constructo reproducibilidad y
consulta por las actividades de aprendizaje. Los profesores señalan que se mantienen
aquellas consideradas centrales.
Discuten sobre los conocimientos previos que debieran tener los alumnos para realizar las
situaciones de aprendizaje. La académica entrega el antecedente que la profesora Pamela no
había visto el teorema de Pitágoras. Sin embargo, se plantea la duda puesto que 5 alumnos
trabajaron con el texto escolar y precisamente en las páginas de teorema de Pitágoras.
A: Pero hay una cosa, ¿Qué pasa con las situaciones de aprendizaje, cuales son las situaciones que ella hizo? Martín: El descubrir la hipotenusa, esa fue una de las actividades principales que nosotros teníamos. A: Ya. Martín: Descubrir la hipotenusa la medida de la hipotenusa y la otra actividad era de los recortes. A: La verificación de teorema. Martín: Claro. A: Uno era como medir exactamente, y el otro era la verificación del teorema. Esas actividades. Romina: Son las mismas. A: Son las mismas.
Los profesores retoman lo que es la reproducibilidad de situaciones. Hacen notar que al
intencionar las respuestas de los estudiantes y cambiar el orden de las situaciones tal vez no
hay reproducibilidad.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
204
Por otra parte, el profesor Martín cuestiona la gestión de la clase, señala que era una clase
por descubrimiento para ello tenían que ingeniárselas para no dar todas las instrucciones.
Martín: A ver, ¿Qué pasa?, si un profesor hace los recortes primero, ya, recortemos, comprobemos acá y acá y recortemos y así se hace y el Teorema de Pitágoras y ya descubran el lado de la hipotenusa que falta, se cumple el objetivo, son las mismas actividades pero ¿Hay reproducibilidad?, por lo que vimos en la clase anterior: no. Isidora: Yo me acuerdo cuando yo hice la clase, yo también soy de dar muchas pistas de guiar mucho, muy materialista quizás de guiar el tema de la educación, entonces yo le pregunté muchas veces que yo quería decirle que eran lo que estaban descubriendo y no, no se puede, entonces esa sensación de que no les podía dar el teorema hasta que no lo descubrieran, no podía decirle cómo hacerlo, cuando para mí era mucho más fácil decirles, los cuadraditos, buscaran y lo súper, la palabra superpuesto, no lo podía, tenían que ingeniárselas, hasta que alguien lograra decir y hay uno, claramente el primer niño que da una luz para poder hacer que los demás se guiaran, entonces eso es lo que siento que a lo mejor la clase, la actividad es la misma pero las instrucciones también, no tiene que darlas todavía todas, había que buscar el aprendizaje por descubrimiento, que descubrieran por si solo antes de darle todo listo y se les dio listo.
Los profesores cuestionan la situación 4 que trata sobre la verificación del teorema. La
profesora Romina, que aplicó la clase, interviene reflexionando sobre su propia clase y
señala que sus alumnos recortaron y pegaron pero no le quedó claro si sus estudiantes
comprendieron lo que estaban realizando. Se refiere también a la identificación del teorema
con la hipótesis y su tesis y cuestiona el objetivo de la situación. Pues si los alumnos no
comprenden o no saben sobre el teorema, están verificando algo que no entienden.
Romina: Yo la verdad es que a mí me queda la duda si realmente ellos con la actividad comprueban realmente el Teorema, porque lo que me paso a mí, cuando yo hice la clase con el séptimo, que si bien ellos lograron recortar y pegar y todo, pero no sé si realmente lo asociaron con el teorema, con la lectura del Teorema, con la identificación de la tesis, la hipótesis, todo, no sé si realmente tuvieron esa relación de que aplicando después la fórmula, podían descubrir la hipotenusa, o sea igual me quedo con esa duda. Isidora: Si la verificación era para verificar ¿qué? Romina: Si solo con recortar papelitos, realmente se comprueba y se entiende lo que es un Teorema y cuáles son las condiciones de ese teorema y que se busca con ese teorema en el fondo Isidora: Ahora, la niña que dio la explicación a todo el curso, dice: aquí si es cuadrado, rectángulo, no sé, entonces no queda claro qué está buscando, si es cuadrado de que sea cuadrado o rectángulo, sea lo que sea pero tiene que calzar. Martín: Hacer calzar no más.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
205
Frente a lo expresado por los docentes en el extracto anterior se observa que mirando el
video de la clase no reconocen el diseño de sus clases. Aunque se utilizaron las mismas
situaciones. Entonces ponen en discusión el objetivo o logro didáctico de la situación 4, que
se refiere a la verificación del teorema.
En lo que sigue, la profesora Isidora se refiere a las interacciones que se observan en la
clase, pues considera que son pocas y que los alumnos no comprenden al parecer que están
realizando. Señala que la situación de verificación tiene que ir después de que tengan
apropiado el teorema.
Romina: Lo que me pasó a mí con el séptimo, que no tenían ni idea de lo que era cateto, hipotenusa, triángulo rectángulo, entonces yo quedé con muchas dudas frente a eso, si realmente lo comprendieron. Isidora: Yo pienso que esa actividad de verificación tiene que ir después de que esté bien apropiado el teorema. Porque si no los niños no saben qué están comprobando, pasa a ser una actividad manual y no de verificación, o sea si el niño no sabe que el teorema de Pitágoras es que si yo la suma de los cuadrados es que si no lo tienen claro, no sé qué va a verificar, va a verificar algo que todavía no entiende.
La académica retoma la reflexión sobre reproducibilidad y les consulta qué les aporta. Una
de las profesoras responde que va depender del estilo del profesor, de los conocimientos
previos de los estudiantes, de las características del grupo. Pero no señalan qué les aporta el
reflexionar sobre este elemento teórico, se puede inferir que aún no realizan el nexo entre la
teoría y la práctica. También en esta clase los docentes observadores no la reconocen, ellos
plantean que no es la misma clase aunque se ocuparon las mismas situaciones y que la
decisión de cambiar el inicio de la clase la hicieron entre todos.
Frente a la pregunta si volvieran a realizar la misma clase, los docentes tienen respuestas
distintas. Uno dice “yo la haría a mi pinta”, el otro afirma que es difícil mezclar estilos de
3 profesores y la profesora Romina dice que trataría de hacerla igual, cabe hacer notar que
la docente no participó en el diseño.
La académica recuerda el concepto de reproducibilidad y, en esos términos, los profesores
señalan que en el caso de la profesora Pamela no se cumplió el logro de aprendizaje; por
tanto no fue reproducible el diseño de ellos.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
206
Se plantean el caso de ellos mismos, el profesor Martín señala que tampoco alcanzó el
logro pues le faltó la situación de verificación del teorema. La profesora Isidora siente que
logró hacer las actividades pero que los niños no internalizaron el teorema.
A: Pero, te acuerdas cuando definíamos reproducibilidad, íbamos a decir que una situación era reproducible si cumplía con ciertas condiciones que eran la esencia digamos y que tenía que cumplirse el logro del objetivo didáctico ¿no es cierto?, cuando Romina dice, los niños no se dieron cuenta de eso, que estaba equivocado en el fondo, quiere decir que… Isidora: Que no se cumplió A: No se cumplió, por lo tanto, esa clase de Pamela, ¿Qué podríamos decir entonces? Martín: Que no fue la reproducibilidad de la nuestra. A: Y en el caso de ustedes ¿Qué piensan en relación a los logros de los objetivos? Martín: Yo no lo alcancé, no me alcanzó el tiempo, no pude hacer la actividad de comprobación, la que venía después de atesorar bien o arreglar bien el conocimiento del teorema de Pitágoras. Isidora: Un indicador. Martín: Claro. A: En el caso tuyo (haciendo referencia a Isidora). Isidora: Yo siento que si bien logré hacer las actividades, siento que los niños no internalizaron el teorema, ya, yo siento que algunos y varios pudieron hacer el ejercicio manual de la comprobación pero siento que no les quedó claro qué es lo que el teorema de Pitágoras, o sea, requería otra clase, me sirvió como un piso, para que después entendieran ya más claro lo que era el teorema de Pitágoras y la comprensión, o sea, el objetivo de aprendizaje yo creo que no se logró, pero si están las condiciones que nos habíamos puesto.
Justifican las decisiones sobre las situaciones que diseñaron. Pues señalan que todas tenían
un propósito; las primeras eran para tener un indicador de aprendizaje y que eran necesarios
para poder llegar a las otras situaciones. Reconocen la situación clave relacionada con
teorema de Pitágoras y que sus alumnos se apropiaran del teorema para continuar con la
situación verificación del teorema.
Agregan que en teoría las actividades estaban bien diseñadas y las justifican manifestando
que son actividades clásicas. Finalmente, observan que una situación es reproducible si se
reconoce que tiene logros didácticos.
Isidora: Todas tuvieron un propósito, ya, las primeras eran descubrir para tener un indicador de los aprendizajes de los niños que eran necesarios para poder llegar a lo demás, que es perímetro y el área, descubrir si los niños reconocían o recordar, si se supone que ya lo han pasado y la actividad del desafío, que es los niños tuvieran la necesidad de saber el valor de la hipotenusa, eso también era clave para que ellos tuvieran la necesidad de ver Pitágoras y después que ya en teoría
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
207
estuviera bien internalizado y lo entendía, poder comprobar de una manera concreta que se cumplía el Teorema de Pitágoras. Entonces en teoría la actividad está diseñada bien, buena, pero quizás hay que buscar la forma de poder implementarlas pero yo todavía creo en ellas. A: Cree en ellas, ¿y tú? (dirigiéndose a Martín) Martín: Sí, es que esas son las actividades que se realizan, por lo menos la del recorte, cualquier profesor de matemáticas, que sepa matemática, hace esa actividad para enseñar Teorema de Pitágoras, en el patio, en la sala, una actividad como comodín. A: Oh! clásica digamos Martín: Claro Isidora: Pero con las instrucciones bien dadas, no como descubriéndolos solos Martín: Es una actividad reproducible, si se sabe que tiene logros
Frente a la pregunta sobre qué quitar o agregar a las situaciones de aprendizaje diseñadas
por ellos, los docentes señalan que cambiarían las instrucciones sobre todo en la situación 4
(verificación del teorema). Además, se observa que se centran en las situaciones claves,
desestiman la situaciones 1 y 2, puesto que el logro didáctico es la comprensión del teorema
de Pitágoras. En otras palabras, acotan las actividades y los tiempos didácticos en pos de
lograr el objetivo.
Martín: Es que por ejemplo, mi actividad yo le quitaría tiempo por ejemplo, en el asunto del principio por ejemplo de perímetros y área A: ¿Por qué? Martín: Porque siento que no es necesario, podría ser en una clase previa, no en la clase del teorema de Pitágoras, pero no es lo mismo que hizo Pamela, por eso pregunto ¿Pamela o la clase que hice yo? A: En la clase que hicieron ustedes, como conjunto. Isidora: Yo le habría agregado, en la clase que hice yo, que me gustó haber dado más explicación en la verificación, cosa que según yo no lo tenía permitido, yo les había dicho, explicar bien el teorema de Pitágoras y lo que vamos a hacer para poder verificar que eso estaba contenido en lo otro y así que ellos lo fueran a hacer directamente no a ver que podían hacer con eso, eso no me satisface, yo pienso que esa actividad requería una instrucción más clara, requería los pasos a seguir, para que los niños lo hicieran con mas, no ¿Qué hay que hacer tía? Y todos mirando así. Romina: Yo tuve que dar las instrucciones. Isidora: No, yo pregunté y se me dijo no, igual que la de Miguel, entonces yo dije no, yo quería dar las instrucciones, si yo tuviera que hacerlo de nuevo en otro curso, yo en esa actividad doy las instrucciones, no algo que lo descubran, doy las instrucciones de cómo se verifica si tenemos un cuadrado de cada lado, el cuadrado de los catetos se sumaba bien claro para que el niño pudiera hacer calzar de alguna manera y le cuadre y le quede listo.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
208
Discuten sobre lo que es reproducible o no es reproducible. Aunque tienen las mismas
situaciones, los profesores asocian la reproducibilidad más con la gestión. Entonces al tener
la gestión distinta no es la misma clase, por tanto no es reproducible.
Martín: Es que se está tocando el mismo concepto de reproducibilidad, no sé concretizarlo, no sé qué es reproducible y qué no, solamente el concepto, o sea entiendo ya algo que vamos a replicar, pero como lo entendía. A: Pero lo vamos a replicar, de partida dijimos que no era igual. Martín: Claro. A: Eso, eso sí lo comprenden. Martín: Sí, porque no es un libreto, no es algo que se va a, entonces eso de que no es el libreto, lo deja muy abierto, como que es reproducible, digamos si tomo el trabajo o la actividad principal y las otras actividades son muy diferente y se cumple el objetivo ¿es reproducible?, tengo 5 actividades, 2 centrales que permiten el logro de objetivo, si esas dos se hacen y se alcanza el logro del objetivo, dan lo mismo las otras actividades A: Puede ser Martín: ¿sigue siendo reproducible la clase?
Los profesores reconocen en las distintas clases observadas que no varía el contenido
matemático. Señalan que puede cambiar: la metodología, las actividades, el estilo del
profesor. Para que sea reproducible hay que fijar ciertas condiciones, por ejemplo, el uso de
los recursos.
Con la observación de esta clase se detecta que los docentes se confunden en el concepto
teórico de reproducibilidad.
Romina: El contenido matemático dijimos esa vez que no variaba, dijimos esa vez el contenido matemático. A: Ya, ¿Qué más no varió? Romina: Que podían cambiar las metodologías, las actividades ser más innovadoras, el estilo del profesor, pero lo matemático en sí no cambiaría, permanece siempre. Isidora: Expusimos varios recursos... Romina: Sí, pero estoy hablando así de lo que más me acuerdo. Isidora: Por ejemplo que uno no podía usar Data en el caso de Martín y otros sí. Martín: Claro, ahí está el dilema; por ejemplo, tengo las 2 actividades iniciales muy parecidas, muy iguales a otro, pero la actividad de inicio, utiliza Data, por ejemplo, nosotros habíamos dicho que eso no se podía porque había que cuidar que las actividades cumplían con los recursos que contaba el establecimiento, entonces, quedé un poco en el aire yo ahora, estoy como medio, no entiendo muy bien el concepto de reproducibilidad. Isidora: Al ver la clase de la Pamela.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
209
Martín: Claro. Isidora: Yo también, fue lo primero que puse que no era reproducible.
11.4 Análisis del taller de discusión de la Clase 4
La clase 4 la aplica la profesora Romina, la docente no participó en el diseño de las
situaciones ni tampoco en las reflexiones sobre el constructo reproducibilidad. Conoce las
situaciones porque asiste a la observación de las clases y participa en las discusiones de
cada una de ellas. En la discusión de esta clase participan el profesor Martín y la profesora
Isidora.
Los profesores observan el video de la clase de la profesora Romina, de inmediato se
detecta una posición distinta con respecto a la clase de la profesora Pamela.
Isidora: que sí hay reproducibilidad de la clase, porque se siguió el mismo planteamiento, la misma actividad. Martín: las mismas actividades, se nota similitud entre las dos clases. Con su estructura, en cuanto al orden de las actividades. Isidora: está mejorada porque sacó las actividades que no servían. Romina: sí, las saqué no más... Isidora: siguió con la misma pauta, sí me gustó la clase de la Romina.
De inmediato señalan que hay reproducibilidad. La justificación es que observan las
mismas situaciones, la misma estructura y se modificó de acuerdo a lo que se discutió.
Además, detectan en forma explícita las diferencias de la clase 3 (profesora Pamela) con la
clase de la profesora Romina. Al observar el video de profesora Pamela se confundieron
con el constructo reproducibilidad y no lo ven reproducible porque la profesora dio varias
pistas, algunos estudiantes tenían conocimiento del teorema de Pitágoras.
Ellos reconocen que la reproducibilidad de situaciones de aprendizajes es posible bajo
ciertas condiciones.
Romina: ¿es que sabes qué? La Pamela empieza como a tirar conocimientos previos desde el cuadrado o el rectángulo, desde lo que es área y perímetro, pero no se enfoca a los ejercicios que estaban en la guía. Martín: claro, yo tengo problema en que por ejemplo lo que Pamela hizo era reproducibilidad de lo que nosotros planificamos, todas las clases en las que se enseñe Pitágoras son reproducidas a
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
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las clases que nosotros hicimos, porque se ha cumplido el objetivo de que los niños aprendan Teorema de Pitágoras. A: ¿Cómo? Isidora: es que usted dijo hace un rato que si el logro del objetivo hace que sea reproducible, quiere decir que cada clase que cumple el objetivo es reproducible, y no es así. Martín: va a ser reproducible de la que nosotros hicimos. Isidora: y no es así. Yo pienso que la reproducibilidad es lo que hablamos en un comienzo que tiene que tener ciertas condiciones que propusimos, y sin esas condiciones la clase es irreproducible.
Las condiciones que manifiestan tienen relación con el aprendizaje, que en este caso es el
teorema de Pitágoras. Es decir, tiene relación con la matemática que está en juego.
Conclusión del capítulo
El análisis de las reflexiones que realizan los docentes sobre sus clases, permiten concluir
que:
-‐ La metodología de Estudio de Clases entrega un método para crear ambientes de
discusión y reflexión sobre la práctica de los profesores.Se observa que los profesores
que realizaron el diseño didáctico, desarrollan un trabajo colaborativo. Analizan sus
clases en los diferentes ámbitos; matemático, didáctico y pedagógico. El foco en las
primeras discusiones fueron reflexiones de tipo pedagógico y se devela en función de
estudiar la reproducibilidad de las situaciones de aprendizajes que constituye el diseño,
por lo que las discusiones de tipo didáctica y matemática aumentan. Por tanto, el
Estudio de Clases se constituye como un ambiente de aprendizaje para los docentes, en
el que se articula teoría y práctica.
-‐ La metodología de Ingeniería Didáctica permite que los docentes puedan discutir en el
ámbito didáctico. Los docentes diseñan las situaciones de aprendizaje y realizan un
análisis a priori de cada actividad, esto les permite predecir lo que ocurrirá en la clase.
Posterior a la aplicación de cada una de las clases, los docentes discuten y reflexionan
acerca de lo que ocurrió realmente (análisis a posteriori de la clase), realizan
modificaciones a la luz del análisis de las clases, considerando la reproducibilidad de
las situaciones de aprendizajes. Es decir, consideran la esencia de la clase, por tanto no
pierden de vista el logro didáctico del diseño.
Capítulo 11 Análisis talleres de discusión sobre las clases
211
-‐ Esto nos conduce a plantear que es posible la articulación entre la metodología de
Ingeniería Didáctica y la metodología de Estudio de Clases.
-‐ En relación a la reproducibilidad se observa que los docentes reconocen la
reproducción de clase cuando se hacen explícitos los elementos que quedan
inamovibles para aplicar el diseño en distintos escenarios.
En el siguiente capítulo se expone una respuesta a la pregunta de investigación, las
conclusiones generales y las proyecciones que puede tener este estudio.
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
212
CAPÍTULO 12
Una respuesta a la pregunta de Investigación,
Conclusiones y proyecciones
12.1 Respuesta a la pregunta de investigación
La pregunta de investigación fue planteada en términos de desarrollo profesional y la
articulación entre teoría y práctica, su redacción es:
¿La reflexión sobre reproducibilidad en el proceso de formación continua, qué elementos
agrega al quehacer docente para que los diseños didácticos sean aplicados en distintos
escenarios?
Para responder se realizó una investigación en la cual se hizo un seguimiento a un grupo de
trabajo de tres profesores que pertenecen a un programa de especialización en matemáticas
en una institución universitaria. Este grupo de trabajo diseñó, aplicó y discutió sobre
situaciones de aprendizaje para lograr el aprendizaje del contenido matemático “Teorema
de Pitágoras”.
Por otra parte, los profesores están en ejercicio; eso conduce a reconocer que tienen un
bagaje praxeológico en relación al tema matemático a enseñar. Entonces hay elementos de
su propia práctica y centrado en la institución escuela que les permite en el día a día realizar
“clases” de distintos temas. Dichos elementos se pueden hacer visibles en: programa de
estudios, textos escolares, recursos didácticos, planificación de la enseñanza, plan de clase,
conocimiento de sus alumnos en términos cognitivo y sociales.
La gestión del profesor en el proceso de enseñanza aprendizaje realiza “tareas
profesionales” mediante el uso de instrumentos, dichas tareas son: diseñar, modificar o
elegir tareas, actividades, problemas; organizar y secuenciar el contenido matemático
durante las interacciones; analiza y da sentido a las producciones de sus alumnos. (Llinares,
2005). De este modo se distinguen elementos que son parte de su ejercicio profesional.
Ruiz y Sierra (2011) siguiendo las ideas de Cirade (2006) señalan que se pueden distinguir
al menos tres tipos de praxeologías docentes directamente relacionadas con la formación
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
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del profesorado de matemática: praxeologías a enseñar - conocimientos matemáticos que
hay que enseñar -; praxeologías matemáticas para la enseñanza –
- conocimientos matemáticos necesarios para enseñar, que no puede reducirse a las
praxeologías a enseñar-; praxeologías didácticas - necesarias para concebir, gestionar,
analizar y evaluar la manera de realizar dicha enseñanza-.
Los profesores que fueron acompañados en este proceso de especialización en matemática
pertenecen a una institución en donde el programa de estudio tiene el propósito de
fortalecer los conocimientos de tipo: disciplinario, didáctico y pedagógico del profesor o
profesora del Segundo Ciclo de Educación Básica. Además de desarrollar la capacidad de
reflexión pedagógica entre pares con el objetivo de que mejoren sus prácticas docentes. Se
desarrolla en base a cinco enfoques - el disciplinario matemático, el didáctico, el
pedagógico, evaluación para el aprendizaje y el comunicacional-. Lo que se traduce en seis
módulos denominados: Números, Álgebra y Funciones, Geometría, Datos y Azar.
Competencias Comunicativas y Evaluación para el aprendizaje. Además, se considera y
desarrolla un Taller de Reflexión de la Práctica Docente y Seguimiento al Aula, el cual está
fundamentado en la Didáctica de la Matemática articulado con la metodología de Estudio
de Clases.
En el objetivo general se observa que pretenden fortalecer los conocimientos en
matemáticas, didáctica de las matemáticas y pedagógicos de los profesores para mejorar el
desempeño profesional. Además que favorecen el desarrollo de competencias que les
permita a los docentes lograr mayores aprendizajes de calidad de sus alumnos. Junto a esto,
la intención es potenciar capacidad de liderazgo profesional entre pares y desarrollar una
actitud crítica y reflexiva sobre las prácticas docentes.
Los objetivos específicos apuntan a la actualización y profundización de conocimientos de
la matemática, didáctica de la matemática y pedagógicos.
Así, entre otros, se destacan los siguientes objetivos específicos que tienen relación con el
módulo de geometría y las prácticas de enseñanza:
§ Actualicen y profundicen conocimientos del ámbito geométrico: figuras y cuerpos geométricos, sus componentes, propiedades y relaciones.
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
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§ Conozcan y apliquen en el trabajo de aula las orientaciones dadas en el Marco de la Buena Enseñanza12 y nociones fundamentales de Didáctica de la Matemática.
§ Adquieran los conocimientos matemáticos y didácticos que le permitan transformar un contenido matemático en objeto de enseñanza, teniendo en cuenta el saber disciplinario, la realidad de los alumnos y los saberes pedagógicos requeridos para el diseño de escenarios de aula apropiados.
§ Conozcan y pongan en práctica las orientaciones pedagógicas y didácticas plasmadas en el Marco Curricular, Programas de Estudios, Ajuste Curricular y Mapas de Progreso para el Segundo Ciclo de EGB relativas a educación matemática.
§ Desarrollar competencias para realizar procesos de reflexión crítica respecto de su propia práctica pedagógica e implementen procedimientos técnicos de observación y sistematización de sus prácticas pedagógicas.
§ Analicen secuencias de enseñanza propuestas en textos escolares o por ellos mismos en su práctica pedagógica aplicando criterios preestablecidos o construidos especialmente para el estudio.
El módulo de geometría está organizado en base a los aprendizajes esperados, contenidos
disciplinarios y contenidos de didáctica específica. Los aprendizajes esperados para este
módulo se derivan de los objetivos específicos mencionados en el párrafo anterior. Los
contenidos disciplinarios mencionados son: Axiomas de incidencia de la geometría
euclidiana; Ángulos, Triángulos, Cuadriláteros, Construcción geométrica, Cuerpos
geométricos, Medición de superficies y volumen de prismas, Cilindros, Esferas, Conos y
Pirámides, Transformaciones isométricas, la argumentación y demostración en geometría.
El Teorema de Pitágoras aparece conectado con perímetro y área y dice: Perímetros y áreas
de regiones poligonales. Teorema de Pitágoras.
En los contenidos de didáctica específica se mencionan: Teoría de situaciones didácticas;
Metodología de Ingeniería Didáctica; Situaciones de aprendizajes de geometría y su
análisis a priori; tipos de tareas en geometría: construcción, visualización y demostración;
análisis de programas de estudio de 5° a 8° enseñanza Básica (alumnos de 10 a 14 años), en
el eje de Geometría, análisis de textos correspondientes a los niveles del segundo ciclo
básico en la parte de geometría.
En este programa de postítulo (especialización en matemáticas) se ubica el módulo
denominado Taller de reflexión pedagógica y seguimiento a aula, éste se vincula con el
saber hacer del profesor y se liga, por tanto, con la práctica del aula. Privilegia
metodologías que favorecen la reflexión en y sobre la acción docente del profesor y
12 Marco Para la Buena Enseñanza
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
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profesora participante, a partir de su experiencia profesional y en diálogo con sus pares y el
profesor guía del taller.
El sustento teórico del taller considera tres constructos: la didáctica de la matemática,
metodología de Estudio de Casos y metodología de Estudio de Clases.
Así, podemos detectar que en este programa de estudio están presentes las praxeologías a
enseñar, praxeologías matemáticas y las praxeologías didácticas. Por tanto, hay elementos
que vienen desde el logo, es decir, del bloque tecnológico teórico que aportan a la
desarrollo profesional del profesor.
La intención primordial de la investigación fue visibilizar en particular un constructo
teórico que se ubica en la didáctica de la matemática llamado reproducibilidad y detectar
qué elementos agrega al profesor al provocar la reflexión de dicho constructo para que sus
diseños sean aplicados en distintos escenarios.
Según los análisis realizados se pueden mencionar algunos elementos que van en directa
relación con las organizaciones matemáticas y organizaciones didácticas:
§ Focalizar la discusión de las situaciones de aprendizajes en términos de logro
didáctico de tal modo que las adecuaciones o cambios que se realizaron hicieron
depurar la organización matemática.
Se observa en el diseño didáctico, pues en un principio idearon 4 situaciones de
aprendizaje orientadas a las distintas etapas de la clase, para ello tomaron como
referencia la estructura global de la clase; inicio, desarrollo y cierre. Sin embargo, al
aplicar las mismas situaciones en dos escenarios distintos, perciben que tienen que
modificar puesto que las situaciones de inicio son extensas y no aportan al logro del
aprendizaje que es la comprensión del teorema de Pitágoras.
§ Determinar y hacer visible el logro didáctico u objetivo de aprendizaje de la sesión
de clase.
Cuando se introduce el constructo reproducibilidad se presenta lo que se
comprenderá por dicho concepto el cual involucra la “esencia de la situación de
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
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aprendizaje”, por tanto los docentes identifican la esencia de la clase que diseñaron
y que es la comprensión del teorema de Pitágoras. Para ello analizan el término
esencia y lo trasladan al ámbito del proceso enseñanza - aprendizaje.
§ Determinar cuáles son las situaciones claves que apuntan al logro didáctico.
Dado que los referentes teóricos como la evidencia empírica señala que no es
posible repetir una misma clase tal cual, se hace necesario determinar qué cambiar y
por qué cambiar las situaciones de aprendizajes en pos de lograr el objetivo
didáctico.
§ Toma de decisiones fundamentadas desde la didáctica de la matemática.
Los docentes toman el acuerdo de modificar situaciones de aprendizaje sin perder la
esencia, pero tienen en vista para hacerlo las respuestas de los alumnos. En la
situación 3, que era central, modifican los dibujos. Para ello analizaron los errores
de los alumnos y cuestionaron los dibujos, pues al parecer conducía al error. Si lo
analizamos desde lo que definió Arzac(1989) como “escogencia didáctica”, los
docentes se dan cuenta que la decisión de colocar dibujos con medidas no reales les
cambiaba el sentido y la función del conocimiento. Puesto que los alumnos
realizaron la actividad, pero perdieron el sentido de aprender el teorema de
Pitágoras.
§ Fortalecer la reflexión didáctica centrando las discusiones sobre las clases en
aspectos propios de las tareas y técnicas didácticas.
La evidencia empírica de la investigadora en formación inicial y continua de
profesores de matemáticas plantea que los docentes cuando reflexionan sobre una
clase lo realizan desde el ámbito pedagógico. Se observó que en los talleres de
discusión toman la dirección de reflexionar en el ámbito de la didáctica de la
matemática.
Los elementos que se han precisado aportan a que la aplicación de diseños didácticos sea
reproducible. En la investigación se observó que los docentes, a medida que discutían sobre
su diseño, no pierden de vista el logro didáctico y mejora la aplicación de las situaciones de
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
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aprendizaje claves. Esto se detectó en el análisis de las clases, la profesora 4 (Romina) que
no participó en el diseño fue la que más logro obtiene al aplicar la clase en su curso. Esta
observación también la hacen los profesores que participaron en el grupo de trabajo. Cabe
señalar que ella fue la última en realizar la clase.
12.2 Conclusiones
En relación al estudio que se realizó y en donde la problemática consideraba algunas aristas
como: problema de aprendizaje de los estudiantes, formación continua para el desarrollo
profesional, relación teoría y práctica entre otros, en las conclusiones se han considerado
algunos tópicos que tienen estrecha vinculación con las aristas mencionadas y los
elementos esenciales de la pregunta de investigación. Así, podemos concluir en relación a:
Reflexión didáctica sobre el constructo reproducibilidad
Los antecedentes que se indagaron expusieron que la reproducibilidad de situaciones
didácticas no era posible. Autores como Artigue(1986), Arsac(1989), Perrin Glorian(1993),
Lezama(2005) presentan en las conclusiones de sus estudios que el profesor tiene un papel
fundamental al momento de reproducir una situación de aprendizaje. Dada esa idea se
provoca una reflexión de tipo didáctica sobre reproducibilidad, introduciendo elementos de
tipo teórico en talleres de reflexión pedagógica en un curso de formación continua de
profesores. Se concluye que es posible detectar ciertos elementos que se agregan al
quehacer del docente para que los diseños didácticos puedan ser aplicados en distintos
escenarios. Esto permitió que la organización matemática y organización didáctica
presentada por los profesores evolucione en términos del logro didáctico. Se detecta que
tanto las praxeología matemática y didáctica fue depurada, puesto que la profesora que
aplicó las situaciones de aprendizaje por última vez exhibe una clase en donde se aprecia
modificaciones sin perder la esencia de cada una de las situaciones. Además contribuyó a
que en las discusiones de las clases la atención se centrará en el ámbito didáctico, por tanto
se vincula teoría y práctica.
Ruíz-Higueras y García (2011) señalan que durante el proceso de estudio escolar un
profesor y un conjunto de alumnos participan de forma integrada en que el profesor lleva a
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
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cabo “una acción didáctica” con el fin de que los estudiantes construyan una organización
matemática. Agregan que en la TAD se suele describir todo proceso de estudio como un par
de organización didáctica y organización matemática, lo que permite aprehender de manera
conjunta esta dependencia mutua entre lo matemático y lo didáctico.
Dada esta mirada, en todo el proceso que realizaron los profesores para el diseño y
aplicación de las situaciones de aprendizaje, pusieron atención a las organizaciones
didácticas (observando mutuamente las clases que aplicaban), esto les permitió observar
que la organización matemática fuera evolucionando en el sentido de quitar o agregar
elementos que permitieran el logro del aprendizaje. El tener un escenario en donde se
plantea un constructo teórico desde la didáctica de la matemática, permitió establecer o al
menos esbozar la idea de la relación mutua entre una organización matemática y didáctica.
No fue un tema fácil para los profesores, eso se observó en la medida que las discusiones de
los talleres se focalizaban para reproducir las situaciones de aprendizaje.
Contenido matemático
Para los docentes no es natural discutir sobre la matemática involucrada en las situaciones
de aprendizajes, cuando nos referimos a natural es indicar que los docentes no realizan por
iniciativa propia poner en discusión el tema matemático.
Desde el inicio cuando se plantea el estudio de las ideas intuitivas sobre reproducibilidad,
se evidencia que al “repetir clases” el ámbito menos cuestionado es la matemática. Si bien
en esta indagación se observa que los profesores para repetir clases asumen que siempre
hay un cambio, declaran que lo que no puede variar es el contenido matemático.
Durante el desarrollo del proceso del diseño de las situaciones de aprendizajes, se realizó
un taller para detectar cuánto conocían y en qué profundidad comprendían el tema
matemático, se observó que sabían el teorema pero no en su profundidad para hacerlo
enseñable. Entonces se realizó un taller para profundizar con referente teórico el tema. En
las discusiones de los diferentes talleres los docentes mencionan el tema matemático pero
no continuaban con la discusión, en ocasiones evadían el tema. Sin embargo, en la medida
en que ellos fueron analizando las clases y tenían que reproducirlas analizaban las
situaciones de aprendizaje relacionadas estrechamente con el tema matemático. Más aun,
una de las profesoras realizó una clase que fue muy distinta a la de los otros profesores,
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
219
pues no consideró ciertos elementos para reproducir la clase pero a su vez no comprendía el
tema matemático. Con esto se quiere inferir que el manejo de la matemática por parte del
docente sería un elemento primordial para realizar diseños reproducibles.
Esto nos conduce a reflexionar sobre estudios que han develado que los profesores
necesitan conocer en su profundidad la matemática elemental que enseña. Para discutir en
profundidad con sus alumnos después que han expresado todas sus ideas, el profesor
necesita una comprensión acabada del tema (Ma, 2010).
Por otra parte, el contenido matemático tiene su propio hábitat tanto en su dimensión
epistemológica como en la dimensión cognitiva. En el caso del teorema de Pitágoras,
algunos estudios muestran que la comprensión del teorema pasa por conectarlo con la
visualización, habilidad que no es natural en los alumnos y que se tiene que desarrollar. Es
común que en la enseñanza básica escolar (caso de Chile) un teorema sólo llega a la etapa
de verificación en forma empírica. Es decir, en la escuela no hay tratamiento de la
demostración en geometría, por tanto las tareas de verificación del teorema de Pitágoras es
mediante la configuración y reconfiguración usando como recursos “rompecabezas”. Sin
embargo, hay estudios que señalan que hay factores de visibilidad y complejidad que
inciden en la aprehensión operativa Padilla (1992). Este hecho no es conocido por los
docentes que fueron parte de la investigación, es decir, no se evidencia que ellos tengan un
conocimiento de tipo cognitivo sobre el teorema de Pitágoras. Por lo cual, al proponer la
tarea de verificar el teorema, algunos de los docentes no vinculan el material concreto con
las ideas matemáticas. En el transcurso de la discusión de las clases, pudieron abordar el
tema y cuestionar la situación de aprendizaje que tenía por objetivo verificar el teorema.
Estudio de Clases
Nos parece relevante exponer conclusiones sobre la metodología de Estudio de Clases, fue
un método que nos permitió desarrollar cada una de las etapas que lo constituyen y que
tiene por finalidad planear, ver y discutir sobre diseños didácticos generados por un grupo
de trabajo de profesores y liderados por una profesora de formación docente.
Al respecto, consideramos que dicho constructo es un entorno de aprendizaje para los
profesores que están en cursos de formación continua. La justificación de esta conclusión es
que desde el inicio se producen diferente tipo de reflexiones en los profesores y se
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
220
distinguen tareas y técnicas didácticas que permiten llevar a cabo un proyecto de enseñanza
aprendizaje.
En términos praxeológicos se dio la tarea a un grupo de profesores: “Diseñar una clase para
estudiantes de 13-14 años sobre el teorema de Pitágoras basada en resolución de problema”.
La técnica que fue posible determinar a partir de la metodología Estudio de Clases fue:
discutir sobre el contenido matemático, posteriormente diseñar situaciones de aprendizajes
y organizarlas en un plan de clases (tiempo didáctico). Esta primera parte se ubica en el
bloque de la praxis (T, 𝜏). Por otra parte, para llevar a cabo la tarea se realizaron talleres de
discusión y en esos talleres surgieron otras praxeologías, en este caso de tipo matemático.
El primer y segundo taller fue profundizar el tema matemático (teorema de Pitágoras), para
ello se trabajó con referentes teóricos sobre la matemática y fue posible detectar que los
docentes se ubicaban nuevamente en la parte matemática a nivel del bloque práctico (T, 𝜏).
No había conocimiento profundo del teorema, los profesores desconocían que el tema es
posible mirarlo desde una dimensión numérica o bien desde una dimensión geométrica.
También se pudo observar que no tenían conocimiento y comprensión de la demostración
del teorema, eso condujo a realizar un taller para abordar los temas propios del bloque
tecnológico teórico.
La discusión de los talleres fue sobre la base de la praxis de los docentes para su desarrollo
profesional, es decir, los profesores “aprenden” mirando las clases de sus pares. Al
considerar el constructo ingeniería didáctica, se necesita un análisis a priori y a posteriori
de las situaciones de aprendizajes involucradas, posteriormente se aplican el diseño en las
aulas y se discute sobre esa puesta en escena. Los dispositivos evolucionan en base a un
discurso tecnológico.
Formación continua de profesores
La problemática planteada en este estudio considera aristas relacionadas con la formación
continua de profesores para su desarrollo profesional. Dicha formación en algunos estados
están oficializados y son producto, en ciertos casos, de los resultados de evaluaciones como
PISA a nivel internacional y SIMCE en el caso de Chile. Estas evaluaciones develan que
los alumnos, caso de Chile, no tienen los resultados esperados en matemática. Por tanto, se
Capítulo 12 Una respuesta a la pregunta de Investigación, Conclusiones y Proyecciones
221
buscan estrategias de acción en pos de mejorar dichos aprendizajes, de ahí surge entre otras
los programas de perfeccionamiento docente.
Podemos concluir que en un programa de formación docente es necesario que se profundice
en la matemática escolar, tanto en su dimensión epistemológica como cognitiva y didáctica.
Además, es recomendable crear entornos de aprendizaje en donde docentes e instituciones
formadoras puedan articular la teoría y práctica. Dicha articulación permitiría que los
docentes no sólo se ubicaran en el logo de la praxis, sino que evolucionaran hacia el logo
tecnológico. Así, cuando tomen decisiones en relación a las propuestas de enseñanza
aprendizaje sean fundamentadas y reflexionadas.
12.3 Proyecciones del trabajo
El estudio en su parte metodológica consideró un grupo de trabajo constituido por 3
docentes. Los profesores determinaron ciertos elementos a tener en cuenta en el momento
de reproducir sus propios diseños, dichos diseños pueden ser cuestionables desde el punto
de vista del experto. Más aun, los profesores enjuiciaron cada una de las situaciones
propuestas. Por tanto se abre la posibilidad de una investigación que devele la calidad de las
situaciones y la relación entre el conocimiento matemático del profesor, sus creencias y los
diseños que realiza.
Por otra parte, se les planteó a los profesores realizar una clase basada en resolución de
problemas, se detectaron las dificultades que ellos tuvieron para crear o rediseñar una
situación problema y después para realizar la clase con sus estudiantes. En otras palabras,
hay dos cuestiones a proponer ¿qué entienden los profesores por resolver un problema en
matemática?, ¿cuál es el tipo de tarea que debieran proponer los docentes para que la clase
sea basada en resolución de problemas?
En resumen, las proyecciones de este trabajo pueden ir por dos vías: una realizar un estudio
sobre el conocimiento matemático del contenido vinculado al quehacer del profesor y la
otra diseñar praxeologías matemáticas y didácticas en conjunto con expertos mediante la
metodología de Estudio de Clases y articuladas con la metodología de Ingeniería Didáctica.
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Anexos
228
Anexos
Anexos
6cm
8cm
4cm
4cm
1. Guía de trabajo ( Profesor Martín y Profesora Isidora)
GUIA DE MATEMÁTATICA ( Profesora Isidora y profesor Miguel) UNIDAD: GEOMETRÍA
Nombre:................................................................................Curso:................... Fecha:........................
¿Qué es la geometría? ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ¿Quiénes utilizan la geometría? ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ CALCULA EL ÁREA DE LOS SIGUIENTES CUADRILATEROS. CALCULA EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES CUADRILATEROS Y TRIÁNGULOS.
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
7cm
3cm
7cm
5cm 4cm
Perímetro______ Perímetro______
Perímetro______
Perímetro______
Anexos
230
ESCRIBE EL ÁREA DE LAS FIGURAS QUE SE MONTRARÁN a) Área=_______ d) Perímetro=________ g) Perímetro=_______ b) Área=_______ e) Perímetro=________ h) Área=_________ c) Área=_______ f) Perímetro=________ i) Perímetro=________ ¿CUÁL ES EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS? ¿CÓMO OBTUVISTE LOS RESULTADOS? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿QUE DICE EL TEOREMA DE PITÁGORAS?
El perímetro del triángulo CAB es __________
El perímetro del triángulo CAB es __________
Anexos
231
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA ¿QUÉ ES UNA HIPÓTESIS? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿QUÉ ES UNA TESIS? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ IDENTIFICA LA HIPÓTESIS Y LA TESIS EN EL TEOREMA DE PITÁGORAS HIPÓTESIS:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________. TESIS:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿QUÉ ENTENDISTE DEL TEOREMA DE PITÁGORAS? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Anexos
232
VERIFICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Corta los cuadros dibujados sobre los catetos, luego ármalos y pégalos en el cuadrado dibujado sobre la hipotenusa.
Anexos
233
4cm 4cm
4cm
7cm
2. Guía de trabajo de las profesoras Pamela y Romina
GUIA DE MATEMÁTICA UNIDAD: GEOMETRÍA
Nombre:................................................................................Curso:................... Fecha:........................
¿Cómo calcularía el área y el perímetro?
¿CUÁL ES EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS? ¿CÓMO OBTUVISTE LOS RESULTADOS? ¿QUE DICE EL TEOREMA DE PITÁGORAS?
4cm
3cm 3cm
7cm
3cm
4cm
12cm
9cm
12 cm
3cm
Anexos
234
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA
IDENTIFICA LA HIPÓTESIS Y LA TESIS EN EL TEOREMA DE PITAGORAS HIPÓTESIS:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________. TESIS:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿QUÉ ENTENDISTE DEL TEOREMA DE PITÁGORAS?
3. Análisis clase de Profesor 1 ( Martín)
Anexos
235
𝐸! Episodio Momento
didáctico
Actor
principal
Objetos matemáticos
presentes
Actividades de estudio observadas
𝐸! P: bueno para comenzar me gustaría preguntarle a ustedes ¿Qué saben de la geometría? ¿Qué es para ustedes la geometría? Lo recuerdan lo han visto en básica, en pre kinder y kínder, en primero hasta séptimo básico, geometría. Han visto figuras, han tocado objetos, han manipulado figuras que tienen forma geométrica, pero ¿Qué es la geometría? Vamos con sus palabras, atrévanse. A: cuerpos P: cuerpos, ya ¿qué más? A: formas P: cuerpos, formas, ya. A: ángulos. P: ya. A: vértices. P: ya. A: la base de cada uno de los cuerpos.
Primer encuentro
Profesor Figuras geométricas
𝐸! P: ya. Entonces ustedes están diciendo elementos de la geometría. Elementos que son primarios y otros secundarios. Pero ¿a qué se dedica la geometría? Cuando ustedes hacen geometría ¿qué es lo que normalmente hacen? A: construir cuerpos. P: construyen cuerpos, ya. A: medir ángulos. P: ya, entonces ¿qué utilizan en la geometría? ¿Para medir que necesito? A: un transportador. P: y un transportador es un instrumento de medición. Entonces la geometría ¿qué es lo que hace? A: mide. A: medir ángulos.
Primer encuentro
Alumno Cuerpos geométricos
Medición de ángulos
𝐸! P: si ustedes toman la palabra geometría, la palabra significa geo-tierra y metría-medición. A: medición de la tierra. P: medición de la tierra, o medición de los elementos que nosotros podemos ver en nuestro entorno. Llegando a la conclusión yo les voy a pedir a ustedes que con sus palabras puedan escribir en la hoja que les va a entregar Fernanda lo que ustedes entienden por geometría y además una pregunta especial, ¿Quiénes creen ustedes que usan la geometría? (Una alumna reparte una hoja por los puestos de sus compañeros) A: no entendí P: ¿Quiénes pueden usar la geometría? ¿Quiénes creen ustedes? Piense un poquito, de manera de poder trabajar con la geometría, de poder sacar ángulos con ella, o que se diviertan con la geometría, ¿Quiénes pueden ocupar la geometría? A: si P: ¿cuándo usan la geometría? A: En matemáticas. P: Para la clase de matemáticas. Piénsenlo ¿para qué creen ustedes que es necesario la geometría, que sin la geometría no podría trabajar? Las dos
Primer encuentro
Profesor Medición
¿Qué es la geometría? ¿Quiénes utilizan la geometría?
¿Qué es la geometría? ¿Quiénes utilizan la geometría?
¿Qué es la geometría? ¿Quiénes utilizan la geometría?
Anexos
236
preguntas en la hoja tienen que responder. Primero es lo que ustedes entienden por geometría y quienes creen ustedes que usan la geometría. (El profesor observa a los alumnos desde la pizarra) P: Haber ¿Quiénes pueden usar la geometría? Vamos hagamos un punteo aquí en la pizarra (el profesor escribe en la pizarra las respuestas). Lo que ustedes creen. A: Constructores. P: Constructores A: Ingenieros. P: Ingenieros. A: Escolares. P: Escolares. A: Profesores. A: Los arquitectos.
𝐸! P: Bueno todos ellos están ligados a la geometría, pero ¿ustedes creen que un futbolista podrá usar la geometría? As: Si P: ¿Para qué? A: Para medir el ángulo del arco. P: O sea si el quiere hacer un gol, y asegurar un gol en un penal ¿dónde tiene que poner la pelota? A: En el ángulo P: En el ángulo del arco. Entonces también los deportistas en general. Aquí tenemos una gran gama de ingenieros, constructores, profesores, escolares, deportistas, profesiones y oficios que pueden usar la geometría. A: ¿Las anotamos? P: Sí, para la segunda pregunta. A: Profe en la segunda no se ve bien. (Indicando la hoja entregada por el profesor) P: ¿No se ve bien? Dice ¿quiénes utilizan la geometría? [El profesor escribe la fecha en la pizarra y observa a los alumnos] P: Entonces en general si observamos estas profesiones y oficios ¿a quién le sirve la geometría? A: A todos. P: A todos nosotros, todos hacemos uso de la geometría alguna vez, alguna vez en el día, alguna vez en la semana, alguna vez al mes. Siempre estamos haciendo uso de la geometría. ¿Qué entienden ustedes por geometría entonces? A: Es la medición de ángulos A: De figuras. A: De todo lo que nos rodea.
Primer encuentro
Profesor Medición de ángulos
¿Qué es la geometría? ¿Quiénes utilizan la geometría?
Anexos
237
𝐸! P: En general, entonces vamos a tomar la definición que dio Michelle, y vamos a decir que la geometría es la medición de todo lo que nos rodea. Como la geometría es una medición vamos a tomar algunos elementos de esa medición, por ejemplo hay una forma de medir lo que son las figuras geométricas, que son figuras planas y es el área. El área nos permite medir la superficie de una figura plana, eso lo han trabajado y lo hemos trabajado durante su vida escolar, el área. Por ejemplo si tengo un cuadrado (dibuja un cuadrado en la pizarra) ¿cuál es la característica especial del cuadrado? A: Que todos sus lados son iguales. P: Que todos sus lados son iguales. El cuadrado es el único cuadrilátero en donde todos los lados miden lo mismo y además cuando se unen forman ángulos rectos. Entonces, si por ejemplo este cuadrado midiese 6 cm. en ese lado, ¿cuál vendría siendo su área? ¿Cuál es la superficie total del cuadrado? A: 6 P: ¿6 cm? A: 3 P: ¿3 cm? [Profesor anota las respuestas de los alumnos en la pizarra] Para saber la superficie de un cuadrado, primero tenemos que (borra los ángulos rectos del cuadrado que había dibujado en la pizarra) si el cuadrado tiene en este lado la medida 6 cm. ¿cuál es la medida de ese otro lado de arriba? As: 6 P: 6 cm. entonces vamos a dibujar los centímetros por cuadraditos. Si este lado mide 6 cm eso quiere decir que si una persona mira el cuadrado de esta posición (refiriéndose a la parte superior del cuadrado) va a ver 6 cuadraditos. Entonces voy a poner acá 1,2,3,4,5,6 cuadraditos. Entonces si la persona esta acá y observa el cuadrado va a ver 6 cuadraditos. La persona que está acá ¿cuántos va a observar? (refiriéndose a uno de los costados del cuadrado) As: 6 P: También va a observar 6. (Y dibuja los 5 cuadraditos faltantes) la persona que mira acá no sabe lo que hay adentro, no sabe lo que hay acá. ¿Qué podemos hacer para saber cuántos hay acá? A: Multiplicar. P: ¿Qué voy a multiplicar? A: 6 por 6. P: Entonces vamos a decir que el área de un cuadrado se obtiene multiplicando el lado por el lado, pero el lado es el mismo, entonces voy a utilizar una potencia (profesor anota en la pizarra área = 62). ¿Qué significa 6 elevado a 2? A: Que 6 multiplicado 6. P: 6 multiplicado 6, y ¿eso es? A: 36.
Quinto Momento
Institucionalización
Profesor Medición
Áreas de superficies planas
𝐸! P: 36 cm2. Porque estoy formando un cuadrado. Si el lado no midiera 6, y midiera 5 cm. ¿Cuál sería el área de ese cuadrado? A: 30 P: ¿30? A: 25 P: ¿Por qué 25 Alexis? A: Porque 5 por 5. P: porque 5 por 5 es 25 cm2. Si el lado del
Segundo momento
Exploración
Alumno Áreas de cuadrados
𝜏!" : ¿cuál es la característica especial del cuadrado?
𝜏11 : ¿cuál vendría siendo su área? 𝜏13 :¿Cuál es la superficie total del cuadrado?
Actividad no registrada en el plan de clases.
𝜏!": Si el lado no midiera 6, y midiera 5 cm. ¿Cuál sería el área de ese cuadrado? Actividad no registrada en el plan de clases
Anexos
238
cuadrado midiera 3 cm. As: 9
𝐸! P: 9 cm2, muy bien. Ustedes en su hoja tienen 4 cuadriláteros, pero separados en estos cuadritos. Deben escribir al lado de cada uno cual es el área de cada uno de los cuadrados. Utilizando lo que ustedes acaban de decir, multiplicando el lado por el lado. Vamos. [El profesor se pasea por la sala observando y resolviendo dudas de los estudiantes] P: Vamos entonces a ver y revisar este tipo de actividades. ¿Quién puede calcular el área de ese? ¿Qué es lo que es? (indicando la pizarra) [Algunos alumnos levantan la mano] A: 5 P: pero ¿qué figura geométrica es? As: Un rectángulo. P: Un rectángulo. ¿Cuál es su área? A: 25 P: ¿Cómo lo supo? A: 5 por P: ¿5 por 5? A: No, es 10. P: ¿Por qué es 10? A: Porque por un lado tiene 5 cm. y por el otro tiene 2. P: Por un lado ¿cuánto mide aquí? (señalando un lado del rectángulo) As: 5 P: ¿Y el de arriba? As: 2 P: Entonces como bien dijeron acá (señalando el cuadrado de lado 5 cm) vamos a multiplicar el lado por el otro lado, acá vamos a multiplicar el largo por el ancho en un rectángulo. Entonces el largo por el ancho ¿sería? As: 10
Cuarto momento
Trabajo de la técnica
Alumno Áreas de cuadrados
CALCULA EL ÁREA DE LOS SIGUIENTES CUADRILATEROS.
𝐸! P: 10 cm2. Muy bien. Y el del cuadrado de abajo. As: 9 P: ¿9 solamente? A: 9 cm2. P: 9 cm2, porque nosotros estamos en centímetros y vamos a utilizar una unidad de medida en el área. 9 cm2. El que sigue un poquito más arriba, ese no causó problema ¿cuál sería el área de ese? As: 6 cm2 P: ¿Por qué 6? A: Porque por un lado tiene 6 y por otro mide 1. Entonces 6 por 1 es 6 P: Muy bien, porque si una persona el rectángulo de el lado de acá solamente va a ver un cuadrado, y si observa la figura desde arriba voy a ver A: 6 P: Voy a ver 6. Y como ya tomamos la conclusión de que el área, la superficie es multiplicar lado por lado, o sea 1 por 6 son 6 cm2. Y el último es un poquito más sencillo. As: 4 cm2 (El profesor escribió en la pizarra el resultado de todas las figuras trabajadas)
Cuarto Momento
Trabajo de la técnica
Alumno Áreas de rectángulos
CALCULA EL ÁREA DE LOS SIGUIENTES CUADRILATEROS.
Anexos
239
𝐸! P: Hablamos entonces de medir áreas de figuras geométricas, específicamente de cuadrados y rectángulos, pero además del área hay otra medida que se puede realizar con estas dos figuras. Acabamos de ver superficies ¿qué nos falta por medir? A: Perímetro. P: Si ya medimos toda la parte interior nos falta por medir el As: El perímetro, P: El contorno de la figura. ¿Cómo se podrá medir el contorno de la figura, el perímetro? A: Con el transportador. P: Con el transportador ya. Pero si ya tengo los datos, por ejemplo ya sé que este mide 6 cm, entonces ¿cuánto mide este de abajo? (mencionando el primer cuadrado dibujado en la pizarra) As: 6 P: también va a medir 6. ¿Y aquél? As: 6
𝐸! P: Entonces cuando hablamos de perímetro hablamos del contorno de la figura. Queremos medir el contorno (el profesor remarca el contorno del cuadrado), el contorno completo. Ahora ya no miramos los cuadritos para calcular la superficie, ahora miramos los cuadraditos para calcular la superficie. Entonces vamos a ir contando 1,2,… A: 24 P: …11, 12 (y va contando los lados de los cuadraditos pequeños del interior del cuadrado de lado 6 cm). Si se dan cuenta di la vuelta completa y conté 12. ¿Cómo podría llegar a ese 12 de otra forma? A: multiplicando. P: ¿multiplicando? A: por 2. P: multiplicando por 2, ya. Pero ¿por qué multiplicar por 2? A: porque son 2 lados. P: porque son 2 lados, es sumar un lado 6 más 6 son 12. Si llego hasta acá ¿cuántos tendría? A: 18 P: y si llego hasta acá, donde doy la vuelta completa. A: 24. P: ¿cuál sería el perímetro de un cuadrado de lado 6cm? A: 24.
Primer Momento
Exploración
Profesor Perímetro de cuadrados
𝐸!" P: 24 cm. ahora ya no hablamos de centímetros cuadrados, solo hablamos de 24 cm. Ahí ustedes tienen 4 figuras, se agrega una figura más que es el triángulo. Tienen que obtener el perímetro, la
Quinto momento
Profesor Perímetro de cuadrados y triángulos
CALCULA EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES
𝜏!": ¿Cómo se podrá medir el contorno de la figura, el perímetro? Actividad no registrada en el plan de clases
𝜏!": ¿Cómo se podrá medir el contorno de la figura, el perímetro? Actividad no registrada en el plan de clases
Anexos
240
medición que hay por el exterior de esas figuras, se dan también las medidas. Comiencen, vamos. [El profesor se pasea por la sala de clases] P: Dijimos que para calcular el perímetro de una figura vamos a sumar un lado, más el otro lado, más el otro lado, más el otro lado. Esto es un rectángulo de ancho 2 cm. y de largo 7. ¿Cuál es el largo de abajo? A: 7 P: También es 7. A: Y 2, de ancho 2. P: Entonces para calcular su perímetro vamos a sumar 2 más 7 A: 9 P: Más 2 A: 11 P: Más 7 A: 18. P: ¿Cuál es el perímetro de ese rectángulo? A: 18 P: Entonces para calcular el perímetro es necesario sumar los lados de la figura, cosa diferente que pasa para calcular el área. Se dan cuenta que estamos calculando cosas totalmente distinto. En esta calculamos el contorno (indicando el rectángulo) y en esta calculamos la superficie (indicando el cuadrado). [Un alumno le señala al profesor que se acerque a su puesto] [El profesor le pide a una alumna que reparta una hoja]
Institucionalización
CUADRILATEROS Y TRIÁNGULOS.
𝐸!! P: el cuadrado de lado de 4 cm, ¿cuál es su perímetro? A: 16 [El profesor anota las respuestas de los alumnos] P: el triángulo de lado 5,6 y 8 cm. As: 19 P: el rectángulo de lado 7 y 3 As: 20 P: ¿y el último? As: 12 P: En general entonces, para sacar el perímetro ¿qué hacemos con los lados? A: sumamos P: ¿y cuándo sacamos el área? A: Se multiplican.
Cuarto Momento
Trabajo de la técnica
Alumno Perímetro de cuadrados y triángulos
CALCULA EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES CUADRILATEROS Y TRIÁNGULOS.
𝐸!" P: Ya, ahora un desafío. Van a calcular áreas y perímetros de diferentes figuras geométricas pero solamente usando calculo mental, ya. Sin ver las figuras, vamos a ver si son capaces. La letra A, ahí tienen ustedes de la A a la Y, entonces acá no sé si los de atrás pueden ver bien (muestra un papel al curso) ¿se ve? Si no se los leo. A: No. P: Ya, entonces dice la letra A cuadrados de lados 3 cm. ¿qué pide la letra A? A: El área. P: El área de esta figura, si tienes un cuadrado de lado 3 cm, ¿cuál es su área? A: 12 P: ¿12? ¿Qué hacen para calcular el área? A: Multiplicar P: ¿Qué se multiplica? Tenemos un cuadrado de lado 3 cm, eso significa que cada lado mide 3 cm. ¿qué hacíamos para calcular el área de un cuadrado? 6 por 6 (señalando la figura que está en
Sexto momento
Evaluación de la técnica.
ESCRIBE EL ÁREA DE LAS FIGURAS QUE SE MONTRARÁN a) Área=_______ d) Perímetro=________ g) Perímetro=_______ b) Área=_______ e) Perímetro=________ h) Área=_________
Anexos
241
la pizarra). Si el lado es 3 A: Multiplico 3 por 3 P: ¿Cuál sería su área? A: 9 P: 9 cm2. La letra B ¿qué pide la letra B? A: área. P: bueno dice rectángulo de lado 3 cm. y de largo 5 cm. El área de un rectángulo de ancho 3 cm. y de largo 5 cm. A: 15 P: 15 cm2. Muy bien. Letra C ¿qué pide la letra C? A: área. P: Rectángulo de ancho 2 cm y de largo 11 cm. As: 55 P: Rectángulo de ancho 2 cm y de largo 11 cm. As: 55 P: La letra D ¿qué pide? A: Perímetro. P: Triángulo equilátero de lado 7 cm. A: 21 cm P: ¿Por qué 21? A: Porque el triángulo tiene todo sus lados iguales. P: Porque el triángulo equilátero tiene todos sus lados de la misma medida, y si uno de los lados mide 7, el otro mide 7 y el otro también mide 7. 7 más 7 más 7 A: 21 P: 21 cm. Muy bien. Letra E triángulo equilátero de lado 9 cm. A: 27 cm P: ¿seguro? Triángulo equilátero de lados 9 cm. As: 27 P: ¿qué pide la letra F? A: el perímetro P: cuadrado de lado 12 cm. A: 24 P: cuadrado de lado de 12 cm. A: 48 A: 60 A: 48 P: 48 (asentando con la cabeza). Perímetro, cuadrado de lado 7 cm. A: 28 P: 28, bien. Área, penúltimo, rectángulo de ancho 5 cm y de largo 8 cm As: 40 P: 40 cm2. Muy bien. Y el último es perímetro, triángulo de lado 4, 6 y 7 cm. As: 17 P: ¿qué tipo de triángulo es este? 4, 6 y 7 cm. A: Equilátero. P: Equilátero tiene todo sus lados iguales, aquí todos sus lados son diferentes, uno mide 4, otro mide 6 y el otro mide 7. A: Isósceles. P: ¿Isósceles? A: No, escaleno. P: Cuando un triángulo tiene todos sus lados distintos recibe el número de escaleno. ¿Cuál es su perímetro entonces? A: 17.
𝐸!" P: 17 cm. Muy bien. La actividad que aparece un poco más abajo, no se nota bien, pero dice ¿cuál es el perímetro de los siguientes triángulos rectángulos? Aparecen dos triángulos rectángulos uno más chico y uno más grande. El ABC o CBA que tiene de lado 4 cm y el otro lado mide 3 cm., y el otro es el DEF que tiene lado de 12 cm y lado 9 cm. La pregunta es ¿cuál es el perímetro de esas dos figuras geométricas?
Primer Momento
El primer encuentro
Profesor Perímetro de triángulos rectángulos
¿CUÁL ES EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS?
Anexos
242
[El profesor espera un momento y luego deja en el suelo de la sala una caja azul. Los alumnos se van acercando y retirar las reglas] Empiecen, resuelvan el problema ¿cuál es el perímetro de esos dos triángulos rectángulos? Una vez que lo hayan hecho ustedes responden al final cómo lo hicieron. [El profesor se acerca a aquellos alumnos que se lo piden] P: Niños cuando empiecen a medir con la regla el puntito tiene que ir en el cero, y de ahí ustedes comienzan a medir. P: (El profesor se pasea por la sala) cuando ustedes escriben al final, en la última pregunta el cómo obtuvieron el resultado no es solo decir el valor del perímetro, sino que cómo ustedes encontraron el valor que desconocen, hay un valor que es de incognito, entonces cómo lo obtuvieron, qué hicieron, todo el proceso. (El profesor les da un tiempo para que los alumnos resuelvan la actividad)
𝐸!" P: Después de un tiempo entonces, me imagino que todos pudieron lograr la medición del perímetro, ¿hubo alguien que no lo logró? Ya, los felicito. Pregunta, levantando la mano, ¿cómo obtuvieron la medición del perímetro? A: Primero midiendo los lados que no aparecen y luego sumar sus lados para obtener el perímetro. (El profesor anota en la pizarra el resultado que se va mencionando) P: ¿Alguien más? ¿Alguien más tiene otra forma de obtener el resultado? A: Sume los lados que aparecen y sume los lados y P: Haber déjame ver si te entendí, usted sumó los dos lados que tenía y puso el resultado en el cuadrito y después sumó los lados y obtuvo el perímetro. A: Sí. P: ¿Alguien más lo hizo de otra forma? Tenemos dos, uno que midió con regla el lado que es incognito y luego sumó todos los lados y obtuvo el perímetro. El otro sumo los lados que conocía y obtuvo el incognito y después sumó los tres lados para obtener el perímetro. ¿Alguien tiene otra forma o lo obtuvo de otra manera? Haber ¿quién hizo la primera? levante la mano (12 alumnos la levantan). ¿Quién lo hizo de la segunda? (10 levantan la mano). ¿Alguien no la hizo o no levantó la mano o tiene otra forma de hacerlo y que no está ahí representada? Ya tenemos esta competencia entre 12 y 10, entre medir el lado con la regla y después sumar los lados. Pero, yo me di cuenta de una cosa que todos vinieron para acá o la mayoría y sacaron regla ¿la primera usa regla? A: Sí. P: ¿La segunda usa regla? A: No. P: ¿Por qué no usa regla la segunda? A: Porque los lados que están aquí despejan la incógnita. P: Porque esos son los lados que aparecen ya y no se necesita la regla. Yo no les dije que usaran regla, solamente traje no sé porque traje unas reglas, las deje por ahí. Ya, de este que midió el lado, Nicolás ¿cuál fue el valor del lado incognito? A: El primero dio 10 y el segundo 18. P: ¿Cuáles eran los demás lados de este triángulo? (haciendo referencia al primero)
Segundo Momento
Exploración, elaboración de una técnica relativa al tipo de tarea.
Alumno Perímetro de triángulo rectángulo
Anexos
243
A: 4 y 3 P: ¿Y en este de 18? A: 12 y 9. P: Nicol usted que lo hizo de la forma de abajo ¿qué valores le dieron de incognito? A: Me dio 7 y en el de abajo 21. [El profesor anota ambas respuestas]
𝐸!" P: Se dan cuenta, acá lo igualaron los dos lados y acá con la suma no, algo pasa ahí, y algo pasa en general con este tipo de medida cuando usamos este tipo de instrumentos para medir los perímetros de figuras y sobre todo de figuras muy grandes ¿y qué pasaría si yo a ustedes le pusiera un triángulo aún más grande? Cuando el triángulo es pequeño las diferencias son chicas, cuando el triángulo va creciendo las diferencias se van incrementando, y si fuera un triángulo aún más grande ¿podríamos tener una medida exacta del lado? A: No. P: Porque a ustedes le dio ¿7? o les dio ¿6 y algo? A: 7 y algo P: 7 y algo. A ustedes les dio exacto porque sumaron ambos lados, ¿cierto? A: Si.
Segundo Momento
Exploración, elaboración de una técnica relativa al tipo de tarea.
Alumno Perímetro de un triángulo rectángulo dadas las longitudes de sus catetos
𝐸!" P: Pero en general cuando uno mide utilizando regla la medición no siempre es exacta. Lo que vamos a conocer nosotros hoy día es la forma de obtener ese lado, el que estaba oculto de manera sencilla, fácil y exacta. Eso es lo que vamos a conocer hoy día, cómo obtener ese dato de forma fácil, sencillo y exacto que no esté la posibilidad de decir eso y coma y algo. Pregunta para ustedes ¿alguien ha escuchado hablar de un filósofo antiguo llamado Pitágoras? As: si P: ¿Han escuchado hablar? ¿Qué saben de ese caballero? A: Que hizo un teorema. P: Hizo un teorema ¿cómo se llama el teorema? A: Teorema de Pitágoras. P: Teorema de Pitágoras ¿a qué se refiere ese teorema? (Nadie responde)
Quinto momento
Institucionalización
Profesor Teorema de Pitágoras
𝐸!" P: Porque el teorema dice algo, da un contenido matemático. ¿Qué plantea el teorema de Pitágoras? ¿Qué plantea este caballero? Levante la mano quién nunca había oído hablar del Teorema de Pitágoras. (Varios alumnos levantan la mano) Ya, muy bien. No es sorpresa porque era un caballero muy antiguo. Y les voy a leer un pequeño párrafo, aquí dice: “el problema que se nos presento anteriormente el de las incógnitas, en la antigüedad lo tenían algunos matemáticos entre ellos Pitágoras, Pitágoras fue un
Quinto momento
Institucionalización
Profesor Teorema de Pitágoras
𝜏!: ¿CUÁL ES EL PERÍMETRO DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS?
Anexos
244
filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático griego, contribuyó de manera significativa e importante en el avance de la matemática, la geometría y la aritmética. Él se dedicaba a la astronomía y a la música, además de la matemática y fue el fundador de la Hermandad Pitagórica”. Entonces Pitágoras no solamente él mismo creó alguno de los teoremas que presentamos o alguno de los elementos matemáticos que conocemos, sino que él hizo la escuela y la escuela se llamaba escuela Pitagórica, porque él la fundó, y los participantes de esta escuela también se juntaban y conversaban de distintos tipos de cosas, entre ellos la matemática, la geometría y la aritmética. Entonces Pitágoras al darse cuenta que existían algunos problemas, sobre todo en la medición de este tipo de dudas (indicando la pizarra) destacó algo muy importante. Después de investigar, de mucho averiguar planteó lo siguiente: cada vez que tenía un triángulo rectángulo y sus medidas de los catetos (dibuja en la pizarra un triángulo rectángulo) cuyas medidas 3 y 4, cada vez que tenía estas medidas, las medidas que se les presentó a ustedes y que con dificultad, algunos ingeniándola sumando los lados, midiendo bien pudieron sacar. Entonces el dijo ¡ah! cada vez que tengo esto puedo sacar ese segmento que se encuentra ahí. En este triángulo el segmento más largo recibe un nombre especial ¿lo recuerdan? El segmento más largo se llama hipotenusa (lo escribe en la pizarra). Y los segmentos más cortos, los que están al lado del ángulo recto se llaman A: Catetos P: Catetos. Entonces tenemos la hipotenusa, ese y ese son catetos. Entonces dijo este caballero ¡Ah! para saber cuánto mide la hipotenusa en ese caso lo que voy hacer es formar dos cuadrados sobre los catetos y la suma de los dos cuadrados de los catetos va a dar como resultado el cuadrado que voy a formar sobre la hipotenusa. Entonces podemos decir que el teorema de Pitágoras se presenta como la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. (El profesor dibuja en la pizarra la siguiente figura)
𝐸!" P: Ahora para poder entender, el teorema tiene dos partes esenciales, primero dice la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos ¿cuáles son los catetos en este caso? Son los lados que están A: Al lado del ángulo recto. P: Al lado del ángulo recto, pero además ¿qué pasa con la hipotenusa en relación a los catetos? A: Es más larga que los catetos. P: Entonces la hipotenusa es más largo, entonces si este mide 4 y este mide 3. Dice que el cuadrado construidos sobre los catetos. Si un lado de este cuadrado mide 4 cm. ¿cuánto medirá este lado? A: 4
El cuarto momento es el trabajo de la técnica
Profesor Triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Perímetro de triángulo rectángulo
𝜏!" : ¿cuáles son los catetos en este caso? 𝜏!" : qué pasa con la hipotenusa en relación a los catetos? 𝜏!": Si un lado de este cuadrado mide 4 cm. ¿cuánto medirá este lado? Actividad no registrada en el plan de clases
Anexos
245
P: ¿Y aquél? A: 4 P: Y el último 4. Si este mide 3 ¿cuánto medirá este? A: 4 P: ¿Este? A: 3 P: ¿Este? A: 3 P: Vamos a colocar acá 5. Si este mide 5 ¿cuánto medirá este? A: 5 P: ¿Y este? A: 5 P: Dice que la suma de los cuadrados, bueno en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, solo de los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. ¿Cuál es el área de este cuadrado? (mostrando el cuadrado de lado 4) A: 4 eeee P: De este cuadrado. A: 16 P: ¿No será el perímetro 16? A: 8 P: ¿8? ¿Qué hacemos para calcular el área de un cuadrado? A: multiplicar P: ¿qué multiplicamos? A: 4 por 4 P: ¿y cuánto es 4 por 4? A: 16 P: 16. El área de este cuadrado es 16. Dice que hay que sumar el área de los dos catetos ¿cuánto mide este otro cuadrado? A: 9 P: (El profesor anota 16+9=) y esto debe ser igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. ¿Cuál es el área de la hipotenusa? A: 25. P: 25. ¿Se cumple esa igualdad? (refiriéndose a 16+9=25) A: Sí. A: Sí P: ¿Cuánto es 16 más 9? A: 25 igual 25. (El profesor anota 25=25)
𝐸!" P: Entonces cuando ustedes tenían en su hoja ese lado sin conocer (el profesor borra el valor dado a la hipotenusa, es decir borra el 5) ¿Cómo podrían calcular el lado? Ustedes no conocían esto (el profesor borra el 25 de la igualdad, solo deja 16 + 9) del ejercicio anterior. A: Sumando el resultado que dio del cuadrado de lado 4 con el de 3. P: Ya, y esto da 25. ¿Y esto significa que el lado mide 25? A: No. P: ¿Qué significa el 25? A: Que es el área. P: Que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es 25. Pero ¿cuánto mide el lado entonces? A: 5 P: ¿Por qué 5? (Los alumnos no responden)
𝐸!" P: Vamos a diferenciar dos cosas entonces del teorema, primero una hipótesis y después una tesis. ¿Alguien sabe lo que es una hipótesis o una tesis? ¿Lo han visto en ciencias?
Quinto momento
Profesor Teorema de Pitágoras
Anexos
246
A: La hipótesis se puede probar. P: Ya, la hipótesis del teorema de Pitágoras nos da las condiciones sobre las cuales vamos a trabajar el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras se trabaja únicamente con los triángulos rectángulos, entonces para que el teorema de Pitágoras sea real. ¿Dónde tenemos que trabajar? ¿Con qué figura geométrica? A: en un triángulo P: En un triángulo, ¿en un triángulo cualquiera? A: No, en un rectángulo. P: En un triángulo rectángulo. Entonces con mi hipótesis vamos a diferenciar que la condición principal es que la figura sea un triángulo rectángulo. Si la figura es un triángulo rectángulo ¿cuál vendría siendo la tesis? (lo alumnos no responden). ¿Qué es lo que hicimos acá? Con triángulo rectángulo, ya tenemos la condición. ¿Qué es lo que hicimos acá? (da unos segundos para que respondan) ¿cuál sería la tesis entonces, la consecuencia de mi hipótesis? (El profesor escribe en la pizarra el teorema de Pitágoras) Si la figura es un triángulo rectángulo entonces la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Como última pregunta al final aparece ¿qué entendiste del teorema? Sin hacer ningún trabajo manual todavía ¿qué entendieron? (los alumnos no responde a la pregunta)
Institucionalización
𝐸!" P1: Un teorema entonces es posible de verificar. Vamos a verificar si lo que dice el teorema es cierto, porque no pueden creer en algo que les digan esto se hace así se hace así sin siquiera ponerlo en duda. Vamos a poner en duda la veracidad del teorema de Pitágoras, para eso vamos a desarrollar una actividad que están entregando las compañeras. (El profesor reparte las tijeras) Sus compañeras les acaban de entregar dos hojas, una que es como esta y otra así (mostrando las hojas al curso). ¿Cuál es la diferencia que ven en las dos figuras? ¿Son iguales o son distintas? A: Son iguales A: Son distintas, el cateto de abajo está dividido. P: A ya, esta tiene el cuadrado sobre el cateto que está dividido, ¿y en esta? As: No
Tercer momento
Estudio de la constitución tecnológico-‐ teórico
Profesor Teorema de Pitágoras
𝐸!! P: ¿Cuál es la actividad que vamos a hacer ahora? Vamos a probar si de verdad los cuadrados construidos sobre los catetos van a tener la misma área que tiene el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Para eso ustedes ahora esta no la recortan, van a recortar A: Tengo una distinta. (El profesor les cambia la hoja a algunas alumnas) P: ¿Cuál es la idea entonces? Toman el triángulo rectángulo que tiene esos segmentos en los catetos. A: ¿Cuál? P: El que no tiene letras. Entonces ustedes tendrían que tener una figura así como esta. (El profesor muestra la manera de cortarlo) P: Observen este teorema, observen lo que tienen en la mano y piensen ustedes cómo podrían verificar la veracidad del teorema. Dice que si tenemos un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados que construidos sobre los catetos es
Tercer momento
Estudio de la constitución tecnológico-‐ teórico
Profesor Teorema de Pitágoras
Anexos
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igual al cuadrado que construye en la hipotenusa. (Los alumnos recortan la figura) Bueno, una vez que ustedes cortaron entonces la figura lo que tienen que enfrentarse es como a una especie de rompecabezas hacer calzarlo (empieza a explicar en la pizarra) la parte del cuadrado, la parte de este otro cuadrado en este otro cuadrado en el cuadrado grande (Refiriéndose al cuadrado sobre la hipotenusa) A: A me perdí P: Para comprobar si este cuadrado mas este otro cuadrado más chico va hacer igual al área total de este cuadrado grande (explica en la pizarra). Una especie de rompecabezas. A: Profe ¿se corta? P: Sí. A: Profe ¿cuál se corta? P: El que tiene las líneas. A: Lo corte todo. [Con una hoja explica a los alumnos cual hay que cortar] P: Este cierto, cortar ese, ese y ese cortarlo hasta ahí. A: ¿Y el de arriba? P: El grande no se corta. A: El triángulo tampoco P: El grande se deja solo, el grande se deja solo, la idea es que este, este mas estos cuatro quepan en esa parte. A: Profe ¿y el del medio? P: El del medio se deja tal cual. (Varios alumnos se acercan al profesor para pedir otras hojas) (El profesor se acerca a aquellos alumnos que se lo piden) (Suena la campana)